向量

特征值是方阵的一种特殊性质，是数，与方阵本身相关。计算特征值的方法如下：1. 假设A是n阶方阵，其特征值为λ，特征向量为x；2. 因为特征向量与特征值相关，即Ax=λx，移项可得到(A-λE)x=0，其中E为n阶单位矩阵；3. 对于非零解，方程(A-λE)x=0有解当且仅当方程系数矩阵(A-λE)的行列式det(A-λE)=0；4. 解出方程det(A-λE)=0的解λ1，λ2，…，λn，即为矩阵A的n个特征值；5. 对于每个特征值λi，求解其对应的特征向量xi，即求解方程(A-λiE)xi=0，得到n个线性无关的特征向量。特征值和特征向量的计算是矩阵分析和线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理学、工程学等领域。

主特征向量是指主特征值对应的特征向量而主特征值是指模最大（如果是实数的话就是绝对值最大）的特征值一般用幂迭代或者阿诺尔迪迭代等等可以求出主特征值和主特征向量

先求出矩阵的特征值: |A-λE|=0，再对每个特征值λ求出(A-λE)X=0的基础解系a1,a2,..,as，A的属于特征值λ的特征向量就是 a1,a2,...,as 的非零线性组合。

特征向量：就是在某个线性变换下方向不变（也可以说具有保角性），其大小不变或乘以某个缩放因子的非零向量。线性变换的主特征向量是最大特征值对应的特征向量。特征值：就是上面说的那个缩放因子了，一般都是从特征方程算出来的（叫特征根），是变换的本质特征空间：就是由所有有着相同特征值的特征向量组成的空间，还包括零向量，但要注意零向量本身不是特征向量。谱：其实就是特征值了，谱分解也和上面这三个东西有关。有空我们再细细讨论

不唯一，一个矩阵特征值是确定的，但对应的特征向量并不唯一。从数学上看，如果向量v与变换A满足Av=λv，则称向量v是变换A的一个特征向量，λ是相应的特征值。这一等式被称作“特征值方程”。在实践中，大型矩阵的特征值无法通过特征多项式计算，计算该多项式本身相当费资源，而精确的“符号式”的根对于高次的多项式来说很难计算和表达：阿贝尔－鲁费尼定理显示高次（5次或更高）多项式的根无法用n次方根来简单表达。对于估算多项式的根的有效算法是有的，但特征值的小误差可以导致特征向量的巨大误差。求特征多项式的零点，即特征值的一般算法，是迭代法。最简单的方法是幂法：取一个随机向量v，然后计算一系列单位向量。这个序列几乎总是收敛于绝对值最大的特征值所对应的特征向量。这个算法很简单，但是本身不是很有用。但是，象QR算法这样的算法正是以此为基础的。

题：矩阵a=0001001001001000求矩阵a的特征值与特征向量。解：特征矩阵te-a=t00-10t-100-1t0-100t|te-a|=(tt-1)^2注：这个可以用第一列进行代数余子式展开，看容易看出解来。也可以用第二三行用二阶子式及其余子式的乘积来计算，也很方便。于是其特征值有四个，分别是1,1,-1,-1特征矩阵te-a的四个解向量，就是相应的特征向量。略。

特征向量是数学上线性变换的一个非退化的向量，其方向在该变换下不变。特征向量的作用：1、薛定谔方程。一个变换用微分算子代表的特征值方程的例子是量子力学中的时不变薛定谔方程HΨE = EΨE其中H是哈密尔顿算子，一个二阶微分算子而ΨE是波函数，对应于特征值E的特征函数，该值可以解释为它的能量。2、分子轨道。在量子力学中，特别是在原子物理和分子物理中，在Hartree-Fock理论下，原子轨道和分子轨道可以定义为Fock算子的特征向量。相应的特征值通过Koopmans定理可以解释为电离势能。在这个情况下，特征向量一词可以用于更广泛的意义，因为Fock算子显式地依赖于轨道和它们地特征值。如果需要强调这个特点，可以称它为隐特征值方程。这样地方程通常采用迭代程序求解，在这个情况下称为自洽场方法。在量子化学中，经常会把Hartree-Fock方程通过非正交基集合来表达。这个特定地表达是一个广义特征值问题称为Roothaan方程。3、因子分析。在因素分析中，一个协变矩阵的特征向量对应于因素，而特征值是因素负载。因素分析是一种统计学技术，用于社会科学和市场分析、产品管理、运筹规划和其他处理大量数据的应用科学。其目标是用称为因素的少量的不可观测随机变量来解释在一些可观测随机变量中的变化。可观测随机变量用因素的线性组合来建模，再加上“残差项。4、惯量张量。在力学中，惯量的特征向量定义了刚体的主轴。惯量是决定刚体围绕质心转动的关键数据。5、应力张量。在固体力学中，应力张量是对称的，因而可以分解为对角张量，其特征值位于对角线上，而特征向量可以作为基。因为它是对角阵，在这个定向中，应力张量没有剪切分量；它只有主分量。

参考:设A是秩为1的n阶方阵, 则1. A可表示为αβ^T, 其中α,β为n维非零列向量(或β^Tα≠0).反之,若A=αβ^T,其中α,β为n维非零列向量(或β^Tα≠0), 则r(A)=1.2. A^k = (β^Tα)^(k-1)A3. A的特征值为 α^Tβ(=β^Tα),0,0,...,04. tr(A)=α^Tβ说明:1. 方法: 取A的一个非零的行向量,设为 β^T,则其余各行是此行的ki倍.令α=(k1,...,kn)^T, 则 A=αβ^T.反之, 若A=αβ^T, 其中α,β为n维非零列向量(或β^Tα≠0)则 A≠0, 所以 r(A)>=1又因为 r(A)=r(αβ^T)<=r(α)=1所以 r(A)=1.2. A^k=(αβ^T)(αβ^T)(αβ^T)...(αβ^T)= α(β^Tα)(β^Tα)(β^T...α)β^T= (β^Tα)^(k-1)αβ^T= (β^Tα)^(k-1)A3.因为 Aα=(αβ^T)α=α(β^Tα)=(β^Tα)α所以α是A的属于特征值β^Tα(≠0)的特征向量因为r(A)=1所以齐次线性方程组Ax=0的基础解系含 n-1 个向量即A的属于特征值0的线性无关的特征向量有n-1个所以0至少是A的n-1重特征值而n阶方阵有n个特征值所以A的特征值为 β^Tα,0,0,...,0(n-1重)属于特征值0的特征向量:设β=(b1,b2,...,bn)^T≠0, 不妨设b1≠0则A经初等行变换化为b1 b2...bn0 0 ... 0... ...0 0 ... 0Ax=0的基础解系为(b2,-b1,0,...,0)^T(b3,0,-b1,...,0)^T...(bn,0,0,...,-b1)^T此即为A的属于特征值0的n-1个线性无关的特征向量

幂等矩阵，与对角阵相似，特征值只能是0、1它的列向量（不是零向量时），都是属于特征值1的特征向量

如果直线方程是Ax+By+Cz+D=0,那么方向向量就是（A,B,C）

如果是直线的点向式方程，可以直接写出它的方向向量。例如直线(x-4)/2=(y+2)/3=(z-5)/1的方向向量是(2,3,1)。如果是用两个平面方程的联立表示的直线，则两个平面的的法向量的外积就是直线的方向向量。 空间直线的一般方程求方向向量 空间直线点向式方程的形式为（和对称式相同）(x-x0)/l=(y-y0)/m=(z-z0)/n，其方向向量就是（l，m，n）或反向量（-l，-m，-n）。 比如直线x+2y-z=7-2x+y+z=7 (1)先求一个交点,将z随便取值解出x和y不妨令z=0由x+2y=7-2x+y=7解得x=-7/5,y=21/5所以(-7/5,21/5,0)为直线上一点 (2)求方向向量因为两已知平面的法向量为(1,2,-1),(-2,1,1)，所求直线的方向向量垂直于2个法向量。由外积可求方向向量=(1,2,-1)×(-2,1,1)=i j k1 2 -1-2 1 1=3i+j+5k所以直线方向向量为(3,1,5) 方向向量 简介 空间直线的方向用一个与该直线平行的非零向量来表示，该向量称为这条直线的一个方向向量。直线在空间中的位置，由它经过的空间一点及它的一个方向向量完全确定。 已知定点P0（x0,y0,z0)及非零向量v={l,m,n}，则经过点Pο且与v平行的直线L就被确定下来，因此，点P0与v是确定直线L的两个要素，v称为L的方向向量。 由于对向量的模长没有要求，所以每条直线的方向向量都有无数个。直线上任一向量都平行于该直线的方向向量。 求解

空间向量点到直线距离公式解：设点A坐标（x1，y1）直线方程：ax+by+c=0A到直线的距离=|ax1+by1+c|÷√（a²+b²） 直线Ax+By+C=0 坐标（Xo，Yo）那么这点到这直线的距离就为：公式中的直线方程为Ax+By+C=0，点P的坐标为(x0,y0)。连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这条垂线段的长度，叫做点到直线的距离。公式中的直线方程为Ax+By+C=0，点P的坐标为(x0,y0)。连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这条垂线段的长度，叫做点到直线的距离。①：过点上做一向量垂直于已知直线，做一平面垂直于刚作直线，设该平面的法向量为m 在该平面上找一点与已知点连接，设该向量为a，则距离d=|a*m|/|m| ②：平移任一直线，使两直线相交，过两条相交直线做一平面，法向量为m 在两直线上连接任意两点，设该向量为a,则距离d=|a*m|/|m|

对时间求导，v=ds/dt

角动量：物体绕轴的线速度与其距轴线的垂直距离的乘积。每单位质量气块的绝对角动量是其相对地球的角动量和地球自转产生的角动量之和。 概念：转动物体的转动惯量 (rotational inertia) 和角速度 (angular velocity) 的乘积叫做它的角动量。动量：物体的质量和它的质心速度的乘积。在经典力学中，动量（国际单位制中的单位为kg·m/s，量纲MLT^(-1)）表示为物体的质量和速度的乘积。有关动量的更精确的量度的内容。 　　一般而言，一个物体的动量指的是这个物体在它运动方向上保持运动的趋势。动量实际上是牛顿第一定律的一个推论。向量：数学中，既有大小又有方向的量叫做向量（亦称矢量）。 向量（或矢量），最初被应用于物理学．很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量．大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到．“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段位矢：位置矢量简称位矢，是 从参考点（原点）到物体实际位置连线的矢量。 用r表示，r=r(t)表示r是时间的函数，也就是矢量r是随时间变化而变化的，r=r(t)反应了r同时间的函数关系。

一个带方向，一个不带

规定了方向和大小的量称为向量．向量又称为矢量，最初被应用于物理学．很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量．大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到．“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段．最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿．在数学中，我们通常用点表示位置，用射线表示方向．在平面内，从任一点出发的所有射线，可以分别用来表示平面内的各个方向向量的表示向量的表示向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．向量也可用字母a①、b、c等表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示．向量的大小，也就是向量的长度(或称模)，记作|a|长度为0的向量叫做零向量，记作0．长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量．

函数是数学的重要的基础概念之一。进一步学习的，包括、微分学、积分学、乃至等高等学校开设的课程，无一不是以函数作为基本概念和研究对象的。其他学科如物理学等学科也是以函数的基础知识作为研究问题和解决问题的工具。函数的教学内容蕴涵着极其丰富的辩证思想，是对学生进行观点教育的好素材。函数的思想方法也广泛地诊透到中学数学的全过程和其他学科中。函数是中学数学的主体内容。它与中学数学很多内容都密切相关，初中代数中的“函数及其图象”就属于函数的内容，中的、、是函数内容的主体，通过这些函数的研究，能够认识函数的性质、图象及其初步的应用。后续内容的极限、初步知识等都是函数的内容。数列可以看作整标函数，等差数列的通项反映的点对(n，an)都分布在直线y＝kx+b的图象上，等差数列的前n项和公式也可以看作关于的关系式，的内容也都属于类型的整标函数。中学的其他数学内容也都与函数内容有关。函数在中学教材中是分三个阶段安排的。第一阶段是在初中代数课本内初步讨论了函数的概念、函数的表示方法以及函数图象的绘制等，并具体地讨论、、、等最简单的函数，通过计算函数值、研究、、、的慨念和性质，理解函数的概念，并用描点法可以绘制相应函数图象。新课本函数一章以及本书的第四章的内容是中学函数教学的第二阶段，也就是函数概念的再认识阶段，即用集合、映射的思想理解函数的一般定义，加深对函数概念的理解，在此基础上研究了、、等的概念、图象和性质，从而使学生在第二阶段函数的学习中获得较为系统的函数知识，并初步培养了学生的函数的应用意识，为今后学习打下良好的基础。第二阶段的主要内容在本章教学中完成。第三阶段的函数教学是在高中三年级数学的限定选修课中安排的，理科限定选修内容有极限、导数、积分，文科和实科限定选修内容有极限与导数，这些内容是函数及其应用研究的深化和提高，也是进一步学习和参加工农业生产需要具备的基础知识。

设P = X ^ 2-Y ^ 2 + X,Q = - （2XY + Y）.EQ / EX-EP / EY =-2Y-（-2Y）= 0罗塔= 0 EP / EX + EQ,/ EY = 2X +1 +（2X-1）= 0 DIVA = 0,所以一架飞机谐场.接入点（X0,Y0）=（0,0）,力函数u =∫0dx +∫（范围从0到y）（X ^ 2-Y ^ 2 + X）DY = YX ^ 2 + Y ^ 3 / 3 + XY + C.势函数V = - ∫（范围从0到x）（X ^ 2 + X）DX +∫（范围0到y）（2XY + Y）DY-X ^ 3/3-x ^ 2/2 + XY ^ 2 + Y ^ 2/2 + C.

过空间一点p(x0,y0,z0)，且已知直线的一个方向向量s=(m,n,p)，则该空间直线的参数方程：x=x0+mty=y0+ntz=z0+pt在已知条件下，令n(x,y,z)是直线上任意一点则向量pn与方向向量s平行而：pn=(x,y,z)-(x0,y0,z0)=(x-x0,y-y0,z-z0)故：(x-x0)/m=(y-y0)/n=(z-z0)/p这就是直线的点向式方程，也叫做对称式方程令(x-x0)/m=(y-y0)/n=(z-z0)/p=t便得到参数方程考得题目一般会和平面在一起考比如，给2个平面，让求直线的对称式方程和参数方程求2直线的夹角求直线与面的夹角

f(x)=1/xf"(x)=-1/x^2f"(x)=lim△x->0 [f(△x+x)-f(x)]/[(△x+x)-x]=lim△x->0 [1/(△x+x)-1/x]/△x=lim△x->0 [x-(△x+x)/x△x(△x+x)]=lim△x->0 -△x/x△x(△x+x)=-lim△x->0 1/x(△x+x)=-1/x^2K=f"(1)=-1/1^2=-1f(1)=1∴切线方程是y-1=-1(x-1)=-x+1y=-x+2

标量，向量，矩阵与张量 1、标量 一个标量就是一个单独的数，一般用小写的的变量名称表示。2、向量 一个向量就是一列数，这些数是有序排列的。用过次序中的索引，我们可以确定每个单独的数。通常会赋予向量粗体的小写名称。当我们需要明确表示向量中的元素时，我们会将元素排列成一个方括号包围的纵柱：我们可以把向量看作空间中的点，每个元素是不同的坐标轴上的坐标。3、矩阵 矩阵是二维数组，其中的每一个元素被两个索引而非一个所确定。我们通常会赋予矩阵粗体的大写变量名称，比如A。 如果一个实数矩阵高度为m，宽度为n，那么我们说 。矩阵这东西在机器学习中就不要太重要了！实际上，如果我们现在有N个用户的数据，每条数据含有M个特征，那其实它对应的就是一个N*M的矩阵呀；再比如，一张图由16*16的像素点组成，那这就是一个16*16的矩阵了。现在才发现，我们大一学的矩阵原理原来这么的有用！要是当时老师讲课的时候先普及一下，也不至于很多同学学矩阵的时候觉得莫名其妙了。4、张量 几何代数中定义的张量是基于向量和矩阵的推广，通俗一点理解的话，我们可以将标量视为零阶张量，矢量视为一阶张量，那么矩阵就是二阶张量。 例如，可以将任意一张彩色图片表示成一个三阶张量，三个维度分别是图片的高度、宽度和色彩数据。 将这张图用张量表示出来，就是最下方的那张表格：其中表的横轴表示图片的宽度值，这里只截取0~319；表的纵轴表示图片的高度值，这里只截取0~4；表格中每个方格代表一个像素点，比如第一行第一列的表格数据为[1.0,1.0,1.0]，代表的就是RGB三原色在图片的这个位置的取值情况（即R=1.0，G=1.0，B=1.0）。当然我们还可以将这一定义继续扩展，即：我们可以用四阶张量表示一个包含多张图片的数据集，这四个维度分别是：图片在数据集中的编号，图片高度、宽度，以及色彩数据。张量在深度学习中是一个很重要的概念，因为它是一个深度学习框架中的一个核心组件，后续的所有运算和优化算法几乎都是基于张量进行的。

1.张量张量（ tensor )：超过二维的数组，一般来说，一个数组中的元素分布在若干维坐标的规则网格中，被称为张量。如果一个张量是三维数组，那么我们就需要三个索引来决定元素的位置 A ( i , j , k )，张量通常用加粗的大写字母表示。2.向量向量（ vector )：一个向量表示一组有序排列的数，通过次序中的索引我们能够找到每个单独的数，向量通常用粗体的小写字母表示。向量中的每个元素就是一个标量，向量相当于 Python 中的一维数组。3.区别：向量就是我们除了知道棍子的长度之外还知道棍子指向的是左边还是右边。 矩阵就是除了知道向量知道的信息外还知道棍子是朝上还是朝下。张量就是除了知道矩阵知道的信息外还知道棍子是朝前还是朝后。

张量可以表述为一个值的序列，用一个向量值的定义域和一个标量值的值域的函数表示。这些定义域中的向量是自然数的向量，而这些数字称为指标。例如，3阶张量可以有尺寸2、5和7。这里，指标的范围是从<1,1,1,>到<2,5,7>。张量可以在指标为<1,1,1>有一个值，在指标为<1,1,2>有另一个值，等等一共70个值。（类似的，向量可以表示为一个值的序列，用一个标量值的定义域和一个标量值的值域的函数表示，定义域中的数字是自然数，称为指标，不同的指标的个数有时称为向量的维度。）

因为他有实部和虚部，用横轴表示实部，纵轴表示虚部，是一个二维的量实数是一维的，可以用一个数轴就可以表示

课 题：研究性学习课题：复数与平面向量的联系教学目的：1. 理解复数与从原点出发的向量的对应关系2. 了解复数加减法运算的几何意义 教学重点：复数与从原点出发的向量的对应关系．教学难点：复数加减法运算的几何意义 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：1.若，，则2. 若，，则，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差3. 若，，则一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标即　=-=( x2, y2) - (x1,y1)= (x2- x1, y2- y1) 4.复平面、实轴、虚轴：复数z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a，b)是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z=a+bi(a、b∈R)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a，b)惟一确定，如z=3+2i可以由有序实数对(3，2)确定，又如z=－2+i可以由有序实数对(－2，1)来确定；又因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对(3，2)它与平面直角坐标系中的点A，横坐标为3，纵坐标为2，建立了一一对应的关系　由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数在复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数2，虚轴上的点(0，－1)表示纯虚数－i，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数5i非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(－2，3)表示的复数是－2+3i，z=－5－3i对应的点(－5，－3)在第三象限等等.复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数复平面内的点这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.5.复数的加(减)法 (a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.与多项式加(减)法是类似的.就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加(减).二、讲解新课：1．复平面内的点平面向量2. 复数平面向量3.复数加法的几何意义：设复数z1=a+bi，z2=c+di，在复平面上所对应的向量为、，即、的坐标形式为=(a，b)，=(c，d)以、为邻边作平行四边形OZ1ZZ2，则对角线OZ对应的向量是，∴= +=(a，b)+(c，d)=(a+c，b+d)＝(a+c)+(b+d)i4. 复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设z=(a－c)+(b－d)i，所以z－z1=z2，z2+z1=z，由复数加法几何意义，以为一条对角线，为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边OZ2所表示的向量就与复数z－z1的差(a－c)+(b－d)i对应由于，所以，两个复数的差z－z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.三、讲解范例：例1已知复数z1=2+i，z2=1+2i在复平面内对应的点分别为A、B，求对应的复数z，z在平面内所对应的点在第几象限？解：z=z2－z1=(1+2i)－(2+i)=－1+i，∵z的实部a=－1＜0，虚部b=1＞0，∴复数z在复平面内对应的点在第二象限内.点评：任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差.　即所表示的复数是zB－zA.　，而所表示的复数是zA－zB，故切不可把被减数与减数搞错尽管向量的位置可以不同，只要它们的终点与始点所对应的复数的差相同，那么向量所对应的复数是惟一的，因此我们将复平面上的向量称之自由向量，即它只与其方向和长度有关，而与位置无关例2　复数z1=1+2i，z2=－2+i，z3=－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数.分析一：利用，求点D的对应复数.解法一：设复数z1、z2、z3所对应的点为A、B、C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x+yi(x，y∈R)，是：=(x+yi)－(1+2i)=(x－1)+(y－2)i;=(－1－2i)－(－2+i)=1－3i.∵，即(x－1)+(y－2)i=1－3i，∴解得故点D对应的复数为2－i.分析二：利用原点O正好是正方形ABCD的中心来解.解法二：因为点A与点C关于原点对称，所以原点O为正方形的中心，于是(－2+i)+(x+yi)=0，∴x=2，y=－1.故点D对应的复数为2－i.点评：根据题意画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用四、课堂练习：1.已知复数z1=a2－3+(a+5)i,z2=a－1+(a2+2a－1)i(a∈R)分别对应向量、（O为原点），若向量对应的复数为纯虚数，求a的值.解：对应的复数为z2－z1，则z2－z1=a－1+(a2+2a－1)i－［a2－3+(a+5)i］=(a－a2+2)+(a2+a－6)i∵z2－z1是纯虚数∴ 解得a=－1.2．已知复平面上正方形的三个顶点是A（1，2）、B（－2，1）、C（－1，－2），求它的第四个顶点D对应的复数.解：设D（x,y),则对应的复数为(x+yi)－(1+2i)=(x－1)+(y－2)i对应的复数为：(－1－2i)－(－2+i)=1－3i∵ ∴(x－1)+(y－2)i=1－3i∴,解得∴D点对应的复数为2－i　五、小结 ：复数加法的几何意义：如果复数z1，z2分别对应于向量、，那么，以OP1、OP2为两边作平行四边形OP1SP2，对角线OS表示的向量就是z1+z2的和所对应的向量  复数减法的几何意义：两个复数的差z－z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：￥5.9百度文库VIP限时优惠现在开通,立享6亿+VIP内容立即获取复数与平面向量系课 题：研究性学习课题：复数与平面向量的联系教学目的：1. 理解复数与从原点出发的向量的对应关系2. 了解复数加减法运算的几何意义 教学重点：复数与从原点出发的向量的对应关系．教学难点：复数加减法运算的几何意义 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 第 1 页教学过程：一、复习引入：1.若，，则2. 若，，则，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差3. 若，，则一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标第 2 页即　=-=( x2, y2) - (x1,y1)= (x2- x1, y2- y1) 4.复平面、实轴、虚轴：复数z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a，b)是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z=a+bi(a、b∈R)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a，b)惟一确定，如z=3+2i可以由有序实数对(3，2)确定，又如z=－2+i可以由有序实数对(－2，1)来确定；又因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对(3，2)它与平面直角坐标系中的点A，横坐标为3，纵坐标为2，建立了一一对应的关系　由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.第 3 页点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数在复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数2，虚轴上的点(0，－1)表示纯虚数－i，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数5i第 4 页非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(－2，3)表示的复数是－2+3i，z=－5－3i对应的点(－5，－3)在第三象限等等.复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数复平面内的点这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.5.复数的加(减)法 (a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.

不可以比较。因为复数是形如z=a+bi（a,b均为实数）的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。当z的虚部等于零时，常称z为实数；当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包，即任何复系数多项式在复数域中总有根。向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。与向量对应的量叫做数量（物理学中称标量），数量（或标量）只有大小，没有方向。相关介绍在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为一组基底。a为平面直角坐标系内的任意向量，以坐标原点O为起点P为终点作向量a。由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数（x,y），使得a=xi+yj，因此把实数对(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)。这就是向量a的坐标表示。其中(x,y)就是点P的坐标。向量a称为点P的位置向量。

不是，如矩阵A=[2 3][2 1]，它的特征值为-1、4，对应的特征向量为（-1，1）^T，（3，2）^T，显然这两个向量是不正交的但是一般的，对于任意矩阵，不同特征值对应的特征向量必然线性无关；特别地，对于实对称矩阵，不同特征值对应的特征向量必然正交。·每一个线性空间都有一个基。·对一个 n 行 n 列的非零矩阵 A，如果存在一个矩阵 B 使 AB = BA =E（E是单位矩阵），则 A 为非奇异矩阵（或称可逆矩阵），B为A的逆阵。·矩阵非奇异（可逆）当且仅当它的行列式不为零。·矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。·矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。·矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。·解线性方程组的克拉默法则。·判断线性方程组有无非零实根的增广矩阵和系数矩阵的关系。扩展资料：A的一个特征值λ的代数重次是λ作为A的特征多项式的零点的次数；换句话说，若λ是一个该多项式的根，它是因子(t − λ)在特征多项式中在因式分解后中出现的次数。一个n×n矩阵有n个特征值，如果将代数重次计算在内的话，因为其特征多项式次数为n。一个代数重次1的特征值为“单特征值”。在关于矩阵理论的条目中，可能会遇到如下的命题："一个矩阵A的特征值为4，4，3，3，3，2，2，1"表示4的代数重次为二，3的是三，2的是二，而1的是1。这样的风格因为代数重次对于矩阵理论中的很多数学证明很重要而被大量使用。所谓“线性”，指的就是如下的数学关系：  。其中，f叫线性算子或线性映射。所谓“代数”，指的就是用符号代替元素和运算，也就是说：我们不关心上面的x，y是实数还是函数，也不关心f是多项式还是微分，我们统一把他们都抽象成一个记号，或是一类矩阵。合在一起，线性代数研究的就是：满足线性关系  的线性算子f都有哪几类，以及他们分别都有什么性质。参考资料：百度百科——线性代数

矩阵的研究历史悠久，拉丁方阵和幻方在史前年代已有人研究。作为解决线性方程的工具，矩阵也有不短的历史。成书最迟在东汉前期的《九章算术》中，用分离系数法表示线性方程组，得到了其增广矩阵。在消元过程中，使用的把某行乘以某一非零实数、从某行中减去另一行等运算技巧，相当于矩阵的初等变换。但那时并没有现今理解的矩阵概念，虽然它与现有的矩阵形式上相同，但在当时只是作为线性方程组的标准表示与处理方式。矩阵正式作为数学中的研究对象出现，则是在行列式的研究发展起来后。逻辑上，矩阵的概念先于行列式，但在实际的历史上则恰好相反。日本数学家关孝和（1683年）与微积分的发现者之一戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（1693年）近乎同时地独立建立了行列式论。其后行列式作为解线性方程组的工具逐步发展。1750年，加布里尔·克拉默发现了克莱姆法则。[1]矩阵的现代概念在19世纪逐渐形成。1800年代，高斯和威廉·若尔当建立了高斯—若尔当消去法。1844年，德国数学家费迪南·艾森斯坦（F.Eisenstein）讨论了“变换”（矩阵）及其乘积。1850年，英国数学家詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特（James Joseph Sylvester）首先使用矩阵一词。[2]英国数学家凯利被公认为矩阵论的奠基人。他开始将矩阵作为独立的数学对象研究时，许多与矩阵有关的性质已经在行列式的研究中被发现了，这也使得凯利认为矩阵的引进是十分自然的。他说：“我决然不是通过四元数而获得矩阵概念的；它或是直接从行列式的概念而来，或是作为一个表达线性方程组的方便方法而来的。”他从1858年开始，发表了《矩阵论的研究报告》等一系列关于矩阵的专门论文，研究了矩阵的运算律、矩阵的逆以及转置和特征多项式方程。凯利还提出了凯莱-哈密尔顿定理，并验证了3×3矩阵的情况，又说进一步的证明是不必要的。哈密尔顿证明了4×4矩阵的情况，而一般情况下的证明是德国数学家弗罗贝尼乌斯（F.G.Frohenius）于1898年给出的。[1]1854年时法国数学家埃尔米特（C.Hermite）使用了“正交矩阵”这一术语，但他的正式定义直到1878年才由费罗贝尼乌斯发表。1879年，费罗贝尼乌斯引入矩阵秩的概念。至此，矩阵的体系基本上建立起来了。无限维矩阵的研究始于1884年。庞加莱在两篇不严谨地使用了无限维矩阵和行列式理论的文章后开始了对这一方面的专门研究。1906年，希尔伯特引入无限二次型（相当于无限维矩阵）对积分方程进行研究，极大地促进了无限维矩阵的研究。在此基础上，施密茨、赫林格和特普利茨发展出算子理论，而无限维矩阵成为了研究函数空间算子的有力工具。[3]矩阵的概念最早在1922年见于中文。1922年，程廷熙在一篇介绍文章中将矩阵译为“纵横阵”。1925年，科学名词审查会算学名词审查组在《科学》第十卷第四期刊登的审定名词表中，矩阵被翻译为“矩阵式”，方块矩阵翻译为“方阵式”，而各类矩阵如“正交矩阵”、“伴随矩阵”中的“矩阵”则被翻译为“方阵”。1935年，中国数学会审查后，中华民国教育部审定的《数学名词》（并“通令全国各院校一律遵用，以昭划一”）中，“矩阵”作为译名首次出现。1938年，曹惠群在接受科学名词审查会委托就数学名词加以校订的《算学名词汇编》中，认为应当的译名是“长方阵”。中华人民共和国成立后编订的《数学名词》中，则将译名定为“（矩）阵”。1993年，中国自然科学名词审定委员会公布的《数学名词》中，“矩阵”被定为正式译名，并沿用至今。

■ 举例: A为(3×3)矩阵，故有3个特征值。对λ1(单根) → 求出特征向量p1；对λ2＝λ3(二重根)，设代数重数2﹥几何重数1，∴特征向量矩阵有一列0向量，由此判定该特征向量矩阵不可逆，矩阵相似变换等式(P逆)AP＝Λ不成立，A不可能化简为对角阵Λ。我们退一步而求其次，A不能化简为对角阵，但可求出简单程度仅次于Λ的Jordan矩阵。现求特征向量p2及广义特征向量ξ3，令相似变换矩阵 G＝( p1、p2、ξ3 ) 。于是有 (G逆).A.G＝J ( J是Jordan矩阵 )。一般将对角阵Λ视为若当阵J之特例。这些知识在《线性系统理论》求解电路一阶线性微分方程组有实际应用。■ 广义特征向量怎么求？答: ①求对应λ2(＝λ3)齐次方程组通解 ，设通解 (即特征向量) 为p2。②将特征向量视为常数项写入原方程组，求非齐次方程组之解，现令解为ξ3，ξ3 即所谓广义特征向量。MMA求解方法: 写出增广矩阵，用RowReduce命令化为行最简形，化简后常数项即变为方程组之解 ξ3。

方法一：实对称矩阵不同特征值对应的特征向量相互正交，由此可得第三个特征值对应的特征向量，进一步可得到第三个特征值。方法二：实对称矩阵所有特征值的和等于矩阵对角线上元素的代数和，所有特征值的积等于矩阵的行列式的值。据此可得第三个特征值。

用分部积分的形式带入。这个理论在数学上合理，但形式很复杂，并会导出很难求解的高阶场方程。理论中关键的数学要素，包括拉格朗日量和曲率张量，被外尔和其同事解出。其后外尔向爱因斯坦等其他物理学家广泛讨论了这个理论在物理上的正确性，但最终这个理论被证明是在物理上不合理的。尽管如此，外尔所用到的规范不变性原理，在其形式被修正后应用到了量子场论中。为了能够将电磁理论纳入广义相对论的几何学中，赫尔曼·外尔对广义相对论所依赖的黎曼几何进行了推广：他建立了一种更广义的无穷小几何。他注意到在一个流形上的连接两个点的路径上除了度规场外还可以存在额外的自由度。他通过用规范场的语言引入一种能够比较这类路径上局部尺度的基本方法，试图籍此来推广黎曼几何。这种几何学作为黎曼几何的推广，还在度规场的基础上引入了一个矢量场，两者结合可以生成电磁场和引力场。

搜一下：求埃尔米特（Hermitian）矩阵的特征值和特征向量的C语言程序

1、先计算任意两点的向量，如向量AB。2、再计算任意两点的向量（要与之前的向量不一样），如向量AC。3、判断是否存在AB=λAC，(λ为任意非0实数)，若关系式成立，则A、B、C三点共线。

三点共线向量公式：(x2-x1)(y3-y1)=(x3-x1)(y2-y1)。三点共线指的是三点在同一条直线上。可以设三点为A、B、C，利用向量证明：λAB=AC（其中λ为非零实数）。三点共线证明方法：方法一：取两点确立一条直线，计算该直线的解析式.代入第三点坐标看是否满足该解析式（直线与方程）。方法二：设三点为A、B、C，利用向量证明：λAB=AC（其中λ为非零实数）。方法三：利用点差法求出AB斜率和AC斜率，相等即三点共线。方法四：用梅涅劳斯定理。

三点共线是指三点在同一条直线上，三点共线向量公式是：(x2-x1)(y3-y1)=(x3-x1)(y2-y1)。 扩展资料 三点共线是指三点在同一条直线上，三点共线向量公式是：(x2-x1)(y3-y1)=(x3-x1)(y2-y1)，而证明三点共线的方法是取两点确立一条直线，计算该直线的解析式，代入第三点坐标看是否满足该解析式（直线与方程）。

A.B.C三点 用向量表示出AB.BC 然后证明AB=入BC

　　比如已经有三个点A,B,C和它们的坐标,就可以就出向量AB=(a,b),BC=(c,d)如果有AB=kBC,k为任意非零实数,则可知A,B,C三点共线其实也就是证明了线段AB和BC平行,又有公共点,肯定三点共线。　　几何向量的概念在线性代数中经由抽象化，得到更一般的向量概念。此处向量定义为向量空间的元素，要注意这些抽象意义上的向量不一定以数对表示，大小和方向的概念亦不一定适用。因此，平日阅读时需按照语境来区分文中所说的"向量"是哪一种概念。不过，依然可以找出一个向量空间的基来设置坐标系，也可以透过选取恰当的定义，在向量空间上介定范数和内积，这允许我们把抽象意义上的向量类比为具体的几何向量。

[[[注:以下两个有序的大写字母,均表示向量.]]证明:由向量加法的三角形法则,可得bc=ac-abad=ac+cd结合题设:ad=xab+(1-x)ac可得ac+cd=ad=ac-x(ac-ab)=ac-xbc∴ac+cd=ac-xbc∴cd=-xbc=xcb∴cd=xcb由向量共线条件可知两个向量cd,cb共线∴三点bcd共线

1、先计算任意两点的向量，如向量AB。2、再计算任意两点的向量（要与之前的向量不一样），如向量AC。3、判断是否存在AB=λAC，(λ为任意非0实数)，若关系式成立，则A、B、C三点共线。

用三阶行列式：a1 b1 1a2 b2 1 =0a3 b3 1

在向量中托勒密定理还适用吗？你好，很高兴接到你的回答，在向量中托勒密定理不适用

用初中相似三角形知识很容易证,没有必要用到向量.向量一般是证垂直之类问题.有个挺有用的公式：(AB,CD)+(BC,AD)+(CA,BD)=0（这里ABCD之类都是向量，(AB,CD)是ABCD点乘或者说是内积）证明比较简单，用些什么AC=AB+BC之类的东西捣一捣就完了。用这个来证平面的托米勒定理就不难了，由于(AB,CD)=|AB||CD|cos(AB,CD)用四点共圆的条件就可以把那些cos去掉（注意符号），就得到了题目的结论。广义托勒密定理:凸四边形ABCD的两组对边乘积的和大于等于它的两条对角线的乘积.在四边形ABCD中,连接AC,作角ABE=角ACD,角BAE=角CAD则三角形ABE和三角形ACD相似所以BE/CD=AB/AC,即BE*AC=AB*CD(1)又有比例式AB/AC=AE/AD而角BAC=角DAE所以三角形ABC和三角形AED相似.BC/ED=AC/AD即ED*AC=BC*AD(2)(1)+(2),得AC(BE+ED)=AB*CE+AD*BC又因为BE+ED>=BD所以命题得证当且仅当E点落在线段BD上时,等号成立,此时ABCD内接于圆.

我懂的留名

空间自由向量只区分向量的长度和方向，不区分起点位置，所以空间自由向量可以用以原点为起点的向量来代表，其坐标表示就是以原点为起点的向量的终点的坐标.比如，我们以有序实数组(1,2,3)表示3维欧几里德空间中的一个点P；P也相当於以原点O为起点P为终点的向量OP，我们用它来代表所有和OP等长且同方向的空间向量，这样的空间自由向量的坐标也是(1,2,3).点的坐标和自由向量的坐标没有区别.不过向量有方向、长度的概念，以及平行、垂直的概念和内积运算，把它们理解成有向线段就比较直观，但把它们认为是3维欧几里德空间中的点的性质也是完全没有问题的.

在一般的向量空间上定义内积后就成了内积空间，特别，对实数域R上的向量空间定义内积称为欧氏空间。欧氏空间是特殊的内积空间，当然也是向量空间。向量空间上不一定有内积。

两向量夹角的余弦公式：cos=ab/|a|*|b|，余弦是三角函数的一种。在Rt△ABC（直角三角形）中，∠C=90°，∠A的余弦是它的邻边比三角形的斜边，即cosA=b/c，也可写为cosa=AC/AB。余弦函数：f(x)=cosx（x∈R）。三角形任一边的平方等于其他两边平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。相关信息：实数λ和向量a的叉乘乘积是一个向量，记作λa，且|λa|=|λ|*|a|。当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa=0，方向任意。当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。当 |λ| >1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ>0）或反方向（λ<0）上伸长为原来的|λ|倍当|λ|<1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ>0）或反方向（λ<0）上缩短为原来的 |λ|倍。

向量a乘向量b等于：(x1*x2,y1*y2)。公式是：向量a乘以向量b=（向量a得模长）乘以（向量b的模长）乘以cosα[α为2个向量的夹角]；向量a（x1,y1）向量b(x2,y2)，向量a乘以向量b=(x1*x2,y1*y2)。印刷体记作黑体（粗体）的字母（如a、b、u、v），书写时在字母顶上加一小箭头“→”。如果给定向量的起点（A）和终点（B），可将向量记作AB（并于顶上加→）。在空间直角坐标系中，也能把向量以数对形式表示，例如xOy平面中(2，3)是一向量。性质：1、向量的模的运算没有专门的法则，一般都是通过余弦定理计算两个向量的和、差的模。2、多个向量的合成用正交分解法，如果要求模一般需要先算出合成后的向量。3、模是绝对值在二维和三维空间的推广，可以认为就是向量的长度。推广到高维空间中称为范数。

向量a乘以向量b=（向量a得模长）乘以（向量b的模长）乘以cosα［α为2个向量的夹角］。向量a（x1,y1）向量b(x2,y2)，向量a乘以向量b=(x1*x2,y1*y2)。向量的乘积公式：向量a=(x1,y1),向量b=(x2,y2)。a·b=x1x2+y1y2=|a||b|cosθ（θ是a,b夹角）。PS:向量之间不叫＂乘积＂，而叫数量积。如a·b叫做a与b的数量积或a点乘b。发展历史：向量，最初被应用于物理学。很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量。大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到。“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段。最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿。

两个法向量相乘会等于方向向量。 两个向量相乘后的方向向量叫向量积,它的大小等于这两个向量的绝对值与它们夹角正弦的乘积,方向由右手定则确定。

向量(a,b)乘以向量(c,d)=ac+bd

一样满足矩阵的乘法，例如

实话实说，我也不知道。

向量a乘以向量b=（向量a得模长）乘以（向量b的模长）乘以cosα[α为2个向量的夹角]；向量a（x1,y1）向量b(x2,y2)，向量a乘以向量b=(x1*x2,y1*y2)。印刷体记作黑体（粗体）的字母（如a、b、u、v），书写时在字母顶上加一小箭头“→”。如果给定向量的起点（A）和终点（B），可将向量记作AB（并于顶上加→）。在空间直角坐标系中，也能把向量以数对形式表示，例如xOy平面中(2,3)是一向量。扩展资料：点乘向量A=(x1,y1)向量B=(x2,y2)向量A·向量B=|向量A||向量B|cosu=x1x2+y1y2=数值u为向量A、向量B之间夹角。叉乘向量A×向量B=（x1y2i，x2y2j）=向量

向量的乘法有2种一种是向量的数量积,另一种是向量的向量积. 向量积 也被称为矢量积、叉积（即交叉乘积）、外积,是一种在向量空间中向量的二元运算.与点积不同,它的运算结果是一个伪向量而不是一个标量.并且两个向量的叉积与这两个向量都垂直. 定义:两个向量a和b的叉积写作a×b（有时也被写成a∧b,避免和字母x混淆）.叉积可以被定义为：在这里θ表示和之间的角度（0° ≤ θ ≤ 180°）,它位于这两个矢量所定义的平面上.而n是一个与和均垂直的单位矢量. 向量由向量空间的方向确定,即按照给定直角坐标系 (i, j, k) 的左右手定则.若 (i, j, k) 满足右手定则,则 (a, b, a × b) 也满足右手定则；或者两者同时满足左手定则. 几何意义:叉积的长度 |a × b| 可以解释成以 a 和 b 为边的平行四边形的面积.进一步就是说,三重积可以得到以 a,b,c 为边的平行六面体的体积. 向量的数量积 已知两个非零向量a、b,那么|a||b|cos θ叫做a与b的数量积或内积,点积.记作a?b,θ是a与b的夹角（0° ≤ θ ≤ 180°）,|a|cos θ（|b|cos θ）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影.零向量与任意向量的数量积为0. a?b的几何意义：数量积a?b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积. 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.

　C=aXb|向量c|=|向量a×向量b|=|a||b|sin<a,b>　　向量c的方向与a,b所在的平面垂直，且方向要用“右手法则”判断（用右手的四指先表示向量a的方向，然后手指朝着手心的方向摆动到向量b的方向，大拇指所指的方向就是向量c的方向）。

都不可以

(a1,a2,b1,b2)=1 1 2 01 0 -1 10 1 3 -10 1 3 -1r1-r20 1 3 -11 0 -1 10 1 3 -10 1 3 -1r3-r1,r4-r10 1 3 -11 0 -1 10 0 0 00 0 0 0所以 r(a1,a2) = r(a1,a2,b1,b2) = 2而显然有 r(b1,b2)=2所以有 r(a1,a2) = r(a1,a2,b1,b2) = r(b1,b2)所以两个向量组等价.

向量组A与A，B等价实际上就是r(A)=r(A,B)这样来想吧，基本的非齐次方程Ax=b就是要r(A)=r(A,b)才有解现在就把B看作是多个向量b向量组b1，b2，…，bs可由向量组a1，a2，…，as线性表示即对应的每一个b，都满足r(A)=r(A,b)合并在一起就是r(A)=r(A,B)，即向量组A与向量组A,B等价才行

这句话是错的，是两个等价的线性无关的向量组所含向量个数才相同。向量组等价的基本判定是：两个向量组可以互相线性表示。需要重点强调的是：等价的向量组的秩相等，但是秩相等的向量组不一定等价。向量组A：a1，a2，…am与向量组B：b1，b2，…bn的等价秩相等条件是：R（A）=R（B）=R（A，B），其中A和B是向量组A和B所构成的矩阵。扩展资料：注意事项1、等价向量组具有传递性、对称性及反身性。但向量个数可以不一样，线性相关性也可以不一样。2、任一向量组和它的极大无关组等价。3、向量组的任意两个极大无关组等价。4、两个等价的线性无关的向量组所含向量的个数相同。5、等价的向量组具有相同的秩，但秩相同的向量组不一定等价。6、如果向量组A可由向量组B线性表示，且R（A）=R（B），则A与B等价。

等价的向量组秩一定相等。等价的向量组具有相同的秩，但是秩相同的向量组不一定等价。设有n维向量组Ⅰ和n维向量组Ⅱ。如果Ⅰ中任一向量都可由Ⅱ中向量线性表示，反之Ⅱ中任一向量都可由Ⅰ中向量线性表示，那么则称向量组Ⅰ与Ⅱ等价。一个向量组的极大线性无关组所包含的向量的个数，称为向量组的秩。向量组A与向量组B的等价秩相等条件是R（A）=R（B）=R（A，B），其中A和B是向量组A和B所构成的矩阵。扩展资料：向量组等价的基本判定是：两个向量组可以互相线性表示。等价向量组的性质：1、等价向量组具有传递性、对称性及反身性。但向量个数可以不一样，线性相关性也可以不一样。2、任一向量组和它的极大无关组等价。3、向量组的任意两个极大无关组等价。4、两个等价的线性无关的向量组所含向量的个数相同。5、等价的向量组具有相同的秩，但秩相同的向量组不一定等价。6、如果向量组A可由向量组B线性表示，且R（A）=R（B），则A与B等价。参考资料来源：百度百科-等价向量组

先证明这两个向量组都是线性无关的（可以求秩，或用行列式）ai, b1, b2, b3是4个3维向量，一定线性相关，而b1, b2, b3线性无关，故ai可由b1, b2, b3线性表示。 i=1,2,3同样可证bj可由a1, a2, a3线性表示，j=1,2,3两个向量组能互相线性表示，就是等价。

线性无关

在中学数学里学的向量是2、3维欧氏赋范空间R^2、R^3的点中学物理中用向量来描述力、速度、动量在线性代数里的向量则是一个抽象概念是具有线性结构的空间中的元素只要符合定义的对象都称为向量

向量A乘以向量B 的结果有以下三种：1、向量a 乘以 向量b = （向量a得模长） 乘以 （向量b的模长） 乘以 cosα [α为2个向量的夹角]2、向量a（x1,y1） 向量b(x2，y2)3、向量a 乘以 向量b =(x1*x2，y1*y2)注意：所有的乘法运算均为点乘。扩展资料三角形定则解决向量加法的方法：将各个向量依次首尾顺次相接，结果为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点。平行四边形定则平行四边形定则解决向量加法的方法：将两个向量平移至公共起点，以向量的两条边作平行四边形，结果为公共起点的对角线。平行四边形定则解决向量减法的方法：将两个向量平移至公共起点，以向量的两条边作平行四边形，结果由减向量的终点指向被减向量的终点。

向量a与向量b的乘积公式是：a·b=x1x2+y1y2=|a||b|cosθ。分析如下：向量a=(x1,y1)，向量b=(x2,y2)。a·b=x1x2+y1y2=|a||b|cosθ(θ是a，b夹角)。向量之间不叫"乘积"，而叫数量积，如a·b叫做a与b的数量积或a点乘b。双重向量积：给定空间的三个向量a，b，c，如果先做其中两个向量a，b的向量积a×b，再做所得向量与第三向量的向量积，那么最后的结果仍然是一个向量。性质：(a×b)×c=(a·c)·b-(b·c)·aa×(b×c)=-(b×c)×a=(a·c)·b-(a·b)·c

向量a乘以向量b=（向量a得模长）乘以（向量b的模长）乘以cosα[α为2个向量的夹角]；向量a（x1,y1）向量b(x2,y2)，向量a乘以向量b=(x1*x2,y1*y2)。印刷体记作黑体（粗体）的字母（如a、b、u、v），书写时在字母顶上加一小箭头“→”。如果给定向量的起点（A）和终点（B），可将向量记作AB（并于顶上加→）。在空间直角坐标系中，也能把向量以数对形式表示，例如xOy平面中(2,3)是一向量。点乘向量A=(x1,y1)。向量B=(x2,y2)。向量A·向量B=|向量A||向量B|cosu=x1x2+y1y2=数值。u为向量A、向量B之间夹角。叉乘。向量A×向量B=（x1y2i，x2y2j）=向量。

向量相乘分内积和外积 内积 ab=丨a丨丨b丨cosα （内积无方向 叫点乘） 外积 a×b=丨a丨丨b丨sinα （外积有方向 叫×乘）那个读差 即差乘 方便表达所以用差,别理解错误 另外 外积可以表示以a、b为边的平行四边形的面积 ＝两向量的模的乘积×cos夹角 ...

对前一回答者的一点点个人看法及补充：点乘应等于第一个向量在另一个向量上分量的大小。

向量的乘积公式是：|c|=|a×b|=|a||b|sin<a，b>。即c的长度在数值上等于以a，b，夹角为θ组成的平行四边形的面积。而c的方向垂直于a与b所决定的平面，c的指向按右手定则从a转向b来确定。*运算结果c是一个伪向量。这是因为在不同的坐标系中c可能不同。扩展资料：一、几何意义及其运用叉积的长度|a×b|可以解释成这两个叉乘向量a，b共起点时，所构成平行四边形的面积。据此有：混合积[abc]=（a×b）·c可以得到以a，b，c为棱的平行六面体的体积。二、代数规则1、反交换律：a×b=-b×a2、加法的分配律：a×（b+c）=a×b+a×c。3、与标量乘法兼容：（ra）×b=a×（rb）=r（a×b）。4、不满足结合律，但满足雅可比恒等式：a×（b×c）+b×（c×a）+c×（a×b）=0。5、分配律，线性性和雅可比恒等式别表明：具有向量加法和叉积的R3构成了一个李代数。6、两个非零向量a和b平行，当且仅当a×b=0。

向量乘积的公式是a·b=|a||b|cosθ。在数学中，向量指具有大小和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指代表向量的方向，线段长度代表向量的大小。在物理学和工程学中，几何向量更常被称为矢量。许多物理量都是矢量，比如一个物体的位移，球撞向墙而对其施加的力等等。与之相对的是标量，即只有大小而没有方向的量。一些与向量有关的定义亦与物理概念有密切的联系，例如向量势对应于物理中的势能。

两个向量的绝不值及他们之间夹角的乘积

一般是先定义矩阵的等价。两个矩阵等价是指，一个矩阵经过初等变换能够变成另外一个矩阵（还可以细分为行等价（只用初等行变换）和列等价（只用初等列变换））。 因为向量组可以组成矩阵，反过来矩阵又存在行向量组和列向量组，所以可以利用矩阵的等价来定义向量组的等价（只要把两个向量组都做成矩阵即可）。一般定义向量组的等价，是用另外一个说法，就是“相互线性表示”。 向量组A：a1，a2，...，am与向量组B：b1，b2，...，bk等价： 向量组A中的每一个向量都可以由向量组B线性表示；向量组B中的每一个向量也可由向量组A线性表示。 一般不讨论两个向量的等价，如果按照定义来理解的话，就是两个向量的元素对应成比例。

两个向量组等价就是能互相线性表示。向量组等价有相同的秩。A = (α1, α2, α3 ) =[1 1 1][1 2 3][1 3 6]行初等变换为[1 1 1][0 1 2][0 2 5]行初等变换为[1 1 1][0 1 2][0 0 1]r(α1, α2, α3)=3.B = (β1, β2, β3 ) =[1 a 3][2 2 4][-3 1 2]行初等变换为[2 2 4][-3 1 2][1 a 3]行初等变换为[1 1 2][0 4 8][0 a-1 1]行初等变换为[1 1 2][0 1 2][0 0 3-2a]r(β1, β2, β3 )=3, 则 a≠3/2。

两个向量组可以互相线性表出，即是第一个向量组中的每个向量都能表示成第二个向量组的向量的线性组合，且第二个向量组中的每个向量都能表示成第一二个向量组的向量的线性组合。向量组等价，是两向量组中的各向量，都可以用另一个向量组中的向量线性表示。矩阵等价，是存在可逆变换（行变换或列变换，对应于1个可逆矩阵），使得一个矩阵之间可以相互转化。如果是行变换，相当于两矩阵的列向量组是等价的。如果是列变换，相当于两矩阵的行向量组是等价的。扩展资料：1、等价向量组具有传递性、对称性及反身性。但向量个数可以不一样，线性相关性也可以不一样。2、任一向量组和它的极大无关组等价。3、向量组的任意两个极大无关组等价。4、两个等价的线性无关的向量组所含向量的个数相同。5、等价的向量组具有相同的秩，但秩相同的向量组不一定等价。参考资料来源:百度百科-等价向量组

两个向量组等价的充分必要条件是 R(A)=r(A,B)=r(B) 解: 显然 r(A)=r(B)=2 (a1,a2,b1,b2) = 1 4 -1 2 2 -1 3 -1 1 -5 4 -3 3 -6 7 -4 r4-r2-r3 1 4 -1 2 2 -1 3 -1 1 -5 4 -3 0 0 0 0 r2-r1-r2 1 4 -1 2 0 0 0 0 1 -5 4 -3 0 0 0 0 r3-r1 1 4 -1 2 0 0 0 0 0 -9 5 -5 0 0 0 0 r2r3 1 4 -1 2 0 -9 5 -5 0 0 0 0 0 0 0 0 所以 r(A,B) = 2 = r(A) = r(B). 所以向量组A,B等价.

向量组等价行列式相等。向量组等价和由向量组构成的矩阵等价是两回事。向量组等价：两个向量组可以相互线性表示。矩阵等价：两个矩阵形式相同，且秩相等。所以这是两回事，不能由一个推出另一个。注：1、等价向量组具有传递性、对称性及反身性。但向量个数可以不一样，线性相关性也可以不一样。2、任一向量组和它的极大无关组等价。3、向量组的任意两个极大无关组等价。4、两个等价的线性无关的向量组所含向量的个数相同。5、等价的向量组具有相同的秩，但秩相同的向量组不一定等价。

向量组等价，是两向量组中的各向量，都可以用另一个向量组中的向量线性表示。矩阵等价，是存在可逆变换（行变换或列变换，对应于1个可逆矩阵），使得一个矩阵之间可以相互转化。如果是行变换，相当于两矩阵的列向量组是等价的。如果是列变换，相当于两矩阵的行向量组是等价的。由于矩阵的行秩，与列秩相等，就是矩阵的秩，在行列数都相等的情况下，两矩阵等价实际上就是秩相等，反过来，在这种行列数都相等情况下，秩相等，就说明两矩阵等价。这与向量组等价略有区别：向量组等价，则两向量组的秩（极大线性无关组中向量个数）相等，但反过来不一定成立，即两向量组的秩相等，不一定能满足两向量组可以相互线性表示。举个简单例子：向量组 A: (1,0,0)，(0,1,0) B:（0,0,1），(0,1,0) 两者秩都是2，但不能相互线性表示，因此不是等价的。、而矩阵： A: 1 0 0 0 1 0 B: 0 0 1 0 1 0 却是等价的

两个向量组可以互相线性表出，即是第一个向量组中的每个向量都能表示成第二个向量组的向量的线性组合，且第二个向量组中的每个向量都能表示成第一二个向量组的向量的线性组合。向量组等价的基本判定是：两个向量组可以互相线性表示。需要重点强调的是：等价的向量组的秩相等，但是秩相等的向量组不一定等价。向量组A：a1，a2，…am与向量组B：b1，b2，…bn的等价秩相等条件是R（A）=R（B）=R（A，B），其中A和B是向量组A和B所构成的矩阵扩展资料：向量组A：a1，a2，…am与向量组B：b1，b2，…bn的等价秩相等条件是R（A）=R（B）=R（A，B），其中A和B是向量组A和B所构成的矩阵。（注意区分粗体字与普通字母所表示的不同意义）或者说：两个向量组可以互相线性表示，则称这两个向量组等价。注：1、等价向量组具有传递性、对称性及反身性。但向量个数可以不一样，线性相关性也可以不一样。2、任一向量组和它的极大无关组等价。3、向量组的任意两个极大无关组等价。4、两个等价的线性无关的向量组所含向量的个数相同。5、等价的向量组具有相同的秩，但秩相同的向量组不一定等价。

向量组等价的基本判定是：两个向量组可以互相线性表示。需要重点强调的是：等价的向量组秩相等，但是秩相等的向量组不一定等价。向量组A：a1，a2，?am与向量组B：b1，b2，?bn的等价秩相等条件是R（A）=R（B）=R（A，B），其中A和B是向量组A和B所构成的矩阵扩展资料：性质：1、等价向量组具有传递性、对称性及反身性。但向量个数可以不一样，线性相关性也可以不一样。2、任一向量组和它的极大无关组等价。3、向量组的任意两个极大无关组等价。4、两个等价的线性无关的向量组所含向量的个数相同。5、等价的向量组具有相同的秩，但秩相同的向量组不一定等价。6、如果向量组A可由向量组B线性表示，且R（A）=R（B），则A与B等价。设有两个向量组（Ⅰ）：α1，α2，??，αm；（Ⅱ）：β1，β2，??，βm；如果（Ⅰ）中每个向量都可以由向量组（Ⅱ）线性表示，则称（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表示；如果（Ⅰ）与（Ⅱ）可以相互线性表示，则称（Ⅰ）与（Ⅱ）等价，记为（Ⅰ）≌（Ⅱ）。例如：，若β1=α1+α2，β2=α1-2α2，β3=α1，则向量组（Ⅰ）={α1，α2}与向量组（Ⅱ）={β1，β2，β3}等价。事实上，给定的条件已表明（Ⅱ）可由（Ⅰ）线性表示，又容易得到α1=(2/3)β1+(1/3)β2+0β3，α2=(1/3)β1-(1/3)β2+0β3，这表明（Ⅰ）也可以由（Ⅱ）线性表示，由定义即知（Ⅰ）与（Ⅱ）等价。参考资料：百度百科——等价向量组