向量

从数学发展史来看,历史上很长一段时间,空间的向量结构并未被数学家们所认识,直到19世纪末20世纪初,人们才把空间的性质与向量运算联系起来,使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系． 　　向量能够进入数学并得到发展,首先应从复数的几何表示谈起．18世纪末期,挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数a＋bi,并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算．把坐标平面上的点用向量表示出来,并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题．人们逐步接受了复数,也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量,向量就这样平静地进入了数学． 　　但复数的利用是受限制的,因为它仅能用于表示平面,若有不在同一平面上的力作用于同一物体,则需要寻找所谓三维“复数”以及相应的运算体系．19世纪中期,英国数学家哈密尔顿发明了四元数（包括数量部分和向量部分）,以代表空间的向量．他的工作为向量代数和向量分析的建立奠定了基础．随后,电磁理论的发现者,英国的数学物理学家麦克思韦尔把四元数的数量部分和向量部分分开处理,从而创造了大量的向量分析． 　　三维向量分析的开创,以及同四元数的正式分裂,是英国的居伯斯和海维塞德于19世纪8O年代各自独立完成的．他们提出,一个向量不过是四元数的向量部分,但不独立于任何四元数．他们引进了两种类型的乘法,即数量积和向量积．并把向量代数推广到变向量的向量微积分．从此,向量的方法被引进到分析和解析几何中来,并逐步完善,成为了一套优良的数学工具.

问题意义不明来源（百度百科）向量，最初被应用于物理学．很多物理量如力、速度、位移以及电场强 向量度、磁感应强度等都是向量．大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到．“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段．最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿．从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系．向量能够进入数学并得到发展，首先应从复数的几何表示谈起．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数a+bi（a,b为有理数，且不同时0），并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算．把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题．人们逐步接受了复数，也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样平静地进入了数学．但复数的利用是受限制的，因为它仅能用于表示平面，若有不在同一平面上的力作用于同一物体，则需要寻找所谓三维“复数”以及相应的运算体系．19世纪中期，英国数学家哈密尔顿发明了四元数（包括数量部分和向量部分），以代表空间的向量．他的工作为向量代数和向量分析的建立奠定了基础．随后，电磁理论的发现者，英国的数学物理学家麦克斯韦把四元数的数量部分和向量部分分开处理，从而创造了大量的向量分析．三维向量分析的开创，以及同四元数的正式分裂，是英国的居伯斯和海维塞德于19世纪80年代各自独立完成的．他们提出，一个向量不过是四元数的向量部分，但不独立于任何四元数．他们引进了两种类型的乘法，即数量积和向量积．并把向量代数推广到变向量的向量微积分．从此，向量的方法被引进到分析和解析几何中来，并逐步完善，成为了一套优良的数学工具。 简而言之是对于实际矢量量进行数学研究得来的如果你只是想问位置向量是怎么来的，那就是终点坐标减起点坐标得来的

由三角不等式 ||x|| = || y + (x-y) ||

学会想象

用向量做几何题更爽，无论什么边长都算得出来，完全转化为简单的体力劳动

数量积又称为内积ab=ac+bd叉乘又称外积至少要在3维空间中定义，二维不一定可以算的了。因为叉乘的结果需于两个叉乘的向量垂直，两个平行向量的叉乘等于0

问题不难，回答如下：{β1，β2}与{α1，α2，α3}可以互相线性表示表明这两个向量组是等价的。容易知道rank（β1，β2）≤2，因此rank（α1，α2，α3）≤2，所以α1，α2，α3线性相关。

向量a×向量b,它的积还是一个向量，叫做向量a与向量b的矢性积。三维向量分析的开创，以及同四元数的正式分裂，是英国的居伯斯和海维塞德于19世纪80年代各自独立完成的。他们提出，一个向量不过是四元数的向量部分。但不独立于任何四元数。他们引进了两种类型的乘法，即数量积和向量积。并把向量代数推广到变向量的向量微积分．从此，向量的方法被引进到分析和解析几何中来，并逐步完善，成为了一套优良的数学工具。但复数的利用是受限制的，因为它仅能用于表示平面，若有不在同一平面上的力作用于同一物体，则需要寻找所谓三维“复数”以及相应的运算体系。19世纪中期，英国数学家哈密尔顿发明了四元数（包括数量部分和向量部分），以代表空间的向量。他的工作为向量代数和向量分析的建立奠定了基础．随后，电磁理论的发现者，英国的数学物理学家麦克斯韦把四元数的数量部分和向量部分分开处理，从而创造了大量的向量分析。

如下：比如α=kβ+lγ。(2,1,1)=2(1,0,0)+(0,1,1)。只要这个向量不是基就可以被某一组基线性表示。在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。与向量对应的量叫做数量（物理学中称标量），数量（或标量）只有大小，没有方向。向量的记法：印刷体记作黑体（粗体）的字母（如a、b、u、v），书写时在字母顶上加一小箭头“→”。如果给定向量的起点（A）和终点（B），可将向量记作AB（并于顶上加→）。在空间直角坐标系中，也能把向量以数对形式表示，例如xOy平面中(2,3)是一向量。在物理学和工程学中，几何向量更常被称为矢量。许多物理量都是矢量，比如一个物体的位移，球撞向墙而对其施加的力等等。与之相对的是标量，即只有大小而没有方向的量。一些与向量有关的定义亦与物理概念有密切的联系，例如向量势对应于物理中的势能。几何向量的概念在线性代数中经由抽象化，得到更一般的向量概念。此处向量定义为向量空间的元素，要注意这些抽象意义上的向量不一定以数对表示，大小和方向的概念亦不一定适用。因此，平日阅读时需按照语境来区分文中所说的"向量"是哪一种概念。不过，依然可以找出一个向量空间的基来设置坐标系，也可以透过选取恰当的定义，在向量空间上介定范数和内积，这允许我们把抽象意义上的向量类比为具体的几何向量。从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系。向量能够进入数学并得到发展，首先应从复数的几何表示谈起。18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数a+bi（a,b为有理数，且不同时等于0），并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算。把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题。人们逐步接受了复数，也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样平静地进入了数学中。但复数的利用是受限制的，因为它仅能用于表示平面，若有不在同一平面上的力作用于同一物体，则需要寻找所谓三维“复数”以及相应的运算体系。19世纪中期，英国数学家哈密尔顿发明了四元数（包括数量部分和向量部分），以代表空间的向量。他的工作为向量代数和向量分析的建立奠定了基础．随后，电磁理论的发现者，英国的数学物理学家麦克斯韦把四元数的数量部分和向量部分分开处理，从而创造了大量的向量分析。三维向量分析的开创，以及同四元数的正式分裂，是英国的居伯斯和海维塞德于19世纪80年代各自独立完成的。他们提出，一个向量不过是四元数的向量部分，但不独立于任何四元数。他们引进了两种类型的乘法，即数量积和向量积。并把向量代数推广到变向量的向量微积分。从此，向量的方法被引进到分析和解析几何中来，并逐步完善，成为了一套优良的数学工具。

向量，最初被应用于物理学。很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量。大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到。“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段。最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿。从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系。向量能够进入数学并得到发展，首先应从复数的几何表示谈起。18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数a+bi（a,b为有理数，且不同时等于0），并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算。把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题。人们逐步接受了复数，也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样平静地进入了数学中。但复数的利用是受限制的，因为它仅能用于表示平面，若有不在同一平面上的力作用于同一物体，则需要寻找所谓三维“复数”以及相应的运算体系。19世纪中期，英国数学家哈密尔顿发明了四元数（包括数量部分和向量部分），以代表空间的向量。他的工作为向量代数和向量分析的建立奠定了基础．随后，电磁理论的发现者，英国的数学物理学家麦克斯韦把四元数的数量部分和向量部分分开处理，从而创造了大量的向量分析。三维向量分析的开创，以及同四元数的正式分裂，是英国的居伯斯和海维塞德于19世纪80年代各自独立完成的。他们提出，一个向量不过是四元数的向量部分，但不独立于任何四元数。他们引进了两种类型的乘法，即数量积和向量积。并把向量代数推广到变向量的向量微积分．从此，向量的方法被引进到分析和解析几何中来，并逐步完善，成为了一套优良的数学工具。

分类: 教育/学业/考试 >> 学习帮助 解析: 向量（vector）又称矢量，即既有大小又有方向的量叫做向量。向量是作为力、速度、加速度等量大小而引入 数学的。 矢量与向量是数学上矢量（向量）分析的一种方法或概念，两者是同一概念，只是叫法不同，简单的定义是指既具有大小又具有方向的量。在电气领域主要用于分析交流电量，如电机分析，等，在变频器中的应用即基于电机分析的理论进行变频控制的，称为矢量控制型变频器，实现的方法不是唯一的，但数学模型基本一致。

矢量是物理上的向量是数学上的

向量又称为矢量，最初被应用于物理学．很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量．大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到．“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段．最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿． 课本上讨论的向量是一种带几何性质的量，除零向量外，总可以画出箭头表示方向．但是在高等数学中还有更广泛的向量．例如，把所有实系数多项式的全体看成一个多项式空间，这里的多项式都可看成一个向量．在这种情况下，要找出起点和终点甚至画出箭头表示方向是办不到的．这种空间中的向量比几何中的向量要广泛得多，可以是任意数学对象或物理对象．这样，就可以指导线性代数方法应用到广阔的自然科学领域中去了．因此，向量空间的概念，已成了数学中最基本的概念和线性代数的中心内容，它的理论和方法在自然科学的各领域中得到了广泛的应用．而向量及其线性运算也为“向量空间”这一抽象的概念提供出了一个具体的模型． 从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系． 向量能够进入数学并得到发展，首先应从复数的几何表示谈起．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数a＋bi，并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算．把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题．人们逐步接受了复数，也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样平静地进入了数学． 但复数的利用是受限制的，因为它仅能用于表示平面，若有不在同一平面上的力作用于同一物体，则需要寻找所谓三维“复数”以及相应的运算体系．19世纪中期，英国数学家汉密尔顿发明了四元数（包括数量部分和向量部分），以代表空间的向量．他的工作为向量代数和向量分析的建立奠定了基础．随后，电磁理论的发现者，英国的数学物理学家麦克思韦尔把四元数的数量部分和向量部分分开处理，从而创造了大量的向量分析． http://www.srxww.com/blog/?683/viewspace-1291 其实也就是数量的意义不足以研究这个世界，必须定义一种能够表示方向的量，在空间几何以及别的很多领域中，向量使量不仅具有了大小，而且有了方向，更利于人们研究世界~~

向量又称为矢量，最初被应用于物理学．很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量．大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到．“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段．最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿． 课本上讨论的向量是一种带几何性质的量，除零向量外，总可以画出箭头表示方向．但是在高等数学中还有更广泛的向量．例如，把所有实系数多项式的全体看成一个多项式空间，这里的多项式都可看成一个向量．在这种情况下，要找出起点和终点甚至画出箭头表示方向是办不到的．这种空间中的向量比几何中的向量要广泛得多，可以是任意数学对象或物理对象．这样，就可以指导线性代数方法应用到广阔的自然科学领域中去了．因此，向量空间的概念，已成了数学中最基本的概念和线性代数的中心内容，它的理论和方法在自然科学的各领域中得到了广泛的应用．而向量及其线性运算也为“向量空间”这一抽象的概念提供出了一个具体的模型． 从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系． 向量能够进入数学并得到发展，首先应从复数的几何表示谈起．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数a＋bi，并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算．把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题．人们逐步接受了复数，也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样平静地进入了数学． 但复数的利用是受限制的，因为它仅能用于表示平面，若有不在同一平面上的力作用于同一物体，则需要寻找所谓三维“复数”以及相应的运算体系．19世纪中期，英国数学家汉密尔顿发明了四元数（包括数量部分和向量部分），以代表空间的向量．他的工作为向量代数和向量分析的建立奠定了基础．随后，电磁理论的发现者，英国的数学物理学家麦克思韦尔把四元数的数量部分和向量部分分开处理，从而创造了大量的向量分析． 三维向量分析的开创，以及同四元数的正式分裂，是英国的居伯斯和海维塞德于19世纪8O年代各自独立完成的．他们提出，一个向量不过是四元数的向量部分，但不独立于任何四元数．他们引进了两种类型的乘法，即数量积和向量积．并把向量代数推广到变向量的向量微积分．从此，向量的方法被引进到分析和解析几何中来，并逐步完善，成为了一套优良的数学工具.

郭敦顒回答：看来你对直线方程有较多的了解，所谓直线方程公式公式应是指直线方程的各种表达形式，计有——一般式、点斜式、截距式、两点式等，而向量公式，体现的是向量组合，向量分析，向量计算的表达方式。如果要比较向量公式与直线方程公式，需首先分清你说的直线方程公式是指前面谈到的非向量的表达形式，而向量公式表达的则是向量计算中的向量表达形式。前者是非向量的，后者则是向量的这就是它们之间的根本区别。所谓向量是指有方向性的量，如力；而非向量则不具方向性。在向量分析中，有向量参与其间，往往也有非向量（称为标量）参与其间，在向量中的一些关系若抽去方向的特性外与同类非向量的关系没什么不同，这反映的正是你谈到的它们间“好多看起来好像啊” 。这就是它们这间的共性了。较深刻理解非向量与向量二者的不同与相同点，只有对向量也有了更多的了解之后才能得出。对于一个熟悉另一个不够熟悉，就难说它们之间的异同。当你对向量有更深入地了解后一些问题就会迎刃而解。还需说明的就是在向量空间几何中也有直线方程。

好像是一个概念吧，都有大小和方向，几何里用“向量”这个概念，物理里常说“矢量”，还有标量啊，是只有大小没有方向。

证明：设直线a上非零向量 a ，要证a⊥PA?a⊥OA，即证 a ? AP =0? a ? AO =0．∵a?α， a ? OP =0，∴ a ? AP = a ?（ AO + OP ）= a ? AO + a ? OP = a ? AO ．∴ a ? AP =0? a ? AO =0，即a⊥PA?a⊥OA．

相量法的U和I上要加点，这里不方便，用U和I代替。图中：Z2=jX?（这里看不清，好象是Xc，但是这是不可能的。）(1) I0=I1+I2 =U/Z1+U/Z2 =8-j6 =10∠36.9(2) Z2为何参数？ 答：为电感。 I0-Imax=10-10*√2=-4.14(V)

向量分析是1881--1884年，由美国的吉布斯制定的。其来源为物理学中的矢量分析，是物理影响数学除微积分外的又一鲜明例证。

线性相关. 向量的个数大于向量的维数,则向量组线性相关. 行向量列向量一回事.

矢量与向量是数学上矢量（向量）分析的一种方法或概念,两者是同一概念,只是叫法不同,简单的定义是指既具有大小又具有方向的量. 矢量是我们(大陆)的说法,向量的说法一般是港台地区的文献是用的.意义和布什和布希的意思大致一样.矢量控制主要是一种电机模型解耦的概念. 在电气领域主要用于分析交流电量,如电机分析,等,在变频器中的应用即基于电机分析的理论进行变频控制的,称为矢量控制型变频器,实现的方法不是唯一的,但数学模型基本一致.

(1)直线AB垂直于平面α内的直线l,则AB在α内的射影AB"垂直于直线l。设平面内一直线为L1，e1为其方向向量；斜线为L2，方向向量为e2，e。为e2在面上的射影向量。则e。=e2*cosA。若e1*e。=0则e1*e2=0即L1垂直L2。同理亦可证L1垂直于斜线射影。扩展资料：但复数的利用是受限制的，因为它仅能用于表示平面，若有不在同一平面上的力作用于同一物体，则需要寻找所谓三维“复数”以及相应的运算体系。19世纪中期，英国数学家哈密尔顿发明了四元数（包括数量部分和向量部分），以代表空间的向量。他的工作为向量代数和向量分析的建立奠定了基础．随后，电磁理论的发现者，英国的数学物理学家麦克斯韦把四元数的数量部分和向量部分分开处理，从而创造了大量的向量分析。三维向量分析的开创，以及同四元数的正式分裂，是英国的居伯斯和海维塞德于19世纪80年代各自独立完成的。他们提出，一个向量不过是四元数的向量部分，但不独立于任何四元数。他们引进了两种类型的乘法，即数量积和向量积。并把向量代数推广到变向量的向量微积分．从此，向量的方法被引进到分析和解析几何中来，并逐步完善，成为了一套优良的数学工具。参考资料来源：百度百科-向量

向量或者矢量运算，在时域分析还是频域分析中都有应用，因此你看到的说法都没有错；在频域分析中更多的涉及到复数运算；

dd

所以可以用向量来表示正弦交流电，画图时一般都是以x轴（看做初相位为0的矢量）为参考轴，然后按逆时针方向旋转来做出电流或者电压的向量。表示他的方向

郭敦顒回答：看来你对直线方程有较多的了解，所谓直线方程公式公式应是指直线方程的各种表达形式，计有——一般式、点斜式、截距式、两点式等，而向量公式，体现的是向量组合，向量分析，向量计算的表达方式。如果要比较向量公式与直线方程公式，需首先分清你说的直线方程公式是指前面谈到的非向量的表达形式，而向量公式表达的则是向量计算中的向量表达形式。前者是非向量的，后者则是向量的这就是它们之间的根本区别。所谓向量是指有方向性的量，如力；而非向量则不具方向性。在向量分析中，有向量参与其间，往往也有非向量（称为标量）参与其间，在向量中的一些关系若抽去方向的特性外与同类非向量的关系没什么不同，这反映的正是你谈到的它们间“好多看起来好像啊” 。这就是它们这间的共性了。较深刻理解非向量与向量二者的不同与相同点，只有对向量也有了更多的了解之后才能得出。对于一个熟悉另一个不够熟悉，就难说它们之间的异同。当你对向量有更深入地了解后一些问题就会迎刃而解。还需说明的就是在向量空间几何中也有直线方程。

1、三相对称负载三角形联接时,以 A 相为例：【 A 相的线电流】是流经 AB、与 CA 的电流之和,从矢量看,它的方向与 A0 相重合.因此,严格地说, A 相的线电流是等于（整个负载的）A 相电流的,它们的相位就应该是一致的.2、【对于负载来说】,A 相负载的电流方向是 AB （请看附图）,是A 相一个负载的电流,而线电流是 AB 相与 CA 相两个负载电流之和.由于等边三角形的顶角为 60 度,所以 AB （相电流）超前 A0 （相电流）30 度.

e 是单位向量,因此 |e| = 1 ,而 a 与 e 方向相同,长度为 6 ,所以 a = 6*e .

γ = x1 α1 + x2 α2 = y1 β1 + y2 β2移项后：x1 α1 + x2 α2 - y1 β1 - y2 β2 = 0因为 α1、α2、β1、β2 为3维向量，最多有3个线性无关，所以它们4个线性相关。所以，能找到不全为0的 x1、x2、-y1、-y2 使得上式为0不妨设 x1 不为0由于 α1、α2 线性无关，所以 γ = x1 α1 + x2 α2 ≠ 0具体到：α1 = [1,0,2]^Tα2 = [2,-1,3]^Tβ1 = [-3,2,-5]^Tβ2 = [0,1,1]^T设3*4的矩阵：A = [α1 α2 β1 β2]，我们求解 AX = 0，得到 X = k [-2,1,0,1]^T也就是：k (-2 α1 + α2 + β2) = 0所以：γ = k (-2 α1 + α2) = k (-β2) = k [0, -1, -1]^T其中 k 为任意实数。

“向量”知识的重点突出是本次高中教材改革的重要内容之一.那么,新的数学教材在编写过程中是如何在新课程标准的指导下,来理解“向量”内容的?在高中数学教材中加入“向量”内容会对整个高中数学教育产生哪些具体的现实意义和深远影响?在运用新教材进行教学时,针对与“向量”有关的章节,还有哪些需要注意和完善的?这些问题的思考引发了我对向量知识教学的现状进行调查. 向量知识在中学有着非常重要的地位和教育价值,它的工具性特点在数学的许多分支中都有体现,尤其在高等数学与解析几何中,向量的思想渗透的很广泛!但是在中学平面向量作为必修课程的一部分,教师和学生的重视程度远远比空间向量要大,而空间向量在解决立体几何上的优势又是传统的知识和方法无法替代的.更主要的是它对培养学生的数学能力和素养是大有裨益的,这需要引起一线教师的充分重视! 通过问卷所反映的情况,还有在问卷的发放收集过程中,与一线教师的访谈中,笔者了解到,在一线教师中,存在着相当一部分的教师,对空间向量持回避态度,这对新课程的实施和推广是很不利的! 从问卷中主要可以看出：教师对传统方法还是很依赖,在处理向量方法与传统方法的关系上,往往侧重于传统方法,即使运用也往往不是很熟练,要与传统方法进行对照,这样的结果往往会带来课时上的紧张,而学生学习起来很容易产生混淆,带来了不必要的、额外的负担,这样教师会产生错觉,还是原来的好!有些教师已经意识到向量知识的重要教育价值,但是由于原有知识的程式化、固定模式,尤其是老教师,急需解决的是新课程的培训,及时的补充知识的欠缺,为新课程的推广和实施作好充分的准备! 在教学中,只要我们坚持广泛应用向量方法的基础上,让学生掌握向量的思想方法,并借助于向量,运用联系的观点、运动观点、审美的观点、进行纵横联系,广泛联想,将各部分的数学知识、数学思想方法进行合理重组和整合,充分展示应用向量的过程；体现向量法解题的简单美和结构美,就能充分体现“向量”在提高学生的数学能力方面的教学价值. 通过问卷的数据统计可以看出： 1、有一部分学生对于学习向量没有明确的目的,或者根本对于学习就没有明确的目标,这反映中学一线教师对于教育价值和教育意义,以及学习目的没有突出强调,导致学生学习很盲目. 2、一部分学生认为学习向量没有必要,原有的知识已经足够了,这与教师在授课过程中的渗透是分不开的,他们更注重传统知识在解决问题时的应用,忽视了向量知识的强大工具作用,向量知识没有发挥出应该有的活力! 3、在学过向量的学生调查中,有一部分学生对向量的认识也很模糊,认为只是学习的一部分,在某些方面简化了学习的负担就是好的,而纯粹的依赖向量,没有建立起应有的几何立体观念,空间想象能力和立体感的素养得不到充分的发展. 4、学生的应用意识不强,学到新知识后没有和以前的知识建立很好的整合,知识变得孤立了,这与数学学科的综合性是相悖的,而且忽视了创造力和分析力的培养. 综合分析将向量引入高中数学教材,并做为一种基础理论和基本方法要求学生掌握.这是由于向量知识具有以下几大特点和需要. 首先,利用向量解决一些数学问题,将大大简化原本利用其他数学工具解题的步骤,使学生多掌握一种行之有效的数学工具. 其次,向量的引入将使高中数学中“数形结合”理论得到新的解析,为在高中数学贯彻“数形结合”的教学理念提供一种崭新的方法. 向量具有很好的“数形结合”特性.一是“数”的形式,即利用一对实数对既可表示向量大小,又可以表示向量的方向；二是“形”的形式,即利用一条有向线段来表示一个向量.而且这两种形式又是密切联系的,它们之间可以利用简单的运算进行相互转化.可以说向量是联系代数关系与几何图形的最佳纽带.它可以使图形量化,使图形间关系代数化,使我们从复杂的图形分析中解脱出来,只需要研究这些图形间存在的向量关系,就可以得出精确的最终结论.使分析思路和解题步骤变得简洁流畅,又不失严密. 第三,向量概念本身来源于对物理系中既有方向、又有大小的物理量,即物理学中所称的“矢量”的研究.其实,“向量”和“矢量”是在数学和物理两门学科对同一量的两种不同称呼而已.在物理学中,矢量是相对于有大小而没有方向的“标量”的另一类重要物理量.几乎全部的高中物理学理论都是通过这两类量来阐释的.矢量广泛地应用于力学（如力,速度,加速度等）和电学（如电流方向,电场强度等）理论之中,在高中新教材中引入向量章节,对向量进行系统深入的学习和研究.对学生在物理课上学习和理解矢量知识无疑将提供一个数学根据和许多运算便利.同样,学生在物理课上碰到的与矢量有关的物理实际又会使他们对向量也有更深入了解,并激发他们学习向量知识的兴趣和热情. 如在力学中,对力、速度等的分解和合成,使用的就是向量的加减理论,数学和物理的完美结合,起到异曲同工之作用. 第四,把向量理论引入高中教材,也是当今世界中等教育的一种普遍趋势,是教育顺应时代发展的必然结果. 追溯向量在数学上的兴起与发展,还是近几十年的事.翻阅早期一些关于数学学史的书藉,很少有关于向量发展史的介绍.随着向量研究的深入,在许多方面已经取得了突破,向量理论也象函数、三角、复数等数学分支一样日趋完备,形成了独立的数学理论体系.越来越多的数学教育者认识到向量不象其他新兴数学学科那么深奥难懂,易于处于高中文化水平之上的学生理解和接受,且其所具有的良好的“数形结合”特点使它与高中数学知识能够融汇贯通,相辅相承.因此,为了保持与世界数学教育发展同步,使当代中学生能够较早接触当代数学的前沿,在高中数学教育中引入向量是非常必要和可行的. 将“向量”引入高中数学教材后,值得探讨和深思的几个问题 首先,从运用向量解题的方法和未运用向量的解题方法的比较中,可以看到向量解题的优势就在于只运用了向量公式的简单变形就解决了一个通过繁琐解析几何分析方能解决的问题.“这是未来数学的解题模式,是数学的进步.”同样,这一思想也是对笛卡尔“变实际问题为数学问题,再变数学问题为方程问题,然后只需求解方程便可使问题得以解决”这一数学哲学思想的完美体现.然而,高中一线的数学教师都知道：培养学生的“运算能力、分析能力、空间想象能力”这三大能力是高中数学教学的最主要目标之一.而采用这样一种单纯得只需代入公式,并在解题过程中无需任何几何分析甚至连图都可不画的解法,对学生又怎能算得上是一种能力的培养.如果单单要求学生做这样的一些题目,会把学生培养成只会按步照搬,缺乏创造力、分析力、想象力的“数学机器”.这与当代数学的培养目标是背道而驰的. 其次,大多数已经从事过向量教学的老师会有这样的感受.即向量的引入虽然给其他后继数学理论的推导和难题的解决带来了便利,但其本身的理论和由其理论介入的一些解题过程,在教学过程中却很难使学生理解和接受.这无形中加大了中学数学教育者的教学负荷.某些题目的作法,虽然在运用该向量公式时解题很简单,但要使学生明白这条公式的由来和演化过程却要花去课程的不少时间.要解决这一问题,笔者认为归根结底要依靠通过加强对向量部分知识的细致教学,加深学生对向量知识的理解和灵活运用来完成. 第三,对于新教材引入向量章节,教育上层机关还应该积极做好对一线教师的宣传、培训工作,必要时应该动用政策性指令加以干预和指导,促使向量教学在中学教学中的顺利开展.然而许多中学教师对向量编入高中教材提出了反对意见,甚至不能理解.对于这点,究其原因有二：一方面是由于新教材刚刚实施,大家还没有实践体验,很难发现向量的优势所在.另一方面,许多一线教师,尤其是老教师,教授老教材多年,教学已经形成固定的有效模式,且其自身的向量知识和对向量教学优势的认识都比较缺乏所致.由此可见,在普及新教材的过程中,对从事新教材教学的数学教师进行短期向量知识的教学培训是相当必要的.另外,新教材中大量向量知识的引入和合理编排也是使教育者和被教育者感受到应该教好和学好向量知识的最具说服力的佐证.笔者自己在教学中对待向量的态度,随着教学的深入也经历了一个从开始不能理解,到逐渐领会其用意和精髓,到最后赞成并认真在教学实践中加以贯彻的过程. 另外,在中学数学教学中,对向量章节轻视,粗略带过,甚至不教不学的现象在多数学校也普遍存在.要根本上杜绝这些现象的发生,还需依靠教育改革的正确引导.

[0,90°]或者说是[0,π/2]这个范围。当两条直线非垂直的相交的时候，形成了4个角，这4个角分成两组对顶角。两个锐角，两个钝角。按照规定，选择锐角的那一对对顶角作为直线和直线的夹角。直线的方向向量m=（2,0,1），平面的法向量为n=（-1,1,2），m，n夹角为θ，cosθ=（m*n）/|m||n|，结果等于0.也就是说，l和平面法向量垂直，那么l平行于平面。l和平面夹角就为0°扩展资料：复数的利用是受限制的，因为它仅能用于表示平面，若有不在同一平面上的力作用于同一物体，则需要寻找所谓三维“复数”以及相应的运算体系。19世纪中期，英国数学家哈密尔顿发明了四元数（包括数量部分和向量部分），以代表空间的向量。工作为向量代数和向量分析的建立奠定了基础．随后，电磁理论的发现者，英国的数学物理学家麦克斯韦把四元数的数量部分和向量部分分开处理，从而创造了大量的向量分析。三维向量分析的开创，以及同四元数的正式分裂，是英国的居伯斯和海维塞德于19世纪80年代各自独立完成的。一个向量不过是四元数的向量部分，但不独立于任何四元数。他们引进了两种类型的乘法，即数量积和向量积。并把向量代数推广到变向量的向量微积分．从此，向量的方法被引进到分析和解析几何中来，并逐步完善，成为了一套优良的数学工具。参考资料来源：搜狗百科-向量参考资料来源：搜狗百科-直线

例如三边为3，4，5先输入pol键，（3，4）结果为5，接着按RCL，再按tan键出结果了，得到的是3边和5边的夹角，同样的道理输入pol(4,3)得到的是4边和5边的夹角

日常中我们所遇到的量可以分为两类：一类量用一个数值便可以完全表示,比如面积、温度、时间或质量等都属于这一类,这一类质量称为数量（或标量）；另一类量,除了要用一个数以外,还要指明它的方向才能够完全表示,比如速度、加速度、力等都属于这一类,这一类的量称 为向量

数据分布的特征可以从三个方面进行测度和描述：1.分布的集中趋势，反映各数据向其中心值靠拢或聚集的程度； 2.分布的离散程度，反映各数据远离其中心值的趋势； 3.分布的形状，反映数据分布的偏态和峰态。

向量法是一种用向量图形的方法，对交流电路进行分析的方法之一。以下是正弦交流电路中使用向量法分析的优缺点：1、优点：简便易行：向量法采用图形表示电量，具有直观、简便和易于理解的特点，能够有效减少计算量和复杂性。综合性强：向量法能够将交流电路中电压、电流、功率等因素综合起来，全面分析交流电路的特点和性能。2、缺点：适用范围窄，向量法主要适用于正弦交流电路分析，对于非线性元件、交流电源变化较大的情况，精度会受到影响。不利于精确计算：向量法中采用直角坐标系表示复数，而实际计算时需要进行三角函数运算，这可能会导致精度损失。

P向量环的分析内容包括P环在三个面上的形态、运行方向、最大P向量的空间方位。对异常P环常需测量各个向力的大小及其相互间的比值。心房复极的Ta向量，是从P环起点E到O点之间的连线，此连线的方向和长短即代表Ta向量的方向和振幅。 以下分析项目可按需要进行观察⒈ 环的形态 描述QRS环在三个面上的形态，可用圆、卵圆、宽阔、狭长、“8”字形等描述。环的轮廓是否平滑，有无扭结、粗钝或“蚀缺”，如有应记录其所在的部位和持续时间。 左右心室除极综合向量⒉ 旋转方向 分为顺时针向、逆时针向和“8”字形三种。对“8”字形环的运行方向可按其先后次序分为先逆后顺，或先顺后逆，或以环的大部分运行方向为准。环的运行方向对诊断有很大的价值。⒊ 运行速度 运行速度是按光点（每点=2.5ms或=2.0ms）间的距离来确定。如光点密集，表示运行速度缓慢；光点细长稀疏，表示运行速度快。对局部运行缓慢，应同时参考另两个面的运行情况。⒋ QRS环各部分的划分 QRS环可分为起始部、体部和终末部三个部分。起始部为0.01～0.15秒以内的早期向量，又称起始向量。正确判断起始向量的方向和振幅十分重要。⒌ 定时向量和最大向量 定时向量是指0.01、0.02、0.03秒……的向量。最大QRS向量是QRS环自O点到环最远点的向量，以O点到环最远点连线的角度表示其方向，以连线的长度表示其振幅。⒍ 最长度与最宽度 最长度也称为长轴，是环两端最远点的连线。最宽度是指环的最宽处。⒎ 向力及其时间 向力也称为向量或电势，例如起始前向力也称起始向前向量或起始向前电势。向力的大小以毫伏为单位，其时间仍以光点数目计算，以毫秒为单位。各面QRS环向量的测量方法见图11。⒏ ST向量 表示方法是自起点O引矢线到J点，以此矢线表示ST段的方向和大小（见图6）。 分析内容包括环的形态、方位、旋转方向、离心支和归心支的运行速度、最大T向量的角度及振幅等，分析方法与QRS环相同。QRS-T夹角为最大QRS向量与最大T向量之间的夹角。若T向量在QRS最大向量的顺时针向，即为正夹角，反之为负夹角。单位为度。

写论文啊？那可帮不了你！

简单分析一下，详情如图所示

 I2电流不变，是因为外加的电容器和电阻与电感属于并联，开关的开断并没有改变电阻电感两端的电压，所以电流不变。电阻值和感抗值相等，而电感两端电压超前电流90度，两者电压的和超前电流45度。所以I2滞后电压45度。又I2的幅值为10，所以I2等于答案中的向量值。答案中的那个向量图解释了这个过程，只是没有说明I2为什么滞后电压45度。

可以用定向发展的方法,然后地计算出他们定向运动量的轨迹的，然后根据主题将属性挖掘出来。用属性的关联度作为距离，来对文本进行分类。

例如三边为3，4，5先输入pol键，（3，4）结果为5，接着按RCL，再按tan键出结果了，得到的是3边和5边的夹角，同样的道理输入pol(4,3)得到的是4边和5边的夹角

本人在用VAR模型做欧元区各国的冲击相关性分析，基本思路如下：1、用VAR对欧元区各国的经济增长率和通胀率进行回归，模型：X(t)=X(t-1) +e(t),其中 ;2、求出var[ey(t)]、var[ep(t)]和cov[ey(t),ep(t)]，根据这几个值和几个公式算出转换矩阵C，然后令A=C*e(t)，其中A是表示需求和供给冲击的2*1矩阵3、算出欧元区各国A的相关性请问各位高手，第2步中，求残差向量的方差和协方差要用什么stata命令呢？先谢谢各位了！！

做相关性分析，一般可用两个向量的相关系数来衡量，越接近1说明相关性越大。下面给出求相关系数的代：%假设要分析x1,x2,x3与y的相关系数x1=[ 1 2 3 4 5 6]";x2=[ 2 2 5 4 5 6]";x3=[ 3 2 3 4 5 6]";y=[5 6 7 8 9 10];Rmat_x1_y = corrcoef(x1, y);%向量x1与y的相关系数矩阵R_x1_y = Rmat_x1_y(2); %从相关系数矩阵中提取x1与y的相关系数Rmat_x1_y = corrcoef(x2, y);%向量x2与y的相关系数矩阵R_x1_y = Rmat_x1_y(2); %从相关系数矩阵中提取x2与y的相关系数Rmat_x1_y = corrcoef(x3, y);%向量x2与y的相关系数矩阵R_x1_y = Rmat_x1_y(2); %从相关系数矩阵中提取x2与y的相关系数手打的，

1、向量的记法：印刷体记作黑体（粗体）的字母（如a、b、u、v），书写时在字母顶上加一小箭头“→”。如果给定向量的起点（A）和终点（B），可将向量记作AB（并于顶上加→）。在空间直角坐标系中，也能把向量以数对形式表示，例如xOy平面中(2,3)是一向量。2、向量的几何表示：向量可以用有向线段来表示。有向线段的长度表示向量的大小，向量的大小，也就是向量的长度。长度为0的向量叫做零向量，记作长度等于1个单位的向量，叫做单位向量。箭头所指的方向表示向量的方向。3、零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0。零向量的始点和终点重合，所以零向量没有确定的方向，或说零向量的方向是任意的。4、负向量：如果向量AB与向量CD的模相等且方向相反，那么我们把向量AB叫做向量CD的负向量，也称为相反向量。5、自由向量：始点不固定的向量，它可以任意的平行移动，而且移动后的向量仍然代表原来的向量。在自由向量的意义下，相等的向量都看作是同一个向量。数学中只研究自由向量。

归一化比较简单，因为得出的特征向量之和不一定是1，所以要将特征向量分别除以这几个向量之和，重新得出的数就是权重向量。比如：你得到的特征向量为（0.6853 0.2213 0.0933 ），它们的和是0.9999，并不是1，所以要对其进行归一化处理。分别用0.6853/0.9999 ； 0.2213/0.9999 ； 0.0933/0.9999 。然后四舍五入，最后得出的数为（0.6854 0.2213 0.0933），这些数值的和为1，所以叫归一化处理。

S³对应四元数体H中的单位四元数,在乘法和取逆下封闭, 因此四元数乘法给出S³上的一个群结构. 又可验证该群结构与S³的微分结构是相容的,故S³是一个Lie群. Lie群的切丛总是平凡的,因为一点处的线性无关的切向量可以左平移得到点点线性无关的向量场. 所以四元数的存在导致S³的切丛平凡. 但是反过来的推理不能简单进行,因为不清楚S²与假定存在的"三元数"会有怎样的联系. 不过由S²的切丛非平凡说明S²没有Lie群结构是没问题的. 注:其实S³作为Lie群同构于SU(2).

给定两个向量丛π：E→M，和π‘：E"→M， 我们可以构造出新的向量丛:(1)E的对偶丛E∨(2)直和丛E⊕E"(3)张量丛E☉E"(4)对称积S^r(E)(5)外积∧^r(E)等等此外，流形M上自带了切丛和余切丛。这是微分几何中最重要的两个向量丛。线丛也是一种特殊的向量丛，它和自身的对偶张量一下变成了平凡丛。全体线丛在张量下构成一个群， 称为Picard群。线丛也称为可逆丛。

S³对应四元数体H中的单位四元数, 在乘法和取逆下封闭,因此四元数乘法给出S³上的一个群结构.又可验证该群结构与S³的微分结构是相容的, 故S³是一个Lie群.Lie群的切丛总是平凡的, 因为一点处的线性无关的切向量可以左平移得到点点线性无关的向量场.所以四元数的存在导致S³的切丛平凡.但是反过来的推理不能简单进行, 因为不清楚S²与假定存在的"三元数"会有怎样的联系.不过由S²的切丛非平凡说明S²没有Lie群结构是没问题的.注: 其实S³作为Lie群同构于SU(2).

推导过程，如下图所示如正确，望采纳~

曲线的切向量。空间曲线的切线与法平面切线方程：切线的方向向量称为曲线的切向量，由向量的内积公式，可得法平面方程，求圆柱螺旋线，对应点处的切线方程和法平面方程，切线方程。

在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。力、速度、加速度、位移等都可以用向量表示。1、代数表示：大写字母AB、CD上加一箭头（→）等表示、a、b、c等字母上加一箭头（→）表示2、几何表示：向量可以用有向线段来表示。3、坐标表示：(x,y) 有a=xi+yj。

三角形法则AB+BC=AC(都是向量，下同哈)即平行四边形法则(平行四边形ABCD,AB+AD=AC)变形：多边形法则AB+BC+…+YZ=AZ,AB+BC+...+YZ+ZA=0向量加减a(x1,y1),b(x2,y2)a+-b=(x1+-x2,y1+-y2)OA+AB=OB,OA-OB=BA向量乘法a.b=IaI.IbI.cosxx是a,b夹角IaI=SQR(x1^2+y1^2)平行判定a=λb（a,b,常数λ不为零）垂直判定a.b=0向量坐标表示O(0,0),A(x1,y1),B(x2,y2)AB(x2-x1,y2-y1)

n维向量是一个“有次序的n数组”,（a,b,……，c）叫“行向量”。 ┌a┐ │b│ │·│ 叫“列向量”。[竖着排的“有次序的n数组”] │·│ │·│ └c┘

公式如下： 1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。AB+BC=AC。a+b=(x+x"，y+y")。a+0=0+a=a。向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x",y") 则 a-b=(x-x",y-y")。简介：在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。与向量对应的量叫做数量（物理学中称标量），数量（或标量）只有大小，没有方向。

在空间中,任意三个向量，如果它们不在同一平面上，且两两不共线，则在空间中的任意一向量都可用它们表示，这三个向量即为空间向量基底。两个空间向量a，b向量(b向量不等于0），a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb。如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是：存在唯一的一对实数x，y，使c=ax+by。扩展资料：三个坐标面把空间分成八个部分，每个部分叫做一个卦限。含有x轴正半轴、y轴正半轴、z轴正半轴的卦限称为第一卦限，其他第二、三、四卦限，在xoy面的上方，按逆时针方向确定。在第一、二、三、四卦限下面的部分分别称为第五、六、七、八卦限。空间一点P位于平面MAB的充要条件是存在唯一的有序实数对x、y，使得PM=xPA+yPB。对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，若：OP=xOA+yOB+zOC （其中x+y+z=1），则四点P、A、B、C共面。利用向量证a∥b，就是分别在a，b上取向量a=λb（λ∈R），利用向量证a⊥b，就是分别在a，b上取向量a·b=0。参考资料来源：百度百科--空间向量

数学中，既有大小又有方向且遵循平行四边形法则的量叫做向量，例如位移。　在数学中，通常用点表示位置，用射线表示方向。在平面内，从任一点出发的所有射线，可以分别用来表示平面内的各个方向。向量的表示常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。向量也可用字母a、b、c等表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记作|a|长度为0的向量叫做零向量，记作0．长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量。

几何表示：向量可以用有向线段来表示。有向线段的长度表示向量的大小，向量的大小，也就是向量的长度。长度为0的向量叫做零向量，记作0.长度等于1个单位的向量，叫做单位向量。箭头所指的方向表示向量的方向。（若规定线段AB的端点A为起点，B为终点，则线段就具有了从起点A到终点B的方向和长度。这种具有方向和长度的线段叫做有向线段。

1向量的定义:既有大小又有方向的量叫做向量.如物理学中的力,位移,速度等.向量可用字母a,b,c等表示,也可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示(起点写在前面,终点写在后,上面划箭头).2向量的模:向量AB的大小(即是向量AB的长度)叫做向量AB的模.*向量的模是一个非负实数,是只有大小而没有方向的标量.3零向量,单位向量,平行向量,共线向量,相等向量的概念(1)零向量:长度(模)为零的向量叫零向量,记做0.*零向量的方向可看做任意方向,规定零向量与任一向量平行.(2)单位向量:长度(模)为1个单位长度的向量叫做单位向量.(3)平行向量:方向相同或相反的非零向量叫平行行量.*因为任一组平行向量都可移到同一直线上,所以平行向量又叫做共线向量.(4)相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.

空间向量只是平面向量的扩展,加减法运算法则完全遵循平面向量的法则

向量a·向量b=| a |*| b |*cosΘ，Θ为两向量夹角，| b |*cosΘ叫做向量b在向量a上的投影，| a |*cosΘ叫做向量a在向量b上的投影。向量a乘以向量b=（向量a得模长）乘以（向量b的模长）乘以cosα[α为2个向量的夹角]，向量a（x1,y1）向量b(x2,y2)，向量a乘以向量b=(x1*x2,y1*y2)。向量相乘可以分内积和外积：内积就是ab=丨a丨丨b丨cosα（注意内积没有方向，叫做点乘） 外积就是a×b=丨a丨丨b丨sinα（注意外积是有方向的。）注意事项：一个向量在另一个向量方向上的投影是一个数量。当θ为锐角时，它是正值；当θ为直角时，它是0；当θ为钝角时，它是负值；当θ=0°时，它等于|b|；当θ=180°时，它等于-|b|。设单位向量e是直线m的方向向量，向量AB=a，作点A在直线m上的射影A"，作点B在直线m上的射影B"，则向量A"B" 叫做AB在直线m上或在向量e方向上的正射影，简称射影。向量A"B" 的模 |A"B"|=|AB|·|cos〈a，e〉|=|a·e|。行列式的值是一个数字，表示向量所在空间的【元素】 大小。比如，在平面直角坐标系中，整个平面可以由长宽均为1的方格构成，这个方格的大小为1。这个方格就是平面直角坐标系中的【元素】，大小为1。因为方向不能比较大小，所以向量也就不能比较大小。对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的。

向量a·向量b=| a |*| b |*cosΘ，Θ为两向量夹角，| b |*cosΘ叫做向量b在向量a上的投影，| a |*cosΘ叫做向量a在向量b上的投影。向量a乘以向量b=（向量a得模长）乘以（向量b的模长）乘以cosα[α为2个向量的夹角]，向量a（x1,y1）向量b(x2,y2)，向量a乘以向量b=(x1*x2,y1*y2)。向量相乘可以分内积和外积：内积就是ab=丨a丨丨b丨cosα（注意内积没有方向，叫做点乘） 外积就是a×b=丨a丨丨b丨sinα（注意外积是有方向的。）注意事项：一个向量在另一个向量方向上的投影是一个数量。当θ为锐角时，它是正值；当θ为直角时，它是0；当θ为钝角时，它是负值；当θ=0°时，它等于|b|；当θ=180°时，它等于-|b|。设单位向量e是直线m的方向向量，向量AB=a，作点A在直线m上的射影A"，作点B在直线m上的射影B"，则向量A"B" 叫做AB在直线m上或在向量e方向上的正射影，简称射影。向量A"B" 的模 |A"B"|=|AB|·|cos〈a，e〉|=|a·e|。行列式的值是一个数字，表示向量所在空间的【元素】 大小。比如，在平面直角坐标系中，整个平面可以由长宽均为1的方格构成，这个方格的大小为1。这个方格就是平面直角坐标系中的【元素】，大小为1。因为方向不能比较大小，所以向量也就不能比较大小。对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的。

如果知道曲线的参数方程，那么坐标分量对参数求导得到的向量即为该点处切向量。

这称为Riemann度量.给出一个Riemann度量,就是给出了所有切向量的长度（和内积,当然,只有两个同一点处的切向量才有内积）；给出这种长度,有不同的给法,这就是不同的Riemann度量.能不能看成欧氏空间中的长度,要看怎么想,至于“转化”,我需要知道你想象中的转化具体是一个什么意思. 一点处的一个切向量,它所在的空间是这一点的切空间. 假如这个流形本身被放到了一个欧氏空间里,那么就可以直观的把这点处的切空间看成是这点的切平面（当然,不一定非得是个2维的面,取决于流形是多少维的）,这时候可以按照欧氏度量来定义这个切平面里向量的长度.这样就定义了一个Riemann度量.在定义这个度量的时候,我们其实用到了“把这个流形放到欧氏空间”里的这种放法,也就是用到了映射 i:M -> R^n,其中M是这个流形,i是个嵌入映射.刚才所给出的欧氏的这种度量,实际来源于R^n中向量的长度,这种度量称为由映射i诱导的度量. 一般情形是,我们往往不容易想象怎么把一个流形M放到一个欧氏空间里（尽管能放）,或者干脆不想（有时候维数比较大,即便知道怎么放到欧氏空间里,可能也并不直观）.这时候,一个切平面就是一个单独的欧氏空间,而没法把它看成某个大的欧氏空间里的一个平面或者什么的.

设一向量组含有非零向量。该向量组的极大线性无关组唯一的充要条件是：存在一个向量组的排列次序，使得每一个向量都不能被其后面的向量线性表示。换句话说，对于向量组中的每一个向量，它都不能由该向量组中它后面的向量线性表示出来。同时，将任意一个向量添加到该向量组中，就会导致线性相关性。这个满足条件的向量组的排列次序就是该向量组的极大线性无关组，且这个极大线性无关组是唯一的。

PCA是用来降维的，比如从1000维降到50维。你现在只有2维，就不要再降了。

我就说说复数域上有限维线性空间的情况吧。有限维线性空间的自同态就是线性变换，这个线性变换记为A。A一定存在特征多项式f(x), f(x) 在复数域上可以分解为一次因式的乘积，把它的标准分解写出来，f(x)=(x-x1)^s1(x-x2)^s2...(x-xk)^sk，那么线性空间就可以根据这个分解式有一个根子空间的直和分解。每一个根子空间特征值只有一个，通过变化可以把它转化成研究幂零线性变换的问题，研究结果是，每一个幂零子空间可以继续分解，分解成循环子空间的直和，于是每一个根子空间也可以对应地分解。我们可以证明循环子空间已经是最细的分解，不可再分了。最后，从每个“最细的”子空间里选出一组“适当的”基，线性变换A在这组基下对应的矩阵就是Jordan标准型。以上就是复数域上有限维线性空间Jordan标准型存在性的几何证明的大概思路。If you want to learn more details about it, please refer to "Basic Algebra" (written by N.Jacobson).

设矩阵A的特征值为λ那么|A-λE|=-λ 0 0 10 -λ 1 00 1 -λ 01 0 0 -λ r1+r4 *λ ，r2+r3 *λ=0 0 0 1-λ^20 0 1-λ^2 00 1 -λ 01 0 0 -λ解得1-λ^2=0即λ=1或 -1即矩阵有2重特征值特征值1和-1λ=1时，A-E=-1 0 0 10 -1 1 00 1 -1 01 0 0 -1 r1+r4,r2+r3,交换行次序~1 0 0 -10 1 -1 00 0 0 00 0 0 0得到特征向量(0,1,1,0)^T和(1,0,0,1)^Tλ=-1时，A+E=1 0 0 10 1 1 00 1 1 01 0 0 1 r4-r1,r3-r2~1 0 0 10 1 1 00 0 0 00 0 0 0得到特征向量(0,1,-1,0)^T和(1,0,0,-1)^T

求特征向量用matlab中eig命令第三个问题应该是阶段误差的原因吧！

(1)定理：复数域上的线性空间可以分解为线性变换Ə的根子空间的直和接下来回到原题可知，不妨设X属于U1，那么记U=U2U3。。。Um则可知，X-X1属于U1同时有，X2+….Xm属于U故元素X-X1同时属于U1和U且易证：不同特征值的根向量线性无关所以X-X1不为零元素这就与U和U1是直和矛盾！ 从而原命题得证！(2)用（1）的结论就可以了

特征值解奇异值解区别所矩阵都进行奇异值解阵才进行特征值解所给矩阵称阵A(T)=A二者结相同说称矩阵特征值解所奇异值解特例二者存些差异奇异值解需要奇异值排序且全部于等于零于特征值解 [v,d] = eig( A ) , 即 A = v*d*inv(v)于奇异值解,其解基本形式 [u,s,v] = svd(C), C = u*s*v". 若C阵称阵, 则 u = v; 所 C = v*s*v";

[V, D]=eig(A)

我试了一下，eig([1 0 0;0 10 0;0 0 5])结果是 1， 10， 5。说明eig命令得到的特征值未排序。这样的话A的奇异值就是A"A的特征值的开方，可以用sqrt(eig(A"*A))得到对应状态量的奇异值，因为求特征值的操作eig是默认不排序的。

如果你把A*x=lambda*x中的A看做一种变换，一种作用，那么那些在这种作用下，只改变长短不改变方向的那些向量x就是特征向量，而特征值就是lambda，是伸缩系数，起能量增幅或者削减作用。特征值特征向量在各学术领域均有很高级的作用，首先介绍PCA，主成分分析。如果你面前有大维数组，处理起来非常棘手，直接带入问题处理速度又慢，第一想法就是能不能从中取出最有用，最有代表性的内容，俗话说：捞干的。回想tr迹这个性质，trA=A所有特征向量的和，主对角线元的意义非凡，暂且认为主对角线和就是这个矩阵所蕴含的能量。而特征向量就是这些能量集中爆发的方向，如果你很清楚特征分解的几何意义，就知道特征向量就是数据在空间中的对称轴，特征分解就是把其他方面的能量都投影在对称轴上，所以特征分解完或者说投影完，中间就只剩一个对角阵了，非对角元全是0. 此时你把最大的那几个特征向量摘出来，其余的抛掉，如此能很大程度降低你数据的维度，但信息损失仍在可控的范围。假设你求出100个特征值，头五个最大的和能达到这100个和的95%，那么其余95个丢掉，相对应的特征向量也丢掉。此时你的100*100的方阵只剩下5*5了，但信息量保存了95%。 金融业，银行业，保险业大量使用。互联网，Google的PageRank，就是 对www链接关系的修正邻接矩阵的，主要特征向量的投影分量，给出了页面平分。也就是搜索排名，凭什么我靠前你靠后。人像识别，我们把图像A看成矩阵，进一步看成线性变换矩阵，把这个训练图像的特征矩阵求出来(假设取了n个能量最大的特征向量)。用A乘以这个n个特征向量，得到一个n维矢量a，也就是A在特征空间的投影。还有聚类分析，信号处理等等。所以这块你一定要学透。

[证明] 充分性：已知A具有n个线性无关的特征向量X1，X2，……，则AXi=入iXi i=1,2,……,nA[X1 X2 ……Xn]=[入1X1 入2X2 ……入nXn]=[X1 X2 ……Xn]*X1，X2，Xn线性无关，故P=[X1 X2 Xn]为满秩矩阵，令V=*，则有AP=PVV=AP/P必要性：已知存在可逆方阵P，使AP/P=V=*将P写成列向量P=[P1 P2 Pn] Pn为n维列向量[AP1 AP2……APn]=[入1P1 入2P2……入nPn]可见，入i为A的特征值，Pi为A的特征向量，所以，A具有n个线性无关的特征向量。注：因为上面的过程是我自己手工打上去的，好多符号百度都打不出来，将就能看懂就好，其中*表示的是一个n阶对角矩阵，对角线上的矢量分别为入1，入2……入nn阶矩阵在复数范围内，一定有n个特征值（重特征值按重数计算个数），从这个意义上说，矩阵的特征值个数与矩阵的阶数是有关系的。n阶矩阵在实数范围内有多少个特征值就不一定了。但是有一个重要的结论需要知道：n阶实对称矩阵一定有n个实特征值（重特征值按重数计算个数）。

如上所述，谱定理表明正方形矩阵可以对角化当且仅当它是正规的。对于更一般的未必正规的矩阵，我们有类似的结果。当然在一般的情况，有些要求必须放松，例如酉等价性或者最终的矩阵的对角性。 所有这些结果在一定程度上利用了特征值和特征向量。下面列出了一些这样的结果：舒尔三角形式表明任何酉矩阵等价于一个上三角矩阵；奇异值分解定理， A = UΣV * 其中Σ为对角阵，而U,V为酉矩阵。A = UΣV * 的对角线上的元素非负，而正的项称为A的奇异值。这对非正方形矩阵也成立；若当标准型，其中A = UΛU − 1 其中Λ不是对角阵，但是分块对角阵，而U是酉矩阵。若当块的大小和个数由特征值的几何和代数重次决定。若当分解是一个基本的结果。从它可以立即得到一个正方形矩阵可以完全用它的特征值包括重次来表述，最多只会相差一个酉等价。这表示数学上特征值在矩阵的研究中有着极端重要的作用。作为若当分解的直接结果，一个矩阵A可以“唯一”地写作A = S + N其中S可以对角化，N是幂零的（也即，对于某个q，Nq=0），而S和N可交换(SN=NS)。任何可逆矩阵A可以唯一地写作A = SJ，其中S可对角化而J是么幂矩阵（即使得特征多项式是(λ-1)的幂，而S和J可交换）。

特征值是线性代数中的一个重要概念。在数学、物理学、化学、计算机等领域有着广泛的应用。设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。————————摘自百度百科

想想特征向量的原始定义Ax= cx,你就恍然大悟了,看到了吗?cx是方阵A对向量x进行变换后的结果,但显然cx和x的方向相同),而且x是特征向量的话,ax也是特征向量(a是标 量且不为零),所以所谓的特征向量不是一个向量而是一个向量族, 另外,特征值只不过反映了特征向量在变换时的伸缩倍数而已

楼主的问题是自己写程序完成矩阵的QR分解，既然是迭代实现QR分解，就与矩阵论中说的计算特征值和特征向量的方法有些区别了。大体的步骤应该是首先将矩阵化成双对角矩阵，然后追赶计算特征值和特征向量，程序代码可以参考 徐士良编的 常用数值算...

性质总结如下：1、对于秩为1的n阶矩阵，零是其n重或n-1重特征值，如果是n-1重，则非零特征值是矩阵的主对角线元素之和。2、另外还看到，秩为1的矩阵可以分解为一个非零列向量与另一个非零列向量的转置的乘积，这两个向量的内积即是非零特征值；秩为1的矩阵对应的齐次线性方程组的基础解系含n-1个解向量。秩1矩阵形如以下形式：一、基本性质1、2、3的秩，则存在常数，使得，此时是秩1矩阵4，则存在。二、特征值1的特征值为0（n-1重），(1重)。2的特征值为0（n重）。正定，是n维的非零实列向量，特征值为0（n-1重），(1重)。三、对角化的最小多项式。当可对角化；当不可对角化，所以存在可逆矩阵，使得特别的实对称阵，则一定可对角化存在可逆矩阵。

那当然是正确的矩阵A就是m*n的即m行n列那么经过拆分之后就可以得到n个列向量，或者m个行向量