数学中向量是什么

在空间中,任意三个向量，如果它们不在同一平面上，且两两不共线，则在空间中的任意一向量都可用它们表示，这三个向量即为空间向量基底。两个空间向量a，b向量(b向量不等于0），a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb。如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是：存在唯一的一对实数x，y，使c=ax+by。扩展资料：三个坐标面把空间分成八个部分，每个部分叫做一个卦限。含有x轴正半轴、y轴正半轴、z轴正半轴的卦限称为第一卦限，其他第二、三、四卦限，在xoy面的上方，按逆时针方向确定。在第一、二、三、四卦限下面的部分分别称为第五、六、七、八卦限。空间一点P位于平面MAB的充要条件是存在唯一的有序实数对x、y，使得PM=xPA+yPB。对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，若：OP=xOA+yOB+zOC （其中x+y+z=1），则四点P、A、B、C共面。利用向量证a∥b，就是分别在a，b上取向量a=λb（λ∈R），利用向量证a⊥b，就是分别在a，b上取向量a·b=0。参考资料来源：百度百科--空间向量

几何表示：向量可以用有向线段来表示。有向线段的长度表示向量的大小，向量的大小，也就是向量的长度。长度为0的向量叫做零向量，记作0.长度等于1个单位的向量，叫做单位向量。箭头所指的方向表示向量的方向。（若规定线段AB的端点A为起点，B为终点，则线段就具有了从起点A到终点B的方向和长度。这种具有方向和长度的线段叫做有向线段。

1向量的定义:既有大小又有方向的量叫做向量.如物理学中的力,位移,速度等.向量可用字母a,b,c等表示,也可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示(起点写在前面,终点写在后,上面划箭头).2向量的模:向量AB的大小(即是向量AB的长度)叫做向量AB的模.*向量的模是一个非负实数,是只有大小而没有方向的标量.3零向量,单位向量,平行向量,共线向量,相等向量的概念(1)零向量:长度(模)为零的向量叫零向量,记做0.*零向量的方向可看做任意方向,规定零向量与任一向量平行.(2)单位向量:长度(模)为1个单位长度的向量叫做单位向量.(3)平行向量:方向相同或相反的非零向量叫平行行量.*因为任一组平行向量都可移到同一直线上,所以平行向量又叫做共线向量.(4)相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.

空间向量只是平面向量的扩展,加减法运算法则完全遵循平面向量的法则

向量a·向量b=| a |*| b |*cosΘ，Θ为两向量夹角，| b |*cosΘ叫做向量b在向量a上的投影，| a |*cosΘ叫做向量a在向量b上的投影。向量a乘以向量b=（向量a得模长）乘以（向量b的模长）乘以cosα[α为2个向量的夹角]，向量a（x1,y1）向量b(x2,y2)，向量a乘以向量b=(x1*x2,y1*y2)。向量相乘可以分内积和外积：内积就是ab=丨a丨丨b丨cosα（注意内积没有方向，叫做点乘） 外积就是a×b=丨a丨丨b丨sinα（注意外积是有方向的。）注意事项：一个向量在另一个向量方向上的投影是一个数量。当θ为锐角时，它是正值；当θ为直角时，它是0；当θ为钝角时，它是负值；当θ=0°时，它等于|b|；当θ=180°时，它等于-|b|。设单位向量e是直线m的方向向量，向量AB=a，作点A在直线m上的射影A"，作点B在直线m上的射影B"，则向量A"B" 叫做AB在直线m上或在向量e方向上的正射影，简称射影。向量A"B" 的模 |A"B"|=|AB|·|cos〈a，e〉|=|a·e|。行列式的值是一个数字，表示向量所在空间的【元素】 大小。比如，在平面直角坐标系中，整个平面可以由长宽均为1的方格构成，这个方格的大小为1。这个方格就是平面直角坐标系中的【元素】，大小为1。因为方向不能比较大小，所以向量也就不能比较大小。对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的。

向量a·向量b=| a |*| b |*cosΘ，Θ为两向量夹角，| b |*cosΘ叫做向量b在向量a上的投影，| a |*cosΘ叫做向量a在向量b上的投影。向量a乘以向量b=（向量a得模长）乘以（向量b的模长）乘以cosα[α为2个向量的夹角]，向量a（x1,y1）向量b(x2,y2)，向量a乘以向量b=(x1*x2,y1*y2)。向量相乘可以分内积和外积：内积就是ab=丨a丨丨b丨cosα（注意内积没有方向，叫做点乘） 外积就是a×b=丨a丨丨b丨sinα（注意外积是有方向的。）注意事项：一个向量在另一个向量方向上的投影是一个数量。当θ为锐角时，它是正值；当θ为直角时，它是0；当θ为钝角时，它是负值；当θ=0°时，它等于|b|；当θ=180°时，它等于-|b|。设单位向量e是直线m的方向向量，向量AB=a，作点A在直线m上的射影A"，作点B在直线m上的射影B"，则向量A"B" 叫做AB在直线m上或在向量e方向上的正射影，简称射影。向量A"B" 的模 |A"B"|=|AB|·|cos〈a，e〉|=|a·e|。行列式的值是一个数字，表示向量所在空间的【元素】 大小。比如，在平面直角坐标系中，整个平面可以由长宽均为1的方格构成，这个方格的大小为1。这个方格就是平面直角坐标系中的【元素】，大小为1。因为方向不能比较大小，所以向量也就不能比较大小。对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的。

在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。力、速度、加速度、位移等都可以用向量表示。1、代数表示：大写字母AB、CD上加一箭头（→）等表示、a、b、c等字母上加一箭头（→）表示2、几何表示：向量可以用有向线段来表示。3、坐标表示：(x,y) 有a=xi+yj。

三角形法则AB+BC=AC(都是向量，下同哈)即平行四边形法则(平行四边形ABCD,AB+AD=AC)变形：多边形法则AB+BC+…+YZ=AZ,AB+BC+...+YZ+ZA=0向量加减a(x1,y1),b(x2,y2)a+-b=(x1+-x2,y1+-y2)OA+AB=OB,OA-OB=BA向量乘法a.b=IaI.IbI.cosxx是a,b夹角IaI=SQR(x1^2+y1^2)平行判定a=λb（a,b,常数λ不为零）垂直判定a.b=0向量坐标表示O(0,0),A(x1,y1),B(x2,y2)AB(x2-x1,y2-y1)

n维向量是一个“有次序的n数组”,（a,b,……，c）叫“行向量”。 ┌a┐ │b│ │·│ 叫“列向量”。[竖着排的“有次序的n数组”] │·│ │·│ └c┘

公式如下： 1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。AB+BC=AC。a+b=(x+x"，y+y")。a+0=0+a=a。向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x",y") 则 a-b=(x-x",y-y")。简介：在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。与向量对应的量叫做数量（物理学中称标量），数量（或标量）只有大小，没有方向。

你应该好好学学机械制图

Y径向是：”|”方向，x切向是：“”—”方向

切向就是切线的方向. 但切线有互为相反的两个方向, 物理中的切线方向是指与运动趋势一致的方向.

径向是沿着半径的方向,就是自圆心往放射线的方向.切向就是在圆周上与半径成垂直的方向. 没听说过楼板钢筋本身有什么切向与径向,只有楼板钢筋的布置（摆放）从指定点有径向摆放,和指定长（钢筋长）摆成放射形呈圆周状有切向,图纸要求这个切向距离.

这两词一般均指在园形上； 径向是指在这个园上任一点通过园心的直径方向上, 切向是指园周任一些点的切线方向, 在高等数学中也含曲线.

法向是垂直斜面的方向,切向是平行............

切向就是曲线切线的方向，径向就是和切向垂直的方向。

圆或圆弧的切线方向即为切向，垂直于切线的为法向。

切向加速度就是圆周运动轨迹的切线方向的加速度，an=v^2/r法向加速度就是指向圆心并且与切向加速度垂直的加速度， at=dv/dt切向加速度：质点作曲线运动时所具有的沿轨道切线方向的加速度.其值为线速度对时间的变化率.当它与线速度方向相同时,质点的线速度将增大；当与线速度方向相反时,质点的线速度将减小.法向加速度：质点作曲线运动时,所具有的沿轨道法线方向的加速度.其作用只改变物体速度的方向,但不改变速度的大小。扩展资料：加速度（Acceleration）是速度变化量与发生这一变化所用时间的比值Δv/Δt，是描述物体速度变化快慢的物理量，通常用a表示，单位是m/s2。加速度是矢量，它的方向是物体速度变化（量）的方向，与合外力的方向相同。加速度 (acceleration) 表征单位时间内速度改变程度的矢量。一般情况下，加速度是个瞬时概念，它的常用单位是米/秒2、米/秒2等。参考资料：百度百科-切向加速度

1.法向力（正向力，Normal force）   　　正向力（英语：Normal force，日文译作垂直抗力，常标记为Fn或N）在物理学中，是一股垂直于物体接触面的力。以物体放置于水平的面上，物体的正向力与重量相同，但方向则相反(仅限于放置在水平的面上)，相加后合力=0，使物体能静止放置而不会陷下去。但若承受物体的面太过脆弱，其无法给予过多的正向力，而导致塌陷或被重量破坏。正向力与物体垂直，因此恒与摩擦力垂直，正向力也会影响最大静摩擦力和动摩擦力。在光滑的斜面上时，正向力无法抵销所有的重力，因此，若其摩擦力不足的情况下，物体会从斜坡上滑落。   　　法向力，指运动物体所受外力沿法线方向的分力。   　　一个物体在做变速曲线运动时，物体在其轨道法线方向上所受到的力。   　　通常物体会受到不止一个力的作用，这些力的合力的方向如果与运动物体的瞬时速度的方向有一个夹角，为分析合外力对物体运动的影响，将合外力沿曲线的切线方向和法线方向进行正交分解，沿切线方向的分力称为切向力，沿法线方向的分力称为法向力。   　　法向力只改变运动物体的瞬时速度的方向，不改变瞬时速度的大小。做曲线运动的物体由于法向力的作用而产生的加速度称为法向加速度，在匀速圆周运动中，法向力通常称为向心力，法向加速度称为向心加速度。2.物体作曲线运动时，在其轨道切线方向上所受到的力。它使物体获得切向加速度。如平抛运动中，重力的切向分力将产生切向加速度，使物体的切向速度逐渐增大。

只有在圆周运动中，切向加速度才等于线加速度。或者说，线加速度与角加速度（法向加速度）是针对圆周运动而言的。 因此你提出的这个关系式，只适于圆周运动。向心加速度的方向始终与速度方向垂直，也就是说线速度始终沿曲线切线方向。所有做曲线运动的物体都有向心加速度，向心加速度反映的是圆周运动在半径方向上的速度方向改变的快慢。扩展资料：切向力对运动物体的作用会产生加速度，这个加速度就是切向加速度，它起到了改变瞬时速度大小的作用。如果运动固定为圆周运动，r是一个常数，那么角加速度大小等于|a|/r ，方向跟ω方向相同。当作用於物体的力矩不是常数时，物体的角加速度会随时间而变，这方程式成为一个微分方程式，这微分方程式是此物体的运动方程式；它可以完全的描述此物体的运动。参考资料来源：百度百科--向心加速度参考资料来源：百度百科--切向加速度参考资料来源：百度百科--角加速度

与其他参照物是否相切的意思，如果不需要空格结束就行了

法向与直径一个方向，切向是与直径垂直的方向

圆或圆弧的切线方向即为切向，垂直于切向的为法向。

你好，切向角是曲线的某点的切线方向与参考方向的夹角称为切线方位角。比如平面坐标系中，y轴正方向为参考方向，曲线某点切线方向与y轴正方向夹角就是切线方位角。

一般情况下，沿曲线运动的质点，其加速度可以分解为两个正交的分量，即： 和轨道相切的分量称为切向分量， 和轨道垂直的分量称为法向分量。 一般是指圆柱形物体上受的作用力，该作用力方向通过物体截面的圆心，且垂直于物体的轴线的力，或者球形物体上受的通过球心的力，叫径向力。 简单来讲就是：就是作用于直径方向的力

不是，切向加速度的计算公式：at=dv/dt。切向加速度表示速度大小变化的快慢。质点作曲线运动时所具有的沿轨道切线方向的加速度叫做切向加速度。其值为线速度对时间的变化率。当它与线速度方向相同时，质点的线速度将增大，当与线速度方向相反时，质点的线速度将减小。切向加速度与向心加速度的合矢即为曲线运动的合加速度。法向加速度公式 an=v^2/r。切向加速度和法向加速度的区别：1、切向加速度，改变的是速率的大小。2、法向加速度，不改变速度的大小，只改变速度的方向。3、切向加速度是质点作曲线运动时所具有的沿轨道切线方向的加速度。而法向加速度是质点作曲线运动时，所具有的沿轨道法线方向的加速度。

曲线的切向量。空间曲线的切线与法平面切线方程：切线的方向向量称为曲线的切向量，由向量的内积公式，可得法平面方程，求圆柱螺旋线，对应点处的切线方程和法平面方程，切线方程。

切向加速度等于线速度对时间的变化率。取⼀段极⼩时间dt，速度⼤⼩有⼀个极⼩变化量dV，则V切＝dV/dt切向加速度就是圆周运动轨迹的切线方向的加速度，an=v^2/r法向加速度就是指向圆心并且与切向加速度垂直的加速度， at=dv/dt切向加速度：质点作曲线运动时所具有的沿轨道切线方向的加速度.其值为线速度对时间的变化率.当它与线速度方向相同时,质点的线速度将增大；当与线速度方向相反时,质点的线速度将减小.法向加速度：质点作曲线运动时,所具有的沿轨道法线方向的加速度.其作用只改变物体速度的方向,但不改变速度的大小。

法向加速度：法向加速度一般指向心加速度，质点作曲线运动时，指向圆心（曲率中心）的加速度，与曲线切线方向垂直，也叫做法向加速度。向心加速度是反映圆周运动速度方向变化快慢的物理量。向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。切向加速度：质点作曲线运动时所具有的沿轨道切线方向的加速度叫做切向加速度。其值为线速度对时间的变化率。当它与线速度方向相同时，质点的线速度将增大；当与线速度方向相反时，质点的线速度将减小。切向加速度与向心加速度的合矢即为曲线运动的合加速度。相关信息：一般情况下，运动物体受到不止一个力的作用，这些力的合力方向往往与运动物体的瞬时速度有一个夹角，这时对合外力沿运动轨迹的切线方向和法线方向做正交分解，沿轨迹切线方向的分力即切向力，沿法线方向的分力叫做法向力。由牛顿第二定律可知，切向力对运动物体的作用会产生加速度，这个加速度就是切向加速度，它起到了改变瞬时速度大小的作用。

两湖书院在湖北省武昌。清光绪十六年总督张之洞建于营坊口左老天符庙都士湖，并将火星堂原经心书院并入，规模宏敞。书院前后有两湖，“风廊月榭，荷红藻荇，雅擅一城之胜”，加之生徒以调取湖南、湖北“两湖”高才生为主，故名。先后任教者皆为硕名家。在”中学为体西学为用思想的影响下设置的课程为经学、史学、地理、数学、博物、化学及兵操等科唐才常、黄兴等人皆成就于此时。光绪三十二年（1906）张之洞将其改为两湖总师范学堂。现在原址内分别扩建成湖北艺术学院、武昌实验小学等。荆衡秀气；邹鲁遗风。《书.禹贡》：“荆衡阳惟荆州。”孔传：“北据荆山，南及衡山之阳。”联指湖南、湖南、湖北两省，因生徒多从两省选拔而来，故以”秀气”赞这些选中的的优秀子弟。“邹鲁”，邹国、鲁国的并称。“邹”，孟子的故乡；“鲁”，孔子的故乡。后因以“邹鲁”指文化昌盛之地，礼义之邦，亦借指孔孟。“遗风”，谓前代遗留下来的风尚。联指书院正是承传孔孟学说的理想之地。宋学积分三舍法；楚材淹贯九丘书。张之洞（1837—1909），字孝达，号壶公，直隶南皮（今属河北）人。清末洋务派首领之一，中国近代教育活动家。他于光绪十五年调任湖广总督兼湖北巡抚，先后督鄂十六年，“办实业”、“兴学堂”、“练新军”等，多有建树。“三舍法”，宋时太学为三等：初入外舍，绩优千内舍，再千上舍。上联对历史久远的“三舍法”予以肯定，勉励学生刻苦努力，争取以优异的成绩逐步登堂升舍。“淹贯“，《新唐书柳登传》：”淹贯群书。“指淹博贯通。“九丘”。《左传昭公十二年》：“是能读《三坟》、《五典》、《八索》、《九丘》。”孔颖达疏引《尚书序》：“九州之志，谓之九丘。丘，聚也，言九州所有，土地所生，风气所宜，皆聚此书也。”下联饱含深情，相信来书院学习的楚地（指两湖）人才，成为“淹贯九丘书”渊博学者。主恩先后三持节；臣本烟波一钓徒。张之洞撰。“持节”，古代使臣出使时所持的凭证。魏晋后以“持节”作官名。据有关史料记载，张之洞先后三次赴湖北为官司：首次任湖北学政，再次为湖广东省总督，又次受命督办湖北境内的铁路修建。“先后三持节”即叙此宦迹。“主恩”写承圣恩浩荡，得以三次仕鄂，官运亨通，笔端流露出由衷的感激之情。“烟波钓徒”语出《新唐书张志和传》：“以亲既丧，不复仕，居江湖，自称烟波钓徒。”后泛指放浪江湖，寄情山水，渔樵为友之人。张之洞借用此语，暗喜自己居官得志，闲暇如意，自由舒适，驰目江湖。表现了作者自感平生仕途畅达的欢愉情怀。用“三持节”的自豪和“一钓徒”的喜悦为联题书院，旨在要后学诸生以他为榜样，以求学业有成，宦海无羁。这种写法，倒也别致。正气长存，流形一院；学业精进，驰誉两湖。此联题书院内“正学堂”。“正学”，谓合乎正道的学说。西汉武帝时，排斥百家，独尊儒术，始以儒学为正学。联用鹤顶格嵌堂名“正学”。“正气”，刚正的气节，也指正派的作风和良好的风气。“流形”，万物运动变化的形体。文天祥《正气歌》：“天地有正气，杂然赋流形。”上联颂赞书院有着“人心正而品行端”的优良学风。“精进”，精心一志，努力上进。“驰誉”，犹驰名，指声名远扬。鲍照《见卖玉器者》诗：“扬芳十贵室驰誉四豪门。”下联称赞书院众生好学深思，志行不苟，多闻博览，才识出群，致使书院远近闻名，享有盛誉。惟楚庆多才，夹袋宏搜，安得万间开广厦；取人不求备，锁闱清课，何妨六艺重专门。张之洞撰。《左传襄公二十六年》：“虽楚有才，晋实用之。”多才”盛赞书院所录学子皆优。“夹袋”即“夹袋中人物”，见于《宋史施师点传》。施师点字上联起句即用此，“庆多才盛赞书院所录学子皆优“夹袋即夹袋中人物见于《宋史·施师点传》。字圣兴，官至参加政事。他注意访求贤才，常常记下放在“夹袋”中，以备选用。上联用此典，称书院旨在“宏搜”人才，并用杜甫“安得广厦千万间，大庇天下寒士俱欢颜”诗意，使天下寒士得到进修与深造的机会。“求备”“即”求全责备”，谓对人对事，要求十全十美，完备无缺。作者对此持否定态度，直言“取人不求备”。“闱”，科举时的试院。“课”，考核的课目。“锁闱清课”，即指对学生进行测验与考评。“六艺”，古代学校的教育内容，即礼、乐、射、御、书、数。张洞在主张“取人不求备”的同时，还提倡“何妨六艺重专门”，也就是说学生可以主攻一门，兼及其他，做到学有专长，求精而求多。这在当时封建教育制度成为许多学子的桎梏锁的情况下，是颇有见地，难能可贵的。

在微分拓扑方面李邦河在建立微分流形到微分流形的浸入理论方面发展了许多不同的方法，系统地解决了这一领域中许多重要而困难的问题，给出了几维流形到2n-2维欧氏空间的浸入的完全分类，从而发展了流形到流形的浸入理论，把浸入理论中的一个奠基性定理从最简单的流形（欧氏空间）推广到任意流形。 国际同行高度评价李邦河的出色工作，称“李的工作全部是当今感兴趣的重要问题，不少人曾做过这些问题，但没有一个比他更有力和彻底”，“是流形到流形的浸入和分类这一领域的一位世界领导人”。李在带标架的流形和法协边群方面也做出许多很好的工作。《中国科学院数学四十年》已将他的这一工作编入其内。国际上有20多篇论文或著作引用了李邦河在微分拓扑方面的文章达40多次。在量子不变量和低维拓扑方面对四维流形的最小亏格问题取得了若干突破，对Witten型不变量，提出新不变量，弄清了若干不变量之间的关系。在非标准分析和广义函数方面给出了任意的两个广义函数的乘积，推进了广义函数的乘法理论。在单个守恒律间断解的定性研究方面否定了前苏联著名数学家Oleinik关于间断线条数至多可数的著名断言，解决了美国Lax和Glimm院士提出的三个猜想。1985 年和1988年两次获得科学基金的资助。李邦河谈到科学基金的作用时说：“由于基金的资助，使我们的工作能顺利进行，站到了世界的前列”。出版的论文有：“单个守恒律解的定性研究”、“微分流形的浸入”、“非标准分析和广义函数的乘法”、“流形到流形的浸入”、“Chern-Simons-Witten-Jones不变量之间的关系”。

我不知道你想问什么，因为所有积分的值都与坐标系无关，那是因为有所谓的“微分的形式不变性”，或者讲“换元法”。换元法说的就是一个坐标内的积分，可以在另一个（微分等价的）坐标内来做。而旋度也是与坐标无关的定义，虽然在有坐标的时候，它按照坐标来定义，但是不管你怎么定义，对E^3的向量场X，设和它对偶的一次形式场为w，也就是w(Y) = <X,Y>，dw是二次形式场，设Z是和*dw(*是Hodge star operator)对偶的那个向量场，那么Z就是X的旋度。你可以验证下这个定义和一般基于坐标的定义一致，并且满足上面给的方程（实际上上面给的方程也用来定义旋度）。这些定义都是不依赖于坐标的，也就是说，旋度是几何量。不知道这是不是你要问的。 更具体一点：设 w 是 与 F 对偶的一次形式场，用 int_C 记在封闭路径 C 上的线积分，int_S 是在曲面 S 上的面积分。ds 是 C 上的线元，dS 是 S 上的面元。i : C -> E^3 是包含映射, i^*是回拉。T 是 C 上的单位切向量，n 是 S 上的单位外法向量。那么左边 int_C <F, dr> = int_C < F, T*ds> = int_C <F, T> ds = int_C w(T) ds注意到 (i^*)(w)(T) = w(T) = w(T)*ds(T) 所以 (i^*)(w) = w(T)ds这个式子说，w 在 C 上的限制，等于w(T)ds所以上面的积分 int_C w(T) ds = int_C (i^*)(w) （由 Stokes 公式） = int_S dw记 curlF 是 F 的旋度，则 <curlF, n>= (*dw)(n)对任意S上一点的单位正交切向量X, Y, dS(X,Y)=1所以 <curlF, n>dS ( X,Y) = <curlF, n> = (*dw)(n) = dw(X, Y)所以 <curlF, n>dS = dw所以上面的积分等于右边。

数学上，特别是在复分析中，一个黎曼曲面是一个一维复流形。黎曼曲面可以被认为是一个复平面的变形版本:在每一点局部看来，他们就像一片复平面，但整体的拓扑可能极为不同。例如，他们可以看起来像球或是环，或者两个页面粘在一起。黎曼曲面的要点在于在他们之间可以定义全纯函数(holomorphic function)。黎曼曲面被认为是研究这些函数的整体行为的自然选择，特别是像平方根和自然对数这样的多值函数。每个黎曼曲面都是二维实解析流形(也就是曲面)，但它有更多的结构(特别是一个复结构)，因为多值函数的无歧义的定义需要用到这些结构。一个实二维流形可以变成为一个黎曼曲面(通常有几种不同的方式)当且仅当它是可定向的。所以球和环有复结构，但是莫比乌斯圈，克莱因瓶和投影平面没有。

天地有正气，杂然赋流形。下则为河岳，上则为日星。於人曰浩然，沛乎塞苍冥。皇路当清夷，含和吐明庭。时穷节乃见，一一垂丹青。在齐太史简，在晋董狐笔。在秦张良椎，在汉苏武节。为严将军头，为嵇侍中血。为张睢阳齿，为颜常山舌。或为辽东帽，清操厉冰雪。或为出师表，鬼神泣壮烈。或为渡江楫，慷慨吞胡羯。或为击贼笏，逆竖头破裂。是气所磅礴，凛烈万古存。当其贯日月，生死安足论。地维赖以立，天柱赖以尊。三纲实系命，道义为之根。嗟予遘阳九，隶也实不力。楚囚缨其冠，传车送穷北。鼎镬甘如饴，求之不可得。阴房阗鬼火，春院閟天黑。牛骥同一皂，鸡栖凤凰食。一朝蒙雾露，分作沟中瘠。如此再寒暑，百沴自辟易。嗟哉沮洳场，为我安乐国。岂有他缪巧，阴阳不能贼。顾此耿耿在，仰视浮云白。悠悠我心悲，苍天曷有极。哲人日已远，典刑在夙昔。风檐展书读，古道照颜色

可以

等级太低。量子流形是游戏《崩坏3》中的一个挑战塔，该塔是根据角色的等级而制定的，如果等级太低会只有10层，并且会随着角色等级的增长而增长，该挑战塔最高为30层。

此篇读书笔记对应于《 Ordinary Differential Equations 》（Arnold，3rd）第一章（Basic Concepts）第四节（Phase Flows）和第五节（The Action of Diffeomorphisms on Vector Fields and Direction Fields）。 首先来观察一个微分方程：如像 上一节 求解Lotka–Volterra模型那样，用(1)式除以(2)式，会发现等式两边无法分离出变量 和 ，更无法得出该方程的解析解。 但如果采用极坐标变换 ，则原方程变换为：此时再采用两式相除的方法，就能得出解析解。 这种方式，被称为 「换元（change of variables）」 。换元的具体操作很好理解，但换元的数学基础是什么？与换元所对应的理论体系又是什么？这就需要引入 「群（group）」 及其相关的大量概念。 「一一映射（one-to-one mapping）」： 在某个映射 下，对于集合 （有时也称为 「域（domain）」 ）中的不同元素，在集合 中有不同的象，反过来，集合 中的每一元素在集合 中都有原象。 「变换（transformation）」： 由某个集合 出发到集合 本身的一一映射。例如， 不是变换，因为集合 元素 找不到原象；改成 后就是变换了。 变换的 「乘积（product）」： 变换 和变换 的乘积 被定义为先执行变换 、再执行变换 ，即 。 变换的 「逆（inverse）」： 变换 的逆 满足 。 「变换群（transformation group）」： 由一组变换 构成的群。 「群（group；或抽象群，abstract group）」： 若（1）一个变换群 中的任意两个元素 的乘积仍在变换群中（加法封闭性），且（2）变换群 中任意元素 的逆仍在变换群中（逆运算封闭性），则该变换群称为抽象群。 「交换群（commutative group；或阿贝尔群，Abelian group）」： 群 中任意两个元素 满足 的群。 「作用（action）」： 群 中的每个元素 都对应于有关集合 的变换 。同时，群 中任意两个元素的乘积 也对应于变换 ，任意一个元素 的逆对应于变换 。这称为群 对集合 的作用。这听起来比较抽象，打个简单的比喻：变换 是一台机器，群 是一群机器，集合 是一堆待加工产品，其中的某个元素 代表某个产品，作用（action）表示机器开启并施加到产品上进行加工的这个动作。显然，群 可以作用于一整个集合 ，也可以只作用于某个元素 。 「轨迹（orbit）」： 群 作用于集合 中的某个元素 后形成的集合 称为点 的轨迹。 「光滑流形（smooth manifold，或微分流形）」： 可微的拓扑流形，例如欧式空间。与"集合"是同一水平的概念，但比"集合"这一概念的范畴更小、更严格。 「微分同胚（diffeomorphism）」： 映射 由光滑流形 到光滑流形 。若 均光滑，则 称为微分同胚。 「单参数群（one-parameter group）」： 是指由一系列变换 构成的群。其中 是参数，被称为 「次数（time）」 。根据群的定义，单参数群满足：对于任意实数 。有 。例如， 代表平移 个单位。 「相流（phase flow）」： 单参数群的物理意义也可按如下方式理解——某个确定性过程，在初始状态 时为 ，随后时间步每增加1，就对 作变换 。因而在时刻 时，相点位于 。在时刻 时，相点位于 。基于这种意义，单参数群也称为相流，就像一个粒子 在相空间 中随着水流在不断流动。相空间的某个点在相流作用下的轨迹就是相位曲线（phase curve）。 「相速矢量（phase velocity vector）」： 对于 「单参数微分同胚（one-parameter diffeomorphism）」 （因此可微），相流 在光滑流形 里面点 处的相速矢量定义为 ，即将要离开点时 的速度。光滑流形 中所有点的相速矢量构成相速矢量场（phase velocity field）。 「解（solution）」： 对于单参数微分同胚群，映射 可以看作是相流 关联的微分方程 的解。 综上，上述概念大致可用下图表示：有了上述概念后，再回到开头的疑问——换元所对应的数学理论基础是什么？ 给微分方程换元，就是在寻找合适的微分同胚，从而简化相速矢量场 。 「矢量 的像（image）」： 集合 中有一矢量 ，它是相点 离开点 时的相速矢量。映射 作用于矢量 后，该矢量变成集合 中的另一个矢量 。 为相点 离开点 时的相速矢量。称 是 在映射 作用下的像（图2）。「切空间（tangent space）」： 位于集合 的某个点 处的所有相速矢量所在的空间 。例如， 是个球体，则 就是个平面（图3）。 有个这些后，自然而然会问： 和 的关系是什么？ 怎么求？ 由泰勒展开可得 ，因而 是映射 的导数 （图4）。当集合 是多维空间时， 是一个矩阵，满足：「切向量（tangent vector）」： 相速矢量是在坐标系明确的情况下定义的，但当坐标系不明确时，相速矢量这个概念需要推广到更一般的情况，即切向量。切向量是指集合 中点 的切向量是指满足起始点 的一类位移 （ 为时间轴， 为相空间）。 「矢量场的像」： 像英语单词的单复数形式一样，“矢量场的像”就类似于“矢量的像”的“复数形式”。集合 中矢量场 经微分同胚 的作用后产生的集合 中另一矢量场就称为矢量场 的像，记为 （图5）。 现假设集合 是一维空间，集合 中某一矢量 的起点 ，则矢量的长度 。现使用变换 ，则 ，矢量 的长度为2（这也满足式 ）。为方便记述，记集合 中的矢量场为 ，其中 为基矢量场 「（basis vector fields）」 ，这样，经历变换 ，我们可以直接写出： ，从而知道变换后的矢量场是变换前的 （整个基矢量场缩减一半，相当于矢量场中所有矢量拉到2倍）。 对于任意微分同胚 ，其对矢量场的作用效果为： 。 当集合 属于 维空间时，任意矢量场可表示为 ，用坐标可表示为 ，其中 为基矢量场，用坐标可表示为 。 同时， 在微分同胚 的作用下，位于集合 的原相速矢量场对应的积分曲线也被映射到集合 中，而这就是对微分方程的换元。 映射不仅可以作用于集合，也可作用于映射本身。即，映射可以在一个映射的作用下成为另一个映射。 「相流的像」： 在微分同胚 的作用下，相流 的像 满足 （也就是 ，图6）。  此时，我们称相流 与 「等效（equivalent）」 （或 「相似（similar）」 、 「共轭（conjugate）」 ）。而微分同胚 被称为 「当量（equivalence）」 （或 「共轭微分同胚（conjugating diffeomorphism）」 ）。 让我们再次回顾相流的含义。 在《 Theory-based ecology — a Darwinian approach 》和《 Theoretical Ecology Principles and Applications 》两本书中都提到马尔萨斯理论的地位——“生态学第一定律”。在生态学中，马尔萨斯理论有连续形式 和离散形式 。对比两式可得 （详见 理论生态学笔记（二） ）。现在我们来看它们的数学基础是什么。 定义相流 满足 （它满足加法封闭性和逆运算封闭性），显然，相流 对任意相点 进行作用后产生的相位曲线就是离散形式的马尔萨斯模型 。 相流 的相速矢量 。 因而得到相流 所 「对应（associated）」 的微分方程 。 令 ，则 ，也就是连续形式的马尔萨斯模型 。 反过来，求解方程 ，得其解 。所以，相流 是方程 的、满足起始条件 的解，也就是 。 因此， 相流是常微分方程的离散形式，常微分方程是相流的连续形式 。 但注意，不是所有常微分方程都有对应的相流。 例如 的满足起始条件 的解是 ，令 ，其中 为单参数变换。然而， 时， 不光滑，因而不是微分同胚，因而 也自然无法成为相流。 ► 换元是求解微分方程的主要方法之一，而换元的本质是 微分同胚 对相速矢量场的变换。 ► 由集合 到集合 ，叫 映射 ；由集合 到集合 本身，叫 变换 ；光滑的映射叫 微分同胚 ；变换的“复数”，叫 变换群 ；满足加法封闭性、逆运算封闭性的变换群，可简称 群 ；单参数微分同胚构成的群，叫 相流 （图1）。 ► 相流对相点的作用可看作 离散的发展过程 （evolutionary process）。不少相流都有其对应的微分方程。上一篇： 读书笔记：常微分方程（二）——Lotka–Volterra模型 下一篇： 读书笔记：常微分方程（四）——齐次方程

如果知道曲线的参数方程，那么坐标分量对参数求导得到的向量即为该点处切向量。

李群（Lie group）是具有群结构的实流形或者复流形，并且群中的加法运算和逆元运算是流形中的解析映射。李群在数学分析、物理和几何中都有非常重要的作用。 G H均为李群，二者之间的一个同态：为群同态并且是解析映射（事实上，可以证明这里解析的条件只需满足连续即可）。显然，两个同态的复合是同态。所有李群的类加上同态构成一个范畴。 两个李群之间存在一个双射，这个双射及其逆射均为同态，就称之为同构。 再加上马利乌斯·索菲斯·李既个人资科 马利乌斯·索菲斯·李Marius Sophus Lie（1842年12月17日-1899年2月18日）挪威数学家。李群和李代数的创始人。 李1865年毕业于挪威基士扬尼亚（今奥斯陆）大学。1868年开始专攻数学。1869年在柏林认识德国数学家C·F·克莱因，并结为好友。1870年两人来到法国研究，与法国数学家C·若尔当等人相识，并受到法国学派的影响。1871年回挪威，次年获博士学位并在基士扬尼亚大学任教。1886年到莱比锡继任克莱因的职务。1889年患精神分裂症，后被治愈。1898年回到奥斯陆执教，次年因病在奥斯陆去世。 李创造了连续对称理论，并将其运用到几何结构以及微分方程的研究中。他的最主要的研究工具同时也是他的主要成就之一，就是他在研究微分方程解的分类时，引入了一般的连续变换群（后人为纪念他，将之命名为李群）。这个群的每个变换以及两个变换之乘积都依赖于参数，而且这种依赖关系是解析的。他还讨论了连续变换群性单位元附近取导数构成的无穷小变换 *** 。他也注意到李群与李代数之间有着对应关系。 参考: zh. *** /w/index?title=%E7%B4%A2%E8%8F%B2%E6%96%AF%C2%B7%E6%9D%8E&variant=zh- en. *** /wiki/E8_(mathematics)

中心流形定理（Center Manifold Theorem），控制理论中，考虑自治系统（时不变系统）dx/dt=f(x)。对其在平衡点（x*）线性化，则雅克比矩阵为 A=df/dt(x*)。中心流形定理指出，如果f(x)是r阶连续可导，则在任意平衡点，存在唯一的 r 阶连续可导的稳定流形，存在唯一的 r 阶连续可导的不稳定流形，并存在（不一定唯一）r-1 阶连续可导的中心流形。

S^n 是 n 维单位球面，代表 n + 1 维欧氏空间中和 0 的距离为 1 的那些点的集合。例如，S^0 只有 -1 和 1 两个数，S^1 是个圆，S^2 是个球面。

你要的图是不是类似这样的？或者比这样简单点，只有一个颜色的柱状加折线？ 如果是的话，试试下面的步骤： 选好数据之后点插入，柱状图 选择柱状图中你需要变更为折线图的部分，点右键，选择“更改系列图表类型” 在弹出的界面中，将对应的数据系。

卡拉比猜想的证明也标志着微分几何一个新时代的到来。一个新的学科随之产生，称为几何分析。它的定义就是用非线性微分方程的方法来系统地解决几何与拓扑中的难题，反过来也用几何的直观与想法来理解偏微分方程的结构。丘成桐在1978年的国际数学家大会的大会报告中系统而清晰地描绘了几何分析与高维单值化理论的发展前景。由此方法，一系列著名的问题得到解决，特别是唐纳森（Donaldson）为代表的规范场理论与低维拓扑的结合，汉密尔顿（Hamilton）的Ricci流与庞加莱猜想的历史性进展，将几何分析的发展带到了一个高峰。另一方面，早在1983年，丘成桐的学生曹怀东、坂东（Bando）便在他的指导下，首先用Ricci流的方法开始研究卡勒流形上标准度量的存在性，使Kahler-Ricci流成为复流形研究中重要的工具之一。 塞尔说过：“一个真正好的数学猜想，它的解决应该随之而来一系列的推论和绵延不断的影响。”卡拉比猜想就是如此，这里我仅举几个例子。首先，对于第一陈类小于和等于零的紧卡勒流形，卡拉比猜想告诉我们，Kahler-Einstein度量总是存在。其中对小于零的情形，其简单的推论就解决了长期悬而未决的Severi猜想，复二维投影空间的复结构是唯一的，甚至任意维数复投影空间的卡勒复结构也是唯一的。另一个匪夷所思的推论是，在任意维数的这类复流形上，存在一个奇妙的陈示性数不等式，而此前代数几何学家却只能得到复二维的情形。第一陈类等于零的二维复流形是有名的K3曲面，托尔罗夫（Todorov）用Calabi-Yau定理证明了其周期映射是满射，萧荫堂利用Calabi-Yau度量证明了所有的K3曲面都是卡勒曲面。而高维数的第一陈类为零的复流形的基本结构定理也随之而来。这些都是复几何与代数几何中著名的猜想，在卡拉比猜想证明之前，人们毫无办法，望而却步。最令人惊奇的是上世纪80年代初，超弦学家们认识到第一陈类等于零的三维复流形，恰好是他们的大统一理论所需要的十维时空中的一个六维空间，这神秘的六维空间，在我们看不到的尺度里主宰着我们大千世界的千变万化。这个发现引发了物理学的一场革命。物理学家们兴奋地把这类流形称为Calabi-Yau空间，Yau便是丘成桐的英文姓氏。有兴趣的朋友如果在Google中输入Calabi-Yau，就会发现近40万个条目。以至于不少物理学家都以为Calabi是丘成桐的名字。正如威滕（Witten）所言，在这场物理学的革命中，每一个有重要贡献的人都会名扬千古。Calabi-Yau也在数学中引发了一系列重大的进展，如超弦学家Candelas等人通过研究不同的Calabi-Yau流形给出的相同的超对称共形场论所发现的镜对称猜想。这个猜想由丘成桐、连文豪与刘克峰以及Givental独立证明，它解决了代数几何中遗留了上百年的舒伯特（Schubert）计数问题。基于Calabi-Yau流形的基本结构，著名超弦学家威滕、瓦法（Vafa）等人发展的Chern-Simons与拓扑弦对偶理论给出了黎曼面模空间中许多奇妙的公式，如Marino-Vafa公式给出了无穷多个模空间积分的组合闭公式，此猜想由刘秋菊、周坚与刘克峰一起证明。可以说Calabi-Yau流形早已成为弦论学家们必不可少的魔匣，利用它，他们不断地变换出令人炫目的猜想，这已经成为数学与理论物理发展的潮流，至今方兴未艾。

在不引起旧相消失和新相形成的前提下，可以在一定范围内独立变动的强度性质称为系统的自由度，用符号f表示。

1 ．掌握微分流形的基本概念和例子。 2．掌握微分流形上各种数学对象的定义、运算和应用。 3．掌握处理大范围定义在微分流形上的数学对象的思想和方法。内容提要：一、 流形的基本概念：流形的定义和基本例子，子流形，切空间，光滑函数、光滑映射及切映射。要求了解球面、环面、射影空间等基本例子，并了解一维、二维流形的分类。要求了解浸入（immersion）、嵌入（embedding）、淹没（submersion）和微分同胚的概念。二、 光滑向量场和可积性定理：光滑向量场及其奇点的定义，Lie括号。 三、 Lie群和Lie 群作用初步：Lie群和Lie代数的定义和基本例子，单参数子群，指数映射，Lie群在流形上的作用，基本向量场等。要求能够验证一些常见的矩阵群为Lie群并计算它们的Lie代数，并对一些低维Lie群的流形结构较为熟悉。四、 微分形式和积分：微分形式和外积的定义和性质，外微分，内积，Lie 导数。 例：运用微分几何矢量平行移动观念来刻划视觉认知中"物体"概念的来源,推导出运动捆绑的仿射联络系数, 并证明了流型的平坦性,为大范围块状物体感知提供了数学描述.

一个实用的例子是纽约街道的对比视图。它在近处看起来是黑暗的，但当你把目光移向太空时，它就会变得一般化。你不能从太空中看到当地的路灯，但你肯定能得到一个区域效果。

抒发了作者崇高的民族气节和强烈的爱国主义精神。《正气歌》是南宋诗人文天祥在狱中写的一首五言古诗。诗的开头即点出浩然正气存乎天地之间，至时穷之际，必然会显示出来。随后连用十二个典故，都是历史上有名的人物，他们的所作所为凛然显示出浩然正气的力量。接下来八句说明浩然正气贯日月，立天地，为三纲之命，道义之根。最后联系到自己的命运，自己虽然兵败被俘，处在极其恶劣的牢狱之中，但是由于自己一身正气，各种邪气和疾病都不能侵犯自己，因此自己能够坦然面对自己的命运。扩展资料全诗可分为三部分。从“天地有正气”到“一一垂丹青”为第一部分。这部分是对浩然之气的热情礼赞。“正气”与天地并生，与宇宙同在，诗人首先写出“正气”的这种伟大性质，使“正气”的描写，有了一种充塞乎天地之间的崇高美。天地万物，均受“正气”之禀赋。下至大地山河，上至日月星辰，都是气的化育生成。下面诗人将笔一转，便将“正气”转到人的身上，人的浩然正气，充塞于苍冥，可见正气的力量。“皇路”二句，写清平之时，禀受正气之人雍容和雅，为朝廷的清明政治尽力。这两句不是重心所在，而是下面的陪衬。下面，诗人笔锋又转，写在危难之际，禀受正气之人便表现出了凛凛气节，他们为了正义而不避祸难，留下了可歌可泣的业绩彪炳于青史。“一一垂丹青”，又是第一部分到第二部分之间的过渡之笔，显的十分自然。

怪异R^4是一个可微分的流形，它是标准Euclidean空间R4拓扑同胚，但不与Euclidean空间R4微分同胚。 首例在1982年由Kirby，Freedman等人发现，证明利用了Freedman拓扑4-流形的定理，Simon Donaldson有关光滑4-流形的定理。Gompf， Taubes说明有非常多的R4的怪异结构。在怪异的R4前，已经知道球体上的非微分自然光滑结构 - 怪异球，但是4怪异球的存在性未知（并且在2018年仍然open）。 对于除4以外的任何正整数n，R^n上没有外来的光滑结构; 换句话说，如果n≠4，那么任何与Rn同胚的光滑流形与Rn是微分同胚的。具体构造，参看MICHAEL H. FREEDMAN & LAURENCE R. TAYLORA UNIVERSAL SMOOTHING OF FOUR-SPACE

是。通过查询知乎得知，讨论积分子流形是纯在的。积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念，通常分为定积分和不定积分两种。