向量

由向量bc=2向量bd，向量ca=3向量ce可知d为bc的中点，e为ac的三等分点所以向量ad=1/2(向量ab+向量ac)向量be=2/3向量ac-向量ab∴向量ad*向量be=1/3向量ab*ac-1/2ab^2+1/3ac^2-1/2ac*ab=-1/6ab*ac-1/6=-1/4如果满意请点击右上角评价点【满意】即可~~你的采纳是我前进的动力~~答题不易..祝你开心~(*^__^*)嘻嘻……

这条件，推不出来吧

向量a+b的绝对值。。这不叫绝对值叫模是和向量的大小a=(x1,y1)b=(x2,y2)a+b=(x1+x2,y1+y2)所以|a+b|=根号[(x1+x2)^2+(y1+y2)^2]

解：由题意得：①向量A*向量B＜02x-3＜0x＜3/2②向量A不平行向量B-x≠6x≠-6所以x取值范围是（-∞，-6）u（-6,3/2）

A·B=ABcosθ A=ai+bj B=ci+dj A·B=(ai+bj)* (ci+dj) =ac*i*i+bd*j*j+(ad+bc)*i*j 其中 i*i=j*j=1 i*j=0 则 A·B=ac+bd a(x,y)b(m,n)=(x*i+y*j)(m*i+n*j) =xm+yn

先理解闭包的概念，x∈A的闭包，就是对于任意的x的开领域G与A交集不为空，那么对于任意的x∈（A的闭包+B的闭包）那么x∈A的闭包或者x∈B的闭包，不妨设x∈A的闭包，那么对于任意的x的开领域G与A交集不为空，所以x的开领域G与A+B的交集也不为空，所以x∈A+B的闭包。由于x的任意性，则（A的闭包+B的闭包）包含于（A+B）的闭包

怎么不是?注意是向量的减法。

证明：令三角形ABC的三个角分别为∠A、∠B、∠C，其中∠A对应的边长为a，∠B对应的边长为b，∠C对应的边长为c。那么在三角形ABC中，向量BC=向量AC-向量AB，且|AB|=c，|AC|=b，|BC|=a则BC·BC=(AC-AB)·(AC-AB)，那么|BC|^2=|AC|^2+|AB |^2-2AC·AB，又因为AC·AB=|AC|*|AB|*cosA，a^2=b^2+c^2-2bccosA。同理可用向量证明得到，b^2=a^2+c^2-2bccosB，c^2=b^2+a^2-2bccosC。上述即用向量证明了三角形的余弦定理。扩展资料：1、向量的运算对于向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，c(x3,y3)则向量的运算法则如下。（1）数量积对于向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，且a，b之间的夹角为A，那么a·b=b·a、(λa)·b=λ(a·b)、（a+b)·c=a·c+b·c。a·b=|a|·|b|·cosA，（2）向量的加法a+b=b+a、(a+b)+c=a+(b+c)（3）向量的减法a+(-b)=a-b2、正弦定理应用在任意△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，那么a/sinA=b/sinB=c/sinC。且三角形面积S=1/2absinC=1/2acsinB=1/2bcsinA。参考资料来源：百度百科-向量

下面a、b、c都表示向量,|a|、|b|、|c|表示向量的模因为a=b-c 所以a^2＝(b-c)^2 = b^2 +c^2 -2*bc所以|a|^2＝|b|^2 + |c|^2 -2*|b|*|c|*cosa其它以此类推。

BC=AC-ABBC^2=(AC-AB)^2=AC^2-2AC*AB+AB^2a^2=b^2-2bccosA+c^2

图在哪？

个人觉得有问题，例子是数量积，后者是向量减法，算出的必然是向量，怎么能像例子一样，求出数呢。答案是括号的(x1-x2,y1-y2)

定比分点公式（向量P1P=λu2022向量PP2） 设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 λ，使 向量P1P=λu2022向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。 若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有 OP=(OP1+λOP2)(1+λ)；（定比分点向量公式） x=(x1+λx2)/(1+λ), y=(y1+λy2)/(1+λ)。（定比分点坐标公式） 我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式 三点共线定理 若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线 三角形重心判断式 在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心 [编辑本段]向量共线的重要条件 若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。 a//b的重要条件是 xy"-x"y=0。 零向量0平行于任何向量。 [编辑本段]向量垂直的充要条件 a⊥b的充要条件是 au2022b=0。 a⊥b的充要条件是 xx"+yy"=0。 零向量0垂直于任何向量.设a=（x，y），b=(x"，y")。 1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 AB+BC=AC。 a+b=(x+x"，y+y")。 a+0=0+a=a。 向量加法的运算律： 交换律：a+b=b+a； 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。 2、向量的减法 如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减” a=(x,y) b=(x",y") 则 a-b=(x-x",y-y"). 4、数乘向量 实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣u2022∣a∣。 当λ＞0时，λa与a同方向； 当λ＜0时，λa与a反方向； 当λ=0时，λa=0，方向任意。 当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。 注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。 实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。 当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍； 当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。 数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律：(λa)u2022b=λ(au2022b)=(au2022λb)。 向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb. 数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。 3、向量的的数量积 定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作au2022b。若a、b不共线，则au2022b=|a|u2022|b|u2022cos〈a，b〉；若a、b共线，则au2022b=+-∣a∣∣b∣。 向量的数量积的坐标表示：au2022b=xu2022x"+yu2022y"。 向量的数量积的运算律 au2022b=bu2022a（交换律）； (λa)u2022b=λ(au2022b)(关于数乘法的结合律)； （a+b)u2022c=au2022c+bu2022c（分配律）； 向量的数量积的性质 au2022a=|a|的平方。 a⊥b 〈=〉au2022b=0。 |au2022b|≤|a|u2022|b|。 向量的数量积与实数运算的主要不同点 1、向量的数量积不满足结合律，即：(au2022b)u2022c≠au2022(bu2022c)；例如：(au2022b)^2≠a^2u2022b^2。 2、向量的数量积不满足消去律，即：由 au2022b=au2022c (a≠0)，推不出 b=c。 3、|au2022b|≠|a|u2022|b| 4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。 4、向量的向量积 定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|u2022|b|u2022sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。 向量的向量积性质： ∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。 a×a=0。 a‖b〈=〉a×b=0。 向量的向量积运算律 a×b=-b×a； （λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）； （a+b）×c=a×c+b×c. 注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。 向量的三角形不等式 1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣； ① 当且仅当a、b反向时，左边取等号； ② 当且仅当a、b同向时，右边取等号。 2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。 ① 当且仅当a、b同向时，左边取等号； ② 当且仅当a、b反向时，右边取等号。

定义 设V为n维向量组成的集合．如果 1.V非空 2.且对于向量加法及数乘运算封闭,即对任意的α、β∈V和常数k都有α+β∈V ,kα∈V 就称集合V为一个向量空间 注释： ① 实向量指向量中的每一个分量均为实数,不特意说明,一般所谈向量均指实向量； ② 集合V对向量加法与数乘封闭,是指V中任意两个向量相加,其和向量仍然属于V；实数与y中向量相乘所得向量仍然属于V； ③ 此处的关键在于使向量线性相关、线性无关、线性表示等概念在集合V中得以运用,要求V中含有零向量.对V中任意向量含有它的负向量． 答案： 由向量空间定义的注释知道,判断一个向量集合是否可以构成向量空间,关键看是否非空,是否对加法与数乘封闭,是否含有零向量,对V中任意向量是否含有它的负向量． (1)所有n维向量集合是指维数相同向量的集合．例如所有三维向量的集合R^3显然非空．三维向量加三维向量仍然为三维向量,数乘三维向量仍然为三维向量．即R^3对加法与数乘封闭．三维零向量属于R^3,其他运算律显然满足,三维向量的集合R^3是实数域R上的向量空间．同理任意n维向量集合又R^n是实数域R上的向量空间． 所以 n维向量的全体R^n构成一个向量空间． 特别地,三维向量可以用有向线段来表示,所以R^3也可以看作以坐标原点为起点的有向线段的全体． 或者所以 n维零向量所形成的集合{ 0 }构成一个向量空间

以n+1个n维向量作为列向量构成的矩阵的秩不超过n（矩阵的秩不超过其行数和列数中小的那个）；所以r（A）＜=n；所以A的列向量组的秩＜=n，即n+1个n维向量的秩＜=n，故线性相关。注意：1、对于任一向量组而言。不是线性无关的就是线性相关的。2、向量组只包含一个向量a时，a为0向量，则说A线性相关；若a≠0，则说A线性无关。3、包含零向量的任何向量组是线性相关的。4、含有相同向量的向量组必线性相关。5、增加向量的个数，不改变向量的相关性（注意，原本的向量组是线性相关的）。6、减少向量的个数，不改变向量的无关性（注意，原本的向量组是线性无关的）。7、一个向量组线性无关，则在相同位置处都增加一个分量后得到的新向量组仍线性无关。站在向量空间角度理解：全体n维向量组成n维向量空间，我们知道1维向量空间是一条直线，2维度向量空间是一个平面，3维向量空间是立体空间。对于n维向量空间中的任意一个非零向量au2081，如果要找到au2082和au2081不相关，则au2082就不能位于直线ku2081au2081（ku2081为任意实数）上。

m是向量的个数 n 是维数n维的向量在后面添一维 即成为n+1维，如解n元一次方程组时，不加后面的常数，可以看作是n维的，加上则可以看做是n+1维的。

设ε1……εr和α1……αn-r分别是W1和W2的一组基，可知ε1……εr可扩充为V的一组基，设扩充后这组基变为ε1……εn,则对于V中的任意一个元素ζ=k1ε1+……+knεn,设变换σ把它变换为η=k(r+1)α1+……+knαn-r,可知这个变换的像空间是W2,并且由于σ(β+γ)=[k1(r+1)+k2(r+1)]α1+……+(k1n+k2n)αn-r=[k1(r+1)α1+……+k1nαn-r]+[k2(r+1)α1+……+k2nαn-r]=σβ+σγ,σtφ=tk3(r+1)α1+……+tk3nαn-r=t[k3(r+1)α1+……+k3nαn-r]=tσφ,所以σ是一个线性变换，它的核子空间为k(r+1)=……=kn=0的V中元素构成的集合，即它的核子空间为W1.

n维列向量是n行1列。n维单位行向量是a1，a2，a3到an，其中a1^2+a2^2+到an^2=1，它的转置就是n维单位列向量。行列式的值是一个数字，表示向量所在空间的元素大小。在平面直角坐标系中，整个平面可以由长宽均为1的方格构成，这个方格的大小为1。这个方格就是平面直角坐标系中的元素，大小为1。单位列向量即向量的长度为1，其向量所有元素的平方和为1，单位列向量的运算就是矩阵乘法把每一个矩阵的列向量同另一个矩阵的每行向量相乘。欧几里得空间的点积就是把其中一个列向量的转置与另一个列向量相乘。向量的性质是一个m×n矩阵的列空间一定在R^m中，一个m×n矩阵的列空间如果是R，若m等于n,那么这个矩阵一定可逆，其实矩阵A乘向量x就是一个将向量x由A的行空间向A的列空间映射的运算。

n维就是指该行向量或者列向量的元素个数为n个。

如果向量组中有两个非零向量成比例则向量组线性相关.所以A不对,B是必要条件，因为如(1,0,1)T,(0,1,0)T,(1,1,1)T任意两个向量之间都不成比例，但是三个向量现行相关C是充要条件，用反证法，先证充分性如果向量组线性相关则K1A1+K2A2+...KSAS=0中必然有一个K不等于0，设Ki≠0，那么Ai能被其余向量线性表示，与C题设不符，所以向量组线性无关必要性，如果有一个向量能被线性表示，设Ai=K1A1+K2A2+...+K(i-1)A(i-1)+k(i+1)A(i+1)+...+KsAs.则向量组线性相关，与向量组线性无关题设不符，所以任意一个向量不能由其余向量线性表示D关于秩的

正确 你可以把子空间的一组基扩充为V的一组基,也就是说W的基向量个数不会比V的基向量个数多,所以子空间的维数≤母空间的维数

空间向量的话除了（0，0，0）是一维 其他都是二维 例子就是 因为向量是有向线段所以不可能存在三维说法

给你一个思路吧 设dimW=r W=L(l1,...,lr),l1,...,lr线性无关则存在n-r维的相向组 p1... ,p(n-r),使得L(p1,...,p(n-r))是W的余子空间令q = p(n-r)+lr可以证明 L(p1,...,p(n-r-1), q )是W的代数补，且不与之前的空间不同

方程组X1+X2+.....Xn=0 X2+.....Xn=0的系数矩阵的秩为 2故其基础解系含 n-2 个向量它们构成W的基故W的维数是 n-2

以n+1个n维向量作为列向量构成的矩阵的秩不超过n(矩阵的秩不超过其行数和列数中小的那个);所以 r(A)<=n;所以 A 的列向量组的秩 <= n,即 n+1个n维向量 的秩 <=n,故线性相关。在线性代数里，矢量空间的一组元素中，若没有矢量可用有限个其他矢量的线性组合所表示，则称为线性无关或线性独立 ，反之称为线性相关。扩展资料注意：1、对于任一向量组而言,，不是线性无关的就是线性相关的。2、向量组只包含一个向量a时，a为0向量，则说A线性相关; 若a≠0, 则说A线性无关。3、包含零向量的任何向量组是线性相关的。4、含有相同向量的向量组必线性相关。5、增加向量的个数，不改变向量的相关性。(注意，原本的向量组是线性相关的)【局部相关，整体相关】6、减少向量的个数，不改变向量的无关性。(注意，原本的向量组是线性无关的）【整体无关，局部无关】7、一个向量组线性无关，则在相同位置处都增加一个分量后得到的新向量组仍线性无关。【无关组的加长组仍无关】

用反证法吧.假设a1…an+2(下标,后同）两两互为钝角n维空间任意n+1个向量线性相关,即存在不全为0的数k1….kn+1使得k1a1+…+kn+1an+1=0两边跟an+2内积,k1＜a1,an+2＞+…..+ kn+1＜a1,an+2＞=0其中＜a1,an+2＞...＜a1,an+2＞全小于0,所以存在ki…大于0,kj…小于0.负的移到另一边,kiai+…=-kjaj-…=v (0项可以去掉)＜v,v＞=＜kiai+…,-kjaj-…＞=-kikj＜ai,aj＞…＜0,矛盾.

1）在n维空间中，k个线性无关的向量，构成k维线性子空间，这个k满足1≤k≤n这k个向量中，任意2个向量是共面（二维的面）的，但任意3个向量都是不共面（二维的面）的2）而在n维空间中，k个线性相关的，向量构成r维线性子空间，其中r是秩，满足1≤r≤n, 且这个k满足k>r这k个向量中，至少有一个向量，可以被其它向量线性表示，即这个向量，在其他向量构成的r维的超平面上，换句话说，就是这些向量共面（r维超平面）

由于 n+1 个n维向量必线性相关所以n个线性无关的n维向量可以表示任一n维向量, 故可表示n维基本向量组

　　设R为所有n维向量的全体，并在其上定义了向量的加法运算和数乘运算，则称R为n维向量。多维空间中，例如，一位狙击手。在实地发射子弹的时候，考虑条件很多。如子弹初速度、风向、风力、环境能见度、空气湿度、气压，等等。甚至“噪音多少分贝”，都会影响子弹命中率的。这些因素，是同时出现的，属于n维向量。 　　数学中，既有大小又有方向且遵循平行四边形法则的量叫做向量。向量有方向与大小，分为自由向量与固定向量。数学中，把只有大小但没有方向的量叫做数量，物理中称为标量。例如距离、质量、密度、温度等。

当然不能，你根本不能比较“无穷个”和“无穷个”的大小，即使从字面上，他们也只是相等，也不是后者大于前者。而原来定理是大于，而不是大于等于再说，什么样的空间是无穷维的空间？

在n维向量的集合中,如果其中任意二个向量的和以及一个向量与 数的积都在这个集合中,则称这集合为n 维向量空间。将只含有零向量的向量空间称为零空间，一个零空间是有限维向量空间。基本介绍 设V是域P上的一个向量空间。

因为Rn中的任意一向量均可由这n个线性无关的n维向量线性表出,故它是Rn的一组基.下面证明这一事实,设X是Rn中的任意一向量,a1,a2,...,an是n个线性无关的n维向量,由Rn中任意n+1个向量必然线性相关,故X,a1,a2,...,an线性相关,即存在不全为零的数b,k1,k2,...,kn,使得bX+k1a1+k2a2+...knan=0,b不为零,否则k1a1+k2a2+...+knan=0,与a1,a2,...,an是n个线性无关矛盾,故X=（-k1a1-k2a2-...-knan/b,

令dim(v1)=k1, dim(v2)=k2 记v1的正交补为w1，那么dim(w1)=n-k1 由于dim(w1)+dim(v2)>n，w1和v2的交非零

n个。不用证明，找出这n个互相垂直的向量即可。N1=(1，0，0，。。。0）N2=(0，1，0，。。。0）。。。Nn=(0，0，0，。。，1)

向量的维数,一般指向量中分量的个数。矩阵的维数，一般是指矩阵的阶数（方阵）空间的维数，一般指空间中一组基中向量的个数

很简单。只是因为我们处于三维空间，大于三维的度量不容易感知。 先从三维谈起，如向量{x1,x2,x3}在三维空间上必然可以分解为 {x1,x2,x3}=x1{1,0,0}+x2{0,1,0}+x3{0,0,1} 这三个分量{1,0,0}{0,1,0}{0,0,1}是线性无关的。而且是正交的。这样空间直角坐标系就有了基。这三个分量可以将任何三维向量线性表出。所以三维向量组成的几何空间其实可以用这三个基表达出任何三维向量。当然，向量和点对应，三维向量其实也是对应三维直角坐标系的一个点。 这样对于n维向量{x1,x2,...,xn}=x1{1,0,..,0}+...+xn{0,0,...,1} 其实在n维空间上就是由n个基构成的一个线性组合。换句话说，它也是其在n维直角坐标系中的一个点。当然，这里的直角的含义是，n个基两两正交。按照你的要求我再说明白一点，一个n维向量其实就是一个n维欧式空间的一个点。只不过是有n个向量的。

先证明必要性：矩阵A可逆，则其n个行（或列）向量，必然线性无关（否则，线性相关，则必然导致矩阵的秩小于n，从而不可逆，得出矛盾！）因而构成n维向量空间的一组基。充分性：n个行（或列）向量，是n维向量空间的一组基，则显然这n个向量线性无关，因此矩阵的行（或列）秩，等于n，则该n阶可逆。

给你一个思路吧 设dimW=r W=L(l1,...,lr),l1,...,lr线性无关 则存在n-r维的相向组 p1...,p(n-r),使得L(p1,...,p(n-r))是W的余子空间 令q = p(n-r)+lr 可以证明 L(p1,...,p(n-r-1),q )是W的代数补,且不与之前的空间不同

n

对的, 这个是基扩张定理

请问n维线性空间是怎么定义的？

很简单。只是因为我们处于三维空间，大于三维的度量不容易感知。先从三维谈起，如向量{x1,x2,x3}在三维空间上必然可以分解为{x1,x2,x3}=x1{1,0,0}+x2{0,1,0}+x3{0,0,1}这三个分量{1,0,0}{0,1,0}{0,0,1}是线性无关的。而且是正交的。这样空间直角坐标系就有了基。这三个分量可以将任何三维向量线性表出。所以三维向量组成的几何空间其实可以用这三个基表达出任何三维向量。当然，向量和点对应，三维向量其实也是对应三维直角坐标系的一个点。这样对于n维向量{x1,x2,...,xn}=x1{1,0,..,0}+...+xn{0,0,...,1}其实在n维空间上就是由n个基构成的一个线性组合。换句话说，它也是其在n维直角坐标系中的一个点。当然，这里的直角的含义是，n个基两两正交。按照你的要求我再说明白一点，一个n维向量其实就是一个n维欧式空间的一个点。只不过是有n个向量的。

原式=-1/2∫（0，＋∞）xde^(-2x)=-1/2 xe^(-2x) （0，＋∞）＋1/2∫（0，＋∞）e^(-2x)dx=0-1/4e^(-2x) （0，＋∞）=-1/4 （0-1）=1/4

先给你个简单的表示 （a1,a2,a3,……,an）就是n维向量,当ai是实数时,就是n维实向量 再给个稍微复杂点的表示 n*1矩阵就是个n维向量,n*1实矩阵就是个n维实向量 再给个更复杂但也最严格的表示 n个线性无关的向量的所有线性组合组成一个n维线性空间,而这个线性空间的所有元素都是n维向量. 最后总结下.n维实向量也是向量,只不过是实数域上的向量,即向量真包含实向量

n维就是指该行向量或者列向量的元素个数为n个。

设a1,a2,...,an 是n维空间V的一组基则 V = (直和) L(a1)+L(a2)+...+L(an)其中 L(ai) 为ai生成的子空间, L(ai) = { kai }由于a1,a2,...,an 是V的基, 所以 V中任一向量可由 a1,a2,...,an 线性表示所以 V = L(a1)+L(a2)+...+L(an)又若 k1a1+...+knan=0则由 a1,...,an 线性无关知 k1=...=kn=0.所以 V = (直和) L(a1)+L(a2)+...+L(an).

因为Rn中的任意一向量均可由这n个线性无关的n维向量线性表出,故它是Rn的一组基.下面证明这一事实,设X是Rn中的任意一向量,a1,a2,...,an是n个线性无关的n维向量,由Rn中任意n+1个向量必然线性相关,故X,a1,a2,...,an线性相关,即存在不全为零的数b,k1,k2,...,kn,使得bX+k1a1+k2a2+...knan=0,b不为零,否则k1a1+k2a2+...+knan=0,与a1,a2,...,an是n个线性无关矛盾,故X=（-k1a1-k2a2-...-knan/b,

其实也就是“向量的个数大于了向量的维数”，根据定义，是肯定线性相关的。

证明：若α1，α2，α3线性相关，则存在不全为0的实数x1，x2，x3使得x1α1+x2α2+x3α3=0，∵β1=α1+α2,β2=α2+α3，β3=α3+α1∴α1=(β1+β3-β2)/2，α2=(β1+β2-β3)/2，α3=(β2+β3-β1)/2，带入上式得(x1+x2-x3)β1+(x2+x3-x1)β2+(x1+x3-x2)β3=0，∵x1，x2，x3不全为0若x1+x2-x3=x2+x3-x1=x1+x3-x2=0，则解得x1=x2=x3=0，矛盾∴x1+x2-x3，x2+x3-x1，x1+x3-x2不全为0，即β1，β2，β3线性相关即α1，α2，α3线性相关=>β1，β2，β3线性相关反之，同理可证β1，β2，β3线性相关=>α1，α2，α3线性相关∴α1，α2，α3线性相关β1，β2，β3线性相关即α1，α2，α3线性无关β1，β2，β3线性无关

n维单位列向量，分别是(1,0，0,...,0)^T(0,1，0,...,0)^T(0,0，1,...,0)^T...(0,0，0,...,1)^T性质是，各分量除了1个1之外，其余都是0

n维列向量是n行1列，n维行向量是1行n列；直观是，列向量是1列，行向量是1行。行列式的值是一个数字，表示向量所在空间的元素大小。比如，在平面直角坐标系中，整个平面可以由长宽均为1的方格构成，这个方格的大小为1。这个方格就是平面直角坐标系中的元素，大小为1。列向量的转置是一个行向量，反之亦然。 所有的列向量的集合形成一个向量空间，它是所有行向量集合的对偶空间。为了进一步的简化，有些学者把行向量与列向量都写成行的形式，不过行向量的元素用空格隔开，而列向量的元素则用逗号隔开。 举例来说，假设x是一个行向量，那么x与x能被这样表示。在线性代数中，行向量是一个 1×n的矩阵，即矩阵由一个含有n个元素的行所组成即行向量。行向量的转置是一个列向量，反之亦然。所有的行向量的集合形成一个向量空间，它是所有列向量集合的对偶空间。

因为Rn中的任意一向量均可由这n个线性无关的n维向量线性表出,故它是Rn的一组基.下面证明这一事实,设X是Rn中的任意一向量,a1,a2,...,an是n个线性无关的n维向量,由Rn中任意n+1个向量必然线性相关,故X,a1,a2,...,an线性相关,即存在不全为零的数b,k1,k2,...,kn,使得bX+k1a1+k2a2+...knan=0,b不为零,否则k1a1+k2a2+...+knan=0,与a1,a2,...,an是n个线性无关矛盾,故X=（-k1a1-k2a2-...-knan/b,

是指向量的元素个数为n。比如，三维向量的形式为α=(x1,x2,x3)，五维向量的形式为β=(x1,x2,x3,x4,x5)。向量，指具有大小和方向的几何对象，可以形象化地表示为带箭头的线段：箭头所指，代表向量的方向、线段长度，代表向量的大小。向量可以用有向线段来表示：有向线段的长度表示向量的大小，向量的大小，也就是向量的长度。长度为0的向量叫做零向量，记作长度等于1个单位的向量，叫做单位向量。箭头所指的方向表示向量的方向。在2维空间中，两个2维向量构成的的行列式的值，等同于两个向量组成的平行四边形面积大小。也就是说，在2维空间中，两个2维向量构成的的行列式的值，等同于两个2维向量的【叉积】。

是普通平面和空间向量概念的推广，是一种特殊的矩阵。由数a1,a2....an组成的有序数组，称为n维向量，简称为向量。向量通常用斜体希腊字母等表示。在一个向量组中，若有一个部分向量组线性相关， 则整个向量组也必定线性相关，反之不成立。推论一个线性无关的向量组的任何非空的部分向量组都 线性无关。在机器学习过程中，我们会经常遇到向量、数组和矩阵这三种数据结构，下面就这三种数据结构做一次详细的分析。同时我们时常困惑于维度，n维向量，n维数组，矩阵的维度，本文着重就这一方面进行分析。解析几何中，我们把“既有大小又有方向的量”叫作向量，并把可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形象。在引进坐标系以后，这种向量就有了坐标表示式— — n个有次序的实数，也就是n维向量。因此，当　n ≤ 3 时，n维向量可以把有向线段作为几何形象，但当n＞3 时，n 维向量就不再有这种几何形象，只是沿用一些几何术语罢了。3维向量空间：在点空间取定坐标系以后，空间中的点P（x，y，z）与3 维向量　r =（x，y，z）T 之间有一一对应的关系，因此，向量空间可以类比为取定了坐标系的点空间。在讨论向量的运算时，我们把向量看作有向线段；在讨论向量集时，则把向量r 看作以r 为向径的点P，从而把点P 的轨迹作为向量集的图形。在同济大学线性代数第六版中，有这样一句话，矩阵的列向量组和行向量组都是只含有限个向量的向量组；反之，一个含有限个向量的向量组总可以构成一个矩阵。因此我们可以推断，列向量是可以多维的，但是它的深度只能是一维（这里的深度是相对于矩阵和数组而言的，而这里的维度是指的空间的维度，这是两个不同的概念）。

向量空间 的维数 可以看作 所有向量的一个极大无关组所含向量的个数基 就是一个极大无关组基中向量的个数就是向量空间的维数n维基本向量组 ε1,...,εn 就是n维向量集合的一个基, 故维数是n

设向量为x=(x1，x2，...,xn)，且x1+x2+...+xn=0，将其视做其次线性方程组，由于有n个未知数，系数矩阵的秩r(A)=r(1,1...,1)=1,因此基础解系解向量的个数为n-r=n-1，因此解空间的维数为n-1。

A不等于零，所以可逆

你的问题不够严密。三维空间的就错了，M=3时应该是8。我可以帮你把题出难点儿：N维空间被M个N-1维超平面最多分为几个区域。这个我曾经推出来过，是个规律很简单但是公式很繁琐（分奇偶还有组合数），导致后来又忘了。

不是，x1x2=0说明 x1至少有一个是0，这样两个变量 (1,0,1/3), (0,1,1/3)，显然这两个变量和 不在该集合，说明加法对这个集合不封闭，而这是向量空间的必要条件之一

证明：若α1，α2，α3线性相关，则存在不全为0的实数x1，x2，x3使得x1α1+x2α2+x3α3=0，∵β1=α1+α2,β2=α2+α3，β3=α3+α1∴α1=(β1+β3-β2)/2，α2=(β1+β2-β3)/2，α3=(β2+β3-β1)/2，带入上式得(x1+x2-x3)β1+(x2+x3-x1)β2+(x1+x3-x2)β3=0，∵x1，x2，x3不全为0若x1+x2-x3=x2+x3-x1=x1+x3-x2=0，则解得x1=x2=x3=0，矛盾∴x1+x2-x3，x2+x3-x1，x1+x3-x2不全为0，即β1，β2，β3线性相关即α1，α2，α3线性相关=>β1，β2，β3线性相关反之，同理可证β1，β2，β3线性相关=>α1，α2，α3线性相关∴α1，α2，α3线性相关<=>β1，β2，β3线性相关即α1，α2，α3线性无关<=>β1，β2，β3线性无关

1. 非奇异矩阵NXN构成了N的平方维向量空间错. 零元,即零矩阵, 不在此集合中2. 奇异矩阵NXN构成了N的平方维向量空间错. 对加法不封闭比如:1 00 0+0 00 1=1 00 1

n维单位行向量（a1，a2，a3，an），它的转置就是n维单位列向量。n维单位列向量，分别是：（1，0，0，0）^T。（0，1，0，0）^T。（0，0，1，0）^T。（0，0，0，1）^T。性质是，各分量除了1个1之外，其余都是0。向量的记法：印刷体记作黑体（粗体）的字母（如a、b、u、v），书写时在字母顶上加一小箭头“→”。如果给定向量的起点（A）和终点（B），可将向量记作AB（并于顶上加→）。在空间直角坐标系中，也能把向量以数对形式表示，例如xOy平面中(2，3)是一向量。

因为rn中的任意一向量均可由这n个线性无关的n维向量线性表出,故它是rn的一组基.下面证明这一事实,设x是rn中的任意一向量,a1,a2,...,an是n个线性无关的n维向量,由rn中任意n+1个向量必然线性相关,故x,a1,a2,...,an线性相关,即存在不全为零的数b,k1,k2,...,kn,使得bx+k1a1+k2a2+...knan=0,b不为零,否则k1a1+k2a2+...+knan=0,与a1,a2,...,an是n个线性无关矛盾,故x=（-k1a1-k2a2-...-knan/b,

这个空间集合的所有向量是由N个线性不相关的实向量的线性组成合而成的，实向量是指由由实数构成的向量。

行向量和列向量其实都是相对于矩阵里的位置而言的，本身没有任何区别。脱离了矩阵说行或者列都没有意义

在n维向量空间中，任意n+1个向量线性相关，所以α1.α2...αn，β线性相关，设：c1*α1+c2*α2...+cn*αn+c*β=0(其中c1，…cn，c不全为0）若c=0，则可得α1.α2...αn线性相关，矛盾！所以c不为0，对上式变形即可知道：β=-(c1/c)*α1-(c2/c)*α2...-(cn/c)*αn即β可以由α1.α2...αn线性表示

如果向量组中有两个非零向量成比例则向量组线性相关所以a不对b是必要条件，因为如(1,0,1)t,(0,1,0)t,(1,1,1)t任意两个向量之间都不成比例，但是三个向量现行相关c是充要条件，用反证法，先证充分性如果向量组线性相关则k1a1+k2a2+...ksas=0中必然有一个k不等于0，设ki≠0，那么ai能被其余向量线性表示，与c题设不符，所以向量组线性无关必要性，如果有一个向量能被线性表示，设ai=k1a1+k2a2+...+k(i-1)a(i-1)+k(i+1)a(i+1)+...+ksas则向量组线性相关，与向量组线性无关题设不符，所以任意一个向量不能由其余向量线性表示d关于秩的情况大多是证明线性相关的

向量空间V的维数是n，即空间向量V的一个元素（v1）有n个向量分量例如：V={v1 ,v2,v3,v4…，vk} v1=[ a1 a2 a3 a4 …an]谢谢

是指向量的元素个数为n。比如，三维向量的形式为α=(x1,x2,x3)，五维向量的形式为β=(x1,x2,x3,x4,x5)。向量，指具有大小和方向的几何对象，可以形象化地表示为带箭头的线段：箭头所指，代表向量的方向、线段长度，代表向量的大小。向量可以用有向线段来表示。有向线段的长度表示向量的大小，向量的大小，也就是向量的长度。长度为0的向量叫做零向量，记作长度等于1个单位的向量，叫做单位向量。箭头所指的方向表示向量的方向。在2维空间中，两个2维向量构成的的行列式的值，等同于两个向量组成的平行四边形面积大小。也就是说，在2维空间中，两个2维向量构成的的行列式的值，等同于两个2维向量的【叉积】。

正确 你可以把子空间的一组基扩充为V的一组基,也就是说W的基向量个数不会比V的基向量个数多,所以子空间的维数≤母空间的维数

不能，你这里有个误区，N个线性无关的三维向量组成的还是三维空间，N个线性无关的二维向量组成的还是二维空间。除非是N个线性无关的N维向量，才能组成N维空间。（a,b,c）和（a,b,c,d）肯定是不同的维度啊。

其实也就是“向量的个数大于了向量的维数”，根据定义，是肯定线性相关的。

是n维的，但是人可能想像不出来，就好像在二维里一个面无法理解三维里的一个立体一样，还有你说的那个基应该是单位向量吧，那是一个长度都为1方向不同

n维列向量是n行1列，n维行向量是1行n列；直观是，列向量是1列，行向量是1行。行列式的值是一个数字，表示向量所在空间的元素大小。比如，在平面直角坐标系中，整个平面可以由长宽均为1的方格构成，这个方格的大小为1。这个方格就是平面直角坐标系中的元素，大小为1。列向量的转置是一个行向量，反之亦然。 所有的列向量的集合形成一个向量空间，它是所有行向量集合的对偶空间。为了进一步的简化，有些学者把行向量与列向量都写成行的形式，不过行向量的元素用空格隔开，而列向量的元素则用逗号隔开。 举例来说，假设x是一个行向量，那么x与x能被这样表示。在线性代数中，行向量是一个 1×n的矩阵，即矩阵由一个含有n个元素的行所组成即行向量。行向量的转置是一个列向量，反之亦然。所有的行向量的集合形成一个向量空间，它是所有列向量集合的对偶空间。

构成n维向量空间的三要素： 一个集合V 、两种V 中的运算、八条运算性质。

n维列向量是n行1列，n维行向量是1行n列；直观是，列向量是1列，行向量是1行。行列式的值是一个数字，表示向量所在空间的元素大小。比如，在平面直角坐标系中，整个平面可以由长宽均为1的方格构成，这个方格的大小为1。这个方格就是平面直角坐标系中的元素，大小为1。在物理学和工程学中，几何向量更常被称为矢量。许多物理量都是矢量，比如一个物体的位移，球撞向墙而对其施加的力等等。与之相对的是标量，即只有大小而没有方向的量。一些与向量有关的定义亦与物理概念有密切的联系，例如向量势对应于物理中的势能。几何向量的概念在线性代数中经由抽象化，得到更一般的向量概念。此处向量定义为向量空间的元素，要注意这些抽象意义上的向量不一定以数对表示，大小和方向的概念亦不一定适用。因此，平日阅读时需按照语境来区分文中所说的"向量"是哪一种概念。不过，依然可以找出一个向量空间的基来设置坐标系，也可以透过选取恰当的定义，在向量空间上介定范数和内积，这允许我们把抽象意义上的向量类比为具体的几何向量。

这里有个概念问题 "n维向量空间" 是指空间的维数 dimV=n其基一定含n个线性无关的向量 由n维向量构成的向量空间, 其维数就不一定是n了比如 V = { (0,x2,...,xn) }它是由n维向量构成的 n-1维向量空间其基含n-1个线性无关的向量

答案是N∧2，

　　n维向量是的意思： 　　n维向量中的n维是指向量的元素个数为n；向量，指具有大小和方向的几何对象，可以形象化地表示为带箭头的线段：箭头所指，代表向量的方向、线段长度，代表向量的大小；n维向量，即有n个坐标分量，即n维空间中的向量。

判断多个向量是否线性相关，主要看由向量组a，b，c组成的行列zhi式|a，b，c|的值，如果值等于0就是线性相关，不等于0就是线性无关。只需要满足三个方程，6个未知数有无数个：假如只需要得到一个的话不妨令a=1，b=1，c=-2，m=1，n=-1 f=0即满足条件。故a2=(1,1,-2)T a3=(1,-1,0)T满足条件。扩展资料：正交矩阵定理：在矩阵论中，实数正交矩阵是方块矩阵Q，它的转置矩阵是它的逆矩阵，如果正交矩阵的行列式为+1，则称之为特殊正交矩阵。1、方阵A正交的充要条件是A的行（列）向量组是单位正交向量组；2、方阵A正交的充要条件是A的n个行（列）向量是n维向量空间的一组标准正交基。