向量

你要的命令应该在这能找到A a abs 绝对值, 模 acos 反余弦 acosh 反双曲余弦 acot 反余切 acoth 反双曲余切 acsc 反余割 acsch 反双曲余割 all 所有元素均非零则为真 alpha 透明控制 angle 相角 ans 最新表达式的运算结果 any 有非零元则为真 area 面域图 asec 反正割 asech 反双曲正割 asin 反正弦 asinh 反双曲正弦 atan 反正切 atan2 四象限反正切 atanh 反双曲正切 autumn 红、黄浓淡色 axis 轴的刻度和表现 B b bar 直方图 binocdf 二项分布概率 binopdf 二项分布累积概率 binornd 产生二项分布随机数组 blanks 空格符号 bode 给出系统的对数频率曲线 bone 蓝色调浓淡色阵 box 坐标封闭开关 break 终止最内循环 brighten 控制色彩的明暗 butter ButterWorth低通滤波器 C c caxis （伪）颜色轴刻度 cd 设置当前工作目录 cdf2rdf 复数对角型转换到实块对角型 ceil 朝正无穷大方向取整 cell 创建单元数组 char 创建字符串数组或者将其他类型 变量转化为字符串数组 charfcn Maple函数 Children 图形对象的子对象 clabel 等高线标注 class 判别数据类别 clc 清除指令窗中显示内容 clear 从内存中清除变量和函数 clf 清除当前图形窗图形 close 关闭图形窗 collect 合并同类项 Color 图形对象色彩属性 colorbar 显示色条 colorcube 三浓淡多彩交错色 colordef 定义图形窗色彩 colormap 设置色图 comet 彗星状轨迹图 comet3 三维彗星动态轨迹线图 compass 射线图;主用于方向和速度 cond 矩阵条件数 conj 复数共轭 continue 将控制转交给外层的for或while循环 contour 等高线图 contourf 填色等高线图 conv 卷积和多项式相乘 cool 青和品红浓淡色图 copper 线性变化纯铜色调图 corrcoef 相关系数 cos 余弦 cosh 双曲余弦 cot 余切 coth 双曲余切 cov 协方差矩阵 csc 余割 csch 双曲余割 cumsum 元素累计和 cumtrapz 梯形法累计积分 D d dblquad 二重（闭型）数值积分指令 deconv 解卷和多项式相除 del2 计算曲率 demos 演示函数 det 行列式的值 diag 创建对角阵，抽取对角向量 diff 求导数,差分和近似微分 digits 控制符号数值的有效数字位数 dir 列出目录清单 dirac 单位冲激函数 disp 显示矩阵和文字内容 disttool 概率分布计算交互界面 doc 列出指定工具包中所有函数名 docsearch 进行多词条检索 double 把符号常数转化为16位相对精度的浮点数值对象 drawnow 刷新屏幕 dsolve 求解符号常微分方程 E e edit 矩阵编辑器,打开M文件 Ei maple 指数积分 eig 矩阵特征值和特征向量 end 数组的最大下标，结束for，while，if 语句 eps 浮点相对误差 EraseMode 图形对象属性 error 显示错误信息 exit 关闭MATLAB exp 指数 expand 对指定项展开 expm 矩阵指数 eye 单位阵 ezcontour 画等位线 ezcontourf 画填色等位线 ezmesh 画网线图 ezmeshc 画带等位线的网线图 ezplot 绘制符号表达式的二维图形 ezplot3 画三维曲线 ezpolar 画极坐标曲线 ezsurf 画曲面图 ezsurfc 画带等位线的曲面图 F f factor 进行因式或因子分解 false 按指定大小创建全0逻辑数组 feather 从X轴出发的复数向量图，羽毛图 feval 函数宏指令 fill 多边形填色图 find 寻找非数单下标标识 findsym 确认表达式中自由符号变量 fix 朝零方向取整 flag 红-白-蓝-黑交错色图 fliplr 矩阵的左右翻转 flipud 矩阵的上下翻转 floor 朝负无穷大方向取整 fminbnd 非线性函数在某区间中极小值 fminsearch 单纯形法求多元函数极值点指令 for (end) 按规定次数重复执行语句 format 设置数据输出格式 fourier Fourier变换 fsolve 解非线性方程组的最简单格式 function 函数文件头 functions 观察函数句柄内涵 function handle 函数句柄 funfun 数值泛函函数和ODE解算器 funm 计算一般矩阵函数 fzero 单变量函数的零点 G g gallery 产生测试矩阵 gca 获得当前轴的柄 gcf 获得当前图的柄 general 通用指令 get 获得图柄 getframe 获得影片动画图象的帧 ginput 用鼠标在图上获取数据 global 定义全局变量 gradient 梯度 gray 线性灰度 grid on/off 画坐标网格线 H h heaviside 单位阶跃函数 help 在线帮助指令 helpbrowser 超文本文档帮助信息 helpdesk 超文本文档帮助信息 helpwin 打开在线帮助窗 hidden 网线图消隐开关 hist 统计频数直方图 histfit 带拟曲线的统计频数直方图 hold on/off 图形的保持 horner 转换成嵌套形式 hot 黑-红-黄-白交错色图 hsv 饱和色彩图 I i i, j 虚数单位 if end 条件执行语句 if-else-end 程序分支控制 ifourier Fourier反变换 ilaplace Laplace反变换 imag 复数虚部 image 图像 impulse 给出系统的冲激响应 ind2sub 据单下标换算出全下标 inf 或 Inf 无穷大 inline 创建内联函数 input 提示键盘输入 int 计算积分 int2str 整数转换为字符串 inv 矩阵的逆 invhilb Hilbert矩阵法求逆阵 isa 判断指定变量类别 ischar 若是字符串则为真 isempty 若是空矩阵则为真 isfinite 若是有限数则为真 isglobal 若是全局变量则为真 ishandle 是否图柄 isinf 若是无穷大则为真 isletter 串中是字母则为真 islogical 若是逻辑数则为真 isnan 若为非数则为真 isnumeric 若是数值则为真 isolate maple的特殊指令 isprime 是否质数 isreal 若是实数矩阵则为真 isspace 串中是空格则为真 iztrans Z反变换 J j jacobian Jacobian 矩阵 jet 变异HSV色图 jordan Jordan分解 K k keyboard 键盘获得控制权 L l laplace Laplace变换 legend 形成图例说明 length 确定数组长度 light 灯光控制 lighting 设置照明模式 limit 求极限 line 创建线对象 LineStyle 图形线对象属性-线型 LineWidth 图形属性-线宽 linmod2 从SIMULINK模型得到系统的状态方程 linspace 线性等分向量 load 从磁盘调入数据变量 Location 图形对象属性-位置 log 自然对数 log10 常用对数 log2 以2为底的对数 logical 将数值转化为逻辑值 logspace 对数等分向量 lookfor 关键词检索 M m magic 魔方阵 maple 进入MAPLE工作空间计算 Marker 图形对象属性-点形状 MarkerEdge- Color 图形对象属性-点边界色彩 MarkerFace- Color 图形对象属性-点域色彩 MaekerSize 图形对象属性-点大小 material 对象材质 max 最大值 md 创建目录 mean 平均值 mesh 三维网线图 meshgrid 用于三维曲面的分格线坐标 mfun 对MAPLE中若干经典特殊函数的数值计算 mfunlist MAPLE经典特殊函数列表 mhelp 查阅Maple中的库函数及其调用方法 min 最小值 minreal 状态方程最小实现 mkdir 创建目录 mod 模数求余 more 命令窗口分页输出的控制开关 movie 播放影片动画 moviein 影片动画内存初始化 mtaylor Taylor级数展开 N n NaN或nan 非数 nargin 函数输入量的个数 nargout 函数输出量的个数 ndims 数组的维数 norm 矩阵或向量范数 normcdf 正态分布累计概率 normpdf 服从N分布的随机变量取值x的概率密度 normrnd 产生服从N分布的随机数组 notebook 创建或打开M-book文件 null 零空间 num2str 把数值转换为字符串 numden 提取公因式 O o ode45 高阶法解微分方程 ones 全1 数组 optimset orth 值空间 P p pack 合并工作内存中的碎块 pascal Pascal 矩阵 path 控制MATLAB的搜索路径 pathtool 修改搜索路径 pause 暂停 pcolor 用颜色反映数据的伪色图 peaks 产生peaks图形数据 pi 3.1415926535897…. pie 饼形统计图 pink 淡粉红色图阵 plot 直角坐标下线性刻度曲线 plot3 三维直角坐标曲线图 plotyy 双纵坐标图 polar 极坐标曲线图 poly 特征多项式,由根创建多项式 poly2sym 将多项式转换为符号多项式 polyfit 多项式拟合 polyval 求多项式的值 polyvalm 求矩阵多项式的值 pow2 2的幂 pretty 习惯方式显示 prism 光谱色图阵 prod 元素积 Q q quad 低阶法数值积分 quadl 高阶法数值积分 quit 退出MATLAB quiver 二维箭头图；主用于场强、流向 R r rand 均匀分布随机数组 randn 正态分布随机数组 random 产生各种分布随机数组 randsrc 产生均布数组 rank 秩 real 复数实部 realmax 最大浮点数 realmin 最小正浮点数 rem 求余数 repmat 铺放模块数组 reshape 矩阵变维 residue 求部分分式表达 return 返回 roots 求多项式的根 rose 频数扇形图；主用于统计 rot90 矩阵逆时针旋转90度 rotate 旋转指令 round 四舍五入取整 rref 转换为行阶梯形 S s save 把内存变量存入磁盘 sec 正割 sech 双曲正割 set 设置图形对象属性 shading 图形渲染模式 shg 显示图形窗 sign 函数符号,符号函数 simple 运用各种指令化简符号表达式 simplify 恒等式简化 simulink 打开SIMULINK集成环境 sin 正弦 sinh 双曲正弦 size 确定数组大小 slice 切片图 solve 求解代数方程组 sphere 产生球面数据 spinmap 颜色周期性变化操纵 spring 青、黄浓淡色 sqrt 平方根 square 轴属性 为方型 ss 产生状态方程LTI对象 stairs 阶梯形曲线图 std 标准差 stem 杆图 stem3 三维离散杆图 str2func 创建函数句柄 （punct） strcmp 比较字符串 String 图形对象属性-字符串 subexpr 运用符号变量置换子表达式 subplot 创建子图 subs 通用置换指令 sum 元素和 summer 绿、黄浓淡色图阵 surf 三维表面图 surfc 带等高线的三维表面图 switch-case 多个条件分支 sym 产生符号对象 syms 定义基本符号对象 symsum 符号序列的求和 T t tan 正切 tanh 双曲正切 taylor Taylor级数 text 图形上文字标注 tf 产生传递函数LTI对象 tfdata 从对象中提取传递函数分子分母多项式系数 tic 秒表起动 title 图形名 toc 秒表终止和显示 trace 迹 trapz 梯形数值积分 true 按指定大小创建全1逻辑数组 triplequad 三重（闭型）数值积分指令 type 显示文件内容 V v var 求方差 version MATLAB 版本 view 设定3-D图形观测点 vpa 给出数值型符号结果 W w what 列出当前目录上的M、MAT、MEX文件 which 确定指定文件所在的目录 while end 不确定次数重复执行语句 whitebg 图形底色控制 who 列出工作内存中的变量名 whos 列出工作内存中的变量细节 winter 蓝、绿浓淡色 X x xlabel X轴名标注 xor 异或 Y y Ycolor 图形对象属性-纵轴颜色 ylabel Y轴名标注 Z z zeros 全零矩阵 zlabel Z轴名标注 zoom 二维图形的变焦放大 ztrans Z变换 Simulink模块 Add 求和模块 Breaker 开关 Current Measurement 电流测量器 Dc Voltage Source 直流电压源 Discrete Filter 离散滤波器模块 Gain 增益模块 In1 输入端口模块 Integrator 连续函数积分 Out1 输出端口模块 Parallel RLC Branch RLC并联支路 Powergui Product 乘法器 Random Source Scope 示波模块 Series RLC Branch RLC串联支路 Simulink SIMULINK基本库 Sine Wave 正弦波输出 Step 阶跃输出 Transfer Fcn 传递函数模块 Voltage Measurement 电压测量器一、MATLAB常用的基本数学函数 abs(x)：纯量的绝对值或向量的长度 angle(z)：复数z的相角(Phase angle) sqrt(x)：开平方 real(z)：复数z的实部 imag(z)：复数z的虚部 conj(z)：复数z的共轭复数 round(x)：四舍五入至最近整数 fix(x)：无论正负，舍去小数至最近整数 floor(x)：地板函数，即舍去正小数至最近整数 ceil(x)：天花板函数，即加入正小数至最近整数 rat(x)：将实数x化为分数表示 rats(x)：将实数x化为多项分数展开 sign(x)：符号函数 (Signum function)。 当x<0时，sign(x)=-1； 当x=0时，sign(x)=0; 当x>0时，sign(x)=1。 rem(x,y)：求x除以y的馀数 gcd(x,y)：整数x和y的最大公因数 lcm(x,y)：整数x和y的最小公倍数 exp(x)：自然指数 pow2(x)：2的指数 log(x)：以e为底的对数，即自然对数或 log2(x)：以2为底的对数 log10(x)：以10为底的对数 二、MATLAB常用的三角函数 sin(x)：正弦函数 cos(x)：馀弦函数 tan(x)：正切函数 asin(x)：反正弦函数 acos(x)：反馀弦函数 atan(x)：反正切函数 atan2(x,y)：四象限的反正切函数 sinh(x)：超越正弦函数 cosh(x)：超越馀弦函数 tanh(x)：超越正切函数 asinh(x)：反超越正弦函数 acosh(x)：反超越馀弦函数 atanh(x)：反超越正切函数 三、适用於向量的常用函数有： min(x): 向量x的元素的最小值 max(x): 向量x的元素的最大值 mean(x): 向量x的元素的平均值 median(x): 向量x的元素的中位数 std(x): 向量x的元素的标准差 diff(x): 向量x的相邻元素的差 sort(x): 对向量x的元素进行排序（Sorting） length(x): 向量x的元素个数 norm(x): 向量x的欧氏（Euclidean）长度 sum(x): 向量x的元素总和 prod(x): 向量x的元素总乘积 cumsum(x): 向量x的累计元素总和 cumprod(x): 向量x的累计元素总乘积 dot(x, y): 向量x和y的内积 cross(x, y): 向量x和y的外积 四、MATLAB的永久常数 i或j：基本虚数单位（即） eps：系统的浮点（Floating-point）精确度 inf：无限大， 例如1/0 nan或NaN：非数值（Not a number），例如0/0 pi：圆周率 p（= 3.1415926...） realmax：系统所能表示的最大数值 realmin：系统所能表示的最小数值 nargin: 函数的输入引数个数 nargin: 函数的输出引数个数 五、MATLAB基本绘图函数 plot: x轴和y轴均为线性刻度（Linear scale） loglog: x轴和y轴均为对数刻度（Logarithmic scale） semilogx: x轴为对数刻度，y轴为线性刻度 semilogy: x轴为线性刻度，y轴为对数刻度 六、plot绘图函数的叁数 字元 颜色 字元 图线型态 y 黄色 . 点 k 黑色 o 圆 w 白色 x x b 蓝色 + + g 绿色 * * r 红色 - 实线 c 亮青色 : 点线 m 锰紫色 -. 点虚线 -- 虚线 七、注解 xlabel("Input Value"); % x轴注解 ylabel("Function Value"); % y轴注解 title("Two Trigonometric Functions"); % 图形标题 legend("y = sin(x)","y = cos(x)"); % 图形注解 grid on; % 显示格线 八、二维绘图函数 bar 长条图 errorbar 图形加上误差范围 fplot 较精确的函数图形 polar 极座标图 hist 累计图 rose 极座标累计图 stairs 阶梯图 stem 针状图 fill 实心图 feather 羽毛图 compass 罗盘图 quiver 向量场图 回答者： edifiers2008 - 助理 二级 8-30 19:141、特殊变量与常数 ans 计算结果的变量名 computer 确定运行的计算机 eps 浮点相对精度 Inf 无穷大 I 虚数单位 inputname 输入参数名 NaN 非数 nargin 输入参数个数 nargout 输出参数的数目 pi 圆周率 nargoutchk 有效的输出参数数目 realmax 最大正浮点数 realmin 最小正浮点数 varargin 实际输入 的参量 varargout 实际返回的参量 操作符与特殊字符 + 加 - 减 * 矩阵乘法 .* 数组乘（对应元素相乘） ^ 矩阵幂 .^ 数组幂（各个元素求幂） 左除或反斜杠 / 右除或斜面杠 ./ 数组除（对应元素除） kron Kronecker张量积 : 冒号 () 圆括 [] 方括 . 小数点 .. 父目录 ... 继续 , 逗号（分割多条命令） ; 分号（禁止结果显示） % 注释 ! 感叹号 " 转置或引用 = 赋值 == 相等 <> 不等于 & 逻辑与 | 逻辑或 ~ 逻辑非 xor 逻辑异或 2、基本数学函数 abs 绝对值和复数模长 acos,acodh 反余弦，反双曲余弦 acot,acoth 反余切，反双曲余切 acsc,acsch 反余割，反双曲余割 angle 相角 asec,asech 反正割，反双曲正割 secant 正切 asin,asinh 反正弦，反双曲正弦 atan,atanh 反正切，双曲正切 tangent 正切 atan2 四象限反正切 ceil 向着无穷大舍入 complex 建立一个复数 conj 复数配对 cos,cosh 余弦，双曲余弦 csc,csch 余切，双曲余切 cot,coth 余切，双曲余切 exp 指数 fix 朝0方向取整 floor 朝负无穷取整 gcd 最大公因数 imag 复数值的虚部 lcm 最小公倍数 log 自然对数 log2 以2为底的对数 log10 常用对数 mod 有符号的求余 nchoosek 二项式系数和全部组合数 real 复数的实部 rem 相除后求余 round 取整为最近的整数 sec,sech 正割，双曲正割 sign 符号数 sin,sinh 正弦，双曲正弦 sqrt 平方根 tan,tanh 正切，双曲正切 3、基本矩阵和矩阵操作 blkding 从输入参量建立块对角矩阵 eye 单位矩阵 linespace 产生线性间隔的向量 logspace 产生对数间隔的向量 numel 元素个数 ones 产生全为1的数组 rand 均匀颁随机数和数组 randn 正态分布随机数和数组 zeros 建立一个全0矩阵 colon) 等间隔向量 cat 连接数组 diag 对角矩阵和矩阵对角线 fliplr 从左自右翻转矩阵 flipud 从上到下翻转矩阵 repmat 复制一个数组 reshape 改造矩阵 roy90 矩阵翻转90度 tril 矩阵的下三角 triu 矩阵的上三角 dot 向量点集 cross 向量叉集 ismember 检测一个集合的元素 intersect 向量的交集 setxor 向量异或集 setdiff 向是的差集 union 向量的并集 数值分析和傅立叶变换 cumprod 累积 cumsum 累加 cumtrapz 累计梯形法计算数值微分 factor 质因子 inpolygon 删除多边形区域内的点 max 最大值 mean 数组的均值 mediam 中值 min 最小值 perms 所有可能的转换 polyarea 多边形区域 primes 生成质数列表 prod 数组元素的乘积 rectint 矩形交集区域 sort 按升序排列矩阵元素 sortrows 按升序排列行 std 标准偏差 sum 求和 trapz 梯形数值积分 var 方差 del2 离散拉普拉斯 diff 差值和微分估计 gradient 数值梯度 cov 协方差矩阵 corrcoef 相关系数 conv2 二维卷积 conv 卷积和多项式乘法 filter IIR或FIR滤波器 deconv 反卷积和多项式除法 filter2 二维数字滤波器 cplxpair 将复数值分类为共轭对 fft 一维的快速傅立叶变换 fft2 二维快速傅立叶变换 fftshift 将FFT的DC分量移到频谱中心 ifft 一维快速反傅立叶变换 ifft2 二维傅立叶反变换 ifftn 多维快速傅立叶变换 ifftshift 反FFT偏移 nextpow2 最靠近的2的幂次 unwrap 校正相位角 多项式与插值 conv 卷积和多项式乘法 roots 多项式的根 poly 具有设定根的多项式 polyder 多项式微分 polyeig 多项式的特征根 polyfit 多项式拟合 polyint 解析多项式积分 polyval 多项式求值 polyvalm 矩阵变量多项式求值 residue 部分分式展开 interp1 一维插值 interp2 二维插值 interp3 三维插值 interpft 使用FFT的一维插值 interpn 多维插值 meshgrid 为3维点生成x和y的网格 ndgrid 生成多维函数和插值的数组 pchip 分段3次Hermite插值多项式 pp

matlab中两个向量.*运算，要两个向量长度一样，然后元素一一对应的乘，结果长度也一样。与数学上的向量点乘是不同的。数学上的乘在matlab中就是各分量组成向量，点乘再求和。两个复数比如(a+bi)点乘(c+di)，在matlab中就是sum([a,b].*[c,d])

首先，两者的运算法则是不同的，复数的运算除了虚数单位i需要满足特殊的规则外，其他和实数的乘法是无异的，但向量的内积是有具体定义的，且向量内积等于对应坐标乘积和，这也是建立在标准正交基的基础上的，二者本身就不是一回事。

复数的各类表达形式 一、 代数形式 表示形式： 表示一个复数 复数有多种表示形式， 常用形式 z=a+bi 叫做代数形式。 二、 几何形式 点的表示形式： 表示复平满的一个点 在直角坐标系中， 以x为实轴， y为虚轴， O为原点形成的坐标系叫做复平面， 这样所有复数都可以复平面上的点表示被唯一确定。 复数 z=a+bi 用复平面上的点 z(a， b )表示。 这种形式使复数的问题可以借助图形来研究。也可反过来用复数的理论解决一些几何问题。 三、 三角形式 表示形式 复数z＝a+bi化为三角形式， z＝r(cosθ +sinθ i)。 式中r=∣ z∣ =√ (a^2+b^2)， 是复数的模(即绝对值)； θ 是以x轴为始边， 射线OZ为终边的角， 叫做复数的辐角， 记作argz， 即argz=θ =arctan(b/a)。 这种形式便于作复数的乘、 除、 乘方、 开方运算。 四、 指数形式 表示形式 将复数的三角形式 z＝r( cosθ +isinθ )中的 cosθ +isinθ 换为 exp(iθ )， 复数就表为指数形式 z＝rexp(iθ )。 向量 在数学与物理中， 既有大小又有方向的量叫做向量（亦称矢量）， 在数学中与之相对的是数量， 在物理中与之相对的是标量。 向量的运算法则 1、 向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 OB+OA=OC。 a+b=(x+x" ， y+y" ) 。 a+0=0+a=a。 向量加法的运算律： 交换律： a+b=b+a； 结合律： (a+b) +c=a+(b+c) 。 2、 向量的减法 如果 a、 b 是互为相反的向量， 那么 a=-b， b=-a， a+b=0. 0 的反向量为 0 AB-AC=CB. 即“ 共同起点， 指向被减” a=(x, y) b=(x" , y" ) 则 a-b=(x-x" , y-y" ) . 如图： c=a-b 以 b 的结束为起点， a 的结束为终点。 3、 数乘向量 实数 λ 和向量 a 的乘积是一个向量， 记作 λ a， 且∣ λ a∣ =∣ λ ∣ · ∣ a∣ 。 当 λ >0 时， λ a 与 a 同方向 当 λ <0 时， λ a 与 a 反方向； 当 λ =0 时， λ a=0， 方向任意。 当 a=0 时， 对于任意实数 λ ， 都有 λ a=0。 注： 按定义知， 如果 λ a=0， 那么 λ =0 或 a=0。 实数 λ 叫做向量 a 的系数， 乘数向量 λ a 的几何意义就是将表示向量a 的有向线段伸长或压缩。 当 λ >1 时， 表示向量 a 的有向线段在原方向（ λ >0） 或反方向（ λ <0）上伸长为原来的∣ λ ∣ 倍 当 λ <1 时， 表示向量 a的有向线段在原方向 （ λ >0）或× × 反方向 （ λ <0）上缩短为原来的∣ λ ∣ 倍。 数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律： (λ a) · b=λ (a· b) =(a· λ b) 。 向量对于数的分配律（ 第一分配律） ： (λ +μ ) a=λ a+μ a. 数对于向...

这个不简单吗？Z1与Z2是并联的，故：1/Z=1/Z1+1/Z2=(Z1+Z2)/(Z1*Z2)，即：Z=Z1*Z2/(Z1+Z2)用复数做：1/Z1+1/Z2=1/(3+4j)+1/(8-6j)=(3-4j)/25+(8+6j)/100=(6/50+4/50)+(3/50-8/50)j=1/5-j/10，故：Z=1/(1/5-j/10)=20(1/5+j/10)=4+2jZ1=3+4j=5∠53.1°，只是复数的另一种表示方法，模值接复角Z2=8-6j=10∠-36.9°和Z=4+2j=4.47∠26.5°也是一样的。

特征向量确实有很明确的几何意义，矩阵乘以一个向量的结果仍 是同维数的一个向量。因此矩阵乘法对应了一个变换，把一个向量变成同维数的另一个向量，变换的效果与矩阵的构造有密切关系，比如可 以取适当的二维方阵，使得这个变换的效果就是将平面上的二维向量逆时针旋转30度。

复数形如a+bi(a、b均为实数，i为虚数），其向量坐标表示为（a,b）,在平面直角坐标系中描出点P（a，b）,l连接原点O与点P，则有向线段OP（方向O指向P）即是向量。

复数的几何意义是平面向量。复数由实部和虚部组成，复平面的定义域为R^2，与平面向量一致，故后者可用于表示复数

向量共轭就是两个向量大小相同，方向相反。

用独立变量描述的系统状态向量的维数是唯一。输入向量改变系统动态行为的主要手段，通常是由设计者来选择的;输出向量又称量测向量，它是人们了解系统动态行为信息的来源.例如在连续线性时变控制系统中，x∈Rn是状态向量，u∈Rr是控制向量，y∈Rm是输出向量.当A(t)=A，B(t)=B，C(t)=C时，则称(1)为连续线性定常系统.对连续线性定常控制系统，为了提高控制和量测设备的利用率，通常设其中rank(·)表示矩阵的秩.扩展资料在概率统计理论中，随机过程中，任何时刻的取值都为随机变量，如果这些随机变量服从同一分布，并且互相独立，那么这些随机变量是独立同分布的，这些变量称为独立同分布变量。性质：（1）服从同一分布（2）相互独立

状态空间模型的状态向量选择。1、状态变量：电感电流和电容电压。电路中的不可突变量，存在一阶微分。2、输出变量：这个是关注的量，比如电压源型变换器的输出电压。

关系：输出是系统对环境的作用，而状态是完全的描述系统运动行为的一组信息。另外，输出总是可以测量的，而状态变量信息并不一定都能测量到。状态变量是用来描述某一状态范围内所给定的变量，可以看成是外生变量，在状态不变的情况下，状态变量的值也就是一定的。控制变量是在作模型分析时提到的概念。当一个模型中存在多个变量，要分析每个变量对最后结果的影响，通常是假定其他变量不变，只有一个变量变动时对最后结果的影响，这个变量就是控制变量。释义状态变量是完整描述系统运动的一组变量。它应能确定系统未来的演化行为。例如，理想气体的状态变量为温度T、压力P和体积V，一维质点运动的状态变量为它的位置和速度。对应于系统是连续或跳跃式的演化，其状态变量亦可以是连续的或者是离散的。能够完全描述动态系统时域行为的所含变量个数最少的变量组称为系统的状态变量。所谓完全描述系统的时域行为指的是，如果给定初始时刻t0∈I的状态x（t0）和［t0，t］I上的输入函数u（t），则系统在［t0，t）I上任何瞬时的行为都唯一地被确定了。以上内容参考：百度百科-状态变量

http://www.isud.com.cn/showdown.asp?soft_id=21107向量的加法》说课稿 一、教材分析：《向量的加法》是《必修》4第二章第二单元中“平面向量的线性运算”的第一节课。本节内容有向量加法的平行四边形法则、三角形法则及应用，向量加法的运算律及应用，大约需要1课时。向量的加法是向量的线性运算中最基本的一种运算，向量的加法及其几何意义为后继学习向量的减法运算及其几何意义、向量的数乘运算及其几何意义奠定了基础；其中三角形法则适用于求任意多个向量的和，在空间向量与立体几何中有很普遍的应用。所以本课在“平面向量”及“空间向量”中有很重要的地位。二、学情分析：学生在上节课中学习了向量的定义及表示，相等向量，平行向量等概念，知道向量可以自由移动，这是学习本节内容的基础。学生对数的运算了如指掌，并且在物理中学过力的合成、位移的合成等矢量的加法，所以向量的加法可通过类比数的加法、 http://www.isud.com.cn/down.asp?cat_id=17&class_id=238 『高中数学说课稿』高中数学立体几何《二面角》说课稿 ·我说的课是立体几何第一章《直线和平面》第十四节《二面角》. 教材分析 1,教材地位和作用二面角及其平面角的概念是立体几何最重要的概念之一.二面角的概念发展,完善了空间角的概...... 软件大小：未知 授权方式：免费下载 下载：6747 推荐程度： 『高中数学说课稿』高一数学说课稿 函数的单调性 ·一,本节课的地位和作用: 苏教版《全日制普通高级中学教科书(必修1)数学》函数的单调性第一课时.在高考的重要考查范围之内.函数的单调性是函数的一个重要性质,也是在研究函数时经常要...... 软件大小：未知 授权方式：免费下载 下载：18244 推荐程度： 『高中数学说课』《向量的加法》说课稿 《必修》4 ·《向量的加法》说课稿 一、教材分析：《向量的加法》是《必修》4第二章第二单元中“平面向量的线性运算”的第一节课。本节内容有向量加法的平行四边形法则、三角形法则及应用，向...... 软件大小：未知 授权方式：免费下载 下载：0 推荐程度： 『高中数学说课』人教A版数学必修4 平面向量数量积的物理背景及其含义 ·说课内容：普通高中课程标准实验教科书（人教A版）《数学必修4》第二章第四节“平面向量的数量积”的第一课时---平面向量数量积的物理背景及其含义。下面，我从背景分析、教学目标设计...... 软件大小：未知 授权方式：免费下载 下载：0 推荐程度： 『高中数学说课』《线段的定比分点》说课稿 高一下册 ·《线段的定比分点》说课稿各位老师，领导，早上好 今天我说课的课题是高一下册第五章第5节线段的定比分点．现我就教材，教法，学法，教学程序，板书五个方面进行说明．一、说...... 软件大小：未知 授权方式：免费下载 下载：0 推荐程度： 『高中数学说课』《平面向量的坐标运算》说课稿 ·今天，我说课的内容是：人教版全日制普通高级中学教科书第一册（下）、第五章第四节《平面向量的坐标运算》第一课时，我将从教材分析、学生分析、教学方法和手段、教学过程以及板书设计五个方面...... 软件大小：未知 授权方式：免费下载 下载：0 推荐程度： 『高中数学说课』《函数的单调性》说课稿 ·一、 教学内容的分析 1．教材的地位和作用首先，从单调性知识本身来讲.学生对于函数单调性的学习共分为三个阶段，第一阶段是在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数图象的基础上...... 软件大小：未知 授权方式：免费下载 下载：23 推荐程度： 『高中数学说课』组合数的两个性质 说课稿 ·说课材料二 课题：组合数的两个性质 教材：人教版P100~102（2001年10月第2版）本说课材料分成两个部分：说课稿和与说课稿配套的教案. 一、说课稿：...... 软件大小：未知 授权方式：免费下载 下载：360 推荐程度： 『高中数学说课』《二项式定理》说课稿 ·高三复习课《二项式定理》说课稿 高三第一阶段复习，也称“知识篇”。在这一阶段，学生重温高一、高二所学课程，全面复习巩固各个知识点，熟练掌握基本方法和技能；然后站在全局的高度...... 软件大小：未知 授权方式：免费下载 下载：363 推荐程度： 『高中数学说课』北师大版必修一生活中的变量关系(说课稿) ·生活中的变量关系(说课稿) 本节通过创设问题情境引出生活中的变量关系。利用由...... 软件大小：未知 授权方式：免费下载 下载：143 推荐程度： 『高中数学说课』等差数列的前n项和说课材料 ·说课材料一 课题： 等差数列的前n项和（第一课时）.教材：人教版（2003年第一版）. 说课材料一共分两个部分，说课稿；与说课稿相配套的教案.教案是备课的产物，...... 软件大小：未知 授权方式：免费下载 下载：602 推荐程度： 『高中数学说课』《函数的单调性》说课稿 ·《函数的单调性》说课稿 各位专家、评委：大家好！ 很高兴有机会参加这次说课活动，希望专家和评委对我的说课提出宝贵意见．我说课的内容是《函数的单调性》的教学设计，下面我分...... 软件大小：未知 授权方式：免费下载 下载：903 推荐程度： 『高中数学说课』抛物线及其标准方程说课教案 高二数学 ·说课教案 课题：抛物线及其标准方程教材：全日制普通高级中学教科书（必修） 人民教育出版社 高二数学 第二册（上） § 8.5 教材内...... 软件大小：未知 授权方式：免费下载 下载：440 推荐程度： 『高中数学说课』抛物线焦点性质的探索（说课）高中新教材必修二 ·抛物线焦点性质的探索（说课）高中新教材（试验修订本u2022必修）数学第二册（上）抛物线的习题课 1 教材分析 1、1 教材的地位与作用 “抛物线焦点的性质”是抛物...... 软件大小：未知 授权方式：免费下载 下载：190 推荐程度： 『高中数学说课』《对称美》说课稿 人教版高中数学 ·《对称美》说课稿 一、教学背景分析本节课所选的内容：对称意味着某种变换下的不变性，即“组元的构形在其自同构变换群作用下所具有的不变性”。在很多学科学习及思想方法运用中也...... 软件大小：未知 授权方式：免费下载 下载：174 推荐程度： 『高中数学说课』《空间向量的坐标运算》说课稿 ·《空间向量的坐标运算》——说课稿 各位评委、老师：大家好! 我是来自南安一中的数学教师，很荣幸能够参加此次的说课活动，希望各位评委、老师对我的说课内容提出宝贵意见．今...... 软件大小：未知 授权方式：免费下载 下载：493 推荐程度： 『高中数学说课』高一数学(必修)说课 反函数 ·《反函数》说课 说课内容：《高中代数》（必修本）上册第1.11节一、说教材 1、地位与重要性 “反函数”一节课是《高中代数》第一册的重要内容。这一节课与函数的...... 软件大小：未知 授权方式：免费下载 下载：1468 推荐程度： 『高中数学说课』数学A版必修3《循环结构》说课教案 ·《循环结构》说课 各位老师： 大家好！我叫翟艳丽，来自牡丹江市第一高级中...... 软件大小：未知 授权方式：免费下载 下载：632 推荐程度： 『高中数学说课』人教版高一化学《氧化还原反应（第一课时）》说课 ·人教版新教材《氧化还原反应（第一课时）》说课 一、说教材 1．教材的地位和作用 “氧化还原反应”是人教版高一化学新教材第二章第三节的内容。对于氧化氧化还原反应，在中学新课...... 软件大小：未知 授权方式：免费下载 下载：303 推荐程度： 『高中数学说课』高中数学必修5“不等式”说课稿 ·说课稿 一、教材分析 （一）教材所处的地位和作用 “基本不等式： ”是全日制普通高中新课程标准实验教科书数学必修5“不等式”一章的内容，是在学完不等式性质...... 软件大小：未知 授权方式：免费下载 下载：1002 推荐程度： 『高中数学说课』人教版“机械能守恒定律”说课稿 ·一、教材分析（一）教材地位能量守恒定律是十九世纪自然科学三大发现之一，对辨证唯物主义思想的建立起了重要作用，是学生树立辨证唯物主义观点的重要基础之一；能量转化和守恒思想贯穿...... 软件大小：未知 授权方式：免费下载 下载：421 推荐程度： 『高中数学说课』人教版《数学》第二册二面角说课稿 ·课题：二面角我说课的题目是《二面角》我把说课内容分成教材和学生已有的认知结构的分析、教学方法与手段、学法指导、教学程序四个部分。教材：人教版《数学》第二册（下A）（必修）P...... 软件大小：未知 授权方式：免费下载 下载：714 推荐程度： 『高中数学说课』高中数学必修4函数 的图象说课 ·说课课题:函数 的图象 乐昌一中 吴周焕本人说课的内容是《函数 的图象》，现在我就教材、教法与学法、采用教具以及教学程序四个方面进行解析....... 软件大小：未知 授权方式：免费下载 下载：615 推荐程度： 『高中数学说课』苏教版必修1函数的单调性说课稿 ·一、教材分析 1、教材内容本节课是苏教版第二章《函数概念和基本初等函数Ⅰ》§2．1．3函数简单性质的第一课时，该课时主要学习增函数、减函数的定义，以及应用定义解决一些简单问题...... 软件大小：未知 授权方式：免费下载 下载：785 推荐程度： 『高中数学说课』人教版高中必修一《函数y=Asin(ωx+φ)的图象》说课稿.. ·《函数y=Asin(ωx+φ)的图象(第二课时)》说课稿 我说课的内容是人教版／全日制普通高级中学教科书（必修）／第一册（下）第四章第九节《函数y=Asin(ωx+φ)的图象...... 软件大小：未知 授权方式：免费下载 下载：649 推荐程度： 『高中数学说课』高中数学必修一二倍角的正弦、余弦、正切说课稿 ·二倍角的正弦、余弦、正切说课稿 各位领导、专家， 各位同学 、大家上午好！今天我说课的题目是全日制普通高级中学教科书（必修）数学第一册（下）第四章三角函数第七节《二倍角的正弦...... 软件大小：未知 授权方式：免费下载 下载：766 推荐程度： 『高中数学说课』高中新教材修订必修数学二抛物线焦点性质的探索说课 ·抛物线焦点性质的探索（说课）高中新教材（试验修订本u2022必修）数学第二册（上）抛物线的习题课 1 教材分析 1、1 教材的地位与作用 “抛物线焦点的性质”是抛物...... 软件大小：未知 授权方式：免费下载 下载：319 推荐程度： 『高中数学说课』苏教版高中数学必修一《函数的概念和图象》说课稿 ·《函数的概念和图象》说课稿 本节课的内容来自苏教版普通高中课程标准实验教科书（必修）数学第一册、第二章、第一节。题目是《函数概念和图象》。以下，我将从六大方面展开论述：一...... 软件大小：未知 授权方式：免费下载 下载：671 推荐程度： 『高中数学说课』高中数学必修五正弦定理的说课稿 ·正弦定理的说课稿 大家好，今天我向大家说课的题目是《正弦定理》。下面我将从以下几个方面介绍我这堂课的教学设计。一 教材分析 本节知识是必修五第一章《解三角形》的第...... 软件大小：未知 授权方式：免费下载 下载：457 推荐程度： 『高中数学说课』高中数学必修四三角函数的诱导公式（说课稿） ·三角函数的诱导公式（说课稿） 一、教材分析 1、教材的地位和作用《三角函数的诱导公式》是普通高中课程标准实验教科书必修四第一章第三节，其主要内容是三角函数的诱导公式中的...... 软件大小：未知 授权方式：免费下载 下载：550 推荐程度： 首页 上一页 1 2 3 下一页 尾页

MFC中有CString；C++中只能用标准模版库中的string了。在文件头加入这两句，就可以定义string 变量了。#include<string>using namespace std;

把系数矩阵经初等行变换化成梯矩阵非零行的从左至右第1个不等于0的数所处的列对应的未知量是约束变量,其余未知量就是自由未知量.如A化成123450067800009非零行的首非零元是1,6,9,处在1,3,5列,x1,x3,x5就是约束变量其余。

R语言数据结构主要有以下四种： 向量：一串相同类型的数据，不限于数字，字符，逻辑都可以，单独拿出来的一列。什么是看做一个整体，一个向量里有若干个数据，它们组成一个整体之后，可以拥有一个共同的名字。 以下主要讲向量： 向量就是一串数据，串联在一起，组成一个整体，向量由元素组成。 很长的向量要么从数据框提取一列，或是有规律地生成，如连续的数据： paste0函数连接两个向量，逗号 , 前后各有一个向量，如字符型和数值型向量。 paste0和paste的区别是： paste0函数 把两个向量的元素一一对应进行 无缝 连接，而 paste函数 把两个向量的元素一一对应进行 空格 连接。paste函数有默认值为空格，在空格处把空格去掉sep=""引号里把默认的空格去掉，即什么没有，就变成无缝连接，也可以用其它的符号连接sep="/"，sep="_"等。 数值型、字符型、逻辑型：只要有字符型在，用c()生成向量为字符型。只有逻辑型和数值型，用c()生成向量为数值型。 c()函数生成向量时，要求为生成同一种数据类型 注意的地方： 变量名 ：c()为生成向量函数，一般除字母c外，取单个字母或是单词及缩写，组成变量名的字母之间不要有空格，不能以数字为变量名或是以数字开头，变量名不能是中文名，特殊符号等。 <- 与c()函数之间没有空格。 <- 的快捷键输入： mac电脑： option 和 - ； windows电脑： Alt 和 - = 在任何情况下可替代 <- ，但是 = 除了赋值，还有其它用法，比如函数里参数用法。 <- 不能在任意情况下代替 = 。 强大的计算是体现在批量计算上，先把一些数据组成一个整体， 还是以向量x为单位进行 其中五个重要函数，一定要掌握。 能用函数代替的东西，坚决不用手和眼睛去数，比如length()统计向量元素个数。 结论：unique(x)与x[!duplicated(x)]函数相同 用identical()可以判断两个函数是否相同（数据结构与数据类型是否完全相同） 重点和难点： x==y ：x和对应位置的y相等吗？（x和y里的元素，按顺序一一对应比较，讲究位置对应，两者里第一个元素相同就返TRUE，比较完两个向量的第一位置上的元素，接着比较两个向量第二个位置元素...到两个向量最后）。 x和y不一样长：理解“循环补齐” 结论： 如果x与y的向量元素长度不相等，以长度向量说了算，不是由在==前的向量决定。 x%in%y ：x的每个元素在y中存在吗？（x的元素挨个到y里和所有元素比较，在y里有的相同的返回TRUE，不讲究位置，有就是TRUE，没有为FALSE）。比如y向量加了一个元素2，返回还是9个逻辑值，返回的逻辑值是与x一一对应，和y没有关系。 加减乘除，两个向量直接可以进行，等位运算。前提是两个向量必须等长，即元素个数一样。 用paste0或是paste连接两个向量，两个向量的长度（元素个数）不一致，循环补齐。 intersect(x,y)，union(x,y)，setdiff(x,y)，setdiff(y,x)，x与y顺序颠倒（setdiff()与%in%有点儿相似）。 [] ：取子集符号，将TRUE对应的值挑选出来，FALSE丢弃. 例：在13个数中，取出大于7的数，首先把13个数值组成一个向量x，x>7返回是逻辑值。 取值子集的对象放在中括号的外面，取子集的逻辑值向量放在中括号里面。 单独运行中括号里的向量，中括号里各种条件的返回结果有共同的规律，是一个与x等长的逻辑值向量。 下标：代表在哪个位置上。 符号 ： [] 按照逻辑值： 中括号里是与x等长的逻辑值向量 按照位置： 中括号里是由x的下标组成的向量（支持反选） 思考：从13个彩色（绿，蓝，黄）球中，选出属于蓝色和绿色的： 使用x %in% y还是x ==y，用x %in% y，不是等位循环补齐运算，%in%比较灵活，可以在很多场景中使用，如3选2，50选2，50选20等。 13个球的颜色赋值给向量x，蓝色和绿色赋值给y。 x %in% y x[x %in% y] 修改向量的元素，修改x里的第四个元素 注意：R于语言里所有的修改，都要赋值，没有赋值就是没有发生过 把随机函数生成的数永远为一组数据：用随机函数生成向量，后运行set.seed(10086) x[match(y,x)] 和 x[order(x)] 排序，如何调整元素顺序 结论：sort(x)等于x[order(x)]，背诵下来 两个向量没有做关联的操作，可以用order函数排序对应信息 向量匹配排序-match，match函数是连线用的 x[match(y,x)] 的以后用法：以y作为模版，给x调顺序。 match：谁在中括号外面，谁就在后面， x[match(y,x)] ，以y作为模板，用x作为原料去取子集，按照一个顺序取子集，取出来的子集和y一样。 需要背诵的两个用法： x[match(y,x)] 和 x[order(x)] 练习题：在以下x和y表格里如何将y的列名一对一替换为ID 切换Rproj的时候出现弹窗：是否将工作空间保存到 .Rdata ？ 答案是：不保存，之前单独保存好脚本和图片，这里出现的提示是否临时保存，不需要保存。 .Rdata ？是什么： 以 . 开头的文件，通常用作配置，系统默认隐藏这类文件 .Rdata 是保存工作空间的默认文件 .History 是保存历史命令的默认文件 如果打开Rstudio特别慢，可能是因为 .Rdata 保存了很大的变量，可以找到 .Rdata 文件将其删除。 在Rproj右下角打开脚本时，编辑器脚本的中文注释出现乱码，解决如下： 以上内容是听 生信技能树 小洁老师的 R语言线上课 ，根据自己的理解记录下来，小洁老师授课非常细心，对不同水平的同学都照顾到，并且补充很多技巧以及注意事项。 之前学习过R语言，那时对向量认识不够深，也没有重视，数据框的列单独拿出来就是一个向量。认真听小洁老师的讲解以及最近跑几个GEO数据集发现学会对向量的熟练操作以及熟练一些重要的函数，在实战过程中会顺利些。

自由未知量 x1 取1, 不能取0得特征向量 (1,0,...,0)^T

自由变量任取一组数即可确定方程组的一个解向量为了使得到的解向量线性无关, 所以自由变量一般取 1,0,...0; 0,1,...0; .....当然, 在保证线性无关的前提下也可以取其它的数, 但计算就麻烦了

特征向量是不唯一的，只要取两个线性无关的向量就行。。由0*x1+x2+x3=0,可以得到这个方程的基础解系包含两个线性无关的向量，可以取作特征向量先令自由变量x1=1,x3=0,可得到x2=1令自由变量x1=0,x3=1,可得到x2=-1

其实这种表示方式并不科学，也很少用，因为它选定了x2作为自由变量来表达结果，实际上，针对这个方程，选择任何一个变量为自由变量都可以。比如选x3为自由变量，结果就可以表示为 x2=x3，x1=-x3。完整的情况，应该表达为向量的形式，即(x1,x2,x3)T = k(-1,1,1)T，知道了向量的形式，各个未知量之间的关系显而易见。

从右往左看不就可以了吗，而且李永乐讲过了这种方法选单位矩阵

决策变量是一个长度为 n 的列向量，确定它的最优值是线性规划的目的。

..通常来说，决策变量 是一个长度为 n 的列向量，确定它的最优值是线性规划的目的。此外，决策变量 的取值范围会受到很多约束。

使用牛顿拉-克逊法则？我们专业学过这种法则，也是多维向量预测的，使用了多元泰勒级数一阶展开的方式，多次迭代后预估最终值，过程需要用到计算机软件辅助运算。

VAR模型描述在同一样本期间内的n个变量（内生变量）可以作为它们过去值的线性函数。　　一个VAR(p)模型可以写成为：　　其中：c是n × 1常数向量，Ai是n × n矩阵。et是n × 1误差向量，满足：—误差项的均值为0—误差项的协方差矩阵为Ω（一个n × "n正定矩阵）（对于所有不为0的k都满足）—误差项不存在自相关1.例子　　一个有两个变量的VAR(1)模型可以表示为：或者也可以写为以下的方程组：y1,t=c1+A1,1y1,t-1+A1,2y2,t-1+e1,ty2,t=c2+A2,1y1,t-1+A2,2y2,t-1+e2,t·2.转换VAR(p)为VAR(1)VAR(p)模型常常可以被改写为VAR(1)模型。　　比如VAR(2)模型：　　yt = c + A1yt u2212 1 + A2yt u2212 2 + et　　可以转换成一个VAR(1)模型：其中I是单位矩阵。

是的．欧式空间指的是三维或二维空间都可．而(x,y)=|x||y|(cosθ)指的是二维空间的

看了很多关于SVM的博客，但是常常只能保存书签之后看，有时候有的博客就突然没了，这里就作为搬运工总结一下之后自己看吧。主要内容来自于： 支持向量机通俗导论（理解SVM的三层境界） 线性回归 给定数据集 , 其中, ,线性回归试图学习到一个线性模型,尽可能地输出正确标记. 如果我们要用线性回归算法来解决一个分类问题,(对于分类,y 取值为 0 或者 1),但如果你使用的是线性回归,那么假设函数的输出值可能远大于 1,或者远小于 0,就算所有训练样本的标签 y 都是 0 或 1但是如果算法得到的值远大于 1 或者远小于 0 的话,就会感觉很奇怪。所以我们在接下来的要研究的算法就叫做逻辑回归算法,这个算法的性质是:它的输出值永远在 0 到 1 之间。 所以逻辑回归就是一个分类算法,这个算法的输出值永远在 0 到 1 之间. 我们先看二分类的LR,具体做法是:利用sigmoid 函数,将每一个点的回归值映射到0,1之间.sigmoid函数特性如下: 如图所示,令 , 当 z > 0 , z 越大, sigmoid 返回值越接近1(但永远不会超过1). 反之,当z < 0时,z 越小, sigmoid 返回值越接近0(但永远不会小于0). 支持向量机 ，因其英文名为support vector machine，故一般简称SVM，通俗来讲，它是一种二类分类模型，其基本模型定义为 特征空间 上的间隔最大的线性分类器，其学习策略便是间隔最大化，最终可转化为一个凸二次规划问题的求解。 线性分类器 给定一些数据点，它们分别属于两个不同的类，现在要找到一个线性分类器把这些数据分成两类。如果用x表示数据点，用y表示类别（y可以取1或者-1，分别代表两个不同的类），一个线性分类器的学习目标便是要在n维的数据空间中找到一个超平面（hyper plane），这个超平面的方程可以表示为（ wT中的T代表转置）： logistic回归目的是从特征学习出一个0/1分类模型，而这个模型是将特性的线性组合作为自变量，由于自变量的取值范围是负无穷到正无穷。因此，使用logistic函数（或称作sigmoid函数）将自变量映射到(0,1)上，映射后的值被认为是属于y=1的概率。 假设函数: 其中x是n维特征向量，函数g就是logistic函数。 图像为： 在超平面w x+b=0确定的情况下，|w x+b|能够表示点x到距离超平面的远近，而通过观察w x+b的符号与类标记y的符号是否一致可判断分类是否正确，所以，可以用(y (w*x+b))的正负性来判定或表示分类的正确性。于此，我们便引出了函数间隔（functional margin）的概念。 定义函数间隔 （用表示）为 而超平面(w，b)关于T中所有样本点(xi，yi)的函数间隔最小值（其中，x是特征，y是结果标签，i表示第i个样本），便为超平面(w, b)关于训练数据集T的函数间隔： 但这样定义的函数间隔有问题，即如果成比例的改变w和b（如将它们改成2w和2b），则函数间隔的值f(x)却变成了原来的2倍（虽然此时超平面没有改变），所以只有函数间隔还远远不够。 事实上，我们可以对法向量w加些约束条件，从而引出真正定义点到超平面的距离--几何间隔（geometrical margin）的概念。 假定对于一个点 x ，令其垂直投影到超平面上的对应点为 x0 ，w 是垂直于超平面的一个向量， 为样本x到超平面的距离，如下图所示： 根据平面几何知识，有 其中||w||为w的二阶范数（范数是一个类似于模的表示长度的概念）， 是单位向量（一个向量除以它的模称之为单位向量）。 又由于x0 是超平面上的点，满足 f(x0)=0，代入超平面的方程 ,可得 ，即 随即让此式 的两边同时乘以 ，再根据 和 ，即可算出 ： 为了得到 的绝对值，令 乘上对应的类别 y，即可得出几何间隔（用 表示）的定义： 从上述函数间隔和几何间隔的定义可以看出：几何间隔就是函数间隔除以||w||，而且函数间隔y (wx+b) = y f(x)实际上就是|f(x)|，只是人为定义的一个间隔度量，而几何间隔|f(x)|/||w||才是直观上的点到超平面的距离。 对一个数据点进行分类，当超平面离数据点的“间隔”越大，分类的确信度（confidence）也越大。所以，为了使得分类的确信度尽量高，需要让所选择的超平面能够最大化这个“间隔”值。这个间隔就是下图中的Gap的一半。 通过由前面的分析可知：函数间隔不适合用来最大化间隔值，因为在超平面固定以后，可以等比例地缩放w的长度和b的值，这样可以使得 的值任意大，亦即函数间隔 可以在超平面保持不变的情况下被取得任意大。但几何间隔因为除上了 ，使得在缩放w和b的时候几何间隔的值 是不会改变的，它只随着超平面的变动而变动，因此，这是更加合适的一个间隔。换言之，这里要找的最大间隔分类超平面中的“间隔”指的是几何间隔。 于是最大间隔分类器（maximum margin classifier）的目标函数可以定义为 同时需满足一些条件，根据间隔的定义，有 回顾下几何间隔的定义 ，可知：如果令函数间隔 等于1（之所以令等于1，是为了方便推导和优化，且这样做对目标函数的优化没有影响），则有 = 1 / ||w||且 ，从而上述目标函数转化成了： 相当于在相应的约束条件 下，最大化这个1/||w||值，而1/||w||便是几何间隔。 据了解， 由于这个问题的特殊结构，还可以通过拉格朗日对偶性（Lagrange Duality）变换到对偶变量 (dual variable) 的优化问题，即通过求解与原问题等价的对偶问题（dual problem）得到原始问题的最优解，这就是线性可分条件下支持向量机的对偶算法，这样做的优点在于：一者对偶问题往往更容易求解；二者可以自然的引入核函数，进而推广到非线性分类问题。 那什么是拉格朗日对偶性呢？简单来讲，通过给每一个约束条件加上一个拉格朗日乘子 ,（Lagrange multiplier），定义拉格朗日函数（通过拉格朗日函数将约束条件融合到目标函数里去，从而只用一个函数表达式便能清楚的表达出我们的问题） 然后令： 容易验证，当某个约束条件不满足时，例如 ，那么显然有 （只要令 即可）。而当所有约束条件都满足时，则最优值为 ，亦即最初要最小化的量。 因此，在要求约束条件得到满足的情况下最小化 ，实际上等价于直接最小化 （当然，这里也有约束条件，就是 ≥0,i=1,…,n） ，因为如果约束条件没有得到满足， 会等于无穷大，自然不会是我们所要求的最小值。 具体写出来，目标函数变成了： 这里用 表示这个问题的最优值，且和最初的问题是等价的。如果直接求解，那么一上来便得面对w和b两个参数，而 又是不等式约束，这个求解过程不好做。不妨把最小和最大的位置交换一下，变成： 交换以后的新问题是原始问题的对偶问题，这个新问题的最优值用 来表示。而且有 ≤ ，在满足某些条件的情况下，这两者相等，这个时候就可以通过求解对偶问题来间接地求解原始问题。 换言之，之所以从minmax 的原始问题，转化为maxmin 的对偶问题，一者因为 是 的近似解，二者，转化为对偶问题后，更容易求解。 下面可以先求L 对w、b的极小，再求L对 的极大。 KKT条件 ≤ 在满足某些条件的情况下，两者等价，这所谓的“满足某些条件”就是要满足KKT条件。 要让两者等价需满足strong duality （强对偶），而后有学者在强对偶下提出了KKT条件，且KKT条件的成立要满足constraint qualifications，而constraint qualifications之一就是Slater条件。所谓Slater 条件，即指：凸优化问题，如果存在一个点x，使得所有等式约束都成立，并且所有不等式约束都严格成立（即取严格不等号，而非等号），则满足Slater 条件。对于此处，Slater 条件成立，所以 ≤ 可以取等号。 一般地，一个最优化数学模型能够表示成下列标准形式： 其中，f(x)是需要最小化的函数，h(x)是等式约束，g(x)是不等式约束，p和q分别为等式约束和不等式约束的数量。 KKT条件的意义：它是一个非线性规划（Nonlinear Programming）问题能有最优化解法的必要和充分条件。 而KKT条件就是指上面最优化数学模型的标准形式中的最小点 x* 必须满足下面的条件： 我们这里的问题是满足 KKT 条件的（首先已经满足Slater条件，再者f和gi也都是可微的，即L对w和b都可导），因此现在我们便转化为求解第二个问题。 也就是说，原始问题通过满足KKT条件，已经转化成了对偶问题。而求解这个对偶学习问题，分为3个步骤：首先要让L(w，b，a) 关于 w 和 b 最小化，然后求对 的极大，最后利用SMO算法求解对偶问题中的拉格朗日乘子。 对偶问题求解的3个步骤 将以上结果代入之前的L： 得到： 具体推导过程是比较复杂的，如下所示： 最后，得到： “倒数第4步”推导到“倒数第3步”使用了线性代数的转置运算，由于ai和yi都是实数，因此转置后与自身一样。“倒数第3步”推导到“倒数第2步”使用了(a+b+c+…)(a+b+c+…)=aa+ab+ac+ba+bb+bc+…的乘法运算法则。最后一步是上一步的顺序调整。 从上面的最后一个式子，我们可以看出，此时的拉格朗日函数只包含了一个变量，那就是 （求出了 便能求出w，和b，由此可见，则核心问题：分类函数 也就可以轻而易举的求出来了）。 上述式子要解决的是在参数上 求最大值W的问题，至于 和 都是已知数。要了解这个SMO算法是如何推导的，请跳到下文第3.5节、SMO算法。 总结 让我们再来看看上述推导过程中得到的一些有趣的形式。首先就是关于我们的 hyper plane ，对于一个数据点 x 进行分类，实际上是通过把 x 带入到 算出结果然后根据其正负号来进行类别划分的。而前面的推导中我们得到: 因此分类函数为： 这里的形式的有趣之处在于，对于新点 x的预测，只需要计算它与训练数据点的内积即可（表示向量内积），这一点至关重要，是之后使用 Kernel 进行非线性推广的基本前提。此外，所谓 Supporting Vector 也在这里显示出来——事实上，所有非Supporting Vector 所对应的系数 都是等于零的，因此对于新点的内积计算实际上只要针对少量的“支持向量”而不是所有的训练数据即可。 为什么非支持向量对应的 等于零呢？直观上来理解的话，就是这些“后方”的点——正如我们之前分析过的一样，对超平面是没有影响的，由于分类完全有超平面决定，所以这些无关的点并不会参与分类问题的计算，因而也就不会产生任何影响了。 回忆一下我们通过 Lagrange multiplier得到的目标函数： 注意到如果 xi 是支持向量的话，上式中红颜色的部分是等于 0 的（因为支持向量的 functional margin 等于 1 ），而对于非支持向量来说，functional margin 会大于 1 ，因此红颜色部分是大于零的，而 又是非负的，为了满足最大化， 必须等于 0 。这也就是这些非Supporting Vector 的点的局限性。 至此，我们便得到了一个maximum margin hyper plane classifier，这就是所谓的支持向量机（Support Vector Machine）。当然，到目前为止，我们的 SVM 还比较弱，只能处理线性的情况，不过，在得到了对偶dual 形式之后，通过 Kernel 推广到非线性的情况就变成了一件非常容易的事情了(通过求解对偶问题得到最优解，这就是线性可分条件下支持向量机的对偶算法，这样做的优点在于：一者对偶问题往往更容易求解；二者可以自然的引入核函数，进而推广到非线性分类问题”)。 事实上，大部分时候数据并不是线性可分的，这个时候满足这样条件的超平面就根本不存在。在上文中，我们已经了解到了SVM处理线性可分的情况，那对于非线性的数据SVM咋处理呢？对于非线性的情况，SVM 的处理方法是选择一个核函数 κ(u22c5,u22c5) ，通过将数据映射到高维空间，来解决在原始空间中线性不可分的问题。 具体来说，在线性不可分的情况下，支持向量机首先在低维空间中完成计算，然后通过核函数将输入空间映射到高维特征空间，最终在高维特征空间中构造出最优分离超平面，从而把平面上本身不好分的非线性数据分开。如图所示，一堆数据在二维空间无法划分，从而映射到三维空间里划分： 而在我们遇到核函数之前，如果用原始的方法，那么在用线性学习器学习一个非线性关系，需要选择一个非线性特征集，并且将数据写成新的表达形式，这等价于应用一个固定的非线性映射，将数据映射到特征空间，在特征空间中使用线性学习器，因此，考虑的假设集是这种类型的函数： 这里u03d5：X->F是从输入空间到某个特征空间的映射，这意味着建立非线性学习器分为两步： 首先使用一个非线性映射将数据变换到一个特征空间F， 然后在特征空间使用线性学习器分类。 而由于对偶形式就是线性学习器的一个重要性质，这意味着假设可以表达为训练点的线性组合，因此决策规则可以用测试点和训练点的内积来表示： 如果有一种方式可以在特征空间中直接计算内积〈φ(xi · φ(x)〉，就像在原始输入点的函数中一样，就有可能将两个步骤融合到一起建立一个非线性的学习器，这样直接计算法的方法称为核函数方法： 核是一个函数K，对所有x，z，满足 ，这里φ是从X到内积特征空间F的映射。 来看个核函数的例子。如下图所示的两类数据，分别分布为两个圆圈的形状，这样的数据本身就是线性不可分的，此时咱们该如何把这两类数据分开呢(下文将会有一个相应的三维空间图)？ 事实上，上图所述的这个数据集，是用两个半径不同的圆圈加上了少量的噪音生成得到的，所以，一个理想的分界应该是一个“圆圈”而不是一条线（超平面）。如果用 和 来表示这个二维平面的两个坐标的话，我们知道一条二次曲线（圆圈是二次曲线的一种特殊情况）的方程可以写作这样的形式： 注意上面的形式，如果我们构造另外一个五维的空间，其中五个坐标的值分别为 ，那么显然，上面的方程在新的坐标系下可以写作： 关于新的坐标 ，这正是一个 hyper plane 的方程！也就是说，如果我们做一个映射 ，将 按照上面的规则映射为 ，那么在新的空间中原来的数据将变成线性可分的，从而使用之前我们推导的线性分类算法就可以进行处理了。这正是 Kernel 方法处理非线性问题的基本思想。 再进一步描述 Kernel 的细节之前，不妨再来看看上述例子在映射过后的直观形态。当然，你我可能无法把 5 维空间画出来，不过由于我这里生成数据的时候用了特殊的情形，所以这里的超平面实际的方程是这个样子的（圆心在 轴上的一个正圆） 因此我只需要把它映射到 ，这样一个三维空间中即可，下图即是映射之后的结果，将坐标轴经过适当的旋转，就可以很明显地看出，数据是可以通过一个平面来分开的 核函数相当于把原来的分类函数： 映射成： 而其中的 可以通过求解如下 dual 问题而得到的： 这样一来问题就解决了吗？似乎是的：拿到非线性数据，就找一个映射

不是有一个大大的B字么，点它就对了。

基础解系，可以表示解空间中的任意一个向量（也就是任意一个解）解系中解的个数，就是解空间的秩。而基础解系，就是解空间中的一个最大无关组。

自由变量全赋值为0 不行. 自由变量应该取一组线性无关的向量 如: (1,0,0), (0,1,0),(0,0,1) 然后由同解方程组得基础解系. 这里是用了: 线性无关的向量组添加若干分量后仍线性无关 所以, 自由变量取一组线性无关的向量后, 添加上约束变量的取值, ...

二进制和实数都是编码方法，对于不同的编码方法，他们相应的交叉策略可能有所不同。你说的交叉应该就是你理解的那样，即r*x1表示个体x1中每个变量都乘以r。二进制编码的个体一般不进行这样的交叉方式，往往是单点交叉、两点交叉等。

我是这样理解的：n-r=线性无关解个数 此式可以理解为以下等式：即 未知数个数-约束个数=自由变量个数以下说明理由：n可以理解为未知数的个数（因为n在矩阵中相当于列的个数，而列的个数等于未知数的个数——也就是X1，X2，......，Xn的个数再加上方程组右侧的的一列，在齐次线性方程组中转化的矩阵中0的部分往往不写，因而等于未知数的个数）。秩可以理解为约束个数，或者说有效方程的个数。为什么？因为秩是矩阵通过行变换化为行最简形时行的个数，而矩阵可以转化为方程组，矩阵的初等行变换可以理解为方程组的同等变形，而方程组作同解变形——相当于矩阵的初等行变换，可以消去一部分无效方程，剩余的就是有效方程。举个例子：由三个三元方程组成的方程组：3X1+2X2+4X3=3、X1+X2+X3=4、2X1+2X2+2X3=8；其中第二、第三个方程其实是同一个方程的变形，他们中有一个是无效方程，对求解来说是无效的。线性无关解的个数可以理解为自由变量的个数（可以参考向量线性表示部分的例题，某几个向量定义自变量，这些自变量向量必须是线性无关的，也就是——极大线性无关组。而其余的向量均可以由这几个线性无关的自变量表示）。综上，由于未知数个数-约束个数=自由变量个数，于是n-r=自变量个数=线性无关解个数。水平有限，数学证明不太会，这个说明方式不知道能不能让你理解。线代加油。

方阵求特征值和特征向量的问题时,没有自由变量这种情况会出现吗?不会，因为特征向量是非零向量

有点难度。求高人出现解决

取什么值是没有定论的跟矩阵的其他系数都是相关的基础解系就是使得矩阵乘以它等于零向量这一题，第一个未知数取了1，第二个取了0为了使得第一行乘以它等于0第三个就必须取-1了

没规定要给哪个赋值，无论给哪个都是一样的，都没有错。

解向量不是自由变量。因为一组解在空间几何里可以表示为一个向量，所以叫做解向量。解向量在矩阵和线性方程组中是常用概念。如果n元齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵的秩R(A)=r<n，则解空间S的基础解系存在，且每个基础解系恰有n-r个解向量。简介因为一组解在空间几何里可以表示为一个向量，所以叫做解向量。解向量在矩阵和线性方程组中是常用概念。向量的记法：印刷体记作黑体（粗体）的字母（如a、b、u、v），书写时在字母顶上加一小箭头“→”。如果给定向量的起点（A）和终点（B），可将向量记作AB（并于顶上加→）。在空间直角坐标系中，也能把向量以数对形式表示，例如xOy平面中(2,3)是一向量。

如图

" 组员“ 是什么意思 ？ ”主元“ ？你也可以设 x3 是主元， x2 是自由变量啊。

肯定是1啊

1.这与矩阵能否对角化有关 A可对角化的充分必要条件是对k重根,相应的齐次线性方程组的基础解系含k个向量. 二重根只取一次时,矩阵不能对角化. 至于判断是否化到了最简阶梯阵,你看看教材中的定义,一两句说不清楚

u和t，1和0是完全一样的，它是解的两种不同表达形式而已。当你取1和0时，前面无穷多解的k1和k2换作t和u可以得到一样的结果。

有种组变量的方法，比较快。还有就是对于特征向量求解过程中选自由变量前一步需要先化简矩阵，这时候可以用到一个比较容易忽视的地方：代入特征值后的特征方程组的系数矩阵一定是相关的，也就是最后一行（观察行列式子式也可能是最后的n行)一定为0，选择较为简单的行作行变换即可。选取自由变量时首先确定组变量，然后剩下的Xi 为自由变量。

如图所示

是，因为X、Y是随机变量，那么它们构成的向量K=（X,Y）即为随机向量。

在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。更严格的说，从欧氏空间Rn到R的函数的梯度是在Rn某一点最佳的线性近似。在这个意义上，梯度是雅戈比矩阵的一个特殊情况。 在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数，或者，对于一个线性函数，也就是线的斜率。 梯度一词有时用于斜度，也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。可以通过取向量梯度和所研究的方向的点积来得到斜度。梯度的数值有时也被成为梯度。 在二元函数的情形，设函数z=f(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点P(x,y)∈D，都可以定出一个向量 (δf/x)*i+(δf/y)*j 这向量称为函数z=f(x,y)在点P(x,y)的梯度，记作gradf(x,y) 类似的对三元函数也可以定义一个：(δf/x)*i+(δf/y)*j+(δf/z)*k 记为grad[f(x,y,z)]

在向量微积分中,标量场的梯度是一个向量场.标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向,梯度的长度是这个最大的变化率.更严格的说,从欧氏空间Rn到R的函数的梯度是在Rn某一点最佳的线性近似.在这个意义上,梯度是雅戈比矩阵的一个特殊情况. 在单变量的实值函数的情况,梯度只是导数,或者,对于一个线性函数,也就是线的斜率. 梯度一词有时用于斜度,也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度.可以通过取向量梯度和所研究的方向的点积来得到斜度.梯度的数值有时也被成为梯度. 在二元函数的情形,设函数z=f(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数,则对于每一点P(x,y)∈D,都可以定出一个向量 (δf/x)*i+(δf/y)*j 这向量称为函数z=f(x,y)在点P(x,y)的梯度,记作gradf(x,y) 类似的对三元函数也可以定义一个：(δf/x)*i+(δf/y)*j+(δf/z)*k 记为grad[f(x,y,z)]

答案等于0.5,0.25。解：P(X <= 0.5)就是图中当小 -1<=x <2这一段的时候（因为 -1 <= 0.5 < 2），所以就将0.5代入这一段的分布函数就可以了，为0.25；P(1.5 <=X <=2.5) = P(X<=2.5) - P(X<1.5)，P(X<=2.5) = 0.75，因为此时 2 <= 2.5 < 3，所以代入到第三段的分布函数；P(X<1.5) = P(X <=1.5) = 0.25，因为此时 -1 <= 1.5 < 2，所以代入进第二段的分布函数。故P(1.5 <=X <=2.5) = 0.75 - 0.25 = 0.5.

A=6，fX(x)=3e^-(3x),x>0，时，0，其它时f Y( y)=2e^-(2y),y>0时，0；其它时f (x, y)=f X(x)*f Y( y)，独立P{ 0<X≤1，0<Y≤2}=（1-1/e^3）（1-1/e^4）假设这些基本的随机事件发生的概率都是相等的，如果有n个基本的随机事件，要使得发生的概率之和为1。扩展资料：注意事项：随机变量 X=X(e) 和 Y=Y(e) 的结果两两组成一对，构成了一个向量 (X,Y) 就叫做二维随机变量，也就是说我们要将两个结果放在一起作为一个整体进行研究。比如甲扔硬币结果可能是{正，反}，乙扔硬币结果可能是{正，反}，而甲乙一起扔硬币的联合结果可能是{正正，正反，反正，反反}。随机变量是取值有多种可能并且取每个值都有一个概率的变量。分为离散型和连续型两种，离散型随机变量的取值为有限个或者无限可列个（整数集是典型的无限可列），连续型随机变量的取值为无限不可列个（实数集是典型的无限不可列）。参考资料来源：百度百科-连续型随机向量参考资料来源：百度百科-概率密度函数

d(AXB)/dt= AX(dB/dt) + (dA/dt)XB证明有点麻烦。

数学高考基础知识、常见结论详解 一、集合与简易逻辑： 一、理解集合中的有关概念 （1）集合中元素的特征： 确定性 ， 互异性 ， 无序性 。 集合元素的互异性：如： ， ，求 ； （2）集合与元素的关系用符号 ， 表示。 （3）常用数集的符号表示：自然数集 ；正整数集 、 ；整数集 ；有理数集 、实数集 。 （4）集合的表示法： 列举法 ， 描述法 ， 韦恩图 。 注意：区分集合中元素的形式：如： ； ； ； ； ； ； （5）空集是指不含任何元素的集合。（ 、 和 的区别；0与三者间的关系） 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 注意：条件为 ，在讨论的时候不要遗忘了 的情况。 如： ，如果 ，求 的取值。 二、集合间的关系及其运算 （1）符号“ ”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现 点与直线（面）的关系 ； 符号“ ”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 。 （2） ； ； （3）对于任意集合 ，则： ① ； ； ； ② ； ； ； ； ③ ； ； （4）①若 为偶数，则 ；若 为奇数，则 ； ②若 被3除余0，则 ；若 被3除余1，则 ；若 被3除余2，则 ； 三、集合中元素的个数的计算： （1）若集合 中有 个元素，则集合 的所有不同的子集个数为_________，所有真子集的个数是__________，所有非空真子集的个数是 。 （2） 中元素的个数的计算公式为： ； （3）韦恩图的运用： 四、 满足条件 ， 满足条件 ， 若 ；则 是 的充分非必要条件 ； 若 ；则 是 的必要非充分条件 ； 若 ；则 是 的充要条件 ； 若 ；则 是 的既非充分又非必要条件 ； 五、原命题与逆否命题，否命题与逆命题具有相同的 ； 注意：“若 ，则 ”在解题中的运用， 如：“ ”是“ ”的 条件。 六、反证法：当证明“若 ，则 ”感到困难时，改证它的等价命题“若 则 ”成立， 步骤：1、假设结论反面成立；2、从这个假设出发，推理论证，得出矛盾；3、由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确。 矛盾的来源：1、与原命题的条件矛盾；2、导出与假设相矛盾的命题；3、导出一个恒假命题。 适用与待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼时。 正面词语 等于 大于 小于 是 都是 至多有一个 否定 正面词语 至少有一个 任意的 所有的 至多有n个 任意两个 否定 二、函数 一、映射与函数： （1）映射的概念： （2）一一映射：（3）函数的概念： 如：若 ， ；问： 到 的映射有 个， 到 的映射有 个； 到 的函数有 个，若 ，则 到 的一一映射有 个。 函数 的图象与直线 交点的个数为 个。 二、函数的三要素： ， ， 。 相同函数的判断方法：① ；② (两点必须同时具备) （1）函数解析式的求法： ①定义法（拼凑）：②换元法：③待定系数法：④赋值法： （2）函数定义域的求法： ① ，则 ； ② 则 ； ③ ，则 ； ④如： ，则 ； ⑤含参问题的定义域要分类讨论； 如：已知函数 的定义域是 ，求 的定义域。 ⑥对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。如：已知扇形的周长为20，半径为 ，扇形面积为 ，则 ；定义域为 。 （3）函数值域的求法： ①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如： 的形式； ②逆求法（反求法）：通过反解，用 来表示 ，再由 的取值范围，通过解不等式，得出 的取值范围；常用来解，型如： ； ④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想； ⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域； ⑥基本不等式法：转化成型如： ，利用平均值不等式公式来求值域； ⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。 ⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。 求下列函数的值域：① （2种方法）； ② （2种方法）；③ （2种方法）； 三、函数的性质： 函数的单调性、奇偶性、周期性 单调性：定义：注意定义是相对与某个具体的区间而言。 判定方法有：定义法（作差比较和作商比较） 导数法（适用于多项式函数） 复合函数法和图像法。 应用：比较大小，证明不等式，解不等式。 奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f(x) 与f(-x)的关系。f(x) －f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)为偶函数； f(x)+f(-x)=0 f(x) =－f(-x) f(x)为奇函数。 判别方法：定义法， 图像法 ，复合函数法 应用：把函数值进行转化求解。 周期性：定义：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+T)=f(x),则T为函数f(x)的周期。 其他：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+a)=f(x－a),则2a为函数f(x)的周期. 应用：求函数值和某个区间上的函数解析式。 四、图形变换：函数图像变换：（重点）要求掌握常见基本函数 五、反函数： （1）定义： （2）函数存在反函数的条件： ； （3）互为反函数的定义域与值域的关系： ； （4）求反函数的步骤：①将 看成关于 的方程，解出 ，若有两解，要注意解的选择；②将 互换，得 ；③写出反函数的定义域（即 的值域）。 （5）互为反函数的图象间的关系： ； （6）原函数与反函数具有相同的单调性； （7）原函数为奇函数，则其反函数仍为奇函数；原函数为偶函数，它一定不存在反函数。 如：求下列函数的反函数： ； ； 七、常用的初等函数： （1）一元一次函数： ，当 时，是增函数；当 时，是减函数； （2）一元二次函数： 一般式： ；对称轴方程是 ；顶点为 ； 两点式： ；对称轴方程是 ；与 轴的交点为 ； 顶点式： ；对称轴方程是 ；顶点为 ； ①一元二次函数的单调性： 当 时： 为增函数； 为减函数；当 时： 为增函数； 为减函数； ②二次函数求最值问题：首先要采用配方法，化为 的形式， Ⅰ、若顶点的横坐标在给定的区间上，则 时：在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得； 时：在顶点处取得最大值，最小值在距离对称轴较远的端点处取得； Ⅱ、若顶点的横坐标不在给定的区间上，则 时：最小值在距离对称轴较近的端点处取得，最大值在距离对称轴较远的端点处取得； 时：最大值在距离对称轴较近的端点处取得，最小值在距离对称轴较远的端点处取得； 有三个类型题型： (1)顶点固定，区间也固定。如： (2)顶点含参数(即顶点变动)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外。 (3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数． ③二次方程实数根的分布问题： 设实系数一元二次方程 的两根为 ；则： 根的情况 等价命题 在区间 上有两根 在区间 上有两根 在区间 或 上有一根 充要条件 注意：若在闭区间 讨论方程 有实数解的情况，可先利用在开区间 上实根分布的情况，得出结果，在令 和 检查端点的情况。 （3）反比例函数： （4）指数函数： 指数运算法则： ； ； 。 指数函数：y= (a>o,a≠1)，图象恒过点（0，1），单调性与a的值有关，在解题中，往往要对a分a>1和0<a<1两种情况进行讨论，要能够画出函数图象的简图。 （5）对数函数： 指数运算法则： ； ； ； 对数函数：y= (a>o,a≠1) 图象恒过点（1，0），单调性与a的值有关，在解题中，往往要对a分a>1和0<a<1两种情况进行讨论，要能够画出函数图象的简图。 注意：（1） 与 的图象关系是 ； （2）比较两个指数或对数的大小的基本方法是构造相应的指数或对数函数，若底数不相同时转化为同底数的指数或对数，还要注意与1比较或与0比较。 （3）已知函数 的定义域为 ，求 的取值范围。 已知函数 的值域为 ，求 的取值范围。 六、 的图象： 定义域： ；值域： ； 奇偶性： ； 单调性： 是增函数； 是减函数。 七、补充内容： 抽象函数的性质所对应的一些具体特殊函数模型： ① 正比例函数 ② ； ； ③ ； ； ④ ； 三、导 数 1．求导法则： (c)/=0 这里c是常数。即常数的导数值为0。 (xn)/=nxn－1 特别地：(x)/=1 (x－1)/= ( )/=－x-2 (f(x)±g(x))/= f/(x)±g/(x) (k•f(x))/= k•f/(x) 2．导数的几何物理意义： k＝f/(x0)表示过曲线y=f(x)上的点P(x0,f(x0))的切线的斜率。 V＝s/(t) 表示即时速度。a=v/(t) 表示加速度。 3．导数的应用： ①求切线的斜率。 ②导数与函数的单调性的关系 一 与 为增函数的关系。 能推出 为增函数，但反之不一定。如函数 在 上单调递增，但 ，∴ 是 为增函数的充分不必要条件。 二 时， 与 为增函数的关系。 若将 的根作为分界点，因为规定 ，即抠去了分界点，此时 为增函数，就一定有 。∴当 时， 是 为增函数的充分必要条件。 三 与 为增函数的关系。 为增函数，一定可以推出 ，但反之不一定，因为 ，即为 或 。当函数在某个区间内恒有 ，则 为常数，函数不具有单调性。∴ 是 为增函数的必要不充分条件。 函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。 四单调区间的求解过程，已知 （1）分析 的定义域;（2）求导数 （3）解不等式 ，解集在定义域内的部分为增区间（4）解不等式 ，解集在定义域内的部分为减区间。 我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判断函数的单调性。以下以增函数为例作简单的分析，前提条件都是函数 在某个区间内可导。 ③求极值、求最值。 注意：极值≠最值。函数f(x)在区间[a,b]上的最大值为极大值和f(a) 、f(b)中最大的一个。最小值为极小值和f(a) 、f(b)中最小的一个。 f/(x0)＝0不能得到当x=x0时，函数有极值。 但是，当x=x0时，函数有极值 f/(x0)＝0 判断极值，还需结合函数的单调性说明。 4.导数的常规问题： （1）刻画函数（比初等方法精确细微）； （2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）； （3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于 次多项式的导数问题属于较难类型。 2．关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。 3．导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。 四、不等式 一、不等式的基本性质： 注意：(1)特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法，此法尤其适用于不成立的命题。 (2)注意课本上的几个性质，另外需要特别注意： ①若ab>0，则 。即不等式两边同号时，不等式两边取倒数，不等号方向要改变。 ②如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论。 ③图象法：利用有关函数的图象（指数函数、对数函数、二次函数、三角函数的图象），直接比较大小。 ④中介值法：先把要比较的代数式与“0”比，与“1”比，然后再比较它们的大小 二、均值不等式：两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 若 ，则 （当且仅当 时取等号） 基本变形：① ； ； ②若 ，则 ， 基本应用：①放缩，变形； ②求函数最值：注意：①一正二定三取等；②积定和小，和定积大。 当 （常数），当且仅当 时， ； 当 （常数），当且仅当 时， ； 常用的方法为：拆、凑、平方； 如：①函数 的最小值 。 ②若正数 满足 ，则 的最小值 。 三、绝对值不等式： 注意：上述等号“＝”成立的条件； 四、常用的基本不等式： （1）设 ，则 （当且仅当 时取等号） （2） （当且仅当 时取等号）； （当且仅当 时取等号） （3） ； ； 五、证明不等式常用方法： （1）比较法：作差比较： 作差比较的步骤： ⑴作差：对要比较大小的两个数（或式）作差。 ⑵变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和。 ⑶判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号。 注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小。 （2）综合法：由因导果。 （3）分析法：执果索因。基本步骤：要证……只需证……，只需证…… （4）反证法：正难则反。 （5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。 放缩法的方法有： ⑴添加或舍去一些项，如： ； ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如： ； ⑷利用常用结论： Ⅰ、 ； Ⅱ、 ； （程度大） Ⅲ、 ； （程度小） （6）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。如： 已知 ，可设 ； 已知 ，可设 ( )； 已知 ，可设 ； 已知 ，可设 ； （7）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式； 六、不等式的解法： （1）一元一次不等式： Ⅰ、 ：⑴若 ，则 ；⑵若 ，则 ； Ⅱ、 ：⑴若 ，则 ；⑵若 ，则 ； （2）一元二次不等式： 一元二次不等式二次项系数小于零的，同解变形为二次项系数大于零；注：要对 进行讨论： （5）绝对值不等式：若 ，则 ； ； 注意：(1).几何意义： ： ； ： ； (2)解有关绝对值的问题，考虑去绝对值，去绝对值的方法有： ⑴对绝对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值；①若 则 ；②若 则 ；③若 则 ； (3).通过两边平方去绝对值；需要注意的是不等号两边为非负值。 (4).含有多个绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解。 （6）分式不等式的解法：通解变形为整式不等式； ⑴ ；⑵ ； ⑶ ；⑷ ； （7）不等式组的解法：分别求出不等式组中，每个不等式的解集，然后求其交集，即是这个不等式组的解集，在求交集中，通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上，取它们的公共部分。 （8）解含有参数的不等式： 解含参数的不等式时，首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论： ①不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性. ②在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论. ③在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况（有时要分析△），比较两个根的大小,设根为 （或更多）但含参数，要分 、 、 讨论。 五、数列 本章是高考命题的主体内容之一，应切实进行全面、深入地复习，并在此基础上，突出解决下述几个问题：（1）等差、等比数列的证明须用定义证明，值得注意的是，若给出一个数列的前 项和 ，则其通项为 若 满足 则通项公式可写成 .（2）数列计算是本章的中心内容，利用等差数列和等比数列的通项公式、前 项和公式及其性质熟练地进行计算，是高考命题重点考查的内容.（3）解答有关数列问题时，经常要运用各种数学思想.善于使用各种数学思想解答数列题，是我们复习应达到的目标. ①函数思想：等差等比数列的通项公式求和公式都可以看作是 的函数，所以等差等比数列的某些问题可以化为函数问题求解. ②分类讨论思想：用等比数列求和公式应分为 及 ；已知 求 时，也要进行分类； ③整体思想：在解数列问题时，应注意摆脱呆板使用公式求解的思维定势，运用整 体思想求解. （4）在解答有关的数列应用题时，要认真地进行分析，将实际问题抽象化，转化为数学问题，再利用有关数列知识和方法来解决.解答此类应用题是数学能力的综合运用，决不是简单地模仿和套用所能完成的.特别注意与年份有关的等比数列的第几项不要弄错. 一、基本概念： 1、 数列的定义及表示方法： 2、 数列的项与项数： 3、 有穷数列与无穷数列： 4、 递增（减）、摆动、循环数列： 5、 数列{an}的通项公式an： 6、 数列的前n项和公式Sn: 7、 等差数列、公差d、等差数列的结构： 8、 等比数列、公比q、等比数列的结构： 二、基本公式： 9、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an= 10、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。 11、等差数列的前n项和公式：Sn= Sn= Sn= 当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式。 12、等比数列的通项公式： an= a1 qn-1 an= ak qn-k (其中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0) 13、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式)； 当q≠1时，Sn= Sn= 三、有关等差、等比数列的结论 14、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等差数列。 15、等差数列{an}中，若m+n=p+q，则 16、等比数列{an}中，若m+n=p+q，则 17、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等比数列。 18、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。 19、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列 {an bn}、 、 仍为等比数列。 20、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。 21、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。 22、三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d 23、三个数成等比的设法：a/q,a,aq； 四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么？) 24、{an}为等差数列，则 (c>0)是等比数列。 25、{bn}（bn>0）是等比数列，则{logcbn} (c>0且c 1) 是等差数列。 26. 在等差数列 中： （1）若项数为 ，则 （2）若数为 则， ， 27. 在等比数列 中： （1） 若项数为 ，则 （2）若数为 则， 四、数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。关键是找数列的通项结构。 28、分组法求数列的和：如an=2n+3n 29、错位相减法求和：如an=(2n-1)2n 30、裂项法求和：如an=1/n(n+1) 31、倒序相加法求和：如an= 32、求数列{an}的最大、最小项的方法： ① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3 ② (an>0) 如an= ③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an= 33、在等差数列 中,有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解： (1)当 >0,d<0时，满足 的项数m使得 取最大值. (2)当 <0,d>0时，满足 的项数m使得 取最小值。 在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 六、平面向量 1．基本概念： 向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。 2． 加法与减法的代数运算： (1) ． (2)若a=（ ）,b=（ ）则a b=（ ）． 向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。 以向量 = 、 = 为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量 = + , = － , = － 且有｜ ｜－｜ ｜≤｜ ｜≤｜ ｜+｜ ｜． 向量加法有如下规律： ＋ = ＋ (交换律); +( +c)=( + )+c （结合律）; +0= ＋(－ )=0. 3．实数与向量的积：实数 与向量 的积是一个向量。 (1)｜ ｜=｜ ｜·｜ ｜; (2) 当 ＞0时， 与 的方向相同；当 ＜0时， 与 的方向相反；当 =0时， =0． (3)若 =（ ），则 · =（ ）． 两个向量共线的充要条件： (1) 向量b与非零向量 共线的充要条件是有且仅有一个实数 ，使得b= ． (2) 若 =（ ）,b=（ ）则 ‖b ． 平面向量基本定理： 若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ， ，使得 = e1+ e2． 4．P分有向线段 所成的比： 设P1、P2是直线 上两个点，点P是 上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数 使 = ， 叫做点P分有向线段 所成的比。 当点P在线段 上时， ＞0；当点P在线段 或 的延长线上时， ＜0； 分点坐标公式：若 = ； 的坐标分别为（ ）,（ ）,（ ）；则 （ ≠－1）， 中点坐标公式： ． 5． 向量的数量积： （1）．向量的夹角： 已知两个非零向量 与b，作 = , =b,则∠AOB= （ ）叫做向量 与b的夹角。 （2）．两个向量的数量积： 已知两个非零向量 与b，它们的夹角为 ，则 ·b=｜ ｜·｜b｜cos ． 其中｜b｜cos 称为向量b在 方向上的投影． （3）．向量的数量积的性质： 若 =（ ）,b=（ ）则e· = ·e=｜ ｜cos (e为单位向量); ⊥b ·b=0 （ ，b为非零向量）;｜ ｜= ; cos = = ． (4) ．向量的数量积的运算律： ·b=b· ;( )·b= ( ·b)= ·( b);( ＋b)·c= ·c+b·c． 6.主要思想与方法： 本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等。由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点。 七、立体几何 1.平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。 能够用斜二测法作图。 2.空间两条直线的位置关系：平行、相交、异面的概念； 会求异面直线所成的角和异面直线间的距离；证明两条直线是异面直线一般用反证法。 3.直线与平面 ①位置关系：平行、直线在平面内、直线与平面相交。 ②直线与平面平行的判断方法及性质,判定定理是证明平行问题的依据。 ③直线与平面垂直的证明方法有哪些？ ④直线与平面所成的角：关键是找它在平面内的射影，范围是{00.900} ⑤三垂线定理及其逆定理：每年高考试题都要考查这个定理. 三垂线定理及其逆定理主要用于证明垂直关系与空间图形的度量.如：证明异面直线垂直，确定二面角的平面角，确定点到直线的垂线. 4.平面与平面 (1)位置关系：平行、相交，（垂直是相交的一种特殊情况） (2)掌握平面与平面平行的证明方法和性质。 (3)掌握平面与平面垂直的证明方法和性质定理。尤其是已知两平面垂直，一般是依据性质定理，可以证明线面垂直。 (4)两平面间的距离问题→点到面的距离问题→ (5)二面角。二面角的平面交的作法及求法： ①定义法，一般要利用图形的对称性；一般在计算时要解斜三角形； ②垂线、斜线、射影法，一般要求平面的垂线好找，一般在计算时要解一个直角三角形。 ③射影面积法，一般是二面交的两个面只有一个公共点，两个面的交线不容易找到时用此法? 具体的公式 http://www.ggjy.net/xspd/xsbk/200408/815.html 高中数学公式大全 http://www.xyjy.cn/Article/UploadFiles/200510/20051013100307519.doc 高中数学常用公式及常用结论 高中数学常用公式及常用结论 1. 元素与集合的关系 , . 2.德摩根公式 . . 5．集合 的子集个数共有 个；真子集有 –1个；非空子集有 –1个；非空的真子集有 –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式 ; (2)顶点式 ; (3)零点式 . 7.解连不等式 常有以下转化形式 . 8.方程 在 上有且只有一个实根,与 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程 有且只有一个实根在 内,等价于 ,或 且 ,或 且 . 9.闭区间上的二次函数的最值 二次函数 在闭区间 上的最值只能在 处及区间的两端点处取得，具体如下： (1)当a>0时，若 ，则 ； ， ， . (2)当a<0时，若 ，则 ，若 ，则 ， . 10.一元二次方程的实根分布 依据：若 ，则方程 在区间 内至少有一个实根 . 设 ，则 （1）方程 在区间 内有根的充要条件为 或 ； （2）方程 在区间 内有根的充要条件为 或 或 或 ； （3）方程 在区间 内有根的充要条件为 或 . 教育网站大全http://www.hongru.org/jywz.htm http://www.shuxueweb.com/ 延安数学教育网站 http://www.aoshu.com/ 数学网站联盟 http://www.hsdczsx.com/Article_Index.asp 快乐数学 http://www.shuxue123.com/ 数学教育教学资源中心 http://www.wxws.cn/ 数学中国 http://www.shmaths.cn/Index.html 麦斯数学网

函数y=f(x) 在x=x0处的导数 f′(x0)，表示曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k。导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。

重点在处理角度上的法向量和切向量的转化 法向量规定向外你可以做个图把法向量投影到xy正方向再把切向量投影到相应方向 注意其实你可以选择逆时针的切向量和顺时针的切向量 如答案他选择逆时针的切向量 投影到xy轴 发现切向量投影到x轴时是负半轴 故前加负号 如果选择顺时针 则dy那一项前加负号 下一步用格林时顺时针方向亦为负 故选择顺时针逆时针切向量结果相同。

其中α是向量与平行于x轴的直线的夹角，β是向量与平行于y轴的直线的夹角

l = (1,-1)|l| = √2el = l/|l| = (1,-1)/√2 = (√(1/2), -√(1/2) )

你求得是对的。沿梯度方向，方向导数达最大。第三行，就是沿梯度方向的单位向量。

先求出方向向量的模为根号2，然后用模的倒数乘以方向向量，就得到所要的单位向量了

这,.行向量组的秩和列向量组的秩是相等的,可以这么理解,矩阵转置后,秩不变,行列互换,所以这两者的秩是相同的,也就是矩阵的秩.但行秩与列秩在以后的证明上不同,逐渐学一些就知道了

这是两个不同的概念，向量组的秩等于极大线性无关组所包含向量的个数，向量组的秩只有一个，极大线性无关组可以有若干个。

两者的定义你说的都对两者的关系是矩阵的秩等于矩阵列向量组的秩(即列秩),而不是等于列数矩阵的秩也等于行向量组的秩,即行秩计算矩阵的秩:用初等行变换化为梯矩阵,非零行数即矩阵的秩列变换也可用,但行变换足够计算向量组的秩:将向量按列构成矩阵,用初等行变换化梯矩阵,非零行数即向量组的秩,非零行的首非零元所在列对应的向量构成一个极大无关组

不用矩阵的秩也行。先从向量组里面任意找出两个向量a1,a2，判断a1,a2的分量是否对应成比例，如果不是，则a1,a2线性无关。继续往a1,a2中添加向量a3，如果a3可以由a1,a2线性表示，则a1,a2,a3线性相关，那么换一个向量a4添加到a1,a2中，继续判定a4是否可以由a1,a2线性表示。如果找不到一个向量，不能由a1,a2线性表示，那么a1,a2就是最大线性无关组。如果有一个向量a5，使得a5不能由a1,a2线性表示，那么a1,a2,a5线性无关。继续往a1,a2,a5中添加向量。重复以上步骤，直到最后不能再添加向量，使得所得向量组线性无关，那么最后得到的向量组就是最大线性无关组。这个方法可以找出最大线性无关组，但是不能事前就判断出最大线性无关组所含向量个数。

楼上答案还要再加一个条件：是AX=0的解向量。

任何一个列向量组a1,a2,...,ak都可以组成一个矩阵A=(a1,a2,...,ak)，矩阵A的秩与向量组a1,a2,...,ak的秩是一样的

矩阵的秩与特征向量的个数的关系：特征值的个数等于矩阵的秩，特征向量的个数至少等于矩阵的秩，（即大于等于矩阵的秩），小于等于矩阵的阶数，等于阶数时,矩阵可相似化为对角矩阵，小于矩阵的阶数时，矩阵可以相似化为对应的约旦标准形。在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。通俗一点说，如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。相关定义方阵(行数、列数相等的矩阵)的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵A的秩。通常表示为r(A)，rk(A)或。m×n矩阵的秩最大为m和n中的较小者，表示为 min(m,n)。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩；类似的，否则矩阵是秩不足（或称为“欠秩”）的。设A是一组向量，定义A的极大无关组中向量的个数为A的秩。定义1. 在m*n矩阵A中，任意决定α行和β列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。例如，在阶梯形矩阵中，选定1，3行和3，4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式 就是矩阵A的一个2阶子式。定义2.A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩，记作rA，或rankA或R(A)。

12题初等行变换，r2-2r1,r3-r1~1 1 3 1 40 -1 -2 -1 -30 0 0 1 2 r1+r2,r2+r3,r2*-1~1 0 1 0 10 1 2 0 10 0 0 1 2于是秩为3，最大无关组a1,a2,a4，选择B13题直接代入计算2a+3b-2c=(4+0+2,2+3-4,0+6-2)=(4,1,4)^T显然选择C

两者的定义你说的都对两者的关系是 矩阵的秩等于矩阵列向量组的秩(即列秩), 而不是等于列数矩阵的秩 也等于行向量组的秩, 即行秩计算矩阵的秩: 用初等行变换化为梯矩阵, 非零行数即矩阵的秩列变换也可用, 但行变换足够 计算向量组的秩: 将向量按列构成矩阵, 用初等行变换化梯矩阵, 非零行数即向量组的秩, 非零行的首非零元所在列对应的向量构成一个极大无关组

问问向量组的秩和矩阵秩求法有区别吗最佳答案一、求解目的不同1、向量组的秩：向量组的秩为线性代数的基本概念，它表示的是一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数。由向量组的秩可以引出矩阵的秩的定义。 2、矩阵秩：矩阵的秩是线性代数中的一个概念。在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数。通常表示为r(A)，rk(A)或rank A。二、求解过程不同1、向量组的秩：一个m行n列的矩阵可以看做是m个行向量构成的行向量组，也可看做n个列向量构成的列向量组，行向量组的秩成为行秩，列向量组的秩成为列秩。2、矩阵秩：一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。

设法向量为(xyz),找平面内的任意两条直线（但不平行），线段也行，并写出他们的向量p1p2。法向量与p1p2的乘积为0，得到xyz的三元一次方程（2个）。将其中任意一个未知数当成已知，例如z，则可以用z将x和y表示出来。这时这个法向量只有z的未知数，此时可以根据情况设z的值，这个是自己随便设，怎么方便怎么设，没有其他的意义。当然最好是设出来的值，最后写出法向量是最简的，换句话就是他们几个数之间没有公因数了。

方法一（平面束）首先设已知的两平面交线为L,过L的平面束方程为（4x-y+3z-1）+k（x+5y-z+2）=0,然后因为过原点,将坐标（x,y,z）=(0,0,0,)代入平面束方程,求得k=1/2,再代回平面束方程得到一个确定平面9x+3y+5z=0即为所求平面. 方法二（交线与原点的关系）首先设已知的两平面交线为L,L的方向向量由两已知平面的法向量求向量积,即由（4,-1,3）与（1,5,-1）求向量积得向量a（-2,1,3）.再由两已知平面的方程联立为三元一次方程组（两个方程,三个未知量）,从中取y为任一数,譬如取y=0,代入方程组解出x=-5/7,z=9/7,这是直线上的一个点的坐标.将点（0,0,0）和直线上点（-5/7,0,9/7）联成向量b（-5/7,0,9/7）.再由向量a、b求向量积c,c即为所求平面的法向量,原点坐标已知,根据点法式即可求得平面方程.

　　方法如下： 　　1、先画出一个碗的碗底。准备找出这个平面的法向量。 　　2、在画出整个碗。 　　3、在碗中放置一根筷子，筷子垂直与碗底。筷子尾端向上的方向就是平面的法向量。 　　4、所以法线有两条。一个垂直也正面，一个垂直于反面。 　　5、通常用n上面有个箭头表示，取的时候，要配合其他直线取有利于计算的。

空间平面的法向量可通过坐标法或几何法求得，坐标法即对空间几何图形选取合适的点为原点，根据尺寸求得面上点的坐标，进而求得线的向量形式，由法线垂直于平面内的线，即法线向量点乘面内线向量为0，求出法线向量即可。几何法根据空间面线、面面间的关系，通过做面的垂线或延伸面求两面间的交线等手段求解，不如坐标法直接，但运算量小。方向有两个

直接法：找一条与平面垂直的直线，求该直线的方向向量。待定系数法：建立空间直角坐标系。①设平面的法向量为n=（x，y，z）。②在平面内找两个不共线的向量a和b。③建立方程组：n点乘a=0，n点乘b=0。④解方程组，取其中的一组解即可。法向量，是空间解析几何的一个概念，垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。法向量适用于解析几何。由于空间内有无数个直线垂直于已知平面，因此一个平面都存在无数个法向量（包括两个单位法向量）。

一般不必用行列式，而是直接写出法向量；例如3x-5t+4z-7＝0的法向量为｛3,-5,4｝＝3i-5j+4k.但是如果知道平面上两个向量（不平行），或者三个点（不共线），则可以用行列式表示一个法向量。①α＝｛a,b,c｝,β＝｛d,e,f｝是平面上两个向量（不平行），则法向量可以用α×β＝行列式|ijk||abc||def|表示②A（a1,b1c1）,B（a2,b2.c2）.C（a3,b3,c3）是平面上三个点（不共线），则法向量可以用AB×BC＝行列式|i,j,k.||a2-a1,b2-b1,c2-c1||a3-a2,b3-b2,c3-c2|表示。

平面法向量的具体步骤：（待定系数法）1、建立恰当的直角坐标系2、设平面法向量n=（x，y，z）3、在平面内找出两个不共线的向量，记为a=（a1，a2, a3） b=（b1，b2，b3）4、根据法向量的定义建立方程组①n·a=0 ②n·b=05、解方程组，取其中一组解即可。 例如已知三个点求那个平面的法向量：设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3)是已知平面上的3个点A,B,C可以形成3个向量,向量AB,向量AC和向量BC则AB（x2-x1,y2-y1,z2-z1）,AC(x3-x1,y3-y1,z3-z1),BC(x3-x2,y3-y2,z3-z2)设平面的法向量坐标是（x,y,z）有(x2-x1)*x+(y2-y1)*y+(z2-z1)*z=0 且(x3-x1)*x+(y3-y1)*y+(z3-z1)*z=0 且(x3-x2)*x+(y3-y2)*y+(z3-z2)*z=0可以解得x,y,z。扩展资料三维平面的法线是垂直于该平面的三维向量。曲面在某点P处的法线为垂直于该点切平面（tangent plane）的向量。法线是与多边形（polygon）的曲面垂直的理论线，一个平面（plane）存在无限个法向量（normal vector）。在电脑图学（computer graphics）的领域里，法线决定着曲面与光源（light source）的浓淡处理（Flat Shading），对于每个点光源位置，其亮度取决于曲面法线的方向。如果一个非零向量n与平面a垂直，则称向量n为平面a的法向量。垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。每一个平面存在无数个法向量。

两个不共线向量叉乘

i，j，k？

平面的法向量的求法：1、建立恰当的直角坐标系。2、设平面法向量n=（x，y，z）。3、在平面内找出两个不共线的向量，记为a=（a1，a2，a3）b=（b1，b2，b3）。4、根据法向量的定义建立方程组①n·a=0②n·b=0。5、解方程组，取其中一组解即可。法向量简介法向量是空间解析几何的一个概念，垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。由于空间内有无数个直线垂直于已知平面，而且每条直线可以存在不同的法向量。因此一个平面都存在无数个法向量，但是这些法向量之间相互平行。从理论上述，空间零向量是任何平面的法向量，但是由于零向量不能表示平面的信息。一般不选择零向量为平面的法向量。

计算：对于像三角形这样的多边形来说，多边形两条相互不平行的边的叉积就是多边形的法线。用方程ax+by+cz=d表示的平面，向量(a,b,c)就是其法线。如果S是曲线坐标x(s,t)表示的曲面，其中s及t是实数变量，那么用偏导数叉积表示的法线为如果曲面S用隐函数表示，点集合(x,y,z)满足 F(x,y,z)=0，那么在点(x,y,z)处的曲面法线用梯度表示为如果曲面在某点没有切平面，那么在该点就没有法线。例如，圆锥的顶点以及底面的边线处都没有法线，但是圆锥的法线是几乎处处存在的。通常一个满足Lipschitz连续的曲面可以认为法线几乎处处存在。扩展资料：三维平面的法线是垂直于该平面的三维向量。曲面在某点P处的法线为垂直于该点切平面（tangent plane）的向量。法线是与多边形（polygon）的曲面垂直的理论线，一个平面（plane）存在无限个法向量（normal vector）。在电脑图学（computer graphics）的领域里，法线决定着曲面与光源（light source）的浓淡处理（Flat Shading），对于每个点光源位置，其亮度取决于曲面法线的方向。如果一个非零向量n与平面a垂直，则称向量n为平面a的法向量。垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。每一个平面存在无数个法向量。参考资料：百度百科-法向量

设法向量n=(x，y，z)，与平面内两条相交的直线分别相乘等于0，联立方程就可以得到法向量n。n为平面的法向量则n*a=0x*x1+y*y1+z*z1=0，n*b=0x*x2+y*y2+z*z2=0两个方程，三个未知数x，y，z故设出其中一个，例如设x=1（不能为0），从而求出y，z的值，即可得到平面的一个法向量。在平面内找两个不共线的向量，待求的法向量与这两个向量各做数量积为零就可以确定出法向量了，为方便运算，提取公因数，若其中含有未知量x，为x代值即可得到一个最简单的法向量。如已知向量a和b为平面ɑ内不共线的。

空间平面的法向量可通过坐标法或几何法求得,坐标法即对空间几何图形选取合适的点为原点,根据尺寸求得面上点的坐标,进而求得线的向量形式,由法线垂直于平面内的线,即法线向量点乘面内线向量为0,求出法线向量即可.几何法根据空间面线、面面间的关系,通过做面的垂线或延伸面求两面间的交线等手段求解,不如坐标法直接,但运算量小.方向有两个