数学

可以没问题

　　零基础数学应该怎么学高数?对于零基础的人来说学习普通数学就已经很困难了，更何况是高数呢?那是不是就没有学习方法了呢?别担心，以下是我分享给大家的零基础数学学高数的方法，希望可以帮到你!　　零基础数学学高数的方法 　　1、数学基础要打牢 　　MBA数学考试不像高考更不像奥数，要考察某一知识点的延伸，通过研究近几年的真题可以发现，试卷中的大多数题目都是对大纲知识点的直接考察。所以大家一定要把基础打牢，不要盲目追求深度，力争把基础分都拿到。如果连基础分都拿不到，难度分再没搞利索，那就得不偿失了。 　　那么如何打好数学基础呢?首先要通读教材，整理出大纲要求的知识点，形成知识网络，便于记忆;其次是深究各个知识点，对定义及用法着重分析。最后是对知识点进行融会贯通，通过做习题来巩固。 　　2、不同阶段，习题量应有所调整 　　一提起数学，很多人就会想起题海战术，题是需要做，但什么时候做，做多做少都是有讲究的。刚开始复习，基础又不是很好，应该以理论理解为主，先把相关概念弄清楚，可以用少量的习题来辅助理解。习题的选择也要注意，选择一些有针对性的习题来做，真正做到一个题消化一个知识点。 　　切忌一开始就以做题为主，不但会经常做错，打击信心，还得不到效果，浪费大量的时间。基础打牢之后习题就要多做了。通过做大量的习题来消化和巩固知识点，了解试题考查的维度，熟悉出题规律，另外，还要注意锻炼答题速度。在保证准确性的基础上，还要提高速度，确实不是一件容易的事，必须通过大量的练习来实现。 　　3、合理规划复习时间并严格执行有的小伙伴们特别随便......没有一个严格的学习计划，想学了就学点......不想学就就去干别的......甚至学着后面的望着前面的......还有的考生复习之前有一个计划，但一到真正实施就管不住自己了，总是不能保质保量的完成任务。当然，我们也不建议完全脱产学习，但不对自己残忍就是对竞争对手的仁慈，要用对待阶级敌人的态度对待学习任务。 　　4、心态(老话长谈，但一定要说) 　　现在大家工作生活上的压力都比较大，每个人在MBA复习过程中都会遇到一些困难，情绪上也会出现波动。适当聊聊天喝喝茶散散步是百试不爽的，实在没人聊可以找加油菌，总之要把自己的负面情绪发泄出来。 　　零基础数学学高数的技巧 　　一、背数学 　　我曾经有一位学生数学成绩一塌糊涂，甚至都想放弃数学，去参加不要求数学成绩的院校招生。直至一天他想到“背数学”的学习方法，他写到： 　　这个技巧是：不懂的问题，直接看解答，先背起来再说。如此一来，一题一般只要5分钟便背下来，从量来看，可以追赶得上成绩好的同学。 　　各位猜猜看看，从开始背数学后，她的成绩变好了吗?结果是，她的成绩进步神速，高中三年级时，数学模拟考试成绩还进入全国排名，并应届考上东京大学医学院。比她小一岁的弟弟采用了此方法，也成为该校创校以来第二位应届考入东京大学文学院的学生。 　　无独有偶，1995年北京市文科状元、北京大学段楠同学，也有类似的经历。她在北京四中读书时，高二第一学期期末考试只列上第30名，而且数学还没及格。那么，她是如何把数学成绩提上来的呢?她说： 　　学习数学有一个自己的小窍门，不一定对每个人有用，说出来仅供参考：如果能学好数学是背例题背出来。不采用题海战术，但是从每种类型的题中找出一两道典型题“背”过一两次，理解之后，再看到难题就会拿着例题往里套了。 　　二、教材试卷化，试卷教材化 　　之前有位学生成绩一直很稳定，但拔不了尖。为了她很苦恼，不知道怎么做才能打破这一局面。直至有一天她忽然想到把试卷和教材来个角色互换，具体做法： 　　试卷和教材“角色互换”步骤如下： 　　第一步，把试卷依照教材的顺序清理好，并编上序号。因为试卷基本都是按教材走的，清理起来并不费劲。 　　第二步，在试卷的开始处写上一段“导语”。主要内容有：一是此试卷考什么，二是与考试有关的知识要点。 　　第三步，在试卷结尾处，写上一段“小结”，总结自己考试情况，写出自己在知识上的缺陷。 　　她说，将这些试卷装订起来，反复阅读，实在比看教材过瘾。 　　再说教材与试卷的“角色互换”。这位同学的做法如下： 　　第一步，认真阅读教材。 　　第二步，阅读一段，就用若干问题以考题形式总结出来。 　　第三步，将问题和参考答案写在一个本上，至此，教材试卷化工作即已完成。 　　她说，教材上每一节或每一章往往也有思考题，但教材试卷化时，要比教材更细，可以一小段就出一道题。 　　三、回过来做课本上的题 　　老师有个建议：索性先回过头来，老老实实地、认认真真地把课本上的题全做一遍。这么做的原因有： 　　第一：课本上的习题，是编教材的老师费尽心思、反复考虑才挑选出来，是最具代表性的题，是最具代表性的题，是最好的题，值得去做。 　　第二：一般来讲，课本上的习题，尤其注意与概念、公式、定律的联系，而数学成绩不太稳定的同学的一大通病，就是基础不劳，概念、公式、定律等掌握得不是很好，为此也值得去做课本上的题。 　　第三：课本上的习题，有的老师讲过，有的教参书上有比较详细的讲解，比较容易做对，从而增强自己的信心。 　　以优异成绩考入中山大学的2001级本硕连读班的的洪伟雄同学也有同感。他说：“第一，做题应先做课本上的题。第二，做题还有个“适度”问题。” 　　零基础数学学高数的建议 　　第一，要具备不卑不亢的心态 　　数学并非难，只是它的表述体系和思维要求，对于多数中国学生比较陌生。要把它当作全新的东西来认识，就跟学习一门新语言一样。以前自己学的东西，包括高中知识和AP数学等，记住概念即可，思维推导不要沿用。然后严格按照老师讲的思维方式，不厌其烦的推导和证明，慢慢一回生二回熟。几年前华人数学天才陶哲轩给UCLA本科生讲Honor Analysis(荣誉数学分析)的时候，上来进度非常慢，前一个月都在证明皮亚诺公理、集合论和基本的映射理论，但后来可以越学越快，而且学生越学越Hi。拳不离手，曲不离口，学语言要勤动口和动笔，学数学也要没事常动脑。 　　就算文科生一样可以学好数学：20世纪俄罗斯数学学派掌门人、莫斯科国立大学数学系主任柯莫高(Kolmogorov,又译柯尔莫格洛夫)大一是读历史的。美国人魏爱华(Edward Witten)更奇葩，本科四年读的都是历史和语言学，博士申请UWM的经济学博士，读了半年退学，自修数学和物理,23岁考进Princeton，硕转博再同时搞数学和物理。16年后，他站在菲尔兹奖的领奖台上。 　　我说过了基础数学其实是哲学，而哲学算文科还是理科都有道理。另一方面，国内就算奥赛摘金夺银，到美国也要扎扎实实的学。因为奥赛国际金牌在欧美的精英面前多数是渣：俄罗斯盖芳德(Gelfand)15岁读完代数几何教父高探蝶(Grothendieck)的名著EGA(代数几何原理)，这套书让北大博士去读都够呛。我们石溪的米糯教授本科大一在《数学年鉴》上发论文，这是数学界最高学术期刊，每年中国大陆都很难有一篇文章发表。 　　这里特别要说一下美国数学教学的二段教学法：不同于俄罗斯和中国上来就是带证明的数学分析和高等代数，美国的教学更为亲民：上来先是微积分和不带证明的线性代数，内容比较简单，作业和考试很多中国学生可以依靠高中基础秒杀之。但不少人练习不够，很多知识没搞透，方法技巧也不够熟练。然后到了第二段，数分和高代一开，很多人欲哭无泪。这就要求第一阶段，哪怕觉得这些题再傻，一本书一道不落地做完是很有必要的。 然后第二段就要细读书，多问老师。在美国基础数学能学好的中国人，要么是自己天才，要么就把教授办公室的椅子坐穿。 　　第二，保证数学的学习时间 　　要是天才并且喜欢数学，那你自然会给数学大量时间。如果是为了将来胜任其他领域而学数学，要记住大一大二对于打好数学基础是最宝贵的。所以，建议每天先完成其他学科的作业，然后把大块时间分配给数学的看书做题细琢磨。 　　我目前主要是修各种数学课和一门应用数学的概率论，每天时间大体是这样分割的：睡觉6小时，吃饭包括饭后的休息2小时，健身和洗澡2小时，交通1小时，个人爱好1小时(抄抄四书五经，读读文艺的歌词，主要是墨明棋妙的还有林夕的)，机动时间1小时，剩下11小时是听课和课下学习。周末多用两小时坐校车去买个菜，路上一直思考，也相当于最终学习10小时。 　　谁说数学天才每天悠哉游哉?那么最年轻的菲尔兹奖得主，27岁得奖的赛赫(Jean-Pierre Serre)够天才了吧?他自述道：习惯带着数学题入梦，醒来往往有思路。故我用最爱的《红楼梦》第一回作为他的雅号：“梦幻通灵”赛赫(与“造化阴阳”高探蝶，“迷津慈航”艾抵涯(Sir Michael Atiyah，英国皇家学会会长，敕封爵士)并列20世纪世界第一的数学家)。数学多好算好?别说拿A，满分都是不够的。一本书读完，知识和方法不超纲的题目要难不住你(by“现代微分几何之父”陈省身)。一本书读完，同一领域下一阶段的书要能自通30%(by菲尔兹奖得主Curtis McMullen的导师Dennis Sullivan，石溪数学四大导师之苏立文)。校内传的什么每天学习八小时那是给别的学科的。每天八小时想学好数学?做梦! 　　第三，学会科学的思维方法 　　(1)数学思维的三个方面 　　任何数学的定义、定理说透了也就三部分： 　　第一是它本身的文字和(或)符号、 公式内容; 　　第二是它在数学知识体系中的位置，与其他数学内容的逻辑关系，包括由什么可以推出来该定义或定理，它又可以(与其它定理一起)推出些什么; 　　第三是它所涉及的范畴有什么具体实例(比如循环群就有旋转图形、整数加群和同余模加群等例子)，这些例子又有何作用，能否在数学中或数学外(典型的如几何和物理)取得应用。 　　这就分别是数学对象的本体论、方法论和目的论。柯莫高说：“的确学生对数学的适应性存在差异，这种适应性表现在： 　　1、算法能力，也就是对复杂式子作高明的变形，以解决标准方法解决不了的问题的能力。 　　2、几何直观的能力，对于抽象的东西能把它在头脑里像图画一样表达出来，并进行思考的能力。 　　3、一步一步进行逻辑推理的能力。 　　这些对应的就是掌握数学概念的三方面需要什么能力。提高算法能力最好多做题，几何直观除了做题还要平时多留意，多联系生活实际;逻辑推理这个往往是中国学生的弱项，毕竟我们母语的方块字二维画面性远远超过西方拼音文字，而一维线形(逻辑链的内在属性)却不足。汉字个个如画，横竖左右写均可，而西方拼音文字就得一条路从左往右，上下写都够呛。故逻辑推理要特别练习。练习逻辑推理的方法关键在定理的证明，下面会详述。 　　(2)如何课前预习 　　一开始微积分可以多做一点，而数分和高代等带证明的预习下一节课内容即可。先回顾上堂课所学知识，再看新章节内容：先略读本章节，看清有几个定义(Definition)，几个定理(Theorem)和引理(Lemma)，有哪些例子(Example)和注释(Remark)。如果把数学比作一门语言，定义就是名词，定理和引理是句子，而例子和注释相当于古文经典中的注和疏。定义一定要自己品味，比较长的拆开句子成分慢慢看，不行就抄。日本第一个菲尔兹奖小平邦彦大学时抄过整本Van de Warden的代数，咱们抄书不丢人。 定义要么是全新的，这个不急着理解，往后看看;要么是基于以前内容的，这个不妨回顾一下相关内容再继续看。 　　遇到定理就要注意，课本的证明不要先看，自己理解定理内容后，把定理当作习题徒手证一遍，写下来，再与课本原文比较，查找二者的不同：自己的证明是不是漏某条件或者把某需要说明的当做显然了(初学者常犯错误)，是不是有多余的语句，是不是有地方用错了。凡是不同处，都要重点思考，这样进步就快了。如果实在想不起来，就看看书本怎么证的。对于自己的不足，要整理到上述公式、逻辑或几何三个大类中，并提醒自己注意(如国内分析教材从罗尔定理证明拉格朗日中值定理，很多人不会把一般的函数构造成符合罗尔定理条件的函数，这个就牵涉到公式变形能力和逻辑能力)。 　　引理也是这么证。别小看引理，朗兰兹猜想中的基本引理之一，吴宝珠证出来就是一个菲尔兹奖。至于例子，也是不要先看，自己看了定理，自己想至少两个例子，一个是典型的，一个是退化的极限情况(by Halmos，《我要做数学家》和《希尔伯特空间习题集》的作者，芝加哥大学鼎盛时期和陈省身等共事的数学家)。例如高中解析几何的双曲线，分母的a^2, b^2当然大于零，可以找出来一个例子。如果其中一项等于零，就退化成两条直线，这就是退化的极限情况。不要小看退化，这正是跟以前知识的联系。自己想了例子，其实潜意识中，注释的内容已经过了一遍。然后不必太早做习题，再回顾一下整个思维过程有没有需要看课本提示的地方，有没有自己能看懂但是跟以往惯性思维相悖的地方，有没有突然顿悟的地方。这都要记下来，上课等老师讲到这里时要格外留心。 　　(3)听课 　　美国的数学教授基本还是写黑板，而且不会太快。上课公式一写几黑板的那是应用数学教授，噼噼啪啪打幻灯的在石溪一定不是数学或物理教授。 所以，有时间记笔记。但不必全记住，把预习的成果调动起来，老师讲的时候跟自己脑中的备份随时印证并修正。就一个建议，教授不停嘴，学生不动笔。真正听好了，上课一字不写又何妨?课下完全可以轻松补全并注上自己的心得见解。 　　(4)课下 　　先整理笔记，一定有自己的见解，全抄老师的对于学应数是有用的，对于学数学则是浪费时间。数学界的师生关系往往很融洽，但思维上绝对是批判继承和启发继承，学我者昌，似我者亡。然后是定义再品味一下，定理和引理自己再证一遍，比较老师的证明、课本的证明和自己当初的证明，这次不仅要能说出哪个好，还要能说出为什么好。 　　然后是做题了。除了开始的微积分要刷书，带证明的课，课本做好作业题就够了，因为老师选的可能不是经典教材(经典的往往比较难，很多美国学生受不了)。但每个题要做精，做完一题回顾自己的思路历程，并对其中的公式变形、逻辑推理和几何直观进行归类。实在做不出来，画个记号，改天再看，两天都做不出来才可以看解答。对于解答中自己想不到的，要特别标注，常常回顾。然后就是选一本这一门课比较经典的书，按照上文预习和做题的路子走一遍。经典教材的知识点和思路要自己总结，每过一两章节，找一张大的纸画下来本章定理的逻辑体系图。经典教材的题目最好都做，做不出来，Office Hour坐穿椅子去。 　　(5)心理状态 　　很多人开始觉得数学难，然后生怕基础打得不牢，一个定理看半天，看似很认真很投入，其实就算理解了思维也很僵化，而且容易跟不上进度。这就像打羽毛球和练书法，你心里紧张，手抓得太紧，反而发不出力来，写的字也不好看。掌心要虚着，身体要保持随时可以发力的弹簧状，击球时蹬地转体推肩压臂一套动作一气呵成，手掌瞬间抓紧最后一次加速，这才能打出林丹那样硬砸开李宗伟铁板防御的扣杀。书法所谓挥洒，也是如此。要保持轻微的紧张和激动，有点小期待，随时能调动已有知识，并可以多角度观察新知识，思维能发散也能迅速收回并集中攻关。 　　这种感觉一旦找到，妙不可言。不过重难点也要适当文火慢炖：如果教材中有令自己感到太难的思考，头一天理解了要标记，第二天要试着不看书回忆。曾任Princeton和University of Wisconsin Madison教授，现坐镇石溪的微分几何大家陈秀雄先生在《初遇尤金·卡拉比》中写道，当年导师卡拉比告诉过他：如果你不能在脑海中重复整个论证过程，那么它就没有成为你的一部分。 猜你喜欢： 1. 学习数学最快的方法 2. 大学数学为什么这么难 3. 正确学习数学的方法 4. 学习数学的有效方法有哪些 5. 基础差应该怎么学高等数学

华裔的只有陈省身别的不知道

学习的秘密：一个故事中究竟藏着多少玄机？原创 2016-11-05 核聚 核聚人们为什么对故事痴迷？这个问题让我百思不得其解。曾经听一位朋友书，每当《西游记》在电视台播一遍，他就看一遍，这部电视剧背播烂了，他却还没有看够。很长一段时间里，我对理论、观点痴迷。因为理论概括能力强，高屋建瓴，气势恢宏。后来我发现事实更重要，故事可以蕴含很多东西，包括理论，事实胜于雄辩。编造一个理论、提出一个观点容易，而一个真实的故事，或者精美的故事，绝没有编造那么简单。后来，我发现一个故事，可以让人回味很久，每次回味都有不同的感受和启发。再后来，我确信：每个真实的背后都有无穷玄机！比如下面这个故事：小平邦彦是亚洲第一获得菲尔兹奖的数学家。小平邦彦经常说自己天资不好，但是他从中学开始，就是那种做事情一丝不苟，全身心投入的人。他回忆自己第一次学习范德瓦尔登的《代数学》，几乎学不懂，然后就开始抄书，一直到抄懂为止。故事讲完了。就这么短。似乎没有多少百转千回的曲折。然而这个故事，却在我的记忆中挥之不去。最初看到这个故事，我立即联想到“勤能补拙”，“贵在坚持”，“聪明人下苦功夫就会不得了”。当然还有，“抄书是个好办法”。对这个故事的所有感触中，“抄书是个好办法”，占据的地位是压倒性的。因为，我联想起许多人都有过抄书经历。比如蒙台梭利这位二十世纪最伟大的教育家，在创建“儿童之间”取得令人瞩目的成就之前，曾经翻译过两位人类学家的大部头著作，翻译完成之后，她还亲自抄写的一遍。在中国，许多和尚道士也是抄经的。这群人里面经常有智慧超群之士。又过了一段时间，我发现这个故事里还有新内涵。这来源于日常学习过程中的感受：许多重要的书籍看起来都很费劲。小平邦彦的故事给我的启发是：如果觉得看书学习很费劲，这实际上根本就不是个问题。因为，如果看书很轻松，一点都不吃力的话，那就是在看报纸，而不是在学习。即便对于小平邦彦这么牛的人，也不是生来天赋异禀，看数学如同看小说一样轻松。后来知道刻意练习的概念，知道人的活动都在三个区域里。舒适区，学习区，恐慌区。停留在舒适区的状态里，学不到东西，比如大学生从自然数的加减乘除法的算术中就学不到什么东西；在恐慌区里活动，也很难学到东西，比如高中生，让他做微分方程；在学习区里才能学到东西，这个时候，眼下的任务难度比自己的能力高一些，在努力达成目标的过程中，水平提升了。所以，如果你在做一件很费劲的事情，很可能你就在学习区里。这件事完成之后，你的能力会增长。朋友圈的力量再后来，我在各种场合跟一些聊得来的朋友分享小平邦彦的故事。大家的观点，千奇百怪。其中有个朋友的数学很强，大学的数学考试基本都是满分。他听了小平邦彦的故事之后说，“我平时经常抄书上概念”。这句话说的平淡无奇，却又给我带来启发。任何知识的基石都是基本概念。很多人思维不清，或者知识漏洞百出，观点说不明白，都是因为概念不清晰。一旦概念清晰，思维就有了生命力。就像这个朋友，他早在大学时代就发现了这个奥妙。另外一个朋友说，“抄书就好像抄不会做的题目答案一样，抄的过程中可以加深逻辑记忆”。的确如此，我们解题的过程中，常常一眼扫过，感觉这个题目我能解。实际上解不了。即便是看到答案和解题过程之后感到恍然大悟。问题是，即便恍然大悟还是不一定能够掌握。像这位朋友说的，抄不会做的题目答案（包括解题过程），抄的时候可以加深逻辑记忆。我高中的时候也这么做过。还有一个朋友说，“静下心来，一步一步来”。我也很赞同他的观点。抄书这个动作可以把焦虑的心态、着急的心态放平，一步一步的踏踏实实前进。人的求知欲一旦燃起来，或者外界的压力大起来，“一口吃个胖子”的愿望非常强烈，总是想一口气学的更多。这时候总觉得进度不如意，如果能静下心，一步一步来，反而效率高。专家是如何炼成的？此后，有一段时间，我关心“专家是如何炼成的”这个话题。又从小平邦彦的故事中获得了三个启发。抄书能抄出数学家吗？如果抄书能抄出数学家的话，岂不是满大街都是数学家了？联想起惠勒所说，“没有问题，没有答案”。我想小平邦彦肯定是带着问题抄书的。一边抄书一边思考问题，甚至猜想书的后续内容是什么，边抄边解答。把自己所想与书中的内容做对比，直到懂为。当他心里的困惑，他心里想到的问题，都一一找到了答案，有一些是书上得到的，比如书上给出的答案，有一些是他根据书上的提示自己独立推导出来的答案，想出来的答案，那么就自然懂了。任何知识领域的高手，必定需要扎实的基本功。问题是，这个基本功是什么？实际上就是一种思维结构。对于不同的知识领域，对应的思维结构不同。也许小平邦彦就在抄书的时候，想明白了代数学的基本结构。至少，想明白了范德瓦尔登的代数学的思维结构。任何知识的学习，任何知识的掌握，必定是先慢后快。如果小平邦彦只能通过抄书才能理解数学的话，那么他根本不可能成为国际级的数学家。因为，数学的著作浩如烟海，即便是经典著作都多得不得了。如果他都是这么慢慢的抄的话，那得抄到何年何月？他在抄的过程中，首先是不断熟悉那个思维技能，这个过程是慢的。而一旦这个思维技能掌握了、熟练了，那么任何数学分支都有同样的结构，在运用几乎相似的思维技能。然后熟能生巧了，不仅仅是解题，而是思维的延伸。思维的延伸就是发明创造。因此从学习到发明、创新之间，没有迥然的分界，而是一个连续的过程。天赋与学习前年，我关心天赋与学习之间的关系。又得到三点启发： 第一，没有绝对懂与不懂。关键是我今天有没有懂得更多，我今天懂了多少，我今天究竟懂了什么？我今天想到了什么问题，找到了哪些问题的答案，这是关键。包括我们在做一道题目的时候，我做错了，做错的话，我有什么收获？我做对了，我究竟收获了多少？一是一，二是二，三是三，我们有没有这么去做？这样做非常关键。对于任何事情，没有绝对的懂与不懂。要找到跨越从不懂到懂的办法，即便是抄书。要迈步向前，哪怕一字一句。第二，不要纠结于有没有天资，除非努力过。即便是小平邦彦，他开始学数学的初期，仍然遇到很大的困难。我们在学习过程中遇到困难的时候，我们头疼的时候，我们看不懂的时候，题目做不出来的时候，经常会自我怀疑，是不是我数学真的就不行啊？我没有数学思维啊？或者某某方面真的没天赋啊？很可能，不是天资的问题。例如，认知神经科学的研究表明，我们天生下来就有数学思维，这印刻在我们的神经结构之中。当然，神经科学的研究还表明，我们每个人本身就是一架超级计算机。我们今天，最先进的人工智能，依然耗费巨大的力气来模拟一个普通人都具有的图像识别、情绪识别的功能。生命科学技术再发达，我们仍然没有办法从无机物造出一个完整的细胞，而在我们普通人的身体里有多大100万亿个细胞。所以，当我们产生自我怀疑的时候，尤其是怀疑自己学习能力的时候，不要再纠结天资的问题了，除非我们努力过。既然国际一流水平的数学家都做过这样的努力，那我们应该自问：有没有做过与之相当的努力？第二，“如果世界上有奇迹，那只不过是努力的代名词”。我们能解一道题目，中等难度的题目，只不过是由那些基本的知识点，那些基本的思维操作，所导出来的。一道更难的题目也是一样的。我们解了一道很难的题目，有一天，我自己都觉得感到骄傲，感到是个奇迹，那只不过是我们以前以往点点滴滴的努力累积出来的，就是他们的积分一点一点的，先微分后积分积出来的。同理其他的事情也是如此。我们在生活中能够处理越来越难的事情，作出更好的作品，写出更好的文章，做出更好的项目，开拓了更有前景的项目。这些都是点点滴滴的积淀而来。都是在学习区里的不断面对不舒服，不断面对挑战，付出种种努力的过程中积淀而来。曾经有一个TED演讲《我如何闭气17分钟》。魔术师David Blaine讲述了自己如何实现水下闭气17分半钟的经历，包括他如何一步步训练自己，做过哪些失败和成功的尝试。这段视频，我看过几十遍。因为这个魔术曾经被当做试验研究发表在《新英格兰医学杂志》，这是国际四大医学杂志之一。更因为，这个演讲震撼人心。在演讲的前半段，大卫布莱恩讲了许多幽默故事，尝试闭气过程中的各种趣事。在演讲的结尾，他说：作为一个魔术师，我试着展示一些东西——那些看似不可能的事。我认为魔术，不管是水下屏气，还是捣鼓一副纸牌，道理都很简单。就是练习，训练，以及......（几乎泣不成声，强忍着流泪，继续说下去）就是练习，训练，以及不断尝试。去强忍过那些极痛苦的时刻，做自己能做的一切。这就是魔术对于我的意义。谢谢你们。（掌声）在演讲的末尾，布莱恩已经控制不了自己的情绪。我想他原本想把这个演讲做成轻松幽默的风格，同时带给观众带来惊奇和欢笑。但是，当他谈及自己的训练过程，他感动了自己。许多人都曾经梦想或者幻想过奇迹发生在自己身上，包括我。我也曾经问过许多有关奇迹的问题。如今，我问：对于那些真正重要的事情，付诸的努力，有没有达到极限？你何以知道已经达到自己的极限？是什么阻止你这么做？昨夜朋友小聚，相谈甚欢直到凌晨一点。一段往事，居然有无穷个角度解读。其中有欢笑，有人世间的是非，有社会和人性，有对命运的种种理解。一次小聚，至少可以回味一个月。发生在生活中的每一件事儿，都藏着无尽玄机。我是核聚，人生核聚变的核聚，阅读类似文章，关注我的公众号“核聚”（hejupai）。想加入我的微信群，请给我留言，注明你的微信号，拉你入群。长按下面二维码关注本号。我国著名数学家张广厚在少年时代刻苦学习的故事，会对大家有所启发。 张广厚上小学时，由于算术成绩特别差，因此，没考上初中，但他并不灰心，他相信只要勤奋学习，一定能克服知识上的缺陷，把学习搞上去。于是他仔细检查了自己学习上的毛病，特别是数学学不好的原因。经过几个月的苦练，他的学习成绩有了显著的改变，并以优秀的成绩考上了中学。在中学阶段，他的学习更加勤奋了，读完中学又以优异的成绩考上了大学，最后在数学方面刻苦钻研，成了国际公认的大数学家。张广厚上小学连算术都考不及格，但以后却成为著名的数学家，这件事十分生动地说明了一个道理——勤能补拙。

如果有人不相信数学很简单，那是因为他们没有意识到人生有多复杂。——冯·诺依曼这10本豆瓣高分经典数学书，果断收藏数学是一门基础科学，更是我们认识世界的工具。在很多人看来，数学是高冷而晦涩的。实际上，数学与我们的生活息息相关，它不仅是很多学科的基础，而且数学思维中所包含的定向思维、逆向思维、扩散思维、创新思维对每个人来说都很重要。今天，小悠给你带来一份豆瓣高分数学书，带你走进妙趣横生的数学世界，探索数学的奥秘，近距离感受数学的魅力。趣味数学01《数学女孩 》豆瓣评分：8.9这10本豆瓣高分经典数学书，果断收藏《数学女孩》以小说的形式展开，重点描述一群年轻人探寻数学中的美。内容由浅入深，数学讲解部分十分精妙，被称为“绝赞的初等数学科普书”。02《数学也荒唐20个脑洞大开的数学趣题》豆瓣评分：8.6这10本豆瓣高分经典数学书，果断收藏法国亚马逊数学类畅销书。脑洞大开的荒唐问题，另类的数学研究，启发心智的思考，令人捧腹的笑话，丰富的漫画，让数学不再枯燥晦涩。堪称法国“最搞怪”的数学网红博客佳作。03《最后的数学问题》豆瓣评分：8.3这10本豆瓣高分经典数学书，果断收藏数学是人类的发明还是发现？本书讲述了数学概念的演化过程，揭示了数学与物质世界、与人类思维之间的微妙关系，并以通俗手笔讲述了数学巨匠和科学家的思想，是一本妙趣横生而又十分经典的数学思想史著作。数学挑战01《简单微积分学校未教过的超简易入门技巧》豆瓣评分：8.7这10本豆瓣高分经典数学书，果断收藏日本人气“微积分入门”读本。无须背诵公式、烦琐计算，仅用“阅读”理解，传授微积分入门的“巧妙思路”。以生活例子通俗讲解了微积分的基本原理、公式推导以及实际应用意义，解答了微积分初学者遭遇的常见困惑。02《微积分的历程：从牛顿到勒贝格》豆瓣评分：8.9这10本豆瓣高分经典数学书，果断收藏本书宛如一座陈列室，汇聚了十多位数学大师的杰作。作者同读者一起分享了分析学历史中为人景仰的理论成果，文风典雅，文笔优美，兼具趣味性和学术性。对于中学生乃至大学师生，都是极为难得的课外读物。03《陶哲轩教你学数学》豆瓣评分：8.7这10本豆瓣高分经典数学书，果断收藏数学天才手把手教你做数学。从问题到答案，中间要有一些试探和猜测。本书是天才数学家陶哲轩的第1本书，论述解决数学问题时会涉及的各种策略、方法，旨在激发青少年对数学的兴趣。高等数学01《普林斯顿微积分读本（修订版）》豆瓣评分：9.6这10本豆瓣高分经典数学书，果断收藏本书阐述了求解微积分的技巧, 旨在教会读者如何思考问题从而找到解题 所需的知识点, 着重训练大家自己解答问题的能力.本书既可作为教材、习题集, 也可作为学习指南, 同时还有利于教师备课，B站图灵社区账号有配套学习视频。02《线性代数应该这样学》豆瓣评分：9.0这10本豆瓣高分经典数学书，果断收藏本书在内容编排和处理方法上与国内通行的做法大不相同, 它完全抛开行列式, 采用更直接、更简捷的方法。书中对一些术语、证明思想和启示等做了注释, 不仅增加了趣味性, 还加强了读者对一些概念和思想方法的理解。03《概率导论 第2版》豆瓣评分：9.3这10本豆瓣高分经典数学书，果断收藏本书是在MIT开设概率论入门课程的基础上编写的，内容全面，例题和习题丰富，结构层次性强，能够满足不同读者的需求。图灵经典数学书，可以作为所有高等院校概率论入门的基础教程, 也可作为有关概率论方面的参考书。04《微积分入门（修订版）》豆瓣评分：9.2这10本豆瓣高分经典数学书，果断收藏本书为菲尔兹奖得主日本数学家小平邦彦晚年创作的经典微积分著作，突出“严密”与“直观”的结合，重视数学中的“和谐”与“美感”，讲解新颖别致、自成体系。作者通过巧妙引导，启发读者自主思考，提升对微积分的领悟。建议在《普林斯顿微积分读本》之后阅读。

数学教育目的：1、通过“数学常识”和“数学思维能力”的组合来培养数学智力；2、培养有数学素养的人。“有数学素养”：懂得数学价值，对自己的数学能力有信心，有解决数学课题的能力，学会数学交流，学会数学的思想方法。通过练习题学习数学技能--------适合于学习事实和技能。通过解决的确具有某 些特点的情况，学习解答问题的一般方法，而这些特点是用来定义一个实实在在的问题的----适合于学习如何发现和探究的技能，学习数学的再发现和学会如何学习。13、数学学习的目的，从掌握“数学事实和技能”转变为掌握“解决问题的一般方法”即“数学式地思考”，是数学教育观念的重大更新。14、理解数学的四个层面：1、形式层面的理解。逻辑思维训练，应当是数学学习中的基本训练。2、发现层面的理解；3、直观-具体层面的理解；4、直觉层面的理解。15、小平邦彦：“一般认为数学是按严密的逻辑构成的科学，即使与逻辑不尽相同，却也大致一样。但是实际上，数学与逻辑没有什么关系。数学当然应该遵循逻辑，但逻辑在数学中的作用就像文法在文学中的作用那样，书写合乎文法的文章与照着文法去写小说完全是两码事；同样，进行正确的逻辑推理与堆砌逻辑去构成数学理论是性质完全不同的问题。数学在本质上与逻辑不同。16、在数学中绝不要把逻辑的马车放到启发式的马前面。17、我们只有了解结论是怎样得来的，才能真正弄懂结论。重现或亲历发现过程，是数学家学习、研究数学的高招。最好的学习方法是动手-----提问，解决问题。最好的教学方法是让学生提问，解决问题，不要只传授知识------要鼓励行动。18、数学是抽象的，理解数学的一个层面便是，赋予数学直观和具体的意义。19、过份强调数学的形式结构是个错误。20、抽象只有在坚实的经验基础上才有意义，此外，引进抽象观念后，应该用具体问题来显示她们的用处。21、现代数学好的方向是它强调几个基本的概念，诸如，对称、连续和线性。22、几何直观仍然是领悟数学的最有效的渠道。几何直观就是对于抽象的东西，能够在头脑中像画画一样描绘出来并加以思考。23、数学教学与人的素质发展相结合，是数学教育的最主要的宗旨。24、几何图形是一种数学符合，是“直观空间的帮助记忆的符号”，是“图像化的公式”。25、数学真正要办的事情是解决具体的问题。理解一个理论的最好的办法是找到一个具体问题，然后研究该理论的一个样本实例，一个能说明一切的典型例子。

17世纪时，英国数学家瓦里士已经意识到在直线上不能找到虚数的几何表示。1797年，挪威的测量学家维塞尔向丹麦科学院递交论文《方向的解析表示，特别应用于平面与球面多边形的测定》，首先提出把复数用坐标平面上的点来表示，使全体复数与平面上的点建立了一一对应关系，形成了复平面概念。但当时没有受到人们的重视。1806年，日内瓦的阿工在巴黎发表的论文《虚量，它的几何解释》，也谈到了复数的几何表示法。他用“模”这个名词来表示向量的长度，模这术语就源出于此。伟大的德国数学家高斯是近代数学的奠基人之一，在历史上影响之大，可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列。他在1799年已经知道复数的几何表示，在1799年、1815年、1816年对代数基本定理作出的三个证明中，都假定了复数和直角坐标平面上的点一一对应，但直到1831年他才对复平面作出详细的说明。他说：“迄至目前为止，人们对于虚数的考虑，依然在很大的程度上把虚数归结为一个有毛病的概念，以致给虚数蒙上一层朦胧而神奇色彩。我认为只要不把+1、-1、i叫做正一、负一和虚一，而称之曰向前一，反向一和侧向一，那么这层朦胧而神奇的色彩即可消失。”此后，人们才接受了复平面的思想，有些人还把复平面称为高斯平面。　　　利用复数的几何表示法，复数又可以用坐标平面上的向量来表示，两个复数相加可以按照向量加法的平行四边形法则来进行，一个复数乘以i（或-i）相当于表示此复数的向量逆（或顺）时针旋转90。这就使得物理上的许多向量：力、速度、加速度等等，都可以借助于复数来进行计算，使复数成为物理学和其他自然科学的重要工具。

复平面：复数Z=a+bi和实数对(a,b)一样可以和坐标平面上的一点建立一一对应关系,这样与全体复数建立了一一对应关系的坐标平面叫做复数平面,简称复平面(Complex plane),又叫高斯平面. 注： 复平面的横轴上的点对应所有实数,故称实轴,纵轴上的点(原点除外)对应所有纯虚数,故称虚轴. 习惯称X轴为实轴,y轴为虚轴. 复数是指能写成如下形式的数a+bi,这里a和b是实数,i是虚数单位（即-1开根）. 复数加法法则 　　复数的加法按照以下规定的法则进行：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数, 　　则它们的和是 (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 　　两个复数的和依然是复数,它的实部是原来两个复数实部的和,它的虚部是原来两个虚部的和. 　　复数的加法满足交换律和结合律, 　　即对任意复数z1,z2,z3,有：z1+z2=z2+z1; (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).

1.A.N.Kolmogorov ---为概率论建立了公理体系的俄罗斯人。 2.H.Poincare -----H.庞加莱人类历史上最后一位全才科学家。 3.D.Hilbert -----号称数学之王，无数天才的老师。 4.A.E,Nother -----二十世纪代数学执牛耳者，诺特阿姨。 5.Von Neumann-----计算机的发明者，地球人都知道。 6.H.weyl ---你还知道哪个外尔？ 7.A.Weil ----韦伊，布尔巴基学派的精神领袖。 8.I.M.Gelfand——首届Wolf奖得主，泛函分析大师。 9.Wiener -----典型的神童，控制论的创立人。 10.Alxsandrff --- 11.Ledesque ----实分析开山鼻祖，被同行认为精神病勒贝格。 12.Shafarevich ---- 13.V.I.Arnold---- A.N.Kolmogorov最得意的门徒。 14.Dedekind ------著名的戴德金分割－实数理论。 15.Markov ------马尔可夫？学概率的人都知道。 16.Klein -----厄兰根纲领，天才啊。 17.E.Artin -----人们对他的一般评价是，大代数学家。 18.Jordan -------老觉得他是十九世纪的人，呵呵。 19.Siegel-----来自哥廷根 ？首届Wolf奖得主。 20.Sobolev ----- 非线性分析知道 21.J.P.Serre ——1954年获Fields奖，时年不足28周岁。 22.Gorthenideck -----走在时代前面的格罗滕迪克？上帝！神明！ 23.Whiteny ----惠特尼，微分拓扑的开山鼻祖。 24.E.Cartan ----大器晚成的微分几何大家，实在应该排在前十。 25.Thom -------突变论创立者。 26.Milnor ----与纳什合称普林斯顿那一届的双子星，微分拓扑大师。 27.Hadamand——哈马达代数学 28.Godel ------哥德尔居然只排28？ 29.Landau ----巨富的数学家。 30.Hecke -----实在没想到这个人有这么牛，听说过赫克代数而已。 31.陈省身 ----一代宗师，华人的骄傲。 32.Zermelo ---集合论的东东，学过实变得人都知道。 33.Puntrijagin ---- 34.H.Cartan --应该是老嘉当的儿子了，子承父业。 35.Hopf ----来自瑞士的拓扑学大师，Harvard大学教授。 36.小平邦彦----***人，勤奋的代数几何学家。 37.Cantor ----集合论的康托只有37 38.Chevalley----布饶尔应该排第几呢？ 39.Picard—— 存在与唯一性定理？ 40.Whitehead -----来自剑桥的哲学家？ 41.Caratheodory —— 42.G.H.Hardy ---来自剑桥，最“纯粹”的数学家。 43.Alfors ---首届Feilds奖得主。 44.Selberg——李的同胞，很难想象挪威竟出了那么多一流的数学家。 45.Tucker ----塔克，纳什在普林斯顿的老师。经济学中的塔克均衡的创立者。 46.高木贞治——***最早具有国际声誉的数学家。 47.Lefschetz --普林斯顿王朝的缔造者。 48.Banach -----泛函分析，太靠后了，无语。 49.Eilenberg --艾伦伯格，和华老很交好。 50.Atiyah ----二十世纪后半期英国数学的代表。 51.Sinai—— 52.Smale-----大学时代被系主任追着退学，呵呵。 53.志村五郎 ---志村五郎猜想？ 54.Vinogradov ----维诺格拉朵夫？这个人比华老怎么样？ 55.Zarisky—— 二十世纪代数几何的代表人物扎里斯基。 56.Litelewood ------哈代的好的合作者。 57,Nelivanna 58,Linnik 59,Schur----有限群理论上多次出现的名字，舒尔。 60,Luzin -------鲁津啊，A.N.Kolmogorov 的博士生导师。 61,Fredholm－－－泛函分析 62,van de Waerden ----读过《代数学》吗？ 63,Tihonov 64,Bernstein --- 65,Roknlin 66,福原满洲雄 67,Hormander 68,Turing ——图灵奖没人不知道。 69,Minkowsky ----天妒英才啊，感叹。 70,Perron 71,Darboux－－－实变函数，概率 72.Levy ----学实变的时候听说过这个人。 73,Ramanujan----莫非就是印度那位超天才数学家？呵呵。 74,Bronwer 75.Borel -----波莱尔的书，大学生必读。 76.Harish-Chandra 77,Skolem 78,Leray 79.Calreman 80.Mumford-----芒福德，代数几何学家，Fields奖得主。 81.Krull---- 82.Fisher ---数理统计先驱 83.Suslin ----- 84,Schwartz ----泛函分析，概率 85.Schannon ——莫非就是那个“仙农”。 86.Deligne ----- 87.Bochner —— 88.中山正——***人有那么牛吗？ 89.Zeeman ----- 90.华罗庚 ----华老，这个排名令人欣慰。 91.Petrovsky ---- 92.Geromov ---- 93.佐腾干夫—— 没有看到Langlands，却有这么多无关的***人，奇怪。 94.Russell -------罗素数学家？哲学家？ 95.Birkhoff ----名声很大，具体的不太了解。 96.Lindeloff——林德洛夫，应该是在实变函数课上听说过他。 97.Teichmuller---- 98.Brauer ----令人震惊的排名，别把代数学家不当人。 99.Garding ----写《数学概览》的瑞典人戈丁？ 100.Witt---

私认为做吉米多维奇的《数学分析习题解》就OK了。。。如果是那套俄罗斯教材系列的话，觉得开始刚学数学分析的话买那套《微积分学教程》就差不多了吧。。

华罗庚......

阿基米德（Archimedes，约前287—212），诞生于希腊叙拉古附近的一个小村庄。他出生于贵族，与叙拉古的赫农王（King Hieron）有亲戚关系，家庭十分富有。阿基米德的父亲是天文学家兼数学家，学识渊博，为人谦逊。阿基米德受家庭的影响，从小就对数学、天文学特别是古希腊的几何学产生了浓厚的兴趣。当他刚满十一岁时，借助与王室的关系，被送到埃及的亚历山大里亚城去学习。亚历山大位于尼罗河口，是当时文化贸易的中心之一。这里有雄伟的博物馆、图书馆，而且人才荟萃，被世人誉为“智慧之都”。阿基米德在这里学习和生活了许多年，曾跟很多学者密切交往。他兼收并蓄了东方和古希腊的优秀文化遗产，在其后的科学生涯中作出了重大的贡献。公元前二一二年，古罗马军队入侵叙拉古，阿基米德被罗马士兵杀死，终年七十五岁。阿基米德的遗体葬在西西里岛，墓碑上刻着一个圆柱内切球的图形，以纪念他在几何学上的卓越贡献。 阿基米德的成就 阿基米德无可争议的是古代希腊文明所产生的最伟大的数学家及科学家，他在诸多科学领域所作出的突出贡献，使他赢得同时代人的高度尊敬。 阿基米德求得了抛物线弓形、螺线、圆形的面积和体积以及椭球体、抛物面体等复杂几何体的体积。在推演这些公式的过程中，他熟练的启用了“穷竭法”，即我们今天所说的逐步近似求极限的方法，因而被公认为微积分计算的鼻祖。他还利用此法估算出∏值在 和 之间，并得出了三次方程的解法。面对古希腊繁冗的数字表示方式，阿基米德提出了一套有重要意义的按级计算法，并利用它解决了许多数学难题。 阿基米德在力学方面的成绩最为突出，这些成就主要集中在静力学和流体静力学方面。他在研究机械的过程中，发现了杠杆原理，并利用这一原理设计制造了许多机械。他在研究浮体的过程中发现了浮力定律，也就是有名的阿基米德定律。 阿基米德不仅是个理论家，也是个实践家，他一生热衷于将其科学发现应用于实践，从而把二者结合起来。在埃及，公元前一千五百年前左右，就有人用杠杆来抬起重物，不过人们不知道它的道理。阿基米德潜心研究了这个现象并发现了杠杆原理。 赫农王对阿基米德的理论一向持半信半疑的态度。他要求阿基米德将它们变成活生生的例子以使人信服。阿基米德说：“给我一个支点，我就能移动地球。”国王说：“这恐怕实现不了，你还是来帮我拖动海岸上的那条大船吧。”这条船是赫农王为埃及国王制造的，体积大，相当重，因为不能挪动，搁浅在海岸上已经很多天了。阿基米德满口答应下来。 阿基米德设计了一套复杂的杠杆滑轮系统安装在船上，将绳索的一端交到赫农王手上。赫农王轻轻拉动绳索，奇迹出现了，大船缓缓地挪动起来，最终下到海里。国王惊讶之余，十分佩服阿基米德，并派人贴出告示“今后，无论阿基米德说什么，都要相信他。” 金冠之谜 赫农王让金匠替他做了一顶纯金的王冠，做好后，国王疑心工匠在金冠中掺了银子，但这顶金冠确与当初交给金匠的纯金一样重，到底工匠有没有捣鬼呢？既想检验真假，又不能破坏王冠，这个问题不仅难倒了国王，也使诸大臣们面面相觑。后来，国王将它交给了阿基米德。阿基米德冥思苦想出很多方法，但都失败了。有一天，他去澡堂洗澡，他一边坐进澡盆里，一边看到水往外溢，同时感到身体被轻轻拖起。他突然恍然大悟，跳出澡盆，连衣服都顾不得穿就直向王宫奔去，一路大声很着“尤里卡”， “尤里卡”（Fureka，我知道了）原来他想到，如果王冠放入水中后，排出的水量不等于同等重量的金子排出的水量，那肯定是掺了别的金属。这就是有名的浮力定律，既浸在液体中的物体受到向上的浮力，其大小等于物体所排出液体的重量。后来，该定律就被命名为阿基米德定律。 爱国者阿基米德 在阿基米德晚年时，罗马军队入侵叙拉古，阿基米德指导同胞们制造了很多攻击和防御的武器。当侵略军首领马塞勒塞率众攻城时，他设计的投石机把敌人打得哭爹喊娘。他制造的铁爪式起重机，能将敌船提起并倒转，抛至大海深处。传说他还率领叙拉古人民制作了一面大凹镜，将阳光聚焦在靠近的敌船上，使它们焚烧起来。罗马士兵在这频频的打击中已经心惊胆战，草木皆兵，一见到有绳索或木头从城里扔出，他们就惊呼“阿基米德来了”，随之抱头鼠窜。罗马军队被阻入城外达三年之久。最终，于公元前二一二年，罗马人趁叙拉古城防务稍有松懈，大举进攻闯入了城市。此时，阿基米德正在潜心研究一道深奥的数学题，一个罗马士兵闯入，用脚践踏他所画的图形，阿基米德愤怒地与之争论，残暴的士兵哪里肯听，只见他举刀一挥，一位璀璨的科学巨星就此陨落。 12、华罗庚（1910年11月12日—1985年6月12日），出生于金坛金城镇，是世界著名数学家，是中国解析数论、矩阵几何学、典型群、自安函数论等多方面研究的创始人和开拓者。在国际上以华氏命名的数学科研成果就有“华氏定理”、“怀依—华不等式”、“华氏不等式”、“普劳威尔—加当华定理”、“华氏算子”、“华—王方法”等。他为中国数学的发展作出了举世瞩目的贡献。美国著名数学家贝特曼著文称：“华罗庚是中国的爱因斯坦，足够成为全世界所有著名科学院院士”。被列为芝加哥科学技术博物馆中当今世界88位数学伟人之一。

第一届获奖者：1936年J.道格拉斯，L.V.阿尔福斯　　以已故加拿大数学家、教育家菲尔兹（Fields）（1863-1932）姓氏命名的菲尔兹数学奖，是世界年轻数学家们期盼的最高数学奖赏。它由国际数学联合会组织评定，并在国际数学家大会上隆重颁奖，一般每隔四年一次。　　1936年，在第十次国际数学家大会上，首次颁发菲尔兹奖。以后，由于第二次世界大战的原因，直到1950年，才召开第十一次国际数学家大会，并第二次颁发菲尔兹奖。而第十次菲尔兹奖，本应于1982年颁发，但由于大会举地点波兰华沙当时政局不稳，国际数学家大会延至1983年召开，并颁发第十次菲尔兹奖。而第十一次菲尔兹奖仍如期天1986年颁发。　　历届获奖者名单　　历届获奖者　　2002年　　洛朗·拉佛阁　　弗拉基米尔·沃沃斯基　　1998年　　C.T.麦克马兰　　A.高尔斯　　R.E.博切尔兹　　M.孔采维奇　　1994年　　E.齐尔曼诺夫　　J.C.约克兹　　P.L.利翁斯　　J.布尔干　　1990年　　森重文　　F.R.J.沃恩　　E.威腾　　V.德里费尔德　　1986年　　M.弗里德曼　　G.法尔廷斯　　S.唐纳森　　1983年　　丘成桐　　W.瑟斯顿　　A.孔涅　　1978年　　C.费弗曼　　G.A.马古利斯　　D.奎伦　　D.德利涅　　1974年　　D.B.芒福德　　E.邦别里　　1970年　　J.G..汤普森　　S.P.诺维科夫　　广中平佑　　A.贝克　　1966年　　M.F.阿蒂亚　　S.斯梅尔　　A.格罗腾迪克　　P.J.科恩　　1962年　　J.W.米尔诺　　L.V.赫尔曼德尔　　1958年　　R.托姆　　K.F.罗斯　　1954年　　J.P.塞尔　　小平邦彦　　1950年　　A.塞尔伯格　　L.施瓦尔茨　　1936年　　J.道格拉斯　　L.V.阿尔福斯

高等数学包括数学分析，空间解析几何，线性代数初步等内容，首先，高中知识要学的牢固，包括函数，集合，平面解析几何，数列，三角函数等。其次，高等数学对思维的要求没有高中数学那么高，但是对概念公式等的掌握要很牢固，任何一条公式，见到它最好先不要看书本，自己观察一下式子，然后尝试着推导它（我学信息竞赛，我的老师就是这样，大学学线性代数时不记公式，考试时当场推出，数学系也想把他留作研究生，够厉害吧。。）这一步可以省略，但我个人建议最好推一下，这样对公式，以及它的内涵会更加了解，掌握得更牢固。最后当然是勤做习题啦，最好买一本配套的练习和习题解答（高数的书推荐同济大学的那一套）。每天少上半小时网，做上十道题，期末等着同学们羡慕的目光吧！！高数中数学分析占了差不多百分之八十，如果有意往数学或物理，或其他对数学要求较高的学科发展，那么可以买一本数学分析看一下，国内教材推荐徐森林的三卷本数学分析，国外推荐“华章数学译丛”的《高等微积分》，《数学分析》，《数学分析原理》还有“图灵统计学丛书"的《微积分入门》（有两本，分别是单元微积分和多元微积分，小平邦彦写的）。习题推荐吉米多维其的数学分析习题册（名字不太记得，吉米多维其是作者，这套练习册很有名，上网查就有）。这就是我学高数的全部经验，希望能帮到你，其实只要用心，谁都能学好数学。加油！！

有的人适合学英语 有的人适合学数学 如果她数学不好 那么理科也不会好到哪去

还是学国内的吧，你学什么的？同济版的

著名的数学大师苏步青，自1931年3月应著名数学家陈建功之约，载着日本东北至1952年10月，因全国高校院系调整，他才有点不太情愿地到了上海复旦大学

诺贝尔奖没有设立数学奖这一奖项，诺贝尔奖设立奖项的有化学奖、物理学奖、生理学或医学奖、文学奖、和平奖、诺贝尔经济学奖。 国际上最著名的、最有影响的数学奖是菲尔兹奖和沃尔夫奖。 菲尔兹奖是由已故加拿大数学家菲尔兹提议设立的，得奖者须在该年元旦前未满四十岁，获得过菲尔兹奖的数学家有美籍华人数学家丘成桐、德国数学家法尔廷斯、英国数学家唐纳森等； 沃尔夫奖主要是奖励对推动人类科学与艺术文明做出杰出贡献的人士，每年评选一次，其中以沃尔夫数学奖影响最大。获得过沃尔夫数学奖的数学家有乌克兰数学盖尔范特、美籍华裔数学家陈省身、日本数学家小平邦彦等。

本排名根据狄多涅的纯粹数学全貌和岩波数学百科全书,苏联出版的数学百科全书综合量化分析得出: 二十世纪数学家排名(前100位): 1,A.N.Kolmogorov 2,H.Poincare 3,D.Hilbert 4,A.E,Nother 5,von Neumann 6,H.weyl 7,A.Weil 8,I.M.Gelfand 9,Wiener 10,Alxsandrff 11,Ledesque 12,Shafarevich 13,V.I.Arnold 14,Dedekind 15,Markov 16,Klein 17,E.Artin 18,Jordan 19,Siegel 20,Sobolev 21,J.P.Serre 22,Gorthenideck 23,Whiteny 24,E.Cartan 25,Thom 26,Milnor 27,Hadamand 28,Godel 29,Landau 30,Hecke 31,陈省身 32,Zermelo 33,Puntrijagin 34,H.Cartan 35,Hopf 36,小平邦彦 37,Cantor 38,Chxxxxley 39,Picard 40,Whitehead 41,Caratheodory 42,G.H.Hardy 43,Alfors 44,Selberg 45,Tucker 46,高木贞治 47,Lefschetz 48,Banach 49,Eilenberg 50,Atiyah 51,Sinai 52,Smale 53,志村五郎 54,Vinogradov 55,Zarisky 56,Litelewood 57,Nelivanna 58,Linnik 59,Schur 60,Luzin 61,Fredholm 62,van de Waerden 63,Tihonov 64,Bernstein 65,Roknlin 66,福原满洲雄 67,Hormander 68,Turing 69,Minkowsky 70,Perron 71,Darboux 72,Levy 73,Ramanujan 74,Bronwer 75,Borel 76,Harish-Chandra 77,Skolem 78,Leray 79,Calreman 80,Mumford 81,Krull 82,Fisher 83,Suslin 84,Schwartz 85,Schannon 86,Deligne 87,Bochner 88,中山正 89,Zeeman 90,华罗庚 91,Petrovsky 92,Geromov 93,佐腾干夫 94,Russell 95,Birkhoff 96,Lindeloff 97,Teichmuller 98,Brauer 99,Garding 100,Witt 进入前200名的中国数学家还包括: 冯康 吴文俊 周伟良 丘成桐 萧荫堂 进入前1500名的中国数学家还包括: 钟开莱 项武忠 项武义 龚升 王湘浩 伍鸿熙 严志达 陆家羲 陈景润

有

这是国际上定义的，可能是陈省身比较出名吧

1774年——英国海军航海家马修·福林达斯出生，最早环绕澳洲。（逝於1814年） 1787年——德国物理学家欧姆出生。 1839年------诺贝尔奖获得者普吕多姆出生。 1859年——俄国物理学家亚历山大·斯塔帕诺维奇·波波夫(1859～1906)出生。（逝於1906年） 1915年——日本数学家小平邦彦出生。 1940年——意大利贝纳尔多·贝托鲁奇出生。 1941年——香港著名作家和填词人黄沾出生。（逝於2004年） 1949年——加拿大知名演员、歌手维克多·加博出生。 1975年——英国著名演员西耶娜·盖尔利出生。 1976年——日本声优野岛健儿出生。 1977年——日本演员柏原崇出生。 1981年——浙江卫视主持人华少出生。 1986年——美国明星亚历珊德拉·达达里奥出生。 1986年——美国NBA纽约尼克斯队球员托尼-道格拉斯出生。 1987年——爱沙尼亚超级名模狄儿·崔克出生。 1987年——中国原创歌手李霄云出生。 1989年——英国足球选手西奥·沃尔科特出生。 1989年——NBA巨星布雷克·格里芬出生。

陈景润，华罗庚，钱学森

晕都回答了

希尔伯特 庞加莱 黎曼 哈代

沃尔夫数学奖是沃尔夫奖的一个奖项，它和菲尔兹奖被共同誉为数学界的最高荣誉。获得该奖项的华人为陈省身和丘成桐。由于菲尔兹奖只授予40岁以下的的年轻数学家，所以年纪较大的数学家没有获奖的可能。恰巧1976年1月，R. 沃尔夫及其家族捐献一千万美元成立了沃尔夫基金会，其宗旨是为了促进全世界科学·艺术的发展。沃尔夫基金会设有：数学·物理·化学·医学·农业五个奖（1981年又增设艺术奖）。1978年开始颁发，通常是每年颁发一次，每个奖的奖金为10万美元，可以由几人分得。 基本介绍 中文名 ：沃尔夫数学奖 外文名 ：Wolf Prize in Mathematics 创办时间 ：1976年1月 主办单位 ：沃尔夫基金会 奖项特点 ：每年颁发一次，奖金为10万美元 获奖华人 ：陈省身，丘成桐 基本信息,历届获奖人物, 基本信息 奖项名称: 沃尔夫数学奖 创办时间: 1976年1月 主办单位: 沃尔夫基金会。R. 沃尔夫1887年生于德国，其父是汉诺瓦城的五金商人。沃尔夫曾在德国研究化学，并获得博士学位，后移居古巴。他用了近20年的时间，经过大量试验，历尽艰辛，成功地发明了一种从熔炼废渣中回收铁的方法，从而成为百万富翁。他是沃尔夫基金会的倡导者和主要捐献人。沃尔夫于1981年逝世。 历届获奖人物 1978年，盖尔范特（莫斯科大学），Carl Siegel（哥廷根大学） 1979年，让·勒雷（法兰西学会），安德烈·韦伊（普林斯顿高等研究院） 1980年，昂利·嘉当（法兰西学会），柯尔莫哥罗夫（莫斯科大学） 1981年，阿尔福斯，Ocsar Zariski（哈佛大学） 1982年，哈斯勒·惠特尼（普林斯顿高等研究院），Mark Krein（乌克兰科学院） 1983年，陈省身（伯克利加州大学），埃德什（匈牙利科学院） 1984年，小平邦彦（日本科学院） 1985年，Hans Lewy（伯克利加州大学） 1986年，塞缪尔·艾伦伯格（哥伦比亚大学），塞尔伯格（普林斯顿高等研究院） 1987年，伊藤清（京都大学），Peter Lax（纽约大学） 1988年，Friedrich Hirzebruch（马克斯·普朗克研究所和波恩大学），拉尔斯·霍尔曼德尔（隆德大学） 1989年，Alberto Calderon（芝加哥大学），约翰·米尔诺（普林斯顿高等研究院） 1990年，恩尼奥·德乔吉（Ennio de Giorgi，比萨高师），Ilya Piatetski-Shapiro（特拉维夫大学） 1991年，没有颁奖。 1992年，Lennart Carleson（乌普萨拉大学和洛杉矶加大），John Thompson（剑桥大学） 1993年，Mikhael Gromov（法国高等科学研究院），Jacques Tits（法兰西学院） 1994/5年，Jurgen Moser（苏黎世联邦高工） 1995/6年，罗伯特·朗兰兹（普林斯顿高等研究院），安德鲁·怀尔斯（普林斯顿大学） 1996/7年，Joseph Keller（史丹福大学），Yakov Sinai（普林斯顿大学和朗道理论物理研究所） 1998年，没有颁奖。 1999年，Laszlo Lovasz（耶鲁大学），Elias Stein（普林斯顿大学） 2000年，拉乌·勃特（哈佛大学），让-皮埃尔·塞尔（法兰西学院） 2001年，阿诺尔德（Steklov数学研究所和巴黎大学），Saharon Shelah（希伯莱大学） 2002/3年，佐藤干夫（京都大学），John Tate（德州大学奥斯汀分校） 2004年，没有颁奖。 2005年，Gregory Margulis（耶鲁大学），诺维柯夫（马里兰大学和朗道理论物理研究所） 2006/7年，史蒂芬·斯梅尔（伯克利加州大学），哈里·弗斯滕伯格（耶路撒冷希伯来大学） 2008年，皮埃尔·德利涅（普林斯顿高等研究院），菲利普·格里菲斯Phillip Griffiths（普林斯顿高等研究院），大卫·芒福德（布朗大学） 2010年，丘成桐（哈佛大学，香港中文大学，浙江大学），丹尼斯·苏利文Dennis Sullivan(石溪大学)

华罗庚，陈景润

高数初学者一开始不用学得那么全面，甚至不用去管极限的 (ε, δ)定义，而是要先观其大略地过它一遍、先入门，这并非是走马观花，而是要理解核心思想、掌握主干，等掌握了大略之后再深入细节会轻松很多， 托马斯, 斯图尔特差不多 菲赫金哥尔茨 数分 Simmons, George Finlay - Differential equations with applications and historical notes-Chapman and Hall CRC 微积分及其应用Calculus and Its Applications (9th Edition) Marvin L. Bittinger / David J. Ellenbogen / Addison Wesley 微积分及其应用（原书第8版） 微积分及其应用（英文版·第13版）/高等学校数学双语教学推荐教材 （Larry J. Goldstein P.Lax 最好的工科教材中文版 Calculus With Applications Peter Lax Multivariable 当我们在用一本书（或跟一门课）学习的时候，基本上不可能不在学习中产生疑问，除去我们自己的原因之外，也有书本的原因：正如人无完人一样，没有哪一本书是完美无瑕的，以至于能解决你在该科目学习过程中的所有问题（诺贝尔物理奖获得者 Gerard "t Hooft 和菲尔兹奖获得者 丘成桐 都表达过同样的观点：当你能够发现书里的不足之处时你就有不错的进步了），所以我强烈建议自学者除了选一本较好的教材作为学习主轴后也要再多找几本同类教材作参考书，以便一本书上的知识点讲解看不懂的时候可以看另一本上的来打开思路。若看书也不能解决问题，那么还可以把你的数学问题用英文写了发在 Mathematics Stack Exchange 这个网络社区里问一问，老外们乐于助人的品质、对数学的热情、认真负责的态度都很感染我——向他们学习！顺便一提：中学时期看不懂教材我们可以买很多参考书来看，但到大学来想找本参考书就不太容易了，原因之一我想是高等教育领域的应试教育市场经济不够繁荣所致。 Inside Interesting Integrals 小平邦彦写的应该是分三卷 Rudin的书的问题在于观点太高（当然这也是这本书的优点），对初学者不友好，可以作为研究者的精研用书。 菲赫金戈尔茨《微积分教程》翻译得很不好，读起来跟吃木头一样，当然里面各种算例实在是妙啊妙。 概念扫盲，只求感性理解，不求严谨证明。起码第一遍不求，后面可以酌情看那些高赞回答推荐的教材。 数学专业的学生有很多可以参考的，诸如菲赫金哥尔茨，托马斯，卓里奇，rudin 算法:==== 如何求解问题 Calculus: An Intuitive and Physical Approach (Second Edition) Calculus: Single & Multivariable, Hughes-Hallett, Gleason, McCallun et al. 菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》（大神可以选择卓里奇），也可以看中科大的《数学分析教程》 吉米多维奇的书招式齐全，但不谈内力。 数学分析八讲 辛钦的书是精髓中的精髓，但内力稍弱的人要是只修炼这一本，常常难得要领，走火入魔也是有的。 微积分及其应用（原书第8版） 班纳的书是干货中的干货，贵在实在，但讲解集中在单变量微积分的范围内。 小平邦彦的这本书，名为《微积分入门》，实则是以数学分析的全局观去剖析微积分，思路流畅，讲解细致，范围涵盖了一元微积分和多元微积分。”老者笑道，“说到修炼内力，打通思路，这本书可算得上是思维中见招式，全局中看细节 托马斯微积分 斯图尔特微积分 微积分和数学分析引论（第一卷） Richard Courant / Fritz John 高等微积分（第3版修订版）高木贞治 解析概论 ROM的《微积分》 陈效群 微积分学习辅导 《微积分同步练习》清华大学出版社 陶哲轩数学分析 ①The Fundamentals of Mathematical Analysis, Volume 1, 1st Edition, G. M. Fikhtengol"ts（中译本：菲赫金哥尔茨《数学分析原理》）、 ②Richard Courant, Fritz John, Introduction to Calculus and Analysis(Reprint of the 1989 edition) 、 ③陈纪修、於崇华、金路的《数学分析》。 各位学完如上面推荐的这种入门教材后，若要深入学习高数，可以看Richard Courant, Fritz John, Introduction to Calculus and Analysis(Reprint of the 1989 edition)， Lay, Nagle, Saff & Snider, Linear Algebra and Differential Equations 对数学热爱书 Mathematics for the Nonmathematician 张景中的漫画数学，其二就是萧文强的数学证明（可能后来还可以加上martrix67 The problem with books like Thomas" Calculus or Stewart Calculus is that you won"t get a thorough understanding of the inner mechanics of calculus. As long as you don"t have a good prof or teacher, I would stay away from these books. If you want to understand what I mean, take a look at some arbitrary sections in these books. You"ll see a short paragraph, which serves as an intro, then some boxes with formulas, then a few workout examples and then a bunch of exercises. This means, you will only learn HOW to you the formulas instead of understanding the WHY! My advice is, visit YouTube, search for Michael Van Biezen, learn the techniques of Calculus 1–3 (ca. 17 hours), and then, to understand the inner mechanics of Calculus, read Tom Apostol. Biezen will serve as a shortcut for learning the techniques and Apostol will teach you the WHY. Alternatively you can search for Prof.Leonard on YouTube and watch his Calculus 1–3 lectures (ca 168 hours). He works through the books like Stewart Calculus but tries to teach you the sections in detail. Nevertheless, I would prefer the first way Biezen -> Apostol. To answer your question, ①The Fundamentals of Mathematical Analysis, Volume 1, 1st Edition, G. M. Fikhtengol"ts（中译本：菲赫金哥尔茨《数学分析原理》）、 ②Richard Courant, Fritz John, Introduction to Calculus and Analysis(Reprint of the 1989 edition) 、 ③陈纪修、於崇华、金路的《数学分析》。 Analysis by Its History Book by Ernst Hairer and Gerhard Wanner Mathematics and its History-by John Stillwell apostol calculus Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach by Jerome Keisler good calculus book site://www.quora.com/ mathematics books to non-mathematicians. Mathematics: Its Content, Methods and Meaning by [A. D. Aleksandrov] Mathematics: From the Birth of Numbers 小平邦彦的微积分入门 best math book site://www.quora.com/ If you want to learn calculus just to apply it, get the typical popular textbooks (Stewart, Edwards, etc), the notation is much more modern and the progression is more in tune with the contemporary pedagogics of calculus. If you want to learn calculus like a mathematician, get the Spivak or the Courant, these are fantastic and have challenging problems and rigorous proofs of everything under the sun. 这位老哥很用心 https://www.cnblogs.com/iMath/p/9810722.html If you don"t want to buy a hardcopy you can get a comprehensive Calculus book from OpenStax where Gilbert Strang is one of the Authors. (see link below). I hope I could help you. I struggled a lot with the same question.

本排名根据狄多涅的纯粹数学全貌和岩波数学百科全书,苏联出版的数学百科全书综合量化分析得出: 二十世纪数学家排名(前100位):1.A.N.Kolmogorov ---科尔莫戈罗夫为概率论建立了公理体系的俄罗斯人，但排第一似乎？在可积与不可积之间，存在一个近可积区域，KAM理论是讲这种近可积区域里运动规律是怎样的。KAM理论是由前苏联科学家科尔莫戈罗夫（A.N.Kolmogorov）、阿诺尔德（V.I.Arnold）和瑞士科学家莫泽（J.K.Moser）三人证明的。2.H.Poincare -----有些人不需要说明，H.庞加莱就是其中之一。3.D.Hilbert -----号称数学之王，无数天才的老师。4.A.E,Nother -----二十世纪代数学执牛耳者，诺特阿姨。5.Von Neumann-----计算机的发明者，地球人都知道。6.H.weyl ---你还知道哪个外尔？7.A.Weil ----韦伊，布尔巴基学派的精神领袖。8.I.M.Gelfand——首届Wolf奖得主，泛函分析大师。9.Wiener -----典型的神童，控制论的创立人。10.Alxsandrff ---11.Ledesque ----实分析开山鼻祖，勒贝格。12.Shafarevich ----13.V.I.Arnold---- A.N.Kolmogorov最得意的门徒，又一个了不起的俄罗斯人。14.Dedekind ------著名的戴德金分割。15.Markov ------马尔可夫？学概率的人都知道。16.Klein -----厄兰根纲领，天才啊。17.E.Artin -----人们对他的一般评价是，大代数学家。18.Jordan -------老觉得他是十九世纪的人，呵呵。19.Siegel-----来自哥廷根 ？首届Wolf奖得主。20.Sobolev -----21.J.P.Serre ——1954年获Fields奖，时年不足28周岁。22.Gorthenideck -----走在时代前面的格罗滕迪克？上帝！神明！23.Whiteny ----惠特尼，微分拓扑的开山鼻祖。24.E.Cartan ----大器晚成的微分几何大家，实在应该排在前十。25.Thom -------突变论创立者。26.Milnor ----与纳什合称普林斯顿那一届的双子星，微分拓扑大师。27.Hadamand——这个人是谁？似曾相识。28.Godel ------哥德尔居然只排28？29.Landau ----巨富的数学家。30.Hecke -----实在没想到这个人有这么牛，听说过赫克代数而已。31.陈省身 ----一代宗师，华人的骄傲。32.Zermelo ---集合论的东东，学过实变得人都知道。33.Puntrijagin ----34.H.Cartan --应该是老嘉当的儿子了，子承父业。35.Hopf ----来自瑞士的拓扑学大师，Harvard大学教授。36.小平邦彦----***人，勤奋的代数几何学家。37.Cantor ----集合论的康托只有37，无奈了38.Chevalley----布饶尔应该排第几呢？39.Picard—— 存在与唯一性定理？40.Whitehead -----来自剑桥的哲学家？41.Caratheodory ——42.G.H.Hardy ---来自剑桥，最“纯粹”的数学家。43.Alfors ---首届Feilds奖得主。44.Selberg——李的同胞，很难想象挪威竟出了那么多一流的数学家。45.Tucker ----塔克，纳什在普林斯顿的老师。经济学中的塔克均衡的创立者。46.高木贞治——***最早具有国际声誉的数学家。47.Lefschetz --普林斯顿王朝的缔造者。48.Banach -----太靠后了，无语。49.Eilenberg --艾伦伯格，和华老很交好。50.Atiyah ----二十世纪后半期英国数学的代表。51.Sinai——52.Smale-----大学时代被系主任追着退学，呵呵。53.志村五郎 ---志村五郎猜想？54.Vinogradov ----维诺格拉朵夫？这个人比华老怎么样？55.Zarisky—— 二十世纪代数几何的代表人物扎里斯基。56.Litelewood ------哈代的好的合作者。57,Nelivanna58,Linnik59,Schur----有限群理论上多次出现的名字，舒尔。60,Luzin -------鲁津啊，A.N.Kolmogorov 的博士生导师。61,Fredholm62,van de Waerden ----读过《代数学》吗？63,Tihonov64,Bernstein ---65,Roknlin66,福原满洲雄67,Hormander68,Turing ——学计算机的人都知道他。69,Minkowsky ----天妒英才啊，感叹。70,Perron71,Darboux72.Levy ----学实变的时候听说过这个人。73,Ramanujan----莫非就是印度那位超天才数学家？呵呵。74,Bronwer75.Borel -----波莱尔，这个人不需要多说。76.Harish-Chandra77,Skolem78,Leray79.Calreman80.Mumford-----芒福德，代数几何学家，Fields奖得主。81.Krull----82.Fisher ---这个人好像不在主流领域。83.Suslin -----84,Schwartz -----复变函数里的施瓦兹？好像不是。85.Schannon ——莫非就是那个“仙农”。86.Deligne -----87.Bochner ——88.中山正——***人有那么牛吗？89.Zeeman -----90.华罗庚 ----华老，这个排名令人欣慰。91.Petrovsky ----92.Geromov ----93.佐腾干夫—— 没有看到Langlands，却有这么多无关的***人，奇怪。94.Russell -------罗素？怎么排在这么后面。95.Birkhoff ----名声很大，具体的不太了解。96.Lindeloff——林德洛夫，应该是在实变函数课上听说过他。97.Teichmuller----98.Brauer ----令人震惊的排名，别把代数学家不当人。99.Garding ----写《数学概览》的瑞典人戈丁？100.Witt---进入前200名的中国数学家还包括:冯康吴文俊周伟良丘成桐萧荫堂进入前1500名的中国数学家还包括:钟开莱项武忠项武义龚升王湘浩伍鸿熙严志达陆家羲陈景润进入前200名的中国数学家还包括: 冯康 吴文俊 周伟良 丘成桐 萧荫堂 进入前1500名的中国数学家还包括: 钟开莱 项武忠 项武义 龚升 王湘浩 伍鸿熙 严志达 陆家羲 陈景润 A.N.Kolmogorov 柯尔莫格洛夫（1903-1987）著作：把实变函数论的方法应用于概率论奠定了近代概率论的基础发表230多种专着和论文荣誉：1980年获沃尔夫奖，1935年获物理数学博士学位。1939年被选为苏联科学院院士，1966年当选为苏联教育科学院院士。任《苏联大百科全书》第二版数学学科的主编。小故事：苏联数学家。1903年4月25日生于坦博夫，1987年10月20日逝世。1925年毕业于莫斯科大学。1930年开始任莫斯科大学教授。柯尔莫哥洛夫是20世纪最有影响的苏联数学家之一。他的数学研究开始于实变函数论，在三角级数收敛性、测度论、积分概念的推广和集合上的一般算子理论等多方面他都得到了重要的结果。他还是现代概率论的开拓者之一。1925年以后，他和辛钦共同把实变函数论的方法应用于概率论，建立了在测度论基础上的概率论的公理化体系，奠定了近代概率论的基础。1930年以后，着重研究应用于具连续时间变量的马尔可夫随机过程的解析方法，发展了「马尔可夫过程」的理论，并把这理论应用于工程技术。此外，柯尔莫哥洛夫在数理逻辑、拓扑学、力学、微分方程、泛函分析、信息论和数学语义学等方面也都有所贡献。他还从事数学史、哲学、数学论证等课题的研究。他创立了函数论和概率论领域的苏联学派。他培养了大批优秀的数学人才。共发表230多种专着和论文。 Poincaré 庞加莱（1854～1912）生于法国 Nancy，卒于巴黎，法国数学家。工作横跨数学与科学多领域，影响二十世纪数学甚钜。Poincaré 家族显赫。他从小在各种学科都表现优秀，在数学上更是被称为「怪物」的资优生。19 岁进入综合工科学校（Ecole Polytechnique），数学表现遥遥领先同侪。不过由于他小时感染白喉，加上先天肌肉运作不很协调，他在体育、美术、音乐上的表现就相当差劲。更令人惊讶的是他的视力很差，因此上课完全靠听力来进行，幸好他有着非凡的记忆力与惊人的空间直觉，在知识的掌握与学习上反而另辟蹊径，以他独特的「内在之眼」见人之所未见。1875 年他毕业后，进入矿业学校（Ecole des Mines）立志成为工程师，但是他的数学天分，还是让他走回数学的道路。1879 年，他在 Hermite 指导下，在巴黎大学取得博士学位，随即应聘到 Caen 大学教书。1881 年，他 27 岁时转到巴黎大学任教，一直到他过世。Poincaré 的数学工作跨越相当多领域，包括：自守函数、动力系统与浑沌的预见。另外，Poincaré 在天体力学的成就，总结在他《天体力学方法》（Les methodes nouvelles de la mecanique celeste, 1892-1899）三册，《天体力学讲义》（Legous de mecanique celeste, 1905-1910）三册。1895年他出版《位相分析》(Analysis situs) 正式为代数拓朴吹起号角，提出基本群 (fundamental group)、同调群 (homology group)、Poincaré 对偶性质(Poincare duality)、三角分割 (triangulation) 等新观念。Poincaré 至少还催生了多复变函数论的领域；机率论的遍历性假设；在代数几何的代数曲线方面，澄清意大利学派的迷团；研究数论里丢番图问题的有理点；流体力学中旋转流体之平衡解；由于研究电子运动，他得到许多与爱因斯坦狭义相对论相同的结果；另外他在物理及其它科学领域也有许多成果，这种非凡的成就让他成为法国科学院唯一横跨所有分组──几何，力学，物理，地学与航海学的院士。行有余力的 Poincaré，为公众所写的科学普及文章却是异常流利，他的三本科学哲学著作结集《科学与假说》(1901)，《科学的价值》(1905) 和《科学与方法》(1908)，十分畅销并被译成多种文字流传。Emmy Noether 埃米.诺特（1882～1935）德国数学家，生于德国 Erlangen，卒于美国宾州，在数学物理与抽象代数有重大贡献。 E. Noether 的父亲 Max Noether 是 Erlangen 大学的知名数学教授。但18岁前，她并没有表现出对数学的特别兴趣，倒是精通德、英、法三种语言，甚至还考到了英语与法语老师的执照。 不过 E. Noether 从未教过语言，1900起她开始走上对当时女性而言相当艰苦的道路，前三年她在 Erlangen 大学，非正式地修习数学，1903～1904年，由于通过入学考，她到哥廷根大学受教于 Hilbert、Klein 和 Minkowski。1904年她回到 Erlangen 大学，并在1907年获得博士学位。 但是由于所谓的 habilitation 教职只对于男性开放，Noether 留在 Erlangen 大学，协助年老的父亲教授数学，并进行自己的数学研究。在研究成果陆续发表后，她就受邀加入德国数学学会 (DMV)，并到处讲演。尽管如此，Noether在Gottingen的同事Edmund Landau还是就决定给她讲师的职位，并说“...当我们的士兵发现他们在一个女人脚下学习的时候，他们会怎么想?”不得不说Landau令人不招人喜欢。最让人不能容忍的是有人问她Noethor是否是一个伟大的女数学家的时候，他说：“我可以作证她是一个伟大的数学家，但是对她是一个女人这点，我不能发誓." 不过，伟大如Einstein和Hilbert的这样的人都对Noether推崇备至。Einstein曾经说Noether是“自妇女开始受到高等教育以来最杰出的最富有创造性的数学天菜”，Hilbert则支持Noether去争取一个讲师的职位，并反驳Landau说：“我不认为候选人的性别是反对她成为讲师的理由，评议会毕竟不是澡堂。” 1915年 E. Nother 应 Hilbert 与 Klein 之邀，到哥廷根讲学，并在他们的大力支持下，在四年后获得教职。她在哥廷根待到1933年，由于她的犹太血统，被纳粹压力下的学校当局免职，于是她远赴美国，任教于宾州 Bryn Mawr（女子）学院直到两年后去世。 E. Noether 最受瞩目的工作可能是1915年证明的 Noether 定理，她发现了物理系统的对称性与守恒律的关系，这个深刻又基本的洞见，甚至影响到日后爱因斯坦广义相对论的研究。 后来 E. Noether 开始转到抽象代数的领域，并为环论 (ring theory) 尤其是理想论 (ideal theory) 打下坚实的基础。她的一个荷兰学生，Van der Waerden，所着的《近世代数》，影响无远弗届，其中第二册，多半都是 E. Noether 的工作成果。 E. Noether 的人缘很好，也非常照顾学生，她的学生们拥有一个昵称──「Noether 的小孩」。虽然她的教学极为严峻，但是从中获益的学生，都对她终身难忘。 D.Hilbert 希尔伯特(1862～1943)德国数学家，生于东普鲁士哥尼斯堡(前苏联加里宁格勒)附近的韦劳。　　中学时代，希尔伯特就是一名勤奋好学的学生，对于科学特别是数学表现出浓厚的兴趣，善于灵活和深刻地掌握以至应用老师讲课的内容。1880年，他不顾父亲让他学法律的意愿，进入哥尼斯堡大学攻读数学。1884年获得博士学位，后来又在这所大学里取得讲师资格和升任副教授。1893年被任命为正教授，1895年，转入格廷根大学任教授，此后一直在格廷根生活和工作，于是930年退休。在此期间，他成为柏林科学院通讯院士，并曾获得施泰讷奖、罗巴切夫斯基奖和波约伊奖。1930年获得瑞典科学院的米塔格－莱福勒奖，1942年成为柏林科学院荣誉院士。　　希尔伯特是一位正直的科学家，第一次世界大战前夕，他拒绝在德国政府为进行欺骗宣传而发表的《告文明世界书》上签字。战争期间，他敢干公开发表文章悼念“敌人的数学家”达布。希特勒上台后，他抵制并上书反对纳粹政府排斥和迫害犹太科学家的政策。由于纳粹政府的反动政策日益加剧，许多科学家被迫移居外国，曾经盛极一时的格廷根学派衰落了，希尔伯特也于1943年在孤独中逝世。　　希尔伯特是对二十世纪数学有深刻影响的数学家之一。他领导了著名的格廷根学派，使格廷根大学成为当时世界数学研究的重要中心，并培养了一批对现代数学发展做出重大贡献的杰出数学家。希尔伯特的数学工作可以划分为几个不同的时期，每个时期他几乎都集中精力研究一类问题。　　按时间顺序，他的主要研究内容有:不变式理论、代数数域理论、几何基础、积分方程、物理学、一般数学基础，其间穿插的研究课题有：狄利克雷原理和变分法、华林问题、特征值问题、“希尔伯特空间”等。在这些领域中，他都做出了重大的或开创性的贡献。　　希尔伯特认为，科学在每个时代都有它自己的问题，而这些问题的解决对于科学发展具有深远意义。他指出：“只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力，而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡和终止。”在1900年巴黎国际数学家代表大会上，希尔伯特发表了题为《数学问题》的著名讲演。他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势，提出了23个最重要的数学问题。这23个问题通称希尔伯特问题，后来成为许多数学家力图攻克的难关，对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响，并起了积极的推动作用，希尔伯特问题中有些现已得到圆满解决，有些至今仍未解决。他在讲演中所阐发的想信每个数学问题都可以解决的信念，对于数学工作者是一种巨大的鼓舞。他说：“在我们中间，常常听到这样的呼声：这里有一个数学问题，去找出它的答案！你能通过纯思维找到它，因为在数学中没有不可知。”三十年后，1930年，在接受哥尼斯堡荣誉市民称号的讲演中，针对一些人信奉的不可知论观点，他再次满怀信心地宣称：“我们必须知道，我们必将知道。”　　希尔伯特的《几何基础》（1899）是公理化思想的代表作，书中把欧几里得几何学加以整理，成为建立在一组简单公理基础上的纯粹演绎系统，并开始探讨公理之间的相互关系与研究整个演绎系统的逻辑结构。1904年，又着手研究数学基础问题，经过多年酝酿，于二十年代初，提出了如何论证数论、集合论或数学分析一致性的方案。他建议从若干形式公理出发将数学形式化为符号语言系统，并从不假定实无穷的有穷观点出发，建立相应的逻辑系统。然后再研究这个形式语言系统的逻辑性质，从而创立了元数学和证明论。希尔伯特的目的是试图对某一形式语言系统的无矛盾性给出绝对的证明，以便克服悖论所引起的危机，一劳永逸地消除对数学基础以及数学推理方法可靠性的怀疑。然而，1930年，年青的奥地利数理逻辑学家哥德尔(K。G?del，1906～1978）获得了否定的结果，证明了希尔伯特方案是不可能实现的。但正如哥德尔所说，希尔伯特有关数学基础的方案“仍不失其重要性，并继续引起人们的高度兴趣”。　　希尔伯特的著作有《希尔伯特全集》（三卷，其中包括他的著名的《数论报告》）、《几何基础》、《线性积分方程一般理论基础》等，与其他合著有《数学物理方法》、《理论逻辑基础》、《直观几何学》、《数学基础》。Von Neumann 冯.诺依曼（1903-1957），匈裔美籍数学家，生于布达佩斯，卒于华盛顿特区。他是二十世纪少见的数学科学通才，在许多领域都有重要的基本贡献。 Von Neumann 是犹太人。原姓 Neumann，因为父亲买下爵位，才加上贵族专称的“von”。他自幼颖异，记忆力过人，对数学有惊人的天份，但父亲希望他从商，几经折冲，他同时在布达佩斯大学学数学，又在柏林大学学化学（后转到苏黎士学化工）。但即使在苏黎士，他仍与知名数学家 Weyl 与 Polya 交游。Polya 曾经这样描述 Von Neumann “他是我唯一害怕的学生。在课堂如果我提出一个当时未解的问题，通常他在下课后就会直接来找我，给我几页完整的解答。”1926年 Von Neumann 以一篇集合论的论文获得布达佩斯大学的博士学位，然后以 Rockefeller 奖学金前往哥廷根大学跟随 Hilbert 作博士后研究，并在柏林，汉堡讲学。Von Neumann 在二十余岁时已经是数学圈中公认的年轻天才。1930年 Von Neumann 应 Veblen 之邀，到普林斯顿大学客座，1931年普林斯顿大学即授予教授职位，1933年他成为新成立的普林斯顿高等研究院终身职院士。Von Neumann 的家庭宴会在普林斯顿非常热闹知名，这在数学家中是很少见的。综论 Von Neumann 的数学成就，大致如下：（1）初期工作以数理逻辑（尤其是公设集合论）、测度论、实分析为主。（2）在《Mathematische Grundlagender Quantenmachanik》（1932）中， Von Neumann 为当时的量子力学打下坚实的数学基础。（3）自1929起，Von Neumann 即从事算子代数的先驱性工作，在1930-40年间 Von Neumann 与 Murray 为后来所谓的 Von Neumann 代数写下系列基本的文章。（4）Von Neumann 为对局论的发明人，他首先证明零和对局的 minmax 定理，并与 Morgenstern 合着《对局论与经济行为》，对社会科学、生命科学影响深远。（5）Ergdic（遍历性）定理的证明（1938）。（6）Von Neumann 对应用数学的兴趣，从流体力学始，并对非线性偏微分方程产生莫大的兴趣。而对他而言，数值计算是最可能的「实验」方法，这也使 Von Neumann 成为今日计算机之奠基者，并因此发展 cellular automata 的理论。另外 Von Neumann 也是氢弹的催生者，1940年起他即热心参与美国的各项国防计划或实验室，也因此获得各式各样的数学或非数学的奖章。 沃尔夫数学奖奖项名称: 沃尔夫数学奖创办时间: 1976年1月主办单位: 沃尔夫基金会沃尔夫数学奖是沃尔夫奖的一个奖项，它和菲尔兹奖被共同誉为数学界的最高荣誉。获得该奖项的唯一一名华人是已故数学家陈省身。由于菲尔兹奖只授予40岁以下的的年轻数学家，所以年纪较大的数学家没有获奖的可能。恰巧1976年1月，R. 沃尔夫及其家族捐献一千万美元成立了沃尔夫基金会，其宗旨是为了促进全世界科学.艺术的发展。沃尔夫基金会设有：数学.物理.化学.医学.农业五个奖（1981年又增设艺术奖）。1978年开始颁发，通常是每年颁发一次，每个奖的奖金为10万美元，可以由几人分得。由于沃尔夫数学奖具有终身成就奖的性质，所有获得该奖项的数学家都是享誉数坛.闻名遐迩的当代数学大师，他们的成就在相当程度上代表了当代数学的水平和进展。该奖的评奖标准不是单项成就而是终身贡献，获奖的数学大师不仅在某个数学分支上有极深的造诣和卓越贡献，而且都博学多能，涉足多个分支，且均有建树，形成了自己的著名学派，他们是当代不同凡响的数学家。R. 沃尔夫1887年生于德国，其父是汉诺威城的五金商人。沃尔夫曾在德国研究化学，并获得博士学位，后移居古巴。他用了近20年的时间，经过大量试验.历尽艰辛，成功地发明了一种从熔炼废渣中回收铁的方法，从而成为百万富翁。他是沃尔夫基金会的倡导者和主要捐献人。沃尔夫于1981年逝世。

小平邦彦、权平健太郎

我国著名数学家张广厚在少年时代刻苦学习的故事，会对大家有所启发。 张广厚上小学时，由于算术成绩特别差，因此，没考上初中，但他并不灰心，他相信只要勤奋学习，一定能克服知识上的缺陷，把学习搞上去。于是他仔细检查了自己学习上的毛病，特别是数学学不好的原因。经过几个月的苦练，他的学习成绩有了显著的改变，并以优秀的成绩考上了中学。在中学阶段，他的学习更加勤奋了，读完中学又以优异的成绩考上了大学，最后在数学方面刻苦钻研，成了国际公认的大数学家。张广厚上小学连算术都考不及格，但以后却成为著名的数学家，这件事十分生动地说明了一个道理——勤能补拙。学习的秘密：一个故事中究竟藏着多少玄机？原创 2016-11-05 核聚 核聚们为什么对故事痴迷？这个问题让我百思不得其解。曾经听一位朋友书，每当《西游记》在电视台播一遍，他就看一遍，这部电视剧背播烂了，他却还没有看够。很长一段时间里，我对理论、观点痴迷。因为理论概括能力强，高屋建瓴，气势恢宏。后来我发现事实更重要，故事可以蕴含很多东西，包括理论，事实胜于雄辩。编造一个理论、提出一个观点容易，而一个真实的故事，或者精美的故事，绝没有编造那么简单。后来，我发现一个故事，可以让人回味很久，每次回味都有不同的感受和启发。再后来，我确信：每个真实的背后都有无穷玄机！比如下面这个故事：小平邦彦是亚洲第一获得菲尔兹奖的数学家。小平邦彦经常说自己天资不好，但是他从中学开始，就是那种做事情一丝不苟，全身心投入的人。他回忆自己第一次学习范德瓦尔登的《代数学》，几乎学不懂，然后就开始抄书，一直到抄懂为止。故事讲完了。就这么短。似乎没有多少百转千回的曲折。然而这个故事，却在我的记忆中挥之不去。最初看到这个故事，我立即联想到“勤能补拙”，“贵在坚持”，“聪明人下苦功夫就会不得了”。当然还有，“抄书是个好办法”。对这个故事的所有感触中，“抄书是个好办法”，占据的地位是压倒性的。因为，我联想起许多人都有过抄书经历。比如蒙台梭利这位二十世纪最伟大的教育家，在创建“儿童之间”取得令人瞩目的成就之前，曾经翻译过两位人类学家的大部头著作，翻译完成之后，她还亲自抄写的一遍。在中国，许多和尚道士也是抄经的。这群人里面经常有智慧超群之士。又过了一段时间，我发现这个故事里还有新内涵。这来源于日常学习过程中的感受：许多重要的书籍看起来都很费劲。小平邦彦的故事给我的启发是：如果觉得看书学习很费劲，这实际上根本就不是个问题。因为，如果看书很轻松，一点都不吃力的话，那就是在看报纸，而不是在学习。即便对于小平邦彦这么牛的人，也不是生来天赋异禀，看数学如同看小说一样轻松。后来知道刻意练习的概念，知道人的活动都在三个区域里。舒适区，学习区，恐慌区。停留在舒适区的状态里，学不到东西，比如大学生从自然数的加减乘除法的算术中就学不到什么东西；在恐慌区里活动，也很难学到东西，比如高中生，让他做微分方程；在学习区里才能学到东西，这个时候，眼下的任务难度比自己的能力高一些，在努力达成目标的过程中，水平提升了。所以，如果你在做一件很费劲的事情，很可能你就在学习区里。这件事完成之后，你的能力会增长。朋友圈的力量再后来，我在各种场合跟一些聊得来的朋友分享小平邦彦的故事。大家的观点，千奇百怪。其中有个朋友的数学很强，大学的数学考试基本都是满分。他听了小平邦彦的故事之后说，“我平时经常抄书上概念”。这句话说的平淡无奇，却又给我带来启发。任何知识的基石都是基本概念。很多人思维不清，或者知识漏洞百出，观点说不明白，都是因为概念不清晰。一旦概念清晰，思维就有了生命力。就像这个朋友，他早在大学时代就发现了这个奥妙。另外一个朋友说，“抄书就好像抄不会做的题目答案一样，抄的过程中可以加深逻辑记忆”。的确如此，我们解题的过程中，常常一眼扫过，感觉这个题目我能解。实际上解不了。即便是看到答案和解题过程之后感到恍然大悟。问题是，即便恍然大悟还是不一定能够掌握。像这位朋友说的，抄不会做的题目答案（包括解题过程），抄的时候可以加深逻辑记忆。我高中的时候也这么做过。还有一个朋友说，“静下心来，一步一步来”。我也很赞同他的观点。抄书这个动作可以把焦虑的心态、着急的心态放平，一步一步的踏踏实实前进。人的求知欲一旦燃起来，或者外界的压力大起来，“一口吃个胖子”的愿望非常强烈，总是想一口气学的更多。这时候总觉得进度不如意，如果能静下心，一步一步来，反而效率高。专家是如何炼成的？此后，有一段时间，我关心“专家是如何炼成的”这个话题。又从小平邦彦的故事中获得了三个启发。抄书能抄出数学家吗？如果抄书能抄出数学家的话，岂不是满大街都是数学家了？联想起惠勒所说，“没有问题，没有答案”。我想小平邦彦肯定是带着问题抄书的。一边抄书一边思考问题，甚至猜想书的后续内容是什么，边抄边解答。把自己所想与书中的内容做对比，直到懂为。当他心里的困惑，他心里想到的问题，都一一找到了答案，有一些是书上得到的，比如书上给出的答案，有一些是他根据书上的提示自己独立推导出来的答案，想出来的答案，那么就自然懂了。任何知识领域的高手，必定需要扎实的基本功。问题是，这个基本功是什么？实际上就是一种思维结构。对于不同的知识领域，对应的思维结构不同。也许小平邦彦就在抄书的时候，想明白了代数学的基本结构。至少，想明白了范德瓦尔登的代数学的思维结构。任何知识的学习，任何知识的掌握，必定是先慢后快。如果小平邦彦只能通过抄书才能理解数学的话，那么他根本不可能成为国际级的数学家。因为，数学的著作浩如烟海，即便是经典著作都多得不得了。如果他都是这么慢慢的抄的话，那得抄到何年何月？他在抄的过程中，首先是不断熟悉那个思维技能，这个过程是慢的。而一旦这个思维技能掌握了、熟练了，那么任何数学分支都有同样的结构，在运用几乎相似的思维技能。然后熟能生巧了，不仅仅是解题，而是思维的延伸。思维的延伸就是发明创造。因此从学习到发明、创新之间，没有迥然的分界，而是一个连续的过程。天赋与学习前年，我关心天赋与学习之间的关系。又得到三点启发： 第一，没有绝对懂与不懂。关键是我今天有没有懂得更多，我今天懂了多少，我今天究竟懂了什么？我今天想到了什么问题，找到了哪些问题的答案，这是关键。包括我们在做一道题目的时候，我做错了，做错的话，我有什么收获？我做对了，我究竟收获了多少？一是一，二是二，三是三，我们有没有这么去做？这样做非常关键。对于任何事情，没有绝对的懂与不懂。要找到跨越从不懂到懂的办法，即便是抄书。要迈步向前，哪怕一字一句。第二，不要纠结于有没有天资，除非努力过。即便是小平邦彦，他开始学数学的初期，仍然遇到很大的困难。我们在学习过程中遇到困难的时候，我们头疼的时候，我们看不懂的时候，题目做不出来的时候，经常会自我怀疑，是不是我数学真的就不行啊？我没有数学思维啊？或者某某方面真的没天赋啊？很可能，不是天资的问题。例如，认知神经科学的研究表明，我们天生下来就有数学思维，这印刻在我们的神经结构之中。当然，神经科学的研究还表明，我们每个人本身就是一架超级计算机。我们今天，最先进的人工智能，依然耗费巨大的力气来模拟一个普通人都具有的图像识别、情绪识别的功能。生命科学技术再发达，我们仍然没有办法从无机物造出一个完整的细胞，而在我们普通人的身体里有多大100万亿个细胞。所以，当我们产生自我怀疑的时候，尤其是怀疑自己学习能力的时候，不要再纠结天资的问题了，除非我们努力过。既然国际一流水平的数学家都做过这样的努力，那我们应该自问：有没有做过与之相当的努力？第二，“如果世界上有奇迹，那只不过是努力的代名词”。我们能解一道题目，中等难度的题目，只不过是由那些基本的知识点，那些基本的思维操作，所导出来的。一道更难的题目也是一样的。我们解了一道很难的题目，有一天，我自己都觉得感到骄傲，感到是个奇迹，那只不过是我们以前以往点点滴滴的努力累积出来的，就是他们的积分一点一点的，先微分后积分积出来的。同理其他的事情也是如此。我们在生活中能够处理越来越难的事情，作出更好的作品，写出更好的文章，做出更好的项目，开拓了更有前景的项目。这些都是点点滴滴的积淀而来。都是在学习区里的不断面对不舒服，不断面对挑战，付出种种努力的过程中积淀而来。曾经有一个TED演讲《我如何闭气17分钟》。魔术师David Blaine讲述了自己如何实现水下闭气17分半钟的经历，包括他如何一步步训练自己，做过哪些失败和成功的尝试。这段视频，我看过几十遍。因为这个魔术曾经被当做试验研究发表在《新英格兰医学杂志》，这是国际四大医学杂志之一。更因为，这个演讲震撼人心。在演讲的前半段，大卫布莱恩讲了许多幽默故事，尝试闭气过程中的各种趣事。在演讲的结尾，他说：作为一个魔术师，我试着展示一些东西——那些看似不可能的事。我认为魔术，不管是水下屏气，还是捣鼓一副纸牌，道理都很简单。就是练习，训练，以及......（几乎泣不成声，强忍着流泪，继续说下去）就是练习，训练，以及不断尝试。去强忍过那些极痛苦的时刻，做自己能做的一切。这就是魔术对于我的意义。谢谢你们。（掌声）在演讲的末尾，布莱恩已经控制不了自己的情绪。我想他原本想把这个演讲做成轻松幽默的风格，同时带给观众带来惊奇和欢笑。但是，当他谈及自己的训练过程，他感动了自己。许多人都曾经梦想或者幻想过奇迹发生在自己身上，包括我。我也曾经问过许多有关奇迹的问题。如今，我问：对于那些真正重要的事情，付诸的努力，有没有达到极限？你何以知道已经达到自己的极限？是什么阻止你这么做？昨夜朋友小聚，相谈甚欢直到凌晨一点。一段往事，居然有无穷个角度解读。其中有欢笑，有人世间的是非，有社会和人性，有对命运的种种理解。一次小聚，至少可以回味一个月。发生在生活中的每一件事儿，都藏着无尽玄机。我是核聚，人生核聚变的核聚，阅读类似文章，关注我的公众号“核聚”（hejupai）。想加入我的微信群，请给我留言，注明你的微信号，拉你入群。长按下面二维码关注本号。我国著名数学家张广厚在少年时代刻苦学习的故事，会对大家有所启发。 张广厚上小学时，由于算术成绩特别差，因此，没考上初中，但他并不灰心，他相信只要勤奋学习，一定能克服知识上的缺陷，把学习搞上去。于是他仔细检查了自己学习上的毛病，特别是数学学不好的原因。经过几个月的苦练，他的学习成绩有了显著的改变，并以优秀的成绩考上了中学。在中学阶段，他的学习更加勤奋了，读完中学又以优异的成绩考上了大学，最后在数学方面刻苦钻研，成了国际公认的大数学家。张广厚上小学连算术都考不及格，但以后却成为著名的数学家，这件事十分生动地说明了一个道理——勤能补拙。

诺贝尔奖没有设立数学奖这一奖项，诺贝尔奖设立奖项的有化学奖、物理学奖、生理学或医学奖、文学奖、和平奖、诺贝尔经济学奖。 国际上最著名的、最有影响的数学奖是菲尔兹奖和沃尔夫奖。 菲尔兹奖是由已故加拿大数学家菲尔兹提议设立的，得奖者须在该年元旦前未满四十岁，获得过菲尔兹奖的数学家有美籍华人数学家丘成桐、德国数学家法尔廷斯、英国数学家唐纳森等； 沃尔夫奖主要是奖励对推动人类科学与艺术文明做出杰出贡献的人士，每年评选一次，其中以沃尔夫数学奖影响最大。获得过沃尔夫数学奖的数学家有乌克兰数学盖尔范特、美籍华裔数学家陈省身、日本数学家小平邦彦等。

第1章 命题逻辑1.1 命题及联结词1.1.1 命题的基本概念1.1.2 命题联结词1.2 命题公式与翻译1.3 真值表和等价公式1.3.1 命题公式的真值表1.3.2 命题公式的等价1.4 重言式1.5 范式1.5.1 析取范式与合取范式1.5.2 主析取范式1.5.3 主合取范式1.6 全功能联结词集1.7 对偶式与蕴含式1.7.1 对偶式1.7.2 蕴含式1.8 命题逻辑的推理理论第2章 谓词逻辑2.1 个体、谓词与量词2.1.1 个体2.1.2 谓词2.1.3 量词2.2 谓词公式2.2.1 谓词公式2.2.2 约束变元与自由变元2.3 谓词演算的等价式与蕴含式2.4 前束范式2.5 谓词逻辑的推理理论第3章 集合3.1 集合的基本概念3.1.1 集合的表示法3.1.2 子集和集合的相等3.1.3 幂集合3.2 集合的运算3.3 集合恒等式3.4 集合的覆盖与划分3.5 笛卡儿积第4章 二元关系4.l 二元关系及其表示4.1.1 二元关系的概念4.1.2 二元关系的表示方法4.2 关系的运算4.2.1 二元关系的交、并、补、对称差运算4.2.2 二元关系的复合运算4.2.3 元关系的求逆运算4.3 关系的性质4.4 关系的闭包运算4.5 等价关系4.6 相容关系4.7 序关系4.7.1 偏序关系与哈斯图4.7.2 全序关系与良序关系第5章 函数5.1 函数的基本概念5.2 反函数和复合函数5.2.1 反函数5.2.2 复合函数5.3 集合的基数5.3.1 集合的等势5.3.2 有限集和无限集5.3.3 集合的基数5.3.4 集合基数的比较第6章 代数系统6.1 代数系统的基本概念6.1.1 运算6.1.2 代数系统6.2 二元运算的性质6.2.1 运算的基本性质6.2.2 特殊元素6.3 子代数和积代数第7章 群、环和域7.1 半群和独异点7.1.1 广群和半群7.1.2 独异点7.2 群与阿贝尔群7.2.1 群的定义和性质7.2.2 阿贝尔群7.3 子群7.3.1 子群的概念7.3.2 子群的判定7.3.3 元素的阶及其性质7.4 陪集和拉格朗日定理7.5 正规子群7.6 同态和同构7.6.1 代数系统的同态和同构7.6.2 群的同态和同构7.7 循环群7.8 置换群7.9 环与域7.9.1 环的定义及基本性质7.9.2 几个常见的特殊环7.9.3 子环7.9.4 域7.9.5 环和域的同态第8章 格与布尔代数8.1 格8.1.1 格的概念和性质8.1.2 子格和格的同态8.1.3 分配格8.1.4 有补格8.2 布尔代数8.2.1 布尔代数的概念和性质8.2.2 布尔代数的子代数和同态8.2.3 有限布尔代数的结构第9章 图论9.1 图的基本概念9.1.1 图9.1.2 节点的度及其性质9.1.3 多重图、简单图、完全图和正则图9.1.4 图的同构9.1.5 补图、子图和生成子图9.2 路和回路9.3 连通图9.3.1 无向连通图9.3.2 有向连通图9.4 图的矩阵表示9.5 欧拉图和汉密尔顿图9.5.1 欧拉图9.5.2 汉密尔顿图9.6 树9.6.1 无向树9.6.2 生成树9.6.3 根树及其应用9.7 二部图及匹配9.7.1 部图9.7.2 匹配9.8 平面图9.8.1 平面图的基本概念9.8.2 欧拉公式9.8.3 平面图的对偶图参考文献

"数学之神"——阿基米德 阿基米德公元前287年出生在意大利半岛南端西西里岛的叙拉古。父亲是位数学家兼天文学家。阿基米德从小有良好的家庭教养，11岁就被送到当时希腊文化中心的亚历山大城去学习。在这座号称"智慧之都"的名城里，阿基米德博阅群书，汲取了许多的知识，并且做了欧几里得学生埃拉托塞和卡农的门生，钻研《几何原本》。 后来阿基米德成为兼数学家与力学家的伟大学者，并且享有"力学之父"的美称。其原因在于他通过大量实验发现了杠杆原理，又用几何演泽方法推出许多杠杆命题，给出严格的证明。其中就有著名的"阿基米德原理"，他在数学上也有着极为光辉灿烂的成就。尽管阿基米德流传至今的著作共只有十来部，但多数是几何著作，这对于推动数学的发展，起着决定性的作用。 《砂粒计算》，是专讲计算方法和计算理论的一本著作。阿基米德要计算充满宇宙大球体内的砂粒数量，他运用了很奇特的想象，建立了新的量级计数法，确定了新单位，提出了表示任何大数量的模式，这与对数运算是密切相关的。 《圆的度量》，利用圆的外切与内接96边形，求得圆周率π为： ＜π＜ ，这是数学史上最早的，明确指出误差限度的π值。他还证明了圆面积等于以圆周长为底、半径为高的正三角形的面积；使用的是穷举法。《球与圆柱》，熟练地运用穷竭法证明了球的表面积等于球大圆面积的四倍；球的体积是一个圆锥体积的四倍，这个圆锥的底等于球的大圆，高等于球的半径。阿基米德还指出，如果等边圆柱中有一个内切球，则圆柱的全面积和它的体积，分别为球表面积和体积的 。在这部著作中，他还提出了著名的"阿基米德公理"。《抛物线求积法》，研究了曲线图形求积的问题，并用穷竭法建立了这样的结论："任何由直线和直角圆锥体的截面所包围的弓形（即抛物线），其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四。"他还用力学权重方法再次验证这个结论，使数学与力学成功地结合起来。 《论螺线》，是阿基米德对数学的出色贡献。他明确了螺线的定义，以及对螺线的面积的计算方法。在同一著作中，阿基米德还导出几何级数和算术级数求和的几何方法。《平面的平衡》，是关于力学的最早的科学论著，讲的是确定平面图形和立体图形的重心问题。《浮体》，是流体静力学的第一部专著，阿基米德把数学推理成功地运用于分析浮体的平衡上，并用数学公式表示浮体平衡的规律。 《论锥型体与球型体》，讲的是确定由抛物线和双曲线其轴旋转而成的锥型体体积，以及椭圆绕其长轴和短轴旋转而成的球型体的体积。 丹麦数学史家海伯格，于1906年发现了阿基米德给厄拉托塞的信及阿基米德其它一些著作的传抄本。通过研究发现，这些信件和传抄本中，蕴含着微积分的思想，他所缺的是没有极限概念，但其思想实质却伸展到17世纪趋于成熟的无穷小分析领域里去，预告了微积分的诞生。 正因为他的杰出贡献，美国的E.T.贝尔在《数学人物》上是这样评价阿基米德的：任何一张开列有史以来三个最伟大的数学家的名单之中，必定会包括阿基米德，而另外两们通常是牛顿和高斯。不过以他们的宏伟业绩和所处的时代背景来比较，或拿他们影响当代和后世的深邃久远来比较，还应首推阿基米德。-------------------------------------------------------------数学奇才、计算机之父--冯•诺依曼 20世纪即将过去，21世纪就要到来．我们站在世纪之交的大门槛，回顾20世纪科学技术的辉煌发展时，不能不提及20世纪最杰出的数学家之一的冯•诺依曼．众所周知，1946年发明的电子计算机，大大促进了科学技术的进步，大大促进了社会生活的进步．鉴于冯•诺依曼在发明电子计算机中所起到关键性作用，他被西方人誉为"计算机之父"． 约翰•冯•诺依曼 （ John Von Nouma，1903－1957），美藉匈牙利人，1903年12月28日生于匈牙利的布达佩斯，父亲是一个银行家，家境富裕，十分注意对孩子的教育．冯•诺依曼从小聪颖过人，兴趣广泛，读书过目不忘．据说他6岁时就能用古希腊语同父亲闲谈，一生掌握了七种语言．最擅德语，可在他用德语思考种种设想时，又能以阅读的速度译成英语．他对读过的书籍和论文．能很快一句不差地将内容复述出来，而且若干年之后，仍可如此．1911年一1921年，冯•诺依曼在布达佩斯的卢瑟伦中学读书期间，就崭露头角而深受老师的器重．在费克特老师的个别指导下并合作发表了第一篇数学论文，此时冯•诺依曼还不到18岁．1921年一1923年在苏黎世大学学习．很快又在1926年以优异的成绩获得了布达佩斯大学数学博士学位，此时冯•诺依曼年仅22岁．1927年一1929年冯•诺依曼相继在柏林大学和汉堡大学担任数学讲师。1930年接受了普林斯顿大学客座教授的职位，西渡美国．1931年成为该校终身教授．1933年转到该校的高级研究所，成为最初六位教授之一，并在那里工作了一生．冯•诺依曼是普林斯顿大学、宾夕法尼亚大学、哈佛大学、伊斯坦堡大学、马里兰大学、哥伦比亚大学和慕尼黑高等技术学院等校的荣誉博士．他是美国国家科学院、秘鲁国立自然科学院和意大利国立林且学院等院的院土． 1954年他任美国原子能委员会委员；1951年至1953年任美国数学会主席．1954年夏，冯•诺依曼被使现患有癌症，1957年2月8日，在华盛顿去世，终年54岁． 冯•诺依曼在数学的诸多领域都进行了开创性工作，并作出了重大贡献．在第二次世界大战前，他主要从事算子理论、鼻子理论、集合论等方面的研究．1923年关于集合论中超限序数的论文，显示了冯•诺依曼处理集合论问题所特有的方式和风格．他把集会论加以公理化，他的公理化体系奠定了公理集合论的基础．他从公理出发，用代数方法导出了集合论中许多重要概念、基本运算、重要定理等．特别在 1925年的一篇论文中，冯•诺依曼就指出了任何一种公理化系统中都存在着无法判定的命题． 1933年，冯•诺依曼解决了希尔伯特第5问题，即证明了局部欧几里得紧群是李群．1934年他又把紧群理论与波尔的殆周期函数理论统一起来．他还对一般拓扑群的结构有深刻的认识，弄清了它的代数结构和拓扑结构与实数是一致的．他对其子代数进行了开创性工作，并莫定了它的理论基础，从而建立了算子代数这门新的数学分支．这个分支在当代的有关数学文献中均称为冯•诺依曼代数．这是有限维空间中矩阵代数的自然推广． 冯•诺依曼还创立了博奕论这一现代数学的又一重要分支． 1944年发表了奠基性的重要论文《博奕论与经济行为》．论文中包含博奕论的纯粹数学形式的阐述以及对于实际博奕应用的详细说明．文中还包含了诸如统计理论等教学思想．冯•诺依曼在格论、连续几何、理论物理、动力学、连续介质力学、气象计算、原子能和经济学等领域都作过重要的工作． 冯•诺依曼对人类的最大贡献是对计算机科学、计算机技术和数值分析的开拓性工作．现在一般认为ENIAC机是世界第一台电子计算机，它是由美国科学家研制的，于1946年2月14日在费城开始运行．其实由汤米、费劳尔斯等英国科学家研制的"科洛萨斯"计算机比ENIAC机问世早两年多，于1944年1月10日在布莱奇利园区开始运行．ENIAC机证明电子真空技术可以大大地提高计算技术，不过，ENIAC机本身存在两大缺点：（1）没有存储器；（2）它用布线接板进行控制，甚至要搭接见天，计算速度也就被这一工作抵消了．ENIAC机研制组的莫克利和埃克特显然是感到了这一点，他们也想尽快着手研制另一台计算机，以便改进． 冯•诺依曼由ENIAC机研制组的戈尔德斯廷中尉介绍参加ENIAC机研制小组后，便带领这批富有创新精神的年轻科技人员，向着更高的目标进军．1945 年，他们在共同讨论的基础上，发表了一个全新的"存储程序通用电子计算机方案"--EDVAC（Electronic Discrete Variable AutomaticCompUter的缩写）．在这过程中，冯•诺依曼显示出他雄厚的数理基础知识，充分发挥了他的顾问作用及探索问题和综合分析的能力． EDVAC方案明确奠定了新机器由五个部分组成，包括：运算器、逻辑控制装置、存储器、输入和输出设备，并描述了这五部分的职能和相互关系．EDVAC机还有两个非常重大的改进，即：（1）采用了二进制，不但数据采用二进制，指令也采用二进制；（2建立了存储程序，指令和数据便可一起放在存储器里，并作同样处理．简化了计算机的结构，大大提高了计算机的速度． 1946年7，8月间，冯•诺依曼和戈尔德斯廷、勃克斯在EDVAC方案的基础上，为普林斯顿大学高级研究所研制IAS计算机时，又提出了一个更加完善的设计报告《电子计算机逻辑设计初探》．以上两份既有理论又有具体设计的文件，首次在全世界掀起了一股"计算机热"，它们的综合设计思想，便是著名的"冯• 诺依曼机"，其中心就是有存储程序原则--指令和数据一起存储．这个概念被誉为"计算机发展史上的一个里程碑"．它标志着电子计算机时代的真正开始，指导着以后的计算机设计．自然一切事物总是在发展着的，随着科学技术的进步，今天人们又认识到"冯•诺依曼机"的不足，它妨碍着计算机速度的进一步提高，而提出了"非冯•诺依曼机"的设想． 冯•诺依曼还积极参与了推广应用计算机的工作，对如何编制程序及搞数值计算都作出了杰出的贡献．冯•诺依曼于1937年获美国数学会的波策奖；1947年获美国总统的功勋奖章、美国海军优秀公民服务奖；1956年获美国总统的自由奖章和爱因斯坦纪念奖以及费米奖． 冯•诺依曼逝世后，未完成的手稿于1958年以《计算机与人脑》为名出版．他的主要著作收集在六卷《冯•诺依曼全集》中，1961年出版． -------------------------------------------------------------------------------------第一位数学女博士徐瑞云 徐瑞云，1915年6月15日生于上海，1927年2月考入上海著名的公立务本女中读书。徐瑞云从小喜欢数学，读中学时对数学的兴趣更加浓厚，因此，1932年9月高中毕业后报考了浙江大学数学系。当时，浙大数学系的教授有朱叔麟、钱宝琮、陈建功和苏步青。此外，还有几位讲师、助教。数学系的课程主要由陈建功和苏步青担任。当时数学系的学生很少，前一届两个班学生共五人，她这届也不过十几人。 当时苏步青才30岁，看上去十分年轻，因此徐瑞云的同学中有人认为苏步青是助教，可是听完一堂课后就不住地赞叹说：“想不到助教竟能讲得这么好。”这件事引起知情者的哄笑。徐瑞云在陈建功和苏步青的教导下，勤奋学习，专心听讲，认真做笔记，她的考试成绩经常是满分。1936年7月，徐瑞云以优异成绩毕业了，被浙大数学系留校任助教。1937年2月，26岁的徐瑞云与28岁的生物系助教江希明喜结伉俪。新婚三个月后，徐瑞云夫妇获得亨伯特留学德国的奖学金，双双乘船漂洋赴德国留学，攻读博士学位。 徐瑞云有幸被德国著名的数学大师卡拉凯屋独利接受，由他担任她的数学博士指导老师。当时有不少学生想请他作导师，他都没有同意。而徐瑞云这位东方女士因学习勤奋，数学功底扎实，成了卡拉凯屋独利的关门弟子。徐瑞云主要研究三角级数论。这门学科起源于物理学的热传导问题的傅里叶分析的主要部分，是当时国际上研究的热门之一，在中国还是一个空白。 徐瑞云为将来能在分析、函数论方面赶上世界先进水平，废寝忘食，广撷博采，把大部分时间都用在图书馆里。1940年底，徐瑞云获得博士学位，成了中国历史上第一位女数学博士。她的博士论文“关于勒贝格分解中奇异函数的傅里叶展开”，1941年发表在德国《数学时报》上。 完成学业的徐瑞云夫妇，随即离德回国，于1941年4月回到母校，双双被聘为副教授，正式登上在战火硝烟的大后方培养人才的讲台。在艰苦的条件下，陈建功和苏步青没有中断在杭州时共创的函数论和微分几何两个数学讨论班，这是一种教学相长、遴选英彦的科研形式，徐瑞云也参与其间。1944年11月，英国驻华科学考察团团长李约瑟参观了浙大数学系和理学院，连声称赞道：“你们这里是东方的剑桥！”这更加激励了徐瑞云的勤奋工作。她这时教的学生曹锡华、叶彦谦、金福临、赵民义、孙以丰、杨宗道等，后来都成了杰出的数学家和数学教育家。1946年，31岁的徐瑞云提升为正教授。 1952年，徐瑞云调入浙江师院，被任命为数学系主任，从此全身投入了艰苦的创建数学系的工作中。在她的领导下，没有几年功夫，数学系已初具规模，教学质量不断提高。第一届本科毕业生约有三分之一考取了研究生。他们系也成为全国同行的楷模，进入全国同行前列。徐瑞云在建设数学系的同时，没有忘记科学研究。她翻译了苏联那汤松的名著《实变函数论》。译本于1955年由高等教育出版社出版。 -----------------------------------------------------------------------达朗贝尔（Jean Le Rond d"Alembert，1717-1783）——法国著名的物理学家、数学家和天文学家，一生研究了大量课题，完成了涉及多个科学领域的论文和专著，其中最著名的有8卷巨著《数学手册》、力学专著《动力学》、23卷的《文集》、《百科全书》的序言等等。他的很多研究成果记载于《宇宙体系的几个要点研究》中。达朗贝尔生前为人类的进步与文明做出了巨大的贡献，也得到了许多荣誉。但在他临终时，却因教会的阻挠没有举行任何形式的葬礼。 达朗贝尔是一个军官的私生子，母亲是一位著名的沙龙女主人。达朗贝尔出生后，他的母亲为了不影响自己的名誉，把刚出生的儿子遗弃在教堂的石阶上，后被一名士兵捡到。达朗贝尔的亲生父亲得知这一消息后，把他找回来寄养给了一对工匠夫妇。 达朗贝尔少年时被父亲送到了一所教会学校，在那里他学习了很多数理知识，为他将来的科学研究打下了坚实的基础。难能可贵的是，在宗教学校里受到了许多神学思想的熏陶以后，达朗贝尔仍然坚信真理、一生探求科学的真谛、不盲从于宗教的认识论。后来他自学了一些科学家的著作，并且完成了一些学术论文。1741 年，凭借自己的努力，达朗贝尔进入了法国科学院担任天文学助理院士，在以后的两年里，他对力学作了大量研究，并发表了多篇论文和多部著作。1746年，达朗贝尔被提升为数学副院士。1750年以后，他停止了自己的科学研究，投身到了具有里程碑性质的法国启蒙运动中去。他参与了百科全书的编辑和出版，是法国百科全书派的主要首领。在百科全书的序言中，达朗贝尔表达了自己坚持唯物主义观点、正确分析科学问题的思想。在这一段时间之内，达朗贝尔还在心理学、哲学、音乐、法学和宗教文学等方面都发表了一些作品。 1760年以后，达朗贝尔继续进行他的科学研究。随着研究成果的不断涌现，达朗贝尔的声誉也不断提高。他尤其以写论文快速而闻名。1762年，俄国沙皇邀请达朗贝尔担任太子监护，但被他谢绝了；1764年，普鲁士国王邀请他到王宫住了三个月，并邀请他担任普鲁士科学院院长，也被他谢绝了。1754年，他被提升为法国科学院的终身秘书。欧洲很多国家的科学院都聘请他担任国外院士。 达朗贝尔的日常生活非常简单，白天工作，晚上去沙龙活动。他终生未婚，但有一位患难与共、生死相依的情人——沙龙女主人勒皮纳斯。达朗贝尔与养父母感情一直很好，直到1765年他47岁时才因病离开养父母，住到了勒皮纳斯家里。病愈后他一直居住在她的家里。可是在以后的日子里他在事业上进展缓慢，更使他悲痛欲绝的是勒皮纳斯小姐于1776年去世了。在绝望中他度过了自己的晚年。 由于达朗贝尔生前反对宗教，巴黎市政府拒绝为他举行葬礼。所以当这位科学巨匠离开这个世界的时候，即没有隆重的葬礼、也没有缅怀的追悼，只有他一个人被安静的埋葬在巴黎市郊的墓地里。 数学是达朗贝尔研究的主要课题，他是数学分析的主要开拓者。达朗贝尔为极限作了较好的定义，但他没有把这种表达公式化。波义尔做出这样的评价：达朗贝尔没有逃脱传统的几何方法的影响，不可能把极限用严格形式阐述；但他是当时几乎唯一一位把微分看成是函数极限的数学家。-----------------------------------------------------------------------“我们的希望是在21世纪看见中国成为数学大国。”——陈省身 2004年12月3日，国际数学大师、中科院外籍院士陈省身，在天津病逝。享年93岁。陈省身，1911年10月26日生于浙江嘉兴。少年时就喜爱数学，觉得数学既有趣又较容易，并且喜欢独立思考，自主发展，常常“自己主动去看书，不是老师指定什么参考书才去看”。陈省身1927年进入南开大学数学系，该系的姜立夫教授对陈省身影响很大。在南开大学学习期间，他还为姜立夫当助教。1930年毕业于南开大学，1931年考入清华大学研究院，成为中国国内最早的数学研究生之一。在孙光远博士指导下，发表了第—篇研究论文，内容是关于射影微分几何的。1932年4月应邀来华讲学的汉堡大学教授布拉希克对陈省身影响也不小，使他确定了以微分几何为以后的研究方向。1934年，他毕业于清华大学研究院，同年，得到汉堡大学的奖学金，赴布拉希克所在的汉堡大学数学系留学。在布拉希克研究室他完成了博士论文，研究的是嘉当方法在微分几何中的应用。1936年获得博土学位。从汉堡大学毕业之后，他来到巴黎。 1936年至1937年间在法国几何学大师E.嘉当那里从事研究。E.嘉当每两个星期约陈省身去他家里谈一次，每次一小时。“听君一席话，胜读十年书。” 大师面对面的指导，使陈省身学到了老师的数学语言及思维方式，终身受益。陈省身数十年后回忆这段紧张而愉快的时光时说，“年轻人做学问应该去找这方面最好的人”。 陈省身先后担任我国西南联大教授，美国普林斯顿高等研究所研究员，芝加哥大学、伯克利加州大学终身教授等，是美国国家数学研究所、南开大学数学研究所的创始所长。陈省身的数学工作范围极广，包括微分几何、拓扑学、微分方程、代数、几何、李群和几何学等多方面。他是创立现代微分几何学的大师。早在 40年代，他结合微分几何与拓扑学的方法，完成了黎曼流形的高斯—博内一般形式和埃尔米特流形的示性类论。他首次应用纤维丛概念于微分几何的研究，引进了后来通称的陈氏示性类。为大范围微分几何提供了不可缺少的工具。他引近的一些概念、方法和工具，已远远超过微分几何与拓扑学的范围，成为整个现代数学中的重要组成部分。陈省身还是一位杰出的教育家，他培养了大批优秀的博士生。

祖冲之拉，张横拉，都行

小时候刻苦学习，然而，华罗庚却被叫去看店（卖棉花的铺子）。 为了一个国际上享有盛誉的我国数有一次，有个妇女去买棉花，华罗庚正在算一个数学题，那个妇女说要包棉花多少钱？然而勤学的华罗庚却没有听见，就把算的答案答了一遍，那个妇女尖叫起来：“怎么这么贵？”，这时的华罗庚才知道有人来买棉花，就说了价格，那妇女便买了一包棉花走了。华罗庚正想坐下来继续算时，才发现：刚才算题目的草纸被妇女带走了。 这下可急坏了华罗庚，于是不顾一切地去追，一个黄包师傅看见在国际上享有盛誉的我国现代数学家华罗庚教授。 便让他坐车（因为他们认识），终于追上了，华罗庚不好意思地说：“阿姨，请……请把草纸还给我”，那妇女生气地说：“这可是我花钱买的，可不是你送的”。华罗庚急坏了，于是他说：“要不这样吧！我花钱把它买下来”。正在华罗庚伸手掏钱之时，那妇女好像是被这孩子感动了吧！不仅没要钱还把草纸还给了华罗庚。 这时的华罗庚才微微舒了中气，回家后，又计算起来……

有许多著名的数学家，他们中的许多人都曾经过着动荡不安的人生，但是他们最终都成为了成功的数学家，给后人留下了宝贵的财富并发掘了新的数学理论。以下是数学家们的故事之一：欧几里得（Euclid）是古希腊时期最著名的数学家之一。他是公元前300年到250年间活动的数学家，在他之前，人们对几何学的认知只停留在简单的阶段。欧几里得的贡献在于，他根据公理和规则的严格证明方法，将基础几何学建立起来。他的著作《几何原本》是欧洲中世纪及其以后的3000年里，数学领域内最广泛流传的著作之一。欧几里得在时代背景下被认为是很安分守己的学者，但是有一天年轻人前来寻求他的帮助。年轻人声称他想要探究数学学科中的最基本问题：是否有无穷多的素数？欧几里得在半信半疑的情况下给了他一张纸条，上面写着素数的两个特性，并叮嘱他去自己证明这一问题。他的证明成为了欧几里得做出的许多结论之一，直到今天也一直被广泛使用。欧几里得因其对严谨证明方法的贡献被誉为几何学之父，并成为了世界各地的中小学教材中不可或缺的一部分。

4元钱买4÷6=0.666666……7斤，由于1斤=10两，所以0.666666……斤大约等于7两。5元钱买5÷6=0.833333……斤约等于8两。

有在方程中含有四个 未知数就叫做 四元一次方程。例子：解 方程组。{x+y=4y+5x=12{z+w=92z+5w=30解：可以按两个二元一次方程组做。（5-1）x=12-44x=8 x=2y=4-2=2z+5w=155w=6w= 1.2

我不知道什么叫高斯若尔当消元法 下面是做法 不知道是不是所谓的方法首先 第一步 我定下 我要消去xx+3y＋2z＝-12x＋3y＋3z＝-2-2x＋2y-3z＝7第一个式子乘以2 2x+6y+4z=-2第二个式子是 2x＋3y＋3z＝-2两个相减，左边减左边右边减右边 3y+z=0第二个式子 2x＋3y＋3z＝-2第三个式子 -2x＋2y-3z＝7两个相加，一样，5y=5 即y=1把y=1代3y+z=0 z=-3然后把y z 随便代入某个式子得出 x=2

满射：一个函数称为满射:如果每个可能的像至少有一个变量映射其上(即像集合B中的每个元素在A中都有一个或一个以上的原像),或者说值域任何元素都有至少有一个变量与之对应.形式化的定义如下：　　函数为满射,当且仅当对任意b,存在a满足f(a) = b.　　将一个满射的陪域中每个元素的原像集看作一个等价类,我们可以得到以该等价类组成的集合（原定义域的商集）为定义域的一个双射. 单射：设f是由集合A到集合B的映射,如果x,y∈A,且x≠y时有f(x)≠f(y),则称f为由A到B的单射.　　　在数学里,单射函数为一函数,其将不同的引数连接至不同的值上.更精确地说,函数f被称为是单射的,当对每一值域内的y,存在至多一个定义域内的x使得f(x) = y.　　另一种说法为,f为单射,当若f(a) = f(b),则a = b(或若a≠b,则f(a)≠f(b)),其中a、b属于定义域. 逆射：从Y到x有一一对应.

从 A 到 B 的映射中，满射是说 B 中的每个元素都有原象 。如 R—>R : y = x^2 就不是满射，因为负数没有原象。单射是指 B 中的元素如果有原象，原象惟一 。上面的例子，4 的原象有 2 与 -2，因此不是单射。

射是映射的意思，满射就是对于集合A中的任意一元素，B中只有唯一的元素与之对应。单射是指A中的所有元素都只对应于B中的一个或几个元素。逆射是逆映射，反向映射的意思，满射反向就是逆射。反函数是逆射

1）f:Z->Z f(x)=3x; (2) f;Z->N; f(x)=|x|+1; (3) f R->R; f(x)=x^3+1; (4) f;N*N->N; f(x1,x2)=x1+x2+1； (5) f;N-N*N, f(x)=(x,x+1),其中Z代表整数，N代表自然数，R代表实数 单射：对于任意的a,b属于Z（定义域）,如果f(a)=f(b),f(a),f(b)属于Z（值域），则必有a=b。（通俗的说一个值域中的值只能有一个定义域中的值映射过来）满射：对于任意的b属于Z（值域），则存在x属于Z(定义域),使得f(x)=b.(通俗的说，值域的中的每个值都要被映射，不能有剩余) 是单射，不是满射，因为对于值域中的1,2,4,5等，从定义域中，没有x，使得f(x)等于这些值，所以不是满射。满射，不是单射，因为定义域中-2和2都对应值域中的3，所以不是单射。双射，满足单射和满射。不是单射也不是满射，因为f(1,2)=f(2,1)=4,值域中的4对应定义域中的两个值(1,2)和（2,1），所以不是单射，因为值域中的1和2，没有定义域中的值映射过来，所以不是满射。单射，不是满射，值域中的（1,1）没有定义域中值映射过来。 【注】至于说（2）不是满射，可否举出反例？因为我看到的定义域中的[1，N]中任意值都可以从|x|+1中映射过来。

假设，集合A为{x}，集合B为{f(x)}，并且集合A映射到集合B上。如果集合B的所有元素，都是从集合A映射过来的，那么就是满射；如果集合A的不同元素，映射到集合B上的不同元素，那么就是单射；如果集合A的不同元素，映射到集合B上的不同元素，并且集合B的所有元素，都是从集合A映射过来的，那么就是满的单射。f:z-zf(x)=3x;满的单射。z为整数集合，通过f法则，自定域{x}到值域(f(x)}都是一一对应。f:z-nf(x)=|x|+1;满射。n是自然数集合，通过法则，自定域{x}到值域{f(x)}是多对一。f:r-rf(x)=x^3+1;满的单射。r是实数集合，通过法则，自定域{x}到值域{f(x)}是一一对应。f:n*n-nf(x1,x2)=x1+x2+1;满射。n是自然数集合，通过法则，自定域{x}到值域{f(x)}是多对一，当x1和x2对调的时候，函数值仍相等。f;n-n*n,f(x)=(x,x+1),满的单射，通过f法则，自定域{x}到值域(f(x)}都是一一对应。你的书写不是很规范，一个不同一个，除了第一个外，其他的都不规范。

对于集合A中的每一个元素a，B中都有唯一的元素b和它对应，这样的映射叫单射。a叫b的原像。对于映射f,如果B中的每一个元素都有原像，那么f叫满射。若映射f既是满射又是单射，则f为双射。

1）f:Z->Z f(x)=3x; (2) f;Z->N; f(x)=|x|+1; (3) f R->R; f(x)=x^3+1; (4) f;N*N->N; f(x1,x2)=x1+x2+1； (5) f;N-N*N,f(x)=(x,x+1), 其中Z代表整数,N代表自然数,R代表实数 单射：对于任意的a,b属于Z（定义域）,如果f(a)=f(b),f(a),f(b)属于Z（值域）,则必有a=b.（通俗的说一个值域中的值只能有一个定义域中的值映射过来） 满射：对于任意的b属于Z（值域）,则存在x属于Z(定义域),使得f(x)=b.(通俗的说,值域的中的每个值都要被映射,不能有剩余) 是单射,不是满射,因为对于值域中的1,2,4,5等,从定义域中,没有x,使得f(x)等于这些值,所以不是满射. 满射,不是单射,因为定义域中-2和2都对应值域中的3,所以不是单射. 双射,满足单射和满射. 不是单射也不是满射,因为f(1,2)=f(2,1)=4,值域中的4对应定义域中的两个值(1,2)和（2,1）,所以不是单射,因为值域中的1和2,没有定义域中的值映射过来,所以不是满射. 单射,不是满射,值域中的（1,1）没有定义域中值映射过来. 【注】至于说（2）不是满射,可否举出反例?因为我看到的定义域中的[1,N]中任意值都可以从|x|+1中映射过来.

F和G是单.则F?G单.但是F?G单.只要其中之一是单就成立

当同态的核只有e时，只能推出单射，不能推出满射，你的想法是正确的。例如随便找一个有限阶群G,它的真子群为G"，则G"到G有一个嵌入i，但不是同构。书上内容你是不是看错了，比如他说，G到f（G）的同态，那么这个同态是同构

你就这么理解，a=b所以相对而言都是唯一的，也就是定义上的一对一，不要想得太多只会越饶越复杂

假设，集合A为{x}，集合B为{f(x)}，并且集合A映射到集合B上。如果集合B的所有元素，都是从集合A映射过来的，那么就是满射；如果集合A的不同元素，映射到集合B上的不同元素，那么就是单射；如果集合A的不同元素，映射到集合B上的不同元素，并且集合B的所有元素，都是从集合A映射过来的，那么就是满的单射。f:z-z f(x)=3x;满的单射。z为整数集合，通过f法则，自定域{x}到值域(f(x)}都是一一对应。 f:z-n f(x)=|x|+1;满射。n是自然数集合，通过法则，自定域{x}到值域{f(x)}是多对一。f:r-r f(x)=x^3+1;满的单射。r是实数集合，通过法则，自定域{x}到值域{f(x)}是一一对应。f:n*n-n f(x1,x2)=x1+x2+1;满射。n是自然数集合，通过法则，自定域{x}到值域{f(x)}是多对一，当x1和x2对调的时候，函数值仍相等。f;n-n*n, f(x)=(x,x+1),满的单射，通过f法则，自定域{x}到值域(f(x)}都是一一对应。你的书写不是很规范，一个不同一个，除了第一个外，其他的都不规范。

满射是一对一，单射是多对一。

A 到 B 的映射,对于 A 来说,每个元素都要在 B 中有像,且每个元素只能有一个象.否则不够成映射. 但根据 B 的中元素用于映射的数量可以分成这类：如果 B 里的元素都用到了就是满射（这种情况表明 B 中的元素个数不多于 A.少于是可以的,比如一个元素用数次）.如果 B 里的元素最多只用一次就是单射. 从这里也能看出单射和满射没有关系：每个元素只用一次,但可以有没用上的元素,这时只是单射不是满射.也可以每个元素都用上了,但用了不止一次,就是满射但不是单射.如果同时是满射和单射,那么就只有一种情况,即是说 B 中每个元素都用到了,且只用到了一次.这表明 A 和 B 中的元素一样多,且是一一对应的.称做双射（或一一映射）,只有这种情况,存在一个由 B 到 A 的映射,正好将 B 中的象映射回 A 中的原象上去.称做原来那个映射的逆映射.所以双射是个很重要的概念. 概念清楚了,回答那些题是很容易的.

1.数学手抄报内容 格式： 一般是中间上方写标题，或者左侧写大标题，如果喜欢一些张扬个性的呢，可以从中间倾斜横跨整个纸张。 内容可以分为概述，具体内容，图片，花边设计 按需要改进。手抄报要细致，可以用荧光笔，细的那种，和中性笔一样细的那种，大标题则可用粗一点的，颜色的选取要大胆，显眼，如果喜欢黑色背景的话，可以直接买黑色的卡纸，大小颜色都不错。厚度也不错。比A4那类的打印纸要好点。 要有创意，不拘一格 内容：学习内容咯，分为这样的几个模块，首先写学习数学的精神性东西，比如态度咯，方法咯，然后写具体的东西，数学的知识，还可以一套题哦，说出自己的方法和感触哦，在写点继续性的东东，要好好学习喽~呵呵，祝你学习进步咯~ 笔：可以有荧光笔，可以有蜡笔，彩笔，或者用改正液往黑色背景上写咯。 数学趣味小故事： 高斯念小学的时候，有一次在老师教完加法后，因为老师想要休息，所以便出了一道题目要同学们算算看，题目是： 1+2+3+ 。.. +97+98+99+100 = ? 老师心里正想，这下子小朋友一定要算到下课了吧！正要借口出去时，却被 高斯叫住了！！ 原来呀，高斯已经算出来了，小朋友你可知道他是如何算的吗？ 高斯告诉大家他是如何算出的：把 1加 至 100 与 100 加至 1 排成两排相加，也就是说： 1+2+3+4+ 。.. +96+97+98+99+100 100+99+98+97+96+ 。.. +4+3+2+1 =101+101+101+ 。.. +101+101+101+101 共有一百个101相加，但算式重复了两次，所以把10100 除以 2便得到答案等于 从此以后高斯小学的学习过程早已经超越了其它的同学，也因此奠定了他以后的数学基础，更让他成为——数学天才！ 2.数学手抄报的内容 1、数学格言：1、数学是无穷的科学. ——外尔（Weil）2、问题是数学的心脏.—— 哈尔默斯（P.R.Halmos ）3、只要一门科学分支能提出大量的问题， 它就充满着生命力， 而问题缺乏则预示着独立发展的终止或衰亡.—— 希尔伯特（Hilbert ）4、数学中的一些美丽定理具有这样的特性： 它们极易从事实中归纳出来， 但证明却隐藏的极深.——高斯 （Gauss）5、数学是科学的皇后，而数论是数学的皇后 ——高斯（Gauss） 6、数学比喻： 古希腊哲学家芝诺号称"悖论之父"，他有四个数学悖论一直传到今天。 他曾讲过一句名言："大圆圈比小圆圈掌握的知识要多一点，但因为大圆圈的圆周比小圆圈的长，所以它与外界空白的接触面也就比小圆圈大，因此更感到知识的不足，需要努力去学习"。7、把数学当成一门语言学习，学会每一个术语的用法，熟悉每一个符号的意义8、不要放过任何一道看上去很简单的例题——他们往往并不那么简单，或者可以引申出很多知识点。 9、会用数学公式，并不说明你会数学。、如果不是天才的话，想学数学就不要想玩游戏——你以为你做到了，其实你的数学水平并没有和你通关的能力一起变高——其实可以时刻记住：学数学是你玩“生活”这个大游戏玩的更好！2、数学故事：高斯念小学的时候，有一次在老师教完加法后，因为老师想要休息，所以便出了一道题目要同学们算算看，题目是： 1+2+3+ 。 .. +97+98+99+100 = ？ 老师心里正想，这下子小朋友一定要算到下课了吧！正要借口出去时，却被 高斯叫住了！！ 原来呀，高斯已经算出来了，小朋友你可知道他是如何算的吗？ 高斯告诉大家他是如何算出的：把 1加 至 100 与 100 加至 1 排成两排相加，也就是说： 1+2+3+4+ 。.. +96+97+98+99+100 100+99+98+97+96+ 。 .. +4+3+2+1 =101+101+101+ 。.. +101+101+101+101 共有一百个101相加，但算式重复了两次，所以把10100 除以 2便得到答案等于 <5050> 从此以后高斯小学的学习过程早已经超越了其它的同学，也因此奠定了他以后的数学基础，更让他成为——数学天才！ 3、数学小问题：（1）在下题数字之间分别添上合适的运算符号。 1()2()3()4=1 1()2()3()4()5=1 1()2()3()4()5()6=1 1()2()3()4()5()6()7=1 1()2()3()4()5()6()7()8() =1 (2)改正一个错的符号。 1+2+3+4+5+6+7+8+9=44 1+2+3+4+5+6+7+8+9=50 1+2+3+4+5+6+7+8+9=86 1+2+3+4+5+6+7+8+9=39 1+2+3+4+5+6+7+8+9=31。 3.数学手抄报资料 最低0.27元开通文库会员，查看完整内容> 原发布者：侥宫E1866 1、财产怎么分？有一位 *** 老人，生前养有11匹马，他去世前立下遗嘱：大儿子、二儿子、小儿子、分别继承遗产的二分之一，四分之一，六分之一。 儿子们想来想去没法分，他们所得到的都不是整数，总不能把一匹马割成几块来分吧？答案：聪明的邻居牵来了自己的一匹马，对他们说：你们看，现在有12匹马了，老大得12匹的二分之一就是6匹，老二得12匹的四分之一就是三匹，老三得12匹的六分之一就是2匹，还剩下一匹我照样牵回家去。2、谁在说谎？小明去钓鱼，但却不知道去鱼塘的路怎么走，他在路上遇到张三，李四和王五三个人，于是便向他们问路，谁知三个人各有各的说法，而且，他们又叮嘱小明不要相信别人的话。 张三说：李四在说谎李四说：王五在说谎王五说：张三，李四都在说谎！三人中有一人说的是真话，请问三个人中到底谁在说真话，谁在说假话呢？答案：张三说假话，王五说假话而李四是说真话。猜一数学名词：1、五四三二一（倒数）2、每份一样多（平均数）3、手算（指数）打一成语1、的倒数（颠三倒四）2、1的任意次方（始终如一）3、（千变万化）4、*100*100（千方百计）5、5、2、4、6、8、10（无独有偶）趣味数学题：一元钱哪里去了三人住旅店，每人每天的价格是10元，每人付了十元钱，总共给了老板三十元，后来老板优惠了五元，让服务员退给他们，结果服务员贪污了两元，剩下三元每人退了一元钱，也就是说每人消费了9元钱，三个人总共花了27元，加上服务员贪污的两元总共29元。 那一。 4.数学手抄报内容怎么写 格式：一般是中间上方写标题，或者左侧写大标题，如果喜欢一些张扬个性的呢，可以从中间倾斜横跨整个纸张。 内容可以分为概述，具体内容，图片，花边设计按需要改进。手抄报要细致，可以用荧光笔，细的那种，和中性笔一样细的那种，大标题则可用粗一点的，颜色的选取要大胆，显眼，如果喜欢黑色背景的话，可以直接买黑色的卡纸，大小颜色都不错。 厚度也不错。比A4那类的打印纸要好点。 要有创意，不拘一格内容：学习内容咯，分为这样的几个模块，首先写学习数学的精神性东西，比如态度咯，方法咯，然后写具体的东西，数学的知识，还可以一套题哦，说出自己的方法和感触哦，在写点继续性的东东，要好好学习喽~呵呵，祝你学习进步咯~笔：可以有荧光笔，可以有蜡笔，彩笔，或者用改正液往黑色背景上写咯。数学趣味小故事：高斯念小学的时候，有一次在老师教完加法后，因为老师想要休息，所以便出了一道题目要同学们算算看，题目是： 1+2+3+ 。 .. +97+98+99+100 = ？ 老师心里正想，这下子小朋友一定要算到下课了吧！正要借口出去时，却被 高斯叫住了！！ 原来呀，高斯已经算出来了，小朋友你可知道他是如何算的吗？ 高斯告诉大家他是如何算出的：把 1加 至 100 与 100 加至 1 排成两排相加，也就是说： 1+2+3+4+ 。.. +96+97+98+99+100 100+99+98+97+96+ 。 .. +4+3+2+1 =101+101+101+ 。.. +101+101+101+101 共有一百个101相加，但算式重复了两次，所以把10100 除以 2便得到答案等于 <5050> 从此以后高斯小学的学习过程早已经超越了其它的同学，也因此奠定了他以后的数学基础，更让他成为——数学天才。 5.数学手抄报内容 1、某数学家的奇闻趣事。 2、趣味数学题，计划3-5道。3、学好数学的方法。 数学趣味小故事： 高斯念小学的时候，有一次在老师教完加法后，因为老师想要休息，所以便出了一道题目要同学们算算看，题目是： 1+2+3+ 。.. +97+98+99+100 = ？ 老师心里正想，这下子小朋友一定要算到下课了吧！正要借口出去时，却被 高斯叫住了！！ 原来呀，高斯已经算出来了，小朋友你可知道他是如何算的吗？ 高斯告诉大家他是如何算出的：把 1加 至 100 与 100 加至 1 排成两排相加，也就是说： 1+2+3+4+ 。 .. +96+97+98+99+100 100+99+98+97+96+ 。.. +4+3+2+1 =101+101+101+ 。 .. +101+101+101+101 共有一百个101相加，但算式重复了两次，所以把10100 除以 2便得到答案等于 <5050> 从此以后高斯小学的学习过程早已经超越了其它的同学，也因此奠定了他以后的数学基础，更让他成为——数学天才！ 一个长方形，如果长增加6厘米或者宽增加4厘米，面积都比原来增加48平方厘米，这个长方形原来的面积是多少平方厘米？ 如果长增加6厘米，面积比原来增加48平方厘米，说明宽是48/6=8厘米，如果宽增加4厘米，面积增加48平方厘米，说明长是48/4=12厘米，那么原来的面积是8*12=96平方厘米。 6.数学手抄报~ 一些小资料 可以先在其中说明学数学的乐趣和好处 然后在其中穿插一些经典而有趣味的数学题或数学故事、数学笑话等 当然也不可少数学的经典名言。 我帮你摘录一点吧 数学故事：高斯念小学的时候，有一次在老师教完加法后，因为老师想要休息，所以便出了一道题目要同学们算算看，题目是： 1+2+3+ 。.. +97+98+99+100 = ？ 老师心里正想，这下子小朋友一定要算到下课了吧！正要借口出去时，却被 高斯叫住了！！ 原来呀，高斯已经算出来了，小朋友你可知道他是如何算的吗？ 高斯告诉大家他是如何算出的：把 1加 至 100 与 100 加至 1 排成两排相加，也就是说： 1+2+3+4+ 。 .. +96+97+98+99+100 100+99+98+97+96+ 。.. +4+3+2+1 =101+101+101+ 。 .. +101+101+101+101 共有一百个101相加，但算式重复了两次，所以把10100 除以 2便得到答案等于 <5050> 从此以后高斯小学的学习过程早已经超越了其它的同学，也因此奠定了他以后的数学基础，更让他成为——数学天才！ 数学故事：有一天，数学王国里的国王想要得到一种能使人们聪明的药水，便到处寻找勇士。麦斯看到了这则启事，便立即去应战。 国王出了一道难题：一个游客到旅馆去住，不慎钱包被偷，便准备拿自己的金手镯（如图）来抵押。因为金手镯是很宝贵的东西，所以锯开的时候，锯的次数一定要少。 问，如果一天交一个，至少要锯多少次？ 麦斯想了想，说：“只要一次就够了。把从左数第三个环锯开，第一天交第一个环；第二天交第一、二两个环，换回第三个环；第三天交第三个环；第四天交四到七个环，换回第一到三个环；第五天交第三个环；第六天交第一、二个环，换回第三个环；第七天交第三个环。” 国王和大臣听了，连连拍手叫好，当即下令让麦斯去当勇士。 麦斯知道数学魔堡有九九八十一层，不准备些干粮是会饿死的。 于是，麦斯走到一个卖煎蛋的小店去买煎蛋。来到小店，麦思把事情告诉了老板，老板是个多嘴的人，他说：“如果你能回答我一个问题，我就可以送你所有的煎蛋，还可以带你去数学魔堡的最后一层。 今天，老牛来我这儿买了一半加半个煎蛋，小猪来我这儿买了一半加半个煎蛋，现在我有3个煎蛋。问，我原有多少煎蛋？” 麦斯想：只能买一个，哪儿来的半个呢？但他后来才知道。 原来只要按普通的算法来就行了【（3+0.5）*2+0.5】*2=15（个）。我们来验算一下：老牛买去了一半（7.5个）加0.5个（8个），小猪买去了一半（3.5个）加0.5个（4个），最后，还剩下15-(8+4)=3（个），所以是对的。 麦斯报出了答案，店主连忙给了他煎蛋，带他到了最顶层。 来到了顶层，一个巨大的怪兽对麦思说：“前面有三个门（如图），上面各有一个牌子，只有一个是错的，而那个错的，才是真正的入口。 我给你一次机会，选对了门，我让你进去；错了，可别怪我不客气。” 麦斯想了想，说：“如果第一个说假话，则上面写着‘我是真的入口"，那么后面两句都符合，有可能；如果第二个说假话，则上面写着‘第三个是真的入口"这句完全不符合，应被排除；如果第三个说假话，则上面写着‘第一个门在说真话"，而又和第二句不符合。 因此，答案只能是第一个门。”说着走了进去，却发现里面只有一个纸条，上面写着： 恭喜你成功了，虽然里面并没有什么宝藏，但你经过了那么多考验，已经变得很聪明了。 数学魔堡的主人 麦斯回到了皇宫，把事告诉了国王。国王以为麦斯输了，便让1、2、3、4、5、6、7、8、9这九名士兵来抓麦斯，麦斯的0、1这两名朋友也来帮忙。 麦斯让他们合成了10，把国王的军队打得落花流水，贪婪的国王也被赶下了台，受到了法律的处置。英勇的麦斯当上了国王，受到了人民的爱戴。 趣味数学题我就不一一列举了 关于数学名言： 数统治着宇宙。 ——毕达哥拉斯 数学，科学的女皇；数论，数学的女皇。 ——C•F•高斯 上帝创造了整数，所有其余的数都是人造的。 ——L•克隆内克 上帝是一位算术家 ——雅克比 一个没有几分诗人气的数学家永远成不了一个完全的数学家。 ——维尔斯特拉斯 纯数学这门科学再其现代发展阶段，可以说是人类精神之最具独创性的创造。——怀德海 可以数是属统治着整个量的世界，而算数的四则运算则可以看作是数学家的全部装备。 ——麦克斯韦 数论是人类知识最古老的一个分支，然而他的一些最深奥的秘密与其最平凡的真理是密切相连的。——史密斯 希望可以帮到你。 7.数学手抄报资料 你可以把乘法口诀表写上去，在写一些关于数学家的故事等，，还可以出些题目，或者趣味数学，也可以把数学家的资料写上去。。 故事如，祖 冲 之 祖冲之（公元429~500年）祖籍是现今河北省涞源县，他是南北朝时代的一位杰出科学家。他不仅是一位数学家，同时还通晓天文历法、机械制造、音乐等领域，并且是一位天文学家。 祖冲之在数学方面的主要成就是关于圆周率的计算，他算出的圆周率为3.1415926<；π<3.1415927，这一结果的重要意义在于指出误差的范围，是当时世界最杰出的成就。祖冲之确定了两个形式的π值，约率355/173（≈3.1415926）密率22/7（≈3.14），这两个数都是 π的渐近分数。 还有些资料，， 华 罗 庚 华罗庚，中国现代数学家。1910年11月12日生于江苏省金坛县。1985年6月12日在日本东京逝世。华罗庚1924年初中毕业之后，在上海中华职业学校学习不到一年，因家贫辍学，他刻苦自修数学，1930年在《科学》上发表了关于代数方程式解法的文章，受到专家重视，被邀到清华大学工作，开始了数论的研究，1934年成为中华教育文化基金会研究员。1936年作为访问学者去英国剑桥大学工作。1938年回国，受聘为西南联合大学教授。1946年应苏联普林斯顿高等研究所邀请任研究员，并在普林斯顿大学执教。1948年始，他为伊利诺伊大学教授。 1950年回国，先后任清华大学教授、中国科技大学数学系主任、副校长，中国科学院数学研究所所长、中国科学院应用数学研究所所长、中国科学院副院长等。华罗庚还是第一、二、三、四、五届全国人大常委会委员和政协第六届全国委员会副主席。 华罗庚是国际上享有盛誉的数学家，他在解析数论、矩阵几何学、多复变函数论、偏微分方程等广泛数学领域中都做出卓越贡献，由于他的贡献，有许多定理、引理、不等式与方法都用他的名字命名。为了推广优选法，华罗庚亲自带领小分队去二十七个省普及应用数学方法达二十余年之久，取得了明显的经济效益和社会效益，为我国经济建设做出了重大贡献。 8.数学手抄报的资料 1966年屈居于六平方米小屋的陈景润，借一盏昏暗的煤油灯，伏在床板上，用一支笔，耗去了几麻袋的草抄稿纸，居然攻克了世界著名数学难题“哥德巴赫猜想”中的（1+2），创造了距摘取这颗数论皇冠上的明珠bai(1+ 1)只是一步之遥的辉煌。 他证明了“每个大偶数都是一个素du数及一个不超过两个素数的乘积之和”，使他在哥德巴赫猜想的研究上居世界领先地位。这一结果国zhi际上誉为“陈氏定理”，受到广泛征引。 这项工作还使他与王元、潘承洞在1978年共同获得中国自然科学奖一等奖。他研究哥德巴赫猜想和其他数论问题的成就，至今，仍然在世界上遥遥领先。 世界级的数学大师dao、美国学者阿 ·威尔（A。

二十世纪数学家排名(前100位):1.A.N.Kolmogorov ---科尔莫戈罗夫为概率论建立了公理体系的俄罗斯人，但排第一似乎？在可积与不可积之间，存在一个近可积区域，KAM理论是讲这种近可积区域里运动规律是怎样的。KAM理论是由前苏联科学家科尔莫戈罗夫（A.N.Kolmogorov）、阿诺尔德（V.I.Arnold）和瑞士科学家莫泽（J.K.Moser）三人证明的。2.H.Poincare -----有些人不需要说明，H.庞加莱就是其中之一。3.D.Hilbert -----号称数学之王，无数天才的老师。4.A.E,Nother -----二十世纪代数学执牛耳者，诺特阿姨。5.Von Neumann-----计算机的发明者，地球人都知道。6.H.weyl ---你还知道哪个外尔？7.A.Weil ----韦伊，布尔巴基学派的精神领袖。8.I.M.Gelfand——首届Wolf奖得主，泛函分析大师。9.Wiener -----典型的神童，控制论的创立人。10.Alxsandrff ---11.Ledesque ----实分析开山鼻祖，勒贝格。12.Shafarevich ----13.V.I.Arnold---- A.N.Kolmogorov最得意的门徒，又一个了不起的俄罗斯人。14.Dedekind ------著名的戴德金分割。15.Markov ------马尔可夫？学概率的人都知道。16.Klein -----厄兰根纲领，天才啊。17.E.Artin -----人们对他的一般评价是，大代数学家。18.Jordan -------老觉得他是十九世纪的人，呵呵。19.Siegel-----来自哥廷根 ？首届Wolf奖得主。20.Sobolev -----21.J.P.Serre ——1954年获Fields奖，时年不足28周岁。22.Gorthenideck -----走在时代前面的格罗滕迪克？上帝！神明！23.Whiteny ----惠特尼，微分拓扑的开山鼻祖。24.E.Cartan ----大器晚成的微分几何大家，实在应该排在前十。25.Thom -------突变论创立者。26.Milnor ----与纳什合称普林斯顿那一届的双子星，微分拓扑大师。27.Hadamand——这个人是谁？似曾相识。28.Godel ------哥德尔居然只排28？29.Landau ----巨富的数学家。30.Hecke -----实在没想到这个人有这么牛，听说过赫克代数而已。31.陈省身 ----一代宗师，华人的骄傲。32.Zermelo ---集合论的东东，学过实变得人都知道。33.Puntrijagin ----34.H.Cartan --应该是老嘉当的儿子了，子承父业。35.Hopf ----来自瑞士的拓扑学大师，Harvard大学教授。36.小平邦彦----***人，勤奋的代数几何学家。37.Cantor ----集合论的康托只有37，无奈了38.Chevalley----布饶尔应该排第几呢？39.Picard—— 存在与唯一性定理？40.Whitehead -----来自剑桥的哲学家？41.Caratheodory ——42.G.H.Hardy ---来自剑桥，最“纯粹”的数学家。43.Alfors ---首届Feilds奖得主。44.Selberg——李的同胞，很难想象挪威竟出了那么多一流的数学家。45.Tucker ----塔克，纳什在普林斯顿的老师。经济学中的塔克均衡的创立者。46.高木贞治——***最早具有国际声誉的数学家。47.Lefschetz --普林斯顿王朝的缔造者。48.Banach -----太靠后了，无语。49.Eilenberg --艾伦伯格，和华老很交好。50.Atiyah ----二十世纪后半期英国数学的代表。51.Sinai——52.Smale-----大学时代被系主任追着退学，呵呵。53.志村五郎 ---志村五郎猜想？54.Vinogradov ----维诺格拉朵夫？这个人比华老怎么样？55.Zarisky—— 二十世纪代数几何的代表人物扎里斯基。56.Litelewood ------哈代的好的合作者。57,Nelivanna58,Linnik59,Schur----有限群理论上多次出现的名字，舒尔。60,Luzin -------鲁津啊，A.N.Kolmogorov 的博士生导师。61,Fredholm62,van de Waerden ----读过《代数学》吗？63,Tihonov64,Bernstein ---65,Roknlin66,福原满洲雄67,Hormander68,Turing ——学计算机的人都知道他。69,Minkowsky ----天妒英才啊，感叹。70,Perron71,Darboux72.Levy ----学实变的时候听说过这个人。73,Ramanujan----莫非就是印度那位超天才数学家？呵呵。74,Bronwer75.Borel -----波莱尔，这个人不需要多说。76.Harish-Chandra77,Skolem78,Leray79.Calreman80.Mumford-----芒福德，代数几何学家，Fields奖得主。81.Krull----82.Fisher ---这个人好像不在主流领域。83.Suslin -----84,Schwartz -----复变函数里的施瓦兹？好像不是。85.Schannon ——莫非就是那个“仙农”。86.Deligne -----87.Bochner ——88.中山正——***人有那么牛吗？89.Zeeman -----90.华罗庚 ----华老，这个排名令人欣慰。91.Petrovsky ----92.Geromov ----93.佐腾干夫—— 没有看到Langlands，却有这么多无关的***人，奇怪。94.Russell -------罗素？怎么排在这么后面。95.Birkhoff ----名声很大，具体的不太了解。96.Lindeloff——林德洛夫，应该是在实变函数课上听说过他。97.Teichmuller----98.Brauer ----令人震惊的排名，别把代数学家不当人。99.Garding ----写《数学概览》的瑞典人戈丁？100.Witt---

古代史①古希腊曾有人写过《几何学史》，未能流传下来。②5世纪普罗克洛斯对欧几里得《几何原本》第一卷的注文中还保留有一部分资料。③中世纪阿拉伯国家的一些传记作品和数学著作中，讲述到一些数学家的生平以及其他有关数学史的材料。④12世纪时，古希腊和中世纪阿拉伯数学书籍传入西欧。这些著作的翻译既是数学研究，也是对古典数学著作的整理和保存。近代史是从18世纪，由J.蒙蒂克拉、C.博絮埃、A.C.克斯特纳同时开始，而以蒙蒂克拉1758年出版的《数学史》（1799～1802年又经拉朗德增补）为代表。从19世纪末叶起，研究数学史的人逐渐增多，断代史和分科史的研究也逐渐展开，1945年以后，更有了新的发展。19世纪末叶以后的数学史研究可以分为下述几个方面。1、通史研究代表作可以举出M.B.康托尔的《数学史讲义》（4卷，1880～1908）以及C.B.博耶（1894、1919D.E.史密斯（2卷，1923～1925）、洛里亚（3卷，1929～1933）等人的著作。法国的布尔巴基学派写了一部数学史收入《数学原理》。以尤什凯维奇为代表的苏联学者和以弥永昌吉、伊东俊太郎为代表的日本学者也都有多卷本数学通史出版。1972年美国M.克莱因所著《古今数学思想》一书，是70年代以来的一部佳作。2、古希腊史许多古希腊数学家的著作被译成现代文字，在这方面作出了成绩的有J.L.海贝格、胡尔奇、T.L.希思等人。洛里亚和希思还写出了古希腊数学通史。20世纪30年代起，著名的代数学家范·德·瓦尔登在古希腊数学史方面也作出成绩。60年代以来匈牙利的A.萨博的工作则更为突出，他从哲学史出发论述了欧几里得公理体系的起源。3、古埃及史把巴比伦楔形文字泥板算书和古埃及纸草算书译成现代文字是艰难的工作。查斯和阿奇博尔德等人都译过纸草算书，而诺伊格鲍尔锲而不舍数十年对楔形文字泥板算书的研究则更为有名。他所著的《楔形文字数学史料研究》（1935、1937）、《楔形文字数学书》（与萨克斯合著，1945）都是这方面的权威性著作。他所著《古代精密科学》（1951）一书，汇集了半个世纪以来关于古埃及和巴比伦数学史研究成果。范·德·瓦尔登的《科学的觉醒》（1954）一书，则又加进古希腊数学史，成为古代世界数学史的权威性著作之一。4、断代史德国数学家（C.）F.克莱因著的《19世纪数学发展史讲义》（1926～1927）一书，是断代体近现代数学史研究的开始，它成书于20世纪，但其中所反映的对数学的看法却大都是19世纪的。直到1978年法国数学家让·亚历山大·欧仁·迪厄多内所写的《1700～1900数学史概论》出版之前，断代体数学史专著并不多，但却有（C.H.）H.外尔写的《半个世纪的数学》之类的著名论文。对数学各分支的历史，从数论、概率论，直到流形概念、希尔伯特数学问题的历史等，有多种专著出现，而且不乏名家手笔。许多著名数学家参与数学史的研究，可能是基于（J.-）H.庞加莱的如下信念，即:“如果我们想要预见数学的将来，适当的途径是研究这门科学的历史和现状”，或是如H.外尔所说的：“如果不知道远溯古希腊各代前辈所建立的和发展的概念方法和结果，我们就不可能理解近50年来数学的目标，也不可能理解它的成就。”5、数学家传以及他们的全集与《选集》的整理和出版，这是数学史研究的大量工作之一。此外还有多种《数学经典论著选读》出现，辑录了历代数学家成名之作的珍贵片断。6、数学杂志最早出现于19世纪末，M.B.康托尔（1877～1913，30卷）和洛里亚（1898～1922，21卷）都曾主编过数学史杂志，最有名的是埃内斯特勒姆主编的《数学宝藏》（1884～1915，30卷）。现代则有国际科学史协会数学史分会主编的《国际数学史杂志》。7、外国著名数学家古希腊：泰勒斯、欧几里得，阿基米德，毕达哥拉斯，德国：高斯、黎曼、莱布尼兹、戴维·希尔伯特、歌德巴赫、克莱因、开普勒法国：笛卡儿、柯西、拉格朗日、拉普拉斯、费马、泊松、嘉当、伽罗瓦、傅里叶美国：阿尔福斯英国：艾萨克·牛顿瑞士：欧拉、丹尼尔·伯努利， ……匈牙利：冯·诺依苏联：什尼列尔曼、布赫夕太勃、巴尔巴恩，柯尔莫洛科夫意大利：蕾西、挪威：阿贝尔、中国史中国以历史传统悠久而著称于世界，在历代正史的《律历志》“备数”条内常常论述到数学的作用和数学的历史。例如较早的《汉书·律历志》说数学是“推历、生律、 制器、 规圆、矩方、权重、衡平、准绳、嘉量，探赜索稳，钩深致远，莫不用焉”。《隋书·律历志》记述了圆周率计算的历史，记载了祖冲之的光辉成就。历代正史《列传》中，有时也给出了数学家的传记。正史的《经籍志》则记载有数学书目。在中国古算书的序、跋中，经常出现数学史的内容。如刘徽注《九章算术》序 （263）中曾谈到《九章算术》形成的历史；王孝通“上缉古算经表”中曾对刘徽、祖冲之等人的数学工作进行评论；祖颐为《四元玉鉴》所写的序文中讲述了由天元术发展成四元术的历史。宋刊本《数术记遗》之后附录有“算学源流”，这是中国，也是世界上最早用印刷术保存下来的数学史资料。程大位《算法统宗》（1592）书末附有“算经源流”，记录了宋明间的数学书目。以上所述属于零散的片断资料，对中国古代数学史进行较为系统的整理和研究，则是在乾嘉学派的影响下，在清代中晚期进行的。主要有：①对古算书的整理和研究，《算经十书》（汉唐间算书)和宋元算书的校订、注释和出版，参预此项工作的有戴震（1724～1777）、李潢（?～1811）、阮元（1764～1849）、沈钦裴（1829年校算《四元玉鉴》)、罗士琳（1789～1853）等人 ②编辑出版了《畴人传》（数学家和天文学家的传记），它“肇自黄帝，迄于昭（清）代，凡为此学者，人为之传”，它是由阮元、李锐等编辑的（1795～1799）。其后，罗士琳作“补遗”（1840），诸可宝作《畴人传三编》（1886），黄钟骏又作《畴人传四编》（1898）。《畴人传》，实际上就是一部人物传记体裁的数学史。收入人物多，资料丰富，评论允当，它完全可以和蒙蒂克拉的数学史相媲美。利用现代数学概念，对中国数学史进行研究和整理，从而使中国数学史研究建立在现代科学方法之上的学科奠基人，是李俨和钱宝琮。他们都是从五四运动前后起，开始搜集古算书，进行考订、整理和开展研究工作的 经过半个多世纪，李俨的论文自编为《中算史论丛》（1～5集，1954～1955），钱宝琮则有《钱宝琮科学史论文集》（1984）行世。从20世纪30年代起，两人都有通史性中国数学史专著出版，李俨有《中国算学史》（1937）、《中国数学大纲》（1958）；钱宝琮有《中国算学史》（上，1932）并主编了《中国数学史》（1964）。钱宝琮校点的《算经十书》（1963）和上述各种专著一道，都是权威性著作。从19世纪末，即有人（伟烈亚力、赫师慎等）用外文发表中国数学史方面的文章。20世纪初日本人三上义夫的《数学在中国和日本的发展》以及50年代李约瑟在其巨著《中国科学技术史》（第三卷)中对中国数学史进行了全面的介绍。有一些中国的古典算书已经有日、英、法、俄、德等文字的译本。在英、美、日、俄、法、比利时等国都有人直接利用中国古典文献进行中国数学史的研究以及和其他国家和地区数学史的比较研究。

1、数学的本质在於它的自由。——康扥尔2、数学是无穷的科学。——赫尔曼外尔3、数学是符号加逻辑。——罗素4、二分之一个证明等于0、——高斯5、数学支配着宇宙。——毕达哥拉斯6、数学是打开科学大门的钥匙。——培根7、纯数学是魔术家真正的魔杖。——诺瓦列斯8、数学是人类的思考中最高的成就。——米斯拉9、数学是科学之王。——高斯10、数学是各式各样的证明技巧。——维特根斯坦11、我们欣赏数学，我们需要数学。——陈省身12、数学是一切知识中的最高形式。——柏拉图13、生命只为两件事，发展数学与教授数学。——普尔森14、数学是一种会不断进化的文化。——魏尔德15、数学是人类智慧皇冠上最灿烂的明珠。——考特16、学数学，绝不会有过份的努力。——卡拉吉奥多里17、数学是研究抽象结构的理论。——布尔巴基学派18、数学是上帝描述自然的符号。——黑格尔19、第一是数学，第二是数学，第三是数学。——伦琴

一、数学史的研究对象 数学史是研究数学科学发生发展及其规律的科学，简单地说就是研究数学的历史。它不仅追溯数学内容、思想和方法的演变、发展过程，而且还探索影响这种过程的各种因素，以及历史上数学科学的发展对人类文明所带来的影响。因此，数学史研究对象不仅包括具体的数学内容，而且涉及历史学、哲学、文化学、宗教等社会科学与人文科学内容，是一门交叉性学科。 从研究材料上说，考古资料、历史档案材料、历史上的数学原始文献、各种历史文献、民族学资料、文化史资料，以及对数学家的访问记录，等等，都是重要的研究对象，其中数学原始文献是最常用且最重要的第一手研究资料。从研究目标来说，可以研究数学思想、方法、理论、概念的演变史；可以研究数学科学与人类社会的互动关系；可以研究数学思想的传播与交流史；可以研究数学家的生平等等。 数学史研究的任务在于，弄清数学发展过程中的基本史实，再现其本来面貌，同时透过这些历史现象对数学成就、理论体系与发展模式作出科学、合理的解释、说明与评价，进而探究数学科学发展的规律与文化本质。作为数学史研究的基本方法与手段，常有历史考证、数理分析、比较研究等方法。 史学家的职责就是根据史料来叙述历史，求实是史学的基本准则。从17世纪始，西方历史学便形成了考据学，在中国出现更早，尤鼎盛于清代乾嘉时期，时至今日仍为历史研究之主要方法，只不过随着时代的进步，考据方法在不断改进，应用范围在不断拓宽而已。当然，应该认识到，史料存在真伪，考证过程中涉及到考证者的心理状态，这就必然影响到考证材料的取舍与考证的结果。就是说，历史考证结论的真实性是相对的。同时又应该认识到，考据也非史学研究的最终目的，数学史研究又不能为考证而考证。 不会比较就不会思考, 而且所有的科学思考与调查都不可缺少比较，或者说，比较是认识的开始。今日世界的发展是多极的，不同国家和地区、不同民族之间在文化交流中共同发展，因而随着多元化世界文明史研究的展开与西方中心论观念的淡化，异质的区域文明日益受到重视，从而不同地域的数学文化的比较以及数学交流史研究也日趋活跃。数学史的比较研究往往围绕数学成果、数学科学范式、数学发展的社会背景等三方面而展开。 数学史既属史学领域，又属数学科学领域，因此，数学史研究既要遵循史学规律，又要遵循数理科学的规律。根据这一特点，可以将数理分析作为数学史研究的特殊的辅助手段，在缺乏史料或史料真伪莫辨的情况下，站在现代数学的高度，对古代数学内容与方法进行数学原理分析，以达到正本清源、理论概括以及提出历史假说的目的。数理分析实际上是“古”与“今”间的一种联系。 二、数学史的分期 数学发展具有阶段性，因此研究者根据一定的原则把数学史分成若干时期。目前学术界通常将数学发展划分为以下五个时期： 1．数学萌芽期（公元前600年以前）； 2．初等数学时期（公元前600年至17世纪中叶）； 3．变量数学时期（17世纪中叶至19世纪20年代）； 4．近代数学时期（19世纪20年代至第二次世界大战）； 5．现代数学时期（20世纪40年代以来）。 三、数学史的意义 （1）数学史的科学意义 每一门科学都有其发展的历史，作为历史上的科学，既有其历史性又有其现实性。其现实性首先表现在科学概念与方法的延续性方面，今日的科学研究在某种程度上是对历史上科学传统的深化与发展，或者是对历史上科学难题的解决，因此我们无法割裂科学现实与科学史之间的联系。数学科学具有悠久的历史，与自然科学相比，数学更是积累性科学，其概念和方法更具有延续性，比如古代文明中形成的十进位值制记数法和四则运算法则，我们今天仍在使用，诸如费尔马猜想、哥德巴赫猜想等历史上的难题，长期以来一直是现代数论领域中的研究热点，数学传统与数学史材料可以在现实的数学研究中获得发展。国内外许多著名的数学大师都具有深厚的数学史修养或者兼及数学史研究，并善于从历史素材中汲取养分，做到古为今用，推陈出新。我国著名数学家吴文俊先生早年在拓扑学研究领域取得杰出成就，七十年代开始研究中国数学史，在中国数学史研究的理论和方法方面开创了新的局面，特别是在中国传统数学机械化思想的启发下，建立了被誉为“吴方法”的关于几何定理机器证明的数学机械化方法，他的工作不愧为古为今用，振兴民族文化的典范。 2 数学史介绍 科学史的现实性还表现在为我们今日的科学研究提供经验教训和历史借鉴，以使我们明确科学研究的方向以少走弯路或错路，为当今科技发展决策的制定提供依据，也是我们预见科学未来的依据。多了解一些数学史知识，也不会致使我们出现诸如解决三等分角作图、证明四色定理等荒唐事，也避免我们在费尔马大定理等问题上白废时间和精力。同时，总结我国数学发展史上的经验教训，对我国当今数学发展不无益处。 （2）数学史的文化意义 美国数学史家M.克莱因曾经说过:“一个时代的总的特征在很大程度上与这个时代的数学活动密切相关。这种关系在我们这个时代尤为明显”。“数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言，数学更主要是一门有着丰富内容的知识体系，其内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家十分有用，同时影响着政治家和神学家的学说”。数学已经广泛地影响着人类的生活和思想，是形成现代文化的主要力量。因而数学史是从一个侧面反映的人类文化史，又是人类文明史的最重要的组成部分。许多历史学家通过数学这面镜子，了解古代其他主要文化的特征与价值取向。古希腊（公元前600年-公元前300年）数学家强调严密的推理和由此得出的结论，因此他们不关心这些成果的实用性，而是教育人们去进行抽象的推理，和激发人们对理想与美的追求。通过希腊数学史的考察，就十分容易理解，为什么古希腊具有很难为后世超越的优美文学、极端理性化的哲学，以及理想化的建筑与雕塑。而罗马数学史则告诉我们，罗马文化是外来的，罗马人缺乏独创精神而注重实用。 （3）数学史的教育意义 当我们学习过数学史后，自然会有这样的感觉：数学的发展并不合逻辑，或者说，数学发展的实际情况与我们今日所学的数学教科书很不一致。我们今日中学所学的数学内容基本上属于17世纪微积分学以前的初等数学知识，而大学数学系学习的大部分内容则是17、18世纪的高等数学。这些数学教材业已经过千锤百炼，是在科学性与教育要求相结合的原则指导下经过反复编写的，是将历史上的数学材料按照一定的逻辑结构和学习要求加以取舍编纂的知识体系，这样就必然舍弃了许多数学概念和方法形成的实际背景、知识背景、演化历程以及导致其演化的各种因素，因此仅凭数学教材的学习，难以获得数学的原貌和全景，同时忽视了那些被历史淘汰掉的但对现实科学或许有用的数学材料与方法，而弥补这方面不足的最好途径就是通过数学史的学习。 在一般人看来，数学是一门枯燥无味的学科，因而很多人视其为畏途，从某种程度上说，这是由于我们的数学教科书教授的往往是一些僵化的、一成不变的数学内容，如果在数学教学中渗透数学史内容而让数学活起来，这样便可以激发学生的学习兴趣，也有助于学生对数学概念、方法和原理的理解与认识的深化。 科学史是一门文理交叉学科，从今天的教育现状来看，文科与理科的鸿沟导致我们的教育所培养的人才已经越来越不能适应当今自然科学与社会科学高度渗透的现代化社会，正是由于科学史的学科交叉性才可显示其在沟通文理科方面的作用。通过数学史学习，可以使数学系的学生在接受数学专业训练的同时，获得人文科学方面的修养，文科或其它专业的学生通过数学史的学习可以了解数学概貌，获得数理方面的修养。而历史上数学家的业绩与品德也会在青少年的人格培养上发挥十分重要的作用。 中国数学有着悠久的历史，14世纪以前一直是世界上数学最为发达的国家，出现过许多杰出数学家，取得了很多辉煌成就，其渊源流长的以计算为中心、具有程序性和机械性的算法化数学模式与古希腊的以几何定理的演绎推理为特征的公理化数学模式相辉映，交替影响世界数学的发展。由于各种复杂的原因，16世纪以后中国变为数学入超国，经历了漫长而艰难的发展历程才渐渐汇入现代数学的潮流。由于教育上的失误，致使接受现代数学文明熏陶的我们，往往数典忘祖，对祖国的传统科学一无所知。数学史可以使学生了解中国古代数学的辉煌成就，了解中国近代数学落后的原因，中国现代数学研究的现状以及与发达国家数学的差距，以激发学生的爱国热情，振兴民族科学。 数学史 1.数学史所研究的内容是： ①数学史研究方法论问题； ②数学史通史； ③数学分科史 ④不同国家、民族、地区的数学史及其比较; ⑤不同时期的断代数学史; ⑥数学家传记; ⑦数学思想、概念、数学方法发展的历史； ⑧数学发展与其他科学、社会现象之间的关系；⑨数学教育史；⑩数学史文献学；2.按其研究的范围又可分为内史和外史。 ①内史 从数学内在的原因来研究数学发展的历史；②外史 从外在的社会原因来研究数学发展与其他社会因素间的关系。 3.研究数学史的历史: 古代数学史： ①古希腊曾有人写过《几何学史》，未能流传下来。 ②5世纪普罗克洛斯对欧几里得《几何原本》第一卷的注文中还保留有一部分资料。 ③中世纪阿拉伯国家的一些传记作品和数学著作中，讲述到一些数学家的生平以及其他有关数学史的材料。 ④12世纪时，古希腊和中世纪阿拉伯数学书籍传入西欧。这些著作的翻译既是数学研究，也是对古典数学著作的整理和保存。 近代西欧各国的数学史： 是从18世纪，由J.蒙蒂克拉、C.博絮埃、A.C.克斯特纳同时开始，而以蒙蒂克拉1758年出版的《数学史》（1799～1802年又经J.de拉朗德增补）为代表。从19世纪末叶起，研究数学史的人逐渐增多,断代史和分科史的研究也逐渐展开,1945年以后，更有了新的发展。19世纪末叶以后的数学史研究可以分为下述几个方面。 ①通史研究 代表作可以举出M.B.康托尔的《数学史讲义》(4卷,1880～1908)以及C.B.博耶(1894、1919D.E.史密斯(2卷，1923～1925)、洛里亚（3卷，1929～1933）等人的著作。法国的布尔巴基学派写了一部数学史收入《数学原理》。以尤什凯维奇为代表的苏联学者和以弥永昌吉、伊东俊太郎为代表的日本学者也都有多卷本数学通史出版。1972年美国M.克莱因所著《古今数学思想》一书，是70年代以来的一部佳作。 ②古希腊数学史 许多古希腊数学家的著作被译成现代文字，在这方面作出了成绩的有J.L.海贝格、胡尔奇、T.L.希思等人。洛里亚和希思还写出了古希腊数学通史。20世纪30年代起，著名的代数学家范·德·瓦尔登在古希腊数学史方面也作出成绩。60年代以来匈牙利的A.萨博的工作则更为突出，他从哲学史出发论述了欧几里得公理体系的起源。 ③古埃及和巴比伦数学史 把巴比伦楔形文字泥板算书和古埃及纸草算书译成现代文字是艰难的工作。查斯和阿奇博尔德等人都译过纸草算书，而诺伊格鲍尔锲而不舍数十年对楔形文字泥板算书的研究则更为有名。他所著的《楔形文字数学史料研究》（1935、1937）、《楔形文字数学书》（与萨克斯合著，1945）都是这方面的权威性著作。他所著《古代精密科学》(1951)一书，汇集了半个世纪以来关于古埃及和巴比伦数学史研究成果。范·德·瓦尔登的《科学的觉醒》(1954)一书，则又加进古希腊数学史，成为古代世界数学史的权威性著作之一。 ④断代史和分科史研究 德国数学家（C.）F.克莱因著的《19世纪数学发展史讲义》(1926～1927)一书，是断代体近现代数学史研究的开始，它成书于20世纪，但其中所反映的对数学的看法却大都是19世纪的。直到1978年法国数学家J.迪厄多内所写的《1700～1900数学史概论》出版之前，断代体数学史专著并不多，但却有（C.H.）H.外尔写的《半个世纪的数学》之类的著名论文。对数学各分支的历史，从数论、概率论，直到流形概念、希尔伯特23个数学问题的历史等，有多种专著出现，而且不乏名家手笔。许多著名数学家参预数学史的研究,可能是基于（J.-）H.庞加莱的如下信念,即:“如果我们想要预见数学的将来，适当的途径是研究这门科学的历史和现状”，或是如H.外尔所说的：“如果不知道远溯古希腊各代前辈所建立的和发展的概念方法和结果，我们就不可能理解近50年来数学的目标，也不可能理解它的成就。” ⑤历代数学家的传记以及他们的全集与《选集》的整理和出版 这是数学史研究的大量工作之一。此外还有多种《数学经典论著选读》出现，辑录了历代数学家成名之作的珍贵片断。 ⑥专业性学术杂志 最早出现于19世纪末，M.B.康托尔（1877～1913，30卷）和洛里亚（1898～1922，21卷）都曾主编过数学史杂志，最有名的是埃内斯特勒姆主编的《数学宝藏》（1884～1915，30卷）。现代则有国际科学史协会数学史分会主编的《国际数学史杂志》。 中国数学史： 中国以历史传统悠久而著称于世界，在历代正史的《律历志》“备数”条内常常论述到数学的作用和数学的历史。例如较早的《汉书·律历志》说数学是“推历、生律、 制器、 规圆、矩方、权重、衡平、准绳、嘉量，探赜索稳,钩深致远,莫不用焉”。《隋书·律历志》记述了圆周率计算的历史，记载了祖冲之的光辉成就。历代正史《列传》中，有时也给出了数学家的传记。正史的《经籍志》则记载有数学书目。 在中国古算书的序、跋中，经常出现数学史的内容。 如刘徽注《九章算术》序 (263)中曾谈到《九章算术》形成的历史；王孝通“上缉古算经表”中曾对刘徽、祖冲之等人的数学工作进行评论；祖颐为《四元玉鉴》所写的序文中讲述了由天元术发展成四元术的历史。宋刊本《数术记遗》之后附录有“算学源流”,这是中国,也是世界上最早用印刷术保存下来的数学史资料。程大位《算法统宗》(1592)书末附有“算经源流”,记录了宋明间的数学书目。 以上所述属于零散的片断资料，对中国古代数学史进行较为系统的整理和研究，则是在乾嘉学派的影响下，在清代中晚期进行的。主要有：①对古算书的整理和研究，《算经十书》(汉唐间算书)和宋元算书的校订、注释和出版，参预此项工作的有戴震(1724～1777)、李潢(?～1811)、阮元（1764～1849）、沈钦裴(1829年校算《四元玉鉴》)、罗士琳(1789～1853)等人 ②编辑出版了《畴人传》（数学家和天文学家的传记），它“肇自黄帝，迄于昭（清）代，凡为此学者，人为之传”，它是由阮元、李锐等编辑的(1795～1799)。其后，罗士琳作“补遗”(1840)，诸可宝作《畴人传三编》（1886），黄钟骏又作《畴人传四编》(1898)。《畴人传》，实际上就是一部人物传记体裁的数学史。收入人物多，资料丰富，评论允当，它完全可以和蒙蒂克拉的数学史相媲美。 利用现代数学概念，对中国数学史进行研究和整理，从而使中国数学史研究建立在现代科学方法之上的学科奠基人，是李俨和钱宝琮。他们都是从五四运动前后起，开始搜集古算书,进行考订、整理和开展研究工作的 经过半个多世纪,李俨的论文自编为《中算史论丛》(1～5集，1954～1955),钱宝琮则有《钱宝琮科学史论文集》(1984)行世。从20世纪30年代起，两人都有通史性中国数学史专著出版，李俨有《中国算学史》(1937)、《中国数学大纲》（1958）；钱宝琮有《中国算学史》（上，1932）并主编了《中国数学史》(1964)。钱宝琮校点的《算经十书》(1963)和上述各种专著一道，都是权威性著作。 从19世纪末，即有人（伟烈亚力、赫师慎等）用外文发表中国数学史方面的文章。20世纪初日本人三上义夫的《数学在中国和日本的发展》以及50年代李约瑟在其巨著《中国科学技术史》(第三卷)中对中国数学史进行了全面的介绍。有一些中国的古典算书已经有日、英、法、俄、德等文字的译本。在英、美、日、俄、法、比利时等国都有人直接利用中国古典文献进行中国数学史的研究以及和其他国家和地区数学史的比较研究。

1数学书目1.1数学分析本人手头有华东师范大学出版的《数学分析》上下册，还过得去。值得推荐的是菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》三卷本，内容很多，习题丰富，难度也大，可参考，毕竟不是数学专业的。希尔伯特、柯朗合著的《微积分与数学分析引论》，很经典的书，据说浙大数学系的就以此书为数分教材，共四卷，其中一元微积分主要在1、2卷，3、4卷主要是多元微积分、级数等。哈代的《纯数学教程》，最近刚买了看，虽然有些内容偏陈旧了，但还是经典中的经典，毕竟哈代是培养了印度数学奇才拉马努金和华罗庚的数学大师啊。1.2线性代数学校用的是同济的线性代数，感觉不怎么样，中规中矩的，先是抽象难懂的行列式，再矩阵，再向量空间。自己看过两本国外的线代教材，一本是DavidC.Lay的《线性代数及其应用》，还有一本是SheldonAxler的《线性代数应该这样学》。前者强调线性代数的引用背景，从向量空间出发，把线性代数视为空间解析几何在n维空间的推广；后者把重点放在向量空间和线性映射上。两书都避开了难懂又不直观的行列式。1.3常微分方程庞特里亚金《常微分方程》，经典教程。丁同仁《常微分方程教程》，这是国内常微分方程教材中最好的。1.4数学物理方法梁昆淼《数学物理方法》，物理系学生大多用梁老先生的这本教材吧。郭敦仁《数学物理方法》王竹溪、郭敦仁《特殊函数概论》，绝对世界级的经典。此书唯有放在案边，作为工具书查之。杨振宁曾说过：“我的老师王竹溪先生送了我一本刚出版的《特殊函数概论》……从此这本书就一直在我的书架上……经常在里面寻找我需要的结论。”此书中有很多特殊函数的性质来不及写在正文，于是补充在后面，美其名曰“习题”，如果你尝试去做，恐怕得出一身冷汗。1.5概率论与数理统计个人以为浙大三版或四版的《概率论与数理统计》足矣——仅对非数学专业而言。2、物理书目2.1普通物理力学：赵凯华《新概念物理教程——力学》，还可参看周培源的《力学》以及梁昆淼的《力学》；热学：秦允豪《热学》，另外赵凯华《新概念物理教程——热学》——本书内容丰富新颖，做教材偏杂乱，当参考资料确实不错；电磁学：赵凯华、陈熙谋《电磁学》上下光学：赵凯华《新概念物理教程——光学》。有志于光学方向的，必看Born&Wolf《光学原理》一书，曾在图书馆借阅过，难度已远远超出普物的范畴，不愧是诺奖得主的著作、光学中的圣经。原子物理：杨福家《原子物理学》2.2四大力学理论力学：周衍柏《理论力学教程》；朗道《力学》，这是朗道的理论物理教程中最好的一本，虽只有薄薄的一百多页，力学经典教材首推朗道此书。量子力学：国内较早的有周世勋的《量子力学教程》，此书比曾谨严的讲的清楚些，但内容较少，后劲不足；曾谨严《量子力学教程》，还有曾谨严厚厚的《量子力学》一、二卷，考研看教程足矣，曾书注重数学推导，不太注重物理实质，初学者不免看得云里雾里，本书做复习用是不错的，况且又是物理考研指定书目。推荐Griffiths《IntroductiontoQuantumMechanics》（量子力学概论），清华物理系就是用这本做初量教材的，中英本都有，可惜机械工业出版社将英文影印版删去了最后一章量子哲学以及相当有特点的线性代数附录，还美其名曰“为适合国内课程”，而中译本又有较多印刷错误，所以我下了英文电子书配合中译本看。此书另一大特点是习题超多，作者认为学好量子力学不做大量习题是不行的。若有时间，可看喀兴林《高等量子力学》前二章——高屋建瓴，对理解初等量子力学绝对有好处；参考书籍：费曼《物理学讲义》第三卷，费曼三卷物理讲义那是物理教学中的圣经，第三卷讲量子力学，深入浅出，别开生面——从双态系统开始；朗道《量子力学（非相对性原理原理）》，朗道剑走偏锋，别开生面，此书难度属于中等（并非对本科初学者而言）；狄拉克《量子力学原理》，久仰大名，未曾细看，不敢妄加评论；此外，Shankar《PrinciplesofQuantumMechanics》也是欧美大学很流行的教材；Cohen两厚卷本《量子力学》，此书一大特色是有很多comment，死抠概念，对初学者理解是极有裨益的。FYI，Cohen-Tannoudji是法国理论物理大师，1997年诺贝尔物理学奖得主。习题书：曾谨严、钱伯初《量子力学习题精选与剖析》，科大物理学大题典量子力学卷，史守华《量子力学考研习题辅导》电动力学：郭硕鸿《电动力学》Jackson《ClassicalElectrodynamics》，电动力学教材中的经典，此书数学超难，Jackson对数学的偏爱到了变态的地步，呵呵，其实朗道的《连续介质电动力学》也好不到哪去。热力学统计物理：王竹溪《热力学》；汪志诚《热力学与统计物理》；林宗涵《热力学与统计物理》。为扩充知识面，特推荐以下书籍：1、Feynman《费恩曼物理学讲义》三卷2、牛顿《自然哲学之数学原理》、《光学》3、爱因斯坦文集(三卷）4、伽利略《关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话》，《关于两门新科学的对话》5、麦克斯韦《电磁通论》6、傅里叶《热的解析理论》7、薛定谔《薛定谔讲演录》、《生命是什么》8、赫尔曼??外尔《对称》9、罗杰??牛顿《探求万物之理——混沌、夸克与拉普拉斯妖》10、赵凯华《定性与半定量物理学》11、霍金《时间简史》、《果壳中的宇宙》12、俞允强《热大爆炸宇宙学》、《物理宇宙学讲义》、《广义相对论引论》暂时想到这些

套路深夸口他阿拉巴哈拉拉吧11啊打卡啊啊111111啊啊啊啊啊啊11绿孔雀拉屎

科学的价值> <科学与方法> <科学与假设>，庞加莱科学三部曲。作者和希尔伯特算是最后两位全能数学家，号称数学家中的数学家，数学巨人。我没看完，文章哲学性较强，好像不容易读懂，据乌拉姆说，他第一次读的时候也是似懂非懂，值到以后他才慢慢完全理解文章思想。<最后的沉思>，庞加莱。我还没看。<库朗：一位数学家的双城记>，康斯坦丝-瑞德。库朗，希尔伯特学生，哥廷根数学学派最后一个掌门人（之前是F.克莱因和希尔伯特），因为二战去了美国，主持组建库朗应用数学研究所。<什么是数学(what is mathematics)>，库朗。只来得及看过一点，强烈推荐。<我的一生：马克思-玻恩自述>，马克思-玻恩。作者自传 ，出身哥廷根，希尔伯特学生，他是一名物理学家，诺贝尔奖获得者。<诗魂数学家的沉思> <对称>，赫尔曼-外尔。我只看过一点，作者曾是希尔伯特助手。<数字情种:埃尔德什(Erdos)传>，保罗-霍夫曼。Erdos，数学奇才，好像是一生到处跑，到哪就找当地的数学合作发文章。<高观点下的初等数学>，F.克莱因。买了书，不知何时有时间看。

相信我，9+5=15。

欧几里得，毕达哥拉斯，笛卡儿，欧拉，高斯，柯西，牛顿，莱布尼茨，贝努利，拉格朗日，傅里叶，阿贝尔，希尔伯特

可以算单项式多项式，数轴中，函数等

数学悖论与三次数学危机 陈基耿 摘要：数学发展从来不是完全直线式的，而是常常出现悖论。 历史上一连串的 数学悖论动摇了人们对数学可靠性的信仰，数学史上曾经发生了三次数学危机。 数学悖论的产生和危机的出现，不单给数学带来麻烦和失望，更重要的是给数学的发展带来新的生机和希望，促进了数学的繁荣。 危机产生、解决、又产生的无穷反复过程，不断推动着数学的发展，这个过程也是数学思想获得重要发展的过程。 关键词：数学悖论；数学危机；毕达哥拉斯悖论；贝克莱悖论；罗素悖论 数学历来被视为严格、和谐、精确的学科，纵观数学发展史，数学发展从来不是完全直线式的，他的体系不是永远和谐的，而常常出现悖论。 悖论是指在某一一定的理论体系的基础上，根据合理的推理原则，推出了两个互相矛盾的命题，或者是证明了这样一个复合命题，它表现为两个互相矛盾的命题的等价式[1]。 数学悖论在数学理论中的发展是一件严重的事，因为它直接导致了人们对于相应理论的怀疑，而如果一个悖论所涉及的面十分广泛的话，甚至涉及到整个学科的基础时，这种怀疑情绪又可能发展成为普遍的危机感，特别是一些重要悖论的产生自然引起人们对数学基础的怀疑以及对数学可靠性信仰的动摇。 数学史上曾经发生过三次数学危机，每次都是由一两个典型的数学悖论引起的。 本文回顾了历史上发生的三次数学危机，重点介绍了三次数学危机对数学发展的重要作用。 1毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机 1.1第一次数学危机的内容 公元前六世纪，在古希腊学术界占统治地位的毕达哥拉斯学派，其思想在当时被认为是绝对权威的真理，毕达哥拉斯学派倡导的是一种称为“唯数论”的哲学观点，他们认为宇宙的本质就是数的和谐[2]。 他们认为万物皆数，而数只有两种，就是正整数和可通约的数（即分数，两个整数的比）， 除此之外不再有别的数，即是说世界上只有整数或分数。 毕达哥拉斯学派在数学上的一项重大贡献是证明了毕达哥拉斯定理[3]，也就是我们所说的勾股定理。 勾股定理指出直角三角形三边应有如下关系，即a2=b2+c2，a和b分别代表直角三角形的两条直角边，c表示斜边。 然而不久毕达哥拉斯学派的一个学生希伯斯很快便发现了这个论断的问题。 他发现边长相等的正方形其对角线长并不能用整数或整数之比来表示。 假设正方形边长为1，并设其对角线长为d，依勾股定理应有d2=12+12=2，即d2=2，那么d是多少呢？显然d不是整数，那它必是两整数之比。 希伯斯花了很多时间来寻找这两个整数之比，结果没找着，反而找到了两数不可通约性的证明[4]，用反证法证明如下：设Rt△ABC，两直角边为a=b，则由勾股定理有c2=2a2，设已将a和c中的公约数约去，即a、c已经互素，于是c为偶数，a为奇数，不妨令c=2m，则有(2m)2=2a2，a2=2m2，于是a为偶数，这与前面已证a为奇数矛盾。 这一发现历史上称为毕达哥拉斯悖论。 1.2第一次数学危机的影响 毕达哥拉斯悖论的出现，对毕达哥拉斯学派产生了沉重的打击，“数即万物”的世界观被极大的动摇了,有理数的尊崇地位也受到了挑战，因此也影响到了整个数学的基础，使数学界产生了极度的思想混乱，历史上称之为第一次数学危机。 第一次数学危机的影响是巨大的，它极大的推动了数学及其相关学科的发展。 首先，第一次数学危机让人们第一次认识到了无理数的存在，无理数从此诞生了，之后，许多数学家正式研究了无理数，给出了无理数的严格定义，提出了一个含有有理数和无理数的新的数类——实数，并建立了完整的实数理论[5]，为数学分析的发展奠定了基础。 再者，第一次数学危机表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演绎推理，并由此建立了几何公理体系。 欧氏几何就是人们为了消除矛盾，解除危机，在这时候应运而生的[6]。 第一次数学危机极大地促进了几何学的发展,使几何学在此后两千年间成为几乎是全部严密数学的基础，这不能不说是数学思想史上的一次巨大革命。 2贝克莱悖论与第二次数学危机 2.1第二次数学危机的内容 公元17世纪，牛顿和莱布尼兹创立了微积分，微积分能提示和解释许多自然现象，它在自然科学的理论研究和实际应用中的重要作用引起人们高度的重视。 然而，因为微积分才刚刚建立起来，这时的微积分只有方法，没有严密的理论作为基础，许多地方存在漏洞，还不能自圆其说。 例如牛顿当时是这样求函数y＝xn的导数的[7]：（x＋△x）n＝xn＋n•xn-1•△x＋[n（n+1）/2]•xn-2•(△x)2＋……＋（△x）n，然后用自变量的增量△x除以函数的增量△y ，△y/△x＝[（x＋△x）n－xn ]/△x＝n•xn-1＋[n（n-1）/2] •xn-2•△x＋……＋n•x•（△x）n-2＋（△x）n-1，最后，扔掉其中含有无穷小量△x的项，即得函数y=xn的导数为y′=nxn-1。 对于牛顿对导数求导过程的论述，哲学家贝克莱很快发现了其中的问题，他一针见血的指出：先用△x为除数除以△y，说明△x不等于零，而后又扔掉含有△x的项，则又说明△x等于零，这岂不是自相矛盾吗？因此贝克莱嘲弄无穷小是“逝去的量的鬼魂”，他认为微积分是依靠双重的错误得到了正确的结果，说微积分的推导是“分明的诡辩”。 [8]这就是著名的“贝克莱悖论”。 确实，这种在同一问题的讨论中，将所谓的无穷小量有时作为0，有时又异于0的做法，不得不让人怀疑。 无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？贝克莱悖论的出现危及到了微积分的基础，引起了数学界长达两个多世纪的论战，从而形成了数学发展史中的第二次危机。 2.2第二次数学危机的影响[8] 第二次数学危机的出现，迫使数学家们不得不认真对待无穷小量△x，为了克服由此引起思维上的混乱，解决这一危机，无数人投入大量的劳动。 在初期，经过欧拉、拉格朗日等人的努力,微积分取得了一些进展；从19世纪开始为彻底解决微积分的基础问题，柯西、外尔斯特拉斯等人进行了微积分理论的严格化工作。 微积分内在的根本矛盾，就是怎样用数学的和逻辑的方法来表现无穷小，从而表现与无穷小紧密相关的微积分的本质。 在解决使无穷小数学化的问题上，出现了罗比达公理：一个量增加或减少与之相比是无穷小的另一个量，则可认为它保持不变。 而柯西采用的ε－δ方法刻画无穷小，把无穷小定义为以0为极限的变量，沿用到今，无穷小被极限代替了。 后来外尔斯特拉斯又把它明确化，给出了极限的严格定义，建立了极限理论，这样就使微积分建立在极限基础之上了。 极限的ε－δ定义就是用静态的ε－δ刻画动态极限，用有 *** 来描述无限性过程，它是从有限到无限的桥梁和路标，它表现了有限与无限的关系，使微积分朝科学化、数学化前进了一大步。 极限理论的建立加速了微积分的发展，它不仅在数学上，而且在认识论上也有重大的意义。 后来在考查极限理论的基础中，经过代德金、康托尔、海涅、外尔斯特拉斯和巴门赫等人的努力，产生了实数理论；在考查实数理论的基础时，康托尔又创立了 *** 论。 这样有了极限理论、实数理论和 *** 论三大理论后，微积分才算建立在比较稳固和完美的基础之上了，从而结束了二百多年的纷乱争论局面，进而开辟了下一个世纪的函数论的发展道路。 3罗素悖论与第三次数学危机 3.1第三次数学危机的内容 在前两次数学危机解决后不到30年即19世纪70年代,德国数学家康托尔创立了 *** 论, *** 论是数学上最具革命性的理论,初衷是为整个数学大厦奠定坚实的基础。 1900年，在巴黎召开的国际数学家会议上，法国大数学家庞加莱兴奋的宣布[9]：“我们可以说，现在数学已经达到了绝对的严格。”然而，正当人们为 *** 论的诞生而欢欣鼓舞之时,一串串数学悖论却冒了出来，又搅得数学家心里忐忑不安,其中英国数学家罗素1902年提出的悖论影响最大,“罗素悖论”的内容是这样的：设 *** B是一切不以自身为元素的 *** 所组成的 *** ，问：B是否属于B？若B属于B，则B是B的元素，于是B不属于自身，即B不属于B；反之，若B不属于B，则B不是B的元素，于是B属于自己，即B属于B。 这样，利用 *** 的概念，罗素导出了—— *** B不属于B当且仅当 *** B属于B时成立的悖论。 之后，罗素本人还提出了罗素悖论的通俗版本，即理发师悖论[10]。 理发师宣布了这样一条原则：他只为村子里不给自己刮胡子的人刮胡子。 那么现在的问题是，理发师的胡子应该由谁来刮？。 如果他自己给自己刮胡子，那么他就是村子里给自己刮胡子的人，根据他的原则，他就不应给自己刮胡子；如果他不给自己刮胡子，那么他就是村子里不给自己刮胡子的人，那么又按他的原则他就该为自己刮胡子。 同样有产生了这样的悖论：理发师给自己刮胡子当且仅当理发师不给自己刮胡子。 这就是历史上著名的罗素悖论。 罗素悖论的出现，动摇了数学的基础，震撼了整个数学界，导致了第三次数学危机。 3.2第三次数学危机的影响 罗素悖论的出现，动摇了本来作为整个数学大厦的基础—— *** 论，自然引起人们对数学基本结构有效性的怀疑。 罗素悖论的高明之处，还在于它只是用了 *** 的概念本身，而并不涉及其它概念而得出来的，使人们更是无从下手解决。 罗素悖论导致的第三次数学危机，使数学家们面临着极大的困难。 数学家弗雷格在他刚要出版的《论数学基础》卷二末尾就写道[11]：“对一位科学家来说，没有一件比下列事实更令人扫兴：当他工作刚刚完成的时候，它的一块基石崩塌下来了。 在本书的印刷快要完成时，罗素先生给我的一封信就使我陷入这种境地。”可见第三次数学危机使人们面临多么尴尬的境地。 然而科学面前没有人会回避，数学家们立即投入到了消除悖论的工作中，值得庆幸的是，产生罗素悖论的根源很快被找到了，原来康托尔提出 *** 论时对“ *** ”的概念没有做必要的限制，以至于可以构造“一切 *** 的集体”这种过大的 *** 而产生了悖论。 为了从根本上消除 *** 论中出现的各种悖论，特别是罗素悖论，许多数学家进行了不懈的努力。 如以罗素为主要代表的逻辑主义学派[12]，提出了类型论以及后来的曲折理论、限制大小理论、非类理论和分支理论，这些理论都对消除悖论起到了一定的作用；而最重要的是德国数学家策梅罗提出的 *** 论的公理化，策梅罗认为，适当的公理体系可以限制 *** 的概念，从逻辑上保证 *** 的纯粹性，他首次提出了 *** 论公理系统，后经费兰克尔、冯•诺伊曼等人的补充形成了一个完整的 *** 论公理体系（ZFC系统）[5]，在ZFC系统中，“ *** ”和“属于”是两个不加定义的原始概念，另外还有十条公理。 ZFC系统的建立，使各种矛盾得到回避，从而消除了罗素悖论为代表的一系列 *** 悖论，第三次数学危机也随之销声匿迹了。 尽管悖论消除了，但数学的确定性却在一步一步丧失，现代公理 *** 论一大堆公理是在很难说孰真孰假，可是又不能把它们一古脑消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的，所以第三次危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续[7]。 为了消除第三次数学危机，数理逻辑也取得了很大发展，证明论、模型论和递归论相继诞生，出现了数学基础理论、类型论和多值逻辑等。 可以说第三次数学危机大大促进了数学基础研究及数理逻辑的现代性，而且也因此直接造成了数学哲学研究的“黄金时代”。 4结语 历史上的三次数学危机，给人们带来了极大的麻烦，危机的产生使人们认识到了现有理论的缺陷，科学中悖论的产生常常预示着人类的认识将进入一个新阶段，所以悖论是科学发展的产物，又是科学发展源泉之一。 第一次数学危机使人们发现无理数，建立了完整的实数理论，欧氏几何也应运而生并建立了几何公理体系；第二次数学危机的出现，直接导致了极限理论、实数理论和 *** 论三大理论的产生和完善，使微积分建立在稳固且完美的基础之上；第三次数学危机，使 *** 论成为一个完整的 *** 论公理体系（ZFC系统），促进了数学基础研究及数理逻辑的现代性。 数学发展的历史表明对数学基础的深入研究、悖论的出现和危机的相对解决有着十分密切的关系，每一次危机的消除都会给数学带来许多新内容、新认识，甚至是革命性的变化，使数学体系达到新的和谐，数学理论得到进一步深化和发展。 悖论的存在反映了数学概念、原理在一定历史阶段会存在很多矛盾，导致人们的怀疑，产生危机感，然而事物就是在不断产生矛盾和解决矛盾中逐渐发展完善起来的，旧的矛盾解决了,新的矛盾还会产生，而就是在其过程中，人们便不断积累了新的认识、新的知识，发展了新的理论。 数学家对悖论的研究和解决促进了数学的繁荣和发展，数学中悖论的产生和危机的出现，不单是给数学带来麻烦和失望，更重要的是给数学的发展带来新的生机和希望。 数学中悖论和危机的历史也说明了这一点：已有的悖论和危机消除了，又产生新的悖论和危机。 但是人的认识是发展的，悖论或危机迟早都能获得解决。 “产生悖论和危机，然后努力解决它们，而后又产生新的悖论和危机。”这是一个无穷反复的过程，也就不断推动着数学的发展，这个过程也是数学思想获得重要发展的过程。 参考文献： [1] 师琼,王保红.悖论及其意义[J]. *** 山西省委党校学报,2005,28（4）:76～78. [2] 赵院娥,乔淑莉.悖论及其对数学发展的影响[J].延安大学学报(自然科学版),2004,2(1):21～25. [3] 李春兰.试论数学史上的第一次危机及其影响[J].内蒙古师范大学学报(教育科学版),2006,19(1):88～90. [4] 梁伟.试析悖论与数学史上三次危机及其方法论意义[J].科技资讯,2005,(27):187～188. [5] 王方汉.历史上的三次数学危机[J].数学通报,2002,(5):42～43. [6] 胡作玄.第三次数学危机[M].四川：四川人民出版社,1985,1～108. [7] 黄燕玲,代贤军.悖论对数学发展的影响[J].河池师专学报,2003, 23(4):62～64. [8] 周勇.第2次数学危机的影响和启示[J].数学通讯,2005,(13):47. [9] 王庚.数学怪论[A].数学文化与数学教育——数学文化报告集[C].北京:科学出版社,2004.13～25. [10] 兰林世.三次数学危机与悖论[J].集宁师专学报,2003,25(4):47～49. [11] 王风春.数学史上的三次危机[J].上海中学数学,2004,(6):42～43. [12] 张怀德.数学危机与数学发展[J].甘肃高师学报,2004,9(2):60～62.

泰勒斯 梁宗巨毕达哥拉斯 梁宗巨芝诺 周焕山柏拉图 周焕山欧多克索斯 周焕山欧几里得 梁宗巨阿基米德 梁宗巨阿波罗尼奥斯 梁宗巨希帕霍斯 梁宗巨海伦 梁宗巨丢番图 梁宗巨刘徽 郭书春帕波斯 梁宗巨希帕蒂娅 袁向东祖之 杜石然博伊西斯 王青建阿耶波多 陈一心婆罗摩笈多 陈一心花拉子米 杜瑞芝马哈维拉 陈一心奥马海亚姆 梁宗巨婆什迦罗 陈一心斐波那契 欧阳绛李冶 孔国平纳西尔丁 王青建秦九韶 何绍庚杨辉 孔国平朱世杰 杜石然奥雷姆 梁宗巨卡西 梁宗巨雷格蒙塔努斯 邵明湖帕乔利 王青建塔尔塔利亚 王青建卡尔达诺 王青建韦达 王青建斯蒂文 邵明湖纳皮尔 欧阳绛德扎格 赵林峰笛卡儿 袁向东卡瓦列里 孙宏安费马 李心灿、王武保沃利斯 侯德润帕斯卡 侯德润巴罗 梁宗巨关孝和 吴培群牛顿 李文林莱布尼茨 孙小礼、张祖贵雅格布伯努利 仝素勤、许义夫棣莫弗 张祖贵约翰伯努利 仝素勤、许义夫泰勒 朱学贤丹尼尔伯努利 仝素勤、许义夫欧拉 张洪光达朗贝尔 易照华拉格朗日 易照华蒙日 赵擎寰勒让德 侯德润傅里叶 郭敦仁、孙小礼高斯 袁向东泊松 老亮庞斯列 周耀珊柯西 沉永欢罗巴切夫斯基 杜瑞芝格林 李文林施泰纳 方茂炽普吕克 侯德润阿贝尔 邓明立波尔约 蒋中池雅可比 井竹君狄利克雷 袁向东哈密顿 易照华刘维尔 李旭辉、邵明湖格拉斯曼 陈竹如库默尔 冯绪宁李善兰 王渝生伽罗瓦 邓明立西尔维斯特 许义夫、同素勤魏尔斯特拉斯 沈永欢布尔 张锦文、李娜切比雪夫 刘钝、苏 淳凯莱 张祖贵埃尔米特 孙宏安克罗内克 邵明湖黎曼 胡作玄戴德金 胡作玄贝尔特拉米 王青建若尔当 冯长彬、赖章荣达布 蒋中池李 许以超康托尔 李娜、张锦文弗雷格 杜瑞芝克莱因 胡作玄弗罗贝尼乌斯 高嵘科瓦列夫斯卡娅 杜瑞芝庞加莱 李醒民马尔科夫 刘钝、苏 淳皮亚诺 陈竹如沃尔泰拉 邵明湖希尔伯特 李文林闵科夫斯基 杜瑞芝阿达玛 吴新谋豪斯多夫 方嘉琳埃利嘉当 虞言林波莱尔 冯长彬策梅罗 张锦文罗素 王顺义列维─齐维塔 周冬梅高木贞治 杜石然勒贝格 周民强哈代 高嵘弗雷歇 张奠宙、王善平里斯 冯长彬布劳威尔 王志健诺特 翁林鲁金 张洪光伯克霍夫 丁同仁莱夫谢茨 胡作玄李特尔伍德 李旭辉外尔 张奠宙波利亚 贺贤孝拉马努金 陈一心姜立夫 黄树棠、林伟维诺格拉多夫 张明尧巴拿赫 张奠宙陈建功 谢庭藩熊庆来 何育赞霍普夫 胡作玄维纳 李惠玲奈望林纳 庄圻泰亚历山德罗夫 杜瑞芝西格尔 胡作玄曾炯之 李惠玲苏步青 谷超豪、胡和生江泽涵 尤承业柯尔莫哥洛夫 龚光鲁冯诺伊曼 李旭辉亨利嘉当 胡作玄哥德尔 张锦文韦伊 胡作玄惠特尼 胡作玄庞特里亚金 张奠宙许宝騄 张尧庭华罗庚 王元周炜良 张奠宙陈省身 R.S 帕勒斯 滕楚莲图灵 孙宏安盖尔范德 沈永欢樊土畿 张奠宙仙农 张奠宙吴文俊 胡作玄陈景润 张明尧丘成桐补遗拉普拉斯人名索引

What do you like to eat like to eat monkeys好啊，you fine，thank you，你洗的my hand，this is my on。

数学是什么？不同的人对这个问题会给出不同的回答。 对于在幼儿园的孩童，数学就是掰着手指头数数，也许再加上简单的加减法。对小学生来说，数学就是整数、分数、小数，很多数在一起加减乘除玩游戏，还有认识简单的形和体，以及计算面积和体积等。 中学生则会认为数学是解方程、平面几何、立体几何、三角函数等等。而大学生则会回答说数学就是微积分、线性代数、解析几何、实变函数、泛函分析、拓扑、抽象代数、概率论等等。到研究生阶段研究的数学以及从事数学研究就比大学课堂中学的数学还要高深得多。在百度百科上，数学是“研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科”；在《大不列颠百科全书》里，数学是“从计算、度量以及描述物体形状所发展出的关于结构、次序和关系的学科。很多人都给数学下过定义，下面我仅罗列出了一部分： 数学是一切知识中的最高形式(柏拉图)；数学是知识的工具(笛卡儿)；数学是通往科学之门和钥匙(培根)；数学是科学的皇后(高斯)；数学是符号加逻辑(罗素)；数学是上帝描述自然的符号(黑格尔)；数学是研究抽象结构的理论(布尔巴基学派)；数学是一种别具匠心的艺术(哈尔莫斯)；数学是各式各样的证明技巧(维特根斯坦)；数学是无穷的科学(外尔)。仁者见仁智者见智，每个人总可以找到自己喜欢的数学的定义。远古人计数，开始是采用石头和骨头。在古代中国，我们的祖先聪明地利用长条的小竹片来代替石头和骨头，这样非常便于携带和运算。这些用于计数和运算的小竹片称为“筹”。如今“筹”字的竹字头应该就是来源于此。事实上，在古代汉字中“筹”和“算”字是相通的。最早，数学的名字是“算术”，原因是当时的数学研究主要是关于计算的。古代中国有部数学著作叫《九章算术》，该书系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就。即使到了民国，数学这门学科的名字在中国依然没有统一，算术、算学、数学都曾被人使用过。1939年中国数学会经过讨论，确定采用数学这个名字。“干什么就需要学什么”。希望大家铭记，数学不像有的专业(如艺术、体育)仅靠天赋和灵感就可能有所建树，数学一定要先学才可能会，不学是不可能“无师自通”的。

对称性 数学　　在方程F(x,y)=0里，若以-x代x而方程不变，则它的曲线关于y轴对称；若对-y代y而方程不变，则它的曲线关于x轴对称；若以-x代x,同时以-y代y而方程不变,则它的曲线关于原点对称.[编辑本段]物理学 　　对称性[1]（symmetry）是现代物理学中的一个核心概念，它泛指规范对称性（gauge symmetry) , 或局域对称性local symmetry）和整体对称性（global symmetry）。它是指一个理论的拉格朗日量或运动方程在某些变数的变化下的不变性。如果这些变数随时空变化，这个不变性被称为规范对称性，反之则被称为整体对称性。物理学中最简单的对称性例子是牛顿运动方程的伽利略变换不变性和麦克斯韦方程的洛伦兹变换不变性和相位不变性。　　数学上，这些对称性由群论来表述。上述例子中的群分别对应著伽利略群，洛伦兹群和U(1)群。对称群为连续群和分立群的情形分别被称为连续对称性（continuous symmetry)和分立对称性(discrete symmetry)。德国数学家外尔(Hermann Weyl)是把这套数学方法运用於物理学中并意识到规范对称重要性的第一人。　　1950年代杨振宁和米尔斯意识到规范对称性可以完全决定一个理论的拉格朗日量的形式，并构造了核作用的SU(2)规范理论。从此，规范对称性被大量应用於量子场论和粒子物理模型中。在粒子物理的标准模型中，强相互作用，弱相互作用和电磁相互作用的规范群分别为SU(3)，SU(2)和U(1)。除此之外，其他群也被理论物理学家广泛地应用，如大统一模型中的SU(5)，SO(10)和E6群，超弦理论中的SO(32)。　　考虑下面的变换：将位于某根轴的一边的所有点都反射到轴的另一边，从而建立一个系统的镜像。如果该系统在操作前后保持不变，则该系统具有反射对称性。反射下的不变性（比如人体的两边对称性）与转动下的不变性（比如足球的转动对称性）相当不同。前者是分立对称性，而后者是连续对称性 。连续对称性对任意小变换均成立，而分立对称性却有一个变换单位，两者在物理学中都起重要作用。 [编辑本段]工艺 　　Symmetry 对称性，钻石切割打磨后获得的各部分的围绕中心点的水平对称， 即切面排列及相互的角度。与比率一样同为评价二的重要指标。如果一颗钻石的车工及比例均属优良，对称的切割会令闪光及火采更加强烈。国外证书关于对称性的评价较为详细，从高到低依次有 ideal （ID）， excellent （EX）（或Premium）， very good （VG） ，fair （F） ，poor （P）。　　日常生活　　日常生活中常说的对称性，是指物体或一个系统各部分之间的适当比例、平衡、协调一致，从而产生一种简单性和美感。

数学 分类参考 ◆ 数学史 * 中国数学史 * 外国数学史：巴比伦数学，埃及古代数学，希腊古代数学，印度古代数学，玛雅数学，阿拉伯数学，欧洲中世纪数学，十六、十七世纪数学，十八世纪数学，十九世纪数学。 * 中国数学家：刘徽　祖冲之　祖暅　王孝通　李冶　秦九韶　杨辉　王恂　郭守敬　朱世杰　程大位　徐光启　梅文鼎　年希尧　明安图　汪莱　李锐　项名达　戴煦　李善兰　华蘅芳　姜立夫　钱宝琮　李俨　陈建功　熊庆来　苏步青　江泽涵　许宝騄　华罗庚　陈省身　林家翘　吴文俊　陈景润　丘成桐　 * 国外数字家：泰勒斯　毕达哥拉斯　欧多克索斯　欧几里得　阿基米德　阿波罗尼奥斯　丢番图　帕普斯　许帕提娅　阿耶波多第一　博伊西斯,A.M.S.　婆罗摩笈多　花拉子米　巴塔尼　阿布·瓦法　奥马·海亚姆　婆什迦罗第二　斐波那契,L.　纳西尔丁·图西　布雷德沃丁,T.　奥尔斯姆,N.　卡西　雷格蒙塔努斯,J.　塔尔塔利亚,N.　卡尔达诺,G.　费拉里,L.　邦贝利,R.　韦达,F.　斯蒂文,S.　纳皮尔,J.　德扎格,G.　笛卡尔,R.　卡瓦列里,(F)B.　费马,P.de　沃利斯,J.　帕斯卡,B.　巴罗,I.　格雷果里,J.　関孝和　牛顿,I.　莱布尼茨,G.W.　洛必达,G.-F.-A.de　伯努利家族　棣莫弗,A.　泰勒,B.　马克劳林,C.　欧拉,L.　克莱罗,A.-C.　达朗贝尔,J.le R.　蒙蒂克拉,J.E.　朗伯,J.H.　贝祖,E.　拉格朗日,J.-L.　蒙日,G.　拉普拉斯,P.-S.　勒让德,A.-M.　傅里叶,J.-B.-J.　热尔岗,J.-D.　高斯,C.F.　泊松,S.-D.　波尔查诺,B.　贝塞尔,F.W.　彭赛列,J.-V.　柯西,A.-L.　麦比乌斯,A.F.　皮科克,G.　罗巴切夫斯基　格林,G　沙勒,M.　拉梅,G.　施泰纳,J.　施陶特,K.G.C.von 　普吕克,J.　奥斯特罗格拉茨基,M.B.　阿贝尔,N.H.　波尔约,J.　斯图姆,C.-F.　雅可比,C.G.J.　狄利克雷,P.G.L.　哈密顿,W.R.　德·摩根,A.　刘维尔,J.　格拉斯曼,H.G.　库默尔,E.E.　伽罗瓦,E.　西尔维斯特,J.J.　外尔斯特拉斯,K.(T.W.)　布尔,G.　斯托克斯,G.G.　切比雪夫　凯莱,A.　埃尔米特,C.　艾森斯坦,F.G.M.　贝蒂,E.　克罗内克,L.　黎曼,(G.F.)B.　康托尔,M.B.　克里斯托费尔,E.B.　戴德金(J.W.)R.　杜布瓦-雷P.D.G.　诺伊曼,C.G.von　李普希茨,R.(O.S.).　克莱布什,R.F.A.　富克斯,I.L.　贝尔特拉米,E.　哥尔丹,P.A.　若尔当,C.　韦伯,H.　达布,(J.-)G.　李,M.S.　施瓦兹,H.A.　诺特,M.　康托尔,G.(F.P.)　克利福德,W.K.　米塔-列夫勒,(M.)G.　弗雷格,(F.L.)G.　克莱因,(C.)F.　弗罗贝尼乌斯,F.G.　柯瓦列夫斯卡娅,C.B.　亥维赛,O.　里奇,G.　庞加莱,(J.-)H.　马尔可夫,A.A.　皮卡,(C.-)E.　斯蒂尔杰斯,T.(J.)　李亚普诺夫,A.M.　皮亚诺,G.　胡尔维茨,A.　沃尔泰拉,V.　亨泽尔,K.　希尔伯特,D.　班勒卫,P.　闵科夫斯基,H.　阿达尔,J.(-S.)　弗雷德霍姆,(E.)I.　豪斯多夫,F.　嘉当,E.(-J.)　波莱尔,(F.-E.-J.-E)　策梅洛,E.F.F.　罗素,B.A.W.　列维-齐维塔,T.　卡拉西奥多里,C.　高木贞治　勒贝格,H.L.　哈代,G.H.　弗雷歇,M.-R.　富比尼,G.　里斯,F.(F.)　伯恩施坦,C.H.　布劳威尔,L.E.J.　诺特,(A.)E.　米泽斯,R.von　卢津,H.H.　伯克霍夫,G.D.　莱夫谢茨,S.　李特尔伍德,J.E.　外尔,(C.H.)H.　莱维,P.　赫克,E.　拉马努金,S.A.　费希尔,R.A.　维诺克拉多夫　莫尔斯　巴拿赫,S.　辛钦　霍普夫,H.　维纳,N.　奈望林纳,R.　西格尔,C.L.　阿廷,E.　哈塞,H.　扎里斯基,O.　博赫纳,S.　布饶尔,R.(D.)　塔尔斯基,A.　瓦尔德,A.　柯尔莫哥洛夫,A.H.　冯·诺伊曼,J.　嘉当,H.　卢伊,H.　哥德尔,K.　韦伊,A.　勒雷,.J.　惠特尼,H.　克列因　阿尔福斯,L.V.　庞特里亚金　谢瓦莱,C.　坎托罗维奇　盖尔范德　爱尔特希　施瓦尔茨　小平邦彦。 * 数字著作：《算数书》《算经十书》《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》《张丘建算经》《五曹算经》《五经算术》《缀术》《数术记遗》《夏侯阳算经》《缉古算经》《数理精蕴》《畴人传》《数书九章》《测圆海镜》《益古演段》《四元玉鉴》《算法统宗》《则古昔斋算学》《几何原本》《自然哲学的数学原理》《几何基础》 * 中国古代数学计算方法：筹算，珠算，孙子剩余定理，增乘开方法，贾宪三角，招差法，盈不足术，百鸡术。 * 其他：纵横图，记数法，黄金分割，希腊几何三大问题，计算工具，和算，费尔兹奖，沃尔夫奖，希尔伯特数学问题，国际数学教育委员会，国际数学联合会，国际数学家大会，数学刊物，中国数学教育，中国数学研究机构，中国数学会。 ◆ 数学基础：逻辑主义，形式主义，直觉主义。 ◆ 数理逻辑 * 逻辑演算：命题、一阶、高阶、无穷、多值-模糊、模态、构造逻辑等。 * 模型论：模态模型论，非标准模型等。 * 公理集合论：集合论公理系统，力迫方法，选择公理，连续统假设等。 * 逆归论：算法，递归函数，递归可枚举集，不可解度，广义递归论，判断问题，分层理论等。 * 证明论：数学无矛盾性，哥德尔不完备性定理，构造性数学，希尔伯计划等。 ◆ 集合论：集合，映射，序数，基数，超限归纳法，悖论，数系（实数，虚数），组合数学，图论（四色问题）、算术等。 ◆ 代数学 * 多项式：代数方程等。 * 线性代数：行列式，线性方程组，矩阵，自向量空间，欧几里得空间，线性变换，线性型，二次性，多重线性代数等。 * 群：有限群、多面群体、置换群、群表示论、有限单群等。 * 无限群：交换群，典型群，线性代数群，拓扑群，李群，变换群，算术群，半群等。 * 环：交换环，交换代数，结合代数，非结合代数-李代数，模，格-布尔代数等。 * 乏代数 * 范畴 * 同调代数-代数理论 * 域：代数扩张，超越扩张，伽罗瓦理论-代数基本定理，序域，赋值，代数函数域，有限域，p进数域等。 ◆ 数论 * 初等数论：整除，同余，二次剩余，连分数，完全数，费马数，梅森数，伯努利数，数论函数，抽屉原理等。 * 不定方程：费马大定理等。 * 解析数论：筛法，素分布法，黎曼ζ函数，狄利克雷特征，狄利克雷L函数，堆垒数论-整数分拆，格点问题，欧拉常数等。 * 代数数论：库默尔扩张，分圆域，类域论等。 * 数的几何 * 丢番图逼近 * 一致分布 * 超越数论 * 概率数论 * 模型式论 * 二次型的算术理论 * 代数几何 ◆ 几何学 * 欧几里得几何学-希尔伯特公理系统：欧里几得空间，坐标系，圆周率，多边形，多面体等。 * 解析几何学：直线，平面，二次曲线，二次曲面，二次曲线束，二次曲面束，初等几何变换，几何度量等。 * 三角学 * 综合几何学：尺规作图-希腊几何三大问题等。 * 仿射几何学：仿射变换等。 * 射影几何学：对偶原理，射影坐标，射影测度，绝对形，交比-圆点，直线几何等。 * 埃尔朗根纲领 * 百欧几里得几何学 * 微分几何学：曲线，曲面-直纹面-可展曲面-极小曲面等。 * 微分流形：张量，张量分析，外微分形式，流形上的偏微分算子，复流形，辛流形，黎曼几何学，常曲率黎曼空间-齐性空间-黎曼流形的变换群-闵科夫斯基空间，广义相对论，联络论，杨-米尔斯理论，射影微分几何学，仿射微分几何学，一般空间微分几何学，线汇论，积分几何学等。 ◆ 拓扑学 * 一般拓扑学（拓扑空间，度量空间，维数，多值映射 * 代数拓扑学（同调论，同伦论-CW复形，纤维丛-复叠空间，不动点理论-闭曲面的分类-庞加莱猜想 * 微分拓扑学（流形-横截性 * 纽结理论 * 可微映射的奇点理论 * 突变理论 * 莫尔斯理论 ◆ 分析学 * 微积分学 ** 函数：初等函数，隐函数等。 ** 极限：函数的连续性等。 ** 级数 ** 微分学：导数，微分，中值定理，极值等。 ** 积分学：积分，原函数，积分法，广义积分，含参变量积分等。 ** 多元微积分学：偏导数，全微分，方向导数，雅可比矩阵，雅可比行列式，向量，向量分析，场论等。 * 复变函数论：复变函数（解析函数，柯西积分定理，解析函数项级数，幂级数，泰勒级数，洛朗级数，留数，调和函数，最大模原理，共形映射，特殊函数，整函数，亚纯函数，解析开拓，椭圆函数，代数函数，模函数，函数值分布论，黎曼曲线，单叶函数，正规族，拟共形映射，解析函数边值问题，狄利克雷级数，解析函数边界性质，拉普拉斯变换，积分变换，泰希米勒空间，广义解析几何等）。 * 多复变函数论 * 实变函数论：勒贝格积分，有界变差函数，测度论，黎曼-斯蒂尔杰斯积分，赫尔德不等式，施瓦兹不等式，闵科夫斯基不等式，延森不等式等。 * 泛函分析：泛函数，函数空间，索伯列夫空间，拓扑线性空间，巴拿赫空间，半序线性空间，希尔伯特空间，谱论，向量值积分，线性算子，全连续算子，谱算子，线性算子扰动理论，赋范代数，广义函数，非线性算子（泛函积分，算子半群，遍历理论，不变子空间问题）等。 * 变分法：变分法，大范围变分法等。 * 函数逼近论：函数构造论，复变函数逼近（外尔斯特拉斯-斯通定理，拉格朗日插值多项式逼近，埃尔米特插值多项式逼近，三角多项式，连续模，强迫逼近，有理函数逼近，正交多项式，帕德逼近，沃外尔什逼近，联合逼近，抽象逼近，宽度，熵，线性正算子逼近，傅里叶和）等 * 傅里叶分析：三角函数，傅里叶级数，傅里叶变换-积分（傅里叶积分算子，乘子，共轭函数，卢津问题，李特尔伍德-佩利理论，正交系，极大函数，面积积分，奇异积分，算子内插，BMO空间，Hp空间，奇异积分的变换子，佩利-维纳定理，卷积，Ap权），概周期函数，群上调和分析（哈尔测度，正定函数，谱综合）等。 * 流形上的分析：霍奇理论，几何测度论，位势论等。 * 凸分析 * 非标准分析 ◆ 微分方程 * 常微分方程（初等常数微分方程,线性常微分方程,常微分方程初值问题,常微分方程边值问题,常微分方程解析理论,常微分方程变换群理论,常微分方程定性理论,常微分方程运动稳定性理论,哈密顿系统,概周期微分方程,抽象空间微分方程,泛函数分方程-微分差分方程,常微分方程摄动方法,常微分方程近似解似解,动力系统-拓扑动力系统-微分动力系统 * 偏微分方程（数学物理方程,一阶偏微分方程,哈密顿-雅可比理论,偏微分方程特征理论,椭圆型偏微分方程-拉普拉斯方程,双曲型偏微分方程-波动方程,双曲守恒律的间断解,抛物型偏微分方程-热传导方程,混合型偏微分方程,孤立子,索伯列夫空间,偏微分方程的基本解,局部可解性,偏微分算子的特征值与特征函数,数学物理中的反问题,自由边界问题,分歧理论,发展方程,不适定问题 * 积分方程：弗雷德霍姆积分方程,沃尔泰拉积分方程,对称核积分方程,奇异积分方程,维纳-霍普夫方程,维纳-霍普夫方法等。 ◆ 计算数学 * 数值分析：数值微分等。 * 数值逼近：插值，曲线拟合等。 * 计算几何：样条函数值积分-数论网格求积分法，有限差演算，有限差方程等。 * 常微分方程初值问题数值解法：单步法，多步法，龙格-库塔法，亚当斯法等。 * 常微分方程边值问题数值解法：打靶法等。 * 高次代数方程求根 * 超越方程数值解法 * 非线性方程组数值解法：迭代法，牛顿法等。 * 最优化 * 线性规划：单纯形方法等。 * 无约束优化方法 * 约束优化方法 * 概率统计计算 * 蒙特卡罗达：伪随机数等。 * 代数特征值问题数值解法：广义特征值问题数值解法等。 * 线性代数方程组数值解法：稀疏矩阵，广义逆矩阵，对角优势矩阵，病态矩阵，消元法-高斯消去法，松驰法，共轭梯度法等。 * 偏微分方程边值问题差分方法 * 偏微分方程初值问题差分方法：计算流体力学，特片线法，守恒格式，分步法（局部一维方法、交替方向隐式法、显式差分方法、隐式差分方法），有限差分方法，有限元方法，里茨-加廖金方法（里茨法、加廖金法），玻耳兹曼方程数值解法，算图-诺模图等。 * 数值软件：并行算法，误差，最小二乘法，外推极限法，快速傅里叶变换-快速数论变换，数值稳定性，区间分析，计算复杂性等。 ◆ 概率论 * 概率分布（数学期望，方差，矩，正态分布，二项分布，泊松分布 * 随机过程（马尔可夫过程，平稳过程，鞅，独立增量过程，点过程，布朗运动，泊松过程，分支过程，随机积分，随机微分方程，随机过程的极限定理，随机过程统计，滤波，无穷粒子随机系统等。 * 概率，随机变量 * 概率论中的收敛 * 大数律 * 中心极限定理 * 条件期望 ◆ 数理统计学 * 参数估计：点估计，区间估计等。 * 假设检验：列联表等。 * 线性统计模型：回归分析，方差分析等。 * 多元统计分析：相关分析等。 * 统计质量管理：控制图，抽样检验，寿命数据统计分析，概率纸等。 * 总体 * 样本 * 统计量 * 实验设计法 * 抽样调查 * 统计推断 * 大样本统计 * 统计决策理论 * 序贯分析 * 非参数统计 * 稳健统计 * 贝叶斯统计 * 时间序列分析 * 随机逼近 * 数据分析 ◆ 运筹学 * 数学规则：线性规划，非线性规划，无约束优化方法，约束优化方法，几何规划，整数规划，多目标规划，动态规划-策略迭代法，不动点算法，组合最优化-网络流，投入产出分析等。 * 军事运筹学：彻斯特方程，对抗模拟，对策论，最优化等。 * 马尔可夫决策过程 * 搜索论 * 排队论 * 库存论 * 决策分析 * 可靠性数学理论 * 计算机模拟 * 统筹学 * 优选学 ◆ 数学物理 ◆ 控制理论 ◆ 信息论 ◆ 理论计算机科学 ◆ 模糊性数学

1.课外数学小知识 一、哥德巴赫猜想 1742年德国人哥德巴赫给当时住在俄国彼得堡的大数学家欧拉写了一封信，在信中提出两个问题：第一，是否每个大于4的偶数都能表示为两个奇质数之和？如6=3+3,14=3+11等。 第二，是否每个大于7的奇数都能表示3个奇质数之和？如9=3+3+3,15=3+5+7等。这就是著名的哥德巴赫猜想。 它是数论中的一个著名问题，常被称为数学皇冠上的明珠。 二、在很久以前印度有个叫塞萨的人，精心设计了一种游戏献给国王，就是现在的64格国际象棋。 国王对这种游戏非常满意，决定赏赐塞萨。国王问塞萨需要什么，塞萨指着象棋盘上的小格子说：“就按照棋盘上的格子数，在第一个小格内赏我1粒麦子，在第二个小格内赏我2粒麦子，第三个小格内赏4粒，照此下去，每一个小格内的麦子都比前一个小格内的麦子加一倍。陛下，把这样摆满棋盘所有64格的麦粒，都赏给我吧。”国王听后不加思索就满口答应了塞萨的要求。 但是经过大臣们计算发现，就是把全国一年收获的小麦都给塞萨，也远远不够。赛萨的话没有错，他的要求的确是满足不了的。 根据计算，棋盘上六十四个格子小麦的总数将是一个十九位数，折算为重量，大约是两千多亿吨。国王拥有至高无尚的权力，却用其无知诠释着知识的深奥。 三、古希腊的智者是怎样测量金字塔的高度的 先在地上立一竹竿，在有太阳的同一时刻分别测量竹竿的影子和金字塔的影子的长度，然后计算出竹竿长度与竹竿影子长度的比例，这个比例就是金字塔高度与金字塔影子的长度的比例。用这个比例和金字塔影长就可以计算出金字塔的高度。 2.关于数学的小知识 数学小知识 -------------------------------------------------------------------------------- 数学符号的起源 数学除了记数以外，还需要一套数学符号来表示数和数、数和形的相互关系。数学符号的发明和使用比数字晚，但是数量多得多。现在常用的有200多个，初中数学书里就不下20多种。它们都有一段有趣的经历。 例如加号曾经有好几种，现在通用"+"号。 "+"号是由拉丁文"et"（"和"的意思）演变而来的。十六世纪，意大利科学家塔塔里亚用意大利文"più"（加的意思）的第一个字母表示加，草为"μ"最后都变成了"+"号。 "-"号是从拉丁文"minus"（"减"的意思）演变来的，简写m，再省略掉字母，就成了"-"了。 到了十五世纪，德国数学家魏德美正式确定："+"用作加号，"-"用作减号。 乘号曾经用过十几种，现在通用两种。一个是"*"，最早是英国数学家奥屈特1631年提出的；一个是"· "，最早是英国数学家赫锐奥特首创的。德国数学家莱布尼茨认为："*"号象拉丁字母"X"，加以反对，而赞成用"· "号。他自己还提出用"п"表示相乘。可是这个符号现在应用到 *** 论中去了。 到了十八世纪，美国数学家欧德莱确定，把"*"作为乘号。他认为"*"是"+"斜起来写，是另一种表示增加的符号。 "÷"最初作为减号，在欧洲大陆长期流行。直到1631年英国数学家奥屈特用"："表示除或比，另外有人用"-"（除线）表示除。后来瑞士数学家拉哈在他所著的《代数学》里，才根据群众创造，正式将"÷"作为除号。 十六世纪法国数学家维叶特用"="表示两个量的差别。可是英国牛津大学数学、修辞学教授列考尔德觉得：用两条平行而又相等的直线来表示两数相等是最合适不过的了，于是等于符号"="就从1540年开始使用起来。 1591年，法国数学家韦达在菱中大量使用这个符号，才逐渐为人们接受。十七世纪德国莱布尼茨广泛使用了"="号，他还在几何学中用"∽"表示相似，用"≌"表示全等。 大于号"〉"和小于号"〈"，是1631年英国著名代数学家赫锐奥特创用。至于≯""≮"、"≠"这三个符号的出现，是很晚很晚的事了。大括号"{ }"和中括号"[ ]"是代数创始人之一魏治德创造 3.数学趣味小知识 简短的 20到50字左右 趣味数学小知识 数论部分： 1、没有最大的质数。欧几里得给出了优美而简单的证明。 2、哥德巴赫猜想：任何一个偶数都能表示成两个质数之和。陈景润的成果为：任何一个偶数都能表示成一个质数和不多于两个质数的乘积之和。 3、费马大定理：x的n次方+y的n次方=z的n次方，n>2时没有整数解。欧拉证明了3和4,1995年被英国数学家 安德鲁*怀尔斯 证明。 拓扑学部分： 1、多面体点面棱的关系：定点数+面数=棱数+2，笛卡尔提出，欧拉证明，也称欧拉定理。 2、欧拉定理推论：可能只有5种正多面体，正四面体，正八面体，正六面体，正二十面体，正十二面体。 3、把空间翻过来，左手系的物体就能变成右手系的，通过克莱因瓶模拟，一节很好的头脑体操， 摘自：/bbs2/ThreadDetailx?id=31900 4.数学小知识50字以上,200字以下 1、数学是无穷的科学. ——外尔（Weil） 2、问题是数学的心脏.—— 哈尔默斯（P.R.Halmos ） 3、只要一门科学分支能提出大量的问题， 它就充满着生命力， 而问题缺乏则预示着独立发展的终止或衰亡.—— 希尔伯特（Hilbert ） 4、数学中的一些美丽定理具有这样的特性： 它们极易从事实中归纳出来， 但证明却隐藏的极深.——高斯 （Gauss） 5、数学是科学6、数学比喻： 古希腊哲学家芝诺号称"悖论之父"，他有四个数学悖论一直传到今天。他曾讲过一句名言："大圆圈比小圆圈掌握的知识要多一点，但因为大圆圈的圆周比小圆圈的长，所以它与外界空白的接触面也就比小圆圈大，因此更感到知识的不足，需要努力去学习"。 7、把数学当成一门语言学习，学会每一个术语的用法，熟悉每一个符号的意义 8、不要放过任何一道看上去很简单的例题——他们往往并不那么简单，或者可以引申出很多知识点。 9、会用数学公式，并不说明你会数学。 10、如果不是天才的话，想学数学就不要想玩游戏——你以为你做到了，其实你的数学水平并没有和你通关的能力一起变高——其实可以时刻记住：学数学是你玩“生活”这个大游戏玩的更好！ 的皇后，而数论是数学的皇后 ——高斯（Gauss） 5.关于数学的小知识 1，零 在很早的时候，以为“1”是“数字字符表”的开始，并且它进一步引出了2,3,4,5等其他数字。这些数字的作用是，对那些真实存在的物体，如苹果、香蕉、梨等进行计数。直到后来，才学会，当盒子里边已经没有苹果时，如何计数里边的苹果数。 2，数字系统 数字系统是一种处理“多少”的方法。不同的文化在不同的时代采用了各种不同的方法，从基本的“1,2,3，很多”延伸到今天所使用的高度复杂的十进制表示方法。 3，π π是数学中最著名的数。忘记自然界中的所有其他常数也不会忘记它，π总是出现在名单中的第一个位置。如果数字也有奥斯卡奖，那么π肯定每年都会得奖。 π或者pi，是圆周的周长和它的直径的比值。它的值，即这两个长度之间的比值，不取决于圆周的大小。无论圆周是大是小，π的值都是恒定不变的。π产生于圆周，但是在数学中它却无处不在，甚至涉及那些和圆周毫不相关的地方。 4，代数 代数给了一种崭新的解决间题的方式，一种“回旋”的演年方法。这种“回旋”是“反向思维”的。让我们考虑一下这个问题，当给数字25加上17时，结果将是42。这是正向思维。这些数，需要做的只是把它们加起来。 但是，假如已经知道了答案42，并提出一个不同的问题，即现在想要知道的是什么数和25相加得42。这里便需要用到反向思维。想要知道未知数x的值，它满足等式25+x=42，然后，只需将42减去25便可知道答案。 5，函数 莱昂哈德·欧拉是瑞士数学家和物理学家。欧拉是第一个使用“函数”一词来描述包含各种参数的表达式的人，例如：y = F(x)，他是把微积分应用于物理学的先驱者之一。 6.数学小知识 1.、王菊珍的百分数 我国科学家王菊珍对待实验失败有句格言，叫做“干下去还有50%成功的希望，不干便是100%的失败。” 2、托尔斯泰的分数 俄国大文豪托尔斯泰在谈到人的评价时，把人比作一个分数。他说：“一个人就好像一个分数，他的实际才能好比分子，而他对自己的估价好比分母。分母越大，则分数的值就越小。” 1、数学的本质在於它的自由. 康扥尔（Cantor） 2、在数学的领域中， 提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要. 康扥尔（Cantor） 3、没有任何问题可以向无穷那样深深的触动人的情感， 很少有别的观念能像无穷那样激励理智产生富有成果的思想， 然而也没有任何其他的概念能向无穷那样需要加以阐明. 希尔伯特（Hilbert） 4、数学是无穷的科学. 赫尔曼外尔 5、问题是数学的心脏. P.R.Halmos 6、只要一门科学分支能提出大量的问题， 它就充满着生命力， 而问题缺乏则预示着独立发展的终止或衰 亡. Hilbert 7、数学中的一些美丽定理具有这样的特性： 它们极易从事实中归纳出来， 但证明却隐藏的极深. 高斯 3、雷巴柯夫的常数与变数 俄国历史学家雷巴柯夫在利用时间方面是这样说的：“时间是个常数，但对勤奋者来说，是个‘变数"。用‘分"来计算时间的人比用‘小时"来计算时间的人时间多59倍。” 二、用符号写格言 4、华罗庚的减号 我国著名数学家华罗庚在谈到学习与探索时指出：“在学习中要敢于做减法，就是减去前人已经解决的部分，看看还有那些问题没有解决，需要我们去探索解决。” 5、爱迪生的加号 大发明家爱迪生在谈天才时用一个加号来描述，他说：“天才=1%的灵感+99%的血汗。” 6、季米特洛夫的正负号 著名的国际工人运动活动家季米特洛夫在评价一天的工作时说：“要利用时间，思考一下一天之中做了些什么，是‘正号"还是‘负号"，倘若是‘+"，则进步；倘若是‘-"，就得吸取教训，采取措施。” 三、用公式写的格言 7、爱因斯坦的公式 近代最伟大的科学家爱因斯坦在谈成功的秘诀时，写下一个公式：A=x+y+z。并解释道：A代表成功，x代表艰苦的劳动，y代表正确的方法，Z代表少说空话。”

菲尔兹奖

数学家数不胜数，但由于篇幅和本人学识有限，仅仅提供几个我所知道的在历史上有很高地位的。我国古代:祖冲之、刘徽我国现代:陈省身、华罗庚、冯康、陈景润、丘成桐(在世)外国的数学大师古希腊:毕达哥拉斯、欧几里得、阿基米德欧洲近代:笛卡尔、费尔马、牛顿、莱布尼茨、贝努力家族、欧拉、拉格朗日、拉普拉斯、高斯、柯西、阿贝尔、伽罗华、雅克比、魏尔斯特拉斯、黎曼、凯莱、哈密尔顿、埃尔米特、克罗内克、戴德金、康托、庞加莱、克莱因、希尔伯特、勒贝格、巴拿赫、闵可夫斯基、柯尔莫哥洛夫、嘉当、哈代、罗素、冯诺依曼、诺特、外尔、维纳、格罗腾迪克、哥德尔等等

为什么太阳能电池不会违背热力学第2定律，即不能从单一的热源取热使之完全转换为有用的功而不产生其他影响呢？不矛盾吗？太阳是单一热源吧？

数学问题就是在数学领域出现的运用相关数学知识去解决的问题

高中：人类是动物进化的产物，最初也完全没有数量的概念。但人类发达的大脑对客观世界的认识已经达到更加理性和抽象的地步。这样，在漫长的生活实践中，由于记事和分配生活用品等方面的需要，才逐渐产生了数的概念。比如捕获了一头野兽，就用1块石子代表。捕获了3头，就放3块石子。"结绳记事"也是地球上许多相隔很近的古代人类共同做过的事。我国古书《易经》中有"结绳而治"的记载。传说古代波斯王打仗时也常用绳子打结来计算天数。用利器在树皮上或兽皮上刻痕，或用小棍摆在地上计数也都是古人常用的办法。这些办法用得多了，就逐渐形成数的概念和记数的符号。 数的概念最初不论在哪个地区都是1、2、3、4……这样的自然数开始的，但是记数的符号却大小相同。 古罗马的数字相当进步，现在许多老式挂钟上还常常使用。 实际上，罗马数字的符号一共只有7个：I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C代表100）、D（代表500）、M（代表1,000）。这7个符号位置上不论怎样变化，它所代表的数字都是不变的。它们按照下列规律组合起来，就能表示任何数： 1．重复次数：一个罗马数字符号重复几次，就表示这个数的几倍。如："III"表示"3"；"XXX"表示"30"。 2．右加左减：一个代表大数字的符号右边附一个代表小数字的符号，就表示大数字加小数字，如"VI"表示"6"，"DC"表示"600"。一个代表大数字的符号左边附一个代表小数字的符号，就表示大数字减去小数字的数目，如"IV"表示"4"，"XL"表示"40"，"VD"表示"495"。 3．上加横线：在罗马数字上加一横线，表示这个数字的一千倍。如：""表示 "15,000"，""表示"165,000"。 我国古代也很重视记数符号，最古老的甲骨文和钟鼎中都有记数的符号，不过难写难认，后人没有沿用。到春秋战国时期，生产迅速发展，适应这一需要，我们的祖先创造了一种十分重要的计算方法--筹算。筹算用的算筹是竹制的小棍，也有骨制的。按规定的横竖长短顺序摆好，就可用来记数和进行运算。随着筹算的普及，算筹的摆法也就成为记数的符号了。算筹摆法有横纵两式，都能表示同样的数字。 从算筹数码中没有"10"这个数可以清楚地看出，筹算从一开始就严格遵循十位进制。9位以上的数就要进一位。同一个数字放在百位上就是几百，放在万位上就是几万。这样的计算法在当时是很先进的。因为在世界的其他地方真正使用十进位制时已到了公元6世纪末。但筹算数码中开始没有"零"，遇到"零"就空位。比如"6708"，就可以表示为"┴ ╥ "。数字中没有"零"，是很容易发生错误的。所以后来有人把铜钱摆在空位上，以免弄错，这或许与"零"的出现有关。不过多数人认为，"0"这一数学符号的发明应归功于公元6世纪的印度人。他们最早用黑点（·）表示零，后来逐渐变成了"0"。 说起"0"的出现，应该指出，我国古代文字中，"零"字出现很早。不过那时它不表示"空无所有"，而只表示"零碎"、"不多"的意思。如"零头"、"零星"、"零丁"。"一百零五"的意思是：在一百之外，还有一个零头五。随着阿拉数字的引进。"105"恰恰读作"一百零五"，"零"字与"0"恰好对应，"零"也就具有了"0"的含义。 如果你细心观察的话，会发现罗马数字中没有"0"。其实在公元5世纪时，"0"已经传入罗马。但罗马教皇凶残而且守旧。他不允许任何使用"0"。有一位罗马学者在笔记中记载了关于使用"0"的一些好处和说明，就被教皇召去，施行了拶（zǎn）刑，使他再也不能握笔写字。 但"0"的出现，谁也阻挡不住。现在，"0"已经成为含义最丰富的数字符号。"0"可以表示没有，也可以表示有。如：气温0℃，并不是说没有气温；"0"是正负数之间唯一的中性数；任何数（0除外）的0次幂等于1；0！=1（零的阶乘等于1）。 除了十进制以外，在数学萌芽的早期，还出现过五进制、二进制、三进制、七进制、八进制、十进制、十六进制、二十进制、六十进制等多种数字进制法。在长期实际生活的应用中，十进制最终占了上风。 现在世界通用的数码1、2、3、4、5、6、7、8、9、0，人们称之为阿拉伯数字。实际上它们是古代印度人最早使用的。后来阿拉伯人把古希腊的数学融进了自己的数学中去，又把这一简便易写的十进制位值记数法传遍了欧洲，逐渐演变成今天的阿拉伯数字。 数的概念、数码的写法和十进制的形成都是人类长期实践活动的结果。 随着生产、生活的需要，人们发现，仅仅能表示自然数是远远不行的。如果分配猎获物时，5个人分4件东西，每个人人该得多少呢？于是分数就产生了。中国对分数的研究比欧洲早1400多年！自然数、分数和零，通称为算术数。自然数也称为正整数。 随着社会的发展，人们又发现很多数量具有相反的意义，比如增加和减少、前进和后退、上升和下降、向东和向西。为了表示这样的量，又产生了负数。正整数、负整数和零，统称为整数。如果再加上正分数和负分数，就统称为有理数。有了这些数字表示法，人们计算起来感到方便多了。 但是，在数字的发展过程中，一件不愉快的事发生了。让我们回到大经贸部2500年前的希腊，那里有一个毕达哥拉斯学派，是一个研究数学、科学和哲学的团体。他们认为"数"是万物的本源，支配整个自然界和人类社会。因此世间一切事物都可归结为数或数的比例，这是世界所以美好和谐的源泉。他们所说的数是指整数。分数的出现，使"数"不那样完整了。但分数都可以写成两个整数之比，所以他们的信仰没有动摇。但是学派中一个叫希帕索斯的学生在研究1与2的比例中项时，发现没有一个能用整数比例写成的数可以表示它。如果设这个数为X，既然，推导的结果即x2=2。他画了一个边长为1的正方形，设对角线为x ，根据勾股定理x2=12+12=2，可见边长为1的正方形的对角线的长度即是所要找的那个数，这个数肯定是存在的。可它是多少？又该怎样表示它呢？希帕索斯等人百思不得其解，最后认定这是一个从未见过的新数。这个新数的出现使毕达哥拉斯学派感到震惊，动摇了他们哲学思想的核心。为了保持支撑世界的数学大厦不要坍塌，他们规定对新数的发现要严守秘密。而希帕索斯还是忍不住将这个秘密泄露了出去。据说他后来被扔进大海喂了鲨鱼。然而真理是藏不住的。人们后来又发现了很多不能用两整数之比写出来的数，如圆周率就是最重要的一个。人们把它们写成 π、等形式，称它们为无理数。 有理数和无理数一起统称为实数。在实数范围内对各种数的研究使数学理论达到了相当高深和丰富的程度。这时人类的历史已进入19世纪。许多人认为数学成就已经登峰造极，数字的形式也不会有什么新的发现了。但在解方程的时候常常需要开平方如果被开方数负数，这道题还有解吗？如果没有解，那数学运算就像走在死胡同中那样处处碰壁。于是数学家们就规定用符号"i "表示"-1"的平方根，即i＝，虚数就这样诞生了。"i "成了虚数的单位。后人将实数和虚数结合起来，写成 a＋bi的形式（a、b均为实数），这就是复数。在很长一段时间里，人们在实际生活中找不到用虚数和复数表示的量，所以虚数总让人感到虚无缥缈。随着科学的发展，虚数现在在水力学、地图学和航空学上已经有了广泛的应用，在掌握和会使用虚数的科学家眼中，虚数一点也不"虚"了。 数的概念发展到虚和复数以后，在很长一段时间内，连某些数学家也认为数的概念已经十分完善了，数学家族的成员已经都到齐了。可是1843年10月16日，英国数学家哈密尔顿又提出了"四元数"的概念。所谓四元数，就是一种形如的数。它是由一个标量（实数）和一个向量（其中x 、y 、z 为实数）组成的。四元数的数论、群论、量子理论以及相对论等方面有广泛的应用。与此同时，人们还开展了对"多元数"理论的研究。多元数已超出了复数的范畴，人们称其为超复数。 由于科学技术发展的需要，向量、张量、矩阵、群、环、域等概念不断产生，把数学研究推向新的高峰。这些概念也都应列入数字计算的范畴，但若归入超复数中不太合适，所以，人们将复数和超复数称为狭义数，把向量、张量、矩阿等概念称为广义数。尽管人们对数的归类法还有某些分歧，但在承认数的概念还会不断发展这一点上意见是一致的。到目前为止，数的家庭已发展得十分庞大。古代数学史： ①古希腊曾有人写过《几何学史》，未能流传下来。 ②5世纪普罗克洛斯对欧几里得《几何原本》第一卷的注文中还保留有一部分资料。 ③中世纪阿拉伯国家的一些传记作品和数学著作中，讲述到一些数学家的生平以及其他有关数学史的材料。 ④12世纪时，古希腊和中世纪阿拉伯数学书籍传入西欧。这些著作的翻译既是数学研究，也是对古典数学著作的整理和保存。 近代西欧各国的数学史： 是从18世纪，由J.蒙蒂克拉、C.博絮埃、A.C.克斯特纳同时开始，而以蒙蒂克拉1758年出版的《数学史》（1799～1802年又经J.de拉朗德增补）为代表。从19世纪末叶起，研究数学史的人逐渐增多,断代史和分科史的研究也逐渐展开,1945年以后，更有了新的发展。19世纪末叶以后的数学史研究可以分为下述几个方面。 ①通史研究 代表作可以举出M.B.康托尔的《数学史讲义》(4卷,1880～1908)以及C.B.博耶(1894、1919D.E.史密斯(2卷，1923～1925)、洛里亚（3卷，1929～1933）等人的著作。法国的布尔巴基学派写了一部数学史收入《数学原理》。以尤什凯维奇为代表的苏联学者和以弥永昌吉、伊东俊太郎为代表的日本学者也都有多卷本数学通史出版。1972年美国M.克莱因所著《古今数学思想》一书，是70年代以来的一部佳作。 ②古希腊数学史 许多古希腊数学家的著作被译成现代文字，在这方面作出了成绩的有J.L.海贝格、胡尔奇、T.L.希思等人。洛里亚和希思还写出了古希腊数学通史。20世纪30年代起，著名的代数学家范·德·瓦尔登在古希腊数学史方面也作出成绩。60年代以来匈牙利的A.萨博的工作则更为突出，他从哲学史出发论述了欧几里得公理体系的起源。 ③古埃及和巴比伦数学史 把巴比伦楔形文字泥板算书和古埃及纸草算书译成现代文字是艰难的工作。查斯和阿奇博尔德等人都译过纸草算书，而诺伊格鲍尔锲而不舍数十年对楔形文字泥板算书的研究则更为有名。他所著的《楔形文字数学史料研究》（1935、1937）、《楔形文字数学书》（与萨克斯合著，1945）都是这方面的权威性著作。他所著《古代精密科学》(1951)一书，汇集了半个世纪以来关于古埃及和巴比伦数学史研究成果。范·德·瓦尔登的《科学的觉醒》(1954)一书，则又加进古希腊数学史，成为古代世界数学史的权威性著作之一。 ④断代史和分科史研究 德国数学家（C.）F.克莱因著的《19世纪数学发展史讲义》(1926～1927)一书，是断代体近现代数学史研究的开始，它成书于20世纪，但其中所反映的对数学的看法却大都是19世纪的。直到1978年法国数学家J.迪厄多内所写的《1700～1900数学史概论》出版之前，断代体数学史专著并不多，但却有（C.H.）H.外尔写的《半个世纪的数学》之类的著名论文。对数学各分支的历史，从数论、概率论，直到流形概念、希尔伯特23个数学问题的历史等，有多种专著出现，而且不乏名家手笔。许多著名数学家参预数学史的研究,可能是基于（J.-）H.庞加莱的如下信念,即:“如果我们想要预见数学的将来，适当的途径是研究这门科学的历史和现状”，或是如H.外尔所说的：“如果不知道远溯古希腊各代前辈所建立的和发展的概念方法和结果，我们就不可能理解近50年来数学的目标，也不可能理解它的成就。” ⑤历代数学家的传记以及他们的全集与《选集》的整理和出版 这是数学史研究的大量工作之一。此外还有多种《数学经典论著选读》出现，辑录了历代数学家成名之作的珍贵片断。 ⑥专业性学术杂志 最早出现于19世纪末，M.B.康托尔（1877～1913，30卷）和洛里亚（1898～1922，21卷）都曾主编过数学史杂志，最有名的是埃内斯特勒姆主编的《数学宝藏》（1884～1915，30卷）。现代则有国际科学史协会数学史分会主编的《国际数学史杂志》。 中国数学史： 中国以历史传统悠久而著称于世界，在历代正史的《律历志》“备数”条内常常论述到数学的作用和数学的历史。例如较早的《汉书·律历志》说数学是“推历、生律、 制器、 规圆、矩方、权重、衡平、准绳、嘉量，探赜索稳,钩深致远,莫不用焉”。《隋书·律历志》记述了圆周率计算的历史，记载了祖冲之的光辉成就。历代正史《列传》中，有时也给出了数学家的传记。正史的《经籍志》则记载有数学书目。 在中国古算书的序、跋中，经常出现数学史的内容。 如刘徽注《九章算术》序 (263)中曾谈到《九章算术》形成的历史；王孝通“上缉古算经表”中曾对刘徽、祖冲之等人的数学工作进行评论；祖颐为《四元玉鉴》所写的序文中讲述了由天元术发展成四元术的历史。宋刊本《数术记遗》之后附录有“算学源流”,这是中国,也是世界上最早用印刷术保存下来的数学史资料。程大位《算法统宗》(1592)书末附有“算经源流”,记录了宋明间的数学书目。 以上所述属于零散的片断资料，对中国古代数学史进行较为系统的整理和研究，则是在乾嘉学派的影响下，在清代中晚期进行的。主要有：①对古算书的整理和研究，《算经十书》(汉唐间算书)和宋元算书的校订、注释和出版，参预此项工作的有戴震(1724～1777)、李潢(?～1811)、阮元（1764～1849）、沈钦裴(1829年校算《四元玉鉴》)、罗士琳(1789～1853)等人 ②编辑出版了《畴人传》（数学家和天文学家的传记），它“肇自黄帝，迄于昭（清）代，凡为此学者，人为之传”，它是由阮元、李锐等编辑的(1795～1799)。其后，罗士琳作“补遗”(1840)，诸可宝作《畴人传三编》（1886），黄钟骏又作《畴人传四编》(1898)。《畴人传》，实际上就是一部人物传记体裁的数学史。收入人物多，资料丰富，评论允当，它完全可以和蒙蒂克拉的数学史相媲美。 利用现代数学概念，对中国数学史进行研究和整理，从而使中国数学史研究建立在现代科学方法之上的学科奠基人，是李俨和钱宝琮。他们都是从五四运动前后起，开始搜集古算书,进行考订、整理和开展研究工作的 经过半个多世纪,李俨的论文自编为《中算史论丛》(1～5集，1954～1955),钱宝琮则有《钱宝琮科学史论文集》(1984)行世。从20世纪30年代起，两人都有通史性中国数学史专著出版，李俨有《中国算学史》(1937)、《中国数学大纲》（1958）；钱宝琮有《中国算学史》（上，1932）并主编了《中国数学史》(1964)。钱宝琮校点的《算经十书》(1963)和上述各种专著一道，都是权威性著作。 从19世纪末，即有人（伟烈亚力、赫师慎等）用外文发表中国数学史方面的文章。20世纪初日本人三上义夫的《数学在中国和日本的发展》以及50年代李约瑟在其巨著《中国科学技术史》(第三卷)中对中国数学史进行了全面的介绍。有一些中国的古典算书已经有日、英、法、俄、德等文字的译本。在英、美、日、俄、法、比利时等国都有人直接利用中国古典文献进行中国数学史的研究以及和其他国家和地区数学史的比较研究。采纳啊！！！！！！！！！！！！！！！

1.数学趣味小知识 简短的 20到50字左右 趣味数学小知识 数论部分： 1、没有最大的质数。欧几里得给出了优美而简单的证明。 2、哥德巴赫猜想：任何一个偶数都能表示成两个质数之和。陈景润的成果为：任何一个偶数都能表示成一个质数和不多于两个质数的乘积之和。3、费马大定理：x的n次方+y的n次方=z的n次方，n>2时没有整数解。欧拉证明了3和4,1995年被英国数学家 安德鲁*怀尔斯 证明。 拓扑学部分： 1、多面体点面棱的关系：定点数+面数=棱数+2，笛卡尔提出，欧拉证明，也称欧拉定理。 2、欧拉定理推论：可能只有5种正多面体，正四面体，正八面体，正六面体，正二十面体，正十二面体。 3、把空间翻过来，左手系的物体就能变成右手系的，通过克莱因瓶模拟，一节很好的头脑体操， 摘自：/bbs2/ThreadDetailx?id=31900 2.数学小知识50字以上,200字以下 1、数学是无穷的科学. ——外尔（Weil）2、问题是数学的心脏.—— 哈尔默斯（P.R.Halmos ）3、只要一门科学分支能提出大量的问题， 它就充满着生命力， 而问题缺乏则预示着独立发展的终止或衰亡.—— 希尔伯特（Hilbert ）4、数学中的一些美丽定理具有这样的特性： 它们极易从事实中归纳出来， 但证明却隐藏的极深.——高斯 （Gauss）5、数学是科学6、数学比喻： 古希腊哲学家芝诺号称"悖论之父"，他有四个数学悖论一直传到今天。 他曾讲过一句名言："大圆圈比小圆圈掌握的知识要多一点，但因为大圆圈的圆周比小圆圈的长，所以它与外界空白的接触面也就比小圆圈大，因此更感到知识的不足，需要努力去学习"。7、把数学当成一门语言学习，学会每一个术语的用法，熟悉每一个符号的意义8、不要放过任何一道看上去很简单的例题——他们往往并不那么简单，或者可以引申出很多知识点。 9、会用数学公式，并不说明你会数学。10、如果不是天才的话，想学数学就不要想玩游戏——你以为你做到了，其实你的数学水平并没有和你通关的能力一起变高——其实可以时刻记住：学数学是你玩“生活”这个大游戏玩的更好！的皇后，而数论是数学的皇后 ——高斯（Gauss）。 3.数学小知识或小故事 50字左右100字以内 古希腊人在数学中引进了名称，概念和自我思考，他们很早就开始猜测数学是如何产生的。 虽然他们的猜测仅是匆匆记下，但他们几乎先占有了猜想这一思考领域。古希腊人随意记下的东西在19世纪变成了大堆文章，而在20世纪却变成了令人讨厌的陈辞滥调。 在现存的资料中，希罗多德（Herodotus，公元前484--425年）是第一个开始猜想的人。他只谈论了几何学，他对一般的数学概念也许不熟悉，但对土地测量的准确意思很敏感。 作为一个人类学家和一个社会历史学家，希罗多德指出，古希腊的几何来自古埃及，在古埃及，由于一年一度的洪水淹没土地，为了租税的目的，人们经常需要重新丈量土地；他还说：希腊人从巴比伦人那里学会了日晷仪的使用，以及将一天分成12个时辰。希罗多德的这一发现，受到了肯定和赞扬。 认为普通几何学有一个辉煌开端的推测是肤浅的。 4.数学小知识50字以上,200字以下 1、数学是无穷的科学. ——外尔（Weil） 2、问题是数学的心脏.—— 哈尔默斯（P.R.Halmos ） 3、只要一门科学分支能提出大量的问题， 它就充满着生命力， 而问题缺乏则预示着独立发展的终止或衰亡.—— 希尔伯特（Hilbert ） 4、数学中的一些美丽定理具有这样的特性： 它们极易从事实中归纳出来， 但证明却隐藏的极深.——高斯 （Gauss） 5、数学是科学6、数学比喻： 古希腊哲学家芝诺号称"悖论之父"，他有四个数学悖论一直传到今天。他曾讲过一句名言："大圆圈比小圆圈掌握的知识要多一点，但因为大圆圈的圆周比小圆圈的长，所以它与外界空白的接触面也就比小圆圈大，因此更感到知识的不足，需要努力去学习"。 7、把数学当成一门语言学习，学会每一个术语的用法，熟悉每一个符号的意义 8、不要放过任何一道看上去很简单的例题——他们往往并不那么简单，或者可以引申出很多知识点。 9、会用数学公式，并不说明你会数学。 10、如果不是天才的话，想学数学就不要想玩游戏——你以为你做到了，其实你的数学水平并没有和你通关的能力一起变高——其实可以时刻记住：学数学是你玩“生活”这个大游戏玩的更好！ 的皇后，而数论是数学的皇后 ——高斯（Gauss） 5.数学家的小故事 60字~80字 16世纪德国数学家鲁道夫，花了毕生精力，把圆周率算到小数后35位，后人称之为鲁 道夫数，他死后别人便把这个数刻到他的墓碑上。 瑞士数学家雅谷·伯努利，生前对螺线（被誉为生命之线）有研究，他死之后，墓碑上 就刻着一条对数螺线，同时碑文上还写着：“我虽然改变了，但却和原来一样”。这是一句既刻划螺线性质又象征他对数学热爱的双关语 20世纪最杰出的数学家之一的冯·诺依曼.众所周知，1946年发明的电子计算机，大大促进了科学技术的进步，大大促进了社会生活的进步.鉴于冯·诺依曼在发明电子计算机中所起到关键性作用，他被西方人誉为"计算机之父".1911年一1921年，冯·诺依曼在布达佩斯的卢瑟伦中学读书期间，就崭露头角而深受老师的器重.在费克特老师的个别指导下并合作发表了第一篇数学论文，此时冯·诺依曼还不到18岁. 伽罗华生于离巴黎不远的一个小城镇，父亲是学校校长，还当过多年市长。家庭的影响使伽罗华一向勇往直前，无所畏惧。1823年，12岁的伽罗华离开双亲到巴黎求学，他不满足呆板的课堂灌输，自己去找最难的数学原著研究，一些老师也给他很大帮助。老师们对他的评价是“只宜在数学的尖端领域里工作”。 阿基米德公元前287年出生在意大利半岛南端西西里岛的叙拉古。父亲是位数学家兼天文学家。阿基米德从小有良好的家庭教养，11岁就被送到当时希腊文化中心的亚历山大城去学习。在这座号称"智慧之都"的名城里，阿基米德博阅群书，汲取了许多的知识，并且做了欧几里得学生埃拉托塞和卡农的门生，钻研《几何原本》。 祖冲之在数学上的杰出成就，是关于圆周率的计算.秦汉以前，人们以"径一周三"做为圆周率，这就是"古率".后来发现古率误差太大，圆周率应是"圆径一而周三有余"，不过究竟余多少，意见不一.直到三国时期，刘徽提出了计算圆周率的科学方法--"割圆术"，用圆内接正多边形的周长来逼近圆周长.刘徽计算到圆内接96边形， 求得π=3.14，并指出，内接正多边形的边数越多，所求得的π值越精确.祖冲之在前人成就的基础上，经过刻苦钻研，反复演算，求出π在3.1415926与3.1415927之间.并得出了π分数形式的近似值，取为约率 ，取为密率，其中取六位小数是3.141929，它是分子分母在1000以内最接近π值的分数.祖冲之究竟用什么方法得出这一结果，现在无从考查.若设想他按刘徽的"割圆术"方法去求的话，就要计算到圆内接16,384边形，这需要化费多少时间和付出多么巨大的劳动啊！由此可见他在治学上的顽强毅力和聪敏才智是令人钦佩的.祖冲之计算得出的密率， 外国数学家获得同样结果，已是一千多年以后的事了.为了纪念祖冲之的杰出贡献，有些外国数学史家建议把π=叫做"祖率". 塞乐斯生于公元前624年，是古希腊第一位闻名世界的大数学家。他原是一位很精明的商人，靠卖橄榄油积累了相当财富后，塞乐斯便专心从事科学研究和旅行。他勤奋好学，同时又不迷信古人，勇于探索，勇于创造，积极思考问题。他的家乡离埃及不太远，所以他常去埃及旅行。在那里，塞乐斯认识了古埃及人在几千年间积累的丰富数学知识。他游历埃及时，曾用一种巧妙的方法算出了金字塔的高度，使古埃及国王阿美西斯钦羡不已。 6.数学家的有关数学小故事60字以内 小时候刻苦学习，然而，华罗庚却被叫去看店（卖棉花的铺子）。 为了一个国际上享有盛誉的我国数有一次，有个妇女去买棉花，华罗庚正在算一个数学题，那个妇女说要包棉花多少钱？然而勤学的华罗庚却没有听见，就把算的答案答了一遍，那个妇女尖叫起来：“怎么这么贵？”，这时的华罗庚才知道有人来买棉花，就说了价格，那妇女便买了一包棉花走了。华罗庚正想坐下来继续算时，才发现：刚才算题目的草纸被妇女带走了。 这下可急坏了华罗庚，于是不顾一切地去追，一个黄包师傅看见在国际上享有盛誉的我国现代数学家华罗庚教授。 便让他坐车（因为他们认识），终于追上了，华罗庚不好意思地说：“阿姨，请……请把草纸还给我”，那妇女生气地说：“这可是我花钱买的，可不是你送的”。华罗庚急坏了，于是他说：“要不这样吧！我花钱把它买下来”。正在华罗庚伸手掏钱之时，那妇女好像是被这孩子感动了吧！不仅没要钱还把草纸还给了华罗庚。 这时的华罗庚才微微舒了中气，回家后，又计算起来…… 7.数学小故事10篇（最简短的） 一元钱哪里去了 三人住旅店，每人每天的价格是十元，每人付了十元钱，总共给了老板三十元，后来老板优惠了五元，让服务员退给他们，结果服务员贪污了两元，剩下三元每人退了一元钱，也就是说每人消费了9元钱。三个人总共花了27元，加上服务员贪污的2元总共29元。那一元钱到哪去了？ 分苹果 小咪家里来了5位同学。小咪的爸爸想用苹果来招待这6位小朋友，可是家里只有5个苹果。怎么办呢？只好把苹果切开了，可是又不能切成碎块，小咪的爸爸希望每个苹果最多切成3块。这就成了又一道题目：给6个孩子平均分配5个苹果，每个苹果都不许切成3块以上。 小咪的爸爸是怎样做的呢？ 小马虎数鸡 春节里，养鸡专业户小马虎站在院子里，数了一遍鸡的总数，决定留下 ，1/2外，把1/4慰问 *** ，1/3送给养老院。他把鸡送走后，听32313133353236313431303231363533e4b893e5b19e31333262343833到房内有鸡叫，才知道少数了10只鸡。于是把房内房外的鸡重数一遍，没有错，不多不少，正是留下1/2的数。小马虎奇怪了。问题出在哪里呢？你知道小马虎在院里数的鸡是多少只吗？ 『本文由第一范文网整理，版权归原作者、原出处所有。』 来了多少客人一天，小林正在家里洗碗，小强看见了问道：“怎么洗那么多的碗 ？”“ 家里来了客人了。”“来了多少人？”小林说：“我没有数，只知道他们每人用一个饭碗，，二人合用一个汤碗，三人合用一个菜碗，四人合用一个大酒碗，一共用了15个碗。”你知道来了多少客人吗？ 8.小学数学的知识点总结 常用的数量关系式1、每份数*份数=总数 总数÷每份数=份数 总数÷份数=每份数 2、1倍数*倍数=几倍数 几倍数÷1倍数=倍数 几倍数÷倍数=1倍数 3、速度*时间=路程 路程÷速度=时间 路程÷时间=速度 4、单价*数量=总价 总价÷单价=数量 总价÷数量=单价 5、工作效率*工作时间=工作总量 工作总量÷工作效率=工作时间 工作总量÷工作时间=工作效率 6、加数+加数=和 和-一个加数=另一个加数7、被减数-减数=差 被减数-差=减数 差+减数=被减数 8、因数*因数=积 积÷一个因数=另一个因数 9、被除数÷除数=商 被除数÷商=除数 商*除数=被除数 小学数学图形计算公式 1、正方形 （C：周长 S：面积 a：边长 ）周长=边长*4 C=4a 面积=边长*边长 S=a*a 2、正方体 （V：体积 a：棱长 ）表面积=棱长*棱长*6 S表=a*a*6 体积=棱长*棱长*棱长 V=a*a*a 3、长方形（ C：周长 S：面积 a：边长 ）周长=（长+宽）*2 C=2(a+b) 面积=长*宽 S=ab 4、长方体 （V：体积 s：面积 a：长 b： 宽 h：高）（1）表面积（长*宽+长*高+宽*高）*2 S=2(ab+ah+bh) (2)体积=长*宽*高 V=abh 5、三角形 （s：面积 a：底 h：高） 面积=底*高÷2 s=ah÷2 三角形高=面积 *2÷底 三角形底=面积 *2÷高 6、平行四边形 （s：面积 a：底 h：高） 面积=底*高 s=ah 7、梯形 （s：面积 a：上底 b：下底 h：高） 面积=（上底+下底）*高÷2 s=(a+b)* h÷28、圆形 （S：面积 C：周长 л d=直径 r=半径） （1）周长=直径*л=2*л*半径 C=лd=2лr (2)面积=半径*半径*л9、圆柱体 （v：体积 h：高 s：底面积 r：底面半径 c：底面周长） （1）侧面积=底面周长*高=ch(2лr或лd) (2)表面积=侧面积+底面积*2 (3)体积=底面积*高 （4）体积=侧面积÷2*半径10、圆锥体 （v：体积 h：高 s：底面积 r：底面半径） 体积=底面积*高÷3 11、总数÷总份数=平均数 12、和差问题的公式：（和+差）÷2=大数 （和-差）÷2=小数 13、和倍问题： 和÷（倍数-1）=小数 小数*倍数=大数 （或者 和-小数=大数）14、差倍问题： 差÷（倍数-1）=小数 小数*倍数=大数 （或 小数+差=大数） 15、相遇问题 相遇路程=速度和*相遇时间； 相遇时间=相遇路程÷速度和； 速度和=相遇路程÷相遇时间 16、浓度问题 溶质的重量+溶剂的重量=溶液的重量 溶质的重量÷溶液的重量*100%=浓度 溶液的重量*浓度=溶质的重量 溶质的重量÷浓度=溶液的重量17、利润与折扣问题 利润=售出价-成本； 利润率=利润÷成本*100%=（售出价÷成本-1）*100% 涨跌金额=本金*涨跌百分比； 利息=本金*利率*时间； 税后利息=本金*利率*时间*（1-20%） 常用单位换算 长度单位换算 1千米=1000米 1米=10分米 1分米=10厘米 1米=100厘米 1厘米=10毫米 面积单位换算：1平方千米=100公顷 1公顷=10000平方米 1平方米=100平方分米 1平方分米=100平方厘米 1平方厘米=100平方毫米 体（容）积单位换算：1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米 1立方分米=1升 1立方厘米=1毫升 1立方米=1000升 重量单位换算： 1吨=1000 千克 1千克=1000克 1千克=1公斤 人民币单位换算： 1元=10角 1角=10分 1元=100分 时间单位换算：1世纪=100年 1年=12月 大月（31天）有：135781012月 小月（30天）的有：46911月 平年2月28天， 闰年2月29天 平年全年365天， 闰年全年366天 1日=24小时 1时=60分 1分=60秒 1时=3600秒 基本概念第一章 数和数的运算 一 概念 （一）整数 1 整数的意义： 自然数和0都是整数。 2 自然数：我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1,2,3……叫做自然数。 一个物体也没有，用0表示。 0也是自然数。 3计数单位 一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。 每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。 4 数位： 计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。 5数的整除 整数a除以整数b(b ≠ 0)，除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a 。 如果数a能被数b(b ≠ 0)整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或a的因数）。倍数和约数是相互依存的。 因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的约数。 一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的 约数是它本身。 例如：10的约数有1、2、5、10，其中最小的约数是1，最大的约数是10。 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 3的倍数有：3、6、9、12……其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。 个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。 个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。 一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，例如：12、108、204都能被3整除。 一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除。 能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。 一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。例如：16、404、1256都能被4整除，50、325、500、1675都能被25整除。 一个数的末三位数能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）整除。 9.数学小常识 哥德巴赫猜想大约在250年前，德国数字家哥德巴赫发现了这样一个现象：任何大于5的整数都可以表示为3个质数的和。 他验证了许多数字，这个结论都是正确的。但他却找不到任何办法从理论上彻底证明它，于是他在1742年6月7日写信和当时在柏林科学院工作的著名数学家欧拉请教。 欧拉认真地思考了这个问题。他首先逐个核对了一张长长的数字表： 6=2+2+2=3+3 8=2+3+3=3+5 9=3+3+3=2+7 10=2+3+5=5+5 11=5+3+3 12=5+5+2=5+7 99=89+7+3 100=11+17+71=97+3 101=97+2+2 102=97+2+3=97+5 …… 。 展开哥德巴赫猜想大约在250年前，德国数字家哥德巴赫发现了这样一个现象：任何大于5的整数都可以表示为3个质数的和。他验证了许多数字，这个结论都是正确的。 但他却找不到任何办法从理论上彻底证明它，于是他在1742年6月7日写信和当时在柏林科学院工作的著名数学家欧拉请教。欧拉认真地思考了这个问题。 他首先逐个核对了一张长长的数字表： 6=2+2+2=3+3 8=2+3+3=3+5 9=3+3+3=2+7 10=2+3+5=5+5 11=5+3+3 12=5+5+2=5+7 99=89+7+3 100=11+17+71=97+3 101=97+2+2 102=97+2+3=97+5 …… 这张表可以无限延长，而每一次延长都使欧拉对肯定哥德巴赫的猜想增加了信心。而且他发现证明这个问题实际上应该分成两部分。 即证明所有大于2的偶数总能写成2个质数之和，所有大于7的奇数总能写成3个质数之和。当他最终坚信这一结论是真理的时候，就在6月30日复信给哥德巴赫。 信中说："任何大于2的偶数都是两个质数的和，虽然我还不能证明它，但我确信无疑这是完全正确的定理"由于欧拉是颇负盛名的数学家、科学家，所以他的信心吸引和鼓舞无数科学家试图证明它，但直到19世纪末也没有取得任何进展。这一看似简单实则困难无比的数论问题长期困扰着数学界。 谁能证明它谁就登上了数学王国中一座高耸奇异的山峰。因此有人把它比作"数学皇冠上的一颗明珠"。 实际上早已有人对大量的数字进行了验证，对偶数的验证已达到1.3亿个以上，还没有发现任何反例。那么为什么还不能对这个问题下结论呢？这是因为自然数有无限多个，不论验证了多少个数，也不能说下一个数必然如此。 数学的严密和精确对任何一个定理都要给出科学的证明。所以"哥德巴赫猜想"几百年来一直未能变成定理，这也正是它以"猜想"身份闻名天下的原因。 要证明这个问题有几种不同办法，其中之一是证明某数为两数之和，其中第一个数的质因数不超过a 个，第二数的质因数不超过b个。这个命题称为（a+b）。 最终要达到的目标是证明（a+b）为（1+1）。 1920年，挪威数学家布朗教授用古老的筛选法证明了任何一个大于2的偶数都能表示为9个质数的乘积与另外9个质数乘积的和，即证明了（a+b）为（9+9）。 1924年，德国数学家证明了（7+7）; 1932年，英国数学家证明了（6+6）; 1937年，苏联数学家维诺格拉多夫证明了充分大的奇数可以表示为3个奇质数之和，这使欧拉设想中的奇数部分有了结论，剩下的只有偶数部分的命题了。 1938年，我国数学家华罗庚证明了几乎所有偶数都可以表示为一个质数和另一个质数的方幂之和。 1938年到1956年，苏联数学家又相继证明了（5+5）,(4+4),(3+3)。 1957年，我国数学家王元证明了（2+3）; 1962年，我国数学家潘承洞与苏联数学家巴尔巴恩各自独立证明了（1+5）; 1963年，潘承洞、王元和巴尔巴恩又都证明了（1+4）。 1965年，几位数学家同时证明了（1+3）。 1966年，我国青年数学家陈景润在对筛选法进行了重要改进之后，终于证明了（1+2）。 他的证明震惊中外，被誉为"推动了群山，"并被命名为"陈氏定理"。他证明了如下的结论：任何一个充分大的偶数，都可以表示成两个数之和，其中一个数是质数，别一个数或者是质数，或者是两个质数的乘积。 收起。 10.求一些数学家的数学小故事 1，高斯（1777—1855年）德国数学家、物理学家和天文学家.高斯在童年时代就表现出非凡的数学天才.年仅三岁，就学会了算术，八岁因发现等差数列求和公式而深得老师和同学的钦佩.大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件.解决了两千年来悬而未决的难题，1799年以代数基本定理的四个漂亮证明获博士学位.高斯的数学成就遍及各个领域，在数学许多方面的贡献都有着划时代的意义.并在天文学，大地测量学和磁学的研究中都有杰出的贡献.1801年发表的《算术研究》是数学史上为数不多的经典著作之一，它开辟了数论研究的全新时代.非欧几里得几何是高斯的又一重大发现，他的遗稿表明，他是非欧几何的创立者之一.高斯致力于天文学研究前后约20年，在这领域内的伟大著作之一是1809年发表的《天体运动理论》.高斯对物理学也有杰出贡献，麦克斯韦称高斯的磁学研究改造了整个科学.高斯的一生中，还培养了不少杰出的数学家.女数学家诺德1933年1月，希特勒一上台，就发布第一号法令，把犹太人比作“恶魔”，叫嚣着要粉碎“恶魔的权利”.不久，哥廷根大学接到命令，要学校辞退所有从事教育工作的纯犹太血统的人.在被驱赶的学者中，有一名妇女叫爱米•诺德（A.E.Noether 1882—1935），她是这所大学的教授，时年5l岁.她主持的讲座被迫停止，就连微薄的薪金也被取消.这位学术上很有造诣的女性，面对困境，却心地坦然，因为她一生都是在逆境中度过的.诺德生长在犹太籍数学教授的家庭里，从小就喜欢数学.1903年，21岁的诺德考进哥廷根大学，在那里，她听了克莱因、希尔伯特、闽可夫斯基等人的课，与数学解下了不解之缘.她学生时代就发表了几篇高质量的论文，25岁便成了世界上屈指可数的女数学博士.诺德在微分不等式、环和理想子群等的研究方面做出了杰出的贡献.但由于当时妇女地位低下，她连讲师都评不上，在大数学家希尔伯特的强烈支持下，诺德才由希尔伯特的“私人讲师”成为哥廷根大学第一名女讲师.接下来，由于她科研成果显著，又是在希尔伯特的推荐下，取得了“编外副教授”的资格，虽然她比起很多“636f707962616964757a686964616f31333264646463教授”更有实力.诺德热爱数学教育事业，善于启发学生思考.她终生未婚，却有许许多多“孩子”.她与学生交往密切，和蔼可亲，人们亲切地把她周围的学生称为“诺德的孩子们”.我国代数学家曾炯之就是诺德“孩子”们中的一个.在希特勒的 *** 下，诺德被迫离开哥廷根大学，去了美国工作.在美国，她同样受到学生们的尊敬和爱戴，同样有她的“孩子们”.1934年9月，美国设立了以诺德命名的博士后奖学金.不幸的是，诺德在美国工作不到两年，便死于外科手术，终年53岁.她的逝世，令很多数学同僚无限悲痛.爱因斯坦在《 *** 》发表悼文说：“根据现在的权威数学家们的判断，诺德女士是自妇女受高等教育以来最重要的富于创造性数学天才.”2女数学家诺德1933年1月，希特勒一上台，就发布第一号法令，把犹太人比作“恶魔”，叫嚣着要粉碎“恶魔的权利”.不久，哥廷根大学接到命令，要学校辞退所有从事教育工作的纯犹太血统的人.在被驱赶的学者中，有一名妇女叫爱米•诺德（A.E.Noether 1882—1935），她是这所大学的教授，时年5l岁.她主持的讲座被迫停止，就连微薄的薪金也被取消.这位学术上很有造诣的女性，面对困境，却心地坦然，因为她一生都是在逆境中度过的.诺德生长在犹太籍数学教授的家庭里，从小就喜欢数学.1903年，21岁的诺德考进哥廷根大学，在那里，她听了克莱因、希尔伯特、闽可夫斯基等人的课，与数学解下了不解之缘.她学生时代就发表了几篇高质量的论文，25岁便成了世界上屈指可数的女数学博士.诺德在微分不等式、环和理想子群等的研究方面做出了杰出的贡献.但由于当时妇女地位低下，她连讲师都评不上，在大数学家希尔伯特的强烈支持下，诺德才由希尔伯特的“私人讲师”成为哥廷根大学第一名女讲师.接下来，由于她科研成果显著，又是在希尔伯特的推荐下，取得了“编外副教授”的资格，虽然她比起很多“教授”更有实力.3诺德热爱数学教育事业，善于启发学生思考.她终生未婚，却有许许多多“孩子”.她与学生交往密切，和蔼可亲，人们亲切地把她周围的学生称为“诺德的孩子们”.我国代数学家曾炯之就是诺德“孩子”们中的一个.在希特勒的 *** 下，诺德被迫离开哥廷根大学，去了美国工作.在美国，她同样受到学生们的尊敬和爱戴，同样有她的“孩子们”.1934年9月，美国设立了以诺德命名的博士后奖学金.不幸的是，诺德在美国工作不到两年，便死于外科手术，终年53岁.她的逝世，令很多数学同僚无限悲痛.爱因斯坦在《 *** 》发表悼文说：“根据现在的权威数学家们的判断，诺德女士是自妇女受高等教育以来最重要的富于创造性数学天才.”塞乐斯生于公元前624年，是古希腊第一位闻名世界的大数学家。 他原是一位很精明的商人，靠卖橄榄油积累了相当财富后，塞乐斯便专心从事科学研究和旅行。他勤奋好学，同时又不迷信古人，勇于探索，勇于创造，积极思考问题。

- 数学史不论教师、学生或学者，若真要了解科学的力量和面貌，必要了解知识的现代面向是历史演进的结果。 ——库朗(RichardCourant1888-1972)如果我们想要预见数学的将来，适当的途径是研究这门科学的历史和现状。 ——庞加莱学习数学史倒不一定产生更出色的数学家，但它产生更温雅的数学家，学习数学史能丰富他们的思想，抚慰他们的心灵，并且培植他们高雅的质量。 ——萨顿(GeorgeSarton1884-1955)如果不知道远溯古希腊各代前辈所建立和发展的概念、方法和结果，我们就不可能理解近50年来数学的目标，也不可能理解它的成就。 ——外尔(ClaudeHugoHermannWeyl1885-1955)数学如同哲学一样，实际上无法与其历史割裂开来。 ——爱德华

1746年，当时美国还是殖民地，殖民地时期，教会在美国生活中起了极大的作用。特别是对美国人的日常生活影响更甚。一个不属于任何教会团体的人。就会处于被人唾弃的地位，没有人跟他交际来往，连他的家庭都要受到歧视。所以美国基督教曙光长老会创立“新泽西学院（College of New Jersey）”，这所学院原本是为培养长老而建立，并不从事科研。然而到了1896年，经历过美国内战之后的新泽西学院正式改名为普林斯顿大学。同年，学院也进行了大规模的扩建，也正式变了一所大学。在伍德罗·威尔逊任校长期间，普林斯顿新增了一个讨论研究课程，叫做“preceptorial”（1905年），开始重视科研与学术探讨。这个时候伴随着美国经济的不断繁盛，普林斯顿的数学也开始慢慢崛起，而起到奠基作用的则是范因，1880年范因从普林斯顿大学毕业后，先是在实验物理部门任职，后来又到了数学系，在这里他结识了霍尔斯特德。而霍尔斯特德是在美国第一所研究型大学约翰·霍普金斯大学的著名数学家西尔维斯特手下拿到的数学博士学位。具备更多数学专业知识的霍尔斯特德告诉范因，真正的数学研究在欧洲，想研究数学就必须去欧洲寻找数学大师。因此范因来到了欧洲跟随当时世界数学中心哥廷根学派的领袖克莱因学习，哥廷根学派是世界数学的中心，由高斯创立，黎曼、狄利克雷等大数学家都是出自这里，尽管不懂德语，但范因还是凭借自己的数学天赋在一年后就拿到了数学博士学位，后来范因又跟随代数大师克罗内克学习。范因将世界上最先进的数学知识带回来了普林斯顿，他立志要把普林斯顿打造为世界数学中心，数学家心中的摇篮。而范因充分学习到了自己老师克莱因的理念——不拘一格纳人才。范因先后将艾森哈特(1876~1965，以微分几何见长)和维布伦( 1880~1960，专长:微分几何，射影几何、)韦德伯恩和、伯克霍夫(1884~1944)吸纳进来了普林斯顿，后来他又自己培养出的拓扑学家亚历山大(1888~1971)、分析学大家希尔(1894~1980)和拓扑学大师莱夫谢茨(1884~1972）。这让普林斯顿的数学得到了极大的发展，后来数学家、教育家约翰·查尔斯·菲尔兹特别想把国际数学家大会办到北美，以此促进北美数学的跨越发展，要知道国际数学家大会可是数学界极为隆重的盛会，许多数学大师都会出席，并且发表演讲。菲尔兹竭尽全力主持筹备了 1924 年的多伦多国际数学家大会，这也是大会第一次在欧洲之外召开，这次大会促进了北美数学界与欧洲数学界的交流，将欧洲数学界先进的数学理念带到了欧洲。而除此之外，当时希尔伯特将哥廷根学派带到了最辉煌的时刻。那个时候的数学界富有盛名的数学家近一半都是出自哥廷根数学学派，哥闵可夫斯基为狭义相对论提供了数学框架——闵可夫斯基四维几何；外尔最早提出规范场理论，并为广义相对论提供理论依据；冯·诺依曼对刚刚降生的量子力学提供了严格的数学基础，发展了泛函分析；“现代数学之母”诺特以一般理想论奠定了抽象代数的基础，并在此基础上刺激了代数拓扑学的发展；柯朗是应用数学大家，他在偏微分方程求解方面的工作为空气动力学等一系列实际课题扫清了道路。这个时候的哥廷根群星璀璨，熠熠生辉，大家都自由徜徉在数学的殿堂之中，任凭思想的火花碰撞。希尔伯特凭借着自己无与伦比的魅力吸引着世界各地的年轻人像朝圣般地奔向哥廷根，大批青年学者涌向哥廷根，不仅从德国、欧洲，而且来自亚洲，那个时候很多有影响的论文都是用德语写的。当时全世界学数学的学生中，最响亮的口号就是“打起你的背包，到哥廷根去”。去哥廷根的学生最多的是美国。20世纪初，美国在内战之后开始慢慢繁荣稳定，洛克菲勒家族通过投资煤矿、石油、钢铁、铁路和银行业积累了数百万美元的巨额财富，这场革命在19世纪末和20世纪初彻底改变了布卢菲尔德和匹兹堡这类城镇的面貌。当这个家族及其代表开始捐献部分财产的时候，受到对美国高等教育状况不满情绪的影响，坚信“不促进科学发展的国家不能自立”。

几何原本