数学

随便说一个初等数论的：满足2为模p原根的质数p有无穷多个（原根定义：a为模b原根等价于满足同余方程a的d次方模b余1的最小正整数d为ψ(b)）（ψ(n)为1到n中与n没有相同质因子的正整数的个数）

不太了解

10、纳卫尔-斯托可方程的存在性与光滑性：小船穿梭在波浪起伏的湖中，湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行，不管有微风还是湍流都可以通过解纳维叶-斯托克斯方程的解来对其进行解释和语言。9、杨-米尔斯存在性和质量缺口：杨-米尔斯理论，是现代规范场理论的基础，20世纪下半叶重要的物理突破，旨在使用非阿贝尔李群描述基本粒子的行为，是由物理学家杨振宁和米尔斯在1954年首先提出来的。这个当时没有被物理学界看重的理论，通过后来许多学者于1960到1970年代引入的对称性自发破缺与渐进自由的观念，发展成今天的标准模型。8、贝赫和斯维讷通-戴尔猜想：贝赫和斯维讷通-戴尔猜想认为有理点的群的大小和一个有关的蔡塔函数z(s)在点s=1附近的性态，这是一个特别有趣的猜想，如果z(1)等于0,那么存在无限多个有理点，那么如果它不等于0的时候就只存在有限的多个这样的点。7、四色定理：四色定理的本质正是二维平面的固有属性，即平面内不可出现交叉而没有公共点的两条直线。很多人证明了二维平面内无法构造五个或五个以上两两相连区域，但却没有将其上升到逻辑关系和二维固有属性的层面，以致出现了很多伪反例。不过这些恰恰是对图论严密性的考证和发展推动。计算机证明虽然做了百亿次判断，终究只是在庞大的数量优势上取得成功，这并不符合数学严密的逻辑体系，至今仍有无数数学爱好者投身其中研究。6、哥德巴赫猜想：哥德巴赫1742年给欧拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想：任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。但是哥德巴赫自己无法证明它，于是就写信请教赫赫有名的大数学家欧拉帮忙证明，但是一直到死，欧拉也无法证明。1966年陈景润证明了"1+2"成立，即"任一充分大的偶数都可以表示成二个素数的和，或是一个素数和一个半素数的和"。5、费马大定理：由17世纪法国数学家皮耶·德·费玛提出。它断言当整数n >2时，关于x, y, z的方程 x^n + y^n = z^n 没有正整数解。被提出后，经历多人猜想辩证，历经三百多年的历史，最终在1995年被英国数学家安德鲁·怀尔斯彻底证明。4、黎曼假设：黎曼的假设是这样的方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上，这个点解答过无数次证明为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。伪素数及素数的普遍公式告诉我们素数与伪素数由它们的变量集决定的。所以她的假设是不对的。3、霍奇猜想：他猜想对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的（有理线性）组合。2、庞加莱猜想：庞加莱猜想是法国数学家庞加莱提出的一个猜想，2006年，数学界最终确认佩雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想。庞加莱猜想是一个拓扑学中带有基本意义的命题，将有助于人类更好地研究三维空间，其带来的结果将会加深人们对流形性质的认识。1、NP完全问题：如果一个人跟你说你数13717421可以写成两个较小的数的乘积，他告诉你可以分解为3607乘上3803计算机验证这样算是对的，人们猜想是不是在多项式时间内，直接算出或是找到正确答案这就是NP=P?的猜想，如果没有提示是需要花很多时间来解答的。

七大数学难题是如下：1、黎曼猜想：黎曼猜想是关于黎曼ζ函数ζ（s）的零点分布的猜想，由数学家波恩哈德-黎曼于1859年提出。虽然在知名度上，黎曼猜想不及费尔马猜想和哥德巴赫猜想，但它在数学上的重要性要远远超过后两者，是当今数学界最重要的数学难题。2、霍奇猜想：霍奇猜想可以说难道几乎所有的数学家，猜想表达能够将特定的对象形状，在不断增加维数的时候粘合形成一起，看似非常的巧妙，但在实际的操作过程中必须要加上没有几何解释的部件。3、BSD猜想：BSD猜想，全称贝赫和斯维纳通-戴尔猜想，它描述了阿贝尔簇的算术性质与解析性质之间的联系。4、欧几里得第五公设：欧几里得第五公设：同一平面内的两条直线与第三条直线相交，若其中一侧的两个内角之和小于二直角，则该两直线必在这一侧相交。因它与平行公理是等价的，所以又称为欧几里得平行公设，简称平行公设。5、NP完全问题：NP完全问题可以说是一个听着就很复杂的数学问题，简单的讲所有的完全多项式在非确定性的问题，都可以被转化为名为满足性的逻辑运算问题，数学家们猜想的是到底有没有一个确定性的算大。6、庞加莱猜想：庞加莱猜想提出来很长时间了，猜想中提到如果不断的去扯一个橡皮筋，然后让它慢慢于移动伸缩为一个点，最终能否证明三维球面或者是四维空间中的和原点有距离的全部问题，简直就是很困难了。7、纳维-斯托克斯方程：这个数学问题本是数学家们用来研究无论是在微风还是在湍流等情况下，都能用纳卫尔-斯托可的方程式做出相应的数据解答，但是到目前能完全理解纳卫尔-斯托可方程式的人少之又少，而且有些理论的实质进展很微妙。

因为现在很多人心里只有钱没有理想。一听到有人有钱不拿，就会觉得他很笨很傻，嘲笑他，而不会去在意他的理想。

神一样的存在

只知道庞加莱猜想，歌德巴赫猜想

（1）事物是变化发展的，发展的实质是事物的前进和上升，是新事物的产生和旧事物的灭亡。论文的发表宣告了这一世界难题的破解。（2）事物的发展是前进性和曲折性的统一。许多杰出的数学家致力于论证庞加莱猜想，但历经一百多年，都未给予一个令人信服的证明，这说明了事物发展的曲折性。中国的两位数学家最终破解这一难题，体现了人的认识是不断发展的，事物发展的前途是光明的。（3）事物的发展是量变与质变的统一，量变是质变的前提和必要准备，质变是量变的必然结果。正是一百多年中，众多的数学家在论证猜想过程中对正确思路和方法的不断积累，才有了这一猜想最终论证成功。

　　我们经常使用“智商”一词来衡量一个人的聪明程度，但恐怕很少有人能准确地说出这个词汇的真正内涵。也正因为人的智力的复杂性，要准确客观地测量人的智商不是一件容易的事，所以心理学家采用测量智商的通常方法，是大众普遍能够接受并认可的问卷测试，即设计一个问卷进行测验，其中设计的问题当然是运用智力才能回答的。 　　庞加莱：最后一位数学全才法国的心理学专家比奈和教育家西蒙于1905年设计出了一种风靡全球的测量智商的量表，但经这种表测验，被判定为“笨人”的，居然有一位的数学大师——被称为“数学百科全书”的庞加莱。 　　庞加莱1854年4月出生于法国，他的童年极为不幸，医术精湛的父亲并不能带给他健康。他自幼就患有一种奇怪的运动神经系统疾病，写字绘画都很困难。在5岁时，他又患上了严重的白喉病，致使他的语言能力发展缓慢，视力也受到严重损害。所幸的是，他有一个有才华有教养的母亲，使他从小受到良好的家庭教育，由此庞加莱的天资通过家庭教育和自我锻炼开始显露出来。上课时看不清老师的板书，无法记录，他就全神贯注地听讲，用心记在脑子里。下面的这则小故事就能充分体现这位传奇人物的学习特点： 　　1864年的秋天，在法国一所中学的一间教室里，当地一位小有名气的天文学家给学生们讲行星的运动过程。对天文学缺乏兴趣的学生们大都心不在焉，不是面无表情就是哈欠连天，这显然让吃力不讨好的老师有些恼火。这时，他再次发现后排的一个小个子男孩低着头始终没有注视过黑板，看起来在开小差，于是他大步流星走了过去。 　　“同学，你在干什么?怎么不看着黑板，难道你都听懂了吗?”老师很生气地问。 　　“我习惯用耳朵听，而且我听懂了，谢谢!”小个子男生站起来恭敬地回答。 　　“真的么?那请你讲给大家听听!”不怎么相信的老师有意刁难道。 　　“行星的运行……”小个子男生把老师刚才讲的内容完整地复述了一遍。 　　“天哪!你居然能过耳不忘，真是太了不起了!”老师瞠目结舌，觉得不可思议：“那你为什么不看黑板上的内容，这样理解起来更方便啊!”老师仍有些不解。 　　“老师，他眼睛严重近视，看不清黑板上的字。”旁边的同学赶忙解释道。 　　“哦，是这样。看起来上帝是公平的，你的聚精会神已经弥补了视力上的缺陷，你已经拥有了一双的‘内在之眼"!” 　　这个拥有超常记忆力的少年就是后来的数学大师庞加莱。由于视力上的障碍，庞加莱听课只能靠听和记忆，这就意味着他要付出比常人更多的努力和艰辛，但他同时收获的是大脑出奇地发达，尤其是理解能力和记忆能力超众。他对事物的记忆具有迅速、准确、持久的特点，而且他思索问题时思想高度集中，特别是数学方面，他可以在头脑里完成复杂的运算和推理。那种高度集中的注意力，不论外界干扰有多大，都不能使他的思维中断，而这些特征正是一个数学家所必须具备的。那时候，经常有高年级的学生考他数学题，结果庞加莱几乎都是瞬间给出答案，反而考他的人却需要花很长时间来验证他给出的解答，因此，他获得了一个“数学魔怪”的绰号。 　　1873年，19岁的庞加莱参加了巴黎综合工科学校的入学考试，那是一所以刻板的考试而闻名世界的学校。这时的庞加莱的数学才能已崭露头角，考官们为了试探一下他的能力，有意把考试时间推延了45分钟，他们用这段时间专门为他精心设计了几道数学难题，这个貌不惊人的年轻人没有动笔，在脑袋里就轻松地完成了运算，当他报出答案时，时间之短暂，方法之巧妙，令主考老师们在瞠目结舌之余欣喜若狂。尽管庞加莱的绘画能力很差，在几何作图题上得了零分，但惜才的主考官们经过激烈讨论，最终打破惯例，破格给出了第一名的成绩录取了他。 　　大学期间，庞加莱对数学更加痴迷，身体虚弱的他全身心地投入到美妙而神奇的数学海洋中。通过勤奋的思索钻研，1878年，他的一篇“异乎寻常”的关于微分方程一般解的论文，使得法兰西科学院的教授们惊叹不已，随后他被法国科学院授予数学博士学位。不久，他被卡恩大学聘为数学分析讲师，两年后他被巴黎大学聘为教授，讲授力学和实验物理学课程，从此开始了他作为职业数学家的科学生涯。 　　庞加莱反应机敏，擅长讨论，敏捷的思维犹如泉涌，撰写论文快似行云流水，几万字的学术论文可以在脑子里很快构思完成，书写出来无需修改一字。更为难得的是，他的研究和贡献涉及数学的各个分支，例如函数论、代数拓扑学、阿贝尔函数和代数几何学、数论、微分方程、数学基础等，当代数学研究的不少课题都可溯源于他的工作。20世纪以来，数学的发展日新月异，进入了多学科、高难度的现代阶段，一个杰出的数学家能精通一个或几个数学分支就已经非常了不起了，而能够通晓几乎所有数学领域的数学家更是凤毛麟角。当今数学家要想在数学的四个基本领域：算术、代数、几何和分析都做出庞加莱那样的第一流研究成果已经不太可能。从20世纪开始，数学界只承认“两个半”真正意义上的全能数学家，第一个就是庞加莱，另一个是冯·诺依曼，那半个指的是希尔伯特，可见庞加莱在数学界的崇高地位，所以称他是一位可以和19世纪数学高斯相媲美的数学大师毫不为过。事实上，庞加莱不仅在数学领域有着非凡贡献，而且在天体力学、物理学和科学哲学等领域也有杰出成就，所以被数学史权威评价为“对数学和它的应用具有全面知识的最后一个数学全才”。 　　庞加莱在物理学领域里开拓性的研究工作，可与居里夫人发现镭元素和爱因斯坦发现相对论相提并论;他成功地解决了像太阳、地球、月亮间相互运动这一类的三体问题，他是现代物理的两大支柱——相对论和量子力学的思想先驱;他研究科学哲学提出的“约定着重分析了人类理性认识”的基本法则，日益受到当代哲学家的重视。在他从事科学研究的34年里，发表论文500篇，著作30多部，这还不包括他作为一名自然科学哲学家而发表的一系列自然哲学名著。由于他的杰出贡献，他赢得了法国政府所能给予的一切荣誉，并获得过诸如英国、俄国、瑞典、匈牙利等国家的奖赏，相继被聘为30多个国家的科学院院士。 　　庞加莱于1904年给出了数学上最猜想之一——七大数学世纪难题之一的庞加莱猜想，这是拓扑学中的一个中心问题。任何一个封闭的，并能柔软延展的三维空间里面所有的封闭曲线如果都可以收缩成一点，则该空间一定能被吹涨成一个三维圆球。通俗地说，曲线是一维流形，曲面是二维流形，连成一片的几何图形称为连通(连通也还可细分)。庞加莱猜想：n+1维空间中一个光滑的、紧致的n-1连通的n维流形一定和n维球面同胚。所谓两个图形同胚，是指一个图形可以一对一地双方连续地变换为另一个图形。对于n=1，n=2的情形早就知道了。对一切n≥5，斯梅尔于1960年证明它是对的。1981年，弗里德曼证明n=4时也成立，但对n=3的情形至今未获解决。 　　庞加莱不仅才华横溢，而且努力勤奋。1911年，57岁的他感觉身体不适，精力减退，一生多病的庞加莱预感到属于自己的日子已经不多，不愿让脑海中孕育出的众多新思想和自己一同离去的他，开始废寝忘食地加紧研究的步伐。1912年6月26日，庞加莱在病逝前作了最后一次公开讲演，他发自肺腑地说道：“人生就是持续斗争。如果我们偶然享受到相对的宁静，那正是因为我们的先辈顽强斗争的结果。假使我们的精力，我们的警惕松懈片刻，我们就会失去先辈们为我们刻苦钻研的斗争成果。” 庞加莱是这样说，也是这样做的。1912年7月17日，庞加莱那不停思维的大脑因脑血管病的突然来临而永远停止了工作，但他作为在数学的所有领域都建树颇丰的数学大师而名垂青史。 　　庞加莱作为数学大师中的大师，数学界不折不扣的领军人物，他的智商显然不会是测试结论中的“愚笨”，甚至还恰恰相反。由此可见，人的智力是不能被一张表格绝对判定的，表格和数据并不能准确预见人的未来发展。庞加莱用他永不松懈不断进取的一生告诉我们一个事实：仅仅以智商来衡量一个人聪明与否、能力高低是片面的。一个人在某方面的欠缺，反而能极大地激发出其他方面的潜能。庞加莱正是这样的榜样!

在美、俄等国科学家的工作基础上，中山大学朱熹平教授和旅美数学家、清华大学兼职教授曹怀东已经彻底证明庞加莱猜想满意请采纳

是俄罗斯的数学家证实的，我国的两位只是查漏补缺而已，意思是俄罗斯数学家证实了大部分并给与了明确的方向，国内的两位在这个思路上补充了一点，这些世界数学难题，要完整的验证以及补充需要好多年，就像我们普通人高中做题时，思路最重要。我国也是自卑几百年了，科学界顶级的世界难题一个成果都没有，感觉国内教育制度问题太大，如数学经常能拿到奥赛，但是像菲尔兹等数学大奖国内就一个拿不到。感觉我们教育出来的学生就是会做题会考试，但是独立思考创新性问题就不行了。国内还是欠缺太多，就比如对世界科技贡献的学科排名国内连两百都排不到，问题一大堆，社会上对理论科学方面的投入也不够，太急功近利了投入的都是能快速产生收益的，就连电影电视方面亦是如此，看看美国导演能十多年拍一部电影。。。。国内各行各业都显得很急功近利

1,2,11,王，田

基本信息不同于牛顿-莱布尼茨公式，莱布尼茨公式用于对两个函数的乘积求取其高阶导数，一般的，如果函数u=u(x)与函数v=v(x)在点x处都具有n阶导数，那么此时有(uv)= uv + nuv" +uv" ++uv ++ uv也可记为(uv) =n uv折叠编辑本段推导过程如果存在函数u=u(x)与v=v(x)，且它们在点x处都具有n阶导数，那么显而易见的，u(x) ± v(x) 在x处也具有n阶导数，且 (u±n) = u± v至于u(x) × v(x) 的n阶导数则较为复杂，按照基本求导法则和公式，可以得到:(uv)" = u"v + uv"(uv)"" = u""v + 2u"v" + uv""(uv)""" = u"""v + 3u""v" + 3u"v"" + uv"""…………运用数学归纳法可证(uv)= uv + nuv" +uv" ++uv ++ uv上式便称为莱布尼茨公式(Leibniz公式)

我也不是很懂

数学史上的三大猜想是费马大定理、四色定理和（）。 A.勾股定理B.欧拉定理C.哥德巴赫猜想D.零点定理正确答案：哥德巴赫猜想

世界三大数学猜想即费马猜想、四色猜想和哥德巴赫猜想。费马猜想的证明于1994年由英国数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）完成，遂称费马大定理；四色猜想的证明于1976年由美国数学家阿佩尔(Kenneth Appel)与哈肯(Wolfgang Haken)借助计算机完成，遂称四色定理；哥德巴赫猜想尚未解决，最好的成果（陈氏定理）乃于1966年由中国数学家陈景润取得。这三个问题的共同点就是题面简单易懂，内涵深邃无比，影响了一代代的数学家。起源1621年，20岁的费马在阅读一套公元三世纪希腊著名数学家丢番图的《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁关于不定方程x2+y2=z2的全部正整数解这一页上写了一段话，概括起来说就是：“形如xn+yn=zn的方程，当n>2时不可能有整数解。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法 ，可惜这里空白的地方太小，写不下。”（拉丁文原文： "Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi。 Hanc marginis exiguitas non caperet。"）以上内容参考 百度百科-世界三大数学猜想

我不知道谁把这三个问题称为三大难题，不过我知道希尔伯特(D.Hilbert)在1900年的世界数学家大会上提出了23个问题，作为20世纪数学家们为之奋斗的方向，这三个问题都包含于其中。实际上，哥德巴赫猜想确实没有多大价值，四色猜想我不太清楚。不过费马大定理虽然本身价值不大，但人们在解决它的过程中创造出了很多有价值的东西，比如“理想”的概念等，推动了代数的发展。我个人认为价值比较大的是黎曼猜想和庞加莱猜想，最近两个猜想都被解决了。

数学问题就是在数学领域出现的运用相关数学知识去解决的问题.比如歌德巴赫猜想,还有以下例子：在1900年巴黎国际数学家代表大会上,希尔伯特发表了题为《数学问题》的著名讲演.他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势,提出了23个最重要的数学问题.这23个问题通称希尔伯特问题,后来成为许多数学家力图攻克的难关,对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响,并起了积极的推动作用,希尔伯特问题中有些现已得到圆满解决,有些至今仍未解决.他在讲演中所阐发的想信每个数学问题都可以解决的信念,对于数学工作者是一种巨大的鼓舞.

此猜想已被证明 不再是猜想 是定理了 四色原理 之一。的提出来自英国。，毕业于的弗南西斯·格思里(Francis Guthrie)来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟决心试一试。兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。 10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名德·，也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名爵士请教。接到的信后，对进行论证。但直到1865年逝世为止，问题也没有能够解决。 ，英国当时最著名的正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了的大会战。1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家和两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了，大家都认为四色猜想从此也就解决了。 11年后，即，数学家赫以自己的精确计算指出的证明是错误的。不久，的证明也被人们否定了。后来，越来越多的数学家虽然对此，但一无所获。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与相媲美的难题：先辈们的努力，为后世的数学家揭示四色猜想之谜铺平了道路。 进入以来，对四色猜想的证明基本上是按照的想法在进行。，在肯普的基础上引进了一些新技巧，美国数学家于证明了22国以下的地图都可以用四色着色。1950年，有人从22国推进到35国。1，有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色；随后又推进到了50国。看来这种推进仍然十分缓慢。电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。1976年，在J. Koch的算法的支持下，美国数学家(Kenneth Appel)与(Wolfgang Haken)在美国的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了的证明。四色猜想的计算机证明，轰动了世界,当时中国科学家也有在研究这原理。它不仅解决了一个历时100多年的难题，而且有可能成为上一系列的起点。 将地图上的无限种可能情况减少为1,936种状态（稍后减少为1,476种），这些状态由计算机一个挨一个的进行检查。这一工作由不同的程序和计算机独立的进行了复检。在1996年，Neil Robertson、Daniel Sanders、Paul Seymour和Robin Thomas使用了一种类似的，检查了633种特殊的情况。这一新证明也使用了计算机，如果由人工来检查的话是不切实际的。 是第一个主要由计算机证明的理论，这一证明并不被所有的数学家接受，因为它不能由人工直接验证。最终，人们必须对计算机编译的正确性以及运行这一程序的硬件设备充分信任。 缺乏数学应有的规范成为了另一个方面；以至于有人这样评论“一个好的应当像一首诗——而这纯粹是一本！” 德·摩尔根：地图四色定理 地图四色定理最先是由一位叫（Francis Guthrie）的生提出来的。德•摩尔根（A，DeMorgan，1806～1871）10月23日致的一封信提供了有关四色定理来源的最原始的记载。他在信中简述了自己证明四色定理的设想与感受。一个多世纪以来，数学家们为证明这条定理，所引进的概念与方法刺激了与的生长、发展。1976年美国数学家（K.Appel）与（W.Haken）宣告借助电子计算机获得了四色定理的证明，又为用计算机证明数学定理开拓了前景。以下摘录德•摩尔根致信的主要部分，译自J． Fauve1 and J.Gray（eds.），The History of Mathematics ：A Reader，pp． 597～598。 德·摩尔根致的信（1852年10月23日） 我的一位学生今天请我解释一个我过去不知道，现在仍的事实。他说如果任意划分一个图形并给各部分着上颜色，使任何具有公共边界的部分颜色不同，那么需要且仅需要四种颜色就够了。下图是需要四种颜色的例子（图1）。现在的问题是是否会出现需要五种或更多种颜色的情形。就我目前的理解，若四个不订分割的区域两两具有公共边界线，则其中三个必包围第四个而使其不与任何第五个区域相毗邻。这事实若能成立，那么用四种颜色即可为任何可能的地图着色，使除了在公共点外同种颜色不会。 现画出三个两两具有公共边界的区域ABC，那么似乎不可能再画第四个区域与其他三个区域的每一个都有公共边界，除非它包围了其中一个区域（图2）。但要证明这一点却很棘手，我也不能确定问题复杂的程度一对此您的意见如何呢？并且此事如果当真，难道从未有人注意过吗？我的学生说这是在给一幅英国地图着色时提出的猜测。我越想越觉得这是显然的事情。

世界近代三大数学难题之一四色猜想 四色猜想的提出来自英国。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。 1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德.摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教。哈密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。但直到1865年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。 1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色 猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战 。1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了。 11年后，即1890年，数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。不久，泰勒的证明也被人们否定了。后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但一无所获。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目, 实是一个可与费马猜想相媲美的难题：先辈数学大师们的努力，为后世的数学家揭示四色猜想之谜铺平了道路。 进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。1913年，伯克霍夫在肯普的基础上引进了一些新技巧，美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。1950年，有人从22国推进到35国。1960年，有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色；随后又推进到了50国。看来这种推进仍然十分缓慢。电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。四色猜想的计算机证明，轰动了世界。它不仅解决了一个历时100多年的难题，而且有可能成为数学史上一系列新思维的起点。不过也有不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们还在寻找一种简捷明快的书面证明方法。 -------- 世界近代三大数学难题之一 费马最后定理 被公认执世界报纸牛耳地位地位的纽约时报於1993年6月24日在其一版头题刊登了一则有 关数学难题得以解决的消息，那则消息的标题是「在陈年数学困局中，终於有人呼叫『 我找到了』」。时报一版的开始文章中还附了一张留着长发、穿着中古世纪欧洲学袍的 男人照片。这个古意盎然的男人，就是法国的数学家费马（Pierre de Fermat）（费马 小传请参考附录）。费马是十七世纪最卓越的数学家之一，他在数学许多领域中都有极 大的贡献，因为他的本行是专业的律师，为了表彰他的数学造诣，世人冠以「业余王子 」之美称，在三百六十多年前的某一天，费马正在阅读一本古希腊数学家戴奥芬多斯的 数学书时，突然心血来潮在书页的空白处，写下一个看起来很简单的定理这个定理的内 容是有关一个方程式 x2 + y2 =z2的正整数解的问题，当n=2时就是我们所熟知的毕氏定 理（中国古代又称勾股弦定理）：x2 + y2 =z2，此处z表一直角形之斜边而x、y为其之 两股，也就是一个直角三角形之斜边的平方等於它的两股的平方和，这个方程式当然有 整数解（其实有很多），例如：x=3、y=4、z=5；x=6、y=8、z=10；x=5、y=12、z=13… 等等。 费马声称当n>2时，就找不到满足xn +yn = zn的整数解，例如：方程式x3 +y3=z3就无法 找到整数解。 当时费马并没有说明原因，他只是留下这个叙述并且也说他已经发现这个定理的证明妙 法，只是书页的空白处不够无法写下。始作俑者的费马也因此留下了千古的难题，三百 多年来无数的数学家尝试要去解决这个难题却都徒劳无功。这个号称世纪难题的费马最 后定理也就成了数学界的心头大患，极欲解之而后快。 十九世纪时法国的法兰西斯数学院曾经在一八一五年和一八六0年两度悬赏金质奖章和 三百法郎给任何解决此一难题的人，可惜都没有人能够领到奖赏。德国的数学家佛尔夫 斯克尔（P?Wolfskehl）在1908年提供十万马克，给能够证明费马最后定理是正确的人， 有效期间为100年。其间由於经济大萧条的原因，此笔奖额已贬值至七千五百马克，虽然 如此仍然吸引不少的「数学痴」。 二十世纪电脑发展以后，许多数学家用电脑计算可以证明这个定理当n为很大时是成立的 ，1983年电脑专家斯洛文斯基借助电脑运行5782秒证明当n为286243-1时费马定理是正确 的（注286243-1为一天文数字，大约为25960位数）。 虽然如此，数学家还没有找到一个普遍性的证明。不过这个三百多年的数学悬案终於解 决了，这个数学难题是由英国的数学家威利斯（Andrew Wiles）所解决。其实威利斯是 利用二十世纪过去三十年来抽象数学发展的结果加以证明。 五0年代日本数学家谷山丰首先提出一个有关椭圆曲现的猜想，后来由另一位数学家志 村五郎加以发扬光大，当时没有人认为这个猜想与费马定理有任何关联。在八0年代德 国数学家佛列将谷山丰的猜想与费马定理扯在一起，而威利斯所做的正是根据这个关联 论证出一种形式的谷山丰猜想是正确的，进而推出费马最后定理也是正确的。这个结论 由威利斯在1993年的6月21日於美国剑桥大学牛顿数学研究所的研讨会正式发表，这个报 告马上震惊整个数学界，就是数学门墙外的社会大众也寄以无限的关注。不过威利斯的 证明马上被检验出有少许的瑕疵，於是威利斯与他的学生又花了十四个月的时间再加以 修正。1994年9月19日他们终於交出完整无瑕的解答，数学界的梦魇终於结束。1997年6 月，威利斯在德国哥庭根大学领取了佛尔夫斯克尔奖。当年的十万法克约为两百万美金 ，不过威利斯领到时，只值五万美金左右，但威利斯已经名列青史，永垂不朽了。 要证明费马最后定理是正确的 （即xn + yn = zn 对n33 均无正整数解） 只需证 x4+ y4 = z4 和xp+ yp = zp (P为奇质数)，都没有整数解。 ---------------- 世界近代三大数学难题之一 哥德巴赫猜想 哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数(只能被和它本身整除的数)之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。 1742年6月7日，哥德巴赫写信将这个问题告诉给意大利大数学家欧拉，并请他帮助作出证明。欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。他们对一个个偶数开始进行验算，一直算到3．3亿，都表明猜想是正确的。但是对于更大的数目，猜想也应是对的，然而不能作出证明。欧拉一直到死也没有对此作出证明。从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为(99)。这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从(9十9)开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了“哥德巴赫”。 1924年，数学家拉德马哈尔证明了(7＋7)；1932年，数学家爱斯尔曼证明了(6＋6)；1938年，数学家布赫斯塔勃证明了(5十5)，1940年，他又证明了(4＋4)；1956年，数学家维诺格拉多夫证明了(3＋3)；1958年，我国数学家王元证明了(2十3)。随后，我国年轻的数学家陈景润也投入到对哥德巴赫猜想的研究之中，经过10年的刻苦钻研，终于在前人研究的基础上取得重大的突破，率先证明了(l十2)。至此，哥德巴赫猜想只剩下最后一步(1＋1)了。陈景润的论文于1973年发表在中国科学院的《科学通报》第17期上，这一成果受到国际数学界的重视，从而使中国的数论研究跃居世界领先地位，陈景润的有关理论被称为“陈氏定理”。1996年3月下旬，当陈景润即将摘下数学王冠上的这颗明珠，“在距离哥德巴赫猜想(1＋1)的光辉顶峰只有飓尺之遥时，他却体力不支倒下去了……”在他身后，将会有更多的人去攀登这座高峰。

费马定理哥德巴赫猜想四色定理这三大难题除了哥德巴赫猜想其它的两个都已经被证明为正确，所以称之为“定理”。

四色猜想的4是一个2*2的逻辑套，环线(欧拉回路或哈密顿圈）构成父项二元逻辑，欧拉回路或哈密线圈再怎么复杂、曲折，它符合把地图分成两个区域的二元逻辑。子逻辑是环线分割下的区域，区域内只有线段，线段把区域分割成链状图元，是二元逻辑关系，是2*2的逻辑套的子逻辑。欧拉回路或哈密顿圈不同的是欧拉回路产生区域交点变换，哈密顿圈是连续区域。至此，四色染色可以实现染色操作，是题解问题。 欧拉回路和哈密顿圈在一地图上有多少条？怎样算重复？这是新问题。这个问题可以说是地图定义问题，简单的说，四面体算几个地图就不好定义。 我已从根本上解决了四色猜想，具体请看我的新浪博客。（http://blog.sina.com/wnpig 皖南花猪的BLOG）

请把毕达哥拉斯定理叫成勾股定理，是不是中国人？

数学最奇葩的九个定理分别为：小鸟喝醉了不能够回家问题，地图上的定点，永远不能理顺球面上的毛，地球对称问题，三明治等分问题，四色定理，费马大定律，奥尔定理，托密斯定理，这九个定理都是数学界比较奇葩的九个定理，是值得许多人深思的九个定理。 一、酒鬼总能回家，小鸟醉了不一定能够回家 如果一个喝醉了的酒鬼，他总能够找到回家的路，因为酒鬼回家的路如同一个巨大的平面，在二维平面上行走，总能够快速的找到回家的路，然而，小鸟只要喝醉了，它是在天空中飞行，回家的路是三维空间，就很难找到回家的路。 二、地图上相同定点 如果将一张大型地图铺在地面上，现在在地图上任意点一个点，那么这个点在地图上的位置和所对应的实际位置就有可能重合。 三、永远不能理顺球面上的毛 如果在一个巨大的球面上覆盖了很多的毛，比如说椰子，那么人是无论如何也不能够将这个巨大球面的毛理顺。 四、地球对称问题 地球上一定会永远存在两个相对称的两点，在这对称的两点上，地球上所有的温度、大气压全部相等。 五、三明治等分问题 很多人都特别喜欢吃三明治，但是三明治存在一个完全等分问题，就是三明治上存在一个非常完美的直线，如果切割这条直线，可以使三明治面包火腿奶酪完全等分。 六、四色定理 四色定理完美的解释了二维空间所出现的约束条件，四色定理表间在二维空间内，任何两条直线交叉一定会产生四个区域。 七、费马大定律 费马大定律明确的指出，当N在大于2时，X的N次方加Y的N次方等于Z的N次方这个方程，一定没有正整数解。 八、奥尔定理 奥尔定理解释一个巨大的图形中至少还有三个点，如果这巨大的图形任意两个点的度数都大于等于一个定值，那么这个图形就是满足哈密顿回路。 九、托密斯定理 托密斯定理指出，如果一个四边形能够内接于一个圆，那么这个四边形两组对边乘积之和等于它的对角线乘积之和。

球谐函数在图形学光照计算等领域有着重要应用，因为目前在实际工作中接触较少，所以对其的理解仅仅停留在表面，本着越是基础的东西，其重要性越高的想法，特此开篇文章对其背后的数学理论进行拆解，拆解过程参考了大量其他同学的工作，相应链接在文末的参考文献中有列出，引用过程中如有表述不清晰的内容，可以通过原文辅助阅读。 调和函数指的是一种特殊的二阶连续可导函数（简称C2，在某个定义域存在二阶导数，且二阶导数连续），数学符号用 表达，其中 是 （表示n维实数域）的一个开子集（相当于一维数据空间中的开区间），其特殊在于需要满足拉普拉斯方程（下面有介绍），用（笛卡尔坐标系下）数学表达式来描述的话，就是对于任意 ，需要满足如下的二阶偏微分方程：这里来回顾一下微分方程的相关知识，单个变量下，也就是一元变量情况下，函数与函数各阶导数组成的微分方程叫做常微分方程：多元函数而言，函数以及函数对各个自变量的各阶偏导数组成的微分方程叫做偏微分方程：这个公式也经常以如下的形式出现（ 称为拉普拉斯算子， 称为向量微分算子，也就是nabla算子）：其中 叫做拉普拉斯算子，光看定义太抽象，我们来举个例子吧，下面两个函数都是二元的调和函数：拉普拉斯方程也被称为调和方程、位势方程，这是一种偏微分方程，因为其可以用势函数的形式来描述电磁场、引力场、流场（统称为保守场或者有势场）的性质而被广泛应用。 笛卡尔坐标系下的表述形式前面已经写过了，下面给出球面坐标系下的拉普拉斯方程表述形式： 这个方程也常用如下的简化形式来代替： 或者 其中div指的是向量场（指的是空间中的每一点都有一个对应的带长度的向量）的散度（divergence），grad表示的是标量场的梯度（gradient）。 散度是向量分析中常用的向量算子，用于实现向量场到标量场的转换映射，也就是说，经过散度算子处理后，得到的是一个标量场（每一点有一个不带方向的数值）。以静电场为例，空间中的电场强度是一个向量场，电场线正出负归，在正电荷附近，对应的散度为正值，且电荷带电量越大，散度越大，负电荷附近则反之，其散度为负值，且电荷带电量越大，散度绝对值越大。更为通用的概括是，散度可以看成是向量场在某一点的通量密度，当散度大于0的时候，就表示该点有流量留出，此时这一点可以被称为源点，当散度小于0的时候，表示此点有流量流入，此时此点被称为汇点，散度为0，表示该点无流入也无流出，如果整个向量场的散度都是0，那么这个向量场可以称为无源场。 对于某个向量场 而言，其散度可以通过如下公式求得：梯度是对多元函数的导数的一种描述，单元函数（只有一个自变量）的导数是标量值函数，而多元（多个自变量）函数的导数则是一个向量值函数，这里多元函数的导数，我们也称为多元函数的梯度，多元函数f在点P处的梯度指的是以f在P处的偏微分作为分量的向量，如一个三维空间函数 ，其梯度函数可以用如下的形式来表述：单元函数的导数对应的是函数在某一点切线的斜率，对应到梯度上，如果多元函数在某点P的梯度不为0的话，那么计算出来的梯度方向指的是这个函数在P点处增长最快的方向（超平面的切线），而梯度的长度则是函数在此点处的增长率（超平面的斜率）。 举个例子，如果某个房间内的温度用一个函数来表示，那么这个函数在三维空间中的梯度就对应于房间中某点处温度上升最快的方向，而其长度则对应于温度增长率。 可以看到，一个多元函数的标量场，经过梯度转化后，得到的是一个向量场。 从调和函数的定义我们可以看到，所谓的调和函数，实际上就是拉普拉斯方程的解，而我们日常所说的球谐函数（Spherical Harmonics Function）实际上就是拉普拉斯方程在球坐标系空间下的解。 拉普拉斯方程是一个偏微分方程，而解偏微分方程常用的策略是分离变量法，即将偏微分方程分解成几个常微分方程进行求解，下面我们通过将半径跟角度进行分离来进行求解。 设 ，将之代入前面的拉普拉斯方程，可以得到：上面公式乘上 之后可以得到：对于上面公式中后面的等式，我们继续使用分离变量法，令（这里是假设Y具有可以分离的形式，当然这个假设不是必然成立的，只是为了简化计算而给出的，只有一些特殊的函数才具有这种假设的可分离的形式） ，代入前面公式可以得到：简化后，令左右两边均等于 ，可以得到：一个先验知识是m是一个复数常量（怎么得到的？），且由于 是一个周期函数，其周期可以整除 ，因此m就会是一个整数，而 则是复数指数 的线性组合，Y的常规解出现在极点，也就是 的时候，而在上面的第二个方程中求解 时的常规状态出现在Sturm-Liouville problem的边界点上，在这个边界点中会将 ，其中l是非负整数，且 ，此外，将上面公式中的 用t来替代，就能够得到勒让德公式（Legendre equation），而勒让德公式的解就是伴随勒让德多项式 的倍数。 对于满足前面假设的Y，对于给定的 ，我们总共有 个独立解，这些角度上的解可以表示为三角函数的乘积，这里可以用复数指数与伴随勒让德多项式来表示： 其中这个解需要满足： 上述公式中的 就被称为一个m阶（order）l度（degree）的球谐函数， 就是一个伴随勒让德多项式，N是一个归一化的常量， 则代表着球上的经纬度 所有的球谐函数组成了一组正交基，所谓的正交基指的是，两两基函数相乘的积分只有当两个基函数是同一个基函数的情况下结果为1，否则为0。 上图给出了不同的SH基函数的几何形状展示，这个图是通过以方向为自变量，到球心的距离作为因变量绘制的。 而其他函数都可以通过使用不同系数来对SH基函数进行线性组合来实现近似模拟，这个过程有点像是周期函数的傅里叶展开。 未完待续…… [1] Rendering-球谐光照推导及应用 [2] 调和函数 [3] 拉普拉斯方程 [4] 散度 [5] 梯度 [6] Spherical harmonics [7]. Laplace"s equation

数学上的「调和」究竟含义：调和在调和函数、调和级数、调和平均值等中均是同一个意思，就是1/x。调和级数是各项倒数为等差数列的级数，各项倒数所成的数列（不改变次序）为等差数列。从第2项起，它的每一项是前后相邻两项的调和平均，故名调和级数。积分判别法通过将调和级数的和与一个瑕积分作比较可证此级数发散。考虑长方形的排列。每个长方形宽1个单位、高1/n个单位（换句话说，每个长方形的面积都是1/n）。注意后一个级数每一项对应的分数都小于调和级数中每一项，而且后面级数的括号中的数值和都为1/2，这样的1/2有无穷多个，所以后一个级数是趋向无穷大的，进而调和级数也是发散的。从更广泛的意义上讲，如果An是全部不为0的等差数列，则1/An就称为调和数列，求和所得即为调和级数，易得，所有调和级数都是发散于无穷的。

dy方比dx的平方理解：dy/dx表示1阶导数；d²y/dx²表示二阶导数。dy就是在y方向趋于零的线段，dx就是在x方向趋于零的线段。d²y/d²x，只是表示二阶导数，相当于dy的导数，再对x求导。二阶导数是一阶导数的导数，从原理上，它表示一阶导数的变化率；从图形上看，它反映的是函数图像的凹凸性。导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。

    Witten在数学物理中的孝敬非常多，可以形容为用物理学锋利的直觉刺破了数学界以“精密逻辑”构成的坚固外壳，把部分数学家和数学头脑从循规蹈矩的、严格的要领论中解放了出来，也让很多物理学家渐渐深入到数学界中，意识到“原来研究物理也能研究到深刻的数学”。更紧张的是，他的事变表现着，a)物理体系中种种ill-defined的东西，比如他总是在用的路径积分，有着robust的well-defined的内核；b)超对称量子物理对付养育本身的流形的风雅布局是很敏感的，超对称BPS态就像一些均衡态，如一些散落在形状巨大的势能极小点的小球，而量子效应则像从这些经典状态舒展出来爬满整个流形的触手，通过研究这些触手，就可以得知很多流形的信息。    Witten比较家喻户晓的数学孝敬是：    1）Jones多项式与量子Chern-Simons理论。    2）Donaldson-Witten理论    3）Seiberg-Witten理论    4）Gromov-Witten理论    1）上Chern-Simons理论（为其作用量前的整数系数）的配分函数和Wilson-loops（属不可约表现）的接洽干系函数可以用路径积分和Localization来严格谋略。鉴于Chern-Simons作用量的拓扑稳固性，这个泛函积分也主动具有拓扑稳固性，从而奠定了其为Wilson-loop定义域（一些链接）的拓扑稳固量。末了算完这个路径积分，归一化后变成的多项式。经查实，与Jones多项式恰好一样，这些关于的多项式是中的扭结、链结的拓扑稳固量。    2）Donaldson生长弗里德曼对4维黎曼流形拓扑分类的结果，利用上的瞬子的模空间上的交截理论来谋略的微分稳固量。Witten决定把1）的要领推到4维。Witten提出topologicaltwist的要领，把“超对称稳固量”和“拓扑稳固量”接洽在一起。通过localization谋略twisted理论的配分函数和BPS算符的接洽干系函数，发明这些物理量着实对应瞬子模空间的交截数，从而用物理要领得到了黎曼流形的Donaldson微分稳固量。    3）基于2)的结果，另有与Seiberg一同生长的电磁对偶理论，他们决定思量研究上面这个理论在低能时间的举动。末了他们得到一个上的阿贝尔范例场论，其BPS位形给出的不是瞬子，而是一组新的非线性微分方程。这组非线性微分方程的解空间同样携带了关于微分布局的信息，在肯定条件下与Donaldson-Witten稳固量等价。这组微分方程其后称为Seiberg-Witten方程，是数学家研究辛多少的紧张东西。    4）另一套研究辛多少的东西，Gromov-Witten稳固量，同样是Witten的紧张孝敬之一。要领与上面2)雷同，研究2维黎曼曲面上超对称理论，并定义相应的topologicaltwist。此中一种twist使得理论的BPS位形恰好是到另一个Kahler空间的全纯映射（全纯曲线），而相应的配分函数、BPS接洽干系函数则又是这些全纯曲线的模空间上的交截理论。这些交截理论又是早前辛多少中紧张的Gromov辛稳固量。由这个事变生长出来一个巨大的体系，即MirrorSymmetry，是拓扑弦学家和代数多少学家调和共处的范畴。    Witten的紧张事变另有很多。他的触手延伸到理论物理的各个角落，大多我也不明白的范畴。可以说，他是如今数学物理界的教皇。他得到菲尔兹奖，也是实至名归。

关注他是国际上最具影响力的华人数学大师，沃尔夫数学奖得主；他被人称为“微分几何之父”，也被誉为“20世纪伟大的几何学家”，他就是数学大师——陈省身。10月28日是陈省身先生诞辰108年纪念日，谨以此文，向陈老致以崇高的敬意！陈省身陈省身的几何人生1911年10月28日，陈省身出生在浙江嘉兴秀水县下塘街道。这个地方就像它的名字一样山清水秀，人杰地灵。陈省身的父亲陈宝桢是清末秀才，他从小就收到良好的家风熏陶。陈省身与父亲合照8岁时陈省身开始上学，由于对老师的教育方式不满意，他就一直在家自学小学内容。当时家里的三大厚本的《笔算数学》成为陈省身的数学启蒙读物，他经常沉浸其中研究里面的数学题。陈省身的自学能力非常强，书中较难的题目他都能解出来，他还经常看一些中译本的国外数学书，这为他打下了良好的数学基础。笔算数学9岁那年，他考入秀州中学读预科一年级，此时的他在数学方面已经非常厉害了，能做出相当复杂的数学问题。11岁时，由于家庭的原因，陈省身随父亲迁居天津，插班进入扶轮中学学习。1926年，15岁的陈省身顺利考入南开大学数学系。当时的南开大学的数学系只有姜立夫一位老师，他的这位老师可是个了不起的人物，对陈省身以后在数学方面的发展起了很大的作用。姜立夫是哈佛大学留学归来的学者，他一手创办了南开大学数学系，他是中国现代数学的奠基人之一。俗话说“虎父无犬子”，姜立夫的儿子就是北京大学教授，中科院院士姜伯驹。姜立夫教授1930年，陈省身南开大学毕业后进入清华大学担任助教，一年后，他师从孙远光博士攻读硕士学位，研究射影微分几何。当时和他一起在清华读书的还有华罗庚，两人很快成为非常要好的朋友。1934年，陈省身获得清华大学硕士学位，他是中国人自己培养的第一个名数学研究生。1934年11月，陈省在清华大学的资助下到德国汉堡大学攻读博士学位，师从著名的微分几何学家威海姆柏拉须开。1936年2月，陈省身就以《关于网络的计算》和《2n维空间中n维流形三重网的不变理论》获得了博士学位。别人至少需要三年的时间才能拿下的博士学位，他仅仅用了1年零3个月，不仅如此，他的博士论文还入选了汉堡大学数学讨论会论文集。德国 汉堡大学博士毕业后，在他的老师柏拉须开的推荐下，陈省身前往法国巴黎，在国际数学大师埃利嘉当门下学习微分几何。埃利嘉当可是微分几何界的大人物，他在“活动标架”的微分几何中做出了开创性的贡献，嘉当-流形上的分析是当今最为活跃的数学分支之一，而嘉当是这个领域的重要缔造者。嘉当的理论非常晦涩难懂，但陈省身却能很快悟出其中深刻的道理。陈省身在几何学习方面的天赋得到了埃利嘉当的认可和重视。虽然当时的埃利嘉当年事已高，但仍坚持每两周和陈省身见一次面，进行当面点拨。陈省身在巴黎待了短短10个月的时间，但他的微分几何水平得到了极大的提高，这为他一生的学术事业奠定了坚实的基础。埃利嘉当1937年抗日战争爆发后的第三天，陈省身回到中国。他随清华大学转战云南，在西南联合大学（当时的西南大学是由清华大学、北京大学和南开大学合并而成）任教，讲授微分几何。在西南大学的那五年陈省身一直很努力，除了教授新课他还坚持搞科研、写文章，并把文章寄到国外发表。战火中的西南联合大学1943年，他应美国数学家维布伦和外尔邀请到普林斯顿高等研究院工作。当时的普林斯顿高等研究院是世界数学的中心，是当时世界上最好的研究数学的地方，就像当年德国的哥廷根大学。陈省身一生中最重要的工作是在普林斯顿完成的。普林斯顿高等研究院1944年，陈省身发表了他的划时代论文《闭黎曼流行的高斯-博内公式的一个简单内蕴证明》。他将高斯-博内公式推广到高维曲面和紧致流行上，这一研究成果引起了国际微分几何学界的震惊。陈省身代表作1：闭黎曼流行的高斯-博内公式的一个简单内蕴证明1946年他发表了第二篇代表作《埃尔米特流形示性类》。这两篇论文奠定了陈省身在微分几何学的地位，著名的“陈示性类”对整个数学乃至物理的发展都产生了广泛而又深刻的影响。陈省身代表作2：埃尔米特流形示性类1946年抗战胜利后他重返中国，在姜立夫的推荐下，陈省身负责中央研究院数学研究所的筹办工作并担任所长。在此，他培养了一批知名的拓扑学家，如吴文俊、廖山涛、陈国才等。1949年初，陈省身受著名物理学家奥本海默的邀请再次前往美国，并到芝加哥大学任教。1960年，陈省身到加州大学伯克利分校工作，并于第二年被评为美国科学院院士，担任美国数学学会副会长。退休之前他一直在加州大学伯克利分校工作，在此他培养了31名博士研究生，包括后来获得菲尔兹奖及沃尔夫数学奖的丘成桐。加州大学伯克利分校1981年，他与辛格和摩尔一起在加州大学伯克利分校创办了数学科学研究所，这是美国的第一所纯数学研究所，陈省身出任首任所长。退休后，陈省身把自己的余生奉献给了祖国，他定下一个目标“让21世纪中国成为数学打过”。他是这么说的也是这么做的，具体贡献见第三节。微分几何领域的伟大成就陈省身在微分几何的两项重要成果是：高斯-博内特-陈定理和Hermitian流形的示性类理论。1、关于微分几何微分几何是利用微积分理论研究空间的几何性质的数学分支。与古典微分几何研究空间的曲面和曲面不同，现代微分几何主要研究更为一般的空间——流形。微分几何与拓扑学等其他数学分支有紧密的联系，对物理学的发展也有重要影响。爱因斯坦的广义相对论就以微分几何中的黎曼几何作为其重要的数学基础。高斯-博内定理是微分几何中的一个经典定理，是古代几何学与现代几何学的分水岭，它建立了起了黎曼流行的局部性质与整体性质之间的联系。高斯-博内公式等式左端的积分表示高斯曲率k在定向闭曲面D上的积分，χ(D)是空间D上的欧拉示性数，等于1减去曲面上孔的个数，是通常多面体欧拉数v-e+f的推广（其中的v, e, f分别表示多面体的顶点数、棱数和面数）。多面体欧拉公式二维紧致黎曼流形上的高斯-博内公式是经典的微分几何的一个高峰，数学家们试图把它推广到高维紧致黎曼流形上。1942年，安德烈韦依和卡尔阿伦道夫证明了任意黎曼流形上的高维高斯-内博公式。他们证明了高斯-博内公式不但在平面上成立，在任何偶数维曲面空间或流形上也成立。但他们的证明依赖于球丛结构，并且是非内蕴结构。1943年陈省身采用内蕴丛（长度为1的切向量丛）给出了《闭黎曼流行的高斯-博内公式的一个简单内蕴证明》，这一证明成为现代微分几何的出发点，打开了示性类微分几何的大门。陈-高斯-博内公式公式中的M表示一个无边界的2n维空间（宇宙），χ(M)是空间M上的欧拉示性数，当n=1时，χ(M)表示空间内孔的个数，Ω是这个空间的曲率。如果知道空间上每一点的曲率，利用这个公式就可以得到宇宙总体形状的信息。举个例子 如果你住在一个弯曲的空间（流形）M中，可通过测量每一点的曲率(Ω)来得到我们整个空间或宇宙M的一些整体情况。∫Pf是对流形上每一点曲率进行某种特定计算后无限累加。2、为什么陈-高斯-博内定理如此重要呢？首先，陈省身的证明引用了内蕴丛，使得整个问题得到了彻底解决；其次，陈省身首创了纤维丛的概念，这一证明开创了全新的领域，整体拓扑通过纤维丛以及切球丛上的超渡，与内蕴几何建立了联系；陈省身的内蕴证明及示性类的引进，使得高斯-博内-陈定理与指标定理联结；这一证明孕育了陈示性类和超渡思想的诞生，开创了整体微分几何学的新时代；他建立了代数拓扑和微分几何的联系，推动了整体几何的发展。3、获得沃尔夫数学奖在数学领域，沃尔夫奖与菲尔兹奖是公认的与诺贝尔奖相媲美的数学大奖。1984年，陈省身获得沃尔夫数学奖。证书上写着：“此奖授予陈省身，因为他在整体微分几何上的卓越成就，其影响遍及整个数学。”沃尔夫奖奖牌“天衣岂无缝，匠心剪接成。浑然归一体，广邃妙绝伦。造化爱几何，四力纤维能。千古寸心事，欧高黎嘉陈。”——杨振宁在华人数学家中，陈省身有着至高无上的地位，俄罗斯评选的20世纪数学家排名中，陈省身排在第31位，在几何学家的评中，位列欧几里得、高斯、黎曼、嘉当之后。这个排名与杨振宁赞美陈省身成就的诗句“千古存心事，欧高黎嘉陈”不谋而合。陈省身对整个微分几何的深远贡献，影响了整个数学界，被公认为“20世纪伟大的几何学家”。为中国数学发展做出的贡献陈省身虽然一直在国外发展，但他时刻想着回报祖国。在国外工作及研究期间，他曾多次回国，但由于一些客观原因他每次又不得不离开。新中国成立后，陈省身对祖国数学的发展及对国内年轻人不余遗力的提携让人感动和敬佩。1、他的学生们丘成桐 是陈省身最得意的学生，美国哈佛大学数学系主任，首位获得了菲尔兹奖的华人，2010年获得了沃尔夫数学奖。菲尔兹奖、沃尔夫数学奖得主——丘成桐杨振宁诺贝尔物理学奖得主，中国科学院院士、美国科学院院士。杨振宁在做物理“规范场论”杨-米尔斯研究时，用的就是陈省身的纤维丛理论，他为陈省身-韦伊定理的美妙感到非常的震惊。诺贝尔物理学奖获得者——杨振宁虽然丘成桐和杨振宁的成就是在美国取得的，并加入美国国籍，但他们是华人的骄傲

你的成绩不错，应该没有问题。不过你努力下，考到135－145之间，更有优势。

1. 尤利乌斯·威廉·理查德·戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind ，1831—1916）又译狄德金，伟大的德国数学家、理论家和教育家，近代抽象数学的先驱。据《辞海》，戴德金还是格丁根大学哲学博士、柏林科学院院士。2. 哈密顿(William Rowan Hamilton 1805～1865) 英国数学家，物理学家，力学家。3. 格拉斯曼(Grassmann，Hermann Gunther，1809～1877)德国数学家，语言学家 ，社会活动家 。4.约翰·彼得·古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet，勒热纳·狄利克雷是姓，1805年2月13日－1859年5月5日），德国数学家。他是解析数论的奠基者，也是现代函数概念的定义者。5. 约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（Johann Karl Friedrich Gauss ，1777年4月30日－1855年2月23日）德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。是近代数学奠基者之一，高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称。高斯和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家。一生成就极为丰硕，以他名字“高斯”命名的成果达110个，属数学家中之最。他对数论、代数、统计、分析、微分几何、大地测量学、地球物理学、力学、静电学、天文学、矩阵理论和光学皆有贡献。6. 波恩哈德·黎曼（1826年9月17日-1866年7月20日），德国数学家、物理学家，对数学分析和微分几何做出了重要贡献，其中一些为广义相对论的发展铺平了道路。他的名字出现在黎曼ζ函数，黎曼积分，黎曼几何，黎曼引理，黎曼流形，黎曼映照定理，黎曼-希尔伯特问题，黎曼思路回环矩阵和黎曼曲面中。1857年，他初次登台作了题为“论作为几何基础的假设”的演讲，开创了黎曼几何，并为爱因斯坦的广义相对论提供了数学基础。他在1857年升为格丁根大学的编外教授，并在1859年狄利克雷去世后成为正教授。7. 波尔约，J．(Bolyai，Janos，1802年12月15日-1860年1月27日)匈牙利数学家．生于匈牙利特兰尼西瓦亚的维也纳帝国工程学院(今罗马尼亚克卢日)；卒于匈牙利毛罗什瓦萨尔海伊（今罗马尼亚特古穆列什）．8. 卡尔·雅可比（Carl Gustav Jacob Jacobi，1804~1851）,德国数学家。1804年12月10日生于普鲁士的波茨坦；1851年2月18日卒于柏林。雅可比是数学史上最勤奋的学者之一，与欧拉一样也是一位在数学上多产的数学家，是被广泛承认的历史上最伟大的数学家之一。雅可比善于处理各种繁复的代数问题，在纯粹数学和应用数学上都有非凡的贡献，他所理解的数学有一种强烈的柏拉图式的格调，其数学成就对后人影响颇为深远。9. 尼尔斯·亨利克·阿贝尔（1802年8月5日－1829年4月6日），挪威数学家，在很多数学领域做出了开创性的工作。他最著名的一个结果是首次完整给出了高于四次的一般代数方程没有一般形式的代数解的证明。这个问题是他那时最著名的未解决问题之一，悬疑达250多年。他也是椭圆函数领域的开拓者，阿贝尔函数的发现者。尽管阿贝尔成就极高，却在生前没有得到认可，他的生活非常贫困，死时只有26岁。10. 尼古拉斯·伊万诺维奇·罗巴切夫斯基（Никола́й Ива́нович Лобаче́вский，英文Nikolas lvanovich Lobachevsky）（1792年（壬子年）12月1日-1856年2月24日），俄罗斯数学家，非欧几何的早期发现人之一。其它还有很多很多

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分类: 教育/科学 >> 学习帮助 问题描述: 黎曼几何与相对论有什么关系？ 解析: 欧氏几何 一、欧氏几何的建立 欧氏几何是欧几里德几何学的简称，其创始人是公元前三世纪的古希腊伟大数学家欧几里德。在他以前，古希腊人已经积累了大量的几何知识，并开始用逻辑推理的方法去证明一些几何命题的结论。欧几里德这位伟大的几何建筑师在前人准备的“木石砖瓦”材料的基础上，天才般地按照逻辑系统把几何命题整理起来，建成了一座巍峨的几何大厦，完成了数学史上的光辉著作《几何原本》。这本书的问世，标志着欧氏几何学的建立。这部科学著作是发行最广而且使用时间最长的书。后又被译成多种文字，共有二千多种版本。它的问世是整个数学发展史上意义极其深远的大事，也是整个人类文明史上的里程碑。两千多年来，这部著作在几何教学中一直占据着统治地位，至今其地位也没有被动摇，包括我国在内的许多国家仍以它为基础作为几何教材。二、一座不朽的丰碑 欧几里德将早期许多没有联系和未予严谨证明的定理加以整理，写下《几何原本》一书，使几何学变成为一座建立在逻辑推理基础上的不朽丰碑。这部划时代的著作共分13卷，465个命题。其中有八卷讲述几何学，包含了现在中学所学的平面几何和立体几何的内容。但《几何原本》的意义却绝不限于其内容的重要，或者其对定理出色的证明。真正重要的是欧几里德在书中创造的一种被称为公理化的方法。 在证明几何命题时，每一个命题总是从再前一个命题推导出来的，而前一个命题又是从再前一个命题推导出来的。我们不能这样无限地推导下去，应有一些命题作为起点。这些作为论证起点，具有自明性并被公认下来的命题称为公理，如同学们所学的“两点确定一条直线”等即是。同样对于概念来讲也有些不加定义的原始概念，如点、线等。在一个数学理论系统中，我们尽可能少地先取原始概念和不加证明的若干公理，以此为出发点，利用纯逻辑推理的方法，把该系统建立成一个演绎系统，这样的方法就是公理化方法。欧几里德采用的正是这种方法。他先摆出公理、公设、定义，然后有条不紊地由简单到复杂地证明一系列命题。他以公理、公设、定义为要素，作为已知，先证明了第一个命题。然后又以此为基础，来证明第二个命题，如此下去，证明了大量的命题。其论证之精彩，逻辑之周密，结构之严谨，令人叹为观止。零散的数学理论被他成功地编织为一个从基本假定到最复杂结论的系统。因而在数学发展史上，欧几里德被认为是成功而系统地应用公理化方法的第一人，他的工作被公认为是最早用公理法建立起演绎的数学体系的典范。正是从这层意义上，欧几里德的《几何原本》对数学的发展起到了巨大而深远的影响，在数学发展史上树立了一座不朽的丰碑。 三、欧氏几何的完善 公理化方法已经几乎渗透于数学的每一个领域，对数学的发展产生了不可估量的影响，公理化结构已成为现代数学的主要特征。而作为完成公理化结构的最早典范的《几何原本》，用现代的标准来衡量，在逻辑的严谨性上还存在着不少缺点。如一个公理系统都有若干原始概念(或称不定义概念)，如点、线、面就属于这一类。欧几里德对这些都做了定义，但定义本身含混不清。另外，其公理系统也不完备，许多证明不得不借助于直观来完成。此外，个别公理不是独立的，即可以由其他公理推出。这些缺陷直到1899年德国数学家希尔伯特的在其《几何基础》出版时得到了完善。在这部名著中，希尔伯特成功地建立了欧几里德几何的完整、严谨的公理体系，即所谓的希尔伯特公理体系。这一体系的建立使欧氏几何成为一个逻辑结构非常完善而严谨的几何体系。也标志着欧氏几何完善工作的终结。 -------------------------------------------------------------------- 黎曼几何 黎曼流形上的几何学。德国数学家G.F.B.黎曼19世纪中期提出的几何学理论。1854年黎曼在格丁根大学发表的题为《论作为几何学基础的假设》的就职演说，通常被认为是黎曼几何学的源头。在这篇演说中，黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体。他首先发展了空间的概念，提出了几何学研究的对象应是一种多重广义量 ，空间中的点可用n个实数（x1，……，xn）作为坐标来描述。这是现代n维微分流形的原始形式，为用抽象空间描述自然现象奠定了基础。这种空间上的几何学应基于无限邻近两点（x1，x2，……xn）与（x1＋dx1，……xn＋dxn）之间的距离，用微分弧长度平方所确定的正定二次型理解度量。亦即 ， （gij）是由函数构成的正定对称矩阵。这便是黎曼度量。赋予黎曼度量的微分流形，就是黎曼流形。 黎曼认识到度量只是加到流形上的一种结构，并且在同一流形上可以有许多不同的度量。黎曼以前的数学家仅知道三维欧几里得空间E3中的曲面S上存在诱导度量ds2＝Edu2＋2Fdudv＋Gdv2，即第一基本形式，而并未认识到S还可以有独立于三维欧几里得几何赋予的度量结构。黎曼意识到区分诱导度量和独立的黎曼度量的重要性，从而摆脱了经典微分几何曲面论中局限于诱导度量的束缚，创立了黎曼几何学，为近代数学和物理学的发展作出了杰出贡献。 黎曼几何以欧几里得几何和种种非欧几何作为其特例。例如：定义度量（a是常数），则当a＝0时是普通的欧几里得几何，当a＞0时 ，就是椭圆几何 ，而当a＜0时为双曲几何。 黎曼几何中的一个基本问题是微分形式的等价性问题。该问题大约在1869年前后由E.B.克里斯托费尔和R.李普希茨等人解决。前者的解包含了以他的姓命名的两类克里斯托费尔记号和协变微分概念。在此基础上G.里奇发展了张量分析方法，这在广义相对论中起了基本数学工具的作用。他们进一步发展了黎曼几何学。 但在黎曼所处的时代，李群以及拓扑学还没有发展起来，因此黎曼几何只限于小范围的理论。大约在1925年H.霍普夫才开始对黎曼空间的微分结构与拓扑结构的关系进行了研究。随着微分流形精确概念的确立，特别是E.嘉当在20世纪20年代开创并发展了外微分形式与活动标架法，建立了李群与黎曼几何之间的联系，从而为黎曼几何的发展奠定重要基础，并开辟了广阔的园地，影响极其深远。并由此发展了线性联络及纤维丛的研究。 1915年，A.爱因斯坦运用黎曼几何和张量分析工具创立了新的引力理论——广义相对论。使黎曼几何（严格地说洛伦茨几何）及其运算方法（里奇算法）成为广义相对论研究的有效数学工具。而相对论近年的发展则受到整体微分几何的强烈影响。例如矢量丛和联络论构成规范场（杨-米尔斯场）的数学基础。 1944年陈省身给出n维黎曼流形高斯-博内公式的内蕴证明，以及他关于埃尔米特流形的示性类的研究，引进了后来通称的陈示性类，为大范围微分几何提供了不可缺少的工具并为复流形的微分几何与拓扑研究开创了先河。半个多世纪，黎曼几何的研究从局部发展到整体，产生了许多深刻的结果。黎曼几何与偏微分方程、多复变函数论、代数拓扑学等学科互相渗透，相互影响，在现代数学和理论物理学中有重大作用。 -------------------------------------------------------------------- 罗氏几何 罗式几何学的公理系统和欧式几何学不同的地方仅仅是把欧式一对分散直线在其唯一公垂线两侧无限远离几何平行公理用“从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行”来代替，其他公理基本相同。由于平行公理不同，经过演绎推理却引出了一连串和欧式几何内容不同的新的几何命题。 我们知道，罗式几何除了一个平行公理之外采用了欧式几何的一切公理。因此，凡是不涉及到平行公理的几何命题，在欧式几何中如果是正确的，在罗式几何中也同样是正确的。在欧式几何中，凡涉及到平行公理的命题，再罗式几何中都不成立，他们都相应地含有新的意义。下面举几个例子加以说明： 欧式几何: 同一直线的垂线和斜线相交。 垂直于同一直线的两条直线或向平行。 存在相似的多边形。 过不在同一直线上的三点可以做且仅能做一个圆。 罗式几何 同一直线的垂线和斜线不一定相交。 垂直于同一直线的两条直线，当两端延长的时候，离散到无穷。 不存在相似的多边形。 过不在同一直线上的三点，不一定能做一个圆。 从上面所列举得罗式几何的一些命题可以看到，这些命题和我们所习惯的直观形象有矛盾。所以罗式几何中的一些几何事实没有象欧式几何那样容易被接受。但是，数学家们经过研究，提出可以用我们习惯的欧式几何中的事实作一个直观“模型”来解释罗式几何是正确的。 1868年，意大利数学家贝特拉米发表了一篇著名论文《非欧几何解释的尝试》，证明非欧几何可以在欧几里得空间的曲面（例如拟球曲面）上实现。这就是说，非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧几里得几何命题，如果欧几里得几何没有矛盾，非欧几何也就自然没有矛盾。 人们既然承认欧几里是没有矛盾的，所以也就自然承认非欧几何没有矛盾了。直到这时，长期无人问津的非欧几何才开始获得学术界的普遍注意和深入研究，罗巴切夫斯基的独创性研究也就由此得到学术界的高度评价和一致赞美，他本人则被人们赞誉为“几何学中的哥白尼”。

多项式长除法。

积分二次转化为等比级数再求导二次，望采纳。

真数和指数均含有自变量的情况下可使用，方法如下图所示，请认真查看，祝学习愉快，学业进步！满意请釆纳！

这个没有深入研究过，但我认为：恒等变形类似于：如P则Q成立，而Q也P成立，其间是可以化等号的，类似于集合中的相同集合，属等于；而等价变形则是：如P则Q成立，而Q也P不一定成立，其间只是一个推出符号，类似于集合中的真子集，属包含。

1.如果函数f（x）满足两个恒等式：f（-x）+f（x）=0，f（x+2）+f（x）=0，又知当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（7.5）=--．2.已知x+y+z=xyz，证明：x(1-y2)(1-z2)+y(1-x2)(1-z2)+z(1-x2)(1-y2)=4xyz．　　分析将左边展开，利用条件x+y+z=xyz，将等式左边化简成右边．　　证因为x+y+z=xyz，所以　　左边=x(1-z2-y2-y2z2)+y(1-z2-x2+x2z2)+(1-y2-x2+x2y2)　　　　=(x+y+z)-xz2-xy2+xy2z2-yz2+yx2+yx2z2-zy2-zx2+zx2y2　　　　=xyz-xy(y+x)-xz(x+z)-yz(y+z)+xyz(xy+yz+zx)　　　　=xyz-xy(xyz-z)-xz(xyz-y)-yz(xyz-x)+xyz(xy+yz+zx)　　　　=xyz+xyz+xyz+xyz　　　　=4xyz=右边．3.已知a4+b4+c4+d4=4abcd，且a，b，c，d都是正数，求证：a=b=c=d．　　证由已知可得a4+b4+c4+d4-4abcd=0，　　(a2-b2)2+(c2-d2)2+2a2b2+2c2d2-4abcd=0，　　所以　　(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0．　　因为(a2-b2)2≥0，(c2-d2)2≥0，(ab-cd)2≥0，所以　　a2-b2=c2-d2=ab-cd=0，　　所以(a+b)(a-b)=(c+d)(c-d)＝0．　　又因为a，b，c，d都为正数，所以a+b≠0，c+d≠0，所以　　a＝b，c=d．　　所以　　ab-cd=a2-c2=(a+c)(a-c)=0，　　所以a＝c．故a=b＝c=d成立4.已知a+b+c=0，求证　　2(a4+b4+c4)＝(a2+b2+c2)2．　　分析与证明用比差法，注意利用a+b+c=0的条件．　　左-右=2(a4+b4+c4)-(a2+b2+c2)2　　　　=a4+b4+c4-2a2b2-2b2c2-2c2a2　　　　=(a2-b2-c2)2-4b2c2　　　　=(a2-b2-c2+2bc)(a2-b2-c2-2bc)　　　　=[a2-(b-c)2][a2-(b+c)2]　　　　=(a-b+c)(a+b-c)(a-b-c)(a+b+c)=0．所以等式成立5.例10证明：　　(y+z-2x)3+(z+x-2y)3+(x+y-2z)3　　=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z)．　　分析与证明此题看起来很复杂，但仔细观察，可以使用换元法．令y+z-2x=a，①z+x-2y=b，②x+y-2z=c，③　　则要证的等式变为a3+b3+c3=3abc．　　联想到乘法公式：　　a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)，所以将①，②，③相加有　　a+b+c=y+z-2x+z+x-2y+x+y-2z=0，　　所以a3+b3+c3-3abc=0，　　所以　　(y+z-2x)3+(z+x-2y)3+(x+y-2z)3　　=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z)．

等式的性质有：性质1：等式两边同时加上相等的数或式子,两边依然相等.若a=b那么有a+c=b+c性质2：等式两边同时乘（或除）相等的非零的数或式子,两边依然相等若a=b 那么有a·c=b·c 或a÷c=b÷c （a,b≠0 或 a=b ,c≠0）性质3：等式两边同时乘方（或开方）,两边依然相等若a=b那么有a^c=b^c或(c次根号a)=(c次根号b)

恒等：无论原式中变量取什么数,原式大小不变 恒等变形：等号两边进行整理后相同

普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版] 高三新数学第一轮复习教案（讲座24）—三角恒等变形及应用一．课标要求：1．经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；2．能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；3．能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）。二．命题走向从近几年的高考考察的方向来看，这部分的高考题以选择、解答题出现的机会较多，有时候也以填空题的形式出现，它们经常与三角函数的性质、解三角形及向量联合考察，主要题型有三角函数求值，通过三角式的变换研究三角函数的性质。本讲内容是高考复习的重点之一，三角函数的化简、求值及三角恒等式的证明是三角变换的基本问题。历年高考中，在考察三角公式的掌握和运用的同时，还注重考察思维的灵活性和发散性，以及观察能力、运算及观察能力、运算推理能力和综合分析能力。三．要点精讲1．两角和与差的三角函数；；。2．二倍角公式；；。3．三角函数式的化简常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。（1）降幂公式；；。（2）辅助角公式，。4．三角函数的求值类型有三类（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。5．三角等式的证明（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。四．典例解析题型1：两角和与差的三角函数例1．已知，求cos。分析：因为既可看成是看作是的倍角，因而可得到下面的两种解法。解法一：由已知sin+sin=1…………①，cos+cos=0…………②，①2＋②2得 2+2cos；∴ cos。①2－②2得 cos2+cos2+2cos（）=－1，即2cos（）〔〕=－1。∴。解法二：由①得…………③由②得…………④④

设点p(x,y)并且满足x=3+2costy=4+2sintPA^2=(3+2cost+1)^2+(4+2sint)^2=36+16cost+16sintPB^2=(3+2cost-1)^2+(4+2sint)^2=24+8cost+16sintPA^2+PB^2=50+24cost+32sint=50+40(0.6cost+0.8sint=50+40sin(t+a),cosa=0.8,sina=0.6,0<a<pi/2当sin(t+a)=-1时，PA^2+PB^2最小为50-40=10其时，sint=sin(t+a-a)=sin(t+a)cosa-cos(t+a)sina=-1*0.8-0=-0.8,cos(t)= cos (t+a-a)= cos (t+a)cosa-sin (t+a)sina=0.6则x=3+2*0.6=4.2,y=4-2*0.8=2.4

有以下四个公式：cos²θ+sin²θ=1ρ=x²+y²ρcosθ=xρsinθ=y参数方程和函数很相似：它们都是由一些在指定的集的数，称为参数或自变量，以决定因变量的结果。例如在运动学，参数通常是“时间”，而方程的结果是速度、位置等。一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数：  ，并且对于t的每一个允许的取值，由方程组确定的点(x, y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做曲线的参数方程，联系变数x、y的变数t叫做参变数，简称参数。相对而言，直接给出点坐标间关系的方程叫普通方程。扩展资料：在柯西中值定理的证明中，也运用到了参数方程。柯西中值定理如果函数f(x）及F(x）满足：⑴在闭区间[a,b]上连续；⑵在开区间(a,b)内可导；⑶对任一x∈(a,b),F"(x）≠0。那么在(a,b)内至少有一点ζ，使等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f"（ζ）/F"（ζ）成立。柯西简洁而严格地证明了微积分学基本定理即牛顿－莱布尼茨公式。他利用定积分严格证明了带余项的泰勒公式，还用微分与积分中值定理表示曲边梯形的面积，推导了平面曲线之间图形的面积、曲面面积和立体体积的公式。参数曲线亦可以是多于一个参数的函数。例如参数表面是两个参数(s,t)或(u,v)的函数。譬如一个圆柱：r(u,v)=[x(u,v),y(u,v),z(u,v)]=[acos(u),asin(u),v]参数是参变数的简称。它是研究运动等一类问题中产生的。质点运动时，它的位置必然与时间有关系，也就是说，质的坐标x，y与时间t之间有函数关系x=f(t)，y=g(t)，这两个函数式中的变量t，相对于表示质点的几何位置的变量x，y来说，就是一个“参与的变量”。这类实际问题中的参变量，被抽象到数学中，就成了参数。我们所学的参数方程中的参数，其任务在于沟通变量x，y及一些常量之间的联系，为研究曲线的形状和性质提供方便。用参数方程描述运动规律时，常常比用普通方程更为直接简便。对于解决求最大射程、最大高度、飞行时间或轨迹等一系列问题都比较理想。有些重要但较复杂的曲线（例如圆的渐开线），建立它们的普通方程比较困难，甚至不可能，列出的方程既复杂又不易理解。根据方程画出曲线十分费时；而利用参数方程把两个变量x，y间接地联系起来，常常比较容易，方程简单明确，且画图也不太困难。参考资料：百度百科-参数方程

　　高中数学涉及的知识点很多，今天我就来为广大高中同学们总结一下高中数学参数方程的知识点，参数方程和函数很相似：它们都是由一些在指定的集的数，称为参数或自变量，以决定因变量的结果。例如在运动学，参数通常是“时间”，而方程的结果是速度、位置等。下面为具体内容，供参考。 　　高中数学知识点之参数方程定义 　　一般的，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数x=f(t)、y=g(t) 　　并且对于t的每一个允许值，由上述方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么上述方程则为这条曲线的参数方程，联系x，y的变数t叫做变参数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。(注意：参数是联系变数x，y的桥梁，可以是一个有物理意义和几何意义的变数，也可以是没有实际意义的变数。 　　 高中数学知识点之参数方程 　　圆的参数方程x=a+rcosθy=b+rsinθ(a,b)为圆心坐标r为圆半径θ为参数 　　椭圆的参数方程x=acosθy=bsinθa为长半轴长b为短半轴长θ为参数 　　双曲线的参数方程x=asecθ(正割)y=btanθa为实半轴长b为虚半轴长θ为参数 　　抛物线的参数方程x=2pt²y=2ptp表示焦点到准线的距离t为参数 　　直线的参数方程 x=x"+tcosa y=y"+tsina,x",y"和a表示直线经过(x",y")，且倾斜角为a,t为参数 　　 高中数学知识点之参数方程的应用

平面直角坐标系中一般方程化为极坐标方程,以x轴为极轴,做代换：x=pcosay=psina,将原方程化为p=f（a）的形式,即为极坐标方程.一般方程化为参数方程,最主要考虑三角代换,即sin²x+cos²x=11=sec²x-tan²x前两个方程可以作为椭圆,双曲线参数方程转化的依据,一般直线的参数方程为x=x0+ty=y0+kt,t∈r

　　直线参数方程是高中数学在解析几何这一模块中非常重要的知识点,也是整个高中数学的一大难题,接下来我为你整理了数学参数方程公式，一起来看看吧。 　　数学参数方程公式 　　数学参数方程概念 　　一般在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数：x=f(t),y=g(t)，并且对于t的每一个允许的取值，由方程组确定的点(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做曲线的参数方程，联系变数x, 　　y的变数t叫做参变数，简称参数。 　　圆的参数方程 　　x=a+r cosθ y=b+r sinθ (a,b)为圆心坐标 r为圆半径 θ为参数 　　椭圆的参数方程 　　x=a cosθ y=b sinθ a为长半轴 长 b为短半轴长 θ为参数 　　双曲线的参数方程 　　x=a secθ (正割) y=b tanθ a为实半轴长 b为虚半轴长 θ为参数 　　抛物线的参数方程 　　x=2pt^2 y=2pt p表示焦点到准线的距离 t为参数 　　直线的参数方程 　　x=x"+tcosa y=y"+tsina , x", y"和a表示直线经过(x",y"),且倾斜角为a,t为参数. 　　数学学习技巧 　　一、课内重视听讲，课后及时复习。 　　新知识的接受，数学能力的培养主要在课堂上进行，所以要特别重视课内的学习效率，寻求正确的 学习 方法 。上课时要紧跟老师的思路，积极展开思维预测下面的步骤，比较自己的解题思路与教师所讲有哪些不同。特别要抓住基础知识和基本技能的学习，课后要及时复习不留疑点。 　　首先要在做各种习题之前将老师所讲的知识点回忆一遍，正确掌握各类公式的推理过程，尽量回忆而不采用“不清楚立即翻书”之举。认真独立完成作业，勤于思考，对于有些题目，由于自己的思路不清，一时难以解出，应让自己冷静下来认真分析题目，尽量自己解决。 　　在每个阶段的学习中要进行整理和归纳 总结 ，把知识的点、线、面结合起来交织成知识网络，纳入自己的知识体系。 　　二、适当多做题，养成良好的解题习惯。 　　要想学好数学，多做题目是必须的，熟悉掌握各种题型的解题思路。刚开始要从基础题入手，以课本上的习题为准，反复练习打好基础，再找一些课外的习题，以帮助开拓思路，提高自己的分析、解决能力，掌握一般的解题规律。 　　对于一些易错题，可备有错题集，写出自己的解题思路和正确的解题过程。两者一起比较找出自己的错误所在，以便及时更正。在平时要养成良好的解题习惯。让自己的精力高度集中，使大脑兴奋，思维敏捷，能够进入最佳状态，在考试中能运用自如。 　　实践证明：越到关键时候，你所表现的解题习惯与平时练习无异。如果平时解题时随便、粗心、大意等，往往在大考中充分暴露，故在平时养成良好的解题习惯是非常重要的。 　　三、调整心态，正确对待考试。 　　首先，应把主要精力放在基础知识、基本技能、基本方法这三个方面上，因为每次考试占绝大部分的也是基础性的题目，而对于那些难题及综合性较强的题目作为调剂，认真思考，尽量让自己理出头绪，做完题后要总结归纳。 　　调整好自己的心态，使自己在任何时候镇静，思路有条不紊，克服浮躁的情绪。特别是对自己要有信心，永远鼓励自己，除了自己，谁也不能把我打倒，要有自己不垮，谁也不能打垮我的自豪感。 　　在考试前要做好准备，练练常规题，把自己的思路展开，在保证正确率的前提下提高解题速度。对于一些容易的基础题要有十二分把握拿全分;对于一些难题，也要尽量拿分，考试中要使自己的水平正常甚至超常发挥。 　　由此可见，要把数学学好就得找到适合自己的学习方法，了解数学学科的特点，使自己进入数学的广阔天地中去。

1951年，蒙日创造了“模糊集合”这个术语，但他将事物的“模糊性”与“随机性”混为一谈1965年，美国人扎德公布了题为“模糊集合”的论文，开创了模糊数学的时代

数学是无穷的科学. ——赫尔曼外尔 数学中的一些美丽定理具有这样的特性: 它们极易从事实中归纳出来, 但证明却隐藏的极深. 数学是科学之王. ——高斯 在数学的领域中, 提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要. ——康扥尔 只要一门科学分支能提出大量的问题, 它就充满着生命力, 而问题缺乏则预示独立发展的终止或衰亡. ——希尔伯特 在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么. ——毕达哥拉斯

等轴双曲线中，a=bc²=a²+b²=2a²c=√2 ae=c/a=√2a/a=√2离心率为√2

解：设所求等轴双曲线的标准方程为：x²-y²=k，把点（2，－4）的坐标代入得：k=-12，故：所求等轴双曲线的标准方程为：y²/12-x²/12=1

一般的，双曲线（希腊语“ὑπερβολή”，字面意思是“超过”或“超出”）是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。它还可以定义为与两个固定的点（叫做焦点）的距离差是常数的点的轨迹。这个固定的距离差是a的两倍，这里的a是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。a还叫做双曲线的实半轴。焦点位于贯穿轴上，它们的中间点叫做中心，中心一般位于原点处。在数学中，双曲线（多重双曲线或双曲线）是位于平面中的一种平滑曲线，由其几何特性或其解决方案组合的方程定义。双曲线有两片，称为连接的组件或分支，它们是彼此的镜像，类似于两个无限弓。双曲线是由平面和双锥相交形成的三种圆锥截面之一。（其他圆锥部分是抛物线和椭圆，圆是椭圆的特殊情况）如果平面与双锥的两半相交，但不通过锥体的顶点，则圆锥曲线是双曲线。注意：同外准圆相反，拥有内准圆的条件是a<b，离心率，所以双曲线内外准圆只能有其中一个。特别地，等轴双曲线（又叫直角双曲线，满足a=b）既没有内准圆也没有外准圆。这个性质可以简单记忆如下：双曲线内准圆的任意一条切线被双曲线截得的弦，对中心O的张角为直角。

设等轴双曲线C方程为(x/a)^2-(y/a)^2=1抛物线Y^2=-16X的准线为x=4,4^2-y^2=a^2,y=+-√(16-a^2)AB=2√(16-a^2)=4√3a^2=4,a=2C的实轴长=2a=4

不是固定格式 这样设避免了，分数的计算

虚轴=实轴的双曲线，即a=b。

等轴双曲线的标准方程为x^2-y^2=C(C≠0)由于双曲线过点（2，－4），代入标准方程可得 2^2-(-4)^2=4-16=-12所以过点（2，－4）的等轴双曲线的标准方程为x^2-y^2=-12

不会扣分，只要你没用错。不过基本不会用到的吧。

原理　　在有限维的情况，每个仿射变换可以由一个矩阵A和一个向量双仿射变换b给出，它可以写作A和一个附加的列b。一个仿射变换对应于一个矩阵和一个向量的乘法，而仿射变换的复合对应于普通的矩阵乘法，只要加入一个额外的行到矩阵的底下，这一行全部是0除了最右边是一个1，而列向量的底下要加上一个1.设在平面上给定了半径为r的圆O，若A′为过定点O的直线OA上一点，且有向线段OA与OA′满足OA·OA′=k^2(k为非零常数），则这种变换叫做关于⊙O（r）的反演变换，简称反演。称A′为A关于⊙O（r）的反演点，同样，A为A′关于⊙O（r）的反演点；圆心O称为反演中心或反演极；圆半径r称为反演半径；⊙O（r）称为反演（基）圆。

中国，肯定是中国人的

法国天文学家、数学家拉普拉斯，被称作法国的牛顿。他运用牛顿的数学及物理学模型，将研究领域拓展到整个宇宙，是天体力学的奠基人。在数学、物理方面都颇有所长。他在科学领域的成就举世瞩目，在私德上却总是为历史学家诟病。他对贵族头衔十分贪婪，竭力隐瞒自己的低微出身，努力试图跻身贵族；在政治上善于见风使舵，在法国大革命的风雨飘摇中，他历经数任政府依然屹立不倒，甚至每次政府垮台他都能得到一个更高的位置；他也偶尔抄袭“借鉴”同行的研究成果，希望后人以为是他一个人独创了天体运行的数学理论。1785年，是拉普拉斯的命运转折之年。正是在这一年里，他成为了拿破仑的老师，在当年的军事学校考试里，他作为拿破仑的主考官，通过了后者的入校考试。

①橡皮页变换用于纠正几何变形②仿射变换和相似变换都属于空间校正变换，用于坐标系内移动、平移数据或者转换单位仿射变换主要包括平移变换、旋转变换、尺度变换、倾斜变换（也叫错切变换、剪切变换、偏移变换）、翻转变换，一共有六个自由度（平移包括x方向平移和y方向平移，算两个自由度）。各变换的矩阵的形式：仿射变换主要包括平移变换、旋转变换、尺度变换、倾斜变换（也叫错切变换、剪切变换、偏移变换）、翻转变换，一共有六个自由度（平移包括x方向平移和y方向平移，算两个自由度）。各变换的矩阵的形式：      1> 平移变换请点击输入图片描述      2> 旋转变换     3> 尺度变换     4> 错切变换仿射变换保持二维图形的平直性和平行性，但是角度会改变，仿射变换的6个自由度中旋转占4个，另外两个是平移。它能保持平行性，但是不能保持垂直性（因为存在倾斜变换）。      1> 平直性：变换后直线还是直线、圆弧依旧是圆弧；      2> 平行性：平行线依旧平行，直线上点的位置顺序不变。相似变换相当于等距变换和均匀缩放的一个复合，即为：左上角2*2矩阵为旋转部分，右上角为平移因子。它有四个自由度，即旋转、x方向平移、y方向平移和缩放因子s。相似变换后长度比、夹角保持不变，其与相似三角形类似。因为相似变换中不存在倾斜变换（也叫错切变换、剪切变换、偏移变换）、翻转变换，而仿射变换中存在。虽然相似变换和仿射变换的变换矩阵一样，但是其定义不一样。

数学，易到生活中的几个数字，难到让学生瞠目结舌的习题，再到通过大型计算机才能计算的公式，抽象而又神秘。但丁伟岳却在这个知识上一扑数十年，凭借着对数学的热爱和科研的毅力，攻克了众多的难题。1945年4月26日，丁伟岳出生于上海市。毕业于北京大学的他之后又获得中科院数学研究所的硕士学位和博士学位。毕业后，丁伟岳一直从事数学方面的研究，曾在北京大学数学研究所任所长，曾任中国数学会副理事长等职位，并于1997年当选为中国科学院院士。多年来，丁伟岳在科研工作上不懈努力，关心青年人才的成长。作为国内最早在几何分析领域从事研究的数学家之一，他在为学和为人两方面能以身作则，去影响和帮助他所指导的学生和他所关心的青年人健康成长。他为几何分析在中国的发展以及该领域人才队伍的建设做出了一定的贡献。丁伟岳早期致力于常微分方程周期解存在性的研究，把著名的Poincare-Birkhoff不动点定理推广为便于应用于周期解问题的形式，该项工作至今仍不断被人引用。后来他又转向非线性偏微分方程及其几何应用的研究。他与他的学生合作关于二维球面预定数量曲率的共形度量存在性的工作，是在没有对称假设条件下的该问题的最早成果之一。他关于欧氏空间上Yamabe方程存在无穷多个整体变号解的工作，以及该方程在有界可缩域上正解存在性的工作，均为当时引人注目的成果。在著名的Nirenberg问题研究上，丁伟岳也取得了突破性进展。他首次证明了该问题有解的一种充分条件在调和映射的存在性与调和映射的热流的奇点研究方面取得了一系列成果。2014年11月11日，丁伟岳因病在北京逝世。丁伟岳教授为人正直，谦虚而憨厚，治学一丝不苟，始终保持着昂然向上的奋斗精神。学识渊博，思想敏锐，洞察力强，具有开拓精神。他梦绕魂牵的是民族振兴和中国数学的基础，因此为祖国培养青年数学家殚精竭虑，不遗余力。本作品为“科普中国-科技名家风采录”原创 转载时务请注明出处

60分万岁！

数学是一门很flexible的学科。就拿黎曼几何，可以有正截面曲率、负截面曲率、非正截面曲率、非负截面曲率、几乎非正（负）截面曲率、强非正（负）截面曲率、正（负）Ricci曲率、常Ricci曲率（Einstein流形）、常数量曲率、正（负）数量曲率等一堆乱七八糟的不同情形，然后你如果觉得还不过瘾的话，还可以把黎曼流形换成Finsler流形，换成复流形，换成orbifold，换成algebraic variety，换成scheme, stack...如果你想在数学里面找什么具有“唯一的、本质的”特性的东西，那么不好意思，我觉得你应该找不到。数学的精彩之处一部分就在于它的多样性，它的可变性，它的发散性，它的不可预测性，它的“乱来”性。。数学里面几乎没有什么“绝对的”标准，就连数学的逻辑基础——集合论，你也可以选择承认选择公理，你也可以选择承认选择公理的否定——决定性公理。你还可以选择不用集合论作为构建数学的基础，比如用category theory，type theory, etc.在我看来，数学其实就有点像一种游戏，一种可以调参数、改规则的游戏，只不过有些规则下面比较好玩，能走得更远，发现更多东西，然后人们就采用了这一套规则——这个规则可以是某套公理体系，也可以是某些新数学概念的可以随着时间改变而改变的定义，等等。如果你想从这样多变的数学里找出某种永恒不变的、优先于其他东西的、类似于上帝的“神性”的东西，我觉得是很有难度的。。说实话，宗教的绝对性、神圣性、以及某种意义上的限制性，和数学的创新气质、无穷无尽的想象力，是不太相搭配的。

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张量：一个物理量如果必须用n阶方阵描述，且满足某几种特定的运算规则（也就是说，这方阵通过这几种运算后得到的结果是规则指出的），则这个方阵描述的物理量称为张量。举例：矢量就是一个2阶张量，它可以用2阶方阵描述，且满足特定的运算规则（2阶情况下简化为平行四边形定则）。此外如函数和其梯度（场）、向量场、外微分形势、黎曼度量等都是张量注释：1、张量在物理上用的多，但是是一个数学的概念，是微分几何研究的一个方向2、概念的核心：张量的分量在坐标变换下满足适当的变换律

必须要有数学分析基础数学分析就是一般的微积分基础，主要概念就是函数的连续性，极限、微分、积分，以及相关应用。非数学专业一般在本科阶段接触。实变函数又叫实分析，研究自变量为实数的函数的最基本的分析性质，以集合论为基础，实变函数主要研究实值函数的连续性，微分和积分理论，还有测度理论。非数学专业一般在研究生阶段接触。

十遍函数学十遍，量子力学量力学，随机过程随机过。。。这都是顺口溜，没有任何依据。实变函数论和微积分都是属于分析这一分支。但是学实变函数，对于微积分并无多少帮助，因为它是微积分的后续课程。微积分所研究的，是可微，连续的“好”函数，但是还有很多“奇怪”的函数，比如连续却处处不可微的函数。简而言之，微积分研究的，是微分和积分两种互逆的运算，而实变函数，研究的是，什么样的函数，能参与到这种运算中来。在实变函数中，连续，可积等概念，都被推广了，以“测度”概念为核心。至于教材，首推Rudin的教材，他写的分析的书好几部，都很好。机械工业出版社有影印的英文版，也有翻译的中文版。此外，天才陶哲轩（数学界最高奖菲尔兹奖得主）写过一本，《陶哲轩实分析》。至于国内的，首推北大周民强老师的《实变函数论》。相对于物理学，国内与国外的数学教材差距较小。至于为什么难学，我觉得可能是由于觉得抽象。这一点，可以通过解题来克服，然后就会对那些奇形怪状的函数有了更好的认识，注意解题，非到万不得已，绝对不可以看答案。很多时候，看了答案，有“不过如此”的感觉，但是这不等于自己已经能够掌握理解。

设有集合A,那么集合A的闭包是指A的所有极限点的全体。以实数作为自变量的函数叫做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。它是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。所谓点集论，就是专门研究点所成的集合的性质的理论，也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题。实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论等。

以实数作为自变量的函数就做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。它是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。所谓点集论，就是专门研究点所成的集合的性质的理论，也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题。实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论等。

数学分析是基础课，讲极限，积分，微分，都是一些比较基础的理论证明，积分主要讲黎曼积分，涉及实数，复数等实分析讲的是实数域(包括更高维度)上的测度论与积分，此处的测度积分主要是勒贝格测度与积分，是一种更广泛的积分

说明虚步是0

记住：要把分母部分的复数实数化，只需分子分母同乘分母的共轭就行了。1).Bi÷（1+i）+（1+√3i）（1+√3i）=[i*(1-i)]/[(1+i)(1-i)]+（1+√3i）（1+√3i）=(1+i)/2-2+2√3i实部小于0，虚部大于0，在2象限。2).C（a+3i）÷（1+2i）=[（a+3i）(1-2i)]÷[(1+2i）(1-2i)]分母是实数，只需考虑分子部分。（a+3i）(1-2i)=a+6+3i-2ai纯虚数要求：实部=0，则a+6=0a=-6C

简单点就是实数+虚数，公式为a+bi,a是实数，bi代表虚数(例如根号-7无法运算，所以就找虚数符号i来帮忙，写成负根号7乘i)，当a=0，b≠0时，a+bi为纯虚数；当a≠0，b≠0时，a+bi为虚数；当a≠0，b=0时，a+bi为实数。

复数 （一）数学名词。由实数部分和虚数部分所组成的数，形如a＋bi 。其中a、b为实数，i 为“虚数单位”，i 的平方等于－1。a、b分别叫做复数a＋bi的实部和虚部。当b＝0时，a＋bi＝a 为实数；当b≠0时，a＋bi 又称虚数；当b≠0、a＝0时，bi 称为纯虚数。实数和虚数都是复数的子集。如同实数可以在数轴上表示一样，复数可以在平面上表示，这种表示通常被称为“阿干图示法”，以纪念瑞士数学家阿干(J.R.Argand，1768—1822)。复数x+yi以坐标黑点(x，y)来表示。表示复数的平面称为“复数平面”。如果两个复数的实部相等，虚部互为相反数，那么这两个复数称为共轭复数。 （二）与单数相对，指两个及两个以上。参考资料：http://bk.baidu.com/view/10078.htm

不同学科有不同定义，一、小学数学中复数是指双数，对应的是单数。（二）数学名词.由实数部分和虚数部分所组成的数,形如a＋bi .其中a、b为实数,i 为“虚数单位”,i 的平方等于－1.a、b分别叫做复数a＋bi的实部和虚部.当b＝0时,a＋bi＝a 为实数；当b≠0时,a＋bi 又称虚数；当b≠0、a＝0时,bi 称为纯虚数.实数和虚数都是复数的子集.如同实数可以在数轴上表示一样,复数可以在平面上表示,这种表示通常被称为“阿干图示法”,以纪念瑞士数学家阿干(J.R.Argand,1768—1822).复数x+yi以坐标黑点(x,y)来表示.表示复数的平面称为“复数平面”.如果两个复数的实部相等,虚部互为相反数,那么这两个复数称为共轭复数. （三）指在英语中与单数相对,两个及两个以上的可数名词.

M点对应复数z1=2-3i,∵点N和M关于x轴对称，∴点N对应复数z2=2+3i∵点P和N关于原点对称，∴点P对应复数z3=-2-3i

数的密是负数的数

数学名词。由实数部分和虚数部分所组成的数，形如a＋bi 。其中a、b为实数，i 为“虚数单位”，i 的平方等于－1。a、b分别叫做复数a＋bi的实部和虚部。当b＝0时，a＋bi＝a 为实数；当b≠0时，a＋bi 又称虚数；当b≠0、a＝0时，bi 称为纯虚数。实数和虚数都是复数的子集。如同实数可以在数轴上表示一样，复数可以在平面上表示，这种表示通常被称为“阿干图示法”，以纪念瑞士数学家阿干(J.R.Argand，1768—1822)。复数x+yi以坐标黑点(x，y)来表示。表示复数的平面称为“复数平面”。如果两个复数的实部相等，虚部互为相反数，那么这两个复数称为共轭复数。

古希腊： 毕达哥拉斯当代：歌德尔 哈代 中国：陈省身拉格朗日高斯这些是比较重要的人物