积分

你好，微积分，希望可以认识你... 呃！同学，你好，你想认识我，得先认识导数和积分，我其实是导数和积分的合体。 嗯！好吧！那我先了解一下什么是导数吧！ 导数是用来分析变化的一种工具。 那么，什么是变化率呢？首先变化就是变化的意思。例如孙悟空的七十二变，有七十二般变化。变化率是指在某一变化过程中的变化势头（是激烈还是缓慢），比如自行车爬坡的速度，从坡谷到坡顶的过程中，速度会随着功率输出和坡度的不同有不同的变化，速度变化最激烈是那一个点呢？ 坡度也会变化，最陡最峭的是那一段呢？ 这些，用导数就可以数值化表示。 现实生活中可以通过导数来推导很多变化趋势，及早规防、准备将进行的事，例如天气预报、股票分析、图像处理，又或者预测某人有无喝醉了酒，等等。 求导数即是求变化率，比较形象的计算方法是计算一条斜坡的斜率，假如这个坡没有高低起伏，像一条斜线，则它的斜率是恒定的，计算也很简单，从中(a)取一段距离(x)，用x距离后的位置减取x时的位置除以x就是计算这段距离的斜率的方法，写成公式： 。 求导，里面有一个称为“极限”的东西，什么是“极限”呢？ 比如做俯卧撑，一直做下去，总有一个数是你不能达到，但又可以无限接近的，这个数就是你做俯卧撑的极限，当你无限接近这个极限时你会出现什么情况，这个情况就是“导数”，千万不要把手都撑断了。 的斜率可以这样表示： 这个公式叫做函数f(a)的导函数，意思是： 当x无限接近0时，变化的结果是什么。 导函数可以用 表示，读做“f撇a”。 完整的导函数式： 这个公式称为基本求导公式 导数还有另外一种表示方法，对函数f(x)关于x的求导，可以表示为： 也可以表示为： 以可以表示为： 这里的d是英语“derivative(导数)"的第一个字母，上面几种方法表示对分子中的函数求关于分母中的变量的导数，与f撇的写法区别是，它明确表示出关于什么求导。 到此，大概也认识了导数，通过多点练习去加深印象吧，下面我们说说积分。 Hello，大家好，轮到我积分出场了，我这个积分可不是大家在某场所消费后获得的分数呵！ 积分是导数的逆运算，二者就像硬币正反面，也像镜外的实体和镜中的影像。利用积分可以求出变化的规律和不规则图形的面积。 哈哈！ 积分最早就是用来求圆形的面积的。 用符号 表示积分，这个符号和 有点相似， 笔画比 少了一小点，大家还记得导数的符号吗？ 导数的符号 ， 它比 多了一点，导数积分的中分正是原函数。 通过式子可以知道，求关于什么的积分，这个“什么”就要写 后面，例如上面求关于x时写成 。 积分是导数的逆运算，逆运算是倒过来算的意思，如果要计算 ， 只需要考虑“ 关于x求导得到f(x)的函数是什么 "，就可以算出积分。 来点例子？ 但是 求导后得到 的函数可不止 ，例如 ， 等等的原函数，经过求导后得到的也是 ， 因为对常数项求导等于0， 上面公式： 。 所以，如果只说求积分，我们可以得到很多答案，为此，人们想出了一种汇集所有答案的表示方法： 　重点：含有积分常数的积分叫做不定积分。 因为常数有无限多个，所以用“不定”来表达。 很少会有求不定积分的题目，都说了“不定”，无法求出具体答案的，求积分时，通常要增设一些条件，通过条件巧妙地把积分常数C消掉，固定了条件的积分称为“定积分”。 定积分和不定积分看起来相似，其实存在很大的差异。首先不定积分是之前介绍的“求导得到f(x)的函数”。假设原函数写成F(x), 则F(x)是“ ...... + C（C为积分常数）” 这样的形式。 而定积分呢？ 它比不定积分多了一项运算，该运算写成： 假如有一个表示当天股价的函数 k(x), “ " 意思是 。 例如： 表示 假设 f(x) 的不定积分为 F(x), 结合上面示例，定积分的表示为： 例如： F(x) = 3x + 771, 将a、b代入上式进行减法运算 由此可见，1.不定积分的积分会消掉， 2.定积分的结果不是函数，而是常数。 好吧，导分和积分大概就是这样子的了，想继续深入就要背公式和做练习啦！ 来到最后，我们的主角“微积分”要登场了，它是导数和积分的合体，下面看看它的真面目是怎样的 这个算式称为“ 微积分基本定理”。 公式供我们先认识一下，原理则留待下次再解释。因为我还没有弄懂！

答：我曾经答过一样的题。原式=∫(x^2+1)/[2(x^4+1)]dx-∫(x^2-1)/[2(x^4+1)]dx=1/2∫(1+1/x^2)/(x^2+1/x^2)dx-1/2∫(1-1/x^2)/(x^2+1/x^2)dx=1/2∫d(x-1/x)/[(x-1/x)^2+2]-1/2∫d(x+1/x)/[(x+1/x)^2-2]=1/4∫d(x-1/x)/[(x-1/x)^2/2+1]-1/2∫d(x+1/x)/[(x+1/x+√2)(x+1/x-√2)]=√2/4*arctan[(x-1/x)/√2]-1/4∫d(x+1/x)/(x+1/x+√2)-1/4∫d(x+1/x)/(x+1/x-√2)=√2/4*arctan[(x-1/x)/√2]-1/4*ln|x+1/x+√2|-1/4*ln|x+1/x-√2| +C

目录方法1：显微分1、如果一边的y表达式已经有了，用显导数解。2、把等式代入[f(x + dx) - f(x)]/dx。3、把因子展开成[dx(2x + dx)]/dx。4、以下是类似形式的导数式。方法2：隐微分1、若写不出y只在一边的的表达式，就要用隐微分来求导了。2、例子中 xy + 2y = 3x + 2y，把y 替换成 f(x)，提醒你y是一个函数。3、要求导此4、再把 f(x) 换成 y 。5、解出f"(x)。方法3：高阶求导1、一般情况下求高阶导数意思是求导数的导数（即二阶求导）。方法4：链式法则1、当y是 z的微分方程，z是x的微分方程，y是x的复合方程。导数可以用来获得一个曲线图的很多信息，包括最大、最小、峰值、谷值、斜率等等。甚至可以用导数来画出复杂方程！不幸的是，算导数的过程一般挺冗长，但是这篇文章会教你怎么简单来做。方法1：显微分1、如果一边的y表达式已经有了，用显导数解。2、把等式代入[f(x + dx) - f(x)]/dx。如 y = x，代入后[(x + dx) - x]/dx.3、把因子展开成[dx(2x + dx)]/dx。 把上下两个dx消去。得到2x + dx，让dx 趋近 0, 得到2x。这表示任何y = x 曲线的斜率是 2x。代入x，得到一个点的斜率4、以下是类似形式的导数式。任何次数的导数都是次数乘以原方程-1次。比如x 的导数是 5x， x 导数是 3.5x。若x前已有数字，直接和次数相乘就行。如3x 求导得12x。任何常数的导数是0。 8 的导数是0和的导数是导数的和。比如 x + 3x 求导得3x + 6x积的导数是第一项乘以后一项的导数加上后一项乘以前一项的导数。如 x(2x + 1) 得 x(2) + (2x + 1)3x，即8x + 3x商的导数是(假设是 f/g形式) [g(f导数) - f(g导数)]/g。(x + 2x - 21)/(x - 3) 求导得 (x - 6x + 15)/(x - 3)。方法2：隐微分1、若写不出y只在一边的的表达式，就要用隐微分来求导了。即便硬要把y写到一边，用 dy/dx 求导也很麻烦。下面例子告诉你如何解决这类问题2、例子中 xy + 2y = 3x + 2y，把y 替换成 f(x)，提醒你y是一个函数。然后就会变成xf(x) + 2[f(x)] = 3x + 2f(x) 。3、要求导此方程，求等式两侧的关于x的微分（求导的专业术语），得到：xf"(x) + 2xf(x) + 6[f(x)]f"(x) = 3 + 2f"(x).4、再把 f(x) 换成 y 。注意不要对f"(x)也替换，因为这东西和f(x)不一样。5、解出f"(x)。之后答案就会变成(3 - 2xy)/(x + 6y - 2)。方法3：高阶求导1、一般情况下求高阶导数意思是求导数的导数（即二阶求导）。如果叫你求三阶导数，意思是求导数的导数的导数。有的例子高阶导数会是0.方法4：链式法则1、当y是 z的微分方程，z是x的微分方程，y是x的复合方程。y关于x的导数 (dy/dx) 就是 (dy/du)*(du/dx)。链式法则可以用于复合次数项的等式，比如 (2x - x)。要求导，只要类似求积法则，把整个等式乘以次数，把整个等式的次数减一。然后把整个等式乘以内部项的导数，（这里是 2x - x）。答案就是3(2x - x)(8x - 1)。小提示无论何时看到一个很复杂的求导问题，不要担心，只要试试用乘积法则、商法则把方程切成尽量小的小块，然后各项求导。多练习练习乘积法则、商法则、链式法则，以及特别要注意的隐微分，这些东西在微积分中是难点。要熟悉计算器使用。试试计算器不同的功能来解出导数。尤其要知道怎么用切线、导数函数来解题（如果有这功能的话）要把基本的三角函数求导原理和使用方法记住。警告不要忘了商法则中减号是在f[g"(x)]前的。很多人犯这个错。

y"=3y"=-1/x^2

因为1-2cos2x与1/2*(2x)^2=2x^2等阶，所以limxf(x)除以（1-cos2x）=limf(x)/2x=1,因为f(0)=0,所以可用洛比达法则，即：limf(x)/2x=limf"(x)/2=1,其中x趋近于0，所以f"(0)=2

微积分、极限、导数、连续它们的关系是某个函数的各自变量对应变化区域与因变量所连续积累变化情况中它们之间几何占位关系。各个自变量的连续性是微分的具备性，微小变化的区域占有性，是函数可导的极限限制性，微分可导极限的连续性自然形成了积分的几何性。使用重积分导出圆锥体积公式可以看出这一点

导数和极限的关系：导数的定义就是某种形式极限，用定义求导数就是求某种形式极限。导数和导函数的关系：函数在任意点x处的导数f"（x）就是导函数。导数和微分的关系：在概念上是等价关系，在计算时有公式dy=f"（x）dx。导数和不定积分的关系：不定积分表示的是全体原函数，求原函数与求导运算互为逆运算。定积分的计算公式——牛顿莱布尼茨公式（微积分基本公式）是利用原函数来计算定积分的公式。

导数，微分，积分，到底什么关系 微分和导数基本类似，但是导数只有一个变量，微分可以有多元变量 积分的导数是微分 导数和微分,二者在本质上是一样的. 仅仅表示形式不同. 积分是导数（也是微分）的逆运算. 极限，导数，微分，定积分，到底什么关系 没有什么明确的关系。某函数的导数积分就是该函数微分就是不能定积分的积分，要用微分。极限就是就某条件的极值。 极限，导数，微分，不定积分，定积分，到底什么关系 极限是微分、导数、不定积分、定积分的基础，最初微积分由牛顿、莱布尼茨发现的时候，没有严格的定义，后来法国数学家柯西运用极限，使微积分有了严格的数学基础。极限是导数的基础，导数是极限的化简。微分是导数的变形，两相基本是同一个东西，相当于一个穿衣服，一个没穿衣服。积分是微分的逆运算，就象乘法一除法一样的关系。定积分是积分的特例，加上了区间，消除了常数C。 偏导数，微分，以及导数到底有什么关系和区别 导数：一般指一元函数而言，对只有一个自变量x的函数y，则对函数y求导得到导数y"，称之为函数y的导数。 偏导数：一般是针对多元函数而言，例如对有两个自变量x,y的函数z，则求z对y的导数，即为z对y的偏导数，书写为：z"y。 微分：存在一元微分和偏微分两种类型，与导数和偏导数的区别，只是书写的不同。例如，对一元函数而言，y的微分书写为：dy=y"dx；对有两个自变量x,y的函数z，则求z对y的导数，z对y的偏微分，书写为：のz=z"yのy。 方程和函数以及导数、微分、积分有什么关系 通俗地说， 导数是函数对于自变量的瞬时变化率; 微分是函数变量的无限平分; 积分是函数变量的无限累积相加。 显然，微分和积分是互为可逆运算。 一元函数 二元函数中，微分和导数到底什么关系？ 微分是指y的微小变化量dy,导数是指y对于x的微小变化量dy/dx 函数，极限，导数，连续，微分，积分的关系？ 一个数学体系 ! 找<高度数学>就能看明白了! 导数，微分与积分的关系，拜托了 导数得到的是一个函数 如果再代入这一点的数字 就表示导数，即变化率的大小 而微分是表示变化的微小量 实际上微分dy就等于导数乘以dx 积分则是函数在某区间的积累 什么是微积分 微分 积分 导数 极限 平面几何是平直的几何 我们可以把曲线看成是很短的直线接起来的，可以把曲面（比如球面）看成是很小的平面拼起来的,这就是微积分的基本思想。 有了微积分，我们可以处理弯曲空间的几何问题 时空也是弯曲的，要懂时空，你得懂微分几何

不定积分没有积分区间，定积分有积分区间，就想出这些啦~

一个数学体系 !找<高度数学>就能看明白了!

设 为局部可积函数，对 , 左侧 阶 R-L 分数阶积分定义为： 其中 为 Gamma 函数，定义为 设 为局部可积函数，对 , 右侧 阶 R-L 分数阶积分定义为： 注意左右侧积分的定义除了在积分区间上的差别，积分函数也有所差别。 设 为局部可积函数，对 左侧 阶 R-L 分数阶导数定义为： 这里的 为 的向上取整，即 上述式子利用分数阶积分的定义可简单记为：设 为局部可积函数，对 左侧 阶R-L分数阶导数定义为： 同样的，上述式子利用分数阶积分的定义可简单记为： 与分数阶积分一样，左右侧分数阶导数也有细微的差别。

从你的叙述来看你可能只学过Newton-Leibniz公式。你问的含参变量积分问题都需要多元函数的知识，学过就知道了。

如果上下限都是常数那么定积分求导得到的当然是0而如果上下限中有未知数就将上下限代替积分中的积分参数再乘以对上下限的求导得到的就是整个式子的导数

图

求导过程如下：函数f(x)在区间[a,b]上的积分和的极限。这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式），其它一点关系都没有。定积分定理：把函数在某个区间上的图象【a，b】分成n份，用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，再求当n→+∞时所有这些矩形面积的和。一个定积分式的值，就是原函数在上限的值与原函数在下限的值的差。揭示了积分与黎曼积分本质的联系，可见其在微积分学以至更高等的数学上的重要地位，因此，牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理。

定积分没有乘除法则，多数用换元积分法和分部积分法。 换元积分法就是对复合函数使用的：设y = f(u)，u = g(x)∫ f[g(x)]g"(x) dx = ∫ f(u) du换元积分法有分第一换元积分法：设u = h(x)，du = h"(x) dx和第二换元积分法：即用三角函数化简，设x = sinθ、x = tanθ及x = secθ还有将三角函数的积分化为有理函数的积分的换元法：设u = tan(x/2)，dx = 2/(1 + u²) du，sinx = 2u/(1 + u²)，cosx = (1 - u²)/(1 + u²)分部积分法多数对有乘积关系的函数使用的：∫ uv" dx= ∫ udv= uv - ∫ vdu= uv - ∫ vu" du其中函数v比函数u简单，籍此简化u。是由导数的乘法则(uv)" = uv" + vu"推导过来的。有时候v" = 1的，例如求∫ lnx dx、∫ ln(1 + x) dx等等。还有个有理积分法：将一个大分数分裂为几个小分数。例如1/(x² + 3x + 2) = 1/((x + 1)(x + 2)) = 1/(x + 1) - 1/(x + 2)

乘积的导数公式

这三个都属变限积分的求导，第一题结果为0，所求变量为dx，在上下限中均不含有，即后者定积分结果为常数，则导数为0，则d/dx∫(a，b)sinx^2dx=0。第二题是da，则d/da∫(a，b)sinx^2dx=-d/da∫(b，a)sinx^2dx=-sⅰna^2。第三题是db，则d/db∫(a，b)sinx^2dx=sinb^2。

先从变上限的定积分开始吧,当上限变化时,定积分就变成了一个函数,意义是面积随上限变化而变化,既然是函数,就可以求导,意义就是这个所谓的面积函数的变化率呗~,比较复杂的是上下限都在变化,这只是上限和下限变化的复合情况而已~ 方法就是套公式呗~

若积分上下限有未知的量，还需要对其求导

南理工的？

求导和积分互为逆运算，算不算区别？怎么会有这样的问题？学进去自然就清楚了。

　 　(d/dx)∫[0, x](x-t)f(t)dt　　= (d/dx)[x∫[0, x]f(t)dt - ∫[0, x]tf(t)dt]　　= ∫[0, x]f(t)dt + xf(x) - xf(x)　　= ∫[0, x]f(t)dt。学数学的关键在于 “做”，就是亲自动手，结果就在你面前出现了。

求导过程如下：定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上的积分和的极限。这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式），其它一点关系都没有。“求定积分”和“定积分求导”的区别算方向不同1、求定积分：求出原函数后，上下限代入原函数相减就可以了。如果用爷爷、父亲、儿子来比喻，父亲比作定积分，那么求定积分就是算出爷爷，也就是所谓的原函数。2、定积分求导：如果定积分的上下限中，至少一个不是常数，是变量x(或变量x的函数)，则对于每一个取定的x值，定积分有一个对应值，这就是积分变限函数了。同样，如果用爷爷、父亲、儿子来比喻，父亲比作定积分，那么定积分求导就是求儿子，只不过这个“儿子”不是一个数值，而是一个式子。

先对里面的函数求导(此时积分符号要加上）然后再把被积函数中的t换成x,两部分相加。在本题中第二部分就是0.所以你直接写上第一部分即可

定积分求导公式：例题：扩展资料：定积分一般定理：1、设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。2、设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。3、设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。3、牛顿-莱布尼茨公式：如果f(x)是[a,b]上的连续函数，并且有F′(x)=f(x)，那么用文字表述为：一个定积分式的值，就是原函数在上限的值与原函数在下限的值的差。一般求导公式：1、C"=0(C为常数)；2、(Xn)"=nX(n-1)(n∈R)；3、(sinX)"=cosX；4、(cosX)"=-sinX；5、(aX)"=aXIna（ln为自然对数)；6、(logaX)"=（1/X)logae=1/(Xlna)(a>0，且a≠1)；7、(tanX)"=1/(cosX)2=(secX)28.、cotX)"=-1/(sinX)2=-(cscX)29、(secX)"=tanXsecX；10、(cscX)"=-cotXcscX；参考资料：百度百科-定积分

设积分下限为h(x)，上限为g(x)，积分式为f(x)，积分后求导，如下：[∫((h(x)->g(x))f(x)dx]"=f(g(x))*[ g(x)]"- f(h(x))*[ h(x)]"

变上限积分函数的复合导数 按复合求导 外函数求导后再乘上变上限积分函数的导数就行了 答案 2*(积分符号e^t^2dt 上下限为x,0)*e^x^2

分式上边那部分是吧，x和t分别乘出来，即 ∫xf（t）dt—∫tf（t）dt ，可以写成 x∫f（t）dt—tf（t）dt，由于是对x求导，后面那部分没有x求导是零，所以只剩前边部分的导数∫f（t）dt

极限是微分、导数、不定积分、定积分的基础，最初微积分由牛顿、莱布尼茨发现的时候，没有严格的定义，后来法国数学家柯西运用极限，使微积分有了严格的数学基础。极限是导数的基础，导数是极限的化简。微分是导数的变形，两相基本是同一个东西，相当于一个穿衣服，一个没穿衣服。积分是微分的逆运算，就象乘法一除法一样的关系。定积分是积分的特例，加上了区间，消除了常数C。

导数导数（derivative）亦名微商,由速度问题和切线问题抽象出来的数学概念.又称变化率.微分分为一元微分和多元微分不定积分不定积分计算的是原函数（得出的结果是一个式子）定积分计算的是具体的数值（得出的借给是一个具体的数字）不定积分是微分的逆运算而定积分是建立在不定积分的基础上把值代进去相减定积分

简单地说，积分是导数的逆运算。导数（或导函数）是分析一个函数斜率的变化，一个可微函数有唯一的导函数，但被积函数的不定积分则有无数个。比如说：y=f(x)=4x^2+1这个函数可微，它的导函数就是：f‘（x）=8x如果已知导函数，求原函数的过程就是积分，即已知f"（x）=8x它的不定积分就是：∫ 8x dx =4x^2+C 这里的C代表常数。因为只根据被积函数无法求得原函数的常数项部分，所以不定积分的结果有无数个，C可能是任何量。

设原函数为F（x）原式=F"(lnt)-F"(1)=F"(lnt)=(e^lnt/lnt)"=(lnt-1)/（lnt）^2参考微积分基本定理，求导公式

定积分没有导数吧？或者说导数是0。变上限和变下限积分倒是有导数的

[∫[0,x] f(t)dt]"=f(x)即：变动上限积分对变动上限的导数，等于将变动上限带入被积函数。例：F(x)=∫[0,x] sint/t dt 尽管 sint/t 的原函数 F(x) 无法用初等函数表示，但F(x)的导数却可以根据【变动上限积分求导法则】算出：[F(x)]"=[∫[0,x] sint/t dt ]"=sinx/x一般形式的【变动上限积分求导法则】为：【∫[φ(x) ,ψ(x)] f(t)dt】" = f(φ(x))φ"(x)-f(ψ(x))ψ"(x)设函数y=f(x) 在区间[a，b]上可积，对任意x∈[a，b]，y=f(x)在[a，x] 上可积，且它的值与x构成一种对应关系（如概述中的图片所示），称Φ(x)为变上限的定积分函数。扩展资料：如果一个函数的积分存在，并且有限，就说这个函数是可积的。一般来说，被积函数不一定只有一个变量，积分域也可以是不同维度的空间，甚至是没有直观几何意义的抽象空间。定义某些特殊的函数：在某些积分的定义下这些函数不可积分，但在另一些定义之下它们的积分存在。然而有时也会因为教学的原因造成定义上的差别。最常见的积分定义是黎曼积分和勒贝格积分。参考资料来源：百度百科——积分上限函数

类型1、下限为常数，上限为函数类型第一步：对于这种类型只需将上限函数代入到积分的原函数中去，再对上限函数进行求导。第二步：对下面的函数进行求导，只需将“X”替换为“t”再进求导即可。类型2、下限为函数，上限为常数类型第一步：基本类型如下图，需要添加“负号”将下限的函数转换到上限，再按第一种类型进行求导即可。第二步：题例如下，添加“负号”转换为变上限积分函数求导即可。类型3、上下限均为函数类型第一步：这种情况需要将其分为两个定积分来求导，因为原函数是连续可导的，所以首先通过“0”将区间[h(x),g(x)]分为[h(x),0]和[0,g(x)]两个区间来进行求导。第二步：然后将后面的变下限积分求导转换为变上限积分求导。第三步：接着对两个区间的变上限积分分别求导即可得到下面公式。第四步：对于这种题，可以直接套公式，也可以自己推导。总结对于变限积分求导，通常将其转换为变上限积分求导，求导时，将上限的变量代入到被积函数中去，再对变量求导即可。扩展资料众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。微分实际上是函数的微小的增量，函数在某一点的导数值乘以自变量以这点为起点的增量，得到的就是函数的微分；它近似等于函数的实际增量（这里主要是针对一元函数而言)。而积分是已知一函数的导数，求这一函数。所以，微分与积分互为逆运算。实际上，积分还可以分为两部分。第一种，是单纯的积分，也就是已知导数求原函数，而若F(x)的导数是f(x)，那么F(x)+C（C是常数）的导数也是f(x)，也就是说，把f(x)积分，不一定能得到F(x)。因为F(x)+C的导数也是f(x)，C是任意的常数，所以f(x)积分的结果有无数个，是不确定的，我们一律用F(x)+C代替，这就称为不定积分。用公式表示是:f"(x)=g(x)->∫g(x)dx=f(x)+c

∫(1 1/x) xf(u)du)=x∫1 1/x) f(u)du 这里x要提出来

例子：选择x作导数，e^x作原函数，则积分=xe^x-se^xdx=xe^x-e^x+C一般可以用分部积分法: 形式是这样的: 积分:u(x)v"(x)dx=u(x)v(x)-积分:u"(x)v(x)dx 被积函数的选择。扩展资料积分分类不定积分（Indefinite integral）即已知导数求原函数。若F′(x)=f(x)，那么[F(x)+C]′=f(x).(C∈R C为常数).也就是说，把f(x)积分，不一定能得到F(x)，因为F(x)+C的导数也是f(x)（C是任意常数）。所以f(x)积分的结果有无数个，是不确定的。我们一律用F(x)+C代替，这就称为不定积分。即如果一个导数有原函数，那么它就有无定积分限多个原函数。定积分 （definite integral）定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中的图像包围的面积。即由 y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积。这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。

不是，是不定积分，原式+C

原式 = ∫<-1, 1>[x^3/(2+cosx)]dx + ∫<-1, 1>[(2cosx+4)/(2+cosx)]dx= 0 + 2∫<0, 1>[(2cosx+4)/(2+cosx)]dx= 2∫<0, 1>2 dx = 4

定积分=∫(a,b)f(x)dx,其中上下限a，b为常数。则∫(a,b)f(x)dx=c，c为定值。所以其导数=c"=0.

Where is your problem？ I don"t see it.

这个导数的结果当然不是0啦,要先理解定积分的概念如果定积分的形式为∫(a到b)f(t)dt,(a和b是常数)则这类积分的结果是常数,它的导数当然等于0但如果定积分的形式为∫(a到x)f(t)dt,(a是常数而x是变数),则这类积分的结果也是函数式,它的导数可能等于常数或函数式,但不等于0,这类积分是变上限定积分,与普通的定积分不同d/dx∫(a到x)(x-t)f"(t)dt=d/dx【∫(a到x)(x-t)d[f(t)]】=d/dx【(x-t)f(t)(a到x)-∫(a到x)f(t)d(x-t)】=d/dx【(x-x)f(x)-(x-a)f(a)+∫(a到x)f(t)dt】=d/dx【-xf(a)+af(a)】+d/dx∫(a到x)f(t)dt=-f(a)+f(x)=f(x)-f(a)=∫(a到x)f"(t)dt

定积分求导解答过程如下：求导是数学计算中的一个计算方法，它的定义就是，当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。扩展资料求导四则运算法则与性质：1.若函数u(x),v(x)都可导，则2.加减乘都可以推广到n个函数的情况，例如乘法：3.数乘性作为乘法法则的特例若为u(x)×常数c，则 这说明常数可任意进出导数符号。4.线性性求导运算也是满足线性性的，即可加性、数乘性，对于n个函数的情况：参考资料：百度百科求导

应为f"(x)=[x∫[0,x]g(u)du+(x^2/2)g(x)]-[∫[0,x]ug(u)du+xxg(x)]+(1/2)x^2g(x)=x∫[0,x]g(u)du-∫[0,x]ug(u)duf""(x)=[∫[0,x]g(u)du+xg(x)]-xg(x)=∫[0,x]g(u)duf"""(x)=g(x)含有x的项和积分限上有x都应看成是x的函数，两个含x的函数的乘积要用乘积求导公式。你的问题是没有注意到前面两个导数的求解后有抵消的部分，从而导致有错误的理解

假设不定积分∫1/√(1+t^3)dt=F(t)则F"(t)=1/√(1+t^3)定积分<0→x^2>∫1/√(1+t^3)dt=F(x^2)-F(0)[定积分<0→x^2>∫1/√(1+t^3)dt]"=[F(x^2)-F(0)]"=F"(x^2)*2x-0=2x/√(1+x^6)同理设G(t)=∫1/(√1+t^4)dt原积分=G(x^3)-G(x^2)原积分"=G"(x^3)*3x^2 -G"(x^2)*2x=3x^2/√(1+x^12) -2x/√(1+x^8)

sinx∧2

求导过程如下：定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上的积分和的极限。这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式），其它一点关系都没有。“求定积分”和“定积分求导”的区别算方向不同1、求定积分：求出原函数后，上下限代入原函数相减就可以了。如果用爷爷、父亲、儿子来比喻，父亲比作定积分，那么求定积分就是算出爷爷，也就是所谓的原函数。2、定积分求导：如果定积分的上下限中，至少一个不是常数，是变量x(或变量x的函数)，则对于每一个取定的x值，定积分有一个对应值，这就是积分变限函数了。同样，如果用爷爷、父亲、儿子来比喻，父亲比作定积分，那么定积分求导就是求儿子，只不过这个“儿子”不是一个数值，而是一个式子。

定积分的导数是多少查阅后告诉你可以吗

定积分求导公式：例题：扩展资料：定积分一般定理：1、设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。2、设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。3、设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。3、牛顿-莱布尼茨公式：如果f(x)是[a,b]上的连续函数，并且有F′(x)=f(x)，那么用文字表述为：一个定积分式的值，就是原函数在上限的值与原函数在下限的值的差。一般求导公式：1、C"=0(C为常数)；2、(Xn)"=nX(n-1) (n∈R)；3、(sinX)"=cosX；4、(cosX)"=-sinX；5、(aX)"=aXIna （ln为自然对数)；6、(logaX)"=（1/X)logae=1/(Xlna) (a>0，且a≠1)；7、(tanX)"=1/(cosX)2=(secX)28.、cotX)"=-1/(sinX)2=-(cscX)29、(secX)"=tanX secX；10、(cscX)"=-cotX cscX；参考资料：百度百科-定积分

求导过程如下：定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上的积分和的极限。这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式），其它一点关系都没有。“求定积分”和“定积分求导”的区别算方向不同1、求定积分：求出原函数后，上下限代入原函数相减就可以了。如果用爷爷、父亲、儿子来比喻，父亲比作定积分，那么求定积分就是算出爷爷，也就是所谓的原函数。2、定积分求导：如果定积分的上下限中，至少一个不是常数，是变量x(或变量x的函数)，则对于每一个取定的x值，定积分有一个对应值，这就是积分变限函数了。同样，如果用爷爷、父亲、儿子来比喻，父亲比作定积分，那么定积分求导就是求儿子，只不过这个“儿子”不是一个数值，而是一个式子。

微积分包括微分和积分积分包括不定积分和定积分其中不定积分没有积分上下限所得原函数后面加一个常数c定积分是在不定积分的基础上加上了积分上下限所得的是数dy/dx叫导数将dx乘到等式右边就是微分

变上限积分的导数就等于被积函数所以第一题答案为√（2+x)第二题，令u=e^x,所以这个变上限定积分就是两个函数的复合函数，根据复合函数求导法则：原式=ln(1+u)/u×U"(x)=ln(1+u)/u×e^x=ln(1+e^x)

就是求一个函数的导数= sint^2dt 你那个DT我不知道是什么 我另举个例子 fx^2 区间 （2.3） 1/3 x^3的导数是 x^2 就是 f(x)=1/3X^3 把2,3代入 f(3)-f(2) 这就是定积分 如果是求面积 要加绝对值

定积分是一个数，不定积分与变限积分都是函数，定积分导数是O，不定和变限就不用我说了吧

[∫（g（x），c）f（x）dx]"=f（g（x））*g"（x），g（x）为积分上限函数。[∫（g（x），p（x））f（x）dx]"=f（g（x））*g"（x）-f（p（x））*p"（x），g（x）为积分上限函数，p（x）为积分下限函数。 积分上限为函数的求导公式等于被积函数以积分上限为自变量的函数值乘以积分上限的导数。 积分上下限为函数的求导公式等于被积函数以积分上限为自变量的函数值乘以积分上限的导数-被积函数以积分下限为自变量的函数值乘以积分下限的导数。 对于积分上下限为常数的积分函数，其导数=0，即[∫（a，c）f（x）dx]"=0，a，c为常数。

∫(x,3x)dt=t|(x,3x)=3x-x=2x

不定积分就是算原函数,故和求导是相反的过程. 而定积分是一种无限求和.或者你学多一点就会发现这种求和可以归结为到一种叫网的极限中去,所以其实是一种极限过程.

假设不定积分∫1/√(1+t^3)dt=F(t)则F"(t)=1/√(1+t^3)定积分<0→x^2>∫1/√(1+t^3)dt=F(x^2)-F(0)[定积分<0→x^2>∫1/√(1+t^3)dt]"=[F(x^2)-F(0)]"=F"(x^2)*2x-0=2x/√(1+x^6)同理设G(t)=∫1/(√1+t^4)dt原积分=G(x^3)-G(x^2)原积分"=G"(x^3)*3x^2-G"(x^2)*2x=3x^2/√(1+x^12)-2x/√(1+x^8)

定积分是一个常数,导数为0,你问的应该是变限积分函数吧设变限积分函数F(x) = ∫[a(x),b(x)] f(t) dt则dF(x)/dx = d[ ∫[a(x),b(x)] f(t) dt ]/dx = f[b(x)] * d[b(x)]/dx - f[a(x)] * d[a(x)]/dx此处最好不要写成F"(...

众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。微分实际上是函数的微小的增量，函数在某一点的导数值乘以自变量以这点为起点的增量，得到的就是函数的微分；它近似等于函数的实际增量（这里主要是针对一元函数而言)。而积分是已知一函数的导数，求这一函数。所以，微分与积分互为逆运算。实际上，积分还可以分为两部分。第一种，是单纯的积分，也就是已知导数求原函数，而若F(x)的导数是f(x)，那么F(x)+C（C是常数）的导数也是f(x)，也就是说，把f(x)积分，不一定能得到F(x)。因为F(x)+C的导数也是f(x)，C是任意的常数，所以f(x)积分的结果有无数个，是不确定的，我们一律用F(x)+C代替，这就称为不定积分。用公式表示是:f"(x)=g(x)->∫g(x)dx=f(x)+c

对有积分上下限函数的求导有以下公式:[∫(a,c)f(x)dx]"=0，a，c为常数。解释：对于积分上下限为常数的积分函数，其导数=0.[∫(g(x),c)f(x)dx]"=f(g(x))*g"(x)，a为常数，g(x)为积分上限函数，解释：积分上限为函数的求导公式=被积函数以积分上限为自变量的函数值乘以积分上限的导数。[∫(g(x),p(x))f(x)dx]"=f(g(x))*g"(x)-f(p(x))*p"(x),a为常数，g(x)为积分上限函数，p(x)为积分下限函数。解释：积分上下限为函数的求导公式=被积函数以积分上限为自变量的函数值乘以积分上限的导数-被积函数以积分下限为自变量的函数值乘以积分下限的导数。

F(x)=(1/2)*∫(0,x) (x^2-2xt+t^2)*g(t)dt=(1/2)*[x^2*∫(0,x) g(t)dt-2x*∫(0,x) tg(t)dt+∫(0,x)t^2*g(t)dt]F"(x)=(1/2)*[2x*∫(0,x) g(t)dt+x^2*g(x)-2∫(0,x) tg(t)dt-2x^2*g(x)+x^2*g(x)]=(1/2)*[(2x-2)*∫(0,x) g(t)dt]=(x-1)*∫(0,x) g(t)dt

变上限积分的导数就等于被积函数所以第一题答案为√（2+x)第二题，令u=e^x,所以这个变上限定积分就是两个函数的复合函数，根据复合函数求导法则：原式=ln(1+u)/u×U"(x)=ln(1+u)/u×e^x=ln(1+e^x)

对有积分上下限函数的求导有以下公式:[∫(a,c)f(x)dx]"=0，a，c为常数。解释：对于积分上下限为常数的积分函数，其导数=0.[∫(g(x),c)f(x)dx]"=f(g(x))*g"(x)，a为常数，g(x)为积分上限函数，解释：积分上限为函数的求导公式=被积函数以积分上限为自变量的函数值乘以积分上限的导数。[∫(g(x),p(x))f(x)dx]"=f(g(x))*g"(x)-f(p(x))*p"(x),a为常数，g(x)为积分上限函数，p(x)为积分下限函数。解释：积分上下限为函数的求导公式=被积函数以积分上限为自变量的函数值乘以积分上限的导数-被积函数以积分下限为自变量的函数值乘以积分下限的导数。

对于变积分上下限积分求导其实可以当作公式来记，假设被积函数为f(x).积分上限为P(x)下限为Q(x)，则对积分求导后为F"(x)=fP"(x)-f[Q(x)]Q"(x)这是一个通用公式，通常上下限中有一个是常数

是的，可以这么认为。如果原函数是f(x)的话那么f(x)"＝g(x)就是它的导函数，而∫g(x)dx＝f(x)就是对g(x)的积分

谁言寸草心，

如图所示：

工商银行相关人士表示，工商银行在智慧民生、数字政务、商事赋能、乡村振兴、同业代理等领域已经成功试点一批应用场景，形成了全面的个人和对公数字人民币钱包产品体系，

其实对于这类题，是有公式的。这里提供两个方法。第一个，公式法第二个，一般法

网上有这个图片，高数课本上的，你有什么疑问

定积分出来的结果就是一个值！所以定积分的导数就是0，因为常数的导数为零！但你要注意与变上限积分和反常积分区分开来！变上限积分是指上限是积分变量x的函数这样的积分，反常积分中的瑕积分是指函数在积分区间中的某点的函数值为正无穷大，这两种积分与定积分的形状类似，要注意。

定积分相当于是一个值，常数，求导为0

定积分的导数是0，是一个常数。不定积分求导的结果是被积式加一个常数。几何定义：可以理解为在Oxy坐标平面上，由曲线y=f(x)与直线x=a,x=b以及x轴围成的曲边梯形的面积值（一种确定的实数值）。 扩展资料 　　记作/ab f(x) dx 即 /ab f(x) dx ＝limn>00 [f(r1)+...+f(rn)]， 这里，a 与 b叫做积分下限与积分上限，区间[a,b] 叫做积分区间，函数f(x) 叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积式。 　　积分区间都是常数的话，那就是f(x),如果积分区间是其他函数表示那就是还要乘区间函数导数f(x)[b"-a"] 　　定积分是积分的`一种，是函数f(x)在区间[a,b]上的积分和的极限。变上限积分求导，直接把上限往下放，把被积函数里的x换成t就是导数！ 　　定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中的图像包围的面积。即由 y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积。这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。

定积分求导解答过程如下：求导是数学计算中的一个计算方法，它的定义就是，当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。扩展资料求导四则运算法则与性质：1.若函数u(x),v(x)都可导，则2.加减乘都可以推广到n个函数的情况，例如乘法：3.数乘性作为乘法法则的特例若为u(x)×常数c，则 这说明常数可任意进出导数符号。4.线性性求导运算也是满足线性性的，即可加性、数乘性，对于n个函数的情况：参考资料：百度百科求导

微积分怎么求导微积分求导的基本方法是根据链式法则计算函数的导数，也就是使用微分的定义式来进行求导。首先需要找出函数的表达式，然后使用微分的定义式来计算函数的导数。此外，也可以使用极限法来求导，即不一定要找出函数的表达式，而是根据自变量x的极限情况来求导。如果是复杂的多元函数，可以使用偏导数来求出各自变量对函数值的导数。

1、历史发展不同：微分的历史比积分悠久。希腊时期，人类讨论「无穷」、「极限」以及「无穷分割」等概念是微分的来源基础。而积分是由德国数学家波恩哈德·黎曼于19世纪提出的概念。黎曼的定义运用了极限的概念，把曲边梯形设想为一系列矩形组合的极限。2、数学表达不同：微分：导数和微分在书写的形式有些区别，如y"=f(x)，则为导数，书写成dy=f(x)dx，则为微分。积分：设F(x)为函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C（C为任意常数），叫做函数f(x)的不定积分，数学表达式为：若f"(x)=g(x)，则有∫g(x)dx=f(x)+c。微积分的基本公式共有四大公式：1、牛顿-莱布尼茨公式，又称为微积分基本公式；2、格林公式，把封闭的曲线积分化为区域内的二重积分，它是平面向量场散度的二重积分；3、高斯公式，把曲面积分化为区域内的三重积分，它是平面向量场散度的三重积分；4、斯托克斯公式，与旋度有关。

微积分学是微分学和积分学的总称。 客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。 由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个创造。 微积分学的建立 从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了。 公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。 到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。 十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。 十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题(积分学的中心问题)。 牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。 牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法)。 德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者，1684年，他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》。就是这样一片说理也颇含糊的文章，却有划时代的意义。他以含有现代的微分符号和基本微分法则。1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。他是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。 微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。 前面已经提到，一门科学的创立决不是某一个人的业绩，他必定是经过多少人的努力后，在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的。微积分也是这样。 不幸的事，由于人们在欣赏微积分的宏伟功效之余，在提出谁是这门学科的创立者的时候，竟然引起了一场悍然大波，造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立。英国数学在一个时期里闭关锁国，囿于民族偏见，过于拘泥在牛顿的“流数术”中停步不前，因而数学发展整整落后了一百年。 其实，牛顿和莱布尼茨分别是自己独立研究，在大体上相近的时间里先后完成的。比较特殊的是牛顿创立微积分要比莱布尼词早10年左右，但是整是公开发表微积分这一理论，莱布尼茨却要比牛顿发表早三年。他们的研究各有长处，也都各有短处。那时候，由于民族偏见，关于发明优先权的争论竟从1699年始延续了一百多年。 应该指出，这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样，牛顿和莱布尼茨的工作也都是很不完善的。他们在无穷和无穷小量这个问题上，其说不一，十分含糊。牛顿的无穷小量，有时候是零，有时候不是零而是有限的小量；莱布尼茨的也不能自圆其说。这些基础方面的缺陷，最终导致了第二次数学危机的产生。 直到19世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认真研究，建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为了微积分的坚定基础。才使微积分进一步的发展开来。 任何新兴的、具有无量前途的科学成就都吸引着广大的科学工作者。在微积分的历史上也闪烁着这样的一些明星：瑞士的雅科布·贝努利和他的兄弟约翰·贝努利、欧拉、法国的拉格朗日、科西…… 欧氏几何也好，上古和中世纪的代数学也好，都是一种常量数学，微积分才是真正的变量数学，是数学中的大革命。微积分是高等数学的主要分支，不只是局限在解决力学中的变速问题，它驰骋在近代和现代科学技术园地里，建立了数不清的丰功伟绩。 微积分的基本内容 研究函数，从量的方面研究事物运动变化是微积分的基本方法。这种方法叫做数学分析。 本来从广义上说，数学分析包括微积分、函数论等许多分支学科，但是现在一般已习惯于把数学分析和微积分等同起来，数学分析成了微积分的同义词，一提数学分析就知道是指微积分。微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学。 微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等。 积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。 微积分是与应用联系着发展起来的，最初牛顿应用微积分学及微分方程为了从万有引力定律导出了开普勒行星运动三定律。此后，微积分学极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。