积分

分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法，它是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。它的主要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的，常用的分部积分的根据组成被积函数的基本函数类型，将分部积分的顺序整理为口诀：“反对幂指三”，分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数的积分。直接积分法直接积分法简单的理解就是使用函数导数公式能一两步写出结果的情形。例如：y=ax，则y‘=a，故而∫adx=ax+C。y=x^2，则y‘=2x，故而∫2xdx=x^2+C。y=e^x，则y‘=e^x，故而∫e^xdx=e^x+C。y=lnx，则y‘=1/x，故而∫dx/x=lnx+C。

定积分基本公式：积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。在应用上，积分作用不仅如此，它被大量应用于求和，通俗的说是求曲边三角形的面积，这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。主要分为定积分、不定积分以及其他积分。积分的性质主要有线性性、保号性、极大值极小值、绝对连续性、绝对值积分等。扩展资料定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式），其它一点关系都没有。一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。参考资料来源：百度百科-定积分

实际上应该这样来想对长度进行定积分得到的就是面积这里用y(x)对x在a到b上定积分即∫(a到b) y(x) dx得到的就是y(x)与x轴围成的面积请在此输入您的回答

定积分的分部积分法公式如下：(uv)"=u"v+uv"。得：u"v=(uv)"-uv"。两边积分得：∫u"v dx=∫(uv)" dx -∫uv" dx。即：∫u"v dx = uv -∫uv" dx，这就是分部积分公式。也可简写为：∫v du = uv -∫u dv。（左下角的下方写下限a和左上角的上方写上限b）。定积分的相关介绍定积分是积分的一种，是函数在区间上积分和的极限。一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

定积分的换元法大致有两类：第一类是凑微分，例如xdx=1/2dx²，积分变量仍然是x，只是把x²看着一个整体，积分限不变。第二类，令x=x(t)，自然有dx=dx(t)=x"(t)dt，这里引入新的变量，积分限要由x的变换范围换成t的变化范围。注意事项：换元积分法是求积分的一种方法。它是由链式法则和微积分基本定理推导而来的。在计算函数导数时．复合函数是最常用的法则，把它反过来求不定积分，就是引进中间变量作变量替换，把一个被积表达式变成另一个被积表达式。从而把原来的被积表达式变成较简易的不定积分这就是换元积分法。换元积分法有两种，第一类换元积分法和第二类换元积分法。

定积分的分部积分法公式如下：(uv)"=u"v+uv"。得：u"v=(uv)"-uv"。两边积分得：∫u"v dx=∫(uv)" dx -∫uv" dx。即：∫u"v dx = uv -∫uv" dx，这就是分部积分公式。也可简写为：∫v du = uv -∫u dv。（左下角的下方写下限a和左上角的上方写上限b）。定积分的相关介绍定积分是积分的一种，是函数在区间上积分和的极限。一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

△xi=1/nxi=i/n∫[0~1]x²dx=lim(n→∞)∑f(xi)△xi=lim(n→∞)∑(i/n)²·1/n=lim(n→∞)1/n³·∑i²=lim(n→∞)1/n³·(1²+2²+……+n²)=lim(n→∞)1/n³·1/6·n(n+1)(2n+1)=lim(n→∞)1/6·(1+1/n)(2+1/n)=1/6·1·2=1/3

具体计算公式参照如图：扩展资料：定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上的积分和的极限。积分分类不定积分（Indefinite integral）即已知导数求原函数。若F′(x)=f(x)，那么[F(x)+C]′=f(x).(C∈R C为常数).也就是说，把f(x)积分，不一定能得到F(x)，因为F(x)+C的导数也是f(x)（C是任意常数）。所以f(x)积分的结果有无数个，是不确定的。我们一律用F(x)+C代替，这就称为不定积分。即如果一个导数有原函数，那么它就有无定积分限多个原函数。定积分 （definite integral）定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中的图像包围的面积。即由 y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积。这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式），其它一点关系都没有！一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。积分在实际问题中的应用 （一）经济问题 某工厂技术人员告诉他的老板某种产品的总产量关于时间的变化率为R′（t）=50+5t-0.6t2，现在老板想知道4个小时内他的工人到底能生产出多少产品。如果我们假设这段时间为[1，5]，生产的产品总量为R，则总产量R在t时刻的产量，即微元dR=R′（t）dt=（50+5t-0.6t2）dt。因此，在[1，5]内总产量为 （二）压缩机做功问题 在生产生活过程中，压缩机做功问题由于关系到能源节约问题，因此备受大家关注。假设地面上有一个底半径为5 m， 高为20 m的圆柱形水池， 往里灌满了水。如果要把池中所有的水抽出，则需要压缩机做多少功？此时，由于考虑到池中的水被不间断地抽出，可将抽出的水分割成不同的水层。同时， 把每层的水被抽出时需要的功定义为功微元。这样，该问题就可通过微元法解决了。 具体操作如下： 将水面看做是原点所在的位置， 竖直向下做x轴。当水平从x处下降了dx时， 我们近似地认为厚度为dx的这层水都下降了x，因而这层水所做的功微元dw≈25πxdx（J）。当水被完全抽出， 池内的水从20 m下降为 0 m。根据微元法， 压缩机所做的功为W=25πxdx=15708（J） 。 （三）液体静压力问题 在农业生产过程中，为了保证农田的供水，常常需要建造各种储水池。因此，我们需要了解有关静压力问题。在农田中有一个宽为 4 m， 高为3 m， 且顶部在水下 5 m的闸门， 它垂直于水面放置。此闸门所受的水压力为多少？我们可以考虑将闸门分成若干个平行于水面的小长方体。此时， 闸门所受的压力可看做是小长方体所受的压力总和。 当小长方体的截面很窄的情况下， 可用其截面沿线上的压强来近似代替各个点处的压强。 任取一小长方体，其压强可表示为1・x=x， 长方体截面的面积为ΔA=4dx， 从而ΔF≈x・4dx， 利用微元法求解定积分，还可以解决很多实际工程问题，关键是要掌握好换“元” 的技巧。这就需要我们解决问题时，要特别注意思想方法。思想方法形式多种多样，如以直代曲、以均匀代不均匀、以不变代变化等。参考资料：百度百科-定积分

搞清楚定积分的实质和定义，解题还主要是用牛顿-莱布尼兹公式，好好看书，多看几遍看懂为止，再配合做点习题，慢慢在做题的过程中就会总结出来。

定积分的分部积分法公式如下：(uv)"=u"v+uv"。得：u"v=(uv)"-uv"。两边积分得：∫u"v dx=∫(uv)" dx -∫uv" dx。即：∫u"v dx = uv -∫uv" dx，这就是分部积分公式。也可简写为：∫v du = uv -∫u dv。（左下角的下方写下限a和左上角的上方写上限b）。定积分的相关介绍定积分是积分的一种，是函数在区间上积分和的极限。一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

求定积分:求出原函数后，上下限代入原函数相减就行了；定积分的上下限都是常数，其结果就是一个固定的常数（不管能不能积出来），那么求导的结果一定是0；如果定积分的上下限中，至少一个不是常数，是变量x(或变量x的函数)，则对于每一个取定的x值，定积分有一个对应值，这就是积分变限函数了，变限积分求导公式为：（当上下限为x的函数时，求导时要用到复合函数求导公式，即还要乘以上下限的导数）

定积分的计算，主要是先求出不定积分的表达式，然后代入上下限，即可得到定积分的值。举例子计算如下：∫[0,π](x+1)sinxdx定积分计算定积分直接求法：∫[0,π](x+1)sinxdx=-∫[0,π](x+1)dcosx=-∫[0,π]xdcosx-∫[0,π]dcosx=-xcosx[0,π]+∫[0,π]cosxdx-cosx[0,π]=-πcosπ+sinx[0,π]-(cosπ-cos0)=π+0-(-1-1)=π+2。上下限换元法:∫[0,π](x+1)sinxdx，设x=π-t，则t=π-x，代入得：I=∫[0,π][(π-t)+1]sin(π-t)d(π-t)，=-∫[π,0][(π-t)+1]sin(π-t)dt,=∫[0,π][(π-t)+1]sin(π-t)dt=∫[0,π][(π-t)+1]sintdt=∫[0,π](π-t+1)sintdt=∫[0,π][π+2-(t+1)]sintdt=(π+2)∫[0,π]sintdt-∫[0,π](t+1)sintdt=(π+2)∫[0,π]sintdt-I,则：2I=(π+2)∫[0,π]sintdt,I=(1/2)(π+2)∫[0,π]sintdt,I=-(1/2)(π+2)cost[0,π],I=-(1/2)(π+2)(cosπ-cos0)所以：I=π+2。定积分公式法：根据定积分公式∫[0,π]xsinxdx=(π/2)∫[0,π]sinxdx有：∫[0,π](x+1)sinxdx=∫[0,π]xsinxdx+∫[0,π]sinxdx=(π/2)∫[0,π]sinxdx+∫[0,π]sinxdx=(π/2+1)∫[0,π]sinxdx=-(π/2+1)cosx[0,π]=-(π/2+1)(cosπ-cos0)=2(π/2+1)=π+2.

1。判断积分的敛散性2。（1）观察积分区间是否对称，若对称则判断被积函数的奇偶,奇函数的积分结果直接为0（2）变量替换（3）先求原函数再通过区间可加性进行积分

尽管连续函数的原函数一定存在，但原函数不一定是有限形式。所谓的有限形式就是初等函数。所说的能积出来，就是原函数是有限形式。能积出来的函数和不能积出来的函数相比，能积出来的非常少。积不出来的非常多。换句话说，积不出来和积出来的相比，是无穷大。课本上的题目能积出来是为了学生练习。你说的是著名的积不出来的例子，还有例如e^(-x²),这是概率中及其重要的正太分布密度函数。要算它的积分值，有数值解法。就是求近似值

积分加减运算法则公式：定积分的加减法跟普通加减法一样，但没有乘除法的，只有换元法。设y=f(u)，u=g(x)，∫f[g(x)]g"(x)dx=∫f(u)du，换元积分法有分第一换元积分法：设u=h(x)，du=h"(x)dx。积分加减技巧：简单的题目，你可以试探性的凑微分，这种复杂的，你拿到题，瞬间感觉无从下手。这里给大家介绍一个常用的做题技巧：对被积函数中的复杂项进行试探性的求导。因为你对复杂项求导后，一般会发现被积函数表达式中含有求导后的项，这样就可以进行约分。

看几道例题就会明白的，简单的说就是反导例如：（X）"= 1,那么两边都加不定积分号，那么∫dx=X，对于定积分，就是先求出不定积分，也就是刚刚求的∫dx，然后在积分号上面有两个数字，把两个数都的带进分别带进X，然后带上面的数字就为正，带下面的数字就为负，然后再把这个相加，就求出定积分了

如图

这个比较复杂。你加我百度HI我把上课的资料传给你咯。很详细的。由于定积分的计算基于求原函数（即不定积分）的计算，对应于不定积分的换元积分法和分部积分法，定积分也有相应的换元积分法和分部积分法，此时要注意积分上下限的处理。

∫ u"v dx = uv - ∫ uv" dx。分部积分：(uv)"=u"v+uv"得：u"v=(uv)"-uv"两边积分得：∫ u"v dx=∫ (uv)" dx - ∫ uv" dx即：∫ u"v dx = uv - ∫ uv" dx，这就是分部积分公式也可简写为：∫ v du = uv - ∫ u dv扩展资料：不定积分的公式1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -13、∫ 1/x dx = ln|x| + C4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 15、∫ e^x dx = e^x + C6、∫ cosx dx = sinx + C7、∫ sinx dx = - cosx + C8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C求不定积分的方法：第一类换元其实就是一种拼凑,利用f"(x)dx=df(x)；而前面的剩下的正好是关于f（x）的函数，再把f（x）看为一个整体，求出最终的结果。分部积分，就那固定的几种类型，无非就是三角函数乘上x，或者指数函数、对数函数乘上一个x这类的，记忆方法是把其中一部分利用上面提到的f‘（x）dx=df（x）变形，再用∫xdf(x)=f(x)x-∫f（x）dx这样的公式，当然x可以换成其他g（x）。

∵d(e^t)=(e^t)dt,∴2∫(e^t)tdt=2∫td(e^t).

求定积分主要的方法有分部积分法和换元积分法。分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。它是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。其主要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式。换元积分法是求积分的一种方法。它是由链式法则和微积分基本定理推导而来的。在计算函数导数时。复合函数是最常用的法则，把它反过来求不定积分，就是引进中间变量作变量替换，把一个被积表达式变成另一个被积表达式。从而把原来的被积表达式变成较简易的不定积分这就是换元积分法。换元积分法有两种，第一类换元积分法和第二类换元积分法。黎曼积分：定积分的正式名称是黎曼积分。用黎曼自己的话来说，就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，然后把某个区间[a，b]上的矩形累加起来，所得到的就是这个函数的图象在区间[a，b]的面积。实际上，定积分的上下限就是区间的两个端点a，b。定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。

如图

定积分的计算公式：f= @(x，y)exp(sin(x))*ln(y)。定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。 函数（function）的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。 希望能帮助你还请及时采纳谢谢

公式如下：相关介绍：分部积分法（外文名：Integration by parts）是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。它是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。其主要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式。定积分（外文名：definite integral）是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。

设√(5-p)=x，p的上下限为2和0而x为√3和√5那么p=x^2-5dp=2x dx所以原积分=∫ (x^2-5) 2x dx=∫2x^3 -10x dx=1/2 x^4 -5x^2代入x的上下限√3和√5=(9/2 -15) -(25/2 -25)=2

定积分的定义：设一元函数y=f(x) ,在区间（a,b）内有定义。将区间（a,b）分成n个小区间 (a,x0) (x0,x1)(x1,x2) .....(xi,b) 。设 △xi＝xi－x(i-1)，取区间△xi中曲线上任意一点记做f（ξi），做和式：和式 若记λ为这些小区间中的最长者。当λ → 0时，若此和式的极限存在，则称这个和式是函数f(x) 在区间(a,b)上的定积分。 记做：∫ _a^b (f(x)dx)其中称a、b为积分上、下限， f(x) 为被积函数，f(x)dx 为被积式，∫ 为积分号。 之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数， 而不是一个函数。

定积分没有乘除法则，多数用换元积分法和分部积分法。 换元积分法就是对复合函数使用的：设y = f(u)，u = g(x)∫ f[g(x)]g"(x) dx = ∫ f(u) du换元积分法有分第一换元积分法：设u = h(x)，du = h"(x) dx和第二换元积分法：即用三角函数化简，设x = sinθ、x = tanθ及x = secθ还有将三角函数的积分化为有理函数的积分的换元法：设u = tan(x/2)，dx = 2/(1 + u²) du，sinx = 2u/(1 + u²)，cosx = (1 - u²)/(1 + u²)分部积分法多数对有乘积关系的函数使用的：∫ uv" dx= ∫ udv= uv - ∫ vdu= uv - ∫ vu" du其中函数v比函数u简单，籍此简化u。是由导数的乘法则(uv)" = uv" + vu"推导过来的。有时候v" = 1的，例如求∫ lnx dx、∫ ln(1 + x) dx等等。还有个有理积分法：将一个大分数分裂为几个小分数。例如1/(x² + 3x + 2) = 1/((x + 1)(x + 2)) = 1/(x + 1) - 1/(x + 2)

“≡”表示恒等于，用定积分定义证明f(ζ)=1，∑1△xi=b-a(λ->0)

定积分换元法。区间再现公式。减负 。不定积分结果不唯一求导验证应该能够提高凑微分的计算能力先写别问唉。。

1.当x∈[1/√3,√3]时,π/（6√3）≤xarctanx≤π/√3,所以∫（1/√3～√3）π/（6√3）dx≤∫（1/√3～√3）xarctanxdx≤∫（1/√3～√3）π/√3dx,即π/9≤∫（1/√3～√3）xarctanxdx≤2π/32.（1）原极限=lim（n...

性质5讲的是保号性:函数大于零，其积分就大于零

　　定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上的积分和的极限。这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式），其它一点关系都没有！如下是我给大家整理的求定积分的方法的总结，希望对大家有所作用。 　　求定积分的方法的.总结篇【一】 　　1. 知识网络 　　2.方法总结 　　(1) 定积分的定义：分割—近似代替—求和—取极限 　　(2)定积分几何意义： 　　①f(x)dx(f(x)0)表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积 ab 　　②f(x)dx(f(x)0)表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积的相a 　　反数 　　(3)定积分的基本性质： 　　①kf(x)dx=kf(x)dx aabb 　　②[f1(x)f2(x)]dx=f1(x)dxf2(x)dx aaa 　　③f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx aac 　　(4)求定积分的方法： baf(x)dx=limf(i)xi ni=1nbbbbbcb 　　①定义法：分割—近似代替—求和—取极限 ②利用定积分几何意义 　　③微积分基本公式f(x)F(b)-F(a),其中F（x）=f(x) ba 　　求定积分的方法的总结篇【二】 　　一、 不定积分计算方法 　　1. 凑微分法 　　2. 裂项法 　　3. 变量代换法 　　1) 三角代换 　　2) 根幂代换 　　3) 倒代换 　　4. 配方后积分 　　5. 有理化 　　6. 和差化积法 　　7. 分部积分法（反、对、幂、指、三） 　　8. 降幂法 　　二、 定积分的计算方法 　　1. 利用函数奇偶性 　　2. 利用函数周期性 　　3. 参考不定积分计算方法 　　三、 定积分与极限 　　1. 积和式极限 　　2. 利用积分中值定理或微分中值定理求极限 　　3. 洛必达法则 　　4. 等价无穷小 　　四、 定积分的估值及其不等式的应用 　　1. 不计算积分，比较积分值的大小 　　1) 比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有 　　f(x)>=g(x),则 >= ()dx 　　2) 利用被积函数所满足的不等式比较之 a) 　　b) 当0<x<兀/2时，2/兀<<1 　　2. 估计具体函数定积分的值 　　积分估值定理：设f(x)在[a,b]上连续，且其最大值为M，最小值为m则 　　M(b-a)<= <=M(b-a) 　　3. 具体函数的定积分不等式证法 　　1) 积分估值定理 　　2) 放缩法 　　3) 柯西积分不等式 　　4. 抽象函数的定积分不等式的证法 　　1) 拉格朗日中值定理和导数的有界性 　　2) 积分中值定理 　　3) 常数变易法 　　4) 利用泰勒公式展开法 　　五、 变限积分的导数方法

定积分用来求平面图形的面积，变速直线运动的路程，变力做功问题。知识阐释1、求平面图形的面积：画出大致图形，求出交点坐标；确定积分上下限；确定被积函数；利用微积分定理求定积分。2、解决变速直线运动的路程问题：求出每一时间段上的速度函数；求出起始时间和终止时间；求出对应时间段上的定积分。3、解决变力做功问题：求出变力的函数；求出位移的起始位置和终止位置；求出定积分。不定积分不定积分是在微积分中，一个函数f的不定积分，或原函数，或反导数，是一个导数等于f的函数F，即F′=f。不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。其中F是f的不定积分。这样，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。求函数f（x）的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f（x）的一个原函数，再加上任意的常数C，就得到函数f（x）的不定积分。

计算过程如下：原式=∫secxdtanx=secx*tanx-∫(tanx)^2secxdx=secx*tanx-∫[(secx)^2-1]*secxdx=secx*tanx-∫(secx)^3dx+∫secxdx2∫(secx)^3=secx*tanx+∫secxdx∫(secx)^3=(1/2)secx*tanx+(1/2)ln|secx+tanx|+C不定积分的性质：一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分。若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

这是没有固定条件的，对于这个题来说：是用的夹逼准则求出的0

定积分求解步骤如下：1、分析积分区间是否关于原点对称，即为[-a,a]，如果是，则考虑被积函数的整体或者经过加减拆项后的部分是否具有奇偶性，如果有，则考虑使用“偶倍奇零”性质简化定积分计算。2、考虑被积函数是否具有周期性，如果是周期函数，考虑积分区间的长度是否为周期的整数倍，如果是，则利用周期函数的定积分在任一周期长度的区间上的定积分相等的结论简化积分计算。3、考察被积函数是否可以转换为“反对幂指三”五类基本函数中两个类型函数的乘积，或者是否包含有正整数n参数，或者包含有抽象函数的导数乘项，如果是，可考虑使用定积分的分部积分法计算定积分。“求定积分主要的方法有分部积分法和换元积分法。分部积分法是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。它的主要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的。

如何求定积分？要求定积分的最佳方法是使用积分定理，其中包括使用变量求导法和定积分法。使用变量求导法，可以用正弦函数和余弦函数来求解积分。而使用定积分法，可以用先积分再积分运算符来进行求解。

求定积分主要的方法有分部积分法和换元积分法。分部积分法是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。它的主要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的。 定积分怎么算 分部积分法 设u=u(x),v=v（x)均在区间[a,b]上可导，且u′，v′∈R（[a,b]),则有分部积分公式： 换元积分法 如果（1） （2）x=ψ(t)在[α,β]上单值、可导; （3）当α≤t≤β时，a≤ψ(t)≤b,且ψ（α）=a,ψ(β)=b,则 定积分的性质

求积分的四种方法是：换元法、对称法、待定系数法、分部积分法。积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。求定积分的方法有换元法、对称法、待定系数法；求不定积分的方法有换元法和分部积分法。换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量的变量求出结果之后，返回去求原变量的结果。分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。它是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。它的主要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的。定积分对称性公式：f(x+a)=f(b-x)记住此方程式是对称性的一般形式，只要x有一个正一个负，就有对称性。至于对称轴可用吃公式求X=a+b/2。如f(x+3)=f(5_x)X=3+5/2=4等等。一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

方法1：因为y=xcosx是奇函数，所以结果为零。这是高等数学中定积分的一个性质。方法2：如下图这个题目求原函数的方法超出了新课标的要求

求代尔塔f的公式

△xi=1/nxi=i/n∫[0~1]x²dx=lim(n→∞)∑f(xi)△xi=lim(n→∞)∑(i/n)²·1/n=lim(n→∞)1/n³·∑i²=lim(n→∞)1/n³·(1²+2²+……+n²)=lim(n→∞)1/n³·1/6·n(n+1)(2n+1)=lim(n→∞)1/6·(1+1/n)(2+1/n)=1/6·1·2=1/3

是  微积分基本定理  吗（或者说是  牛顿-莱布尼兹公式）如果是的话，书上的解释就是最好的，书上已经讲得够明白了虽然书上是用速度位移的实例解释的，但明显可以拓展到任意函数如果你没有书的话，我可以弄张图片给你 （高中数学，选修2-2）电脑上没装PS，不能合成在一起，分开发

定积分的分部积分法意思如下：所谓的分部积分法，主要是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的方法，就是常说的“反对幂三指”。“反对幂三指”分部积分顺序从后往前考虑。这只是使用分部积分法时的简便用法的缩写。分布积分法的特点：在积分法的反对幂指三中，一般是指代入分部积分中公式中的，用于计算U与V" ，是相对来说的，例如，反三角函数和对数求积分，一般要设反三角为U ，对数为V" ，这样在积分才容易求导。先看v：g积分得到v。g的选取顺序相应为 指三幂对反，积分难度递增。再看du：反、对、幂、三、指，微分后依次是：多项式（开根）分之一、多项式（开根）分之一、幂函数、三角函数、指数函数。本身相对都较容易解决。

用定义求定积分的四个基本步骤:①分割;②近似代替;③求和;④取极限

(sinx+1/2)的定积分，将该函数分为两部分：sinx以及0.5，前者关于原点对称，而积分区域为-3到3，因此积分结果=0后者关于y轴对称，积分结果为0到3的两倍，=1.5所以，结果为0+1.5=1.5

。

这里主要考察奇偶性，不懂的可以追问，记得采纳！

可以，只要两个都可积，和也可积。

例如∫cscxdx=∫1/sinxdx=∫1/[2sin(x/2)cos(x/2)]dx，两倍角公式=∫1/[sin(x/2)cos(x/2)]d(x/2)=∫1/tan(x/2)*sec²(x/2)d(x/2)=∫1/tan(x/2)d[tan(x/2)]，注∫sec²(x/2)d(x/2)=tan(x/2)+C=ln|tan(x/2)|+C。请点击输入图片描述例如不定积分∫1/(2+ cosx)计算设t=tan(x/2)则cosx=[cos²(x/2)-sin²(x/2)]/[cos²(x/2)+sin²(x/2)]=[1-tan²(x/2)]/[1+tan²(x/2)]=(1-t²)/(1+t²)dx=d(2arctant)=2dt/(1+t²)故：∫1/(2+cosx)dx=∫1/[2+(1-t²)/(1+t²)]*[2dt/(1+t²)]=∫2dt/(3+t²)=2/√3∫d(t/√3)/[1+(t/√3)²]=2/√3arctan(t/√3)+C请点击输入图片描述再例如∫lntanx/(sinxcosx)dx分子分母同除以cos²x=∫sec²x*lntanx/tanxdx=∫lntanx/tanx d(tanx)=∫lntanxd(lntanx)=(1/2)ln²(tanx)+C。请点击输入图片描述换元法计算不定积分例如∫ √(x²+1) dx令x=tanu，则√(x²+1)=secu，dx=sec²udu。∫sec³udu=∫ secudtanu=secutanu - ∫ tan²usecudu=secutanu - ∫ (sec²u-1)secudu=secutanu - ∫ sec³udu + ∫ secudu=secutanu - ∫ sec³udu + ln|secu+tanu|将- ∫ sec³udu移支等式左边与左边合并后除以系数得：∫sec³udu=(1/2)secutanu + (1/2)ln|secu+tanu| + C。所以：∫ √(x²+1) dx=(1/2)√(x²+1)*x+ (1/2)ln|√(x²+1)+x| + C。请点击输入图片描述不定积分概念设F(x)是函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+ C(其中，C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，又叫做函数f(x)的反导数，记作∫f(x)dx或者∫f（高等微积分中常省去dx），即∫f(x)dx=F(x)+C。请点击输入图片描述其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数或积分常量，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行不定积分。请点击输入图片描述

√[1-(x-1)^2]-x楼主没有说积分上下限，这里x∈(0,1)∫√[1-(x-1)^2]-xdx=∫√[1-(x-1)^2]dx-x^2/2设x-1=sint则原式=∫(cost)^2dt-x^2/2=1/2*∫(1+cos2t)dt-x^2/2=t/2+(sin2t)/4-x^2/2+C这里t∈(-π/2,0),x∈(0,1)定积分结果为π/4-1/2从几何角度，是以(1,0)为圆心，1为半径的半圆与y=x围成弓形的面积希望对楼主有所帮助，望采纳！

用平移去解题，定积分几何意义是y＝sinx，与x＝π，x＝2π，围成的图形的面积的代数和，x轴上方为正，x轴下方为负，π到2π这个区间上都在x轴的下方，为负值。

是这样的。

(x)单调减少,它的定积分有什么性质？回到家下面美缔可哦给哦

letu=π-xdu=-dxx=0, u=πx=π, u=0∫(0->π) xf(sinx) dx=∫(π->0) (π-u)f(sinu) (-du)=∫(0->π) (π-x)f(sinx) dx2∫(0->π) xf(sinx) dx=π∫(0->π) f(sinx) dx∫(0->π) xf(sinx) dx=(π/2)∫(0->π) f(sinx) dx

定积分的几何意义是曲边梯形的有向面积，物理意义是变速直线运动的路程或变力所做的功。二重积分的几何意义是曲顶柱体的有向体积，物理意义是加在平面面积上压力（压强可变）。积分的线性性质：性质1（积分可加性）函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差）性质2（积分满足数乘）被积函数的常系数因子可以提到积分号外比较性：性质3 如果在区域D上有f（x，y）≦g（x，y）估值性：性质4设M和m分别是函数f（x，y）在有界闭区域D上的最大值和最小值，σ为区域D的面积性质5如果在有界闭区域D上f（x，y）=k（k为常数），σ为D的面积，则Sσ=k∫∫dσ=kσ。二重积分中值定理：设函数f（x，y）在有界闭区域D上连续，σ为区域的面积，则在D上至少存在一点（ξ，η）。求解方法二重积分和定积分一样不是函数，而是一个数值。因此若一个连续函数f（x，y）内含有二重积分，对它进行二次积分，这个二重积分的具体数值便可以求解出来。其积分区域D是由所围成的区域。其中二重积分是一个常数，不妨设它为A。对等式两端对D这个积分区域作二重定积分。故这个函数的具体表达式为：f（x，y）=xy+1/8，等式的右边就是二重积分数值为A，而等式最左边根据性质5，可化为常数A乘上积分区域的面积1/3，将含有二重积分的等式可化为未知数A来求解。设Ω为空间有界闭区域，f（x，y，z）在Ω上连续。（1）如果Ω关于xOy（或xOz或yOz）对称，且f（x，y，z）关于z（或y或x）为奇函数（2）如果Ω关于xOy（或xOz或yOz）对称，Ω1为Ω在相应的坐标面某一侧部分，且f（x，y，z）关于z（或y或x）为偶函数（3）如果Ω与Ω"关于平面y=x对称

可以用平移去解题，但取的区间不对，定积分几何意义是y＝sinx，与x＝π，x＝2π，围成的图形的面积的代数和，x轴上方为正，x轴下方为负，π到2π这个区间上都在x轴的下方，为负值。按照定积分的周期函数的平移性质 确实应该先确定被积函数的周期，最主要用三角函数那个降幂扩角那个公式确定周期。积分限变换的时候，确实要考虑被积函数的正负 题中(1)(2)换积分限是因为它的周期而不是正负的问题，(2)第4个等号才是应为正负而去掉根号的。分点问题定积分是把函数在某个区间上的图象[a,b]分成n份，用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，再求当n→+∞时所有这些矩形面积的和。定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。

k如果为零,整个被积式为零,积出来是个常数不定积分∫kfdx=k∫fdx中的k不能为0，因为当k=0时左边是任意常数，而右边只是0，两边不相等。如果改成某个区间上的定积分，则k可以为0，此时两边都是0。

（2）∫(0,x)f(t)dt以T为周期的充要条件是∫(0,T)f(t)dt=0你理解错了，这是指函数F(x）=∫(0,x)f(t)dt 也以T为周期∫(0,x+T)f(t)dt=∫(0,x)f(t)dt+∫(x,x+T)f(t)dt=∫(0,x)f(t)dt+∫(0,T)f(t)dt，因为T是∫(0,x)f(t)dt的周期，故：∫(0,T)f(t)dt=0反之是一样证明。(3)本质上与(2)是一样的，因为f（x）连续，故∫(0,x)f(t)dt就是f（x）的一个原函数，全体原函数与它相差一个常数罢了。

F(0)=∫(0,2π)e^sintsintdt=∫(0,π)e^sintsintdt+∫(π,2π)e^sintsintdt=∫(0,π)e^sintsintdt+∫(0,π)e^sin(u+π)sin(u+π)d(u+π)=∫(0,π)e^sintsintdt-∫(0,π)e^(-sinu)sinudu=∫(0,π)[e^sint-e^(-sint)]sintdt在(0,π)区间，sint>0，e^sint>1,e^sint-e^(-sint)>0，所以：F(0)=∫(0,2π)e^sintsintdt>0e^sintsint是周期函数，周期为2π，对于任意x，F(x)=∫(x,x+2π)e^sintsintdt=∫(0,2π)e^sintsintdt>0

应该相等

例如∫(sinx)^4dx=∫[(1/2)(1-cos2x]^2dx=(1/4)∫[1-2cos2x+(cos2x)^2]dx=(1/4)∫[1-2cos2x+(1/2)(1+cos4x)]dx=(3/8)∫dx-(1/2)∫cos2xdx+(1/8)∫cos4xdx=(3/8)∫dx-(1/4)∫cos2xd2x+(1/32)∫cos4xd4x=(3/8)x-(1/4)sin2x+(1/32)sin4x+C。请点击输入图片描述请点击输入图片描述例如∫lntanx/(sinxcosx)dx分子分母同除以cos²x=∫sec²x*lntanx/tanxdx=∫lntanx/tanx d(tanx)=∫lntanxd(lntanx)=(1/2)ln²(tanx)+C。请点击输入图片描述请点击输入图片描述例如∫cscxdx=∫1/sinxdx=∫1/[2sin(x/2)cos(x/2)]dx，两倍角公式=∫1/[sin(x/2)cos(x/2)]d(x/2)=∫1/tan(x/2)*sec²(x/2)d(x/2)=∫1/tan(x/2)d[tan(x/2)]，注∫sec²(x/2)d(x/2)=tan(x/2)+C=ln|tan(x/2)|+C。请点击输入图片描述请点击输入图片描述求不定积分的目的求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么F(x)+C就是f(x)的不定积分，即∫f(x)dx=F(x)+C。因而不定积分∫f(x) dx可以表示f(x)的任意一个原函数。请点击输入图片描述不定积分的性质一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

三次方也可以这么证明，f^3黎曼可积等价于f^3不连续点是零测集，开立方是连续映射，所以f^3与f的连续点集相同，所以等价于f的不连续点是零测集，等价于f黎曼可积。第8题要证明什么？

第一题，由于 0<x<1（区间端点可以忽略不计），所以 0<x³<x²<1，所以前面大后面小，填 > .第二题，利用定积分的几何意义，它表示圆心在原点，半径为 2 的圆的上半部分的面积，因此 = 2兀 。第三题，区间长度为 0，因此积分也是 0 。

把区间分两段：[0，兀/2] 和 [兀/2，兀]，后面积分作变量代换 x = 兀 - u，则 dx = - du，然后再把积分变量 u 改写成 x 即可。

(3)x∈(0,1)e^(x^2) > x^2I1=∫(0->1) x^2 dxI2=∫(0->1) e^(x^2) dx=> I2>I1ans : C(4)x∈(2,e)lnx > (lnx)^2I1=∫(2->e) lnx dxI2=∫(2->e) (lnx)^2 dx=> I1>I2ans : A

积分区间相同，就比较该积分区间上两个被积函数的大小。令f(x)=e^x-(1+x),x∈（0,1）f"(x)=e^x-1因为e^x为递增函数f"(0)=e^0-1=0所以f"(x)>0所以f(x)为递增函数f(x)>f(0)=1-1=0即e^x>1+x从而∫(0,1)e^xdx>∫(0,1)(1+x)dx

(1)∫(-a~a) √(a² - x²) dx = 2∫(0~a) √(a² - x²) dx，偶函数性质这个函数表示圆x² + y² = a²，半径为a，在-a到a上的面积，即半个圆形积分表示的面积为πa² * 1/2 = πa²/2(2)∫(0~1) [√(1 - (x - 1)²) - x] dx= ∫(0~1) √(1 - (x - 1)²) dx - ∫(0~1) x dx前面式子表示圆y² + (x - 1)² = 1，半径为1，在0到1上的面积，圆心(1，0)，即1/4个圆形面积为π/4而∫(0~1) x dx，表示由直线x - y = 0，x轴和y轴围成的三角形面积底长是1，高也是1，三角形面积为1/2 * 1 * 1 = 1/2所以该积分的值是π/4 - 1/2

保号性

　　总结是把一定阶段内的有关情况分析研究，做出有指导性的经验方法以及结论的书面材料，它能使我们及时找出错误并改正，不如立即行动起来写一份总结吧。但是总结有什么要求呢？以下是我整理的定积分证明题方法总结，仅供参考，大家一起来看看吧。 定积分证明题方法总结1 　　摘要:结合实例分析介绍了不定积分的四种基本计算方法。为使学生熟练掌握,灵活运用积分方法,本文将高等数学中计算不定积分的常用方法,简单进行了整理归类。 　　关键词:积分方法 第一类换元法第二类换元法 分部积分法 不定积分是高等数学中积分学的基础,对不定积分的理解与掌握的好坏直接影响到该课程的学习和掌握。熟练掌握不定积分的理论与运算方法,不但能使学生进一步巩固前面所学的导数与微分的知识,而且也将为学习定积分,微分方程等相关知识打好基础。在高等数学中,函数的概念与定义与初等数学相比发生了很多的变化,从有限到无限,从确定到不确定,计算结果也可能不唯一,但计算方法与计算技巧显得更加重要。这些都在不定积分的计算中体会的淋漓尽致。对不定积分的求解方法进行简单的归类,不但使其计算方法条理清楚,而且有助于对不定积分概念的理解,提高学习兴趣,对学好积分具有一定的促进作用。 　　 1 直接积分法 　　直接积分法就是利用不定积分的定义,公式与积分基本性质求不定积分的方法。直接积分法重要的是把被积函数通过代数或三角恒等式变形,变为积分表中能直接计算的公式,利用积分运算法则,在逐项积分。 　　 一、原函数与不定积分的概念 　　定义1.设f(x)是定义在某区间的已知函数，若存在函数F(x)，使得F(x)或dF 　　f(x) 　　(x)f(x)dx 　　,则称F(x)为f(x)的一个原函数 　　定义2.函数 　　f(x)的全体原函数F(x)C叫做f(x)的不定积分，，记为: 　　f(x)dxF(x)C 　　f(x)叫做被积函数 f(x)dx叫做被积表达式C叫做积分常数 　　“ 　　其中 　　”叫做积分号 　　 二、不定积分的性质和基本积分公式 　　性质1. 不定积分的导数等于被积函数，不定积分的微分等于被积表达式，即 　　f(x)dxf(x)；df(x)dxf(x)dx. 　　性质2. 函数的导数或微分的不定积分等于该函数加上一个任意函数，即 　　f(x)dxf(x)C, 　　或df(x)f(x)C 　　性质3. 非零的常数因子可以由积分号内提出来，即 　　kf(x)dxkf(x)dx 　　(k0). 　　性质4. 两个函数的代数和的不定积分等于每个函数不定积分的代数和，即 　　f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx 　　基本积分公式 　　(1)kdxkxC(k为常数) 　　(2)xdx 　　1 　　1 　　x 　　1 　　C 　　(1) 　　1 　　(3)xlnxC 　　x 　　(4)exdxexC 　　(6)cosxdxsinxC (8)sec2xdxtanxC (10)secxtanxdxsecxC (12)secxdxlnsecxtanxC (14)(16) 　　11x 　　11x 　　2 　　(5)a 　　x 　　dx 　　a 　　x 　　lna 　　C 　　(7)sinxdxcosxC (9)csc2xdxcotxC 　　(11) 　　cscxcotxdxcscxC 　　(13)cscxdxlncscxcotxC (15) 　　1x 　　2 　　2 　　xarctanxC 　　xarcsinxC 　　xarcsinxC 　　 三、换元积分法和分部积分法 　　定理1. 设(x)可导，并且f(u)duF(u)C. 则有 　　f[(x)](x)dxF(u)C 　　凑微分 　　f[(x)]d(x) 　　令u(x) 　　f(u)du 　　代回u(x) 　　F((x))C 　　该方法叫第一换元积分法(integration by substitution)，也称凑微分法． 定理2.设x数F 　　(t)是可微函数且(t)0，若f((t))(t)具有原函 　　(t)，则 　　xt换元 　　fxdx 　　fttdt 　　积分 　　FtC 　　t 　　1 　　x 　　回代 　　1 　　FxC. 　　该方法叫第二换元积分法 定积分证明题方法总结2 　　 一、不定积分计算方法 　　1.凑微分法 　　2.裂项法 　　3.变量代换法 　　1)三角代换 　　2)根幂代换 　　3)倒代换 　　4.配方后积分 　　5.有理化 　　6.和差化积法 　　7.分部积分法（反、对、幂、指、三） 　　8.降幂法 　　 二、定积分的计算方法 　　1.利用函数奇偶性 　　2.利用函数周期性 　　3. 参考不定积分计算方法 　　 三、定积分与极限 　　1.积和式极限 　　2.利用积分中值定理或微分中值定理求极限 　　3.洛必达法则 　　4.等价无穷小 　　 四、定积分的估值及其不等式的应用 　　1.不计算积分，比较积分值的大小 　　1)比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有 　　f(x)>=g(x),则>= ()dx 　　2)利用被积函数所满足的不等式比较之a) 　　b)当0<x兀 p="" 兀<<1 　　2.估计具体函数定积分的值 　　积分估值定理：设f(x)在[a,b]上连续，且其最大值为M，最小值为m则 　　M(b-a)<= <=M(b-a) 　　3.具体函数的定积分不等式证法 　　1)积分估值定理 　　2)放缩法 　　3)柯西积分不等式 　　≤ % 　　4.抽象函数的定积分不等式的证法 　　1)拉格朗日中值定理和导数的有界性 　　2)积分中值定理 　　3)常数变易法 　　4)利用泰勒公式展开法 　　 五、变限积分的导数方法 　　 1、经验总结 　　(1)定积分的定义：分割—近似代替—求和—取极限 　　(2)定积分几何意义： 　　①f(x)dx(f(x)0)表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积ab 　　②f(x)dx(f(x)0)表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的"面积的相a 　　反数 　　(3)定积分的基本性质： 　　①kf(x)dx=kf(x)dx aabb 　　②[f1(x)f2(x)]dx=f1(x)dxf2(x)dx aaa 　　③f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx aac 　　(4)求定积分的方法：baf(x)dx=limf(i)xi ni=1nbbbbbcb 　　①定义法：分割—近似代替—求和—取极限②利用定积分几何意义 　　"③微积分基本公式f(x)F(b)-F(a),其中F（x）=f(x) ba 定积分证明题方法总结3 　　 一、不定积分的概念和性质 　　若F(x)f(x)，则f(x)dxF(x)C， C为积分常数不可丢！ 　　性质1f(x)dxf(x)或 df(x)dxf(x)dx或 　　df(x)dxf(x) dx 　　性质2F(x)dxF(x)C或dF(x)F(x)C 　　性质3[f(x)g(x)]dx 　　或[f(x)g(x)]dx 　　 二、基本积分公式或直接积分法 　　基本积分公式 f(x)dxg(x)dx g(x)dx；kf(x)dxkf(x)dx. f(x)dx 　　kdxkxC 　　xxdx1x1C(为常数且1)1xdxlnxC ax 　　edxeCadxlnaC xx 　　cosxdxsinxCsinxdxcosxC 　　dxdx22tanxCsecxdxcsccos2xsin2xxdxcotxC 　　secxtanxdxsecxCcscxcotxdxcscxC 　　dxarctanxCarccotx 　　C（）1x2arcsinxC（arccosxC） 　　直接积分法：对被积函数作代数变形或三角变形，化成能直接套用基本积分公式。 代数变形主要是指因式分解、加减拆并等；三角变形主要是指三角恒等式。 　　 三、换元积分法： 　　1.第一类换元法（凑微分法） 　　g(x)dxf((x))(x)dxf((x))d(x) 　　注 (1)常见凑微分： 　　u(x)f(u)du[F(u)C]u(x). 　　111dxd(axc), xdxd(x2c),2dc), dxd(ln|x| 　　c) a2x1dxd(arctanx)d(arccotxd(arcsinx)d(arccosx) 1+x2 　　(2)适用于被积函数为两个函数相乘的情况： 　　若被积函数为一个函数，比如：e2xdxe2x1dx， 若被积函数多于两个，比如：sinxcosx1sin4xdx，要分成两类； 　　(3)一般选择“简单”“熟悉”的那个函数写成(x)； 　　(4)若被积函数为三角函数偶次方，降次；奇次方，拆项； 　　2.第二类换元法 　　f(x)dxx(t)f((t))(t)dtf((t))(t)dtt1(x)G(t)Ct1(x) 常用代换类型: 　　(1) 对被积函数直接去根号; 　　(2) 到代换x1; t 　　(3) 三角代换去根号 　　x 　　atantxasect、 　　xasint(orxacost) 　　f(xdx，t 　　f(xx，x 　　asect 　　f(xx，xasint 　　f(xx，xatant f(ax)dx，ta 　　x 　　f(xx，t 　　三、分部积分法：uvdxudvuvvduuvuvdx. 　　注 (1)u的选取原则：按“ 反对幂三指” 的顺序，谁在前谁为u，后面的为v; 　　(2)uvdx要比uvdx容易计算； 　　(3)适用于两个异名函数相乘的情况，若被积函数只有一个，比如： 　　arcsinx1dx， 　　u 　　v 　　(4)多次使用分部积分法： uu求导 vv积分（t； 定积分证明题方法总结4 　　 1、原函数存在定理 　　●定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F(x)，使对任一x∈I都有F"(x)=f(x);简单的说连续函数一定有原函数。 　　●分部积分法 　　如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数和指数函数为u，这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次。如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可设对数和反三角函数为u。 　　 2、对于初等函数来说，在其定义区间上，它的原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数。 　　定积分 　　1、定积分解决的典型问题 　　(1)曲边梯形的面积(2)变速直线运动的路程 　　2、函数可积的充分条件 　　●定理设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积，即连续=>可积。 　　●定理设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积。 　　 3、定积分的若干重要性质 　　●性质如果在区间[a,b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0。 　　●推论如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx。 　　●推论|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx。 　　●性质设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，则m(b-a)≤∫abf(x)dx≤M(b-a),该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。 　　●性质(定积分中值定理)如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点，使下式成立：∫abf(x)dx=f()(b-a)。 　　 4、关于广义积分 　　设函数f(x)在区间[a,b]上除点c(a 　　 定积分的应用 　　1、求平面图形的面积(曲线围成的面积) 　　●直角坐标系下(含参数与不含参数) 　　●极坐标系下(r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ)(扇形面积公式S=R2θ/2) 　　●旋转体体积(由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成)(且体积V=∫abπ[f(x)]2dx，其中f(x)指曲线的方程) 　　●平行截面面积为已知的立体体积(V=∫abA(x)dx,其中A(x)为截面面积) 　　●功、水压力、引力 　　●函数的平均值(平均值y=1/(b-a)*∫abf(x)dx) 定积分证明题方法总结5 　　 一、原函数 　　定义1 如果对任一xI，都有 　　F(x)f(x) 或 dF(x)f(x)dx 　　则称F(x)为f(x)在区间I 上的原函数。 　　例如：(sinx)cosx，即sinx是cosx的原函数。 [ln(xx2) 　　原函数存在定理：如果函数f(x)在区间I 上连续，则f(x)在区间I 上一定有原函数，即存在区间I 上的可导函数F(x)，使得对任一xI，有F(x)f(x)。 　　注1：如果f(x)有一个原函数，则f(x)就有无穷多个原函数。 　　设F(x)是f(x)的原函数，则[F(x)C]f(x)，即F(x)C也为f(x)的原函数，其中C为任意常数。 　　注2：如果F(x)与G(x)都为f(x)在区间I 上的原函数，则F(x)与G(x)之差为常数，即F(x)G(x)C（C为常数） 　　注3：如果F(x)为f(x)在区间I 上的一个原函数，则F(x)C（C为任意常数）可表达f(x)的任意一个原函数。 　　1x2，即ln(xx2)是1x2的原函数。 　　 二、不定积分 　　定义2 在区间I上，f(x)的带有任意常数项的原函数，成为f(x)在区间I上的不定积分，记为f(x)dx。 　　如果F(x)为f(x)的一个原函数，则 　　f(x)dxF(x)C，（C为任意常数） 　　 三、不定积分的几何意义 　　图 5—1 设F(x)是f(x)的一个原函数，则yF(x)在平面上表示一条曲线，称它为f(x)f(x)的不定积分表示一族积分曲线，它们是由f(x)的某一条积分曲线沿着y轴方向作任意平行移动而产生的所有积分曲线组成的．显然，族中的每一条积分曲线在具有同一横坐标x的点处有互相平行的切线，其斜率都等于f(x)． 　　在求原函数的具体问题中，往往先求出原函数的一般表达式yF(x)C，再从中确定一个满足条件 y(x0)y0 (称为初始条件)的原函数yy(x)．从几何上讲，就是从积分曲线族中找出一条通过点(x0,y0)的积分曲线． 　　 四、不定积分的性质（线性性质） 　　[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx 　　k为非零常数） kf(x)dxkf(x)dx（ 　　 五、基本积分表 　　∫ a dx = ax + C，a和C都是常数 　　∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1 ∫ 1/x dx = ln|x| + C 　　∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1 　　∫ e^x dx = e^x + C 　　∫ cosx dx = sinx + C 　　∫ sinx dx = - cosx + C 　　∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C 　　∫ tanx dx = - ln|cosx| + C = ln|secx| + C 　　∫ secx dx =ln|cot(x/2)| + C 　　= (1/2)ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)| + C 　　= - ln|secx - tanx| + C = ln|secx + tanx| + C 　　∫ cscx dx = ln|tan(x/2)| + C 　　= (1/2)ln|(1 - cosx)/(1 + cosx)| + C 　　= - ln|cscx + cotx| + C = ln|cscx - cotx| + C 　　∫ sec^2(x) dx = tanx + C 　　∫ csc^2(x) dx = - cotx + C 　　∫ secxtanx dx = secx + C 　　∫ cscxcotx dx = - cscx + C 　　∫ dx/(a^2 + x^2) = (1/a)arctan(x/a) + C 　　∫ dx/√(a^2 - x^2) = arcsin(x/a) + C 　　∫ dx/√(x^2 + a^2) = ln|x + √(x^2 + a^2)| + C 　　∫ dx/√(x^2 - a^2) = ln|x + √(x^2 - a^2)| + C 　　∫ √(x^2 - a^2) dx = (x/2)√(x^2 - a^2) - (a^2/2)ln|x + √(x^2 - a^2)| + C ∫ √(x^2 + a^2) dx = (x/2)√(x^2 + a^2) + (a^2/2)ln|x + √(x^2 + a^2)| + C ∫ √(a^2 - x^2) dx = (x/2)√(a^2 - x^2) + (a^2/2)arcsin(x/a) + C 　　 六、第一换元法（凑微分） 　　设F(u)为f(u)的原函数，即F(u)f(u) 或 f(u)duF(u)C 如果 u(x)，且(x)可微，则 dF[(x)]F(u)(x)f(u)(x)f[(x)](x) dx 　　即F[(x)]为f[(x)](x)的原函数，或 　　f[(x)](x)dxF[(x)]C[F(u)C]u(x)[f(u)du]因此有 　　定理1 设F(u)为f(u)的原函数，u(x)可微，则 　　f[(x)](x)dx[f(u)du] 　　公式(2-1)称为第一类换元积分公式。 u(x)u(x) (2-1) 　　f[(x)](x)dxf[(x)]d(x)[f(u)du]u(x) 　　1f(axb)d(axb)1[f(u)du]f(axb)dxuaxb

相对于积分变量xn^p是常数根据定积分的性质二，常数可以提出来，所以，∫(n-1→n)1/n^p·dx=1/n^p·∫(n-1→n)1dx=1/n^p·[n-(n-1)]【这里根据定积分的性质四】=1/n^p

连续性比Riemann可积性要强, Riemann可积未必连续

利用定积分就是曲边梯形面积来做

定积分的性质：1、当a=b时，2、当a>b时，3、常数可以提到积分号前。4、代数和的积分等于积分的代数和。定积分的介绍：定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a，b]上积分和的极限。这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

“定积分”的简单性质有：性质1：设a与b均为常数，则f(a->b)[a*f(x)+b*g(x)]dx=a*f(a->b)f(x)dx+b*f(a->b)g(x)dx。性质2：设a<c<b,则f(a->b)f(x)dx=f(a->c)f(x)dx+f(c->b)f(x)dx。性质3：如果在区间【a,b】上f(x)恒等于1,那么f(a->b)1dx=f(a->b)dx=b-a。性质4：如果在区间【a,b】上f(X)>=0,那么f(a->b)f(x)dx>=0(a<b)。性质5：设M及m分别是函数f(x)在区间【a,b】上的最大值和最小值，则m(b-a)<=f(a->b)f(x)dx<=M(b-a)  (a<b)。性质6（定积分中值定理）：如果函数f(x)在积分区间【a,b】上连续，那么在【a,b】上至少存在一个点c，使得f(a->b)f(x)dx=f(c)(b-a)  (a<=c<=b)成立。定积分：数学定义：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，用分点xi将区间[a,b]分为n 个小区间，在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点ri（i=1,2,3„,n） ，作和式f(r1)+...+f(rn) ，当n趋于无穷大时，上述和式无限趋近于某个常数A，这个常数叫做y=f(x) 在区间上的定积分. 记作/ab f(x) dx 即 /ab f(x) dx ＝limn>00 [f(r1)+...+f(rn)]， 这里，a 与 b叫做积分下限与积分上限，区间[a,b] 叫做积分区间，函数f(x) 叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积式。几何定义：可以理解为在 Oxy坐标平面上，由曲线y=f(x)与直线x=a,x=b以及x轴围成的曲边梯形的面积值（一种确定的实数值）。

“定积分”的简单性质有：性质1：设a与b均为常数，则f(a->b)[a*f(x)+b*g(x)]dx=a*f(a->b)f(x)dx+b*f(a->b)g(x)dx。性质2：设a<c<b,则f(a->b)f(x)dx=f(a->c)f(x)dx+f(c->b)f(x)dx。性质3：如果在区间【a,b】上f(x)恒等于1,那么f(a->b)1dx=f(a->b)dx=b-a。性质4：如果在区间【a,b】上f(X)>=0,那么f(a->b)f(x)dx>=0(a<b)。性质5：设M及m分别是函数f(x)在区间【a,b】上的最大值和最小值，则m(b-a)<=f(a->b)f(x)dx<=M(b-a)  (a<b)。性质6（定积分中值定理）：如果函数f(x)在积分区间【a,b】上连续，那么在【a,b】上至少存在一个点c，使得f(a->b)f(x)dx=f(c)(b-a)  (a<=c<=b)成立。定积分：数学定义：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，用分点xi将区间[a,b]分为n 个小区间，在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点ri（i=1,2,3„,n） ，作和式f(r1)+...+f(rn) ，当n趋于无穷大时，上述和式无限趋近于某个常数A，这个常数叫做y=f(x) 在区间上的定积分. 记作/ab f(x) dx 即 /ab f(x) dx ＝limn>00 [f(r1)+...+f(rn)]， 这里，a 与 b叫做积分下限与积分上限，区间[a,b] 叫做积分区间，函数f(x) 叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积式。几何定义：可以理解为在 Oxy坐标平面上，由曲线y=f(x)与直线x=a,x=b以及x轴围成的曲边梯形的面积值（一种确定的实数值）。