积分

指数函数的一个重要特征是无记忆性（Memoryless Property，又称遗失记忆性）。这表示如果一个随机变量呈指数分布，当s,t≥0时有P(T>s+t|T>t)=P(T>s)。即，如果T是某一元件的寿命，已知元件使用了t小时，它总共使用至少s+t小时的条件概率，与从开始使用时算起它使用至少s小时的概率相等。

分布函数 F(x)=∫[-∞,x]f(x)dx 1.x0， F(x)=∫[-∞,x]f(x)dx=∫[-∞,0]f(x)dx+∫[0,x]f(x)dx =0+∫[0,x]λe^(-λx)dx=-∫[0,x]e^(-λx)d(-λx)=-[0,x][e^(-λx)]=1-e^(-λx) 所以F(x)=0 (x≤0) =1-e^(-λx) (x>0) 分段函数的定积分在计算时分开积分上下限即可

d(-λx)=-λ

偏度是利用3阶矩定义的，偏度的计算公式为：　　　　式中，Sk——偏度；　　μ3——3阶中心矩；　　σ——标准差。　　在一般情形下，当统计数据为右偏分布时，Sk > 0，且Sk值越大，右偏程度越高；当统计数据为左偏分布时，Sk < 0，且Sk值越小，左偏程度越高。当统计数据为对称分布时，显然有Sk = 0。

偏度的计算公式 偏度是利用3阶矩定义的,偏度的计算公式为: 式中,Sk——偏度; μ3——3阶中心矩; σ——标准差。

就是积分函数在积分区间有无穷间断点或积分区间为无穷的积分。一般情况下为柯西定义下的积分，即首先积分，再把积分限趋向无穷。

起点是1，终点是i，就可以设 z=1+（i-1）t，t∈【0，1】，也就是你看到的把起点和终点换成a、b也是同理

周线就是复平面内的闭曲线，复变函数的积分类似于高等数学中对坐标的曲线积分，最一般的方法是对于复变函数f(z)=u+iv，其中u=u(x,y)，v=v(x,y)，z=x+iy，则复变函数积分∫f(z)dz=∫(u+iv)(dx+idy)=∫(udx-vdy)+i∫(vdx+udy)，从而转化为两个对坐标。

搞电力系统、电学研究方向的人员用途非常大。其他方面就知道的不多了。

复变函数通常作曲线积分，因此下面讨论的也是曲线积分以下是形式上的变换由上式的第二行末尾可以看出，积分结果的实部和虚部都是关于函数实部和虚部的第二型曲线积分，如果有曲线C的参数方程那么上式就可以化为定积分。当然要求x(t)和y(t)满足一阶可导。另外当然第二型曲线积分可以化为第一型曲线积分，这一点不作深入讨论。如果要问积分的意义是什么，关于第二型曲线积分，就可以理解为变力对做曲线运动的物体所做的功。把第二型曲线积分化为定积分，就是用变力乘上路径导数得到功率，再由功率对时间积分，得到变力所做的功。实变函数的积分是这样，复变函数的积分也可以这样理解。而复变函数，是指以复数作为自变量和因变量的函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就是研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。以上内容参考 百度百科-复变函数

复积分和第二类曲线积分有类似之处，即积分是按着有方向的曲线求解。讨论积分路径，积分区域。利用被积函数的解析性，积分区域的奇点，留数定理，复合闭路定理求解。 实数积分定积分是所有的积分的基础，包括曲线积分，曲面积分，二重积分，三重...

复变函数中求积分的方法有哪些1、柯西积分定理；2、柯西积分公式；3、高阶导数公式；4、复合闭路定理；5、留数定理（留数的计算可以用定理或洛朗展开），这个方法是最重要的，柯西积分公式和高阶导数公式其实都是留数定理的特例。 希望可以帮到你，不明白可以追问，如果解决了问题，请点下面的"选为满意回答"按钮。

区间变换不对，指数化成三角函数，涉及到虚数，在(-2,2)内单调性并不好判断，你试试以角度作为被积参数用三角函数代替试试看

如图所示：

复变函数通常作曲线积分，因此下面讨论的也是曲线积分(1)这是形式上的变换向左转|向右转上式的第二行末尾可以看出，积分结果的实部和虚部都是关于函数实部和虚部的第二型曲线积分，如果有曲线C的参数方程向左转|向右转那么上式就可以化为定积分向左转|向右转当然要求x(t)和y(t)满足一阶可导另外当然第二型曲线积分可以化为第一形曲线积分，这一点不作深入讨论如果要问积分的意义是什么，关于第二型曲线积分，就可以理解为变力对做曲线运动的物体所做的功把第二型曲线积分化为定积分，就是用变力乘上路径导数得到功率，再由功率对时间积分，得到变力所做的功实变函数的积分是这样，复变函数的积分也可以这样理解(2)向左转|向右转向左转|向右转这里△zk可以看作曲线C的一个小段，那么f(zk)是该段曲线上一点的“复线密度”，因此积分的结果可以看作整段曲线的“复质量”(3)如果积分是平面积分或者多重积分，那么通常是关于实变量的积分，这时就可以看作实部虚部分别积分即可

前一个积分可化为（用z（z共轭）=|z|²=4）这个积分在n=0时=8πi，在n≠0时=0后一个积分即当n=2时，=2πi，当n≠2时=0，所以要让他们相等n≠0且n≠2

如图所示

用留数定理，tanz=sinz/cosz 在 IzI=2内有两个一级极点 z=π/2 和 z=-π/2，则积分结果为-4πi。

认真听课，不玩手机，完成作业，这就够了。

这个函数是积不出来的 为不可积函数

（1）反常积分是指在定义域内存在着积分变量的函数的积分。（2）反常积分不一定能给出解析解，需要采用数值积分方法来计算结果。（3）反常积分存在着正无穷大的和负无穷大的极限，而常规积分不存在这样的极限。（4）反常积分可以用来求解超越函数和不定积分。

∫(0,π/2)[sin(x)]^ndx=(n-1)/n*(n-3)/(n-2)*…*4/5*2/3,n为奇数。=(n-1)/n*(n-3)/(n-2)*…*3/4*1/2*π/2,n为偶数。三角函数三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。

这个积分的被积函数不是初等函数,无法用分步积分或凑积分法来积分

答案是在纸上面

这种解题方法的要点就在于：几乎所有的分部积分法解超越函数积分最后都会出现：两个超越函数积分相互抵消或出现原式形式的情况【常见于三角、指、对数函数】只介绍积分中值定理的推广形式：如果函数 、 在闭区间 上连续，且 在 上不变号， 则在积分区间 上至少存在一个点 ，使下式成立：几乎所有的分部积分法解超越函数积分最后都会出现：两个超越函数积分相互抵消或出现原式形式的情况【常见于三角、指、对数函数】

第29回 享福人福深还祷福 痴情女情重愈斟情 第30回 宝钗借扇机带双敲 椿龄划蔷痴及局外

级数是无穷项相加它主要用于近似计算方面。你的数学用表就是用级数算出来的。要计算机应用上很方便应用特别广的是傅立叶级数。它在电磁学上有广泛应用。电学上经常要用到它微积分是它的基础。

应该用误差函数erf来求。1、首先，积分上下限：∫(-∞,x)应分成∫(-∞,0)+∫(0,x)=-∫(0,-∞)+∫(0,x)2、被积变量t应作变换：t1=t/σ→t=σ*t1相应的积分限x变为x/σ3、系数：dt=σ*dt1，σ和原系数分母中的σ约分，余下1/√(2π)，与erf函数的系数对照，应该乘以1/(2√2)综上，原表达式的计算如下（σ的取值自定）：x=-255:255;sigma=100;f=1/(2*(2)^0.5)*(erf(x/sigma)-erf(-inf))

e的x^2次方的积分的解析式如下：具体来说，先将e的x^2次方用指数函数的形式表示出来，即e^（x^2），然后令u=x^2，du/dx=2x，dx=du/2x。将u代入积分式，得到：∫e^（x^2）dx=∫（1/2）e^udu/x。然后再将u代入，得到：∫e^（x^2）dx=（1/2）∫e^udu/x=（1/2）ln|u|+C。将u代回，得到：∫e^（x^2）dx=（1/2）ln|x^2|+C。e的x^2次方的积分是一种特殊的积分，也称为高斯函数。这个积分可以用一个无穷级数来表示，也可以用复合函数积分法和分部积分法来求解。其中最常用的方法是复合函数积分法，它是一种反复利用换元公式的方法，通过多次代换，将原积分转化为一系列简单的积分，最终得到答案。高斯函数：高斯函数是一种特殊的函数，也称为正态分布函数。它的形式为：f（x）=（1/σ√（2π））*e^（-（x-μ）^2）/（2σ^2），其中μ和σ分别为高斯函数的均值和标准差。它在数学、物理、统计学等领域有着广泛的应用，尤其是在描述随机变量、概率分布和误差分析等方面。高斯函数的图像呈钟形曲线，峰值位于μ处，标准差σ越小，曲线越陡峭，越集中于μ处。高斯函数在实际应用中有着非常重要的作用，是一种不可或缺的数学工具。

∫ exp(-x^2) dx=sqrt(π) 高斯积分（英语：Gaussian integral），有时也被称为概率积分，是高斯函数（e−x2）在整个实数线上的积分。它是依德国数学家兼物理学家卡尔·弗里德里希·高斯之姓氏所命名。这个积分用处很广。例如，在变量略有变化的情况下，它用于计算正态分布的归一化常数。还是这个积分，在极限为有限值的时候，与正态分布的误差函数和累积分布函数密切相关。在物理学中，这种积分经常出现，例如在量子力学中，为了求谐振子基态的概率密度，以及在路径积分公式中，求谐振子的传播子，我们都要用到这个积分。

设∑所围成的区域为Ω，则由高斯公式，得原式=∫∫zhi∫Ω[3(x2+y2+z2)+zf′(yz)+yf′(yz)]dxdydz=3∫∫∫Ω(x2+y2+z2)dxdydz+∫∫∫Ωyf′(yz)dxdydz+∫∫∫Ωzf′(yz)dxdydz由于f（u）是连续可微的奇函数，因而得到f′（u）是偶函数而Ω是关于y=0对称的，yf′（yz）是关于y的奇函数，因此∫∫∫Ωyf′(yz)dxdydz＝0Ω是关于z=0对称的，zf′（yz）是关于y的奇函数，因此∫∫∫Ωzf′(yz)dxdydz＝0∴原式=3∫∫∫Ω(x2+y2+z2)dxdydz=34πa^4。bai原式=∫∫(x²+y²+z²+2xy+2yz+2xz)dS=∫∫du(x²+y²+z²)dS+∫∫2xydS+ ∫∫2yz dS+∫∫ 2xzdS=∫∫a ²dS +0+0+0=a² •4πzhia²=4πa^4注：1、∫∫(x²+y²+z²)dS=∫∫a ²dS （利用曲面积分可将曲面方程代入）2、∫∫2xydS+ ∫∫2yz dS+∫∫ 2xzdS=0+0+0 （利用曲面积分的对称性）扩展资料：高斯函数的不定积分是误差函数。在自然科学、社会科学、数学以及工程学等领域都有高斯函数的身影，这方面的例子包括：在统计学与概率论中，高斯函数是正态分布的密度函数，根据中心极限定理它是复杂总和的有限概率分布。高斯函数是量子谐振子基态的波函数。计算化学中所用的分子轨道是名为高斯轨道的高斯函数的线性组合（参见量子化学中的基组）。在数学领域，高斯函数在埃尔米特多项式的定义中起着重要作用。高斯函数与量子场论中的真空态相关。参考资料来源：百度百科-高斯函数

e的x^2次方的积分的解析式如下：具体来说，先将e的x^2次方用指数函数的形式表示出来，即e^（x^2），然后令u=x^2，du/dx=2x，dx=du/2x。将u代入积分式，得到：∫e^（x^2）dx=∫（1/2）e^udu/x。然后再将u代入，得到：∫e^（x^2）dx=（1/2）∫e^udu/x=（1/2）ln|u|+C。将u代回，得到：∫e^（x^2）dx=（1/2）ln|x^2|+C。e的x^2次方的积分是一种特殊的积分，也称为高斯函数。这个积分可以用一个无穷级数来表示，也可以用复合函数积分法和分部积分法来求解。其中最常用的方法是复合函数积分法，它是一种反复利用换元公式的方法，通过多次代换，将原积分转化为一系列简单的积分，最终得到答案。高斯函数：高斯函数是一种特殊的函数，也称为正态分布函数。它的形式为：f（x）=（1/σ√（2π））*e^（-（x-μ）^2）/（2σ^2），其中μ和σ分别为高斯函数的均值和标准差。它在数学、物理、统计学等领域有着广泛的应用，尤其是在描述随机变量、概率分布和误差分析等方面。高斯函数的图像呈钟形曲线，峰值位于μ处，标准差σ越小，曲线越陡峭，越集中于μ处。高斯函数在实际应用中有着非常重要的作用，是一种不可或缺的数学工具。

公式为：cos(r,n) = cos(x,n)cos(x,r)+sin(x,n)sin(x,r)。=((x-e)cos(x,n)/|r| + (y-m)sin(x,n)/|r|。高斯积分是在概率论和连续傅里叶变换等的统一化等计算中有广泛的应用。在误差函数的定义中它也出现。虽然误差函数没有初等函数，但是高斯积分可以通过微积分学的手段解析求解。高斯积分（Gaussian integral），有时也被称为概率积分，是高斯函数的积分。它是依德国数学家兼物理学家卡尔·弗里德里希·高斯之姓氏所命名。高斯积分在概率论和连续傅里叶变换等的统一化等计算中有广泛的应用。在误差函数的定义中它也出现。虽然误差函数没有初等函数，但是高斯积分可以通过微积分学的手段解析求解。作者简介：德国布隆斯威克人。德国的数学家、物理学家和天文学家。高斯幼年时就显示出非凡的数学才能，得到Carl Wil-helm Ferdinand大公的赏识。在大公的支持下，1795—1798年在哥廷根(Gottingen)大学学习，1799年因证明代数学的基本定理而获得哈勒(Halle)大学的博士学位。

误差函数。在数学中，误差函数（也称之为高斯误差函数，error function or Gauss error function）是一个非基本函数（即不是初等函数），其在概率论、统计学以及偏微分方程和半导体物理中都有广泛的应用。1、erf 是误差函数， erfc是误差互补函数，erf + erfc = 1 。2、erf(α)=(2/根号下派)*(exp(-z方)对z积分，积分下限是0，上限是α)，误差函数从形式上很像正态分布的分布函数Φ(x)，是对一个形如正态分布的概率密度函数做变上限积分的结果；3、erfc（互补误差函数）：erfc(α)=(2/根号下π)*(exp(-z方)对z积分，从α积到正无穷大)；扩展资料：高斯函数的不定积分是误差函数。在自然科学、社会科学、数学以及工程学等领域都有高斯函数的身影，这方面的例子包括：1、在统计学与机率论中，高斯函数是常态分布的密度函数，根据中心极限定理它是复杂总和的有限机率分布。2、高斯函数是量子谐振子基态的波函数。3、计算化学中所用的分子轨道是名为高斯轨道的高斯函数的线性组合（参见量子化学中的基组）。在数学领域，高斯函数在厄尔米特多项式的定义中起著重要作用。高斯函数与量子场论中的真空态相关。在光学以及微波系统中有高斯波束的应用。高斯函数在图像处理中用作预平滑核。参考资料：百度百科-误差函数

自然数e为底的幂

高斯函数的形式为的函数。其中a、b与c为实数常数，且a>0.c2=2的高斯函数是傅立叶变换的特征函数。这就意味着高斯函数的傅立叶变换不仅仅是另一个高斯函数，而且是进行傅立叶变换的函数的标量倍。高斯函数属于初等函数，但它没有初等不定积分。但是仍然可以在整个实数轴上计算它的广义积分（参见高斯积分）：高斯函数的不定积分是误差函数。在自然科学、社会科学、数学以及工程学等领域都有高斯函数的身影，这方面的例子包括：在统计学与概率论中，高斯函数是正态分布的密度函数，根据中心极限定理它是复杂总和的有限概率分布。高斯函数是量子谐振子基态的波函数。计算化学中所用的分子轨道是名为高斯轨道的高斯函数的线性组合（参见量子化学中的基组）。在数学领域，高斯函数在厄尔米特多项式的定义中起着重要作用。高斯函数与量子场论中的真空态相关。在光学以及微波系统中有高斯波束的应用。高斯函数在图像处理中用作预平滑核（参见尺度空间表示）。

首先积分只有在a>0时有意义由于对称性从负无穷到正无穷对e^-at^2 =2从0到正无穷对e^-at^2 =2∫e^(-at^2)dt [∫e^(-at^2)dt]^2 =∫e^(-ax^2)dx ∫e^(-ay^2)dy =∫∫e^(-a(x^2+y^2))dxdy 利用极坐标 x=rcosb,y=rsinb 原积分 =∫[0,2π]db∫[0,+∞]e^(-ar^2)rdr =(π/a)∫[0,+∞]e^(-ar^2)d(ar^2) =(π/a)[-e^(-ar^2)]|[0,+∞] =π/a 所以 ∫e^(-at^2)dt=√(π/a) 从负无穷到正无穷对e^-at^2 =2√(π/a)

宝宝好吧vvvv难看

e的x^2次方的积分的解析式如下：具体来说，先将e的x^2次方用指数函数的形式表示出来，即e^（x^2），然后令u=x^2，du/dx=2x，dx=du/2x。将u代入积分式，得到：∫e^（x^2）dx=∫（1/2）e^udu/x。然后再将u代入，得到：∫e^（x^2）dx=（1/2）∫e^udu/x=（1/2）ln|u|+C。将u代回，得到：∫e^（x^2）dx=（1/2）ln|x^2|+C。e的x^2次方的积分是一种特殊的积分，也称为高斯函数。这个积分可以用一个无穷级数来表示，也可以用复合函数积分法和分部积分法来求解。其中最常用的方法是复合函数积分法，它是一种反复利用换元公式的方法，通过多次代换，将原积分转化为一系列简单的积分，最终得到答案。高斯函数：高斯函数是一种特殊的函数，也称为正态分布函数。它的形式为：f（x）=（1/σ√（2π））*e^（-（x-μ）^2）/（2σ^2），其中μ和σ分别为高斯函数的均值和标准差。它在数学、物理、统计学等领域有着广泛的应用，尤其是在描述随机变量、概率分布和误差分析等方面。高斯函数的图像呈钟形曲线，峰值位于μ处，标准差σ越小，曲线越陡峭，越集中于μ处。高斯函数在实际应用中有着非常重要的作用，是一种不可或缺的数学工具。

一类具有最高的代数精度的内插型求积公式（表2）。求积公式（2）含有2(m+1）个自由参数（xj和Aj），恰当选择这些参数，能使公式（2）的代数精度达到2m+1。高斯求积理论中的一个基本定理断言：只要把结点x0,x1，…，xm取为区间[α,b]上关于权函数ω(x)的m+1次正交多项式的零点，内插型求积公式（2）即达到最高代数精度2m+1。这里[α,b] 可以是有限或无限区间，ω(x)为取正值的权函数。许多有关数值积分的论著都列举出各种高斯型公式的结点和系数的数值。可以证明：对每个连续函数，当结点个数趋于无穷时，高斯型公式所给出的近似值序列收敛到相应积分的精确值，而牛顿－科茨公式则不具有这种性质。高维数值积分的主要方法有蒙特卡罗法、代数方法和数论方法。

最后一步是不是有问题

正态分布是高斯概率分布。高斯概率分布是反映中心极限定理原理的函数，该定理指出当随机样本足够大时，总体样本将趋向于期望值并且远离期望值的值将不太频繁地出现。高斯积分是高斯函数在整条实数线上的定积分。这三个主题，高斯函数、高斯积分和高斯概率分布是这样交织在一起的，所以我认为最好尝试一次性解决这三个主题（但是我错了，这是本篇文章的不同主题）。本篇文章我们首先将研究高斯函数的一般定义是什么，然后将看一下高斯积分，其结果对于确定正态分布的归一化常数是非常必要的。最后我们将使用收集的信息理解，推导出正态分布方程。 首先，让我们了解高斯函数实际上是什么。高斯函数是将指数函数 exp(x) 与凹二次函数（例如 -(ax^2+bx+c) 或 -(ax^2+bx) 或只是-ax^2组成的函数。结果是一系列呈现“钟形曲线”的形状的函数。 两个高斯函数的图。第一个高斯(绿色)的λ=1和a=1。第二个(橙色)λ=2和a=1.5。两个函数都不是标准化的。也就是说，曲线下的面积不等于1。 大多数人都熟悉这类曲线是因为它们在概率和统计中被广泛使用，尤其是作为正态分布随机变量的概率密度函数。在这些情况下，函数具有的系数和参数既可以缩放“钟形”的振幅，改变其标准差(宽度)，又可以平移平均值，所有这一切都是在曲线下的面积进行归一化(缩放钟形，使曲线下的面积总是等于1)的同时进行的。结果是一个高斯函数包含了一大堆的参数来影响这些结果。 如果将其认为是均值 = μ 且标准差 = σ 的正态分布方程。将其与高斯 λ exp(-ax^2) 的一般形式进行比较，我们可以看到： 前导系数 λ 有时表示为 1/Z，其中 Z=√2πσ 2，正是这样的一个结果将我们带到了本文的主要观点之一：√2πσ 2有时被称为一个自变量的正态分布的归一化常数，而1/√2πσ2则被称为归一化常数。在这两种情况下，公式中都有 π，它是从哪里来的？它通常与圆、径向对称和/或极坐标相关联。单个变量的函数如何以 π 作为其在前导系数中的归一化参数之一呢？ 可以参考我们以前的文章，里面有非常详细的描述 不定积分 ∫ exp(x^2) dx 不可能用初等函数求解。有没有任何积分方法可以用来求解不定积分？ 可以计算定积分，如上所述，首先对高斯函数求平方从而在 x 和 y 中产生一个具有径向对称二维图的两个变量函数。这样能够将直角坐标系转换为极坐标，在此基础上就可以使用更熟悉的积分方法（例如置换）进行积分。然后，简单地取结果的平方根（因为我们在开始时对积分进行平方） 就得到了我们的答案，顺便说一句，结果是是√π。 方法的第一步是对积分求平方——也就是说，我们将一维转换为二维，这样就可以使用多变量微积分的技术来求解积分 可以重写为： 这两个积分用x和y表示是等价的;所以它等同于x的单个积分的平方。因为变量x和y是独立的，所以可以把它们移进或移出第二个积分符号，可以这样写: 如果你不熟悉如何解二重积分也不用担心。只需先使用内部变量进行积分得到单个积分。然后用左边的变量和外面的变量积分。但现在还不需要这么做。这里需要注意的是当我们对积分进行平方时，得到了一个二维的图形化的径向对称的高斯函数。用x和y来表示积分e的指数是- (x 2+y 2)给了我们下一步应该做什么的线索。 这里棘手的部分是，我们必须将直角坐标下的二重积分转换成极坐标下的二重积分。 为了在极坐标中对整个无限区域进行积分，我们首先对 exp(−r²) 相对于从 x=0 开始并延伸到无穷大的半径 r 进行积分。结果是一个无限薄的楔形，看起来像我们原始一维高斯曲线的一半。然后我们围绕旋转轴 Z 轴旋转楔形，并累积无限数量的这些极薄的楔形。也就是说——我们在 π 从 0 到 2π 时积分。 我们现在的二重积分看起来像这样: 我们可以用 r^2 替换指数中的 −(x 2+y 2)，这要感谢毕达哥拉斯。但是我们仍然需要将我们的微分从矩形转换为极坐标。 微分的转换简单的表示如下： 在任何情况下，我们的二重积分现在看起来像这样: 添加适当的积分边界: 如果我们设u=r^2，那么du=2r，我们可以写成(对于内积分) 然后求出外积分: 所以: 我们在下一节求解标准化常数时，这个结果很重要。 现在我们有了推导正态分布函数的所有前提。下面将分两步来做：首先确定我们需要的概率密度函数。这意味着以λ为单位重新转换-a-产生的函数，无论为λ选择什么值，曲线下的面积总是1。然后用随机变量的方差σ^2来转换λ。对整个实数线上的方差进行积分 从而得到我们在前导系数 √2πσ^2 中需要归一化常数的项，也是我们在分母中需要的项指数 2σ^2。我们将使用分部积分来求解方差积分。 我们将从广义高斯函数f(x)=λ exp(−ax^2)开始，正态分布下的面积必须等于1所以我们首先设置广义高斯函数的值，对整个实数线积分等于1 这里将 -a- 替换为 a^2 稍微修改了高斯分布。为什么要这样做？因为它可以使用 换元积分 U-substitution 来解决这个积分。为什么我们可以这样做？因为 -a- 是一个任意常数，所以a^2 也只是一个任意常数，可以使用 U-substitution 求解。让 u=ax 和 du=a dx 这意味着 dx=du/a， 由于 λ 和 1/a 是常数，我们可以将它们移到积分符号之外，得到： 我们从上面关于高斯积分的讨论中知道，右边积分的值等于√π。这样就可以改成： 求解 -a- 可以这样写： 根据已经发现的λ 和 -a- 之间的关系，修改后的高斯下的面积总是等于 1 也是必须的，所以我们可以进一步修改，用 πλ^2 代替 a^2 并写： 无论 λ 的值如何，该曲线下的面积始终为 1。这是我们的概率密度函数。 在获得归一化概率分布函数之前还需要做一件事：必须将 λ 重写为随机变量方差 σ^2 的函数。这将涉及对整个实数线的方差表达式进行积分所以需要采用按分部积分来完成此操作。 如果给定一个概率密度函数 f(x) 和一个均值 μ，则方差定义为从均值平方(x - μ)^2的偏差乘以整个实数线的概率密度函数f(x)的积分: 假设μ=0，因为已经有了概率密度函数h(x)，所以可以写成 用分部积分法求解这个积分有: 第一项归零是因为指数中的x^2项比前一项分子中的- x项趋近于∞的速度快得多所以我们得到 右边的被积函数是概率密度函数，已经知道当对整个实数线进行积分时它的值是1 : 求解 λ 得到： 将 λ 的 1/√2πσ^2 代入我们的修改后的公式（即我们的概率密度函数），我们得到： 剩下要做的就是将平均值 μ 放入指数的分子中，以便可以根据 μ 的值沿 x 轴平移图形： 这样就完成了方程推导 https://www.overfit.cn/post/ead43bb483024034bd397d6fc63b53eb 作者 ：Manin Bocss

费马对微积分诞生的贡献主要在于其发明的求值的方法。皮埃尔·德·费马(Pierre de Fermat，1601年8月17日～1665年1月12日），法国律师和业余数学家。他在数学上的成就不比职业数学家差，他似乎对数论最有兴趣，亦对现代微积分的建立有所贡献。被誉为“业余数学家之王”。皮耶·德·费马（Pierre de Fermat）是17世纪的法国一位律师，也是一位业余数学家。之所以称业余，是由于皮耶·德·费马具有律师的全职工作。根据法文实际发音并参考英文发音，他的姓氏也常译为“费尔玛”。费马最后定理在中国习惯称为费马大定理，西方数学界原名“最后”的意思是：其它猜想都证实了，这是最后一个。著名的数学史学家贝尔（E. T. Bell）在20世纪初所撰写的著作中，称皮耶·德·费马为”业余数学家之王“。贝尔深信，费马比皮耶·德·费马同时代的大多数专业数学家更有成就。17世纪是杰出数学家活跃的世纪，而贝尔认为费马是17世纪数学家中最多产的明星。

例子：选择x作导数，e^x作原函数，则积分=xe^x-se^xdx=xe^x-e^x+C一般可以用分部积分法: 形式是这样的: 积分:u(x)v"(x)dx=u(x)v(x)-积分:u"(x)v(x)dx 被积函数的选择。扩展资料积分分类不定积分（Indefinite integral）即已知导数求原函数。若F′(x)=f(x)，那么[F(x)+C]′=f(x).(C∈R C为常数).也就是说，把f(x)积分，不一定能得到F(x)，因为F(x)+C的导数也是f(x)（C是任意常数）。所以f(x)积分的结果有无数个，是不确定的。我们一律用F(x)+C代替，这就称为不定积分。即如果一个导数有原函数，那么它就有无定积分限多个原函数。定积分 （definite integral）定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中的图像包围的面积。即由 y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积。这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。

原函数不是初等函数，所以，是积不出来的。求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。其中F是f的不定积分。函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和；即：设函数  及  的原函数存在，则2、求不定积分时，被积函数中的常数因子可以提到积分号外面来。即：设函数  的原函数存在，  非零常数，则扩展资料：如果f(x)在区间I上有原函数，即有一个函数F(x)使对任意x∈I，都有F"(x)=f(x)，那么对任何常数显然也有[F(x)+C]"=f(x).即对任何常数C，函数F(x)+C也是f(x)的原函数。这说明如果f(x)有一个原函数,那么f(x)就有无限多个原函数。设G(x)是f(x)的另一个原函数,即∀x∈I，G"(x)=f(x)。于是[G(x)-F(x)]"=G"(x)-F"(x)=f(x)-f(x)=0。由于在一个区间上导数恒为零的函数必为常数，所以G(x)-F(x)=C"(C‘为某个常数)。这表明G(x)与F(x)只差一个常数.因此,当C为任意常数时，表达式F(x)+C就可以表示f(x)的任意一个原函数。也就是说f(x)的全体原函数所组成的集合就是函数族{F(x)+C|-∞<C<+∞}。由此可知，如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么F(x)+C就是f(x)的不定积分，即∫f(x)dx=F(x)+C。因而不定积分∫f(x) dx可以表示f(x)的任意一个原函数。

定积分的原函数如何求出？解：原函数可以用积分的方法求出，具体步骤如下：1. 根据定义将原函数表示成不定积分的形式。2. 利用微积分中的“加法性质”和“乘法性质”对不定积分进行合理化处理。 3. 运用相应的公式和方法来求解最后所得的不定积分。

设1-x^2=t那么原函数就是(2/3)t^(3/2)/t"得-(1/3)(1-x^2)^(3/2)

看是否联系

看是不是存在原函数，总结如下：1、利用有原函数存在定理原函数存在定理:若f(x)在[a,b]上连续,则必存在原函数。2、如果不连续如果f(x)不连续，有第一类可去、跳跃间断点或第二类无穷间断点，那么包含此间断点的区间内，一定不存在原函数；如果f(x)不连续，有第二类振荡间断点，那么包含此间断点的区间内，原函数可能存在，也可能不存在。 

楼主的说法，一定是被误导了。1、如果有极限，直接代入，也就是“定式”，就是可以直接确定的极限表达式；2、如果直接代入，出现无法确定的情况没，需要经过特别处理才能确定最后结果，这样的情况有七种，七种不定式：(1)、无穷大减无穷大；(2)、无穷大乘无穷小；(3)、无穷大除无穷大；(4)、无穷小除无穷小；(5)、1的无穷大次幂；(6)、无穷大的无穷小次幂；(7)、无穷小的无穷小次幂。

在高等数学中，极限是一个重要的概念。　　极限可分为数列极限和函数极限，分别定义如下。　　首先介绍刘徽的"割圆术",设有一半径为1的圆，在只知道直边形的面积计算方法的情况下，要计算其面积。为此，他先作圆的内接正六边形，其面积记为A1，再作内接正十二边形，其面积记为A2，内接二十四边形的面积记为A3，如此将边数加倍，当n无限增大时，An无限接近于圆面积，他计算到3072=6*2的9次方边形，利用不等式An+1<A<An+2[(An+1)-An](n=1，2，3....)得到圆周率=3927/1250约等于3.1416　　数列极限：　　定义：设|Xn|为一数列，如果存在常数a对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，不等式　　|Xn - a|<ε　　都成立，那么就成常数a是数列|Xn|的极限，或称数列|Xn|收敛于a。记为lim Xn = a 或Xn→a（n→∞）　　数列极限的性质：　　1.唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的；　　2.改变数列的有限项，不改变数列的极限。　　几个常用数列的极限：　　an=c 常数列 极限为c　　an=1/n 极限为0　　an=x^n 绝对值x小于1 极限为0　　函数极限的专业定义:　　设函数f(x)在点x。的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ ，使得当x满足不等式0<|x-x。|<δ 时，对应的函数值f(x)都满足不等式： 　　|f(x)-A|<ε 　　那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。　　函数极限的通俗定义：　　1、设函数y=f(x)在(a,+∞)内有定义，如果当x→+∽时，函数f(x)无限接近一个确定的常数A，则称A为当x趋于+∞时函数f(x)的极限。记作lim f(x)＝A ，x→+∞。　　2、设函数y=f(x)在点a左右近旁都有定义，当x无限趋近a时（记作x→a），函数值无限接近一个确定的常数A，则称A为当x无限趋近a时函数f(x)的极限。记作lim f(x)=A ，x→a。　　函数的左右极限：　　1：如果当x从点x=x0的左侧（即x〈x0）无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数a,就说a是函数f(x)在点x0处的左极限，记作x→x0-limf(x)=a.　　2:如果当x从点x=x0右侧（即x>x0)无限趋近于点x0时，函数f(x)无限趋近于常数a,就说a是函数f(x)在点x0处的右极限，记作x→x0+limf(x)=a.　　注：若一个函数在x（0）上的左右极限不同则此函数在x（0）上不存在极限　　函数极限的性质：　　极限的运算法则（或称有关公式）： 　　lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x) 　　lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x) 　　lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x) 　　lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x) ( limg(x)不等于0 )　　lim(f(x))^n=(limf(x))^n 　　以上limf(x) limg(x)都存在时才成立　　lim(1+1/x)^x =e　　x→∞ 　　无穷大与无穷小：　　一个数列（极限）无限趋近于0，它就是一个无穷小数列（极限）。　　无穷大数列和无穷小数列成倒数。参见 http://baike.baidu.com/view/17644.htm

微积分的基本思想是极限思想。函数的连续性，导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。 所以可以说：微积分就是用极限思想来研究函数的一门学科。 极限的思想在刘徽割圆术就有了，但是仅仅是一种计算方法，而不是一个思维方式。在中国古代，刘徽，祖冲之计算圆周率用的割圆术就是典型的微积分方法，三国时期的刘徽在他的割圆术中提到的“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。微积分介绍：“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”（“永远不能够等于A，但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果）的过程中。此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的值A叫做“极限值”（当然也可以用其他符号表示）。以上是属于“极限”内涵通俗的描述，“极限”的严格概念最终由柯西和魏尔斯特拉斯等人严格阐述。

是微积分的理论基础...........

几何拓扑学(Geometric Topology)，是数学中研究流形以及它们的嵌入，俱代表性的主题有扭结理论和辫子群。几何拓扑学几乎等同于考虑2维,3维,或者4维的低维拓扑学。 微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。 极限和微积分的概念可以追溯到古代。到了十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨完成了许多数学家都参加过准备的工作，分别独立地建立了微积分学。

1684年莱布尼茨发表第一篇微分论文，定义了微分概念，采用了微分符号dx，dy1686年他又发表了积分论文，讨论了微分与积分，使用了积分符号 ∫1674年11月11日他完成一套完整的微分学1667年牛顿手稿完成了代表了微积分发明的《流数法》（发表时间为1671年）从手稿完成的时间看，牛顿确是比莱布尼茨早了七年,但莱布尼茨的微积分发明比牛氏的更完善，而且囿于当年通迅条件和学术交流条件的限制，莱布尼茨完全是在独立的情况下发明微积分的。1695年英国学者宣称：微积分的发明权属于牛顿1699年又说：牛顿是微积分的“第一发明人”1712年英国皇家学会成立了一个机构，专门调查此案，1713年发布公告，确认了牛顿是微积分的“第一发明人”由于对牛顿的盲目崇拜，英国学者长期固守于牛顿的“流数术”，只用牛顿的“流数”符号，不屑采用莱布尼茨更优越的符号。以致英国的数学脱离了数学发展的时代潮流，这些无谓的争论，均是一些外面的学痞、学阀在瞎胡闹。事实上当事人牛顿和莱布尼茨两位，均是谦逊礼让。牛顿对他同时代的莱布尼茨，态度极为诚恳，他在《自然哲学的数学原理》一书的第一版中，毫不含糊地承认了莱布尼茨的天才。而莱布尼茨对牛顿的评价非常的高，1701年，在柏林宫廷的一次宴会上，普鲁士国王询问莱布尼茨对牛顿的看法，莱布尼茨说道“在从世界开始到牛顿生活的时代的全部数学中，牛顿的工作超过了一半”。这是一种说法，还有另外一种说法：1699年，移居英国的一名瑞士人一方面为了讨好英国人，另一方面由于与莱布尼茨的个人恩怨，指责莱布尼茨的微积分是剽窃自牛顿的流数术，但此人并无威望，遭到莱布尼茨的驳斥后，就没了下文。1704年，在其光学著作的附录中，牛顿首次完整地发表了其流数术。当年出现了一篇匿名评论，反过来指责牛顿的流数术是剽窃自莱布尼茨的微积分。 于是究竟是谁首先发现了微积分，就成了一个需要解决的问题了。1711年，苏格兰科学家、英国王家学会会员约翰·凯尔在致王家学会书记的信中，指责莱布尼茨剽窃了牛顿的成果，只不过用不同的符号表示法改头换面。同样身为王家学会会员的莱布尼茨提出抗议，要求王家学会禁止凯尔的诽谤。王家学会组成一个委员会调查此事，在次年发布的调查报告中认定牛顿首先发现了微积分，并谴责莱布尼茨有意隐瞒他知道牛顿的研究工作。此时牛顿是王家学会的会长，虽然在公开的场合假装与这个事件无关，但是这篇调查报告其实是牛顿本人起草的。他还匿名写了一篇攻击莱布尼茨的长篇文章。 当然，争论并未因为这个偏向性极为明显的调查报告的出笼而平息。事实上，这场争论一直延续到了现在。没有人，包括莱布尼茨本人，否认牛顿首先发现了微积分。说牛顿耍阴招应该是指第二种吧，当时牛顿比莱布尼茨的声望更高，影响更大，说是牛顿发明的也没错，从发明时间上看牛顿确实比莱布尼茨早，但他在莱布尼茨公布自己的发现之后才站出来，那时候交流不便，谁也说不清莱布尼茨有没有看过牛顿的手稿。我觉得在这场争论中更多的是国家力量，是英国的岛国心态在作祟，由于对牛顿的盲目崇拜，英国学者长期固守于牛顿的“流数术”，只用牛顿的“流数”符号，不屑采用莱布尼茨更优越的符号，最终导致英国的数学脱离了数学发展的时代潮流达一百多年，直到1820年才愿意承认其他国家的数学成果，重新加入国际主流。这其中各种纠结，具体如何已无答案。

莱布尼兹公式，也称为乘积法则，是数学中关于两个函数的积的导数的一个计算法则。不同于牛顿-莱布尼茨公式，莱布尼茨公式用于对两个函数的乘积求取其高阶导数。一般的，如果函数u=u(x)与函数v=v(x)在点x处都具有n阶导数，那么此时有 莱布尼茨公式是导数计算中会使用到的一个公式，它是为了求取两函数乘积的高阶导数而产生的一个公式。拓展资料： 微积分的创立者是牛顿和莱布尼茨，之所以说牛顿和莱布尼茨的创立者，事实上是因为他们把定积分与不定积分联系起来，从而建立了微分和积分相互联系的桥梁。牛顿莱布尼茨公式，经常也被称为“微积分学基本定理”莱布尼茨法则，也称为乘积法则，是数学中关于两个函数的积的导数的一个计算法则。莱布尼兹公式，也称为乘积法则，是数学中关于两个函数的积的导数的一个计算法则。不同于牛顿莱布尼茨公式，莱布尼茨公式用于对两个函数的乘积求取其高阶导数。 扩展资料　　推导过程：　　如果存在函数u=u(x)与v=v(x)，且它们在点x处都具有n阶导数，那么显而易见的.，　　u(x) ± v(x) 在x处也具有n阶导数，且 (u±v)(n) = u(n)± v(n)　　至于u(x) × v(x) 的n阶导数则较为复杂，按照基本求导法则和公式，可以得到：　　(uv)" = u"v + uv"　　(uv)"" = u""v + 2u"v" + uv""　　(uv)""" = u"""v + 3u""v" + 3u"v"" + uv

因为f(z)=x³-3xy²+i(3x²y-y³+C)即f(x,y)=x³-3xy²+i(3x²y-y³+C)又f(0)=i,即是f(0,0)=i于是f(0,0)=x³-3xy²+i(3x²y-y³+C)=iC=I所以C=1于是f(x,y)=x³-3xy²+i(3x²y-y³+1)设z=x+yiz³=x³+3x²yi+3x(yi)²+(yi)³=x³+3x²yi-3xy²-y³i由f(x,y)=x³-3xy²+i(3x²y-y³+1)=x³+3x²yi-3xy²-y³i+i即f(z)=z³+i

倘若其中  是调和函数，  ，利用Green第二公式：这里的  是我们任取的一个好的函数，于是我们看到这样一种可能性：式子的右端仅与  上函数的性质有关，我们有可能取得  或是怎样的一个函数，使得式子的左端非常接近于区域内某点的值  ，也就是说：上面的式子提示了调和函数在区域内部某点的值完全被边界上的取值决定的可能性！

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数： 平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数。曲线的极坐标参数方程ρ=f(t),θ=g(t)。圆的参数方程 x=a+r cosθ y=b+r sinθ（θ∈ [0，2π) ） (a,b) 为圆心坐标，r 为圆半径，θ 为参数，(x,y) 为经过点的坐标。椭圆的参数方程 x=a cosθ　 y=b sinθ（θ∈[0，2π）） a为长半轴长 b为短半轴长 θ为参数。双曲线的参数方程 x=a secθ （正割） y=b tanθ a为实半轴长 b为虚半轴长 θ为参数。抛物线的参数方程 x=2pt^2 y=2pt p表示焦点到准线的距离 t为参数。并且对于t的每一个允许的取值，由方程组确定的点(x, y)都在这条曲线上，联系变数x、y的变数t叫做参变数。相对而言，直接给出点坐标间关系的方程为普通方程。直线的参数方程 x=x"+tcosa y=y"+tsina,x",y"和a表示直线经过（x",y"），且倾斜角为a,t为参数。扩展资料积分的保号性：如果一个函数f在某个区间上黎曼可积，并且在此区间上大于等于零。那么它在这个区间上的积分也大于等于零。如果f勒贝格可积并且几乎总是大于等于零，那么它的勒贝格积分也大于等于零。作为推论，如果两个等于0，那么任何可积函数在A上的积分等于0。函数的积分表示了函数在某个区域上的整体性质，改变函数某点的取值不会改变它的积分值。对于黎曼可积的函数，改变有限个点的取值，其积分不变。某个测度为0的集合上的函数值改变，不会影响它的积分值。如果两个函数几乎处处相同，那么它们的积分相同。如果对中任意元素A，可积函数f在A上的积分总等于（大于等于）可积函数g在A上的积分，那么f几乎处处等于（大于等于）g。参考资料来源：百度百科-参数方程参考资料来源：百度百科-积分

面积公式是∫(α→β) (1/2)r²(θ) dθ

高三人教版数学书上有啊

就是另一个变量为0的时候的单一自变量函数为奇为偶几何意义：特征就是当X=0时，f(y)是关于原点中心对称的。

可导，即设y=f(x)是一个单变量函数， 如果y在x=x0处左右导数分别存在且相等,则称y在x=x[0]处可导。如果一个函数在x0处可导，那么它一定在x0处是连续函数。可微，设函数y= f(x)，若自变量在点x的改变量Δx与函数相应的改变量Δy有关系Δy=A×Δx+ο(Δx)，其中A与Δx无关，则称函数f(x)在点x可微，并称AΔx为函数f(x)在点x的微分，记作dy，即dy=A×Δx，当x= x0时，则记作dy∣x=x0。可积，设是定义在区间上的一个函数，是一个确定的实数。若对任意的正数，总存在某一正数，使得对的任何分割

这个，我认为，不能一概而论，这个命题显然是你想象出来的，比如，对于被积函数为两个未知量的那么对一种一个变量求积分，而对另一个变量求极限，如果在……内是连续的，是可以先取极限再积分的；再如，对于一个变量的函数，先积分（如从0到x）后求极限得到的是个数，如果先求极限再积分得到的是一个关于x的函数，显然两者是不等价的。

（1）由f（x）=ex-ax得f′（x）=ex-a．又f′（0）=1-a=-1，∴a=2，∴f（x）=ex-2x，f′（x）=ex-2．由f′（x）=0得x=ln2，当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞ln2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；∴当x=ln2时，f（x）有极小值为f（ln2）=eln2-2ln2=2-ln4．f（x）无极大值．（2）令g（x）=ex-x2，则g′（x）=ex-2x，由（1）得，g′（x）=f（x）≥f（ln2）=eln2-2ln2=2-ln4＞0，即g′（x）＞0，∴当x＞0时，g（x）＞g（0）＞0，即x2＜ex；（3）对任意给定的正数c，总存在x0=1/c＞0．当x∈（x0，+∞）时，由（2）得ex＞x2＞1/cx，即x＜cex．∴对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x＜cex．

如果你问大学课程中的《复变函数与积分变换》和《实变函数与泛函分析》哪个难，我觉得都难？首先来聊聊《复变函数与积分变换》：复变函数论主要用于研究复域中的解析函数，因此通常称为解析函数论。积分变换最基本的一点是，它们可以用来解数学方程。其实这可以作为两门学科，但是也可以作为一门学科。因为复数的概念起源于求方程的根。在求二次和三次代数方程的根时，有负数的平方。长期以来，人们无法理解这样的数字。但随着数学的发展，这种数的重要性越来越明显。积分变换是数学理论或应用中非常有用的工具。最重要的积分变换是傅里叶变换和拉普拉斯变换。由于不同应用的需要，还有其他的积分变换，其中梅林变换和汉克尔变换被广泛应用，可以通过傅里叶变换或拉普拉斯变换进行变换。所以他们之间还是有联系的。再者说说《实变函数与泛函分析》：说到这门学科，肯定离不开集合论部分，已知给出了更多的拓扑定义，然后讨论了一些关于顺序和选择公理的事情，这门学科在附录中列出了顺序和选择公理，以便进行简单解释，但这一部分对学习实变量函数几乎没有影响。在测量理论方面，需要从外部测量和内部测量两方面给出了测量方法，按照勒伯格最初建立测量理论的顺序，操作更为复杂。所以，实变函数与泛函分析的关系比较复杂，就是先实变函数，然后再泛函分析。其中包含了范数空间，度量空间：它涉及紧性，可以用来证明代数的基本定理。这些简单的概念已经可以得到强有力的结果：科罗夫金的理论和斯通·韦尔斯特拉的理论。一系列定理实际上回答了一个问题，即逼近问题，即给出一种用多项式（三角多项式）逼近连续函数的方法。如何判断这种方法是否可靠。接下来，我给出一个在20世纪50年代证明的结果，这个结果非常漂亮，不涉及困难的数学概念。总之，我觉得都非常难学，以前觉得高数难，概率论难，自从学了这两门学科，我觉得没有比他们难，因此建议：非数学专业别学。

其实都一样

高数初学者一开始不用学得那么全面，甚至不用去管极限的 (ε, δ)定义，而是要先观其大略地过它一遍、先入门，这并非是走马观花，而是要理解核心思想、掌握主干，等掌握了大略之后再深入细节会轻松很多， 托马斯, 斯图尔特差不多 菲赫金哥尔茨 数分 Simmons, George Finlay - Differential equations with applications and historical notes-Chapman and Hall CRC 微积分及其应用Calculus and Its Applications (9th Edition) Marvin L. Bittinger / David J. Ellenbogen / Addison Wesley 微积分及其应用（原书第8版） 微积分及其应用（英文版·第13版）/高等学校数学双语教学推荐教材 （Larry J. Goldstein P.Lax 最好的工科教材中文版 Calculus With Applications Peter Lax Multivariable 当我们在用一本书（或跟一门课）学习的时候，基本上不可能不在学习中产生疑问，除去我们自己的原因之外，也有书本的原因：正如人无完人一样，没有哪一本书是完美无瑕的，以至于能解决你在该科目学习过程中的所有问题（诺贝尔物理奖获得者 Gerard "t Hooft 和菲尔兹奖获得者 丘成桐 都表达过同样的观点：当你能够发现书里的不足之处时你就有不错的进步了），所以我强烈建议自学者除了选一本较好的教材作为学习主轴后也要再多找几本同类教材作参考书，以便一本书上的知识点讲解看不懂的时候可以看另一本上的来打开思路。若看书也不能解决问题，那么还可以把你的数学问题用英文写了发在 Mathematics Stack Exchange 这个网络社区里问一问，老外们乐于助人的品质、对数学的热情、认真负责的态度都很感染我——向他们学习！顺便一提：中学时期看不懂教材我们可以买很多参考书来看，但到大学来想找本参考书就不太容易了，原因之一我想是高等教育领域的应试教育市场经济不够繁荣所致。 Inside Interesting Integrals 小平邦彦写的应该是分三卷 Rudin的书的问题在于观点太高（当然这也是这本书的优点），对初学者不友好，可以作为研究者的精研用书。 菲赫金戈尔茨《微积分教程》翻译得很不好，读起来跟吃木头一样，当然里面各种算例实在是妙啊妙。 概念扫盲，只求感性理解，不求严谨证明。起码第一遍不求，后面可以酌情看那些高赞回答推荐的教材。 数学专业的学生有很多可以参考的，诸如菲赫金哥尔茨，托马斯，卓里奇，rudin 算法:==== 如何求解问题 Calculus: An Intuitive and Physical Approach (Second Edition) Calculus: Single & Multivariable, Hughes-Hallett, Gleason, McCallun et al. 菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》（大神可以选择卓里奇），也可以看中科大的《数学分析教程》 吉米多维奇的书招式齐全，但不谈内力。 数学分析八讲 辛钦的书是精髓中的精髓，但内力稍弱的人要是只修炼这一本，常常难得要领，走火入魔也是有的。 微积分及其应用（原书第8版） 班纳的书是干货中的干货，贵在实在，但讲解集中在单变量微积分的范围内。 小平邦彦的这本书，名为《微积分入门》，实则是以数学分析的全局观去剖析微积分，思路流畅，讲解细致，范围涵盖了一元微积分和多元微积分。”老者笑道，“说到修炼内力，打通思路，这本书可算得上是思维中见招式，全局中看细节 托马斯微积分 斯图尔特微积分 微积分和数学分析引论（第一卷） Richard Courant / Fritz John 高等微积分（第3版修订版）高木贞治 解析概论 ROM的《微积分》 陈效群 微积分学习辅导 《微积分同步练习》清华大学出版社 陶哲轩数学分析 ①The Fundamentals of Mathematical Analysis, Volume 1, 1st Edition, G. M. Fikhtengol"ts（中译本：菲赫金哥尔茨《数学分析原理》）、 ②Richard Courant, Fritz John, Introduction to Calculus and Analysis(Reprint of the 1989 edition) 、 ③陈纪修、於崇华、金路的《数学分析》。 各位学完如上面推荐的这种入门教材后，若要深入学习高数，可以看Richard Courant, Fritz John, Introduction to Calculus and Analysis(Reprint of the 1989 edition)， Lay, Nagle, Saff & Snider, Linear Algebra and Differential Equations 对数学热爱书 Mathematics for the Nonmathematician 张景中的漫画数学，其二就是萧文强的数学证明（可能后来还可以加上martrix67 The problem with books like Thomas" Calculus or Stewart Calculus is that you won"t get a thorough understanding of the inner mechanics of calculus. As long as you don"t have a good prof or teacher, I would stay away from these books. If you want to understand what I mean, take a look at some arbitrary sections in these books. You"ll see a short paragraph, which serves as an intro, then some boxes with formulas, then a few workout examples and then a bunch of exercises. This means, you will only learn HOW to you the formulas instead of understanding the WHY! My advice is, visit YouTube, search for Michael Van Biezen, learn the techniques of Calculus 1–3 (ca. 17 hours), and then, to understand the inner mechanics of Calculus, read Tom Apostol. Biezen will serve as a shortcut for learning the techniques and Apostol will teach you the WHY. Alternatively you can search for Prof.Leonard on YouTube and watch his Calculus 1–3 lectures (ca 168 hours). He works through the books like Stewart Calculus but tries to teach you the sections in detail. Nevertheless, I would prefer the first way Biezen -> Apostol. To answer your question, ①The Fundamentals of Mathematical Analysis, Volume 1, 1st Edition, G. M. Fikhtengol"ts（中译本：菲赫金哥尔茨《数学分析原理》）、 ②Richard Courant, Fritz John, Introduction to Calculus and Analysis(Reprint of the 1989 edition) 、 ③陈纪修、於崇华、金路的《数学分析》。 Analysis by Its History Book by Ernst Hairer and Gerhard Wanner Mathematics and its History-by John Stillwell apostol calculus Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach by Jerome Keisler good calculus book site://www.quora.com/ mathematics books to non-mathematicians. Mathematics: Its Content, Methods and Meaning by [A. D. Aleksandrov] Mathematics: From the Birth of Numbers 小平邦彦的微积分入门 best math book site://www.quora.com/ If you want to learn calculus just to apply it, get the typical popular textbooks (Stewart, Edwards, etc), the notation is much more modern and the progression is more in tune with the contemporary pedagogics of calculus. If you want to learn calculus like a mathematician, get the Spivak or the Courant, these are fantastic and have challenging problems and rigorous proofs of everything under the sun. 这位老哥很用心 https://www.cnblogs.com/iMath/p/9810722.html If you don"t want to buy a hardcopy you can get a comprehensive Calculus book from OpenStax where Gilbert Strang is one of the Authors. (see link below). I hope I could help you. I struggled a lot with the same question.

微积分中的拉格朗日定理即（拉格朗日中值定理）设函数f(x)满足条件：（1）在闭区间[a，b]上连续；（2）在开区间（a，b）可导；则至少存在一点ε∈（a，b），使得f(b) - f(a)=f"(ε)(b-a)或者f(b)=f(a) + f "(ε)(b - a)[证明:把定理里面的c换成x在不定积分得原函数f(x)={[f(b)-f(a)]/(b-a)}x.做辅助函数G(x)=f(x)-{f(b)-f (a)]/(b-a)}x易证明此函数在该区间满足条件:1,G(a)=G(b);2.G(x)在[a,b]连续;3.G(x)在(a,b)可导.此即罗尔定理条件,由罗尔定理条件即证]

“虚数”这个名词是17世纪著名数学家笛卡尔创制，因为当时的观念认为这是真实不存在的数字。后来发现虚数可对应平面上的纵轴，与对应平面上横轴的实数同样真实。虚数轴和实数轴构成的平面称复平面,复平面上每一点对应着一个复数。复数由实数部分和虚数部分所组成的数。实数部分可以是零。如果虚数部分也允许是零，那么实数就是复数的子集。列如形为2＋3i，4+5i的数都是复数。就如同实数可以在数轴上表示一样，复数可以在平面上表示，这种表示通常被称为阿干图示法，以纪念瑞士数学家阿干(J.R.Argand,1768-1822)。复数x+iy以坐标黑点(x,y)来表示如果两个复数的实部相等,虚部互为相反数,那么这两个复数称为共轭复数.

积分是求导得逆运算

第一个为关于集合E的特征函数，第二个为简单函数，其中Ek均可测，N有限，系数非负。(L-S)积分是关于(L-S)测度的一种积分则简单函数的L-S积分为ak*m(Ek)关于k求和（k=1...N)，m(Ek)为Ek的测度

狄利克雷函数（外文名：dirichlet function）是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。 狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分，它是一个处处不连续的可测函数。

有跳跃间断点的函数的变上限积分函数连续的。变上限积分函数应该出现的是类似于|x|这样分段的函数，分段点连续，但是不可导的情况。所以如果是有第二类间断点，如无穷间断点，震荡间断点，是有可能（但也只是有可能，不是一定）不可积。而如果是有限个第一类（无论是跳跃间断点，还是可去间断点），都必然是可积的。函数可积的充分条件：1、定理1设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。2、定理2设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个第一类间断点，则f(x)在[a,b]上可积。3、定理3设f(x)在区间[a,b]上单调有界,则f(x)在[a,b]上可积。扩展资料：任何一个可积函数一定是有界的，但是需要注意的是，有界函数不一定可积。在其定义域上的每一点都不连续的函数。狄利克雷函数是处处不连续函数的一个例子。若f(x)为一函数，定义域和值域都是实数，若针对每一个x，都存在ε>0 ，使得针对每一个δ>0，都可以找到y，使下式成立，则f(x)为处处不连续函数：0< |x−y|<δ 且|f(x)−f(y)|≥ε。不论距固定点多近，都有距固定点更近的点使函数的值偏离固定点对应的值。例如狄利克雷函数就是一个处处不连续函数。实数函数f为处处不连续，若其超实数延伸有以下的特性：每一个无限接近一个x都有一个无限接近的点y，使得距离f(x)-f(y)不是无穷小量。参考资料来源：百度百科——处处不连续函数参考资料来源：百度百科——可积函数

有跳跃间断点的函数的变上限积分函数连续的。变上限积分函数应该出现的是类似于|x|这样分段的函数，分段点连续，但是不可导的情况。所以如果是有第二类间断点，如无穷间断点，震荡间断点，是有可能（但也只是有可能，不是一定）不可积。而如果是有限个第一类（无论是跳跃间断点，还是可去间断点），都必然是可积的。函数可积的充分条件：1、定理1设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。2、定理2设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个第一类间断点，则f(x)在[a,b]上可积。3、定理3设f(x)在区间[a,b]上单调有界,则f(x)在[a,b]上可积。扩展资料：任何一个可积函数一定是有界的，但是需要注意的是，有界函数不一定可积。在其定义域上的每一点都不连续的函数。狄利克雷函数是处处不连续函数的一个例子。若f(x)为一函数，定义域和值域都是实数，若针对每一个x，都存在ε>0 ，使得针对每一个δ>0，都可以找到y，使下式成立，则f(x)为处处不连续函数：0< |x−y|<δ 且|f(x)−f(y)|≥ε。不论距固定点多近，都有距固定点更近的点使函数的值偏离固定点对应的值。例如狄利克雷函数就是一个处处不连续函数。实数函数f为处处不连续，若其超实数延伸有以下的特性：每一个无限接近一个x都有一个无限接近的点y，使得距离f(x)-f(y)不是无穷小量。参考资料来源：百度百科——处处不连续函数参考资料来源：百度百科——可积函数

在勒贝格积分意义下,狄利克雷函数在区间（0,1）上可积.积分值为0, 因为按勒贝格测度,狄利克雷函数在区间（0,1）上几乎处处为0. 在黎曼积分意义下,狄利克雷函数在区间（0,1）上不可积. 区间（0,1）上函数f(x)黎曼可积的充要条件是f(x)间断点集合的勒贝格测度为0.

如图所示：

不是几句话能说明白的，只给出参考意见。理论上有理函数一定能积出来。因为因式分解也是理论上在实数域上能分解成一次或二次因式（这是代数学基本地理），可是实际上任意给定一个多项式能否具体的分解还没有给出可行的方法。而有理函数的积分依赖于多项式的因式分解，所以任意给出一个有理函数不一定能积分出来。详细的理论可以参考同济第三版以前的高等数学，有详细的讲解。新版没有这部分内容。

条件是a(x)与b(x)均为无穷小，当lima(x)/b(x)=非零常数，则称a(x)与b(x)是同阶无穷小；当lima(x)/b(x)=1，则称a(x)与b(x)是等价无穷小；当lima(x)/bⁿ(x)=非零常数，则称a(x)是b(x)的n阶无穷小；当lima(x)/b(x)=0，则称a(x)是b(x)的高阶无穷小，b(x)为a(x)的低阶无穷小。例：x--->0时limsin³x/x=0，说明sin³x是x的高阶无穷小，x是sin³x的低阶无穷小；limsin³x/x³=1，说明sin³x是x的三阶无穷小，sin³x与x³是等价无穷小。