定义

1函数在数学上的定义：给定一个非空的数集A,对A施加对应法则f,记作f（A）,得到另一数集B,也就是B=f（A）.那么这个关系式就叫函数关系式,简称函数.简单来讲，对于两个变量x和y，如果每给定x的一个值，y都有唯一一个确定的值与其对应，那么我们就说y是x的函数。其中，x叫做自变量，y叫做因变量。函数得关键元素是1定义域，2值域，3对应法则。

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函数是用户与程序的接口，在定义一个函数前，首先要清楚以下三个问题。 1) 函数的功能实现及算法选择。算法选择会在后续文章详细讲解，本节重点关注函数的功能实现。一般选取能体现函数功能的函数名，且见名知意，如求和函数的函数名可取为 add，求最大值的函数名可取为 max，排序函数可取名为 sort 等。 2) 需要用户传给该函数哪些参数、什么类型，即函数参数。 3) 函数执行完后返回给调用者的参数及类型，即函数返回值类型。 函教定义格式 函数定义的一般格式为： 返回类型 函数名 (类型参数1,类型参数2,…) { 函数体 } 也可以不含参数，不含参数时，参数表中可写关键字 void 或省略，为规范起见，教程中对没有参数的函数，参数表中统一写 void。例如： 类型 函数名 () { 函数体 } 等价于： 类型 函数名 (void) //建议的书写方式 { 函数体 } 如果该函数没有返回类型，则为 void 类型。例如： void add (int x,int y) { printf ("sum=%d ", x+y); } 除了 void 类型外，在函数体中，均需要显式使用 return 语句返回对应的表达式的值。 函教返回值 函数的值是指调用函数结束时，执行函数体所得并返回给主调函数的值。 关于函数返回值说明如下。 1) 带返回值的函数，其值一般使用 return 语句返回给调用者。其格式为： return 表达式; 或者 return (表达式); 例如： int add (int a, int b) { return (a + b); //return 后为表达式 } 函数可以含一个或多个 return 语句，但每次调用时只能执行其中一个 return 语句。 例如，求整数绝对值的函数： int f (int n) //含多个return语句，但每次调用只执行一个 { if (n >= 0) return n; else return -n; }

(1)函数的传统定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量.(2)函数的近代定义：设A，B都是非空的数的集合，f:x→y是从A到B的一个对应法则，那么从A到B的映射f:A→B就叫做函数，记作y＝f(x)，其中x∈A，y∈B，原象集合A叫做函数f(x)的定义域，象集合C叫做函数f(x)的值域.

是否静态（寄存器）返回值类型(默认为空)函数名（参数1类型参数1，参数2类型参数2....）{函数内容}如intadd(inta,intb){returna+b;}

函数定义：设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有惟一的元素和它对应，这样的对应叫做从集合A到集合B的映射，记作f : A-->B. 当集合A，B都是非空的数的集合，且B的每一个元素都有原象时，这样的映射f:A-->B.就叫定义域A到值域B上的函数．在初中课本中的定义是：一般的，有两个变量XY，其中一个变量Y随着另一个变量X的变化而变化，并且，给出一个X值都有唯一的一个Y值与它对应。X叫自变量，Y叫因变量。函数在数学领域，函数是一种关系，这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个（可能相同的）集合里的唯一元素。因变量，函数一个与他量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在他量中找到对应的固定值。函数两组元素一一对应的规则，第一组中的每个元素在第二组中只有唯一的对应量。函数的概念对于数学和数量学的每一个分支来说都是最基础的。术语函数，映射，对应，变换通常都有同一个意思。但函数只表示数与数之间的对应关系，映射还可表示点与点之间，图形之间等的对应关系。可以说函数是一种特殊的映射。

函数数学术语。其定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。

函数的定义（1）传统定义：如果在某个变化过程中有两个变量x和y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么把y叫做x的函数，x叫做自变量，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。y是x的函数，可以记作y＝f（x）（f表示对应法则）。（2）近代定义：设A、B都是非空的数的集合，f是从A到B的一个对应法则，那么A到B的映射f:A→B就叫做A到B的函数，记作y＝f（x），其中x?A,y?B。原象的集合A叫做函数f（x）的定义域，象的集合C叫做函数f（x）的值域，显然C?B。注意①由函数的近代定义可知，函数是数集间的映射。②对应法则f是联系x、y的纽带，是函数的核心，常用一个解析式表示，但在不少问题中，对应法则f也可能不便用或不能用上个解析式来表示，而是采用其他方式（如数表或图象等）。定义域（或原象集合）是自变量的取值范围，它是函数的一个不可缺少的组成部分，它和对应法则是函数的两个重要因素。定义域不同而解析式相同的函数，应看作是两个不同的函数。③f（a）与f（x）的涵义是不同的，f（a）表示自变量x＝a时所得的函数值，它是一个常量，而f（x）是x的函数，是表示对应关系的。

primitive function已知函数f(x)是一个定义在某区间的函数，如果存在可导函数F(x)，使得在该区间内的任一点都有dF(x)=f(x)dx，则在该区间内就称函数F(x)为函数f(x)的原函数。例：sinx是cosx的原函数。关于原函数的问题若函数f(x)在某区间上连续，则f(x)在该区间内必存在原函数，这是一个充分而不必要条件，也称为“原函数存在定理”。若其存在原函数，那么原函数一共有多少个呢？我们可以明显的看出来：若函数F(x)为函数f(x)的原函数，即：F"(x)=f(x)，则函数族F(x)+C(C为任一个常数）中的任一个函数一定是f(x)的原函数，故：若函数f(x)有原函数，那么其原函数为无穷多个.如果定义在（a,b）上的函数F（x）和f（x）满足条件：对每一x∈（a,b），F′（x）=f（x）?则称F（x）为f（x）的一个原函数。例如，x3是3x2的一个原函数，易知，x3+1和x3+2也都是3x2的原函数。因此，一个函数如果有一个原函数，就有许许多多原函数，原函数概念是为解决求导和微分的逆运算而提出来的，例如：已知作直线运动的物体在任一时刻t的速度为v=v(t),要求它的运动规律 ，就是求v=v(t)的原函数。原函数的存在问题是微积分学的基本理论问题，当f(x)为连续函数时，其原函数一定存在。

代数函数的解释 由自变量和常数 经过 有限次 代数 运算得到的 函数 。 词语分解 代数的解释 数学的一个分支,其中将算术关系加以概括并用代表数字的 字母 符号、变量或其它数学实体来 探讨 如矢量和矩阵,字母符号是结合起来的,尤指在按照指定的 规律 形成方程的情况下详细解释见“ 代数学 ”。 函数的解释 彼此 相关的两个量 之一 ,他们的关系是一个量的诸值与另外一个量的诸值 相对 应详细解释称因变数。数学 名词 。在互相关联的两个数中，如甲数变化，乙数亦随甲数的变化而变化，则乙数称为甲数的函数。如 某种 布每尺价格一

数列收敛是设数列{Xn}，如果存在常数a（只有一个），对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n>N时，恒有|Xn-a|<q成立，就称数列{Xn}收敛于a（极限为a）。收敛数列与其子数列间的关系：子数列也是收敛数列且极限为a恒有|Xn|<M若已知一个子数列发散，或有两个子数列收敛于不同的极限值，可断定原数列是发散的。如果数列{Xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a。相互关系收敛数列与其子数列间的关系子数列也是收敛数列且极限为a恒有|Xn|<M若已知一个子数列发散，或有两个子数列收敛于不同的极限值，可断定原数列是发散的。如果数列{}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a。以上内容参考：百度百科-收敛数列

1、设数列{Xn}，如果存在常数a，对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n>N时，恒有|Xn-a|<q成立，就称数列{Xn}收敛于a（极限为a），即数列{Xn}为收敛。2、求数列的极限，如果数列项数n趋于无穷时，数列的极限能一直趋近于实数a，那么这个数列就是收敛的；如果找不到实数a，这个数列就是发散的。看n趋向无穷大时,Xn是否趋向一个常数,可是有时Xn比较复杂,并不好观察。这种是最常用的判别法是单调有界既收敛。3、加减的时候,把高阶的无穷小直接舍去如 1 + 1/n,用1来代替乘除的时候,用比较简单的等价无穷小来代替原来复杂的无穷小来如 1/n * sin(1/n) 用1/n^2 来代替 4、收敛数列的极限是唯一的，且该数列一定有界，还有保号性，与子数列的关系一致。不符合以上任何一个条件的数列是发散数列。另外还有达朗贝尔收敛准则,柯西收敛准则,根式判敛法等判断收敛性。拓展资料：收敛是一个经济学、数学名词，是研究函数的一个重要工具，是指会聚于一点，向某一值靠近。收敛类型有收敛数列、函数收敛、全局收敛、局部收敛。收敛数列令{}为一个数列，且A为一个固定的实数，如果对于任意给出的b>0,存在一个正整数N，使得对于任意n>N,有|-A|<b恒成立，就称数列{}收敛于A（极限为A），即数列{}为收敛数列。函数收敛定义方式与数列收敛类似。柯西收敛准则：关于函数f(x)在点x0处的收敛定义。对于任意实数b>0,存在c>0,对任意x1,x2满足0<|x1-x0|<c,0<|x2-x0|<c,有|f(x1)-f(x2)|<b。收敛的定义方式很好的体现了数学分析的精神实质。如果给定一个定义在区间i上的函数列，u1(x）， u2（x） ，u3（x）......至un（x）....... 则由这函数列构成的表达式u1（x）+u2（x）+u3（x）+......+un（x）+......⑴称为定义在区间i上的（函数项）无穷级数，简称（函数项）级数对于每一个确定的值X0∈I,函数项级数 ⑴ 成为常数项级u1（x0）+u2（x0）+u3（x0）+......+un（x0）+.... （2） 这个级数可能收敛也可能发散。如果级数（2）发散，就称点x0是函数项级数（1）的发散点。函数项级数（1）的收敛点的全体称为他的收敛域 ，发散点的全体称为他的发散域 对应于收敛域内任意一个数x，函数项级数称为一收敛的常数项 级数 ，因而有一确定的和s。这样，在收敛域上 ，函数项级数的和是x的函数S（x），通常称s（x）为函数项级数的和函数，这函数的定义域就是级数的收敛域，并写成S（x）=u1（x）+u2（x）+u3（x）+......+un（x）+......把函数项级数 ⑴ 的前n项部分和 记作Sn(x)，则在收敛域上有lim n→∞Sn(x)=S(x)记rn(x)=S(x)-Sn(x),rn(x)叫作函数级数项的余项 （当然，只有x在收敛域上rn（x）才有意义，并有lim n→∞rn (x)=0迭代算法的敛散性1.全局收敛对于任意的X0∈[a,b],由迭代式Xk+1=φ（Xk）所产生的点列收敛，即其当k→∞时，Xk的极限趋于X*，则称Xk+1=φ（Xk）在[a，b]上收敛于X*。2.局部收敛若存在X*在某邻域R={X| |X-X*|<δ},对任何的X0∈R，由Xk+1=φ（Xk）所产生的点列收敛，则称Xk+1=φ（Xk）在R上收敛于X*。参考资料：百度百科：收敛

数列收敛的定义：如果数列{Xn}，如果存在常数a，对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n>N时，不等式|Xn-a|<q都成立，就称数列{Xn}收敛于a（极限为a），即数列{Xn}为收敛数列。证明数列收敛通常是落实到定义上或者证明数列的极限是固定值。比如数列an=a0+1/n，随着n增大，lim(an)=a0，因此可证明数列{an}是收敛的。

敛收的解释(1). 收敛 ，收缩。 宋 赵抃 《次韵王宪中秋不见月》 ：“ 明月 幸无亏损处，浮云应有敛收时。” 明 无名氏 《鸣凤记·秋夜 女工 》 ：“二更月皎云敛收，寒衣乘此裁就。” (2). 约束 。 宋 苏轼 《入寺》 诗：“闲看树转午，坐到钟鸣昏；敛收 平生 心，耿耿聊自温。” 词语分解 敛的解释 敛 （敛） ǎ 收拢， 聚集 ：敛钱。敛足（收住脚步， 不住 前进）。敛容。敛衣（用收集来的碎布制成的衣）。收敛。聚敛。 征收：横征暴敛。 收束，约束：敛迹。敛手（.缩手，表示 不敢 恣意 妄为；. 拱手 ，表示 恭敬 ） 收的解释 收 ō 接到，接受：收发。收信。收支。收讫。收益。 藏或放置妥当：这是 重要 东西 ，要收好了。 割断 成熟 的农作物：收割。收成。麦收。 招回：收兵。收港。 聚，合拢：收容。收理。收集。 结束：收尾。收煞。

收敛是数列的通项在n趋向于无穷大时数列的通项趋向于一个数，即有极限。其实高中数学很简单，数列中只学简单的递减递增。数列的收敛性与前面有限项无关：即数列去掉有限项或增加有限项不影响数列的收敛性；如果数列收敛，也不影响数列的极限值. 收敛数列的有界性：如果数列{an}收敛于a，则数列{an}有界，即存在M>0，使得| an|≤M恒成立。同时也说明：(1)如果数列{an}收敛于a，则对任意给定的正数ε，an 最多只有有限项落在以a为中心，ε为半径的邻域U(a,ε)外。(2) 如果数列{an}收敛a，则在此数列中一定有最大数或最小数，但不一定同时有最大数和最小数.(3) 数列收敛一定有界，但是有界的数列不一定收敛!收敛数列的保号性：(1)如果an≥0，数列{an}收敛于a，则a≥0。

数列收敛的定义是设数列{Xn}，如果存在常数a（只有一个），对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n>N时，恒有|Xn-a|<q成立，就称数列{Xn}收敛于a（极限为a），即数列{Xn}为收敛数列（Convergent Sequences）。如果数列{Xn}收敛，那么该数列必定有界。推论：无界数列必定发散；数列有界，不一定收敛；数列发散不一定无界。扩展资料收敛数列与其子数列间的关系子数列也是收敛数列且极限为a恒有|Xn|<M，若已知一个子数列发散，或有两个子数列收敛于不同的极限值，可断定原数列是发散的。如果数列收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a。

收敛的解释(1) [retrain oneself]∶减轻 放纵 的 程度 碰了钉子以后,他 收敛 些了 (2) [convergence]∶会聚于一点;向某一值 靠近 收敛 级数 (3) [fade;weaker;lessen;disappear]∶减弱或 消失 笑容从他脸上 收敛 (4) [astringent]∶使 有机 体 组织 收缩、 减少 腺体分泌 收敛 剂 (5) [tax]∶征收租税 收敛 租谷 (6) [gather together]∶ 聚拢 ;收集 收敛 关市之利以实官府 详细解释 亦作“ 收歛 ”。1.收获农作物。 《庄子·让王》 ：“春耕种，形 足以 劳动 ；秋 收敛 ，身足以休食。” 宋 陆游 《 晚晴 》 诗：“农家筑塲罢，竭作事 收敛 。” 明 张宁 《方洲杂言》 ：“盖自来生长草野世无服役，不过垦植 收敛 。” (2).征收租税。 《礼记·月令》 ：“﹝孟秋之月﹞命百官，始 收敛 。” 《北史·崔浩传》 ：“列置守宰， 收敛 租谷。” 《东周列国志》 第二回：“ 襃珦 之子 洪德 ，偶因 收敛 ，来到乡间。” (3).聚敛；收集。 《墨子·尚贤中》 ：“收歛关市山 林泽 梁之利，以实官府。” 《晋书· 儒林 传·徐邈》 ：“﹝帝﹞好为手诏诗章以赐侍臣…… 邈 每应时 收敛 ，还省刊削。” 《宋书·王镇恶传》 ：“ 镇恶 极意 收敛 ， 子女 玉帛，不可胜计。” (4).归总。 宋 周密 《齐东野语·道学》 ：“ 朱公 尤渊洽精诣，盖其以至高之才，至博之学，而一切 收敛 ，归诸义理。” (5).检点行为， 约束 身心。 清 李渔 《比目鱼·狐威》 ：“用豪奴，使狠仆，非是我 不知 收歛。” 浩然 《艳阳天》 第八六章：“反击 马之悦 ，就能使落后的富裕中农 收敛 。” (6).停止；消失。 唐 樊宗师 《绛守居园池记》 ：“可四时合奇士，观风云霜露雨雪所为发生 收敛 ，赋歌诗。” 清 孙枝蔚 《张良进履》 诗：“莫言豪气全收歛，无限恩仇气未平。” 巴金 《家》 四：“她想到这里，便又 收敛 了笑容。” 郁达夫 《迟桂花》 ：“白天的热度，日落之后， 忽然 收敛 了。” (7).医学用语。谓通过药物作用，使肌体皱缩、腺液分泌减少。 宋 张世南 《游宦纪闻》 卷七：“龙涎入香，能 收敛 。” 《医宗 金鉴 ·外科心法要诀·枯筋箭》 “枯筋箭由肝失荣、筋气外发赤豆形”注：“以 月白 珍珠散掺之，其疤 收敛 。” (8).收殓。 《东观汉记·桓典传》 ：“相 王吉 以罪被诛， 故人 亲戚 莫敢至者， 典 独弃官 收敛 归葬。” 宋 周密 《癸辛杂 识别 集·杨髠发陵》 ：“事竟， 罗铣 买棺制衣 收敛 ，大恸垂绝。” 鲁迅 《呐喊·明天》 ：“ 收敛 的时候，给他穿上顶新的 衣裳 。” 见“ 收敛 ”。 词语分解 收的解释 收 ō 接到，接受：收发。收信。收支。收讫。收益。 藏或放置妥当：这是 重要 东西 ，要收好了。 割断 成熟 的农作物：收割。收成。麦收。 招回：收兵。收港。 聚，合拢：收容。收理。收集。 结束：收尾。收煞。收 敛的解释 敛 （敛） ǎ 收拢， 聚集 ：敛钱。敛足（收住脚步， 不住 前进）。敛容。敛衣（用收集来的碎布制成的衣）。收敛。聚敛。 征收：横征暴敛。 收束，约束：敛迹。敛手（.缩手，表示 不敢 恣意 妄为；. 拱手 ，表示 恭敬 ）

当x趋近于某一值，函数趋近于一个确定的值，这个值是确定的，可以是无穷也可以是0

函数极限是高等数学最基本的概念之一，导数等概念都是在函数极限的定义上完成的。函数极限性质的合理运用。常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等等。

无穷大量就是在自变量的某个变化过程中，绝对值无限增大的变量或函数。例如 ，是当 时的无穷大，记作+∞ 。 1.设函数f(x)在x0的某一去心邻域内有定义（或|x|大于某一正数时有定义）。如果对于任意给定的正数M（无论它多么大），总存在正数δ（或正数X），只要x适合不等式0<|x-x0|<δ(或|x|>X,即x趋于无穷)，对应的函数值f(x)总满足不等式|f(x)|>M，则称函数f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷大。在自变量的同一变化过程中，无穷大与无穷小具有倒数关系，即当x→a时f(x)为无穷大，则1/f(x)为无穷小；反之，f(x)为无穷小，且f(x)在a的某一去心邻域内恒不为0时，1/f(x)才为无穷大。无穷大记作∞，不可与很大的数混为一谈。2.①如果当x>0且无限增大时，函数f(x)无限趋于一个常数A，则称当x→+∞时函数f(x)以A为极限.记作 =A或f(x)→A ﹙x→+∞﹚.②如果当x<0且x的绝对值无限增大时，函数f(x)无限趋于一个常数A，则称当x→－∞时函数f(x)以A为极限.记作 =A或f(x)→A ﹙x→－∞﹚. 两个无穷大量之和不一定是无穷大；有界量与无穷大量的乘积不一定是无穷大（如常数0就算是有界函数）；有限个无穷大量之积一定是无穷大。另外，一个数列不是无穷大量，不代表它就是有界的（如，数列1，1/2，3，1/3，……）。 对于发散至正无穷大（或负无穷大）的无穷级数 ，我们也记作 （或 ）例：调和级数：更一般地，对于p级数， 时有素数的倒数之和：

函数极限的定义公式：函数极限是高等数学最基本的概念之一，导数等概念都是在函数极限的定义上完成的。函数极限性质的合理运用。常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等等。当分母等于零时，就不能将趋向值直接代入分母，可以通过下面几个小方法解决：第一：因式分解，通过约分使分母不会为零。第二：若分母出现根号，可以配一个因子使根号去除。第三：以上我所说的解法都是在趋向值是一个固定值的时候进行的，如果趋向于无穷，分子分母可以同时除以自变量的最高次方。

函数极限的定义证明：任意给定ε>0，要使|f(x)-A|0，使当0<|x-x0|<δ时，有|f(x)-A|0，要使|lnx-1|0,都能找到δ>0，使当0<|x-e|<δ时，有|f(x)-1|<ε。即当x趋近于e时，函数f(x）。说明：取0<|x-e|，是不需要考虑点x=e时的函数值，它可以存在也可不存在，可为A也可不为A。用ε-δ语言证明函数的极限较难，通常对综合大学数学等少数专业才要求。函数极限的性质函数极限是高等数学最基本的概念之一，导数等概念都是在函数极限的定义上完成的。函数极限性质的合理运用。常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等等。

函数极限的定义是某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”，其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。函数极限是高等数学最基本的概念之一，导数等概念都是在函数极限的定义上完成的。函数极限性质的合理运用。常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等等。

在高等数学中，极限是一个重要的概念。　　极限可分为数列极限和函数极限，分别定义如下。　　首先介绍刘徽的"割圆术",设有一半径为1的圆，在只知道直边形的面积计算方法的情况下，要计算其面积。为此，他先作圆的内接正六边形，其面积记为A1，再作内接正十二边形，其面积记为A2，内接二十四边形的面积记为A3，如此将边数加倍，当n无限增大时，An无限接近于圆面积，他计算到3072=6*2的9次方边形，利用不等式An+1<A<An+2[(An+1)-An](n=1，2，3....)得到圆周率=3927/1250约等于3.1416　　数列极限：　　定义：设|Xn|为一数列，如果存在常数a对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，不等式　　|Xn - a|<ε　　都成立，那么就成常数a是数列|Xn|的极限，或称数列|Xn|收敛于a。记为lim Xn = a 或Xn→a（n→∞）　　数列极限的性质：　　1.唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的；　　2.改变数列的有限项，不改变数列的极限。　　几个常用数列的极限：　　an=c 常数列 极限为c　　an=1/n 极限为0　　an=x^n 绝对值x小于1 极限为0　　函数极限的专业定义:　　设函数f(x)在点x。的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ ，使得当x满足不等式0<|x-x。|<δ 时，对应的函数值f(x)都满足不等式： 　　|f(x)-A|<ε 　　那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。　　函数极限的通俗定义：　　1、设函数y=f(x)在(a,+∞)内有定义，如果当x→+∽时，函数f(x)无限接近一个确定的常数A，则称A为当x趋于+∞时函数f(x)的极限。记作lim f(x)＝A ，x→+∞。　　2、设函数y=f(x)在点a左右近旁都有定义，当x无限趋近a时（记作x→a），函数值无限接近一个确定的常数A，则称A为当x无限趋近a时函数f(x)的极限。记作lim f(x)=A ，x→a。　　函数的左右极限：　　1：如果当x从点x=x0的左侧（即x〈x0）无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数a,就说a是函数f(x)在点x0处的左极限，记作x→x0-limf(x)=a.　　2:如果当x从点x=x0右侧（即x>x0)无限趋近于点x0时，函数f(x)无限趋近于常数a,就说a是函数f(x)在点x0处的右极限，记作x→x0+limf(x)=a.　　注：若一个函数在x（0）上的左右极限不同则此函数在x（0）上不存在极限　　函数极限的性质：　　极限的运算法则（或称有关公式）： 　　lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x) 　　lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x) 　　lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x) 　　lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x) ( limg(x)不等于0 )　　lim(f(x))^n=(limf(x))^n 　　以上limf(x) limg(x)都存在时才成立　　lim(1+1/x)^x =e　　x→∞ 　　无穷大与无穷小：　　一个数列（极限）无限趋近于0，它就是一个无穷小数列（极限）。　　无穷大数列和无穷小数列成倒数。参见 http://baike.baidu.com/view/17644.htm

(1)令f(x)=(2x+3)/3x，由于|f(x)-A|=|f(x)-2/3|=|1/x|，任意ε>0，要证存在M>0，当|x|>M时，不等式|(1/x)-0|<ε成立。因为这个不等式相当于1/|x|1/ε.由此可知，如果取M=1/ε，那么当|x|>M=1/ε时，不等式|1/x-0|∞时，limf(x)=2/3.(3)小弟不才，此题不会。。。其他网友的解答：[x-2]<δ。-δ0[1/(x-1)-1]=[2-x]/[x-1]<δ/(1-δ)=ε，可以设δ=ε/(1+ε)。下面用ε-δ语言来证明x趋近2时，1/(x-1)的极限是1。对任意小的0<ε<1，取a=ε/(1+ε)。当[x-2](1+ε)时，ε>[x-2](1+ε)=[x-2]+[x-2]ε，[x-2]<ε(1-[x-2])，[1/(x-1)-1]=[x-2]/[x-2+1]<[x-2]/(1-[x-2])<ε。所以，x趋近2时，1/(x-1)的极限是1。(4)如果这题极限为2的话，可以这样证明：函数在点x=1是没有定义的，但是函数当x->1时的极限存在或不存在与它并无关系。事实上，任意ε>0，将不等式|f(x)-2|<ε约去非零因子x-1后，就化为|x-1|<ε，因此，只要取δ=ε，那么当0<|x-1|<δ时，就有|f(x)-2|<ε.所以，原极限成立。

设函数y=f（x）在点X0的某个去心邻域中有定义，即存在ρ>0，使O（X0，ρ）{X0}。如果存在实数A，对于任意给定的ε>0，都可以找到δ>0，使得当0<|x-x0|<δ时，成立│f(x)-A│<ε ,则称数A为函数f(x)当x→+∞时的极限，记作f(x)→A(x→+∞).例y=1/x，x→+∞时极限为y=0函数极限是高等数学最基本的概念之一，导数等概念都是在函数极限的定义上完成的。极限符号可记为lim

函数极限的定义如下：设函数在点的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数（无论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式时，对应的函数值都满足不等式，那么常数A就叫做函数当时的极限。函数极限可以运用ε—δ定义，在更多的见诸已知极限值的证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。问题的关键在于找到符合定义要求的 ，在这一过程中会用到一些不等式技巧，例如放缩法等。函数极限存在准则：1、夹逼定理：当这是的去心邻域，有个符号打不出时，有成立，那么，f（x）极限存在，且等于A。不但能证明极限存在，还可以求极限，主要用放缩法。2、单调有界准则：单调增加（减少）有上（下）界的数列必定收敛。在运用以上两条去求函数的极限时尤需注意以下关键之点。一是先要用单调有界定理证明收敛，然后再求极限值。二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数 ，并且要满足极限是趋于同一方向 ，从而证明或求得函数的极限值。

函数在点的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数（无论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式时，对应的函数值都满足不等式，那么常数A就叫做函数当时的极限。函数极限的四则运算法则：1、特别注意参与运算的函数是同一变化过程中极限都存在。2、作为分母的函数在去心邻域内函数值和极限值都不能等于零。3、乘以一个非零常数不改变函数的敛散性。4、参与运算的函数个数为有限个。函数极限的求法：1、用极限定义。此种方法在昨天发布的内容中有详细介绍，本讲不作为主要内容。2、利用极限的四则运算。这是重点，重点讲解对于0-0型，0/0型，∞-∞型,∞/∞型的极限的求法。3、利用无穷小量的性质。4、等价无穷小代换。

题库内容：极限的解释(1) [limit] (2) 最大的限度 一个人的忍耐的极限 (3) 自变量的值无限趋近但不等于某规定数值时,或向正向或负向增大到 一定 程度 时,与数学 函数 的数值差为无穷小的数 详细解释 最大的限度。 郑义 《迷雾》 十一：“常委会真开成了‘长尾"会， 唐可林 觉得自己的耐心实在 已经 达到极限了。” 祖慰 《被礁石划破的水流》 ：“我 不知 道人 类惊愕的感情极限是什么样，我确实惊愕得发傻了。” 词语分解 极的解释 极 （极） í 顶端，最高点， 尽头 ：登极（帝王即位）。 登峰造极 。 指地球的南北两端或电路、磁体的正负两端： 极地 （极圈以内的地区）。极圈。北极。阴极。 尽，达到顶点：极力。极目四望。物极必反。 最高的， 限的解释 限 à 指定的范围：期限。界限。权限。局限。限额。 指定范围： 限制 。限于。限期。限价（官方指定最高或最低价格，不得超越）。无限。 门槛：门限。 险阻：关限。 部首 ：阝。

函数极限存在的条件：1、单调有界准则。函数在某一点极限存在的充要条件是函数左极限和右极限在某点都存在且相等，如果左右极限不相同、或者不存在。则函数在该点极限不存在。2、夹逼准则。如能找到比目标版数列或者函数权大而有极限的数列或函数，并且又能找到比目标数列或者函数小且有极限的数列或者函数，那么目标数列或者函数必定存在极限。函数极限求法介绍利用函数连续性：直接将趋向值带入函数自变量中，此时要要求分母不能为0；通过已知极限：两个重要极限需要牢记；采用洛必达法则求极限：洛必达法则是分式求极限的一种很好的方法，当遇到分式0/0或者∞/∞时可以采用洛必达，其他形式也可以通过变换成此形式。函数极限是高等数学最基本的概念之一，导数等概念都是在函数极限的定义上完成的，常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等等。以上内容参考 百度百科—函数极限

楼主请仔细理解，“则称”前面的句子相当于：绝对值[f(x)-A]=0，因为Y可以任意小！理解这就好说了，举个例子：f(x)=e^(-x),A=0

你给出的是自变量趋于正无穷大时的函数极限概念，这个概念要与自变量趋于一点时函数极限的定义进行区分，不过其实本质没有什么不同。极限表现的是一种变化过程中的无限接近的性质，直观上理解就是函数值和极限值“任意小”的差别都可以在自变量“足够大”时实现。一个量是要求可以任意的小，另一个量是只要存在一个就可以了。

极限是无限迫近的意思。数列 {Xn} 的极限的极限是a，代表数列xn无限迫近a。从直观上理解，就是数列Xn能无限的靠近a。从数学上讲，怎么才能算无限迫近呢？ 于是就出现了ε的概念，ε 其实代表距离，ε 无限的小，就表示Xn可以无限的靠近aXn是一个追求者，a是目标，1 - n，是步伐， N是追求的过程中的某一个步伐。Xn不停的往前走，走到N的时候，Xn与a的距离已经很小了，甚至比 ε 还小。现在假定ε 无穷的小，那么Xn就无穷的接近a了。

限极的解释犹极限。 《后汉书·李固传》 ：“而中常侍在日月之侧，声埶振 天下 ，子弟禄仕，曾无限极。” 晋 张华 《博物志》 卷一：“按北 太行山 而北去， 不知 山所限极处。亦如东海不知所 穷尽 也。” 宋 苏辙 《上神宗皇帝书》 ：“近世以来，取人不由其官，士之来者无穷，而官有限极。” 词语分解 限的解释 限 à 指定的范围：期限。界限。权限。局限。限额。 指定范围： 限制 。限于。限期。限价（官方指定最高或最低价格，不得超越）。无限。 门槛：门限。 险阻：关限。 部首 ：阝； 极的解释 极 （极） í 顶端，最高点， 尽头 ：登极（帝王即位）。 登峰造极 。 指地球的南北两端或电路、磁体的正负两端： 极地 （极圈以内的地区）。极圈。北极。阴极。 尽，达到顶点：极力。极目四望。物极必反。 最高的，

数列极限用通俗的语言来说就是：对于数列an，如果它的极限是a，那么，不管给出多小的正数ε，总能找到正整数N，只要数列的下标n>N，就能保证|an-a|<ε。比如对于这样一个数列an=n（当n《100时） 或an=1/n (当n>100时）这个数列的极限是0。当对于任意给定的正数比如1/3，数列下标在1~100时，|an|>ε=1/3，但只要n>N=100，后面的所有项都满足|an|<1/3从这个意义来说，数列有没有极限，前面的有限项（不管这有限项有多大）不起决定作用。

标准的定义课本上有自己看，在此不再敖述，这里给你举个通俗的例子。通俗地说，数列的极限就是这个数列一直持续下去会是多少。比如，数列1，1，1，……一直持续下去始终是1，那么极限就是1；再如数列1/2，1/3，1/4，1/5，……一直持续下去不就快要小到0了吗？于是极限就是0。

设 {Xn} 为实数数列，a 为定数．若对任给的正数 ε，总存在正整数N，使得当 n>N 时有∣Xn-a∣<ε 则称数列{Xn} 收敛于a，定数 a 称为数列 {Xn} 的极限。ε的双重性：1、任意性：不等式|X n-a|<ε刻划了X n与a的无限接近程度，ε愈小，表示接近得愈好；而正数ε可以任意地小，说明X n与a可以接近到任何程度。然而，尽管ε有其任意性，但一经给出正整数N，ε就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出ε，又ε既是任意小的 正数，那么ε/2,ε的平方等等同样也是任意小的正数，因此定义中 不等式|X n-a|<ε中的 ε可用ε/2,ε的平方等来代替。同时，正由于ε是任意小正数，我们可限定ε小于一个确定的正数．另外，定义1中的|X n-a|<ε也可改写成|X n-a|≦ε。2、相应性：一般说，N随ε的变小而变大，由此常把N写作N(ε)，来强调N是依赖于ε的；但这并不意味着N是由ε所唯一确定的，因为对给定的 ，比如当N=100时，能使得当n>N时有|xn-a|<ε，则N=101或更大时此不等式自然也成立．这里重要的是N的存在性，而不在于它的值的大小．另外，定义1中的，n>N也可改写成n≧N。

先说明函数极限标准定义：设函数f(x),|x|大于某一正数时有定义，若存在常数A，对于任意ε>0，总存在正整数X，使得当x>X时，|f(x)-A|<ε成立，那么称A是函数f(x)在无穷大处的极限。这个是高等数学里的证明。证：对于任意ε，要证存在N>0，当|x|>N时，不等式|1/x-0|<ε成立。因为这个不等式相当于|1/x|<ε或|x|>1/ε由此可知，如果取N=1/ε，那么当x>N=1/ε时，不等式|1/x-0|<ε成立，这就证明了limx→∞(1/x)=0

这个很简单。其实就是说在数列Xn中，当从某一项(也就是所谓的N)开始以后的每一项的Xn(以后的每一项的序列号n都会大于N,因为是从N开始以后的每一项），都有Xn-a的绝对值小于e(这句话的意思是这以后的每一项Xn都无限接近于a这个常数，所以它们相减的差值e可以无论它有多么小，越小越好，代表它们越接近），这样我们就可以说这个数列Xn的极限值是a。假设一个数列Xn,从第五项开始（也就是说N=5)以后的每一项（也就是n>N,n=6,7,8....)的Xn与一个常数a的差值都小于e(这个e很小，而且越小越好，不论它多么小），那么我们就可以说这个数列Xn的极限值是a.因为Xn从第五项以后的每一项都会十分趋近于a.

|1/n^k-0|=1/n^k对任意ε>0，要1/n^k<ε，只要取N=[(1/ε)^(1/k)]+1>0，当n>N，就有|1/n^k-0|<ε因此，根据定义：lim 1/n^k=0例如：|往证：对于任意小e>0；总存在正整数N>0；使得只要n>N时，|(n^2+1)/(n^2-1)-1|<e证明：对于任意小e>0，令(n^2+1)/(n^2-1)-1<e；化简得n>√(2/e-1);这里取N=[√(2/e-1)]+1;则有只要n>N时，|(n^2+1)/(n^2-1)-1|<e总成立。即(n^2+1)/(n^2-1)关于n趋向无穷大的极限为1。证毕。扩展资料：设函数f(x)在x0的某一去心邻域内有定义（或|x|大于某一正数时有定义）。如果对于任意给定的正数M（无论它多么大），总存在正数δ（或正数X），只要x适合不等式0<|x-x0|<δ(或|x|>X,即x趋于无穷)，对应的函数值f(x)总满足不等式|f(x)|>M，则称函数f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷大。在自变量的同一变化过程中，无穷大与无穷小具有倒数关系，即当x→a时f(x)为无穷大，则1/f(x)为无穷小；反之，f(x)为无穷小，且f(x)在a的某一去心邻域内恒不为0时，1/f(x)才为无穷大。参考资料来源：百度百科-无穷大

注意格式!待续

数列极限定义如下：数列极限定义是：是数列极限的ε-N定义。设{an}为数列，a为定数. 若对任给的正数ε，总存在正整数N，使n>N(或n≥N)时，有|an -a|<ε(或|an-a|≤ε)，则称数列{an}收敛于a，定数a称为数列{an}的极限，记作lim(n->∞)an=a, 或an->a(n->∞)，读作“当n趋于无穷大时，an的极限等于a或an趋于a”. （若 {an}没有极限，则称{an}不收敛，或为发散数列）。设数列{an}={1,1,1,……}，即数列的所有项都是1. 直观地，很容易看出，这个数列的极限等于1。 对任意项an，任给正数ε，都有|an-1|=0<ε。也就是说，最极端的例子，数列的所有项减去1的差的绝对值，都小于任给的正数ε，那么这个数列就以1为极限。设数列{an}={1,2,1,1,1,……}，即，除了第二项，数列的其它项都等于1。也是非常直观地可以看出，这个数列的极限等于1。但这时就不是对任意项an，都有|an-1|=0<ε了。而是存在正整数N=2，使得n>N（如果取N=3，则使n≥N）时，就有|an-1|=0<ε了。因为|a2-1|=1，不能保证小于任给的正数ε。就算数列{an}={1亿,2,1,1,1,……}，或者{1,1,1,3,1,1,1,……}，{1,9,……,2,1,1,1,……}，它们的极限也都等于1。第一个数列实质没有任何改变，只要取N=2，就与前面的推导过程同理；第二个数列则只要取N=4就可以了；最后一个数列，虽然2前面有很多项，但终究是有限个的，假设包括2在内有100亿个项，那么就取N=100亿，而后面的项都是1，因此仍满足极限等于1的定义。现在再把第一个例子改写成数列{an}={a,a,a,……}，它的极限就是a。然后再把数列改成{a,a+1,a,a,a,……}或{100a,a+2,a,a,a,……}或{2a,3a,a,a+1,a,a,a,……}或{a+1,……,a+8,a,a,a,……}. 它们的极限也都等于a，其推导过程，和前面仍是一模一样的。定义证明：显然，根据定义，我们先要任给一个正数ε，并且确定一个N，使得当n>N时，就有|1/n-0|<ε. 那么0就是{1/n}的极限。从上面的那些简单例子，您应该能得到一个启发，解决这个问题的关键，就是找到N的位置。然而现在并没有非常具体的数列，那该怎么办呢？事实上，|1/n-0|=1/n. 要使1/n<ε，只要我们能够构造一个关于N的函数f(N)，使得1/n<f(N)≤ε，就可以解决了。接下来就是考查观察和思考能力的时候了。因为n>N，所以1/n<1/N。因此，只要构造f(N)=1/N≤ε，即N≥1/ε，就能反推出最后的结论。组织问题和解题过程如下：证明：lim(n->∞)(1/n)=0。证：任给正数ε，要使|1/n-0|=1/n<ε=1/(1/ε).(或1/n≤ε，但通常只取<ε)。只要取N≥1/ε，就有，当n>N时，|1/n-0|<ε。得证！

设 {Xn} 为实数列,a 为定数．若对任给的正数 ε,总存在正整数N,使得当 n>N 时有∣Xn-a∣N的意思就是这个数列不一定每一项都是趋向于这个数的,但是必须在数列的某一项后面的所有项都趋向于这个数 例如数列,-1,3,4,-3,-5,6,1/2,1/3,1/4,1/5.这个数列开始的项都没什么规律,但是从1/2这项开始,后面的项都是趋向于0的,所有这个数列的极限就是0,也就是n>6,此时N=6,满足∣Xn-a∣

“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”（“永远不能够等于A，但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果）的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的值A叫做“极限值”（当然也可以用其他符号表示）。极限是无限迫近的意思。数列{Xn}的极限的极限是a，代表数列xn无限迫近a。从直观上理解，就是数列Xn能无限的靠近a。

数列极限的定义：对数列{xn}，若存在常数a，对于任意ε>0，总存在正整数N，使得当n>N时，|xn-a|<ε成立，那么称a是数列{xn}的极限。证明：对任意的c >0，解不等式| 1/ Vn|=1/ Vn<ε得n>1/ ε2，取N=[1/ ε2]+1。于是，对任意的ε >0， 总存在自然数取N=[1/ ε2]+1。当n>N时，有| 1/n| <ε故1im(n->∞)(1/ J n)=0。数列极限存在的条件：单调有界定理在实数系中，有界的单调有界数列必有极限。致密性定理任何有界数列必有收敛的子列。数列极限的应用：设{Xn}，{Zn}为收敛数列，且：当n趋于无穷大时，数列{Xn}，{Zn}的极限均为：a.若存在N，使得当n>N时，都有Xn≤Yn≤Zn,则数列{Yn}收敛，且极限为a.适用于求解无法直接用极限运算法则求极限的函数极限，间接通过求得F(x)和G(x)的极限来确定f(x)的极限。

设{Xn}为实数列，a为定数．若对任给的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时有∣Xn-a∣<ε则称数列{Xn}收敛于a，定数a称为数列{Xn}的极限，并记作数列极限表达式，或Xn→a（n→∞）读作“当n趋于无穷大时，{Xn}的极限等于或趋于a”．若数列{Xn}没有极限，则称{Xn}不收敛，或称{Xn}为发散数列．该定义常称为数列极限的ε—N定义．

在n趋于无穷大的时候，(1+1/n)^n就趋于一个无理数，而且这个数在初等数学中是没有出现的，就将其定义为e，而e约等于2.71828，是一个无限不循环小数，为超越数。lim n→0，(1 + 1/n)^n。=e^lim n→0，nln(1+1/n)。=e^lim n→0,1/n*ln(1+1/n)。=(洛)e^lim n→0,1/1+1/n。=e^0。=1。数列极限标准定义：对数列{xn}，若存在常数a，对于任意ε>0，总存在正整数N，使得当n>N时，|xn-a|<ε成立，那么称a是数列{xn}的极限。函数极限标准定义：设函数f(x),|x|大于某一正数时有定义，若存在常数A，对于任意ε>0，总存在正整数X，使得当x>X时，|f(x)-A|<ε成立，那么称A是函数f(x)在无穷大处的极限。设函数f(x)在x0处的某一去心邻域内有定义，若存在常数A，对于任意ε>0，总存在正数δ，使得当|x-xo|<δ时，|f(x)-A|<ε成立，那么称A是函数f(x)在x0处的极限。

数列极限的定义：数列有极限，即当n趋向无穷大时，数列的项Xn无限趋近于或等于a，任意取一个值ε，是表明无论ε是多小的数，Xn与a的差总小于ε，就是Xn无限趋近于或等于a。看n>N时，注意原话是：……对于任意小的ε，总存在正整数N，使得当n>N时，|Xn-a|<ε，……。这是表明，无论ε多小，当n足够大时，都可以满足|Xn-a|<ε。就是即使ε小到非常小（趋近于0），当n大到足够大的程度（趋向于无穷大）也会满足Xn与a的差小于ε（趋近于0）。扩展：极限存在的条件：单调有界定理 在实数系中，单调有界数列必有极限。 致密性定理 任何有界数列必有收敛的子列。极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。所谓极限的思想，是指“用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想”。

传播过程的构成要素 1.传播过程的直线模式： （1）拉斯韦尔5W模式 8 h （2）香农--韦弗模式 . 2.传播过程的循环和互动模式： （1）德弗勒互动过程模式： （2）奥斯古德与施拉姆的循环模式 （3）施拉姆的大众传播过程模式： （4）丹斯模式 （5）纽科姆ABX模式及其平衡模式和互向模式.

数列有极限，即当n趋向无穷大时，数列的项Xn无限趋近于或等于a， 任意取一个值ε，是表明无论ε是多小的数，Xn与a的差总小于ε，换句话说就是Xn无限趋近于或等于a。 看n>N时，注意原话是：……对于任意小的ε，总存在正整数N，使得当n>N时，|Xn-a|<ε ，……。这是表明，无论ε多小，当n足够大时，都可以满足|Xn-a|<ε。换句话说，就是即使ε小到非常小（趋近于0），当n大到足够大的程度（趋向于无穷大）也会满足Xn与a的差小于ε（趋近于0）。 这么说的目的是给出一个准确的、可严格进行推导的定义，因此才没有采用我答的第一句话这种说法，而是使用了一个用数学式子表示出的定义。这并没有什么特殊的含义.

百度百科都有极限的产生与发展（1）由来与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的大脑抽象思维的产物。极限的思想可以追溯到古代，例如，祖国刘徽的割圆术就是建立在直观图形研究的基础上的一种原始的可靠的“不断靠近”的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对"无限‘的恐惧”，他们避免明显地人为“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明。到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中，改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。（2）发展极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的。16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，生产力得到极大的发展，生产和技术中遇到大量的问题，开始人们只用初等数学的方法已无法解决，要求数学突破"只研究常量‘的传统范围，而寻找能够提供能描述和研究运动、变化过程的新工具，是促进"极限‘思维发展、建立微积分的社会背景。起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立了微积分，后来因遇到逻辑困难，所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想。牛顿用"路程的改变量ΔS‘与"时间的改变量Δt‘之比 “ ” 表示运动物体的平均速度，让Δt无限趋近于零，得到物体的瞬时速度，并由此引出导数概念和微分学理论。他意识到极限概念的重要性，试图以极限概念作为微积分的基础，他说：“两个量和量之比，如果在有限时间内不断趋于相等，且在这一时间终止前互相靠近，使得其差小于任意给定的差，则最终就成为相等”。但牛顿的极限观念也是建立在几何直观上的，因而他无法得出极限的严格表述。牛顿所运用的极限概念，只是接近于下列直观性的语言描述：“如果当n无限增大时， 无限地接近于常数A，那么就说 以A为极限。正因为当时缺乏严格的极限定义，微积分理论才受到人们对于科学理论的怀疑与攻击，例如，在物理学的"瞬时速度‘概念，究竟Δt（变化量）是否等于零？如果说是零，（因为真理如果被无限扩大其适用范围也会变为错误）：怎么能用它去作除法呢？（其实变化量不可能为0）。但是人们认为，如果它不是零，计算机和函数变形时又怎么能把包含着它的那些“微小的量”项去掉呢?当时人们不理解，想完全没有一点点误差地进行变量的计算而导致打击认为发生悖论，这就是数学史上所说的无穷小悖论产生的原因。英国哲学家、大主教贝克莱对微积分的攻击最为激烈，他说微积分的推导是“分明的诡辩”。科学发展的历史和成功表明他的观点是错的。贝克莱之所以激烈地攻击微积分，一方面是为宗教服务，另一方面也由于当时的微积分缺乏牢固的理论基础，和变通的解决办法，连名人牛顿也无法摆脱‘极限概念"中的混乱。这个事实表明，弄清“极限”概念，它是一个动态的量的无限变化过程，微小的变量趋势方向上当然可以极为精密地近似等于某一个常量。这是建立严格的微积分理论的思想基础，有着认识论上的科学研究的工具的重大意义。（3）完善极限思想的完善，与微积分的严格化的密切联系。在很长一段时间里，微积分理论基础的问题，许多人都曾尝试“彻底满意”地解决，但都未能如愿以偿。这是因为数学的研究对象已从常量扩展到变量，而人们习惯于用不变化的常量去思维，分析问题。对“变量”特有的概念理解还不十分清楚；对“变量数学”和“常量数学”的区别和联系还缺乏了解；对“有限”和“无限”的对立统一关系还不明确。这样，人们使用习惯的处理常量数学的传统思想方法，思想僵化，就不能适应‘变量数学"的新发展。古代的人们习惯用旧概念常量就说明不了这种 [“零”与“无限靠近零的非零数值”之间可以人为的微小距离跳跃到相等的相互转化]的科学性结论的辩证关系。到了18世纪，罗宾斯、达朗贝尔与罗依里埃等人先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础概念，并且都对极限作出过，各自的定义。其中达朗贝尔的定义是：“一个量是另一个量的极限，假如第二个量比任意给定的值更为接近第一个量”，其描述的内涵接近于‘极限的正确定义；然而，这些人的定义都无法摆脱对几何直观的依赖。观点也只能如此，因为19世纪以前的算术和几何概念，大部分都是建立在几何量的概念上的。其实，“具象化”不是思维落后的代名词，对于几何直观的研究不是思维落后的代名词，因为在今天仍然是可以用函数"映射‘为图形，来研究较为复杂的趋势问题。如果有趋势则极限概念能够成立。例如“具象化”图形代替函数可绑架直观地证明某一个没有规律可描述的向用户久攻不下的命题不能成立；（或另外一个函数却能够成立）， 再分别作具体的“符号方式”的数学证明。首先用极限概念给出‘导数"的正确定义的是捷克数学家波尔查诺，他把函数f(x)的导数定义为差商 的极限f"(x)，他强调指出f"(x)不是两个零的商。波尔查诺的思想是有价值的，但关于‘极限的本质"他仍未描述清楚。到了19世纪，法国数学家柯西在前人工作的基础上，比较完整地阐述了“极限概念”及其理论，他在《分析教程》中指出：“当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小就多小，这个定值就叫做所有其他值的极限值，特别地，当一个变量的数值（绝对值）无限地减小使之收敛到极限0，就说这个变量成为无穷小。”柯西把无穷小视为“以0为极限的变量”，这就正确地确立了“无穷小”概念为“似零不是零去却可以人为用等于0处理”的办法，这就是说，在变量的变化过程中，它的值实际上不等于零，但它变化的趋向是向“零”，可以无限地接近于零。那么人们就可以用“等于0”来处理，是不会产生错误结果的。柯西试图消除极限概念中的几何直观，（但是“几何直观”不是消极的东西，我们研究函数时也可以可以发挥想像力——“动态趋势的变量图像，假设被放大到巨大的天文倍数以后，我们也会永远不能看到变量值‘重合于0”，所以用不等式表示会更加“明确”）作出极限的明确定义，然后去完成牛顿的愿望。但柯西的叙述中还存在描述性的词语，如“无限趋近”、“要多小就多小”比较通俗易懂的描述，对于概念的理解比较容易，因此其定义还保留着几何和物理的直观痕迹，一分为二，直观痕迹比较多也会有好处，但是结合下面的抽象定义可更加容易理解‘极限"的概念。为了排除极限概念中的直观痕迹，维尔斯特拉斯提出了极限的静态的抽象定义，给微积分提供了严格的理论基础。所谓 ，就是指：“如果对任何 ，总存在自然数N，使得当 时，不等式 恒成立”。这个定义，借助不等式，通过ε和N之间的关系，定量地、具体地刻划了两个“无限过程”之间的联系。因此，这样的定义应该是目前比较严格的定义，可作为科学论证的基础，至今仍在数学分析书籍中使用。在该定义中，涉及到的仅仅是‘数及其大小关系"，此外只是用给定、存在、任何等词语，已经摆脱了“趋近”一词，不再求助于运动的直观。（但是理解"极限‘概念不能够抛弃‘运动趋势"去理解， 否则容易导致"把常量概念不科学地进入到微积分"领域里）常量可理解为‘不变化的量"。微积分问世以前，人们习惯于用静态图像研究数学对象，自从解析几何和微积分问世以后，考虑‘变化量"的运动思维方式进入了数学领域，人们就有数学工具对物理量等等事物变化过程进行动态研究。之后，维尔斯特拉斯，建立的ε－N语言，则用静态的定义描述变量的变化趋势。这种“静态——动态——静态”的螺旋式的上升演变，反映了数学发展的辩证规律。

拓扑是研究几何图形或空间在连续改变形状后还能保持不变的一些性质的一个学科。它只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的形状和大小。拓扑英文名是Topology，直译是地志学，最早指研究地形、地貌相类似的有关学科。几何拓扑学是十九世纪形成的一门数学分支，它属于几何学的范畴。有关拓扑学的一些内容早在十八世纪就出现了。那时候发现的一些孤立的问题，在后来的拓扑学的形成中占着重要的地位。网络拓扑简介拓扑是集合上的一种结构。设T为非空集X的子集族。若T满足以下条件：1.X与空集都属于T；2.T中任意有限个成员的交集属于T；3.T中任意个成员的并集属于T；则T称为X上的一个拓扑。具有拓扑T的集合X称为拓扑空间，记为（X，T）。设T1与T2为集合X上的两个拓扑。若有关系，则称T1粗于T2，或T2细于T1。当X上的两个拓扑相互之间没有包含关系时，则称它们是不可比较的。在集合X上，离散拓扑是最细的拓扑，平凡拓扑是最粗的拓扑。局域网拓扑图

拉普拉斯调和函数是由拉普拉斯方程定义的，拉普拉斯方程又叫调和方程

拉普拉斯方程表示液面曲率与液体压力之间的关系的公式。一个弯曲的表面称为曲面，通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相重合的圆半径称为该曲线的曲率半径R1。通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径R2，用 R1与R2可表示出液体表面的弯曲情况。若液面是弯曲的，液体内部的压力p1与液体外的压力p2就会不同，在液面两边就会产生压力差△P= P1- P2，其数值与液面曲率大小有关，可表示为：▽p=γ（1/R1+1/R2）式中γ是液体表面张力。该公式成为拉普拉斯方程。在数理方程中拉普拉斯方程为：▽u=d^2u/dx^2+d^2u/dy^2=0，其中 ▽ 为拉普拉斯算子，此处的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程。三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ ： 　　其中 ▽ 称为拉普拉斯算子. 　　拉普拉斯方程的解称为调和函数。 　　如果等号右边是一个给定的函数f(x, y, z)，即： 　　则该方程称为泊松方程。 拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。偏微分算子或 ▽（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是 Laplace operator 或简称作 Laplacian。狄利克雷问题拉普拉斯方程的狄利克雷问题可归结为求解在区域D内定义的函数φ，使得在D的边界上等于某给定的函数。为方便叙述，以下采用拉普拉斯算子应用的其中一个例子——热传导问题作为背景进行介绍：固定区域边界上的温度（是边界上各点位置坐标的函数），直到区域内部热传导使温度分布达到稳定，这个温度分布场就是相应的狄利克雷问题的解。诺伊曼边界条件拉普拉斯方程的诺伊曼边界条件不直接给出区域D边界处的温度函数φ本身，而是φ沿D的边界法向的导数。从物理的角度看，这种边界条件给出的是矢量场的势分布在区域边界处的已知效果（对热传导问题而言，这种效果便是边界热流密度）。拉普拉斯方程的解称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数之和（或任意形式的线性组合）同样满足前述方程。这种非常有用的性质称为叠加原理。可以根据该原理将复杂问题的已知简单特解组合起来，构造适用面更广的通解。编辑本段二维拉普拉斯方程两个自变量的拉普拉斯方程具有以下形式： 　　函数h (x,y) 为二元函数，h(x,y) 对x的二阶偏导数 + h(x,y)对y的二阶偏导数 = 0解析函数解析函数的实部和虚部均满足拉普拉斯方程。换言之，若z = x + iy，并且 　　那么f(z)是解析函数的充要条件是它满足下列柯西-黎曼方程：f（z） = u(x,y) + iv(x ,y) 　　u 对x的偏导数 = v 对y 的偏导数 ， u 对y 的偏导数 = - （v 对 x 的偏导数） 　　上述方程继续 求导就得到 　　所以u 满足拉普拉斯方程。类似的计算可推得v 同样满足拉普拉斯方程。 　　反之，给定一个由解析函数（或至少在某点及其邻域内解析的函数）f(z)的实部确定的调和函数，若写成下列形式： 　　则等式 　　成立就可使得柯西-黎曼方程得到满足。 上述关系无法确定ψ，只能得到它的微增量表达式： 　　φ满足拉普拉斯方程意味着ψ满足可积条件： 　　所以可以通过一个线积分来定义ψ。可积条件和斯托克斯定理的满足说明线积分的结果与积分经过的具体路径无关，仅由起点和终点决定。于是，我们便通过复变函数方法得到了φ和ψ这一对拉普拉斯方程的解。这样的解称为一对共轭调和函数。这种构造解的方法只在局部（复变函数f(z)）的解析域内）有效，或者说，构造函数的积分路径不能围绕有f(z)的奇点。譬如，在极坐标平面(r,θ)上定义函数 　　那么相应的解析函数为 　　在这里需要注意的是，极角θ 仅在不包含原点的区域内才是单值的。 　　拉普拉斯方程与解析函数之间的紧密联系说明拉普拉斯方程的任何解都无穷阶可导（这是解析函数的一个性质），因此可以展开成幂级数形式，至少在不包含奇点的圆域内是如此。这与波动方程的解形成鲜明对照，后者包含任意函数，其中一些的可微分阶数是很小的。 　　幂级数和傅里叶级数之间存在着密切的关系。如果我们将函数f 在复平面上以原点为中心，R 为半径的圆域内展开成幂级数，即 　　将每一项系数适当地分离出实部和虚部 　　那么 　　这便是f 的傅里叶级数。三维情况下拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ ： 　　上面的方程常常简写作： 　　或

简单来说,一阶导数是自变量的变化率,二阶导数就是一阶导数的变化率,也就是一阶导数变化率的变化率.连续函数的一阶导数就是相应的切线斜率.一阶导数大于0,则递增；一阶倒数小于0,则递减；一阶导数等于0,则不增不减.而二阶导数可以反映图象的凹凸.二阶导数大于0,图象为凹；二阶导数小于0,图象为凸；二阶导数等于0,不凹不凸.结合一阶、二阶导数可以求函数的极值.当一阶导数等于零,而二阶导数大于零时,为极小值点；当一阶导数等于零,而二阶导数小于零时,为极大值点；当一阶导数、二阶导数都等于零时,为驻点.

设参数方程 x(t), y(t)，则二阶导数：一阶导数是自变量的变化率，二阶导数就是一阶导数的变化率，也就是一阶导数变化率的变化率。连续函数的一阶导数就是相应的切线斜率。一阶导数大于0，则递增；一阶导数小于0，则递减；一阶导数等于0，则不增不减。而二阶导数可以反映图像的凹凸。二阶导数大于0，图像为凹；二阶导数小于0，图像为凸；二阶导数等于0，不凹不凸。结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于零，而二阶导数大于零时，为极小值点；当一阶导数等于零，而二阶导数小于零时，为极大值点；当一阶导数、二阶导数都等于零时，为驻点。扩展资料：如果一个函数f(x)在某个区间I上有f""(x)（即二阶导数）>0恒成立，那么对于区间I上的任意x,y，总有：f(x)+f(y)≥2f[(x+y)/2]，如果总有f""(x)<0成立，那么上式的不等号反向。几何的直观解释：如果一个函数f(x)在某个区间I上有f""(x)（即二阶导数）>0恒成立，那么在区间I上f(x)的图像上的任意两点连出的一条线段，这两点之间的函数图像都在该线段的下方，反之在该线段的上方。结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于0，而二阶导数大于0时，为极小值点。当一阶导数等于0，而二阶导数小于0时，为极大值点；当一阶导数和二阶导数都等于0时，为驻点。参考资料来源：百度百科-二阶导数

dy方比dx的平方理解：dy/dx表示1阶导数；d²y/dx²表示二阶导数。dy就是在y方向趋于零的线段，dx就是在x方向趋于零的线段。d²y/d²x，只是表示二阶导数，相当于dy的导数，再对x求导。二阶导数是一阶导数的导数，从原理上，它表示一阶导数的变化率；从图形上看，它反映的是函数图像的凹凸性。导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。

lim写反了吧,写右边.

流形（Manifold），一般可以认为是局部具有欧氏空间性质的空间。 而实际上欧氏空间就是流形最简单的实例。像地球表面这样的球面是一个稍为复杂的例子。一般的流形可以通过把许多平直的片折弯并粘连而成。流形在数学中用于描述几何形体，它们提供了研究可微性的最自然的舞台。物理上，经典力学的相空间和构造广义相对论的时空模型的四维伪黎曼流形都是流形的实例。他们也用于组态空间(configuration space)。环(torus)就是双摆的组态空间。如果把几何形体的拓扑结构看作是完全柔软的，因为所有变形(同胚)会保持拓扑结构不变，而把解析簇看作是硬的，因为整体的结构都是固定的(譬如一个1维多项式，如果你知道(0,1)区间的取值，则整个实属范围的值都是固定的,局部的扰动会导致全局的变化)，那么我们可以把光滑流形看作是介于两者之间的形体，其无穷小的结构是硬的，而整体结构是软的。这也许是中文译名流形的原因(整体的形态可以流动),该译名由著名数学家和数学教育学家江泽涵引入。这样，流形的硬度使它能够容纳微分结构，而它的软度使得它可以作为很多需要独立的局部扰动的数学和物理上的模型。最容易定义的流形是拓扑流形，它局部看起来象一些"普通"的欧氏空间Rn。形式化的讲，一个拓扑流形是一个局部同胚于一个欧氏空间的拓扑空间。这表示每个点有一个领域，它有一个同胚(连续双射其逆也连续)将它映射到Rn。这些同胚是流形的坐标图。通常附加的技术性假设被加在该拓扑空间上，以排除病态的情形。可以根据需要要求空间是豪斯朵夫的并且第二可数。这表示下面所述的有两个原点的直线不是拓扑流形，因为它不是豪斯朵夫的。流形在某一点的维度就是该点映射到的欧氏空间图的维度(定义中的数字n)。连通流形中的所有点有相同的维度。有些作者要求拓扑流形的所有的图映射到同一欧氏空间。这种情况下，拓扑空间有一个拓扑不变量，也就是它的维度。其他作者允许拓扑流形的不交并有不同的维度。

方程的根可以看作两函数图象的交点。打个比方，x^2+x+1=x就可以看成f(x)=x^2+x+1与g(x)=x的图像的交点。举一个特殊一点的例子：x^3=0这里方程的根就是t(x)=x^3与x轴的交点，这个点叫做函数的零点，判断零点是否存在可以用介值定理的推论——零点存在定理。

可以是方程 也可以是函数 我是这样理解的它描述的是轨迹图象 有一一对应的关系 所以是函数又是等式所以说又是方程

椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的参数方程是x=acosφ，y=bsinφ(φ是参数)双曲线x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的参数方程是x=asecφ,y=btgφ(φ是参数)抛物线y2=2px的参数方程是x=2pt2,y=2pt(t是参数)曲线的极坐标参数方程ρ=f(t),θ=g(t)。圆的参数方程 x=a+r cosθ y=b+r sinθ（θ∈ [0，2π) ） (a,b) 为圆心坐标，r 为圆半径，θ 为参数，(x,y) 为经过点的坐标扩展资料参数方程和函数很相似：它们都是由一些在指定的集的数，称为参数或自变量，以决定因变量的结果。例如在运动学，参数通常是“时间”，而方程的结果是速度、位置等。一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数：  并且对于t的每一个允许的取值，由方程组确定的点(x, y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做曲线的参数方程，联系变数x、y的变数t叫做参变数，简称参数。相对而言，直接给出点坐标间关系的方程叫普通方程。参考资料百度百科-参数方程

一、连续与可导的关系： 1. 连续的函数不一定可导； 2. 可导的函数是连续的函数； 3.越是高阶可导函数曲线越是光滑； 4.存在处处连续但处处不可导的函数。 左导数和右导数存在且“相等”，才是函数在该点可导的充要条件，不是左极限=右极限(左右极限都存在)。连续是函数的取值，可导是函数的变化率，当然可导是更高一个层次。 二：有关定义： 1. 可导：是一个数学词汇，定义是设y=f(x)是一个单变量函数， 如果y在x=x_0处存在导数y"=f"(x),则称y在x=x_0处可导。 2. 连续：设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义。如果当自变量Δx趋向于0时。相应的函数改变量Δy也趋向于0， 则称函数y=f(x)在点x0处连续。 若只考虑实变函数，那么要是对于一定区间上的任意一点，函数本身有定义，且其左极限与右极限均存在且相等，则称函数在这一区间上是连续的。 连续分为左连续和右连续。在区间每一点都连续的函数，叫做函数在该区间的连续函数。

一般的，双曲线，字面意思是“超过”或“超出”，是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。在数学中，双曲线（多重双曲线或双曲线）是位于平面中的一种平滑曲线，由其几何特性或其解决方案组合的方程定义。双曲线有两片，称为连接的组件或分支，它们是彼此的镜像，类似于两个无限弓。双曲线是由平面和双锥相交形成的三种圆锥截面之一。（其他圆锥部分是抛物线和椭圆，圆是椭圆的特殊情况）如果平面与双锥的两半相交，但不通过锥体的顶点，则圆锥曲线是双曲线。

一般的，双曲线，字面意思是“超过”或“超出”，是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。在数学中，双曲线（多重双曲线或双曲线）是位于平面中的一种平滑曲线，由其几何特性或其解决方案组合的方程定义。双曲线有两片，称为连接的组件或分支，它们是彼此的镜像，类似于两个无限弓。双曲线是由平面和双锥相交形成的三种圆锥截面之一。（其他圆锥部分是抛物线和椭圆，圆是椭圆的特殊情况）如果平面与双锥的两半相交，但不通过锥体的顶点，则圆锥曲线是双曲线。

一般的，双曲线，字面意思是“超过”或“超出”，是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。在数学中，双曲线（多重双曲线或双曲线）是位于平面中的一种平滑曲线，由其几何特性或其解决方案组合的方程定义。双曲线有两片，称为连接的组件或分支，它们是彼此的镜像，类似于两个无限弓。双曲线是由平面和双锥相交形成的三种圆锥截面之一。（其他圆锥部分是抛物线和椭圆，圆是椭圆的特殊情况）如果平面与双锥的两半相交，但不通过锥体的顶点，则圆锥曲线是双曲线。

刚体绕某一点转动的惯性可由更普遍的惯性张量描述。惯性张量是二阶对称张量，它完整地刻画出刚体绕通过该点任一轴的转动惯量的大小。出于简单的角度考虑，这里仅给出绕质心的转动惯量张量的定义及其在力矩方程中的表达式。设有一个刚体A,其质心为C,刚体A绕其质心C的转动惯量张量 定义为 该积分遍及整个刚体A，其中， ，是刚体质心C到刚体上任一点B的矢径；表达式 是两个矢量的并乘；而 为单位张量，标架 是一个典型的单位正交曲线标架； 是刚体的密度。转动惯量张量的力矩方程设刚体A所受到的绕其质心C的合力矩矢量为 ，刚体A在惯性系下的角速度矢量为 ，角加速度矢量为 ，A绕其质心的转动惯量张量为 ，则有如下的力矩方程： 将上面的矢量形式的力矩方程向各个坐标轴投影（或者，更确切地说，与各个坐标轴的单位方向矢量相点乘），就可以获得各个坐标轴分量方向的标量形式的力矩方程。转动惯量张量 是一个二阶张量，虽然在标架 下它有九个分量，但是因为它是一个对称张量，故其实际独立的分量只有六个。

通俗的理解：标量: 对于每个时空坐标，用一个值就能刻画的物理量。比如高度。任意一个时空点，用一个数字就可以表示海拔高度。矢量：对于每个时空坐标，用三个值来刻画的物理量。比如速度。任意一个时空点，用三个分量来表示一个速度（即使有的分量为零，还是三个分量）。当然，你可以通俗的理解为，这里是带有方向和大小的一个箭头。张量：对于每个时空坐标，用一个矩阵来刻画物理量。比如电磁张量。任意一个时空点，用16个分量表示这里的电磁性质。当然，你可以通俗的理解为，这一点可以张开成一个小空间，由好几个带着方向和箭头的量撑着。更本质的理解呢，矢量和张量都是一种映射，矢量的作用是让流形上的曲线按照某种规则变成数轴上的一个点，张量是让矢量按照某种规则变成数轴上的一个点。也就是说，张量是一种映射的映射，可以把某种映射变换成一个点。当然，你可以想象，可以继续定义某种量，可以把张量映射为一个点，也就是高阶张量啦。

简单的说：张量概念是矢量概念和矩阵概念的推广

张量（Tensor）是一个定义在一些向量空间和一些对偶空间的笛卡尔积上的多重线性映射，其坐标是|n|维空间内，有|n|个分量的一种量， 其中每个分量都是坐标的函数， 而在坐标变换时，这些分量也依照某些规则作线性变换。r 称为该张量的秩或阶（与矩阵的秩和阶均无关系）。 在数学里，张量是一种几何实体，或者说广义上的“数量”。张量概念包括标量、向量和线性算子。张量可以用坐标系统来表达，记作标量的数组，但它是定义为“不依赖于参照系的选择的”。 张量在物理和工程学中很重要。例如在扩散张量成像中，表达器官对于水的在各个方向的微分透性的张量可以用来产生大脑的扫描图。 可能最重要的工程上的例子就是应力张量和应变张量了，它们都是二阶张量，对于一般线性材料他们之间的关系由一个四阶弹性张量来决定。虽然张量可以用分量的多维数组来表示，张量理论存在的意义在于进一步说明把一个数量称为张量的涵义，而不仅仅是说它需要一定数量的有指标索引的分量。特别是，在坐标转换时，张量的分量值遵守一定的变换法则。张量的抽象理论是线性代数分支，现在叫做多重线性代数。

有两种定义张量的方法：1. 按变换规律定义若一坐标系 中 个量 与另一坐标系 中 个量 间满足交换规律 则 称为r阶逆变和s阶协变混合张量的分量。若s=0，则 称为r阶逆变张量的分量。若r=0，则 称为s阶协变张量的分量。上述这种张量记法称为分量记法。2.按不变性定义凡可以在任何坐标系中写成下列不变性形式的量定义为r+s阶张量： 式中 和 分别为坐标系 和 中的协（逆）变基矢量。上述这种张量记法称为不变性记法或并矢记法。

把函数分成实部和复部分别求导就行了 EG：y=2x+i(3x) y"=2+i(3)

设有集合A,那么集合A的闭包是指A的所有极限点的全体。

bzd

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这个不是非常显然的吗，直接证明就行了记A={x:f(x)>g(x)},B_n={x:f(x)>=g(x)+1/n}对任何n都有B_n包含于A，所以其并集也包含于A反过来任取x属于A，当n>=1/[f(x)-g(x)]>0时f(x)>=g(x)+1/n，即x属于B_n，也就属于所有B_n的并

经济学中控制的定义控制，是指有权决定一个企业的财务和经营政策，并能据以从该企业的经营活动中获取利益。投资企业能够对被投资单位实施控制的，被投资单位为其子公司，投资企业应当将子公司纳入合并财务报表的合并范围。管理学中控制的定义对员工的活动进行监督, 判定组织是否正朝着即定的目标健康地向前发展, 并在必要的时候及时采取矫正措施.自动控制理论中控制的定义控制就是检查工作是否按既如果把输入值用x表示，输出值用y表示，客体的功能用s表示，控制系统也即反馈系统的作用用R表示，偏差信息用△x表示，则有：y=S(X+△X)=S(X+Ry)=SX+SRy式中CF称反馈因子或控制参数，它反映闭环控制系统的反馈功能或控制功能。管理中所运用的反馈原理主要是负反馈原理，其反馈回路的流程如下图所示：3、

问题一：管理学中控制的概念是什么？ 管理学中?控制就是指：按既定计划，标准和方法对工作进行对照检查，发现偏差，分析原因，进行纠正，以确保组织目标实现的过程。 问题二：管理学原理中对控制的定义？？？ 控制是根据计划的要求，设立衡量绩效的标准，然后把实际工作结果与预定标准相比较，以确定组织活动中出现的偏差及其严重程度；在此基础上，有针对性地采取必要的纠正措施，以确保组织资源的有效利用和组织目标的圆满实现。 问题三：控制的定义 经济学中控制的定义控制，是指有权决定一个企业的财务和经营政策，并能据以从该企业的经营活动中获取利益。投资企业能够对被投资单位实施控制的，被投资单位为其子公司，投资企业应当将子公司纳入合并财务报表的合并范围。管理学中控制的定义对员工的活动进行监督, 判定组织是否正朝着即定的目标健康地向前发展, 并在必要的时候及时采取矫正措施.自动控制理论中控制的定义控制就是检查工作是否按既如果把输入值用x表示，输出值用y表示，客体的功能用s表示，控制系统也即反馈系统的作用用R表示，偏差信息用△x表示，则有：y=S(X+△X)=S(X+Ry)=SX+SRy式中CF称反馈因子或控制参数，它反映闭环控制系统的反馈功能或控制功能。管理中所运用的反馈原理主要是负反馈原理，其反馈回路的流程如下图所示：3、 问题四：资产定义中的控制是什么意思 资产定义中的控制：是指资产控制（assets control）。 资产是企业拥有或控制的能以货币计量的经济资源，包括财产、债权和其它权利。 通常划分为流动资产、长期投资、固定资产、无形资产、递延资产和其它资产。 资产控制的主要任务是保护财产物资的安全完整，落实资产经营责任，实现资产的保值增值。 1、流动资产控制 包括现金及各种存款、短期投资、应收帐款、存货等的控制。 （1）现金控制 现金及各种存款方法和步骤包括： ①通过比较和分析确定将来一定时期的现金流量并确定最佳的现金余额； ②加强日常工作中的现金收支的控制，努力做到加速收款延期付款； ③将实际现金余额与理想的现金余额相比较，如产生差异，要及时采取措施予以调节，如进行短期有价证券投资，归还借款和短期融资等。 现金日常控制的内容包括： ①建立内部牵制制度，核定库存现金限额，按国家规定的范围使用现金； ②做好转帐结算工作； ③做好银行存款的管理工作。 （2）短期投资控制 短期投资对企业而言主要是指企业持有的能够随时变现的、持有时间不超过一年的有价证券。 企业进行短期投资的目的主要有： ①作为现金的代替品； ②与筹集长期投资相配合； ③满足未来财务的需求； ④满足季节性经营对现金的需求。 可供企业进行短期投资的债券有： ①国库券； ②短期融资； ③可转让存单； ④银行承兑汇票； ⑤企业股票和债券。 短期投资的控制主要是规避债券投资风险。 ①证券的投资报酬风险，一般情况下证券的报酬越高风险也越高，财务人员在选择券种时要作出合理的决策。 ②违约风险，证券发行人无法按期支付利息或偿还本金的风险。 ③购买力风险，因通货膨胀而使购买力下降的风险。 （3）应收账款控制 随着商品经济的不断发展，商业信用的不断推行，应收账款在企业流动资产中所占的比重也不断加大，因此，企业应将应收账款控制作为资产控制的重点。 应收帐款在企业的生产经营中具有两方面的作用： 一是可以增加销售， 二是可以减少存货。 但企业运用应收帐款也要付出一定的成本，主要有： ①机会成本，企业的资金若不占用于应收帐款，便可用于其它投资并获得收益。 ②管理成本，主要包括收集各种信息调查客户使用的费用、帐簿的登记管理费用以及收账费用等。 应收账款政策的制定包括使用标准、信用条件和收帐政策。在信用政策建立后，企业还应作好应收帐款的日常管理工作，在信用调查和评价的基础上，合理确定对客户的信用条件，并作好帐款的催收工作。 （4）存货控制 存货是企业在生产经营过程中为销售或耗用而储备的物资，包括材料、燃料、低值易耗品、在产品、半成品、产成品、以及商品等。 存货控制是指企业按照有关规定对存货的使用和周转情况进行的监督、评测和调整。 其主要方法有： ①分级分口控制，在站段长的领导下，财务部门对存货资金实行统一管理，实行资金的归口管理和分级管理。 ②经济订货批量控制，经济批量是指一定时期购货成本和储存成本总和最低的采购批量。经济订货批量控制就是找出两者总和最低的采购批量。 ③ABC控制法，按照ABC控制法的原理和要求，将企业的存货划分为A类、B类和C类，对A类存货进行重点管理，对B类存货进行次重点管理，对C类存货进行一般管理。 （5）长期投资控制 长期投资是指不准备随时变现、持有时间在一年以上的有价证券以及超过一年的其它投资。 在市场经济条件下，对外长期投资是企业投资的一个重要方面，它对提高企业经济效益，降低企业经营风险具有重要的作用： ①可以充分利用企业闲置资金，增加投资收益； ②加快资产流动性，提高企业的偿债能力； ③分散资金投向，降低资金风险； ④......>> 问题五：电力控制的定义是什么 电力控制的定义非常广泛，电力负荷控制，电站设备的远传控制，电力用户的电能控制等等，这些事属于强电控制。还有就是弱电控制，现在叮用的GSM无线通信设备，直接应用手机、或是调度计算机就可以控制柱上开关。光纤传输控制，电力载波、微波、无线扩频通信等，都是电力控制的传输应用。 问题六：控制图的定义 控制图（Control Chart）又叫管制图，是对过程质量特性进行测定、记录、评估，从而监察过程是否处于控制状态的一种用统计方法设计的图。图上有三条平行于横轴的直线：中心线（CL，Central Line）、上控制线（UCL，Upper Control Line）和下控制线（LCL，Lower Control Line），并有按时间顺序抽取的样本统计量数值的描点序列。UCL、CL、LCL统称为控制线（Control Line），通常控制界限设定在±3标准差的位置。中心线是所控制的统计量的平均值，上下控制界限与中心线相距数倍标准差。若控制图中的描点落在UCL与LCL之外或描点在UCL和LCL之间的排列不随机，则表明过程异常。控制图是：1. 实时图表化反馈过程的工具。2. 设计的目的是告诉操作者什么时候做什么或不做什么。3. 按时间序列展示过程的个性/表现。4. 设计用来区分信号与噪音。5. 侦测均值及/或标准差的变化。6. 用于决定过程是稳定的（可预测的）或 失控的（不可预测的）。控制图不是：1. 不是能力分析的替代工具。2. 在来料检验的过程中很难用到（没有时间序列）。3. 控制图不是高效的比较分析工具。4. 不应与运行图或预控制图混淆。控制图应用“界限”区分过程是否有显著变化或存在异常事件。由于控制限的设定要以数据为基础，所以在收集一定量有代表性的数据之前是无法确定控制限的。如果错误使用控制限，不但会对使用者造成困扰，而且还会对那些通过图表监控以实现过程改进的措施起反作用。 问题七：法律控制的定义是什么？ 首先，法律控制是指通过法律的规范作用和强制作用来控制利益矛盾平衡的一种行为。 第二，法律控制利益冲突有两个途径：一是立法控制，通过公平立法，建立合理的利益整合制度，分配利益，保障利益和协商利益，在宏观上防范利益冲突的发生；二是司法控制，通过公正司法，建立合法利益的救济机制，抑制非法利益，平衡合法利益，包容法外利益，在微观上解决具体的利益冲突。 问题八：什么是形成合并的控制，什么是没有形成合并的控制 一般简单的来说：形成合并就是持股比例达到50%以上，就是达到控制了，在50%以下就是没有达成控制的。 准确的理解是： 控制，是指投资方拥有对被投资方的权力，通过参与被投资方的相关活动而享有可变回报，并且有能力运用对被投资方的权力影响其回报金额。控制的定义包含三项基本要素：一是投资方拥有对被投资方的权力，二是因参与被投资方的相关活动而享有可变回报，三是有能力运用对被投资方的权力影响其回报金额。在判断投资方是否能够控制被投资方时，当且仅当投资方具备上述三要素时，才能表明投资方能够控制被投资方。 问题九：纯比例控制的定义? 控制器的输出信号c(t)能够成比例地反应其输入信号ε(t)。用数学式表达，即：c(t)=kpε(t)。式中，kp为比例系数。

题库内容：控制的解释[control;command] 掌握住 对象 不使 任意 活动或超出范围;或使其按控制者的 意愿 活动 控制羊毛市场 控制 不住 自己的感情 详细解释 (1).掌握住不使任意活动或超出范围。 《魏书·太祖道武帝纪》 ：“昔朕远祖，总御 幽都 ，控制遐国。” 宋 苏洵 《衡论上·重远》 ：“其地控制东南夷、 氐 、蛮最为 要害 ，土之所产又极富。” 清 毛世楷 《武昌》 诗：“枝梧 蜀 汉 争持角，控制东南欲建瓴。” 魏巍 《东方》 第三部第五章：“他咬着牙控制着自己的感情， 终于 没掉下一滴眼泪。” (2).指把持。 《北齐书·祖珽传》 ：“ 士开 、 文遥 、 彦深 等专弄威权，控制朝廷，与吏部尚书 尉瑾 内外 交通 ，共为表里。” 词语分解 控的解释 控 ò 告状，指出罪恶：控告。控诉。指控。被控。 节制 ， 驾驭 ：控制。遥控。 开弓：弓 不再 控。 投：控于地。 人的头部朝下或使让残液流出容器的口朝下：控净。控一控。 部首 ：扌； 制的解释 制 （⑦制） ì 规定：因地制宜。制定。制式。制宪。 限定， 约束 ，管束： 制止 。 制裁 。专制。 制约 。 抵制 。节制。制动。制海权。 法规， 制度 ： 民主集中制 。公有制。 依照规定的 标准 做的：制钱（ 中国 明、清两代称

设复数为A+Bi，那么相位就是arctan(B/A)。把形如z=a+bi（a，b均为实数）的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。当虚部等于零时，这个复数可以视为实数；当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数。两者和的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。两个复数的和依然是复数。扩展资料：在复平面上，表示两个共轭复数的点关于X轴对称，而这一点正是"共轭"一词的来源----两头牛平行地拉一部犁，它们的肩膀上要共架一个横梁，这横梁就叫做"轭"。如果用z表示x+yi，那么在z字上面加个"一"就表示x-yi，或相反。把数学分析中基本的实变初等函数推广到复变初等函数，使得定义的各种复变初等函数，当z变为实变数x(y=0）时与相应的实变初等函数相同。参考资料来源：百度百科--复数