定义

素数也叫质数。有无限个。质数定义为在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数。质数具有许多独特的性质：（1）质数p的约数只有两个：1和p。（2）初等数学基本定理：任一大于1的自然数，要么本身是质数，要么可以分解为几个质数之积，且这种分解是唯一的。（3）质数的个数是无限的。（4）质数的个数公式是不减函数。（5）若n为正整数，在到之间至少有一个质数。（6）若n为大于或等于2的正整数，在n到之间至少有一个质数。（7）若质数p为不超过n（）的最大质数，则。（8）所有大于10的质数中，个位数只有1,3,7,9。扩展资料：逆素数：顺着读与逆着读都是素数的数。如1949与9491，3011与1103，1453与3541等。无重逆素数是数字都不重复的逆素数。如13与31，17与71，37与73，79与97，107与701等。循环下降素数与循环上升素数：按1——9这9个数码反序或正序相连而成的素数（9和1相接）。如：43，1987，76543，23，23456789，1234567891。现在找到的最大一个是28位的数：1234567891234567891234567891。由一些特殊数码组成的数：如31，331，3331，33331，333331，3333331，以及33333331都是素数，但下一个333333331却是一个合数。特别著名的是全由1组成的素数。把由连续n个1组成的数记为Rn，则R2=11是一个素数，后来发现R19、R23、R317都是素数。素数研究是数论中最古老、也是最基本的部分，其中集中了看上去极为简单、却几十年甚至几百年都难以解决的大量问题。除了"哥德巴赫猜想"等几个著名问题外，还有许多问题至今未解决。

1、所谓素数也就是我们所说的质数，就是指只能被1和它本身整除的数（1除外）。 2、指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，没法被其他自然数整除的数。换句话说，只有两个正因数（1和自己）的自然数即为素数。 3、素数又称质数，只有1和它本身两个约数的自然数，叫质数。(如：由2÷1=2，2÷2=1，可知2的约数只有1和它本身2这两个约数，所以2就是质数。 4、100以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，在100内共有25个质数。

质数(又称为素数）1.就是在所有比1大的整数中，除了1和它本身以外，不再有别的约数，这种整数叫做质数或素数。还可以说成质数只有1和它本身两个约数。这终规只是文字上的解释而已。能不能有一个代数式，规定用字母表示的那个数为规定的任何值时，所代入的代数式的值都是质数呢？2.素数是这样的整数，它除了能表示为它自己和1的乘积以外，不能表示为任何其它两个整数的乘积。例如，15＝3＊5，所以15不是素数；又如，12＝6＊2＝4＊3，所以12也不是素数。另一方面，13除了等于13＊1以外，不能表示为其它任何两个整数的乘积，所以13是一个素数。质数的概念[编辑本段]所谓质数或称素数，就是一个正整数，除了本身和1以外并没有任何其他因子。例如2，3，5，7是质数，而4，6，8，9则不是，后者称为合成数或合数。从这个观点可将整数分为两种，一种叫质数，一种叫合成数。（有人认为数目字1不该称为质数）著名的高斯「唯一分解定理」说，任何一个整数。可以写成一串质数相乘的积。

数论函数（number-theoretic function）数论函数亦称算术函数。这是一类重要的函数，指定在正整数集上的实值或复值函数。更一般地，也可把数论函数看作是在某一整数集上定义的函数。以正整数为定义域的函数ƒ(n)，例如数列{αn}、阶乘n!、幂nλ等都是数论函数。

设x=asint，则dx=dasint=acostdt，可以得到：a^2-x^2=a^2-a^2sint^2=a^2cost^2∫√（a^2-x^2）dx=∫acost*acostdt=a^2∫cost^2dt=a^2∫（cos2t+1）/2dt=a^2/4∫(cos2t+1)d2t=a^2/4*(sin2t+2t)将x=asint代回，得：∫√（a^2-x^2）dx=x√(a^2-x^2)/2+a^2*arcsin(x/a)/2+C（C为常数）扩展资料黎曼积分实际可以看成是用一系列矩形来尽可能铺满函数曲线下方的图形，而每个矩形的面积是长乘宽，或者说是两个区间之长度的乘积。测度为更一般的空间中的集合定义了类似长度的概念，从而能够“测量”更不规则的函数曲线下方图形的面积，从而定义积分。在一维实空间中，一个区间A= [a,b] 的勒贝格测度μ(A)是区间的右端值减去左端值，b−a。这使得勒贝格积分和正常意义上的黎曼积分相兼容。在更复杂的情况下，积分的集合可以更加复杂，不再是区间，甚至不再是区间的交集或并集，其“长度”则由测度来给出。

规定x=0可写成0/1，因为x=1可写成1/1，x=2可写成2/1，....，x=k可写成k/1，此时R(x)=1，即x=0，1，2，...k，周期为1，所以黎曼函数又可写成：证明：∀x0∈(-∞，+∞)，lim(x→x0)R(x)=0，即R(x)在一切无理点连续，在有理点不连续.证：由R(x)周期性，只考虑[0,1]中的点，即证x0∈[0,1]，lim(x→x0)R(x)=0.在[0,1]中，分母为1的数：0/1，1/1分母为2的数：1/2分母为3的数：1/3，2/3…分母为k的数：至多k个，k是正整数对任意正整数k，[0,1]上分母≤k的有理数有限个由函数极限定义：∀ε＞0，找δ＞0，记k=[1/ε]，在[0,1]中分母≤k的有理数记为r1，r2，…，rn令δ=min{|ri-x0|} (1≤i≤n，ri≠x0)∀x∈[0,1](0＜|x-x0|＜δ)：(i)x无理数，R(x)=0(ii)x有理数，分母＞k  (前面规定k有限，这里分母＞k理所当然)k=[1/ε]，x的分母≥[1/ε]+1，则R(x)≤1/([1/ε]+1)＜1/1/ε=ε合起来就有|R(x)-0|＜ε∴lim(x→x0)R(x)=0.结论：黎曼函数在无理数连续，在很小一部分有理数不连续.∀ε＞0，在[0,1]上R(x)≥ε的点至多有限个.

一、定义不同1、极值点：若f(a)是函数f(x)的极大值或极小值，则a为函数f(x)的极值点，极大值点与极小值点统称为极值点。极值点是函数图像的某段子区间内上极大值或者极小值点的横坐标。极值点出现在函数的驻点（导数为0的点）或不可导点处（导函数不存在，也可以取得极值，此时驻点不存在）。2、驻点：函数的一阶导数为0地点(驻点也称为稳定点，临界点)。对于多元函数，驻点是所有一阶偏导数都为零的点。3、拐点：又称反曲点，在数学上指改变曲线向上或向下方向的点，直观地说拐点是使切线穿越曲线的点（即连续曲线的凹弧与凸弧的分界点）。二、性质不同1、在驻点处的单调性可能改变，在拐点处凹凸性可能改变。2、拐点：使函数凹凸性改变的点。3、驻点：一阶导数为零。三、特征不同1、极值点不一定是驻点。如y=|x|，在x=0点处不可导，故不是驻点，但是极(小)值点。2、驻点也不一定是极值点。如y=x³，在x=0处导数为0，是驻点，但没有极值，故不是极值点。3、该曲线图形的函数在拐点有二阶导数，则二阶导数在拐点处异号（由正变负或由负变正）或不存在。扩展资料：1、零点，驻点，极值点指的都是函数y=f(x)的一个横坐标x0，而拐点指的是函数y=f(x)图像上的一个点2、驻点和极值点:可导函数f(x)的极值点必定是它的驻点，但是反过来，函数的驻点却不一定是极值点。例如上面举例的y=x3，x=0是函数f(x)的驻点，但它不是极值点。此外,函数在它的一阶导数不存在时,也可能取得极值，例如y=|x|，在x=0处导数不存在，但极值点是x=0。3、驻点和极值点与函数的一阶导数有关，拐点与函数的二阶导数和三阶导数有关。参考资料：百度百科-极值点参考资料：百度百科-驻点参考资料：百度百科-拐点

1、凹函数是一个定义在某个向量空间的凹子集C(区间)上的实值函数f。设f为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点X1，X2和任意的实数λ∈(0，1)，总有f(λx1+(1-λ)x2)≤(≥)λf(x1)+(1-λ)f(x2), 则f称为I上的上(下)凹函数。判定方法可利用定义法、已知结论法以及函数的二阶导数。其二阶导数在区间上恒大于0，就称为严格凹函数2、凸函数是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数f，而且对于凸子集C中任意两个向量x1,x2,f((x1+x2)/2)≤（f(x1)+f(x2))/2。于是容易得出对于任意（0,1)中有理数p,f(px1+(1-p)x2）≤pf(x1)+(1-p)f(x2）。如果f连续，那么p可以改成任意（0,1）中实数。若这里凸集C即某个区间I，那么就是：设f为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点X1，X2和任意的实数λ∈（0，1），总有f（λx1+(1-λ）x2）≤λf(x1)+(1-λ）f(x2),则f称为I上的凸函数。判定方法可利用定义法、已知结论法以及函数的二阶导数对于实数集上的凸函数，一般的判别方法是求它的二阶导数，如果其二阶导数在区间上非负，就称为凸函数。（向下凸）如果其二阶导数在区间上恒大于0，就称为严格凸函数。

凹函数是一个定义在某个向量空间的凸集C（区间）上的实值函数f。设f为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点X1<X2和任意的实数λ∈（0，1），总有f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2), 则f称为I上的凹函数。凸函数,是数学函数的一类特征。凸函数就是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数。凸函数是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数f，而且对于凸子集C中任意两个向量, f((x1+x2)/2)>=(f(x1)+f(x2))/2,则f(x)是定义在凸子集c中的凸函数（该定义与凸规划中凸函数的定义是一致的，下凸）。扩展资料：这个定义从几何上看就是：在函数f(x)的图象上取任意两点，如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方，那么这个函数就是凹函数。 同理可知，如果函数图像在这两点之间的部分总在连接这两点线段的上方，那么这个函数就是凸函数。直观上看，凸函数就是图象向上突出来的。比如  凹函数就是图像向下凹进去的，比如常见的  。如果函数f(x)在区间I上二阶可导，则f(x)在区间I上是凸函数的充要条件是f""(x)<=0;f(x)在区间I上是凹函数的充要条件是f""(x)>=0;一般来说，可按如下方法准确说明：1、f(λx1+(1-λ)x2)<=λf(x1)+(1-λ)f(x2) ， 即V型，为“凸向原点”，或“下凸”（也可说上凹），（有的简称凸有的简称凹）2、f(λx1+(1-λ)x2)>=λf(x1)+(1-λ)f(x2) ， 即A型，为“凹向原点”，或“上凸”（下凹），（同样有的简称凹有的简称凸）常见的凸函数1 指数函数 eax2 幂函数 xa,x∈R+,1≤a或者a≤03 负对数函数 - log x4 负熵函数 x log x5 范数函数 ||x||p如果一个可微函数f它的导数f"在某区间是单调下跌的，f就是凹的；即一个凹函数拥有一个下跌的斜率（当中下跌只是代表非上升而不是严谨的下跌，也代表这容许零斜率的存在。）如果一个二次可微的函数f，它的二阶导数f"(x)是正值（或者说它有一个正值的加速度），那么它的图像是凹的；如果二阶导数f"(x)是负值，图像就会是凸的。当中如果某点转变了图像的凹凸性，这就是一个拐点。如果凹函数（也就是向上开口的）有一个“底”，在底的任意点就是它的极小值。如果凸函数有一个“顶点”，那么那个顶点就是函数的极大值。如果f(x)是二次可微的，那么f(x)就是凹的当且仅当f""(x)是非正值。如果二阶导数是负值的话它就是严谨凹函数，但相反而言又不一定正确。参考资料：百度百科——凹函数参考资料：百度百科——凸函数

根据你的考纲走

1、凹函数是一个定义在某个向量空间的凹子集C(区间)上的实值函数f。设f为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点X1，X2和任意的实数λ∈(0，1)，总有f(λx1+(1-λ)x2)≤(≥)λf(x1)+(1-λ)f(x2),则f称为I上的上(下)凹函数。判定方法可利用定义法、已知结论法以及函数的二阶导数。其二阶导数在区间上恒大于0，就称为严格凹函数2、凸函数是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数f，而且对于凸子集C中任意两个向量x1,x2,f((x1+x2)/2)≤（f(x1)+f(x2))/2。于是容易得出对于任意（0,1)中有理数p,f(px1+(1-p)x2）≤pf(x1)+(1-p)f(x2）。如果f连续，那么p可以改成任意（0,1）中实数。若这里凸集C即某个区间I，那么就是：设f为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点X1，X2和任意的实数λ∈（0，1），总有f（λx1+(1-λ）x2）≤λf(x1)+(1-λ）f(x2),则f称为I上的凸函数。判定方法可利用定义法、已知结论法以及函数的二阶导数对于实数集上的凸函数，一般的判别方法是求它的二阶导数，如果其二阶导数在区间上非负，就称为凸函数。（向下凸）如果其二阶导数在区间上恒大于0，就称为严格凸函数。

在函数可导的情况下,如果一阶导娄在区间内是连续增大的,它就是凹函数; 在图形上看就是"开口向上" 反过来,就是凸函数; 由于一阶导数连续增大,所以凹函数的二阶导数大于0; 由于一阶导数连续减小,所以凸函数的二阶导数小于0 凸函数就是:缓慢升高,快速降低; 凹函数就是:缓慢降低,快速升高

设函数f(x)在区间I上定义，若对I中的任意两点x1和x2,和任意λ∈(0,1)，都有[1] f(λx1+(1-λ)x2)<=λf(x1)+(1-λ)f(x2),若不等号严格成立，即"<"号成立，则称f(x)在I上是严格凹函数。如果"<="换成">="就是凸函数。类似也有严格凸函数。设f(x)在区间D上连续，如果对D上任意两点a、b恒有f（（a+b）/2）<(f(a)+f(b))/2那么称f(x)在D上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；如果恒有f（（a+b）/2）>(f(a)+f(b))/2那么称f(x)在D上的图形是（向上）凸的（或凸弧）通俗说，函数上某点x0，如果对这点附近的函数值f（x）都不大于f（x0），则在该点是凸的。反之，是凹的。对于函数f（x），如果f"(x)>0则是凸的，否则是凹的。

函数的凹凸性主要是看这个函数对应的图形是熬的还是凸的？

定义：设函数f(x)在区间I上定义，若对I中的任意两点x1和x2,和任意λ∈(0,1)，都有f(λx1+(1-λ)x2)<=λf(x1)+(1-λ)f(x2),则称f(x)是I上的凹函数。若不等号严格成立，即"<"号成立，则称f(x)在I上是严格凹函数。如果"<="换成">="就是凸函数。类似也有严格凸函数。这个定义从几何上看就是：在函数f(x)的图象上取任意两点，如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方，那么这个函数就是凹函数。直观上看，凸函数就是图象向上突出来的。比如y=-x^2,y=lnx.如果函数f(x)在区间I上二阶可导，则f(x)在区间I上是凹函数的充要条件是f""(x)>=0;f(x)在区间I上是凸函数的充要条件是f""(x)<=0;参考资料：《数学分析》f(x)=x²是凹函数。

定义：设函数f(x)在区间I上定义，若对I中的任意两点x1和x2,和任意λ∈(0,1)，都有f(λx1+(1-λ)x2)<=λf(x1)+(1-λ)f(x2),则称f(x)是I上的凹函数。若不等号严格成立，即"<"号成立，则称f(x)在I上是严格凹函数。如果"<="换成">="就是凸函数。类似也有严格凸函数。这个定义从几何上看就是：在函数f(x)的图象上取任意两点，如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方，那么这个函数就是凹函数。直观上看，凸函数就是图象向上突出来的。比如y=-x^2,y=lnx.如果函数f(x)在区间I上二阶可导，则f(x)在区间I上是凹函数的充要条件是f""(x)>=0;f(x)在区间I上是凸函数的充要条件是f""(x)<=0;参考资料：《数学分析》f(x)=x²是凹函数。

在函数f(x)的图象上取任意两点，如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方，那么这个函数就是凹函数。同理可知，如果函数图像在这两点之间的部分总在连接这两点线段的上方，那么这个函数就是凸函数。例子：设函数 在 上连续。如果对于 上的两点  ，恒有1、 ，2、那么称第一个不等式中的 是区间  上的凸函数；称第二个不等式中的  为严格凸函数。同理如果恒有1、 ，2、那么称第一个不等式中的  是区间 上的凹函数；称第二个不等式中的 为严格凹函数。扩展资料：不过，在中国数学界关于函数凹凸性定义和国外很多定义是反的。国内教材中的凹凸，是指曲线，而不是指函数，图像的凹凸与直观感受一致，却与函数的凹凸性相反。但只要记住“函数的凹凸性与曲线的凹凸性相反”就不会把概念搞乱了。另外，国内各不同学科教材、辅导书的关于凹凸的说法也是相反的。一般来说，可按如下方法准确说明：1、f(λx1+(1-λ)x2)<=λf(x1)+(1-λ)f(x2) ， 即V型，为“凸向原点”，或“下凸”（也可说上凹），（有的简称凸有的简称凹）2、f(λx1+(1-λ)x2)>=λf(x1)+(1-λ)f(x2) ， 即A型，为“凹向原点”，或“上凸”（下凹），（同样有的简称凹有的简称凸）参考资料：百度百科—函数的凹凸性

1、定义为：设函数f(x)在区间I上有定义，若对I中的任意两点x₁和x₂,和任意λ∈(0,1)，都有：f(λx₁+(1-λ)x₂)>=λf(x₁)+(1-λ)f(x₂)，则称f为I上的凸函数，若不等号严格成立，即“>”号成立，则称f(x)在I上是严格凸函数。同理，如果">=“换成“<=”就是凹函数。类似也有严格凹函数。2、从几何上看就是：在函数f(x)的图象上取任意两点，如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方，那么这个函数就是凹函数。同理可知，如果函数图像在这两点之间的部分总在连接这两点线段的上方，那么这个函数就是凸函数。直观上看，凸函数就是图象向上突出来的。如果函数f(x)在区间I上二阶可导，则f(x)在区间I上是凸函数的充要条件是f""(x)<=0;f(x)在区间I上是凹函数的充要条件是f""(x)>=0。扩展资料：不同说法：不过补充一下，中国数学界关于函数凹凸性定义和国外很多定义是反的。国内教材中的凹凸，是指曲线，而不是指函数，图像的凹凸与直观感受一致，却与函数的凹凸性相反。只要记住“函数的凹凸性与曲线的凹凸性相反”就不会把概念搞乱了。另外，国内各不同学科教材、辅导书的关于凹凸的说法也是相反的。一般来说，可按如下方法准确说明：1、f(λx1+(1-λ)x2)<=λf(x1)+(1-λ)f(x2) ， 即V型，为“凸向原点”，或“下凸”；2、f(λx1+(1-λ)x2)>=λf(x1)+(1-λ)f(x2) ， 即A型，为“凹向原点”，或“上凸”；凸/凹向原点这种说法一目了然。上下凸的说法也没有歧义。在二维环境下，就是通常所说的平面直角坐标系中，可以通过画图直观地看出一条二维曲线是凸还是凹，当然它也对应一个解析表示形式,就是那个不等式。但是，在多维情况下，图形是画不出来的，这就没法从直观上理解“凹”和“凸“的含义了，只能通过表达式，当然n维的表达式比二维的肯定要复杂，但是，不管是从图形上直观理解还是从表达式上理解，都是描述的同一个客观事实。而且，按照函数图形来定义的凹凸和按照函数来定义的凹凸正好相反。参考资料来源：百度百科-函数的凹凸性

最简单的方法是从凹凸本身出发这也是其名称由来最好的办法是用原始定义（任意FX）得实际上证明不难比二阶导数容易

凸函数：设函数f(x)在[a，b]上有定义，若[a，b]中任意不同两点x1，x2都成立：f[(x1 x2)/2]<=[f(x1) f(x2)]/2 则称f(x)在[a，b]上是凸的。 函数图形：弧段像∩形的，比如y=-x^2的函数. f(x)=lgx是凸函数,根据函数图象判断.一般开口向下的二次函数是凸函数,开口向上的二次函数是凹函数

凸函数是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数f，而且对于凸子集C中任意两个向量,f((x1+x2)/2)>=(f(x1)+f(x2))/2,则f(x)是定义在凸子集c中的凸函数（该定义与凸规划中凸函数的定义是一致的，下凸）。

凸函数,是数学函数的一类特征。凸函数就是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数。凸函数是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数f，而且对于凸子集C中任意两个向量, f((x1+x2)/2)<=(f(x1)+f(x2))/2,则f(x)是定义在凸子集c中的凸函数（该定义与凸规划中凸函数的定义是一致的，下凸）。定义在某个开区间C内的凸函数f在C内连续，且在除可数个点之外的所有点可微。如果C是闭区间，那么f有可能在C的端点不连续。一元可微函数在某个区间上是凸的，当且仅当它的导数在该区间上单调不减。一元连续可微函数在区间上是凸的，当且仅当函数位于所有它的切线的上方：对于区间内的所有x和y，都有f(y) > f(x) + f "(x) (y − x）。特别地，如果f "(c) = 0，那么c是f(x）的最小值。一元二阶可微的函数在区间上是凸的，当且仅当它的二阶导数是非负的；这可以用来判断某个函数是不是凸函数。如果它的二阶导数是正数，那么函数就是严格凸的，但反过来不成立。例如，f(x) = x4的二阶导数是f "(x) = 12 x2，当x = 0时为零，但x4是严格凸的。更一般地，多元二次可微的连续函数在凸集上是凸的，当且仅当它的黑塞矩阵在凸集的内部是正定的。凸函数的任何极小值也是最小值。严格凸函数最多有一个最小值。对于凸函数f，水平子集{x | f(x) < a}和{x | f(x) ≤ a}（a ∈ R）是凸集。然而，水平子集是凸集的函数不一定是凸函数；这样的函数称为拟凸函数。延森不等式对于每一个凸函数f都成立。如果X是一个随机变量，在f的定义域内取值，那么（在这里，E表示数学期望。）凸函数还有一个重要的性质：对于凸函数来说，局部最小值就是全局最小值。

凸函数：设函数f(x)在[a，b]上有定义，若[a，b]中任意不同两点x1，x2都成立：f[(x1 x2)/2]<=[f(x1) f(x2)]/2 则称f(x)在[a，b]上是凸的。 函数图形：弧段像∩形的，比如y=-x^2的函数. f(x)=lgx是凸函数,根据函数图象判断.一般开口向下的二次函数是凸函数,开口向上的二次函数是凹函数

凸函数的定义如下：对于一元函数f(xf(x)，如果对于任意tϵ［0,1]均满足：f(tx1+(1−t)x2)≤tf(x1)+(1−t)f(x2)f(tx1+(1−t)x2)≤tf(x1)+(1−t)f(x2)，则称f(x)f(x)为凸函数，同时如果对于任意tϵ（0,1))均满足：f(tx1+(1−t)x2)<tf(x1)+(1−t)f(x2)f(tx1+(1−t)x2)<tf(x1)+(1−t)f(x2)，则称f(x)f(x)为严格凸函数。函数的特性1、有界性设函数f（x）在区间X上有定义，如果存在M>0，对于一切属于区间X上的x，恒有|f（x）|≤M，则称f（x）在区间X上有界，否则称f（x）在区间上无界。2、单调性设函数f（x）的定义域为D，区间I包含于D。如果对于区间上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f（x1）<f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调递增的；如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f（x1）>f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调递减的。单调递增和单调递减的函数统称为单调函数。

考研范围对凸函数的定义：凹函数：设函数f（x）在［a，b］上有定义，若［a，b］中任意不同两点x1，x2都成立：f［（x1x2）/2］>=［f（x1）f（x2）］/2则称f（x）在［a，b］上是凹的。函数图形：弧段像∩形的，比如y=-x^2的函数。几何定义这个定义从几何上看就是：在函数f(x)的图象上取任意两点，如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方，那么这个函数就是凹函数。同理可知，如果函数图像在这两点之间的部分总在连接这两点线段的上方，那么这个函数就是凸函数。

分析, 要加上条件：函数在定义域内连续. f(x)是凸函数,又是凹函数,证明：f(x)一定是线性函数. 证明： 函数f(x)在定义域内连续, 在定义域内,任意设两点x1,x2,(x1≠x2) 根据凸函数的性质, f(x1)+f(x2)≧f(x1+x2)/2 再根据凹函数的性质, f(x1)+f(x2)≦f(x1+x2)/2 因此,f(x1)+f(x2)=f(x1+x2)/2, 满足这样条件的f(x)一定可以写成,f(x)=ax+b. 故,f(x)是线性函数.

凸函数的定义如下：对于一元函数f(xf(x)，如果对于任意tϵ［0,1]均满足：f(tx1+(1−t)x2)≤tf(x1)+(1−t)f(x2)f(tx1+(1−t)x2)≤tf(x1)+(1−t)f(x2)，则称f(x)f(x)为凸函数。同时如果对于任意tϵ（0,1))均满足：f(tx1+(1−t)x2)<tf(x1)+(1−t)f(x2)f(tx1+(1−t)x2)<tf(x1)+(1−t)f(x2)，则称f(x)f(x)为严格凸函数。凸函数的性质：定义在某个开区间C内的凸函数f在C内连续，且在除可数个点之外的所有点可微。如果C是闭区间，那么f有可能在C的端点不连续。一元可微函数在某个区间上是凸的，当且仅当它的导数在该区间上单调不减。一元连续可微函数在区间上是凸的，当且仅当函数位于所有它的切线的上方：对于区间内的所有x和y，都有f(y)>f(x)+f "(x)(y−x）。特别地，如果f "(c)= 0，那么c是f（x）的最小值。

考研范围对凸函数的定义：凹函数：设函数f（x）在［a，b］上有定义，若［a，b］中任意不同两点x1，x2都成立：f［（x1x2）/2］>=［f（x1）f（x2）］/2则称f（x）在［a，b］上是凹的。函数图形：弧段像∩形的，比如y=-x^2的函数。几何定义这个定义从几何上看就是：在函数f(x)的图象上取任意两点，如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方，那么这个函数就是凹函数。同理可知，如果函数图像在这两点之间的部分总在连接这两点线段的上方，那么这个函数就是凸函数。

驻点又称为平稳点、稳定点或临界点是函数的一阶导数为零，即在“这一点”，函数的输出值停止增加或减少。对于一维函数的图像，驻点的切线平行于x轴。对于二维函数的图像，驻点的切平面平行于xy平面。拐点，又称反曲点，在数学上指改变曲线向上或向下方向的点，直观地说拐点是使切线穿越曲线的点（即连续曲线的凹弧与凸弧的分界点）。若该曲线图形的函数在拐点有二阶导数，则二阶导数在拐点处异号（由正变负或由负变正）或不存在。扩展资料：一个函数的驻点不一定是这个函数的极值点（考虑到这一点左右一阶导数符号不改变的情况）；反过来，在某设定区域内，一个函数的极值点也不一定是这个函数的驻点（考虑到边界条件），驻点（红色）与拐点（蓝色），这图像的驻点都是局部极大值或局部极小值。如果函数是可微分的，那么拐点是一个固定点；然而并不是所有的固定点都是拐点。如果函数是两次可微分的，则不转动点的固定点是水平拐点。极值点不一定是驻点。如y=|x|，在x=0点处不可导，故不是驻点，但是极(小)值点。驻点也不一定是极值点。如y=x³，在x=0处导数为0，是驻点，但没有极值，故不是极值点。参考资料来源：百度百科--拐点参考资料来源：百度百科--驻点

拐点，又称反曲点，在数学上指改变曲线向上或向下方向的点，直观地说拐点是使切线穿越曲线的点（即曲线的凹凸分界点）。若该曲线图形的函数在拐点有二阶导数，则二阶导数在拐点处异号（由正变负或由负变正）或不存在。拐点不一定是驻点，例如y=x三次方+x。因为二阶导数某点为0不能判定一阶导数在某点为0。驻点显然更不一定是拐点，驻点只需要一阶导数为0，而拐点需要二阶可导（此处得网友提醒拐点未必需要可导）。驻点与拐点区别驻点仅仅就是指一阶导数等于0的点。拐点是指凹凸性改变的点。函数的一阶导数为0的点称为函数的驻点，驻点可以划分函数的单调区间。(驻点也称为稳定点，临界点。拐点在数学上指改变曲线向上或向下方向的点，直观地说拐点是使切线穿越曲线的点（即曲线的凹凸分界点）。若该曲线图形的函数在拐点有二次导数，则二次导数必为零或不存在。驻点和拐点的区别在驻点处的单调性可能改变，在拐点处单调性也可能发生改变，但凹凸性肯定改变。

拐点就是改变凹凸性的点  两侧点调性可以相同 如图第一段和第二段都是单调递增一阶导数大于零极值点两侧单调性不同 如图第二段单调递增一阶导数大于零，第三段单调递减一阶导数小于零拐点与一阶导数无关（可能该点一阶导数不存在）如y=x^(1/3)=-=数学符号好难打 不一一写了

要知道拐点是如何时定义的。就是在那个点的一阶导数，二阶导数均为0。显然，这个函数一阶导数为y"=1-1/x^2,而二阶导数为y"=2/x^3,没有拐点。关于凹凸区间，由于函数的凹凸性是由二阶导数的符号决定的。因此，由二阶导数为y"=2/x^3可以知道，在((-无穷，0），函数为凸的，而在（0，正无穷）函数为凹的。扩展资料：可以按下列步骤来判断区间I上的连续曲线y=f(x)的拐点：⑴求f""(x)；⑵令f""(x)=0，解出此方程在区间I内的实根，并求出在区间I内f""(x)不存在的点；参考资料来源：百度百科-拐点

题库内容：拐点的解释(1) [point of inflection]∶把曲线上向上凹的弧从向下凹的弧分开 或者 相反 地分开的点 (2) [contraflexure]∶见反挠曲点 详细解释 平面曲线上一个点把曲线分成两部分，如果曲线在该点的一侧是凸的，在另一侧是凹的，就称这点是曲线的拐点。 词语分解 拐的解释 拐 ǎ 转折：拐弯。 骗：拐骗。拐卖。 走路不稳，跛：他走路一拐一拐的。 走路时 帮助 支持 身体的棍：拐棍。双拐。 部首 ：扌； 点的解释 点 （点） ǎ 细小的痕迹或物体：点滴。斑点。点子（a．液体的小滴，如“水点点”；b．小的痕迹，如“油点点”；c． 打击 乐器演奏时的节拍，如“鼓点点”；d．主意，办法，如“请 大家 出点点”；e．最能说明问

函数的一阶导数为0的点称为函数的驻点,驻点可以划分函数的单调区间.(驻点也称为稳定点,临界点. 拐点在数学上指改变曲线向上或向下方向的点,直观地说拐点是使切线穿越曲线的点（即曲线的凹凸分界点）.若该曲线图形的函数在拐点有二次导数,则二次导数必为零或不存在. 驻点和拐点的区别　　在驻点处的单调性可能改变,在拐点处单调性也可能发生改变,但凹凸性肯定改变. 　　拐点：二阶导数为零,且三阶导不为零； 　　驻点：一阶导数为零或不存在. 驻点和极值点的区别　　可导函数f(x)的极值点【必定】是它的驻点.

拐点，又称反曲点，在数学上指改变曲线向上或向下方向的点，直观地说拐点是使切线穿越曲线的点（即连续曲线的凹弧与凸弧的分界点）。若该曲线图形的函数在拐点有二阶导数，则二阶导数在拐点处异号（由正变负或由负变正）或不存在。在生活中借指事物的发展趋势开始改变的地方(例如:经济运行出现回升拐点)拐点在数学上指改变曲线向上或向下方向的点，直观地说拐点是使切线穿越曲线的点（即曲线的凹凸分界点），若该曲线图形的函数在拐点有二阶导数，则二阶导数必为零或不存在。在现实生活中通常指事物的发展趋势开始改变的地方。

拐点就是改变凹凸性的点  两侧点调性可以相同 如图第一段和第二段都是单调递增一阶导数大于零极值点两侧单调性不同 如图第二段单调递增一阶导数大于零，第三段单调递减一阶导数小于零拐点与一阶导数无关（可能该点一阶导数不存在）如y=x^(1/3)=-=数学符号好难打 不一一写了

拐点的定义：拐点又称反曲点，在数学上指改变曲线向上或向下方向的点，直观地说拐点是使切线穿越曲线的点（即曲线的凹凸分界点）。若该曲线图形的函数在拐点有二阶导数，则二阶导数在拐点处异号（由正变负或由负变正）或不存在。相关介绍：必要条件：设函数f(x)在点X的某邻域内具有二阶连续导数，则该点的二阶导数为0，反之则不成立。充分条件第一充分条件：函数在某点处二阶导数为0，在该点处左右两次二阶导数异号，则可以判定为拐点。两侧同号则不为拐点。第二充分条件：函数在某点处二阶导数为0，三阶导数不为0，则可以判定为拐点。

拐点的定义：1、在生活中借指事物的发展趋势开始改变的地方，例如经济运行出现回升拐点。2、拐点在数学上指改变曲线向上或向下方向的点，直观地说拐点是使切线穿越曲线的点，即连续曲线的凹弧与凸弧的分界点。3、在传媒学中，拐点表示增量空间。挖掘增量空间的方式拐点原是高等数学中的一个概念，应用到传媒领域，是指中国媒介改革还存在很大的增量空间。但是，如果按照现行的发展模式、发展框架发展下去而不做变革，这种增量空间就很难得到挖掘。挖掘增量空间的方式有两种：1、宏观体制的改革，从体制层面放宽传媒改革的领域。2、媒介传播者自身，要对媒介的“生产方式”、“生产流程”、运营价值链的建构、市场机会点的把握方面有一个全新的整合与操作。

拐点和驻点的定义是拐驻点。

均值不等式又称为平均值不等式、平均不等式，是数学中的一个重要公式。公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向变。当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。扩展资料：不等式两边相加或相减同一个数或式子，不等号的方向不变。（移项要变号）不等式两边相乘或相除同一个正数，不等号的方向不变。（相当系数化1，这是得正数才能使用）不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变。（÷或×1个负数的时候要变号）把每个不等式的解集在数轴上表示出来，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集。有几个就要几个。

1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an) 2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n) 3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n 4、平方平均数：Qn=√ (a1^2+a2^2+...+an^2)/n 这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn 的式子即为均值不等式。 1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an) 2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n) 3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n 4、平方平均数：Qn=√ [(a1^2+a2^2+...+an^2)/n] 这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn a1、a2、…、an∈R +，当且仅当a1=a2= … =an时取“=”号 均值不等式的一般形式：设函数D(r)=[（a1^r+a2^r+...an^r）/n]^(1/r)(当r不等于0时); (a1a2...an)^(1/n)(当r=0时）（即D(0)=(a1a2...an)^(1/n)） 则有：当r 注意到Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2) 由以上简化，有一个简单结论，中学常用2/(1/a+1/b)≤√ab≤(a+b)/2≤√［(a^2+b^2)/2］ 编辑本段均值不等式的变形 (1)对实数a,b，有a^2+b^2≥2ab (当且仅当a=b时取“=”号)，a^2+b^2>0>-2ab (2)对非负实数a,b，有a+b≥2√(a*b)≥0，即(a+b)/2≥√(a*b)≥0 (3)对负实数a,b，有a+b<0<2√(a*b) (4)对实数a,b，有a(a-b)≥b(a-b) (5)对实数a,b，有a^2+b^2≥2ab≥0 (6)对实数a,b，有a^2+b^2 ≥1/2*(a+b)^2≥2ab (7)对实数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥1/3*(a+b+c)^2 (8)对实数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac (9)对非负数a,b，有a^2+ab+b^2≥3/4*(a+b)^2 (10)对实数a,b,c，有(a+b+c)/3>=(abc)^(1/3) 编辑本段均值不等式的证明 方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等 用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。 引理：设A≥0，B≥0，则(A＋B)^n≥A^n＋nA^(n－1)B。 注：引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以弱化为A≥0，A＋B≥0,有兴趣的同学可以想想如何证明(用数学归纳法)。 原题等价于：((a1＋a2＋…＋an )／n)^n≥a1a2…an。 当n＝2时易证； 假设当n＝k时命题成立，即 ((a1＋a2＋…＋ak )／k)^k≥a1a2…ak。那么当n＝k＋1时，不妨设a(k＋1)是a1，a2 ，…，a(k＋1)中最大者，则 k a(k＋1)≥a1＋a2＋…＋ak。 设s＝a1＋a2＋…＋ak， {[a1＋a2＋…＋a(k＋1)]／(k＋1)}^(k+1) ＝{s/k＋[k a(k＋1)－s]／[k(k＋1)]}^(k+1) ≥(s／k)^(k+1)＋(k＋1)(s／k)^k[k a(k＋1)－s]／k(k＋1) 用引理 ＝(s／k)^k* a(k＋1) ≥a1a2…a(k＋1)。用归纳假设 下面介绍个好理解的方法 琴生不等式法 琴生不等式：上凸函数f(x)，x1,x2,...xn是函数f(x)在区间(a,b)内的任意n个点， 则有：f[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)] 设f(x)=lnx，f(x)为上凸增函数 所以，ln[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[ln(x1)+ln(x2)+...+ln(xn)]=ln[(x1*x2*...*xn)^(1/n)] 即(x1+x2+...+xn)/n≥(x1*x2*...*xn)^(1/n) 在圆中用射影定理证明（半径不小于半弦） 编辑本段均值不等式的应用 例一 证明不等式：2√x≥3-1/x (x>0) 证明：2√x+1/x=√x+√x+1/x≥3*[(√x)*(√x)*(1/x)]^(1/3)=3 所以，2√x≥3-1/x 例二 长方形的面积为p，求周长的最小值 解：设长,宽分别为a,b，则a*b=p 因为a+b≥2√(ab)，所以2(a+b)≥4√(ab)=4√p 周长最小值为4√p 例三 长方形的周长为p，求面积的最大值 解：设长,宽分别为a,b，则2(a+b)=p 因为a+b=p/2≥2√(ab)，所以ab≤p^2/16 面积最大值是p^2/16 编辑本段其他不等式 琴生不等式 绝对值不等式 权方和不等式 赫尔德不等式 闵可夫斯基不等式 贝努利不等式 柯西不等式 切比雪夫不等式 外森比克不等式 排序不等式 编辑本段重要不等式 - 1.柯西不等式 柯西不等式的一般证法有以下几种： （1）Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai, bi，则有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai * bi)^2. 我们令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2) 则我们知道恒有 f(x) ≥ 0. 用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有 Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0. 于是移项得到结论。 （2）用向量来证. m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn) mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2乘以cosX． 因为cosX小于等于1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小于等于a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2 这就证明了不等式． 柯西不等式还有很多种，这里只取两种较常用的证法． 柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。 巧拆常数： 例：设a、b、c 为正数且各不相等。 求证： (2/a+c)+(2/b+c)+(2/c+a)＞(9/a+b+c) 分析：∵a 、b 、c 均为正数 ∴为证结论正确只需证：2(a+b+c)[(1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]＞9 而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b) 又9=(1+1+1)(1+1+1) 证明：Θ2(a+b+c)[(1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]＝[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]≥(1+1+1)(1+1+1)=9 又a、b 、c 各不相等，故等号不能成立 ∴原不等式成立。 像这样的例子还有很多，词条里不再一一列举，大家可以在参考资料里找到柯西不等式的证明及应用的具体文献． 编辑本段重要不等式 - 2.排序不等式 排序不等式是高中数学竞赛大纲要求的基本不等式。 设有两组数 a 1 , a 2 ,…… a n, b 1 , b 2 ,…… b n 满足 a 1 ≤ a 2 ≤……≤ a n, b 1 ≤ b 2 ≤……≤ b n 则有 a 1 b n + a 2 b n?1 +……+ a n b1≤ a 1 b t + a 2 b t +……+ a n b t ≤ a 1 b 1 + a 2 b 2 +……+ a n b n 式中t1，t2，……，tn是1，2，……，n的任意一个排列， 当且仅当 a 1 = a 2 =……= a n 或 b 1 = b 2 =……= b n 时成立。 以上排序不等式也可简记为： 反序和≤乱序和≤同序和. 证明时可采用逐步调整法。 例如，证明：其余不变时，将a 1 b 1 + a 2 b 2 调整为a 1 b 2 + a 2 b 1 ，值变小，只需作差证明（a 1 -a 2 ）*（b 1 -b 2 ）≥0，这由题知成立。 依次类推，根据逐步调整法，排序不等式得证。 编辑本段重要不等式 - 3.切比雪夫不等式 切比雪夫不等式有两个 （1）设存在数列a1,a2,a3.....an和b1,b2,b3......bn满足a1≤a2≤a3≤.....≤an和b1≤b2≤b3≤......≤bn 那么，∑aibi≥(1/n)(∑ai)(∑bi) （2）设存在数列a1,a2,a3.....an和b1,b2,b3......bn满足a1≤a2≤a3≤.....≤an和b1≥b2≥b3≥......≥bn 那么，∑aibi≤(1/n)(∑ai)(∑bi) 编辑本段重要不等式 - 4.琴生不等式 设f(x)为上凸函数，则f[(x1+x2+……+xn)/n]≥[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n,称为琴生不等式（幂平均）。 加权形式为： f[(a1x1+a2x2+……+anxn)]≥a1f(x1)+a2f(x2)+……+anf(xn),其中 ai>=0(i=1,2,……,n),且a1+a2+……+an=1. 编辑本段重要不等式 - 5.均值不等式 a^2 + b^2≥ 2ab （a与b的平方和不小于它们的乘积的2倍) 当a,b 分别大于0时上试可变为a+b ≥2√ab 编辑本段重要不等式 - 6.完全的均值不等式 √[(a^2+ b^2)/2] ≥(a+b)/2 ≥√ab ≥2/(1/a+1/b) （二次幂平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均） 证明：（证明过程引自他出） 设a，b是两个正数， M2=√[(a^2+b^2)/2]，A=(a+b)/2，G=√(ab)，H=2/(1/a+1/b) 分别表示a，b两元的二次幂平均，算术平均，几何平均和调和平均。证明: M2≥A≥G≥H。 证明 在梯形ABCD中，AB∥CD，记AB=b，CD=a。 EiFi(i=1,2,3,4)是平行于梯形ABCD的底边且被梯形两腰所截的线段。 如果E1F1分梯形为等积的两部分，那么 E1F1=√[(a^2+b^2)/2]。 如果E2F2分梯形的中位线，那么 E2F2=(a+b)/2。 如果E3F3分梯形为两相似图形，那么 E3F3=√(ab)。 如果E4F4通过梯形两对角线交点的线段，那么 E4F4=2/(1/a+1/b)。 从图中直观地证明E1F1≥E2F2≥E3F3≥E4F4，当a=b时取等号。 编辑本段重要不等式 - 7.幂平均不等式 幂平均不等式：ai>0(1≤i≤n),且α>β，则有（∑ai^α/n)^1/α≥(∑ai^β/n)^1/β成立 iff a1=a2=a3=……=an 时取等号 加权的形式： 设ai>0，pi>0(1≤i≤n)，且α>β，则有 （∑pi*ai^α/∑pi)^1/α≥(∑pi*ai^β/∑pi)^1/β iff a1=a2=a3=……=an， p1=p2=p3=……=pn 时取等号。 特例： - 调和平均（-1次幂）， - 几何平均（0次幂）， - 算术平均（1次幂），， - 二次平均（2次幂 )麻烦采纳，谢谢!

#include <stdio.h>#include <string.h>#define  bool int#define  FALSE 0#define  TRUE  1bool isOk(char *s){ int len = 0; if ( !(*s>="a" && *s<="z")  && !(*s>="A" && *s<="Z") && *s!="_") { return FALSE; } len = strlen(s); if (len<6 || len>16) { return FALSE; } while (*s) { if ( !(*s>="0" && *s<="9")  &&  !(*s>="a" && *s<="z")  && !(*s>="A" && *s<="Z") && *s!="_")  { return FALSE; } s++; } return TRUE;}int main(){ char str[100] = {0}; gets(str); printf(isOk(str)?"name ok!":"wrong name!");}SDFWE3324_name ok!Press any key to continue

看例子比如Public Function test(Nos As Integer) As BooleanFor i = 2 To NosIf Nos Mod i = 0 Thentest= FalseExit ForEnd IfNext itest= TrueEnd Function

bool func();

这个函数必须返回一个bool值，而你并非在所有的分支中都有返回值，例如x=0时你的函数将没有返回值，这是不允许的。

需要准备的材料分别有：电脑、C语言编译器。1、首先，打开C语言编译器，新建一个初始.cpp文件，例如：test.cpp。2、在test.cpp文件中，输入C语言代码：bool fun(){return true;} 3、编译器运行test.cpp文件，此时打印出了布尔类型函数返回结果的打印结果。

卷积是两个变量在某范围内相乘后求和的结果。如果卷积的变量是序列x(n)和h(n)，则卷积的结果，其中星号*表示卷积。当时序n=0时，序列h(-i)是h(i)的时序i取反的结果；时序取反使得h(i)以纵轴为中心翻转180度，所以这种相乘后求和的计算法称为卷积和，简称卷积。另外，n是使h(-i)位移的量，不同的n对应不同的卷积结果。如果卷积的变量是函数x(t)和h(t)，则卷积的计算变为，其中p是积分变量，积分也是求和，t是使函数h(-p)位移的量，星号*表示卷积。参考《数字信号处理》杨毅明著，p.55、p.188、p.264，机械工业出版社2012年发行。

f(x,y) * h(x,y)<=>F(u,v)H(u,v) 　　f(x,y)h(x,y)<=>[F(u,v) * H(u,v)]/2π (A * B 表示做A与B的卷积） 　　二个二维连续函数在空间域中的卷积可求其相应的二个傅立叶变换乘积的反变换而得。反之，在频域中的卷积可用的在空间域中乘积的傅立叶变换而得。 　　这一定理对拉普拉斯变换、双边拉普拉斯变换、Z变换、Mellin变换和Hartley变换等各种傅里叶变换的变体同样成立。在调和分析中还可以推广到在局部紧致的阿贝尔群上定义的傅里叶变换。 利用卷积定理可以简化卷积的运算量。对于长度为n的序列，按照卷积的定义进行计算，需要做2N - 1组对位乘法，其计算复杂度为O(N * N)；而利用傅里叶变换将序列变换到频域上后，只需要一组对位乘法，利用傅里叶变换的快速算法之后，总的计算复杂度为O(N * log N)。这一结果可以在快速乘法计算中得到应用。

在泛函分析中，卷积、旋积或摺积（英语：Convolution）是通过两个函数f和g生成第三个函数的一种数学算子，表征函数f与经过翻转和平移的g的重叠部分的累积。如果将参加卷积的一个函数看作区间的指示函数，卷积还可以被看作是“滑动平均”的推广。褶积(又名卷积)和反褶积(又名去卷积)是一种积分变换的数学方法，在许多方面得到了广泛应用。用褶积解决试井解释中的问题，早就取得了很好成果；而反褶积，直到最近,Schroeter、Hollaender和Gringarten等人解决了其计算方法上的稳定性问题，使反褶积方法很快引起了试井界的广泛注意。有专家认为，反褶积的应用是试井解释方法发展史上的又一次重大飞跃。他们预言，随着测试新工具和新技术的增加和应用，以及与其它专业研究成果的更紧密结合，试井在油气藏描述中的作用和重要性必将不断增大。简单定义：卷积是分析数学中一种重要的运算。[1]设:f(x),g(x)是R1上的两个可积函数，作积分：卷积可以证明，关于几乎所有的实数x，上述积分是存在的。这样，随着x的不同取值，这个积分就定义了一个新函数h(x)，称为函数f与g的卷积，记为h(x)=(f*g)(x)。容易验证，(f * g)(x) = (g * f)(x)，并且(f * g)(x)仍为可积函数。这就是说，把卷积代替乘法，L1（R1）空间是一个代数，甚至是巴拿赫代数。

http://www.gewei.cn/lw/Article/orther/200507/Article_39.html

矩阵的秩的定义：是其行向量或列向量的极大无关组中包含向量的个数。能这么定义的根本原因是：矩阵的行秩和列秩相等（证明可利用n+1个n维向量必线性相关）矩阵的秩的几何意义如下：在n维线性空间V中定义线性变换，可以证明：在一组给定的基下，任一个线性变换都可以与一个n阶矩阵一一对应；而且保持线性；换言之，所有线性变换组成的空间End<F>(V)与所有矩阵组成的空间M(n)<F>是同构的。扩展资料：A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩，记作rA，或rankA或R(A)。特别规定零矩阵的秩为零。显然rA≤min(m,n) 易得：若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r<min(m,n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n，通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵, det(A)≠0；不满秩矩阵就是奇异矩阵，det(A)=0。由行列式的性质知，矩阵A的转置AT的秩与A的秩是一样的。奇异值分解非常有用，对于矩阵A(p*q)，存在U(p*p)，V(q*q)，B(p*q)（由对角阵与增广行或列组成），满足A = U*B*VU和V中分别是A的奇异向量，而B是A的奇异值。AA"的特征向量组成U，特征值组成B"B，A"A的特征向量组成V，特征值（与AA"相同）组成BB"。因此，奇异值分解和特征值问题紧密联系。如果A是复矩阵，B中的奇异值仍然是实数。SVD提供了一些关于A的信息，例如非零奇异值的数目（B的阶数）和A的阶数相同，一旦阶数确定，那么U的前k列构成了A的列向量空间的正交基。参考资料来源：百度百科——矩阵的秩

线性规划线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求，而提高经济效果一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料.二是生产组织与计划的改进，即合理安排人力物力资源.线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好. 单纯形法求解线性规划问题的通用方法。单纯形是美国数学家G.B.丹齐克于1947年首先提出来的。它的理论根据是：线性规划问题的可行域是 n维向量空间Rn中的多面凸集，其最优值如果存在必在该凸集的某顶点处达到。顶点所对应的可行解称为基本可行解。单纯形法的基本思想是：先找出一个基本可行解，对它进行鉴别，看是否是最优解；若不是，则按照一定法则转换到另一改进的基本可行解,再鉴别；若仍不是，则再转换,按此重复进行。因基本可行解的个数有限，故经有限次转换必能得出问题的最优解。如果问题无最优解也可用此法判别。单纯形法的一般解题步骤可归纳如下：①把线性规划问题的约束方程组表达成典范型方程组，找出基本可行解作为初始基本可行解。②若基本可行解不存在，即约束条件有矛盾，则问题无解。③若基本可行解存在，从初始基本可行解作为起点，根据最优性条件和可行性条件，引入非基变量取代某一基变量，找出目标函数值更优的另一基本可行解。④按步骤3进行迭代,直到对应检验数满足最优性条件（这时目标函数值不能再改善），即得到问题的最优解。⑤若迭代过程中发现问题的目标函数值无界，则终止迭代。 用单纯形法求解线性规划问题所需的迭代次数主要取决于约束条件的个数。现在一般的线性规划问题都是应用单纯形法标准软件在计算机上求解，对于具有106个决策变量和104个约束条件的线性规划问题已能在计算机上解得。 改进单纯形法 原单纯形法不是很经济的算法。1953年美国数学家G.B.丹齐克为了改进单纯形法每次迭代中积累起来的进位误差，提出改进单纯形法。其基本步骤和单纯形法大致相同，主要区别是在逐次迭代中不再以高斯消去法为基础，而是由旧基阵的逆去直接计算新基阵的逆，再由此确定检验数。这样做可以减少迭代中的累积误差，提高计算精度，同时也减少了在计算机上的存储量。 对偶单纯形法 1954年美国数学家C.莱姆基提出对偶单纯形法。单纯形法是从原始问题的一个可行解通过迭代转到另一个可行解，直到检验数满足最优性条件为止。对偶单纯形法则是从满足对偶可行性条件出发通过迭代逐步搜索原始问题的最优解。在迭代过程中始终保持基解的对偶可行性，而使不可行性逐步消失。设原始问题为min{cx|Ax=b，x≥0}，则其对偶问题为 max{yb|yA≤c}。当原始问题的一个基解满足最优性条件时,其检验数cBB-1A-c≤0。即知y＝cBB-1（称为单纯形算子）为对偶问题的可行解。所谓满足对偶可行性，即指其检验数满足最优性条件。因此在保持对偶可行性的前提下，一当基解成为可行解时，便也就是最优解。 数学优化中，由George Dantzig发明的单纯形法是线性规划问题的数值求解的流行技术。有一个算法与此无关，但名称类似，它是Nelder-Mead法或称下山单纯形法，由Nelder和Mead发现（1965年），这是用于优化多维无约束问题的一种数值方法，属于更一般的搜索算法的类别。 这二者都使用了单纯形的概念，它是N维中的N + 1个顶点的凸包，是一个多胞体：直线上的一个线段，平面上的一个三角形，三维空间中的一个四面体，等等。

#include "iostream.h" #include "math.h"class point { public:float x;float y;//构造函数point(float x,float y){this->x=x;this->y=y;} };class line {float a;float b;float c;public://构造函数line(float a,float b,float c){this->a=a;this->b=b;this->c=c;}float getDistance(point p){float x,y;x=p.x;y=p.y;return fabs(a*x+b*y+c)/sqrt(a*a+b*b);} };void main() {float x,y;cout<<"请输入点的X坐标:";cin>>x;cout<<"请输入点的Y坐标:";cin>>y;point p(x,y);float a,b,c;cout<<"请输入a:";cin>>a;cout<<"请输入b:";cin>>b;cout<<"请输入c:";cin>>c;line l(a,b,c);cout<<"点到直线的距离为:"<<l.getDistance(p)<<endl; }

只有一数之差而已。多一横的包含前面的数字，少一横的不包含前面的数字。

1、退化 （1）在线性规划的单纯形法中,当确定换入基变量时,计算出的θ出现两个或两个以上最小值时,称为退化,选取不当的话会导致迭代无限循环. （2）（1）中所说现象在运输问题中表现为：填入某一格的运量后,同时划去该格所在的行和列,称为退化. 2、对偶问题 线性规划问题考虑的是如何利用有限的资源安排生产,以达到获取最大收益.如果工厂不考虑生产,而是考虑给每种资源定价,并将该资源出租或出让,以达到获取最大收益,则称为对偶问题.对偶问题与线性规划问题互相对应. 3、整数规划是指线性规划的变量必须取整数的情况,例如投入员工的线性规划问题,不能投入分数或小数个人.因此最优解为小数时,还要考虑取什么整数才能最优.

网络，简单的来说，就是用物理链路将各个孤立的工作站或主机相连在一起，组成数据链路，从而达到资源共享和通信的目的。 凡将地理位置不同，并具有独立功能的多个计算机系统通过通信设备和线路而连接起来，且以功能完善的网络软件（网络协议、信息交换方式及网络操作系统等）实现网络资源共享的系统，可称为计算机网络。 网络一词有多种意义，可解作： 1、流量网络（flow network）也简称为网络(network)。一般用来对管道系统、交通系统、通讯系统来建模。有时特指计算机网络 (Computer Network)，或特指其中的互联网 (Internet)由有关联的个体组成的系统，如：人际网络、交通网络、政治网络。 2、由节点和连线构成的图。表示研究诸对象及其相互联系。有时用的带箭头的连线表示从一个节点到另一个节点存在某种顺序关系。在节点或连线旁标出的数值，称为点权或线权，有时不标任何数。用数学语言说，网络是一种图，一般认为它专指加权图。网络除了数学定义外，还有具体的物理含义，即网络是从某种相同类型的实际问题中抽象出来的模型，习惯上就称其为什么类型网络，如开关网络、运输网络、通信网络、计划网络等。总之，网络是从同类问题中抽象出来的用数学中的图论来表达并研究的一种模型。 计算机网络是用通信线路和通信设备将分布在不同地点的多台自治计算机系统互相连接起来，按照共同的网络协议，共享硬件、软件和数据资源的系统。 【实现网络的四个要素】 1、通信线路和通信设备 2、有独立功能的计算机 3、网络软件软件支持 4、实现数据通信与资源共享

你是网恋了吧？？要么就是游戏迷拉。。。

1、网络一词有多种意义，电路或电路的一部分。汉语中，“网络”一词最早用于电学《现代汉语词典》(1993年版)做出这样的解释：“在电的系统中，由若干元件组成的用来使电信号按一定要求传输的电路或这种电路的部分，叫网络。”2、流量网络（Flow Network）也可以简称为网络(Network)。一般用来对管道系统。3、由节点和连线构成的图，表示研究诸对象及其相互联系。有时用的带箭头的连线表示从一个节点到另一个节点存在某种顺序关系。4、抽象意义上的网络。比如城市网络、交通网络、交际网络等。计算机网络是用通信线路和通信设备将分布在不同地点的多台自治计算机系统互相连接起来，按照共同的网络协议，共享硬件、软件和数据资源的系统。

是指将地理位置不同的具有独立功能的多台计算机及其外部设备，通过通信线路连接起来，在网络操作系统，网络管理软件及网络通信协议的管理和协调下，实现资源共享和信息传递的计算机系统。

网络 1、电路或电路的一部分。 汉语中，“网络”一词最早用于电学《现代汉语词典》(1993年版)做出这样的解释：“在电的系统中，由若干元件组成的用来使电信号按一定要求传输的电路或这种电路的部分，叫网络。” 2、流量网络（Flowwork）也可以简称为网络(work)。一般用来对管道系统、交通系统、通讯系统来建模，有时特指计算机网络(puterwork)，或特指其中的互联网(Inter)由有关联的个体组成的系统，如：人际网络、交通网络、政治网络。 3、由节点和连线构成的图，表示研究诸对象及其相互联系。 有时用的带箭头的连线表示从一个节点到另一个节点存在某种顺序关系。 在节点或连线旁标出的数值，称为点权或线权，有时不标任何数。 用数学语言说，网络是一种图，一般认为它专指加权图。 网络除了数学定义外，还有具体的物理含义，即网络是从某种相同类型的实际问题中抽象出来的模型。 习惯上就称其为什么类型网络，如开关网络、运输网络、通信网络、计划网络等。 总之，网络是从同类问题中抽象出来的用数学中的图论来表达并研究的一种模型。 4、比喻性的泛化的意义，如“人际关系网络”、“信息交流网络”等，这种意义下，常说成“网”。 5、现在一般指“三网”：电信网络、有线电视网络、计算机网络。 狭义的含义即因特网。 6、抽象意义上的网络。 比如城市网络、交通网络、交际网络等。 计算机网络是用通信线路和通信设备将分布在不同地点的多台自治计算机系统互相连接起来，按照共同的网络协议，共享硬件、软件，最终实现资源共享的系统。 但现在和人们生活密不可分的是计算机网络，一般人对网络的理解都是关于计算机网络。

在定义上非常简单：网络就是一群通过一定形式连接起来的计算机。一个网络可以由两台计算机组成，也可以拥有在同一大楼里面的上千台计算机和使用者。我们通常指这样的网络为局域网(LAN， Local Area Network)，由LAN再延伸出去更大的范围，比如整个城市甚至整个国家，这样的网络我们称为广域网(WAN， Wide Area Network)，当然您如果要再仔细划分的话，还可以有MAN(Metropolitan Area Network) 和 CAN(Citywide Area Network)，这些网络都需要有专门的管理人员进行维护。 而我们最常触的Internet则是由这些无数的LAN和WAN共同组成的。Internet仅是提供了它们之间的连接，但却没有专门的人进行管理(除了维护连接和制定使用标准外)，可以说Internet是最自由和最没王管的地方了。在Internet上面是没有国界种族之分的，只要连上去，在地球另一边的计算机和您室友的计算机其实没有什么两样的。 因为我们最常使用的还是LAN，(即使我们从家中连上Internet，其实也是先连上ISP的LAN)，所以这里我们主要讨论的还是以LAN为主。LAN可以说是众多网络里面的最基本单位了，等您对LAN有了一定的认识，再去了解WAN和Internet就比较容易入手了，只不过需要了解更多更复杂的通讯手段而已。 Internet? Intranet? Extranet? 接触过网络的朋友，或多或少都应该听过上面几个名词吧？不过，大家可知道它们之间的分别和如何定义吗？ 其实，最早出现的名词应该是 Internet，然后人民将 Internet 的概念和技巧引入到内部的私人网络，可以是独立的一个 LAN 也可以是专属的 WAN ，于是就称为 Intranet 了。它们之间的最大分别是：开放性。Internet 是开放的，不属于任何人，只要能连接得到您就属于其中一员，也就能获得上面开放的资源；相对而言，Intranet 则是专属的、非开放的，它往往存在于于私有网络之上，只是其结构和服务方式和设计，都参考 Internet 的模式而已。

1、计算机网络是指将地理位置不同的具有独立功能的多台计算机及其外部设备，通过通信线路连接起来，在网络操作系统，网络管理软件及网络通信协议的管理和协调下，实现资源共享和信息传递的计算机系统。 2、计算机网络的分类与一般的事物分类方法一样，可以按事物所具有的不同性质特点分类。计算机网络通俗地讲就是由多台计算机通过传输介质和软件物理连接在一起组成的。总的来说计算机网络的组成基本上包括：计算机、网络操作系统、传输介质以及相应的应用软件四部分。

网络就是通过通信线路将两个地域不同的设备连接以实现数据通信和资源共享的载体

　　若图G中存在这样一条路径，使得它恰通过G中每条边一次，则称该路径为欧拉路径。若该路径是一个圈，则称为欧拉回路。 　　具有欧拉回路的图称为欧拉图。具有欧拉路径但不具有欧拉回路的图称为半欧拉图。 　　无向图存在欧拉回路的充要条件： 　　一个无向图存在欧拉回路，当且仅当该图所有顶点度数都为偶数,且该图是连通图。 　　有向图存在欧拉回路的充要条件： 　　一个有向图存在欧拉回路，所有顶点的入度等于出度且该图是连通图。

若图G中存在这样一条路径，使得它恰通过G中每条边一次，则称该路径为欧拉路径。若该路径是一个圈，则称为欧拉回路。 具有欧拉回路的图称为欧拉图。具有欧拉路径但不具有欧拉回路的图称为半欧拉图。 无向图存在欧拉回路的充要条件： 一个无向图存在欧拉回路，当且仅当该图所有顶点度数都为偶数,且该图是连通图。 有向图存在欧拉回路的充要条件： 一个有向图存在欧拉回路，所有顶点的入度等于出度且该图是连通图。

用n表示图中顶点数目，用e表示边或弧的数目。若<vi,vj>∈VR，则vi≠vj，那么，对于无向图，e的取值范围是0到n(n-1)/2，有n(n-1)/2条边的无向图称为完全图。

无向图G=<V,E>,其中：1.V是非空集合，称为顶点集。2.E是V中元素构成的无序二元组的集合，称为边集。

任意一条边都代表u连v以及v连u。无向图是相对于有向图来说明的，就是说每条边都是双向边，而有向图每条边都是单向边，也就是说只能由一个点指向另一个点。

图状结构是一种比树形结构更复杂的非线性结构。在树形结构中，结点间具有分支层次关系，每一层上的结点只能和上一层的至多一个结点相关，但可能和下一层的多个结点相关。而在图状结构中，任意两个结点之间都可能相关，即结点之间的邻接关系可以是任意的。因此，图是 比树更一般、更复杂的非线性结构，常被用于描述各种复杂的数据对象，在自然科学、社会科学和人文科学等许多领域有着非常广泛的应用。 图（Graph）是由非空的顶点集合和一个描述顶点之间的关系——边（或者弧）的集合组成的，其形式化定义为：G=(V,E)、V={v1|v1包含data object}、E={(v1,vj)|(vi,vj 包含V^P(vj,vj)。其中，G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是图G中边的集合，集合E中P(vi,vj)表示顶点vi和顶点vj之间有一条直接连线，即偶对(v1,vj）表示一条边。如：G2=(V2,E2)、V2={v1,v2,v3,v4}、E2={<v1,v2>,<v1,v3>,<v3,v4>,<v4,v1>}。 1、无向图：在一个图中，如果任意两个顶点构成的偶对(vi,vj）包含E是无序的，即顶点之间的连线是没有方向的，则称该图为无向图。 2、有向图：在一个图中，如果任意两个顶点构成的偶对<vj,vj>包含E是有序的（有序对常常用尖括号“<>”表示），即顶点之间的连线是有方向的，则称该图为有向图。6、顶点的度、入度、出度：顶点的度（Degree）是指依附于某顶点v的边数，通常记为TD(v)。顶点v的入度是指以顶点v为终点的弧的数目，记为ID(V)；出度是指以顶点v为始点的弧的数目，记为OD(V)。有TD(V)=ID(v)+OD(v)。 7、边的权、网：与边有关的数据信息称为权(Weight)。在实际应用中，权值可以有某种含义。例如，在一个反映城市交通线路的图中，边上的权值可以表示该条线路的长度或等级；对于一个电子线路图，边上的权值可以表示两个端点之间的电阻、电流或电压值；对于反映工程进度的图而言，边上的权值可以表示从前一个工程到后一个工程所需要的时间或其他代价等。边上带权的图称为网或网络（network）。 8、路径、路径长度：顶点vp到顶点vq之间的路径（path）是指顶点序列vp、vi1、vi2、···、vim、vq。其中，（vp，vi1）、（vi1，vi2）、···、（vim，vq）分别为图中的边。路径上边的数目称为路径长度。 9、简单路径、回路、简单回路：序列中顶点不重复出现的路径称为简单路径。路径中第一个顶点与最后一个顶点相同的 路径称为回路或环（Cycle）。除第一个顶点与最后一个顶点之外，其他顶点不重复出现的回路称为简单回路，或者简单环。 10、子图：对于图G=（V，E），G"=（V",E"），若存在 V"是V的子集， E"是E的子集，则称图 G"是G的的一个子图。 11、连通、连通图、连通分量：在无向图中，如果从一个顶点vi到另一个顶点vj(i=!j)存在路径，则称顶点vi和vj是连通的。如果图中任意两个顶点都是连通的，则称该图是连通图。无向图的极大连通子图称为连通分量，极大连通子图是指在保证连通与子图的条件下，包含原图中所有的顶点与边。 如下图： 12、强连通图、强连通分量：对于有向图来说，若图中任意一对顶点vi和vj（i=!j）均存在从一个顶点vi到另一个顶点vj和从vj到vi的路径，则称该有向图是强连通图。有向图的极大强连通子图称为强连通分量，极大强连通子图的含义同上。 13、生成树：所谓连通图G的生成树，是G的包含其全部n个顶点的一个极小连通子图，所谓极小连通子图是指在包含所有顶点且保证连通的前提下尽可能少地包含原图中的边。生成树必定包含且仅包含连通图G的n-1条边。在生成树中添加任意一条属于原图中的边必定会产生回路，因为新添加的边使其所依附的两个顶点之间有了第二条路径。若生成树中减少任意一条边，则必然成为非连通的。 14、生成森林：在非连通图中，由每个连通分量都可得到一个极小连通子图，即一棵生成树。这些连通分量的生成树就组成了一个非连通图的生成森林。 将上图存储到计算机中，请设计一个数据结构并将其合理存储起来？ 所谓邻接矩阵（Adjacency Matrix）的存储结构，就是用一维数组存储图中的顶点信息，用矩阵表示图中各顶点的信息，用矩阵表示图中各顶点的信息，用矩阵表示图中各顶点之间的邻接关系。假设图G=(V,E)有n个确定的顶点，即V ={v0,v1，···，vn-1}，则表示G中各顶点相邻关系的矩阵为一个n×n的矩阵，矩阵的元素为： A[i][j]={1,若(vi,vj)或<vi,vj>是E(G)中的边 ；2，若(vi,vj）或<vi,vj>不是E(G)中的边。 若G是网，则邻接矩阵可定义为： A[i][j]={wij,若(vi,vj)或<vi,vj>是E(G)中的边 ；0或&，若(vi,vj）或<vi,vj>不是E(G)中的边。（1）无向图的邻接矩阵一定是一个对称矩阵。因此，在具体存放邻接矩阵时只需存放上或下三角矩阵的元素即可。 （2）对于无向图，邻接矩阵的第i行或第i列非零元素或非&元素的个数正好是第i个顶点的度TD(vi)。 （3）对于有向图，邻接矩阵的第i行货第i列非零元素或非&元素的个数正好是第i个顶点的出度OD(vi)或如度ID(vi)。 （4）用邻接矩阵方法存储图，很容易确定图中任意两个顶点之间是否有边相连；但是，要确定图中有多少条边，则必须按行、按列对每个元素进行检测，所花费的时间代价很大。这是用邻接矩阵存储图的局限性。 在实际应用邻接矩阵存储图时，除了用一个二维数组存储用于表示顶点间相邻关系的邻接矩阵外，还需用一个一维数组来存储顶点信息，另外，还有图的顶点树和边树。故可将其形式描述如下： 邻接表（Adjacency List）是图的一种顺序存储于链式存储结合的存储方法。邻接表表示法类似于树的孩子链表表示法。就是对于图G中的每个顶点vi，将所有邻接于vi的顶点vj链成一个单链表，这个单链表就称为顶点vi的邻接表，再将所有顶点的邻接表表头放到数组中，就构成了图邻接表。 在邻接表表示中有两种结点结构：一种是顶点表的结点结构，它由顶点域（vertex）和指向第一条邻接边的指针域（firstedge）构成。另一种是边表即邻接表结点，它由邻接点域（adjvex）和指向下一条邻接边的指针域（next）构成。对于网的边表需再增设一个存储边上的信息（如权值等）的域（info）。

有向图是一个二元组<V,E>，其中1.V是非空集合，称为顶点集。2.E是V×V的子集，称为弧集。

求X和Y的联合概率密度。设含有a的二次方程a^2+2Xa+Y=0,试求a有实根的概率？扩展资料：概率指事件随机发生的机率，对于均匀分布函数，概率密度等于一段区间(事件的取值范围)的概率除以该段区间的长度，它的值是非负的，可以很大也可以很小。定理：设随机变量X具有概率密度fX(x)，-∞<x<∞，由设函数g(x)处处可导且恒有g"(x)>0（或恒有g"(x)<0），则Y=g(X)是连续型随机变量。参考资料来源：百度百科-概率密度

分布函数的定义是这样的：定义函数F(x)=P{X<=x} (注意:是小于等于,保证F(x)的右连续)。然后如对于随机变量X的分布函数F（x），如果存在非负函数f（x）。使对于任意实数x，有F（x）＝∫（－∞，x）f（t）dt则X成为连续型随机变量。其中函数f（x）称为X的概率密度函数，简称概率密度．这是概率密度的定义。举例：已知二维随机变量（X,Y）具有概率密度f(x,y)= 2e-(2x+y),x>0,y>00，其他求联合分布函数F（x，y）边缘概率密度fx（x）和fy（y）判断X于Y是否相互独立．解：F（x，y）＝2∫（0，x）e＾（－2x）dx∫（0，y）e＾（－y）dy＝（e＾（－2x）－1）＊（e＾（－y）－1）fx（x）＝2∫（0，∞）e＾（－2x）e＾（－y）dy＝2e＾（－2x）fy（y）＝2∫（0，∞）e＾（－2x）e＾（－y）dx＝e＾（－y）X于Y是相互独立。扩展资料概率密度和概率密度函数的区别：概率指事件随机发生的机率，概率密度的概念也大致如此，指事件发生的概率分布。在数学中，连续型随机变量的概率密度函数（在不至于混淆时可以简称为密度函数）是一个描述这个随机变量的输出值，在某个确定的取值点附近的可能性的函数。probabilitydensityfunction，简称PDF。概率密度函数加起来就是概率函数（离散变量），或者积分（连续变量）。在数学中，连续型随机变量的概率密度函数（在不至于混淆时可以简称为密度函数）是一个描述这个随机变量的输出值。在某个确定的取值点附近的可能性的函数。而随机变量的取值落在某个区域之内的概率则为概率密度函数在这个区域上的积分。当概率密度函数存在的时候，累积分布函数是概率密度函数的积分。概率密度函数一般以小写标记。定义：对于一维实随机变量X，设它的累积分布函数是，如果存在可测函数满足：，那么X是一个连续型随机变量，并且是它的概率密度函数。

几何分布的期望和方差公式分别是E(n)等于1/p、E(m)等于(1-p)/p，几何分布是离散型概率分布。其中一种定义为：在n次伯努利试验中，试验k次才得到第一次成功的机率。详细地说，是：前k-1次皆失败，第k次成功的概率。几何分布是帕斯卡分布当r=1时的特例。数学期望，在概率论和统计学中是指试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。方差是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。

几何分布的期望是1/p，方差公式推导为s^2=[（x1-x）^2+（x2-x）^2+......（xn-x）^2]/（n），其中x为平均数。几何就是研究空间结构及性质的一门学科，而且它是数学中最基本的研究内容之一，与分析、代数等等具有同样重要的地位，并且关系极为密切。

在概率论和统计学中，二项分布是n个独立的是非试验中成功的次数的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为p。这样的单次成功或失败的试验又称为伯努利试验。实际上，当n等于1时，二项分布就是伯努利分布，二项分布是显著性差异的二项试验的基础。 在医学领域中，有一些随机事件是只具有两种互斥结果的离散型随机事件，称为二项分类变量，如对病人治疗结果的有效与无效，某种化验结果的阳性与阴性，接触某传染源的感染与未感染等。二项分布就是对这类只具有两种互斥结果的离散型随机事件的规律性进行描述的一种概率分布。

在医学领域中，有一些随机事件是只具有两种互斥结果的离散型随机事件，称为二项分类变量（dichotomous variable），如对病人治疗结果的有效与无效，某种化验结果的阳性与阴性，接触某传染源的感染与未感染等。二项分布（binomial distribution）就是对这类只具有两种互斥结果的离散型随机事件的规律性进行描述的一种概率分布。考虑只有两种可能结果的随机试验，当成功的概率（π）是恒定的，且各次试验相互独立，这种试验在统计学上称为伯努利试验（Bernoulli trial）。如果进行n次伯努利试验，取得成功次数为X（X=0,1,…，n）的概率可用下面的二项分布概率公式来描述：P=C(X,n)*π^X*(1-π)^(n-X)式中的n为独立的伯努利试验次数，π为成功的概率，（1-π）为失败的概率，X为在n次伯努里试验中出现成功的次数，表示在n次试验中出现X的各种组合情况，在此称为二项系数（binomial coefficient）。所以的含义为：含量为n的样本中，恰好有X例阳性数的概率。

       在n次独立重复的伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为P。用X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，则X的可能取值为0，1，...，n，且对每一个k（0≤k≤n），事件{X=k}即为“n次试验中事件A恰好发生k次”，随机变量X的离散概率分布即为二项分布（Binomial Distribution）。       在概率论和统计学中，二项分布是n个独立的成功/失败试验中成功的次数的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为p。这样的单词成功/失败试验又称为伯努利试验。实际上，当n=1时，二项分布就是伯努利分布              一般地，如果随机变量X服从参数为n和p的二项分布，我们记为X~B（n,p）或X~b(n,p)。n次试验中正好得到k次成功的概率由概率质量函数给出：                                        二项分布，其英文名为Binomial Distribution，提出者是伯努利，应用学科为统计学。

　　在概率论和统计学中，二项分布是n个独立的是非试验中成功的次数的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为p。这样的单次成功或失败的试验又称为伯努利试验。实际上，当n等于1时，二项分布就是伯努利分布，二项分布是显著性差异的二项试验的基础。 　　在医学领域中，有一些随机事件是只具有两种互斥结果的离散型随机事件，称为二项分类变量，如对病人治疗结果的有效与无效，某种化验结果的阳性与阴性，接触某传染源的感染与未感染等。二项分布就是对这类只具有两种互斥结果的离散型随机事件的规律性进行描述的一种概率分布。