定义

用一个平面去截一个圆锥面，得到的交线就称为圆锥曲线。 　　 通常提到的圆锥曲线包括椭圆，双曲线和抛物线，但严格来讲，它还包括一些退化情形。具体而言： 　　1) 当平面与圆锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。 　　 2) 当平面与圆锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。 　 　3) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。 　　 4) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。 　　 5) 当平面只与圆锥面一侧相交，且过圆锥顶点，结果退化为一个点。 　　 6) 当平面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线的一支（另一支为此圆锥面的对顶圆锥面与平面的交线）。 　　 7) 当平面与圆锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线。

到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当01时为双曲线e指的是离心率c/a

圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。 用一个平面去截一个圆锥面，得到的交线就称为圆锥曲线。 通常提到的圆锥曲线包括椭圆，双曲线和抛物线，但严格来讲，它还包括一些退化情形。具体而言： 1) 当平面与圆锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。 2) 当平面与圆锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。 3) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。 4) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。 5) 当平面只与圆锥面一侧相交，且过圆锥顶点，结果退化为一个点。 6) 当平面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线的一支（另一支为此圆锥面的对顶圆锥面与平面的交线）。 7) 当平面与圆锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线。 代数观点 在笛卡尔平面上，二元二次方程ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0的图像是圆锥曲线。根据判别式的不同，也包含了椭圆，双曲线，抛物线以及各种退化情形。 焦点-准线观点 （严格来讲，这种观点下只能定义圆锥曲线的几种主要情形，因而不能算是圆锥曲线的定义。但因其使用广泛，并能引导出许多圆锥曲线中重要的几何概念和性质。） 给定一点P，一直线L以及一非负实常数e，则到P的距离与L距离之比为e的点的轨迹是圆锥曲线，根据e的范围不同，曲线也各不相同，具体如下： 1) e=0，轨迹退化为一点（就是点P）。 2) 0<e<1，轨迹为椭圆。 3) e=1（即到P与到L距离相同），轨迹为抛物线。 4) 1<e<∞，轨迹为双曲线。（注意，虽然只有一个点和一条线，但可以得到双曲线两个分支） 5) e=∞，轨迹退化为一直线（就是L）。

　　圆锥曲线包括椭圆，抛物线，双曲线。那么你对圆锥曲线的定义了解多少呢?以下是由我整理关于圆锥曲线的定义的内容，希望大家喜欢! 　　圆锥曲线的定义 　　几何观点 　　用一个平面去截一个二次锥面，得到的交线就称为圆锥曲线(conic sections)。 　　通常提到的圆锥曲线包括椭圆，双曲线和抛物线，但严格来讲，它还包括一些退化情形。具体而言： 　　1) 当平面与二次锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。 　　2) 当平面与二次锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。 　　3) 当平面只与二次锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。 　　4) 当平面只与二次锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥的对称轴垂直，结果为圆。 　　5) 当平面只与二次锥面一侧相交，且过圆锥顶点，结果为一点。 　　6) 当平面与二次锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线(每一支为此二次锥面中的一个圆锥面与平面的交线)。 　　7) 当平面与二次锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线。 　　代数观点 　　在笛卡尔平面上，二元二次方程 的图像是圆锥曲线。根据判别式的不同，也包含了椭圆、双曲线、抛物线以及各种退化情形。 　　焦点--准线观点 　　(严格来讲，这种观点下只能定义圆锥曲线的几种主要情形，因而不能算是圆锥曲线的定义。但因其使用广泛，并能引导出许多圆锥曲线中重要的几何概念和性质)。 　　给定一点P，一直线L以及一非负实常数e，则到P的距离与L距离之比为e的点的轨迹是圆锥曲线。 　　根据e的范围不同，曲线也各不相同。具体如下： 　　1) e=0，轨迹为圆(椭圆的特例); 　　2) e=1(即到P与到L距离相同)，轨迹为抛物线 ; 　　3) 0<e<1，轨迹为椭圆; 　　4) e>1，轨迹为双曲线的一支。 　　圆锥曲线的概念 　　(以下以纯几何方式叙述主要的圆锥曲线通用的概念和性质，由于大部分性质是在焦点-准线观点下定义的，对于更一般的退化情形，有些概念可能不适用。) 　　考虑焦点--准线观点下的圆锥曲线定义。定义中提到的定点，称为圆锥曲线的焦点;定直线称为圆锥曲线的准线;固定的常数(即圆锥曲线上一点到焦点与准线的距离比值)称为圆锥曲线的离心率;焦点到准线的距离称为焦准距;焦点到曲线上一点的线段称为焦半径。过焦点、平行于准线的直线与圆锥曲线相交于两点，此两点间的线段称为圆锥曲线的通径，物理学中又称为正焦弦。 　　圆锥曲线是光滑的，因此有切线和法线的概念。 　　类似圆，与圆锥曲线交于两点的直线上两交点间的线段称为弦;过焦点的弦称为焦点弦。 　　对于同一个椭圆或双曲线，有两个“焦点-准线”的组合可以得到它。因此，椭圆和双曲线有两个焦点和两条准线。而抛物线只有一个焦点和一条准线。 　　圆锥曲线关于过焦点与准线垂直的直线对称，在椭圆和双曲线的情况，该直线通过两个焦点，该直线称为圆锥曲线的焦轴。对于椭圆和双曲线，还关于焦点连线的垂直平分线对称。 　　Pappus定理：圆锥曲线上一点的焦半径长度等于该点到相应准线的距离乘以离心率。 　　Pascal定理：圆锥曲线的内接六边形，若对边两两不平行，则该六边形对边延长线的交点共线。(对于退化的情形也适用) 　　Brianchon定理：圆锥曲线的外切六边形，其三条对角线共点。 　　圆锥曲线的定理 　　由比利时数学家G.F.Dandelin 1822年得出的冰淇淋定理证明了圆锥曲线几何定义与焦点-准线定义的等价性。 　　即有一以Q为顶点的圆锥(蛋筒)，有一平面π"(你也可以说是饼干)与其相截得到了圆锥曲线，作球与平面π"及圆锥相切，在曲线为椭圆或双曲线时平面与球有两个切点，抛物线只有一个(或者另一个在无穷远处)，则切点为焦点。又球与圆锥之交为圆，设以此圆所在平面π与π"之交为直线d(曲线为圆时d为无穷远线)，则d为准线。 　　图只画了椭圆，证明对抛物线双曲线都适用，即证，任一个切点为焦点，d为准线。 　　证：假设P为曲线上一点，联线PQ交圆O于E。设平面π′与π的交角为α，圆锥的母线(如PQ)与平面π的交角为β。设P到平面π 的垂足为H，H到直线d的垂足为R，则PR为P到d的垂线(三垂线定理)，而∠PRH=α。因为PE、PF同为圆球之切线，得PE=PF。 　　如此则有：PR·sinα=PE·sinβ=PF·sinβ=PH 　　其中：PF/PR=sinα/sinβ为常数。

用一个平面去截一个二次锥面，得到的交线就称为圆锥曲线（conic sections）。通常提到的圆锥曲线包括椭圆，双曲线和抛物线，但严格来讲，它还包括一些退化情形。具体而言：1) 当平面与二次锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。2) 当平面与二次锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。3) 当平面只与二次锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。4) 当平面只与二次锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥的对称轴垂直，结果为圆。5) 当平面只与二次锥面一侧相交，且过圆锥顶点，结果为一点。6) 当平面与二次锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线（每一支为此二次锥面中的一个圆锥面与平面的交线）。7) 当平面与二次锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线。 （严格来讲，这种观点下只能定义圆锥曲线的几种主要情形，因而不能算是圆锥曲线的定义。但因其使用广泛，并能引导出许多圆锥曲线中重要的几何概念和性质）。给定一点P，一直线L以及一非负实常数e，则到P的距离与L距离之比为e的点的轨迹是圆锥曲线。根据e的范围不同，曲线也各不相同。具体如下：1) e=0，轨迹为圆（椭圆的特例）；2) e=1（即到P与到L距离相同），轨迹为抛物线 ；3) 0<e<1，轨迹为椭圆；4) e>1，轨迹为双曲线的一支。

圆锥曲线定义如下：1. 圆锥曲线的第一定义平面内与两定点、F1、F2的距离的和等于常数2a(2a>F1F2)的动点的轨迹叫做椭圆. 平面内到两定点、F1、F2的距离之差的绝对值为常数2a(2a<F1F2)的点的轨迹称为双曲线.2. 圆锥曲线的第二定义平面内到一个定点F和不过F的一条定直线l距离成比值e(e>0)的点的轨迹(或集合)，称之为圆锥曲线.我们在学校里主要学习圆锥曲线的代数定义，但其实也会在考卷里零星出现的。以上就是圆锥曲线的定义，也是我们需要去了解的。

　一、圆锥曲线的定义　　1. 椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。即：{P| |PF₁|+|PF₂|=2a, (2a>|F₁F₂|)}。　　2. 双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。即{P|||PF₁|-|PF₂||=2a, (2a<|F₁F₂|)}。　　3. 圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当0时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。　　二、圆锥曲线的方程。　　1.椭圆： + =1（a>b>0）或 + =1（a>b>0）（其中，a2=b2+c2）　　2.双曲线： - =1（a>0, b>0）或 - =1（a>0, b>0）（其中，c2=a2+b2）　　3.抛物线：y2=±2px（p>0），x2=±2py（p>0）　　三、圆锥曲线的性质　　1.椭圆： + =1（a>b>0）　　（1）范围：|x|≤a，|y|≤b　　（2）顶点：(±a,0)，(0,±b)　　（3）焦点：(±c,0)　　（4）离心率：e= ∈(0,1)　　（5）准线：x=± 　　2.双曲线： - =1（a>0, b>0）　　（1）范围：|x|≥a, y∈R　　（2）顶点：(±a,0)　　（3）焦点：(±c,0)　　（4）离心率：e= ∈(1,+∞)　　（5）准线：x=± 　　（6）渐近线：y=± x　　3.抛物线：y2=2px(p>0)　　（1）范围：x≥0, y∈R　　（2）顶点：（0,0）　　（3）焦点：（ ,0）　　（4）离心率：e=1　　（5）准线：x=- 　　四、例题选讲：　　例1.椭圆短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆中心到准线的距离是__________。　　解：由题：2b=2，b=1，a=2，c= = ，则椭圆中心到准线的距离： = = 。　　注意：椭圆本身的性质（如焦距，中心到准线的距离，焦点到准线的距离等等）不受椭圆的位置的影响。　　例2.椭圆 + =1的离心率e= ，则m=___________。　　解：（1）椭圆的焦点在x轴上，a2=m，b2=4，c2=m-4，e2= = = m=8。　　（2）椭圆的焦点在y轴上，a2=4，b2=m，c2=4-m，e2= = = m=2。　　注意：椭圆方程的标准形式有两个，在没有确定的情况下，两种情况都要考虑，切不可凭主观丢掉一解。　　例3.如图：椭圆 + =1（a>b>0），F1为左焦点，A、B是两个顶点，P为椭圆上一点，PF1⊥x轴，且PO//AB，求椭圆的离心率e。　　解：设椭圆的右焦点为F2，由第一定义：|PF1|+|PF2|=2a, 　　∵ PF1⊥x轴，∴ |PF1|2+|F1F2|2=|PF2|2，　　即(|PF2|+|PF1|)(|PF2|-|PF1|)=4c2,　　∴ |PF1|= 。　　∵ PO//AB，∴ ΔPF1O∽ΔBOA,　　∴ = c=b a= c, ∴ e= = 。　　又解，∵ PF1⊥x轴，∴ 设P(-c, y)。　　由第二定义： =e |PF1|=e(x0+ )= (-c+ )= ,　　由上解中ΔPF1O∽ΔBOA，得到b=c e= 。　　例4.已知F1，F2为椭圆 + =1的焦点，P为椭圆上一点，且∠F1PF2= ，求ΔF1PF2的面积。　　分析：要求三角形的面积，可以直接利用三角形的面积公式，注意到椭圆中一些量之间的关系，我们选用面积公式S= absinC。　　解法 一：SΔ= |PF1|·|PF2|·sin 　　|PF1|+|PF2|=2a=20，　　4×36=4c2=|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos ，　即(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1||PF2|=4×36，　　|PF1|·|PF2|= 　　∴ SΔ= × × = 。　　解法二：SΔ= |F1F2|·|yP|= ×12×yP=6|yP|，　　由第二定义： =e |PF1|=a+exP=10+ xP，　　由第一定义：|PF2|=2a-|PF1|=10- xP，　　4c2=|F1F2|2=(10+ xP)2+(10- xP)2-2(10+ xP)(10- xP)cos ，　　144=100+ = ， =64(1- )=64× ，　　SΔ=6|yP|=6× = 。　　注意：两个定义联合运用解决问题。从三角形面积公式均可得到结果。初学时最好两种

圆锥曲线统一定义：（第二定义） 平面上到定点（焦点）的距离与到定直线（准线）的距离为定值（离心率e）的点的集合.而根据e的大小分为椭圆,抛物线,双曲线.圆可看作e为0的曲线. 1.0<e<1为椭圆,直角坐标系中标准方程为： x^2/a^2+y^2/b^2=1(0<b<a),焦点在x轴上,焦点（c,0）（－c,0）准线x=+-a^2 c,e="c/a"> y^2/a^2+y^2/b^2=1(0<b<a),焦点在y轴上,焦点（0,c）（0.－c）准线y=+-a^2 c,e="c/a"> a^2=b^2+c^2 椭圆上任意一点到两焦点距离之和为2a（定值）,且大于焦距2c,这是第一定义 光学性质：过焦点的任意一条光线经椭圆反射必过另一焦点 2.e=1为抛物线,直角坐标系中标准方程为： y^2=2px,对称轴为x轴,焦点（p/2,0）,准线x=-p/2 x^2=2py,对称轴为y轴,焦点,（0,p/2）准线y=-p/2 光学性质：任意平行对称轴的光线经抛物线反射必过焦点（或反向延长线过焦点） 3.1<e为双曲线,直角坐标系中标准方程为： x^2/a^2－y^2/b^2=1(0<b<a),焦点在x轴上,焦点（c,0）（－c,0）准线x=+-a^2 c,e="c/a"> y^2/a^2－y^2/b^2=1(0<b<a),焦点在y轴上,焦点（0,c）（0.－c）准线y=+-a^2 c,e="c/a"> c^2=b^2+a^2 双曲线上任意一点到两焦点距离之差的绝对值为2a（定值）,且小于焦距2c,这是第一定义 光学性质：过焦点的任意一条光线经双曲线反射其反向延长线必过另一焦点</b </b </e为双曲线,直角坐标系中标准方程为： </b </b </e<1为椭圆,直角坐标系中标准方程为：

圆锥曲线的三个定义分别是：1.到平面内一定点的距离r与到定直线的距离d之比是常数e=r/d的点的轨迹叫做圆锥曲线。其中当e>1时为双曲线，当e=1时为抛物线，当0<e<1时为椭圆。2.圆锥曲线是由一平面截二次锥面得到的曲线。当平面与二次锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。当平面与二次锥面的母线平行，过圆锥顶点，结果退化为一条直线。3.平面内一个动点至一个定点与一条的定真线的距离之比是一个大于1的正常数e，平面内一个动点至两个定点(焦点)的距离和等同于定长2a的点的子集叫作圆锥曲线。圆锥曲线包括椭圆、抛物线、双曲线这三类。其定点叫做该圆锥曲线的焦点，其定直线就叫做该焦点相应的准线，e就叫做离心率。2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量成果。其中，古希腊数学家阿波罗尼斯就采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。

教材分析：在《椭圆的定义及标准方程》这一节内容之前，学生已学习了直线、圆、向量等解析几何方面的知识，在这节之后还要继续学习双曲线和抛物线，所以这课的内容起着承上启下作用。学生对这节内容的学习，既是对数形结合思想的深入把握，也为双曲线和抛物线的学习做好铺垫。从教材内容的编排看，从椭圆的实际事例到椭圆直观图像，再从椭圆图像地作法到椭圆方程的探索，内容环环相扣，渐渐深入，符合中职学生的认知水平和规律。在实际教学中，将教材内容稍微增添些实例润色，进一步削减知识递进坡度，更有助于学生理解。 学情分析：虽然前面已学习了解析几何内容，但许多学生对用方程表示曲线这种思想还是把握不够，很多学生难以将两者对等起来。学生抽象能力明显不足；在等量关系的寻找和公式运用方面缺乏主动性和运算推理能力；部分学生对这部分知识有着较强的抵触心理。 预设教学：根据学生实际情况，这节课的教学我准备从直观的实物入手，由物构图，在质疑和不断探索中分析椭圆的特征及其数学作图法，最终再依据学生实际学习情况，尽可能帮助学生推导并理解椭圆标准方程的结构。另外，为激发学生的学习兴趣，在课前准备一个主题活动：“我想要一些椭圆形物件，你们能找些给我吗？”让学生搜寻椭圆形物件，做好课前初步认识的准备。  准备工具：1.准备几个椭圆形物件（椭圆形小碟子、书签、小镜子、卡通笑脸，一个鸡蛋等）。2.一套演示工具（一块木板，一根绳子；两颗固定绳子 用的钉子）。3.关于椭圆形状的图片 PPT 课件；椭圆绘制的动画课件。4.关于椭圆标准方程的微视频。 活动一：学生拿出准备好的椭圆状物件出来展示给我（个别没有带的，就临时在纸上画了个椭圆图案剪下），同时我也展示所带的物件，与学生欣赏、互动。 活动二：用课件演示（PPT 图片式）自然和生活中常见的椭圆形物件，让学生观察椭圆形物件的对椭圆进行描述，再从几何角度思考，口头描述椭圆的特征，然后教师和学生一起归纳总结。 活动三：让学生快速画他们手中的椭圆形物件，并提醒他们思考怎样才能准确地画一个椭圆？以此为基础，逐渐导入本课主题：“同学们，怎样才能真正画出一个比较标准的椭圆呢？之前画圆的方法能用得上吗？想知道数学上是如何对椭圆定义的吗？ 第一环节：椭圆定义的推演 活动四：用准备好的无弹性绳子、钉子和平面薄板，教师先进行椭圆绘制操作，一边作图表演，一边幽默诙谐地告诉学生别眨眼，一起“见证奇迹”！ 然后让好奇的学生上来亲自操作实验，画出一个椭圆形图像。 活动五：通过动画课件（椭圆绘制的动画小程序），进一步体验椭圆的绘制生成。从科学化的角度体验椭圆的画法。同时，在演示时要求学生注意看清在变化过程中哪些是动的，哪些是不动的？哪些是不断变化的，哪些是不变的？思考并归纳总结各种情况的结果。 活动六：与学生一起归纳椭圆绘图过程中的特点和要点，然后用数学语言进行描述、提炼，最后得到椭圆的定义：“平面内到两定点距离之和等于常数的点的轨迹，叫作椭圆”；再进一步分析定义中的一些关键词语——定点、距离之和、常数、轨迹（或集合）等；分析其中的数量关系，精确理解定义。 第二阶段：椭圆方程的推导 引导语：我们从数学描述角度，已经对椭圆进行了科学定义，但这不是我们要探索的终点，就如前面所学的直线和圆一样，我们还可以进一步把它“数学化”，也就是用方程的形式把他们表示出来。 我们一起来看看，漂亮的椭圆，是不是也可以找到一个漂亮的方程来表示它呢？如果可以的话，这方程又该是怎么样的呢？ 活动七：让学生回忆之前求直线和圆的方程时，首先是要将直线或圆放在什么地方求的，方法步骤是怎么样的；回忆并默写步骤。 活动八：师生一起推导椭圆方程：首先是如何建立坐标系，将椭圆放到坐标系中（根据中职数学的教学要求，只要求出中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆方程即可，但对学生来说还是很抽象）。先分析椭圆的形状，再一步步引导学生怎么将椭圆“放进”坐标系中，并分析两种可能的放置情况，然后利用课件进行演示建立坐标系的过程，使学生加深对这一过程的印象。 设计意图：让学生接受知识的同时，感受到探索知识的乐趣。 第三阶段：实例共析 在教师的带领下，以启发思维的方式，完成下面两活动： 活动九：让学生将刚才画的椭圆用方程表示出来（量出绳子长和两个固定点距离，尽量取整数）——按两种焦点位置情况分别写出方程。 活动十：写出一些椭圆方程，让学生判别方程对应的椭圆焦点位置以及参数间的数量关系；并再次强调椭圆方程与位置的关系，总结其中的规律。通过反复提问，加深学生对方程特点的理解。 设计意图：本环节共用时约 25 分钟。由实际操作的动作思维，到对动态关系的分析思维，再到理论提炼的抽象思维，步步推进。由直观到抽象，由具体到概括，从低级到高级，循序渐进地锻炼学生的抽象能力以及简单的数据分析能力。中职学生虽然抽象逻辑思维较弱，抽象逻辑思维的品质需要不断提升，在此处的教学设计上，拉低坡度的同时，增强思维上的引导， 第四阶段：课堂训练 1.学生默写椭圆得定义和标准方程。 2.在刚才演示的课件上设定一组参数的长度和以及两定点距离），画出椭圆后，让学生分别写出该椭圆在两种坐标位置下的方程。 3.完成一组根据椭圆方程判别焦点位置和参数关系的习题。 设计意图：本阶段用时约 8 分钟。主要是在实际任务中进行数学建模的素养训练，让学生以独立思考和相互合作两种模式进行，既锻炼学生的数学能力，也同时造就学生的思维品质。 第五阶段：课堂小结 一是知识小结，这节课认识了什么是椭圆，如何画椭圆，椭圆的标准方程的及其参数关系等关于椭圆的数学知识和方法。二是情感收获，学生在学习本节课时认真观察的态度和探索精神值得表扬和鼓励；好多同学积极主动地对椭圆图形特征进行探索，对椭圆方程的推理努力地演算，学习精神可嘉，值得大家学习。 设计意图：让学生在应用数学知识解决实际问题中，培育良好的思维品质，同时激发学生进一步探索新知识的兴趣。 第六阶段：课后拓展 1.完成一组练习。 2.思考为什么有些椭圆接近圆而有些有很扁呢，是什么原因？有什么规律？按上课讲的实验动手画画，改变条件试试，探索这其中的奥妙！ 3.结合方程，进一步从几何角度分析椭圆的特征。 教学感悟 中职学生的现状特点要求我们要因地制宜，因人而异，将情感、知识、兴趣有机结合，才能真正使大多数学生不至于放弃。 实现较为有效的课堂教学，贯彻核心素养的理念，实现对中职学生的数学核心素养目标教育。

具体回答如图：扩展资料：如果一个函数f在某个区间上黎曼可积，并且在此区间上大于等于零。那么它在这个区间上的积分也大于等于零。如果f勒贝格可积并且几乎总是大于等于零，那么它的勒贝格积分也大于等于零。对于一个函数f，如果在闭区间[a,b]上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数f的黎曼和都会趋向于一个确定的值S，那么f在闭区间[a,b]上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限S。

例如二阶常系数齐次线性方程的形式为：y""+py"+qy=0其中p，q为常数，其特征方程为 λ^2+pλ+q=0依据判别式的符号，其通解有三种形式：1、△=p^2-4q>0，特征方程有两个相异实根λ1，λ2，通解的形式为y(x)=C1*[e^(λ1*x)]+C2*[e^(λ2*x)]；2、△=p^2-4q=0，特征方程有重根，即λ1=λ2，通解为y(x)=(C1+C2*x)*[e^(λ1*x)]；3、△=p^2-4q<0，特征方程具有共轭复根α+-(i*β)，通解为y(x)=[e^(α*x)]*(C1*cosβx+C2*sinβx)。常微分方程的定义：定义1：凡含有参数，未知函数和未知函数导数 (或微分) 的方程，称为微分方程，有时简称为方程，未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称作偏微分方程。微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶。定义2：任何代入微分方程后使其成为恒等式的函数，都叫做该方程的解.若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同，且任意常数之间不能合并，则称此解为该方程的通解(或一般解).当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，称为方程的特解。

f[x_,y_]:= x^2 + y^2类似如此的形式即可！

-x-y>0,且Iy/xl<=1,x不等于0，即y<-x,且IyI<=IxI,x不等于0，当x>0,无解；当x<0,x<y<-x.故定义域为{(x,y)Ix+y<0且x-y<0}

设D为一个非空的n 元有序数组的集合， f为某一确定的对应规则。若对于每一个有序数组 ( x1,x2,…,xn)∈D，通过对应规则f，都有唯一确定的实数y与之对应，则称对应规则f为定义在D上的n元函数。记为y=f(x1,x2,…,xn) 其中 ( x1,x2,…,xn)∈D。 变量x1,x2,…,xn称为自变量，y称为因变量。当n=1时，为一元函数，记为y=f(x),x∈D，当n=2时，为二元函数，记为z=f(x,y),(x,y)∈D。二元及以上的函数统称为多元函数。就是多个变量的函数，你可以结合图象可能稍微好理解点图象参见知乎网页链接

设D为一个非空的n 元有序数组的集合， f为某一确定的对应规则。若对于每一个有序数组（x1,x2,…,xn）∈D，通过对应规则f，都有唯一确定的实数y与之对应，则称对应规则f为定义在D上的n元函数。记为y=f（x1,x2,…,xn） ，（x1,x2,…,xn）∈D 。 变量x1,x2,…,xn称为自变量；y称为因变量。（xi,其中i是下标。下同）当n=1时，为一元函数，记为y=f(x),x∈D;当n=2时，为二元函数，记为z=f(x,y),(x,y)∈D.图象如图。二元及以上的函数统称为多元函数。 设D是n维空间的一个点集，f为某一确定的对应法则。如果对于每个点P(x1,x2,…,xn)∈D，变量z按照对应法则f总有唯一确定的值和它对应，则称z是变量x1,x2,…,xn的n元函数。记为z=f（x1,x2,…,xn），(x1,x2,…,xn) ∈D，或z=f（P），P∈D。　若函数f的定义域D是实数集R的一个子集，即只依赖于一个自变量，就说f是一元函数。若函数f的定义域D是n个R的笛卡尔（R. Descartes）积R×R×…×R=R^n的子集,即依赖于n个独立自变量，就说f是n元函数。当n≥2时，n元函数泛称为多元函数。二元函数的定义域通常是由平面上的一条或几条光滑曲线所围成的平面区域，围成区域的曲线称为区域的边界，包括边界在内的区域称为闭区域，否则称为开区域。

多元函数连续、偏导数存在、可微之间的关系一般有：1、若多元函数f在其定义域内某点可微，则多元函数f在该点偏导数存在，反过来则不一定成立。2、若多元函数函数f在其定义域内的某点可微,则多元函数f在该点连续，反过来则不一定成立。3、多元函数f在其定义域内某点是否连续与偏导数是否存在无关。4、可微的充要条件：函数的偏导数在某点的某邻域内存在且连续，则多元函数f在该点可微。祝好。

function y=chen(x,z)y=x*z;将上述函数存为M文件，即可被同一目录下的其它程序调用

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所有能解释的都写上面了

多元函数驻点的定义是所有一阶偏导数都为零的点。驻点又称为平稳点、稳定点或临界点，是函数的一阶导数为零，即在“这一点”，函数的输出值停止增加或减少。对于一维函数的图像，驻点的切线平行于x轴。对于二维函数的图像，驻点的切平面平行于xy平面。求多元函数的条件驻点的常用方法求多元函数的条件驻点的常用方法有：1、拉格朗日乘数法；2、代入消元法求无条件驻点。其中拉氏乘数法使用最多，影响最大。用矩阵法求条件驻点的方法，在没有增加额外的未知量的情况下求得其所有驻点，矩阵法求条件驻点的过程，就是搜索技术的应用，具有可探作性。

对数中的真数大于0即1-x-y＞0x+y＜1所以函数定义域为：D={（x，y）|x+y＜1}

设y是u的函数，u是x的函数，如果的值全部或部分在的定义域内，则y通过u成为x的函数，记作，称为由函数与复合而成的复合函数。那么复合函数的定义是什么呢？ 1、 如等都是复合函数。而就不是复合函数，因为任何x都不能使y有意义。由此可见，不是任何两个函数放在一起都能构成一个复合函数。 2、 复合函数通俗地说就是函数套函数，是把几个简单的函数复合为一个较为复杂的函数。 3、 复合函数中不一定只含有两个函数，有时可能有两个以上，如y=f(u)，u=φ(v)，v=ψ(x)，则函数y=f{φ[ψ(x)]}是x的复合函数，u、v都是中间变量。 关于复合函数的定义是什么的相关内容就介绍到这里了。

设y=f(u) 而u=φ（x) 且函数φ（x)的值域包含在f(u)的定义域内, 那么y通过u的联系也是自变量x的函数, 我们称y为x的复合函数,记为y=f[φ（x)], 其中u称为中间变量

复合函数定义：设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u。有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数(composite function)，记为：y=f[g(x)]，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量（即函数）。求函数的定义域主要应考虑以下几点：1、当为整式或奇次根式时，R的值域。2、当为偶次根式时，被开方数不小于0（即≥0）。3、当为分式时，分母不为0；当分母是偶次根式时，被开方数大于0。复合函数求导的前提：复合函数本身及所含函数都可导。法则1：设u=g(x)，对f(u)求导得：f"(x)=f"(u)*g"(x)。法则2：设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f"(x)=f"(a)*p"(u)*g"(x)。

设y=f(u) 而u=φ（x) 且函数φ（x)的值域包含在f(u)的定义域内, 那么y通过u的联系也是自变量x的函数, 我们称y为x的复合函数,记为y=f[φ（x)], 其中u称为中间变量

设y=f(μ),μ=φ(x),当x在μ=φ(x)的定义域Dφ中变化时，μ=φ(x)的值在y=f(μ)的定义域Df内变化，因此变量x与y之间通过变量μ形成的一种函数关系，记为 y=f(μ)=f[φ(x)]称为复合函数，其中x称为自变量，μ为中间变量，y为因变量(即函数)

综述设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u；有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数(composite function)，记为：y=f[g(x)]，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量（即函数）。复合函数的定义域若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数y=f[g(x)]的定义域是D={x|x∈A,且g(x)∈B} 综合考虑各部分的x的取值范围，取他们的交集。求函数的定义域主要应考虑以下几点：⑴当为整式或奇次根式时，R的值域；⑵当为偶次根式时，被开方数不小于0（即≥0）；⑶当为分式时，分母不为0；当分母是偶次根式时，被开方数大于0；⑷当为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为0（如，中）。⑸当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的集合，即求各部分定义域集合的交集。⑹分段函数的定义域是各段上自变量的取值集合的并集。⑺由实际问题建立的函数，除了要考虑使解析式有意义外，还要考虑实际意义对自变量的要求⑻对于含参数字母的函数，求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论，并要注意函数的定义域为非空集合。⑼对数函数的真数必须大于零，底数大于零且不等于1。⑽三角函数中的切割函数要注意对角变量的限制。

设y=f(u) 而u=φ（x) 且函数φ（x)的值域包含在f(u)的定义域内, 那么y通过u的联系也是自变量x的函数, 我们称y为x的复合函数,记为y=f[φ（x)], 其中u称为中间变量

复合函数的定义如下：设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u；有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数(composite function)，记为：y=f[g(x)]，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量（即函数）。判断复合函数的单调性的步骤如下：⑴求复合函数的定义域；⑵将复合函数分解为若干个常见函数（一次、二次、幂、指、对函数）；⑶判断每个常见函数的单调性；⑷将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；⑸求出复合函数的单调性。

复合函数是由两个或两个以上初等函数复合而成的。定义　　设y=f(u),u=g(x),当x在u=g(x)的定义域Dg中变化时，u=g(x)的值在y=f(u)的定义域Df内变化，因此变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，记为　　y=f(u)=f[g(x)]称为复合函数，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量(即函数)编辑本段生成条件　　不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数，只有当μ=φ(x)的值域存在非空子集Zφ是y=f(μ)的定义域Df的子集时，二者才可以构成一个复合函数。

？

定义 设y=f(μ),μ=φ(x),当x在μ=φ(x)的定义域Dφ中变化时，μ=φ(x)的值在y=f(μ)的定义域Df内变化，因此变量x与y之间通过变量μ形成的一种函数关系，记为 y=f(μ)=f[φ(x)]称为复合函数，其中x称为自变量，μ为中间变量，y为因变量(即函数) 不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数，只有当μ=φ(x)的值域Zφ含于y=f(μ)的定义域Df时，二者才可以复合成一个复合函数。 若函数y=f(u)的定义域是B，函数u=g(x)的定义域是A，则复合函数y=f[g(x)]的定义域是 D={x|x∈A,且g(x)∈B} 设y=f(x),的最小正周期为T1，μ=φ(x）的最小正周期为T2，则y=f(μ)的最小正周期为T1*T2，任一周期可表示为k*T1*T2（k属于R+）一句话，一个函数的自变量为一个函数式子，差不多的意思

[编辑本段]反函数定义 一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x= f(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x= f(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x= f(y)就表示y是自变量，x是因变量y的函数，这样的函数x= f(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f^-1(x). 反函数y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域. [编辑本段]反函数性质 （1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称； （2）函数存在反函数的必要条件是，函数的定义域与值域是一一映射； （3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致； （4）大部分偶函数不存在反函数（唯一有反函数的偶函数是f(x)=a,x∈{0}）。奇函数不一定存在反函数。被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。 (5)一切隐函数具有反函数； (6)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性； （7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】。 （8）反函数是相互的 （9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反） (10)原函数一旦确定，反函数即确定（三定） 例：y=2x-1的反函数是y=0.5x+0.5 y=2^x的反函数是y=log2 x 例题：求函数3x-2的反函数 解：y=3x-2的定义域为R，值域为R. 由y=3x-2解得 x=1/3(y+2) 将x,y互换,则所求y=3x-2的反函数是 y=1/3(x+2)（x属于R） （11）反函数的导数关系：如果X=F(X）在区间I上单调，可导，且F‘（Y）不等于0，那么他的反函数Y=F"（X）在区间S={X|X=F(Y),Y属于I }内也可导，且[F‘（X)]"=1F"（Y）。 [编辑本段]反函数说明 ⑴在函数x=f"(y)中，y是自变量，x是函数，但习惯上，我们一般用x表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调函数x=f‘(y)中的字母x,y，把它改写成y=f"(x)，今后凡无特别说明，函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式。 ⑵反函数也是函数，因为它符合函数的定义. 从反函数的定义可知，对于任意一个函数y=f(x)来说，不一定有反函数，若函数y=f(x)有反函数y=f‘(x)，那么函数y=f"(x)的反函数就是y=f(x)，这就是说，函数y=f(x)与y=f‘(x)互为反函数。 ⑶从映射的定义可知，函数y=f(x)是定义域A到值域C的映射，而它的反函数y=f‘(x)是集合C到集合A的映射，因此，函数y=f(x)的定义域正好是它的反函数y=f"(x)的值域；函数y=f(x)的值域正好是它的反函数y=f"(x)的定义域（如下表）： 函数：y=f(x) 反函数：y=f"(x) 定义域： A C 值域： C A ⑷上述定义用“逆”映射概念可叙述为： 若确定函数y=f(x)的映射f是函数的定义域到值域“上”的“一一映射”，那么由f的“逆”映射f^-1所确定的函数x=f"(x)就叫做函数y=f(x)的反函数. 反函数x=f‘(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域. 开始的两个例子：s=vt记为f(t)=vt,则它的反函数就可以写为f"(t)=t/v，同样y=2x+6记为f(x)=2x+6，则它的反函数为：f‘(x)=x/2-3. 有时是反函数需要进行分类讨论，如：f(x)=X+1/X，需将X进行分类讨论：在X大于0时的情况，X小于0的情况，多是要注意的。一般分数函数的反函数的表示为y=ax+b/cx+d(a/c不等于b/d)--y=b-dx/cx+a [编辑本段]反函数应用 直接求原函数的值域困难时，可以通过求其反函数的定义域来确定原函数的值域，求反函数的步骤是这样的： 1、先求出反函数的定义域，因为原函数的值域就是反函数的定义域； （我们知道函数的三要素是定义域、值域、对应法则，所以先求反函数的定义域是求反函数的第一步） 2、反解x，也就是用y来表示x； 3、改写，交换位置，也就是把x改成y，把y改成x； 4、写出原函数及其值域。 实例：y=2x+1（值域：任意实数） x=(y-1)/2 y=(x-1)/2（x取任意实数） 特别地，形如kx+ky=b的直线方程和任意一个反比例函数，它的反函数都是它本身。

反函数公式是x=f ^(-1)(y)。反函数求法：首先看这个函数是不是单调函数，如果不是则反函数不存在如果是单调函数，则只要把x和y互换，然后解出y即可。例如y=x^2，x=正负根号y，则f(x)的反函数是正负根号x，求完后注意定义域和值域，反函数的定义域就是原函数的值域，反函数的值域就是原函数的定义域。反函数性质（1）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射。（2）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致。（3）大部分偶函数不存在反函数（当函数y=f(x)，定义域是｛0}且f(x)=C（其中C是常数），则函数f(x)是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是｛C}，值域为｛0}）。奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。

[编辑本段]反函数定义 一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x= f(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x= f(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x= f(y)就表示y是自变量，x是因变量y的函数，这样的函数x= f(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f^-1(x). 反函数y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域. [编辑本段]反函数性质 （1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称； （2）函数存在反函数的必要条件是，函数的定义域与值域是一一映射； （3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致； （4）大部分偶函数不存在反函数（唯一有反函数的偶函数是f(x)=a,x∈{0}）。奇函数不一定存在反函数。被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。 (5)一切隐函数具有反函数； (6)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性； （7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】。 （8）反函数是相互的 （9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反） (10)原函数一旦确定，反函数即确定（三定） 例：y=2x-1的反函数是y=0.5x+0.5 y=2^x的反函数是y=log2 x 例题：求函数3x-2的反函数 解：y=3x-2的定义域为R，值域为R. 由y=3x-2解得 x=1/3(y+2) 将x,y互换,则所求y=3x-2的反函数是 y=1/3(x+2)（x属于R） （11）反函数的导数关系：如果X=F(X）在区间I上单调，可导，且F‘（Y）不等于0，那么他的反函数Y=F"（X）在区间S={X|X=F(Y),Y属于I }内也可导，且[F‘（X)]"=1F"（Y）。 [编辑本段]反函数说明 ⑴在函数x=f"(y)中，y是自变量，x是函数，但习惯上，我们一般用x表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调函数x=f‘(y)中的字母x,y，把它改写成y=f"(x)，今后凡无特别说明，函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式。 ⑵反函数也是函数，因为它符合函数的定义. 从反函数的定义可知，对于任意一个函数y=f(x)来说，不一定有反函数，若函数y=f(x)有反函数y=f‘(x)，那么函数y=f"(x)的反函数就是y=f(x)，这就是说，函数y=f(x)与y=f‘(x)互为反函数。 ⑶从映射的定义可知，函数y=f(x)是定义域A到值域C的映射，而它的反函数y=f‘(x)是集合C到集合A的映射，因此，函数y=f(x)的定义域正好是它的反函数y=f"(x)的值域；函数y=f(x)的值域正好是它的反函数y=f"(x)的定义域（如下表）： 函数：y=f(x) 反函数：y=f"(x) 定义域： A C 值域： C A ⑷上述定义用“逆”映射概念可叙述为： 若确定函数y=f(x)的映射f是函数的定义域到值域“上”的“一一映射”，那么由f的“逆”映射f^-1所确定的函数x=f"(x)就叫做函数y=f(x)的反函数. 反函数x=f‘(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域. 开始的两个例子：s=vt记为f(t)=vt,则它的反函数就可以写为f"(t)=t/v，同样y=2x+6记为f(x)=2x+6，则它的反函数为：f‘(x)=x/2-3. 有时是反函数需要进行分类讨论，如：f(x)=X+1/X，需将X进行分类讨论：在X大于0时的情况，X小于0的情况，多是要注意的。一般分数函数的反函数的表示为y=ax+b/cx+d(a/c不等于b/d)--y=b-dx/cx+a [编辑本段]反函数应用 直接求原函数的值域困难时，可以通过求其反函数的定义域来确定原函数的值域，求反函数的步骤是这样的： 1、先求出反函数的定义域，因为原函数的值域就是反函数的定义域； （我们知道函数的三要素是定义域、值域、对应法则，所以先求反函数的定义域是求反函数的第一步） 2、反解x，也就是用y来表示x； 3、改写，交换位置，也就是把x改成y，把y改成x； 4、写出原函数及其值域。 实例：y=2x+1（值域：任意实数） x=(y-1)/2 y=(x-1)/2（x取任意实数） 特别地，形如kx+ky=b的直线方程和任意一个反比例函数，它的反函数都是它本身。

[编辑本段]反函数定义 一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x= f(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x= f(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x= f(y)就表示y是自变量，x是因变量y的函数，这样的函数x= f(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f^-1(x). 反函数y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域. [编辑本段]反函数性质 （1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称； （2）函数存在反函数的必要条件是，函数的定义域与值域是一一映射； （3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致； （4）大部分偶函数不存在反函数（唯一有反函数的偶函数是f(x)=a,x∈{0}）。奇函数不一定存在反函数。被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。 (5)一切隐函数具有反函数； (6)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性； （7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】。 （8）反函数是相互的 （9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反） (10)原函数一旦确定，反函数即确定（三定） 例：y=2x-1的反函数是y=0.5x+0.5 y=2^x的反函数是y=log2 x 例题：求函数3x-2的反函数 解：y=3x-2的定义域为R，值域为R. 由y=3x-2解得 x=1/3(y+2) 将x,y互换,则所求y=3x-2的反函数是 y=1/3(x+2)（x属于R） （11）反函数的导数关系：如果X=F(X）在区间I上单调，可导，且F‘（Y）不等于0，那么他的反函数Y=F"（X）在区间S={X|X=F(Y),Y属于I }内也可导，且[F‘（X)]"=1F"（Y）。 [编辑本段]反函数说明 ⑴在函数x=f"(y)中，y是自变量，x是函数，但习惯上，我们一般用x表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调函数x=f‘(y)中的字母x,y，把它改写成y=f"(x)，今后凡无特别说明，函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式。 ⑵反函数也是函数，因为它符合函数的定义. 从反函数的定义可知，对于任意一个函数y=f(x)来说，不一定有反函数，若函数y=f(x)有反函数y=f‘(x)，那么函数y=f"(x)的反函数就是y=f(x)，这就是说，函数y=f(x)与y=f‘(x)互为反函数。 ⑶从映射的定义可知，函数y=f(x)是定义域A到值域C的映射，而它的反函数y=f‘(x)是集合C到集合A的映射，因此，函数y=f(x)的定义域正好是它的反函数y=f"(x)的值域；函数y=f(x)的值域正好是它的反函数y=f"(x)的定义域（如下表）： 函数：y=f(x) 反函数：y=f"(x) 定义域： A C 值域： C A ⑷上述定义用“逆”映射概念可叙述为： 若确定函数y=f(x)的映射f是函数的定义域到值域“上”的“一一映射”，那么由f的“逆”映射f^-1所确定的函数x=f"(x)就叫做函数y=f(x)的反函数. 反函数x=f‘(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域. 开始的两个例子：s=vt记为f(t)=vt,则它的反函数就可以写为f"(t)=t/v，同样y=2x+6记为f(x)=2x+6，则它的反函数为：f‘(x)=x/2-3. 有时是反函数需要进行分类讨论，如：f(x)=X+1/X，需将X进行分类讨论：在X大于0时的情况，X小于0的情况，多是要注意的。一般分数函数的反函数的表示为y=ax+b/cx+d(a/c不等于b/d)--y=b-dx/cx+a [编辑本段]反函数应用 直接求原函数的值域困难时，可以通过求其反函数的定义域来确定原函数的值域，求反函数的步骤是这样的： 1、先求出反函数的定义域，因为原函数的值域就是反函数的定义域； （我们知道函数的三要素是定义域、值域、对应法则，所以先求反函数的定义域是求反函数的第一步） 2、反解x，也就是用y来表示x； 3、改写，交换位置，也就是把x改成y，把y改成x； 4、写出原函数及其值域。 实例：y=2x+1（值域：任意实数） x=(y-1)/2 y=(x-1)/2（x取任意实数） 特别地，形如kx+ky=b的直线方程和任意一个反比例函数，它的反函数都是它本身。

　　学好数学要依靠理解，“数学理解”应受到数学 教育 界的普遍关注。“反函数”是函数知识的重要组成部分，也是函数教学中的重点和难点，反函数的定义是什么?以下是我为大家整理的关于反函数的定义，欢迎大家前来阅读!　　反函数的概念 　　所谓反函数就是将原函数中自变量与变量调换位置，用原函数的变量表示自变量而形成的函数。存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的)。 　　函数的定义 　　一般地，如果x与y关于某种对应关系f(x)相对应，y=f(x)。则y=f(x)的反函数为y=f^-1(x)。 　　存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的) 　　【反函数的性质】 　　(1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称; 　　(2)函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射; 　　(3)一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致; 　　(4)一般的偶函数一定不存在反函数(但一种特殊的偶函数存在反函数,例f(x)=a(x=0)它的反函数是f(x)=0(x=a)这是一种极特殊的函数)，奇函数不一定存在反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。 　　(5)一切隐函数具有反函数; 　　(6)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性; 　　(7)严格增(减)的函数一定有严格增(减)的反函数【反函数存在定理】。 　　(8)反函数是相互的 　　(9)定义域、值域相反对应法则互逆(三反) 　　(10)原函数一旦确定，反函数即确定(三定) 　　例：y=2x-1的反函数是y=0.5x+0.5 　　y=2^x的反函数是y=log2 x 　　例题：求函数3x-2的反函数 　　解：y=3x-2的定义域为R，值域为R. 　　由y=3x-2解得 　　x=1/3(y+2) 　　将x,y互换,则所求y=3x-2的反函数是 　　y=1/3(x+2) 　　反函数的基本性质 　　一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x= (y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x= (y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x= (y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x= (y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作x=f^-1(y). 反函数y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域. 　　说明：⑴在函数x=f^-1(y)中，y是自变量，x是函数，但习惯上，我们一般用x表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调函数x=f^-1(y)中的字母x,y，把它改写成y=f^-1(x)，今后凡无特别说明，函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式. 　　⑵反函数也是函数，因为它符合函数的定义. 从反函数的定义可知，对于任意一个函数y=f(x)来说，不一定有反函数，若函数y=f(x)有反函数y=f^-1(x)，那么函数y=f^-1(x)的反函数就是y=f(x)，这就是说，函数y=f(x)与y=f^-1(x)互为反函数. 　　⑶从映射的定义可知，函数y=f(x)是定义域A到值域C的映射，而它的反函数y=f^-1(x)是集合C到集合A的映射，因此，函数y=f(x)的定义域正好是它的反函数y=f^-1(x)的值域;函数y=f(x)的值域正好是它的反函数y=f^-1(x)的定义域(如下表)： 　　函数y=f(x) 　　反函数y=f^-1(x) 　　定义域 　　A C 　　值 域 　　C A 　　⑷上述定义用“逆”映射概念可叙述为： 　　若确定函数y=f(x)的映射f是函数的定义域到值域“上”的“一一映射”，那么由f的“逆”映射f^-1所确定的函数x=f^-1(x)就叫做函数y=f(x)的反函数. 反函数x=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域. 　　开始的两个例子：s=vt记为f(t)=vt,则它的反函数就可以写为f^-1(t)=t/v，同样y=2x+6记为f(x)=2x+6，则它的反函数为：f^-1(x)=x/2-3. 　　有时是反函数需要进行分类讨论，如：f(x)=X+1/X，需将X分类讨论：在X大于0时的情况，X小于0的情况，多是要注意的。一般分数函数的反函数的表示为y=ax+b/cx+d(a/c不等于b/d)--y=b-dx/cx+a 　　反函数的应用介绍 　　直接求原函数的值域困难时，可以通过求其反函数的定义域来确定原函数的值域，求反函数的步骤是这样的： 　　1、先求出反函数的定义域，因为原函数的值域就是反函数的定义域; 　　(我们知道函数的三要素是定义域、值域、对应法则，所以先求反函数的定义域是求反函数的第一步) 　　2、反解x，也就是用y来表示x; 　　3、改写，交换位置，也就是把x改成y，把y改成x; 　　4、写出原函数及其值域。 　　实例：y=2x+1(值域：任意实数) 　　x=(y-1)/2 　　y=(x-1)/2(x取任意实数) 　　特别地，形如kx+ky=b的直线方程和任意一个反比例函数，它的反函数都是它本身。 　　反函数求解三步骤： 　　1、换：X、Y换位 　　2、解：解出Y 　　3、标：标出定义域 　　反函数的使用符号 　　符号 　　arc 　　用法 　　例：三角函数中 　　正弦函数和它的反函数：f(x)=sinx->x=arcsinx 　　余弦函数和它的反函数：f(x)=cosx->x=arccosx 　　正切函数和它的反函数：f(x)=tanx ->x=arctanx 　　余切函数和它的反函数：f(x)=cotx->x=arccotx 　　注解 　　反正弦的意义 ，则符合条件sinx=a(-1≤a≤1)的角x叫做a的反正弦，记作：arcsina，即x=arcsina. 注：1、“arcsina”表示中的一个角，其中-1≤a≤1. 2、sin(arcsina)=a. (二)、反余弦的意义 x∈[0，π]，则符合条件cosx=a(-1≤a≤1)的角x叫做a的反余弦，记作arccosa，即x=arccosa. 注：1、“arccosa”表示[0，π]中的一个角，其中-1≤a≤1. 2、cos(arccosa)=a. (三)、反正切的意义 ，则符合条件tanx=a的角x叫做a的反正切，记作arctana，即x=arctana. 注：1、“arctana”表示中的一个角. 2、tan(arctana)=a. (四)、用反三角符号表示[0，2π]中角的一般规律 　　反函数的相关说明 　　⑴在函数x=f^(-1)(y)中，y是自变量，x是函数，但习惯上，我们一般用x表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调函数x=f^(-1)(y)中的字母x,y，把它改写成y=f^(-1)(x)，今后凡无特别说明，函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式。 　　⑵反函数也是函数，因为它符合函数的定义. 从反函数的定义可知，对于任意一个函数y=f(x)来说，不一定有反函数，若函数y=f(x)有反函数y=f^(-1)(x)，那么函数y=f"(x)的反函数就是y=f^(-1)(x)，这就是说，函数y=f(x)与y=f^(-1)(x)互为反函数。 　　⑶互为反函数的两个函数在各自定义域内有相同的单调性。单调函数才有反函数，如二次函数在R内不是反函数，但在其单调增(减)的定义域内，可以求反函数。 　　⑷ 从映射的定义可知，函数y=f(x)是定义域A到值域C的映射，而它的反函数y=f^(-1)(x)是集合C到集合A的映射，因此，函数y=f(x)的定义域正好是它的反函数y=f^(-1)(x)的值域;函数y=f(x)的值域正好是它的反函数y=f^(-1)(x)的定义域(如下表)： 　　函数：y=f(x); 　　反函数：y=f^(-1)(x); 　　定义域： A C; 　　值域： C A; 　　⑷上述定义用“逆”映射概念可叙述为： 　　若确定函数y=f(x)的映射f是函数的定义域到值域“上”的“一一映射”，那么由f的“逆”映射f^-1所确定的函数y=f^(-1)(x)就叫做函数y=f(x)的反函数. 反函数y=f‘(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域. 开始的两个例子：s=vt记为f(t)=vt,则它的反函数就可以写为f^(-1)(s)=s/v，同样y=2x+6记为f(x)=2x+6，则它的反函数为：f^(-1)(x)=x/2-3. 　　有时是反函数需要进行分类讨论，如：f(x)=x+1/x，需将x分类讨论：在x大于0时的情况，x小于0的情况，多是要注意的。一般分数函数的反函数的表示为y=ax+b/cx+d(a/c不等于b/d)--y=b-dx/cx+a 反函数的定义的相关搜索内容： 1. 高中数学知识点:反三角函数的公式小结 2. 沧州市九年级数学上册期末试卷 3. 高一数学解题思路 4. 数学常识快速记忆口诀 5. 高一数学学习的有效方法

一般来说，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数。性质：（1）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；（2）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；（3）大部分偶函数不存在反函数（当函数y=f(x)， 定义域是{0} 且 f(x)=C （其中C是常数），则函数f(x)是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）。奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。（4）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；（5）严增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数；（6）反函数是相互的且具有唯一性；（7）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；（8）反函数的导数关系：如果x=f(y)在开区间I上严格单调，可导，且f"(y)≠0，那么它的反函数y=f-1(x)在区间S={x|x=f(y),y∈I }内也可导；（9）y=x的反函数是它本身。扩展资料反函数的复合函数：这个内容属于高等数学的内容了。大伙想想函数里面最简单最基本的函数是什么函数？不用说，肯定就是我们的恒等函数y=x，这就和我们数字里面的1一般地位，所以，我们记恒等函数为“1x”。数字的基本运算就是加减乘除，而函数也有运算，虽然也有加减乘除，但是属于函数自己的，就是复合与反函数。我们知道在实数里，x与1/x的乘积等于1，在函数的复合运算里，也有类似的性质，函数f和g的复合记为f○g，那么下面的性质成立：f-1○f=1x；1x○f=f○1x=f。参考资料来源：百度百科-反函数

两个函数关于直线y=x对称， 就互为反函数。

互为反函数的两函数在各自的定义域内的增减性相同还有两函数可以互相平移得到

互为反函数的两个函数的，定义域和值域刚好相反 也就是说，该函数的定义域就是其反函数值域，该函数的值域也就是其反函数的定义域 如果这两个“函数”都满足作为函数的基本条件的话，也就是1个x对应一个y的话，可以这么说 如有问题可以追问，如果没有望你采纳

互为反函数的两个函数的，定义域和值域刚好相反也就是说，该函数的定义域就是其反函数值域，该函数的值域也就是其反函数的定义域如果这两个“函数”都满足作为函数的基本条件的话，也就是1个x对应一个y的话，可以这么说如有问题可以追问，如果没有望你采纳

亚纯函数（meromorphic function）是在区域D上有定义，且除去极点之外处处解析的函数。在复分析中，一个复平面的开子集D上的亚纯函数是一个在D上除一个或若干个孤立点集合之外的区域全纯的函数，那些孤立点称为该函数的极点。

你这只能叫声明, 不叫定义.哪有在类里声明一下, 还没声明全, 然后又跑类外面声明一下.....纯虚函数只有声明, 没有定义, 所以这个函数你不就应该出现在类外.virtual double area() = const;直接这样, 简单明了, 不报错.

类是没有办法，结构体还行。我原来回答过的一个类似的问题，楼主参考一下：其实对于dll来说，类的动太导出一直是一个难题。我早先由于项目需要，也了解过一些这方面的知识，最后还是放弃了。后来我想到了一个方法。类的实例通过指针传出来，然后在类的基础上再封装一层，每个公开的函数都封一个函数，参数表里直接把创建的类的指针给传进去，在dll内部再调相应的方法。楼主不妨也这样试一下。比如： g()这个函数，就返回一个IntPtr。这个指针就是在dll中创建对象的指针，但在C#里不具体的把它分出来是张三还是王二。dll中增加调用a的函数add的全局导出函数 add2(void*) 然后在add2的函数体内对指针进行转化后再调其add方法。有点迂回敌后的感觉。还有，既然需要用C#来调用，dll也可以写成托管的，只要加上运行时支持就好了。那样的类声明加个partal，然后直接添加引用就能象用c#的dll一样用了，这个多方便啊？我还试了一个mirror驱动的，封成了托管DLL，也一样好用。楼主也可以考虑一下。

一个单复变函数全纯当且仅当它实可微并且满足 Cauchy-Riemann 方程.

1.函数连续是指函数y=f（x）当自变量x的变化很小时，所引起的因变量y的变化也很小。 2.例如，气温随时间变化，只要时间变化很小，气温的变化也是很小的；又如，自由落体的位移随时间变化，只要时间变化足够短，位移的变化也是很小的。 3.对于这种现象，因变量关于自变量是连续变化的，连续函数在直角坐标系中的图像是一条没有断裂的连续曲线。 4.由极限的性质可知，一个函数在某点连续的充要条件是它在该点左右都连续。 5. 对于连续性，在自然界中有许多现象，如气温的变化，植物的生长等都是连续地变化着的。 6.这种现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性。

求连续区间的步骤：求连续区间，按照函数连续性的定义去做即可。设函数y=f(x)在x0点附近有定义，如果有lim(x->x0) f(x)=f(x0)，则称函数f在x0点连续。如果定义在区间I上的函数在每一点x∈I都连续，则说f在I上连续。 步骤 连续函数 定义 连续函数是指函数y=f（x）当自变量x的变化很小时，所引起的因变量y的变化也很小。例如，气温随时间变化，只要时间变化很小，气温的变化也是很小的；又如，自由落体的位移随时间变化，只要时间变化足够短，位移的变化也是很小的。对于这种现象，因变量关于自变量是连续变化的，连续函数在直角坐标系中的图像是一条没有断裂的连续曲线。由极限的性质可知，一个函数在某点连续的充要条件是它在该点左右都连续。 法则 定理一、在某点连续的有限个函数经有限次和，差，积，商(分母不为0)运算，结果仍是一个在该点连续的函数。 定理二、连续单调递增（递减）函数的反函数，也连续单调递增（递减）。 定理三、连续函数的复合函数是连续的。 函数极限 定义 函数极限可以分成x→∞,x→+∞,x→-∞,x→Xo,，而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的 证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。以x→Xo的极限为例，f(x)在点Xo以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x满足不等式0<|x-x。|<δ时，对应的函数值f(x)都满足不等式：|f(x)-A|<ε，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。 存在准则 1.夹逼定理 （1）当x∈U(Xo,r)(这是Xo的去心邻域，有个符号打不出）时，有g（x)≤f(x)≤h(x)成立 （2）g(x)—>Xo=A,h(x)—>Xo=A,那么，f(x)极限存在，且等于A 不但能证明极限存在，还可以求极限，主要用放缩法。 2.单调有界准则：单调增加（减少）有上（下)界的数列必定收敛。 在运用以上两条去求函数的极限时尤需注意以下关键之点。一是先要用单调有界定理证明收敛，然后再求极限值。二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数，并且要满足极限是趋于同一方向，从而证明或求得函数的极限值。 3.柯西准则 数列收敛的充分必要条件是任给ε>0,存在N(ε),使得当n>N,m>N时，都有|am-an|<ε成立。

设开子集且 是一个单复变函数，称在 (复) 可微( [complex] differentiable) 或全纯，如果极限 存在。若 在 中处处可微，则称 在上全纯(holomorphic over )。

函数连续性“有定义”，“有定义”是在某点或者某区间有意义，举例说明：函数y=2x+3在定义域R上是连续的，假设定义域是（-∞，0）U（0，+∞）在R上不连续，因为在0处无定义。对于连续性，在自然界中有许多现象，如气温的变化，植物的生长等都是连续地变化着的。这种现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性。扩展资料：在函数极限的定义中曾经强调过，当x→x0时f(x)有没有极限，与f(x)在点x0处是否有定义并无关系。但由于函数在x0处连续，则表示f(x0)必定存在，显然当Δx=0（即x=x0）时Δy=0<ε。于是上述推导过程中可以取消0<|Δx|这个条件。[a,b]上存在一个点x0，使得对任意x∈[a,b]，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为f(x)在[a,b]上的最大值。最小值可以同样作定义，只需把上面的不等号反向即可。

如果函数y=f(x)在x0处附近有定义，并且在x0的左右极限都等于f(x0)，那么我们称函数f(x)在点x0处连续。可导函数一定是连续函数。

1、函数连续是指函数y=f（x）当自变量x的变化很小时，所引起的因变量y的变化也很小。例如，气温随时间变化，只要时间变化很小，气温的变化也是很小的；又如，自由落体的位移随时间变化，只要时间变化足够短，位移的变化也是很小的。对于这种现象，因变量关于自变量是连续变化的，连续函数在直角坐标系中的图像是一条没有断裂的连续曲线。由极限的性质可知，一个函数在某点连续的充要条件是它在该点左右都连续。 2、对于连续性，在自然界中有许多现象，如气温的变化，植物的生长等都是连续地变化着的。这种现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性。

1、函数连续是指函数y=f（x）当自变量x的变化很小时，所引起的因变量y的变化也很小。例如，气温随时间变化，只要时间变化很小，气温的变化也是很小的；又如，自由落体的位移随时间变化，只要时间变化足够短，位移的变化也是很小的。对于这种现象，因变量关于自变量是连续变化的，连续函数在直角坐标系中的图像是一条没有断裂的连续曲线。由极限的性质可知，一个函数在某点连续的充要条件是它在该点左右都连续。 2、对于连续性，在自然界中有许多现象，如气温的变化，植物的生长等都是连续地变化着的。这种现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性。

1、函数连续是指函数y=f（x）当自变量x的变化很小时，所引起的因变量y的变化也很小。例如，气温随时间变化，只要时间变化很小，气温的变化也是很小的；又如，自由落体的位移随时间变化，只要时间变化足够短，位移的变化也是很小的。对于这种现象，因变量关于自变量是连续变化的，连续函数在直角坐标系中的图像是一条没有断裂的连续曲线。由极限的性质可知，一个函数在某点连续的充要条件是它在该点左右都连续。 2、对于连续性，在自然界中有许多现象，如气温的变化，植物的生长等都是连续地变化着的。这种现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性。

lim(x→x0)f(x)=f(x0)则连续，否则不连续

如果函数y=f(x)在x0处附近有定义，并且在x0的左右极限都等于f(x0)，那么我们称函数f(x)在点x0处连续。可导函数一定是连续函数。

1、函数连续是指函数y=f（x）当自变量x的变化很小时，所引起的因变量y的变化也很小。例如，气温随时间变化，只要时间变化很小，气温的变化也是很小的；又如，自由落体的位移随时间变化，只要时间变化足够短，位移的变化也是很小的。对于这种现象，因变量关于自变量是连续变化的，连续函数在直角坐标系中的图像是一条没有断裂的连续曲线。由极限的性质可知，一个函数在某点连续的充要条件是它在该点左右都连续。2、对于连续性，在自然界中有许多现象，如气温的变化，植物的生长等都是连续地变化着的。这种现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性。

证明函数连续的条件：在开区间，左区间右连续，右区间左连续，在整个定义区间函数是连续的。函数连续：函数y=f(x)当自变量x的变化很小时，所引起的因变量y的变化也很小。例如，气温随时间变化，只要时间变化很小，气温的变化也是很小的；又如，自由落体的位移随时间变化，只要时间变化足够短，位移的变化也是很小的。对于这种现象，说因变量关于 自变量是连续变化的，连续函数在 直角坐标系中的图像是一条没有断裂的连续曲线。函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。

楼上介绍的是伽马函数Γ(z)的半定义积分式,对于复数域而言,要求ReS＞0. 有关伽马函数Γ(z)的积分式有两大类： 第一类：围道积分式.属于全定义积分式,即当复数z≠非正整数时,围道积分式都成立. 第二类：区间积分式.区间积分式有半定义区间积分式和全定义区间积分式两种：伽马函数Γ(z)的原始定义是由半定义区间积分式而定义的(要求ReS＞0).将原始定义进行解析开拓,可得全定义区间积分式.即当复数z≠非正整数时,其全定义区间积分式都成立. 伽马函数Γ(z)的围道积分定义式和半定义区间积分式,在有关数学书中都有介绍,其伽马函数Γ(z)的全定义区间积分式是本人在研究数列的导数性质和定积分性质时发现的.由于书写方式的限制,伽马函数Γ(z)全定义区间积分式的数学式子在此从略.

阶乘伽玛函数（GammaFunction）定义伽马函数：运用积分的知识，我们可以证明Γ（s）（s）×Γ（s1）所以，当x是整数n时，这样Gamma函数实际上就把阶乘的延拓

超几何分布是统计学上一种离散概率分布。它描述了从有限N个物件（其中包含M个指定种类的物件）中抽出n个物件，成功抽出该指定种类的物件的次数（不放回）。称为超几何分布，是因为其形式与“超几何函数”的级数展式的系数有关。何分布是离散型概率分布。其中一种定义为：在n次伯努利试验中，试验k次才得到第一次成功的机率。详细地说，是：前k-1次皆失败，第k次成功的概率。几何分布是帕斯卡分布当r=1时的特例。在伯努利试验中，成功的概率为p，若ξ表示出现首次成功时的试验次数，则ξ是离散型随机变量，它只取正整数，且有P(ξ=k)=(1-p)的(k-1)次方乘以p (k=1，2，…，0<p<1)，此时称随机变量ξ服从几何分布。它的期望为1/p，方差为(1-p)/(p的平方)。二项分布定义为：如果事件发生的概率是 p，则不发生的概率 q=1-p，n 次独立重复试验（伯努利试验）中该事件发生次数 X=k 的概率是P(X=k) = C(n,k)(p^k)[(1-p)^(n-k)]。

在数学中，高斯超几何函数或普通超几何函数2F1(a,b;c;z)是一个用超几何级数定义的函数，很多特殊函数都是它的特例或极限。所有具有三个正则奇点的二阶线性常微分方程的解都可以用超几何函数表示。

以下所有的n,n+1,n-1均是指下标 一阶线性递推是指x(n+1)=f(xn),其中 f 是一个线性函数,比如 x(n+1)=axn+b 二阶线性是指x(n+1)=f(xn)+g(x(n-1)),其中f和g都是线性函数. k阶的意思就是等式右端涉及到数列的k层数据,k是数列的层数 线性是指 所有的变量都是一次的.

ψ函数即欧拉函数。在数论中，对正整数n，欧拉函数是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为φ函数、欧拉商数等。例如，因为1,3,5,7均和8互质。欧拉函数实际上是模n的同余类所构成的乘法群（即环的所有单位元组成的乘法群）的阶。这个性质与拉格朗日定理一起构成了欧拉定理的证明。

RSA算法中，欧拉函数φ（n）的定义是（）。 A.不超过n其和n互素的正整数个数(正确答案) B.不超过n其和n互素的整数个数 C.和n互素的整数个数 D.和n互素的正整数个数

1、质因数分解就是分解质因数。定把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式，即求质因数的过程叫做分解质因数。 2、分解质因数只针对合数。（分解质因数也称分解素因数）求一个数分解质因数，要从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。分解质因数的算式叫短除法，和除法的性质相似，还可以用来求多个数的公因式。

呃呃呃呃呃呃= =

所谓质数或称素数，就是一个正整数，除了本身和1以外并没有任何其他因子。例如2，3，5，7是质数，而4，6，8，9则不是，后者称为合成数。从这个观点可将整数分为两种，一种叫质数，一种叫合成数。（有人认为数目字1不该称为质数）著名的高斯「唯一分解定理」说，任何一个整数。可以写成一串质数相乘的积。

质数又称素数。指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他自然数整除的数。质数是与合数相对立的两个概念，二者构成了数论当中最基础的定义之一。基于质数定义的基础之上而建立的问题有很多世界级的难题，如哥德巴赫猜想等。截至2012年6月底，质数尚未完全找到通项公式。质数的无穷性的证明　　质数的个数是无穷的。最经典的证明由欧几里得证得，在他的《几何原本》中就有记载。它使用了现在证明常用的方法：反证法。具体的证明如下： 　　●假设质数只有有限的n个，从小到大依次排列为p1，p2，……，pn，设 N = p1 × p2 × …… × pn，那么，N+1是素数或者不是素数。 　　●如果N+1为素数，则N+1要大于p1，p2，……，pn，所以它不在那些假设的素数集合中。 　　●如果N+1为合数，因为任何一个合数都可以分解为几个素数的积；而N和N+1的最大公约数是1，所以N+1不可能被p1，p2，……，pn整除，所以该合数分解得到的素因数肯定不在假设的素数集合中。 　　●因此无论该数是素数还是合数，都意味着在假设的有限个素数之外还存在着其他素数。 　　●对任何有限个素数的集合来说，用上述的方法永远可以得到有一个素数不在假设的素数集合中的结论。 　　●所以原先的假设不成立。也就是说，素数有无穷多个。 　　其他数学家也给出了他们自己的证明。欧拉利用黎曼ζ函数证明了全部素数的倒数之和是发散的，恩斯特·库默的证明更为简洁，Hillel Furstenberg则用拓扑学加以了证明。 对于一定范围内的素数数目的计算　　尽管整个素数是无穷的，仍然有人会问“100000以下有多少个素数?”，“一个随机的100位数多大可能是素数?”。素数定理可以回答此问题。 编辑本段著名问题哥德巴赫猜想　　在1742年给欧拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想：任一大于2的整数都可写成三个质数之和。因现今数学界已经不使用“1也是素数”这个约定，原初猜想的现代陈述为：任一大于5的整数都可写成三个质数之和。欧拉在回信中也提出另一等价版本，即任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。今日常见的猜想陈述为欧拉的版本。把命题"任一充分大的偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和"记作"a+b"。1966年陈景润证明了"1+2"成立，即"任一充分大的偶数都可以表示成二个素数的和，或是一个素数和一个半素数的和"。　今日常见的猜想陈述为欧拉的版本，即任一大于2的偶数都可写成两个素数之和，亦称为“强哥德巴赫猜想”或“关于偶数的哥德巴赫猜想”。 　　从关于偶数的哥德巴赫猜想，可推出任一大于7的奇数都可写成三个质数之和的猜想。后者称为“弱哥德巴赫猜想”或“关于奇数的哥德巴赫猜想”。 　　若关于偶数的哥德巴赫猜想是对的，则关于奇数的哥德巴赫猜想也会是对的。弱哥德巴赫猜想尚未完全解决，但1937年时前苏联数学家维诺格拉多夫已经证明充分大的奇质数都能写成三个质数的和，也称为“哥德巴赫-维诺格拉朵夫定理”或“三素数定理”，数学家认为弱哥德巴赫猜想已基本解决。 黎曼猜想　　黎曼猜想是关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想，由数学家波恩哈德·黎曼（1826--1866）于1859年提出。德国数学家希尔伯特列出23个数学问题．其中第8问题中便有黎曼假设。素数在自然数中的分布并没有简单的规律。黎曼发现素数出现的频率与黎曼ζ函数紧密相关。黎曼猜想提出：黎曼ζ函数ζ(s)非平凡零点（在此情况下是指s不为-2、-4、-6等点的值）的实数部份是1/2。即所有非平凡零点都应该位于直线1/2 + ti（“临界线”（critical line））上。t为一实数，而i为虚数的基本单位。至今尚无人给出一个令人信服的关于黎曼猜想的合理证明。 　　在黎曼猜想的研究中，数学家们把复平面上 Re(s)=1/2 的直线称为 critical line。 运用这一术语，黎曼猜想也可以表述为：黎曼ζ 函数的所有非平凡零点都位于 critical line 上。 　　黎曼猜想是黎曼在 1859 年提出的。在证明素数定理的过程中，黎曼提出了一个论断：Zeta函数的零点都在直线Res(s) = 1/2上。他在作了一番努力而未能证明后便放弃了，因为这对他证明素数定理影响不大。但这一问题至今仍然未能解决，甚至于比此假设简单的猜想也未能获证。而函数论和解析数论中的很多问题都依赖于黎曼假设。在代数数论中的广义黎曼假设更是影响深远。若能证明黎曼假设，则可带动许多问题的解决。 孪生质数猜想　　1849年，波林那克提出孪生质数猜想（the conjecture of twin primes），即猜测存在无穷多对孪生质数。 　　猜想中的“孪生质数”是指一对质数，它们之间相差2。例如3和5，5和7，11和13，10016957和10016959等等都是孪生质数。 　　100以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，在100内共有25个质数。 费马数2^(2^n)+1　　被称为“17世纪最伟大的法国数学家”的费马，也研究过质数的性质。他发现，设Fn=2^(2^n)+1，则当n分别等于0、1、2、3、4时，Fn分别给出3、5、17、257、65537，都是质数，由于F5太大（F5=4294967297），他没有再往下检测就直接猜测：对于一切自然数，Fn都是质数。这便是费马数。费马死后67年，25岁的瑞士数学家欧拉证明：F5是一个合数。 　　以后的Fn值，数学家再也没有找到哪个Fn值是质数，全部都是合数。目前由于平方开得较大，因而能够证明的也很少。现在数学家们取得Fn的最大值为：n=1495，其位数多达10^10584位，当然它尽管非常之大，但也不是个质数。 梅森质数　　17世纪还有位法国数学家叫梅森，他曾经做过一个猜想：2^p-1 ，当p是质数时，2^p-1是质数。他验算出了：当p=2、3、5、7、17、19时，所得代数式的值都是质数，后来，欧拉证明p=31时，2^p-1是质数。 p=2，3，5，7时，2^p-1都是素数，但p=11时，所得2047=23×89却不是素数。 　　还剩下p=67、127、257三个梅森数，由于太大，长期没有人去验证。梅森去世250年后，美国数学家科勒证明，2^67-1=193707721×761838257287，是一个合数。这是第九个梅森数。20世纪，人们先后证明：第10个梅森数是质数，第11个梅森数是合数。质数排列得杂乱无章，也给人们寻找质数规律造成了困难。 　　现在，数学家找到的最大的梅森质数是2^43112609－1。 编辑本段相关定理素数定理　　素数定理描述素数素数的大致分布情况。 素数的出现规律一直困惑著数学家。一个个地看，素数在正整数中的出现没有什么规律。可是总体地看，素数的个数竟然有规可循。对正实数x，定义π(x)为不大于x的素数个数。数学家找到了一些函数来估计π(x)的增长。以下是第一个这样的估计。 π(x)≈x/ln x 其中ln x为x的自然对数。上式的意思是当x趋近∞，π(x) 和x/ln x的比趋 近1（注：该结果为高斯所发现）。但这不表示它们的数值随着x增大而接近。 下面是对π(x)更好的估计： π(x)=Li (x) + O (x e^(-(ln x)^(1/2)/15)，当 x 趋近∞。 其中 Li(x) = ∫(dt/ln x2,x)，而关系式右边第二项是误差估计。　 　　素数定理可以给出第n个素数p(n)的渐近估计：p(n)～n/ln n. 它也给出从整数中抽到素数的概率。从不大于n的自然数随机选一个，它是素数的概率大约是1/ln n。 这定理的式子於1798年法国数学家勒让德提出。1896年法国数学家哈达玛(Jacques Hadamard)和比利时数学家普森(Charles Jean de la Vallée-Poussin)先後独立给出证明。证明用到了复分析，尤其是黎曼ζ函数。 因为黎曼ζ函数与π(x)关系密切，关于黎曼ζ函数的黎曼猜想对数论很重要。一旦猜想获证，便能大大改进素数定理误差的估计。1901年瑞典数学家Helge von Koch证明出，假设黎曼猜想成立，以上关系式误差项的估计可改进为 :π(x)=Li (x) + O (x^(1/2) ln x) 至於大O项的常数则还未知道。　素数定理有些初等证明只需用数论的方法。第一个初等证明於1949年由匈牙利数学家保罗·艾狄胥（“爱尔多斯”，或“爱尔多希”）和挪威数学家阿特利·西尔伯格合作得出。 在此之前一些数学家不相信能找出不需借助艰深数学的初等证明。像英国数学家哈代便说过素数定理必须以复分析证明，显出定理结果的「深度」。他认为只用到实数不足以解决某些问题，必须引进复数来解决。这是凭感觉说出来的，觉得一些方法比别的更高等也更厉害，而素数定理的初等证明动摇了这论调。Selberg－艾狄胥的证明正好表示，看似初等的组合数学，威力也可以很大。 但是，有必要指出的是，虽然该初等证明只用到初等的办法，其难度甚至要比用到复分析的证明远为困难。 算术基本定理　　任何一个大于1的自然数N，都可以唯一分解成有限个质数的乘积 N=(P_1^a1)*(P_2^a2)......(P_n^an) , 这里P_1<P_2<...<P_n是质数，其诸方幂 ai 是正整数。　 　　这样的分解称为N 的标准分解式。 　　算术基本定理的内容由两部分构成：分解的存在性、分解的唯一性（即若不考虑排列的顺序，正整数分解为素数乘积的方式是唯一的）。 　　算术基本定理是初等数论中一个基本的定理，也是许多其他定理的逻辑支撑点和出发点。 　　此定理可推广至更一般的交换代数和代数数论。高斯证明复整数环Z[i]也有唯一分解定理。它也诱导了诸如唯一分解整环，欧几里得整环等等概念。 更一般的还有戴德金理想分解定理。 素数等差数列　　等差数列是数列的一种。在等差数列中，任何相邻两项的差相等。该差值称为公差。类似7、37、67、97、107、137、167、197。这样由素数组成的数列叫做等差素数数列。2004年，格林和陶哲轩证明存在任意长的素数等差数列。2004年4月18日，两人宣布：他们证明了“存在任意长度的素数等差数列”，也就是说，对于任意值K，存在K个成等差级数的素数。例如 K=3，有素数序列3, 5, 7 （每两个差2）……K=10，有素数序列 199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879, 2089 （每两个差210）[1]。 参考资料 1． 格林和陶哲轩的成果-证明存在任意长的素数等差数列 论文作者：Green, B. and Tao, T. ； 论文题目：The primes contain arbitrarily long and arithmetic progression, ； 投稿日期：2004年4月9日； 接受日期：2005年9月12日； 发表杂志：Annals

一、质数是什么 1、 质数（prime number）又称素数，有无限个。质数定义为在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数。 2、 质数又称素数。一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数；否则称为合数。 3、 质数就是除了1和它本身之外,再也没有整数能被它整除的数.比如：2..3.5.7.11.13.17.19.23.39.31………………………… 4、 历史上，曾经将1也包含在质数之内，但后来为了算术基本定理，最终1被数学家排除在质数之外，而从高等代数的角度来看，1是乘法单位元，也不能算在质数之内，并且，所有的合数都可由若干个质数相乘而得到。 二、数目计算 1、 尽管整个素数是无穷的，仍然有人会问“100，000以下有多少个素数？”，“一个随机的100位数多大可能是素数？”。素数定理可以回答此问题。 2、 在一个大于1的数a和它的2倍之间（即区间(a, 2a]中）必存在至少一个素数。 3、 存在任意长度的素数等差数列。 4、 一个偶数可以写成两个合数之和，其中每一个合数都最多只有9个质因数。（挪威数学家布朗，1920年） 5、 一个偶数必定可以写成一个质数加上一个合成数，其中合数的因子个数有上界。（瑞尼，1948年） 6、 一个偶数必定可以写成一个质数加上一个最多由5个因子所组成的合成数。后来，有人简称这结果为 (1 5)(中国潘承洞，1968年) 7、 一个充分大偶数必定可以写成一个素数加上一个最多由2个质因子所组成的合成数。简称为 (1 2) 三、性质 质数具有许多独特的性质： 1、 质数p的约数只有两个：1和p。 2、 初等数学基本定理：任一大于1的自然数，要么本身是质数，要么可以分解为几个质数之积，且这种分解是唯一的。 3、 质数的个数是无限的。 4、 质数的个数公式 是不减函数。 5、 若n为正整数，在 到 之间至少有一个质数。 6、 若n为大于或等于2的正整数，在n到 之间至少有一个质数。 7、 若质数p为不超过n( )的最大质数，则 。 8、 所有大于10的质数中，个位数只有1,3,7,9。

1、素数定理（prime number theorem）是素数分布理论的中心定理。 2、关于素数个数问题的一个命题：设x≥1，以π(x)表示不超过x的素数的个数，当x→∞时，π(x)～Li(x)或π(x)～x/ln(x)。（Li(x)为对数积分）。

只有1和它本身这两个因数的自然数叫做质数。还可以说成质数只有1和它本身两个约数。2.素数是这样的整数，它除了能表示为它自己和1的乘积以外，不能表示为任何其它两个整数的乘积。例如，15＝3×5，所以15不是素数；又如，12＝6×2＝4×3，所以12也不是素数。另一方面，13除了等于13×1以外，不能表示为其它任何两个整数的乘积，所以13是一个素数。回答者：ROWEKA-首席执行官十四级2009-7-2102:20质数(又称为素数）1.只有1和它本身这两个因数的自然数叫做质数。还可以说成质数只有1和它本身两个约数。2.素数是这样的整数，它除了能表示为它自己和1的乘积以外，不能表示为任何其它两个整数的乘积。例如，15＝3×5，所以15不是素数；又如，12＝6×2＝4×3，所以12也不是素数。另一方面，13除了等于13×1以外，不能表示为其它任何两个整数的乘积，所以13是一个素数。质数的概念一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，又称素数。例如（10以内）2，3，5，7是质数，而4，6，8，9则不是，后者称为合成数或合数。特别声明一点，1既不是质数也不是合数。为什么1不是质数呢?因为如果把1也算作质数的话,那么在分解质因数时,就可以随便添上几个1了。比如30，分解质因数是2*3*5，因为分解质因数是要把一个数写成质数的连乘积，如果把1算作质数的话，那么在这个算式中，就可以随便添上几个1了，分解质因数也就没法分解了。从这个观点可将整数分为两种，一种叫质数，一种叫合成数。（1不是质数，也不是合数）著名的高斯「唯一分解定理」说，任何一个整数。可以写成一串质数相乘的积。质数中除2是偶数外，其他都是奇数。2000年前，欧几里德证明了素数有无穷多个。既然有无穷个，那么是否有一个通项公式？两千年来，数论学的一个重要任务，就是寻找一个可以表示全体素数的素数普遍公式和孪生素数普遍公式，为此，人类耗费了巨大的心血。希尔伯特认为，如果有了素数统一的素数普遍公式，那么这些哥德巴赫猜想和孪生素数猜想都可以得到解决。

素数又叫质数（prime number），有无限个。质数定义为在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数。质数具有许多独特的性质：（1）质数p的约数只有两个：1和p。（2）初等数学基本定理：任一大于1的自然数，要么本身是质数，要么可以分解为几个质数之积，且这种分解是唯一的。（3）质数的个数是无限的。（4）质数的个数公式是不减函数。（5）若n为正整数，在到之间至少有一个质数。（6）若n为大于或等于2的正整数，在n到之间至少有一个质数。（7）若质数p为不超过n（）的最大质数，则。（8）所有大于10的质数中，个位数只有1,3,7,9。扩展资料：逆素数：顺着读与逆着读都是素数的数。如1949与9491，3011与1103，1453与3541等。无重逆素数是数字都不重复的逆素数。如13与31，17与71，37与73，79与97，107与701等。循环下降素数与循环上升素数：按1——9这9个数码反序或正序相连而成的素数（9和1相接）。如：43，1987，76543，23，23456789，1234567891。现在找到的最大一个是28位的数：1234567891234567891234567891。由一些特殊数码组成的数：如31，331，3331，33331，333331，3333331，以及33333331都是素数，但下一个333333331却是一个合数。特别著名的是全由1组成的素数。把由连续n个1组成的数记为Rn，则R2=11是一个素数，后来发现R19、R23、R317都是素数。素数研究是数论中最古老、也是最基本的部分，其中集中了看上去极为简单、却几十年甚至几百年都难以解决的大量问题。除了"哥德巴赫猜想"等几个著名问题外，还有许多问题至今未解决。参考资料：百度百科-质数

　　素数就是质数.它除了能表示为它自己和1的乘积以外,不能表示为任何其它两个整数的乘积.例如,15＝3＊5,所以15不是素数；又如,12＝6＊2＝4＊3,所以12也不是素数.另一方面,13除了等于13＊1以外,不能表示为其它任何两个整数的乘积,所以13是一个素数. 　　有的数,如果单凭印象去捉摸,是无法确定它到底是不是素数的.有些数则可以马上说出它不是素数.一个数,不管它有多大,只要它的个位数是2、4、5、6、8或0,就不可能是素数.此外,一个数的各位数字之和要是可以被3整除的话,它也不可能是素数.但如果它的个位数是1、3、7或9,而且它的各位数字之和不能被3整除,那么,它就可能是素数（但也可能不是素数）.没有任何现成的公式可以告诉你一个数到底是不是素数.你只能试试看能不能将这 　　个数表示为两个比它小的数的乘积. 　　找素数的一种方法是从2开始用“是则留下,不是则去掉”的方法把所有的数列出来（一直列到你不想再往下列为止,比方说,一直列到10,000）.第一个数是2,它是一个素数,所以应当把它留下来,然后继续往下数,每隔一个数删去一个数,这样就能把所有能被2整除、因而不是素数的数都去掉.在留下的最小的数当中,排在2后面的是3,这是第二个素数,因此应该把它留下,然后从它开始往后数,每隔两个数删去一个,这样就能把所有能被3整除的数全都去掉.下一个未去掉的数是5,然后往后每隔4个数删去一个,以除去所有能被5整除的数.再下一个数是7,往后每隔6个数删去一个；再下一个数是11,往后每隔10个数删一个；再下一个是13,往后每隔12个数删一个.……就这样依法做下去. 　　你也许会认为,照这样删下去,随着删去的数越来越多,最后将会出现这样的情况；某一个数后面的数会统统被删去崮此在某一个最大的素数后面,再也不会有素数了.但是实际上,这样的情况是不会出现的.不管你取的数是多大,百万也好,万万也好,总还会有没有被删去的、比它大的素数. 　　事实上,早在公元前300年,希腊数学家欧几里得就已证明过,不论你取的数是多大,肯定还会有比它大的素数,假设你取出前6个素数,并把它们乘在一起：2＊3＊5＊7＊11＊13＝30030,然后再加上1,得30031.这个数不能被2、3、5、7、11、13整除,因为除的结果,每次都会余1.如果30031除了自己以外不能被任何数整除,它就是素数.如果能被其它数整除,那么30031所分解成的几个数,一定都大于13.事实上,30031＝59＊509. 　　对于前一百个、前一亿个或前任意多个素数,都可以这样做.如果算出了它们的乘积后再加上1,那么,所得的数或者是一个素数,或者是比所列出的素数还要大的几个素数的乘积.不论所取的数有多大,总有比它大的素数,因此,素 　　数的数目是无限的. 　　随着数的增大,我们会一次又一次地遇到两个都是素数的相邻奇数对,如5,7；11,13；17,19；29,31；41,43；等等.就数学家所能及的数来说,它们总是能找到这样的素数对.这样的素数对到底是不是有无限个呢?谁也不知道.数学家认为是无限的,但他们从来没能证明它.这就是数学家为什么对素数感兴趣的原因.素数为数学家提供了一些看起来很容易、但事实却非常难以解决的问题,他们目前还没能对付这个挑战哩. 　　迄今为止,人类发现的最大的素数是 224036583-1,这是第 41 个 梅森(Mersenne)素数. 　　素数也叫质数,是只能被自己和 1 整除的数,例如2、3、5、7、11等.2500 年前,希腊数学家欧几里德证明了素数是无限的,并提出少量素数可写成“2 的n次方减 1”的形式,这里 n 也是一个素数.此后许多数学家曾对这种素数进行研究,17 世纪的法国教士马丁·梅森(Martin Mersenne)是其中成果较为卓著的一位,因此后人将“2的n次方减1”形式的素数称为梅森素数.

素数的解释[prime number] 质数 词语分解 素的解释 素 ù 本色，白色：素服。素丝。 颜色 单纯 ，不艳丽：素净。素淡。素妆。 素雅 。素描。 洁白 的绢： 尺素 （用绸子写的信）。 本来的， 质朴 、不加修饰的：素质。 素养 。素性。素友（真诚淳朴的 朋友 ）。 物的基本成分 数的解释 数 （数） ù 表示、划分或 计算 出来的量：数目。数量。数词。数论（数学的一支，主要 研究 正整数的 性质 以及和它有关的 规律 ）。数控。 几，几个：数人。数日。 技艺 ，学术：“今夫弈之为数，小数也”。 命运 ，天

素数亦称质数即在正整数中，只能被本身和1这两个数整除。如2,3,5,7是素数，而9不是，它除了本身和1这两个除数还有3，所以不是素数。..

素数又叫质数，指的是“大于1的整数中，只能被1和这个数本身整除的数”。素数也可以被等价表述成：“在正整数范围内，大于1并且只有1和自身两个约数的数”。中学数学常见的素数是20以内的素数：2、3、5、7、11、13、17、19。素数的相关知识小结：1、最小的素数是2，最小的合数是4。【注】最小的素数和最小的合数都是偶数。2、大于2的素数都是奇数，2是素数中唯一的偶数。3、1既不是素数也不是合数。4、大于1的正整数中，不是素数就是合数。5、素数不全是奇数，也可以是偶数，如：2。素数的数目计算：1、在一个大于1的数a和它的2倍之间（即区间（a, 2a]中）必存在至少一个素数。2、存在任意长度的素数等差数列。3、一个偶数可以写成两个合数之和，其中每一个合数都最多只有9个质因数。4、一个偶数必定可以写成一个质数加上一个合成数，其中合数的因子个数有上界。5、一个偶数必定可以写成一个质数加上一个最多由5个因子所组成的合成数。后来，有人简称这结果为（1 + 5）。6、一个充分大偶数必定可以写成一个素数加上一个最多由2个质因子所组成的合成数。简称为（1 + 2）。