定义

复数：把形如z=a+bi（a、b均为实数）的数。其中，a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。当z的虚部b＝0时，则z为实数；当z的虚部b≠0时，实部a＝0时，常称z为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包，即任何复系数多项式在复数域中总有根。复数是由意大利米兰学者卡当在16世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。复数发展历史：经过许多数学家长期不懈的努力，深刻探讨并发展了复数理论，才使得在数学领域游荡了200年的幽灵——虚数揭去了神秘的面纱，显现出它的本来面目，原来虚数不“虚”。虚数成为了数系大家庭中一员，从而实数集才扩充到了复数集。随着科学和技术的进步，复数理论已越来越显出它的重要性，它不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义，而且为证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用，并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力，也为建立巨大水电站提供了重要的理论依据。

如果是英语当中的复数，就是可数名词大于等于2的数量，叫做复数比如abook一本书twobooks两本书这里的books就是复数变为复数的规律一般情况下加s,特殊情况下加es，加es的规律如下一，以s，sh，ch，x，o结尾的加es二，辅音字母加y结尾的，y变i加es三，f或fe结尾的，f或者fe变成ves不规则的复数变化有：manwomanchildmouselousegoosefoottoothChineseJapanesedeersheep祝你进步

1）匀强电场中的等势面(是垂直于电场线的一簇平面)；2）等量同种点电荷电场中的等势面(是两簇对称曲面)；3）点电荷电场中的等势面(是以点电荷为球心的一簇球面)；4）等量异种点电荷电场中的等势面(是两簇对称曲面)；5）形状不规则的带电导体附近的等势面。（相关图片请在参考资料中查看）

实数，是有理数和无理数的总称。在数学上，实数定义为与数轴上的实数点相对应的数。实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。实数集通常用黑正体字母 R 表示。实数的基本性质：1、封闭性2、有序性3、传递性4、阿基米德性质5、稠密性6、完备性7、与数轴对应

等势面的定义是电势相同的各点构成的面就叫等势面，处于静电平衡状态的导体就是一个等势体，其表面就是一个等势面。在同一等势面上移动电荷，电场力不做功。任意两个等势面不相交，且等势面一定和电场线相互垂直。

等势面的定义是电势相同的各点构成的面就叫等势面，处于静电平衡状态的导体就是一个等势体，其表面就是一个等势面。在同一等势面上移动电荷，电场力不做功。任意两个等势面不相交，且等势面一定和电场线相互垂直。

没有限制

有限责任公司，简称有限公司，中国的有限责任公司是指根据《中华人民共和国公司登记管理条例》规定登记注册，由五十个以下的股东出资设立，每个股东以其所认缴的出资额为限对公司承担有限责任，公司法人以其全部资产对公司债务承担全部责任的经济组织。有限责任公司包括国有独资公司以及其他有限责任公司

定义以上的回答者已经回答得很清楚了，主要是辨识这个有限空间，然后来操作他，我这里发个课件，可以去看看有限空间安全指导手册

有限空间是指封闭或部分封闭，与外界相对隔绝，出入口狭窄，不能长时间工作，自然通风差，易造成有毒有害、易燃易爆物质积聚或氧气含量不足的空间。主要特点:a、通风不良，容易造成有毒、易燃气体的积聚和缺氧等。；这一特点是造成有限空间内死亡事故的主要原因，在有毒有害气体中硫化氢是常见的。所以在进入有限的空间之前，首先要保证空间内有足够的无害空气。第二，对于一些有限的空间，内部结构的复杂也是导致事故的原因之一。三。内在固有风险造成伤害时，人们不方便逃生或救助是主要的伤害机制。四、机械零件之间的空间不属于有限空间。事故特征:1.操作者对有限空间的概念不熟悉，以至于根本无法认识到相应空间的危害性。这是有限空间内事故高发的根本原因。2.监护和救援人员知识的缺乏是相应事故死亡人数高的主要原因。一个人在有限的空间内工作经常发生事故，很多救援人员在救援时遇难。3.缺乏合适的救援设备也是造成相应工人死亡率高的原因。

集合是非常基本的概念，是无法用【定义】来做的，只能用【约定】的方式。在集合论是这样【约定】的：p∈A .这里的 p 称为元素，这里的∈ 称为属于，这里的 A 称为集合。在自然语言的对应中，集合类似于整体、全体等意思。再次特别强调一下，集合是一个基本概念，可以用整体等来类比解释，但不能用整体来【定义】的，因为整体并不比集合更基本。

集合（简称集）是数学中一个基本概念，它是集合论的研究对象，集合论的基本理论直到19世纪才被创立。最简单的说法，即是在最原始的集合论——朴素集合论中的定义，集合就是“一堆东西”。集合里的“东西”，叫作元素。由一个或多个元素所构成的叫做集合。若x是集合A的元素，则记作x∈A。集合中的元素有三个特征：1.确定性（集合中的元素必须是确定的） 2.互异性（集合中的元素互不相同。例如：集合A={1，a}，则a不能等于1） 3.无序性（集合中的元素没有先后之分）。概念：集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总而成的集体。其中，构成集合的这些对象则称为该集合的元素 。例如，全中国人的集合，它的元素就是每一个中国人。通常用大写字母如A,B,S,T,...表示集合，而用小写字母如a,b,x,y,...表示集合的元素。若x是集合S的元素，则称x属于S，记为x∈S。若y不是集合S的元素，则称y不属于S，记为y∉S 。基数：集合中元素的数目称为集合的基数，集合A的基数记作card(A)。当其为有限大时，集合A称为有限集，反之则为无限集 。一般的，把含有有限个元素的集合叫做有限集，含无限个元素的集合叫做无限集。表示：假设有实数x < y：①[x，y] ：方括号表示包括边界，即表示x到y之间的数以及x和y；②(x，y)：小括号是不包括边界，即表示大于x、小于y的数 [4] 。

定义简介集合论可以看成是逻辑的几何化。集合是最简单的空间。 [8] 概念集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总而成的集体。其中，构成集合的这些对象则称为该集合的元素 [1-2]   [3]  。例如，全中国人的集合，它的元素就是每一个中国人。通常用大写字母如A,B,S,T,...表示集合，而用小写字母如a,b,x,y,...表示集合的元素。若x是集合S的元素，则称x属于S，记为x∈S。若y不是集合S的元素，则称y不属于S，记为y∉S [2]  。集合的类型有限集和无限集集合中元素的数目称为集合的基数，集合A的基数记作card(A)。当其为有限大时，集合A称为有限集，反之则为无限集。[4]一般的，把含有有限个元素的集合叫做有限集，含无限个元素的集合叫做无限集。[4]空集有一类特殊的集合，它不包含任何元素，如{x|x∈R x²+1=0} ，称之为空集，记为∅。空集是个特殊的集合，它有2个特点：空集∅是任意一个非空集合的真子集。空集是任何一个集合的子集 [4]  。集合中元素的特性给定一个集合，任给一个元素，该元素或者属于或者不属于该集合，二者必居其一，不允许有模棱两可的情况出现。 [6] 互异性一个集合中，任何两个元素都认为是不相同的，即每个元素只能出现一次。有时需要对同一元素出现多次的情形进行刻画，可以使用多重集，其中的元素允许出现多次。 [6] 无序性一个集合中，每个元素的地位都是相同的，元素之间是无序的。集合上可以定义序关系，定义了序关系后，元素之间就可以按照序关系排序。但就集合本身的特性而言，元素之间没有必然的序。 

设F是一个域。一个F上的向量空间是一个集合V和两个运算：向量加法: V + V → V, 记作 v + w, ∃ v, w∈V标量乘法: F × V → V, 记作 a·v, ∃a∈F, v∈V符合下列公理 (∀ a, b ∈ F 及 u, v, w ∈ V)： 向量加法结合律：u + (v + w) = (u + v) + w； 向量加法交换律：v + w = w + v； 向量加法的单位元：V 里有一个叫做零向量的 0，∀ v ∈ V , v + 0 = v； 向量加法的逆元素：∀v∈V, ∃w∈V，使得 v + w = 0； 标量乘法分配于向量加法上：a(v + w) = a v + a w； 标量乘法分配于域加法上: (a + b)v = a v + b v； 标量乘法一致于标量的域乘法: a(b v) = (ab)v； 标量乘法有单位元: 1 v = v, 这里 1 是指域 F 的乘法单位元。 有些教科书还强调以下两个公理：V 闭合在向量加法下：v + w ∈ VV 闭合在标量乘法下：a v ∈ V更抽象的说，一个F上的向量空间是一个F-模。V的成员叫作向量，而F的成员叫作标量。若F是实数域R，V称为实向量空间；若F是复数域C，V称为复向量空间；若F是有限域，V称为有限域向量空间；对一般域F，V称为F-向量空间。 首4个公理是说明向量V在向量加法中是个阿贝尔群，余下的4个公理应用于标量乘法。以下都是一些很容易从向量空间公理推展出来的特性： 零向量0 ∈ V（公理3）是唯一的 a 0 = 0，∀ a ∈ F 0 v = 0，∀ v ∈ V，这里 0 是F的加法单位元 a v = 0 ，则可以推出要么 a = 0 ，要么 v = 0 v的加法逆元（公理4）是唯一的（写成−v），这两个写法v − w 及 v + (−w) 都是标准的 (−1)v = −v，∀ v ∈ V (−a)v = a(−v) = −(av)，∀ a ∈ F ，∀ v ∈ V

一个向量空间包括三块，基础集，两种二元运算，加法，标量乘。暂且用实数域的符号表示，比较熟悉。 然后还必须满足一些性质，基础集关于加法运算构成阿贝尔群，基础集关于标量乘构成一个左作用。结合起来就是向量空间是标量域的R-Mod。也称之为左模。 环上的模，就是抽象代数结构环上定义的另一种代数结构，环上的典型的阿贝尔群就是环上的加法子群。 左作用，更像是函数作用，要求满足结合性，关于加法的两种分配律，最后是恒等作用。对应着就像函数的复合运算，恒等映射。所以称之为作用。就像函数作用于数一样。 于是，向量空间定义就得到了极大的简化。从八条性质，变为了两条陈述。 关于加法构成阿贝尔群意味着标量乘相当于左作用意味着这样就容易记了。 向量空间往往用这个符号表示 ，说明是由n个R生成的。 这里可以联想到张量空间 ，由向量空间和对偶向量空间生成，张量积符号是非交换的，所以往往不能缩写，这里为了方便，没有写成交错项。 其实他们区别也不大，基底分别是向量空间由标量域生成，张量空间由向量空间生成，都是一种结构的扩张，尽管如此，他们还都是向量空间，仅仅是维数提高了。当然，对于附加的结构也会体现一些新的性质。抓住向量空间这一主线的话，张量就容易理解了，不至于深陷于各种指标与符号，结果忽视了他的本质。张量不过是一个维数很高的向量，张量的分量也只是他的坐标，每个分量对应一个基底，分量的相等就代表张量的相等。各种人为定义的运算目的或者在于简化符号，避免公式太长，或者是简化计算，省去不必要的分量计算。

设 K 是域(比如实数域),并设 V 是在 K 上的向量空间.如同平常,我们称 V 的元素为向量并称 K 的元素为标量.假设 W 是 V 的子集.如果 W 自身是带有同 V 一样的向量空间运算的向量空间,则它是 V 的子空间. 要使用这个定义,我们必须证明所有向量空间的性质对 W 都成立.作为替代,我们可以证明一个定理,它提供给我们证实一个向量空间的子集是子空间的更容易的方式. 定理:设 V 是在域 K 上的向量空间,并设 W 是 V 的子集.则 W 是个子空间,当且仅当它满足下列三个条件: 零向量 0 在 W 中. 如果 u 和 v 是 W 的元素,则向量和 u + v 是 W 的元素. 如果 u 是 W 的元素而 c 是来自 K 的标量,则标量积 cu 是 W 的元素. 向量子空间是向量空间在向量加法下的子群. 例子 :设域 K 是实数的集合 R,并设向量空间 V 是欧几里得空间 R3.取 W 为最后的分量是 0 的 V 中所有向量的集合.则 W 是 V 的子空间. 证明: 给定 W 中 u 和 v,它们可以表达为 u = (u1,u2,0) 和 v = (v1,v2,0).则 u + v = (u1+v1,u2+v2,0+0) = (u1+v1,u2+v2,0).因此 u + v 也是 W 的元素. 给定 W 中 u 和 R 中标量 c,如果 u = (u1,u2,0),则 cu = (cu1,cu2,c0) = (cu1,cu2,0).因此 cu 也 是 W 的元素.

　　向量空间又称线性空间，是线性代数的中心内容和基本概念之一。那么你对向量空间了解多少呢?以下是由我整理关于什么是向量空间的内容，希望大家喜欢!　　向量空间的简介 　　在解析几何里引入向量概念后，使许多问题的处理变得更为简洁和清晰，在此基础上的进一步抽象化，形成了与域相联系的向量空间概念。譬如，实系数多项式的集合在定义适当的运算后构成向量空间，在代数上处理是方便的。单变元实函数的集合在定义适当的运算后，也构成向量空间，研究此类函数向量空间的数学分支称为泛函分析。 　　向量空间它的理论和 方法 在科学技术的各个领域都有广泛的应用。 　　向量空间的线性映射 　　若 V 和 W 都是域F上的向量空间，可以设定由V到W的线性变换或“线性映射”。这些由V到W的映射都有共同点，就是它们保持总和及标量商数。这个集合包含所有由V到W的线性映射，以 L(V, W) 来描述，也是一个域F上的向量空间。当 V 及 W 被确定后，线性映射可以用矩阵来表达。 　　同构是一对一的一张线性映射。如果在V 和W之间存在同构，我们称这两个空间为同构;域F上每一n维向量空间都与向量空间F同构。 　　一个在F场的向量空间加上线性映射就可以构成一个范畴，即阿贝尔范畴。 　　向量空间的额外结构 　　研究向量空间很自然涉及一些额外结构。额外结构如下： 　　一个实数或复数向量空间加上长度概念。就是范数称为赋范向量空间。 　　一个实数或复数向量空间加上长度和角度的概念，称为内积空间。 　　一个向量空间加上拓扑学符合运算的(加法及标量乘法是连续映射)称为拓扑向量空间。 　　一个向量空间加上双线性算子(定义为向量乘法)是个域代数。 　　向量空间的公理化定义 　　设F是一个域。一个F上的向量空间是一个集合V和两个运算： 　　向量加法: V + V → V, 记作 v + w, ∃ v, w∈V 　　标量乘法: F × V → V, 记作 a·v, ∃a∈F, v∈V 　　符合下列公理 (∀ a, b ∈ F 及 u, v, w ∈ V)： 　　向量加法结合律：u + (v + w) = (u + v) + w; 　　向量加法交换律：v + w = w + v; 　　向量加法的单位元：V 里有一个叫做零向量的 0，∀ v ∈ V , v + 0 = v; 　　向量加法的逆元素：∀v∈V, ∃w∈V，使得 v + w = 0; 　　标量乘法分配于向量加法上：a(v + w) = a v + a w; 　　标量乘法分配于域加法上: (a + b)v = a v + b v; 　　标量乘法一致于标量的域乘法: a(b v) = (ab)v; 　　标量乘法有单位元: 1 v = v, 这里 1 是指域 F 的乘法单位元。 　　有些教科书还强调以下两个公理： 　　V 闭合在向量加法下：v + w ∈ V 　　V 闭合在标量乘法下：a v ∈ V 　　更抽象的说，一个F上的向量空间是一个F-模。V的成员叫作向量，而F的成员叫作标量。若F是实数域R，V称为实向量空间;若F是复数域C，V称为复向量空间;若F是有限域，V称为有限域向量空间;对一般域F，V称为F-向量空间。

一、从四者的定义区分：1、一维空间的定义：一维空间是指只由一条线内的点所组成的空间，它只有长度，没有宽度和高度，只能向两边无限延展。2、二维空间的定义：二维空间是指仅由长度和宽度（在几何学中为X轴和Y轴）两个要素所组成的平面空间，只向所在平面延伸扩展。3、三维空间的定义：三维空间，日常生活中可指由长、宽、高三个维度所构成的空间。4、四维空间的定义：四维空间指的是标准欧几里得空间，可以拓展到n维。二、从四者的属性区分：1、一维空间的属性：只有长度，没有宽度和高度。2、二维空间的属性：既有长度又有宽度。3、三维空间的属性：有长度、宽度和高度。4、四维空间的属性：三个空间维度和一个时间维度。三、从四者的适用范围区分：1、一维空间的适用范围：空间物理、高等数学。2、二维空间的适用范围：数学、计算机。3、三维空间的适用范围：数学、物理。4、四维空间的适用范围：量子、宇宙学。参考资料来源：百度百科-一维空间参考资料来源：百度百科-二维空间参考资料来源：百度百科-三维空间参考资料来源：百度百科-四维空间（标准欧几里得空间）

什么是空间，空间的本质是一个集合，集合里面包含元素。这个空间的含义与我们生活中描述的空间含义是一致的，如我们说"宇宙空间"就是因为宇宙是一个大的集合，里面包括有恒星，行星等等。 线性代数中接触的有如二维空间，三维空间， 维空间等空间的本质也是一个集合，我们管这种空间叫做 。在基础的几何学里，就是在欧几里得空间处理诸如 点，线，面 这样的几何元素之间的关系。 从有序实数元组集合来看，欧几里得空间可以理解为一个点集，每个点的实质就是一个有序的实数元组。 从向量视角来看，欧几里得空间就是一个起点为原点的向量集合； 在欧几里得空间，一个点其实可以看成一个向量。 在线性代数领域，我们不讨论其它空间(如宇宙空间，一个房子所形成的空间)，而是研究一种特殊的空间，就是欧几里得空间(有序实数元组集合 )，更进一步欧几里得空间不仅仅是一个 空间 (空间作为一个集合，它可能是杂乱无章的，也可以是有序的，这不方便进行研究)，同时还是一个 向量空间 (一种具有特殊性质的空间)。 向量空间: 空间中的元素是“向量”。其中“向量”这个名词的定义是很广泛的，不仅仅指之前学习的“起点在原点，并且有方向”这种概念的向量(这种向量是定义在欧几里得空间里的描述)。 “向量”的具体定义，或者说一个元素具体满足哪些性质可以称之为“向量”？数学家给出的定义是对于向量来说必须定义两种运算：①加法运算 ，②数量乘法 。 是向量空间，在欧几里得空间的这些向量(元素)是有序实数元组，对这些向量定义的加法和数量乘法两种基础运算也都满足“向量的十条性质”。 在这个世界上 向量空间 不仅仅只有欧几里得空间，而是存在有无数的向量空间，不同的向量空间对应的元素是不一样的，其中零向量是谁，负的向量是谁，包括向量的加法，数量乘法的定义都有可能不一样。 对于我们接触到的很多具体的实际问题的处理上近乎都是在欧几里得空间中进行处理的。

数组的秩是指数组矩阵化后，行向量或列向量的线性无关组的最大个数。简单来说，就是一个矩阵中非零向量所组成的最大线性无关组的个数。例如，给定以下矩阵：$$ A = egin{pmatrix} 1 & 1 & 0 2 & 1 & -1 3 & 2 & -1 end{pmatrix} $$将该矩阵按行向量矩阵化得：$$ egin{pmatrix} 1 & 1 & 0 2 & 1 & -1 3 & 2 & -1 end{pmatrix} $$将矩阵进行初等行变换得：$$ egin{pmatrix} 1 & 1 & 0 0 & -1 & -1 0 & -1 & -1 end{pmatrix} $$可以看出，第一行是线性无关的，因为它包含两个非零元素。然而，第二行和第三行是线性相关的，因为它们只有一个非零元素。因此，该矩阵的秩为2。s

矩阵的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵A的秩。通常表示为r(A)，rk(A)或rank A。m × n矩阵的秩最大为m和n中的较小者，表示为 min(m,n)。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩；类似的，否则矩阵是秩不足（或称为“欠秩”）的。设A是一组向量，定义A的极大无关组中向量的个数为A的秩。定义1. 在m*n矩阵A中，任意决定k行和k列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。例如，在阶梯形矩阵中，选定1，3行和3，4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式 就是矩阵A的一个2阶子式。定义2. A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩，记作rA，或rankA或R(A)。特别规定零矩阵的秩为零。显然rA≤min(m,n) 易得：若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r<min(m,n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n，通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵, det(A)&sup1; 0；不满秩矩阵就是奇异矩阵，det(A)=0。由行列式的性质1(1.5[4])知，矩阵A的转置AT的秩与A的秩是一样的。例1. 计算下面矩阵的秩，而A的所有的三阶子式，或有一行为零；或有两行成比例，因而所有的三阶子式全为零，所以rA=2。矩阵的秩引理 设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。定理 矩阵的行秩，列秩，秩都相等。定理 初等变换不改变矩阵的秩。定理 矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb};当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。当r(A)<=n-1时，最高阶非零子式的阶数<=n-1，所以n-1阶子式有可能不为零，所以伴随阵有可能非零（等号成立时伴随阵必为非零）。

kernel 和 SVM 完全是两个正交的概念，早在SVM提出以前，reproducing kernel Hilbert space（RKHS）的应用就比较广泛了。一个经典的例子就是信号处理中signal detection的问题：给一条time series我如何知道它不是一个random walk的噪音而是有一个特定的pattern在里面呢？在这个情景下，RKHS理论就给出了一个通过现实求解likelihood ratio的假设检验方案，其中的kernel实际上是某个随机过程 R(t) 在两个不同时间点的correlation。很多人觉得kernel定义了一个从低维度到高维度的映射，这是不准确的。首先，并不是所有空间都像欧式空间那样有所谓“维度”的良好定义，很多空间是没有维度的意义的，或者可以认为维度都是无穷大，这样就无法区分不同的RKHS了。但是kernel确实可以定义一个映射，而且确实是一个非常强大的映射，很多方法在这个映射下是可以直接推广到kernel space的，包括SVM，logistic regression, least squre，dimension reduction。我略过数学的setup（估计也没有人看）简单讲讲RKHS是什么一个故事：实际上RKHS的定义是反过来的，首先在原空间上考虑所有连续函数，这些连续函数可以做加法和数乘，所以真主给他们（中的一部分）施加一个内积结构，比如所有二阶多项式其系数在欧式空间展开构成的内积就是高票主提供的例子；这个内积实现中的一部分就可以对应到原空间中的两两之间点的kernel。所以RKHS是先有内积才有kernel的，但是另个一个牛逼的定理说，只要kernel满足一些条件，就存在这样一个（唯一的）内积结构与之对应。

1、v)m12(u,v)m21(u,v)m22(u,v)(4)为正定对称矩阵,称为度量矩阵.m11(u,v)=T1(u,v).T1(u,v)m12(u,v)=m21(u,v)=T1(u,v) 矩阵论主要研究的是线性空间以及在线性空间中的一些操作，主要是线性变换。当然书中主要是针对有限维的情况来讨论的，这样的话就可以用向量和矩阵来表示线性空间和线性变换，同其他的数学形式一样，矩阵是一种表达形式（notation），而这一方面可以简洁地表达出我们平时遇到的如线性方程和协方差关系的协方差矩阵等，另一方面又给进一步的研究或者问题的简化提供了一个平台。如特征值分析、稳定性分析就对应着诸如统计分布和系统稳定性等实际问题。而一系列的分解则可以方便方程的数值计算。作为矩阵论的学习，我们需要了解具体的一些计算究竟是怎么算的，但更关键的是要知道各个概念和方法的实际意义，各个概念之间的关系。 首先介绍的是线性空间，对于线性空间中的任意一个向量的表示由基（相当于度量单位）和坐标（相当于具体的尺度），基既然作为度量标准了，当然要求对每一个向量都适用，同时这个标准本身也应该尽可能的简洁，那么就得到了基定义的两点约束 １、基的组成向量线性无关；２、线性空间中的任一个向量都可以由基的线性表示。 基作为一种“计量标准”，当然可能会存在多种形式，只要满足上面的两点条件，因而就有必要解决不同的度量标准之间的转换关系，从而得到过渡矩阵的概念，同时可以使用这种转换关系（过渡矩阵）去完成度量量（坐标）之间的转换。 在完成了线性空间这一对象的认识和表达之后，下面需要研究对象和对象之间的关系。这里主要是线性变换，线性变换针对于实际对象主要完成类似于旋转和尺度变换方面的操作，而这种操作也牵涉到表达的问题。为了保持与空间的一致性，我们也同样是在在特定的基下来表示，从而线性变换就具体化为一个变换矩阵，并且，在不同的基下对应的变换矩阵当然也不相同，这里的不同的变换矩阵的关系就是相似的概念。 首先认识子空间（空间的组成部分），当然既然也是空间，也就要满足空间的加法和数乘的封闭性，要满足那八条定律。后者可以由父空间保证，前面的就要子空间自身素质了。同时要看子空间之间的并、交、直和运算和相应的秩的关系。这里提到了维数，就要多说几句了，空间中的元素往往是连续过渡的，但是对于有限空间而言还有离散的性质，那就是维数，我称其为“不伸则已，一伸则增一”，从这也就说明了为什么可以用若干个子空间的直和可以等价于原线性空间。 子空间的形式很多，有生成子空间、值域空间、零空间和特征子空间等等，我们重点看看特征子空间。一个空间可以划分为若干个特征子空间的直和形式，而每个特征子空间的共同特征就是具有相同的特征值，范围就是对应着这个特征值的若干特征向量的生成子空间。 为什么要这样划分？因为我们在平时的研究中，整个线性空间太大了，我们需要缩小研究范围，某一个或几个特征子空间就够了。或者是模式分类时，每一个样本点就属于某个子空间，我们首先需要知道有哪些类，类的特点是什么，这就是特征子空间。当然对于协方差矩阵而言，特征值还具有能量属性，在清楚各个特征子空间的位置，我们可以通过某些变换改变这些子空间的空间分布。在系统研究中，还可以在清楚特征子空间分布后成功地实现系统或方程的解耦。呵呵，可能其用途很多很多，但关键的一点就是，我们必须认识空间的结构，在此基础上再结合对应的物理空间或几何空间的实际意义进行进一步的处理。 人心苦不足，在知道了上面的东西之后，大家在想，可视的二维平面和三维立体空间中，为了研究向量的长度及向量和向量之间的角度，提出了内积的概念，在线性空间中，人们也对内积的概念作了延拓，于是在原先的线性空间添油加醋改装成了内积空间（分为实数的欧式空间和复内积空间），这里的油醋就是以下的四点：1、交换律；2、分配律；3、齐次性；4、非负性。向量自身的内积开二次根得到长度，两个向量内积除以两个向量的长度得到角度的余弦。所有这些都是与可视空间中的性质是一致的（可以参阅《由相容性想到的》）。这里要注意的是，它只给出了内积的约束，但在具体的向量空间中内积的计算形式却没有硬性规定，要想量化内积，很自然地就是要知道，量化的标准是什么，这就引出了度量矩阵（结合具体的内积计算式，计算得到的基的内积构成的矩阵）的概念。考虑到内积的非负性和交换律，度量矩阵必须是对称正定矩阵。这里也和前面一样，度量矩阵是在一定基下定义的，当基变化了，度量矩阵也会发生改变，相同的内积定义式在不同的基下得到的度量矩阵是合同的，呵呵，又多了一个概念。而且，对称变换、正交性也在内积这找到了家。 最原始的就是按坐标收敛，不过那么多的元素要收敛，太累了！怎么办呢？其实这从本质上来说是多元衡量尺度一元化的问题，于是就找出了范数的概念，用一个范数来代替多个元素的收敛问题讨论。不同矩阵范数的等价性保证了函数极限的一致性。在某种程度上范数成了距离的代名词，但要注意的是范数的概念要比距离强得多（主要是增加了绝对齐次性），我们会用范数去表示不同样本之间的距离，用范数去表示误差程度，用范数去衡量许许多多的表示某种程度的量。

1、v)m12(u,v)m21(u,v)m22(u,v)(4)为正定对称矩阵,称为度量矩阵.m11(u,v)=T1(u,v).T1(u,v)m12(u,v)=m21(u,v)=T1(u,v)　　矩阵论主要研究的是线性空间以及在线性空间中的一些操作，主要是线性变换。当然书中主要是针对有限维的情况来讨论的，这样的话就可以用向量和矩阵来表示线性空间和线性变换，同其他的数学形式一样，矩阵是一种表达形式（notation），而这一方面可以简洁地表达出我们平时遇到的如线性方程和协方差关系的协方差矩阵等，另一方面又给进一步的研究或者问题的简化提供了一个平台。如特征值分析、稳定性分析就对应着诸如统计分布和系统稳定性等实际问题。而一系列的分解则可以方便方程的数值计算。作为矩阵论的学习，我们需要了解具体的一些计算究竟是怎么算的，但更关键的是要知道各个概念和方法的实际意义，各个概念之间的关系。 　　首先介绍的是线性空间，对于线性空间中的任意一个向量的表示由基（相当于度量单位）和坐标（相当于具体的尺度），基既然作为度量标准了，当然要求对每一个向量都适用，同时这个标准本身也应该尽可能的简洁，那么就得到了基定义的两点约束　１、基的组成向量线性无关；２、线性空间中的任一个向量都可以由基的线性表示。　　基作为一种“计量标准”，当然可能会存在多种形式，只要满足上面的两点条件，因而就有必要解决不同的度量标准之间的转换关系，从而得到过渡矩阵的概念，同时可以使用这种转换关系（过渡矩阵）去完成度量量（坐标）之间的转换。　　在完成了线性空间这一对象的认识和表达之后，下面需要研究对象和对象之间的关系。这里主要是线性变换，线性变换针对于实际对象主要完成类似于旋转和尺度变换方面的操作，而这种操作也牵涉到表达的问题。为了保持与空间的一致性，我们也同样是在在特定的基下来表示，从而线性变换就具体化为一个变换矩阵，并且，在不同的基下对应的变换矩阵当然也不相同，这里的不同的变换矩阵的关系就是相似的概念。　　　到此，我们完成了空间中向量的表示和线性变换的矩阵表达。这里涉及了基、坐标、过渡矩阵、变换矩阵、相似矩阵这几个重要的概念。上面算是内涵上的认识，下面我们需要知道线性空间里究竟有些什么东西，它是如何组成的，各个组成成分之间的关系，也就是空间的结构性方面的东西。　　首先认识子空间（空间的组成部分），当然既然也是空间，也就要满足空间的加法和数乘的封闭性，要满足那八条定律。后者可以由父空间保证，前面的就要子空间自身素质了。同时要看子空间之间的并、交、直和运算和相应的秩的关系。这里提到了维数，就要多说几句了，空间中的元素往往是连续过渡的，但是对于有限空间而言还有离散的性质，那就是维数，我称其为“不伸则已，一伸则增一”，从这也就说明了为什么可以用若干个子空间的直和可以等价于原线性空间。　　子空间的形式很多，有生成子空间、值域空间、零空间和特征子空间等等，我们重点看看特征子空间。一个空间可以划分为若干个特征子空间的直和形式，而每个特征子空间的共同特征就是具有相同的特征值，范围就是对应着这个特征值的若干特征向量的生成子空间。　　为什么要这样划分？因为我们在平时的研究中，整个线性空间太大了，我们需要缩小研究范围，某一个或几个特征子空间就够了。或者是模式分类时，每一个样本点就属于某个子空间，我们首先需要知道有哪些类，类的特点是什么，这就是特征子空间。当然对于协方差矩阵而言，特征值还具有能量属性，在清楚各个特征子空间的位置，我们可以通过某些变换改变这些子空间的空间分布。在系统研究中，还可以在清楚特征子空间分布后成功地实现系统或方程的解耦。呵呵，可能其用途很多很多，但关键的一点就是，我们必须认识空间的结构，在此基础上再结合对应的物理空间或几何空间的实际意义进行进一步的处理。　　人心苦不足，在知道了上面的东西之后，大家在想，可视的二维平面和三维立体空间中，为了研究向量的长度及向量和向量之间的角度，提出了内积的概念，在线性空间中，人们也对内积的概念作了延拓，于是在原先的线性空间添油加醋改装成了内积空间（分为实数的欧式空间和复内积空间），这里的油醋就是以下的四点：1、交换律；2、分配律；3、齐次性；4、非负性。向量自身的内积开二次根得到长度，两个向量内积除以两个向量的长度得到角度的余弦。所有这些都是与可视空间中的性质是一致的（可以参阅《由相容性想到的》）。这里要注意的是，它只给出了内积的约束，但在具体的向量空间中内积的计算形式却没有硬性规定，要想量化内积，很自然地就是要知道，量化的标准是什么，这就引出了度量矩阵（结合具体的内积计算式，计算得到的基的内积构成的矩阵）的概念。考虑到内积的非负性和交换律，度量矩阵必须是对称正定矩阵。这里也和前面一样，度量矩阵是在一定基下定义的，当基变化了，度量矩阵也会发生改变，相同的内积定义式在不同的基下得到的度量矩阵是合同的，呵呵，又多了一个概念。而且，对称变换、正交性也在内积这找到了家。　　老是待在线性代数的视野范围内，终归有些不爽，下面就正式进入了分析的领域，既然是矩阵分析，首先就是什么是矩阵函数，该如何定义，当然书中是先从矩阵级数出发的，既然是级数，就会牵涉到部分和的收敛问题，收敛就是极限问题，如何定义矩阵的极限？　　最原始的就是按坐标收敛，不过那么多的元素要收敛，太累了！怎么办呢？其实这从本质上来说是多元衡量尺度一元化的问题，于是就找出了范数的概念，用一个范数来代替多个元素的收敛问题讨论。不同矩阵范数的等价性保证了函数极限的一致性。在某种程度上范数成了距离的代名词，但要注意的是范数的概念要比距离强得多（主要是增加了绝对齐次性），我们会用范数去表示不同样本之间的距离，用范数去表示误差程度，用范数去衡量许许多多的表示某种程度的量。

n*n的矩阵空间维数是n²。本质上和列（行）空间的维数是一样的，都是指基中元的个数。

就是矩阵有限次幂的各个元素在当n趋向无穷时都有极限，由这些极限元素组成的矩阵就是矩阵的幂的极限了。

a是方阵，存在正整数k，使得a^k=0，那么a叫幂零阵。或者等价的，所有特征值均为0的方阵叫幂零阵。

第一，可逆矩阵只是针对方阵来说的，不是方阵的矩阵，不存在可逆不可逆的概念。第二，根据矩阵相乘的规则，左边的矩阵列数等于右边矩阵的行数的时候，才能相乘。那么矩阵的幂，是矩阵自己和自己相乘，根据矩阵乘法的原则，就要求左边矩阵（自己这个矩阵）的列数等于右边矩阵（还是自己）的行数。即能自己相乘的矩阵必须满足列数等于行数的要求。也就是必须是方阵。

矩阵，是线性代数中的基本概念之一。一个m×n的矩阵就是m×n个数排成m行n列的一个数阵。由于它把许多数据紧凑的集中到了一起，所以有时候可以简便地表示一些复杂的模型

设A为m×n阶矩阵（即m行n列），第i 行j 列的元素是a(i,j)，即：A=a(i,j)定义A的转置为这样一个n×m阶矩阵B，满足B=a(j,i)，即 b (i,j)=a (j,i)（B的第i行第j列元素是A的第j行第i列元素），记A"=B。(有些书记为AT=B，这里T为A的上标）直观来看，将A的所有元素绕着一条从第1行第1列元素出发的右下方45度的射线作镜面反转，即得到A的转置。例：

矩阵的迹：主对角线（左上至右下的那一条）上所有元素之和。记作tr(A)，其中A为方阵。

http://baike.baidu.com/view/686970.html?wtp=tt设M是n阶实系数对称矩阵， 如果对任何非零向量 　　X=(x_1,...x_n) 都有 X′MX>0，就称M正定(Positive Definite)。

1. 是的，因为循序可交换2. 否。反例：要把矩阵的基向量调换位置，他们的征值及重数，阶数，特征向量，解空间基础解析 都相同。

两个矩阵等价，就是存在可逆矩阵P,Q使得，QAP=B

1、主子式：（1）n 阶行列式的 i 阶主子式为：（2）在n 阶行列式中，选取行号（如 1、3、7行），再选取相同行号的列号（1、3、7 列），则有行和列都为i个的行列式即为n阶行列式的i阶主子式，也可以说由上述选取的行列交汇处的元素所组成的新的行列式 就称为“n 阶行列式的一个 i 阶主子式”。（3）特殊的：n 阶行列式的 i 阶顺序主子式上述 i 阶主子式中定义中，由1—i 行和1—i 列所确定的子式即为“n 阶行列式的i 阶顺序主子式”。2、顺序主子式（1）n 阶行列式的i 阶顺序主子式是i 阶主子式的特殊情况。（2）n 阶行列式的i 阶顺序主子式是在i 阶主子式的定义中，由1—i 行和1—i 列所确定的子式。（3）顺序主子式一般形式值得注意的是，根据定义，i 阶主子式是不唯一的，而i 阶顺序主子式是唯一的。拓展资料：按照一定的规则，由排成正方形的一组(n个)数(称为元素)之乘积形成的代数和，称为n阶行列式。例如，四个数a、b、c、d所排成二阶行式记为  ，它的展开式为ad-bc。九个数a1，a2，a3;b1，b2，b3;c1，c2，c3排成的三阶行列式记为  ，它的展开式为a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2-a1b3c2-a2b1c3-a3b2c1. 行列式起源于线性方程组的求解，在数学各分支有广泛的应用。在代数上，行列式可用来简化某些表达式，例如表示含较少未知数的线性方程组的解等。在1683年，日本的关孝和最早提出了行列式的概念及它的展开法。莱布尼兹在1693年(生前未发表)的一封信中，也宣布了他关于行列式的发现。n阶行列式的性质性质1 行列互换，行列式不变。性质2 把行列式中某一行（列）的所有元素都乘以一个数K，等于用数K乘以行列式。性质3 如果行列式的某行(列）的各元素是两个元素之和，那么这个行列式等于两个行列式的和。性质4 如果行列式中有两行（列）相同，那么行列式为零。（所谓两行（列）相同就是说两行（列）的对应元素都相等）性质5 如果行列式中两行（列）成比例，那么行列式为零。性质6 把一行（列）的倍数加到另一行（列），行列式不变。性质7 对换行列式中两行（列）的位置，行列式反号。参考资料：主子式—百度百科   顺序主子式—百度百科

行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | 。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在 n 维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。性质：1、行列式转置后值不变。2、行列式，某两行（列）交换，符号改变。3、行列式，某一行（列）加上其他一行（列）的倍数，值不变。4、行列式，某一行（列）倍乘k，行列式变成原来的k倍。5、行列式，某两行（列）成比例或相等，行列式为0。6、行列式，某一行（列）为0，行列式为0。7、对角阵行列式，值等于主对角线元素相乘的乘积。注意。①行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。②行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。

这个题目是这样的 将最后一行按行展开得到两个n-1阶的行列式 如下 (-1)^(n+1)*y--------第一项系数y在n行1列,所以为n+1 y,0,0...0 x,y,0...0 0,x,y...0 . .x,y ----------第一项下三角行列式,结果y^(n-1) ---------------------------------------------------------------------------------------------------- (-1)^(n+n)x--------第二项系数y在n行n列,所以为n+n x,y.0 0,x,y.0 . .x----------第二项上三角行列式,结果x^(n-1) 所以,最终结果为 (-1)^(n+1)*y*y^(n-1)+(-1)^(n+n)x*x^(n-1) =[(-1)^(n+1)]y^n+x^n 可能写的不太好,不清楚再问我好了

　　行列式在数学中，是由解线性方程组产生的一种算式。行列式的定义是什么?以下是我为大家整理的关于行列式的定义，欢迎大家前来阅读! 　　行列式的定义 　　一个矩阵A的行列式有一个乍看之下很奇怪的定义： 　　其中 s g n(σ)是排列σ的符号差。 　　对于比较小的矩阵，比如说二阶和三阶的矩阵，行列式表达如下，有些像是主对角线(左上至右下)元素的乘积减去副对角线(右上至左下)元素的乘积(见图中红线和蓝线)。 　　2阶： 3阶：。 但对于阶数较大的矩阵，行列式有 n!项，并不是这样的形式。 　　二维向量组的行列式 　　行列式是向量形成的平行四边形的面积 　　设 P是一个二维的有向欧几里得空间，即一个所谓的欧几里得平面。两个向量 X和 X"的行列式是： 　　经计算可知，行列式表示的是向量 X和 X "形成的平行四边形的 有向面积。并有如下性质： 　　行列式为零当且仅当两个向量共线(线性相关)，这时平行四边形退化成一条直线。 如果以逆时针方向为正向的话，有向面积的意义是：平行四边形面积为正当且仅当向量 X和 X"逆时针排列(如图)。 行列式是一个双线性映射。 　　三维向量组的行列式 　　设 E是一个三维的有向欧几里得空间。三个三维向量的行列式是： 　　这时的行列式表示 X、 X"和 X""三个向量形成的平行六面体的 有向体积，也叫做这三个向量的混合积。同样的，可以观察到如下性质： 　　行列式为零当且仅当三个向量共线或者共面(三者线性相关)，这时平行六面体退化为平面图形，体积为零。 这时行列式是一个 “三线性映射”，也就是说，对第一个向量有 ，对第二、第三个向量也是如此。 　　基底选择 　　在以上的行列式中，我们不加选择地将向量在所谓的正交基下分解，实际上在不同的基底之下，行列式的值并不相同。这并不是说平行六面体的体积不唯一。恰恰相反，基底变换可以看作线性映射对基的作用，而不同基底下的行列式代表了基底变换对“体积”的影响。可以证明，对于所有同定向的标准正交基底，向量组的行列式的值是一样的。也就是说，如果我们选择的基底都是“单位长度”，并且两两正交，那么在这样的基底之下，平行六面体的体积是唯一的。 　　线性变换 　　经线性映射后的正方体 　　设 E是一个一般的 n维的有向欧几里得空间。一个线性变换把一个向量线性地变为另一个向量。比如说，在三维空间中，向量 (x,y,z)被射到向量 (x",y",z")： 　　其中 a、 b、 c等是系数。如右图，正方体(可以看作原来的一组基形成的)经线性变换后可以变成一个普通的平行六面体，或变成一个平行四边形(没有体积)。这两种情况表示了两种不同的线性变换，行列式可以将其很好地分辨出来(为零或不为零)。 　　更详细地说，行列式表示的是线性变换前后平行六面体的体积的变化系数。如果设左边的正方体体积是一，那么中间的平行六面体的(有向)体积就是线性变换的行列式的值，右边的平行四边形体积为零，因为线性变换的行列式为零。这里我们混淆了线性变换的行列式和向量组的行列式，但两者是一样的，因为我们在对一组基作变换。 　　严格的定义 　　由二维及三维的例子，我们可以看到一般的行列式应该具有怎样的性质。为了描述一个 n 维空间中的“平行多面体”的“体积”，行列式首先需要是 线性的，这可以由面积的性质得到。这里的线性是对于每一个向量来说的，因为当一个向量变为原来的 a倍时，“平行多面体”的“体积”也变为原来的 a倍。其次，当一个向量在 其它 向量组成的“超平面”上时，“平行多面体”的“体积”是零(可以想象三维空间的例子)。也就是说，当向量 线性相关时，行列式为零。于是可以得出行列式的定义： 　　向量组的行列式 　　行列式是 E到 K上的交替多线性形式。 　　具体来说，设 E是一个内积空间，一个从 E到 K上的交替多线性形式是指函数： 　　(多线性) 或者说，当 a i= a j的时候 (交替性) 所有 E到 K上的交替多线性形式的集合记作 An(E)。 　　定理： An(E)的维度是1，也就是说，设是 E的一组基，那么，所有的交替多线性形式都可以写成 　　其中是在基 B下的展开。 定理的证明是对任一个多线性形式，考虑将 D依照多线性性质展开， 　　这时，由交替性，当且仅当 是的一个排列，所以有 　　这里， 。 　　向量组的行列式设是 E的一组基， 基B的行列式就是唯一的(由定理可知)交替多线性形式使得： 　　det B( e1,..., e n) = 1 于是向量组 的行列式就是 　　其中是在基 B下的展开。 这个公式有时被称作莱布尼兹公式。 　　基变更公式设 B与 B"是向量空间中的两组基，则将上式中的 detB改为 detB"就得到向量组在两组基下的行列式之间的关系： 　　矩阵的行列式 　　设 M n( K)为所有定义在 K上的矩阵的集合。将矩阵 A的元素为 A=(aij)。将矩阵 M的 n 行写成， aj可以看作是上的向量。于是可以定义 矩阵A的行列式为向量组的行列式，这里的向量都在的正交基上展开，因此矩阵的行列式不依赖于基的选择。 　　这样定义的矩阵 A的行列式与向量组的行列式有同样的性质。单位矩阵的行列式为1，若矩阵的两行线性相关，则行列式为零。 　　由莱布尼兹公式，可以证明矩阵行列式的一个重要性质：一个矩阵的行列式等于它的转置矩阵的行列式。 　　也就是说矩阵的行列式既可以看作 n 个行向量的行列式，也可以看作 n 个列向量的行列式。 　　证明：矩阵 A的转置矩阵的行列式是： 　　令 j= σ( i)，由于每个排列都是双射，所以上式变成： 　　令τ = σ ，当 σ 取遍所有排列时，τ 也取遍所有排列，而且 σ 的符号差等于 τ 的符号差。所以 　　线性映射的行列式设 f是 n维线性空间 E到自身的线性变换(线性自同态)， f在 E的任意一组基下的变换矩阵的行列式都是相等的。设 B是 E的一组基。那么 f的行列式就是 f在 B下的变换矩阵的行列式： 　　之前对正方体做变换时， x1, ..., xn是原来的基，，因此可以混淆向量组的行列式和线性变换的行列式。 　　考虑映射 d f, B使得 x1, ..., xn被映射到 　　d f, B是一个交替n线性形式，因此由前面证的定理， d f, B和 d e t B只相差一个系数。 　　令 x1, ..., xn等于 B，则得到 　　λ = d f, B( B) 所以有 　　也就是说 　　对于另外一组基 B"，运用基变更公式，可以得到 du, B(B)等于 du, B " (B " )。于是 d f, B( B) 是一个不依赖于基，只依赖于 f的数。这正是 det f的定义。 　　特别地，行列式为 1 的线性变换保持向量组的行列式，它们构成一般线性群 GL(E)的一个子群 SL(E)，称作特殊线性群。可以证明， SL(E)是由所有的错切生成的，即所有具有如下形式的矩阵代表的线性变换： 　　也就是说，错切变换保持向量组形成的“平行多面体”的体积。同样，可以证明两个相似矩阵有相等的行列式。 　　行列式基本介绍 　　行列式简介 　　行列式在数学中，是由解线性方程组产生的一种算式。 [1]其定义域为nxn的矩阵 A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | 。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在 n 维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中(比如说换元积分法中)，行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。 行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和向量组的行列式的定义。 　　特性 　　行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数。 　　若干数字组成的一个类似于矩阵的方阵，与矩阵不同的是，矩阵的表示是用中括号，而行列式则用线段。行列式的值是按下述方式可能求得的所有不同的积的代数和，既是一个实数：求每一个积时依次从每一行取一个元因子，而这每一个元因子又需取自不同的列，作为乘数，积的符号是正是负决定于要使各个乘数的列的指标顺序恢复到自然顺序所需的换位次数是偶数还是奇数。也可以这样解释：行列式是矩阵的所有不同行且不同列的元素之积的代数和，和式中每一项的符号由积的各元素的行指标与列指标的逆序数之和决定：若逆序数之和为偶数，则该项为正;若逆序数之和为奇数，则该项为负。 　　逆序数 　　在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。逆序数为偶数的排列称为偶排列;逆序数为奇数的排列称为奇排列。如2431中，21，43，41，31是逆序，逆序数是4，为偶排列。 下一页更多相关精彩内容！

定义1. 在m*n矩阵A中，任意决定α行和β列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。 定义2. A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩，记作rA，或rankA或R(A)。 特别规定零矩阵的秩为零。 扩展资料 　　方阵(行数、列数相等的矩阵)的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵A的秩。通常表示为r(A)，rk(A)或 。 　　m × n矩阵的秩最大为m和n中的较小者，表示为 min(m,n)。有尽可能大的`秩的矩阵被称为有满秩；类似的，否则矩阵是秩不足（或称为“欠秩”）的

矩阵的解释[matrix] 数学元素(如联立线性方程的系数)的一组矩形排列 之一 , 服从 特殊 的 代数 规律 词语分解 矩的解释 矩 ǔ 画 直角 或方形的工具：矩尺（曲尺）。矩形（长方形）。力矩（物理学上指使物体转动的力乘以到转轴的距离）。 规矩 。 法则， 规则 ：循规蹈矩。 部首 ：矢； 阵的解释 阵 （阵） è 军队作战时布置的局势：阵线。阵势。 严阵以待 。 战场：阵地。阵亡。冲锋陷阵。 量词， 指事 情或动作 经过 的段落：阵发。阵痛。下了一阵雨。 部首：阝。

秩，就是看有多少，不多余的向量。在初等行变换中，消去的行，就是与其他向量线性相关的行剩下的就是全是线性无关的。因此，秩表示线性无关的行或列的个数。行列式等于零，意味着，矩阵不是满秩。其中有一行，系数可以变成零。系数为o，而k*0=0，0可以线性表示任何数，因此一定是线性相关。

在线性代数里，矢量空间的一组元素中，若没有矢量可用有限个其他矢量的线性组合所表示，则称为线性无关或线性独立[1](linearly independent)，反之称为线性相关(linearly dependent)。例如在三维欧几里得空间R的三个矢量(1, 0, 0)，(0, 1, 0)和(0, 0, 1)线性无关；但(2, −1, 1)，(1, 0, 1)和(3, −1, 2)线性相关，因为第三个是前两个的和。由此定义看出 是否线性相关，就看是否存在一组不全为零的数 k1, k2, ···,km使得上式成立。即是看这个齐次线性方程组是否存在非零解，将其系数矩阵化为最简形矩阵，即可求解。此外，当这个齐次线性方程组的系数矩阵是一个方阵时，这个系数矩阵存在行列式为0，即有非零解，从而 线性相关。

化为阶梯型矩阵，看拐角对应的列就是了✌️

所谓线性组合就是有一组系数，使得a=c1b1+c2b2+...+cnbn至于怎么找，一般都可以直接看出来，复杂点的就是普通的多元一次线性方程求解c1,c2,...,cn

空间向量（space vector）是空间中具有大小和方向的量。向量的大小叫做向量的长度或模（modulus)。 规定，长度为0的向量叫做零向量，记为 0. 模为1的向量称为单位向量。 与向量 a长度相等而方向相反的向量，称为 a的相反向量。记为- a 方向相等且模相等的向量称为相等向量。中文名空间向量外文名space vector基本定理1共线向量定理两个空间向量a,b向量(b向量不等于0），a∥b的充要条件是存在唯一的 实数λ，使a=λb2共面向量定理如果两个向量a,b不共线，则向量c与向量a,b共面的 充要条件是：存在唯一的一对实数x,y,使c=ax+by3 空间向量分解定理如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc。任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，零向量的表示唯一。卦限三个坐标面把 空间分成八个部分，每个部分叫做一个卦限。含有x轴 正半轴、y轴正半轴、z轴正半轴的卦限称为第一卦限，其他第二、三、四卦限，在xoy面的上方，按 逆时针方向确定。在第一、二、三、四卦限下面的部分分别称为第五、六、七、八卦限。[1]空间向量的八个卦限的符号　　ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧx+--++--+y++--++--z++++----问题立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。这里比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，起到一个抛砖引玉的作用。常识以下用向量法求解的简单常识：1、空间一点P位于平面MAB的充要条件是存在唯一的 有序实数对x、y，使得PM=xPA+yPB2、对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，若：OP=xOA+yOB+zOC（其中x+y+z=1），则四点P、A、B、C共面．3、利用向量证a∥b，就是分别在a，b上取向量a=λb（λ∈R）．4、利用向量证a⊥b，就是分别在a，b上取向量a·b=0 ．5、利用向量求两直线a与b的夹角，就是分别在a，b上取a,b，求：<a,b>的问题．6、利用向量求距离即求向量的模问题．7、利用坐标法研究线面关系或求角和距离，关键是建立正确的空间直角坐标系，正确表达已知点的坐标．计算第一步：按照图形建立三维坐标系O-xyz空间向量之后，将点的坐标带进去，求出所需向量的坐标。第二步：求平面的法向量：令法向量n=（x,y,z）因为法向量垂直于此平面所以n垂直于此面内两相交直线（其方向向量为a，b)可列出两个方程n·a=0,n·b=0两个方程，三个未知数然后根据计算方便取z（或x或y）等于一个数（如：1，√2等）代入即可求出面的一个法向量n的坐标了.会求法向量后1.斜线与平面所成的角就是求出斜线的方向向量与平面的法向量n的夹角，所求角为上述夹角的余角或者夹角减去π/2.2.点到平面的距离就是求出该面的法向量n在平面上任取(除被求点在该平面的射影外）一点，求出平面外那点和你所取的那点所构成的向量，记为a点到平面的距离就是法向量n与a的数量积的绝对值|n·a|除以法向量的模|n|即得所求.3.二面角的求法就是求出两个平面的法向量可以求出两个法向量的夹角为两向量的数量积除以两向量模的乘积 ：cos<n,m>=|n·m|/(|n||m|)那么二面角就是上面求的两法向量的夹角或者它的补角。4.设直线l,m的方向向量分别为a,b，平面α,β的法向量分别为μ,ν则线线平行 l∥m<=>a∥b<=>a=kb线面平行 l∥α<=>a⊥μ<=>a·μ=0面面平行α∥β<=>μ∥ν<=>μ=kν空间向量线线垂直 l⊥m<=>a⊥b<=>a·b=0线面垂直 l⊥α<=>a∥μ<=>a=kμ面面垂直α⊥β<=>μ⊥ν<=>μ·ν=05.向量的坐标运算：设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则1.|a|=√（x1²+y1²)2.a+b=(x1+x2,y1+y2)3.a-b=(x1-x2,y1-y2)4.ka=k(x1,y1)=(kx1,ky1)5.a·b=x1x2+y1y26.a∥b<=>x1y2=x2y1(一般写为：x1y2-x2y1=0)7.a⊥b<=>a·b=0<=>x1x2+y1y2=08.cos<a,b>=（a·b）/（|a|·|b|）=(x1x2+y1y2) / [ √(x1²+y1²)·√(x2²+y2²) ]注：x1中的1为下标，以此类推

空间向量 （英语：euclidean vector，物理、工程等也称作矢量 、欧几里得向量）是数学、物理学和工程科学等多个自然科学中的基本概念。指一个同时具有大小和方向，且满足平行四边形法则的几何对象。理论数学中向量的定义为任何在向量空间中的元素。一般地，同时满足具有大小和方向两个性质的几何对象即可认为是向量（特别地，电流属既有大小、又有正负方向的量，但由于其运算不满足平行四边形法则，公认为其不属于向量）。向量常常在以符号加箭头标示以区别于其它量。与向量相对的概念称标量或数量，即只有大小、绝大多数情况下没有方向（电流是特例）、不满足平行四边形法则的量。

平面向量定义三要素是起点、方向、长度。平面向量是在二维平面内既有方向(direction)又有大小(magnitude)的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量（标量）。平面向量用a,b,c上面加一个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。

起点，大小，方向

向量的叉乘公式(x1,y1,z1)X(x2,y2,z2)=(y1z2-y2z1, z1x2-z2y1, x1y2-x2y1)因为直角坐标系下，a=a1i+a2j+a3k,b=b1i+b2j+b3k; 而i=j×k，j=k×i，k=i×j（右手系），且i×i=0，j×j=0，k×k=0，再利用叉乘的分配律，自己推算一下吧向量叉乘的拉格朗日公式怎么推导拉格朗日公式 这是一个著名的公式,而且非常有用：a × (b × c) = b（a·c）− c（a·b）向量叉乘的分配律如何证明，求教ax(b+c)=axb + axc?这个可以用向量a，b，c的座标带进去，订边右边分别计算出结果，并证明相等向量ax向量b的叉乘怎么推导的这是个定义 规定这样 不用推导向量叉乘公式是什么啊叉乘，也叫向量的外积、向量积。顾名思义，求下来的结果是一个向量，记这个向量为c。|向量c|=|向量a×向量b|=|a||b|sin向量c的方向与a,b所在的平面垂直，且方向要用“右手法则”判断（用右手的四指先表示向量a的方向，然后手指朝着手心的方向摆动到向量b的方向，大拇指所指的方向就是向量c的方向）。因此向量的外积不遵守乘法交换率，因为向量a×向量b= -向量b×向量a在物理学中，已知力与力臂求力矩，就是向量的外积，即叉乘。将向量用坐标表示（三维向量），若向量a=(a1,b1,c1)，向量b=(a2,b2,c2)，则向量a×向量b=| i j k ||a1 b1 c1||a2 b2 c2|=(b1c2-b2c1,c1a2-a1c2,a1b2-a2b1)（i、j、k分别为空间中相互垂直的三条坐标轴的单位向量）。

点积是两个向量之间的一种运算，点积的结果是标量，点积也称内积、标量积或数量积。两个向量x和y的内积或点积，通常写作(x, y)或<x, y>，定义为：(x,y)=∑x"iyi；其中x"为x的共轭向量i=1...n，n为向量的长度。

设二维空间内有两个向量 和 ，定义它们的数量积（又叫内积、点积）为以下实数： 更一般地，n维向量的内积定义如下: 设二维空间内有两个向量 和 ，它们的夹角为 ，则内积定义为以下实数：该定义只对二维和三维空间有效。 以三维空间为例子①几何定义推导代数定义设 ， ，根据向量坐标的意义可知根据点乘的分配律得 又，所以　　注意：点乘的分配律在空间内可通过几何证明，无需藉助向量关系，因此不属于循环推导。　　②代数定义推导几何定义设，，它们的终点分别为和，原点为O，夹角为。则在△OAB中，由余弦定理得：利用距离公式对这个等式稍作处理，得去括号、合并得 注意：余弦定理和距离公式亦无需向量知识

点积在数学中，又称数量积，是指接受在实数R上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内积。两个向量a = [a1, a2,…, an]和b = [b1, b2,…, bn]的点积定义为：a·b=a1b1+a2b2+……+anbn。使用矩阵乘法并把（纵列）向量当作n×1 矩阵，点积还可以写为：a·b=（a^T）*b，这里的a^T指示矩阵a的转置。请点击输入图片描述

范数的定义是在泛函分析中，它定义在赋范线性空间中，并满足一定的条件，即非负性；齐次性；三角不等式。它常常被用来度量某个向量空间（或矩阵）中的每个向量的长度或大小。范数，是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函分析及相关的数学领域，范数是一个函数，是矢量空间内的所有矢量赋予非零的正长度或大小。半范数可以为非零的矢量赋予零长度。在二维的欧氏几何空间R中定义欧氏范数，在该矢量空间中，元素被画成一个从原点出发的带有箭头的有向线段，每一个矢量的有向线段的长度即为该矢量的欧氏范数。空间范数基本性质性质1：对于有限维赋范线性空间的任何一组基，范数是元素（在这组基下）的坐标的连续函数。性质2：（Minkowski定理）：有限维线性空间的所有范数都等价。性质3：（Cauchy收敛原理）：实数域（或复数域）上的有限维线性空间（按任何范数）必定完备。

小盆友你这问题就是有严重问题的……我只能把全部概念说一遍你自己去判断吧：一个矢量空间是：一个集合满足8条线性性质，具体可以到高等代数书上去查，主要就是满足数乘和加法；矢量空间里的元素就叫矢量。所以矢量本身不是定义的关键，你要定义只需要把矢量空间定义了就可以。所以你说的（1）应该是说，对于矢量空间，加法数乘等8条性质成立，相应的就确定了矢量空间，矢量随之确定。至于你说的（2），我姑且认为说的是实数上的n维欧氏空间rn吧（复数域上的矢量空间叫酉变换，只有实数域上才有所谓的正交变换），然后把我敢打赌你这句话是有毛病的，你仔细看看什么叫矢量是一个变换关系？？？你还是搞清楚要问什么再说吧。

矢量场主要指场，是一个矢量的平面，是二维的；矢量空间主要指空间，是一个三维的空间，是立体的空间。

矢量的意思是矢量：既有大小又有方向的量。一般来说，在物理学中称作矢量，在数学中称作向量。在计算机中，矢量图可以无限放大永不变形。矢量这一名词，是我们高中物理学习的入门，它区别于初中物理。例如，在初中的物理学习中，涉及到“速度”时，我们只说速度的大小，而高中物理中，“速度”是既要考虑大小，也要考虑方向的，也就是说，矢量是指在大小的基础上再加了一个方向。矢量的运算法则。矢量之间的运算要遵循特殊的法则。矢量加法一般可用平行四边形法则。由平行四边形法则可推广至三角形法则、多边形法则或正交分解法等。矢量减法是矢量加法的逆运算，一个矢量减去另一个矢量，等于加上那个矢量的负矢量。A-B=A+(-B)。矢量的乘法。矢量和标量的乘积仍为矢量。

矢量的定义：既有大小又有方向的量。一般来说，在物理学中称作矢量，在数学中称作向量。在计算机中，矢量图可以无限放大永不变形。补充资料：矢量是数学、物理学和工程科学等多个自然科学中的基本概念，指一个同时具有大小和方向的几何对象，因常常以箭头符号标示以区别于其它量而得名。直观上，矢量通常被标示为一个带箭头的线段。线段的长度可以表示矢量的大小，而矢量的方向也就是箭头所指的方向。物理学中的位移、速度、力、动量、磁矩、电流密度等，都是矢量。与矢量概念相对的是只有大小而没有方向的标量。

对于有限CW-复形(CW-Complex)包括有限单纯复形(simplicial complex)，欧拉示性数可以定义为交错和 其中 表示 维胞腔的个数。然后，可以把流形的欧拉示性数定义为一个和它同胚的单纯复形的欧拉示性数。例如，圆圈和环面其欧拉示性数为0而实心球欧拉示性数为1。闭可定向曲面的欧拉示性数可以通过它们的亏格 g 来计算闭不可定向曲面的欧拉示性数可以用下式通过它们的(不可定向)亏格k来计算欧拉示性数和三角化的选择无关。公式也可用于到任意多边形的分解。对于圆盘，我们有 , 对于平面我们有 , 数的时候把外面作为一个面。对于闭流形，欧拉示性数和欧拉数,也就是其切丛的在流形的基本类上计算的欧拉类。对于闭黎曼曲面，欧拉示性数也可以通过曲率的积分得到—参看对于二维情况的高斯-博内定理(Gauss-Bonnet)和对于一般情况的广义高斯-博内定理。高斯-博内定理的离散情况的对应是笛卡儿定理，它表明多面体用完整圆圈测量的“总亏量” ，是多面体的欧拉示性数；参看亏量。更一般的，对于所有拓扑空间，我们可以定义第 n 个贝蒂数 作为第 n 个同调群的阶。欧拉示性数可以定义为如下交换和这个定义在贝蒂数全都有限并且在一个特定指标 以外为0时有意义。两个同伦的拓扑空间有同构的同调群，所以有相同的欧拉示性数。从这个定义和庞加莱对偶性，可以得到所有闭合奇数维流形的欧拉数为0的结论。如果M和N是拓扑空间，则它们的积空间 M × N的欧拉示性数为

对于有限CW-复形(CW-Complex)包括有限单纯复形(simplicialcomplex)，欧拉示性数可以定义为交错和其中表示维胞腔的个数。然后，可以把流形的欧拉示性数定义为一个和它同胚的单纯复形的欧拉示性数。例如，圆圈和环面其欧拉示性数为0而实心球欧拉示性数为1。闭可定向曲面的欧拉示性数可以通过它们的亏格g来计算闭不可定向曲面的欧拉示性数可以用下式通过它们的(不可定向)亏格k来计算欧拉示性数和三角化的选择无关。公式也可用于到任意多边形的分解。对于圆盘，我们有,对于平面我们有,数的时候把外面作为一个面。对于闭流形，欧拉示性数和欧拉数,也就是其切丛的在流形的基本类上计算的欧拉类。对于闭黎曼曲面，欧拉示性数也可以通过曲率的积分得到—参看对于二维情况的高斯-博内定理(Gauss-Bonnet)和对于一般情况的广义高斯-博内定理。高斯-博内定理的离散情况的对应是笛卡儿定理，它表明多面体用完整圆圈测量的“总亏量”，是多面体的欧拉示性数；参看亏量。更一般的，对于所有拓扑空间，我们可以定义第n个贝蒂数作为第n个同调群的阶。欧拉示性数可以定义为如下交换和这个定义在贝蒂数全都有限并且在一个特定指标以外为0时有意义。两个同伦的拓扑空间有同构的同调群，所以有相同的欧拉示性数。从这个定义和庞加莱对偶性，可以得到所有闭合奇数维流形的欧拉数为0的结论。如果M和N是拓扑空间，则它们的积空间M×N的欧拉示性数为

圆或圆弧的切线方向即为切向，垂直于切线的为法向。

切向加速度就是圆周运动轨迹的切线方向的加速度，an=v^2/r法向加速度就是指向圆心并且与切向加速度垂直的加速度， at=dv/dt切向加速度：质点作曲线运动时所具有的沿轨道切线方向的加速度.其值为线速度对时间的变化率.当它与线速度方向相同时,质点的线速度将增大；当与线速度方向相反时,质点的线速度将减小.法向加速度：质点作曲线运动时,所具有的沿轨道法线方向的加速度.其作用只改变物体速度的方向,但不改变速度的大小。扩展资料：加速度（Acceleration）是速度变化量与发生这一变化所用时间的比值Δv/Δt，是描述物体速度变化快慢的物理量，通常用a表示，单位是m/s2。加速度是矢量，它的方向是物体速度变化（量）的方向，与合外力的方向相同。加速度 (acceleration) 表征单位时间内速度改变程度的矢量。一般情况下，加速度是个瞬时概念，它的常用单位是米/秒2、米/秒2等。参考资料：百度百科-切向加速度

数学上，卡拉比-丘流形（Calabi-Yau manifold，简称卡丘流形）是一个的第一陈示性类为0的紧n维K&auml;hler 流形，也叫做卡拉比-丘n-流形。数学家卡拉比在1957年猜想所有这种流形（对于每个K&auml;hler类）有一个里奇平直流形的度量，该猜想于1977年被丘成桐证明，成为丘定理（Yau"s theorem）。因此，卡拉比-丘流形也可定义为「紧里奇平直卡拉比流形」（compact Ricci-flat K&auml;hler manifold）。也可以定义卡拉比-丘n流形为有一个SU(n)和乐（holonomy）的流形。再一个等价的定义是流形有一个全局非0的全纯(n,0)-形式。

这称为Riemann度量.给出一个Riemann度量,就是给出了所有切向量的长度（和内积,当然,只有两个同一点处的切向量才有内积）；给出这种长度,有不同的给法,这就是不同的Riemann度量.能不能看成欧氏空间中的长度,要看怎么想,至于“转化”,我需要知道你想象中的转化具体是一个什么意思. 一点处的一个切向量,它所在的空间是这一点的切空间. 假如这个流形本身被放到了一个欧氏空间里,那么就可以直观的把这点处的切空间看成是这点的切平面（当然,不一定非得是个2维的面,取决于流形是多少维的）,这时候可以按照欧氏度量来定义这个切平面里向量的长度.这样就定义了一个Riemann度量.在定义这个度量的时候,我们其实用到了“把这个流形放到欧氏空间”里的这种放法,也就是用到了映射 i:M -> R^n,其中M是这个流形,i是个嵌入映射.刚才所给出的欧氏的这种度量,实际来源于R^n中向量的长度,这种度量称为由映射i诱导的度量. 一般情形是,我们往往不容易想象怎么把一个流形M放到一个欧氏空间里（尽管能放）,或者干脆不想（有时候维数比较大,即便知道怎么放到欧氏空间里,可能也并不直观）.这时候,一个切平面就是一个单独的欧氏空间,而没法把它看成某个大的欧氏空间里的一个平面或者什么的.

范畴：最一般的概念，这些概念反映着客观现实现象的基本性质和规律性以及规定着一个时代的科学理论思维的特点。物质、运动、意识、质和量、原因和结果、可能性和现实、自由和必然性等，所有这些都是范畴的例子。分析范畴是哲学的最重要的任务之一。范畴是已经经过无数次实践的证明，并已经内化、积淀为人类思维成果，是人类思维成果高级形态中具有高度概括性、结构稳定的基本概念，如：单一、特殊、普遍、形式、内容、本质、现象、原因、结果、必然性、偶然性、可能性、现实性等等,具有普遍的方法论意义。范畴是反映事物本质属性和普遍联系的基本概念。在哲学中，范畴（希腊文为κατηγορια）概念被用于对所有存在的最广义的分类。比如说时间，空间，数量，质量，关系等都是范畴。在分类学中，范畴是最高层次的类的统称。它既不同于学术界对于学问按照学科的分门别类，又有别于百科全书式的以自然和人类为中心的对知识的分类，范畴论是着眼于存在的本质区别的哲学分类系统，因而范畴论属于形而上学的本体论分支。

可度量化的意思是存在一个度量使得这个度量诱导的拓扑跟原有的拓扑一致.在离散度量下每个点都是开集(度量空间的开集是epsilon邻域的并)从而每个子集都是开集.有限集合上的所有度量都诱导离散拓扑,所以如果有限集合上的拓扑不是幂集,就不能被度量化.我对此的理解是：一个拓扑空间中的两个点并不是能用尺子量就叫可度量化，一个拓扑空间可度量化是说一个拓扑空间与由这个度量所诱导的空间同胚，也就是等价的意思。因为在离散度量下每个点都是开集，从而每个子集都是开集.所以在有限集合中，要求每个元素以致任意个元素的并也是开集，只有这样，才能与离散拓扑建立一一对应，也就是等价了。故在有限集合中如果不是离散拓扑，那么是不能与离散度量诱导的拓扑建立一一对应的，也就是不能度量化。因此，对于一个有限集合，只有离散拓扑才能被度量化。

范畴，是一个汉语词语，拼音是fàn chóu，一指人的思维对客观事物本质的概括的反映，二指类型；范围。基本解释1、领域，范围，多对抽象思维而言。应当把可查明的事实与个人的意见这两个范畴区分清楚。 2、范畴（希腊文为κατηγορια），哲学用语，中文翻译成范畴取“洪范九畴”之意，指的是最高级的概念，能应用于任何事物、最普遍的、哲学的概念。

聚点的等价定义：根据数列极限的几何意义，一个收敛于a的数列，在点a的任意去心邻域内都含有该数列的无穷多项，这样的点a正是（包含该数列在内的）点集E的聚点，可以严格证明，点集的聚点与极限点是等价的。聚点是拓扑空间的基本概念之一。设A为拓扑空间X的子集，a∈X，若a的任意邻域都含有异于a的A中的点，则称a是A的聚点。集合A的所有聚点的集合称为A的导集，聚点和导集等概念是康托尔(Cantor,G.(F.P.))研究欧几里得空间的子集时首先提出的。相关信息：注1：不只一个聚点时，最小的那个聚点是该数列的下极限，最大的那个聚点是该数列的上极限。若最小的聚点(下极限)和最大的聚点(上极限)重合，就是数列的唯一聚点(极限)注2：聚点(极限)是确定的有限的数，不能是+∞。

拓扑空间的开集是不定义的概念，犹如平面几何的点、直线是不定义的概念。因此有所谓“平庸的拓扑”，“离散的拓扑”.初学者感到抽象，不妨借助于数学分析的开集——为模型，犹如把光线当作直线的模型。数学分析的开集：集合中的每一个点都是内点，即它的充分小的邻域仍包含于这个集合.仅供参考。

设 是一个集合， 是一些 的子集构成的族，则( ， )被称为一个拓扑空间，如果下面的性质成立：1. 空集和属于 ，2. 中任意多个元素的并仍属于 ，3. 中有限个元素的交仍属于 。这时， 中的元素成为点（point）， 中的元素成为开集（open set）。我们也称 是 上的一个拓扑。

把具有某种共同特性的事物放在一起就是一个集合。这考试不会考的 理解就行

把所研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。

数学名词。一组具有某种共同性质的数学元素：有理数的集合

集合（简称集）是基本的数学概念，是集合论的研究对象，指具有某种特定性质的事物的总体（在最原始的集合论、朴素集合论中的定义，集合就是“一堆东西”。），集合里的事物，叫作元素。 现代的集合一般被定义为：由一个或多个确定的元素所构成的整体。概念集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总而成的集体。其中，构成集合的这些对象则称为该集合的元素。例如，全中国人的集合，它的元素就是每一个中国人。通常用大写字母如A,B,S,T,...表示集合，而用小写字母如a,b,x,y,...表示集合的元素。若x是集合S的元素，则称x属于S，记为x∈S。若y不是集合S的元素，则称y不属于S，记为y∉S。

集合（简称集）是数学中一个基本概念，它是集合论的研究对象，集合论的基本理论直到19世纪才被创立。最简单的说法，即是在最原始的集合论——朴素集合论中的定义，集合就是“一堆东西”。集合里的“东西”，叫作元素。由一个或多个元素所构成的叫做集合。若x是集合A的元素，则记作x∈A。集合中的元素有三个特征：1.确定性（集合中的元素必须是确定的） 2.互异性（集合中的元素互不相同。例如：集合A={1，a}，则a不能等于1） 3.无序性（集合中的元素没有先后之分）。

　　集合论的基础是由德国数学家 康托尔在19世纪70年代奠定的，经过一大批卓越的科学家半个世纪的努力，到20世纪20年代已确立了其在现代数学理论体系中的基础地位，可以说，现代数学各个分支的几乎所有成果都构筑在严格的集合理论上。集合的定义是什么?以下是我为大家整理的关于集合的定义，欢迎大家前来阅读!　　集合的定义 　　集合(简称集)是数学中一个基本概念，它是集合论的研究对象，集合论的基本理论直到19世纪才被创立。最简单的说法，即是在最原始的集合论——朴素集合论中的定义，集合就是“一堆东西”。集合里的“东西”，叫作元素。由一个或多个元素所构成的叫做集合。若x是集合A的元素，则记作x∈A。集合中的元素有三个特征：1.确定性(集合中的元素必须是确定的)2.互异性(集合中的元素互不相同。例如：集合A={1，a}，则a不能等于1)3.无序性(集合中的元素没有先后之分。) 　　集合的概念 　　集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总成的集体，这些对象称为该集合的 元素。例如全中国人的集合，它的元素就是每一个中国人。我们通常用大写字母如A,B,S,T,...表示集合，而用小写字母如a,b,x,y,...表示集合的元素。 若x是集合S的元素，则称x属于S，记为x∈S。若y不是集合S的元素，则称y不属于S,记为y∉S。一般的我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含无限个元素的集合叫做无限集。 　　集合 中不同元素的数目称为集合 的 基数，记作card( )。当其为有限大时，集合 称为 有限集，反之则为无限集。 　　有一类特殊的集合，它不包含任何元素，如 ，我们称之为 空集，记为 ∅。 　　设S,T是两个集合，如果S的所有 元素都属于T ，即 ， 其中符号 称为包含，即表示由左边的 命题可以推出右边的 命题，则称S是T的 子集，记为 。显然，对任何集合S ，都有 。 　　如果S是T的一个子集，即 ，但在T中存在一个 元素 x不属于S ，即 ，则称S是T的一个 真子集。 　　如果两个集合S和T的元素完全相同，则称S与T两个集合 相等，记为S=T 。显然我们有 其中符号 称为 当且仅当，表示左边的 命题与右边的 命题相互 蕴含，即两个命题 等价。 　　并集定义：由所有属于集合 或属于集合 的元素所组成的集合，记作 ∪ (或 ∪ )，读作“ 并 ”(或“ 并 ”)，即 ∪ ={ | ∈ ,或 ∈ }。并集越并越多。 　　交集定义：由属于 且属于 的相同元素组成的集合，记作A∩B(或 ∩ )，读作“ 交 ”(或“ 交 ”)，即 ∩ ={ | ∈ ,且 ∈ }。交集越交越少。 　　若 包含 ，则 ∩ = ， ∪ = 　　相对补集定义：由属于 而不属于 的元素组成的集合，称为 关于 的相对补集，记作 - 或 ，即 - ={ | ∈ ，且 ∉ "} 　　绝对补集定义： 关于全集合 的相对补集称作 的绝对补集，记作 "或∁u( )或~ 。· "= ; ‘= 　　定义：设有集合 ，由集合 所有子集组成的 集合，称为集合 的幂集。 　　定理：有限集 的 幂集的 基数等于2的 有限集 的 基数 次 幂。 　　数学分析中，最常遇到的实数集的子集是 区间。 　　设a,b(a 　　集合表示法 　　表示集合的 方法 通常有三种。 　　列举法就是将集合的元素逐一列举出来的方式。例如，光学中的三原色可以用集合{红，绿，蓝}表示;由四个字母a,b,c,d组成的集合A可用A={a,b,c,d}表示，如此等等。 　　列举法还包括尽管集合的元素无法一一列举，但可以将它们的变化规律表示出来的情况。如正整数集 和整数集 可以分别表示为 和 。 　　{代表元素|满足的性质} 　　设集合S是由具有某种性质P的元素全体所构成的，则可以采用描述集合中元素公共属性的方法来表示集合：S={x|P(x)} 　　例如，由2的平方根组成的集合B可表示为B={x|x =2}。 　　而有理数集 和正实数集 则可以分别表示为 和 。 　　N：非负整数集合或 自然数集合{0,1,2,3,…} 　　N*或 N+：正整数集合{1,2,3,…} 　　Z： 整数集合{…,-1,0,1,…} 　　Q： 有理数集合 　　Q+：正有理数集合 　　Q-：负有理数集合 　　R： 实数集合(包括有理数和无理数) 　　R+：正实数集合 　　R-：负实数集合 　　C： 复数集合 　　∅：空集合(不含有任何元素的集合称为空集合，又叫空集) 　　集合特性 　　给定一个集合，任给一个元素，该元素或者属于或者不属于该集合，二者必居其一，不允许有模棱两可的情况出现。 　　一个集合中，任何两个元素都认为是不相同的，即每个元素只能出现一次。有时需要对同一元素出现多次的情形进行刻画，可以使用 多重集，其中的元素允许出现多次。 　　一个集合中，每个元素的地位都是相同的，元素之间是无序的。集合上可以定义序关系，定义了序关系后，元素之间就可以按照序关系排序。但就集合本身的特性而言，元素之间没有必然的序。(参见 序理论) 　　交换律： ∩ = ∩ ∪ = ∪ 　　结合律： ∪( ∪ )=(A∪ )∪ ∩( ∩ =( ∩ ∩ 　　分 配对 偶律： ∩( ∪ )=( ∩ )∪( ∩ ) ∪( ∩ )=( ∪ )∩( ∪ ) 　　对偶律：( ∪ )^ = ^ ∩ ^ ( ∩ )^ = ^ ∪ ^ 　　同一律： ∪∅= ∩ = 　　求补律： ∪ "= ∩ "=∅ 　　对合律： ""= 　　等 幂律： ∪ = ∩ = 　　零一律： ∪ = ∩ = 　　吸收律： ∪( ∩ )= ∩( ∪ )= 　　德·摩根律(反演律)：( ∪ )"= "∩ " ( ∩ )"= "∪ " 　　德·摩根律：1.集合 与集合 的交集的 补集等于集合 的补集与集合 的补集的 并集; 2.集合 与集合 的并集的 补集等于集合 的补集与集合 的补集的交集。 　　容斥原理(特殊情况)： 　　card( ∪ )=card( )+card( )-card( ∩ )

1. 椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。即：{P| |PF1|+|PF2|=2a, (2a>|F1F2|)}。 2. 双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。即{P|||PF1|-|PF2||=2a, (2a<|F1F2|)}。 3. 抛物线：到一个定点和一条定直线的距离相等的动点轨迹叫做抛物线。 4. 圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。采纳吧！g( ⊙o⊙?)( ^_^ )

到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。圆锥曲线包括椭圆（圆为椭圆的特例），抛物线，双曲线。圆锥曲线（二次曲线）的（不完整）统一定义：到定点（焦点）的距离与到定直线（准线）的距离的商是常数e（离心率）的点的轨迹。当e>1时，为双曲线的一支，当e=1时，为抛物线，当0<e<1时，为椭圆，当e=0时，为一点。起源2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果。

1. 椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。即：{P| |PF1|+|PF2|=2a, (2a>|F1F2|)}。 2. 双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。即{P|||PF1|-|PF2||=2a, (2a<|F1F2|)}。 3. 抛物线：到一个定点和一条定直线的距离相等的动点轨迹叫做抛物线。 4. 圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。采纳吧！g( ⊙o⊙?)( ^_^ )

圆锥曲线，是由一平面截二次锥面得到的曲线。圆锥曲线包括椭圆（圆为椭圆的特例）、抛物线、双曲线。起源于2000多年前的古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线。圆锥曲线（二次曲线）的（不完整）统一定义：到平面内一定点的距离r与到定直线的距离d之比是常数e=r/d的点的轨迹叫做圆锥曲线。其中当e>1时为双曲线，当e=1时为抛物线，当0定点叫做该圆锥曲线的焦点，定直线叫做（该焦点相应的）准线，e叫做离心率。

因为这些曲线的来源是来自圆锥，是用平面从不同的方式截圆锥得到的，看一下下面网址中的图片，应该就很容易理解了~春节快乐~~