定义

对于任意函数f(x),构造函数： g(x)=[f(x)+f(-x)]/2 h(x)=[f(x)-f(-x)]/2 那么,显然g+h=f,且g为偶函数,h为奇函数.

根据傅里叶系数的表达式，这是对的：“若f是以2l为周期且在[-l,l]上可积的函数 ，则：系数：an=（1/l）∫（-l，l）cos（nπx/l）dx，n=0,1,2,3...bn=（1/l）∫（-l，l）sin（nπx/l）dx，n=1,2,3...

令M（x）=f（-x）+f(x) (偶函数) T(X)=f(x)-f(-x) (奇函数) 原函数为f（x） 定义域为(-L,L） 则f（x）=M（x）+T（x）的和除以2 所以就是 明白不

第五行“利用(1)、（2）式,可以做出.做如下证明”以前都是思维过程,是告诉你下面的证明方式是怎么想出来的,如果懂了,就可以不用管它了.真正的证明是下面的文字：设g(x)=[f(x)+f(-x)]/2.①h(x)=[f(x)-f(-x)]/2.②①+②即得g(x)+h(x)=f(x)；其中：g(-x)=[f(-x)+f(x)]/2=g(x),故g(x)是偶函数；h(-x)=[f(-x)-f(x)]/2=-h(x),故h(x)是奇函数.

一元函数f(x)的极限定义是：若x在无限趋于数a时，f(x)的值无限趋于某一确定的数L，则称函数f(x)当x趋于a时的极限为L，并用记号lim(x->a) f(x) = L 来表示。其中，a为函数f(x)的极限点，L为函数f(x)的极限值。 换句话说，当函数中自变量x无限接近某一点a时，函数值f(x)无限接近某一常数L，那么这个常数L就是函数的极限。若f(x)在x=a处无限接近一个确定值L，则函数f(x)就在x=a处有极限。需要注意的是，这个定义只适用于实数，不适用于复数。在实际应用中，比如微积分中，极限的定义是十分重要的概念，它是构建微积分理论的基础。如何学习函数：1、了解数学中函数的概念，包括自变量、因变量、定义域、值域等基本术语。2、学习不同类型的函数，例如线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等，理解它们的图像、性质和应用。3、熟练掌握函数的运算法则，包括函数的加减、乘除、复合等运算规则。4、学习函数的极限、导数和积分等概念，这是深入理解函数的重要基础。5、多做函数相关的题目和练习，特别是与实际问题相关的应用题，这有助于加深对函数的理解和应用能力。

（1）因为，f(x)是定义在对称区间(-L,L)又h(-x)=f(-x)+f(x)=h(x)，所以h(x)=f(x)+f(-x)是偶函数;而g(-x)=f(-x)-f(x)=-g(x)，所以g(x)=f(x)-f(-x)是奇函数；（2）因为h(x)=f(x)+f(-x)是偶函数，所以h(x)/2也是偶函数；g(x)=f(x)-f(-x)是奇函数，所以g(x)/2也是奇函数又f(x)=h(x)/2+g(x)/2而f(x)是定义在对称区间(-L,L)内的任何函数所以，定义在区间（-L，L）内的任何函数可以表示为一个偶函数与一个奇函数的和

第一步是假设证明的问题是条件 即是用的反证法.第二步是可以用第一步推出来的后面的是用前面的条件推出来的,把最后的结果的要证明的比较看矛盾不就可以了

证:∵f(x)在(0,l)内单调增加 设0<x1<x2<1所以f(x1)<f(x2)∵f(x）是在(-l,l)奇函数 所以f(x)=-f(-x)∴f(x1)<f(x2)可以变形为-f(-x1)<-f(-x2)也就是f(-x2)<f(-x1)∵0<x1<x2<1,所以 -1<-x2<x1<0∴f(x)在(-l,0)内也单调增加 任取m,n，满足0<m<n<l，则-l<-n<-m<0由题意有f(m)<f(n)即-f(-m)<-f(-n)f(-m)>f(-n)所以在(-l,0)内也单调增加。

复数是指能写成如下形式的数a+bi,这里a和b是实数,i是虚数单位（即-1开根）.由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入,经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作,此概念逐渐为数学家所接受.复数有多种表示法,诸如向量表示、三角表示,指数表示等.它满足四则运算等性质.它是复变函数论、解析数论、傅里叶分析、分形、流体力学、相对论、量子力学等学科中最基础的对象和工具 三角函数（Trigonometric）是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数.它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射.通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的,其定义域为整个实数域.另一种定义是在直角三角形中,但并不完全.现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解,将其定义扩展到复数系.它包含六种基本函数：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割.由于三角函数的周期性,它并不具有单值函数意义上的反函数.三角函数在复数中有较为重要的应用.在物理学中,三角函数也是常用的工具.一般地,对于数学对象X,我们可定义复数列{lambda_X(n)}_{n=1}^{infty},形如 L(s,X)=sum_{n=1}^{infty}frac{lambda_X(n)}{n^s},Res>1 且有Euler乘积的Dirichlet级数,我们称其为关于X的L-函数.1,L-函数的来源 一般地说,L-函数来源由两类组成:算术L-函数和自守L-函数.这两者又是密切联系在一起的,根据P.R.Langlands的猜想:笼统地说,一切有意义的L-函数都来自自守L-函数.算术L-函数:简单地说,是有算术有意义的L-函数.例如黎曼zeta-函数,Dirichlet L-函数,Dedekind zeta-函数,椭圆曲线的Haass-Weil L-函数,阿廷L-函数等等.自守L-函数:全纯模形式的L-函数,Maass L-函数,标准L-函数等等.

证明：设f(x)为定义在（-I,I）上的任意一个函数 令 h(x) =[f(x)+f(-x)]/2 则,h(-x)=[f(-x)+f(-(-x))]/2=[f(-x)+f(x)]/2= h(x) 所以,h(x)为偶函数. 令 g(x) =[f(x)-f(-x)]/2 则,g(-x)=[f(-x)-f(-(-x))]/2= -[f(x)-f(-x)]/2= -g(x) 所以g(x)为奇函数. 又因为,f(x)=[f(x)+f(-x)]/2 + [f(x)-f(-x)]/2 =h(x)+g(x) 所以,f(x)可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和

如果命题成立 则不妨设f(x)= g(x)+k(x) (1)其中g(x)为奇函数,k(x)为偶函数而f(-x)= g(-x)+k(-x)=-g(x)+k(x) (2)由(1)(2)得 g(x)=[f(x)-f(-x)]/2 k(x)=[f(x)+f(-x)]/2易证g(x)为奇函数,k(x)为偶函数所以命题成立

Г函数最初是由欧拉(Euler1707一1783)为解决问题——“找一个函数,使它定义在正整数上的值为阶乘,即f(n)=n!，n=1，2，3…”而提出的，不少数学家从各个不同角度对它下了各种形式各异的定义，最常见的定义则是被勒让特(Legendre1752一1833)称之为的欧拉Г函数：Г函数有以下的性质：（2019.1.18新增回答）最近看到一个介绍Г函数（伽马函数）特别好的一个网页(注：腾讯的工程师写的)，看完后不仅让我对伽马函数有了更深入的了解，还让我对发现该函数的大数学家欧拉佩服的五体投地！感兴趣的童鞋可以看看~名字叫《神奇的伽马函数》（2019.8.29）今天发现伽马函数的网页已经没有了，因此github上面找的一个markdown版本：网页链接

证：设偶函数为f（x）,奇函数为g（x） 则之和：h(x)=f（x）+g（x） 因为f（x）=f（-x）,g（x）=-g（-x） 所以h（-x）=f（-x）+g（-x）=f（x）-g（x） 所以h（x）≠h（-x）,h（x）+h(-x)=2f（x）≠0 所以奇函数与偶函数之和为非奇非偶函数

不用分的设函数是f(x)令2g(x)=f(x)+f(-x)2h(x)=f(x)-f(-x)则2g(-x)=f(-x)+f(x)=2g(x)2h(-x)=f(-x)-f(-x)=-2h(x)所以g(x)=[f(-x)+f(x)]/2是偶函数h(x)=[f(-x)-f(x)]/2是奇函数而f(x)=g(x)+h(x)命题得证

证明：设f(x)为定义在（-I，I）上的任意一个函数令h(x)=[f(x)+f(-x)]/2则，h(-x)=[f(-x)+f(-(-x))]/2=[f(-x)+f(x)]/2=h(x)所以，h(x)为偶函数。令g(x)=[f(x)-f(-x)]/2则，g(-x)=[f(-x)-f(-(-x))]/2=-[f(x)-f(-x)]/2=-g(x)所以g(x)为奇函数。又因为，f(x)=[f(x)+f(-x)]/2+[f(x)-f(-x)]/2=h(x)+g(x)所以，f(x)可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和

给楼主: 是我说的不对还是不好听啊,撤销问题对你自己有什么好处么?再次声明我这个人不是为了你的分才回答你的问题的,你可以看看我的回答.相信你要不是有困难,才不会来这里提问的!是的,这是一个定理,表述如下:设所定义的函数是:f(x),是一个任意函数,在(-1,1)是连续的.那么:有以下表达式:f(x)=1/2*[f(x)+f(-x)]+1/2[f(x)-f(-x)]很明显,上式是成立的,因为计算出来后两边是相等的.现在我们来分析这个式子.可以看出,式子中加号以前的部分即:1/2*[f(x)+f(-x)]是一个偶函数,因为代入-x后和原式是相等的.同样,加号以后的部分是一个奇函数,代入-x后即可以看出.所以对于任意一个定义在(-1,1)区间上的函数都可以表示为一个奇函数和一个偶函数的和.事实上,只要函数在定义域是关于0对称的,那么上式一定成立.

f(x)= 0=y=0（-1到1）的一条直线

母线在数学上的定义是指依一定条件运动而产生面的直线，比如说一条直线沿圆周运动成为圆柱体，这条直线就是母线，而圆周则称为准线。

互质,若N个整数的最大公因数是1，则称这N个整数互质。例如8,10的最大公因数是2，不是1，因此不是整数互质。7,11,13的最大公因数是1，因此这是整数互质。5和5不互质，因为5和5的公因数有1、5。1和任何数都成倍数关系，但和任何数都互质。因为1的因数只有1，而互质数的原则是：只要两数的公因数只有1时，就说两数是互质数。因为1只有一个因数所以1既不是质数（素数），也不是合数，无法再找到1和其他数的别的公因数了，所以1和除了零以外的任何整数互质。互质数的写法：如c与m互质，则写作（c,m）=1。小学数学教材对互质数是这样定义的：“公约数只有1的两个数，叫做互质数。”这里所说的“两个数”是指自然数。“公约数只有 1”，不能误说成“没有公约数。”

y=D(x)={1 ,x为有理数； {-1,x为无理数.

1、 自变量是x,应变量是y 2、 定义域是R 值域是{1,0} 3、 x=-1,y=1 x=根号2,y=0 x=6.4,y=1 x=3.1415,y=1

实数域上的狄利克雷（Dirichlet）函数表示为：（k，j为整数）也可以简单地表示分段函数的形式D(x)= 0（x是无理数）或1（x是有理数）

你指的是数学里么？那么就是1-1

对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。事实上，任何一个常数kT（k∈Z，且k≠0）都是它的周期。并且周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。1，做变量替换令y=x+1 ，得到 f（y）= -f(y+2)2，再一次套用这个式子，得到f(y+2)=-f(y+4)3,两个式子结合，得到f(y)=f(y+4)，所以，周期是4关键的地方是：凑出f(x)=f(x+T)，这时候T就是周期。而上面3个步骤就是往这个方向凑扩展资料：1 .周期函数：对于函数f(x)，如果存在非零常数T，使得当x取定义域D内的任何值时，都有f(x+T)=f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的 一个周期. 2.最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作函数f(x)的最小正周期. 3.若函数f(x)具有周期性，且非零常数T是f(x)的一个周期， 则kT（其中k是不等于零的任意整数）也是f(x)的周期.4.若数列{an}满足：对于任意的正整数n,都有则称数列{an}是以K为周期的周期数列。函数周期性的判定与应用(1)判定：判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T。(2)应用：根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期。

根据所含化学成分不同，熔点不同，高速钢的熔点通常在1350℃~1520℃之间。高速钢是一种具有高硬度、高耐磨性和高耐热性的工具钢，又称高速工具钢或锋钢，俗称白钢。高速钢是美国的F.W.泰勒和M.怀特于1898年创制的。高速钢的工艺性能好，强度和韧性配合好，因此主要用来制造复杂的薄刃和耐冲击的金属切削刀具，也可制造高温轴承和冷挤压模具等。除用熔炼方法生产的高速钢外，20世纪60年代以后又出现了粉末冶金高速钢，它的优点是避免了熔炼法生产所造成的碳化物偏析而引起机械性能降低和热处理变形。

当然了。f(x+t)=-f(x)=f(x-t)

定义通俗定义　　对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。 严格定义　　设f(x)是定义在数集M上的函数，如果存在非零常数T具有性质； 　　（1）对 有（X±T） ； 　　（2）对 有f（X+T）=f（X） 　　则称f（X）是数集M上的周期函数，常数T称为f（X）的一个周期。如果在所有正周期中有一个最小的，则称它是函数f（X）的最小正周期。 　　由定义可得：周期函数f（X）的周期T是与X无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。 [编辑本段]周期函数性质　　（1）若T（≠0）是f(X)的周期，则-T也是f(X)的周期。 　　（2）若T（≠0）是f(X)的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f(X)的周期。 　　（3）若T1与T2都是f(X)的周期，则T1±T2也是f(X)的周期。 　　（4）若f(X)有最小正周期T*，那么f(X)的任何正周期T一定是T*的正整数倍。 　　（5）T*是f(X)的最小正周期，且T1、T2分别是f(X)的两个周期，则 （Q是有理数集） 　　（6）若T1、T2是f(X)的两个周期，且T1/T2是无理数，则f(X)不存在最小正周期。 　　（7）周期函数f(X)的定义域M必定是双方无界的集合。 [编辑本段]周期函数的判定　　 定理1　　 　　 若f(X)是在集M上以T*为最小正周期的周期函数则K f(X)+C（K≠0）和1/ f(X)分别是集M和集｛X/ f(X) ≠0，X ｝上的以T*为最小正周期的周期函数。 [1] 　　证： 　　∵T*是f(X)的周期，∴对 有X±T* 且f(X+T*)= f(X)，∴K f(X)+C=K f(X+T*)+C， 　　∴K f(X)+C也是M上以T*为周期的周期函数。 　　假设T* 不是Kf(X)+C的最小正周期，则必存在T"（ 0＜T"＜T*）是K f(X)+C的周期，则对 ， 　　有K f(X+T")+C=K f(X) +C K[f(X+T")- f(X)]=0，∵K≠0，∴f(X+T")- f(X)=0，∴f(X+T")= f(X)， 　　∴T"是f(X)的周期，与T*是f(X)的最小正周期矛盾，∴T*也是K f(X)+C的最小正周期。 　　同理可证1/ f(X)是集｛X/ f(X) ≠0，X ｝上的以T*为最小正周期的周期函数。 定理2　　若f(X)是集M上以T*为最小正周期的周期函数，则f(aX+n)是集｛X/aX+ b ｝上的以T*/ 为最小正周期的周期函数，（其中a、b为常数）。 　　证： 　　先证 是f(ax+b)的周期 　　∵T*是f(X)的周期，∴ ，有X±T*∈M，∴a（X± ）+b=ax+b±T*∈M，且f[a（X+ ）+b]=f（ax+b±T*）=f（ax+b）∴ 是f（ax+b）的周期。 　　再证 是f（ax+b）的最小正周期 　　假设存在T"（0＜T"＜ ）是f（ax+b）的周期， 　　则f（a（x+T"）+b）=f（ax+b），即f（ax+b+aT"）=f（ax+b）， 　　因当X取遍｛X/X∈M,ax+b∈M｝的各数时,ax+b就取遍M所有的各数， 　　∴aT"是f(X)的周期，但 ＜=T*这与T*是f(X)的最小正周期矛盾。 定理3　　设f(u)是定义在集M上的函数u=g（x）是集M1上的周期函数，且当X∈M1时，g(x)∈M，则复合函数f(g(x))是M1上的周期函数。 　　证： 　　设T是u=g(x)的周期，则 1有（x±T）∈M1且g（x+T）=g(x) ∴f(g(x+T))=f(g(x)) 　　∴=f(g(x))是M1上的周期函数。 　　例1 　　设=f(u)=u2是非周期函数，u= g(X)=cosx是实数集R上的周期函数，则f(g(x))=cos2x是R上的周期函数。 　　同理可得：（1）f(X)=Sin(cosx)，（2）f(X)=Sin(tgx)，（3）f(X)=Sin2x，（4）f(n)=Log2Sinx(sinx＞0)也都是周期函数。 　　例2 　　f(n)=Sinn是周期函数，n=g(x)=ax+b(a≠0)是非周期函数，f(g(x))=Sin(ax+b)是周期函数（中学数学中已证）。 　　例3 　　f(n)=cosn是周期函数，n=g(x)= （非周期函数）而f(g(x))=cos 是非周期函数。 　　证：假设cos 是周期函数，则存在T＞0使cos （k∈Z） 与定义中T是与X无关的常数矛盾， 　　∴cos 不是周期函数。 　　由例2、例3说明，若f(u)是周期函数，u= g(X)是非周期函数，这时f(g(x))可能是，也可能不是周期函数。 定理4　　设f1(X)、f2(X)都是集合M上的周期函数，T1、T2分别是它们的周期，若T1/T2∈Q则它们的和差与积也是M上的周期函数，T1与T2的公倍 数为它们的周期。 　　证： 　　设 （(p·q)=1）设T=T1q=T2p则有： 有（x±T）=（x±T1q）=（x±T2p）∈M，且f1(x+T) ±f2（x+T）= f1(x+T1q) ±f2（x+T2p）= f1(X)±f2(X) ∴f1(X) ±f2(X)是以T1和T2的公倍数T为周期的周期函数。同理可证：f1(X) 、f2(X)是以T为周期的周期函数。 　　 定理4推论　　 　　设f1(X) 、f2(X)……fn(X) 是集M上的有限个周期函数T1、T2……Tn分别是它们的周期，若， … （或T1，T2……Tn中任意两个之比）都是有理数，则此n个函数之和、差、积也是M上的周期函数。 　　例4 　　f(X)=Sinx-2cos2x+sin4x是以2π、π、π/2的最小公倍 数2π为周期的周期函数。 　　例5 　　讨论f(X)= 的周期性 　　解：2tg3 是以T1= 为最小正周期的周期函数。 　　5tg 是以T2 为最小正周期的周期函数。 　　tg2 是以T3= 为最小正周期的周期函数。 　　又 都是有理数 　　∴f(X)是以T1、T2、T3最小公倍数（T1、T2、T3）= 为最小正周期的周期函数。 　　同理可证： 　　（1）f(X)=cos ; 　　(2)f(x)=sin2xcos2x+cos2xcos3x+cos3xsin3x。是周期函数。 定理5　　设f1(x)=sin a1x，f2(x)=cosa2x，则f1(x)与f2(x)之和、差、积是周期函数的充要条件是a1/a2∈Q。 　　证 　　先证充分性： 　　若a1/a2∈Q，设T1、T2分别为f1(x)与f2(x)的最小正周期，则T1= 、T2= ，又 ∈Q 　　由定理4可得f1(x)与f2(x)之和、差、积是周期函数。 　　再证必要性（仅就f1(x)与f2(x)的差和积加以证明）。 　　（1）设sina1x-cosa2x为周期函数，则必存在常数T＞0， 　　使sina1(x+T)-sina1x=cosa2(x+T)-cosa2x 2cos(a1x+ )sin = -2sin s(a2x+ ) sin (1)。 　　令x= 得2cos（a1x+ ），则 （K∈Z）。(2) 　　或 C∈Z（3） 　　又在（1）中令 2sin（a2x+ ）sin =-2sin =0 　　由(4) 　　由sin （5） 　　由上述（2）与（3），（4）与（5）都分别至少有一个成立。 　　由（3）、（5得 ）（6） 　　∴无论（2）、（4）、（6）中那一式成立都有a1/a2 。 　　（2）设sinaxcosa2x为周期函数，则 是周期函数。 [编辑本段]非周期函数的判定　　[1]（1）若f(X)的定义域有界 　　例：f(X)=cosx（ ≤10）不是周期函数。 　　（2）根据定义讨论函数的周期性可知非零实数T在关系式f(X+T)= f(X)中是与X无关的，故讨论时可通过解关于T的方程f(X+T)- f(X)=0，若能解出与X无关的非零常数T便可断定函数f(X)是周期函数，若这样的T不存在则f(X)为非周期函数。 　　例：f(X)=cos 是非周期函数。 　　（3）一般用反证法证明。（若f(X)是周期函数，推出矛盾，从而得出f(X)是非周期函数）。 　　例：证f(X)=ax+b(a≠0)是非周期函数。 　　证：假设f(X)=ax+b是周期函数，则存在T（≠0），使对 ，a（x+T）+b=ax+b ax+aT-ax=0 aT=0 又a≠0，∴T=0与T≠0矛盾，∴f(X)是非周期函数。 　　例：证f(X)= 是非周期函数。 　　证：假设f(X)是周期函数，则必存在T（≠0）对 ，有(x+T)= f(X)，当x=0时，f(X)=0，但x+T≠0, ∴f(x+T)=1，∴f(x+T) ≠f(X)与f(x+T)= f(X)矛盾，∴f(X)是非周期函数。 　　例：证f(X)=sinx2是非周期函数 　　证：若f(X)= sinx2是周期函数，则存在T（＞0），使对 ，有sin(x+T)2=sinx2，取x=0有sinT2=sin0=0，∴T2=Kπ（K∈Z），又取X= T有sin( T+T)2=sin（ T）2=sin2kπ=0，∴( +1)2 　　T2=Lπ(L∈Z+)，∴ 　　与3+2 是无理数矛盾，∴f(X)=sinx2是非周期函数。

定义通俗定义　　对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。 严格定义　　设f(x)是定义在数集M上的函数，如果存在非零常数T具有性质； 　　（1）对 有（X±T） ； 　　（2）对 有f（X+T）=f（X） 　　则称f（X）是数集M上的周期函数，常数T称为f（X）的一个周期。如果在所有正周期中有一个最小的，则称它是函数f（X）的最小正周期。 　　由定义可得：周期函数f（X）的周期T是与X无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。 [编辑本段]周期函数性质　　（1）若T（≠0）是f(X)的周期，则-T也是f(X)的周期。 　　（2）若T（≠0）是f(X)的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f(X)的周期。 　　（3）若T1与T2都是f(X)的周期，则T1±T2也是f(X)的周期。 　　（4）若f(X)有最小正周期T*，那么f(X)的任何正周期T一定是T*的正整数倍。 　　（5）T*是f(X)的最小正周期，且T1、T2分别是f(X)的两个周期，则 （Q是有理数集） 　　（6）若T1、T2是f(X)的两个周期，且T1/T2是无理数，则f(X)不存在最小正周期。 　　（7）周期函数f(X)的定义域M必定是双方无界的集合。 [编辑本段]周期函数的判定　　 定理1　　 　　 若f(X)是在集M上以T*为最小正周期的周期函数则K f(X)+C（K≠0）和1/ f(X)分别是集M和集｛X/ f(X) ≠0，X ｝上的以T*为最小正周期的周期函数。 [1] 　　证： 　　∵T*是f(X)的周期，∴对 有X±T* 且f(X+T*)= f(X)，∴K f(X)+C=K f(X+T*)+C， 　　∴K f(X)+C也是M上以T*为周期的周期函数。 　　假设T* 不是Kf(X)+C的最小正周期，则必存在T"（ 0＜T"＜T*）是K f(X)+C的周期，则对 ， 　　有K f(X+T")+C=K f(X) +C K[f(X+T")- f(X)]=0，∵K≠0，∴f(X+T")- f(X)=0，∴f(X+T")= f(X)， 　　∴T"是f(X)的周期，与T*是f(X)的最小正周期矛盾，∴T*也是K f(X)+C的最小正周期。 　　同理可证1/ f(X)是集｛X/ f(X) ≠0，X ｝上的以T*为最小正周期的周期函数。 定理2　　若f(X)是集M上以T*为最小正周期的周期函数，则f(aX+n)是集｛X/aX+ b ｝上的以T*/ 为最小正周期的周期函数，（其中a、b为常数）。 　　证： 　　先证 是f(ax+b)的周期 　　∵T*是f(X)的周期，∴ ，有X±T*∈M，∴a（X± ）+b=ax+b±T*∈M，且f[a（X+ ）+b]=f（ax+b±T*）=f（ax+b）∴ 是f（ax+b）的周期。 　　再证 是f（ax+b）的最小正周期 　　假设存在T"（0＜T"＜ ）是f（ax+b）的周期， 　　则f（a（x+T"）+b）=f（ax+b），即f（ax+b+aT"）=f（ax+b）， 　　因当X取遍｛X/X∈M,ax+b∈M｝的各数时,ax+b就取遍M所有的各数， 　　∴aT"是f(X)的周期，但 ＜=T*这与T*是f(X)的最小正周期矛盾。 定理3　　设f(u)是定义在集M上的函数u=g（x）是集M1上的周期函数，且当X∈M1时，g(x)∈M，则复合函数f(g(x))是M1上的周期函数。 　　证： 　　设T是u=g(x)的周期，则 1有（x±T）∈M1且g（x+T）=g(x) ∴f(g(x+T))=f(g(x)) 　　∴=f(g(x))是M1上的周期函数。 　　例1 　　设=f(u)=u2是非周期函数，u= g(X)=cosx是实数集R上的周期函数，则f(g(x))=cos2x是R上的周期函数。 　　同理可得：（1）f(X)=Sin(cosx)，（2）f(X)=Sin(tgx)，（3）f(X)=Sin2x，（4）f(n)=Log2Sinx(sinx＞0)也都是周期函数。 　　例2 　　f(n)=Sinn是周期函数，n=g(x)=ax+b(a≠0)是非周期函数，f(g(x))=Sin(ax+b)是周期函数（中学数学中已证）。 　　例3 　　f(n)=cosn是周期函数，n=g(x)= （非周期函数）而f(g(x))=cos 是非周期函数。 　　证：假设cos 是周期函数，则存在T＞0使cos （k∈Z） 与定义中T是与X无关的常数矛盾， 　　∴cos 不是周期函数。 　　由例2、例3说明，若f(u)是周期函数，u= g(X)是非周期函数，这时f(g(x))可能是，也可能不是周期函数。 定理4　　设f1(X)、f2(X)都是集合M上的周期函数，T1、T2分别是它们的周期，若T1/T2∈Q则它们的和差与积也是M上的周期函数，T1与T2的公倍 数为它们的周期。 　　证： 　　设 （(p·q)=1）设T=T1q=T2p则有： 有（x±T）=（x±T1q）=（x±T2p）∈M，且f1(x+T) ±f2（x+T）= f1(x+T1q) ±f2（x+T2p）= f1(X)±f2(X) ∴f1(X) ±f2(X)是以T1和T2的公倍数T为周期的周期函数。同理可证：f1(X) 、f2(X)是以T为周期的周期函数。 　　 定理4推论　　 　　设f1(X) 、f2(X)……fn(X) 是集M上的有限个周期函数T1、T2……Tn分别是它们的周期，若， … （或T1，T2……Tn中任意两个之比）都是有理数，则此n个函数之和、差、积也是M上的周期函数。 　　例4 　　f(X)=Sinx-2cos2x+sin4x是以2π、π、π/2的最小公倍 数2π为周期的周期函数。 　　例5 　　讨论f(X)= 的周期性 　　解：2tg3 是以T1= 为最小正周期的周期函数。 　　5tg 是以T2 为最小正周期的周期函数。 　　tg2 是以T3= 为最小正周期的周期函数。 　　又 都是有理数 　　∴f(X)是以T1、T2、T3最小公倍数（T1、T2、T3）= 为最小正周期的周期函数。 　　同理可证： 　　（1）f(X)=cos ; 　　(2)f(x)=sin2xcos2x+cos2xcos3x+cos3xsin3x。是周期函数。 定理5　　设f1(x)=sin a1x，f2(x)=cosa2x，则f1(x)与f2(x)之和、差、积是周期函数的充要条件是a1/a2∈Q。 　　证 　　先证充分性： 　　若a1/a2∈Q，设T1、T2分别为f1(x)与f2(x)的最小正周期，则T1= 、T2= ，又 ∈Q 　　由定理4可得f1(x)与f2(x)之和、差、积是周期函数。 　　再证必要性（仅就f1(x)与f2(x)的差和积加以证明）。 　　（1）设sina1x-cosa2x为周期函数，则必存在常数T＞0， 　　使sina1(x+T)-sina1x=cosa2(x+T)-cosa2x 2cos(a1x+ )sin = -2sin s(a2x+ ) sin (1)。 　　令x= 得2cos（a1x+ ），则 （K∈Z）。(2) 　　或 C∈Z（3） 　　又在（1）中令 2sin（a2x+ ）sin =-2sin =0 　　由(4) 　　由sin （5） 　　由上述（2）与（3），（4）与（5）都分别至少有一个成立。 　　由（3）、（5得 ）（6） 　　∴无论（2）、（4）、（6）中那一式成立都有a1/a2 。 　　（2）设sinaxcosa2x为周期函数，则 是周期函数。 [编辑本段]非周期函数的判定　　[1]（1）若f(X)的定义域有界 　　例：f(X)=cosx（ ≤10）不是周期函数。 　　（2）根据定义讨论函数的周期性可知非零实数T在关系式f(X+T)= f(X)中是与X无关的，故讨论时可通过解关于T的方程f(X+T)- f(X)=0，若能解出与X无关的非零常数T便可断定函数f(X)是周期函数，若这样的T不存在则f(X)为非周期函数。 　　例：f(X)=cos 是非周期函数。 　　（3）一般用反证法证明。（若f(X)是周期函数，推出矛盾，从而得出f(X)是非周期函数）。 　　例：证f(X)=ax+b(a≠0)是非周期函数。 　　证：假设f(X)=ax+b是周期函数，则存在T（≠0），使对 ，a（x+T）+b=ax+b ax+aT-ax=0 aT=0 又a≠0，∴T=0与T≠0矛盾，∴f(X)是非周期函数。 　　例：证f(X)= 是非周期函数。 　　证：假设f(X)是周期函数，则必存在T（≠0）对 ，有(x+T)= f(X)，当x=0时，f(X)=0，但x+T≠0, ∴f(x+T)=1，∴f(x+T) ≠f(X)与f(x+T)= f(X)矛盾，∴f(X)是非周期函数。 　　例：证f(X)=sinx2是非周期函数 　　证：若f(X)= sinx2是周期函数，则存在T（＞0），使对 ，有sin(x+T)2=sinx2，取x=0有sinT2=sin0=0，∴T2=Kπ（K∈Z），又取X= T有sin( T+T)2=sin（ T）2=sin2kπ=0，∴( +1)2 　　T2=Lπ(L∈Z+)，∴ 　　与3+2 是无理数矛盾，∴f(X)=sinx2是非周期函数。

对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。事实上，任何一个常数kT（k∈Z，且k≠0）都是它的周期。并且周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。1，做变量替换令y=x+1 ，得到 f（y）= -f(y+2)2，再一次套用这个式子，得到f(y+2)=-f(y+4)3,两个式子结合，得到f(y)=f(y+4)，所以，周期是4关键的地方是：凑出f(x)=f(x+T)，这时候T就是周期。而上面3个步骤就是往这个方向凑扩展资料：1 .周期函数：对于函数f(x)，如果存在非零常数T，使得当x取定义域D内的任何值时，都有f(x+T)=f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的 一个周期. 2.最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作函数f(x)的最小正周期. 3.若函数f(x)具有周期性，且非零常数T是f(x)的一个周期， 则kT（其中k是不等于零的任意整数）也是f(x)的周期.4.若数列{an}满足：对于任意的正整数n,都有则称数列{an}是以K为周期的周期数列。函数周期性的判定与应用(1)判定：判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T。(2)应用：根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期。

记得是，所有的正整数，从几开始忘了，好像都可以用三个不同的质数的和表示。

e被称为欧拉常数，纳皮尔常数。这个常数的求解是通过泰勒级数展开式，即e=1+1+1/2!+1/3!+...+1/n!，其中n!表示阶乘的意思。这个数是一个超越数，无限不循环的。这个数具有很重要的意义，在很多科学领域都有运用。在泰勒展开式部分有很详细的叙述。e=1+1+1/2!+1/3!+...+1/n!用计算机计算出来就是：e=2.718281828…扩展资料在数学中，有一些横贯所有分支的精选魔术常数。在我们的集体历史中不断发现的这些常数为我们的日常生活提供了数字基础。像周期表中的化学元素一样，数学中的特殊常数也是基础。仅举几例，我们有零(0)，亲爱的圆周率pi(一3.142),负一的平方根(i)，当然还有指数国王，欧拉常数"e"(一2.718)。重点是深入研究"欧拉数"(也称为"纳皮尔数")，或更常见的词是e。对于初学者来说，数字e处于指数关系的关键，特别是与任何具有持续增长的事物有关。

欧拉常数（Euler-Mascheroni constant)欧拉-马歇罗尼常数(Euler-Mascheroni constant)是一个主要应用于数论的数学常数。它的定义是调和级数与自然对数的差值的极限。由无穷级数理论可知，调和级数 是发散的。但可以证明，存在极限。由不等式 可得故 有下界。而再一次根据不等式 ，取 ，即可得所以 单调递减。由单调有界数列极限定理，可知 必有极限，即存在。该极限被称作欧拉常数，现在通常将该常数记为γ。向左转|向右转

1、质数又称素数。一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能整除其他自然数的数叫做质数；否则称为合数。例如2、3、5、7、11、13等能被1整除的，就是质数。2、质数的定义可以用例子说明，如：（1）、在一个大于1的数a和它的2倍之间（即区间（a, 2a]中）必存在至少一个素数。（2）、存在任意长度的素数等差数列。（3）、一个偶数可以写成两个合数之和，其中每一个合数都最多只有9个质因数。（4）、一个偶数必定可以写成一个质数加上一个合成数，其中合数的因子个数有上界。（瑞尼，1948年）（5）、一个偶数必定可以写成一个质数加上一个最多由5个因子所组成的合成数。后来，有人简称这结果为 （1 + 5）。（6）、一个充分大偶数必定可以写成一个素数加上一个最多由2个质因子所组成的合成数。简称为 （1 + 2）。3、合数指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数，如4、6、8、9、10。4、合数定义例子：（1）、所有大于2的偶数都是合数。（2）、所有大于5的奇数中，个位为5的都是合数。（3）、除0以外，所有个位为0的自然数都是合数。（4）、所有个位为4，6，8的自然数都是合数。（5）、最小的（偶）合数为4，最小的奇合数为9。（6）、每一个合数都可以以唯一形式被写成质数的乘积，即分解质因数。(算术基本定理)。（7）、对任一大于5的合数(威尔逊定理)。扩展资料：1、合数的一种方法为计算其质因数的个数。一个有两个质因数的合数称为半质数，有三个质因数的合数则称为楔形数。在一些的应用中，亦可以将合数分为有奇数的质因数的合数及有偶数的质因数的合数。2、质数被利用在密码学上，所谓的公钥就是将想要传递的信息在编码时加入质数，编码之后传送给收信人，任何人收到此信息后，若没有此收信人所拥有的密钥，则解密的过程中（实为寻找素数的过程），将会因为找质数的过程（分解质因数）过久，使即使取得信息也会无意义。参考资料：百度百科-合数、百度百科-质数

素数就是质数。它除了能表示为它自己和1的乘积以外,不能表示为任何其它两个整数的乘积。例如,15=3*5,所以15不是素数;又如,12=6*2=4*3,所以12也不是素数。另一方面,13除了等于13*1以外,不能表示为其它任何两个整数的乘积,所以13是一个素数x0dx0ax0dx0a合数是除了1和它本身还能被其他的正整数整除的正整数.x0dx0a 除2之外的偶数都是合数.(除0以外)x0dx0a 合数又名合成数,是满足以下任一(等价)条件的正整数: x0dx0a 1.是两个大于1 的整数之乘积; x0dx0a 2.拥有某大于1 而小于自身的因数(因子); x0dx0a 3.拥有至少三个因数(因子); x0dx0a 4.不是1 也不是素数(质数); x0dx0a 5.有至少一个素因子的非素数.自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的数整除的数x0dx0ax0dx0a就是除了质数外的其他自然数

表达式：y=1/{a+b*e^(-x)} 其中a是常数项，b是待估参数先将s型曲线表达式线性化 过程为：1.根据表达式推得1/y=a+b*e^(-x) 2.令1/y=y" e^(-x)=x" 得y"=a+b*x" 这样就线性化了3.进行线性化处理，求出常数项a和待估参数b4发现在线性化的过程中a b都没有发生变化，因此直接代入原表达式即可。

丢番图方程又名不定方程、整系数多项式方程，是变量仅容许是整数的多项式等式；即形式如右上角图的方程，其中所有的aj、bj和c均是整数，若其中能找到一组整数解m1,m2...mn者则称之有整数解。丢番图问题有数条等式，其数目比未知数的数目少；丢番图问题要求找出对所有等式都成立的整数组合。对丢番图问题的数学研究称为丢番图分析。3世纪希腊数学家亚历山大城的丢番图曾对这些方程进行研究。丢番图方程的例子有贝祖等式、勾股定理的整数解、四平方和定理和费马最后定理等

能不能说一下你这里"超限序数"的定义?按照维基上的写法, "超限序数"就是指大于有限的序数.最小的超限序数就是全体有限序数构成的集合, 也即{0, 1, 2,...}.习惯上是将这个序数记为ω, 而不是问题里的那个.第二小的就是它的后继ω+1 = {0, 1, 2,..., ω}.问题中那个全体有限或可数序数构成的全序集一般记为ω₁.这是最小的不可数序数.不可数是因为ω₁严格大于所有的可数序数.最小则是因为比它严格小的序数都是至多可数的.因此, 如果讨论基数的大小.ω₁的基数是Aleph_1, 是仅次于Aleph_0的第二个无限基数.从这个意义上, ω₁可以算是"第二小"的,但这不是指序数的大小, 而是基数的大小.而且其后有无穷多(Aleph_2)个序数和它等势, 即"一样大".

解释： 一个传递集(α，＜)定义一个序数α，任何一个良序集A，有且仅有一个序数α(传递集)与它序同构：A～α，α即为集合A的序数．每一良序集都有唯一的序数．

有理数是整数和分数的集合。有理数的小数部分是有限或为无限循环的数。不是有理数的实数称为无理数，即无理数的小数部分是无限不循环的数。 无理数的定义 在数学中，无理数是所有不是有理数字的实数，后者是由整数的比率（或分数）构成的数字。当两个线段的长度比是无理数时，线段也被描述为不可比较的，这意味着它们不能“测量”，即没有长度。 无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e等。 无理数集相当于实数集中有理数集的补集，实数集R，有理数集Q，所以无理数集合符号为CrQ。 无理数e e是自然对数的底数，是一个无限不循环小数，其值是2.71828...，它是这样定义的：当n→∞时，(1+1/n)^n的极限。注：x^y表示x的y次方。 随着n的增大，底数越来越接近1，而指数趋向无穷大，结果是趋向于2.71828……。 无理数的性质 （1）无理数加（减）无理数既可以是无理数又可以是有理数； （2）无理数乘（除）无理数既可以是无理数又可以是有理数； （3）无理数加（减）有理数一定是无理数； （4）无理数乘（除）一个非0有理数一定是无理数。

有理数的定义是有理数可分为正有理数、0和负有理数。正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，是整数和分数的集合。整数也可看做是分母为一的分数。不是有理数的实数称为无理数，即无理数的小数部分是无限不循环的数。是“数与代数”领域中的重要内容之一，在现实生活中有广泛的应用，是继续学习实数、代数式、方程、不等式、直角坐标系、函数、统计等数学内容以及相关学科知识的基础。名称由来“有理数”这一名称不免叫人费解，有理数并不比别的数更“有道理”。事实上，这似乎是一个翻译上的失误。有理数一词是从西方传来，在英语中是rational number，而rational通常的意义是“理性的”。中国在近代翻译西方科学著作，依据日语中的翻译方法，以讹传讹，把它译成了“有理数”。但是，这个词来源于古希腊，其英文词根为ratio，就是比率的意思（这里的词根是英语中的，希腊语意义与之相同）。所以这个词的意义也很显豁，就是整数的“比”。与之相对，“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数，而并非没有道理。

数序全称是数字序列，就是指数字按照一定规律所排出来的顺序。序数是表顺序的数,像第1、第2、第3。

　　数序全称是数字序列，就是指数字按照一定规律所排出来的顺序。　　序数是表顺序的数,像第1、第2、第3。

序数原来被定义为良序集的序型，而良序集A的序型凴，作为从A的元素的属性中抽象出来的结果，是所有与A序同构的一切良序集的共同特征，即凴定义为{B|B埍A}。这个定义从形式上看来是十分简单明瞭的，但在ZFC公理系统中不能证明它构成一个集合。事实上，{B|B埍A}是一个真类。因此，原来的那个定义是不成功的，必须修正，另走别的途径。设 α是一个良序集，ξ∈α，称S（ξ）={β∈α|β<；ξ}为在良序集α中由ξ所生成的初始截段。1923、1928年，J.冯·诺伊曼把序数定义为满足下述条件的良序集α：对于一切ξ∈α，S（ξ）=ξ。例如在集合9={0,1,2，…，8}中取一个元素2，S⑵={0，1}=2，9中任何其他元素也具有这个性质，所以9是一个序数。集A称为归纳集，如果①═∈A，②只要α∈A就有α′=α∪{α}∈A。归纳集A的存在性是由无限公理保证的。A的一切归纳子集之交N称为自然数集，它是最小的归纳集。N是良序的，并且其中任一元素n的初始截段S(n)={0，1，2，…，（n-1）}=n，所以N是一个序数，这个序数通常用ω表示。N的每一个元素n都是序数，称为有限序数。有限序数以属于每一个归纳集作为特征。其他序数称为超限序数，ω就是最小的超限序数。1937年R,M.鲁宾逊给出了序数的另一等价定义，良序集<；α∈>；是一个序数，若〈α，∈〉是传递集，即只要x∈α且y∈x就有y∈α，这些定义没有康托尔原来定义的缺点。

1、带分数是假分数的另外一种形式。2、非零整数与真分数相加（负整数时与真分数相减）所成的分数（或真分数与假分数相加减化简后的分数）。3、带分数是分数的一种形式，通常在正数的范围内讨论。如果在实数部分内讨论，绝对值满足狭义的带分数定义的，就是广义的带分数。4、带分数包含两个部分：整数部分和真分数部分。带分数和假分数一一对应。

1、带分数是假分数的另外一种形式。 2、非零整数与真分数相加（负整数时与真分数相减）所成的分数（或真分数与假分数相加减化简后的分数）。 3、带分数是分数的一种形式，通常在正数的范围内讨论。如果在实数部分内讨论，绝对值满足狭义的带分数定义的，就是广义的带分数。 4、带分数包含两个部分：整数部分和真分数部分。带分数和假分数一一对应。

问题一：带分数的定义是什么 整数和真分数合成的数通常叫做带分数，形式为：整数+真分数 真分数是指分子小于分母，并且分子和分母是既约整数（分子和分母无除1外的公约数，或者说两者互质） 用来表示带有小数部分的数字。 例如：2（1/5）读作二又五分之一，2是整数部分，1/5是分数部分。 4（1/4）读作4又4分之一，就是17/4 问题二：带分数是什么意思 一个数既有整数，又有分数。就叫带分数 问题三：什么叫假分数？什么叫带分数？它们之间的定义是什么？有什么特征怎么？把假分数化成带分数？ 分子数值大于分母数值的分数，或者说值大于或等于1的分数，如2/3、5/5等。 整数和真分数合成的数通常叫做带分数，形式为:整数+真分数 假分数化成带分数：用分子除以分母，所得的商做带分数的整数部分、余数做分子、分母不变。 如：10/7=1又7分之3 10÷7=1……3 问题四：带分数表示什么意思？ 就是一个一个大于1的数用分数的形式出现，比如2.5等于2又2分之一

带分数是分数的一种形式，通常在正数的范围内讨论。如果在实数部分内讨论，绝对值满足狭义的带分数定义的，就是广义的带分数。带分数包含两个部分：整数部分和真分数部分。带分数和假分数一一对应。 带分数的分数部分，必须是真分数。即分子的绝对值必须小于分母的绝对值。

5又1/2这样的分数就是代分数5/2这样的分数是假分数‘它可以化成代分数2又1/25又1/2这样的分数就是代分数5/2这样的分数是假分数‘它可以化成代分数2又1/2

问题一：分数的定义 把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做真分数如：或，也可能成为假分数，也就是分子比分母大的数，例如8/3。分母表示把一个物体平均分成几份，分子表示取了其中的几份。分子在上，分母在下，也可以把它当做除法来看，用分子除以分母（因0在除法不能做除数，所以分母不能为0），相反除法也可以改为用分数表示。百分数与分数的区别：（1）意义不同，百分数只表示两个数的倍比关系，不能带单位名称；分数既可以表示具体的数，又可以表示两个数的关系，表示具体数时可带单位名称。例子：能说7/10米，也能说1米的70%，但不能说70%米。（2）百分数的分子可以是整数，也可以是小数；而分数的分子不能是小数只是除0以外的整数；百分数不可以约分，而分数一般通过约分化成最简分数。例子：能说42%，不能说42%不能约分（ 可约分为）。（3）任何一个百分数都可以写成分母是100的分数，而分母是100的分数并不都具有百分数的意义。例子：61%= ，但 没有61%的意义。（4）应用范围的不同，百分数在生产和生活中，常用于调查、统计、分析和比较，而分数常常在计算、测量中得不到整数结果时使用。 问题二：带分数是什么意思 一个数既有整数，又有分数。就叫带分数 问题三：带分数的定义是什么 整数和真分数合成的数通常叫做带分数，形式为：整数+真分数 真分数是指分子小于分母，并且分子和分母是既约整数（分子和分母无除1外的公约数，或者说两者互质） 用来表示带有小数部分的数字。 例如：2（1/5）读作二又五分之一，2是整数部分，1/5是分数部分。 4（1/4）读作4又4分之一，就是17/4 问题四：什么是带分数 有整数部分，分数部分组成，两样都要有。一般分数是真分数就是横线上的数小，横线下的数大 问题五：什么叫假分数？什么叫带分数？它们之间的定义是什么？有什么特征怎么？把假分数化成带分数？ 分子数值大于分母数值的分数，或者说值大于或等于1的分数，如2/3、5/5等。 整数和真分数合成的数通常叫做带分数，形式为:整数+真分数 假分数化成带分数：用分子除以分母，所得的商做带分数的整数部分、余数做分子、分母不变。 如：10/7=1又7分之3 10÷7=1……3

按照定义来看带分数是假分数的一种形式非零自然数与真分数相加所成的分数或者真分数与假分数相加减化简后的数就是带分数的一般都是读作几又几分之几

有限小数是指两个数相除，如果得不到整商，除到小数的某一位时，不再有余数的一种小数。小数的基本性质是：在小数的末尾添上零或去掉零，小数的大小不变。小数中的圆点叫做小数点，它是一个小数的整数部分和小数部分的分界线，小数点左边的部分是整数部分，小数点右边的部分则是小数部分。整数部分为零的小数叫做纯小数，而整数部分不是零的小数叫做带小数。

有限小数是指两个数相除，如果得不到整商，除到小数的某一位时，不再有余数的一种小数。

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假分数的解释[improper fraction] 分母比分子小或与分子相等的分数 详细解释 值大于或等于1的分数。 词语分解 假的解释 假 ǎ 不真实的， 不是 本来的，与“真” 相对 ：假山。假话。假冒。假释。假死。虚假。 真假 。弄虚作假。 借用， 利用 ： 假借 。假货。假道（借路）。假手（利用他人为自己办事）。假公济私。 不假思索 （用不着想）。 〔 分数的解释 ∶用一个式子被另一式子除表示出的商 ∶ 评定 成绩或胜负时所记的分儿的数字 ∶中等或高等学校授予 优秀 生的学分、学衔或 奖励 详细解释.规定人数，分任 职务 。指军队的 组织 编制。《 孙子 ·势篇》：“凡治众如治寡，分

假分数的解释[improper fraction] 分母比分子小或与分子相等的分数 详细解释 值大于或等于1的分数。 词语分解 假的解释 假 ǎ 不真实的， 不是 本来的，与“真” 相对 ：假山。假话。假冒。假释。假死。虚假。 真假 。弄虚作假。 借用， 利用 ： 假借 。假货。假道（借路）。假手（利用他人为自己办事）。假公济私。 不假思索 （用不着想）。 〔 分数的解释 ∶用一个式子被另一式子除表示出的商 ∶ 评定 成绩或胜负时所记的分儿的数字 ∶中等或高等学校授予 优秀 生的学分、学衔或 奖励 详细解释.规定人数，分任 职务 。指军队的 组织 编制。《 孙子 ·势篇》：“凡治众如治寡，分

小朋友你是否有很多问号

值大于或等于1的分数，即分子大于或等于分母的分数称假分数。假分数通常可以化为带分数或整数。如果分子和分母成倍数关系，就可化为整数，如不是倍数关系，则化为带分数。

如果在整个有理数范围内讨论，则绝对值大于或等于1的分数为假分数,就是分子除分母不是1

大小不同。真分数在正数的范围内，值小于1的分数;假分数在正数的范围内，值大于1的分数。

真分数就是分子小于分母的分数，我们把这样的分数叫做真分数。假分数就是分子大于分母（或等于分母）的数，我们把这样的分数叫做假分数。分子是分数线上面的整数，而分子则是分数线下面的整数。一个物体，一个图形，一个计量单位，都可看作单位“1”。把单位“1”平均分成几份，表示这样一份或几份的数叫做分数。在分数里，表示把单位“1”平均分成多少份的叫做分母，表示有这样多少份的叫做分子；其中的一份叫做分数单位。分数的意义可从分割及合成活动来解释，当一个整体（指基准量）被等分后，在集聚其中一部分的量称为“分量”，而“分数”就是用来表示或纪录这个“分量”。例如：五分之二是指一个整数被分成五等分后，集聚其中二分的“分量”。

真分数是指大于0小于1的所有分数。这些分数的特点是“分母大于分子”。分子大于或者等于分母的分数叫假分数，假分数大于1或等于1。分数值大于1或等于1的分数，即分子大于或等于分母的分数称假分数。 分数 分数原是指整体的一部分，或更一般地，任何数量相等的部分。表现形式为一个整数a和一个整数b的比（a为b倍数的假分数是否属于分数存在争议）。 分数表示一个数是另一个数的几分之几，或一个事件与所有事件的比例。把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫分数。分子在上，分母在下。 当分母为100的特殊情况时，可以写成百分数的形式，如1%。

01 假分数是指分子大于或者等于分母的分数。假分数大于1或等于1。 分数值大于1或等于1的分数，即分子大于或等于分母的分数称假分数。如果在整个有理数范围内讨论，则绝对值大于或等于1的分数为假分数。 分数分为两类：真分数和假分数。假分数又分为两种情况。 ①一个假分数，如果分子不能被分母整除，可以写成带分数的形式。例如： ②一个假分数，如果分子能被分母整除，可以写成一个自然数。例如： 。 从本质上看，不能把带分数作为分数的一种，带分数是假分数的一种形式。 真分数 分子比分母小的分数叫做真分数，真分数小于1，如： 都是真分数。 带分数 一个正整数和一个真分数合并成的分数叫做带分数，从本质上看，不能把带分数作为分数的一种，带分数是假分数的一种形式。带分数中前面的正整数是它的整数部分，后面的真分数是它的分数部分，带分数大于1。如： 都是带分数。

假分数是指分子大于或者等于分母的分数。假分数大于1或等于1。 分数值大于1或等于1的分数，即分子大于或等于分母的分数称假分数。如果在整个有理数范围内讨论，则绝对值大于或等于1的分数为假分数。 分数分为两类：真分数和假分数。假分数又分为两种情况。 ①一个假分数，如果分子不能被分母整除，可以写成带分数的形式。例如： ②一个假分数，如果分子能被分母整除，可以写成一个自然数。例如： 。 从本质上看，不能把带分数作为分数的一种，带分数是假分数的一种形式。 真分数 分子比分母小的分数叫做真分数，真分数小于1，如： 都是真分数。 带分数 一个正整数和一个真分数合并成的分数叫做带分数，从本质上看，不能把带分数作为分数的一种，带分数是假分数的一种形式。带分数中前面的正整数是它的整数部分，后面的真分数是它的分数部分，带分数大于1。如： 都是带分数。

分子比分母大或分子与分母相等，有的假分数还可以写成带分数。有的假分数可以化成整数。

就是一个无穷小，与基准无穷小的比值，若是0，则它就是一个“高阶”的无穷小，若比值为无穷大，则它是一个“低阶”的无穷小；若等于一个不为0的常数，则它是同阶的无穷小。特例，若比值为1，则它是等价的无穷小。

若lim x→x0，f(x)/g(x)=0，则称f为g的高阶无穷小量，或称g为f的低阶无穷小量。需要注意的是，这两个概念是相对的，不能说某个量是高阶无穷小量或是低阶无穷小量，应该是某个量是某个量的高阶无穷小量或低阶无穷小量。举例：当 x→0时，x、x平方、x三次方……都是无穷小量，且后面一个都是前面一个的高阶无穷小量，或者前面一个都是后面一个的低阶无穷小量。又如 当 α→0时，（1－cosα）/sinα＝0 ， 所以 当α→0时，1－cosα是sinα的高阶无穷小量，或sinα是1－cosα的低阶无穷小量。扩展资料：无穷小之间的简单运算:1、如果b是a的高阶无穷小，即lim(b/a)=0。2、如果a与b为同阶无穷小，即lim(b/a)=c;(c≠0)。3、如果a与b为等价无穷小，即lim(b/a)=1。无穷小的性质：1、有限个无穷小量之和仍是无穷小量。2、有限个无穷小量之积仍是无穷小量。3、有界函数与无穷小量之积为无穷小量。4、特别地，常数和无穷小量的乘积也为无穷小量。5、恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大，无穷大的倒数为无穷小。

对于两个无穷小，f（x） g（x） 当x→0时，都趋于o，若x→0是limf（x）/g（x） =无穷大，则f（x）是g（x）当x→0的高阶无穷小

o(Δx)表示αΔx，这个是什么？AΔx可不是高阶无穷小，只是一阶无穷小。o(Δx)是高阶无穷小。

如果有2个无穷小量a,b如果a/b=无穷小，那么a就叫做b的高阶无穷小比如~~x趋向于0时，x和x^2都趋向于0，也就是无穷小但x^2/x=x=无穷小，所以x^2就叫x的高阶无穷小也可以理解为~~x^2比x的阶(指数)高

这是无穷小比较的感念。如果两个无穷小α、β， 当lim(α/β)=0 时，则称α是β的高阶无穷小。即两个无穷小都趋于0时，α比β趋于0要来的快。

如果a除以b的极限等于零，则称a是b的高阶无穷小。

高阶和低阶都是相对而言的，一般都是说什么什么的高阶或低阶无穷小量。比如说，x^3是x^2的高阶无穷小量，反过来，x^2是x^3的低阶无穷小量。按照定义，令L=limf(x)/g(x)，其中f(x)和g(x)都是无穷小量。如果L=0，则f(x)是g(x)的高阶无穷小量。如果L=∞，则f(x)是g(x)的低阶无穷小量。如果L=1，则f(x)是g(x)的等价无穷小量。如果L=常数≠1，则f(x)是g(x)的同阶无穷小量。扩展资料：1、应该把无穷小量理解为“较低维的数”.所谓的低维,举个例子,比如一个边长为8的正方形,它的面积为64,这里的边长8就是相对于面积64来说是较低维的数,它有值,是8;但它的值在面积上看来是为0的.也就是说边长相对于面积来说是没有值的,但它自身有值2、这样就可以把无穷小量定义为:点值为变量,线值为0的量.这种定义是很明确清晰的,没有教科书定义的那种模糊不清的问题.3、由上面清晰的定义,无穷小量的运算也变得清晰明确,点值变量的舍弃也很好理解.参考资料：百度百科-高阶无穷小百度百科-低阶无穷小

设函数f(x)的定义域为D，f(x)在集合D上有定义。如果存在数K1，使得f(x)≤K1对任意x∈D都成立，则称函数f(x)在D上有上界。反之，如果存在数字K2，使得f(x)≥K2对任意x∈D都成立，则称函数f(x)在D上有下界，而K2称为函数f(x)在D上的一个下界。函数的性质：有界性，单调性，周期性，连续性，可积性。1、单调性闭区间上的单调函数必有界。其逆命题不成立。2、连续性闭区间上的连续函数必有界。其逆命题不成立。3、可积性闭区间上的可积函数必有界。其逆命题不成立。

当然有区别，就直白的讲吧，举个例子；例如：函数f（x，y），有界函数指的就是x的范围；而函数有界指的就是y的范围；一个是函数取值的范文，一个是函数值得范围。

答：1、你不理解定义，别人说什么都是扯；2、定义怎么就不是人话了？那些定义都是千锤百炼的语句，哪个字是你不认识的？3、拽个P呀，废柴！

有界函数是设f(x)是区间E上的函数，若对于任意的x属于E，存在常数m、M，使得m≤f(x)≤M，则称f(x)是区间E上的有界函数。其中m称为f(x)在区间E上的下界，M称为f(x)在区间E上的上界。一般来说，连续函数在闭区间具有有界性。例如:y=x+6在[1，2]上有最小值7，最大值8，所以说它的函数值在7和8之间变化，是有界的，所以具有有界性。但正切函数在有意义区间，比如(-π/2，π/2)内则无界。sinx，cosx，sin(1/x），cos（1/x），arcsinx，arccosx，arctanx，arccotx是常见的有界函数。函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界也有下界。

常见的有界函数有：y=sin（x） 其中，该函数的上界是1，下界是-1。y=cos（x）其中，该函数的上界是1，下界是-1。y=arctan（x）其中，该函数的上界是pi/2，下界是-pi/2。y=x（0<=x<=5）其中，该函数的上界是5，下界是0。y=4sin（x） 其中，该函数的上界是4，下界是-4。y=sin（x）+3 其中，该函数的上界是4，下界是2。y=2cos（x）+3其中，该函数的上界是5，下界是1。扩展资料：判断函数是否为有界函数的方法：1、 计算该函数的极限值，就要看它是否无限趋近于一个常数。如是则有界，否则无界.。从上边趋近则有下界， 从下边趋过则有上界。2、一般情况下，多个有界函数之和或者多个有界函数之差仍然为有界函数，并且一般情况下一个有界函数的整数倍也为有界函数。记住常见的有界函数，这样判断起来会比较方便。

值域是有限区间的函数，是有界函数。值域是无限区间的函数是无界函数。例如，正弦函数y=sinx，对任意x∈(-∞，+∞)，|sinx|≤1恒成立，所以y=sinx是R上的有界函数。有的函数在定义域的部分区间上可能是有界的.例如，一次函数y=2x+1，定义域(-∞，+∞)，值域(-∞，+∞).它在定义域(-∞，+∞)上是无界的. 但是它在区间（-1，2）上，值域（-1，5），它是有界的. 事实上，它在定义域的任意的真子集上都是有界的.有的函数在定义域的部分区间上可能是无界的.例如，反比例函数y=1/x，定义域(-∞，0)∪(0，+∞)，值域(-∞，0)∪(0，+∞).它在定义域(-∞，0)∪(0，+∞)上是无界的.它在区间（0，1）内，值域（1，+∞），它是无界的. 当然，它在区间（1，+∞）内，值域（0，1），它是有界的.

有界函数是设f(x)是区间E上的函数，若对于任意的x属于E，存在常数m、M，使得m≤f(x)≤M，则称f(x)是区间E上的有界函数。其中m称为f(x)在区间E上的下界，M称为f(x)在区间E上的上界。有界函数并不一定是连续的。根据定义，ƒ在D上有上（下）界，则意味着值域ƒ(D)是一个有上（下）界的数集。根据确界原理，ƒ在定义域上有上（下）确界。一个特例是有界数列，其中X是所有自然数所组成的集合N。由ƒ (x)=sinx所定义的函数f:R→R是有界的。当x越来越接近-1或1时，函数的值就变得越来越大。中文名有界函数外文名Bounded Function所属学科数学应用领域自然科学性质有界性快速导航新的概念性质无界函数概念等价定义设ƒ(x)是区间E上的函数。若对于任意属于E的x，存在常数M>0，使得|ƒ(x)|≤M，则称ƒ(X)是区间E上的有界函数。[1]例子正弦函数sin x 和余弦函数cos x为R上的有界函数，因为对于每个x∈R都有|sin x|≤1和|cos x|≤1新的概念下面介绍与有界函数概念相关的几个概念。相关概念设函数f(x)是某一个实数集A上有定义，如果存在正数M 对于一切X∈A都有不等式|f(x)|≤M的则称函数f(x)在A上有界，如果不存在这样定义的正数M则称函数f(x)在A上无界 设f为定义在D上的函数，若存在数M（L），使得对每一个x∈D有： ƒ(x)≤M（ƒ(x)≥L）则称ƒ在D上有上（下）界的函数，M（L）称为ƒ在D上的一个上（下）界。根据定义，ƒ在D上有上（下）界，则意味着值域ƒ(D)是一个有上（下）界的数集。又若M(L)为ƒ在D上的上（下）界，则任何大于（小于）M（L）的数也是ƒ在D上的上（下）界。根据确界原理，ƒ在定义域上有上（下）确界[1]。一个特例是有界数列，其中X是所有自然数所组成的集合N。所以，一个数列(a0,a1,a2, ... ) 是有界的，如果存在一个数M> 0，使得对于所有的自然数n，都有： 。

图看不清，楼主几年级