线性代数

按照线性代数的基本定义基础解系的最大无关组的向量数就是自由变量的个数基本公式s=n-r，未知数个数n=4，秩r=3于是自由变量的个数为4-3=1

由于行列式取的是第1,3,5列, 所以这里有误, 他应该是说 也可以取 x2,x4 为自由变量(1)假设行列式等于0, 就不能取 x2,x4, 否则对于x2,x4任取一组数不能唯一确定约束变量的值(2)就是这样!

若自由变量全取0, 可得非齐次线性方程组的特解.对齐次线性方程组, 自由变量不能全取0否则, 得到的解是零解而含有零解的向量组是线性相关的, 所以自由变量不能全取0.另外, 自由变量取值的标准是它们构成的向量是线性无关的这样的话, 加上约束变量后仍线性无关, 即可构成基础解系.比如3个自由变量时, 一般取 (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)但有时为了消去分数, 可以取它们的倍数.

选出几个方程组都出现的变量，令其中一个（或多个）为1或0，解出其他值，可以得出几组解向量（基础解系）。

一个单位矩阵怎么可能表示所有矩阵？一个nxn的矩阵有n^2个自由变量，它所在空间的基至少要n^2个，至少n^2个矩阵才能表示

拉普拉斯变换

你可这样理解。假设 r = n， 即齐次方程组只有零解， 无基础解系。按你的逻辑岂不是有 n 个基础解系， 与无基础解系矛盾。所以是有 n-r 个基础解系。

线性方程组的解集合的极大线性无关组就是这个方程组的基础解系。先求解方程组 解出所有解向量，然后求出其极大线性无关组就好。一般求基础解系先把系数矩阵进行初等变换成下三角矩阵，然后得出秩，确定自由变量，得到基础解系,基础解系是相对于齐次(等号右边为0)的.例如:x1+x2+x3+7x4=2,x1+2x2+x3+2x4=3,5x1+8x2+5x3+20x4=13,2x1+5x2+2x3-x4=7,其增广矩阵为1 1 1 7 21 2 1 2 35 8 5 20 132 5 2 -1 7通过初等变换为:1 1 1 7 20 1 0 -5 10 0 0 0 00 0 0 0 0秩为2，未知数个数为4，自由变量个数为4-2=2设自由变量为x3、x4,取(x3,x4)=(1,0)和(0,1)代入方程组(取最终变换得到的比较简单)可得:(x1,x2)=(-1,0)和(-12,5)于是基础解系的基:(-1,0,1,0)T和(-12,5,0,1)T.扩展资料线性代数通解和基础解系的区别如下：1、定义不同，对于一个微分方程而言，其解往往不止一个，而是有一组，可以表示这一组中所有解的统一形式，称为通解。基础解系是线性无关的，简单的理解就是能够用它的线性组合表示出该方程组的任意一组解，是针对有无数多组解的方程而言的。2、求法不同，基础解系不是唯一的，因个人计算时对自由未知量的取法而异，但不同的基础解系之间必定对应着某种线性关系。对于非齐次方程而言，任一个非齐次方程的特解加上一个齐次方程的通解，就可以得到非齐次方程的通解。根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

基础解系是AX=0的所有解的极大无关组。也是AX=0解空间的基。基础解系不唯一，基础解系中向量的个数等于未知数个数减去A的秩。要注意只有AX=0才有基础解系而AX=b不存在基础解系

如图

第一章 行列式 三点内容。 一、计算。 1、数字型行列式计算用展开公式。注意用技巧多创造0:把某一行的k 倍加到第i 行；把每一行都加到第一行；逐行相加； 爪型要变形上三角或下三角，考时不会是明明白白的爪型，故先要变成明明白白的爪型； 有时若恒等变形会把行列式本来很好的结构破坏掉，故要积累经验； "三条线"型若是4、5阶用逐行相加或每行都加到第一行；阶数高的用数学归纳法或递推法。(数学归纳法要先打草稿才能确定用第一还是第二数学归纳法——若一个n 阶命题和1个递阶命题相关，则用第一数学归纳法；若一个n 阶命题和2个递阶命题相关，则用第二数学归纳法。) 2、抽象型行列式计算 行列式性质恒等变形；矩阵公式、法则恒等变形；E 恒等变形。特征值、相似。 二、应用 特征多项式求特征值结果往往带参数，记得求解时不要乘得混乱；克莱默法则更多用来做证明题，只在系数行列式特殊(如范德蒙)时才用来解方程组。 三、证行列式为0——反方秩特 第二章 矩阵 一、运算:n 维列向量；分块矩阵；矩阵的n 次方(三种做法:看秩是否为1；拆成单位矩阵和一个矩阵的和再用二项展开式；用相似) 二、伴随。伴随的两种求法；核心公式推导矩阵的逆、伴随、伴随的逆、逆的伴随(注意用置换)。 矩阵的秩和伴随的秩的关系及证明(思路很重要)；考秩的俩条件，一个讲大一个讲小；用行列式的元来解释矩阵的秩； 三、可逆。逆矩阵的4种求法:定义、行变换、用伴随、对角矩阵的逆。 逆和转置的运算法则比较。 四、初等矩阵。左乘右乘；初等矩阵逆矩阵的三个公式。 看到一道题不要直接看答案，要先自己思考。把真题做好。 第三章 向量 以下三大内容的计算题、证明题、选择题。 一、相关、无关1、向量里面两个核心考点:相关无关的计算题将坐标竖过来，看齐次方程组有无非0解；线性表出的计算题研究非齐次方程组有无解。 2、证向量组无关:定义法，恒等变形——乘和重组；用秩。若是用乘，先看能不能乘出0来；若一下子看不出乘谁得0，分两步走，研究俩式子的加加减减。 二、线性表出。 1、计算题有两种: ⑴一个向量能否用一个向量组线性表出? 两个思路:①以克拉默法则为背景，若用克拉默法则来处理，令行列式等于0，把等于0的各种情况探讨在一起，总结归纳。 ②构造非齐次线性方程组——抓0思想(注意:未知量的系数为0，若常数项不为0，则此非齐次线性方程组无解；若常数项系数为0，则有无穷多解)。 ⑵一个向量组能否由另一个向量组线性表出? ①构造非齐次线性方程组(几个系数一致的非齐次线性方程组可合并系数矩阵)，抓0； ②推理，用秩思考。(观察:向量组1中所有向量都能由2中一个向量表出，则1能由2表出；若2中有一个向量不能由1线性表出，则2不能由1表出) 2、证明题和选择题思路:⑴证一个向量能由一个向量组线性表示: ①构造非齐次线性方程组，用秩；(用秩做题要有的一个构思——构造数的不等式，夹逼思想) ②定理3.6——一组向量线性无关，加入一个相关，则加入的那个向量可用其余向量表出，且表示法唯一。 ③证出某个K≠0，让K当分母。 ⑵证不能线性表示:反证法。 三、秩。 1、向量组的秩考点 ①求极大无关组:如经初等行变换得到秩为3的矩阵，就找3阶行列式不为0的向量； ②将其他向量用极大无关组表出。 用不同语言解释向量组列(行)满秩，则列(行)向量线性无关:用极大线性无关组解释；用齐次线性方程组只有0解解释。 线性代数里好多知识点可以用不同角度解释、理解——做题开拓思路，同一件事情，从不同角度解释。 极大线性无关组与整个向量组等价，应用到求齐次线性方程组的解，要用有限个解描述无穷个解，则求解解向量的极大无关组——基础解系。 2、矩阵的秩 矩阵的秩用行列式得不得0来定义，矩阵的行秩和列秩是向量组的秩，指向量组的极大无关组有几个向量。两者是完全不同的概念，但都是数值，数值大小一样。 矩阵秩的几个公式及证明。 求n阶矩阵的秩有3个方法:①经初等行变换矩阵的秩不变；②用秩的概念——行列式；③用特征值。 第四章 方程组 这章三点内容，考计算，动手做题发现很多问题。 1、齐次线性方程组 把系数矩阵化成行最简(把自由变量的系数写成相反数)还是阶梯型(代入求解)要灵活处理。选择计算量最小、不易出错的。 基础解系如何找自由变量?——从系数矩阵找单位矩阵(或行列式不为0的矩阵)，挡掉的就是自由变量。 2、非齐次线性方程组 求非齐次特解时，自由变量全为0，其余变量按从上往下顺序抄常数项。 3、公共解、同解 公共解两种考题:①题目说两个方程组有公共解，则联立方程组；②一个给方程组，一个给基础解系，则解方程组，用两个基础解系表示公共解，移项，构造齐次方程组，解出系数，代入任意一组基础解系即可。 同解要注意验证必要条件——秩相等。 第五章 特征值 考试重点，三点内容。 1、求特征值、特征向量。 ①定义法。(推理分析) ②特征多项式，特征方程。(通过基础解系求特征向量) 这里的加减消元要学会投机取巧，不要一点一点消，先把最复杂的一个方程全写成0；特征向量尽可能求成整数。 ③相似(两矩阵相似，特征值一样，特征向量有关联，背过直接用) 做题技巧: 已知一个矩阵的特征值、特征向量，直接写与其相关矩阵(多项式、幂、逆、伴随、相似)的特征值、特征向量； 把一个矩阵写成一个简单矩阵(秩为1的矩阵特征值有一个为矩阵的迹，另外的全是0)与单位矩阵的和； 齐次方程组的解也是特征值0对应的特征向量； 2、相似 ①相似的4个必要条件(行列式、秩、特征多项式和特征值、迹相等)； ②在两个矩阵的相似上注意3条线索:若一个矩阵的行列式和秩不好求，则求与其相似矩阵的行列式、秩；通过相似于对角矩阵求矩阵的幂；证明两矩阵相似，选一个对角矩阵作为中介。③一个矩阵相似于对角阵的定义——矩阵有n个无关的特征向量。 判断方法:两个充分条件(有n个不同特征值；对称矩阵)；1个充要条件(n重特征值有n个无关的特征向量)。 ④求可逆矩阵使矩阵A对角化。题目中不直接告诉A矩阵，此时要予处理。3种题型。 给相似:用相似的必要条件(迹、行列式相等、特征值相同)构造方程组； 给特征向量:用特征值、特征向量定义构造方程组； 特征值有重根:研究秩。 ⑤以前是给一个矩阵，求其特征值、特征向量，现在正好反过来，要求A，准备好两套东西——n个特征值、n个特征向量。两个思路:用矩阵方程，用相似。 3、实对称矩阵 ①4个特点 ②用正交矩阵相似对角化。前3步与用可逆矩阵相似对角化一致，第4步是将求得的特征向量正交化(施密特)、单位化(别带分母，就写整数部分)。 第六章 二次型 1、标准型 二次型化标准型的问题，在正交变换下就演变成求A 的特征值、特征向量。 2、正定 判断矩阵是否正定?①先检验A 对称②证明A 正定(主对角线上的元素都大于0是正定的必要条件；顺序主子式全大于0；特征值全大于0) 证明正定?①定义法②特征值法③A 与单位矩阵合同(正惯性指数为n ) 3、合同 相似一定合同，合同一定等价。反之不成立。 举例矩阵特征值相同但不相似→要举反例，特征值必须是重根。 等价u21d4同型矩阵秩相等 证明相似(n 阶)→相似于同一个对角矩阵 证明不相似→用相似的4个充分条件；一个相似于对角矩阵，一个不能相似对角化。 实对称矩阵相似u21d4特征值相同 合同(n 阶实对称)u21d4正负惯性指数相等。 六章全结束，祝顺利。

那为什么要取X3为自由变量了?原理是什么，首先观察矩阵，显然，x1-x3=0x2-x3=0显然 ，x3与x1,x2均相关，所以，当确定x3后，那么x1,x2也就确定了。必须是选定自由变量，那么其他的量就确定了。所以选x3最简便的确定其他的量。为什么不能取X1或者X2为自由变量?这种认为是不对的!，也可以选x1,或者x2作为自由变量。因为x2确定，那x3也确定，从而x1也确定。为什么取X3之后保证了基础解系的之间是线性无关的?(假如有2个基础解系)有多少(r)个自由变量，说明矩阵的秩为n-r那么相应的就有n-r个基础解系。其次，我们在进行赋值时，一般选取单位基础向量进行赋值，例如(0，1，0，。。)(1，0，0，。。。)等等等，保证了其线性无关性所谓自由变量，就是可以随意选择的变量，出现这种情况是因为未知数多，互异的约束方程少导致。所以少几个就有几个自由变量，从而有相应的基础解系那么他的自由变量如何确认而得到正确的基础解系显然，矩阵秩为1，那么自由变量为3-1=2个在x1,x2,x3中任选两个，进行赋值，一般为(0，1)或者(1，0)然后确定最后一个值。

题目中最后有笔误，应为“就可以取 x2， x4 为自由未知量呢？”因齐次方程组的系数矩阵 A ，实际就是 5 个列向量组成的向量组，向量组的秩为 r(A)=3, 则最大无关组由 3 个向量组成。但最大无关组并不唯一，可以是 x1, x3, x4, 也可以是x1, x3, x5，还可以是 x2, x3, x4, 或 x2, x3, x5,总之是 x1, x2 中取1个， x4，x5 中取1个，与 x3 组成最大无关组。无关组之外的向量可以用无关组线性表示，故可作自由未知量。所以当 |x1, x3, x5| ≠ 0, 得 x1, x3, x5 线性无关时，就可以取 x2， x4 为自由未知量。

这个例子x1，x2，x3三者中任意一个都能做自由变量。

" 组员“ 是什么意思 ？ ”主元“ ？你也可以设 x3 是主元， x2 是自由变量啊。

对齐次线性方程组Ax=0将系数矩阵A用初等行变换化成梯矩阵(这时可确定自由变元, 但最好化成行最简形,以便于求解)非零行的首非零元所在列对应的变元为约束变元, 其余变元取作自由变元.(这是一种最好掌握的取法, 别的取法就不必管它了)

肯定是1啊

当R(A)不等于n时 就说明有自由变量 数量是n-R(A)比如有x1 x2 x3三个未知数 那么如果有一个自由变量 你任选一个给他赋任意值就行了 只要保证结果x1 x2 x3不全为0即可

给你举一个简单的例子，方程组x+y=1,y+z=1,那么如果选择用x表示该线性方程组的解就是x=x.y=1-x,z=x,如果用y表示其解，那就是x=1-y,y=y,z=1-y,同样用z表示法类似；那么上述解得坐标形式分别就是（0，1，0）^T+x(1,-1,1)^T,（1，0，1）^T+y(-1,1,-1)^T,其中x,y任意。这说明自由变量可以任意选取.而自由变量的选取往往是根据方程组的各个变元的系数来选取，以使其基础解析尽量为整数解，比如说2x+3y=0，一般会选取(-3,2)或者(3,-2)来作为其基础解析。对于你上面说的那种方法是将A做初等行变换化为阶梯型的矩阵，而这种方法的实际呢是利用我们以前学的解方程组的消去法。此种方法的原理用简单的方程组给你表达就是x1+x2+...xn=0x2+x3+...+xn=0.......,xk+...+xn=0,那么从最后一个式子解出xk=-x(k+1)-...-xn,依次往上从而解出x1.当然上面的表达式省略了各个变元的系数。这就是通解，所以解方程组最重要的就是做初等变换化为阶梯型矩阵。当然就像我一开始说的特殊情况特殊对待不一定非得这样解，只不过这样解是万能的。希望楼主能理解！能采纳！

本节首先讲解了矩阵变换的两种形式： 阶梯形 和 简化阶梯形 ，并讲述了这两种变换之间的关系（最重要的关系是二者的主元位置和主元列是相同的）。之所以引入这两种变换，是为了给解线性方程组和研究线性方程组解的性质提供方便。接下来，讲解了利用 简化阶梯形 求解线性方程组解的方法，最后讨论了利用 阶梯形 矩阵判断方程组解的 存在性 和 唯一性 的方法，并得出了 解线性方程组的一般步骤 。 非零行： 矩阵中至少包含一个非零元素的行 非零列： 矩阵中至少包含一个非零元素的列 先导元素： 非零行中最左边的非零元素 一个矩阵称为 阶梯形 (或 行阶梯形 )，若它有以下三个性质： 若一个阶梯形矩阵还满足以下性质，则称它为 简化阶梯形 （或 简化行阶梯形 ）: 下面是 阶梯形矩阵 的例子，先导元素用 表示， 表示任意元素。 下面是一个 简化阶梯形矩阵 的例子： 任何非零矩阵都可以行化简（即用初等行变换）为阶梯形矩阵。若矩阵 行等价于阶梯形矩阵 ，则称 为 的阶梯形；若 是简化阶梯形，则称 为 的简化阶梯形。 需要注意： 阶梯形矩阵化简为简化阶梯形时，先导元素的位置并不改变 。因简化阶梯形是唯一的，故当给定矩阵化为任何一个阶梯形时，先导元素总是在相同的位置上。 定义： 矩阵中的 主元位置 是 中对应于它的简化阶梯形中先导元素1的位置。 主元列 是 的含有 主元位置 的列。 下面的例子说明了可以通过把一个矩阵变换为阶梯形矩阵来求取主元位置 : 有如下矩阵： 经过行化简后，可以变换为如下形式： 这个矩阵符合如下一般形式： 由上述对 主元位置 和 主元列 的定义，可知，该矩阵的主元分别是 ， ， ，主元列分别是第一、二、四列。 下面的例子说明了求取简化阶梯形的两个步骤，第一个步骤先将矩阵变换为阶梯形矩阵，第二个步骤再将阶梯形矩阵化简为简化阶梯形矩阵 ： 有如下矩阵： 通过一系列的初等行变换（ 这一步骤称为行化简算法的向前步骤 ），可以得到其阶梯形矩阵： 接下来，为了得到简化阶梯形，需要将主元通过变换变为1，并且，通过将这一行乘以适当的倍数，加到其余的行，来使得该主元列其他的元素都变为0。这一步骤称为 行化简的向后步骤 。 经过这一步骤后，可以得到该矩阵的简化阶梯形： 本节讲述的 阶梯形 、 简化阶梯形 可以为下一节所述的解线性方程组提供方便。 行化简算法应用于方程组的 增广矩阵 时，可以得出线性方程组解集的一种显式表示法。 例如，设某个线性方程组的增广矩阵已经化为等价的 简化阶梯形 : 对应的线性方程组为： 对应于主元列的变量 和 称为 基本变量 ，其他变量称为 自由变量 。 由于简化阶梯形使每个基本变量仅包含在一个方程中（由于每一先导元素1是该元素所在列的唯一非零元素，所以除了该先导元素所在的行，其他行对应列的位置的元素都是零了），因此可以在每一个方程中用自由变量表示基本变量，便可以得到方程组的解。 上述方程组的通解为： 另外 是自由变量。所谓的自由变量，是指它可取任意的值。 的不同选择确定了方程组的不同的解，方程组的每个解由 的值的选择来确定。 形如上述方程组的表示式称为解集的参数表示，其中自由变量作为参数。解方程组就是要求出解集的这种参数表示或确定它无解。 需要注意，在上述方程组中，把 作为自由变量只是一种约定，其实它们之间中的任何一个都可以作为所谓的自由变量，来表示两外两个未知数。 确定下列方程组的解是否存在且唯一： 由上述 阶梯形 与 简化阶梯形 之间的关系（阶梯形矩阵化简为简化阶梯形时，先导元素的位置并不改变。），判断线性方程组解的 存在性 与 唯一性 问题，只需要将矩阵变换为 阶梯形 就可以了。 例如，将上述方程组化简为如下阶梯形： 可以判断出，基本变量是 ， ， ，自由变量是 ， 。这里没有类似 等明显不成立的方程，所以该方程是有解的。同时，解不是唯一的，因为有自由变量的存在。 由此引出了下面的定理： 通过上面的讨论，也可以总结出解线性方程组的一般步骤： 例题：假设一个方程组的 系数矩阵有4个主元，这个方程组是相容的吗？如果它是相容的，有多少解？ 解：由于系数矩阵有4个主元，因此系数矩阵的每行有一个主元。这意味着系数矩阵是行简化的，它没有0行，因此相应的行简化增广矩阵没有形如 的行，其中 是一个非零数。由本文所述定理知，方程组是相容的。此外，因为系数矩阵有7列且仅有4个主元列，所以将有3个自由变量构成无穷多解。

自由未知量的个数 = n - r(A)其中 n 是未知量的个数, r(A) 是系数矩阵的秩当系数矩阵化成梯矩阵或行最简形时, r(A) 就是非零行 的行数.一般这样选取自由未知量:非零行的首非零元所在列为约束未知量 (例1中的 x2; 例2中的 x1和x2)其余未知量取作自由未知量 (例1中的 x1和x3; 例2中的 x3)你说的: 可是在做题时只取第三个1对应的X3为自由变量，这是为什么呢？这不对, 这个例子中自由未知量只有 x3, 取x3=1, 得基础解系 (0,-1,1)".

1.这与矩阵能否对角化有关 A可对角化的充分必要条件是对k重根,相应的齐次线性方程组的基础解系含k个向量. 二重根只取一次时,矩阵不能对角化. 至于判断是否化到了最简阶梯阵,你看看教材中的定义,一两句说不清楚

你上边不是说了么，n-R(A)=自由变量的个数x1 x2是约束变量，所以x3 x4是自由变量啊哪里来的x5，这是个增广矩阵，对应的是非齐次方程第五列不是x5，是方程等号右边的数。不是变量x

求基础解系时,用对自由变量赋值的方法,有书上说找出一个秩为r(A)的矩阵,则其余的n-r(A)就是对应的自由变量,那第一个未知量不是主变量么,按他那么说不就可以取主变量当自由变量了?

u和t，1和0是完全一样的，它是解的两种不同表达形式而已。当你取1和0时，前面无穷多解的k1和k2换作t和u可以得到一样的结果。

系数矩阵的秩为3，未知数为5个，所以自由变量的个数为5-3=2,x1,x2,x3,x4,x5一共5个未知数，但是你只有三个方程，所以就会出现两个自由变量

自由向量就是不可以解的方程的未知数

先标记每行的第一个非0数除去这些所标记的数所在的列其它列即为所求自由变量

那为什么要取X3为自由变量了？原理是什么，首先观察矩阵，显然，x1-x3=0x2-x3=0显然 ，x3与x1,x2均相关，所以，当确定x3后，那么x1,x2也就确定了。必须是选定自由变量，那么其他的量就确定了。所以选x3最简便的确定其他的量。为什么不能取X1或者X2为自由变量？这种认为是不对的！，也可以选x1,或者x2作为自由变量。因为x2确定，那x3也确定，从而x1也确定。为什么取X3之后保证了基础解系的之间是线性无关的？（假如有2个基础解系）有多少（r）个自由变量，说明矩阵的秩为n-r那么相应的就有n-r个基础解系。其次，我们在进行赋值时，一般选取单位基础向量进行赋值，例如（0，1，0，。。）（1，0，0，。。。）等等等，保证了其线性无关性所谓自由变量，就是可以随意选择的变量，出现这种情况是因为未知数多，互异的约束方程少导致。所以少几个就有几个自由变量，从而有相应的基础解系那么他的自由变量如何确认而得到正确的基础解系显然，矩阵秩为1，那么自由变量为3-1=2个在x1,x2,x3中任选两个，进行赋值，一般为（0，1）或者（1，0）然后确定最后一个值。

对齐次线性方程组Ax=0将系数矩阵A用初等行变换化成梯矩阵(这时可确定自由变元, 但最好化成行最简形,以便于求解)非零行的首非零元所在列对应的变元为约束变元, 其余变元取作自由变元.(这是一种最好掌握的取法, 别的取法就不必管它了)

如图所示

x5那里不是还有一个“6”吗？选C

自由未知量所在列之外的列构成A的列向量组的一个极大无关组，所以应该选 (A)，这是因为取 x4，x5 后，1，2，3列不构成A的极大无关组。所谓的自由变量就是当他们取定一组值时，其余变量的值可以用这些值表示出来。由阶梯形矩阵可知6x5=0，所以x5的值已定，不能作为自由变量。其余三个选项可验证满足前面要求。具体讨论，矩阵的秩是3，自由变量为5-3=2个，阶梯形矩阵有3个阶梯，每一个阶梯上选择一个变量为非自由变量，剩下的就是自由变量。所以x5肯定是非自由变量。含义谓词逻辑中的谓词的真值与谓词中的约束变量的记法无关。因此，可引入改名规则：若打算把某谓词公式中的量词(Qx)换成(Qy)，则y必须是在该(Qx)的作用域内不出现的变量，并且把该(Qx)的作用域内一切自由出现的x换成y。因此，在谓词逻辑的一个表达式中，总可以通过改名规则，使得该表达式中所有的约束变量都不是自由变量，于是，所有的自由变量也都不是约束变量。

三个未知变量，秩为1,则有两个自由变量。显然，x2,x3具有相关性，只要确定了x2,x3便确定了。所以，不能直接选x2,x3为自由变量。所以，可以选x1,x2,也可以选x1,x3作为自由变量

线性代数解矩阵方程时，确定主变量，确定矩阵方程中的主变量和自由未知量：把系数矩阵经初等行变换化成梯矩阵。非零行的从左至右第1个不等于0的数所处的列对应的未知量是约束变量, 其余未知量就是自由未知量。一般选取单位基础向量进行赋值，例如（0，1，0）（1，0，0）等等等，保证了其线性无关性，所谓自由变量，就是可以随意选择的变量，出现这种情况是因为未知数多，互异的约束方程少导致。所以少几个就有几个自由变量，从而有相应的基础解系。那么他的自由变量如何确认而得到正确的基础解系，显然，矩阵秩为1，那么自由变量为3-1=2个，在x1，x2，x3中任选两个，进行赋值，一般为（0，1）或者（1，0），然后确定最后一个值。证明对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为阶梯型矩阵后，不全为零的行数r（即矩阵的秩）小于等于m（矩阵的行数），若m<n，则一定n>r,则其对应的阶梯型n-r个自由变元，这个n-r个自由变元可取任意取值，从而原方程组有非零解（无穷多个解）。

　　山东大学是一所历史悠久、学科齐全、实力雄厚、特色鲜明的教育部直属重点综合性大学，在国内外具有重要影响，2017年顺利迈入世界一流大学建设高校（A类）行列，山东大学既是985工程也是211工程,那么作为全国前30名的顶尖强校,2022年山东大学“825线性代数与常微分方程”考哪些内容呢？一起来看看吧。　　●、山东大学学校简介　　山东大学前身是1901年创办的山东大学堂，被誉为中国近代高等教育起源性大学。其医学学科起源于1864年，开启近代中国高等医学教育之先河。从诞生起，学校先后历经了山东大学堂、国立青岛大学、国立山东大学、山东大学以及由原山东大学、山东医科大学、山东工业大学三校合并组建的新山东大学等几个历史发展时期。120年来，山东大学始终秉承“为天下储人才，为国家图富强”的办学宗旨，深入践行“学无止境，气有浩然”的校训精神，踔厉奋发，薪火相传，积淀形成了“崇实求新”的校风，培养了60余万各类人才，为国家和区域经济社会发展作出了重要贡献。　　●、“825线性代数与常微分方程”考试性质、考查目标、考查内容等等　　一、考查目标　　线性代数与常微分方程是为招收理学数学学院各专业硕士研究生而设置的具有选拔功能的考试科目。其目的是科学、公平、有效地测试考生是否具备攻读数学专业硕士所必须的基本素质、一般能力和培养潜能，以利用选拔具有发展潜力的优秀人才入学，它的主要目的是测试考生对线性代数及常微分方程内容的掌握程度和应用相关知识解决问题的能力。要求考生比较系统地理解线性代数及常微分方程的基本概念和基本理论，掌握线性代数及常微分方程理论的基本方法。要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。　　二、考试形式和试卷结构　　1.试卷满分及考试时间　　试卷满分为150分，考试时间180分钟。　　2.答题方式　　答题方式为闭卷、笔试。　　3.题型结构　　题型为计算题及证明题。　　三、考查内容及要求　　Ⅰ．常微分方程　　1．微分方程的一些基本概念　　（1）考试内容　　1）常微分方程　　2）阶数　　3）线性与非线性　　4）解、隐式解、通解、特解　　（2）考试要求　　1）了解微分方程与客观世界中某些实际问题的关系　　2）掌握微分方程中线性与非线性、通解与特解等基本概念　　3）了解一阶方程及其解的几何意义　　2．一阶微分方程的初等解法　　（1）考试内容　　1）变量分离方程，齐次方程及可化为变量分离的方程　　2）线性方程，贝努利方程　　3）恰当方程的概念，充要条件，恰当方程的通解。积分因子的概念及其求法　　4）一阶隐式方程（四种类型方程）的解法　　（2）考试要求　　1）能正确的识别一阶方程的类型　　2）掌握变量分离方程、齐次方程及可化为变量分离方程的解法。　　3）掌握一阶线性方程、贝努利方程的解法　　4）掌握恰当方程的解法及求积分因子的基本方法　　5）掌握一阶隐式方程的解法　　3．一阶微分方程的存在定理　　（1）考试内容　　1）一阶微分方程解的存在唯一性定理求近似解及误差估计　　2）有界及无界区域中解的延拓定理　　3）解对初值的连续依赖和可微性定理　　4）奇解概念、求法及克莱罗方程　　（2）考试要求　　1）理解和掌握存在唯一性定理及其证明　　2）会求方程的近似解并估计其误差　　3）了解解的延拓定理　　4）了解解对初值的连续依赖定理和解对初值可微性定理　　5）理解奇解的概念并会求方程的奇解　　6）掌握克莱罗方程的解法　　4．高阶微分方程　　（1）考试内容　　1）齐线性方程解的性质和结构　　2）非齐线性方程通解的结构和常数变易法　　3）常系数齐次线性方程通解的求法，　　4）常系数非齐次方程特解的求法　　5）高阶方程的降阶　　（2）考试要求　　1）掌握齐次线性方程解的性质和通解的结构　　2）熟练地求解常系数齐次及非齐次线性方程　　3）会用降价法求高阶方程的解　　5．线性微分方程组　　（1）考试内容　　1）一阶线性方程组的存在唯一性定理　　2）线性方程组的一般理论　　3）常系数线性方程组的标准基解矩阵　　4）基解矩阵的计算　　（2）考试要求　　1）理解一阶线性方程组的存在唯一性定理　　2）理解线性方程组解的性质　　3）掌握线性方程组通解的结构，会用常数变易法求非齐线性方程组的一个解向量　　4）会求常系数线性方程组的基解矩阵　　Ⅱ．线性代数　　1．行列式　　（1）考试内容　　1）行列式的定义、基本性质　　2）行列式的计算　　3）行列式按行（列）展开　　（2）考试要求　　1）理解行列式的概念，会用行列式的性质计算行列式　　2）会用克莱姆法则求解线性方程组　　3）掌握行列式按行（列）展开的应用　　2．线性方程组　　（1）考试内容　　1）线性相关（无关）性，向量组的秩　　2）矩阵的秩　　3）齐次线性方程组的基础解系，通解　　4）非齐次线性方程组有解的充要条件、解的结构与通解　　（2）考试要求　　1）会讨论向量组的线性相关（无关）性，会计算矩阵的秩　　2）会计算齐次线性方程组的基础解系，通解　　3）掌握非齐次线性方程组有解的充要条件、会计算其通解　　4）掌握齐次线性方程组的基础解系和矩阵秩的联系　　3．矩阵　　（1）考试内容　　1）矩阵的运算和性质，矩阵的逆　　2）初等变换和初等矩阵　　3）乘积矩阵的秩和行列式　　4）分块矩阵的应用　　（2）考试要求　　1）理解和掌握矩阵的运算和性质　　2）会求矩阵的逆　　3）掌握初等变换和初等矩阵的联系　　4）掌握分块矩阵的应用　　4．二次型　　（1）考试内容　　1）二次型的标准型，矩阵的合同关系　　2）惯性定理　　3）正定矩阵和正定二次型　　4）半正定矩阵和半正定二次型　　（2）考试要求　　1）掌握二次型的标准型的求法　　2）掌握惯性定理及其应用　　3）熟练掌握正定矩阵和正定二次型　　4）了解半正定矩阵和半正定二次型　　5．线性空间　　（1）考试内容　　1）线性空间的基本概念、基和维数　　2）线性空间的子空间、子空间的运算，维数公式　　3）线性空间的直和分解和线性空间的同构　　（2）考试要求　　1）掌握线性空间的基本概念、基和维数　　2）掌握子空间的运算，维数公式　　3）掌握线性空间的直和分解　　6．线性变换　　（1）考试内容　　1）线性变换与矩阵　　2）特征值和特征向量，不变子空间　　3）矩阵的特征多项式和最小多项式　　4）可对角化的矩阵　　（2）考试要求　　1）掌握线性变换和矩阵之间的对应关系　　2）掌握特征值和特征向量的计算　　3）掌握矩阵可对角化的等价条件　　4）了解线性空间相对于一个线性变换的直和分解及其应用　　7．-矩阵ue814　　（1）考试内容　　1）多项式矩阵的运算和等价，多项式矩阵的带余除法　　2）数字矩阵的相似等价条件　　3）行列式因子、不变因子、初等因子　　4）矩阵的若当标准型和有理标准型　　（2）考试要求　　1）掌握矩阵的相似等价条件　　2）掌握初等因子的计算，会计算矩阵的若当标准型　　3）掌握矩阵的最小多项式与不变因子的关系　　4）了解矩阵的有理标准型　　8．欧式空间　　（1）考试内容　　1）欧式空间的基本概念、内积的性质　　2）标准正交基，正交变换与正交矩阵，对称变换与对称矩阵　　3）实对称矩阵的特征值、特征向量　　4）实二次型的主轴问题　　（2）考试要求　　1）掌握欧式空间的基本概念、内积的性质　　2）掌握实对称矩阵的相似标准型　　3）掌握正交矩阵的性质　　4）了解欧式空间关于子空间的直和分解　　考研政策不清晰？同等学力在职申硕有困惑？院校专业不好选？点击底部官网，有专业老师为你答疑解惑，211/985名校研究生硕士/博士开放网申报名中：https://www.87dh.com/yjs2/

设有n个向量a1,a2...,an（都是m维） 如果他们线性无关,那么他们组成的向量组的秩就是n 言外之意就是他们不能互相表示.

要使用一个重要结论：AB=0，A是的列数=B的行数n，则r(A)+r(B)≤n。这个应该是书上的例题，以同济版线性代数为例。AA*=0，所以r(A)+r(A*)≤n，所以r(A*)≤n-(n-1)=1。又r(A)=n-1，A有n-1阶子式非零，所以r(A*)≥1。所以r(A*)=1。

向量组线性无关，则该向量组为极大无关组，因此向量组满秩，也就是说r=行数（或列数）简单例子：n个向量a1,a2...,an（都是n维）即r(a1,a2...,an)=n令楼下说的很对

不是前面有an和bn的计算过程了么？

么看见题目欸

不一定是用于化简二次型，也可以化简线性变换的表示矩阵，取决于你想讨论的是什么问题还可能是很单纯的就是要做一个变换把结果算出来（比如计算机图形学里经常有）

空间的维数就是极大线性无关组中向量的个数,而解空间的极大线性无关组就是它的基础解系,其所含解向量的个数为n-r,n是未知向量中元素的个数,r是系数矩阵的秩.

向量空间的基底就是线性空间的基,所谓基就是一组向量,满足以下两个条件： 1、这组向量线性无关； 2、向量空间中任何向量均可有这组向量线性表示出. 书上有定义啊

因为该空间中的任意一个向量都可以表示成（1,0,1）和（0,1,1）的线性组合，即有（x1,x2,x1+x2）=x1(1,0,1)+x2(0,1,1)所以向量空间的维数是2.

根据定义，秩等于非0特征值的个数。特征值全为0则秩为0

首先应该是齐次的线性方程组。方程个数小于未知数个数即系数矩阵的秩小于未知数的个数。我觉得这样可能好理解一点的是系数矩阵的秩就是有效方程的个数。未知数的个数多余有效方程的个数自然有非零解。类似于X+Y=3 一个方程两个未知数X Y自然有非零解。重要定理每一个线性空间都有一个基。对一个 n 行 n 列的非零矩阵 A，如果存在一个矩阵 B 使 AB = BA =E（E是单位矩阵），则 A 为非奇异矩阵（或称可逆矩阵），B为A的逆阵。矩阵非奇异（可逆）当且仅当它的行列式不为零。矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。

首先A只有是个方阵，R(A，B)与R(AB)才有意义。R(A，B)是矩阵(A，B)的秩R(AB)是矩阵AB的秩根本就是两个不同矩阵的秩，基本没有任何关联。

这里需要运用到分阵矩阵的公式。因为将A按列分块得 C = AB= (α1,.,αs) B ，根据分块矩阵的乘法公式，C 的第1列就等于 α1,.,αs 分别乘B的第1列的各元素之和。即 C 的第1列可由列向量线性表示。由矩阵乘法定义就很容易得到了，假设C的第一列列向量是［c1，c2……cn］，则该列向量等于A［b1，b2……bn］（这里是B的第一列列向量），则c1列向量就可用A的列向量全部线性表示。c的其他列向量可以以此类推。矩阵的秩定理：矩阵的行秩，列秩，秩都相等。定理：初等变换不改变矩阵的秩。定理：如果A可逆，则r（AB）=r（B），r（BA）=r（B）。定理：矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra，Rb}。引理：设矩阵A=（aij）sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。

数二线性代数考哪些内容如下：一、 行列式考试内容 行列式的概念和基本性质 行列式按行（列）展开定理考试要求1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质．2．会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式．二、矩阵考试内容 矩阵的概念 矩阵的线性运算 矩阵的乘法 方阵的幂 方阵乘积的行列式 矩阵的转置 逆矩阵的概念和性质 矩阵可逆的充分必要条件 伴随矩阵 矩阵的初等变换 初等矩阵 矩阵的秩 矩阵的等价考试要求1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、对称矩阵、三角矩阵、反对称矩阵，以及它们的性质．2． 掌握矩阵的线性运算、乘法、转置，以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式3． 理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵．4．了解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法．三、向量考试内容 向量的概念 向量的线性组合和线性表示 向量组的线性相关与线性无关 向量组的极大线性无关组 等价向量组 向量组的秩 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系 考试要求1．理解n维向量的概念、向量的线性组合与线性表示的概念．2．理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法．3．了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩．4．了解向量组等价的概念，了解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩的关系．四、线性方程组考试内容 线性方程组的克莱姆(又译：克拉默)（Cramer）法则 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件 非齐次线性方程组有解的充分必要条件 线性方程组解的性质和解的结构 齐次线性方程组的基础解系和通解 非齐次线性方程组的通解

老哥你也是用的英文教材？

A的秩 + A的零度 = 3B的列包含在Ax=0的解空间里，所以B的秩不超过A的零度

x2,x4叫自由未知量，取任何值都行，令x2=1，,x4=0，得到一组解(1,1,0,0) ，再令x2=0，,x4=1，得到一组解(1,0,-1,1) ，这两个解是线性无关的，核空间K（A）的维数=未知量个数-系数矩阵的秩=2，所以(1,1,0,0) (1,0,-1,1)就是核空间的一组基。

代数空间（线性代数是其中的一种）被映射到零元素的全体元素的集合叫做核，记为ker。集合A上被映射后的全体元素集叫做映射的象集，记为imA，显然集合A关于映射f的象集可以表示为imA=f(A)。ker的记号是一个线性映射，设为A，它是由数域K上的线性空间V1到V2的线性映射，则V2中的零向量在A下的原象集就是kerA；A的象集记为imA。扩展资料：线性代数是一个成功的理论，其方法已经被应用于数学的其他分支。1、模论就是将线性代数中的标量的域用环替代进行研究。2、多线性代数将映射的“多变量”问题线性化为每个不同变量的问题，从而产生了张量的概念。3、在算子的光谱理论中，通过使用数学分析，可以控制无限维矩阵。每一个线性空间都有一个基。对一个 n 行 n 列的非零矩阵 A，如果存在一个矩阵 B 使 AB = BA =E（E是单位矩阵），则 A 为非奇异矩阵（或称可逆矩阵），B为A的逆阵。矩阵非奇异（可逆）当且仅当它的行列式不为零。矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。解线性方程组的克拉默法则。判断线性方程组有无非零实根的增广矩阵和系数矩阵的关系。参考资料来源：百度百科——线性代数

第一题为0,2,1////1,-4,0/////3,0,0| 0, 2, 1|| 1,-4, 0|=12≠0| 3, 0, 0|∴ e1、e2、e3就是Av的一组基。维数为3.A^(-1)(0)=φ,维数为0.

代数空间（线性代数是其中的一种）被映射到零元素的全体元素的集合叫做核，记为ker。集合A上被映射后的全体元素集叫做映射的象集，记为imA，显然集合A关于映射f的象集可以表示为imA=f(A)。ker的记号是一个线性映射，设为A，它是由数域K上的线性空间V1到V2的线性映射，则V2中的零向量在A下的原象集就是kerA；A的象集记为imA。扩展资料：线性代数是一个成功的理论，其方法已经被应用于数学的其他分支。1、模论就是将线性代数中的标量的域用环替代进行研究。2、多线性代数将映射的“多变量”问题线性化为每个不同变量的问题，从而产生了张量的概念。3、在算子的光谱理论中，通过使用数学分析，可以控制无限维矩阵。每一个线性空间都有一个基。对一个 n 行 n 列的非零矩阵 A，如果存在一个矩阵 B 使 AB = BA =E（E是单位矩阵），则 A 为非奇异矩阵（或称可逆矩阵），B为A的逆阵。矩阵非奇异（可逆）当且仅当它的行列式不为零。矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。解线性方程组的克拉默法则。判断线性方程组有无非零实根的增广矩阵和系数矩阵的关系。参考资料来源：百度百科——线性代数

矩阵：一个数组。它的核心作用是它是线性方程组的一种判断解和求解的方法。系数矩阵：线性方程的所有系数构成的一个数组。增广矩阵：系数和参数共同构成的数组。阶梯型矩阵：每一行的第一个不为零的元素的左边及其所在列以下全为零。约束变元与自由变元：非零行的首个非零元为约束变元（基本变量），其他的都是自由变元（自由变量）。解的唯一性：是否有唯一解的问题；简化阶梯型矩阵只有基本变量，就是唯一解，有自由变元也有基本变量，就是多个解。如果有0=b一类的情况，就是无解。平凡解：简单而显而易见就能得到的解。非平凡解：不那么容易得到的解。向量：可以简单理解为由两个数在二维空间确定的这个点和0点的连线。span：所有向量生成的所有线性组合的一个子集。单位矩阵：主对角线为1，其他为0。线性组合或矩阵方程：列向量与矩阵的乘积。Ax=b齐次线性方程组：可以写成AX=0形式的。向量加法：其实就是向量平移。解集：有多个解时解的集合，是形如w=p+（任意解）的集合。p是自由向量。线性相关：一个向量可以为其他的向量通过运算所表示。线性无关与之相反。函数、映射、变化：其实是一个意思。在一般函数里，一个数是一个元，在线性映射里，一个向量是一个元。满射：每个y至少是一个x的象（对应单位），称为满射。单射：1对1映射。线性差分方程：序列的每一项目是定义为前一项的函数。一种递归关系（递推）。矩阵乘法：乘以数=各个相乘。矩阵乘矩阵必须前行=后列。矩阵的逆：两个矩阵相乘=单位矩阵，则互为逆矩阵。矩阵分解：将矩阵拆散为数个矩阵的乘积。行列式：简单的说，行列式是一个运算矩阵的函数，在 n 维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变化对“体积”所造成的影响，它能带来伸缩变化。矩阵中各种元素的交叉相乘再加减正好能表达这种变化，它就是行列式。克拉默法则：一套算法，能算出Ax=b的唯一解。矩阵乘以某个参数=向量的唯一解。向量空间：向量构成的空间。子空间是其中一个子集。零空间：映射之后象为0的原象构成的空间。列空间：矩阵的列的所有线性组合构成的空间。线性变换核：齐次线性方程组的解集。基向量：向量空间中任意一个元素，都可以唯一地表示成基向量的线性组合。维数：秩：去掉无用的线性方程后的方程组数。稳态向量：特征

这样的矩阵需要满足右乘列向量{1,1,0}等于零列向量，而且矩阵的秩是2。很容易找到这样的例子。

那么我们如何求解 呢？还是使用消元法，之前我们说使用消元法求解方程 时，我们对一种情况是无法处理的，那就是矩阵 不可逆的情况，之前对这种情况的解释是 求出的解不唯一 ，这其实正好对应了现在我们所认识到的“空间”的概念。我们从最简单的零空间（ ）的计算谈起。 例1： ，求 中的 构成的零空间 先将方程写出，如下 首先观察矩阵 我们发现，第三行是前两行的和，这意味着即使主元为 ，我们也得继续消元下去。那么按部就班，有 在消元的过程中，我们发现矩阵 的 主元（Pivot） 数量为 （ 和 ），主元的个数称为矩阵的 秩（Rank) ，因此在本题中矩阵 的秩为 。 接下来就是回代求解了，由于消元得到的 不是一个严格的上三角矩阵，对角线上的 给我们造成了解不唯一的麻烦，所以这里我们先来声明几个概念 中，列 和 被称为 主列（Pivot Columns，主元所在的列） ，其余两列 和 被称为 自由列（Free Columns） ，所谓自由列就是表示其对应的未知变量 （ 表示自由列是第 列）可以被任意分配值。因为回代求解时，只有主列对应的未知数的解有确定值。因此矩阵 中的 主变量（主元） 为 和 ， 和 为 自由变量 。 （1）我们假设，令 ，代入方程 解得 因此当 时，解向量为 ，这只是零空间中的一个解，这个解表示 倍的列 倍的列 ，如果想找出更多零向量中的解，我们只需要求它的倍数，所以 ，这是一条在四维空间中无限延伸的直线，但它不是整个零空间。 （2）我们再令 ，代入方程 解得 因此当 时，解向量为 ，因此另一条在四维空间中的直线为 那么还能为 赋其他值吗？很明显其他情况都可以被 和 的线性组合所涵盖，所以这两个解向量足够代表空间的特征了，我们称这两个解向量为 特解 ，其特殊之处在于我们给自由变量赋值为 和 。通过特解的任意倍的线性组合，可以构造出整个零空间。因此便得出了矩阵 的零空间 对于一个 的矩阵A，若其秩为 ，那么意味着其主变量为 个，而自由变量为 个。也就是说，只有 列起作用。我们需要先对矩阵 进行消元，得到 个主元，由于有 个变量 ，我们再将其中的 个自由变量依次赋值为 。接着求解方程的特解，将特解的任意倍进行线性组合即可得到矩阵 的零空间。 尽管上面的消元法看上去已经很完美了，但事实上仍有化简的余地，最后得到的 矩阵仍可以被进一步化简。我们以上文中的 为例，继续化简的目标是令对角线上的主元为1，并且通过列交换将主元放在一起，把自由列放在一起来构成新的矩阵，操作如下 也就是说最终我们能将上三角矩阵 化简成矩阵 ，矩阵 的一般形式为 其中， 表示主列，由于 个主列的主元被化简成了 ，因此这部分变成了 维单位矩阵， 表示自由列，共有 个自由列。有了矩阵 我们可以改写 的表达形式 这里的 为零空间矩阵，即各列向量由特解组成的矩阵 需要注意的是，这里的单位矩阵和矩阵 中的有所不同，这里的 是 维的，是将 个自由变量分别赋值为 或 得到的。将上文中的示例代入到 和 ，得到 由于 和 是主列， 和 是自由列，因此只需交换零空间矩阵中的第2、3行即可得到特解 和 。 因此将矩阵 化简称矩阵 可以直接求解零空间。 我们用下面一个例题来试验一下： 例 ，求解 中 构成的零空间。 （1）将 消元为 ： （2）将 化简为 ： （3）得到零空间矩阵 ： （4）得到零空间： 对于 我们知道这个方程不一定有解，在之前的章节中说明了 是否有解取决于 是否在 的列空间中，我们再通过一个例子来说明一下 例 求方程 的可解条件。 在这个方程中，观察矩阵A，发现矩阵中第三行为第一行和第二行的和。根据之前的Gauss-Jordan消元法，我们可以得到 代入方程，会发现最后一行 ，这一行方程必须成立，因此这一行就是方程的可解条件。同时，它还反映了 向量的第三个分量是前两个分量之和，这也与矩阵 的特点一致，这也印证了 是否有解取决于 是否在 的列空间中。 结合之前的章节总结出 有解条件： 接下来介绍通解和特解，通解就是满足方程所有的解，将“无穷解”用一种形式表达出来，对于 这个方程 因为矩阵零空间向量代入方程最后结果等于 ，所以它不会影响等式，而是把方程的解向量扩展到一个类似子空间上，使我们求出的解更具有普遍意义，而求解零空间我们在上文也已经介绍，下面我们只需要关注如何求特解即可。在之前求解 方程的特解时，我们分别将自由变量赋值为 或 ，得到 观察这个表达式会发现，只要将系数 和 定为 就可以得到零空间中的零向量，而且我们不能在求解 时将自由变元都赋为 。但是在 中，只要 不是 ，我们就可以将自由变元全部赋为 ，使用此方法即可得到特解。 接下来补充上述例题中方程的条件 Gauss-Jordan消元后得到 将 回代方程得到 解得特解为 利用上一节的知识我们很容易求出 的零空间为 因此 的解为 这个解集在几何角度的解释是 上的一个不过原点的二维平面，显然这个解集无法构成一个向量空间，因为解集中不包含零向量。 我们在消元求 的过程中会发现，矩阵的秩对最后解的形式有着重要的影响，下面我们来总结一下其中的规律。 对于 的矩阵 ，列满秩时，意味着没有自由列， ，此时零空间中只有零向量（不需要求零空间）， 的解要么有解且唯一（特解 ），要么无解。例如 消元，由于两列线性无关，因此只有两个主元，逐行减去第一行的若干倍，行三和行四清零，得到第二个主元，然后各行都减去第二个主元的若干倍，最终第二个主元化为 的得到矩阵 对于 的矩阵 ，行满秩时，意味着有 个主元（每一行各一个）， ，此时自由变元有 个，必然有解而且有无穷多解，例如 最后我们会消元得到 对于 的矩阵 ，行列满秩时，意味着矩阵可逆， ，此时自由变元有 个，经过消元，最终矩阵可化为单位矩阵 ，即一个全是主元的方程组，最终只能有一个唯一解。例如 最后消元得到 对于 的矩阵 ，不满秩时，意味着通过消元最终会得到 ，因此方程的解要么无解，要么无穷多解（特解+零空间所有向量） 综上所述，会发现自由变量总为 个，所以通过判断自由变元的个数可以初步判断 的解的结构：如果没有自由变元，意味着方程的解唯一或者无解；如果存在自由变元，意味着方程的解有无穷多解或者无解。也就是说，自由变元是否存在决定了方程的解是否唯一。另一点是，可以通过观察消元后矩阵 是否存在 行来进一步判断方程是否有解：如果矩阵 中没有零行时，意味着方程一定有解；如果存在零行，则需要考虑方程是否满足可解条件。 除此之外，我们还发现了零空间实际上就是用来判断矩阵 的各列向量是否是线性无关的，如果各列向量是线性无关的，那么零空间中只有零向量，如果各列向量是线性相关的，那么零空间中除了零向量还有其他向量。因此零空间反映的就是 各列向量的线性组合。 当我们求解方程时，例如 矩阵表达如下 除了使用消元法或判断矩阵是否满秩以外，我们还可以从列空间的角度来看这个方程，改写一些这个矩阵表达如下 那么我们判断这个方程是否有解的条件实际上就是判断向量 是否在以向量 和向量 构成的列空间中，换句话说，向量 是否可以表达成向量 和向量 的线性组合。由于向量 和向量 是线性无关的，因此可以张成一个二维平面，而向量 只是其中的一个二维向量，因此可以推断出方程一定有解。

这一节主要是说明几个向量空间，关系到后面正交矩阵、线性拟合等感性上的理解 简而言之向量空间 包含了所有含有 个分量的向量。那 向量空间内 就很好理解了，就是任何 空间内的向量， 相加，乘以系数 （即线性组合），其结果依旧在这个空间内。 那么子空间呢？ 子空间就是一组满足其 线性组合 依旧在该集合内的向量集合（包含0） 最重要的子空间直接跟矩阵 相关。 对于 考虑如果A是非可逆矩阵，那么必然有一些 是可解的，一些 是不可解的，那么对于这些可解的 ，其只是矩阵 中的列向量的线性组合。这些 组成 的列空间。 记做 顾名思义，零空间就是 的时候，所有的解 所组成的空间。 问题来了，对于可逆矩阵而言，零空间有几个向量？没错，答案就是1。因为对于可逆矩阵而言， 只有唯一 这个解。 记做 如何通过消元法求出所有的 解呢？ 如前文所述，线性组合就可以表示为向量空间，那么，对于表达式 而言，必然存在 个特殊解。用特殊解的线性组合就可以构造出所有的满足 的解，自然也就是零空间了。 矩阵 的秩(rank)就是主元素(pivot)位置非零的数量，记做 注意哦，这里的矩阵 不一定是可逆矩阵呢。那么，如何求解出所有的 的解呢？ 独立向量就是矩阵中那些不能由其他列线性组合得到的列。这些独立向量构成了空间。因为依赖列其实没有起任何作用，他们可以由独立向量线性组合得到。 矩阵的基可以理解为一组满足条件 1.相互独立2.构成整个空间 的向量集合 空间的维数等于这个空间的基的数量 列空间 零空间 行空间 转置矩阵零空间 思考：各子空间的关系 直接放图

零空间不一定只有零向量。若detA不为零，则NulA={0}

行列式为零说明它对应的齐次线性方程组有非零解，你将其写开就知道了

不知道你问的是不是零空间。线性代数中，零空间是针对矩阵提出的。一个矩阵A（mxn）的零空间（Null A）指的是所有满足AX=0的X的集合。（X∈R^n）零空间的基：将【A 0】行简化成阶梯型后，将解用参数向量形式表示出来，用自由变量代替主元。{x1}X= {x2} = ...... ，其中全部自由变量前面的向量构成的集合就是A零空间的一组基。{x3}拓展知识：1.A零空间一组基里面向量的个数=A零空间的维数（dimA）2. A零空间维数=行简化后A总共的自由变量个数3.A列空间维数=行简化后A主元列数量=行简化后A主元个数4.最重要： A列空间维数+A零空间维数=A主元数量+A自由变量数量=A总列数

本文目录 1、线性系统Linear System 2、Vectors、Matrices 2.1 向量Vectors 2.2 矩阵Matrix 2.3 矩阵与向量相乘 3、线性方程组有解么？ 3.1 线性方程组 3.2 线性组合Linear Combination 3.3 张成的空间Span 4、线性方程组有多少个解 4.1 线性相关和线性无关 4.2 秩Rank 5、求解线性方程组 5.1 初等行变换 5.2 简化行阶梯形式Reduced Row Echelon Form 5.3 满秩 6、矩阵乘法 6.1 矩阵乘法的含义 6.2 矩阵乘法的性质 6.3 分块矩阵乘法 7、逆矩阵 7.1 什么是矩阵的逆 7.2 初等矩阵 7.3 什么矩阵是可逆的？ 7.4 求解一个矩阵的逆 8、行列式 8.1 什么是行列式？ 8.2 行列式的性质 8.3 行列式的计算 9、子空间 9.1 子空间 9.2 零空间 9.3 列空间和行空间 10、基Basis 10.1 什么是基Basis 10.2 基的特性 10.3 判断一个集合是否为基 10.4 三种空间的基和维度 11、坐标系 11.1 使用基表示向量 11.2 直角坐标系和其他坐标系的转换 11.3 坐标系与线性方程 12、特征值和特征向量 12.1 什么是特征值和特征向量 12.2 如何计算特征向量 12.3 检查一个标量是否为特征值 12.4 计算特征值 12.5 正定矩阵&半正定矩阵 13、对角化 13.1 可对角化 13.2 可对角化的性质 14、正交 14.1 范数和距离 14.2 点积和正交 14.3 正交补 14.4 正交投影 14.5 如何做正交投影 14.6 正交投影的应用-求解线性回归 14.7 正交基 14.8 正交矩阵 14.9 对称矩阵 15、奇异值分解 15.1 什么是奇异值分解？ 1、线性系统Linear System 一个线性系统满足两个条件：Persevering Multiplication和Persevering Addition。 Persevering Multiplication Persevering Addition 多元线性方程组是一个线性系统 。 2、Vectors、Matrices 2.1 向量Vectors 向量是一堆数的集合，分为列向量和行向量，本文中，向量默认是列向量，行向量用其转置表示。 向量与标量相乘 ，每一维都与该标量相乘： 向量相加 ，使用平行四边形法则： 零向量 ：所有维度的值都为0： 标准向量 ：一个维度是1，其余维度是0: 向量集 ：可以包含有限个或无限个向量： Rn : 所有的n维向量组成的向量集合 2.2 矩阵Matrix 矩阵是一组向量： 如果矩阵有m行和n列，我们就说矩阵的大小为m*n，如果m=n，我们称为方阵（square matrix）。 矩阵的元素下标表示，先行后列： 矩阵与标量相乘 ：每一个元素分别与该标量相乘。 矩阵相加 ：两个矩阵的形状必须一致，同位置的元素分别相加。 零矩阵 ：所有元素均为0的矩阵。 单位矩阵Identity matrix ：必须是方阵，对角线元素为1，其余为0，用In表示n*n的单位矩阵。 同形状的矩阵的一些运算法则 ： 矩阵的转置 ：沿左上到右下的对角线为轴进行翻转，将(i,j)位置的元素与(j,i)位置的元素互换得到的矩阵，转置的矩阵用AT表示。 矩阵转置的一些运算规则 ： 2.3 矩阵与向量相乘 矩阵和向量相乘，结果如下： 从行的角度来看矩阵和向量相乘 ：从行的角度看，矩阵A和向量x相乘，其结果是矩阵的A的每一行与向量x做点积(dot product,后面再介绍) 的结果。 从列的角度来看矩阵和向量相乘 ：从列的角度看，矩阵A和向量x相乘，相当于对矩阵A的列向量做了一次线性组合。 因此，无论从行角度还是列角度，矩阵A的列数要与向量x的维数相同。 矩阵和向量相乘的一些性质 ： 如果A和B都是m*n的矩阵，对所有的w，如果都有Aw=Bw，那么是否意味着A=B。结果是显然的。既然是所有的w，那么我们用标准向量就可以得到A和B的每一列都是相同的，因此A=B。 3、线性方程组有解么？ 3.1 线性方程组 对于一个线性方程组，我们可以写成矩阵和向量相乘的形式： 对于一个线性方程组，其解的情况可能是无解，有唯一解或者有无穷多个解。我们把所有的解的集合称为 解集(solution set) 如果线性方程组有解，我们就称其为 相容的(consistent) ，若无解，则称为 不相容的(inconsistent) 。 3.2 线性组合Linear Combination 线性组合是一个操作，将各个向量缩放之后，相加在一起，就得到了参与操作的向量之间的线性组合。 所以线性方程组的问题可以转变成：b是否可以表示成A中列向量的线性组合？ 举几个例子： 通过观察上面的例子，你可能会想，在二维平面中，是不是只要两个向量不平行，就一定有解？答案是肯定的，但有解时两个向量不一定平行，因为目标向量也可能跟它们平行。 3.3 张成的空间Span 对于一个向量集S，其向量的所有线性组合组成的向量集V，称为 Span(S) ，也被称为 S张成的空间 。 举几个二维空间中的例子吧，如果S中只有零向量，那么其张成的空间也只有零向量。 如果S中包含一个非零向量，那么其张成的空间是一条直线： 如果一个向量集包含两个不平行的非零向量，那么其可以张成整个二维平面： 所以一个线性方程组的问题又可以转换成两一个等价的问题：向量b是否在A的列向量所张成的空间中？ 4、线性方程组有多少个解 在上一节中，我们知道了如果b可以表示成A中列向量的线性组合或者b在A的列向量所张成的空间中，那么线性方程组有解，否则无解。但是，有解的情况下是唯一解还是多个解呢？我们还不知道。 4.1 线性相关和线性无关 给定一个向量集，如果其中一个向量可以表示成其余向量的线性组合，那么我们就说这组向量是 线性相关(Linear Dependent) 的。值得注意的是，零向量是任意向量的线性组合，因此只要包含零向量的向量集，都是线性相关的。 线性相关还有另一种定义，即可以找到一组非全零的标量，使得线性组合为零向量。 与之相对应，如果无法找到一组非全零的标量，使得线性组合得到零向量，那么这组向量就是 线性无关的(Linear Independent) ： 判断向量集是线性无关还是线性相关，其实就是看一个 齐次方程(Homogeneous Equations) 有无非零解： 由此，对于Ax=b，我们可以得到两个结论：如果A的列是线性相关的，且Ax=b有解，那么，它有无穷多个解；如果Ax=b有无穷多个解，那么A的列是线性相关的： 4.2 秩Rank 矩阵的秩(Rank) 定义为线性无关的列的最大数目： 矩阵的零化度(Nullity) 是矩阵的列数减去矩阵的秩： 也就是说，如果一个m*n的矩阵，其秩为n的话，它的列是线性无关的： 所以总结一下线性方程组的解的相关问题： 5、求解线性方程组 5.1 初等行变换 如果两个线性方程组的解集是相同的，我们就称它们是等价的(equivalent)。 对线性方程组做以下三种操作可以得到等价的方程组： 1）交换两行 2）对其中一行变为k倍 3）将一行的k倍加到另一行上 上面的三种操作我们也称为 初等行变换(elementary row operations) 这里我们介绍一下 增广矩阵(Augmented Matrix) ，即将A和b进行横向拼接： 因此，通过初等行变换，如果我们能够将增广矩阵转换为一个相对简单的形式，那么我们可以很快的得出最终的解。 5.2 简化行阶梯形式Reduced Row Echelon Form 我们首先介绍行阶梯形式的矩阵，它满足两个条件，首先是非零行要在全零行的上面，其 先导元素(leading entries，每行的第一个非零元素) 按阶梯型排列： 在上述两个条件的基础上，如果先导元素所在的列都是标准向量的话，那么它就是 简化行阶梯形式Reduced Row Echelon Form ： 下面的矩阵不是简化行阶梯形式： 而下面的矩阵是简化行阶梯形式： 根据简化行阶梯形式，我们很容易得到线性方程组的解的形式。 如果简化行阶梯形式是[I;b"]的，那么线性方程组有唯一解： 下面的例子是有无穷多个解的情况，可以看到，第1、3、5列是包含先导元素的标准向量，其对应的变量也称为基本变量，而第2、4个变量被称为自由变量： 下面的例子是无解的情况，先导元素出现在了最后一列： 通过将增广矩阵化简为简约行阶梯形式，进而求解线性方程组解的方法，我们称之为 高斯消元法(Gaussian Elimination) 接下来，我们来看一下简约行阶梯型形式的一些性质： (1)化简为简约行阶梯型形式之后，列之间的关系不变 也就是说， 初等行变换不改变矩阵中列之间的关系 。加入A的简约行阶梯形式是R，那么Ax=0和Rx=0有相同的解集。 但是对于行来说，行阶梯形式改变了行之间的关系，比如原先两行是两倍的关系，其中一行变为二倍之后，二者就相等了，关系自然改变了。 (2)简约行阶梯形式改变了矩阵列所张成的空间 举个简单的例子就能理解，假设一个矩阵是[[1,2],[2,4]]，它所张成的空间是y=2x，化简后得到[[1,0],[0,0]]，此时所张成的空间却是整个平面。但是没有改变行所张成的空间。 (3)先导元素所在的列线性无关，其他列是这些列的线性组合 先导元素所在的列，在原矩阵中被称为 主列(pivot columns) ,这些列是线性无关的，其他列可以有主列的线性组合得到。 (4) 矩阵的秩等于主列的个数，等于简约行阶梯型里非0行的个数 根据这个性质，我们可以得到矩阵的秩的一个性质： Rank(A) <= Min(Number of columns,Number of rows) 因为秩等于主列的个数，所以秩一定小于等于列的个数，因为秩等于简约行阶梯型中非零行的个数，所以秩一定小于等于矩阵行的个数。 有这个性质我们还可以得出两个简单的结论： 对于m*n的矩阵A，如果m<n，那么矩阵A的列一定是线性相关的 和 在Rm空间中，无法找到多于m个线性无关的向量 。 所以我们再来回顾一下矩阵秩的判定，我们已经有多种得到矩阵秩的方式： (5)当m*n的矩阵A的秩为m是，方程组Ax=b恒有解 对于增广矩阵来说，如果变为简约行阶梯型后先导元素出现在了最后一列，则无解。 什么情况下Ax=b恒有解呢？b是一个m*1的向量，也就是说矩阵A的列向量可以张成整个Rm空间，即A的秩为行数m，也就是A变成简约行阶梯型之后没有全0行。 (6)m个线性无关的m维向量可以张成整个Rm空间，Rm空间中多于m个向量的向量集一定线性相关 5.3 满秩 如果m*n的矩阵的秩为n或者m，那么说该矩阵为 满秩(Full Rank) 。 6、矩阵乘法 6.1 矩阵乘法的含义 给定两个矩阵A和B，其相乘结果中的元素(i,j)是矩阵A的第i行和矩阵B的第j列的内积，因此，矩阵A的列数一定要个矩阵B的行数相等。 矩阵乘法可以看作是两个线性方程的组合： 6.2 矩阵乘法的性质 (1) AB <> BA (2)(AB)T= BTAT (3)其他性质 (4)对角矩阵相乘 6.3 分块矩阵乘法 分块矩阵相乘和普通矩阵相乘其实是相同的： 7、逆矩阵 7.1 什么是矩阵的逆 如果两个方阵A和B的乘积是单位矩阵，AB=I，那么A和B就是互为逆矩阵。 一个矩阵是 可逆的(invertible) 的，必须满足两个条件，首先要是方阵，其次是可以找到另一个方阵B，使得AB=I。 并不是所有的方阵都是可逆的。同时，一个矩阵的逆矩阵是唯一的 ： 逆矩阵可以用来求解一个线性方程组，但这种方法要求A是一个方阵，同时在计算上并不是十分有效率的： 7.2 初等矩阵 我们之前介绍了三种初等行变换，其实初等行变换都可以用矩阵相乘表示，这种左乘的矩阵被称作 初等矩阵(Elementary Matrix) 。即单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵。 既然左乘一个初等矩阵相当于对单位矩阵做一次初等行变换，那么只要再左乘一个相反操作的初等矩阵，就可以再次变回单位矩阵，所以初等矩阵的逆很容易得到： 回顾我们如何得到矩阵的简约行阶梯形式，用的就是初等行变换，因此我们可以用左乘初等矩阵的形式，来得到矩阵的简约行阶梯形式。

1. 矩阵的秩和它的行空间,列空间维数之间的关系. 2. 准确地确定齐次线性方程组解空间维数. 1. 秩的几何意义. 设给了数域F上一个m*n矩阵 A= 矩阵A的每一行可以看成F的一个向量,叫做A的行向量.A的每一列可以看成F的一个向量,叫做A的列向量,令a,...,a是A的列向量,这里 a=(a,a,...,a),I=1,...,m. 由a,a,...,a所生成的F的子空间￡(a,a,..., a)叫做矩阵A的行空间.类似的,由A的n个列向量所生成的F的子空间叫做A的列空间. 当m≠n时,矩阵A的行空间和列空间是不同的向量空间的子空间, 引理6.7.1 设A是一个n*m矩阵 如果B=PA,P是一个N阶可逆矩阵,那么B与A有相同的行空间. 如果C=AQ,Q是一个n阶可逆矩阵,那么C与A有相同的列空间. 证:我们只证明(I),因为(ii)的证明完全类似. A=(a)mn, P=(p)mm,B=(b)mn. 令{a1,a2…am}是A的行向量,{b1,b2,…,bm}是B的行向量.B的第I行等于P的第I行等于P的第P的第I行右乘以矩阵A: bi=(bi1,bi2…,bin)=(pi1,pi2,…pim)A=pi1a1+pi2a2,…+pimam, 所以B的每一个行向量都是A的行向量的线性组合,但P可逆,所以A=P-1B.因此A的每一个行向量都是B的行向量的线性组合,这样,向时组{a1,a2,…,am}与{b1,b2,…,bm}等价,所以它们生成Fn的同一子空间. 我们知道,对于任意一个m*n矩阵A,总存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q,使 (1) PAQ= 这里r等于A的秩,两边各乘以Q得 PA=Q 右端乘积中后m-r行的元素都是零,而前r 行就是Q-1的前r行.由于Q-1可逆,所以它的行向量线性无关因而它的前r行也线性无关.于是PA的行空间的维数等于r.由引理6.7.1,A的行间的维数等于r ,另一方面,将等式(1)左乘以P-1得 AQ= P 由此看出,AQ的列空间的维数等于r,从而A的列空间的维数也等于r,这样就证明了 定理6.7.2 一个矩阵的行空间的维数等于列空间的维数,等于这个矩阵的秩. 由于这一事实,我们也把一个矩阵的秩定义为它的行向量组的极大无关组所含向量的个数;也定义为它的列向量组极大无关组所含向里的个数. 数域F上线性方程组有解的充要条件是它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩. 线性方程组的解的结构:设 a11x1+a12x2+…a1nxn=0 a21x1+a22x2+…a2nxn=0 (3) am1x1+am2x2+amnxn=0 是数域 F上一个齐次线性方程组.令A是这个方程组的系数矩阵.那么(3)可以写 成 (3) A= (3)的每一个解都可以看作Fn的一个向量,叫做方程组(3)的一个解向量.设 =, = . 是(3)的两个解向量,而a,b是F中任意数.那么由(3"), A(ax+bh)=aA +bA = , 所以aξ+bη也是(20的一个解向量,另一方面,齐次线性方程组永远有解,数域F上一个n 元齐次线性方程组的所有解向量作成Fn的一个子空间,这个子空间叫作所给的齐次线性方程组的解空间. 现在设(3)的系数矩阵的秩等于r.那么通过行初等变换,必要时交换列,可以将系数矩阵A化为以下形式的一个矩阵; . 与这个矩阵相当的齐次线性方程组是 y1 +c1,r+1yr+1+…+c1nyn=0, y2 +c2,r+1yr+1+…+c2nyn=0, ………………………………, yr+cr,r+1yr+1+…+cr,nyn=0, 这里yk=xik,k=1,…n,就是未知量yr+1,…yn.依次让它们取值(1,0,…,0),(0,1,0,…0),…,(0,…,0,1),我们得到(4)的n-r个解向量 =, =,……., = 这n-r个解向量显然线性无关,另一方面,设(k1,k2,…,kn)是(4)的任意一个解,代入(4)得 k1=-c1,r+1kr+1-…-c1,nkn, k2=-c2,r+1kr+1-…-c2,nkn, …………………………… kr=-cr,r+1kr+1-…- cr,nkn, kr+1=1kr+1, ……………………………… kn= 1kn. 于是 =kr+1,ηr+1+kr+2ηr+2+…+knηn 因此,(4)的每一个解向量都可以由这n-r个解向量ηr+1,ηr+2,…,ηn线性表示,这样一来, {ηr+1,ηr+2,…,ηn}构成(4)的解空间的一个基,重新排列每一解向量ηi中坐标的次序,就得到齐次线性方程组(3)的解空间的一个基,即 定理6.7.3 数域上一个n个未知量的齐次线性方程组的一毁解作成Fn的一个子空间,称为这个齐次线性方程组的解空间,如果所给的方程组的系数矩阵的秩是r,那么解空间的维数n-r. 一个齐次线性方程组的解空间的一个基叫做这个方程组的一个基础解系. 例 1 求齐次线性方程组 x1-x2+5x3-x4=0 x1+x2-2x3+3x4=0 3x1-x2+8x3+x4=0 x1+3x2-9x3+7x4=0 的一个基础解系. 对行施行初等变换化简系数矩阵,得 与这个矩阵相当的齐次方程组是 取作为自由未知量,依次令和得出方程的两个解 它们作成所给的方程组的一个基础解系.方程组的任意一个解都有形式 这里是所数中任意数,方程组的解空间由一切形如的解向量组成.设 (5) A 是数域F上任意一个线性方程组,A是一个m8n矩阵,把(5)的常数都换成零,就得到一个齐次线性方程组 A= 齐次方程组(6)叫做方程组(5)的导出齐次方程组, 定理6.7.4 如果线性方程组(5)有解那么(5)的一个解与导出齐次方程组的一个解的任意解都可以写成(5)的一个固定(6)的一个解的和, 证 设ν=(c1,c2,…cn)是方程组(5)的一个解,δ=(d1,d2,…,dn)是导出齐次方程组(6)的一个解.那么 A=A 所以是(5)的一个解设是(5)的任意一个解.那么 A 因此μ=λ—ν是导出方程组(6)的一个解,而λ=ν+μ.

用初等矩阵变换找出线性无关的列向量，则列空间就是由组极大线性无关的列向量张成。

A是m×n矩阵,Ax=0的解向量都是n维列向量,所以x∈R^(n). A的n个列向量都是m维向量,其线性组合都在R^(m)中.

最简单最快速的方法是利用欧氏空间的一个定理：如果空间的维数为n，则空间内任意n个线性无关的向量可以做该空间的基底。矩阵的行秩等于列秩。来看这道题：首先初等行变换矩阵变为阶梯型，发现该矩阵的秩为3。那么，这个矩阵中任意三个线性无关的行向量就是该矩阵行空间的基底，这个矩阵只有3个行向量，那这三个行向量就是基底。然后看列空间，第一列与第四列明显线性无关。记这两条列向量为a1,a4，为了验证a2,a3中哪条向量与这两条线性无关，做出假设，a2与a1,a4线性相关，则存在数x,y,使得xa2+ya3=a2。得到x+y=3,2x+2y=1,3x+6y=4，光看前两个式子就知道这样的x,y不存在。所以a1,a2,a4线性无关，所以a1,a2,a4就是列空间的基底。这个方法是极为快速简洁的方法，总比换底公式快的多的多。零空间的基实际上笨法子就是最好的办法：初等行变换得如下矩阵1 3 -2 10 -5 7 00 0 16 4令x4=1,解得x3=-1/4,x2=-7/20,x1=-9/20(-9/20 -7/20 -1/4 1)就是零空间的基底。实际上求零解空间的基底就是求Ax=0的基础解系。

这个你最好举个例子，一般来说都是先算矩阵的二次方，三次方，观察得出结果的矩阵中元素的规律，然后用归纳法得出n次方的结果

一般有以下几种方法1.计算A^2,A^3找规律,然后用归纳法证明2.若r(A)=1,则A=αβ^T,A^n=(β^Tα)^(n-1)A注:β^Tα=α^Tβ=tr(αβ^T)3.分拆法:A=B+C,BC=CB,用二项式公式展开适用于B^n易计算,C的低次幂为零矩阵:C^2或C^3=0.4.用对角化A=P^-1diagPA^n=P^-1diag^nP比如第一题适合用第2种方法,A=(-1,1,1,-1)^T(1,-1,-1,1)第二题适合用第4种方法,这要学过特征值特征向量后才行

一般解法是求出矩阵的Jordan标准型及过渡矩阵设矩阵A的Jordan标准型为J，P是可逆矩阵使得A=PJP^(-1)，则A^k=PJ^KP^(-1)J的形式比较简单，它除了对角线及对角线上面一斜列不为0外，其他位置全为0，J的幂次很容易计算。

一般有以下几种方法1.计算A^2,A^3找规律,然后用归纳法证明2.若r(A)=1,则A=αβ^T,A^n=(β^Tα)^(n-1)A注:β^Tα=α^Tβ=tr(αβ^T)3.分拆法:A=B+C,BC=CB,用二项式公式展开适用于B^n易计算,C的低次幂为零矩阵:C^2或C^3=0.4.用对角化A=P^-1diagPA^n=P^-1diag^nP比如第一题适合用第2种方法,A=(-1,1,1,-1)^T(1,-1,-1,1)第二题适合用第4种方法,这要学过特征值特征向量后才行

一般有以下几种方法1.计算A^2,A^3找规律,然后用归纳法证明2.若r(A)=1,则A=αβ^T,A^n=(β^Tα)^(n-1)A注:β^Tα=α^Tβ=tr(αβ^T)3.分拆法:A=B+C,BC=CB,用二项式公式展开适用于B^n易计算,C的低次幂为零矩阵:C^2或C^3=0.4.用对角化A=P^-1diagPA^n=P^-1diag^nP比如第一题适合用第2种方法,A=(-1,1,1,-1)^T(1,-1,-1,1)第二题适合用第4种方法,这要学过特征值特征向量后才行

将A写成λE+B，(λE+B)^4再用二项式展开计算。

一般有以下几种方法1.计算A^2,A^3找规律,然后用归纳法证明2.若r(A)=1,则A=αβ^T,A^n=(β^Tα)^(n-1)A注:β^Tα=α^Tβ=tr(αβ^T)3.分拆法:A=B+C,BC=CB,用二项式公式展开适用于B^n易计算,C的低次幂为零矩阵:C^2或C^3=0.4.用对角化A=P^-1diagPA^n=P^-1diag^nP比如第一题适合用第2种方法,A=(-1,1,1,-1)^T(1,-1,-1,1)第二题适合用第4种方法,这要学过特征值特征向量后才行

一般有以下几种方法1. 计算A^2,A^3 找规律, 然后用归纳法证明2. 若r(A)=1, 则A=αβ^T, A^n=(β^Tα)^(n-1)A 注: β^Tα =α^Tβ = tr(αβ^T)3. 分拆法: A=B+C, BC=CB, 用二项式公式展开 适用于 B^n 易计算, C的低次幂为零矩阵: C^2 或 C^3 = 0.4. 用对角化 A=P^-1diagP A^n = P^-1diag^nP 比如第一题适合用第2种方法, A=(-1,1,1,-1)^T (1,-1,-1,1)第二题适合用第4种方法, 这要学过特征值特征向量后才行

打撒大师大师

矩阵不能减去常数