线性代数中 维数和秩的关系

列空间就是列向量构成的空间。首先要求出它的极大线性无关组，找出最简单的一组基。进行行初等变换的结果是1 2 00 0 00 0 1因为前两列线性相关，列空间就是x [1 0 0]T+y[0 0 1]T(T代表转置)

列空间就是列向量构成的空间.首先要求出它的极大线性无关组,找出最简单的一组基.进行行初等变换的结果是 1 2 0 0 0 0 0 0 1 因为前两列线性相关,列空间就是x [1 0 0]T+y[0 0 1]T(T代表转置)

就是以矩阵的列向量作为生成向量,组成的空间 上面叫做生成向量,就假如说a1,a2,a3生成的空间,就是a1,a2,a3任意线性组成构成的空间

由前章节 线代--子空间和维度 可知对于求解由 个 维向量 生成的空间的维度问题，可以通过删去这一组向量中线性相关的向量后剩下的线性无关向量就是它们生成的空间的一组基，这组基包含的向量的个数就是生成的空间的维度。换句话说，给出一组 维向量 ，要求出其生成的空间的维度，就得找出这组向量中有多少向量和其它向量是线性相关的，然后要把这些向量删除掉。 对于求一组向量生成的空间的维度这种问题 ，简单的如“求被向量 生成的空间的维度”可以简单通过肉眼进行判断出 和 是线性相关的，如果是对于更高维的向量，其实就很难通过肉眼判断向量间的线性相关了。 其实对这类问题有更系统的解法 因此， 对于给出一组 维向量 ，求它们生成的空间的维度，要求就是找到这组向量中有多少向量是和其它向量线性相关！ 我们可以将这组向量按照行排列成一个矩阵 然后执行 高斯-约旦消元法 (化为 ) 最后得到的矩阵行最简形式中非零行的个数即为其生成空间的维度。 对于一个矩阵， 对于一个 行 列的矩阵， 是一个 维空间的子集,因为每个行向量都是包含 个实数的有序元组，这些向量本身属于一个 维空间，由这些向量生成的空间也就是行空间只能是 维空间的子集； 列空间则是一个 维空间的子集。 具体求一个矩阵的 的维度 ，根据上面的"高斯-约旦消元法"对矩阵按行化简为矩阵最简形式后看非零行的数量,这个 的非零行数量就是 的维度。其中关于 一个矩阵的行最简形式的非零行数量 还有另一个称呼叫做 ， 秩 一词的意思就是 秩序 的意思，对行最简形式的非零行进行排序，排序后的结果表示的就是矩阵行最简形式的非零行数量。 这里阐述了矩阵的行秩和空间上的维度之间的联系。 需要注意 维度 和 行秩 两个概念的作用对象是不一样的: 对于空间来说，空间是有维度的，但是空间是没有行秩的，只有矩阵有行秩，但是矩阵是没有维度的。 对于一个矩阵的行空间，将矩阵化为行最简形式( )后，其中矩阵行最简形式的非零行向量就是矩阵的行空间的一组基。 除了通过找出一组向量中线性相关向量进行删除的方式计算“被向量生成的空间”的维度这种方法。 另一种方法我们还可以直接计算一组向量是否线性无关: 这种方式其实就是把向量按列的方式排列成矩阵，转而研究矩阵的列空间，将矩阵化为行最简形式后其中主元列的个数，就是列空间的维度，也称为 。在列向量空间中，原矩阵化为行最简形式后主元列对于的原矩阵的列，才是列空间的一组基，这些主元列本身不是列空间的一组基，如上示例的向量按列排列得到的矩阵化为行最简形式后主元列为第一和第三列，那么列空间的基应是原矩阵中的向量 和 ，并不是矩阵行最简形式中的 和 。 注意： 综上，矩阵的列向量构成的列空间分析中，化矩阵为行最简形式后有用的信息主要是关于主元的，其中主元的数量等于列空间的维度，主元所在的列号可以对于原矩阵取出列向量生成空间的基。

因为主元所在的列都可以线性表出矩阵列空间其他列向量，所以属于一组基。初等矩阵满秩，不会改变两个列向量之间的线性相关性。零空间包含对列重组得到零向量的系数，左零空间包含对行重组得到零向量的系数。是一种特殊的技巧，利用了消元结果U中含有m-r个零行且零行位于底部的特征。所谓线性组合即线性+组合，线性为向量乘以一个标量，沿着向量的方向缩放，方向不变；组合是把多个向量加起来。列视角是线性代数非常核心的基础概念，基础并不是说简单，而是像地基一样重要。矩阵列空间介绍：基的向量选择可以很任性，只要不平行就行；但还是要尽量选择彼此垂直的为正交基(Orthogonal basis)，正交向量间线性无关；更进一步：把正交基的长度标准化为1的单位向量最佳，于是得到了标准正交基(Orthonormal basis)。正常情况下，若两个向量平行，其中任一向量是另一向量的若干倍，两者在一条直线上，无法张成一个平面，故平行向量不能作为基。

所谓矩阵A的零空间，就是指方程组AX=0的解空间，而A的左零空间就是ATX=0的解空间。而A的行空间就是AT的列空间。如果A的列空间等于A的行空间，即A的列空间等于AT的列空间，当然就有方程组AX=0与方程组ATX=0同解了。即有A的零空间等于左零空间。

变换矩阵行空间和列空间的关系 。变换矩阵实际上就是把目标向量从行空间转换到列空间。 若矩阵A=[a1，a2，…，an]∈Cm×n为复矩阵，则其列向量的所有线性组合的集合构成一个子空间，称为矩阵A的列空间(column space)或列张成(column span)，用符号CoI(A)表示。行向量、列向量 若A为一m×n矩阵，A的每一行为一个实的n元组，于是可将其看成是R1×n中的一个向量。对应于A的m个行的向量称为A的行向量(row vector)。类似地，A的每一列可以看成是Rm中的一个向量，且称这n个向量为A的列向量(column vector)。行空间、列空间 如果A为一m×n矩阵，由A的行向量张成的R1×n的子空间称为A的行空间(row space)。由A的各列张成的Rm的子空间称为A的列空间(column space)。

具体的方法如下：若B行等价于A，则B可由A经有限次行运算得到。因此，B的行向量必为A的行向量的线性组合。所以，B的行空间必为A的行空间的子空间，因为A行等价于B，由相同的原因，A的行空间是B的行空间的子空间。A的行空间的维数称为矩阵A的秩(rank)，为求矩阵的秩，可以将矩阵化为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中的非零行将构成行空间的一组基。将A化为行阶梯形，得到矩阵显然，(1，-2，,3)和(0，1，5)构成的矩阵列空间的交集。可以利用A的行阶梯形求A的列空间的一组基。只需求中对应于首1元素的列即可。A中的相应列将是线性无关的，并构成A的列空间的一组基。注意： 行阶梯形仅告诉A的哪一列用于构成基，但不能用的列作为基向量，这是因为和A一般有不同的列空间交集。矩阵列空间的性质：假设M是一个m×n阶矩阵，其中的元素全部属于域K，也就是实数域或复数域。如此则存在一个分解，其中U是m×m阶酉矩阵；Σ是m×n阶实数对角矩阵；而V*，即V的共轭转置，是n×n阶酉矩阵。这样的分解就称作M的奇异值分解。Σ对角线上的元素Σi,i即为M的奇异值。常见的做法是将奇异值由大而小排列。如此Σ便能由M唯一确定了。在线性代数中，三角矩阵是方形矩阵的一种，因其非零系数的排列呈三角形状而得名。三角矩阵分上三角矩阵和下三角矩阵两种。在线性代数中，相似矩阵是指存在相似关系的矩阵。相似关系是两个矩阵之间的一种等价关系。两个n×n矩阵A与B为相似矩阵当且仅当存在一个n×n的可逆矩阵P。

矩阵的列空间是指矩阵的列向量组构成的空间.这个是正交的,因为AX=0就是意味着内积为0.zhangjob(站内联系TA)我觉得第一个问题有点模糊,可能是我知识面不够,我更感觉,你可能是想问维m空间可以表示为R和N的直和吗?wulipht(站内联系TA)你说的不是很明确. 零空间分为左零空间和右零空间,右零空间简称零空间.零空间与行空间正交,零空间与行空间维数之和等于原矩阵的列数；左零空间与列空间正交,左零空间维数与列空间维数之和等于原矩阵的行数.wulipht(站内联系TA)你说的不是很明确. 零空间分为左零空间和右零空间,右零空间简称零空间. 零空间与行空间正交,零空间与行空间维数之和等于原矩阵列数；左零空间与列空间正交,左零空间与列空间维数之和等于原矩阵行数.

不妨假设x1≤x2根据拉格朗日中值定理，存在ξ1∈(0，x1)，使得f(x1)-f(0)=f "(ξ1)·(x1-0)即f(x1)-f(0)=f "(ξ1)·x1存在ξ2∈(x2，x1+x2)，使得f(x1+x2)-f(x2)=f "(ξ2)·(x1+x2-x2)即f(x1+x2)-f(x2)=f "(ξ2)·x1∵f ""(x)＜0∴f "(x)单调递减，∵ξ1＞ξ1∴f "(ξ2)＜f "(ξ1)∴f(x1+x2)-f(x2)＜f(x1)-f(0)即f(x1+x2)+f(0)＜f(x1)+f(x2)

我估计你想问的是给定方阵A，A的像空间Im(A)和核空间Ker(A)之和是否是直和一般来讲这两个空间没有很直接的联系比如说，对于实对称矩阵，Im(A)+Ker(A)是直和但对于一般的矩阵则未必，比如A=0 10 0Im(A)=Ker(A)

当然不一定是这样的按照基本定义，基的元素称为基向量而向量空间中任意一个元素都可以唯一地表示成基向量的线性组合现在都不知道这个矩阵是什么情况怎么就能确定是基的呢

A=〔1，2，3；3，6，9；2，4，5〕→〔1，2，3；0，0，0；0，0，-1〕 R（A）的维数=2，（1，3，2）^T，（3，9，5）^T是一个基。

我来回答: 请点击看大图

leitingok 回答正确, 请采纳他的解答问题补充对于所给矩阵, 1,2,3列线性无关(是列向量组的极大无关组), 1,2,3行线性无关(是行向量组的极大无关组), [ 第4行 = (4/5)第1行 - (7/5)第2行+(6/5)第3行 ]所以它们生成的向量空间都是3维的.注意: 尽管它们生成的空间的维数相同, 但这两个空间是有本质区别的: 一个是由4维向量构成, 一个是由3维向量构成

1证明r(AA^T)=r(ATA)=r(A)因为Ax=0，可以推出ATAx=AT(Ax)=0而且ATAx=0，x^TATAx=x^T(ATAx)=0，即(Ax)^TAx=x^TATAx=0所以必然有Ax=0所以Ax=0<=>ATAx=0即Ax=0和ATAx=0通解所以N(A)=N(A^TA)，r(A)=r(A^TA)同理可得N(A^T)=N(AA^T)，r(A^T)=r(AA^T)且AA^T和A^TA互为转置。所以r(AA^T)=r(ATA)=r(A)2证明r(AB)<=min{r(A), r(B)}因为若x满足Bx=0，必然满足ABx=0所以ABx=0的解多于Bx=0的解。所以p-r(AB)>=p-r(B)所以r(AB)<=r(B)且若A^T x^T=0那么B^TA^Tx^T=0即，若x满足A^T x^T=0, 必然满足B^TA^Tx^T=0同上，所以r(B^TA^T)<=r(A^T)且r(AB)=r(B^TA^T)，r(A)=r(A^T)即r(AB)<=r(A)综上，r(AB)<=min{r(A), r(B)}3r(A)+r(B)-n<=r(AB)可以参见这个证明http://zhidao.baidu.com/link?url=qZEjzUBXDK-IruU40C-JDXwCiksqj7NGhyyo-yuHiI1QUY5wGiLebE-9k7W4-fwGpsQdLypJYC637aa0UIS2Yq4证明r(AB)=r(B)-dimN(A)∩R(B)那个dimN(A)∩R(B)表示的是满足AB=0的B的列向量的秩。证明：设B=(a1 a2...ap)不失一般性，设a1a2...ak是Ax=0的解。a(k+1)...ap不满足Ax=0那么AB=(0,0,0...,Aa(k+1), Aa(k+2), ...Aap)那么那么r(B)=r(a1,a2....ak)+r(a(k+1),a(k+2)....ap)=dimN(A)∩R(B)+r(a(k+1),a(k+2)....ap)<=dimN(A)∩R(B)+r(AB)所以r(AB)>=r(B)-dimN(A)∩R(B)不晓得为什么是>=，不是=

n维列向量是n行1列，n维行向量是1行n列；直观是，列向量是1列，行向量是1行。n元向量的加法，P中的数与n元向量的数量乘法(简称数乘)定义为：(a1，a2，…，an)+(b1，b2，…，bn)=(a1+b1，a2+b2，…，an+bn)；c(a1，a2，…，an)=(ca1，ca2，…，can) (c∈P).分量都是0的n元向量(0，0，…，0)称为零向量，记为0。扩展资料向量的性质：1、一个m×n矩阵的列空间一定在R^m中。2、一个m×n矩阵的列空间如果是R，若m等于n,那么这个矩阵一定可逆。其实矩阵A乘向量x就是一个将向量x由A的行空间向A的列空间映射的运算。矩阵乘法是把每一个矩阵的列向量同另一个矩阵的每行向量相乘。欧几里得空间的点积就是把其中一个列向量的转置与另一个列向量相乘。

零空间是1吧，列空间是2。

比如说x是一个m维列向量A是一个mxn的复矩阵，按列分块成A=[a1,a2,...,an]，V是由a1,...,an张成的向量空间（即A的列空间），P是V对应的正投影算子那么x到V的投影是Px用矩阵形式写就是AA^+x，其中A^+表示A的Moore-Penrose广义逆

n维列向量是n行1列，n维行向量是1行n列；直观是，列向量是1列，行向量是1行。表示方法：  为简化书写、方便排版起见，有时会以加上转置符号T的行向量表示列向量。为进一步化简，习惯上会把行向量和列向量都写成行的形式。表示方法：列向量的转置是一个行向量，反之亦然。 所有的列向量的集合形成一个向量空间，它是所有行向量集合的对偶空间.在线性代数中，行向量是一个 1×n的矩阵，列向量是一个n×1的矩阵。行向量的转置是一个列向量，反之亦然。所有的1×n行向量的集合形成一个向量空间，它是所有n×1列向量集合的对偶空间。对偶空间构造是行向量1×n与列向量n×1的关系的抽象化。这个结构能够在无限维度空间进行并为测度,分布及希尔伯特空间提供重要的观点。及可以拓展到无限维。扩展资料向量的性质：1、一个m×n矩阵的列空间一定在R^m中。2、一个m×n矩阵的列空间如果是R，若m等于n,那么这个矩阵一定可逆。其实矩阵A乘向量x就是一个将向量x由A的行空间向A的列空间映射的运算。假设在A(m×n)的行空间中有任一向量x，Ax=b ，那么b在A的列空间中。参考资料来源：百度百科-单位列向量参考资料来源：百度百科-n元向量

用初等矩阵变换找出线性无关的列向量，则列空间就是由组极大线性无关的列向量张成。

矩阵的值域空间是指矩阵中所有可能的输出向量所组成的向量空间。要求矩阵的值域空间，可以先求出矩阵的列空间，然后将列空间中的向量组成一个线性无关的向量组，即可得到矩阵的值域空间。

A是m×n矩阵,Ax=0的解向量都是n维列向量,所以x∈R^(n). A的n个列向量都是m维向量,其线性组合都在R^(m)中.

因为N(AT)=N(AAT),C(A)与N(AT)正交，C(AAT)与N(AAT)正交，所以它们俩相等

满秩矩阵的行空间等于其列空间吗？等于。

矩阵的秩 2. 向量组的秩 向量组的秩：在一个m维线性空间E中，一个向量组的秩表示的是其生成的子空间的维度。考虑m× n矩阵，将A的秩定义为向量组F的秩，则可以看到如此定义的A的秩就是矩阵 A的线性无关纵列的极大数目，即 A的列空间的维度(列空间...5355

不是的。如果是幂等矩阵则有该结论，逆命题成立

最简单最快速的方法是利用欧氏空间的一个定理：如果空间的维数为n，则空间内任意n个线性无关的向量可以做该空间的基底。矩阵的行秩等于列秩。来看这道题：首先初等行变换矩阵变为阶梯型，发现该矩阵的秩为3。那么，这个矩阵中任意三个线性无关的行向量就是该矩阵行空间的基底，这个矩阵只有3个行向量，那这三个行向量就是基底。然后看列空间，第一列与第四列明显线性无关。记这两条列向量为a1,a4，为了验证a2,a3中哪条向量与这两条线性无关，做出假设，a2与a1,a4线性相关，则存在数x,y,使得xa2+ya3=a2。得到x+y=3,2x+2y=1,3x+6y=4，光看前两个式子就知道这样的x,y不存在。所以a1,a2,a4线性无关，所以a1,a2,a4就是列空间的基底。这个方法是极为快速简洁的方法，总比换底公式快的多的多。零空间的基实际上笨法子就是最好的办法：初等行变换得如下矩阵1 3 -2 10 -5 7 00 0 16 4令x4=1,解得x3=-1/4,x2=-7/20,x1=-9/20(-9/20 -7/20 -1/4 1)就是零空间的基底。实际上求零解空间的基底就是求Ax=0的基础解系。

计算矩阵的除法其实就是将被除的矩阵先转换为他一矩阵，他的矩阵相当于被除的矩阵分之一，前面的矩阵和后面的矩阵的逆矩阵相乘的乘积

分类: 教育/科学 >> 升学入学 >> 考研 问题描述: 什么是秩 解析: 您的查询字词都已标明如下：矩阵的秩 (点击查询词，可以跳到它在文中首次出现的位置) (百度和网页hsedu/xibu/sxx/teach/gdds/jiaoan/6.7.doc的作者无关，不对其内容负责。百度快照谨为网络故障时之索引，不代表被搜索网站的即时页面。) --------------------------------------------------------------------------------6.7 矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间 教学目的: 1. 掌握矩阵的秩和它的行空间,列空间维数之间的关系. 2. 准确地确定齐次线性方程组解空间维数. 3. 熟练地求出齐次线性方程组基础解系及非齐次线性方程式组的任意解. 教学内容: 1. 阵的秩的几何意义. 设给了数域F上一个m*n矩阵 A= 矩阵A的每一行可以看成F的一个向量,叫做A的行向量.A的每一列可以看成F的一个向量,叫做A的列向量,令a,...,a是A的列向量,这里 a=(a,a,...,a),I=1,...,m. 由a,a,...,a所生成的F的子空间￡(a,a,..., a)叫做矩阵A的行空间.类似的,由A的n个列向量所生成的F的子空间叫做A的列空间. 当m≠n时,矩阵A的行空间和列空间是不同的向量空间的子空间, 引理6.7.1 设A是一个n*m矩阵 如果B=PA,P是一个N阶可逆矩阵,那么B与A有相同的行空间. 如果C=AQ,Q是一个n阶可逆矩阵,那么C与A有相同的列空间. 证:我们只证明(I),因为(ii)的证明完全类似. A=(a)mn, P=(p)mm,B=(b)mn. 令{a1,a2…am}是A的行向量,{b1,b2,…,bm}是B的行向量.B的第I行等于P的第I行等于P的第P的第I行右乘以矩阵A: bi=(bi1,bi2…,bin)=(pi1,pi2,…pim)A=pi1a1+pi2a2,…+pimam, 所以B的每一个行向量都是A的行向量的线性组合,但P可逆,所以A=P-1B.因此A的每一个行向量都是B的行向量的线性组合,这样,向时组{a1,a2,…,am}与{b1,b2,…,bm}等价,所以它们生成Fn的同一子空间. 我们知道,对于任意一个m*n矩阵A,总存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q,使 (1) PAQ= 这里r等于A的秩,两边各乘以Q得 PA=Q 右端乘积中后m-r行的元素都是零,而前r 行就是Q-1的前r行.由于Q-1可逆,所以它的行向量线性无关因而它的前r行也线性无关.于是PA的行空间的维数等于r.由引理6.7.1,A的行间的维数等于r ,另一方面,将等式(1)左乘以P-1得 AQ= P 由此看出,AQ的列空间的维数等于r,从而A的列空间的维数也等于r,这样就证明了 定理6.7.2 一个矩阵的行空间的维数等于列空间的维数,等于这个矩阵的秩. 由于这一事实,我们也把一个矩阵的秩定义为它的行向量组的极大无关组所含向量的个数;也定义为它的列向量组极大无关组所含向里的个数. 数域F上线性方程组有解的充要条件是它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩. 线性方程组的解的结构:设 a11x1+a12x2+…a1nxn=0 a21x1+a22x2+…a2nxn=0 (3) am1x1+am2x2+amnxn=0 是数域 F上一个齐次线性方程组.令A是这个方程组的系数矩阵.那么(3)可以写 成 (3) A= (3)的每一个解都可以看作Fn的一个向量,叫做方程组(3)的一个解向量.设 =, = . 是(3)的两个解向量,而a,b是F中任意数.那么由(3"), A(ax+bh)=aA +bA = , 所以aξ+bη也是(20的一个解向量,另一方面,齐次线性方程组永远有解,数域F上一个n 元齐次线性方程组的所有解向量作成Fn的一个子空间,这个子空间叫作所给的齐次线性方程组的解空间. 现在设(3)的系数矩阵的秩等于r.那么通过行初等变换,必要时交换列,可以将系数矩阵A化为以下形式的一个矩阵; . 与这个矩阵相当的齐次线性方程组是 y1 +c1,r+1yr+1+…+c1nyn=0, y2 +c2,r+1yr+1+…+c2nyn=0, ………………………………, yr+cr,r+1yr+1+…+cr,nyn=0, 这里yk=xik,k=1,…n,就是未知量yr+1,…yn.依次让它们取值(1,0,…,0),(0,1,0,…0),…,(0,…,0,1),我们得到(4)的n-r个解向量 =, =,……., = 这n-r个解向量显然线性无关,另一方面,设(k1,k2,…,kn)是(4)的任意一个解,代入(4)得 k1=-c1,r+1kr+1-…-c1,nkn, k2=-c2,r+1kr+1-…-c2,nkn, …………………………… kr=-cr,r+1kr+1-…- cr,nkn, kr+1=1kr+1, ……………………………… kn= 1kn. 于是 =kr+1,ηr+1+kr+2ηr+2+…+knηn 因此,(4)的每一个解向量都可以由这n-r个解向量ηr+1,ηr+2,…,ηn线性表示,这样一来, {ηr+1,ηr+2,…,ηn}构成(4)的解空间的一个基,重新排列每一解向量ηi中坐标的次序,就得到齐次线性方程组(3)的解空间的一个基,即 定理6.7.3 数域上一个n个未知量的齐次线性方程组的一毁解作成Fn的一个子空间,称为这个齐次线性方程组的解空间,如果所给的方程组的系数矩阵的秩是r,那么解空间的维数n-r. 一个齐次线性方程组的解空间的一个基叫做这个方程组的一个基础解系. 例 1 求齐次线性方程组 x1-x2+5x3-x4=0 x1+x2-2x3+3x4=0 3x1-x2+8x3+x4=0 x1+3x2-9x3+7x4=0 的一个基础解系. 对行施行初等变换化简系数矩阵,得 与这个矩阵相当的齐次方程组是 取作为自由未知量,依次令和得出方程的两个解 它们作成所给的方程组的一个基础解系.方程组的任意一个解都有形式 这里是所数中任意数,方程组的解空间由一切形如的解向量组成.设 (5) A 是数域F上任意一个线性方程组,A是一个m8n矩阵,把(5)的常数都换成零,就得到一个齐次线性方程组 A= 齐次方程组(6)叫做方程组(5)的导出齐次方程组, 定理6.7.4 如果线性方程组(5)有解那么(5)的一个解与导出齐次方程组的一个解的任意解都可以写成(5)的一个固定(6)的一个解的和, 证 设ν=(c1,c2,…)是方程组(5)的一个解,δ=(d1,d2,…,dn)是导出齐次方程组(6)的一个解.那么 A=A 所以是(5)的一个解设是(5)的任意一个解.那么 A 因此μ=λ—ν是导出方程组(6)的一个解,而λ=ν+μ.

行空间如下：矩阵的行空间其实就是一个子空间。对于对于一个m行n列的矩阵，行空间是n维空间的子空间，行最简形式的非零行个数为矩阵的的行秩；行空间的维度，为矩阵的的行秩行最简形式的非零行，是行空间的一组基。简介：矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。 在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。 矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。

n*n的矩阵空间维数是n²。本质上和列（行）空间的维数是一样的，都是指基中元的个数。

初等变换求逆矩阵原理是这样的：初等行变换相当于矩阵左乘一个可逆阵；初等列变换相当于矩阵右乘一个可逆矩阵。 求A的逆，就是求B，使得AB=BA=E。从BA=E看就是对A进行初等行变换(注意，A右边没有矩阵，不能列变换),从AB=E看就是对A进行初等列变换(注意，A左边没有矩阵，不能行变换)。 所以用初等行变换求逆矩阵时，不能“同时”用初等列变换！当然也可以用初等列变换求逆矩阵，但不能同时用初等行变换！ 上述说法中关键是“同时”两个字，这个词是不可以实现的。

矩阵可逆，则秩＝行向量个数＝列向量个数。矩阵的行向量组的秩等于行向量的个数，所以行向量组线性无关。同理，列向量组线性无关。

日月交替铸一座钟 心随着世界一起跳动 南北进退得一场空 心声世界不愿懂 寒冬本来就冷 还要吵个不停 那多伤感情 坠入雪中泥泞的水坑 我面无表情 装作很冷静 去营造那不存在的暖风 脚下却只能踩着水坑 我知道我总会有不好的情绪 我知道我总会对你发脾气 我知道这一切都不怪你 我知道你们心里也委屈 妈妈还在忙 转身又进了厨房 怨这种日子怎么那么长 我躲在一旁等着饭菜香 太多的感受融进这万家灯火 笨嘴又拙舌不要责怪我 今夜的星光格外闪烁 我替你送晚秋去延安 我替你陪老板吃便饭 等我回天津摆佛龛 我和你一起爱左蓝 我也想从重庆走延安 我也想抱着雨农撞岱山 我也想重回海河天津站 我也想梦中念左蓝 你们编织在华北的浪漫 全刻在小卧室的天花板 你那峨眉峰埋葬在对岸 渤海深处写满了不甘 最近上课讲到了矩阵投影，感觉并不是很理解，没想到后来的许多都是建立在它的基础之上的，因此今天特地看了一下。 如图，在R^2空间中有两个向量，求一个常数θ使两个向量满足θ·a=b Aθ的所有可能结果都在一个固定的区域中，在线性代数中我们称这个区域为列空间(column space),列空间顾名思义就是矩阵各列的所有线性组合a1θ1+a2θ2+a3θ3+...+anθn。在1-D的情况下列空间就是一条线，在2-D的情况下列空间就是一个平面。但是我们的数据哪里会这么恰好的落在矩阵的列空间里呢？天底下哪有这样的好事啊！！！ 特别是在数据量特别大的情况下，矩阵特别是在数据量特别大的情况下，矩阵A会成为一个n >> m的超级高大的n x m矩阵（如下图）。在这种等式数量远大于未知数数量的情况中，我们很难满足每一个等式的约束。 但是目标不再在空间里并不代表不能求出解，只能说没有perfect solution（语出Gilbert Strang），但是我们努力一下还是可以做到最好的(best solution)。我们用投影向量p来寻找最合适的θ。而这个θ就是不存在的完美解的估计值。 回顾矩阵求导得到的Normal Equation： 两者除了在符号表示上有所区别，其它的一模一样，现在从符号本身的含义去联系两者。 归根结底，Normal Equation是用来求解一个最优化问题。在投影的方法中，矩阵A作为一个基向量空间，用于寻找最优的θ使之最接近b。 矩阵A有多少行就表示基向量空间有多少维（每个特征有多少样本量，就表明在这个空间中有多少维度），有多少列，就表示有多少个基向量。 在线性回归中矩阵A就等同于X，行数为样本量，列数为特征量，b等同于Y，为目标向量。 当特征远远少于样本量的时候说明基向量的空间维数很高，但基向量很少。也就是说在一个很大的空间中，只有少数几个方向给定，需要去拟合向量Y，那难度当然很大，误差就很大。 当特征数量远远大于样本量的时候就相反，基向量空间不大，但基向量的个数很多。也就是说在一个不大的空间中，有很多的基向量，基本涵盖了所有的方向，此时我想要找到一个基向量的线性组合去逼近目标向量Y，那就容易很多了。此时θ过于依赖当前的样本，泛化能力差。 双重期望値定理 (Double expectation theorem)，亦称 重叠期望値定理 (Iterated expectation theorem)、 全期望値定理 (Law of total expectation)，即设X,Y,Z为 随机变量 ，g(·)和h(·)为 连续函数 ，下列期望和条件期望均存在，则 Dynamic Programming 动态规划是用来解决多阶段决策过程最优化的一种方法。其特点是可以把一个最优化问题转化为多个子最优化问题，从而一个一个地去解决。它是解决问题的一种思想或者说一种方法，并不是某一种特别的算法。 这是个特别有意思的事情：最优性原理比较好理解，它是说如果总策略是最优的话，那么子策略一定是最优的。而DP把这个事情反过来说了，说如果从某一步到最后一步的策略是最优的话，那么我们迭代这个过程直到第一步，那么这个总的策略一定是最优的。初闻之，不可思议。它的要求在隐含在了系统模型中，也就是下个时刻的系统状态与且仅与当前时刻的系统状态和当前时刻的控制输入有关，我们可以叫做无后效性或马尔可夫性。本质上是一个多阶段决策过程，在系统的不同时刻不同阶段根据所处的状态采取相应的输入，每个阶段都要做决策，为了使整个决策的过程达到最优效果。

矩阵可逆，则秩＝行向量个数＝列向量个数。矩阵的行向量组的秩等于行向量的个数，所以行向量组线性无关。同理，列向量组线性无关。

解..（1）..ABC.

列空间？

就是以矩阵的列向量作为生成向量，组成的空间上面叫做生成向量，就假如说a1,a2,a3生成的空间，就是a1,a2,a3任意线性组成构成的空间

列空间维数其实就是矩阵的秩，因为有零向量，用脖子想也不可能是3啊！易知剩下两个向量不共线，所以说秩是2，零空间维数是1。所谓矩阵A的零空间，就是指方程组AX=0的解空间，而A的左零空间就是ATX=0的解空间。而A的行空间就是AT的列空间。如果A的列空间等于A的行空间，即A的列空间等于AT的列空间，当然就有方程组，AX=0与方程组ATX=0同解了。即有A的零空间等于左零空间。性质如果A是矩阵，它的零空间就是所有向量的空间的线性子空间。这个线性子空间的维度叫做A的零化度(nullity)。这可以计算为在矩阵A的行梯阵形式中不包含支点的纵列数。秩-零化度定理声称任何矩阵的秩加上它的零化度等于这个矩阵的纵列数。对应于零奇异值的A的右奇异向量形成了A的零空间的基。

n个未知数即n列的矩阵式子当然是通过初等行变换得到最简型矩阵之后如果其秩为R那么就有n-R个解向量代入计算得到各个向量即可

矩阵A的零空间是指方程组AX=0的解向量构成的空间,也就是AX=0的解空间.矩阵的列空间是指矩阵的列向量组构成的空间,也就是将列向量组的极大线性无关组找出来,然后做线性组合而生成的所有向量构成的空间.

一个x行y列的矩阵维数是多少?这要看具体情况的.矩阵的维数就是通常所说的秩.定理:一个矩阵的行空间的维数等于列空间的维数,等于这个矩阵的秩.定义:a=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵a的秩，记作ra，或ranka。特别规定零矩阵的秩...

比如说x是一个m维列向量A是一个mxn的复矩阵，按列分块成A=[a1,a2,...,an]，V是由a1,...,an张成的向量空间（即A的列空间），P是V对应的正投影算子那么x到V的投影是Px用矩阵形式写就是AA^+ x，其中A^+表示A的Moore-Penrose广义逆

n维列向量是n行1列，n维行向量是1行n列；直观是，列向量是1列，行向量是1行。n元向量的加法，P中的数与n元向量的数量乘法(简称数乘)定义为：(a1，a2，…，an)+(b1，b2，…，bn)=(a1+b1，a2+b2，…，an+bn)；c(a1，a2，…，an)=(ca1，ca2，…，can) (c∈P).分量都是0的n元向量(0，0，…，0)称为零向量，记为0。扩展资料向量的性质：1、一个m×n矩阵的列空间一定在R^m中。2、一个m×n矩阵的列空间如果是R，若m等于n,那么这个矩阵一定可逆。其实矩阵A乘向量x就是一个将向量x由A的行空间向A的列空间映射的运算。矩阵乘法是把每一个矩阵的列向量同另一个矩阵的每行向量相乘。欧几里得空间的点积就是把其中一个列向量的转置与另一个列向量相乘。

行向量和列向量其实都是相对于矩阵里的位置而言的，本身没有任何区别。脱离了矩阵说行或者列都没有意义

矩阵A的零空间是指方程组AX=0的解向量构成的空间,也就是AX=0的解空间.矩阵的列空间是指矩阵的列向量组构成的空间,也就是将列向量组的极大线性无关组找出来,然后做线性组合而生成的所有向量构成的空间.

向量的维数是指向量分量的个数比如 (1,2,3,4)" 是一个4维向量矩阵的维数是指它的行数与列数,比如1 2 34 5 6它的维数是 2*3空间的维数是指它的基所含向量的个数 比如 V = {(x1,x2,0,0)" | x1,x2 为实数}(1,0,0,0)",(0,1,0,0)" 是它的一个基,所以它是2维向量空间

行向量和列向量其实都是相对于矩阵里的位置而言的，本身没有任何区别。脱离了矩阵说行或者列都没有意义

简单思路：1.正交性，2.rank之和为n。假设矩阵A为nxn矩阵，R(A)=r，row(A)为行空间，null(A)为零空间。可知row(A)={y|y=A^T*a}，其中a为任意向量，A^T是A的转置；null(A)={x|Ax=0}。则任取y属于row(A)，任取x属于null(A)，有y^T*x=a^T*A*x=0，x^T*y=x^T*A^T*a=(Ax)^T*a=0，正交性显然成立。因为R(row(A))=r，R(null(A))=n-r（这是根据其他定理推的，具体搜解空间的秩为什么等于n-r），所以他们rank的和为n。故零空间是行空间的正交补。