矩阵

空间权重矩阵的缺点是，作为将普通数据延伸至空间数据的桥梁,在理论和应用方面都具有不可忽视的作用,由于空间权重矩阵的不确定性和检验方法的缺乏导致出现权重矩阵的选取和误用问题。

Network graph theory, topological relations, incidence matrix, the basic matrix circuit, the basic cut set matrix

请楼主复习计算机数据结构。上面专门讲完树后，就是讲图。而且对图数据表达有推荐2种方法 第一种方法是邻接矩阵表示法。第二种是邻接链表表示法。由于涉及非常复杂的理论知识，所以这里无法详细说明。 网络拓扑图这种东西输入数值非常多。

都学最好，因为我计算机专业，这些课程都学过了

可达矩阵求强分图的方法如下。1、用矩阵形式描述有向图的各节点之间经过一定长度的通路后可达到的程度。2、可达矩阵的计算方法是利用布尔矩阵的运算性质。3、可达矩阵对应拓扑几何。描述要素之间的相对位置的关系。

HDMI矩阵是一款高性能专业数字信号切换设备，用于多个HDMI信号源输入与HDMI显示设备输出交叉切换，任何一路信号的输出自由选择任何一路信号源而不会干扰其它的输出，信号传输衰减降至最低，实现视频图像信号高保真输出。

矩阵的元素数目为N^2 也就是答案B非零元素数目为E 也就是答案C

有向图的邻接矩阵不一定是对称的，因为它是有方向的，假如从a到b是可以通行的，但是从b到a则是逆行，为0。

二者的区别：　　邻接矩阵（AdjacencyMatrix）：是表示顶点之间相邻关系的矩阵。设G=(V,E)是一个图，其中V={v1,v2,…,vn}。G的邻接矩阵是一个具有下列性质的n阶方阵：　　①对无向图而言，邻接矩阵一定是对称的，而且主对角线一定为零（在此仅讨论无向简单图），副对角线不一定为0，有向图则不一定如此。　　②在无向图中，任一顶点i的度为第i列所有元素的和，在有向图中顶点i的出度为第i行所有元素的和，而入度为第i列所有元素的和。　　③用邻接矩阵法表示图共需要n^2个空间，由于无向图的邻接矩阵一定具有对称关系，所以扣除对角线为零外，仅需要存储上三角形或下三角形的数据即可，因此仅需要n（n-1）/2个空间。

拓扑排序一定是三角矩阵。上三角矩阵指的主对角线下方的元素全为零，而对角矩阵指的是主对角线上方与下方的元素都为零。所以对角阵一定是上三角阵，但上三角阵不一定是对角阵。可以证明，对于有向图中顶点适当地编号，使其邻接矩阵为三角矩阵且主对角元全为零的充分必要条件是该有向图可以进行拓扑排序。非计算机应用：拓扑排序常用来确定一个依赖关系集中，事物发生的顺序。例如，在日常工作中，可能会将项目拆分成A、B、C、D四个子部分来完成，但A依赖于B和D，C依赖于D。为了计算这个项目进行的顺序，可对这个关系集进行拓扑排序，得出一个线性的序列，则排在前面的任务就是需要先完成的任务。注意：这里得到的排序并不是唯一的！就好像你早上穿衣服可以先穿上衣也可以先穿裤子，只要里面的衣服在外面的衣服之前穿就行。

用gephi输入一个邻接矩阵画出拓扑图方法如下：//Ford-Fulkerson  //邻接矩阵BFS  #include<stdio.h>  #include<string.h>  #include<algorithm>  using namespace std;  #define MAXN 205  #define inf 2100000000  int c[MAXN][MAXN];  int pass[MAXN];  int bfs_max_flow(int n,int s,int t)  {      int pre[MAXN],low[MAXN],head,tail,que[1000],i,maxflow=0;      while (1)      {          memset(pre,-1,sizeof(pre));          head=tail=0;          low[s]=inf;que[tail++]=s;          pre[s]=0;          while (head<tail)          {              int x=que[head++];              for (i=1;i<=n;++i)                  if ((c[x][i])&&(pre[i]==-1))                  {                      que[tail++]=i;                      low[i]=low[x]<c[x][i]?low[x]:c[x][i];                      pre[i]=x;                  }                  if (pre[t]!=-1)                  {                      x=t;                      while (x!=s)                      {                          c[x][pre[x]]+=low[t];                          c[pre[x]][x]-=low[t];                          x=pre[x];                      }                      break;                  }          }          if (pre[t]!=-1) maxflow+=low[t];          else return maxflow;      }  }  int main()  {      int n,m,i,a,b,d;      while (scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)      {          memset(c,0,sizeof(c));          for (i=1;i<=n;++i)          {              scanf("%d%d%d",&a,&b,&d);              c[a][b]+=d;          }          printf("%d/n",bfs_max_flow(m,1,m));      }  }  //Ford-Fulkerson  //邻接矩阵DFS  #include<stdio.h>  #include<string.h>  #include<algorithm>  using namespace std;  #define MAXN 205  #define inf 2100000000  int c[MAXN][MAXN];  int pass[MAXN];  int dfs(int n,int s,int t,int low)  {      int i,flow;      if (s==t) return low;      if (pass[s]) return 0;      pass[s]=1;      for (i=1;i<=n;++i)      {          if ((c[s][i])&&(flow=dfs(n,i,t,low<c[s][i]?low:c[s][i])))          {              c[s][i]-=flow;              c[i][s]+=flow;              return flow;          }      }      return 0;  Gephi是一款开源免费跨平台基于JVM的复杂网络分析软件, 其主要用于各种网络和复杂系统，动态和分层图的交互可视化与探测开源工具。可用作：探索性数据分析，链接分析，社交网络分析，生物网络分析等。

无向图的邻接矩阵一定是对称的.因为如果一个点i到j有边,则aij=aji=1;所以都是对称的.但是有向图就不一定了,点i到j有边,aij=1,但j到i不一定有边,则aji不一定等于1、有向图用邻接矩阵更加节省存储空间.因为无向图的邻接矩阵是对称的,所以也就是多用了一些存储空间.

无向图的邻接矩阵一定是对称的.因为如果一个点i到j有边,则aij=aji=1;所以都是对称的.但是有向图就不一定了,点i到j有边,aij=1,但j到i不一定有边,则aji不一定等于1、有向图用邻接矩阵更加节省存储空间.因为无向图的邻接矩阵是对称的,所以也就是多用了一些存储空间.

如果有对称元素 aij 和 aji 分别是1和0,那么一定是有向图(有一条有向边连接两点) 但如果所有的对应元素都相同,就无法判断是有向图还是无向图

0、1和无穷三者不可能同时出现。无向和有向无权图中用1表示能够直接到达，0表示不能一步到达。带权图中正数代表路径权值，无穷表示一步无法到达。

1.图的邻接矩阵表示法在图的邻接矩阵表示法中：① 用邻接矩阵表示顶点间的相邻关系② 用一个顺序表来存储顶点信息2.图的邻接矩阵(Adjacency Matrix)设G=(V，E)是具有n个顶点的图，则G的邻接矩阵是具有如下性质的n阶方阵：　【例】下图中无向图G 5 和有向图G 6 的邻接矩阵分别为A l 和A 2 。　3.网络的邻接矩阵若G是网络，则邻接矩阵可定义为：　其中：w ij 表示边上的权值;∞表示一个计算机允许的、大于所有边上权值的数。【例】下面带权图的两种邻接矩阵分别为A 3 和A 4 。　4.图的邻接矩阵存储结构形式说明#define MaxVertexNum l00 //最大顶点数，应由用户定义typedef char VertexType; //顶点类型应由用户定义typedef int EdgeType; //边上的权值类型应由用户定义typedef struct{VextexType vexs[MaxVertexNum] //顶点表EdeType edges[MaxVertexNum][MaxVertexNum];//邻接矩阵，可看作边表int n，e; //图中当前的顶点数和边数}MGragh;注意：① 在简单应用中，可直接用二维数组作为图的邻接矩阵(顶点表及顶点数等均可省略)。② 当邻接矩阵中的元素仅表示相应的边是否存在时，EdgeTyPe可定义为值为0和1的枚举类型。③ 无向图的邻接矩阵是对称矩阵，对规模特大的邻接矩阵可压缩存储。④ 邻接矩阵表示法的空间复杂度S(n)=0(n 2 )。5.建立无向网络的算法。void CreateMGraph(MGraph *G){//建立无向网的邻接矩阵表示int i，j，k，w;scanf(%d%d，&G->n，&G->e); //输入顶点数和边数for(i = 0;i < n;i++) //读人顶点信息，建立顶点表{G->vexs=getchar();}for(i = 0;i < n;i++){for(j = 0;j < n;j++){G->edges[j] = 0; //邻接矩阵初始化}}for(k = 0;k < e;k++){//读入e条边，建立邻接矩阵scanf(%d%d%d，&i，&j，&w); //输入边(v i ,v j )上的权wG->edges[j]=w;G->edges[j]=w;}}//CreateMGraph该算法的执行时间是0(n+n 2 +e)。由于e根据图的定义可知，图的逻辑结构分为两部分：V和E的集合。因此，用一个一维数组存放图中所有顶点数据；用一个二维数组存放顶点间关系（边或弧）的数据，称这个二维数组为邻接矩阵。邻接矩阵又分为有向图邻接矩阵和无向图邻接矩阵。

无向图的邻接矩阵一定是对称的，而有向图的邻接矩阵不一定对称。因此，用邻接矩阵来表示一个具有n个顶点的有向图时需要n^2个单元来存储邻接矩阵；对有n个顶点的无向图则只存入上（下）三角阵中剔除了左上右下对角线上的0元素后剩余的元素，故只需1+2+...+(n-1)=n(n-1)/2个单元。无向图邻接矩阵的第i行（或第i列）非零元素的个数正好是第i个顶点的度。有向图邻接矩阵中第i行非零元素的个数为第i个顶点的出度，第i列非零元素的个数为第i个顶点的入度，第i个顶点的度为第i行与第i列非零元素个数之和。用邻接矩阵表示图，很容易确定图中任意两个顶点是否有边相连。

有。带权图的邻接矩阵里面有0。带权图的邻接矩阵可以用0表示，也可以用最大值表示。矩阵中的每一个1代表两个顶点邻接（存在一条边）0代表不邻接，一条边代表两个1自己指向自己的顶点可以表示为0。

先从矩阵的方面来认识。矩阵拟阵记录了一个矩阵中向量之间的线性无关关系。矩阵的所有其它性质与拟阵无关。所以拟阵被定义为一个二元组  ，其中S是矩阵中向量的集合  ， I是这些向量的线性无关关系，比如说在上面三个向量中  与  ，  与  分别线性无关，此外当然  他们自身分别组成的集合也是线性无关的，空集内所有元素也是线性无关的，所以空集也是I的元素 。因此有 。I 中的每一个元素就是上面所提到的线性无关的元素集合。有了这些线性关系，我们不需要知道这些向量的其它性质（比如说我们并不需要它们的值），就可以推出一些有用的结论。于是就有了这么个问题：能不能把“线性无关”关系这一概念从向量的定义中抽象出来，定义一种新的关系概念，让这个概念不依赖于向量的定义？这样一来我们就可以把这些不依赖于向量其它性质的结论应用于其它的场景。拟阵就提供了这样的定义。拟阵把向量的“线性无关“关系抽象成三个层面。对于一个有限的实体集合 S 来说，如果定义在 S 上的关系集合 I 满足下面的三条性质，那么就可以说 I 对于 S 来讲是一种“线性无关”关系的定义。也就是 (S, I) 是拟阵。。这个性质表述的意思是“空集内所有的元素线性无关”。遗传性。若  ，则  。这个性质放到矩阵上，意思其实就是说如果  n 个向量线性无关，那么从其中取出任意几个向量肯定也都线性无关。交换性。若  且 A 的元素比 B 的元素多，那么 A 中一定有元素x可以放入 B 中使得  。从矩阵的角度来理解，如果有  与  两组向量分别线性无关，并且 a > b，那么  中一定有一个向量  与  线性无关，从而  这个向量组也线性无关。矩阵的这个性质不是那么直观，但还是很好理解的：第二组向量的秩比第一组小，因此第一组向量中一定能拿出一个不能被第二组向量线性表示的向量。这样定义好之后，无论任何关系类型，只要满足这三个性质，就都可以套用拟阵的性质来解决一系列问题。满足拟阵定义的关系首先当然有上面说的向量的线性无关关系。另一个很好的例子是图拟阵：把 S 定义为一个无向图的边集，I 所表述的关系定义为“不构成环的边集”。也就是说，如果在一个图中，abcd四条边不构成环，我们就认为它们“线性无关”。这样建立起来的 (S, I) 可以被证明是一个拟阵。就是这样，拟阵这

按MODE,6,进入矩阵计算模式；首先是创建一个新矩阵：（刚进模式的时候会自动提示，也可以按SHIFT,4,1自己创建)选择矩阵A,B,C中的一个，再选大小（有两页）；其次是矩阵编辑界面，输入表达式，按[=]可以编辑矩阵内容。按AC退出。按SHIFT,4,2可以选择矩阵并编辑；然后是计算；请退出编辑界面。按SHIFT,4可以选择矩阵了，3-5分别对应A-C。可以加减乘，平方之类的；结果会保留在MatAns中（SHIFT,4,6,=打开）。扩展资料：矩阵的分解矩阵分解是将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积 [15] ，矩阵的分解法一般有三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解等。三角分解设 ,则A可以唯一地分解为A=U1R,其中U1是酉矩阵，R是正线上三角复矩阵，或A可以唯一地分解为其中L是正线上三角复矩阵，是酉矩阵 。谱分解谱分解（Spectraldecomposition）是将矩阵分解为由其特征值和特征向量表示的矩阵之积的方法。需要注意只有对可对角化矩阵才可以施以特征分解 。奇异值分解假设M是一个m×n阶矩阵，其中的元素全部属于域K，也就是实数域或复数域。如此则存在一个分解使得其中U是m×m阶酉矩阵；Σ是m×n阶实数对角矩阵；而V*，即V的共轭转置，是n×n阶酉矩阵。这样的分解就称作M的奇异值分解 [19] 。Σ对角线上的元素Σi,i即为M的奇异值。常见的做法是将奇异值由大而小排列。如此Σ便能由M唯一确定了。满秩分解设 ，若存在矩阵 及 ，使得A=FG，则称其为的A一个满秩分解 。LUP分解LUP分解的思想就是找出三个n×n矩阵L,U,P，满足 .其中L是一个单位下三角矩阵，U是一个单位上三角矩阵，P是一个置换矩阵。而满足分解条件的矩阵L,U,P称为矩阵A的一个LUP分解。参考资料：百度百科：矩阵

这是用cramer法则求解方程组。注意一个特征：系数矩阵所有列的元素和都一样，因此，可以把前n-1行都加到第n行，此操作不改变行列式的值，（注意讨论a的取值，对后续操作有影响），然后再利用第n行把第i行上的数字i变为0，其中i=1,2,3,n-1，注意：此操作改变行列式的值，这些操作结束之后，系数矩阵就变成只有对角线元素和最下边一行元素非0的对角阵。第一个矩阵的第一行 的每个数分别乘以 第二个矩阵第一列 的每个数 相加求和是结果矩阵的 第一个数；第一个矩阵的第二行 和 第二个矩阵的第一列 求和 是结果矩阵的第一列第二个数；以此类推。两个矩阵要做乘法，那么第一个矩阵的行数和第二个矩阵的列数必须一样，就是m✖️n的矩阵，和n✖️s的矩阵，可以做乘法。扩展资料：矩阵分解是将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积 [14]  ，矩阵的分解法一般有三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解等。三角分解设 ,则A可以唯一地分解为A=U1R ,其中U1是酉矩阵，R是正线上三角复矩阵，或A可以唯一地分解为其中L是正线上三角复矩阵，是酉矩阵谱分解谱分解（Spectral decomposition）是将矩阵分解为由其特征值和特征向量表示的矩阵之积的方法。需要注意只有对可对角化矩阵才可以施以特征分解 [17]  。奇异值分解假设M是一个m×n阶矩阵，其中的元素全部属于域K，也就是实数域或复数域。如此则存在一个分解使得其中U是m×m阶酉矩阵；Σ是m×n阶实数对角矩阵；而V*，即V的共轭转置，是n×n阶酉矩阵。这样的分解就称作M的奇异值分解 [18]  。Σ对角线上的元素Σi,i即为M的奇异值。常见的做法是将奇异值由大而小排列。如此Σ便能由M唯一确定了。参考资料来源：百度百科-矩阵

A为m*n阶矩阵，的n个特征值的非负平方根叫作A的奇异值奇异值是矩阵里的概念，一般通过奇异值分解定理求得。奇异值分解是线性代数和矩阵论中一种重要的矩阵分解法，适用于信号处理和统计学等领域。 奇异矩阵是线性代数的概念，就是该矩阵的秩不是满秩。

我很是想要你那100分··但是我才初3··看不懂呐····

矩阵相似、合同之间没有充要关系，存在相似但不合同的矩阵，也存在合同但不相似的矩阵。 总结起来就是：相似=>等价，合同=>等价，等价=>等秩矩阵等秩是相似、合同、等价的必要条件，相似、合同、等价是等秩的充分条件。合同是存在非异矩阵P，使得PAP‘=B，注意，这里P"是P的转置，而非逆阵。这一般应用在二次型理论上面。合同也可以推出等价。合同的条件是两个矩阵惯性系数一样。就是说正特征，负特征数目一样。扩展资料矩阵的分解主条目：矩阵分解矩阵分解是将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积，矩阵的分解法一般有三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解等。三角分解设 ,则A可以唯一地分解为A=U1R ,其中U1是酉矩阵，R是正线上三角复矩阵，或A可以唯一地分解为其中L是正线上三角复矩阵，是酉矩阵   。谱分解谱分解（Spectral decomposition）是将矩阵分解为由其特征值和特征向量表示的矩阵之积的方法。需要注意只有对可对角化矩阵才可以施以特征分解。奇异值分解假设M是一个m×n阶矩阵，其中的元素全部属于域K，也就是实数域或复数域。如此则存在一个分解使得其中U是m×m阶酉矩阵；Σ是m×n阶实数对角矩阵；而V*，即V的共轭转置，是n×n阶酉矩阵。这样的分解就称作M的奇异值分解 [19]  。Σ对角线上的元素Σi,i即为M的奇异值。常见的做法是将奇异值由大而小排列。如此Σ便能由M唯一确定了。满秩分解设 ，若存在矩阵 及 ，使得A=FG，则称其为的A一个满秩分解。LUP分解LUP分解的思想就是找出三个n×n矩阵L,U,P，满足 . 其中L是一个单位下三角矩阵，U是一个单位上三角矩阵，P是一个置换矩阵。 而满足分解条件的矩阵L,U,P称为矩阵A的一个LUP分解 。参考资料：百度百科-矩阵

因为r(A)=n-1，所以基础解系由一个非零解向量组成，4个选项的向量都是解向量，只有α1-α2一定非零

共同性质一样，就是量的共性相同

奇异值（我没听说过,别处粘来的）：对于一个实矩阵A（m×n阶）,如果可以分解为A＝USV",其中U和V为分别为m×n与n×m阶正交阵,S为n×n阶对角阵,且S＝diag（a1,a2,...,ar,0,...,0）.且有a1>=a2>=a3>=...>=ar>=0.那么a1,a2,...,ar称为矩阵A的奇异值.A的奇异值为A"A的特征值的平方根（A"表示A的转置矩阵）,通过此可以求出奇异值.这道题的话就算出A和A的转置的乘积,得到 （4,4；4,4）特征值是8,0,那么奇异值是两倍根号2

非满秩矩阵X 首先载体优化为（X转置X），进行特征分解成POP转置，保留P。O的特征根的对角阵在作另一种载体优化（XX转置），进行特征分解成QRQ转置，保留Q。R是特征根对角阵O和R的差别只在维度上，非零对角线的特征值是一样的。所以X=PWQ转制，W是非零对角线特征值的平方根，组成的对角阵。

安装并运行matlab软件；2在命令行窗口输入需要进行奇异值分解的矩阵，并输入矩阵求秩及求奇异值的公式，如下图；3单击回车键，求得奇异值分解得到的U、S、V矩阵；4若要查看之前输入的求解矩阵及所求得的相关变量，从右侧工作区窗口进行查看；5分别单击所要查看的变量名进行查看；

是解线性方程组Ax=B吗，如果A是非奇异阵，那比奇异阵要简单多了，可以用高斯消元法、列主元消去法、LU分解法等多种方法，如果主对角线绝对占优，还可以用迭代法。任何一本计算方法或数值分析的教材中都有。希望可以帮到你，不明白可以追问，如果解决了问题，请点下面的"选为满意回答"按钮，谢谢。

矩阵相似、合同之间没有充要关系，存在相似但不合同的矩阵，也存在合同但不相似的矩阵。 总结起来就是：相似=>等价，合同=>等价，等价=>等秩矩阵等秩是相似、合同、等价的必要条件，相似、合同、等价是等秩的充分条件。合同是存在非异矩阵P，使得PAP‘=B，注意，这里P"是P的转置，而非逆阵。这一般应用在二次型理论上面。合同也可以推出等价。合同的条件是两个矩阵惯性系数一样。就是说正特征，负特征数目一样。扩展资料矩阵的分解主条目：矩阵分解矩阵分解是将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积，矩阵的分解法一般有三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解等。三角分解设 ,则A可以唯一地分解为A=U1R ,其中U1是酉矩阵，R是正线上三角复矩阵，或A可以唯一地分解为其中L是正线上三角复矩阵，是酉矩阵   。谱分解谱分解（Spectral decomposition）是将矩阵分解为由其特征值和特征向量表示的矩阵之积的方法。需要注意只有对可对角化矩阵才可以施以特征分解。奇异值分解假设M是一个m×n阶矩阵，其中的元素全部属于域K，也就是实数域或复数域。如此则存在一个分解使得其中U是m×m阶酉矩阵；Σ是m×n阶实数对角矩阵；而V*，即V的共轭转置，是n×n阶酉矩阵。这样的分解就称作M的奇异值分解 [19]  。Σ对角线上的元素Σi,i即为M的奇异值。常见的做法是将奇异值由大而小排列。如此Σ便能由M唯一确定了。满秩分解设 ，若存在矩阵 及 ，使得A=FG，则称其为的A一个满秩分解。LUP分解LUP分解的思想就是找出三个n×n矩阵L,U,P，满足 . 其中L是一个单位下三角矩阵，U是一个单位上三角矩阵，P是一个置换矩阵。 而满足分解条件的矩阵L,U,P称为矩阵A的一个LUP分解 。参考资料：百度百科-矩阵

矩阵的奇异值分解在最优化问题、统计学方面等等起到了很大的作用。写这篇文章的原因主要是最近在复习《矩阵论》，感觉书中写的奇异值分解还是很详细的，所以就有想将它写下来的欲望。在介绍奇异值分解之前，首先得知道矩阵的正交对角分解。 有推论可得存在一个n阶实对称矩阵 ，则存在正交矩阵 ，使得以上成立的条件是 是实对称矩阵，但对于实的非对称矩阵 ，不再有上式的分解，所以就有了下面的正交对角分解。 定理：   设 可逆，则存在正交矩阵 和 ，使得其中 。 上式是一个比较简单的证明，试想 不是一个实对称矩阵，那么就得把它变成一个实对称矩阵，能想到的就是 ，可以得到它是一个实对称矩阵，那么得到其中 的特征值 都是大于0的，因为 ， 是一个对称正定矩阵，令： ， 得到 ，两边同时左乘 得到 ，两边再右乘 ，得到 ， 令 ，可知它是一个正交矩阵，所以就可以得到 。 由于在实际过程中，矩阵的行和列往往是不相等的，而且矩阵的逆也不一定都存在，所以，这就需要奇异值分解了。 设 ， 的特征值为（r为A的秩）则称 为 的奇异值。   设 ，则存在m阶酉矩阵（相当于复数域上的正交矩阵）U和n阶酉矩阵V，使得其中 。 证：   根据矩阵的正交对角分解，可以得到 ，两边同时左乘以V，并将V分解为 ， 所以可以写成将前面的式子两边左乘 ，再左乘 得到 ，可以设 ，则 ，即 的r个列向量是两两正交的单位向量， ，将其扩充到 的标准正交基，就是增加向量 ，则于是可得所以由上面的证明可以看出SVD分解并不是唯一的。 根据对矩阵A进行SVD分解，记U和V的列向量分别为 和 ，可以得到第一个式子表示矩阵A的零空间是由 的列向量张成的空间，可以证明：上式经常用于求解齐次线性方程组 ，根据它的零空间，可以得到x的值就是 列向量的线性组合 第二个式子表示矩阵A的值域是 ，可证：所以两者的值域是一样的。 《矩阵论》张凯院、徐仲

奇异值分解有两种用法，一是：s=svd(A),得出的s是列矢量；二是：[u,s,v]=svd(A),得出的s是一个对角矩阵，对角线上的元素就是奇异值。你的程序就可能是后一种情形。

前面的内容是关于近邻推荐的相关知识，来看下另外一种推荐方法：矩阵分解。 协同过滤可以解决我们关注的很多问题，但是仍然有一些问题存在，比如： 上述两个问题，在矩阵分解中可以得到解决。原始的矩阵分解只适用于评分预测问题，这里所讨论的也只是针对于评分预测问题。常用的分解算法有SVD和SVD++。 矩阵分解，简单来说，就是把原来的大矩阵，近似分解成两个小矩阵的乘积，在实际推荐计算时不再使用大矩阵，而是使用分解得到的两个小矩阵。 具体来说，假设用户物品评分矩阵为 R，形状为 mxn，即 m 个用户， n 个物品。我们选择一个很小的数 k，k 比 m 和 n 都小很多，然后通过算法生成两个矩阵 P 和 Q，这两个矩阵的要求如下：P 的形状是 mxk，Q 的形状是 nxk， P 和 Q 的转置相乘结果为 R。也就是说分解得到的矩阵P和Q可以还原成原始的矩阵R。 用公式来描述就是： 其中 R 表示真实的用户评分矩阵，一般有很多缺失值（缺失值表示用户没有对该物品评分），带尖帽的 R 表示使用分解矩阵预测的用户评分矩阵，它补全了所有的缺失值。 从另一个角度来看，矩阵分解就是把用户和物品都映射到一个 k 维空间中（这里映射后的结果用户用矩阵P表示，物品用矩阵Q表示），这个 k 维空间不是我们直接看得到的，也不一定具有非常好的可解释性，每一个维度也没有名字，所以常常叫做隐因子。用户向量代表了用户的兴趣，物品向量代表了物品的特点，且每一个维度相互对应，两个向量的内积表示用户对该物品的喜好程度。 SVD 全程奇异值分解，原本是是线性代数中的一个知识，在推荐算法中用到的 SVD 并非正统的奇异值分解。 前面已经知道通过矩阵分解，可以得到用户矩阵和物品矩阵。针对每个用户和物品，假设分解后得到的用户 u 的向量为 p_u，物品 i 的向量为 q_i，那么用户 u 对物品 i 的评分为： 其中，K 表示隐因子个数。 问题关键来了，如何为每个用户和物品生成k维向量呢？这个问题可以转化成机器学习问题，要解决机器学习问题，就需要寻找损失函数以及优化算法。 这里单个用户对单个物品的真实评分与预测评分之间的差值记为 e{ui}。 将所有用户对物品的真实评分与预测评分之间的差值的平方之和作为损失函数，即 其中，R 表示所有的用户对所有物品的评分集合，K 表示隐因子个数。 我们要做的就是求出用户向量 p_u 和物品向量 q_i ，来保证损失函数结果最小。 求解损失函数优化算法常用的选择有两个，一个是梯度下降（GD），另一个是交替最小二乘（ALS） 。这里以梯度下降为例。 梯度下降算法的一个关键点在于计算损失函数对于每个参数的梯度。 在实际应用中，会存在以下情况：相比于其他用户，有些用户给分就是偏高或偏低。相比于其他物品，有些物品就是能得到偏高的评分。所以使用 pu*qi^T 来定义评分是有失偏颇的。我们可以认为 评分 = 兴趣 + 偏见。 其中，μ表示全局均值， bu表示用户偏见，bi表示物品偏见。 举例来说，一个电影网站全局评分为 3.5 分，你评分电影时比较严格，一般打分比平均分都要低 0.5，《肖申克的救赎》的平均分比全局平均分要高 1 分。这里 u=3.5，bu=-0.5，bi=1分。 实际生产中，用户评分数据很稀少，也就是说显式数据比隐式数据少很多，这些隐式数据能否加入模型呢？ SVD++ 就是在 SVD 模型中融入用户对物品的隐式行为。我们可以认为 评分=显式兴趣 + 隐式兴趣 + 偏见。 那么隐式兴趣如何加入到模型中呢？首先，隐式兴趣对应的向量也是 k 维，它由用户有过评分的物品生成。 其中，|N(u)|表示用户u的行为物品集，yj表示物品j所表达的隐式反馈。 介绍了在评分数据中非常受欢迎 SVD 算法以及改进。比如加入偏置信息，考虑隐式反馈等。 推荐系统百问百答 参考：

所有开源的软件(例如Linux发行版)里面必然包含数学/代数学的软件包当然，可以到官方网站下载http://www.netlib.org/lapack/lapack---完整的矩阵/数值运算的软件包。其中c语言的部分叫做Clapack。网上一搜，一堆一堆的，看文档可以知道如何使用。很详细!!!!!!!!

基本介绍奇异值分解在某些方面与对称矩阵或Hermite矩阵基于特征向量的对角化类似。然而这两种矩阵分解尽管有其相关性，但还是有明显的不同。对称阵特征向量分解的基础是谱分析，而奇异值分解则是谱分析理论在任意矩阵上的推广。[1]编辑本段理论描述假设M是一个m×n阶矩阵，其中的元素全部属于域K，也就是实数域或复数域。如此则存在一个分解使得M=UΣV*，其中U是m×m阶酉矩阵;Σ是半正定m×n阶对角矩阵;而V*，即V的共轭转置，是n×n阶酉矩阵。这样的分解就称作M的奇异值分解。Σ对角线上的元素Σi,i即为M的奇异值。常见的做法是为了奇异值由大而小排列。如此Σ便能由M唯一确定了。(虽然U和V仍然不能确定。)直观的解释[2]在矩阵M的奇异值分解中M=UΣV*·V的列(columns)组成一套对M的正交"输入"或"分析"的基向量。这些向量是M*M的特征向量。·U的列(columns)组成一套对M的正交"输出"的基向量。这些向量是MM*的特征向量。·Σ对角线上的元素是奇异值，可视为是在输入与输出间进行的标量的"膨胀控制"。这些是M*M及MM*的奇异值，并与U和V的行向量相对应。奇异值和奇异向量,以及他们与奇异值分解的关系一个非负实数σ是M的一个奇异值仅当存在Km的单位向量u和Kn的单位向量v如下:其中向量u和v分别为σ的左奇异向量和右奇异向量。对于任意的奇异值分解矩阵Σ的对角线上的元素等于M的奇异值.U和V的列分别是奇异值中的左、右奇异向量。因此,上述定理表明:一个m×n的矩阵至少有一个最多有p=min(m,n)个不同的奇异值。总是可以找到在Km的一个正交基U，组成M的左奇异向量。总是可以找到和Kn的一个正交基V，组成M的右奇异向量。如果一个奇异值中可以找到两个左(或右)奇异向量是线性相关的，则称为退化。非退化的奇异值具有唯一的左、右奇异向量，取决于所乘的单位相位因子eiφ(根据实际信号)。因此，如果M的所有奇异值都是非退化且非零，则它的奇异值分解是唯一的，因为U中的一列要乘以一个单位相位因子且同时V中相应的列也要乘以同一个相位因子。根据定义，退化的奇异值具有不唯一的奇异向量。因为，如果u1和u2为奇异值σ的两个左奇异向量，则两个向量的任意规范线性组合也是奇异值σ一个左奇异向量，类似的，右奇异向量也具有相同的性质。因此，如果M具有退化的奇异值，则它的奇异值分解是不唯一的。与特征值分解的联系几何意义因为U和V向量都是单位化的向量,我们知道U的列向量u1,...,um组成了Km空间的一组标准正交基。同样，V的列向量v1,...,vn也组成了Kn空间的一组标准正交基(根据向量空间的标准点积法则).线性变换T:Kn→Km，把向量x变换为Mx。考虑到这些标准正交基，这个变换描述起来就很简单了:T(vi)=σiui,fori=1,...,min(m,n),其中σi是对角阵Σ中的第i个元素;当i>min(m,n)时，T(vi)=0。这样，SVD理论的几何意义就可以做如下的归纳:对于每一个线性映射T:Kn→Km，T把Kn的第i个基向量映射为Km的第i个基向量的非负倍数,然后将余下的基向量映射为零向量。对照这些基向量，映射T就可以表示为一个非负对角阵。

mode中选6matrix先定义你要的一个矩阵（最多是3*3）按Ac结束shift+4，选1定义另一个矩阵。若要该数据则选2.除了要按shift+4+3/4/5选择矩阵，与普通乘法一样输入即可。

是的

假设M是一个m×n阶矩阵，其中的元素全部属于域K，也就是实数域或复数域。如此则存在一个分解使得M=UΣV*，其中U是m×m阶酉矩阵；Σ是半正定m×n阶对角矩阵；而V*，即V的共轭转置，是n×n阶酉矩阵。这样的分解就称作M的奇异值分解。Σ对角线上的元素Σi,i即为M的奇异值。常见的做法是为了奇异值由大而小排列。如此Σ便能由M唯一确定了。(虽然U和V仍然不能确定。)奇异值分解在某些方面与对称矩阵或Hermite矩阵基于特征向量的对角化类似。然而这两种矩阵分解尽管有其相关性，但还是有明显的不同。对称阵特征向量分解的基础是谱分析，而奇异值分解则是谱分析理论在任意矩阵上的推广。

你先讲清楚你能理解到什么程度，然后我再视情况帮你稍微加深一下理解。

因为 A 乘列向量 (1,1,1.,1)^T 时 相当于把A的各行加起来构成一个列向量。我知道你是想问各行元素的和（设为a）相等，这个和等于特征值吧。特征多项式|A-rE|把从第二列开始的每一列加到第一列，就可以提出一个公因式（a-r），所以a是矩阵A的特征值。

奇异值分解有两种用法，一是：s=svd(A),得出的s是列矢量；二是：[u,s,v]=svd(A),得出的s是一个对角矩阵，对角线上的元素就是奇异值。你的程序就可能是后一种情形。

标题里的问题是不可能出现的, 不过你描述的问题是有可能的, 说明你算错了首先要注意, 尽管不同的矩阵不可能有相同的SVD, 但对于同一个矩阵来讲, SVD不是唯一的比较简单的情况, A=∑σ_i v_i u_i^T, 可以看出即使没有重奇异值v_i和u_i也可能不唯一, 比如(v_i*z)(u_i^T/z)也满足条件, 其中z是单位复数有重奇异值的时候U和V松动的余地更大所以我估计你的算法里U和V是分开算的, 并没有互相故及对方

矩阵的迹：主对角线(左上至右下的那一条)上所有元素之和。

性质：(1)设有N阶矩阵A，那么矩阵A的迹（用tr（A）表示）就等于A的特征值的总和，也即矩阵A的主对角线元素的总和。1.迹是所有主对角元素的和2.迹是所有特征值的和3.某些时候也利用tr(AB)=tr(BA)来求迹4.tr（mA+mB）=m*tr(A)+n*tr（B）(2)奇异值分解（Singular value decomposition ）奇异值分解非常有用，对于矩阵A(p*q)，存在U(p*p)，V(q*q)，B(p*q)（由对角阵与增广行或列组成），满足A = U*B*VU和V中分别是A的奇异向量，而B是A的奇异值。AA"的特征向量组成U，特征值组成B"B，A"A的特征向量组成V，特征值（与AA"相同）组成BB"。因此，奇异值分解和特征值问题紧密联系。如果A是复矩阵，B中的奇异值仍然是实数。SVD提供了一些关于A的信息，例如非零奇异值的数目（B的阶数）和A的阶数相同，一旦阶数确定，那么U的前k列构成了A的列向量空间的正交基。(3)在数值分析中，由于数值计算误差，测量误差，噪声以及病态矩阵，零奇异值通常显示为很小的数目。将一个矩阵分解为比较简单或者性质比较熟悉的矩阵之组合，方便讨论和计算。由于矩阵的特征值和特征向量在化矩阵为对角形的问题中占有特殊位置， 因此矩阵的特征值分解。尽管矩阵的特征值具有非常好的性质，但是并不是总能正确地表示矩阵的“大小”。矩阵的奇异值和按奇异值分解是矩阵理论和应用中十分重要的内容，已成为多变量反馈控制系统最重要最基本的分析工具之一，奇异值实际上是复数标量绝对值概念的推广， 表示了反馈控制系统的输出/输入增益，能反映控制系统的特性。

矩阵的迹指：在线性代数中，一个n×n矩阵A的主对角线（从左上方至右下方的对角线）上各个元素的总和被称为矩阵A的迹（或迹数），一般记作tr(A)。例子：设有矩阵：它的迹是：扩展资料：性质一、设有N阶矩阵A，那么矩阵A的迹（用tr(A)表示）就等于A的特征值的总和，也即矩阵A的主对角线元素的总和。1.迹是所有对角元的和2.迹是所有特征值的和3.某些时候也利用tr(AB)=tr(BA)来求迹4.tr（mA+nB）=m tr（A）+n tr（B）二、奇异值分解（Singular value decomposition ）奇异值分解非常有用，对于矩阵A(p*q)，存在U(p*p)，V(q*q)，B(p*q)（由对角阵与增广行或列组成），满足A = U*B*VU和V中分别是A的奇异向量，而B是A的奇异值。AA"的特征向量组成U，特征值组成B"B，A"A的特征向量组成V，特征值（与AA"相同）组成BB"。因此，奇异值分解和特征值问题紧密联系。如果A是复矩阵，B中的奇异值仍然是实数。SVD提供了一些关于A的信息，例如非零奇异值的数目（B的阶数）和A的阶数相同，一旦阶数确定，那么U的前k列构成了A的列向量空间的正交基。三、在数值分析中，由于数值计算误差，测量误差，噪声以及病态矩阵，零奇异值通常显示为很小的数目。将一个矩阵分解为比较简单或者性质比较熟悉的矩阵之组合，方便讨论和计算。由于矩阵的特征值和特征向量在化矩阵为对角形的问题中占有特殊位置， 因此矩阵的特征值分解。尽管矩阵的特征值具有非常好的性质，但是并不是总能正确地表示矩阵的“大小”。矩阵的奇异值和按奇异值分解是矩阵理论和应用中十分重要的内容，已成为多变量反馈控制系统最重要最基本的分析工具之一，奇异值实际上是复数标量绝对值概念的推广， 表示了反馈控制系统的输出/输入增益，能反映控制系统的特性。《鲁棒控制.倾斜转弯导弹》参考资料来源：百度百科-矩阵的迹

非负矩阵分解与奇异值分解的优点：对称阵特征向量分解的基础是谱分析，而奇异值分解则是谱分析理论在任意矩阵上的推广。缺点：存在一些小的差异，奇异值分解需要对奇异值从大到小的排序，而且全部是大于等于零。所有的矩阵都可以进行奇异值分解，而只有方阵才可以进行特征值分解。当所给的矩阵是对称的方阵，A(T)=A，二者的结果是相同的。也就是说对称矩阵的特征值分解是所有奇异值分解的一个特例。从多元统计的观点看NMF是在非负性的限制下，在尽可能保持信息不变的情况下，将高维的随机模式简化为低维的随机模式H，而这种简化的基础是估计出数据中的本质结构W；从代数的观点看，NMF是发现数据的一种内在非负(或蕴涵更多性质的)代数分解形式或表示方法。从维数约减的观点看，因为基矩阵W和系数矩阵H同时由NMF来确定，系数矩阵H并非为数据矩阵V在W上的投影，所以NMF实现的是非线性的维数约减。

奇异值分解有两种用法，一是：s=svd(A),得出的s是列矢量；二是：[u,s,v]=svd(A),得出的s是一个对角矩阵，对角线上的元素就是奇异值。你的程序就可能是后一种情形。

svd同样可以用于复数矩阵；另外svd(A)，需要A是一个矩阵

不可以，这是由奇异值分解的定义来决定的，而且虽然我们学习的顺序是先学实数后学复数，但是实际上正交的定义是从复数域下简化而来，因为虚部为0才简化成这样，所以在复数域下讨论正交的意义很小。奇异值分解定义的时候用的就是证明了对于m*n矩阵，必存在m阶酉矩阵U和n阶酉矩阵V,S.T U^HAV=S。

这字好像姚强啊喂，题主是某届学长or学姐吗，今年他又把345题扒拉出来当作业了hhh

整个项目的结构图：编写DetectFaceDemo.java,代码如下：[java] view plaincopyprint?package com.njupt.zhb.test; import org.opencv.core.Core; import org.opencv.core.Mat; import org.opencv.core.MatOfRect; import org.opencv.core.Point; import org.opencv.core.Rect; import org.opencv.core.Scalar; import org.opencv.highgui.Highgui; import org.opencv.objdetect.CascadeClassifier; // // Detects faces in an image, draws boxes around them, and writes the results // to "faceDetection.png". // public class DetectFaceDemo { public void run() { System.out.println(" Running DetectFaceDemo"); System.out.println(getClass().getResource("lbpcascade_frontalface.xml").getPath()); // Create a face detector from the cascade file in the resources // directory. //CascadeClassifier faceDetector = new CascadeClassifier(getClass().getResource("lbpcascade_frontalface.xml").getPath()); //Mat image = Highgui.imread(getClass().getResource("lena.png").getPath()); //注意：源程序的路径会多打印一个‘/"，因此总是出现如下错误 /* * Detected 0 faces Writing faceDetection.png libpng warning: Image * width is zero in IHDR libpng warning: Image height is zero in IHDR * libpng error: Invalid IHDR data */ //因此，我们将第一个字符去掉 String xmlfilePath=getClass().getResource("lbpcascade_frontalface.xml").getPath().substring(1); CascadeClassifier faceDetector = new CascadeClassifier(xmlfilePath); Mat image = Highgui.imread(getClass().getResource("we.jpg").getPath().substring(1)); // Detect faces in the image. // MatOfRect is a special container class for Rect. MatOfRect faceDetections = new MatOfRect(); faceDetector.detectMultiScale(image, faceDetections); System.out.println(String.format("Detected %s faces", faceDetections.toArray().length)); // Draw a bounding box around each face. for (Rect rect : faceDetections.toArray()) { Core.rectangle(image, new Point(rect.x, rect.y), new Point(rect.x + rect.width, rect.y + rect.height), new Scalar(0, 255, 0)); } // Save the visualized detection. String filename = "faceDetection.png"; System.out.println(String.format("Writing %s", filename)); Highgui.imwrite(filename, image); } } package com.njupt.zhb.test;import org.opencv.core.Core;import org.opencv.core.Mat;import org.opencv.core.MatOfRect;import org.opencv.core.Point;import org.opencv.core.Rect;import org.opencv.core.Scalar;import org.opencv.highgui.Highgui;import org.opencv.objdetect.CascadeClassifier;//// Detects faces in an image, draws boxes around them, and writes the results// to "faceDetection.png".//public class DetectFaceDemo { public void run() { System.out.println(" Running DetectFaceDemo"); System.out.println(getClass().getResource("lbpcascade_frontalface.xml").getPath()); // Create a face detector from the cascade file in the resources // directory. //CascadeClassifier faceDetector = new CascadeClassifier(getClass().getResource("lbpcascade_frontalface.xml").getPath()); //Mat image = Highgui.imread(getClass().getResource("lena.png").getPath()); //注意：源程序的路径会多打印一个‘/"，因此总是出现如下错误/** Detected 0 faces Writing faceDetection.png libpng warning: Image* width is zero in IHDR libpng warning: Image height is zero in IHDR* libpng error: Invalid IHDR data*/ //因此，我们将第一个字符去掉 String xmlfilePath=getClass().getResource("lbpcascade_frontalface.xml").getPath().substring(1); CascadeClassifier faceDetector = new CascadeClassifier(xmlfilePath); Mat image = Highgui.imread(getClass().getResource("we.jpg").getPath().substring(1)); // Detect faces in the image. // MatOfRect is a special container class for Rect. MatOfRect faceDetections = new MatOfRect(); faceDetector.detectMultiScale(image, faceDetections); System.out.println(String.format("Detected %s faces", faceDetections.toArray().length)); // Draw a bounding box around each face. for (Rect rect : faceDetections.toArray()) { Core.rectangle(image, new Point(rect.x, rect.y), new Point(rect.x + rect.width, rect.y + rect.height), new Scalar(0, 255, 0)); } // Save the visualized detection. String filename = "faceDetection.png"; System.out.println(String.format("Writing %s", filename)); Highgui.imwrite(filename, image); }}3.编写测试类：[java] view plaincopyprint?package com.njupt.zhb.test; public class TestMain { public static void main(String[] args) { System.out.println("Hello, OpenCV"); // Load the native library. System.loadLibrary("opencv_java246"); new DetectFaceDemo().run(); } } //运行结果: //Hello, OpenCV // //Running DetectFaceDemo ///E:/eclipse_Jee/workspace/JavaOpenCV246/bin/com/njupt/zhb/test/lbpcascade_frontalface.xml //Detected 8 faces //Writing faceDetection.png package com.njupt.zhb.test;public class TestMain { public static void main(String[] args) { System.out.println("Hello, OpenCV"); // Load the native library. System.loadLibrary("opencv_java246"); new DetectFaceDemo().run(); }}//运行结果://Hello, OpenCV////Running DetectFaceDemo///E:/eclipse_Jee/workspace/JavaOpenCV246/bin/com/njupt/zhb/test/lbpcascade_frontalface.xml//Detected 8 faces//Writing faceDetection.png

奇异值分解有幂迭代法，QR算法，子空间方法等等。其中幂迭代法用于求最大的奇异值及奇异向量。QR算法是幂迭代算法的并行版本，也是最基本最稳定的算法。其他很多算法都通过各种变换，比如household变换，lanczos变换等等，将矩阵化为海森伯格阵，然后用QR算法求解。此外还有子空间方法，这个方法特别适用于求解大型稀疏矩阵的最大的几个奇异值及奇异向量。推荐一个blog，详细讲解奇异值分解的lanczos算法，QR算法，分治算法，和MRRR算法，这些都是当下最快的算法。并提供C++源码http://www.cnblogs.com/qxred/p/lanczos.htmlhttp://www.cnblogs.com/qxred/p/qralgorithm.htmlhttp://www.cnblogs.com/qxred/p/dcalgorithm.html

标题里的问题是不可能出现的,不过你描述的问题是有可能的,说明你算错了 首先要注意,尽管不同的矩阵不可能有相同的SVD,但对于同一个矩阵来讲,SVD不是唯一的 比较简单的情况,A=∑σ_i v_i u_i^T,可以看出即使没有重奇异值v_i和u_i也可能不唯一,比如(v_i*z)(u_i^T/z)也满足条件,其中z是单位复数 有重奇异值的时候U和V松动的余地更大 所以我估计你的算法里U和V是分开算的,并没有互相故及对方

A

考虑矩阵的乘法 I为4阶

一个矩阵的转置与本身相乘得到对称矩阵。 一个矩阵的逆矩阵与本身相乘得到单位矩阵。 行列式不等于零，矩阵可逆，反之不可逆。 满秩矩阵一定是可逆的。 扩展资料 　　矩阵的转置是矩阵的一种运算，在矩阵的所有运算法则中占有重要地位。 　　在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合   ，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。 　　矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。 在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。 矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。关于矩阵相关理论的`发展和应用，请参考《矩阵理论》。在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。 　　数值分析的主要分支致力于开发矩阵计算的有效算法，这是一个已持续几个世纪以来的课题，是一个不断扩大的研究领域。 矩阵分解方法简化了理论和实际的计算。 针对特定矩阵结构（如稀疏矩阵和近角矩阵）定制的算法在有限元方法和其他计算中加快了计算。 无限矩阵发生在行星理论和原子理论中。 无限矩阵的一个简单例子是代表一个函数的泰勒级数的导数算子的矩阵 。

这东西叫极分解. 需要先证一个引理：任何一个实方阵A,都存在正交方阵P,Q使得PAQ=diag(a1,a2,...,ar,0,0...,0),其中ai都是正实数 有这个引理.题中所给的是可逆矩阵,设这个可逆矩阵叫做B,那么由于P,Q都是正交矩阵,是可逆的,所以PBQ逆的. 由引理,应该存在正交方阵P,Q使得PBQ=diag(a1,a2,...,ar,0,0...,0),其中ai都是正实数.但是PBQ是可逆的,所以PBQ=diag(a1,a2,...an) 得到B=P"diag(a1,...an)Q"（其中的"表示转置） P"是正交矩阵,而diag(a1,...an)Q"是正定矩阵.证毕

有两种理解：1、两个矩阵的大小是一样的，并且是要找对应行是不是相等！2、两个矩阵的大小不一定一样，也不要求一定是对应行，只要有相同的就行！

可以先分成两个矩阵，再将第二个矩阵取逆LU分解：将矩阵表示为一个下三角矩阵与一个上三角矩阵的乘积。[L,U]=lu(X): 产生L和U ,使得X=LU。>> A=[2,1,-1,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4];>> b=[13,-9,6,0]";>> [L,U]=lu(A);>> x=U(L) QR分解:是将矩阵分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积. ：[Q,R]=qr(X): 产生Q和R,使得X=QR。求逆：inv（A)

理论上讲, A是实对称半正定阵的时候可以分解成U*U^T的形式, 注意半正定性是必须的既然是半正定的, 如果A的秩是r的话就可以通过合同变换得到A=C*D*C^T, 其中D=diag{I_r, 0}那么取U是C的前r列就行了如果用matlab, 自己查一下ldl函数的用法, 再加一步后处理就行了

这其实是个满秩分解的矩阵问题 根据幂等矩阵的定理,若A为幂等矩阵,则存在一个可逆矩阵P使得（P-1）AP=E 0 0 0 E为单位矩阵,（P-1）为P的逆. 则A=P E 0 (P-1) 0 0 令Q=E 0 0 0 因为对角矩阵是幂等矩阵. 如果想知道详细证明过程把你的邮箱告诉我,我写给你,这上面不好弄

这个需要对矩阵的乘法规则非常熟悉。

奇异矩阵有三角分解。首先看这个矩阵是不是方阵（即行数和列数相等的矩阵。若行数和列数不相等，那就谈不上奇异矩阵和非奇异矩阵）。然后再看此矩阵的行列式|A|是否等于0，若等于0，称矩阵A为奇异矩阵；若不等于0，称矩阵A为非奇异矩阵。同时，由|A|≠0可知矩阵A可逆，这样可以得出另外一个重要结论:可逆矩阵就是非奇异矩阵，非奇异矩阵也是可逆矩阵。 如果A为奇异矩阵，则AX=0有无穷解，AX=b有无穷解或者无解。如果A为非奇异矩阵，则AX=0有且只有唯一零解，AX=b有唯一解。矩阵：矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。 [2]  在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。 矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。关于矩阵相关理论的发展和应用，请参考《矩阵理论》。在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。以上内容参考：百度百科--奇异矩阵

A = rand(30,2); % A 用自己的矩阵n = size(A,1);for k = 1:n vn = ["X0" num2str(k)]; ss = [vn "=A(k,:);"]; eval(ss);end

你自己先把问题提得详细一些再说。一般来讲每个矩阵都可以做一些特定的(或者说有意义的)分解，比如满秩分解，Jordan分解，Schur分解，SVD分解，QR分解，极分解，但是如果不对因子做要求的话那就毫无意义。

Doolittle分解是LU分解（三角分解）的一种特殊形式。其中L是下三角，U是上三角L是单位下三角（主对角元都是1的下三角矩阵）时，称为Doolittle分解U是单位下三角时，称为Crout分解

3.2.4.1 方法建立就全国范围而言，我国地下水质量总体较好，根据国家《地下水质量标准》（GB/T 14848—93），我国63%的地区地下水可直接饮用，17%经适当处理后可供饮用，12%不宜饮用，剩余8%为天然的咸水和盐水，由此可见，不宜饮用的地下水和天然咸水、盐水占到了20%，对于这些地下水型水源地饮用水指标并不一定受到污染而存在超标现象，其水质可能受到地下水形成演化影响更为明显，因此，考虑选择反映地下水形成、演化的地下水水化学类型常规指标，进行影响因素解析。地下水水质指标在取样与分析过程中，由于取样和样品处理、试剂和水纯度、仪器量度和仪器洁净、采用的分析方法、测定过程以及数据处理等过程均会产生测量误差（系统误差，随机误差，过失误差）。从取样到分析结果计算误差都绝对存在，虽然在各个过程中进行质量控制，但无法完全消除不确定性的影响，为确保分析结果的可靠性，采用PMF法对地下水水质指标考虑一定的不确定性误差，使分析数据能够准确地反映实际情况。PMF（Positive Matrix Factorization）与主成分分析（PCA）、因子分析（FA）都是利用矩阵分解来解决实际问题的分析方法，在这些方法中，原始的大矩阵被近似分解为低秩的V＝WH形式。但PMF与PCA和FA不同，PCA、FA方法中因子W和H中的元素可为正或负，即使输入的初始矩阵元素全是正的，传统的秩削减算法也不能保证原始数据的非负性。在数学上，从计算的观点看，分解结果中存在负值是正确的，但负值元素在实际问题中往往是没有意义的。PMF是在矩阵中所有元素均为非负数约束条件之下的矩阵分解方法，在求解过程中对因子载荷和因子得分均做非负约束，避免矩阵分解的结果中出现负值，使得因子载荷和因子得分具有可解释性和明确的物理意义。PMF使用最小二乘方法进行迭代运算，能够同时确定污染源谱和贡献，不需要转换就可以直接与原始数据矩阵作比较，分解矩阵中元素非负，使得分析的结果明确而易于解释，可以利用不确定性对数据质量进行优化，是美国国家环保局（EPA）推荐的源解析工具。3.2.4.2 技术原理PMF：模型是一种基于因子分析的方法，具有不需要测量源指纹谱、分解矩阵中元素非负、可以利用数据标准偏差来进行优化等优点。目前PMF模型此方法成功用于大气气溶胶、土壤和沉积物中持久性有毒物质的源解析，已有成熟的应用模型 PMF1.1，PMF2.0，PMF3.0等。PMF模型基本方程为：Xnm＝GnpFpm+E （3.7）式中：n——取样点数；m——各取样点测试的成分数量；p——污染源个数；Xnm——取样点各成分含量；Gnp——主要源的贡献率；Fpm——源指纹图谱。基本计算过程如下：1）样品数据无量纲化，无量纲化后的样品数据矩阵用D表示。2）协方差矩阵求解，为计算特征值和特征向量，可先求得样品数据的协方差矩阵，用D′为D的转置，算法为：Z＝DD′ （3.8）3）特征值及特征向量求解，用雅各布方法可求得协方差矩阵Z的特征值矩阵E和特征向量矩阵Q，Q′表示Q的转置。这时，协方差矩阵可表示为：Z＝QEQ′ （3.9）4）主要污染源数求解，为使高维变量空间降维后能尽可能保留原来指标信息，利用累计方差贡献率提取显著性因子，判断条件为：地下水型饮用水水源地保护与管理：以吴忠市金积水源地为例式中：n——显著性因子个数；m——污染物个数；λ——特征值。5）因子载荷矩阵求解，提取显著性因子后，利用求解得到的特征值矩阵E和特征向量矩阵Q进一步求得因子载荷矩阵S和因子得分矩阵C，这时，因子载荷矩阵可表示为：S＝QE1/2 （3.11）因子得分矩阵可表示为：C＝（S′S）-1S′D （3.12）6）非负约束旋转，由步骤5求得的因子载荷矩阵S和因子得分矩阵C分别对应主要污染源指纹图谱和主要污染源贡献，为解决其值可能为负的现象，需要做非负约束的旋转。7）首先利用转换矩阵T1对步骤5求得的因子载荷矩阵S和因子得分矩阵C按下式进行旋转：地下水型饮用水水源地保护与管理：以吴忠市金积水源地为例C1＝T1C （3.14）式中：S1——旋转后的因子载荷矩阵；C1——旋转后的因子得分矩阵；T1——转换矩阵，且T1＝（C∗C′）（C∗C′）-1（其中：C∗为把C中的负值替换为零后的因子得分矩阵）。8）利用步骤7中旋转得到的因子载荷矩阵S1构建转换矩阵T2对步骤5中旋转得到的因子载荷矩阵S1和因子得分矩阵C1继续旋转：S2＝S1T2 （3.15）地下水型饮用水水源地保护与管理：以吴忠市金积水源地为例式中：S2——二次旋转后的因子载荷矩阵；C2——二次旋转后的因子得分矩阵；T2——二次转换矩阵，且T2＝（S′1+S1）-1（S′1+ ）（其中： 为S1中的负值换为零后的因子载荷矩阵）。9）：重复步骤7、8，直到因子载荷中负值的平方和小于某一设定的误差精度e而终止，最终得到符合要求的因子载荷矩阵S，即主要污染源指纹图谱。3.2.4.3 方法流程针对受体采样数据直接进行矩阵分解，得到各污染源组分及其贡献率的统计方法（图3.5）。图3.5 方法流程图（1）缺失值处理正定矩阵因子分析是基于多元统计的分析方法，对数据有效性具有一定的要求，因此在进行分析之前首先对数据进行预处理。根据已有数据的特征结合实际情况主要有以下5种处理方法。1）采样数据量充足的情况下直接丢弃含缺失数据的记录。2）存在部分缺失值情况下用全局变量或属性的平均值来代替所有缺失数据。把全局变量或是平均值看作属性的一个新值。3）先根据欧式距离或相关分析来确定距离具有缺失数据样本最近的K个样本，将这K个值加权平均来估计该样本的缺失数据。4）采用预测模型来预测每一个缺失数据。用已有数据作为训练样本来建立预测模型，如神经网络模型预测缺失数据。该方法最大限度地利用已知的相关数据，是比较流行的缺失数据处理技术。5）对低于数据检测限的数据可用数据检测限值或1/2检测限以及更小比例检测限值代替。（2）不确定性处理计算数据不确定性。地下水型饮用水水源地保护与管理：以吴忠市金积水源地为例式中：s——误差百分数；c——指标浓度值；l——因子数据检出限。（3）数据合理性分析本研究所用数据在放入模型前以信噪比S/N（Signal to Noise）作为标准进行筛选，信噪比S/N为：地下水型饮用水水源地保护与管理：以吴忠市金积水源地为例式中：xij——第i采样点第j个样品的浓度；sij——第i采样点第j个样品的标准偏差。信噪比小，说明样品的噪声大，信噪比越大则表示样品检出的可能性越大，越适合模型。（4）数据输入及因子分析与其他因子分析方法一样，PMF不能直接确定因子数目。确定因子数目的一般方法是尝试多次运行软件，根据分析结果和误差，Q值以及改变因子数目时Q值的相对变化等来确定合理的因子数目。3.2.4.4 适用范围PMF对污染源和贡献施加了非负限制，并考虑了原始数据的不确定性，对数据偏差进行了校正，使结果更具有科学的解释。PMF使用最小二乘方法，得到的污染源不需要转换就可以直接与原始数据矩阵作比较，PMF方法能够同时确定污染源和贡献，而不需要事先知道源成分谱。适用于水文地质条件简单，观测数据量较大，污染源和污染种类相对较少的地区，运用简便，可应用分析软件进行计算。3.2.4.5 NMF 源解析NMF在实现上较PMF算法简单易行，非负矩阵分解根据目的的不同大致可以分为两种：一是在保证数据某些性质的基础上，将高维空间的样本点映射到某个低维空间上，除去一些不重要的细节，获得原数据的本质信息；二是在从复杂混乱的系统中得到混合前的独立信息的种类和强度。因此，基于非负矩阵分解过程应用领域的不同，分解过程所受的约束和需要保留的性质都不相同。本书尝试性地将NMF算法应用于水质影响因素的分离计算中（表3.2）。表3.2 RMF矩阵分解权值表依照非负矩阵分解理论的数学模型，寻找到一个分解过程V≈WH，使WH和V无限逼近，即尽可能缩小二者的误差。在确保逼近的效果，定义一个相应的衡量标准，这个衡量标准就叫作目标函数。目标函数一般采用欧氏距离和散度偏差来表示。在迭代过程中，采用不同的方法对矩阵W和H进行初始化，得到的结果也会不同，算法的性能主要取决于如何对矩阵W和H进行初始化。传统的非负矩阵算法在对矩阵W和H赋初值时采用随机方法，这样做虽然简单并且容易实现，但实验的可重复性以及算法的收敛速度是无法用随机初始化的方法来控制的，所以这种方法并不理想。许多学者提出改进W和H的初始化方法，并发展出专用性比较强的形式众多的矩阵分解算法，主要有以下几种：局部非负矩阵分解（Local Non-negative Matrix Factorization，LNMF）、加权非负矩阵分解（Weighted Non-negative Matrix Factorization，WNMF）、Fisher非负矩阵分解（Fisher Non-negative Matrix Factorization，FNMF）、稀疏非负矩阵分解（Sparse Non-negative Matrix Factorization，SNMF）、受限非负矩阵分解（Constrained Non-negative Matrix Factorization，CNMF）、非平滑非负矩阵分解（Non-smooth Non-negative Matrix Factorization，NSNMF）、稀疏受限非负矩阵分解（Nonnegative Matrix Factorization with Sparseness Constraints，NMF-SC）等理论方法，这些方法针对某一具体应用领域对NMF算法进行了改进。本书尝试应用MATLAB工具箱中NNMF程序与改进的稀疏非负矩阵分解（SNMF）对研究区11项指标（同PMF数据）进行分解，得到各元素在综合成分中的得分H，初始W0，H0采用随机法取初值。r为分解的基向量个数，合适的r取值主要根据试算法确定，改变r值观察误差值变化情况，本书利用SMNF算法计算时，r分别取2，3，4，采用均方误差对迭代结果效果进行评价，结果显示当r取2，4时误差值为0.034，取3时误差值为0.016，因此r＝3是较合理的基向量个数。采用NNMF算法进行计算时，利用MATLAB工具箱提供的两种计算法分别进行计算，乘性法则（Multiplicative Update Algorithm）计算结果误差项比最小二乘法（Alternating Least-squares Algorithm）计算误差值小且稳定，但总体NNMF计算误差较大，改变初始W0，H0取值和增加迭代次数误差均未明显减小，调整r取值，随着r值的增大误差逐渐减小。对比SNMF和NNMF算法所得权值结果，两种方法所得权值趋势一致，但得分值有所不同，由于SNMF算法对矩阵进行了稀疏性约束，计算结果中较小的权值更趋近于0，两次结果中在三个基向量上总体权值较大的元素项为T-Hard、 、Mg2+、Ca2+、 ，从盲源分离的角度来看该几种元素对地下水具有较大的影响，但从地下水水质影响因素来看，该方法对数据的分析偏重于突出局部数据的特征，在各因素相关性较大但含量不高的情况下，容易忽略了关键的影响因素。从权值得分来看，SNMF法解析的第一个基向量上的元素包括EC、T-Hard、NH4—N、 、 、TDS；第二基向量主要有Na+、Mg2+、Cl-；第三个基向量 、Ca2+，从结果可以看出该方法进行矩阵分解并未得到可合理解释的源项结果，方法有待进一步研究及验证。

定义:若由A经过一系列初等变换可得到矩阵B ，则称A与B等价. 若A与B等价,则B与A等价. 若A与B等价,B与C等价,则A与C等价. A与B等价<==秩(A)=秩(B) A与B等价<==A与B有相等的等价标准形 A与B等价<==存在可逆矩阵P,Q，使得PAQ＝B

矩阵提出系数：矩阵是整个矩阵上所有的数一起提取，比如A要提个2出来，A的每一项都要除2行列式是一行或一列提取的，|A|提个3出来，只需任取一列或一行，除3，即可。 1、在线性代数中，对称矩阵是一个方形矩阵，其转置矩阵和自身相等 。 2、矩阵分解是将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积 ，矩阵的分解法一般有三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解等。 假设M是一个m×n阶矩阵，其中的元素全部属于域K，也就是实数域或复数域。如此则存在一个分解使得 其中U是m×m阶酉矩阵；Σ是m×n阶实数对角矩阵；而V*，即V的共轭转置，是n×n阶酉矩阵。这样的分解就称作M的奇异值分解 。 Σ对角线上的元素Σi,i即为M的奇异值。常见的做法是将奇异值由大而小排列。如此Σ便能由M唯一确定了。 线性代数中行列联系： 行列式是一个值存在各种变化，和性质，并且在变化的过程中，值可以不发生改变。 矩阵是一个数表，但是也存在乘法，只不过他的乘法是比较诡异的，就是第一个矩阵的第一 总结：简单提一下你和答案所用待定系数法的区别，你通过直接设P把A相似成B，这样的好处在于容易想到，而且一步到位，缺点在于难以计算；答案通过先求P_1，P_2分别把A，B相似成同一个对角矩阵，最后再求P_1P_2^{-1}，这样的好处在于每一步计算都比较简单，缺点在于过程步数变多。

(A+B)²＝(A+B)(A+B)=A²+AB+BA+B²＝A²+2AB+B²。

阿萨德点点滴滴点点滴滴

A＝sE＋（A－sE），其中s大于A的最大特征值的正数。

性质总结如下：1、对于秩为1的n阶矩阵，零是其n重或n-1重特征值，如果是n-1重，则非零特征值是矩阵的主对角线元素之和。2、另外还看到，秩为1的矩阵可以分解为一个非零列向量与另一个非零列向量的转置的乘积，这两个向量的内积即是非零特征值；秩为1的矩阵对应的齐次线性方程组的基础解系含n-1个解向量。秩1矩阵形如以下形式：一、基本性质1、2、3的秩，则存在常数，使得，此时是秩1矩阵4，则存在。二、特征值1的特征值为0（n-1重），(1重)。2的特征值为0（n重）。正定，是n维的非零实列向量，特征值为0（n-1重），(1重)。三、对角化的最小多项式。当可对角化；当不可对角化，所以存在可逆矩阵，使得特别的实对称阵，则一定可对角化存在可逆矩阵。

那当然是正确的矩阵A就是m*n的即m行n列那么经过拆分之后就可以得到n个列向量，或者m个行向量

奇异值分解和谱分解。所谓矩阵的分解，就是将一个矩阵写成结构比较简单的或性质比较熟悉的另一些矩阵的乘积。矩阵的分解方法有很多种，包括三角分解、QR（正交三角）分解、最大秩分解、奇异值分解和谱分解，所有这些分解在数值代数和最优化问题的解法中都扮演着十分重要的角色。

怎么不能是 (A-2I)(A-I) 完全可以! 在求 B^(-1) 时,可以写成 (A-I)^(-1)*(A-2I)^(-1) ,也可以写成 (A-2I)^(-1)*(A-I)^(-1) , 结果都等于 （0,1/2 ；-1,-1）.

i=a(1:2,1:2)j=a(1:2,3:4)m=a(3:4,1:2)n=a(3:4,3:4)就是不知道有没有拆分函数

矩阵分解 (decomposition, factorization)是多半将矩阵拆解为数个三角形矩阵(triangular matrix)。 依使用目的的不同 ，可分为三种矩阵分解法：1)三角分解法 (Triangular Factorization)，2)QR 分解法 (QR Factorization)，3)奇异值分 解法 (Singular Value Decompostion)。(1) 三角分解法三角分解法是将原正方 (square) 矩阵分解成一个上三角形矩阵 或是排列(permuted) 的上三角形矩阵 和一个 下三角形矩阵，这样的分解法又称为LU分解法。它的用途主要在简化一个大矩阵的行列式值的计算过程，求 反矩阵，和求解联立方程组。不过要注意这种分解法所得到的上下三角形矩阵并非唯一，还可找到数个不同 的一对上下三角形矩阵，此两三角形矩阵相乘也会得到原矩阵。我们举以下二个矩阵为例：利用三角分解法可将A和B二矩阵分别拆解为上下三角形矩阵注意B分解的矩阵得到的第一个矩阵[LB]是排列的下三角形矩阵，如果第二、三列互换，则此变成完全的下 三角形矩阵。以MATLAB函数计算上述的LU分解法，其语法为[L,U]=lu(A)，其中L代表下三角形矩阵U代表上三角形矩阵。 我们来看一个例子。>> A = [1 2 -1, -2 -5 3; -1 -3 0]; B=[1 3 2; -2 -6 1; 2 5 7];>> [L1,U1] = lu(A); [L2,U2] = lu(B);>> L1; U1L1 = % 注意这个矩阵L1和之前的[LA]不相同-0.5 1 01 0 00.5 1 1U1 = % 注意这个矩阵U1和之前的[UA]不相同-2 -5 30 -0.5 0.50 0 -2>> L2; U2L2 = % 注意这个矩阵L2和之前的[LB]不相同-0.5 0 11 0 0-1 1 0U2 = % 注意这个矩阵U2和之前的[UB]不相同-2 -6 10 -1 80 0 2.5(2) QR分解法QR分解法是将矩阵分解成一个正规正交矩阵与上三角形矩阵。正规正交矩阵Q满足条件，所以称为QR分解法与此正规正交矩阵的通用符号Q有关。MATLAB以qr函数来执行QR分解法， 其语法为[Q,R]=qr(A)，其中Q代表正规正交矩阵，而R代表上三角形矩 阵。此外，原矩阵A不必为正方矩阵；如果矩阵A大小为，则矩阵Q大小为，矩阵R大小为。(3) 奇异值分解法奇异值分解 (sigular value decomposition,SVD) 是另一种正交矩阵分解法；SVD是最可靠的分解法，但是它比QR 分解法要花上近十倍的计算时间。[U,S,V]=svd(A)，其中U和V代表二个相互正交矩阵，而S代表一对角矩阵。 和QR分解法相同者， 原矩阵A不必为正方矩阵。使用SVD分解法的用途是解最小平方误差法和数据压缩。