矩阵

注意B是一个满秩的矩阵那么别的矩阵乘矩阵B对其秩就不会有改变这里r(a）=2,所以r（AB）=2

一定，一个n阶矩阵一定有n个特征值（包括重根），也可能是复根。一个n阶实对称矩阵一定有n个实特征值（包括重根）。每一个特征值至少有一个特征向量（不止一个）。不同特征值对应特征向量线性无关。矩阵分解是将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积 ，矩阵的分解法一般有三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解等。扩展资料：在线性代数中，相似矩阵是指存在相似关系的矩阵。相似关系是两个矩阵之间的一种等价关系。两个n×n矩阵A与B为相似矩阵当且仅当存在一个n×n的可逆矩阵P。若是的属于的特征向量，则也是对应于的特征向量，因而特征向量不能由特征值唯一确定。反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值。参考资料来源：百度百科--矩阵参考资料来源：百度百科--特征值

我说个技巧性的方法吧：求三阶行列式的特征值的问题最后会变成求一元三次方程的解。对于一般的一元三次方程组通常不易求解，但考试的时候一般都会给比较特殊的一般题目给出的特征值不会是几分之几倍根号几，一般都是整数通过观察可以得出其中一个解，比如x=1，那么用原多项式除以(x-1)就得到一个二次多项式，再求剩下两个解就简单了

矩阵的秩的定义：是其行向量或列向量的极大无关组中包含向量的个数。能这么定义的根本原因是：矩阵的行秩和列秩相等（证明可利用n+1个n维向量必线性相关）矩阵的秩的几何意义如下：在n维线性空间V中定义线性变换，可以证明：在一组给定的基下，任一个线性变换都可以与一个n阶矩阵一一对应；而且保持线性；换言之，所有线性变换组成的空间End<F>(V)与所有矩阵组成的空间M(n)<F>是同构的。扩展资料：A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩，记作rA，或rankA或R(A)。特别规定零矩阵的秩为零。显然rA≤min(m,n) 易得：若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r<min(m,n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n，通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵, det(A)≠0；不满秩矩阵就是奇异矩阵，det(A)=0。由行列式的性质知，矩阵A的转置AT的秩与A的秩是一样的。奇异值分解非常有用，对于矩阵A(p*q)，存在U(p*p)，V(q*q)，B(p*q)（由对角阵与增广行或列组成），满足A = U*B*VU和V中分别是A的奇异向量，而B是A的奇异值。AA"的特征向量组成U，特征值组成B"B，A"A的特征向量组成V，特征值（与AA"相同）组成BB"。因此，奇异值分解和特征值问题紧密联系。如果A是复矩阵，B中的奇异值仍然是实数。SVD提供了一些关于A的信息，例如非零奇异值的数目（B的阶数）和A的阶数相同，一旦阶数确定，那么U的前k列构成了A的列向量空间的正交基。参考资料来源：百度百科——矩阵的秩

矩阵特征值的个数等于其阶数，因此有4个特征值又有P-1AP=∧，A与∧具有相同的秩，其中∧=diag（λ1，λ2，λ3，λ4）R（A）=1，所以R（∧）=1，可以判断矩阵A有3个为零的重根∑λi=∑aii，a11+a22+a33+a44=30所以得到λ1=30

function l = rqrtz(A,M)%瑞利商位移的QR算法求矩阵全部特征值%已知矩阵:A%迭代步数:M%求得的矩阵特征值:lA = hess(A);for(i=1:M) N = size(A); n = N(1,1); u = A(n,n); [q,r]=qr(A-u*eye(n,n)); A = r*q+u*eye(n,n); l = diag(A);end4.4 QR算 法 QR算法也是一种迭代算法,是目前计算任意实的非奇异矩阵全部特征值问题的最有效的方法之一.该方法的基础是构造矩阵序列 ,并对它进行QR分解. 由线性代数知识知道,若A为非奇异方阵,则A可以分解为正交矩阵Q与上三角形矩阵R的乘积,即A=QR,而且当R的对角线元素符号取定时,分解式是唯一的. 若A为奇异方阵,则零为A的特征值.任取一数p不是A的特征值,则A-pI为非奇异方阵.只要求出A-pI的特征值,就很容易求出A的特征值,所以假设A为非奇异方阵,并不妨碍讨论的一般性. 设A为非奇异方阵,令 ,对 进行QR分解,即把 分解为正交矩阵 与上三角形矩阵 的乘积 = 做矩阵 继续对 进行QR分解 并定义 一般地,递推公式为 QR算法就是利用矩阵的QR分解,按上述递推公式构造矩阵序列 .只要A为非奇异方阵,则由QR算法就完全确定 .这个矩阵序列 具有下列性质. 性质1 所有 都相似,它们具有相同的特征值. 证明 因为 若令 ,则 为正交阵,且有 因此 与A相似,它们具有相同的特征值. 性质2 的QR分解式为 其中 证明 用归纳法.显然当k=1时,有 假设 有分解式 于是 因为 ,所以 因为 都是正交阵,所以 也是正交阵,同样 也是上三角形阵,从而 的QR分解式为 由前面的讨论知 .这说明QR算法的收敛性有正交矩阵序列 的性质决定. 定理1 如果 收敛于非奇异矩阵 为上三角形矩阵,则 存在并且是上三角形矩阵. 证明 因为 收敛,故下面极限存在 由于 为上三角形矩阵,所以 为上三角形矩阵.又因为 所以 存在,并且是上三角形矩阵. 定理2 (QR算法的收敛性)设A为n 阶实矩阵,且1) A的特征值满足: 2) ,其中 且设 有三角分解式 =LU(L为单位下三角阵,U为上三角阵),则由QR算法得到的矩阵序列 本质上收敛于上三角形矩阵.即 满足 当 当 的极限不一定存在 证明 因为 ,矩阵 决定 的收敛性.又 我们利用 求 ,然后讨论 的收敛性. 由定理条件 得 令 其中 的(i,j)元素 为 于是 由假设,当i>j时, 故 设方阵X的QR分解式为 由 由 知,对充分大的 非奇异,它应有唯一的QR分解式 ,并且 于是 但上三角阵 的对角线元素不一定大于零.为此,引入对角矩阵 以便保证( )的对角线元素都是正数,从而得到 的QR分解式 由 的QR分解式的唯一性得到 从而 由于 ,所以 从而 其中 于是 因为 为上三角阵, 为对角阵,且元素为1或-1,所以 当 当 的极限不一定存在 例 用QR算法求矩阵 的特征值.A的特征值为-1,4,1+2i,1-2i. 解 令 ,用施密特正交化过程将 分解为 将 与 逆序相乘,求出 用 代替A重复上面过程,计算11次得 由 不难看出,矩阵A的一个特征值是4,另一个特征值是-1,其他两个特征值是方程 的根.求得为

矩阵的迹，就是矩阵主对角线上元素之和，英文叫Trace(迹)。迹的最重要性质:一个矩阵的迹，和该矩阵的特征值之和，相等。

mode 中选6 matrix先定义你要的一个矩阵（最多是3*3）按Ac结束shift+4，选1定义另一个矩阵。若要该数据则选2.除了要按shift+4+3/4/5选择矩阵，与普通乘法一样输入即可。

构造一个对角矩阵算算。或者用分解因式法证明：|2E-A|=0；|4E-A^2|=0；|4/3E-(1/3A^(2))|=0；|3/4E-（1/3A^2）^(-1)）|=0,

楼主的问题不是很清楚，请详细说下！！！

A的列线性相关说明A有零特征值, 没什么奇怪的

相似的前提是 方阵

可以没有实特征值,但一定有复特征值. 原因是矩阵的特征多项式在复数域内一定能分解成一次因式.在实数域内就不一定了～

n阶矩阵A可逆的充要条件：1、|A|不等于0。2、r（A）=n。3、A的列（行）向量组线性无关。4、A的特征值中没有0。5、A可以分解为若干初等矩阵的乘积。一、可逆矩阵的定义：矩阵A为n阶方阵，若存在n阶矩阵B，使得矩阵A、B的乘积为单位阵，则称A为可逆阵，B为A的逆矩阵。若方阵的逆阵存在，则称为可逆矩阵或非奇异矩阵，且其逆矩阵唯一。二、逆矩阵的性质：1、可逆矩阵一定是方阵。2、如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。3、A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作（A-1）-1=A。4、可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆，并且（AT）-1=（A-1）T (转置的逆等于逆的转置）5、若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即AB=O（或BA=O），则B=O，AB=AC（或BA=CA），则B=C。6、两个可逆矩阵的乘积依然可逆。7、矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。三、矩阵代数应用：矩阵代数提供了对矩阵方程进行运算的工具，许多工具与普通代数运算有相似的地方，矩阵代数中逆矩阵对应的就是代数运算中的除法。它本身就是一种计算工具。在求解矩阵方程、非奇异矩阵的伴随矩阵、对角化等都会用到逆矩阵的概念。出了具体的线性代数课本，逆矩阵在工程方面的应用其实有很多。如弹性矩阵的逆矩阵称为刚性矩阵。

A^2=A又Ax=YxA^2x=AYx=YAx=YAx=Y^2xA(Y^2-Y)x=0故特征值是0和1这里面Y表示什么自己应该知道吧可逆：主要证明|A+E|值不为零

这个问题首先要知道什么是正定阵,以及实对称矩阵的性质. 第一正定阵定义:A正定,就是任意非零列向量x,x"Ax>0[这里注意x"Ax按照矩阵乘法后是一个数,既不是矩阵也不是向量] 第二谱分解定理:实对称矩阵A,存在正交矩阵P,使得 P"AP为对角形,对角线上是A的n个特征值,即P"AP=diag. 我们先来证明充分性 A实对称,则存在正交矩阵P"AP=diag,对角线上是n个特征值. 当对角线上特征值全是正数时:对任意的非零向量x,y=Px(此时x和y一一对应).则y"Ay=x"P"APx=x"diagx 此时x"diagx按照矩阵乘法展开,可见是正数.这就说明了这样一个结论:任意非零向量y,令x=P逆y,则y"Ay>0,满足正定定义. 反之,当A正定时,任意的向量尤其列向量x=(1,0...0)",令y=Px,那么y"Ay=x"P"APx=x"diagx=k1(对角阵的第一个元素,也就是A的第一个特征值).按照正定定义y"Ay>0,所以k1>0. 一下分别取x=(0,1,...0)"直到x=(0,.,0,1),就会有对角阵上(2,2)位(3,3)位直到(n,n)位的元素是正数,因此n个特征值都大于0. 本题的关键是要会运用正定性的定义(非零向量x的任意性,二次型是个数),谱分解定理(P是由A唯一决定的,对角阵对角线上是n个特征值)

把A分解成A=CC^T,其中C可逆 那么AB=CC^TB相似于C^TBC,后者的特征值都是实数

矩阵的秩和特征值的关系：如果矩阵可以对角化，那么非0特征值的个数就等于矩阵的秩；如果矩阵不可以对角化，这个结论就不一定成立。从线性空间的角度看，在一个定义了内积的线性空间里，对一个N阶对称方阵进行特征分解，就是产生了该空间的N个标准正交基，然后把矩阵投影到这N个基上。N个特征向量就是N个标准正交基，而特征值的模则代表矩阵在每个基上的投影长度。特征值越大，说明矩阵在对应的特征向量上的方差越大，功率越大，信息量越多。矩阵特征值的定义：设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式Ax=λx成立，那么这样的数λ称为矩阵A特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。式Ax=λx也可写成（A-λE)X=0。这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式｜A-λE|=0。

矩阵特征值的求法是写出特征方程lλE-Al=0 左边解出含有λ的特征多项式比如说是含有λ的2次多项式，我们学过 ，是可能没有实数解的，(Δ<0)这个时候 我们说这个矩阵没有【实特征值】但是如果考虑比如Δ<0时 有虚数的解，，也就是有虚数的特征值的 这样说来就必有特征值啦

特征值的个数和矩阵的秩特征值的个数和矩阵的秩为什么rA=1三个特征值为0？而且为什么特征值有4个？

矩阵特征值的求法是写出特征方程lλE-Al=0左边解出含有λ的特征多项式比如说是含有λ的2次多项式，我们学过，是可能没有实数解的，(Δ<0)这个时候我们说这个矩阵没有【实特征值】但是如果考虑比如Δ<0时有虚数的解，，也就是有虚数的特征值的这样说来就必有特征值啦

设矩阵A的特征值为λ那么|A-λE|=-λ 0 0 10 -λ 1 00 1 -λ 01 0 0 -λ r1+r4 *λ ，r2+r3 *λ=0 0 0 1-λ^20 0 1-λ^2 00 1 -λ 01 0 0 -λ解得1-λ^2=0即λ=1或 -1即矩阵有2重特征值特征值1和-1λ=1时，A-E=-1 0 0 10 -1 1 00 1 -1 01 0 0 -1 r1+r4,r2+r3,交换行次序~1 0 0 -10 1 -1 00 0 0 00 0 0 0得到特征向量(0,1,1,0)^T和(1,0,0,1)^Tλ=-1时，A+E=1 0 0 10 1 1 00 1 1 01 0 0 1 r4-r1,r3-r2~1 0 0 10 1 1 00 0 0 00 0 0 0得到特征向量(0,1,-1,0)^T和(1,0,0,-1)^T

主对角线是元素的和，线性代数中有定理：相似矩阵迹相等，而矩阵相似于它的Jordan标准型之后，迹就成为特征值的和，而从维达定理，一个方程根的和就是它的第二项系数的反号，用于特征多项式，就是你需要的结果。奇异值分解非常有用，对于矩阵A(p*q)，存在U(p*p)，V(q*q)，B(p*q)（由对角阵与增广行或列组成），满足A = U*B*V。矩阵的分解矩阵分解是将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积 ，矩阵的分解法一般有三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解等。谱分解（Spectral decomposition）是将矩阵分解为由其特征值和特征向量表示的矩阵之积的方法。需要注意只有对可对角化矩阵才可以施以特征分解。假设M是一个m×n阶矩阵，其中的元素全部属于域K，也就是实数域或复数域。

求特征向量用matlab中eig命令第三个问题应该是阶段误差的原因吧！

设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。2求矩阵特征值的方法Ax=mx，等价于求m，使得(mE-A)x=0，其中E是单位矩阵，0为零矩阵。|mE-A|=0，求得的m值即为A的特征值。|mE-A| 是一个n次多项式，它的全部根就是n阶方阵A的全部特征值，这些根有可能相重复，也有可能是复数。如果n阶矩阵A的全部特征值为m1 m2 ... mn，则|A|=m1*m2*...*mn同时矩阵A的迹是特征值之和：tr（A）=m1+m2+m3+…+mn[1]如果n阶矩阵A满足矩阵多项式方程g(A)=0, 则矩阵A的特征值m一定满足条件g(m)=0;特征值m可以通过解方程g(m)=0求得。如果您觉得正确或者采纳的话，麻烦给我好评哦，谢谢。

表示等价的信道的信道各项增益因子.当前信道通过正交变换之后可以表示为等价信道(无干扰)的形式.但是接收方和发送方都要经过矩阵处理.

设k是矩阵a的特征值，x是对应k的矩阵a的非零的特征向量。则，ax=kx,(a-ki)x=0,若det(a-ki)不等于0.则，方程(a-ki)x=0只有唯一的解x=0.与x非零矛盾。因此，det(a-ki)=0.

奇异矩阵是不可逆的矩阵。众所周知，矩阵描述线性变换。若这个变换可逆，就是正常的（regular）；反之就是“奇怪（singular）”的。如：（顺时针转90°），它的逆就是（逆时针转90°）。又如：将一个多维空间，压缩到了一个点（即0矩阵），则这个变换是不可逆的。因为你无法将一个点，逆向扩张为一个空间。如果可逆，请问这个变换后的原多维空间，应该是一维的，还是二维三维的呢？甚至还可能是三维空间中的二维平面？这种空间压缩，就是因为代表变换的基向量线性相关，或者说行列式（单位空间的比率）=0。为什么不可逆是奇怪的？可以这样理解：线性变换是由几个基向量来表示的。向量线性无关是常态，相关才是特殊的。比如二维空间里俩向量，显然不共线比共线更普遍。高维同理。线性无关意味着没降维，可逆。因此可逆是常态，不可逆才是“奇怪（singular）”的。还有一个角度，对于Ax=b，奇异意味着可能无解：线性变换是由几个基向量来表示的。例如二维空间，两个不共线的向量，可以组合出所有向量；但是一旦共线，就可能无解（singular）。

可以理解为奇异值是特征值的推广，对长方形或者正方形但不满秩的矩阵，我们总可以求其奇异值。对于一般方阵两者不一定有联系。对于对称方阵，二者相等。

[V, D]=eig(A)

缩放变换 是最基本的变换，可以改变向量的长度和方向。 错切 变换，在一个轴向上根据另一个轴上的值以一定比例移动，看图很容易明白。沿 轴和沿 轴上的错切矩阵分别如下： 沿 轴的错切也可以理解是沿 轴顺时针旋转 （与 轴的夹角）： 旋转变换 ，证明过程 略 ，逆时针旋转 的矩阵为： 可以看到旋转矩阵是 正交矩阵 ，并且有两对正交向量，一对是第一行和第二行向量；一对是第一列和第二列向量。每一行会被带给标准基向量（ ），标准基向量会被带给每一列。简单来说就是，对标准基向量进行一个 旋转变换，就会变成 的列向量，看下图的 点，变换后为 ，就是 的第二列（因为 相当于是 ，所以是第二列）；对 的每一行做 的旋转变换，结果就是标准基向量，看下面的 ，变换后为 。 反射变换 是一种使用负数的缩放变换，下面分别是关于 轴的反射变换矩阵，和关于 轴的反射变换矩阵： 有人会认为矩阵的左上角和右下角都为 时，也是一种反射变换（关于原点的反射），但实际上那只是 的旋转变换而已。 我们经常需要对一个图案进行多种变换，这些变换可以通过将他们的变换矩阵连乘进行 合并 ，比如需要先对 进行 变换得到 ，然后再对 进行 变换得到 ，那么有以下转换： 有时候我们也需要将一个组合的变换进行 分解 ，所有的 2D 矩阵都可以通过 奇异值分解（SVD） 成为旋转、缩放、旋转的形式。下图是把一个错切变换进行 SVD 的过程： 我们可以把 当做是一次旋转，把 当成是一次缩放，那么其实就是一个组合变换，请结合下面的文字看图： 我们可以发现对于 对称矩阵 来说，变换的表现就是沿着一对基向量进行非均匀缩放，这一对基向量依然是正交的，跟标准基向量没什么不同，只是整体方向不一样。而这一对基向量正是 对称矩阵 的特征向量。 看一个例子： 对于非对称矩阵，我们可以使用 奇异值分解（SVD） ，对此有疑问的可以看 这里 。他与特征值分解基本一样，不同的是左右旋转矩阵不再是同一个，而是分为两个，特征值分解的结果是 ，而奇异值分解 写成 ，这里的 依然是一个正交矩阵，列是 左奇异向量 ， 也是一个正交向量，列是 右奇异向量 ， S 依然是对角矩阵，对角线上是奇异值。 还有一种旋转的分解叫做 Paeth 分解 ，这是将旋转分解成 错切 的方式，最大的好处就是不会在图像中出现间隙，下面是分解公式： 顺着笛卡尔坐标系的 缩放 矩阵为： 如何将一个点绕着 3D 中任意轴进行旋转呢？假设该点为 ，旋转轴为 （这里的 是起点为原点的向量，所以不涉及平移），那么如果能构建一组以 为 轴的基向量，并把 转换到该空间，进行旋转，再转回来就可以了。 第一步 ：构建以 为 的一组正交基 首先我们将 进行归一化得到 ： 第二步 ：构建空间转换矩阵 假设我们有一组基向量， ，还有一个点 ，将 按行来摆好，写成 我们可以提前知道 在上述基向量中的坐标应该为 ，正是 的结果。下面是书上的证明过程，有兴趣的可以看一下，没兴趣就记着我们可以用任意的一组正交基，把 三个分量摆第一行，把 三个分量摆第二行，把 三个分量摆第三行，总而构建出转换到该空间下的转换矩阵。并且再次乘其转置，就可以再次变回来。 上面所说的变换都是方向或者点，还有一种特殊的向量叫做 法线 ，如果图形应用的变换矩阵我们称为 ，那么 经过 变换之后不再垂于表面，但切线 依然与表面相切。期望求出一个矩阵 ，使得 ，其中 。 以上所有的变换都是 线性变换 （原点不变，且直线变换后依然是直线）,而 平移 变换并不满足。我们把一个线性变换 + 一次平移的操作叫做 仿射变换 ，通过增加一个维度的方式来实现，叫做 齐次坐标 。 我们把一个 2D 中的点 写成 ，把 的矩阵写成： 变换中一个比较重要的类叫做 刚体 ，他们只有旋转和平移组成，没有拉伸或者缩放。 我们知道了矩阵的几何意义之后，可以通过几何意义来进行逆操作，比如 的逆就是 ；比如旋转矩阵的逆就是角度变成相反的符号；平移矩阵的逆就是相反的方向。如果我们有一系列的变换 ，那么逆操作就是 。 不过，有些矩阵在代数上也是很好求的，比如说对于缩放矩阵，他是对角矩阵；第二重要的是旋转矩阵，他是正交矩阵，逆就是它的转置。所以使得求旋转和缸体的逆操作都变得简单。当然我们也需要知道，求完逆之后，原矩阵最下面一行不要动，比如是 的话，那逆的最下面一行也是 。 有趣的是，我们也可以使用奇异值分解来求逆，我们知道可以将一个矩阵分解成旋转——缩放——旋转的方式： 通常我们会在场景中有一个全局坐标系（世界坐标系），图中的 ，图中有另外一个坐标系 ，还有一个点 。

矩阵的特征值分解是非常重要的数学工具。在matlab中一般使用eig()函数完成矩阵特征值和特征向量的提取，其用法如下 结果如下： 显然eig()就是一般意义上的计算矩阵的特征值和特征向量 E = eig(A) 返回方阵A的所有特征值，构成列向量E。 [V,D] = eig(A) 返回方阵A的特征值和特征向量，其中特征值排满对角阵D的对角元素，对应的特征向量排列为方阵V的每一列。 而eigs()也能求取矩阵的特征值和特征向量，不过其返回的方阵幅值最大的6个特征值和特征向量，用法和eig()类似。不过eigs()通过迭代的方式来求解特征值，所以其在加快运算速度的同时降低了准确度。另外，一般eigs()处理的大型稀疏矩阵。 [V,D] = eigs(A) 返回方阵A的前6个最大特征特征值和特征向量。 [V,D] = eigs(A,k) 返回前k个最大特征值和特征向量。 一般情况下，eig()和eigs()返回的特征值是从大到小排列，然而这并不是一定的。经过测试，两者的特征值排序都可能为乱序，所以，在对顺序有要求的情况下，需要通过sort()函数来自动排序。 如下 按特征值大小排序结果如下： John D"Errico设计了一个eigenshuffle.m函数能够得到排序后的特征值和特征向量。该方法排序方式为特征值大小降序排列。 速度测试： 结果： 显然eigenshuffle函数的速度比传统方法略低。 参考： https://cn.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/22885-eigenshuffle

3×3矩阵的特征值怎么求：不要想成是高阶方程求特征值基本上就是因式分解按第3列展开得到(2-λ)[(-1-λ)(3-λ)+4]=(2-λ)(λ^2-2λ+1)当然就是(2-λ)(1-λ)^2”矩阵的特征值是线性代数里面的一个重要内容，无论是期末考试还是考研都是一个重点。

特征值是线性代数中的一个重要概念。在数学、物理学、化学、计算机等领域有着广泛的应用。设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则m是A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。设A是向量空间的一个线性变换，如果空间中某一非零向量通过A变换后所奇异矩阵特征值得到的向量和X仅差一个常数因子，即AX=kX，则称k为A的特征值，X称为A的属于特征值k的特征向量或特征矢量(eigenvector)。如在求解薛定谔波动方程时，在波函数满足单值、有限、连续性和归一化条件下，势场中运动粒子的总能量(正)所必须取的特定值，这些值就是正的本征值。

我试了一下，eig([1 0 0;0 10 0;0 0 5])结果是 1， 10， 5。说明eig命令得到的特征值未排序。这样的话A的奇异值就是A"A的特征值的开方，可以用sqrt(eig(A"*A))得到对应状态量的奇异值，因为求特征值的操作eig是默认不排序的。

矩阵经过初等变换特征值当然可能会发生改变特别是每行列乘以除以常数的时候我们都记住基本性质A的特征值为λ那么变换之后的f(A)其特征值就是f(λ)这也是求特征值时的基本方法

粗略一点讲，Jacobi算法相对慢一些，但精度高一些；QR算法相对快一些，但精度低一些。

[证明] 充分性：已知A具有n个线性无关的特征向量X1，X2，……，则AXi=入iXi i=1,2,……,nA[X1 X2 ……Xn]=[入1X1 入2X2 ……入nXn]=[X1 X2 ……Xn]*X1，X2，Xn线性无关，故P=[X1 X2 Xn]为满秩矩阵，令V=*，则有AP=PVV=AP/P必要性：已知存在可逆方阵P，使AP/P=V=*将P写成列向量P=[P1 P2 Pn] Pn为n维列向量[AP1 AP2……APn]=[入1P1 入2P2……入nPn]可见，入i为A的特征值，Pi为A的特征向量，所以，A具有n个线性无关的特征向量。注：因为上面的过程是我自己手工打上去的，好多符号百度都打不出来，将就能看懂就好，其中*表示的是一个n阶对角矩阵，对角线上的矢量分别为入1，入2……入nn阶矩阵在复数范围内，一定有n个特征值（重特征值按重数计算个数），从这个意义上说，矩阵的特征值个数与矩阵的阶数是有关系的。n阶矩阵在实数范围内有多少个特征值就不一定了。但是有一个重要的结论需要知道：n阶实对称矩阵一定有n个实特征值（重特征值按重数计算个数）。

【知识点】若矩阵A的特征值为λ1，λ2，...，λn，那么|A|=λ1·λ2·...·λn【解答】|A|=1×2×...×n=n！设A的特征值为λ，对于的特征向量为α。则Aα=λα那么(A²-A)α=A²α-Aα=λ²α-λα=(λ²-λ)α所以A²-A的特征值为λ²-λ，对应的特征向量为αA²-A的特征值为0，2，6，...，n²-n【评注】对于A的多项式，其特征值为对应的特征多项式。线性代数包括行列式、矩阵、线性方程组、向量空间与线性变换、特征值和特征向量、矩阵的对角化，二次型及应用问题等内容。

1. "正交矩阵的特征值只能是1或者-1"这个是严重错误！随便给你个例子0 1 00 0 11 0 02. "是什么保证了它有足够的特征向量使得它一定可以特征值分解"本质上讲正交矩阵是正规矩阵，所有的正规矩阵都可以酉对角化（当然这个不是非常容易证明，先要酉上三角化，然后用正规性得到非对角元全为零）。如果你已经知道Hermite矩阵可以酉对角化的话还可以用Cayley变换建立酉阵和Hermite矩阵的联系，这样就可以把酉阵看作Hermite阵的矩阵函数，从而也可以酉对角化。

A的所有主子式都大于等于0，所以必然可以进行特征值分解。不存在你说的哪种情况。

|A-λE|= 2-λ 2 -2 2 5-λ -4 -2 -4 5-λ r3+r2 (消0的同时,还能提出公因子,这是最好的结果) 2-λ 2 -2 2 5-λ -4 0 1-λ 1-λ c2-c3 2-λ 4 -2 2 9-λ -4 0 0 1-λ = (1-λ)[(2-λ)(9-λ)-8] (按第3行展开,再用十字相乘法) = (1-λ)(λ^2-11λ+10) = (10-λ)(1-λ)^2. A的特征值为:λ1=10,λ2=λ3=1.

证明：根据题意：n/(n²+nπ) < 1/(n²+π) +1/(n²+2π)+.....+1/(n²+nπ) < n/(n²+π)因此：n²/(n²+nπ) < n[1/(n²+π) +1/(n²+2π)+.....+1/(n²+nπ)] < n²/(n²+π)又∵lim(n→∞) n²/(n²+nπ) = lim(n→∞) 1/[1+(π/n)] = 1lim(n→∞) n²/(n²+π)] = lim(n→∞) 1/[1+(π/n²)] = 1根据夹逼准则：原极限=1

特征值是线性代数中的一个重要概念。在数学、物理学、化学、计算机等领域有着广泛的应用。设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。————————摘自百度百科

想想特征向量的原始定义Ax= cx,你就恍然大悟了,看到了吗?cx是方阵A对向量x进行变换后的结果,但显然cx和x的方向相同),而且x是特征向量的话,ax也是特征向量(a是标 量且不为零),所以所谓的特征向量不是一个向量而是一个向量族, 另外,特征值只不过反映了特征向量在变换时的伸缩倍数而已

成分矩阵的结果解读：指成分得分系数矩阵，用来计算公共因子得分，两者综合得出权重。SPSS中的因子分析有三个矩阵：成份矩阵（未旋转）、旋转后的成份矩阵和成份得分矩阵，前两个就是我们俗称的因子载荷矩阵，只是一个旋转，一个不旋转而已。主成分分析中，没有旋转后的成份矩阵，因此只有成份矩阵和成份得分矩阵。在主成分分析中，计算主成分得分或因子得分时，需要使用的是第一个矩阵（未旋转的成份矩阵）的系数除以对应成份特征根的平方根作为指标的系数权重。若矩阵存在个线性无关特征向量，那么可以分解为 。这里是由个特征向量组成的方阵，是由个特征值组成的对角矩阵。若存在非零向量 ，它使得则称为特征值为特征向量。矩阵代表着对向量进行的线性变换，比如拉伸和旋转。从特征值和特征向量的定义来看，如果矩阵对某个向量只进行了拉伸那么这个向量就是特征向量，拉伸的程度就是特征值。成分矩阵的特征分解：当是一个实对称矩阵时，特征分解得到的特征向量正交，对特征向量标准化处理后成为正交矩阵，这时，也可以写成 。特征值分解只能用于方矩，而奇异值分解可以对形式的矩阵进行分解。若存在矩阵，通过奇异值分解可以表示为 。

代码如下：#include<stdio.h>int main() {int i, j;int max, row, colum;int a[3][4] = { { 1, 2, 3, 4 }, { 9, 8, 7, 6 }, { -10, 10, -5, 2 } };max = a[0][0];for (i = 0; i < 3; i++)for (j = 0; j < 4; j++)if (max < a[i][j]) {max = a[i][j];row = i;colum = j;}printf("max=%d row=%d colum=%d ", max, row, colum);return 0;}扩展资料矩阵的分解：1、LU分解(A = LU)U是高斯消元结果，可视为对A左乘P进行行变换，PA = U，有A = P-1U，则行变换矩阵的逆即为L。L对角线上为1。2、QR分解(A = QR)Q是A正交化的结果，是A列空间的标准正交基，因为Q是以第一列为初始方向向量，对其他列向量进行变换，故R的第一列只有第一个元素有值，则R是上三角矩阵。a1 = R11 * q1，R11是一个数。3、特征值分解(A = SS-1)S为特征向量组成的矩阵，是特征值组成的对角阵。前提条件：S可逆要求所有特征向量线性无关。若A为正定阵（光对称不行，因为奇异值是非负的），则S为正交阵，此时A = SST，正好可看作奇异值分解，正交阵乘非负特征值阵乘正交阵。

楼主的问题是自己写程序完成矩阵的QR分解，既然是迭代实现QR分解，就与矩阵论中说的计算特征值和特征向量的方法有些区别了。大体的步骤应该是首先将矩阵化成双对角矩阵，然后追赶计算特征值和特征向量，程序代码可以参考 徐士良编的 常用数值算...

单纯形法没有单位矩阵课采用人造基。在线性规划问题的单纯形法中，若标准化后找不到单位矩阵，可以采用人造基，给方程加入人工变量后，用大M法和两阶段法处理求解。

哈哈，楼上的回答笑死我了……还有，匈牙利算法的条件好像是要求最小值哦~

威#我# new206

从解的形式上看，指派问题是一种整数规划问题，但从算法思想看，把它归为运输问题的一种特殊形式更为合适。指派问题是运筹学中一个具有理论意义又很有实用价值的问题，其一般提法是：设有n个人，需要分派他们去做n件工作，由于每个人的专长不同，各人做任一种工作的效率可能不同，因而创造的价值也不同，应如何安排，才能使创造的总价值最大?

匈牙利算法的本质是利用增广路径来调整匹配，使得匹配数最大。在算法的执行过程中，我们对于每个点都会记录其相应的等价增量。本算法的核心思想是寻找增广路径，由于增广路径上的点交替属于匹配点和未匹配点，所以对相应的等价增量进行了修改，即对左部未匹配点的等价增量加上 d，对右部已匹配点的等价增量减去 d。由于每次修改后两部分等价增量的和不变，因此系数矩阵减去常数的最优解不会发生变化。

发布会日日日日日日日日日日日日日日日日

你graph没有初始化,用malloc申请一下空间应该就可以了ga = (graph *)malloc(sizeof(graph));

但是有向图就不一定了.因为无向图的邻接矩阵是对称的,则aij=aji=1,aij=1无向图的邻接矩阵一定是对称的,所以也就是多用了一些存储空间,则aji不一定等于1,点i 到 j 有边.因为如果一个点i到j有边、 有向图用邻接矩阵更加节省存储空间,但j到i不一定有边;所以都是对称的

　　二者的区别：　　邻接矩阵（AdjacencyMatrix）：是表示顶点之间相邻关系的矩阵。设G=(V,E)是一个图，其中V={v1,v2,…,vn}。G的邻接矩阵是一个具有下列性质的n阶方阵：　　①对无向图而言，邻接矩阵一定是对称的，而且主对角线一定为零（在此仅讨论无向简单图），副对角线不一定为0，有向图则不一定如此。　　②在无向图中，任一顶点i的度为第i列所有元素的和，在有向图中顶点i的出度为第i行所有元素的和，而入度为第i列所有元素的和。　　③用邻接矩阵法表示图共需要n^2个空间，由于无向图的邻接矩阵一定具有对称关系，所以扣除对角线为零外，仅需要存储上三角形或下三角形的数据即可，因此仅需要n（n-1）/2个空间。

是对称的，假设v1-v3有联系，v1-v3 和v3-v1在矩阵中是对称的，画出矩阵来一眼就看出来了

无向图的可达矩阵不一定是逆矩阵。根据查询相关公开资料得知可达矩阵的概念可以推广到无向图中，只要将无向图的每条边看成是具有相反方向的两条边即可，无向图的邻接矩阵是对称矩阵，其可达矩阵称为连通矩阵。

如果有对称元素 aij 和 aji 分别是1和0,那么一定是有向图(有一条有向边连接两点) 但如果所有的对应元素都相同,就无法判断是有向图还是无向图

错的（不一定要完全只要节点都满足双向即可）有向图的邻接矩阵有可能是对称矩阵，假设任意两个结点之间如果有连接就是双向连接，这种情况下邻接矩阵就是对称矩阵

先写出图的邻接矩阵a求出a^2,a^3,a^4,a^5（1）初级回路：a，a^2,a^3,a^4中主对角线上元素的和（2）a^4中第1行第2列的元素a^5中第1行第1列的元素（3）v1,v3,v4（4）a+a^2+a^3+a^4然后将所有非0元素改为1就是可达矩阵

是北理工的吗233333333

/*邻接矩阵的数据结构*/typedef struct{ char vexs[MaxSize]; //顶点数组 int arcs[MaxSize][MaxSize]; //邻接矩阵 int vexnum,arcnum; //顶点数、边弧数}AdjMatrix;实际做题的时候一般用二维数组或者vector就可以，但如果是课程中要写的细节一些。有不懂的可以参考网页链接，或者问我

我明白你的要求了，发数据给我，chenjiawei50到163.com

如图

你可以使用gplot命令：gplot(A, xy):    A表示邻接矩阵，xy表示每个点的位置如下定义一个函数 netplot，将每个点均匀地放置在单位圆上以画出邻接矩阵：function netplot(G)    n = size(G, 1);    [x y] = pol2cart((0:n-1)*2*pi/n, 1);    gplot(G, [x" y"], "-o");end调用如示：a = [0 1 1 0; 1 0 1 0; 1 0 0 1; 0 0 1 0];netplot(a);

二者的区别：邻接矩阵（Adjacency Matrix）：是表示顶点之间相邻关系的矩阵。设G=(V,E)是一个图，其中V={v1,v2,…,vn}。G的邻接矩阵是一个具有下列性质的n阶方阵：①对无向图而言，邻接矩阵一定是对称的，而且主对角线一定为零（在此仅讨论无向简单图），副对角线不一定为0，有向图则不一定如此。②在无向图中，任一顶点i的度为第i列所有元素的和，在有向图中顶点i的出度为第i行所有元素的和，而入度为第i列所有元素的和。③用邻接矩阵法表示图共需要n^2个空间，由于无向图的邻接矩阵一定具有对称关系，所以扣除对角线为零外，仅需要存储上三角形或下三角形的数据即可，因此仅需要n（n-1）/2个空间。

矩阵变逆矩阵是行变列列变行矩阵和邻接矩阵没关系邻接矩阵是有向无向图的矩阵表达方式

这是稀疏矩阵的表示，如果想回到一般矩阵的表示，用full函数就可以 例如将原来的结果用变量a保存起来 a=原来生成邻接矩阵的语句 b=full(a) 得到的b矩阵就是你要的形式

因为是无向图,所以每条边被存储了两次,因此邻接矩阵中,有2e个不为0的元素个数 由于n个顶点的邻接矩阵为n *n个元素的方阵 所以零元素个数为n^2 - 2e

#include <iostream> using namespace std; const int MAXVEX=4; const int INFINITY=5200; struct graph    //建立图的邻接矩阵，分别是顶点，邻接矩阵，顶点数，边数 {     int vertex[MAXVEX];     int arc[MAXVEX][MAXVEX];     int numver,numedgs; }MGraph; void CreateGraph(graph *p)  //建立图 {     cout<<"请输入图的顶点数与边数："<<endl;     cin>>p->numver>>p->numedgs;  /*输入顶点数，边数*/     int i=0;     for(int a=0;a<MAXVEX;a++)  /*初始化邻接矩阵，让矩阵先都为无穷大*/     {         for(int b=0;b<MAXVEX;b++)             p->arc[a][b]=INFINITY;     }     while(i<p->numver)        /*输入顶点*/     {         cout<<"请输入顶点"<<endl;         cin>>p->vertex[i];         i++;     }     i=1;     while(i<=p->numedgs)  /*将图的边放入邻接矩阵*/     {         cout<<"请输入该边所依附的邻接点："<<endl;         int a,b,w;         cin>>a>>b;         cout<<"请输入该边的权重"<<endl;         cin>>w;         p->arc[a-1][b-1]=w;         p->arc[b-1][a-1]=p->arc[a-1][b-1]; /*因为是无向图，所以邻接矩阵是对称矩阵*/         i++;     } } int main() {     graph *p=new graph;     CreateGraph(p);     for(int i=0;i<p->numver;i++)      /*循环，输出邻接矩阵*/     {         for(int j=0;j<p->numver;j++)         {             if(j+1==p->numver)                 cout<<p->arc[i][j]<<endl;             else                 cout<<p->arc[i][j]<<" ";         }     }     return 0; }

矩阵没有什么下标从0开始这种说法，只有数组元素下标默认从0开始，这里的起始下标只是逻辑上的约定的，只要你后面的运算都符合这个约定，那么你下标从几开始起始都没什么问题

这个矩阵接着就是表的话之类的东西就很厉害，你可以试着做一下，不要在光棍。

的确错了，首先：这是有向图，因为弧是有序偶(用尖括号)<1,2>........所以，画图时必须用箭头，如：①→②；第三说明一点，带权值的图也叫网，有无向网和有向网，有向图不带权值自己再画试试

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>typedef  int VertexType; typedef int Edgetype;#define MaxVertexNum 30typedef struct Graph { VertexType vertexs[MaxVertexNum]; Edgetype arcs[MaxVertexNum][MaxVertexNum]; int vextexNum ,edgeNum;}MGraph;void CreatGraph (MGraph *G){ int i,j,k; scanf("%d,%d",&(G->vextexNum),&(G->edgeNum));            //vertexNum 是顶点数    edgeNum是边数 for (i=0;i<G->vextexNum;i++)                              //输入顶点信息，建立顶点表  scanf("%c",&(G->vertexs [i]));                         for (i=0;i<G->vextexNum;i++) {   for(j=0;j<G->vextexNum;j++)   G->arcs[i][j]=0; }  for(k=0;k<G->edgeNum;k++)  {   scanf("%d,%d",&i,&j);   G->arcs[i][j]=1;                             //若加入G->arcs[j][i]=1;则为无向图      }}void PrintGraph(MGraph *G){ int i,j; for (i=0;i<G->vextexNum;i++) {  printf("%c",G->vertexs[i]); } for (i=0;i<G->vextexNum;i++) {  for(j=0;j<G->vextexNum;j++)   printf("%d",G->arcs[i][j]);  printf(" "); }}void  main(){ MGraph *G; G=(MGraph*)malloc(sizeof(MGraph));    CreatGraph (G); PrintGraph(G);}

原则上的确是n的平方，不过由于无向图的邻接矩阵是一个对称矩阵，只需要存储下三角或者上三角的元素，个数就是从1加到n，就是n（n+1）/ 2，不过题目问错了，这是压缩存储，是用一维数组存放，一般好像不叫矩阵其实更精确地说，上面的数字个数是普通对称矩阵的，这个邻接矩阵的对角线一定为0，所以，只需要存储1 加到n-1，也就是n(n-1)/2就可以了

设 a-z为1-25若 A、B合作 则 s[1][2]=1 s[2][1]=1;否则 二者都为0