矩阵

单位阵用E还是用I倒是无所谓，都看的懂的，我们就用E吧************************幂等矩阵么就是V^2=V移项 V^2-V=0 （注意这里的0是零矩阵，答题的时候应该是写粗体的“0”，表示是零矩阵矩阵）两边都减去2E就是 V^2-V-2E=-2E左边因式分解 (V+E)(V-2E)=-2E两边除以-2就是 (V+E)(E-1/2V)=E两个括号互为逆矩阵 (E+V)^-1=E-1/2V

AB+BA=0 若此式左乘A再右乘A就有ABA=0;若此式左乘A再右乘B就有AB+ABAB=0 综合两式有AB=0 同理BA=0

先证其特征值只能为0和1设k是他的特征值，a为其对应的特征向量A^2a=Aka=k^2a因为A^2=A,故A^2a=Aa=ka(k^2-k)a=0,因为a为非零向量故k=0或1再证，矩阵的秩等于其非零特征值的个数。因为A(A-E)=0故n=r(A-(A-E))<=r(A)+r(A-E)<=n故(A-E)x=0的解空间维数恰为r(A)，那么1的重数>=r(A)类似的Ax=0的解空间维数恰为r(A-E)，那么0的重数>=r(A-E)但1的重数加0的重数不大于n，夹逼得1的重数=r(A)命题成立。

取N阶对角阵，对角元全为0或1，则不管哪些是0哪些是1，一定得到幂等矩阵。所有和这种矩阵相似的矩阵也都是幂等矩阵，例如某一行全为1而其它行全为0的方阵；某一列全为1而其它列全为0的方阵；以不同幂等矩阵为对角块得到的准对角阵；等等事实上，由Jordan标准型易知所有幂等矩阵都相似于对角元全为0或1的对角阵

对分块矩阵A 00 A-E做初等变换即可自己动手算

你的问题是什么？按照定义的话若A为方阵，且A²=A，则A称为幂等矩阵显然其特征值只可能是0，1那么显然可逆的幂等矩阵只能为E

设A的特征值为t 有A^2X=t^2X=AX=tX 解得t=0或1，再证明A可对角化成diag(1 1..0 0..0)的形式 因为r(E)=n=r(E-A+A)≤r(E-A)+r(A)又因为(E-A)A=O 得r(E-A)+r(A)≤n 解得r(E-A)+r(A)=n特征值为1相应的特征向量基础解系维数为n-r(E-A)特征值为0相应的特征向量基础解系维数为n-r(-A)=n-r(A)故一切特征向量的极大线性无关组的向量数是2n-r(E-A)-r(A)=n因此可以对角化成上述对角阵有r个特征值为1就有A的秩为r 同时tr(A)等于特征值之和，也等于r*1=r

幂等矩阵的主要性质：1.幂等矩阵的特征值只可能是0，1；2.幂等矩阵可对角化；3.幂等矩阵的迹等于幂等矩阵的秩，即tr（A）=rank（A）；4.可逆的幂等矩阵为E；5.方阵零矩阵和单位矩阵都是幂等矩阵；6.幂等矩阵A满足：A（E-A)=（E-A）A=0；7.幂等矩阵A：Ax=x的充要条件是x∈R（A）；8.A的核N（A）等于（E-A）的列空间R（E-A）,且N（E-A）=R（A）。　考虑幂等矩阵运算后仍为幂等矩阵的要求，可以给出幂等矩阵的运算：1）设 A1，A2都是幂等矩阵，则(A1+A2) 为幂等矩阵的充分必要条件为：A1·A2 =A2·A1 = 0，且有：R(A1+A2) =R (A1) ⊕R (A2)；N(A1+A2) =N (A1)∩N(A2)；2）设 A1， A2都是幂等矩阵，则(A1-A2) 为幂等矩阵的充分必要条件为：A1·A2 =A2·A1=A2且有：R(A1-A2) =R(A1)∩N (A2 )；N (A1 - A2 ) =N (A1 )⊕R (A2 )；3）设 A1，A2都是幂等矩阵，若A1·A2 =A2·A1，则A1·A2 为幂等矩阵，且有：R (A1·A2 ) =R (A1 ) ∩R (A2 )；N (A1·A2 ) =N (A1 ) +N (A2 )。

如果有n阶矩阵A满足aij=aji（转置为其本身），则称A为对称矩阵。如果N阶矩阵A满足A^2=A,则称A是幂等矩阵对称幂等矩阵即同时满足上面两个条件的矩阵

设A是幂等矩阵,则 A^2 = A. 设λ是A的特征值,则 λ^2-λ 是A^2-A的特征值. 而A^2-A=0,零矩阵的特征值只有0 所以 λ^2-λ = 0. 所以 λ(λ-1) = 0. 所以λ=0或λ=1. 即A特征值是0或1. 即幂等矩阵的特征值是0或1.

由A^2=E可知A的特征值为x^2=1的根且A必然可对角化（特征多项式无重根），由相似多项式秩相等，可设A相似于B=diag｛Er，0｝（r（A）=r），从而tr（A）=tr（B）=r（相似矩阵迹相等）

幂等矩阵一定相似于对角矩阵。事实上，A^2=A得A^2-A=0其最小多项式为x^-x无重根，故一定可以对角化。而幂零矩阵则未必可对角化。如矩阵A=0 10 0 为幂零矩阵，但不可对角化。

等价命题1：若A是幂等矩阵，则与A相似的任意矩阵是幂等矩阵；等价命题2：若A是幂等矩阵，则A的AH,AT,A*，E-AH，E-AT都是幂等矩阵；等价命题3：若A是幂等矩阵，则对于任意可逆阵T,T^(-1)·A·T也为幂等矩阵；等价命题4：若A是幂等矩阵，A的k次幂仍是幂等矩阵（由于数学符号编辑问题，更多等价命题及其证明见扩展阅读1）由于幂等矩阵所具有的良好性质及其对向量空间的划分，幂等矩阵在可对角化矩阵的分解中具有重要的作用，同时也为空间的投影过程提供了一种工具。符号说明如下：AT为矩阵A的转置矩阵；AH矩阵A的共轭转置矩阵；A*为矩阵A的伴随矩阵；E为单位矩阵

幂等矩阵不一定为实对称矩阵,如a1=(1,1)^T,a2=(0,0)^T,A=(a1,a2).符合幂等矩阵定义,但A不是实对称矩阵.

幂等矩阵（idempotent matrix）定义：若A为方阵，且A^2=A，则A称为幂等矩阵。

多个A相乘，有方程式的

幂等矩阵 幂等矩阵（idempotent matrix）若A为方阵,且A^2＝A,则A称为幂等矩阵. 幂等矩阵的2个主要性质： 1.其特征值只可能是0,1. 2.可对角化. 如果要加个对称的条件,那么就满足A^T=A 对角的幂等矩阵矩阵就满足这两个条件.

条件是a^2-a=0，做一下带余除法，a^2+a-2a-2e=(a+e)(a-2e)=-2e，这样逆矩阵也显然了另一种方法是从a^2-a=0推出a的特征值只能是0或1，那么a+e的特征值非零，从而可逆，不过如果用这种方法求逆的话还需要验证a可对角化，相对麻烦些

把左矩阵和右矩阵合成一个,把左边化成单位矩阵,右边就是解.

首先，幂等矩阵不一定可逆。其次，如果一个幂等矩阵A可逆，那么由A^2=A可以推出A=I. 这就是说A就是单位阵，它的逆当然是幂等的了。

设n阶幂等A特征值为t,对应特征向量为x,秩R(A)=r Ax=tx A^2x=tAx=t^2x=tx t^2-t=0 t=1或0 若r=n A有n个不为零的特征值 t=1 矩阵的迹=所有特征值之和=n*1=n=r 若r

AB+BA=0 若此式左乘A再右乘A就有ABA=0;若此式左乘A再右乘B就有AB+ABAB=0综合两式有AB=0同理BA=0

（1）A是n阶实对称幂等矩阵，故A的特征值只能是0和1 故存在正交矩阵Q，使得(Q-1)AQ=diag（1,1，……，1,0，……，0）（2）设特征值1是r重，0是n-r重， 则矩阵A-2I有r重特征值1-2=-1，n-r重特征值0-2=-2所以det(A-2I)=(-1)^n*2^(n-r)

A2=A 可以x2-x=0看做A的一个零化多项式，再由无重根就可得到该矩阵可对角化

幂等矩阵的主要性质：1.幂等矩阵的特征值只可能是0，1；2.幂等矩阵可对角化；3.幂等矩阵的迹等于幂等矩阵的秩，即tr（A）=rank（A）；4.可逆的幂等矩阵为E；5.方阵零矩阵和单位矩阵都是幂等矩阵；6.幂等矩阵A满足：A（E-A)=（E-A）A=0；7.幂等矩阵A：Ax=x的充要条件是x∈R（A）；8.A的核N（A）等于（E-A）的列空间R（E-A）,且N（E-A）=R（A）。　考虑幂等矩阵运算后仍为幂等矩阵的要求，可以给出幂等矩阵的运算：1）设 A1，A2都是幂等矩阵，则(A1+A2) 为幂等矩阵的充分必要条件为：A1·A2 =A2·A1 = 0，且有：R(A1+A2) =R (A1) ⊕R (A2)；N(A1+A2) =N (A1)∩N(A2)；2）设 A1， A2都是幂等矩阵，则(A1-A2) 为幂等矩阵的充分必要条件为：A1·A2 =A2·A1=A2且有：R(A1-A2) =R(A1)∩N (A2 )；N (A1 - A2 ) =N (A1 )⊕R (A2 )；3）设 A1，A2都是幂等矩阵，若A1·A2 =A2·A1，则A1·A2 为幂等矩阵，且有：R (A1·A2 ) =R (A1 ) ∩R (A2 )；N (A1·A2 ) =N (A1 ) +N (A2 )。

设A是幂等矩阵, 则 A^2 = A.设λ是A的特征值, 则 λ^2-λ 是A^2-A的特征值.而A^2-A=0, 零矩阵的特征值只有0所以 λ^2-λ = 0.所以 λ(λ-1) = 0.所以λ=0或λ=1.即A特征值是0或1.即幂等矩阵的特征值是0或1.满意请采纳^_^

简单计算一下即可，答案如图所示

证明幂等矩阵可相似对角化：n级矩阵A可对角化＜=＞A的属于不同特征值的特征子空间维数之和为n。先求特征值，如果没有相重的特征值，一定可对角化；设A₁，A₂都是幂等矩阵，则（A₁+A₂）为幂等矩阵的充分必要条件为：A₁·A₂=A₂·A₁=0，且有：R（A₁+A₂）=R（A₁）⊕R（A₂）；N（A₁+A₂）=N（A₁）∩N（A₂）。性质幂等矩阵的主要性质：1、幂等矩阵的特征值只可能是0，1。2、幂等矩阵可对角化。3、幂等矩阵的迹等于幂等矩阵的秩，即tr(A)=rank(A)。4、可逆的幂等矩阵为E。5、方阵零矩阵和单位矩阵都是幂等矩阵。

稀疏矩阵压缩存储后，必会失去随机存取功能。稀疏矩阵在采用压缩存储后将会失去随机存储的功能。因为在这种矩阵中，非零元素的分布是没有规律的，为了压缩存储，就将每一个非零元素的值和它所在的行、列号做为一个结点存放在一起，这样的结点组成的线性表中叫三元组表，它已不是简单的向量，所以无法用下标直接存取矩阵中的元素。

程序如下：#include <stdio.h>#define  ROW 2#define  COL 3main(){           int a[ROW][COL], b[COL][ROW], c[ROW][ROW], i, j,k;     printf("Input 2*3 matrix a: ");    for (i=0; i<ROW ;i++)//1    {               for (j=0; j<COL; j++)//1        {                   scanf("%d", &a[i][j]);//1        }    }    printf("Input 3*2 matrix b: ");    for (i=0; i<COL; i++)//1    {               for (j=0; j<ROW; j++)//1        {                   scanf("%d",  &b[i][j]);//1        }    }    for (i=0; i<ROW; i++)//1    {               for (j=0; j<ROW; j++)//1        {             c[i][j] =   0 ;//1            for (k=0; k<COL; k++)//1            {                       c[i][j] = c[i][j]+a[i][k]*b[k][j] ;//2            }        }    }    printf("Results: ");    for (i=0; i<ROW; i++)//1    {               for (j=0; j<ROW; j++) //1        {                   printf("%6d", c[i][j]);//1        }        printf(" ") ;//1    }}扩展资料：函数式编程是种编程方式，它将电脑运算视为函数的计算。函数编程语言最重要的基础是λ演算（lambda calculus），而且λ演算的函数可以接受函数当作输入（参数）和输出（返回值）。和指令式编程相比，函数式编程强调函数的计算比指令的执行重要。和过程化编程相比，函数式编程里函数的计算可随时调用。函数式编程大量使用函数，减少了代码的重复，因此程序比较短，开发速度较快。

是。对称正定矩阵流形黎曼流形中的紧致极小子流形，我们可以从正定矩阵的定义、性质和定理等进行判断。在线性代数里，正定矩阵（positivedefinitematrix）有时会简称为正定阵。在线性代数中，正定矩阵的性质类似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式（复域中则对应埃尔米特正定双线性形式）。

典型的矩阵求逆方法有：利用定义求逆矩阵、初等变换法、伴随阵法、恒等变形法等。一般有2种方法。1、伴随矩阵法。A的逆矩阵=A的伴随矩阵/A的行列式。2、初等变换法。A和单位矩阵同时进行初等行（或列）变换，当A变成单位矩阵的时候，单位矩阵就变成了A的逆矩阵。第2种方法比较简单，而且变换过程还可以发现矩阵A是否可逆（即A的行列式是否等于0）。矩阵可逆的充要条件是系数行列式不等于零。矩阵求逆，即求矩阵的逆矩阵。矩阵是线性代数的主要内容，很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷。逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容，逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一。设A是数域上的一个n阶方阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩B，使得： AB=BA=E。 则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。其中，E为单位矩阵。定义法和恒等变形法利用定义求逆矩阵定义：设A、B都是n阶方阵，如果存在n阶方阵B使得AB=BA=E，则称A为可逆矩阵，而称B为A的逆矩阵。下面举例说明这种方法的应用。恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用于矩阵的理论推导上，就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用

初等行变换（左乘上变换矩阵）对应方程组恒等变形如变换矩阵T=2021系数矩阵为A的方程组为（1），（2）TA得到的系数矩阵对应新方程组2*（1）2*（1）+（2）

(A^{-1}+B^{-1})^{-1} = A(A+B)^{-1}B = B(A+B)^{-1}A两者是相等的

russianboy20xx ，你好： 实际上，你E放哪边都没问题。而且，用你的方法得到的那个结果，与C是等价的。因为（ABC）=（BCA）

是一回事，看你怎么理解

写出二次型矩阵为：{1，-1，-1}{-1，1，1}{-1，1，3} r2+r1，r3+r1，r3/2，交换r2r3，r1+r2。{1，-1，0}{0，0，1}{0，0，0}显然二次型的秩为2。二次型化简的进一步研究涉及二次型或行列式的特征方程的概念。特征方程的概念隐含地出现在欧拉的著作中，拉格朗日在其关于线性微分方程组的著作中首先明确地给出了这个概念。而三个变数的二次型的特征值的实性则是由阿歇特（j-r.p.hachette）、蒙日和泊松（s.d.poisson,1781~1840）建立的。扩展资料：向量组的秩：在一个m维线性空间E中，一个向量组的秩表示的是其生成的子空间的维度。考虑m× n矩阵，将A的秩定义为向量组F的秩。则可以看到如此定义的A的秩就是矩阵 A的线性无关纵列的极大数目，即 A的列空间的维度(列空间是由 A的纵列生成的 F的子空间)。因为列秩和行秩是相等的，我们也可以定义 A的秩为 A的行空间的维度。矩阵的秩性质：如果 B是秩 n的 n× k矩阵，则 AB有同 A一样的秩。如果 C是秩 m的 l× m矩阵，则 CA有同 A一样的秩。A的秩等于 r，当且仅当存在一个可逆 m× m矩阵 X和一个可逆的 n× n矩阵 Y使得 这里的 Ir指示 r× r单位矩阵。证明可以通过高斯消去法构造性地给出。矩阵的秩加上矩阵的零化度等于矩阵的纵列数（这就是秩-零化度定理）。参考资料来源：百度百科-秩

得知道变换前后的三个点才能算出仿射变换矩阵。除非C点和AB在同一条直线上，否则算不出来

你所给出的矩阵一级非零子式有入+1,入+2,入-1,入-2,这四个式的最大公因式是1,因此一阶子式的最大公因式是1.2、然后2级非零子式有(入+1)*(入+2),(入+1)*(入-1),(入+1)*(入-2),(入+2)*(入-1),(入+2)*(入-2),(入-1)*...

1.计算方法不同：通过跟踪源码，发现getPerspectiveTransform用的是SVD分解，findHomography看不出是用什么方法（没注释，一堆等式）。但两者计算结果是一样的。2.输入参数不同：getPerspectiveTransform只会拿前4个点去计算，findHomography则会拿一堆点(>=4)去计算(其是不断从一堆点中重复拿出4个点去计算出一个结果，再采用一些优化算法RANSAC/LMEDS去筛选出最优解)。

矩阵实际上是一种线性变换.矩阵分解相当于原来的线性变换可以由两次（或多次）线性变换来表示.例如A=[111α=(x234y123]z)则Aα=(x+y+z2x+3y+4zx+2y+3z)即矩阵实质上是一种线性变换算符.A=[11[10-123*012]12]这里以及下面为了表示方便,引入符号*表示矩阵乘法,遵循矩阵乘法规则.则Aα=[11[10-1(x23*012]*y12]z)=[11(x-z23*y+2z)12]=(x+y+z2x+3y+4zx+2y+3z)即矩阵分解实质上是将原来的线性变换等效为两次线性变换（或多次线性变换,如果分解后矩阵可以继续分解）

当x→0时,sinx~xtanx~xarcsinx~xarctanx~x1-cosx~(1/2)*（x^2）~secx-1（a^x）-1~x*lna (（a^x-1)/x~lna)（e^x）-1~xln(1+x)~x 由于tanx~x原式=lim(x-0)x/(x^2+2x)=lim1/(x+2)=1/2

不完全对。矩阵在图形变换中的应用不仅包括缩放和错切，还包括旋转、平移等多种变换操作。这些操作可以通过矩阵乘法来实现，并且常常被应用于计算机图形学、计算机动画、计算机视觉等领域。例如，平移可以表示为一个 3x3 的矩阵；旋转可以表示为一个 2x2 的旋转矩阵，再加上一个平移矩阵；缩放可以表示为一个针对每个坐标轴的放缩系数组成的对角矩阵。因此，矩阵在图形变换中的应用非常广泛，可以灵活地实现各种复杂的图像变换效果。

设法线为 N ，切线为 T ，经过变换后的分别为 N " 、 T " ，已知： T 到 T " 的变换矩阵为M，求 N 到 N " 的变换矩阵G 已知其变换矩阵，则： N " =G N ； T " =M T ； 因为法线与切线垂直则其点乘为0，有： N · T = 0（单位矩阵） 变换后法线仍与切线垂直： T " · N " =0 因此： (G N )·(M T )=0 写成矩阵表示： (GN) T (MT)=0 N T G T MT=0 已知N T T=0 (即向量表示下的 N · T = 0) 则G T MT = T G T M = I G=(M -1 ) T 因此法线变换矩阵为切线变换矩阵的逆矩阵的转置矩阵

用矩阵表示线性变换的一个主要动力就是可以很容易地进行组合变换以及逆变换。组合变换：组合可以通过矩阵乘法来完成。如果A与B是两个线性变换，那么对向量x先进行A变换，然后进行B变换的过程为： 换句话说，先A"后B变换的组合等同于两个矩阵乘积的变换。需要注意的是先A后B表示为BA而不是AB。逆变换：能够通过两个矩阵相乘将两个变换组合在一起这样的能力就使得可以通过逆矩阵进行变换的逆变换。A表示A的逆变换。变换矩阵并不都是可逆的，但通常都可以进行直观的解释。在特殊的情况下，几乎所有的变换都是可逆的。只要sx与sy都不为零，那么缩放变换也是可逆的。另外，正投影永远是不可逆的。仿射变换：为了表示仿射变换，需要使用齐次坐标，即用三向量 (x,y, 1) 表示二向量，对于高维来说也是如此。按照这种方法，就可以用矩阵乘法表示变换。规定：x" =x+tx;y" =y+ty。在矩阵中增加一列与一行，除右下角的元素为 1 外其它部分填充为 0，通过这种方法，所有的线性变换都可以转换为仿射变换。通过这种方法，使用与前面一样的矩阵乘积可以将各种变换无缝地集成到一起。当使用仿射变换时，其次坐标向量w从来不变，这样可以把它当作为 1。但是，透视投影中并不是这样。透视投影：三维计算机图形学中另外一种重要的变换是透视投影。与平行投影沿着平行线将物体投影到图像平面上不同，透视投影按照从投影中心这一点发出的直线将物体投影到图像平面。这就意味着距离投影中心越远投影越小，距离越近投影越大。最简单的透视投影将投影中心作为坐标原点，z= 1 作为图像平面，这样投影变换为x" =x/z;y" =y/z。这个乘法的计算结果是 (xc,yc,zc,wc) = (x,y,z,z)。在进行乘法计算之后，通常齐次元素wc并不为 1，所以为了映射回真实平面需要进行齐次除法，即每个元素都除以wc：更加复杂的透视投影可以是与旋转、缩放、平移、切变等组合在一起对图像进行变换。

不可以。平面中，由变换矩阵的变换实质上是“仿射变换”，“仿射变换”的最大特点就是平行直线仍然变换成平行直线。所以矩形无法变换成梯形。事实上三维空间中的仿射变换仍然满足“平直性”，因此即使是用三维的矩阵进行变换，也无法变换成梯形。关于仿射变换的各种具体性质，线性代数的书中有详细解释。

矩阵一级非零子式有入+1,入+2,入-1,入-2,这四个式的最大公因式是1,因此一阶子式的最大公因式是1.2、然后2级非零子式有(入+1)*(入+2),(入+1)*(入-1),(入+1)*(入-2),(入+2)*(入-1),(入+2)*(入-2),(入-1)*...

简单地说，通过矩阵，可以把平移，旋转，缩放都通过简单地乘以一个新的矩阵来完成。 行列式的本质是什么？ 理解矩阵乘法 图像旋转变换的推导 图像的缩放变换 为什么要引入齐次坐标 android matrix 最全方法详解与进阶（完整篇） 扩展阅读：图像处理

用三对点就可以算出来了.仿射变换模型如图：把三对点的坐标带入图中矩阵,6个方程6个未知数,即可解除a1,a2,a3,a4,b1,b2

用三对点就可以算出来了。仿射变换模型如图：把三对点的坐标带入图中矩阵，6个方程6个未知数，即可解除a1,a2,a3,a4,b1,b2仿射变换矩阵为：[a1  a2  0 a3  a4  0 b1  b2  1]

posted @ 2019-05-30 17:37  shine-lee 阅读(7203)  评论(7)  编辑   收藏 分类:  传统计算机视觉 目录 写在前面 仿射变换：平移、旋转、放缩、剪切、反射 变换矩阵形式 变换矩阵的理解与记忆 变换矩阵的参数估计 参考 博客： blog.shinelee.me  |  博客园  |  CSDN 写在前面 2D图像常见的坐标变换如下图所示：这篇文章不包含 透视变换 （projective/perspective transformation），而将重点放在 仿射变换 （affine transformation），将介绍仿射变换所包含的各种变换，以及变换矩阵该如何理解记忆。 仿射变换：平移、旋转、放缩、剪切、反射 仿射变换包括如下所有变换，以及这些变换任意次序次数的组合 ：平移 （translation）和 旋转 （rotation）顾名思义，两者的组合称之为 欧式变换 （Euclidean transformation）或 刚体变换 （rigid transformation）； 放缩 （scaling）可进一步分为 uniform scaling 和 non-uniform scaling ，前者每个坐标轴放缩系数相同（各向同性），后者不同；如果放缩系数为负，则会叠加上 反射 （reflection）——reflection可以看成是特殊的scaling； 刚体变换+uniform scaling 称之为， 相似变换 （similarity transformation），即平移+旋转+各向同性的放缩； 剪切变换 （shear mapping）将所有点沿某一指定方向成比例地平移，语言描述不如上面图示直观。 各种变换间的关系如下面的venn图所示：通过变换矩阵可以更清晰地看出这些变换间的关系和区别。 变换矩阵形式 没有平移或者平移量为0的所有仿射变换可以用如下变换矩阵描述： [x′y′]=[acbd][xy][x′y′]=[abcd][xy] 不同变换对应的a,b,c,da,b,c,d约束不同，排除了平移变换的所有仿射变换为 线性变换 （linear transformation），其涵盖的变换如上面的venn图所示，其特点是 原点位置不变 ， 多次线性变换的结果仍是线性变换 。 为了涵盖平移，引入 齐次坐标 ，在原有2维坐标的基础上，增广1个维度，如下所示： ⎡⎣⎢x′y′1⎤⎦⎥=⎡⎣⎢ad0be0cf1⎤⎦⎥⎡⎣⎢xy1⎤⎦⎥[x′y′1]=[abcdef001][xy1] 所以，仿射变换的变换矩阵统一用 ⎡⎣⎢ad0be0cf1⎤⎦⎥[abcdef001]来描述，不同基础变换的a,b,c,d,e,fa,b,c,d,e,f约束不同，如下所示：此外，旋转和平移相乘得到刚体变换的变换矩阵，如下，有3个自由度（θ,tx,tyθ,tx,ty），这里旋转方向为逆时针方向，因此与上图中的正负号不同， ⎡⎣⎢cos(θ)sin(θ)0−sin(θ)cos(θ)0txty1⎤⎦⎥⎡⎣⎢xy1⎤⎦⎥=⎡⎣⎢x′y′1⎤⎦⎥[cos⁡(θ)−sin⁡(θ)txsin⁡(θ)cos⁡(θ)ty001][xy1]=[x′y′1] 再乘上uniform scaling得到相似变换，有4个自由度（s,θ,tx,tys,θ,tx,ty），如下： ⎡⎣⎢scos(θ)ssin(θ)0−ssin(θ)scos(θ)0txty1⎤⎦⎥⎡⎣⎢xy1⎤⎦⎥=⎡⎣⎢x′y′1⎤⎦⎥[scos⁡(θ)−ssin⁡(θ)txssin⁡(θ)scos⁡(θ)ty001][xy1]=[x′y′1] 自然，仿射变换的变换矩阵有6个自由度（a,b,c,d,e,fa,b,c,d,e,f）。 变换矩阵的理解与记忆坐标系 由 坐标原点 和 基向量 决定， 坐标原点 和 基向量 确定了，坐标系也就确定了。 对于坐标系中的位置(x,y)(x,y)，其相对坐标原点在[1,0][1,0]方向上的投影为xx，在[0,1][0,1]方向上的投影为yy——这里投影的意思是过(x,y)(x,y)做坐标轴的平行线与坐标轴的交点到原点的距离，即(x,y)(x,y)实际为： [xy]=x[10]+y[01]=[1001][xy][xy]=x[10]+y[01]=[1001][xy] 当坐标系变化，坐标系中的点也跟着变化 ，但 点相对新坐标系 （x′−y′x′−y′坐标系） 的位置不变 仍为(x,y)(x,y)，以旋转变换为例，新坐标轴的基向量则变为[cos(θ),sin(θ)][cos⁡(θ),sin⁡(θ)]和[−sin(θ),cos(θ)][−sin⁡(θ),cos⁡(θ)]，所以点变化到新位置为： [x′y′]=x[cos(θ)sin(θ)]+y[−sin(θ)cos(θ)]=[cos(θ)sin(θ)−sin(θ)cos(θ)][xy][x′y′]=x[cos⁡(θ)sin⁡(θ)]+y[−sin⁡(θ)cos⁡(θ)]=[cos⁡(θ)−sin⁡(θ)sin⁡(θ)cos⁡(θ)][xy] 新位置和新基向量是相对绝对坐标系(x−yx−y坐标系）而言的。其他变换矩阵同理。 总结一下： 所有变换矩阵只需关注一点： 坐标系的变化 ，即 基向量和原点的变化 ； 坐标系变化到哪里，坐标系中的所有点也跟着做同样的变化 ； 坐标系的变换分为  基向量的变化  以及  坐标原点的变化 ，在仿射变换矩阵 ⎡⎣⎢ad0be0cf1⎤⎦⎥[abcdef001]中， [ad][ad]和[be][be]为新的基向量，[cf][cf]为新的坐标原点，先变化基向量，再变化坐标原点； 这时再对照上面的各种变换矩阵，就很好理解了。变换矩阵的参数估计 如果给定两个对应点集，如何估计指定变换矩阵的参数？ 一对对应点可以列两个线性方程，多个对应点可以列出线性方程组，为了求解参数，需要的对应点数至少为自由度的一半，多个点时构成超定方程组，可以基于最小二乘或者SVD分解等方法进行求解，这里不再展开。 参考 Image Alignment and Stitching: A Tutorial wiki: Affine transformation Geometric Transformation Coordinates and Transformations Transformations Geometric Transformations Image Geometry 原文链接： https://www.cnblogs.com/shine-lee/p/10950963.html

摘要： 关于矩阵和张量的区别有些人可能不太清楚，看了这篇文章相信你会很明白了 这个问题有一个简短的答案，让我们从那里开始吧。然后，我们可以查看一个应用程序以获得更深入的了解。 矩阵是由括号括起的n×m（例如，3×3）个数字的网格。我们可以加上和减去相同大小的矩阵，只要大小兼容（（n×m）×（m×p）= n×p），就将一个矩阵与另一个矩阵相乘，以及可以将整个矩阵乘以常数。向量是一个只有一行或一列的矩阵（但见下文）。因此，我们可以对任何矩阵进行一系列数学运算。 不过，基本的思想是，矩阵只是一个二维的数字网格。 张量通常被认为是一个广义矩阵。也就是说，它可以是1-D矩阵（一个向量实际上就是一个张量），3-D矩阵（类似于一个数字的立方），甚至是0-D矩阵（单个数字），或者一个更难形象化的高维结构。张量的维数叫做它的秩。 但是这个描述忽略了张量最重要的性质! 张量是一个数学实体，它存在于一个结构中并与其他数学实体相互作用。如果以常规方式转换结构中的其他实体，那么张量必须服从一个相关的变换规则。 张量的这种“动态”特性是将其与单纯矩阵区分开来的关键。它是一个团队成员，当一个影响到所有成员的转换被引入时，它的数值会随着队友的数值而变化。 任何秩-2张量都可以表示为一个矩阵，但并不是每个矩阵都是秩-2张量。张量矩阵表示的数值取决于整个系统应用了什么变换规则。 对于您的目的，这个答案可能已经足够了，但是我们可以通过一个小例子来说明它是如何工作的。这个问题是在一个深度学习研讨会上提出的，所以让我们看一下该领域的一个简单例子。 假设我在神经网络中有一个隐藏的3个节点层。数据流入它们，通过它们的ReLU函数，然后弹出一些值。对于确定性，我们分别得到2.5,4和1.2。 （别担心，图表即将出现。）我们可以将这些节点的输出表示为向量， 假设有另外一层3个节点。第一层的3个节点中的每个节点都有一个权重，该权重与其对接下来3个节点的输入相关联。那么，将这些权重写为3×3矩阵的条目将是非常方便的。假设我们已经对网络进行了多次更新，并得到了权重（本例中半随机选择）。 在这里，一行的权值都到下一层的同一个节点，而某一列的权值都来自第一层的同一个节点。例如，输入节点1对输出节点3的权值是0.2（第3行，第1列）。 我们可以通过将权重矩阵乘以输入向量来计算馈入下一层节点的总值， 不喜欢矩阵?这里有一个图。数据从左到右流动。 太棒了!到目前为止，我们所看到的只是矩阵和向量的一些简单操作。 但是，假设我想对每个神经元进行干预并使用自定义激活函数。一种简单的方法是从第一层重新缩放每个ReLU函数。在本例中，假设我将第一个节点向上扩展2倍，保留第二个节点，将第三个节点向下扩展1/5。这将改变这些函数的图形如下图所示: 这种修改的效果是将第一层生成的值分别乘以2、1和1/5。等于L1乘以一个矩阵A， 现在，如果这些新值通过原来的权值网络被输入，我们得到完全不同的输出值，如图所示: 如果神经网络之前运作正常，我们现在就把它破坏了。我们必须重新进行训练以恢复正确的重量。 或者我们会吗？ 第一个节点的值是之前的两倍。 如果我们将所有输出权值减少1/2，则它对下一层的净贡献不变。我们没有对第二个节点做任何处理，所以我们可以不考虑它的权值。最后，我们需要将最后一组权值乘以5，以补偿该节点上的1/5因子。从数学上讲，这相当于使用一组新的权值，我们通过将原权矩阵乘以A的逆矩阵得到: 如果我们将第一层的修改后的输出与修改后的权值结合起来，我们最终会得到到达第二层的正确值： 太好了！尽管我们做出了最大努力，但网络仍在重新运作！ 好了，我们已经学了很多数学了，让我们回顾一下。 当我们把节点的输入，输出和权值看作固定的量时，我们称它们为向量和矩阵，并用它完成。 但是，一旦我们开始用其中一个向量进行修复，以常规方式对其进行转换，我们就必须通过相反的方式转换权值来进行补偿。这个附加的、集成的结构将单纯的数字矩阵提升为一个真正的张量对象。 事实上，我们可以进一步描述它的张量性质。如果我们把对节点的变化称为协变(即，随着节点的变化而乘以A)，那么权值就变成了一个逆变张量(具体来说，对节点变化，乘以A的倒数而不是A本身)。张量可以在一个维度上是协变的，在另一个维度上是逆变的，但那是另外的事了。 现在你知道了矩阵和张量之间的区别了吧。 链接：https://www.jianshu.com/p/1873aefeb7eb 来源：

标量，向量，矩阵与张量 1、标量 一个标量就是一个单独的数，一般用小写的的变量名称表示。2、向量 一个向量就是一列数，这些数是有序排列的。用过次序中的索引，我们可以确定每个单独的数。通常会赋予向量粗体的小写名称。当我们需要明确表示向量中的元素时，我们会将元素排列成一个方括号包围的纵柱：我们可以把向量看作空间中的点，每个元素是不同的坐标轴上的坐标。3、矩阵 矩阵是二维数组，其中的每一个元素被两个索引而非一个所确定。我们通常会赋予矩阵粗体的大写变量名称，比如A。 如果一个实数矩阵高度为m，宽度为n，那么我们说 。矩阵这东西在机器学习中就不要太重要了！实际上，如果我们现在有N个用户的数据，每条数据含有M个特征，那其实它对应的就是一个N*M的矩阵呀；再比如，一张图由16*16的像素点组成，那这就是一个16*16的矩阵了。现在才发现，我们大一学的矩阵原理原来这么的有用！要是当时老师讲课的时候先普及一下，也不至于很多同学学矩阵的时候觉得莫名其妙了。4、张量 几何代数中定义的张量是基于向量和矩阵的推广，通俗一点理解的话，我们可以将标量视为零阶张量，矢量视为一阶张量，那么矩阵就是二阶张量。 例如，可以将任意一张彩色图片表示成一个三阶张量，三个维度分别是图片的高度、宽度和色彩数据。 将这张图用张量表示出来，就是最下方的那张表格：其中表的横轴表示图片的宽度值，这里只截取0~319；表的纵轴表示图片的高度值，这里只截取0~4；表格中每个方格代表一个像素点，比如第一行第一列的表格数据为[1.0,1.0,1.0]，代表的就是RGB三原色在图片的这个位置的取值情况（即R=1.0，G=1.0，B=1.0）。当然我们还可以将这一定义继续扩展，即：我们可以用四阶张量表示一个包含多张图片的数据集，这四个维度分别是：图片在数据集中的编号，图片高度、宽度，以及色彩数据。张量在深度学习中是一个很重要的概念，因为它是一个深度学习框架中的一个核心组件，后续的所有运算和优化算法几乎都是基于张量进行的。

　　张量与矩阵的区别如下：　　1、张量可以用3×3矩阵形式来表达。　　2、张量是一种物理量，相对于标量，矢量而言的。　　3、矩阵是一个线性代数、矩阵论里的数学工具，它可以应用在很多地方：　　空间的旋转变换，量子力学中表象的变换等等。　　其实表示标量的数和表示矢量的三维数组也可分别看作1×1，1×3的矩阵。

张量从代数角度讲，它是向量的推广。我们知道，向量可以看成一维的“表格”（即分量按照顺序排成一排），矩阵是二维的“表格”（分量按照纵横位置排列），那么n阶张量就是所谓的n维的“表格”。张量的严格定义是利用线性映射来描述的。与矢量相类似，定义由若干坐标系改变时满足一定坐标转化关系的有序数组成的集合为张量。　　从几何角度讲，它是一个真正的几何量，也就是说，它是一个不随参照系的坐标变换而变化的东西。向量也具有这种特性。　　标量可以看作是0阶张量，矢量可以看作1阶张量。张量中有许多特殊的形式，比如对称张量、反对称张量等等。-------------------------------------------矩阵和向量的关系有什么不同我觉得就是就是两种不同的空间表示形式矩阵在运算后得到 就是向量空间一个n×1的矩阵对应一个n维的向量.如:(1,2,3)对应i+2j+3k,当然也可以拿两个矩阵的乘积表示一个n维向量.如:拿横向的矩阵1×n的矩阵(i,j,k)乘以纵向的矩阵n×1的矩阵(1,2,3),得到一个1×1的矩阵(i+2j+3k),刚好和向量i+2j+3k对应.

张量与矩阵的区别如下：　　1、张量可以用3×3矩阵形式来表达。　　2、张量是一种物理量，相对于标量，矢量而言的。　　3、矩阵是一个线性代数、矩阵论里的数学工具，它可以应用在很多地方：　　空间的旋转变换，量子力学中表象的变换等等。　　其实表示标量的数和表示矢量的三维数组也可分别看作1×1，1×3的矩阵。

张量可以用3×3矩阵形式来表达。 张量是一种物理量，相对于标量，矢量而言的。 矩阵是一个线性代数、矩阵论里的数学工具，它可以应用在很多地方：空间的旋转变换，量子力学中表象的变换等等。 其实表示标量的数和表示矢量的三维数组也可分别看作1×1，1×3的矩阵。

矩阵的研究历史悠久，拉丁方阵和幻方在史前年代已有人研究。作为解决线性方程的工具，矩阵也有不短的历史。成书最迟在东汉前期的《九章算术》中，用分离系数法表示线性方程组，得到了其增广矩阵。在消元过程中，使用的把某行乘以某一非零实数、从某行中减去另一行等运算技巧，相当于矩阵的初等变换。但那时并没有现今理解的矩阵概念，虽然它与现有的矩阵形式上相同，但在当时只是作为线性方程组的标准表示与处理方式。矩阵正式作为数学中的研究对象出现，则是在行列式的研究发展起来后。逻辑上，矩阵的概念先于行列式，但在实际的历史上则恰好相反。日本数学家关孝和（1683年）与微积分的发现者之一戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（1693年）近乎同时地独立建立了行列式论。其后行列式作为解线性方程组的工具逐步发展。1750年，加布里尔·克拉默发现了克莱姆法则。[1]矩阵的现代概念在19世纪逐渐形成。1800年代，高斯和威廉·若尔当建立了高斯—若尔当消去法。1844年，德国数学家费迪南·艾森斯坦（F.Eisenstein）讨论了“变换”（矩阵）及其乘积。1850年，英国数学家詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特（James Joseph Sylvester）首先使用矩阵一词。[2]英国数学家凯利被公认为矩阵论的奠基人。他开始将矩阵作为独立的数学对象研究时，许多与矩阵有关的性质已经在行列式的研究中被发现了，这也使得凯利认为矩阵的引进是十分自然的。他说：“我决然不是通过四元数而获得矩阵概念的；它或是直接从行列式的概念而来，或是作为一个表达线性方程组的方便方法而来的。”他从1858年开始，发表了《矩阵论的研究报告》等一系列关于矩阵的专门论文，研究了矩阵的运算律、矩阵的逆以及转置和特征多项式方程。凯利还提出了凯莱-哈密尔顿定理，并验证了3×3矩阵的情况，又说进一步的证明是不必要的。哈密尔顿证明了4×4矩阵的情况，而一般情况下的证明是德国数学家弗罗贝尼乌斯（F.G.Frohenius）于1898年给出的。[1]1854年时法国数学家埃尔米特（C.Hermite）使用了“正交矩阵”这一术语，但他的正式定义直到1878年才由费罗贝尼乌斯发表。1879年，费罗贝尼乌斯引入矩阵秩的概念。至此，矩阵的体系基本上建立起来了。无限维矩阵的研究始于1884年。庞加莱在两篇不严谨地使用了无限维矩阵和行列式理论的文章后开始了对这一方面的专门研究。1906年，希尔伯特引入无限二次型（相当于无限维矩阵）对积分方程进行研究，极大地促进了无限维矩阵的研究。在此基础上，施密茨、赫林格和特普利茨发展出算子理论，而无限维矩阵成为了研究函数空间算子的有力工具。[3]矩阵的概念最早在1922年见于中文。1922年，程廷熙在一篇介绍文章中将矩阵译为“纵横阵”。1925年，科学名词审查会算学名词审查组在《科学》第十卷第四期刊登的审定名词表中，矩阵被翻译为“矩阵式”，方块矩阵翻译为“方阵式”，而各类矩阵如“正交矩阵”、“伴随矩阵”中的“矩阵”则被翻译为“方阵”。1935年，中国数学会审查后，中华民国教育部审定的《数学名词》（并“通令全国各院校一律遵用，以昭划一”）中，“矩阵”作为译名首次出现。1938年，曹惠群在接受科学名词审查会委托就数学名词加以校订的《算学名词汇编》中，认为应当的译名是“长方阵”。中华人民共和国成立后编订的《数学名词》中，则将译名定为“（矩）阵”。1993年，中国自然科学名词审定委员会公布的《数学名词》中，“矩阵”被定为正式译名，并沿用至今。

小学生看高等代数，心太高了吧！

■ 举例: A为(3×3)矩阵，故有3个特征值。对λ1(单根) → 求出特征向量p1；对λ2＝λ3(二重根)，设代数重数2﹥几何重数1，∴特征向量矩阵有一列0向量，由此判定该特征向量矩阵不可逆，矩阵相似变换等式(P逆)AP＝Λ不成立，A不可能化简为对角阵Λ。我们退一步而求其次，A不能化简为对角阵，但可求出简单程度仅次于Λ的Jordan矩阵。现求特征向量p2及广义特征向量ξ3，令相似变换矩阵 G＝( p1、p2、ξ3 ) 。于是有 (G逆).A.G＝J ( J是Jordan矩阵 )。一般将对角阵Λ视为若当阵J之特例。这些知识在《线性系统理论》求解电路一阶线性微分方程组有实际应用。■ 广义特征向量怎么求？答: ①求对应λ2(＝λ3)齐次方程组通解 ，设通解 (即特征向量) 为p2。②将特征向量视为常数项写入原方程组，求非齐次方程组之解，现令解为ξ3，ξ3 即所谓广义特征向量。MMA求解方法: 写出增广矩阵，用RowReduce命令化为行最简形，化简后常数项即变为方程组之解 ξ3。

首先声明，由于不同教材Jordan块的定义不同，有上Jordan块和下Jordan块，你这个题目如果结论成立，那么Jordan块必须是1在下的下Jordan块——（1）σ(下面用f代替)把基底e1,e2,...,en(我就改一下符号了)映射为ke1,e1+ke2,e2+ke3,....,en-2+ken-1,en-1+ken,于是如果不变子空间包含en，则必须包含en的像en-1+ken，那么就必须包含en-1，同理递推，就必须包含en-2,en-3,...,e1，于是V的f-不变子空间只有V本身——包含所有的ei；（2）根据上述方法，只要不变子空间包含ek，则必须包含ei,i<k，于是就必须包含e1;（3）假设V=V1+V2，"+"表示直和，由于V1，V2非平凡，则V1,V2至少包含e1，所以V1与V2的交集总是非空，所以V不能表示为非平凡f-不变子空间的直和。

若尔当矩阵特征值很小。在线性代数中，若尔当标准型或称若尔当正规型是某个线性映射在有限维向量空间上的特别的矩阵表达形式，称作若尔当矩阵，这矩阵接近对角矩阵：除了主对角线和主对角线上方元素之外，其余都是零且主对角线上方的对角线的系数若不为零只能为1，且这1左方和下方的系数（都在主对角线上）有相同的值。矩阵的对角化使得研究其性质变为研究相应的对角矩阵的性质，而后者显然简单得多。由于不是所有矩阵都满足上述三个条件之一，有的矩阵是不可对角化的！

1 0 00 -1 00 -1 -1

特征值互异时，矩阵A的相似变换可转为纯对角阵(Λ)。特征值既有异根也有重根时，矩阵A的相似变换一般为若当块对角阵(J)。若当块矩阵是广义的对角阵，包含了特殊情形的纯对角阵Λ。若当块对角阵可用于数学上求解一阶微分方程组。对微分方程组的系数矩阵求特征值，特征代数方程往往既有异根亦有重根，所以对系数矩阵相似变换得到若当块对角阵(J)，然后求指数若当矩阵 e^(J·t)，再求标准基解矩阵 e^(At)＝S· e^(J·t)· (S逆)，最终求出一阶微分方程组的函数解。从更普遍意义理解，矩阵对角化就是若当块对角化。一阶微分方程组(状态变量法)在时域动态电路中有较多物理应用。

首先声明，由于不同教材Jordan块的定义不同，有上Jordan块和下Jordan块，你这个题目如果结论成立，那么Jordan块必须是1在下的下Jordan块——（1）σ(下面用f代替)把基底e1,e2,...,en(我就改一下符号了)映射为ke1,e1+ke2,e2+ke3,....,en-2+ken-1,en-1+ken,于是如果不变子空间包含en，则必须包含en的像en-1+ken，那么就必须包含en-1，同理递推，就必须包含en-2,en-3,...,e1，于是V的f-不变子空间只有V本身——包含所有的ei；（2）根据上述方法，只要不变子空间包含ek，则必须包含ei,i<k，于是就必须包含e1;（3）假设V=V1+V2，"+"表示直和，由于V1，V2非平凡，则V1,V2至少包含e1，所以V1与V2的交集总是非空，所以V不能表示为非平凡f-不变子空间的直和。

是.A是对称矩阵, 则A^T=A所以 (A^n)^T = (A^T)^n = A^n所以A^n仍是对称矩阵A是实矩阵, 显然 A^n也是实矩阵所以 A^n 是实对称矩阵.

这当然是不一定的对称分块矩阵指的就是A BB A这样的类型其中的A和B是分块的矩阵显然不一定整个矩阵也是对称的

如果有n阶矩阵A，其各个元素都为实数，且aij=aji（转置为其本身），则称A为实对称矩阵。 　性质1.实对称矩阵A的不同特征值所对应的特征向量是正交的。 　　2.实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。

解: |A-λE|=|2-λ 2 -2||2 5-λ -4||-2 -4 5-λ|r3+r2 (消0的同时, 还能提出公因子, 这是最好的结果)|2-λ 2 -2||2 5-λ -4||0 1-λ 1-λ|c2-c3|2-λ 4 -2||2 9-λ -4||0 0 1-λ|= (1-λ)[(2-λ)(9-λ)-8] (按第3行展开, 再用十字相乘法)= (1-λ)(λ^2-11λ+10)= (10-λ)(1-λ)^2.如果有n阶矩阵A，其矩阵的元素都为实数，且矩阵A的转置等于其本身（aij=aji）(i,j为元素的脚标)，而且该矩阵对应的特征值全部为实数，则称A为实对称矩阵。主要性质：1.实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。2.实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。3.n阶实对称矩阵A必可对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。4.若λ0具有k重特征值　必有k个线性无关的特征向量，或者说必有秩r(λ0E-A)=n-k，其中E为单位矩阵。扩展资料：把一个m×n矩阵的行，列互换得到的n×m矩阵,称为A的转置矩阵,记为A"或AT。矩阵转置的运算律(即性质)：1.(A")"=A2.(A+B)"=A"+B"3.(kA)"=kA"(k为实数)4.(AB)"=B"A"若矩阵A满足条件A=A"，则称A为对称矩阵。由定义知对称矩阵一定是方阵，而且位于主对角线对称位置上的元素必对应相等，即aij=aji对任意i,j都成立。（1）对称矩阵 在一个n阶方阵A中，若元素满足下述性质：则称A为对称矩阵。（2）对称矩阵的压缩存储 对称矩阵中的元素关于主对角线对称，故只要存储矩阵中上三角或下三角中的元素，让每两个对称的元素共享一个存储空间。这样，能节约近一半的存储空间。①按行优先顺序存储主对角线（包括对角线）以下的元素即按 次序存放在一个向量sa[0...n(n+1)/2-1]中（下三角矩阵中，元素总数为n(n+1)/2）。其中：sa[0]=a0,0sa[1]=a1,0……sa[n(n+1)/2-1]=an-1,n-1②元素aij的存放位置aij元素前有i行（从第0行到第i-1行），一共有：1+2+…+i=i×(i+1)/2个元素。在第i行上， 之前恰有j个元素，即ai0,ai1,…,ai,j-1 ，因此有：sa[i×(i+1)/2+j]=aij③aij和sa[k]之间的对应关系：若i≥j，k=i×(i+1)/2+j0≤k<n(n+1)/2若i<j，k=j×(j+1)/2+i0≤k<n(n+1)/2令I=max(i，j)，J=min(i，j)，则k和i，j的对应关系可统一为：k=i×(i+1)/2+j0≤k<n(n+1)/2（3）对称矩阵的地址计算公式LOC(aij)=LOC(sa[k])=LOC(sa[0])+k×d=LOC(sa[0])+[I×(I+1)/2+J]×d通过下标变换公式，能立即找到矩阵元素aij在其压缩存储表示sa中的对应位置k。因此是随机存取结构。参考资料：百度百科---实对称矩阵

方法一：实对称矩阵不同特征值对应的特征向量相互正交，由此可得第三个特征值对应的特征向量，进一步可得到第三个特征值。方法二：实对称矩阵所有特征值的和等于矩阵对角线上元素的代数和，所有特征值的积等于矩阵的行列式的值。据此可得第三个特征值。

设A=(aij)，若aij=-aji，则称A是反对称矩阵。语言描述为：以主对角线为对称轴，对应位置上的元素互为相反数。反对称行列式的定义是类似的，也是对应位置上的元素互为相反数。主对角线上的元素为0。对于反对称矩阵，它的主对角线上的元素全为零，而位于主对角线两侧对称的元反号。反对称矩阵具有很多良好的性质，如若A为反对称矩阵，则A"，λA均为反对称矩阵；若A,B均为反对称矩阵，则A±B也为反对称矩阵。设A为反对称矩阵，B为对称矩阵，则AB-BA为对称矩阵；奇数阶反对称矩阵的行列式必为0。反对称矩阵的特征值是0或纯虚数，并且对应于纯虚数的特征向量的实部和虚部形成的实向量等长且互相正交。扩展资料：实反对称矩阵是一种反对称矩阵，指欧氏空间的反对称变换在标准正交基下的矩阵，即元素aij都是实数，并且aij=-aji(i，j=1，2，…)，n的n阶矩阵A=(aij)。它有以下性质：1.A的特征值是零或纯虚数；2.|A|是一个非负实数的平方；3.A的秩是偶数，奇数阶反对称矩阵的行列式等于零参考资料来源：百度百科-实反对称矩阵

对称矩阵的性质：1,对称矩阵是元素以对角线为对称轴对应相等的矩阵。2.形矩阵是A为对称矩阵的必要条件。3.对角矩阵都是对称矩阵。两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。用<,>表示Rn上的内积。的实矩阵A是对称的，当且仅当对于所有，。任何方形矩阵X，如果它的元素属于一个特征值不为2的域（例如实数），可以用刚好一种方法写成一个对称矩阵和一个斜对称矩阵之和：X=1/2(X+XT)+1/2(X-XT)每个实方形矩阵都可写作两个实对称矩阵的积，每个复方形矩阵都可写作两个复对称矩阵的积。若对称矩阵A的每个元素均为实数，A是Hermite矩阵。一个矩阵同时为对称矩阵及斜对称矩阵当且仅当所有元素都是零。如果X是对称矩阵,那么AXAT也是对称矩阵.n阶实对称矩阵，是n维欧式空间V（R）的对称变换在单位正交基下所对应的矩阵。所谓对称变换，即对任意α、 β∈V，都有（σ（α），β）=（α，σ（β））。投影变换和镜像变换都是对称变换。

实对称矩阵的定义需要满足两个条件：是对称矩阵。是实数矩阵 对称矩阵很好判断，即矩阵转置后与原矩阵相等。因此不难看出其中一个必要条件是矩阵必须满足是n阶方阵。 实数矩阵，也容易判断，矩阵的共轭矩阵是其自身。结合上述条件，也可以得到这样的等价判断条件：实对称矩阵?共轭转置矩阵(又称埃尔米特共轭转置)是其自身。

　　如果有n阶矩阵A，其各个元素都为实数，矩阵A的转置等于其本身，则称A为实对称矩阵。 　　主要性质： 　　1、实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。 　　2、实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。 　　3、n阶实对称矩阵A必可对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。 　　4、若λ0具有k重特征值，必有k个线性无关的特征向量，其中E为单位矩阵。

注意按照定义来看对角矩阵是一个主对角线之外元素皆为0的矩阵那么当然就是一个对称矩阵即以主对角线为对称轴，各元素对应相等的矩阵

A=A^T(A^k)^T=(A·A·A.....A)^T=A^T·A^T·.....·A^T=(A^T)^k=A^k所以A的k次幂也为对称矩阵。

元素以主对角线为对称轴对应相等的矩阵1.对于任何方形矩阵X，X+X^T是对称矩阵。2.A为方形矩阵是A为对称矩阵的必要条件。3.对角矩阵都是对称矩阵。

假定题目求的是实方阵按通常加法数乘运算的实空间维数，其他情形类似可求。如图：对称矩阵中的元素关于主对角线对称，故只要存储矩阵中上三角或下三角中的元素，让每两个对称的元素共享一个存储空间。这样，能节约近一半的存储空间。介绍在线性代数中，对称矩阵是一个方形矩阵，其转置矩阵和自身相等。1855年，埃米特(C.Hermite,1822-1901年)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如称为埃米特矩阵的特征根性质等。后来，克莱伯施(A.Clebsch,1831-1872年)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质。泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论。

　　对角化是广义的，只是把矩阵化为对角形的矩阵而已，对对角元的取值不作要求（不要求其全不为零）。从这个意义上讲对称矩阵一定能相似对角化这是没错的。具体地怎么实现相似对角化呢？实际上相似对角化就是找一个正交阵T使得T"AT=T^(-1)AT=diag{λ1,..,.λ1;...;λr,...,λr}（每个λi有其几何重数个）做法如下：找出A的全部值并求全布特征值对应的特征向量αi1,...,αisi（si为λi的几何重数）对每组αi1,...,αisi分别进行施密特正交化，而后将施密特正交化后的这r组向量按次序按列排成矩阵，记为T，T即为所求。　　对角化这个概念是针对矩阵而言的，并且矩阵的对角化源自于线性变换的化简，所以最好先知道线性变换和线性变换与矩阵的对应关系。　　设一线性变换a，在基m下的矩阵为A，在基n下的矩阵为B，m到n的过渡矩阵为X，　　那么可以证明：B=X-1AX　　那么定义：A，B是2个矩阵。如果存在可逆矩阵X，满足B=X-1AX ，那么说A与B是相似的(是一种等价关系)。　　如果存在可逆矩阵X使A与一个对角矩阵B相似，那么说A可对角化。　　相应的，如果线性变换a在基m下的矩阵为A，并且A相似于对角矩阵B，那么令X为过渡矩阵即可求出基n，并且在n下线性变换a的矩阵为对角矩阵，从而达到了化简。

实对称矩阵的定义需要满足两个条件：是对称矩阵。是实数矩阵 对称矩阵很好判断，即矩阵转置后与原矩阵相等。因此不难看出其中一个必要条件是矩阵必须满足是n阶方阵。 实数矩阵，也容易判断，矩阵的共轭矩阵是其自身。结合上述条件，也可以得到这样的等价判断条件：实对称矩阵?共轭转置矩阵(又称埃尔米特共轭转置)是其自身。