拓扑排序一定是三角矩阵吗

图1是电网络及其线图的例子，其中的线段称作支路，点称作节点，若每条支路都规定了方向就是有向图，否则为无向图。树定义为包含线图中所有节点但不含回路的联通子图，线图中属于该树的支路叫作树支，其它则为连支。一个线图通常有许多棵树，图2为图1(b)线图的一些树。设线图有n+1个节点和b条支路，则树支恰有n条，连支则有b-n条。利用树可以系统地找出最大数目的独立回路组，方法是选定一棵树，给树每增添一条连支，就构成一个只包含该连支的回路，并称为基本回路，这样由b-n条连支共可得出b-n个独立的基本回路组。3.1 图的矩阵表示节点和支路的关系还可用矩阵来表示。如下图3及图4。回路矩阵B是描述回路与支路间关系的（b-n）行b列的矩阵，其中的元素bij取值为1，则表示支路ej包含在回路ci中，且方向一致，取值为-1则表示方向相反，取值为0则ej不在回路ci中。B矩阵可由基本回路组或其线性组合来形成，是一个非奇异矩阵。除A、B外还有其它描述线图的矩阵，如割集矩阵、邻接矩阵等，并统称为拓扑矩阵。3.2 电网络方程式 借助于网络拓扑和矩阵方法，可以系统地建立电网络方程，并且便于用计算机处理。令Ib和Ub分别代表电网络的支路电流矢量和支路电压矢量，则可将电路的基尔霍夫电流定律(KCL)和电压定律(KVL)表示为KCL：AIb=0 (n个独立方程）KVL：BUb=O (b-n个独立方程）由此得出b个由网络拓扑性质确定的独立方程，再加上b个由支路元件性质确定的电流和电压关系式，就足以解出各支路的电流和电压(共2b个待求量）。由这三组方程还可导出含较少待求量的方程组，如节点电压方程组、回路电流方程组和节偶电压方程组等。

        加权基因共表达网络分析 (WGCNA, Weighted correlation network analysis)是基于基因的共表达特性进行基因模块聚类，以探索基因与性状之间的关联性，基因模块与性状的关联性，并筛选网络中的核心基因。 相关概念 co-expression network (共表达网络)： 一种无方向性的，加权网络，网络的节点代表基因（也可以是蛋白质、代谢产物等），网络的变可以描述基因和基因间共表达程度的高低。为了衡量基因间共表达程度的高低，在计算基因间相关系数（例如皮尔森相关系数）的基础上，对其进行β次方加权，进而可以强化强相关性节点的关系。 Weighted (加权) ：指对相关性值进行幂次运算 。 这种处理方式强化了强相关，弱化了弱相关或负相关，使得相关性数值更符合无标度网络特征，更具有生物意义。如果没有合适的 power ，一般是由于部分样品与其它样品因为某种原因差别太大导致的，可根据具体问题移除部分样品或查看后面的经验值。 Adjacency matrix(邻接矩阵) ：邻接矩阵有分布在0-1之间的数值组成，是基因和基因之间的加权相关性值构成的矩阵，用来描述节点间相关性强度。 TOM (Topological overlap matrix) ：拓扑重叠是通过比较两个节点和网络中其他节点的加权相关性来定量描述节点间相似性的方法。把邻接矩阵转换为拓扑重叠矩阵，以降低噪音和假相关，获得的新距离矩阵，这个信息可拿来构建网络或绘制TOM图。 Module(模块) ：指具有高拓扑重叠相似性的基因集，即高度内连的基因集。共表达模块是更加非相似性矩阵，利用聚类算法获得的。在无向网络中，模块内是高度 相关 的基因。在有向网络中，模块内是高度 正相关 的基因。把基因聚类成模块后，可以对每个模块进行三个层次的分析：1. 功能富集分析查看其功能特征是否与研究目的相符；2. 模块与性状进行关联分析，找出与关注性状相关度最高的模块；3. 模块与样本进行关联分析，找到样品特异高表达的模块。 Module eigengene （ME） ：给定模块的第一主成分，代表整个模块的基因表达谱，用来描述模块在各样品中的表达模式。 Module membership (MM) ：指给定基因和给定ME之间的相关系数，描述基因属于一个模块的可靠性。 Intramodular connectivity （模块内连通性） ：某一个基因的模块内连通性等同于该基因与模块内其他基因关联程度之和，该值越大说明这个基因在模块中越处于核心位置。 Connectivity (连通性) ：类似于网络中 "度"(degree)的概念。每个基因的连连通性是与其相连的基因的边属性之和。 Hub gene ：关键基因 (连接度最多或连接多个模块的基因)。 Gene significance (GS)： 基因显著性，定义单个基因与外部信息的关联性，即基因与某个性状的相关性。 基本分析流程 1.建立关系矩阵：计算两个基因表达量之间的相关系数，构建成关系矩阵。 2. 建立邻接矩阵：根据基因表达的相关系数进行加权计算，构建邻接矩阵。 3. 建立拓扑重叠矩阵：计算节点间的相异程度，将邻接矩阵转换为拓扑重叠矩阵。 4.基因模块识别：基于拓扑邻接矩阵，进行层级聚类分析，并根据设定标准切分聚类结果，获得不同的基因模块，用聚类树的分枝和不同颜色表示。 5. 核心模块选择：根据表型特征确定核心模块。 6.核心基因筛选：基于基因连通性筛选核心基因，并围绕核心基因进行网络构建WGCNA分析输入数据         鉴于WGCNA依靠基因的共表达情况进行分析，因此必须要有足够的样本数，才能保证相关系数计算的准确性；此外样本必须包含丰富的变化信息，才能鉴定出有意义的基因模块。因此WGCNA对于输入数据有一定的要求：1.不包含生物学重复的独立样本组：样本数>=8；2.包含生物学重复的样本组：样本数>=15；3. 输入数据要求是进行标准化的数据；4. 输入数据的基因数建议不要超过5000（可以根据变化程度或者表达丰度进行筛选；基因越多，运行时间越长）。

有向无环图DAG 顶点表示活动的网络AOV网：用DAG图表示一个工程，其顶点表示活动，有向边<vi,vj>表示活动vi必须先于活动vj进行 拓扑排序（由一个有向无环图的顶点组成的序列） 1.每个顶点出现且仅出现一次 2.若顶点A在序列中排在顶点B之前，则图中不存在B到A的路径 每个DAG图都有一个或多个拓扑排序序列。 若一个顶点有多个直接后继，则拓扑排序的结果通常不唯一；但若各个顶点已经排在一个线性有序序列中，每个顶点有唯一的前驱后继关系，再做拓扑排序时，则排序结果是唯一的。 若邻接矩阵是三角矩阵的话拓扑排序一定存在，反之不一定。 步骤 1.从DAG图中选择一个没有前驱的顶点并输出（必须在它之前进行大的活动已经都完成了） 2.从图中删除该顶点和所有以它为起点的有向边 3.重复1，2直到当前的DAG图为空或当前图中不存在无前驱的结点为止。后者说明有环。 栈 时间复杂度O(|V|+|E|) 用深度优先遍历也可以实现拓扑排序 若已知无环图，则可用拓扑排序来改进Dijkstra算法 以拓扑顺序来选取顶点，运行时间为O(|E|+|V|) 用边表示活动的网络AOE网：在带权有向图中，以顶点表示事件，有向边表示活动，以边上的权值表示完成该活动的开销。 1.只有在某顶点所代表的事件发生后，从该顶点出发的各有向边所代表的活动才能开始。 2.只有在进入某一顶点的各有向边所代表的活动都已结束，该顶点所代表的事件才能发生。 仅有一个入度为0的顶点，称为开始顶点（源点），表示整个工程的开始。仅有一个出度为0的顶点，结束结点（汇点），表示整个工程的结束。 有些活动是可以并行进行的 从源点都汇点的路径可能有多条，所有路径上的活动都完成了整个工程才算结束，所以把路径长度最大的称为 关键路径 ，其上的活动称为 关键活动 。完成整个工程的最短时间就是关键路径的长度。关键活动不能按时完成，则整个工程的完成时间都会受到影响。 事件Vk的最早发生时间Ve(k) 从开始顶点V到Vk的最长路径长度 Ve(V)=0 Ve(k)=Max{Ve(j)+Weight(Vj, Vk)} 从前往后计算 事件Vk的最迟发生时间Vl(k) 在不推迟整个工程完成的前提下，即保证它所指向的时间Vi在Ve(i)时刻能够发生时，该事件最迟必须发生的时间。 Vl(汇点)=Ve(汇点) Vl(j)=Min{Vl(k)-Weight(Vj, vk)} 从后往前计算 活动Ai的最早开始时间E(i) 等于该活动的起点所表示的事件的最早发生时间 活动Ai的最迟开始时间L(i) 等于该活动的终点所表示的事件的最迟发生时间减去该活动所需要的时间 活动Ai可以拖延的时间D(i) 其最早开始时间与最迟开始时间的差值 若为0的话，就代表该活动必须要如期完成，否则会拖延完成整个工程的进度，则该活动是关键活动。

用gephi输入一个邻接矩阵画出拓扑图方法如下：//Ford-Fulkerson  //邻接矩阵BFS  #include<stdio.h>  #include<string.h>  #include<algorithm>  using namespace std;  #define MAXN 205  #define inf 2100000000  int c[MAXN][MAXN];  int pass[MAXN];  int bfs_max_flow(int n,int s,int t)  {      int pre[MAXN],low[MAXN],head,tail,que[1000],i,maxflow=0;      while (1)      {          memset(pre,-1,sizeof(pre));          head=tail=0;          low[s]=inf;que[tail++]=s;          pre[s]=0;          while (head<tail)          {              int x=que[head++];              for (i=1;i<=n;++i)                  if ((c[x][i])&&(pre[i]==-1))                  {                      que[tail++]=i;                      low[i]=low[x]<c[x][i]?low[x]:c[x][i];                      pre[i]=x;                  }                  if (pre[t]!=-1)                  {                      x=t;                      while (x!=s)                      {                          c[x][pre[x]]+=low[t];                          c[pre[x]][x]-=low[t];                          x=pre[x];                      }                      break;                  }          }          if (pre[t]!=-1) maxflow+=low[t];          else return maxflow;      }  }  int main()  {      int n,m,i,a,b,d;      while (scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)      {          memset(c,0,sizeof(c));          for (i=1;i<=n;++i)          {              scanf("%d%d%d",&a,&b,&d);              c[a][b]+=d;          }          printf("%d/n",bfs_max_flow(m,1,m));      }  }  //Ford-Fulkerson  //邻接矩阵DFS  #include<stdio.h>  #include<string.h>  #include<algorithm>  using namespace std;  #define MAXN 205  #define inf 2100000000  int c[MAXN][MAXN];  int pass[MAXN];  int dfs(int n,int s,int t,int low)  {      int i,flow;      if (s==t) return low;      if (pass[s]) return 0;      pass[s]=1;      for (i=1;i<=n;++i)      {          if ((c[s][i])&&(flow=dfs(n,i,t,low<c[s][i]?low:c[s][i])))          {              c[s][i]-=flow;              c[i][s]+=flow;              return flow;          }      }      return 0;  Gephi是一款开源免费跨平台基于JVM的复杂网络分析软件, 其主要用于各种网络和复杂系统，动态和分层图的交互可视化与探测开源工具。可用作：探索性数据分析，链接分析，社交网络分析，生物网络分析等。

配电网络的拓扑分析是根据配电电气元件的连接关系，把整个配电网络看成线与点结合的拓扑图，然后根据电源结点、开关结点等进行整个网络的拓扑连线分析，它是配电网络进行状态估计、潮流计算、故障定位、隔离及供电恢复、网络重构等其它分析的基础。配电网络的结构庞大且复杂，网络结构由于故障或负荷转移操作中开关的开合，经常发生变化。作为配电网络分析的基础，网络拓扑计算需要进一步提高，因此迫切需要一个好的网络拓扑算法。好的网络拓扑算法应该有效且直观，它不仅能满足配电网自动化中的不同高级功能的要求，还应能实现配电网络连通性的快速跟踪和识别，适应事件变化。同时还应节省存储空间和其他高级计算功能的时间。目前国内外在这方面现有的研究有关联表矩阵表示法、网基矩阵表示法、结点消去法、树搜索表示法、离散处理法等。(1)关联表矩阵表示法，联表矩阵，设备编号来分析设备的连接关系，得到网络的拓扑。其中建立了两个表矩阵，N行13列的结点描述矩阵和M行16列的支路描述矩阵。这两个矩阵即包含了每一个结点和每一条支路所相关联的结点或支路号，以及各自的属性。由于配电网络结构复杂，基于关联表的搜索分析方法会很复杂费时，难以实现网络拓扑的快速跟踪。(2)网基矩阵表示法：该方法是基于图论的表示方法。其基本思想是：配电网络是一个变结构的网络，网络由结点和弧构成。称变结构网络的各种允许结构形态为网形，称所有网形中出现的弧的并集对应的基础图为变结构网络的网基。网基用网基结构矩阵来描述，对于一个N结点的网络，网基结构矩阵为N行N列的方阵，该矩阵表示了结点间的连接关系。网形则采用弧结构矩阵来描述。将网基矩阵经基形变换得到描述网形的弧结构矩阵。该方法从配电网络的变结构特点出发，能有效的表示配电网络拓扑，但是它是基于矩阵的表示方法，而配电网络的矩阵稀疏程度很高，占用了较大的存储空间。(3)结点消去法：该方法即通过消去中间节点，降低邻接矩阵的阶数，减少计算量和计算冗余度，提高计算速度。这种算法的基本思想是忽略掉中间结点，只分析对拓扑结构具有重要影响作用的结点之间的连通状态。结点消去法适用于任何接线方式，尤其对复杂的接线分析非常有效。大大减少了计算冗余度和计算量，提高了计算速度。但会影响到状态估计、潮流计算、故障定位、隔离及供电恢复、网络重构等其它分析。(4)树搜索法：在树搜索中，将母线看作图的顶点，将支路看作是图的边。通常对配电网来说，开关变位造成网络结构发生重大变化的情况是很少发生的。在大多数情况下，开关变位的影响是局部的，基于此当开关状态发生变化时，只搜索断开开关所在的厂站电压等级的拓扑分析方法，可提高网络拓扑分析效率。(5)离散处理法：电力系统既含连续动态，也含离散动态。开关状态变化引起电力系统网络结构变化，是一种典型的离散事件动态过程。把整个电网拓扑分析问题分解为若干基本分析单元，采用基本分析单元的有色Petri网模型，当开关状态发生变化时，只需重新计算受变化的开关状态影响的母线，可提高拓扑分析的效率。通过对上述算法的比较、分析，可以看出各有特点，然而孤立地使用其中任意一种都无法达到直观、有效、快速等配电网拓扑的综合要求。因此要充分借鉴前人的研究成果，根据实际情况来实现配电网络的拓扑分析。

介绍这个包之前，先要搞清楚这个包能干啥。（部分内容摘抄自学术咖） Q1：WGCNA能干嘛？ A1：能够将表达模式相似的基因进行聚类，并分析模块与特定性状或表型之间的关联关系。具体一点：1）构建分层聚类树(hierarchical clustering tree)，聚类树的不同分支代表不同的基因模块(module)，模块内基因共表达程度高，而分属不同模块的基因共表达程度低。2）探索模块与特定表型或疾病的关联关系，最终达到鉴定疾病治疗的靶点基因、基因网络的目的。 Q2：WGCNA分析结果中总是提到共表达网络，是什么？ A2：共表达网络特指利用基因间的表达相关性预测基因间调控关系的方法，WGCNA是共表达网络分析中最有效的方法之一。 Q3：一般说WGCNA的样品不少于15个，15个样品考虑重复吗？ A3：15个样本这个是包含了生物学重复，比如5个时间点3个重复。 Q4：每个样本有3个生物学重复，不需要对三个重复的表达量求平均值代表该样本吗？ A4：做WGCNA的时候每个样本是独立的，三个生物学重复样本是全部导入做分析，不是取均值再做分析，每个样本都是独立的。 Q5：WGCNA里面一般会提到hubgene，如何确定hubgene? A5：在WGCNA分析里面，每个基因都会计算连通性，连通性高的就是hubgene。 那么根据它能做的事情，再结合具体的数据，那么我们在做WGCNA之前需要准备的数据有两个：表达量数据和表型数据。 表达量数据，FPKM矩阵即可。 表型数据，即性状数据，比如肿瘤的stage、肿瘤的预后等等。可以是质量性状也可以是数量性状。 1、安装包 你可以直接安装，但是后面会报错。 看了半天发现，是少了一个impute的包。所以需要重新安装。 2、导入数据 3、用hclust给所有的样本建树。看看不同个体之间的距离，以及有没有一些具体特别远的个体。 4、确定最佳的beta值， 画图 5（5.1）、构建共表达矩阵（自动构建网络 + 模块识别） 可视化module 5（5.2）、构建共表达矩阵（逐渐构建网络 + 模块识别） Step_1:Co-expression similarity and adjacency Step_2:计算拓扑重叠矩阵（TOM） Step_3:使用TOM(拓扑重叠矩阵)进行聚类，绘制聚类得到的树形图。 Step_4:使用dynamic tree cut来识别模块。 Step_5:将基因表达相似的模块进行合并 Step_6:保存模块相关变量，用于后续的分析.需要保存的变量有①模块的特征基因②模块的数字标签③模块的颜色标签④基因的树形图。 6、展示模块之间的相关性 7、可视化基因网络 (TOM plot) 8、模块和性状的关联分析 看完资料之后，性状关联分析貌似有两种处理方法。 第一种：质量性状。一列subtype但是包含有5种类型的癌症。（ https://cloud.tencent.com/developer/article/1516749 ）除了上面的热图展现性状与基因模块的相关性外。 还可以是条形图,但是只能是指定某个性状。 或者自己循环一下批量出图。 9、感兴趣性状的模块的相关性分析

在前两篇帖子中介绍了数据的导入清洗，以及一步法构建网络，这篇文章将介绍网络构建的第二种方法，分步法。 WGCNA（1）：R包安装及数据导入清洗 - (jianshu.com) WGCNA（2a）：一步法完成网络构建和模块检测 - (jianshu.com) 参考材料还是官方说明书： https://horvath.genetics.ucla.edu/html/CoexpressionNetwork/Rpackages/WGCNA/Tutorials/FemaleLiver-02-networkConstr-man.pdf 软阈值计算结果可视化 通过上述计算得知，最佳软阈值为6。 为了减小噪声和虚假关联的影响，我们将邻接变换为拓扑重叠矩阵，并计算相应的不相似度。 现在使用层次聚类来产生基因的层次聚类树(树状图)。注意，我们使用了hclust函数，它提供了比标准hclust函数更快的分层集群例程。 在下图中，每个短分枝代表一个基因，相邻的基因表示他们高度共表达。聚类方法是dynamicTreeCut包中的Dynamic TreeCut。 量化各个模块的共表达相似性，根据模块间的相关性合并表达模式相似的模块。 这里选择切割高度0.3，即模块之间相关性达到0.7进行合并，这个系数也要根据自己的数据进行更改，常见的是0.25（Fig.4）。 为了查看合并对模块颜色的影响，我们再次绘制了基因树状图，下面依次是原始和合并后的模块颜色（Fig.5）。 在随后的分析中，我们将在mergedColors中使用合并的模块颜色，保存相关的变量，以便在后续分析中使用。

HDMI矩阵是一款高性能专业数字信号切换设备，用于多个HDMI信号源输入与HDMI显示设备输出交叉切换，任何一路信号的输出自由选择任何一路信号源而不会干扰其它的输出，信号传输衰减降至最低，实现视频图像信号高保真输出。

ABC猜想最先由乔瑟夫·奥斯达利(Joseph Oesterlé)及大卫·马瑟(David Masser)在1985年提出，一直未能被证明。其名字来自把猜想中涉及的三个数字称为A、B、C的做法。 2012年8月，日本的京都大学数学家望月新一称证明了此猜想，但因其研究工具与论文无人看懂，故无法验证是否正确，此猜想至今仍未解决。 猜想简介 abc猜想(abc conjecture)最先由Joseph Oesterlé及David Masser在1985年提出。它说明对于任何ε>0，存在常数Cε> 0，并对于任何三个满足a+ b= c及a,b互质的正整数a,b,c，有: 其中，rad(n)表示n的质因数的积， 如 rad(72) = rad (2×2×2×3×3) = 2×3 = 6 。 1996年，爱伦·贝克提出一个较为精确的猜想，将rad(n)用 取代，其中ω是a,b,c的不同质因子的数目。 abc猜想将许多丢番图问题都包含在其中，比如费马大定理。同许多丢番图问题一样，abc猜想完全是一个素数之间关系的问题。史丹福大学布拉恩·康拉德(Brian Conrad)曾说，"在a、b和a+b的素数因子之间存在着更深层的关联"。 项目内容 ABC@home 是一个由荷兰的一个数学研究院 Mathematical Institute of Leiden University 运作的，基于 BOINC 分散式计算平台的数学类项目，旨在通过搜寻满足ABC猜想条件的三元数组获得这些数组的分布从而帮助数学家解决这个猜想。 | 即它利用分散式计算穷举直到 c<=10的满足ABC猜想条件的 (a,b,c) 三元数组，也就是说满足要求 c=a+b, a<b, rad(ABC)<C。其中 rad(n) 称为 n 的根积，意即 n 的所有质因数的乘积，若有重复的质因数则只取一个。例如，rad(504)=rad((2^3)*(3^2)*7)=2*3*7=42。 项目通过研究这些三元数组的分布，试图寻找证明ABC猜想这个数学未解问题的方法。如果证明了ABC猜想，就可以部分证明费马-卡特兰 (Fermat-Catalan) 猜想，完全证明 Schinzel-Tijdeman 猜想等等。ABC猜想的具体内容是:对于所有e>0,存在与e有关的常数C(e)，对于所有满足a+b=c,a与b互质的三正整数组(a,b,c),均成立 c<=C(e)((rad(abc))^(1+e))。支持ABC猜想的证据有很多，比如说ABC猜想的多项式版本成立，ABC猜想也蕴含了费马大定理。D. Goldfeld 评价ABC猜想为"丢番图分析(意即系数与解均为整数的方程的分析)领域中最重要的未解决问题"。 ABC@home 希望能够通过了解满足条件的三元数组的分布来协助数学家解决ABC猜想。 研究进展 许多数学家都花费了大量的精力试图证明这一猜想。在2007年，在法国数学家吕西安·施皮罗(Lucien Szpiro)在1978年的研究工作的基础之上，首次宣布对abc猜想的证明，但很快就发现证明中存在着缺陷。 2006年，荷兰莱顿大学数学系和荷兰Kennislink科学研究所联合启动了一个BOINC项目名为"ABC@Home"，用以研究该猜想。 2012年8月，日本京都大学数学家Shinichi Mochizuki(望月新一)公布了有关abc猜想(abc conjecture)长达500页的证明。虽然尚未被证实整个证明过程是正确无误的，但包括陶哲轩在内的一些著名数学家均对此给出了正面评价。 日本数学家望月新一 研究意义 美国哥伦比亚大学数学家Dorian Goldfeld评价说:"abc猜想如果被证明，将一举解决许多著名的Diophantine问题，包括费马大定理。如果Mochizuki的证明是正确的，这将是21世纪最令人震惊的数学成就之一。" 望月论文中的定义和数论中传统概念的比较 望月新一的研究工作与前人的努力并没有太多关联。他建立了一套全新的数学方法，使用了一些全新的数学"对象"--这些抽象实体可类比为我们比较熟悉的几何对象、集合、排列、拓扑和矩阵，只有极少的数学家能够完全理解。就如同戈德费尔德所说:"在当今，他或许是唯一一个完全掌握这套方法的人。" 康拉德认为，这项研究工作"包含着大量的深刻思想，数学界要想完全理解消化需要花很长的时间"。整个证明包含四个长篇论文，每一篇都是建立在之前论文的基础上。"需要花费大量的时间来研读并理解这些深奥的长篇证明，所以我们不能仅仅关注此证明的重要性，更重要的是沿著作者的证明思路进行研究。" 望月新一取得的研究成果使得这一切努力都是值得的。康拉德说:"望月新一曾经成功证明过极为艰深的定理，并且他的论文表达严谨，论述周密。这些都使我们对于成功证明abc猜想充满了信心。"另外，他还补充道，所取得的成绩并不仅限于对此证明的确认。"令人感到兴奋的原因不仅仅在于abc猜想或许已被解决，更在于他所使用的方法和思想将会成为以后解决数论问题的有力工具。" 历史上反直觉的却又被验证为正确的理论，数不胜数。 一旦反直觉的理论被证实是正确的，基本上都改变了科学发展的进程。举一个例子:牛顿力学的惯性定律，物体若不受外力就会保持当前的运动状态，这在17世纪无疑是一个重量级的思想炸弹。"物体不受力当然会从运动变为停止"，这是当时的普通人基于每天的经验得出的正常思想。而实际上，这种想法，在任何一个于20世纪学习过国中物理、知道有种力叫摩擦力的人来看，都会显得过于幼稚。但对于当时的人们来说，惯性定理的确是相当违反人类常识的! ABC猜想之于数论研究者，就好比牛顿惯性定律之于17世纪的普通人，更是违反数学上的常识。这一常识就是:"a和b的质因子与它们之和的质因子，应该没有任何联系。" 原因之一就是，允许加法和乘法在代数上互动，会产生无限可能和不可解问题，比如关于丢番图方程统一方法论的希尔伯特第十问题，早就被证明是不可能的。如果ABC猜想被证明是正确的，那么加法、乘法和质数之间，一定存在人类已知数学理论从未触及过的神秘关联。

结构是布尔巴基学派看待数学的一种观点。序结构，代数结构和拓扑结构是最主要的几大类结构。用实数举例，实数可以比较大小，也就是定义一个元素x小于或等于另一个元素y，比如记为xRy。它满足一些公理：1、对任何x，xRx；2、由xRy和yRx可以推出x=y；3、xRy且yRz推出xRz。满足这组公理的集合就被称为有序结构。同样，实数可以加减乘除（除数不为0），所以它们满足域公理，这就是代数结构。实数还有邻域、开集等等概念，由此可以引出极限、连续等等概念，这就是拓扑结构（即满足拓扑空间的公理）。有些集合只有一两个结构，比如：素数集合只有序结构；整数集合没有拓扑结构；矩阵只有代数结构。希尔伯特的几何公理也可以看成是根据结构分的，比如第二组公理就是序公理，第五组公理是拓扑公理。

想找hubgene,必须先理解其概念：网络中处于核心位置的点（基因）。 在WGCNA中，由于进行了无尺度化处理，具体表现为少数基因（图中红点）与众多基因建立联系，其余大多数基因则没有联系，数值化即 hubgene 为同一网络中具有更高的 connectivity或 degree。 然而抛开网络本身，假如已有先验信息例如知道某个基因具有重要功能，这种也应该作为hubgene在网络中重点关注,即使它并没有太高的connectivity或degree。 由于加权共表达网络用数值度量了点点相关性，所以网络中某点的连通度，相当于与其余所有点相关性的加和。 WGCNA中又将网络划分成了不同modules,所以连通度又可以分为整个网络的 kTotal ,和某个模块的 kWithin 。 kTotal：某基因与网络中其余所有有边相连基因的 degree 之和。 kWithin：某基因与同一模块中其余所有有边相连基因的 degree 之和。对于已知模块，kWithin越大，越可能为 hubgene 。 kOut=kTotal-kWithin, 此基因假设在黄色模块中，则 kOut为 与黄色模块之外所有模块的连通度之和。 kDiff=kIn-kOut=2*kIN-kTotal，评估此基因在某模块中连通性的强弱，不太常用。 计算上有两个策略 参考： https://www.rdocumentation.org/packages/WGCNA/versions/1.70-3/topics/intramodularConnectivity 参考： https://www.rdocumentation.org/packages/WGCNA/versions/1.70-3/topics/chooseTopHubInEachModule GS 为 gene significance 缩写,反映某基因表达量与对应表型数值的相关性，调用 cor 函数计算相关性，绝对值越大，相关性越大，越趋近0，越不相关。 MM 为 module membership 缩写，反映某基因表达量与模块特征值(module eigengenes)的相关。同样调用 cor 函数计算相关性，绝对值越大，相关性越大，越趋近0，越不相关。 ps: 模块特征值 (module eigengenes) 是指基因和样本矩阵进行PCA分析后，每个模块的第一主成分即PC1,是此模块特性的高度代表,可以理解为一个模块就是一个超级代表基因。 需要注意的是这里并没有添加显著检验，正确的做法应该是同时针对pvalue进行控制，比如：|GS|>.2 & |MM|>.8 & pvalue<0.05 Finding genes with high gene significance and high intramodular connectivity in interesting modules,比如: kWithin > 30 & |GS| >0.5 需要注意的时，此时的网络中，由于设定了阈值0.8，则默认剩余基因只要存在边的相连即为存在相关性，则这里的点与点之间数值价值就不大了（不是没有价值），此时degree也可计算为某基因，与之相连边的数目总和，同样也是相连点的数目总和。 ps: TOM (Topological overlap matrix)：把邻接矩阵转换为拓扑重叠矩阵，是另一种距离矩阵。TOM值不止考虑两个基因的关系，还考虑依赖于这一对基因对存在的其它基因的影响，并将之量化，充分考虑了基因表达调控网络的复杂性，也更能代表两个基因之间的实际关系。 例如加入转录因子信息，由于转录因子的特性，往往成为hubgene。 或者某合成通路中的限速酶，也可能会成为模块内的hubgene。 假如这个限速酶连通度并不高，那么跟它有关系的点里有没有连通度高的呢？如果这个点又是一个转录因子，那可就太好了。

加权基因共表达网络分析（ WGCNA , Weighted gene co-expression network analysis ）是一种用来描述不同基因在样本中的表达关联模式的系统生物学方法。 通过将表达高度相关的基因聚集成不同的模块，并探究不同模块与样本表型之间的关联。还可以探究模块内的关键基因的功能，作为潜在的生物标志物或治疗靶点进行后续分析 WGCNA 模块识别算法大致包含以下几个步骤： 输入数据的格式要符合行为样本，列为基因的矩阵格式，因为计算的是基因之间的相关性，所以数据可以是标准化的表达值或者是 read counts 。 探针集或基因可以通过平均表达量或方差（如中位数或绝对中位差）进行过滤，因为低表达或无变化的基因通常代表噪音。 注意 ：并不推荐使用差异基因作为输入矩阵，通过差异表达基因过滤将会导致一个（或几个高度相关的）基因聚成一个模块，同时，也破坏了无标度拓扑的假设，所以通过无标度拓扑拟合来选择软阈值的将会失败。 主要是过滤一些离群或异常的样本，可以对样本数据进行聚类，如果存在异常样本，则其在聚类图中会显示出离群现象，可考虑将其剔除。 首先，对基因的表达量进行 0-1 标准化，即 其中， 为样本方差 然后，使用 pearson 计算基因之间的相关性 两个基因的共表达相似性表示为 然后将基因之间的相似度转换为邻接值，对于非加权网络，计算方式为 其中 为硬阈值，大于等于该阈值表示这两个基因之间存在连接，而低于阈值则认为两个基因没有连接。它们并不能反映共表达信息的连续性质，因此可能导致信息损失。例如，阈值为 0.8 ，那 0.79 是不是应该也有一定的相关性呢？ 在介绍软阈值之前，我们先引出两个图论的概念： 度表示为节点所连接的边的数量 无标度网络具有很好的鲁棒性，网络中某些节点的错误并不会导致整个网络的瘫痪，具有很多的代偿连接。而这一特点，与生物体中的复杂生化网络非常类似，只有少数的基因执行着关键性的功能，而大多数的基因执行较为单一的功能。 无标度网络中，节点 d 的度为 k 的概率满足幂律分布 通过对数变换，变为 从这个公式可以看出，节点的度数与其出现的概率是负相关的，通过计算各个节点的度数 k 与该度数 k 在所有节点度数中的占比的 pearson 相关性，我们可以得到关于无标度网络的适应系数。该系数越接近 1 则越像无标度网络，越接近 0 则越像随机网络。 所以，对于加权网络，其邻接值的计算方式为： 当软阈值 时，会让相关系数小的更小，而大的更大。 可以根据适应系数来筛选软阈值 光有邻接矩阵是不够的，基因间的相似性应该要同时体现在其表达和网络拓扑水平，为了能能够尽可能地最小化噪音和假阳性的影响，因此引入了拓扑重叠矩阵 这个概念的主要表达的是，两个基因 a 和 b 之间的相关性，不光考虑两个基因的表达相关性，还需要考虑一些 A 和 B 共有的表达相关基因 u ，如果 u 足够多，则说明 A 与 B 的网络重叠性强，应该被聚成一类 换个说法，两个人之间的亲密度不仅与他们两人之间有关，还与他们的共同好友有关，共同好友越多，说明他们两人之间应该越亲密 计算公式为： 其中， 分别为 i 和 j 的度数 表示的是两个基因的相似性，转换成距离度量就是 ，并使用该值来进行聚类，并分割模块 我们以 TCGA 的乳腺癌数据作为示例，来完整的做一遍 WGCNA 分析 先安装模块 获取 50 个样本的 FPKM 数据， WGCNA 最少需要 15 个样本， 20 个以上的样本会更好，样本越多越好，这里为了方便，我们只挑了 50 个样本 过滤基因，取绝对中位差 top 5000 的基因 过滤异常样本 确定软阈值的时候，需要选择网络类型，不同的网络类型，其计算邻接值的方法是不一样的。 默认为 unsigned 我在 RStudio 中使用 enableWGCNAThreads() 会引发下面的错误 所以，我改用了 allowWGCNAThreads() ，就可以运行了 绘制软阈值曲线 其中横坐标为软阈值的梯度，第一幅图的纵坐标为无标度网络适应系数，越大越好；第二幅图的纵坐标为节点的平均连通度，越小越好。 查看系统给我们推荐的软阈值 与我们从图上看到的结果是一致的，如果出现了异常的值，也就是说在有效的 power 梯度范围内（无向网络在 power 小于 15 ，有向网络 power 小于 30 ），无法使适应系数的值超过 0.8 ，且平均连接度在 100 以上 可能是由于部分样品与其他样品差别较大。这可能是由于批次效应、样品异质性或实验条件对表达影响太大等因素造成的。 可以对样本绘制聚类图来查看有无异常样品，如果这确实是由于生物学差异引起的，也可以使用下面的经验 power 值。 一步法构建网络，我们使用上面推荐的软阈值 5 查看各模块的基因数量 可以使用 labels2colors 函数将数值转换为颜色名称 使用 plotDendroAndColors 函数来展示各个模块的层次聚类结果 其中，无法聚类到模块中的基因会标示为灰色，如果灰色区域较多，可能由于样本中基因共表达趋势不明显，可能需要调整基因过滤的方法。 展示模块之间的相关性 展示 TOM 矩阵，为了节省时间，我们只使用第一个聚类分支 或者更换一种配色 颜色越深表示基因表达的相关性更高，我们可以看到，模块内的基因之间具有较高的共表达，而模块之间的表达相关性较低 将整个网络全部导出成 Cytoscape 输入文件 保存网络 也可以提取某一模块的基因 获取到基因之后，可以进行富集分析找到相关的生物学通路 我们可以分析各网络模块与样本表型之间的关系，从而找到与我们感兴趣表型相关的模块。 样本表型可以是各种指标，比如肿瘤分期分级、已知的分类亚型、药物响应等，并计算模块与这些表型之间是否具有显著相关性 但是模块是一个矩阵，无法直接计算矩阵和向量之间的相关性，需要转换为向量之间的相关性。 而 WGCNA 选择使用 PCA 的方法对数据降维，并将第一主成分定义为 eigengenes ，然后计算 eigengenes 与表型之间的相关性 先获取并处理临床数据 计算模块与 ER 状态的相关性 如果使用的是其他相关性方法，则可以使用 bicorAndPvalue 函数来计算显著性 绘制相关性图 可以看到有些模块的相关性挺高的，而且也具有显著性。我们计算出模块与表型之间相关性之后，可以挑选最相关的那些模块来进行后续分析。但是，模块本身可能还包含很多的基因，还需要进一步识别关键基因基因。 如何寻找关键基因呢？我们可以计算所有基因与模块之间的相关性，也可以计算基因与表型之间的相关性。如果存在一些基因，既与表型显著相关又跟某个模块显著相关，那么这些基因可能就是非常重要的关键基因了 从上图中，我们可以看到 paleturquoise 具有较高的相关性，且具有显著性，我们就来尝试找找这个模块的关键基因 计算基因与模块的相关性 再计算基因与表型的相关性 展示模块内基因与模块和表型之间的相关性 从图中我们可以看出，基因与表型的相关性和基因与模块的相关性还是有一定的线性趋势的，这说明与表型高度相关的基因，通常也是该表型对应模块内比较重要的基因。 因此，当我们要选择关键基因时，推荐选取散点图中右上角部分的基因，即两个相关性均较大的基因 我们可以导出这个模块的网络

或证明ABC猜想美国哥伦比亚大学数学家Dorian Goldfeld评价说：“abc猜想如果被证明，将一举解决许多著名的Diophantine问题，包括费马大定理。如果Mochizuki的证明是正确的，这将是21世纪最令人震惊的数学成就之一。”望月新一的研究工作与前人的努力并没有太多关联。他建立了一套全新的数学方法，使用了一些全新的数学“对象”——这些抽象实体可类比为我们比较熟悉的几何对象、集合、排列、拓扑和矩阵，只有极少的数学家能够完全理解。就如同戈德费尔德所说：“在当今，他或许是唯一一个完全掌握这套方法的人。”　康拉德认为，这项研究工作“包含着大量的深刻思想，数学界要想完全理解消化需要花很长的时间”。整个证明包含四个长篇论文，每一篇都是建立在之前论文的基础上。“需要花费大量的时间来研读并理解这些深奥的长篇证明，所以我们不能仅仅关注此证明的重要性，更重要的是沿着作者的证明思路进行研究。”　望月新一取得的研究成果使得这一切努力都是值得的。康拉德说：“望月新一曾经成功证明过极为艰深的定理，并且他的论文表达严谨，论述周密。这些都使我们对于成功证明abc猜想充满了信心。”另外，他还补充道，所取得的成绩并不仅限于对此证明的确认。“令人感到兴奋的原因不仅仅在于abc猜想或许已被解决，更在于他所使用的方法和思想将会成为以后解决数论问题的有力工具。 望月新一遇到的情况却有点不同。他已经在ABC猜想的证明工作上独自思考了20年，建立起了他称之为“宇宙际Teichmüller理论”的新世界，定义了各种前所未有的神秘术语，比如第一篇论文讲了“霍奇影院”（Hodge Theater）的构造，第二篇论文则引入了“外星算数全纯结构”（alien arithmetic holomorphic structures）。代数几何和数论领域的大多数资深数学工作者都认为，望月的理论过于玄妙，不值得花上几年时间去仔细阅读，弄清楚新定义的术语、推理的脉络和理论的结构。诚然，最坏的可能是，到头来大家发现这个新理论把自己绕进了死胡同；当然，最好的结果是，望月的证明建立起了新的数学分支，将代数几何和数论统一起来。望月开始埋头研究ABC猜想的证明时，距猜想提出不过10年，而且几乎没有任何进展，望月可以说是几乎从零开始的。之所以说 “几乎”，是因为望月20多岁时，在“远阿贝尔几何”[1]领域中作出过超卓贡献，还被邀请到4年一届的国际数学家大会上演讲。然而，1988年柏林的数学家大会结束之后，望月就从学术界消失，潜心于他自己的宇宙去证明ABC猜想了。他用的理论工具，正是“远阿贝尔几何”。可以说，望月证明ABC猜想的目的之一，就是要把远阿贝尔几何发扬光大。远阿贝尔几何这个数学分支，由代数几何教皇格罗腾迪克于上个世纪80年代创建，研究对象是不同几何物体上的代数簇的基本群的结构相似性。对于数学家来说，检查望月的证明是否存在错漏的另外一个难题就是：要透彻理解望月那512页的ABC猜想的证明，需要先弄懂望月关于远阿贝尔几何的750页的著作！全世界总共只有约50名数学家在这方面有足够的背景知识去通读望月这本远阿贝尔几何著作，更别提望月在证明猜想中建立起来的“宇宙际Teichmüller理论”了。目前为止，自称“宇宙际几何学者”的望月，是他自己创造出的宇宙中的独行者。大多数数论工作者希望，望月能够就他的证明写出一个综述，将整套理论的逻辑脉络展现给大家，比如为什么要引入定理X和概念Y，怎么层层推进到最终猜想的证明。设立千禧年大奖的克雷数学研究所也在考虑邀请望月开办一个讨论班，邀请世界上最优秀的数论和代数几何学家参加，大家一同学习这个新理论。不过，关于望月新一本人，他在发布证明之后拒绝了任何采访，而且他不喜好社交。关于望月的这种出世的行事方法，牛津大学数学教授金明迥作出的评价是：“当你沉浸在自己的理论宇宙中太久，你会察觉不到他人对于你的理论的困惑，因为你先入为主地假设了所有人都明白很多基础知识。”故事到此就告一段落了，大家都在见证历史。疑似比特币创始人2013年5月20日，计算机科学家特德·尼尔森（Ted Nelson，HTTP之父）在youtube上爆料化名中本聪（Satoshi Nakamoto）的比特币创始人其实是京都大学的数学教授望月新一（Shinichi Mochizuki）。没有人知道是谁发明了比特币。开发者使用化名，中本聪，但从比特币出现的那一刻起，人们就没停止过对中本聪身份的挖掘。并且从比特币上线那天开始，就有一台计算机在进行比特币挖矿工作，盛传这台机器就是中本聪的。所以如果望月新一真的是中本聪，他的身价显然已经过亿。尼尔森证据有三点：望月新一足够聪明可以想出比特币如此复杂的系统。望月新一不使用常规的学术发表机制。相反，他的习惯是独自工作，发表论文后，让其他人自己理解。望月新一的工作领域包含比特币的数学算法。视频中，尼尔森极尽对望月新一的溢美之词，称他为伟大的经济学家、社会学家和计算机学家，并觉得他应该因为比特币而获得诺贝尔经济学奖。最后他希望望月新一可以将未来的工作重点放在解决人类最复杂的问题上，比如核武器、恐怖主义以及污染问题。不过，有很多人开始提出质疑，例如，望月新一只是一名纯粹的数学家，一个纯粹的数学家开发出能立刻对现实世界产生重要影响的事情，总是会引人怀疑。而且，纯粹的数学家也不太可能开发出比特币这种模式的虚拟货币。不仅如此，从望月新一发表的各种学术作品来看，他对密码学并不感兴趣，这不符合他的研究领域。还有人指出，虽然比特币创始人中本聪是一个日本名字，但未必意味着此人的真实身份一定是日本人，这本身就很容易形成误导。

空间权重矩阵的缺点是，作为将普通数据延伸至空间数据的桥梁,在理论和应用方面都具有不可忽视的作用,由于空间权重矩阵的不确定性和检验方法的缺乏导致出现权重矩阵的选取和误用问题。

Network graph theory, topological relations, incidence matrix, the basic matrix circuit, the basic cut set matrix

请楼主复习计算机数据结构。上面专门讲完树后，就是讲图。而且对图数据表达有推荐2种方法 第一种方法是邻接矩阵表示法。第二种是邻接链表表示法。由于涉及非常复杂的理论知识，所以这里无法详细说明。 网络拓扑图这种东西输入数值非常多。

孙家钟（1929～2013.02.24），男，中国天津人，中国 *** 党员，中国科学院资深院士，著名理论化学家、教育家，吉林大学原教授。1947年考入国立师范学院化学系，1950年转入燕京大学，1952年毕业于燕京大学化学系，同年年9月参加工作。曾先后兼任全国博士后科研流动站管理协调委员会化学学科专家组成员，国务院第三届学位委员会委员，第二届、第三届学科评议组（化学组）成员，国家教委化学教学指导委员会副组长，《高等学校化学学报》副主编，国际《分子液体杂志》编委，《国际量子化学杂志》编委等职。2013年2月24日10时7分，孙家钟同志因病医治无效在长春逝世，享年84岁。 基本介绍 中文名 ：孙家钟 出生地 ：中国天津 出生日期 ：1929 逝世日期 ：2013.02.24 性别 ：男 人物经历,主要贡献,培养人才,研究课题,配位场理论,分子力研究,高分子固化,研究领域,人物评价, 人物经历 1929年12月7日，出生于天津市。 1947年考入国立师范学院化学系。 1952年9月，毕业于燕京大学化学系。 1952年12月，吉林大学化学系助教。 1956年7月，吉林大学化学系讲师。 1963年12月，吉林大学化学系副教授。 1978年12月至1990年8月，吉林大学理论化学研究所教授，副所长，所长。 1981年，被评为博士生导师。 1989年，任吉林大学理论化学计算国家重点实验室主任，学术委员会主任。 1991年1月，当选为中国科学院院士。 去世前任吉林大学理论化学计算国家重点实验室学术委员会副主任。 2013年2月24日10时7分，因病医治无效在长春与世长辞，享年84岁。 主要贡献 培养人才 吉林大学化学系开创时期，唐敖庆就担任了繁重的教学任务，其独特的授课风格，渊博的知识和充沛的精力，使孙家钟深为叹服，激励着他日以继夜、废寝忘食地埋头于书山之中，书是啃了一本又一本，人却消瘦了，布满血丝的眼睛也深陷了下去。他刻苦读书、钻研，得到了唐敖庆的青睐。在其亲自示范讲授、具体指导下，孙家钟于1954年就开始走上大课讲坛，讲授了第一门课（物质结构），酷似唐老师的授课风格，得到师生的好评，青年教师们都羡慕他得到了唐老师的“真传”。40多年来，孙家钟在吉林大学校内外，先后讲授过物质结构、热力学、量子化学、原子核导论、催化理论、群论在化学中的套用、李代数、量子化学中的酉群方法、相变和重整化群等10多门课程。从1978年以来，他先后培养了35名硕士研究生和25名博士研究生。几十年来，他为国家培养了众多的专业人才，其中已有25人相继晋升为教授（研究员），其中有10人被评聘为博士生导师，成为本单位的学术领导人。在唐敖庆的启蒙下，孙家钟较早地开展了科学研究工作。1956 年发表了自己的第一篇学术论文《分子的平均链长》，从此他的科研工作开始起飞了。由于他在教学与科研上的迅速成长，1963年他成为化学系第一个晋升副教授的青年教师。 孙家钟 研究课题 孙家钟在60年代开始研究李群、李代数及其在化学中的套用和配位场理论。70年代以后的研究课题有：①分子间相互作用；②多重散射X。自洽场理论；③分子轨道对称守恒理论；④李群、李代数和量子化学中的多体问题；⑤二阶约化密度矩阵理论；⑥高分子固化理论和标度研究等。这些课题的研究成果，先后在国内外学术杂志上共发表150余篇论文；他作为主编出版了学术专著《量子化学中的不可约张量方法》，他还是《配位场理论方法》《配位场理论方法补编》和《约化密度矩阵引论》等学术专著的主要作者之一，并完成上述两部配位场理论专著英文版的全部翻译工作。 配位场理论 60年代中期，孙家钟参加了唐敖庆领导的配位场理论研究，1966年，随唐敖庆出席北京暑期国际物理讨论会，配位场理论研究成果被大会评为10项优秀成果之一，讨论会认为它“丰富和发展了配位场理论，为发展化学工业催化剂和受雷射发射等科学技术提供了新的理论依据。”70年代到80年代初，唐敖庆和孙家钟等人继续从事这方面的研究。1982年配位场理论研究获得国家自然科学一等奖，孙家钟名列唐敖庆之后，是第二名获奖者。1982年以后，孙家钟和他的研究集体仍然继续从事这方面的研究工作，并得到实际套用：①提出适用于铁族原子络合物的新的中间场计算方案；②将分子不可约张量方法延拓到二十面体群的对称性，并引入准自旋的概念，使矩阵元的计算进一步得到简化，概括了著名的补态原理；③对中国丰产的稀土离子晶体成功地进行了能谱的理论分析；④对过渡金属络合物进行了与实验结果相符合的理论计算。1985年，法国著名配位场理论专家开布勒评论近年来国际配位场理论研究在五个方面取得了重要成就，其中有三个方面列举了唐敖庆和孙家钟等人在80年代的研究成果，并将其誉为中国学派。 分子力研究 孙家钟等人对分子间相互作用力（即范德华引力）的研究，引起了国内外学术界的重视，仅涉及到生物大分子间的范德华引力研究一文[中国科学，1976，No.（1）]，就先后有100多位外国学者来函向孙家钟索取论文。1978年法国科学院院士、著名量子生物化学家普曼主编的《二原子分子生物大分子的相互作用》专著中，在讨论关于有延迟效应的分子间相互作用问题时，列出了从1948 年开始以来有意义的几项科研成果的作者和年代，其中有1976年孙家钟的上述研究成果。从70年代末期到80年代，孙家钟等人在进行多重散射X。自洽场理论研究中，得到了自洽场中所缺少的原子氛重叠作用项，扩展了套用范围，被国际学术界誉为严格的Xa理论。在1980年荷兰阿姆斯特丹大学冯·狄克姆教授的《嵌入铜和铜镍原子簇的多重散射》学术专著中，列举了上述工作，并整篇幅地引用了孙家钟等人的格林函式双中心展开方法及其公式。80年代，孙家钟等人深刻地揭示了二阶约化密度矩阵的拓扑空间的几何性质，为国际所公认，并建立了前人没有得到的孪函式多组态自洽场方程，作为套用，计算了各类典型的原子和分子的基态和激发态，发现由这类孪函式构造的多电子波函式很好地包括了电子相关作用。这一工作，受到国际密度矩阵学术中心——加拿大皇后大学数学统计系柯尔曼教授的高度重视，并邀请孙家钟于1985年出席由他主持的国际密度矩阵和密度泛函学术讨论会，孙是出席讨论会唯一的化学家，柯尔曼教授向与会的国际知名学者介绍时，称孙家钟是中国的化学数学家，他向大会做的学术报告得到普遍的好评。 孙家钟 院士 高分子固化 在80后代末到90年代初，孙家钟参加了唐敖庆等人进行的高分子固化理论和标度研究，取得两个方面的重要成果：①用标度概念揭示高分子固化本质是溶胶一凝胶的相转变，并得到了描写这种相转变的广义标度律；②建立了含内环化反应的高分子固化理论。孙家钟40多年来的科研工作，既师承唐敖庆的衣钵，又能独辟蹊径，形成自己的特色，专攻运用多种数理方法解决化学中的理论问题，在量子化学多体理论研究方面作出了突出贡献。进入90 年代以来，他又在为采用新的数理方法带领研究集体埋头读书，为攀登新高峰奠定坚实的基础，并已初见成效，预计新的突破性研究成果将是指日可待。 研究领域 主要涉及的科学研究领域如下： 1、分子间相互作用研究：套用1/r12双中心球坐标展开公式和三维旋转群的表示理论，分别得到对称陀螺分子和非对称陀螺分子的取向作用力、诱导力和色散力，证明了一级和二级微扰分子间的相互作用具有加和性；并进一步研究了生物大分子相互作用，解决了具有延迟效应的各种电磁极矩间的相互作用问题。 2、多重散射Xa自洽场理论研究：在得到了格林函式在四个不同区域的双中心展开公式的基础上，推导出正确的原子氛重叠模型的多重散射Xa自洽场方程，拓展了Xa方法的套用范围。 3、约化密度矩阵理论和孪函式的研究：明确地提出了约化密度矩阵具有准自旋群和酉群对称性，揭示了约化密度矩阵拓扑空间的几何性质和各阶约化密度矩阵的内在联系?可用于进一步探索著名的N－表示理论。 4、孪函式与多体理论：在二次量子化表象下，套用辛群对称性群链，引入孪函式表示费米子的态函式，建立了孪函式的多组态自洽场方程。 5、高分子固化理论和标度研究：用标度的概念，揭示了高分子固化的本质是溶胶－凝胶的相转变，并得到了描写这种相转变的广义标度律，建立了含内环化反应的高分子固化理论。 6、配位场理论研究：唐敖庆院士所领导的配位场理论研究在国内外学术界产生了广泛的影响，被誉为中国学派；1982年《配位场理论方法研究》成果获国家自然科学奖一等奖（孙家钟为第二获奖人）。在配位场理论研究中，孙家钟将参数拟合方法与Hartree-Fock方程相结合，发展成一种从头计算的理论方法，并得到套用。 人物评价 为中国理论化学事业做出重大贡献 孙家钟一生对科学孜孜不倦地追求，20世纪50年代，套用1/r12双中心球坐标展开公式和三维旋转群的表示理论，解决了具有延迟效应的各种电磁极矩间的相互作用等重要科学问题。60年代，他参加了配位场理论研究，建立了一套从连续群到点群的不可约张量方法，从而统一了配位场理论的各种方案，创造性地发展和完善了配位场理论，该研究成果1982年荣获国家自然科学奖一等奖（第二获奖人）。他还发展了一种从头计算的理论方法，发展了分子壳模型。80年代，针对国际上广泛使用的Xα理论的缺陷，孙家钟推导出正确的原子氛重叠模型的多重散射Xα自洽场方程，被国际同行称为“精确的多重散射Xα自洽场方法”。90年代，他用标度概念揭示高分子固化本质是溶胶－凝胶转变，得到了描写这种转变的广义标度律，并建立了含内环化反应的高分子固化理论，使高分子统计理论上了一个新的台阶。 孙家钟在致力于科学研究的同时，注重教学和人才培养工作，为中国的理论化学事业做出了重大贡献。 民族气节 孙家钟热爱祖国，学风正派，敢于创新，勤奋进取，实事求是，谦虚谨慎。其优良品德，为人所称道，故深受学生的爱戴。他对外国学者既尊重而又不卑不亢，有崇高的民族气节，1979年12月出席东京国际量子化学会议时，在会场的布告栏上发现有“两个中国”的问题，他和同志们立即严正而又恰如其分地提醒会议予以重视，会议组委会当即改正并表示歉意。 尊老携幼 在国内学术交流活动中，他是“尊老携幼”，对老一辈和同辈的学者既尊重又谦虚，对年轻学者更是热情爱护、真诚帮助，深受同行们的赞誉。孙家钟在教学、科研工作中，注意教书育人，且身教重于言教。每当青年教师、学生出国进修、学习或参与外事活动，他都要叮咛一番，要求他们保持中华民族气节，要和外国人比学习、比工作，不要比生活。在业务学习、科研工作上对助手、青年教师和研究生要求严格，一丝不苟，注意培养他们分析问题、解决问题的能力。每当研究工作进入关键时刻，他常和助手、研究生在工作室里共同战斗，经常通宵达旦，甚至有时连续工作达36小时，废寝忘食进行讨论分析，直到搞清楚才肯罢休。他对青年教师、研究生写出的论文稿，在基本概念的准确表达、文字叙述的严密性以至标点符号等方面都精心推敲，让作者反复修改直到满意才同意发表。最为突出的是有一名博士生论文的中、英文稿均被他退回修改过10多次才算通过，还有一名硕士生在寒假期间，将经过多次修改的论文稿交给老师时，距春节只有5天才离校回家过年，待这位学生在正月初二到校，得知孙老师在年三十和大年初一对此稿进行修改并已正式列印待发时，深为感动。 孙家钟 屈己待人 在名利和生活上他关心别人比对自己为重，屈己待人，凡是研究生发表的论文，虽然是他提出的课题并在关键地方进行指导把关，但自己都总是署名在后，稿费分文不取。有一位毕业分配到上海工作的研究生寄来稿费，他又如数寄回。他对自己在生活上是低标准，粗茶淡饭，穿着朴素，但对助手、青年教师、研究生的住房、经济困难等情况了如指掌，有时解囊帮助，有时亲自奔波帮助找有关部门解决困难。对科研项目提成的经费，他主持分配，自己得到的比应该得到的少得多，总是尽可能地让助手、年轻人多分到一点。所以有研究生说，跟孙老师学习、工作，既是“叫苦连天”，又由衷地敬佩，他对待我们是既十分苛刻，又非常慈祥。孙家钟当选为中国科学院院士后，不止一次地这样说：“没有党的辛勤培养，没有唐敖庆教授的悉心指导，没有甘为‘人梯"的人们创造条件，我将一事无成。”他决心继续攀登理论化学的新高峰，为国家培养更多高层次的优秀人才。

都学最好，因为我计算机专业，这些课程都学过了

可达矩阵求强分图的方法如下。1、用矩阵形式描述有向图的各节点之间经过一定长度的通路后可达到的程度。2、可达矩阵的计算方法是利用布尔矩阵的运算性质。3、可达矩阵对应拓扑几何。描述要素之间的相对位置的关系。

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程序我邮箱里都放着，都是原来上数据结构时写的～～

就此题来说，答案应该是一般。另外给出另一方面的分析，希望能对此题有所帮助。题目：若一个有向图具有有序的拓扑排序序列，那么它的邻接矩阵必定为？（比原题加了个有序的）答案是三角。（这个三角不是特殊矩阵压缩存储时的三角矩阵，而是线性代数中的三角矩阵）可以证明，对于有向图中顶点适当地编号，使其邻接矩阵为三角矩阵且主对角元全为零的充分必要条件是该有向图可以进行拓扑排序。

邻接矩阵是图论中表示图的一种方法，它用一个矩阵来表示图中各个节点之间的连接关系。对于一个有$n$个节点的无向图，其领接矩阵是一个$n imes n$的矩阵$A$，其中：①如果节点$i$和节点$j$之间有边相连，则$A_{i,j}=1$；②如果节点$i$和节点$j$之间没有边相连，则$A_{i,j}=0$。对于一个有向图，其领接矩阵也是一个$n imes n$的矩阵$A$，其中：①如果从节点$i$到节点$j$有一条有向边，则$A_{i,j}=1$；②如果从节点$i$到节点$j$没有一条有向边，则$A_{i,j}=0$。下面以无向图为例，介绍如何求领接矩阵：1、假设我们有一个无向图$G$，它有$n$个节点和$m$条边，我们可以使用一个邻接表来表示这个图。邻接表是一个数组，每个元素表示一个节点，数组中每个元素的值是一个链表，链表中存储了与该节点相邻的其他节点的编号。2、我们可以使用邻接表来求出领接矩阵。具体来说，我们可以创建一个$n imes n$的矩阵$A$，然后遍历邻接表，对于每个节点$i$和其相邻的节点$j$，将$A_{i,j}$和$A_{j,i}$都设置为1，表示这两个节点之间有边相连。最后，我们就可以得到这个无向图的领接矩阵。下面是求领接矩阵的具体步骤：①创建一个$n imes n$的矩阵$A$，并将所有元素初始化为0。②遍历邻接表，对于每个节点$i$和其相邻的节点$j$，将$A_{i,j}$和$A_{j,i}$都设置为1。③返回矩阵$A$，即为这个无向图的领接矩阵。

邻接矩阵是图论中的内容，指的是地址集合中有直接相连关系的集合。若两点m,n之间直接可达 则对应的邻接矩阵的V = a[m][n]=a[n][m] 这里的 V代表的就是 权值，这个值可以是 1 仅仅表示可达 也可以是 两点之间的距离~~~ 也可以是两点之间的费用等等 这个视具体情况来定~~~~2011年

（1）图中各顶点确定后，图的邻接矩阵能唯一确定。（2）无向图和无向网的邻接矩阵沿主对角线对称，且主对角线上元素为0；有向图和有向网的邻接矩阵不一定对称。（2）无向图邻接矩阵的第i行（或第i列）的非零元素的个数即为第i个顶点的度。（4）有向图邻接矩阵的第i行的非零元素的个数即为第i个顶点的出度，第i列的非零元素的个数即为第i个顶点的入度，第i个顶点的度等于第i行与第i列非零元素个数之和。（5）无向图中边数等于邻接矩阵中非零元素个数之和的一半，有向图的弧数等于邻接矩阵中非零元素个数之和。（6）图或网的邻接矩阵，需要一个具有n个元素的一维数组和一个具有n2个元素的二维数组存储，因此，其空间复杂度是0（n2）。

邻接矩阵画法如下：1、先找到一个有向图，有向图和无向图的区别就是多了一些箭头。2、和无向图刚刚开始类似，都是先找到图里面值的范围，画出正方形框。3、然后从0邻接点开始寻找与0相连的邻接点。4、找到邻接点之后，可以看到每条连线上都有权值，看箭头正向的写连线上的值，反向不通的写正无穷大。5、根据以上的方法依次写出1234的邻接矩阵，遇到它本身写0，最后结果如下图所示。

定义 　　邻接矩阵（Adjacency Matrix） 是表示顶点之间相邻关系的矩阵 设G=(V E)是一个图 其中V={v v … v n} G的邻接矩阵是一个具有下列性质的n阶方阵     特点 　　无向图的邻接矩阵一定是对称的 而有向图的邻接矩阵不一定对称 因此 用邻接矩阵来表示一个具有n个顶点的有向图时需要n 个单元来存储邻接矩阵 对有n个顶点的无向图则只存入上（下）三角阵 故只需n(n+ )/ 个单元 　　无向图邻接矩阵的第i行（或第i列）非零元素的个数正好是第i个顶点的度 　　有向图邻接矩阵中第i行非零元素的个数为第i个顶点的出度 第i列非零元素的个数为第i个顶点的入度 第i个顶点的度为第i行与第i列非零元素个数之和 　　用邻接矩阵表示图 很容易确定图中任意两个顶点是否有边相连   邻接矩阵的C语言描述 　　用一个顺序表来存储顶点信息 lishixinzhi/Article/program/sjjg/201311/23768

图是一种非常重要的数据结构，而有向图又是图中一种非常常用的结构。下面来介绍有向图的邻接矩阵画法。工具/原料数位板Easypaint tool sai方法/步骤1如下图所示，如何根据有向图画出其邻接矩阵？2首先，画出矩阵的外围方框，然后在横向和竖向分别按顺序标识出各个邻接点的位置，如下图所示。3从第一行开始，第一行第一列邻接点与自己本身画一个无穷大标识不通，如下图所示。4第一行第二列，第一个邻接点有通往第二个邻接点的路径，这里直接写上路径的长度，如下图所示。5按照不通写上无穷大符号，通则写上路径长度的方式，依次写完第一行剩余的列，如下图所示，一定要注意图的方向，不能颠倒。6按照第一行的画法，依次画出剩余行的矩阵即可。最终结果如下图所示。

邻接矩阵是表示顶点间相邻关系的矩阵 n个顶点的图用一个n^n的矩阵存储； 无权图中，0表示两点不连接，1表示两点连接，关于对角线对称； 带权图中，数字表示连接两点边的边权，不连接通常用无穷或者0来表示； 用数组模拟为图的每一个顶点建立一个存储它连接顶点的链表

一、对称区别：1、无向图的邻接矩阵是对称的。2、有向图的邻接矩阵不一定对称。二、元素区别：1、对于无向图，顶点V1的度是邻接矩阵中第i行（或第i列）的非零元素的个数。2、对于有向图，顶点V1的度是邻接矩阵中第i行和第i列的非零元素的个数之和。扩展资料：邻接矩阵特点无向图的邻接矩阵一定是对称的，而有向图的邻接矩阵不一定对称。因此，用邻接矩阵来表示一个具有n个顶点的有向图时需要n^2个单元来存储邻接矩阵；对有n个顶点的无向图则只存入上（下）三角阵中剔除了左上右下对角线上的0元素后剩余的元素，故只需1+2+...+(n-1)=n(n-1)/2个单元。无向图邻接矩阵的第i行（或第i列）非零元素的个数正好是第i个顶点的度。有向图邻接矩阵中第i行非零元素的个数为第i个顶点的出度，第i列非零元素的个数为第i个顶点的入度，第i个顶点的度为第i行与第i列非零元素个数之和。用邻接矩阵表示图，很容易确定图中任意两个顶点是否有边相连。参考资料来源：百度百科-邻接矩阵

不一样，邻接矩阵(AdjacencyMatrix)：是表示顶点之间相邻关系的矩阵。相邻矩阵（adjacencymatrix）是指一种表示有向图结构的矩阵，两种不属于一个平面。

（1）联系：邻接表中每个链头后的所有边表结点对应邻接矩阵中的每一行，邻接表中的每个边表结点对应邻接矩阵该行的一个非零元素。（2）区别：①对于任一确定的无向图，邻接矩阵是唯一的（行列号与顶点编号一致），但邻接表不唯一（链接次序与顶点编号无关）。②邻接矩阵的空间复杂度为0（n2），而邻接表的空间复杂度为0（n＋e）。③在邻接表上容易找到任意一顶点的第一个邻接点和下一个邻接点，但要判定任意两个顶点（vi，vj）之间是否有边或弧相连，则需搜索第i个或第j个链表，还不及邻接矩阵方便。④邻接矩阵多用于稠密图的存储（e接近n（n－1）／2），而邻接表多用于稀疏图的存储（e＜＜n2）。

以二维矩阵形式表示图，矩阵元素为边的权值（这个权值可依情况表示很多东东，如距离，费用等）

区别如下：邻接矩阵表示顶点之间相邻关系的矩阵，是顺序存储结构。链式矩阵主要特点是用列向量乘行向量和分时累加操作替代行向量乘列向量运算，使得乘法器内所有运算单元都参与每条向量计算过程。

1000个

一般来说，图的邻接矩阵存储法定义如下：typedef struct { VexType vexs[MAXVEX]; AdjType arcs[MAXVEX][MAXVEX]; int n;}GraphMatrix;其中，vexs[MAXVEX]定义了一个顶点表，用来存放顶点信息；arcs[MAXVEX][MAXVEX]定义了一个关系矩阵，用来存放边信息。因此，题主提及的vex大概率指的是顶点表，根据定义的顶点存储结构VexTypy，进行顶点表的构建。

二者的区别：　　邻接矩阵（AdjacencyMatrix）：是表示顶点之间相邻关系的矩阵。设G=(V,E)是一个图，其中V={v1,v2,…,vn}。G的邻接矩阵是一个具有下列性质的n阶方阵：　　①对无向图而言，邻接矩阵一定是对称的，而且主对角线一定为零（在此仅讨论无向简单图），副对角线不一定为0，有向图则不一定如此。　　②在无向图中，任一顶点i的度为第i列所有元素的和，在有向图中顶点i的出度为第i行所有元素的和，而入度为第i列所有元素的和。　　③用邻接矩阵法表示图共需要n^2个空间，由于无向图的邻接矩阵一定具有对称关系，所以扣除对角线为零外，仅需要存储上三角形或下三角形的数据即可，因此仅需要n（n-1）/2个空间。

1．有向图 若图G中的每条边都是有方向的，则称G为有向图(Digraph)。（1）有向边的表示 在有向图中，一条有向边是由两个顶点组成的有序对，有序对通常用尖括号表示。有向边也称为弧(Arc)，边的始点称为弧尾(Tail)，终点称为弧头(Head)。 【例】表示一条有向边，vi是边的始点(起点)，vj是边的终点。因此，和是两条不同的有向边。（2）有向图的表示 【例】下面(a)图中G1是一个有向图。图中边的方向是用从始点指向终点的箭头表示的，该图的顶点集和边集分别为： V(G1)={v1，v2，v3} E(G1)={，，}2．无向图 若图G中的每条边都是没有方向的，则称G为无向图(Undigraph)。（1）无向边的表示 无向图中的边均是顶点的无序对，无序对通常用圆括号表示。 【例】无序对(vi，vj)和(vj，vi)表示同一条边。（2）无向图的表示 【例】下面(b)图中的G2和(c)图中的G3均是无向图，它们的顶点集和边集分别为： V(G2)={v1，v2，v3，v4} E(G2)={(vl，v2)，(v1，v3)，(v1，v4)，(v2，v3)，(v2，v4)，(v3，v4)} V(G3)={v1，v2，v3，v4，v5，v6，v7} E(G3)={(v1，v2)，(vl，v3)，(v2，v4)，(v2，v5)，(v3，v6)，(v3，v7)} 注意： 在以下讨论中，不考虑顶点到其自身的边。即若(v1，v2)或是E(G)中的一条边，则要求v1≠v2。此外，不允许一条边在图中重复出现，即只讨论简单的图。3．图G的顶点数n和边数e的关系（1）若G是无向图，则0≤e≤n(n-1)/2 恰有n(n-1)/2条边的无向图称无向完全图(Undireet-ed Complete Graph)（2）若G是有向图，则0≤e≤n(n-1)。 恰有n(n-1)条边的有向图称为有向完全图(Directed Complete Graph)。

有向图的邻接矩阵不一定是对称的，因为它是有方向的，假如从a到b是可以通行的，但是从b到a则是逆行，为0。

有向图在图中的边是有方向的，表现出来就是有个箭头指示方向，节点只能单向通信或传递消息，相当于单行道，无向图边没方向是双向的，边连接的两个节点有通路可以双向通信，类似于双行道。无向图，边没有方向的图称为无向图。邻接矩阵则是对称的，且只有0和1，因为没有方向的区别后，要么有边，要么没边。有向图，一个有向图D是指一个有序三元组(V(D)，A(D)，ψD)，其中ψD为关联函数，它使A(D)中的每一个元素(称为有向边或弧)对应于V(D)中的一个有序元素(称为顶点或点)对。扩展资料：的G2和(c)图中的G3均是无向图，它们的顶点集和边集分别为：V(G2)={v1，v2，v3，v4}E(G2)={(vl，v2)，(v1，v3)，(v1，v4)，(v2，v3)，(v2，v4)，(v3，v4)}V(G3)={v1，v2，v3，v4，v5，v6，v7}E(G3)={(v1，v2)，(vl，v3)，(v2，v4)，(v2，v5)，(v3，v6)，(v3，v7)}参考资料来源：百度百科-无向图

2倍

如图

我来试试。 既然每个顶点都在一个回路中，那么，一个回路只要有一个顶点已知，那么，这个回路里面所有的顶点都已知了。 因此，最小的n就等于图G中的极大连通分量的个数。然后根据每个顶点继续寻找下一顶点，直到所有顶点都遍历完成。 这是算法的基本思想。

矩阵的元素数目为N^2 也就是答案B非零元素数目为E 也就是答案C

深搜中枚举时由大到小就是这个结果

这里的有向图，应该指强连通有向图。如果允许孤点，有1条弧也行。强连通有向图，满足两个条件：（1）没有孤点；（2）任何两点A、B，至少存在1条路径，从A到B；也至少存在1条路径，从B到A。A>B>C>D,A-->D,存在；D--->A不存在。n个顶点排在一个圆周上，需要的弧最少。n条。

强连通图必须从任何一点出发都可以回到原处,每个节点至少要一条出路(单节点除外)至少有n条边,正好可以组成一个环！

图状结构是一种比树形结构更复杂的非线性结构。在树形结构中，结点间具有分支层次关系，每一层上的结点只能和上一层的至多一个结点相关，但可能和下一层的多个结点相关。而在图状结构中，任意两个结点之间都可能相关，即结点之间的邻接关系可以是任意的。因此，图是 比树更一般、更复杂的非线性结构，常被用于描述各种复杂的数据对象，在自然科学、社会科学和人文科学等许多领域有着非常广泛的应用。 图（Graph）是由非空的顶点集合和一个描述顶点之间的关系——边（或者弧）的集合组成的，其形式化定义为：G=(V,E)、V={v1|v1包含data object}、E={(v1,vj)|(vi,vj 包含V^P(vj,vj)。其中，G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是图G中边的集合，集合E中P(vi,vj)表示顶点vi和顶点vj之间有一条直接连线，即偶对(v1,vj）表示一条边。如：G2=(V2,E2)、V2={v1,v2,v3,v4}、E2={<v1,v2>,<v1,v3>,<v3,v4>,<v4,v1>}。 1、无向图：在一个图中，如果任意两个顶点构成的偶对(vi,vj）包含E是无序的，即顶点之间的连线是没有方向的，则称该图为无向图。 2、有向图：在一个图中，如果任意两个顶点构成的偶对<vj,vj>包含E是有序的（有序对常常用尖括号“<>”表示），即顶点之间的连线是有方向的，则称该图为有向图。6、顶点的度、入度、出度：顶点的度（Degree）是指依附于某顶点v的边数，通常记为TD(v)。顶点v的入度是指以顶点v为终点的弧的数目，记为ID(V)；出度是指以顶点v为始点的弧的数目，记为OD(V)。有TD(V)=ID(v)+OD(v)。 7、边的权、网：与边有关的数据信息称为权(Weight)。在实际应用中，权值可以有某种含义。例如，在一个反映城市交通线路的图中，边上的权值可以表示该条线路的长度或等级；对于一个电子线路图，边上的权值可以表示两个端点之间的电阻、电流或电压值；对于反映工程进度的图而言，边上的权值可以表示从前一个工程到后一个工程所需要的时间或其他代价等。边上带权的图称为网或网络（network）。 8、路径、路径长度：顶点vp到顶点vq之间的路径（path）是指顶点序列vp、vi1、vi2、···、vim、vq。其中，（vp，vi1）、（vi1，vi2）、···、（vim，vq）分别为图中的边。路径上边的数目称为路径长度。 9、简单路径、回路、简单回路：序列中顶点不重复出现的路径称为简单路径。路径中第一个顶点与最后一个顶点相同的 路径称为回路或环（Cycle）。除第一个顶点与最后一个顶点之外，其他顶点不重复出现的回路称为简单回路，或者简单环。 10、子图：对于图G=（V，E），G"=（V",E"），若存在 V"是V的子集， E"是E的子集，则称图 G"是G的的一个子图。 11、连通、连通图、连通分量：在无向图中，如果从一个顶点vi到另一个顶点vj(i=!j)存在路径，则称顶点vi和vj是连通的。如果图中任意两个顶点都是连通的，则称该图是连通图。无向图的极大连通子图称为连通分量，极大连通子图是指在保证连通与子图的条件下，包含原图中所有的顶点与边。 如下图： 12、强连通图、强连通分量：对于有向图来说，若图中任意一对顶点vi和vj（i=!j）均存在从一个顶点vi到另一个顶点vj和从vj到vi的路径，则称该有向图是强连通图。有向图的极大强连通子图称为强连通分量，极大强连通子图的含义同上。 13、生成树：所谓连通图G的生成树，是G的包含其全部n个顶点的一个极小连通子图，所谓极小连通子图是指在包含所有顶点且保证连通的前提下尽可能少地包含原图中的边。生成树必定包含且仅包含连通图G的n-1条边。在生成树中添加任意一条属于原图中的边必定会产生回路，因为新添加的边使其所依附的两个顶点之间有了第二条路径。若生成树中减少任意一条边，则必然成为非连通的。 14、生成森林：在非连通图中，由每个连通分量都可得到一个极小连通子图，即一棵生成树。这些连通分量的生成树就组成了一个非连通图的生成森林。 将上图存储到计算机中，请设计一个数据结构并将其合理存储起来？ 所谓邻接矩阵（Adjacency Matrix）的存储结构，就是用一维数组存储图中的顶点信息，用矩阵表示图中各顶点的信息，用矩阵表示图中各顶点的信息，用矩阵表示图中各顶点之间的邻接关系。假设图G=(V,E)有n个确定的顶点，即V ={v0,v1，···，vn-1}，则表示G中各顶点相邻关系的矩阵为一个n×n的矩阵，矩阵的元素为： A[i][j]={1,若(vi,vj)或<vi,vj>是E(G)中的边 ；2，若(vi,vj）或<vi,vj>不是E(G)中的边。 若G是网，则邻接矩阵可定义为： A[i][j]={wij,若(vi,vj)或<vi,vj>是E(G)中的边 ；0或&，若(vi,vj）或<vi,vj>不是E(G)中的边。（1）无向图的邻接矩阵一定是一个对称矩阵。因此，在具体存放邻接矩阵时只需存放上或下三角矩阵的元素即可。 （2）对于无向图，邻接矩阵的第i行或第i列非零元素或非&元素的个数正好是第i个顶点的度TD(vi)。 （3）对于有向图，邻接矩阵的第i行货第i列非零元素或非&元素的个数正好是第i个顶点的出度OD(vi)或如度ID(vi)。 （4）用邻接矩阵方法存储图，很容易确定图中任意两个顶点之间是否有边相连；但是，要确定图中有多少条边，则必须按行、按列对每个元素进行检测，所花费的时间代价很大。这是用邻接矩阵存储图的局限性。 在实际应用邻接矩阵存储图时，除了用一个二维数组存储用于表示顶点间相邻关系的邻接矩阵外，还需用一个一维数组来存储顶点信息，另外，还有图的顶点树和边树。故可将其形式描述如下： 邻接表（Adjacency List）是图的一种顺序存储于链式存储结合的存储方法。邻接表表示法类似于树的孩子链表表示法。就是对于图G中的每个顶点vi，将所有邻接于vi的顶点vj链成一个单链表，这个单链表就称为顶点vi的邻接表，再将所有顶点的邻接表表头放到数组中，就构成了图邻接表。 在邻接表表示中有两种结点结构：一种是顶点表的结点结构，它由顶点域（vertex）和指向第一条邻接边的指针域（firstedge）构成。另一种是边表即邻接表结点，它由邻接点域（adjvex）和指向下一条邻接边的指针域（next）构成。对于网的边表需再增设一个存储边上的信息（如权值等）的域（info）。

A 、1