公式

初中数学定理 公式汇编

圆心 : 每个圆形只有一个圆心. 圆周：环绕圆形外边线的长度. 直径 : 通过圆心的直线叫做直径/ 半径 : 由圆心至圆周上的直线. 圆周率 : 任何一个圆的周长 都等于这圆直径的3.14159...倍 这倍数是一个不循环的无限小数. 圆周的公式 : 直径 X 3.14 参考: 数学学习本 圆形面积公式: 半径*半径*圆周率 圆周公式 直径*圆周率 扇型面积公式 1.圆面积(半径*半径*圆周率)*圆心角/360 2.圆面积(半径*半径*圆周率)*扇弧/圆周(直径*圆周率) 圆心角:扇型的夹角角度 直径乘3.14or七分之二十二 圆周是指圆或类似形状的周长。 圆周和数学上重要的数学常数π有关。若定义圆周为C，半径为r，直径为d，圆周长和直径的比值即为π[1]： C = π ⋅ d = 2 π ⋅ r . {displaystyle {C}=pi cdot {d}=2pi cdot {r}.!} π的数值是3.14159 26535 89793 ... （参照A000796）。 图中黑色的为圆周（C）， 浅蓝色的是直径（D）， 红色是半径（R）， 洋红色的是圆心。 圆周= π × 直径 = 2 × π × 半径 若圆的半径为1，其圆周为2π 若圆的直径为1，其圆周为π 数学常数π常用在数学、工程学及科学中。 另一个和圆周有关的比例是圆周和半径的比值 C r = 2 π {displaystyle { frac {C}{r}}=2pi }，虽然没有正式的名称，但也常用在弧度及物理常数等许多场合中。 圆周公式 半径x3.14 or 22/7=圆周 参考: myself 直径x兀(3.14/7分之22) 7分之22系直径个数系7嘅倍数先用

圆的面积公式为S=πr2。式中，S为圆的面积；π为常数，圆周率；r为圆的半径。圆面积是指圆形所占的平面空间大小，常用S表示。圆是一种规则的平面几何图形，其计算方法有很多种，比较常见的是开普勒的求解方法，卡瓦利里的求解方法等。 扩展资料 　　公式推导： 　　圆周长（c）：圆的直径（D），那圆的周长（c）除以圆的直径（D）等于π，那利用乘法的意义，就等于π乘圆的直径（D）等于圆的"周长（C），C=πd。而同圆的直径（D）是圆的半径（r）的两倍，所以就圆的周长（c）等于2乘以π乘以圆的半径（r），C=2πr。 　　把圆平均分成若干份，可以拼成一个近似的长方形。长方形的宽就等于圆的半径（r），长方形的长就是圆周长（C）的一半。长方形的面积是ab，那圆的面积就是：圆的半径（r）的平方乘以π，即S=πr2。

考察内接正六边形，得周长大于6*R

三中三工式是什么注明，

or(条件一,条件二)

可以在公式使用四个引号(""""),结果会出现一个"如:="""" & "Test" & """", 结果为:"Test"

根号的解释(1) [radical sign]∶置于某一表示式之前的记号 ,表示要对此表示式取平方根(如a,a+b,2),如 在此 记号前再加一个指标,则表示要取另一个 相应 的根(如加指标 3 便表示取立方根) (2) [radical]∶ 数学上一种根的表示式 详细解释 数学 名词 。方根的符号(√)。 词语分解 根的解释 根 ē 高等植物茎干下部长在土里的部分： 根植 。根茎。根瘤。根毛。根雕。须根。块根。 扎根 。叶落归根。 物体的基部和其他 东西 连着的部分：根底。 根基 。墙根儿。 事物的本源：根源。根由。根本。知根知底。 彻底 号的解释 号 （号） à 名称：国号。年号。字号。 指人除有名、字之外，另起的别称：别号（如“李白，字太白，号号 青莲居士 ”）。 标志：记号。 排定的次序或等级：编号。号码。 扬言，宣称：号称

从个位起向左每隔两位为一节，若带有小数从小数点起向右每隔两位一节，用“，”号将各节分开； 2．求不大于左边第一节数的完全平方数，为“商”； 3．从左边第一节数里减去求得的商，在它们的差的右边写上第二节数作为第一个余数； 4．把商乘以20，试除第一个余数，所得的最大整数作试商(如果这个最大整数大于或等于10，就用9或8作试商)； 5．用商乘以20加上试商再乘以试商。如果所得的积小于或等于余数，就把这个试商写在商后面，作为新商；如果所得的积大于余数，就把试商逐次减小再试，直到积小于或等于余数为止； 6．用同样的方法，继续求。 上述笔算开方方法是我们大多数人上学时课本附录给出的方法，实际中运算中太麻烦了。我们可以采取下面办法，实际计算中不怕某一步算错！！！而上面方法就不行。 比如136161这个数字，首先我们找到一个和136161的平方根比较接近的数，任选一个，比方说300到400间的任何一个数，这里选350，作为代表。 我们计算0.5*(350+136161/350)得到369.5 然后我们再计算0.5*(369.5+136161/369.5)得到369.0003，我们发现369.5和369.0003相差无几，并且，369^2末尾数字为1。我们有理由断定369^2=136161 一般来说能够开方开的尽的，用上述方法算一两次基本结果就出来了。再举个例子：计算469225的平方根。首先我们发现600^2<469225<700^2,我们可以挑选650作为第一次计算的数。即算 0.5*(650+469225/650)得到685.9。而685附近只有685^2末尾数字是5，因此685^2=469225 对于那些开方开不尽的数，用这种方法算两三次精度就很可观了，一般达到小数点后好几位。 实际中这种算法也是计算机用于开方的算法

从个位起向左每隔两位为一节，若带有小数从小数点起向右每隔两位一节，用“，”号将各节分开； 2．求不大于左边第一节数的完全平方数，为“商”； 3．从左边第一节数里减去求得的商，在它们的差的右边写上第二节数作为第一个余数； 4．把商乘以20，试除第一个余数，所得的最大整数作试商(如果这个最大整数大于或等于10，就用9或8作试商)； 5．用商乘以20加上试商再乘以试商。如果所得的积小于或等于余数，就把这个试商写在商后面，作为新商；如果所得的积大于余数，就把试商逐次减小再试，直到积小于或等于余数为止； 6．用同样的方法，继续求。 上述笔算开方方法是我们大多数人上学时课本附录给出的方法，实际中运算中太麻烦了。我们可以采取下面办法，实际计算中不怕某一步算错！！！而上面方法就不行。 比如136161这个数字，首先我们找到一个和136161的平方根比较接近的数，任选一个，比方说300到400间的任何一个数，这里选350，作为代表。 我们计算0.5*(350+136161/350)得到369.5 然后我们再计算0.5*(369.5+136161/369.5)得到369.0003，我们发现369.5和369.0003相差无几，并且，369^2末尾数字为1。我们有理由断定369^2=136161 一般来说能够开方开的尽的，用上述方法算一两次基本结果就出来了。再举个例子：计算469225的平方根。首先我们发现600^2<469225<700^2,我们可以挑选650作为第一次计算的数。即算 0.5*(650+469225/650)得到685.9。而685附近只有685^2末尾数字是5，因此685^2=469225 对于那些开方开不尽的数，用这种方法算两三次精度就很可观了，一般达到小数点后好几位。 实际中这种算法也是计算机用于开方的算法

第一个是正常表达式即√2第三个√2，但没看过这种写法第二个是2，这样写叫画蛇添足具体表示如下图:

根号运算法则：成立条件：a≥0，n≥2且n∈N。成立条件：a≥0, n≥2且n∈N。成立条件：a≥0，b>0，n≥2且n∈N。成立条件：a≥0，b>0,n≥2且n∈N。整数的除法法则1）从被除数的高位起，先看除数有几位，再用除数试除被除数的前几位，如果它比除数小，再试除多一位数。2）除到被除数的哪一位，就在那一位上面写上商。3）每次除后余下的数必须比除数小。除数是整数的小数除法法则：1）按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐。2）如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面补零，再继续除。

等式两边同取自然对数，得：10*ln（1+i）=ln1.12345679ln（1+i）=(ln1.12345679)/101+i=10的[(ln1.12345679)/10]次方i=10的[(ln1.12345679)/10]次方-1下面接过刻有自然对数表或科学计算器计算出来

一半根号用计算器算，根号2///根号3要记住

Excel表格中开百根号方法有多种。  这里介绍一种常用的，那就是在函数栏输入“=（数值或表达式）^(1/开方数)”，实操如下：  1、新建一个Excel表格，为了方便演示并输入度一定数据，如下图。2、假设我们要在D1处计算出“A1+B1的和拿来开2次方的结果”，那么选中D1单元格，如下图。  4、开几次方就把开方数改成几，比如把上答一步改成开4次方，如下图。4、开几次方就把开方数改成几，比如把上答一步改成开4次方。扩展资料：开平方的理论依据：开平方是平方的逆运算，只要我们知道平方的计算方法，开平方就迎刃而解了。我们令10位数值为A，个位数值为B，即为A*10+B，根据二数和的平方有：(Ax10+B)^2=(Ax10)^2+2(Ax10)xB+B^2=(A^2)x100+(20A+B)xB。举例说明：例359^2计算方法1、3^2=9，2、(20x3+5)x5=325，3、(20*35+9)*9=6381，4、将这些数，按两位分节合起来：90000+32500+6381=128881。得359^2=128881。

如果一个非负数x的平方等于a，即x²=a，（a≥0），那么这个非负数 x 叫做 a 的算术平方根。求一个非负数 a 的平方根的运算叫做开平方，即开根号的公式为√a。 开根号基础公式 ①√ab=√a·√b﹙a≥0b≥0﹚ 这个可以交互使用。这个最多运用于化简，如：√8=√4·√2=2√2 ②√a／b=√a÷√b﹙a≥0b﹥0﹚ ③√a²=|a|（其实就是等于绝对值）这个知识点是二次根式重点也是难点。 当a＞0时，√a²=a（等于它的本身） 当a=0时，√a²=0 当a＜0时，√a²=－a(等于它的相反数) ④分母有理化：分母不能有二次根式或者不能含有二次根式。 ⑴当分母中只有一个二次根式，那么利用分式性质，分子分母同时乘以相同的二次根式。如：分母是√3，那么分子分母同时乘以√3。 ⑵当分母中含有二次根式，利用平方差公式使分母有理化。具体方法，如：分母是√5 －2（表示√5与2的差）要使分母有理化，分子分母同时乘以√5＋2（表示√5与2的和） 平方根记忆口诀 负数方根不能行，零取方根仍为零。 正数方根有两个，符号相反值相同。 2作根指可省略，其它务必要写明。 负数只有奇次根，算术方根零或正。

根号计算公式是√ab=√a·√b，根号是一个数学符号。根号的意义就是用来表示对一个数或一个代数式进行开方运算的符号，对初中数学来说，根号的意义是表示算术平方根，它的性质是根号a是非负数，根号下a方等于a的绝对值，根号a的平方等于a。平方根性质根号即平方根性质．任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，如正数a的算术平方根是x，则a的另一个平方根为﹣x，零的平方根是零，负数没有平方根，有理化根式，如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式互为有理化根式，也称互为有理化因式，无理数可用有理数形式表示。

平面几何中的定理大多数都是由数学家名字命名的.太多了 梅涅劳斯（Menelaus）定理： 塞瓦(Ceva)定理： 西摩松（Simson）定理：若从△ABC外接圆上一点P作三边的垂线,三垂足分共线. 托勒密定理：圆内接四边形中,两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)． 笛沙格定理 欧拉公式

牛顿定律公式如下：第一定律说明了力的含义：力是改变物体运动状态的原因；第二定律指出了力的作用效果：力使物体获得加速度；第三定律揭示出力的本质：力是物体间的相互作用。牛顿运动定律(Newton"s laws of motion)包括牛顿第一运动定律、牛顿第二运动定律和牛顿第三运动定律三条定律，由艾萨克·牛顿在1687年于《自然哲学的数学原理》一书中总结提出牛顿运动定律在研究对象上呈递进关系。第一、第二定律只研究单一物体（可以只有一个物体，也可以从众多物体中隔离出一个物体来作为研究对象），解决其不受力或受很多力作用后的运动问题；第三定律扩展了研究对象，至少研究是两个物体之间的相互作用这种相互作用制约或影响了研究对象或研究对象以外的其它物体的运动。只有把第一、第二和第三定律有机结合才能解决全部的复杂动力学问题，由质点的动力学出发去解决质点系、刚体、流体、振动、波动等的力学问题。艾萨克·牛顿（1643年1月4日—1727年3月31日），爵士，英国皇家学会会长，英国著名的物理学家、数学家，百科全书式的“全才”，著有《自然哲学的数学原理》、《光学》。

牛顿第一运动定律：孤立质点保持静止或做匀速直线运动；用公式表达为：牛顿第二运动定律：在外力的作用下，其动量随时间的变化率同该质点所受的外力成正比，并与外力的方向相同；用公式表达为：牛顿第三运动定律：相互作用的两个质点之间的作用力和反作用力总是大小相等，方向相反，作用在同一条直线上；用公式表达为：扩展资料：牛顿定律特点牛顿运动定律的内在逻辑符合自洽一致性，即三定律顺承逻辑相容构成有机整体：牛顿运动定律在研究对象上呈递进关系。第一、第二定律只研究单一物体（可以只有一个物体，也可以从众多物体中隔离出一个物体来作为研究对象），解决其不受力或受很多力作用后的运动问题；第三定律扩展了研究对象，至少研究是两个物体之间的相互作用，这种相互作用制约或影响了研究对象或研究对象以外的其它物体的运动。只有把第一、第二和第三定律有机结合才能解决全部的复杂动力学问题，由质点的动力学出发去解决质点系、刚体、流体、振动、波动等的力学问题。牛顿运动定律都只在第一定律确定的惯性参考系成立。牛顿的绝对时空观中的惯性系虽然存在逻辑循环（或称逻辑同一）之难，但是在动力学的力的语言表达中是理论体系必不可少的。一切动力学问题确定了惯性系便能解决。由于任何科学都不可能做到绝对真理，力学也是一门近似程度比较高的科学，绝对的惯性系不存在，但近似的惯性系是始终存在。牛顿运动定律只在惯性系中适用，说明了三定律的一致性。 参考资料来源：百度百科-牛顿运动定律

【牛顿第一运动定律】一切物体在任何情况下，在不受外力的作用时，总保持静止或匀速直线运动状态。 一切物体在任何情况下，在不受外力的作用时，总保持静止或匀速直线运动状态。 一切物体总保持匀速直线运动状态或静止状态，直到有外力迫使它改变这种状态为止。这就是牛顿第一定律。 牛顿第一定律还可缩写成：动者恒动，静者恒静。 A particle will stay at rest or continue at a constant velocity， unless acted upon by an external unbalanced force。 物体都有维持静止和作匀速直线运动的趋势，因此物体的运动状态是由它的运动速度决定的，没有外力，它的运动状态是不会改变的。物体的保持原有运动状态不变的性质称为惯性(inertia)惯性的大小由质量量度。所以牛顿第一定律也称为惯性定律(law of inertia)。牛顿第一定律也阐明了力的概念。明确了力是物体间的相互作用，指出了是力改变了物体的运动状态。因为加速度是描写物体运动状态的变化，所以力是和加速度相联系的，而不是和速度相联系的。在日常生活中不注意这点，往往容易产生错觉。 〖注意〗 （1）牛顿第一定律并不是在所有的参照系里都成立，实际上它只在惯性参照系里才成立。因此常常把牛顿第一定律是否成立，作为一个参照系是否惯性参照系的判据。 （2）牛顿第一定律是通过分析事实，再进一步概括、推理得出的。我们周围的物体，都要受到这个力或那个力的作用，因此不可能用实验来直接验证这一定律。但是，从定律得出的一切推论，都经受住了实践的检验，因此，牛顿第一定律已成为大家公认的力学基本定律之一。 【牛顿第二运动定律】物体的加速度跟物体所受的合外力成正比，跟物体的质量成反比，加速度的方向跟合外力的方向相同。∑F=ma或F合=ma 【牛顿第三运动定律】两个物体之间的作用力和反作用力，在同一条直线上，大小相等，方向相反。 F=-F" （F表示作用力，F"表示反作用力，负号表示反作用力F"与作用力F的方向相反）

你好，顿定律共有四个：牛顿第一定律、牛顿第二定律、牛顿第三定律、万有引力定律。牛顿第一定律内容：一切物体在任何情况下，在不受外力的作用时，总保持静止或匀速直线运动状态。牛顿第二定律定律内容：物体的加速度跟物体所受的合外力成正比，跟物体的质量成反比，加速度的方向跟合外力的方向相同。公式：F合=ma牛顿第三定律内容：两个物体之间的作用力和反作用力，在同一条直线上，大小相等，方向相反。表达式：F1=F2，F1表示作用力，F2表示反作用力。万有引力定律定律内容：自然界种任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小与两物体的质量的乘积成正比，与两物体间距离的平方成反比。用公式表示为：F=G*M1M2/（R*R） （G=6.67×10^-11N•m^2/kg^2） 可以读成F等于G乘以M1M2除以R的平方商。F：两个物体之间的引力 ，G：万有引力常数 ，m1：物体1的质量 ，m2：物体2的质量，r：两个物体之间的距离。（赠人玫瑰手有余香，如果回答有用，帮忙点回答下面的“好评”，谢谢^_^!）

牛顿第一运动定律：孤立质点保持静止或做匀速直线运动；用公式表达为：牛顿第二运动定律：在外力的作用下，其动量随时间的变化率同该质点所受的外力成正比，并与外力的方向相同；用公式表达为：牛顿第三运动定律：相互作用的两个质点之间的作用力和反作用力总是大小相等，方向相反，作用在同一条直线上；用公式表达为：扩展资料：牛顿定律特点牛顿运动定律的内在逻辑符合自洽一致性，即三定律顺承逻辑相容构成有机整体：牛顿运动定律在研究对象上呈递进关系。第一、第二定律只研究单一物体（可以只有一个物体，也可以从众多物体中隔离出一个物体来作为研究对象），解决其不受力或受很多力作用后的运动问题；第三定律扩展了研究对象，至少研究是两个物体之间的相互作用，这种相互作用制约或影响了研究对象或研究对象以外的其它物体的运动。只有把第一、第二和第三定律有机结合才能解决全部的复杂动力学问题，由质点的动力学出发去解决质点系、刚体、流体、振动、波动等的力学问题。牛顿运动定律都只在第一定律确定的惯性参考系成立。牛顿的绝对时空观中的惯性系虽然存在逻辑循环（或称逻辑同一）之难，但是在动力学的力的语言表达中是理论体系必不可少的。一切动力学问题确定了惯性系便能解决。由于任何科学都不可能做到绝对真理，力学也是一门近似程度比较高的科学，绝对的惯性系不存在，但近似的惯性系是始终存在。牛顿运动定律只在惯性系中适用，说明了三定律的一致性。 参考资料来源：百度百科-牛顿运动定律

牛顿三大定律是经典力学基本运动定律的总称，那么，牛顿三大定律特点及公式是什么呢？下面我整理了一些相关信息，供大家参考！ 什么是牛顿三大定律 牛顿第一运动定律：一切物体在没有受到外力作用的时候，总保持匀速直线运动或静止状态，也就是惯性定律了。说明一切物体都有惯性。 牛顿第二运动定律：物体的加速度跟物体所受的合外力成正比，跟物体的质量成反比，加速度的方向跟合外力的方向相同。也就是公式，F合=ma（这是高中学的） 而，牛顿发表的原始公式：F=d(mv)/dt，即微分形式。对时间求积分可以得到动量定理。 牛顿第三运动定律：两个物体之间的作用力和反作用力，在同一直线上，大小相等，方向相反。 牛顿三大定律的特点 1、牛顿运动定律中的各定律互相独立，且内在逻辑符合自洽一致性。其适用范围是经典力学范围，适用条件是质点、惯性参考系以及宏观、低速运动问题。牛顿运动定律阐释了牛顿力学的完整体系，阐述了经典力学中基本的运动规律，在各领域上应用广泛。 2、牛顿运动定律是力学中重要的定律，是研究经典力学甚至物理学的基础，阐述了经典力学中基本的运动规律。该定律的适用范围为由牛顿第一运动定律所给出惯性参考系，并使人们对物理问题的研究和物理量的测量有意义。 3、牛顿运动定律只适用宏观问题。当考察的物体的运动线度可以和该物体的德布罗意波相比拟时，由粒子运动不确定性关系式可知，该物体的动量和位置已不能同时准确获知，故牛顿动力学方程缺少准确的初始条件而无法求解，即经典的描述方法由于粒子运动不确定性关系式已经失效或者需要修改。 牛顿三大定律公式是什么 1、牛顿第一定律(惯性定律) : 物体总保持匀速直线运动状态或静止状态,直到有外力迫使它改变这种状态为止。 2、牛顿第二定律公式: F合=ma或a=F合/m a由合外力决定,与合外力方向-致。 3、牛顿第三定律公式: F= -F" 负鳄表标方向相板, F、F"为- 对作用力与反作肋,各自作用在对方。 4 、共点力的受力平衡公式: F合=0 二功平衡则满足公式F1=-F2 请注意,二力平衡与作力与版作用力是不一样的。二功平衡的研究对象,同一个物体;而作用力与反作力,研究对象是两个不同的物体。 5、超重与失重的公式: 超重满足: N>G 失重满足: N<G N为支持力, G为物体所受重力,不管失重还是超重,物体所受重力是不变的。

三点共线向量公式：(x2-x1)(y3-y1)=(x3-x1)(y2-y1)。三点共线指的是三点在同一条直线上。可以设三点为A、B、C，利用向量证明：λAB=AC（其中λ为非零实数）。三点共线证明方法：方法一：取两点确立一条直线，计算该直线的解析式.代入第三点坐标看是否满足该解析式（直线与方程）。方法二：设三点为A、B、C，利用向量证明：λAB=AC（其中λ为非零实数）。方法三：利用点差法求出AB斜率和AC斜率，相等即三点共线。方法四：用梅涅劳斯定理。

三点共线是指三点在同一条直线上，三点共线向量公式是：(x2-x1)(y3-y1)=(x3-x1)(y2-y1)。 扩展资料 三点共线是指三点在同一条直线上，三点共线向量公式是：(x2-x1)(y3-y1)=(x3-x1)(y2-y1)，而证明三点共线的方法是取两点确立一条直线，计算该直线的解析式，代入第三点坐标看是否满足该解析式（直线与方程）。

P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、P3(x3,y3)三点共线的条件为：(y2-y1)/(x2-x1)=(y3-y1)/(x3-x1)——这是充要条件,由此派生出：(y2-y1)/(x2-x1)=(y3-y2)/(x3-x2)或(y1-y2)/(x1-x2)=(y3-y2)/(x3-x2) 不知道所提的“怎么用”是什...

计算向量AB=（3,4,2）,计算向量BC=（3,4,2）,由于向量代表了两个点构成的直线的指向（即斜率）,这两个向量平行,又有公共点B,所以三个点共线.

用三阶行列式：a1 b1 1a2 b2 1 =0a3 b3 1

梅尼劳斯（Menelaus）定理是由古希腊数学家梅尼劳斯首先证明的。它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。　　证明：　　过点A作AG∥BC交DF的延长线于G,　　则AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。　　三式相乘得：AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=1　　它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1，则F、D、E三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。--------------------------------------------------------------------------------------类似的还有重要的3个分别为：赛瓦定理：　　设A",B",C"分别是△ABC的三边BC,CA,AB或其延长线上的点，若AA",BB",CC"三线平行或共点，则（BA"/A"C）(CB"/B"A)(AC"/C"B)=1.　　塞瓦定理的逆定理： 设A",B",C"分别是△ABC的三边BC,CA,AB或其延长线上的点，若（BA"/A"C）（CB"/B"A）（AC"/C"B）=1 则AA",BB",CC"三直线共点或三直线互相平行。　　赛瓦（G·CEVA，1648---1734）定理及其逆定理可用来证明有关三直线共点的问题。-------------------------------------------------------------------------------------定理的提出　　一般几何教科书中的“托勒密定理”，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出。[编辑本段]定理的内容　　托勒密(Ptolemy)定理指出，圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 　　原文：圆内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。　　从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．[编辑本段]证明　　一、（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。）　　在任意四边形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD　　因为△ABE∽△ACD　　所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)　　又有比例式AB/AC=AE/AD　　而∠BAC=∠DAE　　所以△ABC∽△AED相似.　　BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD (2)　　(1)+(2),得　　AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC　　又因为BE+ED≥BD　　（仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）　　所以命题得证 　　复数证明　　用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。 首先注意到复数恒等式： (a �6�1 b)(c �6�1 d) + (a �6�1 d)(b �6�1 c) = (a �6�1 c)(b �6�1 d) ，两边取模，运用三角不等式得。 等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。 四点不限于同一平面。 平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。 　　二、 　　设ABCD是圆内接四边形。 在弦BC上，圆周角∠BAC = ∠BDC，而在AB上，∠ADB = ∠ACB。 在AC上取一点K，使得∠ABK = ∠CBD； 因为∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，所以∠CBK = ∠ABD。 因此△ABK与△DBC相似，同理也有△ABD ~ △KBC。 因此AK/AB = CD/BD，且CK/BC = DA/BD； 因此AK·BD = AB·CD，且CK·BD = BC·DA； 两式相加，得(AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA； 但AK+CK = AC，因此AC·BD = AB·CD + BC·DA。证毕。　　三、　　托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)．已知：圆内接四边形ABCD，求证：AC·BD＝AB·CD＋AD·BC． 　　证明：如图1，过C作CP交BD于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△ACD∽△BCP．得.....又∠ACB=∠DCP，∠5=∠6，∴△ACB∽△DCP．得.....①＋②得 AC(BP＋DP)=AB·CD＋AD·BC．即AC·BD=AB·CD＋AD·BC． 　　[编辑本段]推论　　1.任意凸四边形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，当且仅当ABCD四点共圆时取等号。　　2.托勒密定理的逆定理同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆、[编辑本段]推广　　托勒密不等式：四边形的任两组对边乘积不小于另外一组对边的乘积，取等号当且仅当共圆或共线。　　简单的证明：复数恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，两边取模，　　得不等式AC·BD≤|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB·CD+BC·AD 　　注意：　　1.等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。 　　2.四点不限于同一平面。 　　欧拉定理：在一条线段上AD上，顺次标有B、C两点，则AD·BC+AB·CD=AC·BD--------------------------------------------------------------------------------------欧拉定理　　对于互质的整数a和n，有a^φ(n) ≡ 1 (mod n) 　　证明： 　　首先证明下面这个命题： 　　对于集合Zn={x1,x2,...,xφ(n)},其中xi(i=1,2,…φ(n))是φ(n)个n的素数，且两两互素，即n的一个化简剩余系，或称简系，或称缩系)，考虑集合S = {a*x1(mod n),a*x2(mod n),...,a*xφ(n)(mod n)} 　　则S = Zn 　　1) 由于a,n互质，xi也与n互质，则a*xi也一定于p互质，因此 　　任意xi，a*xi(mod n) 必然是Zn的一个元素 　　2) 对于Zn中两个元素xi和xj，如果xi ≠ xj 　　则a*xi(mod n) ≠ a*xi(mod n)，这个由a、p互质和消去律可以得出。 　　所以，很明显，S=Zn 　　既然这样，那么 　　（a*x1 × a*x2×...×a*xφ(n)）(mod n) 　　= （a*x1(mod n) × a*x2(mod n) × ... × a*xφ(n)(mod n)）(mod n) 　　= （x1 × x2 × ... × xφ(n)）(mod n) 　　考虑上面等式左边和右边 　　左边等于(a*（x1 × x2 × ... × xφ(n)）) (mod n) 　　右边等于x1 × x2 × ... × xφ(n)）(mod n) 　　而x1 × x2 × ... × xφ(n)(mod n)和n互质 　　根据消去律，可以从等式两边约去，就得到： 　　a^φ(n) ≡ 1 (mod n) 　　推论：对于互质的数a、n，满足a^(φ(n)+1) ≡ a (mod n) 　　费马定理: 　　a是不能被质数p整除的正整数，则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p) 　　证明这个定理非常简单，由于φ(p) = p-1，代入欧拉定理即可证明。 　　同样有推论：对于不能被质数p整除的正整数a，有a^p ≡ a (mod p)[编辑本段]欧拉公式　　简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系　　V+F-E=2　　这个公式叫欧拉公式。公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律。[编辑本段]认识欧拉　　欧拉，瑞士数学家，13岁进巴塞尔大学读书，得到著名数学家贝努利的精心指导．欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他从19岁开始发表论文，直到76岁，他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文，其中在世时发表了700多篇论文。彼得堡科学院为了整理他的著作，整整用了47年。　　欧拉著作惊人的高产并不是偶然的。他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，可以使他在任何不良的环境中工作：他常常抱着孩子在膝盖上完成论文。即使在他双目失明后的17年间，也没有停止对数学的研究，口述了好几本书和400余篇的论文。当他写出了计算天王星轨道的计算要领后离开了人世。欧拉永远是我们可敬的老师。　　欧拉研究论著几乎涉及到所有数学分支，对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音乐都有研究！有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。欧拉写的数学教材在当时一直被当作标准教程。19世纪伟大的数学家高斯（Gauss，1777-1855）曾说过“研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法”。欧拉还是数学符号发明者，他创设的许多数学符号，例如π，i，e，sin，cos，tg，Σ，f (x)等等，至今沿用。　　欧拉不仅解决了彗星轨迹的计算问题，还解决了使牛顿头痛的月离问题。对著名的“哥尼斯堡七桥问题”的完美解答开创了“图论”的研究。欧拉发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数V、棱数E、面数F之间总有关系V+F-E=2，此式称为欧拉公式。V+F-E即欧拉示性数，已成为“拓扑学”的基础概念。那么什么是“拓扑学”？ 欧拉是如何发现这个关系的？他是用什么方法研究的？今天让我们沿着欧拉的足迹，怀着崇敬的心情和欣赏的态度探索这个公式......[编辑本段]欧拉定理的意义　　（1）数学规律：公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律　　（2）思想方法创新：定理发现证明过程中，观念上，假设它的表面是橡皮薄膜制成的，可随意拉伸；方法上将底面剪掉，化为平面图形（立体图→平面拉开图）。　　（3）引入拓扑学：从立体图到拉开图，各面的形状、长度、距离、面积等与度量有关的量发生了变化，而顶点数，面数，棱数等不变。　　定理引导我们进入一个新几何学领域：拓扑学。我们用一种可随意变形但不得撕破或粘连的材料（如橡皮波）做成的图形，拓扑学就是研究图形在这种变形过程中的不变的性质。　　（4）提出多面体分类方法：　　在欧拉公式中， f (p)=V+F-E 叫做欧拉示性数。欧拉定理告诉我们，简单多面体f (p)=2。　　除简单多面体外，还有非简单多面体。例如，将长方体挖去一个洞，连结底面相应顶点得到的多面体。它的表面不能经过连续变形变为一个球面，而能变为一个环面。其欧拉示性数f (p)=16+16-32=0，即带一个洞的多面体的欧拉示性数为0。　　（5）利用欧拉定理可解决一些实际问题　　如：为什么正多面体只有5种？ 足球与C60的关系？否有棱数为7的正多面体？等[编辑本段]欧拉定理的证明　　方法1：（利用几何画板）　　逐步减少多面体的棱数，分析V+F-E　　先以简单的四面体ABCD为例分析证法。　　去掉一个面，使它变为平面图形，四面体顶点数V、棱数E与剩下的面数F1变形后都没有变。因此，要研究V、E和F关系，只需去掉一个面变为平面图形，证V+F1-E=1　　（1）去掉一条棱，就减少一个面，V+F1-E不变。依次去掉所有的面，变为“树枝形”。　　（2）从剩下的树枝形中，每去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F1-E不变，直至只剩下一条棱。　　以上过程V+F1-E不变，V+F1-E=1，所以加上去掉的一个面，V+F-E =2。 　　对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。因此公式对任意简单多面体都是正确的。　　方法2：计算多面体各面内角和　　设多面体顶点数V，面数F，棱数E。剪掉一个面，使它变为平面图形（拉开图）,求所有面内角总和Σα　　一方面，在原图中利用各面求内角总和。 　　设有F个面，各面的边数为n1,n2，…，nF，各面内角总和为：　　Σα = [(n1-2)·180度+(n2-2)·180度+…+(nF-2) ·180度]　　= (n1+n2+…+nF -2F) ·180度　　=(2E-2F) ·180度 = (E-F) ·360度 （1）　　另一方面，在拉开图中利用顶点求内角总和。　　设剪去的一个面为n边形，其内角和为(n-2)·180角，则所有V个顶点中，有n个顶点在边上，V-n个顶点在中间。中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)·360度，边上的n个顶点处的内角和(n-2)·180度。　　所以，多面体各面的内角总和：　　Σα = (V-n)·360度+(n-2)·180度+(n-2)·180度　　=（V-2）·360度（2）　　由(1)(2)得： (E-F) ·360度=（V-2）·360度 　　所以 V+F-E=2. 　　方法3 用拓朴学方法证明欧拉公式 　　图尝试一下用拓朴学方法证明关于多面体的面、棱、顶点数的欧拉公式。　　欧拉公式：对于任意多面体（即各面都是平面多边形并且没有洞的立体），假设F，E和V分别表示面，棱（或边），角（或顶）的个数，那末　　F-E+V=2。　　证明 如图（图是立方体，但证明是一般的，是“拓朴”的）：　　（1）把多面体（图中①）看成表面是薄橡皮的中空立体。　　（2）去掉多面体的一个面，就可以完全拉开铺在平面上而得到一个平面中的直线形，像图中②的样子。假设F′，E′和V′分别表示这个平面图形的（简单）多边形、边和顶点的个数，我们只须证明F′-E′+V′=1。　　（3）对于这个平面图形，进行三角形分割，也就是说，对于还不是三角形的多边形陆续引进对角线，一直到成为一些三角形为止，像图中③的样子。每引进一条对角线，F′和E′各增加1，而V′却不变，所以F′-E′+V′不变。因此当完全分割成三角形的时候，F′-E′+V′的值仍然没有变。有些三角形有一边或两边在平面图形的边界上。　　（4）如果某一个三角形有一边在边界上，例如图④中的△ABC，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即AC，这样也就去掉了△ABC。这样F′和E′各减去1而V′不变，所以F′-E′+V′也没有变。　　（5）如果某一个三角形有二边在边界上，例如图⑤中的△DEF，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即DF和EF，这样就去掉△DEF。这样F′减去1，E′减去2，V′减去1，因此F′-E′+V′仍没有变。　　（6）这样继续进行，直到只剩下一个三角形为止，像图中⑥的样子。这时F′=1，E′=3，V′=3，因此F′-E′+V′=1-3+3=1。　　（7）因为原来图形是连在一起的，中间引进的各种变化也不破坏这事实，因此最后图形还是连在一起的，所以最后不会是分散在向外的几个三角形，像图中⑦那样。　　（8）如果最后是像图中⑧的样子，我们可以去掉其中的一个三角形，也就是去掉1个三角形，3个边和2个顶点。因此F′-E′+V′仍然没有变。　　即F′-E′+V′=1　　成立，于是欧拉公式：　　F-E+V=2　　得证。[编辑本段]欧拉定理的运用方法　　（1）分式： 　　a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b) 　　当r=0,1时式子的值为0 　　当r=2时值为1 　　当r=3时值为a+b+c 　　（2）复数 　　由e＾iθ=cosθ+isinθ,得到： 　　sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）/2i 　　cosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）/2　　（3）三角形 　　设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则： 　　d＾2=R＾2-2Rr 　　（4）多面体 　　设v为顶点数，e为棱数，f是面数，则 　　v-e+f=2-2p　　p为欧拉示性数，例如 　　p=0 的多面体叫第零类多面体 　　p=1 的多面体叫第一类多面体 　　(5) 多边形　　设一个二维几何图形的顶点数为V，划分区域数为Ar，一笔画笔数为B,则有：　　V+Ar-B=1　　(如：矩形加上两条对角线所组成的图形，V=5,Ar=4,B=8)　　(6). 欧拉定理　　在同一个三角形中，它的外心Circumcenter、重心Gravity、九点圆圆心Nine-point-center、垂心Orthocenter共线。　　其实欧拉公式是有很多的，上面仅是几个常用的。[编辑本段]使用欧拉定理计算足球五边形和六边形数　　问：足球表面由五边型和六边型的皮革拼成，计算一共有多少个这样的五边型和六边型？　　答：足球是多面体，满足欧拉公式F－E＋V＝2，其中F,E,V分别表示面,棱,顶点的个数　　设足球表面正五边形(黑皮子)和正六边形(白皮子)的面各有x个和y个，那么　　面数F＝x＋y　　棱数E＝(5x+6y)/2（每条棱由一块黑皮子和一块白皮子共用）　　顶点数V＝(5x+6y)/3（每个顶点由三块皮子共用）　　由欧拉公式，x＋y－(5x+6y)/2＋(5x+6y)/3＝2，　　解得x＝12。所以，共有12块黑皮子　　所以，黑皮子一共有12×5＝60条棱，这60条棱都是与白皮子缝合在一起的　　对于白皮子来说：每块白色皮子的6条边中，有3条边与黑色皮子的边缝在一起，另3条边则与其它白色皮子的边缝在一起。　　所以白皮子所有边的一半是与黑皮子缝合在一起的　　那么白皮子就应该一共有60×2＝120条边，120÷6＝20　　所以共有20块白皮子 　　（或者，每一个六边形的六条边都与其它的三个六边形的三条边和三个五边形的三条边连接；每一个五边形的五条边都与其它的五个六边形的五条边连接　　所以，五边形的个数x=3y/5。　　之前求得x=12，所以y=20）　　经济学中的“欧拉定理”　　在西方经济学里，产量和生产要素L、K的关系表述为Q＝Q(L，K)，如果具体的函数形式是一次齐次的，那么就有：Q＝L(ðQ/ðL)＋K(ðQ/ðK)，换句话说，产品分配净尽取决于Q能否表示为一个一次齐次函数形式。 　　因为ðQ/ðL＝MPL＝w/P被视为劳动对产量的贡献，ðQ/ðK＝MPK＝r/P被视为资本对产量的贡献，因此，此式被解释为“产品分配净尽定理”，也就是所有产品都被所有的要素恰好分配完而没有剩余。因为形式上符合数学欧拉定理，所以称为欧拉定理。　　【同余理论中的"欧拉定理"】　　设a,m∈N,(a,m)=1,则a^(f(m))≡1(mod m)　　(注:f(m)指模m的简系个数)[编辑本段]欧拉公式　　在数学历史上有很多公式都是欧拉（Leonhard Euler 公元1707-1783年)发现的，它们都叫做欧拉公式，它们分散在各个数学分支之中。 　　1、复变函数论里的欧拉公式：　　e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。　　它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。　　将公式里的x换成-x，得到：　　e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：　　sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.　　这两个也叫做欧拉公式。将e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到：　　e^i∏+1=0.　　这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数学联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率∏，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看它而不能理解它。　　2、拓扑学里的欧拉公式：　　V+F-E=X(P)，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。　　如果P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀成一个球面），那么X(P)=2，如果P同胚于一个接有h个环柄的球面，那么X(P)=2-2h。　　X(P)叫做P的拓扑不变量，是拓扑学研究的范围。　　3、初等数论里的欧拉公式：　　欧拉φ函数：φ(n)是所有小于n的正整数里，和n互素的整数的个数。n是一个正整数。　　欧拉证明了下面这个式子：　　如果n的标准素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm*am，其中众pj(j=1,2,……,m)都是素数，而且两两不等。则有　　φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm)　　利用容斥原理可以证明它。　　定理：正整数a与n互质，则a^φ(n)除以n余1　　证明：设集合{A1,A2,...,Am}为模n的一个缩系（若整数A1,A2,...,Am模n分别对应0,1,2,...,n-1中所有m个与n互素的自然数,则称集合{A1,A2,...,Am}为模n的一个缩系）　　则{a A1,a A2,...,a Am}也是模n的一个缩系（如果a Ax与a Ay (x不等于y)除以n余数相同，则a(Ax-Ay)是n的倍数，这显然不可能）　　即A1*A2*A3*……Am≡aA1*aA2*……aAm(mod n) （这里m=φ(n)）　　两边约去A1*A2*A3*……Am即得1≡a^φ(n)（mod n）

三点共线，数学中的一种术语，属几何类问题，指的是三点在同一条直线上 [1]  。可以设三点为A、B、C ，利用向量证明：λAB=AC（其中λ为非零实数）。公式为AC＝OC－OA＝λOA +μOB －OA＝μOB+（λ-1）OA= μ（OB-OA），而AB＝OB－OA，即AB＝μAC，故 A、B、C三点共线。三点共线，数学中的一种术语，属几何类问题，指的是三点在同一条直线上。可以设三点为A、B、C ，利用向量证明：λAB=λAC（其中λ为非零实数）。

设圆内接四边形ABCD中,AC是直径,∠BAC=α,∠DAC=β,则∠BAD=α+β作直径BE,连接DE,则∠BED+∠BAD=180°sinα=BC/AC,sinβ=CD/ACcosα=AB/AC,cosβ=AD/ACsin(α+β)=sin∠BED=BD/BE=BD/ACsinαcosβ+sinβcosα=(BC*AD+AB*CD)/AC²=AC*BD/AC²=BD/AC=sin(α+β)由诱导公式得sin(α-β)=sinαcosβ-sinβcosα

　　托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。 从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质。　　一般几何教科书中的“托勒密定理”，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出。　　摘出并完善后的托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。　　定理表述：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。　　从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．

圆内接四边形的面积 = △ADB的面积 + △BDC的面积但由于ABCD是圆内接四边形，因此。故。所以：对△ADB和△BDC利用余弦定理，我们有：代入（这是由于A和C是互补角），并整理，得：把这个等式代入面积的公式中，得：它是的形式，因此可以写成的形式：引入，两边开平方，得：证毕。

婆罗摩笈多公式的最简单易记的形式，是圆内接四边形面积计算。若圆内接四边形的四边长为a, b, c, d，则其面积为：其中s为半周长：

适用于已知三角形的三边求面积,且三边为正整数时较易.S△=12(a+b+c)r内

海伦公式给出三角形的面积。它是婆罗摩笈多公式取d = 0的特殊情形。婆罗摩笈多公式的基本形式和扩充形式，就像由勾股定理扩充至余弦定理一般。

　　婆罗摩笈多公式的最简单易记的形式，是圆内接四边形面积计算。若圆内接四边形的四边长为a, b, c, d，则其面积为：　　 　　其中s为半周长：s=(a+b+c+d)/2 [编辑本段]证明 　　圆内接四边形的面积 = △ADB的面积 + △BDC的面积　　 =1/2pqsinA+1/2rssinC　　对△ADB和△BDC利用余弦定理，我们有：　　代入cosC = �6�1 cosA（这是由于A和C是互补角），并整理，得：　　把这个等式代入面积的公式中，得：　　它是a �6�1 b的形式，因此可以写成(a + b)(a �6�1 b)的形式：　　引入，　　两边开平方，得：　　证毕。

欧氏平面几何中，婆罗摩笈多公式是用以计算四边形的面积。它最常用于计算圆内接四边形面积。

婆罗摩笈多给出的四边形面积公式在只针对（）成立。 A.折四边形 B.凹四边形 C.圆内接四边形 D.圆外切四边形 正确答案：C

对一般四边形的面积，扩展的婆罗摩笈多公式用到了四边形的对角和：其中θ是四边形一对角和的一半。（选取另一对角也不会影响答案，因其和的一半是π − θ。而，所以。)因为圆内接四边形的对角和为，而，所以项为零，给出公式的基本形式。

射影　　射影就是正投影，从一点到过顶点垂直于底边的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影。一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这直线上的正投影，即射影定理。 [编辑本段]直角三角形射影定理　　</B>直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。　　公式 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：　　（1）（BD）^2;=AD·DC，　　（2）（AB）^2;=AD·AC ，　　（3）（BC）^2;=CD·AC 。　　证明：在 △BAD与△BCD中，∠A+∠C=90°，∠DBC+∠C=90°，∴∠A=∠DBC，又∵∠BDA=∠BDC=90°，∴△BAD∽△CBD相似，∴ AD/BD＝BD/CD，即（BD）²=AD·DC。其余类似可证。(也可以用勾股定理证明)　　注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。由公式（2）+（3）得：　　（AB）^2;+（BC）^2;=AD·AC+CD·AC =（AD+CD)·AC=（AC）^2;，　　即 （AB）^2;+（BC）^2;=（AC）^2;。　　这就是勾股定理的结论。 [编辑本段]任意三角形射影定理　　</B>任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”：　　设⊿ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有　　a＝b·cosC＋c·cosB，　　b＝c·cosA＋a·cosC，　　c＝a·cosB＋b·cosA。　　注：以“a＝b·cosC＋c·cosB”为例，b、c在a上的射影分别为b·cosC、c·cosB，故名射影定理。　　证明1：设点A在直线BC上的射影为点D，则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD，且　　BD=c·cosB，CD=b·cosC，∴a=BD+CD=b·cosC＋c·cosB. 同理可证其余。　　 　　证明2：由正弦定理，可得：b=asinB/sinA，c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA　　=acosB+(asinB/sinA)cosA=a·cosB＋b·cosA. 同理可证其它的。

1、初中在双垂直的基本图形（即：直角三角形中有一个垂直,斜边的高一个垂直）中： 设直角三角形ABC,AB是斜边,CD是高,则 AC的平方=AD×AB CB的平方=BD×BA CD的平方=AD×DB 2、高中解三角型中： 设三角形ABC的三边是abc,它们所对的角分别是ABC,则 a＝b*cosC＋c*cosB b＝c*cosA＋a*cosC c＝b*cosA＋a*cosB

书上都有吧，去查书，在这给你打上你也看不懂，高中好象没有学点面距离公式 线面距离公式 这两个大学才学呢

这就是直角三角形的射影定律吧。

1、初中在双垂直的基本图形（即：直角三角形中有一个垂直，斜边的高一个垂直）中：设直角三角形ABC，AB是斜边，CD是高，则AC的平方=AD×ABCB的平方=BD×BACD的平方=AD×DB2、高中解三角型中：设三角形ABC的三边是abc，它们所对的角分别是ABC，则a＝b*cosC＋c*cosBb＝c*cosA＋a*cosCc＝b*cosA＋a*cosB

1、初中在双垂直的基本图形（即：直角三角形中有一个垂直,斜边的高一个垂直）中：设直角三角形ABC,AB是斜边,CD是高,则AC的平方=AD×ABCB的平方=BD×BACD的平方=AD×DB2、高中解三角型中：设三角形ABC的三边是abc,它们所对的角分别是ABC,则a＝b*cosC＋c*cosBb＝c*cosA＋a*cosCc＝b*cosA＋a*cosB

JLAFF你实在太聪明了

不管P在哪边。 你只记住是长的减去短的=2a

双曲正弦。双曲余弦双曲正切双曲余切双曲正割双曲余割，基本式和差化积公式，积化和差公式倍元公式半角公式。它的图形通过原点且关于原点对称。证明如下而根据奇函数的定义可得出上述结论，单调性双曲正弦函数在区间内它是单调增加的。

双曲函数 sinh(a)=(e^a-e^(-a))/2 cosh(a)=(e^a+e^(-a))/2 tgh(a)=sinh(a)/cosh(a)

双曲函数是工程技术中经常要用到的一类函数，它们由指数的四则运算所构造出来。主要有四个双曲函数，如：双曲正弦：shx=(e^x-e^(-x))/2双曲余弦：chx=(e^x+e^(-x))/x双曲正切：thx=shx/chx=(e^x-e^(-x))/(e^x+e^(-x))双曲余切：cthx=chx/shx=(e^x+e^(-x))/(e^x-e^(-x))它们的名称中之所以有三角函数的名称是因为它们的性质与三角函数的十分类似。如：(chx)^2-(shx)^2=1，sh(x+y)=shxchy+chxshy

这个好像是在三角恒等变换那一章老师提出来的大概只记得2个。。是化同一个角的同名三角函数，我觉得这2个好像够了，第3个记不起来，不过应该不是很重要，你可以等专业老师解答，呵呵~三一式表述三方面合而为一的哲学概念﹐曾使用“三段式”的名称。毕达哥拉学派(见毕达哥拉和毕达哥拉学派)认为一切都是由三元决定的。包含关于单纯的一是抽象的﹐二是对立的﹐三是完满的整体的思想。这种思想在新柏拉图学派特别是普洛克洛那里得到了发展。基督教的三位一体也与这种思想有关。在德国古典唯心主义哲学家费希特﹐J.G.﹑谢林﹐F.W.J.﹐特别是黑格尔﹐G.W.F.的哲学中﹐三一式成为辩证发展的基本原则和公式。

在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数（也叫圆函数）类似的函数。最基本的双曲函数是双曲正弦函数sinh和双曲余弦函数cosh，从它们可以导出双曲正切函数tanh等，其推导也类似于三角函数的推导。双曲函数的反函数称为反双曲函数。 双曲函数的定义域是区间，其自变量的值叫做双曲角。双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程。双曲函数（hyperbolic function）可借助指数函数定义Sinh_cosh_tanh双曲正弦sh z =(e^z-e^(-z))/2双曲余弦ch z =(e^z+e^(-z))/2双曲正切th z = sh z /ch z =(e^z-e^(-z))/(e^z+e^(-z)) 双曲余切cth z = ch z/sh z=(e^z+e^(-z))/(e^z-e^(-z)) 双曲正割sch z =1/ch z双曲余割xh(z) =1/sh z

初中欧拉公式：e[^xi]=cos(x)+i*sin(x)，其中e是自然对数的底数，i是虚数单位，而cos和sin则是余弦、正弦对应的三角函数，参数x则以弧度为单位。在任何一个规则球面地图上，用R记区域个数，V记顶点个数，E记边界个数，则R+V-E=2，这就是欧拉公式，它1640年由Descartes首先给出证明，后来Euler(欧拉)于1752年又独立地给出证明，称其为欧拉定理。两个超越数：自然对数的底e，圆周率π；两个单位：虚数单位i和自然数的单位1；以及被称为人类伟大发现之一的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”。这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式。

欧拉公式是最浪漫的数学公式：复变函数中，e^(ix)=(cos x+isin x)称为欧拉公式，e是自然对数的底，i是虚数单位。拓扑学中，在任何一个规则球面地图上，用 R记区域个 数 ，V记顶点个数 ，E记边界个数 ，则 R+ V- E= 2，这就是欧拉定理 ，它于 1640年由 Descartes首先给出证明 ，后来 Euler(欧拉 )于 1752年又独立地给出证明 ，我们称其为欧拉定理 ，在国外也有人称其 为 Descartes定理。把复指数函数与三角函数联系起来的一个公式，e是自然对数的底，i是虚数单位。它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现在数学分析里，而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，更被誉为“数学中的天桥”。这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数字联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率π；两个单位：虚数单位i和自然数的单位1；以及被称为人类伟大发现之一的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”。

复变函数中，e^(ix)=(cos x+isin x)称为欧拉公式，e是自然对数的底，i是虚数单位。拓扑学中，在任何一个规则球面地图上，用 R记区域个 数 ，V记顶点个数 ，E记边界个数 ，则 R+ V- E= 2，这就是欧拉定理 ，它于 1640年由 Descartes首先给出证明 ，后来 Euler(欧拉 )于 1752年又独立地给出证明 ，我们称其为欧拉定理 ，在国外也有人称其 为 Descartes定理

简单多面体的顶点数v、面数f及棱数e间有关系v+f-e=2这个公式叫欧拉公式。公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律。方法1：（利用几何画板）逐步减少多面体的棱数，分析v+f-e先以简单的四面体abcd为例分析证法。去掉一个面，使它变为平面图形，四面体顶点数v、棱数v与剩下的面数f1变形后都没有变。因此，要研究v、e和f关系，只需去掉一个面变为平面图形，证v+f1-e=1（1）去掉一条棱，就减少一个面，v+f1-e不变。依次去掉所有的面，变为“树枝形”。（2）从剩下的树枝形中，每去掉一条棱，就减少一个顶点，v+f1-e不变，直至只剩下一条棱。以上过程v+f1-e不变，v+f1-e=1，所以加上去掉的一个面，v+f-e=2。对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。因此公式对任意简单多面体都是正确的。方法2：计算多面体各面内角和设多面体顶点数v，面数f，棱数e。剪掉一个面，使它变为平面图形（拉开图）,求所有面内角总和∑α一方面，在原图中利用各面求内角总和。设有f个面，各面的边数为n1,n2，…，nf，各面内角总和为：∑α=[(n1-2)·1800+(n2-2)·1800+…+(nf-2)·1800]=(n1+n2+…+nf-2f)·1800=(2e-2f)·1800=(e-f)·3600（1）另一方面，在拉开图中利用顶点求内角总和。设剪去的一个面为n边形，其内角和为(n-2)·1800，则所有v个顶点中，有n个顶点在边上，v-n个顶点在中间。中间v-n个顶点处的内角和为(v-n)·3600，边上的n个顶点处的内角和(n-2)·1800。所以，多面体各面的内角总和：∑α=(v-n)·3600+(n-2)·1800+(n-2)·1800=（v-2）·3600.（2）由(1)(2)得：(e-f)·3600=（v-2）·3600所以v+f-e=2.（1）分式：a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)当r=0,1时式子的值为0当r=2时值为1当r=3时值为a+b+c（2）复数由e＾iθ=cosθ+isinθ,得到：sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）/2icosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）/2（3）三角形设r为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则：d＾2=r＾2-2rr（4）多面体设v为顶点数，e为棱数，f是面数，则v-e+f=2-2pp为欧拉示性数，例如p=0的多面体叫第零类多面体p=1的多面体叫第一类多面体(5)多边形设一个二维几何图形的顶点数为v，划分区域数为ar，一笔画笔数为b,则有：v+ar-b=1(如：矩形加上两条对角线所组成的图形，v=5,ar=4,b=8)(6).欧拉定理在同一个三角形中，它的外心circumcenter、重心gravity、九点圆圆心nine-point-center、垂心orthocenter共线。其实欧拉公式是有很多的，上面仅是几个常用的。

百度百科中有你这个问题的答案

V+F-E=X(P)，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数，X(P)是多面体P的欧拉示性数。如果P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀成一个球面），那么X(P)=2，如果P同胚于一个接有h个环柄的球面，那么X(P)=2-2h。X(P)叫做P的拓扑不变量，是拓扑学研究的范围。

欧拉公式证明是在任何一个规则球面地图上，用R记区域个数，V记顶点个数，E记边界个数，则R+V-E=2，这就是欧拉定理。它于1640年由Descartes首先给出证明，后来Euler欧拉于1752年又独立地给出证明，我们称其为欧拉定理，在国外也有人称其为Descartes定理。欧拉公式概况欧拉公式是欧哈德欧拉在十八世纪创造的，是数学界最著名、最美丽的公式之一。之所以如此，是因为它涉及到各种显然非常不同的元素，比如无理数e、虚数和三角函数。正如我们公式显示，左边是e，右边是cos和sin三角函数，两边都有虚数i。1714年，英国物理学家和数学家罗杰柯茨在一个公式中建立了对数、三角函数和虚数之间的关系。

大概讲一下证明过程将1~n中与n互质的数按顺序排布:x1,x2……xφ(n) (显然，共有φ(n)个数)我们考虑这么一些数:m1=a*x1;m2=a*x2;m3=a*x3……mφ(n)=a*xφ(n)1)这些数中的任意两个都不模n同余，因为如果有mS≡mR (mod n) (这里假定mS更大一些)，就有:mS-mR=a(xS-xR)=qn，即n能整除a(xS-xR)。但是a与n互质，a与n的最大公因子是1，而xS-xR<n，因而左式不可能被n整除。也就是说这些数中的任意两个都不模n同余，φ(n)个数有φ(n)种余数。2)这些数除n的余数都与n互质，因为如果余数与n有公因子r，那么a*xi=pn+qr=r(……)，a*xi与n不互质，而这是不可能的。那么这些数除n的余数，都在x1,x2,x3……xφ(n)中，因为这是1~n中与n互质的所有数，而余数又小于n.由1)和2)可知，数m1,m2,m3……mφ(n)(如果将其次序重新排列)必须相应地同余于x1,x2,x3……xφ(n).故得出:m1*m2*m3……mφ(n)≡x1*x2*x3……xφ(n) (mod n)，者说a^[φ(n)]*(x1*x2*x3……xφ(n))≡x1*x2*x3……xφ(n)。者为了方便:K{a^[φ(n)]-1}≡0 ( mod n ) 这里K=x1*x2*x3……xφ(n)。知K{a^[φ(n)]-1}被n整除。但K中的因子x1,x2……都与n互质，所以K与n互质。那么a^[φ(n)]-1必须能被n整除，即a^[φ(n)]-1≡0 (mod n)，即a^[φ(n)]≡1 (mod n)，得证。

eix = 1 + i x - x2/2! - i x3/3! + x4/4! + i x5/5! + …= (1 - x2/2! + x4/4! + …) + i (x - x3/3! + x5/5! + …)。又因为：cos x = 1 - x2/2! + x4/4! + …+。sin x = x - x3/3! + x5/5! + …+。所以eix = cos x + i sin x。在任何一个规则球面地图上，用 R记区域个 数 ，V记顶点个数 ，E记边界个数 ，则 R+ V- E= 2，这就是欧拉定理 ，它于 1640年由 Descartes首先给出证明 ，后来 Euler(欧拉 )于 1752年又独立地给出证明 ，我们称其为欧拉定理 ，在国外也有人称其 为 Descartes定理。R+ V- E= 2就是欧拉公式。

　　喜欢数学的朋友都喜欢挑战自己，对于数学中的各种公式运用都熟悉心中，欧拉公式是数学中比较优美的一个公式，那你清楚它怎么样计算吗?下面让我来告诉你。 　　欧拉公式是怎样计算的 　　复变函数中，e^(ix)=(cos x+isin x)称为欧拉公式，e是自然对数的底，i是虚数单位。 　　拓扑学中，在任何一个规则球面地图上，用 R记区域个 数 ，V记顶点个数 ，E记边界个数 ，则 R+ V- E= 2，这就是欧拉定理，它于 1640年由 Descartes首先给出证明 ，后来 Euler(欧拉 )于 1752年又独立地给出证明 ，我们称其为欧拉定理 ，在国外也有人称其 为 Descartes定理。 　　R+ V- E= 2就是欧拉公式。 　　欧拉公式在不同的学科中有着不同的含义。 　　比如复变函数： 　　把复指数函数与三角函数联系起来的一个公式，e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现在数学分析里，而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，更被誉为“数学中的天桥”。 　　有关于“欧拉公式是怎样计算的”的详细内容，我都给大家整理出来了，如果你想要深入了解这方面的内容，可以直接来关注或者收藏我们网站。

初一数学欧拉公式是： R+ V- E= 2。在任何一个规则球面地图上，用 R记区域个 数，V记顶点个数，E记边界个数，则 R+ V- E= 2，这就是欧拉定理，它于 1640年由 Descartes首先给出证明，后来 Euler(欧拉 )于 1752年又独立地给出证明，我们称其为欧拉定理，在国外也有人称为 Descartes定理。用数学归纳法证明欧拉公式:( 1)当R= 2时，由说明1,这两个区域可想象为以赤道为边界的两个半球面，赤道上有两个“顶点”将赤道分成两条“边界”，即R= 2，V= 2，E= 2；于是R+ V- E= 2,欧拉定理成立。( 2)设R= m(m≥2)时欧拉定理成立，下面证明R= m+ 1时欧拉定理也成立。由说明2，我们在R= m+ 1的地图上任选一个区域X ,则X必有与它如此相邻的区域Y，使得在去掉X和Y之间的唯一一条边界后，地图上只有m个区域了；在去掉X和Y之间的边界后，若原该边界两端的顶点现在都还是3条或3条以上边界的顶点，则该顶点保留，同时其他的边界数不变；若原该边界一端或两端的顶点现在成为2条边界的顶点，则去掉该顶点,该顶点两边的两条边界便成为一条边界。于是,在去掉X和Y之间的唯一一条边界时只有三种情况：①减少一个区域和一条边界。②减少一个区域、一个顶点和两条边界。③减少一个区域、两个顶点和三条边界。即在去掉X和Y之间的边界时,不论何种情况都必定有“减少的区域数+减少的顶点数=减少的边界数”我们将上述过程反过来，就又成为R= m+ 1的地图了，在这一过程中必然是“增加的区域数+增加的顶点数=增加的边界数”。因此，若R= m (m≥2)时欧拉定理成立，则R= m+ 1时欧拉定理也成立。由( 1)和( 2)可知,对于任何正整数R≥2,欧拉定理成立。以上内容参考：百度百科-欧拉公式

R+冄 V- E= 2就是欧拉公式。在任何一个规则球面地图上，用 R记区域个 数 ，V记顶点个数 ，E记边界个数 ，则 R+ V- E= 2，这就是欧拉定理 ，它于 1640年由 Descartes首先给出证明 ，后来 Euler(欧拉 )于 1752年又独立地给出证明 ，我们称其为欧拉定理 ，在国外也有人称其 为 Descartes定理。用数学归纳法证明( 1)当 R= 2时，由说明 1,这两个区域可想象为 以赤道为边界的两个半球面，赤道上有两个“顶点”将赤道分成两条“边界”，即 R= 2，V= 2，E= 2；于是 R+ V- E= 2,欧拉定理成立。( 2)设 R= m(m≥ 2)时欧拉定理成立，下面证明 R= m+ 1时欧拉定理也成立。欧拉公式的意义：1、数学规律：公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律2、思想方法创新：定理发现证明过程中，观念上，假设它的表面是橡皮薄膜制成的，可随意拉伸；方法上将底面剪掉，化为平面图形（立体图→平面拉开图）。3、引入拓扑学：从立体图到拉开图，各面的形状、长度、距离、面积等与度量有关的量发生了变化，而顶点数，面数，棱数等不变。定理引导我们进入一个新几何学领域：拓扑学。我们用一种可随意变形但不得撕破或粘连的材料（如橡皮波）做成的图形，拓扑学就是研究图形在这种变形过程中的不变的性质。4、提出多面体分类方法：在欧拉公式中， f (p)=V+F-E 叫做欧拉示性数。欧拉定理告诉我们，简单多面体f (p)=2。除简单多面体外，还有非简单多面体。例如，将长方体挖去一个洞，连结底面相应顶点得到的多面体。它的表面不能经过连续变形变为一个球面，而能变为一个环面。其欧拉示性数f (p)=16+16-32=0，即带一个洞的多面体的欧拉示性数为0。

欧拉定理：e^(ix)=cosx+isinx。其中：e是自然对数的底，i是虚数单位。将公式里的x换成-x，得到：e^(-ix)=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)，cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2。积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

推导过程这三个公式分别为其省略余项的麦克劳林公式，其中麦克劳林公式为泰勒公式的一种特殊形式在e^x的展开式中把x换成±ix.所以 由此： ，  ，然后采用两式相加减的方法得到：  ，  。这两个也叫做欧拉公式。将  中的x取作π就得到：这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数字联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率π；两个单位：虚数单位i和自然数的单位1；以及被称为人类伟大发现之一的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”。扩展资料：在任何一个规则球面地图上，用R记区域个数，V记顶点个数，E记边界个数，则R+V-E=2，这就是欧拉定理 ，它于1640年由Descartes首先给出证明，后来Euler(欧拉)于1752年又独立地给出证明，我们称其为欧拉定理，在国外也有人称其为Descartes定理。 R+V-E=2就是欧拉公式。参考资料：百度百科---欧拉公式

欧拉公式证明是，在任何一个规则球面地图上，用 R记区域个 数 ，V记顶点个数 ，E记边界个数 ，则 R加V减E等于2，这就是欧拉定理 ，它于 1640年由 Descartes首先给出证明 ，后来 Euler欧拉 于1752年又独立地给出证明，我们称其为欧拉定理 ，在国外也有人称其为Descartes定理。第一个欧拉公式的严格证明，由20岁的柯西给出，大致如下，从多面体去掉一面，通过把去掉的面的边互相拉远，把所有剩下的面变成点和曲线的平面网络，不失一般性，可以假设变形的边继续保持为直线段。欧拉公式的意义数学规律，公式描述了简单多面体中顶点数，面数，棱数之间特有的规律，思想方法创新，定理发现证明过程中，观念上，假设它的表面是橡皮薄膜制成的，可随意拉伸，方法上将底面剪掉，化为平面图形。引入拓扑学，从立体图到拉开图，各面的形状，长度，距离，面积等与度量有关的量发生了变化，而顶点数，面数，棱数等不变，定理引导我们进入一个新几何学领域，拓扑学，我们用一种可随意变形但不得撕破或粘连的材料如橡皮波做成的图形，拓扑学就是研究图形在这种变形过程中的不变的性质。在欧拉公式中，fp等于V加F减E叫做欧拉示性数。欧拉定理告诉我们，简单多面体fp等于2，除简单多面体外，还有非简单多面体，例如，将长方体挖去一个洞，连结底面相应顶点得到的多面体。

欧拉公式（英语：Euler"s formula，又称尤拉公式）是复分析领域的公式，它将三角函数与复指数函数关联起来，因其提出者莱昂哈德·欧拉而得名。复变函数中，e^(ix)=(cos x+isin x)称为欧拉公式，e是自然对数的底，i是虚数单位。拓扑学中，在任何一个规则球面地图上，用 R记区域个 数 ，V记顶点个数 ，E记边界个数 ，则 R+ V- E= 2，这就是欧拉定理 ，它于 1640年由 Descartes首先给出证明。后来 Euler(欧拉 )于 1752年又独立地给出证明 ，我们称其为欧拉定理 ，在国外也有人称其 为 Descartes定理。复数幂的定义指数函数Ë X为的实际值X可以在几个不同的等效的方式来定义（见指数函数的表征）。这些中的一些方法可以直接延伸到给的定义Ë ž为复数值ž简单地通过取代ž代替X和使用复杂的代数运算。特别是我们可以使用以下三个定义中的任何一个，它们是等效的。

euler公式是：R+ V- E= 2。欧拉公式。在任何一个规则球面地图上，用 R记区域个 数 ，V记顶点个数 ，E记边界个数 ，则 R+ V- E= 2，这就是欧拉定理 ，它于 1640年由 Descartes首先给出证明。后来 Euler(欧拉 )于 1752年又独立地给出证明 ，我们称其为欧拉定理 ，在国外也有人称其 为 Descartes定理。数学归纳法证明：1、当 R= 2时 ，由说明 1,这两个区域可想象为 以赤道为边界的两个半球面 ，赤道上有两个“顶点” 将赤道分成两条“边界”，即 R= 2，V= 2，E= 2；于是 R+ V- E= 2,欧拉定理成立。2、设 R= m(m≥ 2)时欧拉定理成立 ，下面证明 R= m+ 1时欧拉定理也成立 。

数学归纳法证明：1、当R=2时，由说明1，这两个区域可想象为以赤道为边界的两个半球面，赤道上有两个“顶点”将赤道分成两条“边界”，即R=2，V=2，E=2；于是R+V-E=2，欧拉定理成立。2、设R=m(m≥2)时欧拉定理成立，下面证明R=m+1时欧拉定理也成立。由说明2，我们在R=m+1的地图上任选一个区域X，则X必有与它如此相邻的区域Y，使得在去掉X和Y之间的唯一一条边界后，地图上只有m个区域了。在去掉X和Y之间的边界后，若原该边界两端的顶点现在都还是3条或3条以上边界的顶点。则该顶点保留，同时其他的边界数不变;若原该边界一端或两端的顶点现在成为2条边界的顶点，则去掉该顶点，该顶点两边的两条边界便成为一条边界。于是，在去掉X和Y之间的唯一一条边界时只有三种情况：1、减少一个区域和一条边界。2、减少一个区域、一个顶点和两条边界。3、减少一个区域、两个顶点和三条边界。把复指数函数与三角函数联系起来的一个公式，e是自然对数的底，i是虚数单位。它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现在数学分析里，而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，更被誉为“数中的天桥”。

高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i) cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2 tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋… 此时三角函数定义域已推广至整个复数集。扩展资料在任何一个规则球面地图上，用 R记区域个 数 ，V记顶点个数 ，E记边界个数 ，则 R+ V- E= 2，这就是欧拉定理 ，它于 1640年由 Descartes首先给出证明 ，后来 Euler(欧拉 )于 1752年又独立地给出证明 ，我们称其为欧拉定理 ，在国外也有人称其 为 Descartes定理。参考资料：百度百科-欧拉公式

欧拉公式证明是：R+ V- E= 2。拓扑学中，在任何一个规则球面地图上，用R记区域个数 ，V记顶点个数 ，E记边界个数 ，则 R+ V- E= 2，这就是欧拉定理，于1640年由 Descartes首先给出证明 ，后来 Euler欧拉于 1752年又独立地给出证明 ，称其为欧拉定理 ，在国外也有人称其为 Descartes定理。欧拉让微积分长大成人：恩格斯曾说，微积分的发明是人类精神的最高胜利。1687年，牛顿在《自然哲学数学原理》一书中公开发表微积分学说，几乎同时，莱布尼茨也发表了微积分论文，但牛顿、莱布尼茨创始的微积分基础不稳，应用范围也有限。18世纪一批数学家拓展了微积分，并拓广其应用产生一系列新的分支，这些分支与微积分自身一起形成了被称为分析的广大领域。李文林说：欧拉就生活在这个分析的时代。

欧拉函数From KeyinWikiJump to: navigation, search在数论，对正整数n，欧拉函数varphi(n)是少於或等於n的数中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为Euler"s totient function、φ函数、欧拉商数等。 例如varphi(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。 从欧拉函数引伸出来在环论方面的事实和拉格朗日定理构成了欧拉定理的证明。 [编辑]φ函数的值varphi(1)=1（唯一和1互质的数就是1本身）。 若n是质数p的k次幂，varphi(n)=p^a-p^{a-1}=(p-1)p^{k-1}，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。 欧拉函数是积性函数——若m,n互质，varphi(mn)=varphi(m)varphi(n)。证明：设A, B, C是跟m, n, mn互质的数的集，据中国剩馀定理，A imes B和C可建立一一对应的关系。因此varphi(n)的值使用算术基本定理便知， 若n = prod_{pmid n} p^{alpha_p}， 则varphi(n) = prod_{pmid n} p^{alpha_p-1}(p-1) = nprod_{p|n}left(1-frac{1}{p} ight)。 例如varphi(72)=varphi(2^3 imes3^2)=2^{3-1}(2-1) imes3^{2-1}(3-1)=2^2 imes1 imes3 imes2=24 [编辑]和费马小定理的关系对任何两个互质的正整数a, m，mge2，有 a^{varphi(m)} equiv 1 pmod m 当m是质数p时，此式则为： a^{p-1} equiv 1 pmod p 即费马小定理。de:Eulersche φ-Funktion en:Euler"s totient function es:Función fi de Euler fr:Indicatrice d"Euler hu:Euler-függvény it:Funzione phi di Eulero ja:オイラーのφ関数 ko: nl:Indicator van n sl:Eulerjeva funkcija fi sv:Eulers phi-funktion 取自" http://wiki.keyin.cn/index.php/%E6%AC%A7%E6%8B%89%E5%87%BD%E6%95%B0"

e^ix=cosx+isinx或sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.

简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系 V+F-E=2这个公式叫欧拉公式。公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律。方法1：（利用几何画板） 逐步减少多面体的棱数，分析V+F-E 先以简单的四面体ABCD为例分析证法。 去掉一个面，使它变为平面图形，四面体顶点数V、棱数V与剩下的面数F1变形后都没有变。因此，要研究V、E和F关系，只需去掉一个面变为平面图形，证V+F1-E=1 （1）去掉一条棱，就减少一个面，V+F1-E不变。依次去掉所有的面，变为“树枝形”。（2）从剩下的树枝形中，每去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F1-E不变，直至只剩下一条棱。以上过程V+F1-E不变，V+F1-E=1，所以加上去掉的一个面，V+F-E =2。 对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。因此公式对任意简单多面体都是正确的。 方法2：计算多面体各面内角和设多面体顶点数V，面数F，棱数E。剪掉一个面，使它变为平面图形（拉开图）,求所有面内角总和∑α一方面，在原图中利用各面求内角总和。 设有F个面，各面的边数为n1,n2，…，nF，各面内角总和为：∑α = [(n1-2)·1800+(n2-2)·1800 +…+(nF-2) ·1800]= (n1+n2+…+nF -2F) ·1800=(2E-2F) ·1800 = (E-F) ·3600 （1）另一方面，在拉开图中利用顶点求内角总和。设剪去的一个面为n边形，其内角和为(n-2)·1800，则所有V个顶点中，有n个顶点在边上，V-n个顶点在中间。中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)·3600，边上的n个顶点处的内角和(n-2)·1800。所以，多面体各面的内角总和：∑α = (V-n)·3600+(n-2)·1800+(n-2)·1800 =（V-2）·3600. （2）由(1)(2)得： (E-F) ·3600 =（V-2）·3600 所以 V+F-E=2. （1）分式： a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b) 当r=0,1时式子的值为0 当r=2时值为1 当r=3时值为a+b+c （2）复数 由e＾iθ=cosθ+isinθ,得到： sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）/2i cosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）/2（3）三角形 设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则： d＾2=R＾2-2Rr （4）多面体 设v为顶点数，e为棱数，f是面数，则 v-e+f=2-2pp为欧拉示性数，例如 p=0 的多面体叫第零类多面体 p=1 的多面体叫第一类多面体 (5) 多边形设一个二维几何图形的顶点数为V，划分区域数为Ar，一笔画笔数为B,则有：V+Ar-B=1(如：矩形加上两条对角线所组成的图形，V=5,Ar=4,B=8) (6). 欧拉定理在同一个三角形中，它的外心Circumcenter、重心Gravity、九点圆圆心Nine-point-center、垂心Orthocenter共线。其实欧拉公式是有很多的，上面仅是几个常用的。

高等代数中使用欧拉公式将三角函数转换为指数(由泰勒级数易得)：sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i) cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2 tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]。cosα=1/2[e^(iα)+e^(-iα)]。sinα=-i/2[e^(iα)-e^(-iα)]。泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋… 此时三角函数定义域已推广至整个复数集。三角函数与欧拉定理：假设生产函数为：Q=f(L.K)(即Q为齐次生产函数),定义人均资本k=K/L方法1:根据齐次生产函数中不同类型的生产函数进行分类讨论(1)线性齐次生产函数n=1,规模报酬不变,因此有:Q/L=f(L/L,K/L)=f(1,k)=g(k)k为人均资本，Q/L为人均产量，人均产量是人均资本k的函数。让Q对L和K求偏导数,有:∂Q/∂L=∂[L*g(k)]/∂L=g(k)+L*[dg(k)/dk]*[dk/dL]=g(k)+L*g"(k)*(-K/)=g(k)-k*g"(k)∂Q/∂K=∂[L*g(k)]/ ∂K=L*[∂g(k)/∂k]=L*[dg(k)/dk]*[∂k/∂K]=L*g"(k)*(1/L)=g"(k)由上面两式，即可得欧拉分配定理：L*[∂Q/∂L]+K*[∂Q/∂K]=L*[g(k)-k*g"(k)]+K*g"(k)=L*g(k)-K*g"(k)+K*g"(k)=L*g(k)=Q。

齐次欧拉方程的通解公式：u＋xu"＝(u－1)/(4u＋1)。(4u＋1)/(1＋4u^2)du＝－dx。ln(1＋4u^2)＋arctan(2u)＋2x＝C。 ln(1＋4y^2/x^2)＋arctan(2y/x)＋2x＝C。∵（1+x^2）y""=2xy"==>（1+x^2）dy"/dx=2xy"。=>dy"/y"=2xdx/（1+x^2）。=>ln│y"│=ln（1+x^2）+ln│C1│（C1是积分常数）。∴原方程的通解是y=C1（x+x^3/3）+C2。应用首先看一个基本的例子。令a = 3，n = 5，这两个数是互素的。比5小的正整数中与5互素的数有1、2、3和4，所以φ(5)=4（详情见[欧拉函数]）。计算:a^{φ(n)} = 3^4 =81，而81= 80 + 1 Ξ 1 （mod 5）。与定理结果相符。这个定理可以用来简化幂的模运算。比如计算7^{222}的个位数，实际是求7^{222}被10除的余数。7和10[[互素]]，且φ(10)=4。由欧拉定理知7^4Ξ1(mod 10)。所以7^{222}=(7^4)^55*(7^2)Ξ1^{55}*7^2Ξ49Ξ9 (mod 10)。

欧拉公式（英语：Euler"s formula，又称尤拉公式）是复分析领域的公式，它将三角函数与复指数函数关联起来，因其提出者莱昂哈德·欧拉而得名。复变函数中，e^(ix)=(cos x+isin x)称为欧拉公式，e是自然对数的底，i是虚数单位。拓扑学中，在任何一个规则球面地图上，用 R记区域个 数 ，V记顶点个数 ，E记边界个数 ，则 R+ V- E= 2，这就是欧拉定理 ，它于 1640年由 Descartes首先给出证明。后来 Euler(欧拉 )于 1752年又独立地给出证明 ，我们称其为欧拉定理 ，在国外也有人称其 为 Descartes定理。复数幂的定义指数函数Ë X为的实际值X可以在几个不同的等效的方式来定义（见指数函数的表征）。这些中的一些方法可以直接延伸到给的定义Ë ž为复数值ž简单地通过取代ž代替X和使用复杂的代数运算。特别是我们可以使用以下三个定义中的任何一个，它们是等效的。