求几何所有公式,定理

梅尼劳斯（Menelaus）定理是由古希腊数学家梅尼劳斯首先证明的。它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。

　　证明：

　　过点A作AG∥BC交DF的延长线于G,

　　则AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。

　　三式相乘得：AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=1

　　它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1，则F、D、E三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。

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类似的还有重要的3个分别为：赛瓦定理：

　　设A",B",C"分别是△ABC的三边BC,CA,AB或其延长线上的点，若AA",BB",CC"三线平行或共点，则（BA"/A"C）(CB"/B"A)(AC"/C"B)=1.

　　塞瓦定理的逆定理： 设A",B",C"分别是△ABC的三边BC,CA,AB或其延长线上的点，若（BA"/A"C）（CB"/B"A）（AC"/C"B）=1 则AA",BB",CC"三直线共点或三直线互相平行。

　　赛瓦（G·CEVA，1648---1734）定理及其逆定理可用来证明有关三直线共点的问题。

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定理的提出

　　一般几何教科书中的“托勒密定理”，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出。

[编辑本段]定理的内容

　　托勒密(Ptolemy)定理指出，圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。

　　原文：圆内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。

　　从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．

[编辑本段]证明

　　一、（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。）

　　在任意四边形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD

　　因为△ABE∽△ACD

　　所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)

　　又有比例式AB/AC=AE/AD

　　而∠BAC=∠DAE

　　所以△ABC∽△AED相似.

　　BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD (2)

　　(1)+(2),得

　　AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC

　　又因为BE+ED≥BD

　　（仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）

　　所以命题得证

　　复数证明

　　用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。 首先注意到复数恒等式： (a �6�1 b)(c �6�1 d) + (a �6�1 d)(b �6�1 c) = (a �6�1 c)(b �6�1 d) ，两边取模，运用三角不等式得。 等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。 四点不限于同一平面。 平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。

　　二、

　　设ABCD是圆内接四边形。 在弦BC上，圆周角∠BAC = ∠BDC，而在AB上，∠ADB = ∠ACB。 在AC上取一点K，使得∠ABK = ∠CBD； 因为∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，所以∠CBK = ∠ABD。 因此△ABK与△DBC相似，同理也有△ABD ~ △KBC。 因此AK/AB = CD/BD，且CK/BC = DA/BD； 因此AK·BD = AB·CD，且CK·BD = BC·DA； 两式相加，得(AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA； 但AK+CK = AC，因此AC·BD = AB·CD + BC·DA。证毕。

　　三、

　　托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)．已知：圆内接四边形ABCD，求证：AC·BD＝AB·CD＋AD·BC．

　　证明：如图1，过C作CP交BD于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△ACD∽△BCP．得.....又∠ACB=∠DCP，∠5=∠6，∴△ACB∽△DCP．得.....①＋②得 AC(BP＋DP)=AB·CD＋AD·BC．即AC·BD=AB·CD＋AD·BC．

[编辑本段]推论

　　1.任意凸四边形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，当且仅当ABCD四点共圆时取等号。

　　2.托勒密定理的逆定理同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆、

[编辑本段]推广

　　托勒密不等式：四边形的任两组对边乘积不小于另外一组对边的乘积，取等号当且仅当共圆或共线。

　　简单的证明：复数恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，两边取模，

　　得不等式AC·BD≤|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB·CD+BC·AD

　　注意：

　　1.等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。

　　2.四点不限于同一平面。

　　欧拉定理：在一条线段上AD上，顺次标有B、C两点，则AD·BC+AB·CD=AC·BD

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欧拉定理

　　对于互质的整数a和n，有a^φ(n) ≡ 1 (mod n)

　　证明：

　　首先证明下面这个命题：

　　对于集合Zn={x1,x2,...,xφ(n)},其中xi(i=1,2,…φ(n))是φ(n)个n的素数，且两两互素，即n的一个化简剩余系，或称简系，或称缩系)，考虑集合S = {a*x1(mod n),a*x2(mod n),...,a*xφ(n)(mod n)}

　　则S = Zn

　　1) 由于a,n互质，xi也与n互质，则a*xi也一定于p互质，因此

　　任意xi，a*xi(mod n) 必然是Zn的一个元素

　　2) 对于Zn中两个元素xi和xj，如果xi ≠ xj

　　则a*xi(mod n) ≠ a*xi(mod n)，这个由a、p互质和消去律可以得出。

　　所以，很明显，S=Zn

　　既然这样，那么

　　（a*x1 × a*x2×...×a*xφ(n)）(mod n)

　　= （a*x1(mod n) × a*x2(mod n) × ... × a*xφ(n)(mod n)）(mod n)

　　= （x1 × x2 × ... × xφ(n)）(mod n)

　　考虑上面等式左边和右边

　　左边等于(a*（x1 × x2 × ... × xφ(n)）) (mod n)

　　右边等于x1 × x2 × ... × xφ(n)）(mod n)

　　而x1 × x2 × ... × xφ(n)(mod n)和n互质

　　根据消去律，可以从等式两边约去，就得到：

　　a^φ(n) ≡ 1 (mod n)

　　推论：对于互质的数a、n，满足a^(φ(n)+1) ≡ a (mod n)

　　费马定理:

　　a是不能被质数p整除的正整数，则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)

　　证明这个定理非常简单，由于φ(p) = p-1，代入欧拉定理即可证明。

　　同样有推论：对于不能被质数p整除的正整数a，有a^p ≡ a (mod p)

[编辑本段]欧拉公式

　　简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系

　　V+F-E=2

　　这个公式叫欧拉公式。公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律。

[编辑本段]认识欧拉

　　欧拉，瑞士数学家，13岁进巴塞尔大学读书，得到著名数学家贝努利的精心指导．欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他从19岁开始发表论文，直到76岁，他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文，其中在世时发表了700多篇论文。彼得堡科学院为了整理他的著作，整整用了47年。

　　欧拉著作惊人的高产并不是偶然的。他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，可以使他在任何不良的环境中工作：他常常抱着孩子在膝盖上完成论文。即使在他双目失明后的17年间，也没有停止对数学的研究，口述了好几本书和400余篇的论文。当他写出了计算天王星轨道的计算要领后离开了人世。欧拉永远是我们可敬的老师。

　　欧拉研究论著几乎涉及到所有数学分支，对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音乐都有研究！有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。欧拉写的数学教材在当时一直被当作标准教程。19世纪伟大的数学家高斯（Gauss，1777-1855）曾说过“研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法”。欧拉还是数学符号发明者，他创设的许多数学符号，例如π，i，e，sin，cos，tg，Σ，f (x)等等，至今沿用。

　　欧拉不仅解决了彗星轨迹的计算问题，还解决了使牛顿头痛的月离问题。对著名的“哥尼斯堡七桥问题”的完美解答开创了“图论”的研究。欧拉发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数V、棱数E、面数F之间总有关系V+F-E=2，此式称为欧拉公式。V+F-E即欧拉示性数，已成为“拓扑学”的基础概念。那么什么是“拓扑学”？ 欧拉是如何发现这个关系的？他是用什么方法研究的？今天让我们沿着欧拉的足迹，怀着崇敬的心情和欣赏的态度探索这个公式......

[编辑本段]欧拉定理的意义

　　（1）数学规律：公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律

　　（2）思想方法创新：定理发现证明过程中，观念上，假设它的表面是橡皮薄膜制成的，可随意拉伸；方法上将底面剪掉，化为平面图形（立体图→平面拉开图）。

　　（3）引入拓扑学：从立体图到拉开图，各面的形状、长度、距离、面积等与度量有关的量发生了变化，而顶点数，面数，棱数等不变。

　　定理引导我们进入一个新几何学领域：拓扑学。我们用一种可随意变形但不得撕破或粘连的材料（如橡皮波）做成的图形，拓扑学就是研究图形在这种变形过程中的不变的性质。

　　（4）提出多面体分类方法：

　　在欧拉公式中， f (p)=V+F-E 叫做欧拉示性数。欧拉定理告诉我们，简单多面体f (p)=2。

　　除简单多面体外，还有非简单多面体。例如，将长方体挖去一个洞，连结底面相应顶点得到的多面体。它的表面不能经过连续变形变为一个球面，而能变为一个环面。其欧拉示性数f (p)=16+16-32=0，即带一个洞的多面体的欧拉示性数为0。

　　（5）利用欧拉定理可解决一些实际问题

　　如：为什么正多面体只有5种？ 足球与C60的关系？否有棱数为7的正多面体？等

[编辑本段]欧拉定理的证明

　　方法1：（利用几何画板）

　　逐步减少多面体的棱数，分析V+F-E

　　先以简单的四面体ABCD为例分析证法。

　　去掉一个面，使它变为平面图形，四面体顶点数V、棱数E与剩下的面数F1变形后都没有变。因此，要研究V、E和F关系，只需去掉一个面变为平面图形，证V+F1-E=1

　　（1）去掉一条棱，就减少一个面，V+F1-E不变。依次去掉所有的面，变为“树枝形”。

　　（2）从剩下的树枝形中，每去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F1-E不变，直至只剩下一条棱。

　　以上过程V+F1-E不变，V+F1-E=1，所以加上去掉的一个面，V+F-E =2。

　　对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。因此公式对任意简单多面体都是正确的。

　　方法2：计算多面体各面内角和

　　设多面体顶点数V，面数F，棱数E。剪掉一个面，使它变为平面图形（拉开图）,求所有面内角总和Σα

　　一方面，在原图中利用各面求内角总和。

　　设有F个面，各面的边数为n1,n2，…，nF，各面内角总和为：

　　Σα = [(n1-2)·180度+(n2-2)·180度+…+(nF-2) ·180度]

　　= (n1+n2+…+nF -2F) ·180度

　　=(2E-2F) ·180度 = (E-F) ·360度 （1）

　　另一方面，在拉开图中利用顶点求内角总和。

　　设剪去的一个面为n边形，其内角和为(n-2)·180角，则所有V个顶点中，有n个顶点在边上，V-n个顶点在中间。中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)·360度，边上的n个顶点处的内角和(n-2)·180度。

　　所以，多面体各面的内角总和：

　　Σα = (V-n)·360度+(n-2)·180度+(n-2)·180度

　　=（V-2）·360度（2）

　　由(1)(2)得： (E-F) ·360度=（V-2）·360度

　　所以 V+F-E=2.

　　方法3 用拓朴学方法证明欧拉公式

　　图尝试一下用拓朴学方法证明关于多面体的面、棱、顶点数的欧拉公式。

　　欧拉公式：对于任意多面体（即各面都是平面多边形并且没有洞的立体），假设F，E和V分别表示面，棱（或边），角（或顶）的个数，那末

　　F-E+V=2。

　　证明 如图（图是立方体，但证明是一般的，是“拓朴”的）：

　　（1）把多面体（图中①）看成表面是薄橡皮的中空立体。

　　（2）去掉多面体的一个面，就可以完全拉开铺在平面上而得到一个平面中的直线形，像图中②的样子。假设F′，E′和V′分别表示这个平面图形的（简单）多边形、边和顶点的个数，我们只须证明F′-E′+V′=1。

　　（3）对于这个平面图形，进行三角形分割，也就是说，对于还不是三角形的多边形陆续引进对角线，一直到成为一些三角形为止，像图中③的样子。每引进一条对角线，F′和E′各增加1，而V′却不变，所以F′-E′+V′不变。因此当完全分割成三角形的时候，F′-E′+V′的值仍然没有变。有些三角形有一边或两边在平面图形的边界上。

　　（4）如果某一个三角形有一边在边界上，例如图④中的△ABC，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即AC，这样也就去掉了△ABC。这样F′和E′各减去1而V′不变，所以F′-E′+V′也没有变。

　　（5）如果某一个三角形有二边在边界上，例如图⑤中的△DEF，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即DF和EF，这样就去掉△DEF。这样F′减去1，E′减去2，V′减去1，因此F′-E′+V′仍没有变。

　　（6）这样继续进行，直到只剩下一个三角形为止，像图中⑥的样子。这时F′=1，E′=3，V′=3，因此F′-E′+V′=1-3+3=1。

　　（7）因为原来图形是连在一起的，中间引进的各种变化也不破坏这事实，因此最后图形还是连在一起的，所以最后不会是分散在向外的几个三角形，像图中⑦那样。

　　（8）如果最后是像图中⑧的样子，我们可以去掉其中的一个三角形，也就是去掉1个三角形，3个边和2个顶点。因此F′-E′+V′仍然没有变。

　　即F′-E′+V′=1

　　成立，于是欧拉公式：

　　F-E+V=2

　　得证。

[编辑本段]欧拉定理的运用方法

　　（1）分式：

　　a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)

　　当r=0,1时式子的值为0

　　当r=2时值为1

　　当r=3时值为a+b+c

　　（2）复数

　　由e＾iθ=cosθ+isinθ,得到：

　　sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）/2i

　　cosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）/2

　　（3）三角形

　　设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则：

　　d＾2=R＾2-2Rr

　　（4）多面体

　　设v为顶点数，e为棱数，f是面数，则

　　v-e+f=2-2p

　　p为欧拉示性数，例如

　　p=0 的多面体叫第零类多面体

　　p=1 的多面体叫第一类多面体

　　(5) 多边形

　　设一个二维几何图形的顶点数为V，划分区域数为Ar，一笔画笔数为B,则有：

　　V+Ar-B=1

　　(如：矩形加上两条对角线所组成的图形，V=5,Ar=4,B=8)

　　(6). 欧拉定理

　　在同一个三角形中，它的外心Circumcenter、重心Gravity、九点圆圆心Nine-point-center、垂心Orthocenter共线。

　　其实欧拉公式是有很多的，上面仅是几个常用的。

[编辑本段]使用欧拉定理计算足球五边形和六边形数

　　问：足球表面由五边型和六边型的皮革拼成，计算一共有多少个这样的五边型和六边型？

　　答：足球是多面体，满足欧拉公式F－E＋V＝2，其中F,E,V分别表示面,棱,顶点的个数

　　设足球表面正五边形(黑皮子)和正六边形(白皮子)的面各有x个和y个，那么

　　面数F＝x＋y

　　棱数E＝(5x+6y)/2（每条棱由一块黑皮子和一块白皮子共用）

　　顶点数V＝(5x+6y)/3（每个顶点由三块皮子共用）

　　由欧拉公式，x＋y－(5x+6y)/2＋(5x+6y)/3＝2，

　　解得x＝12。所以，共有12块黑皮子

　　所以，黑皮子一共有12×5＝60条棱，这60条棱都是与白皮子缝合在一起的

　　对于白皮子来说：每块白色皮子的6条边中，有3条边与黑色皮子的边缝在一起，另3条边则与其它白色皮子的边缝在一起。

　　所以白皮子所有边的一半是与黑皮子缝合在一起的

　　那么白皮子就应该一共有60×2＝120条边，120÷6＝20

　　所以共有20块白皮子

　　（或者，每一个六边形的六条边都与其它的三个六边形的三条边和三个五边形的三条边连接；每一个五边形的五条边都与其它的五个六边形的五条边连接

　　所以，五边形的个数x=3y/5。

　　之前求得x=12，所以y=20）

　　经济学中的“欧拉定理”

　　在西方经济学里，产量和生产要素L、K的关系表述为Q＝Q(L，K)，如果具体的函数形式是一次齐次的，那么就有：Q＝L(ðQ/ðL)＋K(ðQ/ðK)，换句话说，产品分配净尽取决于Q能否表示为一个一次齐次函数形式。

　　因为ðQ/ðL＝MPL＝w/P被视为劳动对产量的贡献，ðQ/ðK＝MPK＝r/P被视为资本对产量的贡献，因此，此式被解释为“产品分配净尽定理”，也就是所有产品都被所有的要素恰好分配完而没有剩余。因为形式上符合数学欧拉定理，所以称为欧拉定理。

　　【同余理论中的"欧拉定理"】

　　设a,m∈N,(a,m)=1,则a^(f(m))≡1(mod m)

　　(注:f(m)指模m的简系个数)

[编辑本段]欧拉公式

　　在数学历史上有很多公式都是欧拉（Leonhard Euler 公元1707-1783年)发现的，它们都叫做欧拉公式，它们分散在各个数学分支之中。

　　1、复变函数论里的欧拉公式：

　　e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。

　　它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。

　　将公式里的x换成-x，得到：

　　e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：

　　sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.

　　这两个也叫做欧拉公式。将e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到：

　　e^i∏+1=0.

　　这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数学联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率∏，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看它而不能理解它。

　　2、拓扑学里的欧拉公式：

　　V+F-E=X(P)，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。

　　如果P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀成一个球面），那么X(P)=2，如果P同胚于一个接有h个环柄的球面，那么X(P)=2-2h。

　　X(P)叫做P的拓扑不变量，是拓扑学研究的范围。

　　3、初等数论里的欧拉公式：

　　欧拉φ函数：φ(n)是所有小于n的正整数里，和n互素的整数的个数。n是一个正整数。

　　欧拉证明了下面这个式子：

　　如果n的标准素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm*am，其中众pj(j=1,2,……,m)都是素数，而且两两不等。则有

　　φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm)

　　利用容斥原理可以证明它。

　　定理：正整数a与n互质，则a^φ(n)除以n余1

　　证明：设集合{A1,A2,...,Am}为模n的一个缩系（若整数A1,A2,...,Am模n分别对应0,1,2,...,n-1中所有m个与n互素的自然数,则称集合{A1,A2,...,Am}为模n的一个缩系）

　　则{a A1,a A2,...,a Am}也是模n的一个缩系（如果a Ax与a Ay (x不等于y)除以n余数相同，则a(Ax-Ay)是n的倍数，这显然不可能）

　　即A1*A2*A3*……Am≡aA1*aA2*……aAm(mod n) （这里m=φ(n)）

　　两边约去A1*A2*A3*……Am即得1≡a^φ(n)（mod n）