怎么证明托勒密不等式

　托勒密(Ptolemy)定理指出，圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。　　原文：圆内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。　　从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．

圆内接四边形的两组对边的积的和等于对角线的积

　　托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。 从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质。　　一般几何教科书中的“托勒密定理”，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出。　　摘出并完善后的托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。　　定理表述：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。　　从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．

定理的内容托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．

托勒密(Ptolemy)定理指出,圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积. 原文：圆的内接四边形中,两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和.

　　1、托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 　　2、圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。 从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质。

1、托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 2、圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。 从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质。

托勒密定理的证明是：在任意凸四边形ABCD中（如右图），作△ABE使∠BAE=∠CAD∠ABE=∠ACD，连接DE则△ABE∽△ACD所以BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)由△ABE∽△ACD得AD/AC=AE/AB,又∠BAC=∠EAD所以△ABC∽△AEDBC/ED=AC/AD,即ED·AC=BC·AD (2)(1)+(2),得AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC又因为BE+ED≥BD（仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）。推论1、任意凸四边形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，当且仅当ABCD四点共圆时取等号。2、托勒密定理的逆定理同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆。

1、托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 2、圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。 从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质。

定理：若ABCD四点共圆（ABCD按顺序都在同一个圆上），那么AB.CD+BC.AD=AC.BD。例题：（我讲道好玩的吧：）证明对于任意正整数n都存在n个点使得所有点间两两距离为整数。解答：归纳法。我们用归纳法证明一个更强的定理：对于任意n都存在n个点使得所有点间两两距离为整数，且这n个点共圆，并且有两点是一条直径的两端。n=1，n=2很轻松。当n=3时，一个边长为整数的勾股三角形即可：比如说边长为3，4，5的三角形。我们发现这样的三个点共圆，边长最长的边是一条直径。假设对于n大于等于3成立，我们来证明n+1。假设直径为r（整数）。找一个不跟已存在的以这个直径为斜边的三角形相似的一个整数勾股三角形ABC（边长a<b<c）。把原来的圆扩大到原来的c倍，并把一个边长为ra<rb<rc的三角形放进去，使得rc边和放大后的直径重合。这个三角形在圆上面对应了第n+1个点，记为P。于是根据Ptolomy定理，P和已存在的所有点的距离都是一个有理数。（考虑P，这个点Q和直径两端的四个点，这四点共圆，于是PQ是一个有理数因为Ptolomy定理里的其它数都是整数。）引入一个新的点P增加了n个新的有理数距离，记这n个有理数的最大公分母为M。最后只需要把这个新的图扩大到原来的M倍即可。归纳法成立，故有这个命题。

圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 一般几何教科书中的“托勒密定理”，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出。摘出并完善后的托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质。

定理的提出　　一般几何教科书中的“托勒密定理”，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出。[编辑本段]定理的内容　　托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。　　原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。　　从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．[编辑本段]证明　　一、（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。）　　在任意四边形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD∠ABE=∠ACD　　因为△ABE∽△ACD　　所以BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD(1)　　而∠BAC=∠DAE，，∠ACB=∠ADE　　所以△ABC∽△AED相似.　　BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD(2)　　(1)+(2),得　　AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC　　又因为BE+ED≥BD　　（仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）　　所以命题得证　　复数证明　　用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。首先注意到复数恒等式：(a−b)(c−d)+(a−d)(b−c)=(a−c)(b−d)，两边取模，运用三角不等式得。等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。四点不限于同一平面。平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。　　二、　　设ABCD是圆内接四边形。在弦BC上，圆周角∠BAC=∠BDC，而在AB上，∠ADB=∠ACB。在AC上取一点K，使得∠ABK=∠CBD；因为∠ABK+∠CBK=∠ABC=∠CBD+∠ABD，所以∠CBK=∠ABD。因此△ABK与△DBC相似，同理也有△ABD~△KBC。因此AK/AB=CD/BD，且CK/BC=DA/BD；因此AK·BD=AB·CD，且CK·BD=BC·DA；两式相加，得(AK+CK)·BD=AB·CD+BC·DA；但AK+CK=AC，因此AC·BD=AB·CD+BC·DA。证毕。　　三、　　托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)．已知：圆内接四边形ABCD，求证：AC·BD＝AB·CD＋AD·BC．　　证明：如图1，过C作CP交BD于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△ACD∽△BCP．得AC：BC=AD：BP，AC·BP=AD·BC①。又∠ACB=∠DCP，∠5=∠6，∴△ACB∽△DCP．得AC：CD=AB：DP，AC·DP=AB·CD②。①＋②得AC(BP＋DP)=AB·CD＋AD·BC．即AC·BD=AB·CD＋AD·BC．　　[编辑本段]推论　　1.任意凸四边形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，当且仅当ABCD四点共圆时取等号。　　2.托勒密定理的逆定理同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆、[编辑本段]推广　　托勒密不等式：四边形的任两组对边乘积不小于另外一组对边的乘积，取等号当且仅当共圆或共线。　　简单的证明：复数恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，两边取模，　　得不等式AC·BD≤|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB·CD+BC·AD　　注意：　　1.等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。　　2.四点不限于同一平面。　　欧拉定理：在一条线段上AD上，顺次标有B、C两点，则AD·BC+AB·CD=AC·BD

hao la ya ha

托勒密定理的推广:四边形两对边乘积之和大于等于其对角线乘积取等号时，该四边形是圆内接四边形。

不知嗨急急急急急急急急急急急斤斤计较斤斤计较斤斤计较斤斤计较斤斤计较斤斤计较斤斤计较斤斤计较斤斤计较斤斤计较斤斤计较斤斤计较斤斤计较斤斤计较斤斤计较斤斤计较

是的，托勒密定理规定，任意一个四边形的对角线都是垂直的。

托勒斯定理可以推广出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式。托勒密不等式：凸四边形的两组对边乘积和不小于其对角线的乘积，取等号当且仅当共圆或共线。简单的证明：复数恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，两边取模，得不等式AC·BD≤|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB·CD+BC·AD。推论：1.任意凸四边形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，当且仅当ABCD四点共圆时取等号。2.托勒密定理的逆定理同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆。托勒密定理的运用要点：1.等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。2.四点不限于同一平面。欧拉定理：在一条线段上AD上，顺次标有B、C两点，则AD·BC+AB·CD=AC·BD。

一、（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。）在任意凸四边形abcd中(如右图)，作△abe使∠bae=∠cad∠abe=∠acd,连接de.则△abe∽△acd所以be/cd=ab/ac,即be·ac=ab·cd(1)由△abe∽△acd得ad/ac=ae/ab,又∠bac=∠ead,所以△abc∽△aed.bc/ed=ac/ad,即ed·ac=bc·ad(2)(1)+(2),得ac(be+ed)=ab·cd+ad·bc又因为be+ed≥bd（仅在四边形abcd是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）复数证明用a、b、c、d分别表示四边形顶点a、b、c、d的复数，则ab、cd、ad、bc、ac、bd的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。首先注意到复数恒等式：(a−b)(c−d)+(a−d)(b−c)=(a−c)(b−d)，两边取模，运用三角不等式得。等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与a、b、c、d四点共圆等价。四点不限于同一平面。平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。二、设abcd是圆内接四边形。在弦bc上，圆周角∠bac=∠bdc，而在ab上，∠adb=∠acb。在ac上取一点k，使得∠abk=∠cbd；因为∠abk+∠cbk=∠abc=∠cbd+∠abd，所以∠cbk=∠abd。因此△abk与△dbc相似，同理也有△abd~△kbc。因此ak/ab=cd/bd，且ck/bc=da/bd；因此ak·bd=ab·cd，且ck·bd=bc·da；两式相加，得(ak+ck)·bd=ab·cd+bc·da；但ak+ck=ac，因此ac·bd=ab·cd+bc·da。证毕。三、托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)．已知：圆内接四边形abcd，求证：ac·bd＝ab·cd＋ad·bc．证明：如图1，过c作cp交bd于p，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△acd∽△bcp．得ac：bc=ad：bp，ac·bp=ad·bc①。又∠acb=∠dcp，∠5=∠6，∴△acb∽△dcp．得ac：cd=ab：dp，ac·dp=ab·cd②。①＋②得ac(bp＋dp)=ab·cd＋ad·bc．即ac·bd=ab·cd＋ad·bc．四、广义托勒密定理：设四边形abcd四边长分别为a,b,c,d,两条对角线长分别为m,n，则有：m^2*n^2=a^2*c^2+b^2*d^2-2abcd*cos(a+c)

设四边形ABCD的边长为AB=a,BC=b,CD=c,DA=d，对角线为m,n。四边形的余弦定理:(mn)^2=(ac)^2+(bd)^2-2abcd*cos(A+C)托勒密定理:mn=ac+bd四边形的余弦定理中的四边形是任意四边形，而托勒密定理中的四边形是圆的内接四边形，而圆的内接四边形中有个定理是两对角之和是180度，即A+C=180度，cos(A+C)=-1，带入到四边形的余弦定理公式中就得(mn)^2=(ac)^2+(bd)^2+2abcd=(ac+bd)^2,也即mn=ac+bd，这就得到托勒密定理。事实上托勒密定理是四边形的余弦定理的一种特殊情况，明白了吧。

托勒密定理在中考中建议不要随便使用，如果实在要使用，需要先证明。托勒密定理是指：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 定理表述：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。 从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质。托勒密定理的验证推导：在任意凸四边形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD,连接DE，则△ABE∽△ACD。所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)由△ABE∽△ACD得AD/AC=AE/AB,又∠BAC=∠EAD,所以△ABC∽△AED.BC/ED=AC/AD,即ED·AC=BC·AD (2)(1)+(2),得AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC，又因为BE+ED≥BD。（仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）定理得出的推论：1、任意凸四边形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，当且仅当ABCD四点共圆时取等号。2、托勒密定理的逆定理同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆。

分类: 教育/科学 >> 科学技术 问题描述: 托勒密定理： 圆内接四边形ABCD的两组对边乘积的和等于它的两条对角线的乘积，即AB*CD+AD*BC=AC*BD。 请证明？先谢谢了。 解析: 过C作CP交BD于P,使∠1=∠2,又∠3=∠4,∴△ACD∽△BCP.又∠ACB=∠DCP,∠5=∠6,∴△ACB∽△DCP. ①+②得 AC(BP+DP)=AB·CD+AD·BC. 即AC·BD=AB·CD+AD·BC.

中考用托勒密定理算不会给分，因为中考数学考试的评分标准中并没有涉及到托勒密定理。托勒密定理在中考中建议不要随便使用，如果实在要使用，需要先证明。托勒密定理是指：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。定理表述：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。 从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质。托勒密定理的验证推导：在任意凸四边形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD,连接DE，则△ABE∽△ACD。所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)由△ABE∽△ACD得AD/AC=AE/AB,又∠BAC=∠EAD,所以△ABC∽△AED.BC/ED=AC/AD,即ED·AC=BC·AD (2)(1)+(2),得AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC，又因为BE+ED≥BD。（仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）托勒密定理是几何学中的一个重要定理，可以用来解决一些与圆相关的问题，如证明四边形为矩形等。虽然在中考中不会用到，但学习托勒密定理可以加深对几何学的理解，提高数学水平。学习托勒密定理还可以为将来的高考或其他数学竞赛打下基础，因为在这些考试中，几何学的内容会更加深入和复杂，托勒密定理的应用也会更加广泛。

1.任意凸四边形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，当且仅当ABCD四点共圆时取等号。2.托勒密定理的逆定理同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆

　　托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。 从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质。　　一般几何教科书中的“托勒密定理”，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出。　　摘出并完善后的托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。　　定理表述：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。　　从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．

托勒密(Ptolemy)定理指出，圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 在直线上，托勒密定理同样成立，这时也称为欧拉定理。 托勒密定理的逆定理同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆。 推广及证明 * 托勒密不等式：四边形的任两组对边乘积不小于另外一组对边的乘积，取等号当且仅当共圆或共线。 展开 作业帮用户 2017-08-09 举报

一、（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。） 　　在任意凸四边形ABCD中(如右图)，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD,连接DE. 　　则△ABE∽△ACD 　　所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1) 由△ABE∽△ACD得AD/AC=AE/AB,又∠BAC=∠EAD, 　　所以△ABC∽△AED. 　　BC/ED=AC/AD,即ED·AC=BC·AD (2) 　　(1)+(2),得 　　AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC 　　又因为BE+ED≥BD 　　（仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”） 　　复数证明 　　用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。 首先注意到复数恒等式： (a �6�1 b)(c �6�1 d) + (a �6�1 d)(b �6�1 c) = (a �6�1 c)(b �6�1 d) ，两边取模，运用三角不等式得。 等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。 四点不限于同一平面。 平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。 　　二、 　　设ABCD是圆内接四边形。 在弦BC上，圆周角∠BAC = ∠BDC，而在AB上，∠ADB = ∠ACB。 在AC上取一点K，使得∠ABK = ∠CBD； 因为∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，所以∠CBK = ∠ABD。 因此△ABK与△DBC相似，同理也有△ABD ~ △KBC。 因此AK/AB = CD/BD，且CK/BC = DA/BD； 因此AK·BD = AB·CD，且CK·BD = BC·DA； 两式相加，得(AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA； 但AK+CK = AC，因此AC·BD = AB·CD + BC·DA。证毕。 　　三、 　　托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)．已知：圆内接四边形ABCD，求证：AC·BD＝AB·CD＋AD·BC． 　　证明：如图1，过C作CP交BD于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△ACD∽△BCP．得AC：BC=AD：BP，AC·BP=AD·BC ①。又∠ACB=∠DCP，∠5=∠6，∴△ACB∽△DCP．得AC：CD=AB：DP，AC·DP=AB·CD ②。①＋②得 AC(BP＋DP)=AB·CD＋AD·BC．即AC·BD=AB·CD＋AD·BC． 　　四、广义托勒密定理：设四边形ABCD四边长分别为a,b,c,d,两条对角线长分别为m,n，则有： 　　m^2*n^2=a^2*c^2+b^2*d^2-2abcd*cos(A+C) 　　

定理如果四边形内接于圆，那么它的两对对边的乘积之和等于它的对角线的乘积．证设四边形abcd有外接圆o，ac和bd相交于p，∠cpd=α(图3－107)．若四边形abcd的四边都相等，则四边形abcd为圆内接菱形，即正方形，结论显然成立．若四边不全相等，不失一般性，设‖bd，于是△abd≌△edb，从而ad=be．又而 s四边形abcd=s四边形bcde，所以即(ad×bc+ab×cd)sin∠ebc=ac×bd×sinα．由于∠α=∠dac+∠adb=∠dbc+∠ebd=∠ebc，所以ad×bc+ab×cd=ac×bd．说明(1)托勒密定理可以作如下推广：“在凸四边形abcd中，ab×cd+ad×bc≥ac×bd．当且仅当四边形abcd是圆内接四边形时，等号成立．”由此可知，托勒密定理的逆定理也成立．

证明在四边形ABCD中,连接AC,作角ABE=角ACD,角BAE=角CAD则三角形ABE和三角形ACD相似所以BE/CD=AB/AC,即BE*AC=AB*CD(1)又有比例式AB/AC=AE/AD而角BAC=角DAE所以三角形ABC和三角形AED相似.BC/ED=AC/AD即ED*AC=BC*AD(2)(1)+(2),得AC(BE+ED)=AB*CD+AD*BC又因为BE+ED>=BD所以命题得证推论任意凸四边形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，当且仅当ABCD四点共圆时取等号。托勒密定理的逆定理同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆推广托勒密不等式：四边形的任两组对边乘积不小于另外一组对边的乘积，取等号当且仅当共圆或共线。简单的证明：复数恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，两边取模，得不等式，分析等号成立的条件。四点不限于同一平面。在一条线段上AD上，顺次标有B、C两点，则AD*BC+AB*CD=AC*BD从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。证明：△ABC外接圆上有点P，且PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，PD⊥BC于D，分别连DE、DF.憨功封嘉莩黄凤萎脯联易证P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分别共圆，于是∠FDP=∠ACP①，（∵都是∠ABP的补角）且∠PDE=∠PCE②而∠ACP+∠PCE=180°③∴∠FDP+∠PDE=180°④即F、D、E共线.反之，当F、D、E共线时，由④→②→③→①可见A、B、P、E共圆.

托勒密(Ptolemy)定理指出，圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 在直线上，托勒密定理同样成立，这时也称为欧拉定理。 托勒密定理的逆定理同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆。 推广及证明 * 托勒密不等式：四边形的任两组对边乘积不小于另外一组对边的乘积，取等号当且仅当共圆或共线。 o 简单的证明：复数恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，两边取模，得不等式，分析等号成立的条件。 o 四点不限于同一平面。

托勒密(ptolemy)定理指出，圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。在直线上，托勒密定理同样成立，这时也称为欧拉定理。托勒密定理的逆定理同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆。推广及证明*托勒密不等式：四边形的任两组对边乘积不小于另外一组对边的乘积，取等号当且仅当共圆或共线。o简单的证明：复数恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，两边取模，得不等式，分析等号成立的条件。o四点不限于同一平面。

不是的，具体分析如下。伪内切圆：与三角形的两条边相切，并与三角形的外接圆相切的圆称为三角形的伪内切圆。开世定理：开世定理的背景是圆的内切圆。设有半径为R的一个圆O，圆内又有四个圆O1、O2、O3、O4内切于圆（如下图）。如果将圆Oi、Oj的外公切线的长度设为tij，那么开世定理声称，有下列等式成立。可以注意到，如果四个内切的圆都退化成点的话，就会变成圆 上的四个点，而开世定理中的等式也会化为托勒密定理。托勒密定理：在数学中，托勒密定理是欧几里得几何学中的一个关于四边形的定理。托勒密定理指出凸四边形两组对边乘积之和不小于两条对角线的乘积，等号当且仅当四边形为圆内接四边形，或退化为直线取得（这时也称为欧拉定理）。狭义的托勒密定理也可以叙述为：圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。它的逆定理也是成立的：若一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆。托勒密定理实际上可以看做一种判定圆内接四边形的方法。（如下图）

在向量中托勒密定理还适用吗？你好，很高兴接到你的回答，在向量中托勒密定理不适用

用初中相似三角形知识很容易证,没有必要用到向量.向量一般是证垂直之类问题.有个挺有用的公式：(AB,CD)+(BC,AD)+(CA,BD)=0（这里ABCD之类都是向量，(AB,CD)是ABCD点乘或者说是内积）证明比较简单，用些什么AC=AB+BC之类的东西捣一捣就完了。用这个来证平面的托米勒定理就不难了，由于(AB,CD)=|AB||CD|cos(AB,CD)用四点共圆的条件就可以把那些cos去掉（注意符号），就得到了题目的结论。广义托勒密定理:凸四边形ABCD的两组对边乘积的和大于等于它的两条对角线的乘积.在四边形ABCD中,连接AC,作角ABE=角ACD,角BAE=角CAD则三角形ABE和三角形ACD相似所以BE/CD=AB/AC,即BE*AC=AB*CD(1)又有比例式AB/AC=AE/AD而角BAC=角DAE所以三角形ABC和三角形AED相似.BC/ED=AC/AD即ED*AC=BC*AD(2)(1)+(2),得AC(BE+ED)=AB*CE+AD*BC又因为BE+ED>=BD所以命题得证当且仅当E点落在线段BD上时,等号成立,此时ABCD内接于圆.

不存在凹多边形的托勒密定理！

梅涅劳斯（Menelaus）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。 证明： 过点A作AG∥BC交DF的延长线于G, 则AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。 三式相乘得：AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=1 它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1，则F、D、E三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。 另外,有很多人会觉得书写这个公式十分烦琐,不看书根本记不住,下面从别人转来一些方法帮助书写 为了说明问题，并给大家一个深刻印象，我们假定图中的A、B、C、D、E、F是六个旅游景点，各景点之间有公路相连。我们乘直升机飞到这些景点的上空，然后选择其中的任意一个景点降落。我们换乘汽车沿公路去每一个景点游玩，最后回到出发点，直升机就停在那里等待我们回去。 我们不必考虑怎样走路程最短，只要求必须“游历”了所有的景点。只“路过”而不停留观赏的景点，不能算是“游历”。 例如直升机降落在A点，我们从A点出发，“游历”了其它五个字母所代表的景点后，最终还要回到出发点A。 另外还有一个要求，就是同一直线上的三个景点，必须连续游过之后，才能变更到其它直线上的景点。 从A点出发的旅游方案共有四种，下面逐一说明： 方案① ——从A经过B（不停留）到F（停留），再返回B（停留），再到D（停留），之后经过B（不停留）到C（停留），再到E（停留），最后从E经过C（不停留）回到出发点A。 按照这个方案，可以写出关系式： （AF：FB）*（BD：DC）*（CE：EA）=1。 现在，您知道应该怎样写“梅涅劳斯定理”的公式了吧。 从A点出发的旅游方案还有： 方案② ——可以简记为：A→B→F→D→E→C→A，由此可写出以下公式： （AB：BF）*（FD：DE）*（EC：CA）=1。从A出发还可以向“C”方向走，于是有： 方案③ —— A→C→E→D→F→B→A，由此可写出公式： （AC：CE）*（ED：DF）*（FB：BA）=1。 从A出发还有最后一个方案： 方案④ —— A→E→C→D→B→F→A，由此写出公式： （AE：EC）*（CD：DB）*（BF：FA）=1。 我们的直升机还可以选择在B、C、D、E、F任一点降落，因此就有了图中的另外一些公式。 值得注意的是，有些公式中包含了四项因式，而不是“梅涅劳斯定理”中的三项。当直升机降落在B点时，就会有四项因式。而在C点和F点，既会有三项的公式，也会有四项的公式。公式为四项时，有的景点会游览了两次。 不知道梅涅劳斯当年是否也是这样想的，只是列出了一两个典型的公式给我们看看。 现在是否可以说，我们对梅涅劳斯定理有了更深刻的了解呢。那些复杂的相除相乘的关系式，不会再写错或是记不住吧。

∣（a-c）(b-d)∣=∣(a-b)*(c-d)+(a-d)*(b-c)∣≤∣(a-b)(c-d)∣+∣(a-d)(b-d)∣这个是简单的实数不等式下面会了吧把每一个小括号里复数对应到边长，因为绝对值里面只有乘法了，所以可以如此对应证毕求个最佳，即采纳

设四边形ABCD的边长为AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,对角线为m,n. 四边形的余弦定理: (mn)^2=(ac)^2+(bd)^2-2abcd*cos(A+C) 托勒密定理: mn=ac+bd 四边形的余弦定理中的四边形是任意四边形,而托勒密定理中的四边形是圆的内接四边形,而圆的内接四边形中有个定理是两对角之和是180度,即A+C=180度,cos(A+C)=-1,带入到四边形的余弦定理公式中就得(mn)^2=(ac)^2+(bd)^2+2abcd=(ac+bd)^2,也即mn=ac+bd,这就得到托勒密定理.事实上托勒密定理是四边形的余弦定理的一种特殊情况,明白了吧.

过C作CP交BD于P 使∠BCP=∠ACD 又∠CBP=∠CAD 有△ACD相似△BCP,有AC*BP=AD*BC .1 因为∠ACB=∠DCP ∠CDP=∠CAB 所以△ACB∽△DCP 有AC*DP=AB*CD .2 1式+2式得AC(BP＋DP)=AB*CD＋AD*BC 既AB*CD+AD*BC=AC*BD

初中所有被删除的数学定理是鸡爪定理，角平分线定理，圆幂定理，正弦定理，相交弦定理，切割线定理，割线定理，蝴蝶定理，托勒密定理，余弦定理等。删减某些知识，无疑对同学们学习知识的全面性造成一定的影响。就射影定理而言，在很多题目中使用就可以省时省力，现在绝大多数中学还是将此作为一个知识来给学生拓展，并没有受到巨大的影响，如果彻底绝迹，那在无疑给几何减少了魅力。初中数学定理：1、点、线、角点的定理：过两点有且只有一条直线。点的定理：两点之间线段最短。角的定理：同角或等角的补角相等。角的定理：同角或等角的余角相等。直线定理：过一点有且只有一条直线和已知直线垂直。直线定理：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。2、三角形内角定理定理：三角形两边的和大于第三边。推论：三角形两边的差小于第三边。三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。3、几何平行平行定理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。推论：如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行。证明两直线平行定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。两直线平行推论：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。

设圆内接四边形ABCD中,AC是直径,∠BAC=α,∠DAC=β,则∠BAD=α+β作直径BE,连接DE,则∠BED+∠BAD=180°sinα=BC/AC,sinβ=CD/ACcosα=AB/AC,cosβ=AD/ACsin(α+β)=sin∠BED=BD/BE=BD/ACsinαcosβ+sinβcosα=(BC*AD+AB*CD)/AC²=AC*BD/AC²=BD/AC=sin(α+β)由诱导公式得sin(α-β)=sinαcosβ-sinβcosα

凹四边形的四个点可以在一个圆上吗?,3,你试着画一个圆内接凹四边形就明白了,0,凹四边形能用于托勒密定理的证明吗? 托勒密定理的证明中用的都是凸四边形,而且定理论述的也是圆内凸四边形的性质,那么请问为什么不能用凹四边形呢?能不能证明一下为什么不可以用凹四边形?

条件：克罗狄斯·托勒密 托勒密定理的发现者（公元90年——168年）欧几里得(前325-前265)（和那国王差不多大）~过程：人活不了400年~所以此托勒密非彼托勒密~

首先题目里M写成N了吧这道题不要用托勒密定理证明：由西姆松定理，M,K,L三点共线连接AP,BP,CP,ML,且ML过K现设∠PAC=∠α，∠PAB=β,∠PCL=γ则BC/PK=BK/PK + CK/PK=cotα+cotβ （1）AC/PL=AL/PL -CL/PL=cotα-cotγ （2）由于∠BMP=∠BLP=90°，所以B,M,K,P四点共圆∠MBP=180-∠MKP=∠PKL同理，P,K,C,L四点共圆，∠PKL=∠PCL=γ所以∠MBP=γ，所以AB/PM=AM/PM + BM/PM=cotβ+cotγ （3）（1）（2）（3）联立，就是你要证得式子

过C作CP交BD于P 使∠BCP=∠ACD 又∠CBP=∠CAD 有△ACD相似△BCP,有AC*BP=AD*BC .1 因为∠ACB=∠DCP ∠CDP=∠CAB 所以△ACB∽△DCP 有AC*DP=AB*CD .2 1式+2式得AC(BP＋DP)=AB*CD＋AD*BC 既AB*CD+AD*BC=AC*BD

初中所有被删除的数学定理是鸡爪定理，角平分线定理，圆幂定理，正弦定理，相交弦定理，切割线定理，割线定理，蝴蝶定理，托勒密定理，余弦定理等。删减某些知识，无疑对同学们学习知识的全面性造成一定的影响。就射影定理而言，在很多题目中使用就可以省时省力，现在绝大多数中学还是将此作为一个知识来给学生拓展，并没有受到巨大的影响，如果彻底绝迹，那在无疑给几何减少了魅力。初中数学定理：1、点、线、角点的定理：过两点有且只有一条直线。点的定理：两点之间线段最短。角的定理：同角或等角的补角相等。角的定理：同角或等角的余角相等。直线定理：过一点有且只有一条直线和已知直线垂直。直线定理：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。2、三角形内角定理定理：三角形两边的和大于第三边。推论：三角形两边的差小于第三边。三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。3、几何平行平行定理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。推论：如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行。证明两直线平行定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。两直线平行推论：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。

我可以给你一些，记不全了（要看定理具体内容自己搜索)：赛瓦定理、西姆松定理、圆幂定理、婆罗摩笈多定理、卡诺定理、欧拉定理、中线长定理、斯特瓦尔特定理、角平分线定理（广义）、正（余）弦定理。能称得上定理的我就记得这些了。还有那个九点圆，记不清怎么回事了；海伦公式，很实用（四边形也有相似的不等式）PS：1.我现在初三，没听着老师说这些定理是不是初中的。还有老师说高中就没有平面几何了。所以估计几何定理初中联赛都用得上。2.我淘到的一个文章，感觉有价值：http://www.doc88.com/p-314746617272.html

在证明此对三角形相似前应该无法知道∠ACB=∠ADE. 但有△ABE∽△ACD则AB/AC=AE/AD 故AB/AE=AC/AD(比例转换) 又由∠BAE=∠CAD知∠BAC=∠EAD; 由此可得△ABC∽△AED,还是可以得到最后的结论. 这对相似应该就是这么证的,百科那位很可能是默认四点共圆直接得出的两角相等... 如果非想证∠ACB=∠ADE的话就用正弦定理,但结果是一样的.

凹四边形的四个点可以在一个圆上吗?