概率论

(1)由已知，f(x)=1, (0<=x<=1)，f(y)=e^(-y), (y>=0)，Z大于0那么F(z)=P(X+Y<z)在坐标轴上画出积分区间即0<=z<1时，x积分区间为(0,z)，y积分区间为(0,z-x)z>=1时，x积分区间为(0,1)，y积分区间为(0,z-x)在以上区间对f(x)*f(y)=e^(-y)积分，有0<=z<1时，F(z)=e^(-z)+z-1z>=1时，F(z)=e^(-z)-e^(1-z)+1求导，有0<=z<1时，f(z)=1-e^(-z)z>=1时，f(z)=e^(1-z)-e^(-z)因此，Z的概率密度函数为f(z)=0，z<0f(z)=1-e^(-z)，0<=z<1f(z)=e^(1-z)-e^(-z)，z>=1时(2)F(z))=P(-2lnX<z)=P(X>e^(-z/2))当z<0时，F(z)=0当z>=0时，对f(x)从e^(-z/2)到1积分，得F(z)=1-e^(-z/2)求导，有f(z)=e^(-z/2)/2因此，Z的概率密度函数为f(z)=0，z<0f(z)=e^(-z/2)/2，z>=0

其实和x1与x2+x3,x2-x3相互独立是一个问题。终归是证明x1,x2...xm,y1,y2...yn相互独立时有连续函数h(x1,x2...xm)和g(y1,y2,...yn)相互独立。这个证明比较复杂，一般是作为结论记住。但是可以知道的是，相互独立时有F(x1,x2...xn)=F(x1)F(x2)...F(xn)=F(x1,x2)...F(xn)=F(x1,x2,x3)...F(xn)=...因此相互独立时必有F(x1,...,xn,y1,...,yn)=F1(x1,...,xn)F2(y1,...,yn)。再使用浙大概率论75页定理即得最后结论。

互不相容:若两事件A与B不能同时发生,则称A与B是互不相容事件,或称互斥事件,记作A∩B= Φ对立:在互不相容的基础上再加一个条件,P(A)+P(B)=1.通俗的说所谓对立事件,有你没我,有我没你,咱俩之间必须有一个独立:设A,B是两事件,如果满足等式P(AB)=P(A)P(B),则称事件A,B相互独立,简称A,B独立不相关:若随机变量 X 和 Y 的相关系数 r(X,Y)=0,称 X 与 Y 不相关,众所周知,独立变量一定不相关(自然要求方差有限),不独立变量也可以不相关,单位圆内的均匀分布即其一例.互不相容与对立由上面的定义可知,对立对两个事件的性质要求比互不相容高独立与不相关独立和不相关从字面上看都有“两个东西没关系”的意思.但两者是有区别的.相关性描述的是两个变量是否有线性关系,独立性描述的是两个变量是否有关系.不相关表示两个变量没有线性关系,但还可以有其他关系,也就是不一定相互独立结论：（1）X与Y独立,则X与Y一定不相关（2）X与Y不相关,则X与Y不一定独立证明：（1）由于X与Y独立,所以f(xy)=f(x)f(y),（f为概率密度函数）于是:E(XY)=∫∫f(xy)dxdy=∫∫[f(x)*f(y)]dxdy=∫f(x)dx*∫f(y)dy=E(X)E(Y)所以：E(XY)=E(X)E(Y),即X,Y不相关.（2）反例：X=cost,Y=sint,其中t是(0,2π]上的均匀分布随机变量.易得X和Y不相关,因为：E(XY)=E(cost sint)=（1/2π）*∫sint cost dt = 0E(X)=（1/2π）* ∫cost dt = 0E(Y)=（1/2π）* ∫sint dt = 0所以E(XY)=E(X)E(Y)但是他们是不独立的.因为：X和Y各自的概率密度函数在（-1,1）上有值,但是XY的联合概率密度只在单位圆内有值,所以f(XY)不等于f(x)*f(y),两者不独立.

可以具体一点吗，这部分的内容是微积分里面的，没掌握是不建议跳过高数直接来看概率论的。一维的话，有凑微分法，分部积分法，这个是基础，如果这两个不懂得话，要翻出高数书来看。二维我说一个画线法吧，首先要知道对x求还对y求导，如果先是对y来求导，就画一条和y平行的直线，第一个相交的线例如第一个y=x，那么x写在下限，而第二个相交的线y=1，那么1就写在上限，如果只有一个交点那么说明就有积分积无穷的。第二个对x积分一定是常数，找最大值和最小值就好了，当然这里面也是可已从正无穷积分到负无穷的，概率论里面的大部分上下限都是有无穷的，还要注意的是有时要划分X，Y区域，有些既不是X区域也非Y区域的，需要分开来多次积分，这个在概率论内比较少见，此外对于积分区域比较特别的圆域也会使用极坐标来积分。

设X=k时概率最大P(X=k)/P(X=k+1)=[λ^k*e^(-λ)/k!]/[λ^(k+1)*e^(-λ)/(k+1)!]=(k+1)/λ>=1即k>=λ-1P(X=k)/P(X=k-1)=[λ^k*e^(-λ)/k!]/[λ^(k-1)*e^(-λ)/(k-1)!]=λ/k>=1即k<=λ故当λ为整数时，k=λ或λ-1时，概率最大当λ不为整数时，k=[λ]时，概率最大

因题干条件不完整，缺少文字，不能正常作答。

都等于λ

书本来就没读好问题太深奥。

最大值函数。举例， 如果二维随机变量（X，Y）：取（1，2） ，（1，3），（2，2） ，（2，3）四对值，不妨设取到每个数对的概率都是1/4。 则 M=MAX（X，Y） 可以取2，3 两个值。M=2对应于{（1，2），（2，2） }；M=3对应于{（1，3），（2，3） }；

确定是min(X+Y)而不是min(X,Y)？X+Y已经是令一个一维随机变量了最小值≤1就是X+Y≤1的概率

不是的比如X,Y~N(0,1)X+Y与X就不独立理由Cov(X+Y,X)=Cov(X,X)+Cov(Y,X)=D(X)+0=1≠0所以 X+Y与X就不是不相关的 ,X+Y与X就不独立

先求出f(x，y)的联合概率密度对联合概率密度积分求EZ和EZ平方利用极坐标变换和伽玛函数求积分值过程如下：

答案是：P（x<y）=2/3具体解法如下：解题思路：求出XY联合概率密度以后,在坐标轴XY上画出Y=-X-1的线,再根据X和Y的取值范围ie,即X>0,Y>0,把联合概率密度在围成的三角形内进行2重积分,即可算出最后答案。扩展资料指数分布的意义及用途指数分布可以用来表示独立随机事件发生的时间间隔，比如旅客进机场的时间间隔、中文维基百科新条目出现的时间间隔等等。许多电子产品的寿命分布一般服从指数分布。有的系统的寿命分布也可用指数分布来近似。它在可靠性研究中是最常用的一种分布形式。指数分布是伽玛分布和威布尔分布的特殊情况，产品的失效是偶然失效时，其寿命服从指数分布。

二维随机变量（X，Y）独立的定义式为：F（x，y）=F（x）*F（y ） 这里，F（x，y）为（X，Y）的联合分布函数，F（x）为一维随机变量X的分布函数，F（y ）为一维随机变量Y的分布函数。上面这个表达式不好直接使用，等价的命题如下：1. 二维离散型随机变量X，Y独立的充分必要条件为 ： 对（X，Y）任意可能的取值（xi，yj）均有P（X=xi，Y=yj）=P（X=xi）*P（Y=yj）2. 二维连续型随机变量X，Y独立的充分必要条件为 ： f(x，y)=f（x）*f（y ） 这里，f（x，y）为（X，Y）的联合概率密度函数，f（x）为一维随机变量X的概率密度函数，f（y ）为一维随机变量Y的概率密度函数。

二维随机变量（X，Y）独立的定义式为：F（x，y）=F（x）*F（y）这里F（x，y）为（X，Y）的联合分布函数，F（x）为一维随机变量X的分布函数，F（y ）为一维随机变量Y的分布函数。二维连续型随机变量X，Y独立的充分必要条件为 ：f(x，y)=f（x）*f（y ），这里f（x，y）为（X，Y）的联合概率密度函数，f（x）为一维随机变量X的概率密度函数，f（y ）为一维随机变量Y的概率密度函数。事件的概率是衡量该事件发生的可能性的量度。虽然在一次随机试验中某个事件的发生是带有偶然性的，但那些可在相同条件下大量重复的随机试验却往往呈现出明显的数量规律。扩展资料：设随机事件A在n次重复试验中发生的次数为nA，若当试验次数n很大时，频率nA/n稳定地在某一数值p的附近摆动，且随着试验次数n的增加，其摆动的幅度越来越小，则称数p为随机事件A的概率，记为P(A)=p。随机事件是事件空间S的子集，它由事件空间S中的单位元素构成，用大写字母A，B，C...表示。例如在掷两个骰子的随机试验中，设随机事件A="获得的点数和大于10"，则A可以由下面3个单位事件组成：A={(5，6)，(6，5)，(6，6)}。 如果在随机试验中事件空间中的所有可能的单位事件都发生，这个事件被称为必然事件。参考资料来源：百度百科——概率论

二维随机变量（X，Y）独立的定义式为：F（x，y）=F（x）*F（y）；这里F（x，y）为（X，Y）的联合分布函数，F（x）为一维随机变量X的分布函数，F（y ）为一维随机变量Y的分布函数。随机变量独立的充要条件：对于连续型随机变量有：F(X,Y)=FX(X)FY(Y),f(x,y)=fx(x)fy(y)；对于离散型随机变量有：P(AB)=P(A)P(B)概率为P 设X,Y两随机变量，密度函数分别为q(x),r(y), 分布函数为G(x), H(y),联合密度为p(x,y)，联合分布函数F(x,y), A,B为西格玛代数中的任意两个事件。扩展资料：一般，设E是一个随机试验，它的样本空间是S={e}，设X=X（e）和Y=Y(e)S是定义在S上的随机变量，由它们构成的一个向量（X，Y），叫做二维随机变量或二维随机向量。有一个班（即样本空间）体检,指标是身高和体重,从中任取一人（即样本点）,一旦取定,都有唯一的身高和体重（即二维平面上的一个点）与之对应,这就构造了一个二维随机变量。由于抽样是随机的,相应的身高和体重也是随机的,所以要研究其对应的分布。参考资料来源：百度百科-二维随机变量

随机变量独立的充要条件：对于连续型随机变量有：F(X,Y)=FX(X)FY(Y),f(x,y)=fx(x)fy(y)；对于离散型随机变量有：P(AB)=P(A)P(B)概率为P 设X,Y两随机变量，密度函数分别为q(x),r(y), 分布函数为G(x), H(y),联合密度为p(x,y)，联合分布函数F(x,y), A,B为西格玛代数中的任意两个事件。常用的证明方法有三种：1 证明P(X∈A, Y∈B)=P(X∈A)P(Y∈B)2 证明 p(x,y)=q(x)r(y)3 证明 F(x,y)=G(x)H(y)

如图

概率论中怎么证明两个随机变量独立呢？随机变量独立的充要条件：对于连续型随机变量有F(X,Y)=FX(X)FY(Y),f(x,y)=fx(x)fy(y)；对于离散型随机变量有：P(AB)=P(A)P(B)概率为P 设X,Y两随机变量，密度函数分别为q(x),r(y), 分布函数为G(x), H(y),联合密度为p(x,y)，联合分布函数F(x,y), A,B为西格玛代数中的任意两个事件。常用的证明方法有三种：1 证明P(X∈A, Y∈B)=P(X∈A)P(Y∈B)2 证明 p(x,y)=q(x)r(y)3 证明 F(x,y)=G(x)H(y)扩展内容：概率论，是研究随机现象数量规律的数学分支。随机现象是相对于决定性现象而言的，在一定条件下必然发生某一结果的现象称为决定性现象。例如在标准大气压下，纯水加热到100℃时水必然会沸腾等。随机现象则是指在基本条件不变的情况下，每一次试验或观察前，不能肯定会出现哪种结果，呈现出偶然性。例如，掷一硬币，可能出现正面或反面。随机现象的实现和对它的观察称为随机试验。随机试验的每一可能结果称为一个基本事件，一个或一组基本事件统称随机事件，或简称事件。典型的随机试验有掷骰子、扔硬币、抽扑克牌以及轮盘游戏等。事件的概率是衡量该事件发生的可能性的量度。虽然在一次随机试验中某个事件的发生是带有偶然性的，但那些可在相同条件下大量重复的随机试验却往往呈现出明显的数量规律。

XY独立，（2）对所有xy成立，（3）对所有xy成立 是等价关系。由一个可以推出剩下两个。

独立就是二者互不影响，理解了独立的概念，这个问题就很清楚了。

如图所示，供参考。

二维随机变量（X，Y）独立的定义式为：F（x，y）=F（x）*F（y）这里F（x，y）为（X，Y）的联合分布函数，F（x）为一维随机变量X的分布函数，F（y ）为一维随机变量Y的分布函数。二维连续型随机变量X，Y独立的充分必要条件为 ：f(x，y)=f（x）*f（y ），这里f（x，y）为（X，Y）的联合概率密度函数，f（x）为一维随机变量X的概率密度函数，f（y ）为一维随机变量Y的概率密度函数。事件的概率是衡量该事件发生的可能性的量度。虽然在一次随机试验中某个事件的发生是带有偶然性的，但那些可在相同条件下大量重复的随机试验却往往呈现出明显的数量规律。扩展资料：相互独立的性质：1.P(A∩B)就是P(AB)2.若P(A)>0,P(B)>0则A,B相互独立与A,B互不相容不能同时成立,即独立必相容,互斥必联系.容易推广：设A,B,C是三个事件。如果满足：P(AB)=P(A)P(B),P(BC)=P(B)P(C),P(AC)=P(A)P(C),P(ABC)=P(A)P(B)P(C),则称事件A,B,C相互独立。更一般的定义是,A1,A2,……,An是n(n≥2)个事件,如果对于其中任意2个,任意3个,…任意n个事件的积事件的概率,都等于各个事件概率之积,则称事件A1,A2,……,An相互独立。

随机变量独立的充要条件：对于连续型随机变量有：F(X，Y)=FX(X)FY(Y)，f(x，y)=fx(x)fy(y)；对于离散型随机变量有：P(AB)=P(A)P(B)

只由随即变量的函数形式确实就是统计量,由具体样本点确定的量是估计量,因为很多时候没办法知道随机变量的分布,所以确定不了统计量,就由样本点确定的估计量去估计统计量

我也是自学，第一章还好，到第二章就看不懂了，也要求教，有什么好的学习方法

EX = -1*1/4 + 1*3/4 = 1/2EY = -1*3/4 + 1*1/4 = -1/2XY的可能值为1和-1P{XY=1} = P{X=1,Y=1} + P{X=-1,Y=-1} = 1/4+1/4 = 1/2P{XY=-1} = P{X=1,Y=-1} + P{X=-1,Y=1} = 1/2+0 = 1/2所以E(XY) = 1*1/2 + (-1)*1/2 = 0因为E(X^2) = E(Y^2) = 1所以D(X) = 1-(1/2)^2 = 3/4D(Y) = 1/(-1/2)^2 = 3/4把E(XY), E(X), E(Y), D(X), D(Y) 代入公式即可

看不懂，根本。。

百度百科瑞利分布词条最下方的两张图片就是其均值与方差的证明过程。 楼上的借用了百科词条的图片都不标注参考资料的么？

期望是0， y= (x-u) /标准差 得出的变量是标准化的变量， 均值为0，方差为1

我说....概率论用积分真心少,,,,几乎没有..除了分布函数...这个难吗..甚至一些高中的微积分初步就够了.而且端点完全不重要,,,不像高数那么考究..另外就是,,记住主要公式,全概率公式,被噎死（好吧，我不敬了）是贝叶斯公式,,,还有条件概率,独立事件什么的,以及概率运算法则什么的我觉得就差不多了.我一直觉得,,,概率论,靠高中积累,基本差不多了.....数理统计...表面看都是积分..其实积分会考吗.....至少我觉得不会让你"求"积分...都是现有公式,现有套路.大数定理和中心极限定理,知道怎么用就ok,剩下的主要还是3个特殊的分布.然后α分点位,会查表,,,,,后面参数估计假设检验,,,,说穿了,离不开这三分布与α分点,,注意其中参数估计的矩估计和极大似然估计的公式.基本概率必考1个估计.....凡是极大似然,基本全是取对数求极值.至于最后面的特殊过程..没啥说的.真心不难不知与楼主所学是否一致,如不一致,权当一笑(貌似我学的1?忘了)

概率论和数理统计拿高分的方法。 基本公式要掌握首先必须会计算古典型概率，这个用高中数学的知识就可解决，如果在解古典概率方面有些薄弱，就应该系统地把高中数学中的概率知识复习一遍了，而且要将每类型的概率求解问题都做会了，虽然不一定会考到，但也要预防万一，而且为后面的复习做准备。随机事件和概率是概率统计的第一章内容，也是后面内容的基础，基本的概念、关系一定要分辨清楚。条件概率、全概率公式和贝叶斯公式是重点，计算概率的除了上面提到的古典型概率，还有伯努利概型和几何概型也是要重点掌握的。第二章是随机变量及其分布，首先随机变量及其分布函数的概念、性质要理解，常见的离散型随机变量及其概率分布：0-1分布、二项分布B(n,p)、几何分布、超几何分布、泊松分布P(λ);连续性随机变量及其概率密度的概念;均匀分布U(a,b)、正态分布N(μ,σ2)、指数分布等，以上它们的性质特点要记清楚并能熟练应用，考题中常会有涉及。第三章是多维随机变量及其分布，主要是二维的。大纲中规定的考试内容有：二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度，随机变量的独立性和不相关性，常用二维随机变量的分布，两个及两个以上随机变量简单函数的分布。第四部分随机变量的数字特征，这部分内容掌握起来不难，主要是记忆一些相关公式，以及常见分布的数字特征。大数定律和中心极限定理这部分也是在理解的基础上以记忆为主，再配合做相关的练习题就可轻松搞定。把握常考侧重点数理统计这部分的考查难度也不大，首先基本概念都了解清楚。χ2分布、t分布和F分布的概念及性质要熟悉，考题中常会有涉及。参数估计的矩估计法和最大似然估计法，验证估计量的无偏性是要重点掌握的。假设检验考查到的不多，但只要是考纲中规定的都不应忽视。显著性检验的基本思想、假设检验的基本步骤、假设检验可能产生的两类错误以及单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验是考点。望采纳~

『壹』 2017考研数学一大纲概率论与数理统计第九章之后还考吗 那个不考呢 哪有那么多层面 不过有时间的话还是得好好复习呢 谢谢！ 『贰』 考研数学无论考数一还是数三，教材用的都一样只是考的内容有区别 考研数学无论是数一还是数三，用的教材都是一样的。 数一和数三的区别： 1、数一大纲： 高等数学（函数、极限、连续）56% 线性代数（行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、二次型）22% 概率论与数理统计（随机事件和概率、随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计、假设检验）22% 2、数三大纲： 微积分（高等数学） 56% 线性代数 22% 概率论与数理统计 22% 3、横向比较： 高等数学：数一考察的范围是最广的，基本涵盖整个教材（除同济六版高等数学课本上标有*号的内容），数三不考察向量空间与解析几何、三重积分、曲线积分、曲面积分以及所有与物理相关的应用。 线性代数：数学一和数三考查内容和考试题目差别不大 概率论与数理统计：数一比数三多了区间估计与假设检验部分的知识，但是对于数一与数三的大纲中均出现的知识在考试要求上也还是有区别的，比如数一要求了解泊松定理的结论和应用条件，但是数三就要求掌握泊松定理的结论和应用条件。 (2)概率论与数理统计课程大纲扩展阅读 考研数学对于数学一、数学二和数学三的选用： 1、工科类的为数学一、数学二； 2、针对经济学和管理学类的为数学三（2009年之前管理类为数学三，经济类为数学四，2009年之后大纲将数学三数学四合并） 3、必须选用数学一或数学二的招生专业（由招生单位自定）： 工学门类中的材料科学与工程、化学工程与技术、地质资源与地质工程、矿业工程、石油与天然气工程、环境科学与工程等一级学科中对数学要求较高的二级学科、专业选用数学一，对数学要求较低的选用数学二。 4、必须使用数学三的招生专业： 经济学门类的各一级学科。 管理学门类中的工商管理、农林经济管理一级学科。 授管理学学位的管理科学与工程一级学科。 5、具体不同专业所使用的试卷种类有具体规定。 『叁』 考研，数三，概率论与数理统计，浙大四版，哪些内容不属于大纲可以不看 今年的考研大纲还没有出，你从浙江大学研究生院网上看下2015年考研大纲的考试内容，可以参考下！ 『肆』 根据2012考研数三大纲,<概率论与数理统计 浙大第四版>需要掌握的章节有哪些啊 2012早出来啦 『伍』 (数三)概率论与数理统计中统计量的评价标准和区间估计还考不 严格按照大纲说明进行复习，它也是唯一具有权威的考试范围的说明 『陆』 概率论与数理统计复习提纲及常用公式，跪求！急急急！！！ 概率论与数理统计复习提纲 一，事件的运算 如果A，B，C为三事件，则A+B+C为至少一次发生, ABC为同时发生, AB+BC+AC为至少两次发生, 为恰有两次发生. 为恰有一次发生, 等等, 要善于将语言翻译成事件运算公式以及将公式翻译成语言.. 如果A,B为对立事件, 则 , 因此 , 二, 加法法则 如A与B互不相容, 则P(A+B)=P(A)+P(B) 而对于任给的A与B有 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) (1) 因此, P(A+B),P(A),P(B),P(AB)这四个概率只要知道三个,剩下一个就能够求出来. 因 将B分解为AB与 两个互不相容事件, 则 (2) 将这两个式子分别代入到(1)式, 可以得 因此P(A+B),P(A)及 这三个概率只要知道两个, 剩下那个就能求出来, 同样, P(A+B),P(B)及 只要知道两个,剩下那个就能求出来.例如, 在已知P(A+B), A与B只有一件发生的概率为 由(2)式可知 因此A与B只有一件发生的概率为 三, 全概率公式和贝叶斯公式 设A1,A2,…,构成完备事件组, 则任给事件B有 (全概率公式), 及 (贝叶斯公式) 其中, 最常用的完备事件组, 就是一个事件A与它的逆 , 即任给事件A,B有 通常是将试验想象为分为两步做, 第一步的结果将导致A或者 之一发生, 而这将影响到第二步的结果的事件B是否发生的概率. 如果是已知第一步的各事件概率及第一步各事件发生条件下第二步事件B发生的概率, 并要求B发生的概率, 就用全概率公式. 而如果是要求在第二步事件B已经发生条件下第一步各事件的概率, 就用贝叶斯公式. 四, 随机变量及分布 1. 离散型随机变量 一元: P(ξ=xk)=pk (k=1,2,…), 二元: P{ξ=xk, η=yj)=pij (i,j=1,2,…) 边缘分布与联合分布的关系: 要注意二元随机变量的函数的计算中, 要合并计算后的值有重合的情况. 2. 连续型随机变量 , , 性质: 分布函数为 , 且有 如ξ~φ(x), η=f(ξ), 则求η的概率密度函数的办法, 是先求η的分布函数Fη(x), , 然后对Fη(x)求导即得η的概率密度函数. 五, 随机变量的数字特征 数学期望: 离散型: 连续型: 方差: 离散型: 先计算 , 则 连续型: 先计算 则 六, 几种常用的分布 二项分布 ξ~B(n,p)是指 . 它描述了贝努里独立试验概型中, 事件A发生k次的概率. 试验可以同时进行, 也可以依次进行. 均匀分布 ξ服从[a,b]上的均匀分布, 是指 如ξ服从[0,1]上的均匀分布, η=kξ+c, 则η服从[c, k+c]上的均匀分布. 七, 无偏估计 对参数 的估计 是无偏估计, 是指 , 一般来讲, 是Eξ的无偏估计, 而S2是Dξ的无偏估计. 但是, 在 是 的无偏估计时, 不能肯定f( )是f( )的无偏估计, 须另作分析. 八, 最大似然估计 对于n个样本值x1,x2,…,xn 如总体ξ为连续型随机变量, ξ~φ(x;θ), 则似然函数 而如总体ξ为离散型随机变量, P(ξ=xi)=p(xi;θ), 则似然函数 则解似然方程 解得θ的最大似然估计值 九, 区间估计 在正态总体下, 即总体ξ~N(μ,σ2)时, 如果σ2为已知, 则 , 则在给定检验水平α时, 查正态分布表求uα使 , 则置信度为1-α的置信区间为 如果σ2为未知, 则 , 其中S为样本方差的开平方(或者说测得的标准差. 查t-分布表求tα使 , 则置信度为1-α的置信区间为 . 十, 假设检验 在正态总体下，即总体ξ~N(μ,σ2)时, 在σ2为已知条件下, 检验假设H0: μ=μ0, 选取统计量 , 则在H0成立的条件下U~N(0,1), 对于给定的检验水平α, 查正态分布表确定临界值uα, 使 , 根据样本观察值计算统计量U的值u与uα比较, 如|u|>uα则否定H0, 否则接收H0. 如σ2为未知, 则选取统计量 , 在H0假设成立时T~t(n-1), 对于给定的检验水平α和样本容量n, 查t-分布表确定临界值tα使P(|T|>tα)=α, 根据样本观察值计算统计量T的值t与tα比较, 如|t|>tα则否定H0, 否则接收H0. 如果是大样本情况下，t-分布接近标准正态分布，因此又可以查正态分布表。这时，认为样式本方差可以作为精确的方差使用。 需要重点练习的习题和例题： p5: 例2. p6: 例3. p226: 1,2. p27: 20. p59: 36,37. p99: 1. p28: 27,28,30. p56: 16,19. p57: 22,23. p59: 33,34. p76: 14,15. p164: 2,4. p165: 8,11. p184: 1,2. p235: 58,60. 『柒』 概率统计考研数学一和数学三考试范围一样吗 数学一与数学三所考察的内容虽然都是高等数学、线性代数、概率论与数理统计这三部分，并且所占比例都是为56%、22%和22%，但是侧重点以及一些要求掌握的知识点是不同的，这也就造成数一和数三有一定的难度差。 数一的考试重点在无穷级数、曲线、曲面积分上，是每年必考，而且经常以解答题的形式来考查；数三要求掌握经济应用问题，也基本上是每年必考，2015年以解答题的形式考查了边际成本和弹性的问题，2014年以填空题的形式考查了边际收益的问题，2013年以解答题的形式考查了边际利润的问题。 除了重点知识的不同外，一些要求掌握的知识点也是不同的。 在高等数学中，数学一考查空间解析几何、多元函数积分学(二重积分以外)、微积分的物理应用，数三是不考的；数三考察微积分的经济学应用，数一不考。 在概率论与数理统计中，数学一的考试范围比数学三略大，主要增加了参数估计部分的考点，包括估计量的评选标准、区间估计以及后续的假设检验。 『捌』 考研，数三，浙大版概率论与数理统计，哪些章节不属于大纲内容 看前6章，看到假设的那里，重点还是期望，分布，估计那块。课本里只是最简单的概念和例子。 『玖』 谁能告诉我复旦大学管理学院概率论与数理统计专业2013年考研大纲在哪可以找到，我找了好久没找到，谢谢 这个有点难，门现在不能乱发的，你自己在博志复旦大学-考研网上找下，可以找到的，再没有追问。 『拾』 考研 数三 概率论只考到第七章（参数估计）是吗 是的，根据2019年研究生入学考试数学三考试大纲，概率论与数理统计的考察范围包括以下几个部分： 随机事件和概率 随机变量及其分布 多维随机变量的分布 随机变量的数字特征 大数定律和中心极限定理 数理统计的基本概念 参数估计 (10)概率论与数理统计课程大纲扩展阅读： 数学三的试卷满分为150分，考试时间为180分钟。答题方式为闭卷、笔试。试卷内容结构包括：微积分，分值占比56%；线性代数，分值占比22%；概率论与数理统计，分值占比22%。试卷题型结构为：单项选择题选题8小题，每题4分，共32分；填空题 6小题，每题4分，共24分；解答题(包括证明题) 9小题，共94分。

1.事件的关系与运算 (1) 子事件： ，若 发生，则 发生。 (2) 相等事件： ，即 ，且 。 (3) 和事件： （或 ）， 与 中至少有一个发生。 (4) 差事件： ， 发生但 不发生。 (5) 积事件： （或 ）， 与 同时发生。 (6) 互斥事件（互不相容）： = 。 (7) 互逆事件（对立事件）： 2.运算律 (1) 交换律： (2) 结合律： (3) 分配律： 3.德 摩根律 4.完全事件组 两两互斥，且和事件为必然事件，即 5.概率的基本公式 (1)条件概率: ,表示 发生的条件下， 发生的概率。 (2)全概率公式： (3) Bayes 公式： 注：上述公式中事件 的个数可为可列个。 (4)乘法公式： 6.事件的独立性 (1) 与 相互独立 (2) ， ， 两两独立 ; ; ; (3) ， ， 相互独立 ; ; ; 7.独立重复试验 将某试验独立重复 次，若每次实验中事件 A 发生的概率为 ，则 次试验中 发生 次的概率为： 8.重要公式与结论 (5)条件概率 满足概率的所有性质， 例如：. (6)若 相互独立，则 (7)互斥、互逆与独立性之间的关系： 与 互逆 与 互斥，但反之不成立， 与 互斥（或互逆）且均非零概率事件 与 不独立. (8)若 相互独立，则 与 也相互独立，其中 分别表示对相应事件做任意事件运算后所得的事件，另外，概率为 1（或 0）的事件与任何事件相互独立. 1.随机变量及概率分布 取值带有随机性的变量，严格地说是定义在样本空间上，取值于实数的函数称为随机变量，概率分布通常指分布函数或分布律 2.分布函数的概念与性质 定义： 性质：(1) (2) 单调不减 (3) 右连续 (4) 3.离散型随机变量的概率分布 4.连续型随机变量的概率密度 概率密度 ;非负可积，且: (1) (2) (3) 为 的连续点，则: 分布函数 5.常见分布 (1) 0-1 分布: (2) 二项分布: ： (3) Poisson 分布: ： (4) 均匀分布 ： (5) 正态分布: (6)指数分布: (7)几何分布: (8)超几何分布: 6.随机变量函数的概率分布 (1)离散型： 则: (2)连续型： 则: ， 7.重要公式与结论 (1) (2) (3) (4) (5) 离散型随机变量的分布函数为阶梯间断函数；连续型随机变量的分布函数为连续函数，但不一定为处处可导函数。 (6) 存在既非离散也非连续型随机变量。 1.二维随机变量及其联合分布 由两个随机变量构成的随机向量 ， 联合分布为 2.二维离散型随机变量的分布 (1) 联合概率分布律 (2) 边缘分布律 (3) 条件分布律 3. 二维连续性随机变量的密度 (1) 联合概率密度 (2) 分布函数： (3) 边缘概率密度： (4) 条件概率密度： 4.常见二维随机变量的联合分布 (1) 二维均匀分布： , (2) 二维正态分布： , 5.随机变量的独立性和相关性 和 的相互独立: : （离散型） （连续型） 和 的相关性： 相关系数 时，称 和 不相关， 否则称 和 相关 6.两个随机变量简单函数的概率分布 离散型： 则： 连续型： 则： ， 7.重要公式与结论 (1) 边缘密度公式： (2) (3) 若 服从二维正态分布 则有： (4) 若 与 独立，且分别服从 则： (5) 若 与 相互独立， 和 为连续函数， 则 和 也相互独立。 1.数学期望 离散型： ； 连续型： 性质： (1) (2) (3) 若 和 独立，则 (4) 2.方差 ： 3.标准差 ： ， 4.离散型： 5.连续型： 性质： (1) (2) 与 相互独立，则 (3) (4) 一般有 (5) (6) 6.随机变量函数的数学期望 (1) 对于函数 为离散型： ； 为连续型： (2) ; ; ; 7.协方差 8.相关系数 , 阶原点矩 ; 阶中心矩 性质： (1) (2) (3) (4) (5) ，其中

只考到第八章

复习提纲第一章 概率论的基本概念一、两个概型1.古典概型 2.贝努里概型 二、加法公式(广义、狭义、三个事件加法公式)；减法公式(广义、狭义)；对立事件公式三、条件概率与乘法公式★四、全概率公式（格式要规范）五、独立事件公式（乘法公式、加法公式）六、几个易混淆的概念：互斥（互不相容）、对立、独立第二章 （一维）随机变量及其分布一、离散型随机变量 (分布列)1.求分布列的未知参数2.求 ▲3.求分布函数 4.求 的分布列二、连续型随机变量 (密度函数 )1.求密度函数中的未知参数2.求 ▲3.求分布函数 、已知 求 ▲4.求 的密度函数三、分布函数1.分布函数的定义2.利用性质求分布函数中的未知参数3.已知分布函数 ，求概率 、 、 四、记住6种常见分布及其分布列或密度函数第三章 二维随机变量一、二维离散型随机变量 ★1.求 的联合分布列与边缘分布列，并判别 与 的独立性2.已知 的联合分布列，求 的分布列二、二维连续型随机变量 ▲1.已知 的联合密度函数 ，求边缘密度函数 ，并判别 与 的独立性2.求联合密度函数中的未知参数▲3.求 三、联合分布函数已知 的联合分布函数 ，求边缘分布函数 ，并判别 与 的独立性四、记住二维均匀分布第四章 随机变量的数字特征★一、期望 , , , 二、方差三、期望与方差的性质四、记住常见6种分布的期望与方差五、协方差与相关系数1.定义2.不相关与独立的区别第五章 大数定律与中心极限定理一、契比雪夫不等式及其应用★二、中心极限定理（格式要规范）第六章 数理统计的基本概念一、样本的两个性质二、三大抽样分布三、两个重要的定理第七章 参数估计★一、矩估计法★▲二、极大似然估计法(似然函数要写正确！)三、估计量的评价标准（无偏性、有效性）第八章 假设检验一、两类错误★二、几种对正态总体均值的检验方法（5个步骤）1. 正态总体均值的双侧检验（u检验法、t检验法）2. 正态总体均值的单侧检验（左侧检验、右侧检验）

1、随机事件和概率 　　2、随机变量及其概率分布 　　3、二维随机变量及其概率分布 　　4、随机变量的数字特征 　　5、大数定律和中心极限定理 　　6、数理统计的基本概念 　　7、参数估计 　　8、假设检验 　　对于上面每一部分的“基本内容与重要结论”要重点掌握（而不是一般的了解）；第二，学会题目的分析方法；第三，完成一定量的习题。 　　根据每个人对基本概念理解程度的不同，应以确保重点、兼顾一般的方法进行复习。为了配合考生的复习，我们根据历年考试的情况将8部分内容的考核点分为重点考核点、次重点考核点及一般考核点一一列出。 　　第一部分：随机事件和概率 　　（1）样本空间与随机事件 　　（2）概率的定义与性质（含古典概型、几何概型、加法公式） 　　（3）条件概率与概率的乘法公式 　　（4）事件之间的关系与运算（含事件的独立性） 　　（5）全概公式与贝叶斯公式 　　（6）伯努利概型 　　第二部分：随机变量及其概率分布 　　（1）随机变量的概念及分类 　　（2）离散型随机变量概率分布及其性质 　　（3）连续型随机变量概率密度及其性质 　　（4）随机变量分布函数及其性质 　　（5）常见分布 　　（6）随机变量函数的分布 　　第三部分：二维随机变量及其概率分布 　　（1）多维随机变量的概念及分类 　　（2）二维离散型随机变量联合概率分布及其性质 　　（3）二维连续型随机变量联合概率密度及其性质 　　（4）二维随机变量联合分布函数及其性质 　　（5）二维随机变量的边缘分布和条件分布 　　（6）随机变量的独立性 　　（7）两个随机变量的简单函数的分布 　　第四部分：随机变量的数字特征 　　（1）随机变量的数字期望的概念与性质 　　（2）随机变量的方差的概念与性质 　　（3）常见分布的数字期望与方差 　　（4）随机变量矩、协方差和相关系数 　　第五部分：大数定律和中心极限定理 　　（1）切比雪夫不等式 　　（2）大数定律 　　（3）中心极限定理 　　第六部分：数理统计的基本概念 　　（1）总体与样本 　　（2）样本函数与统计量 　　（3）样本分布函数和样本矩 　　第七部分：参数估计 　　（1）点估计 　　（2）估计量的优良性 　　（3）区间估计 　　第八部分：假设检验 　　（1）假设检验的基本概念 　　（2）单正态总体的均值和方差的假设检验 　　（3）双正态总体的均值和方差的假设检验 　　最近几年数学一考试重点内容的顺序是：①二维随机变量及其概率分布；②随机变量的数字特征；③随机事件和概率；④数理统计。 　　最近几年数学三考试重点内容的顺序是：①随机变量的数字特征；②二维随机变量及其概率分布；③随机事件和概率；④数理统计。 　　最近几年数学四考试重点内容的顺序是：①随机变量的数字特征；②二维随机变量及其概率分布；③随机事件和概率；④大数定律和中心极限定理。

考研数学我买的是文都网校的辅导课程 跟几个同学一起买的 感觉还不错吧 反正是个人意见而已

可以。考研概率论不考卷积公式，因为卷积公式不算重点掌握内容。一、随机事件和概率考试内容随机事件与样本空间事件的关系与运算完备事件组概率的概念概率的基本性质古典型概率几何型概率条件概率概率的基本公式事件的独立性独立重复试验。二、随机变量及其分布考试内容随机变量随机变量分布函数的概念及其性质离散型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率密度常见随机变量的分布随机变量函数的分布。考试要求1、理解分布函数的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率。2、理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0－1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布及其应用。3、掌握泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布。4、理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布、指数分布及其应用。5、会求随机变量函数的分布。

第一篇　概率论第一章 随机事件及其概率1.1　随机事件1.2　事件的概率1.3　条件概率1.4　独立性第一章小结第二章 随机变量及其分布2.1　随机变量及其分布函数2.2　离散型随机变量2.3　连续型随机变量2.4　随机变量函数的分布第二章小结第三章 二维随机变量及其概率分布3.1　二维随机变量及其联合分布函数3.2　二维离散型随机变量3.3　二维连续型随机变量3.4　条件分布3.5　二维随机变量函数的分布3.6　n维随机变量简介第三章小结第四章 随机变量的数字特征与特征函数4.1　数学期望4.2　方差和矩4.3　协方差与相关系数4.4　条件数学期望4.5　特征函数第四章小结第五章　大数定律和中心极限定理5.1　大数定律5.2　中心极限定理第五章小结第二篇　随机过程初步第六章 随机过程的基本知识6.1 随机过程的基本概念和有限维分布6.2　随机过程的数字特征6.3　复随机过程简介第六章小结第七章　泊松过程、马尔可夫链7.1　独立增量过程与泊松过程7.2　正态过程和维纳过程7.3　马尔可夫链第七章小结第八章　平稳随机过程8.1　平稳随机过程的概念及数字特征8.2　各态历经性8.3　平稳过程的功率谱密度第八章小结附录习题答案附表1　标准正态分布函数表附表2　泊松（Poisson）分布表（1）附表3　泊松（Poisson）分布表（2）

解：于二维连续变量布函数F(x,y)般应用其概率密度函数f(x,y)定积求解；于非连续变量需要别累加求【与维随机变量求相仿】∴本题x∈(0,∞)、y∈(0,∞)布函数F(x,y)=∫(-∞,x)du∫(-∞,y)f(u,v)dv=∫(0,x)du∫(-0,y)2e^(-2u-v)dv=∫(0,x)2e^(-2u)du∫(-0,y)e^(-v)dv=[1-e^(-2x)][1-e^(-y)]x?(0,∞)、y?(0,∞)布函数F(x,y)=∫(-∞,0)du∫(-∞,0)f(u,v)dv=0供参考

根据X、Y的联合分布计算。

《概率论与数理统计魏贵民版》是一本比较经典的教材，适合初学者学习。以下是该书目录的简要介绍。第一章 绪论介绍了统计学中重要的概念和基本流程。第二章 概率论基础介绍了概率论的基本概念和公理化定义，以及事件、条件概率和伯努利试验等内容。第三章 随机变量及其分布介绍了随机变量、离散型随机变量的分布、连续型随机变量的分布以及正态分布等内容。第四章 多维随机变量及其分布介绍了二维离散型随机变量的联合分布、二维连续型随机变量的联合分布、条件分布和期望等内容。第五章 随机变量函数及其分布介绍了一元函数的概率密度函数、多元函数概率密度函数、正态总体多项式、矩估计等内容。第六章 样本及抽样分布介绍了样本容量与样本均值、样本方差和样本标准差之间关系；正态总体某些参数的区间估计；单总体方差和两总体方差比的区间估计。第七章 参数估计介绍了点估计、区间估计和最小二乘法等内容。第八章 假设检验介绍了假设检验的基本概念、一般步骤、单个参数假设检验、两个总体参数假设检验、独立性检验和拟合优度检验等内容。第九章 方差分析介绍了方差分析的基本概念、单因素方差分析和多因素方差分析等内容。第十章 相关分析介绍了相关系数及其显著性检验、线性回归模型的基本概念及其在实际问题中的应用等内容。以上是《概率论与数理统计魏贵民版》的简要目录介绍，希望对您有所帮助。

概率论知识总结 　　概率是生活中经常会用到的知识，在考试中也经常会遇到，下面概率论知识总结是我想跟大家分享的，欢迎大家浏览。 　　概率论知识总结 　　第一章 概率论的基本概念 　　1. 随机试验 　　确定性现象：在自然界中一定发生的现象称为确定性现象。 　　随机现象： 在个别实验中呈现不确定性，在大量实验中呈现统计规律性，这种现象称 　　为随机现象。 　　随机试验：为了研究随机现象的统计规律而做的的实验就是随机试验。 　　随机试验的特点：1)可以在相同条件下重复进行; 　　2)每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能 　　结果; 　　3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会先出现; 　　2. 样本空间、随机事件 　　样本空间：我们将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S。 样本点：构成样本空间的元素，即E中的每个结果，称为样本点。 　　事件之间的基本关系：包含、相等、和事件(并)、积事件(交)、差事件(A-B：包含A 　　不包含B)、互斥事件(交集是空集，并集不一定是全集)、对立 　　事件(交集是空集，并集是全集，称为对立事件)。 　　事件之间的运算律：交换律、结合律、分配率、摩根定理(通过韦恩图理解这些定理) 　　3. 频率与概率 　　频数：事件A发生的次数 　　频率：频数/总数 　　概率：当重复试验的次数n逐渐增大，频率值就会趋于某一稳定值，这个值就是概率。 概率的特点：1)非负性。2)规范性。3)可列可加性。 　　概率性质：1)P(空集)=0，2)有限可加性，3)加法公式：P(A+B)=P(A)+P(B) 　　-P(AB) 　　4. 古典概型 　　学会利用排列组合的知识求解一些简单问题的概率(彩票问题，超几何分布，分配问题， 　　插空问题，捆绑问题等等) 　　5. 条件概率 　　定义：A事件发生条件下B发生的概率P(B|A)=P(AB)/P(A) 　　乘法公式：P(AB)=P(B|A)P(A) 　　全概率公式与贝叶斯公式 　　6. 独立性检验 　　设 A、B是两事件，如果满足等式 　　P(AB)=P(A)P(B) 　　则称事件A、B相互独立，简称A、B独立。 　　第二章.随机变量及其分布 　　1. 随机变量 　　定义：设随机试验的样本空间为S={e}. X=X(e)是定义在样本空间S上的单值函数，称 　　X=X(e)为随机变量。 　　2. 离散型随机变量及其分布律 　　三大离散型随机变量的分布 　　1)(0——1)分布。E(X)=p, D(X )=p(1-p) 　　2)伯努利试验、二项分布 E(X)=np, D(X)=np(1-p) 　　3) 泊松分布 P(X=k)= (?^k)e^(- ?)/k! (k=0,1,2,u2026u2026) 　　E(X)=?，D(X)= ? 　　注意：当二项分布中n 很大时，可以近似看成泊松分布，即np= ? 　　3. 随机变量的分布函数 　　定义：设X是一个随机变量，x是任意的实数，函数 　　F(x)=P(Xu2264x),x属于R 称为X的分布函数 　　分布函数的性质： 　　1) F(x)是一个不减函数 　　2) 0u2264F(x)u22641 　　离散型随机变量的分布函数的求法(由分布律求解分布函数) 　　连续性随机变量的分布函数的求法(由分布函数的图像求解分布函数，由概率密度求 　　解分布函数) 　　4. 连续性随机变量及其概率密度 　　连续性随机变量的分布函数等于其概率密度函数在负无穷到x的变上限广义积分 相反密度函数等与对应区间上分布函数的导数 　　密度函数的性质：1)f(x)u22650 　　2) 密度函数在负无穷到正无穷上的广义积分等于1 　　三大连续性随机变量的分布: 1)均与分布 E(X)=(a+b)/2 D (X)=[(b-a)^2]/12 　　2)指数分布 E(X)=u03b8 D(X)=u03b8^2 　　3)正态分布一般式(标准正态分布) 　　5. 随机变量的函数的分布 　　1)已知随机变量X的 分布函数求解Y=g(X)的分布函数 　　2)已知随机变量X的 密度函数求解Y=g(X)的密度函数 　　第三章 多维随机变量及其分布(主要讨论二维随机变量的分布) 　　1.二维随机变量 　　定义 设(X，Y)是二维随机变量，对于任意实数x, y,二元函数 　　F(x, Y)=P[(Xu2264x)交(Yu2264y)] 称为二维随机变量(X，Y)的分布函数或称为随机变量联合分布函数 　　离散型随机变量的分布函数和密度函数 　　连续型随机变量的分布函数和密度函数 　　重点掌握利用二重积分求解分布函数的.方法 　　2.边缘分布 　　离散型随机变量的边缘概率 　　连续型随机变量的边缘概率密度 　　3.相互独立的随机变量 　　如果X，Y相互独立，那么X，Y的联合概率密度等于各自边缘的乘积 　　5. 两个随机变量的分布函数的分布 　　关键掌握利用卷积公式求解Z=X+Y的概率密度 　　第四章.随机变量的数字特征 　　1.数学期望 　　离散型随机变量和连续型随机变量数学期望的求法 　　六大分布的数学期望 　　2.方差 　　连续性随机变量的方差 　　D(X)=E(X^2)-[E (X )]^2 　　方差的基本性质： 　　1) 设C是常数，则D(C)=0 　　2) 设X随机变量，C是常数，则有 　　D(CX)=C^2D(X) 　　3) 设X，Y是两个随机变量，则有 　　D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{(X-E(X))(Y-E(Y))} 特别地，若X，Y不相关，则有D(X+Y)=D(X)+ D(Y) 切比雪夫不等式的简单应用 　　3. 协方差及相关系数 　　协方差：Cov(X ,Y )= E{(X-E(X))(Y-E(Y))} 　　相关系数：m=Cov(x,y)/u221aD(X) u221aD(Y) 　　当相关系数等于0时,X,Y 不相关，Cov(X ,Y )等于0 不相关不一定独立，但独立一定不相关 ;

第四版前言第三版前言第二版前言第一章 概率论的基本概念1 随机试验2 样本空间、随机事件3 频率与概率4 等可能概型(古典概型)5 条件概率6 独立性小结习题第二章 随机变量及其分布1 随机变量2 离散型随机变量及其分布律3 随机变量的分布函数4 连续型随机变量及其概率密度5 随机变量的函数的分布小结习题第三章 多维随机变量及其分布1 二维随机变量2 边缘分布3 条件分布4 相互独立的随机变量5 两个随机变量的函数的分布小结习题第四章 随机变量的数字特征1 数学期望2 方差3 协方差及相关系数4 矩、协方差矩阵小结习题第五章 大数定律及中心极限定理1 大数定律2 中心极限定理小结习题第六章 样本及抽样分布1 随机样本2 直方图和箱线图3 抽样分布小结附录习题第七章 参数估计1 点估计2 基于截尾样本的最大似然估计3 估计量的评选标准4 区间估计5 正态总体均值与方差的区间估计6 (0-1)分布参数的区间估计7 单侧置信区间小结习题第八章 假设检验1 假设检验2 正态总体均值的假设检验3 正态总体方差的假设检验4 置信区间与假设检验之间的关系5 样本容量的选取6 分布拟合检验7 秩和检验8 假设检验问题的户值检验法小结习题第九章 方差分析及回归分析1 单因素试验的方差分析2 双因素试验的方差分析3 一元线性回归4 多元线性回归小结附录习题第十章 bootstrap方法1 非参数bootstrap方法2 参数bootstrsp方法小结第十一章 在数理统计中应用Excel软件1 概述2 箱线图3 假设检验4 方差分析5 一元线性回归6 bootstrap方法、宏、VBA本章参考文献第十二章 随机过程及其统计描述1 随机过程的概念2 随机过程的统计描述3 泊松过程及维纳过程小结习题第十三章 马尔可夫链1 马尔可夫过程及其概率分布2 多步转移概率的确定3 遍历性小结习题第十四章 平稳随机过程1 平稳随机过程的概念2 各态历经性3 相关函数的性质4 平稳随机过程的功率谱密度小结习题选做习题参读材料 随机变量样本值的产生附表附表1 几种常用的概率分布表附表2 标准正态分布表附表3 泊松分布表附表4 t分布表附表5 X2分布表附表6 F分布表附表7 均值的t检验的样本容量附表8 均值差的t检验的样本容量附表9 秩和临界值表习题答案

考研概率论不考卷积公式，因为卷积公式不算重点掌握内容。 一、随机事件和概率考试内容随机事件与样本空间事件的关系与运算完备事件组概率的概念概率的基本性质古典型概率几何型概率条件概率概率的基本公式事件的独立性独立重复试验二、随机变量及其分布考试内容随机变量随机变量分布函数的概念及其性质离散型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率密度常见随机变量的分布随机变量函数的分布考试要求1、理解分布函数的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率2、理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0－1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布及其应用3、掌握泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布4、理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布、指数分布及其应用5、会求随机变量函数的分布三、多维随机变量的分布考试内容多维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度随机变量的独立性和不相关性常见二维随机变量的分布两个及两个以上随机变量简单函数的分布考试要求1、理解多维随机变量的分布函数的概念和基本性质2、理解二维离散型随机变量的概率分布和二维连续型随机变量的概率密度，掌握二维随机变量的边缘分布和条件分布3、理解随机变量的独立性和不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件，理解随机变量的不相关性与独立性的关系4、掌握二维均匀分布和二维正态分布，理解其中参数的概率意义5、会根据两个随机变量的联合分布求其函数的分布，会根据多个相互独立随机变量的联合分布求其简单函数的分布四、随机变量的数字特征考试内容随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质随机变量函数的数学期望切比雪夫（Chebyshev）不等式矩、协方差、相关系数及其性质考试要求1、理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）的概念，会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征2、会求随机变量函数的数学期望3、了解切比雪夫不等式五、大数定律和中心极限定理考试内容切比雪夫大数定律伯努利（Bernoulli）大数定律辛钦（Khinchine）大数定律棣莫弗-拉普拉斯（DeMoivre－Laplace）定理列维-林德伯格（Levy－Lindberg）定理考试要求1、了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量序列的大数定律）2、了解棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理（二项分布以正态分布为极限分布）、列维-林德伯格中心极限定理（独立同分布随机变量序列的中心极限定理），并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率．六、数理统计的基本概念考试内容总体个体简单随机样本统计量经验分布函数样本均值样本方差和样本矩分布分布分布分位数正态总体的常用抽样分布考试要求1、了解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念2、了解产生变量、变量和变量的典型模式；了解标准正态分布、分布、分布和分布的上侧分位数，会查相应的数值表3、掌握正态总体的样本均值、样本方差、样本矩的抽样分布4、了解经验分布函数的概念和性质七、参数估计考试内容点估计的概念估计量和估计值矩估计法最大似然估计法考试要求1、了解参数的点估计、估计量与估计值的概念2、掌握矩估计法（一阶矩、二阶矩）和最大似然估计法

第一章随机事件与样本空间，进行随机试验得到试验结果，全部样本点组成样本空间，样本全体引入子集，引入随机事件，引入事件概率，概率计算有古典概型和n 重伯努利试验。 这是几百年前概率论的发展。它最大的发展是引进入微积分，进入第二章——随机变量及其分布。 把样本空间的全体引入一个函数——随机变量random viable, 用这个函数来表示随机事件，引入分布函数，分为离散型和连续型，这两种随机变量的定义和性质有所不同，其中它们所谓的重要条件就是概率的性质在新的条件下的反映。其中连续型随机变量的分布函数用积分来表示，求导成为概率密度函数，由此概率论引进微积分。 掌握常考分布——B P U E N (二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布)的称呼、定义、记号、参数、特点。 1、要概念清楚概率得不出事件结论，概率为0的事件不一定是空集，概率为1的事件不一定是全集； 独立bar不bar没关系； 概率为0或1的事件与所有事件都独立。 2、重点是条件概率(缩减样本空间)、五大公式(全概率和贝叶斯公式设完备事件组的设法)、n重伯努利实验。 完成第二章随机变量及其分布，第三章开始。第二章重点有三。总结如下。 一、概率、分布函数、离散型随机变量、连续型随机变量的定义、重要条件及其他性质的一张比较表；后四者所谓的重要条件实际上是概率性质在新形势下的反映。 二、五个常考分布:二项分布是n重伯努利试验成功k次的概率；泊松分布描述如校门口1小时内通过多少辆车的概率；均匀分布如四舍五入、等公交车、等电梯的时间分布；指数分布描述生命、寿命的分布，无记忆性；正态分布也是比较常用的。 求概率时，均匀分布量尺寸，正态分布四下子(查表、标准化、对称性、定参数)，只有指数分布会用到积分计算。背过两个积分公式——泊松积分和伽马函数。 三、一维随机变量函数的分布。三件事情处理好拿11分大题——定义、范围、端点。 把任何一个分布函数拿来，把随机变量塞到它自己的分布函数里面去，把小变量变成大的随机变量，出来新的随机变量一定服从0-1分布。 第三章 二维随机变量总结。1、二维随机变量常考分布:均匀、正态。二维均匀量尺寸，二维正态一定是用对称性 2、二维随机变量函数的分布。三种情况:离散和离散的拆开；连续和连续的哪儿求概率哪儿求积分；离散和连续的把离散的用全概率公式展开。 3、二维离散、连续型随机变量的独立和条件概率。 二维离散型随机变量独立:行(列)之间成比例；条件概率:行(列)内部按比例分配，条件概率等于1/2时，两个概率相等。 二维连续型随机变量有两个相逆的题型: 已知二维连续型随机变量的联合概率密度函数求边缘概率密度和条件概率密度，把“大其他”变成“小其他”，其中求条件概率密度一定要注意范围，分母大于0才存在；或者反过来，已知一个边缘概率密度和一个条件概率密度，求联合概率密度，此时要注意求的全平面内的联合概率密度，所以要把约束条件去掉，用密度积分为1去掉条件，即通过积分等于1把“小其他”变成“大其他”。 总结第四章 数字特征。重点有三。 1、期望、方差、协方差、相关系数的定义与性质。 为什么叫"期望"而不是"平均"?因平均都是有限个数之间，期望是无限个数。求期望三个方法:定义、对称性、性质。 方差是偏离平均值的程度、分散程度。 协方差描述两随机变量间的差异程度。求协方差要先暴露两个变量之间的关系。 相关系数是标准化了的期望，纯粹反映它们之间的差别。二维随机变量若服从0-1分布，求相关系数可在分布律上"抠右脚"，若二维离散随机变量不服从0-1分布，照样按照0-1分布"抠右脚"(常熟不影响)。 计算上述量一定要选择好方法；做题前形成如下习惯:看两随机变量独立否?对称否?联合密度函数?计算积分繁琐，能用对称尽量对称。 2、五个常考分布的期望和方差。几何分布与超几何分布的参数推导，无需背。 一维正态记四下子，二维正态分布也有四点性质。其中，二维正态保证每个边缘都正态，反过来，边缘正态不能保证二维正态。 3、二维随机变量函数的期望。 总结第五章——大数定律和中心极限定理。这章出题概率不大。有三点内容。 1、切比雪夫不等式。 2、大数定律。依概率收敛的概念引出切比雪夫大数定律、辛钦大数定律、伯努利大数定律(上面两个的特例)，总结如下:若"X i 不相关，方差有界"或"Xi 独立同分布，期望存在"，则Xi 的算术平均值依概率收敛于Xi 期望的算术平均值。 3、中心极限定理。Xi 独立同分布、方差存在，则Xi 的和近似服从正态分布。 第六章 数理统计。内容有二。1、总体与样本。总体有分布函数、概率分布、概率密度，相应样本有分布函数、分布律、概率密度。 2、抽样分布。 样本数字特征:样本均值和样本方差及它们各自的期望、方差。 三大抽样分布的典型模式。(概率论中只有一个地方涉及4次方——卡方分布的方差。) 正态总体条件下样本均值与样本方差的分布。 第七章 参数估计。 矩估计和最大似然估计。

小娄#35

用的时间最多，几乎每个考数学的人都会把大把的时间花在数学上

概率论与数理统计是考研数学重要组成部分。概率论与数理统计非常强调对基本概念、定理、公式的深入理解。重要基本知识要点如下：　　一、考点分析　　1.随机事件和概率，包括样本空间与随机事件；概率的定义与性质（含古典概型、几何概型、加法公式）；条件概率与概率的乘法公式；事件之间的关系与运算（含事件的独立性）；全概公式与贝叶斯公式；伯努利概型。　　2.随机变量及其概率分布，包括随机变量的概念及分类；离散型随机变量概率分布及其性质；连续型随机变量概率密度及其性质；随机变量分布函数及其性质；常见分布；随机变量函数的分布。

1、第一次调整后 废品率已经为p=0.1正品为0.9 设想两个箱子一个放正品的A箱，一个放废品的B箱容量无限先拿第1个，如果放入A 0.9 一个正品再拿第2个，放入A (0.9)^2 二个正品3，(0.9)^3 三个正品…… (0.9)^k k个正品一直到废品的出现才终止 (0.9)^k×0.1一共k个正品3、第三题等待高手解答。。。俺不会

求P(Y≤X)，首先Y≤X在平面中就是直线y=x下面的部分,比如(2,1)满足Y≤X，并且在直线y=x下面。此时求积分就是求在直线y=x下面部分的积分，其实就是满足Y≤X。因为原来密度函数的定义域是x>0,y>0，所以约束条件就是一个三角形区域，x>0,y>0,y≤x.所以如果先对y积分时的上下限就是0到x,再对x积分的上下限是0到正无穷，如果先对x积分时的上下限就是y到正无穷（因为y≤x）,再对y积分的上下限是0到正无穷，

书名：概率论与数理统计ISBN:781082443作者：甘健胜编出版社:北方交通大学出版社定价：28页数:327出版日期：2005-1-1版次:1开本：16开 第1章随机事件及其概率1. 1随机事件1. 1. 1随机现象1. 1. 2随机事件1. 1. 3事件的集合表示与图示1. 1. 4事件之间的关系及其运算思考与练习1. 2概率1. 2. 1概率的古典定义1. 2. 2概率的几何定义1. 2. 3概率的统计定义思考与练习1. 3概率的加法法则1. 3. 1狭义加法法则1. 3. 2广义加法法则思考与练习1. 4条件概率与乘法法则1. 4. 1条件概率1. 4. 2乘法法则思考与练习1. 5全概率公式与贝叶斯公式1. 5. 1全概率公式1. 5. 2贝叶斯公式思考与练习1. 6独立试验概型1. 6. 1事件的独立性1. 6. 2独立试验序列概型1. 6. 3贝努里公式思考与练习本章概要常用术语常用公式第2章随机变量及其分布2. 1随机变量2. 1. 1随机事件的数量标记2. 1. 2随机变量思考与练习2. 2一元离散型随机变量2. 2. 1一元离散型随机变量2. 2. 2一元离散型随机变量的描述2. 2. 3常见离散型随机变量的分布思考与练习2. 3一元连续型随机变量2. 3. 1一元连续型随机变量2. 3. 2一元连续型随机变量的描述2. 3. 3常见连续型随机变量的分布思考与练习2. 4二元离散型随机变量2. 4. 1联合概率函数2. 4. 2边缘概率函数2. 4. 3条件概率函数2. 4. 4随机变量的相互独立性思考与练习2. 5二元连续型随机变量2. 5. 1联合密度函数2. 5. 2边缘密度函数2. 5. 3条件密度函数2. 5. 4随机变量的相互独立性思考与练习2. 6随机变量函数的分布思考与练习本章概要常用术语常用公式第3章随机变量的数字特征3. 1数学期望3. 1. 1平均值3. 1. 2数学期望3. 1. 3数学期望的性质3. 1. 4数学期望应用举例思考与练习3. 2方差3. 2. 1离差与方差3. 2. 2方差的性质3. 2. 3方差应用举例思考与练习3. 3二元随机变量的数字特征3. 3. 1随机变量的均值与方差3. 3. 2条件期望3. 3. 3协方差3. 3. 4相关系数思考与练习本章概要常用术语常用公式第4章常用分布及应用4. 1二项分布4. 1. 1二项分布概述4. 1. 2二项分布应用举例思考与练习4. 2泊松分布4. 2. 1泊松分布概述4. 2. 2泊松分布应用举例4. 2. 3二项分布与泊松分布的联系思考与练习4. 3指数分布4. 3. 1指数分布概述4. 3. 2指数分布应用举例思考与练习4. 4均匀分布4. 4. 1均匀分布概述4. 4. 2均匀分布应用举例思考与练习4. 5正态分布4. 5. 1正态分布概述4. 5. 2标准正态分布4. 5. 3一般正态分布与标准正态分布的关系4. 5. 4正态分布常用结论4. 5. 5正态分布应用举例思考与练习本章概要常用术语常用公式常用随机变量的期望与方差第5章大数定律与中心极限定理5. 1大数定律5. 1. 1切贝谢夫不等式5. 1. 2依概率收敛5. 1. 3大数定律思考与练习5. 2中心极限定理5. 2. 1中心极限定理5. 2. 2中心极限定理应用举例思考与练习本章概要常用术语常用公式第6章样本分布6. 1总体与样本6. 1. 1总体与样本概述6. 1. 2简单随机样本6. 1. 3统计量6. 1. 4样本推断总体思考与练习6. 2样本分布函数6. 2. 1直方图6. 2. 2样本分布函数思考与练习6. 3样本的数字特征6. 3. 1样本均值6. 3. 2样本方差思考与练习6. 4几个常用统计量的分布6. 4. 1正态总体样本均值与方差的分布6. 4. 2几个常用统计量形式及其分布思考与练习本章概要常用术语常用公式第7章参数估计7. 1参数的点估计7. 1. 1点估计7. 1. 2数字特征法7. 1. 3最大似然估计法思考与练习7. 2估计量优劣的评价标准7. 2. 1无偏估计 无偏性7. 2. 2有效估计 有效性7. 2. 3一致估计 一致性思考与练习7. 3参数的区间估计7. 3. 1区间估计7. 3. 2总体期望的区间估计7. 3. 3小样本下正态总体方差σ2的区间估计思考与练习本章概要常用术语常用公式第8章假设检验8. 1假设检验8. 1. 1假设检验的基本步骤8. 1. 2假设检验中的两类错误思考与练习8. 2一个正态分布的参数假设检验8. 2. 1总体均值等式检验8. 2. 2总体均值的不等式检验8. 2. 3总体方差的检验8. 2. 4一个正态总体参数检验方法小结思考与练习8. 3两个正态总体的假设检验8. 3. 1两个总体均值比较检验8. 3. 2两个总体方差的比较检验思考与练习本章概要常用术语常用公式第9章方差分析9. 1单因素方差分析9. 1. 1单因素方差分析概述9. 1. 2单因素方差分析的一般方法思考与练习9. 2单因素方差分析应用举例思考与练习本章概要常用术语常用公式第10章回归分析10. 1一元线性回归模型10. 1. 1一元线性回归方程10. 1. 2变量之间的线性相关性10. 1. 3线性相关性检验10. 1. 4拟合优度10. 1. 5一元线性回归方程的预测10. 1. 6可线性化的回归方程思考与练习10. 2多元线性回归模型简介10. 2. 1多元线性回归数学模型形式与假定10. 2. 2参数最小二乘法估计10. 2. 3估计标准误差10. 2. 4拟合优度10. 2. 5回归模型的显著性检验 F检验法10. 2. 6回归系数的显著性检验 t检验10. 2. 7预测10. 2. 8常用可线性化的多元回归方程思考与练习本章概要常用术语常用公式附录A排列组合的基本概念思考与练习常用术语附录BZ分布。 X2分布. t分布。 F分布附录C概率中常用各种表表C-1累积二项分布数值表表C-2累积泊松分布数值表表C-3标准正态分布密度函数表表C-4标准正态分布函数表表C-5正态分布双侧临界值表表C-6t分布双侧临界值表表C-7X2分布的上侧临界值X2a表表C-8F分布上侧临界值表表C-9检验相关系数的临界值表习题参考答案参考文献

求 P(Y≤X) ，首先Y≤X 在平面中就是直线y=x 下面的部分,比如 (2,1) 满足Y≤X，并且在直线y=x 下面。此时求积分就是求在直线y=x下面部分的积分，其实就是满足Y≤X。因为原来密度函数的定义域是x>0,y>0，所以约束条件就是一个三角形区域，x>0,y>0,y≤x.所以如果先对y积分时的上下限就是0到x, 再对x积分的上下限是0到正无穷， 如果先对x积分时的上下限就是y到正无穷（因为y≤x）, 再对y积分的上下限是0到正无穷，

概率论知识点总结 　　概率论需要学生们对于概率概念的熟悉，而知识点一般不算十分的难。下面概率论知识点总结是我想跟大家分享的，欢迎大家浏览。 　　概率论知识点总结 　　第一章 概率论的基本概念 　　1. 随机试验 　　确定性现象：在自然界中一定发生的现象称为确定性现象。 　　随机现象： 在个别实验中呈现不确定性，在大量实验中呈现统计规律性，这种现象称 　　为随机现象。 　　随机试验：为了研究随机现象的统计规律而做的的实验就是随机试验。 　　随机试验的特点：1)可以在相同条件下重复进行; 　　2)每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能 　　结果; 　　3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会先出现; 　　2. 样本空间、随机事件 　　样本空间：我们将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S。 样本点：构成样本空间的元素，即E中的每个结果，称为样本点。 　　事件之间的基本关系：包含、相等、和事件(并)、积事件(交)、差事件(A-B：包含A 　　不包含B)、互斥事件(交集是空集，并集不一定是全集)、对立 　　事件(交集是空集，并集是全集，称为对立事件)。 　　事件之间的运算律：交换律、结合律、分配率、摩根定理(通过韦恩图理解这些定理) 　　3. 频率与概率 　　频数：事件A发生的次数 　　频率：频数/总数 　　概率：当重复试验的次数n逐渐增大，频率值就会趋于某一稳定值，这个值就是概率。 概率的特点：1)非负性。2)规范性。3)可列可加性。 　　概率性质：1)P(空集)=0，2)有限可加性，3)加法公式：P(A+B)=P(A)+P(B) 　　-P(AB) 　　4. 古典概型 　　学会利用排列组合的知识求解一些简单问题的概率(彩票问题，超几何分布，分配问题， 　　插空问题，捆绑问题等等) 　　5. 条件概率 　　定义：A事件发生条件下B发生的概率P(B|A)=P(AB)/P(A) 　　乘法公式：P(AB)=P(B|A)P(A) 　　全概率公式与贝叶斯公式 　　6. 独立性检验 　　设 A、B是两事件，如果满足等式 　　P(AB)=P(A)P(B) 　　则称事件A、B相互独立，简称A、B独立。 　　第二章.随机变量及其分布 　　1. 随机变量 　　定义：设随机试验的样本空间为S={e}. X=X(e)是定义在样本空间S上的单值函数，称 　　X=X(e)为随机变量。 　　2. 离散型随机变量及其分布律 　　三大离散型随机变量的"分布 　　1)(0——1)分布。E(X)=p, D(X )=p(1-p) 　　2)伯努利试验、二项分布 E(X)=np, D(X)=np(1-p) 　　3) 泊松分布 P(X=k)= (?^k)e^(- ?)/k! (k=0,1,2,u2026u2026) 　　E(X)=?，D(X)= ? 　　注意：当二项分布中n 很大时，可以近似看成泊松分布，即np= ? 　　3. 随机变量的分布函数 　　定义：设X是一个随机变量，x是任意的实数，函数 　　F(x)=P(Xu2264x),x属于R 称为X的分布函数 　　分布函数的性质： 　　1) F(x)是一个不减函数 　　2) 0u2264F(x)u22641 　　离散型随机变量的分布函数的求法(由分布律求解分布函数) 　　连续性随机变量的分布函数的求法(由分布函数的图像求解分布函数，由概率密度求 　　解分布函数) 　　4. 连续性随机变量及其概率密度 　　连续性随机变量的分布函数等于其概率密度函数在负无穷到x的变上限广义积分 相反密度函数等与对应区间上分布函数的导数 　　密度函数的性质：1)f(x)u22650 　　2) 密度函数在负无穷到正无穷上的广义积分等于1 　　三大连续性随机变量的分布: 1)均与分布 E(X)=(a+b)/2 D (X)=[(b-a)^2]/12 　　2)指数分布 E(X)=u03b8 D(X)=u03b8^2 　　3)正态分布一般式(标准正态分布) 　　5. 随机变量的函数的分布 　　1)已知随机变量X的 分布函数求解Y=g(X)的分布函数 　　2)已知随机变量X的 密度函数求解Y=g(X)的密度函数 　　第三章 多维随机变量及其分布(主要讨论二维随机变量的分布) 　　1.二维随机变量 　　定义 设(X，Y)是二维随机变量，对于任意实数x, y,二元函数 　　F(x, Y)=P[(Xu2264x)交(Yu2264y)] 称为二维随机变量(X，Y)的分布函数或称为随机变量联合分布函数 　　离散型随机变量的分布函数和密度函数 　　连续型随机变量的分布函数和密度函数 　　重点掌握利用二重积分求解分布函数的方法 　　2.边缘分布 　　离散型随机变量的边缘概率 　　连续型随机变量的边缘概率密度 　　3.相互独立的随机变量 　　如果X，Y相互独立，那么X，Y的联合概率密度等于各自边缘的乘积 　　5. 两个随机变量的分布函数的分布 　　关键掌握利用卷积公式求解Z=X+Y的概率密度 　　第四章.随机变量的数字特征 　　1.数学期望 　　离散型随机变量和连续型随机变量数学期望的求法 　　六大分布的数学期望 　　2.方差 　　连续性随机变量的方差 　　D(X)=E(X^2)-[E (X )]^2 　　方差的基本性质： 　　1) 设C是常数，则D(C)=0 　　2) 设X随机变量，C是常数，则有 　　D(CX)=C^2D(X) 　　3) 设X，Y是两个随机变量，则有 　　D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{(X-E(X))(Y-E(Y))} 特别地，若X，Y不相关，则有D(X+Y)=D(X)+ D(Y) 切比雪夫不等式的简单应用 　　3. 协方差及相关系数 　　协方差：Cov(X ,Y )= E{(X-E(X))(Y-E(Y))} 　　相关系数：m=Cov(x,y)/u221aD(X) u221aD(Y) 　　当相关系数等于0时,X,Y 不相关，Cov(X ,Y )等于0 不相关不一定独立，但独立一定不相关 ;

1）f(x,y)在x>0,y>0区域上的二重积分等于1，即可求出A；2）联合分布分数就是f(x,y)在二重积分（变上限积分）；3）f(x,y)在相应区域上的二重积分即为所求概率。这个输入框无法输入数学符号，只能用语言描述，见谅。

设 是一个随机试验，它的样本空间是 ，设 和 是定义在 上的随机变量，它们构成的向量 称为 二维随机向量 或 二维随机变量 假如 是二维随机变量，对于任意实数 二元函数： 称为 二维随机变量 的 分布函数 ，或称为随机变量 和 的 联合分布函数 随机点 落在矩形区域 的概率为 类似地，如果二维随机变量 所有可能取值是 有限对 或 无限可列对 ，则称 是 离散型的随机变量 ，假如 所有可能取的值为 ，我们称之为随机变量 和 的 联合分布律 ,此时 ，又由概率定义知： 假如对于随机变量 的分布函数 ，存在非负函数 使对于任意 有 ，那么 是 连续型的二维随机变量 ，函数 则是其 概率密度 ，或说是随机变量 的 联合概率密度 ，根据有关定义，有： 对于二维随机变量 来说， 都有各自的分布函数，记作 ,并将之称为分别关于 的 边缘分布函数 : ,对于 ，同理。 易知对于 离散型随机变量 ： 可求得 的分布律： ， 即关于随机变量 的 边缘分布 对于连续型随机变量 : ,可求概率密度： , ，此概率密度称为 边缘概率密度 设 是 二维离散型随机变量 ，对于固定的 ,若 ,则说： 为在 条件下随机变量 的 条件分布律 设 是 二维连续型随机变量 ，概率密度为 ,关于 的边缘概率密度为 ,对于固定的 , ，则称: 为在 条件下 的 条件概率密度 ，进一步： 为 条件分布函数 若二维随机变量 概率密度为 ,其中· 为是平面上的有界区域，其面积为 ，则称随机变量在 上服从 均匀分布 。 对于任意 ，假如有以下式子成立： ，即 ，则说随机变量 与 是 相互独立 的，或者连续型随机变量对应等式 成立时，离散型随机变量对应等式： 成立时。 若 是二维连续型随机变量且其概率密度为 ，则 仍为连续型随机变量，概率密度为: 或 如果 相互独立，那么 ,此公式亦称 卷积公式 若 是二维连续型随机变量且其概率密度为 ，则 仍为连续型随机变量，概率密度分别为： 如果 相互独立,那么 相互独立，则： 推广到 个相互独立的随机变量：

1、设离散型随机变量x的分布律如下，求a的值。阿P｛Xx｝（k1.2，，n，）kk！ a解：由性质2，我们有，而 1k1k！ a1 1 a a 1 a（e1）k1k！k1k！ k0k！则有等式a（e-1）1，解得a 1/（e-1）例2设一辆汽车在开往目地的的道路上需经过两组信号灯，每组信号灯以1/2的概率允许或禁止汽车通过.以X表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的组数（设各组信号灯的工作是相互独立的）求X的分布律与分布函数解以p表示每组信号灯禁止汽车通过的概率易知X的分布律为X012概率p（1 p）p（1 p）2将p1/2代入表格，我们有X012概率0.5 0.25 0.25下面求X的分布函数F（x）当0<x<2时，｛X<x｝等同于｛X0或X1｝，因此F（x）P｛X0｝+P｛X1｝0.5+0.25 0.75当2<x时｛X<x｝是必然事件，因此F（x）1。综合起来，F（x）的表达式为：0，x 0，0.5，0 x 1，F（x）0.75，1 x 2，1，x 2例3如上图所示.电子线路中装有两个并联的 继电器.假设这两个继电器是否接通具有随机 性，且彼此独立.已知每个电器接通的概率为0.8，记X为线路中接通的继电器的个数.

在许多实际问题中，需要使用多个随机变量来描述随机现象，如天气预报包括：空气质量、天气实况、温度、降水等，需要多个随机变量。 多维随机变量的研究方法和二维随机变量的研究思想及方法相同，为简便起见，着重介绍二维随机变量。 二维随机变量的定义 ： 可以说二维随机变量 是一个特殊的二元函数，其定义域为样本空间 ，值域 。很重要的一点是首先确定其值域。 n维随机变量的定义 : 联合分布函数 ： n维分布函数 : 定理1 联合分布函数的性质： 二维随机变量也分为离散型和非离散型，如果它取值于平面上的一些离散的点，就称为二维离散型随机变量。下面两图分别给出二维离散型和连续型随机变量的概率分布。 二维离散型随机变量 的定义：二维随机变量 仅可能取有限个或可列无限个值。 联合分布律 的定义: 二维连续型随机变量及其联合密度函数 定义： n维连续型随机变量及其联合密度函数 ： 联合密度函数具有非负性和规范性。 二维均匀分布 的定义： 如果已知二维随机变量 的联合分布，那么 其中一个随机变量的分布 肯定能够得到，其分布我们称为 边缘分布 。 边缘分布函数的定义 ： 边缘分布律 ： 由定义知，求 的边缘分布律即为求 联合分布律表格中的行和;求 的边缘分布律即为求 联合分布律表格中的列和。 因为边缘分布律位于 联合分布表格的边缘 ，所以称其为边缘分布律。 边缘密度函数的定义 ： 若已知联合密度函数，边缘密度函数可以直接由定义公式计算得到；若已知联合分布函数，首先计算边缘分布函数，再对边缘分布函数求导得到边缘密度函数。 无论使用哪种方法，首先要确定随机变量的值域，值域之外密度函数都为0。 二维正态分布的边缘仍是正态分布 定理： 将相互独立性的概念推广至随机变量： 随机变量相互独立 的定义： 二维离散随机变量相互独立 定理： 二维连续随机变量相互独立 定理： 二维正态分布随机变量相互独立 ：相关系数为0 推广到n维的相互独立 ： 实际工作中我们需要考虑这样的问题：当一个随机变量的取值确定时，另外一个随机变量的取值规律如何。如新生男婴的身高和体重分别用 和 表示。讨论当男婴身高为50cm时，男婴体重的分布规律。这需要引入条件分布才能计算。 在给定条件 下随机变量 的条件分布律定义： 二维连续型随机变量的密度函数 的定义与二维离散型随机变量的条件分布律类似。 条件密度函数的直观解释： 条件分布函数的定义 ： 将条件密度函数积分即可。 和离散型情形相类似，知道X的边缘密度函数及X取任一个固定值时Y的条件密度函数，则可唯一地确定联合密度函数。 如计算Z=X+Y的分布。 结论： 特别地有以下结论： 由该结论可知，相互独立的成功概率相同的二项分布之和仍服从二项分布，相互独立的泊松分布之和仍服从泊松分布。这称为：该分布具有可加性。这里要求随机变量相互独立。 和一维连续型随机变量函数的分布计算方法类似，可采用分布函数法计算二维连续型随机变量函数的分布。这种计算方法称为 分布函数法 。 定理法 ： 二维正态分布 ： 最大值、最小值分布函数 定理（可由分布函数的定义、相互独立型得到）： 指数分布的最小值不变性 ：指数分布的最小值仍服从指数分布。

对于随机变量而言，每一个值都对应着试验中发生的一个概率，记为 ，离散型随机变量的取值范围是有限可列的，因此，随机变量的 个取值就有 种概率。那么，好事者需要知道这个随机变量所有的取值，就诞生了 分布律 的概念。 在进行随机试验的结果中，第一次试验的结果可能不尽人意，因此你想要尝试再试一次，直到。。。10次投掷之后，你仍然在大本营里转悠，回头看看这10次试验的所有结果，你发现，在这10次结果中，你的点数是这样的： 看了这10次的结果，你需要尽快出门，于是修改了规则： 不需要扔到6点，只要扔到点数小于 4即可，这样的话，小于 任意一个实数 的所有可能性之和，称作为 分布函数 。通俗的说，就是研究的目标从一个点变成了一个 范围 。那么，用数学公示表达就是： ，在你的提议中， 。你能够大本营离开的几率从原来的 ；提升到了 。 这个标题应该划分成：随机变量 / 的函数 / 的分布函数。 依旧是飞行棋，你的对手一听，小于4点你就能走了？为了尽可能保证自己的优势，又防止你放弃游戏，就说，这样吧，你 投的点数的平方小于6，你才能走 ，这样的话，"投的点数的平方" 就是一个随机变量的函数，即 ，那么这样的话： 你朋友的内心OS：1/2太大了，整小点，我可能会多走几步。于是乎就有了 你终于出门了，但是发现对手已经跑完半圈了，这个时候，他提议要不然玩点刺激的：在掷骰子之前，先掷硬币，正面向上，你掷骰子的点数翻倍，若是硬币反面朝上，你掷骰子的点数是多少，你后退多少步。 同样的 那么，在二维连续型随机变量中，两个随机变量共同决定的概率密度，叫做 联合概率密度 。我要 求边缘概率密度 怎么办？以 为例，随机变量 的概率密度和 没有关系，那就把令关于 部分的和为1就好了，也就是求 联合概率密度对 求积分。 更进一步地想， 联合分布函数（二维） 是对随机变量 和 在内的积分，也就是说，其实就是两个实数： 在 平面上圈了一块地，现在要在这块地上建一个房子。 这个房子有两个要求： 那么两个随机变量的函数的分布又是一个什么鬼？ 两人按照要求盖好了房子，准备入住，另一个随机变量 过来说，我也要盖房子，给我一点建议吧。我呢，你们俩凑合凑合就可以伪装成我，即： 说白了， 就是在 原有 基础上 ，加了一点点限制，比如若 ，限制为 ；若限制关系为： ，则有 。 既然多了限制， 的取值范围就要做出相应的调整。 需要注意的点有：

简单计算一下即可，答案如图所示

要求EX^2，只知道EX还不够，至少要知道x是如何分布的，也即它的分布函数或者概率密度函数。若X~N（1，3），则Dx=3，由DX=EX^2-(EX)^2及EX的值可以算出EX^2。若X~N（1，3），Y=3X+1，EY=E(3X+1)=3EX+1=3*1+1=4，DY=D（3X+1）=3^2*DX=9*DX=9*3=27，所以Y~N（4，27）。3X与X+X+X没有区别。Z=X+Y的密度函数也要根据X,Y 的概率密度f(x y)来求，一般用作图法计算，先算出分布函数F(Z)，再算密度函数f(z)，也可以直接积分计算：f(z)=将f(x,z-x)对x积分，这时的难点是确定好积分上下限。如果X与Y相互独立，Z=X+Y的密度函数可以直接计算，f(z)=将f(x,z-x)对x积分=将fx(x)*fy(z-x)对x进行积分，fx(.)为x的密度函数，fy(.)为y的密度函数

随机变量(X,Y)~N(0,1;0,4;ρ)，则DX=1,DY=4，D(2X-Y)=4DX+DY-4ρ√(DX)√(DY)=1，即4+4-8ρ=1，所以ρ=-1/2。二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X、Y有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系。因此，逐个地来研究X或Y的性质是不够的，还需将（X，Y）作为一个整体来研究。设E是一个随机试验，它的样本空间是S={e}，设X=X（e）和Y=Y(e)S是定义在S上的随机变量，由它们构成的一个向量（X，Y），叫做二维随机变量或二维随机向量。扩展资料：现在有一个班（即样本空间）体检,指标是身高和体重,从中任取一人（即样本点）,一旦取定,都有唯一的身高和体重（即二维平面上的一个点）与之对应,这就构造了一个二维随机变量。由于抽样是随机的,相应的身高和体重也是随机的,所以要研究其对应的分布。随机事件数量化的好处是可以用数学分析的方法来研究随机现象。例如某一时间内公共汽车站等车乘客人数，电话交换台在一定时间内收到的呼叫次数，灯泡的寿命等等，都是随机变量的实例。参考资料来源：百度百科-二维随机变量

！随机变量(X,Y)~N(0,1;0,4;ρ)，则DX=1,DY=4，D(2X-Y)=4DX+DY-4ρ√(DX)√(DY)=1，即4+4-8ρ=1，所以ρ=-1/2。经济数学团队帮你解答，请。！

因为分布函数 F(x0,y0)=P{X<x0&&Y<y0}不管x0，y0谁大谁小，指的是 Y=y0直线以下、X=x0直线之右区域内的积分，而这个区域内虽然 x>y处密度函数为0，但还是有 x<y的点的。

u200b 这个函数称为X的累计概论分布函数，简称 分布函数 u200b 且满足一下条件 u200b 则称这组概率{P(xi)}为该随机变量X的分布列，或X的概率分布， 此外若果X是离散随机变量，已知X的分布列，容易写出X的分布函数，离散随机变量使用分布列更加方便，此外还可以使用 线条图和直方图 则X的数学期望为 若无穷级数存在，即数学期望存在，若无穷级数不收敛，即该随机变量X的数学期望不存在 由二项式定理可知，上述n+1个概率之和是1，这个概率分布称为 二项分布 ，记为b(n,p),它被n（正整数）和p（ ）确定。 在二项分布b(n,p)中，当n很大，p很小的时候，计算复杂。 若相对的来说，n大，p小，而乘积n*p大小适中，二项公式有一个很好的近似公式，泊松定理。 此时 这个式子的使用条件要求n大，p小，np适中。 p大于0,且和为1.，记为 对一个有限总体进行 不放回抽样 常会遇到超几何分布

选D。概率分布F(x)=∫<-∞,x>f(x)dx,F(+∞)=∫<0,1>ax^2dx=a/3=1,所以a=3积分时A可以提到前面（A为常数）然后对X积分为1/2x^2，代入1得1/2，再和常数A相乘得A/2由题意知道f(x)在0到1上的积分应该为1，故a/2=1，解得a等于2；求F(x)，分为三段，x<0,0<x<1,x>1，分别对概率密度函数进行积分，得到结果为F(x)=0(x<0)，F(x)=x^2(0<x<1),F(x)=1(x>1)，（x=0与x=1任意归并进去）。扩展资料：设X,Y是概率空间(Ω,F,p)上的两个随机变量，如果除去一个零概率事件外，X(ω)与Y(ω)相同，则称X=Y以概率1成立，也记作p(X=Y)=1或X=Y,α.s.（α.s.意即几乎必然）。有些随机现象需要同时用多个随机变量来描述。例如对地面目标射击，弹着点的位置需要两个坐标才能确定，因此研究它要同时考虑两个随机变量，一般称同一概率空间(Ω,F,p)上的n个随机变量构成的n维向量X=(x1,x2,…，xn)为n维随机向量。随机变量可以看作一维随机向量。称n元x1,x2,…，xn的函数为X的(联合)分布函数。又如果(x1,x2)为二维随机向量，则称x1+ix2(i2=-1)为复随机变量。参考资料来源：百度百科-随机变量

离散型随机变量的分布列有下列两个性质：①对于随机变量ξ的任何取值x，其概率值都是非负的，即p≥0，i=1，2，…；②对于随机变量的所有可能的取值，其相应的概率之和都是1，即p+p+…=1．

如果抽到的概率是百分之一，没抽中后下次抽中的概率还是百分之一。抽n次抽中的概率是1减0.99的n次方，当n有限时并不会等于1，所以理论上可能会永远抽不中。

概率的基本公式大全：1、条件概率：P(B|A)=P(AB)/P(A)；2、贝叶斯公式：P(Bi|A)=P(A|Bi)P(Bi)/∑nj=1P(A|Bj)P(Bj)；3、全概率公式：P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(Bn)；4、乘法定理：P(AB)=P(B|A)P(A)《概率论与数理统计》内容包括初等概率计算、随机变量及其分布、数字特征、多维随机向量、极限定理、统计学基本概念、点估计与区间估计、假设检验、回归相关分析、方差分析等。书中选入了部分在理论和应用上重要，但一般认为超出本课程范围的材料，以备教者和学者选择。《概率论与数理统计》着重基本概念的阐释，同时，在设定的数学程度内，力求做到论述严谨。书中精选了百余道习题，并在书末附有提示与解答。《概率论与数理统计》可作为高等学校理工科非数学系的概率统计课程教材，也可供具有相当数学准备（初等微积分及少量矩阵知识）的读者自修之用。

参数估计的两种形式：点估计和区间估计 点估计问题 ：设总体X的分布形式已知，但它的 一个或多个参数未知 ，借助于总体X的 一个样本 来估计总体 未知参数值 的问题称为参数的点估计问题。 构造统计量 常用的方法有两种：矩估计法和极大似然估计法。 矩估计 的思想就是 替换思想 ：用样本原点矩替换总体原点矩。 定理 ：均值、方差、标准差的矩估计结果 矩估计是一种经典的估计方法，比较直观，计算简单。不需要知道总体分布类型就可以估计，实际应用广泛。 极大似然估计是求总体未知参数的另一种常用的点估计方法。 理解极大似然估计基本思想的例子：对未知参数p的极大似然推断，在p的所有备选取值假定下，比较样本发生的概率大小，使 概率最大 的p的取值即为p的极大似然估计。 似然函数 ： 似然函数 与 极大似然 的定义： 当 是可微函数时，求导是求极大似然估计最常用的方法。而此时又因 与 在同一个 处取到极值，且对对数似然函数求导更简单。故常用以下对数似然方程（组）： 正态分布的极大似然估计 ： 直接观察法 ：不好求导，直接看出来。 求解总体未知参数 的极大似然估计的一般步骤： 评判一个估计量的好坏不能一概而论，即一个估计量的优劣不是绝对的，而是基于某一评判标准而言相对的评价结论。 下文中介绍三种常用的评判标准：无偏性、有效性和相合性。 无偏估计 和 有偏估计 以及 渐近无偏估计 的定义： 定理1 样本方差是无偏估计的。 一个位置参数的无偏估计可以有很多，如何在无偏估计中再进行选择？由于无偏估计的标准差是平均偏差为0，所以一个自然的想法就是每一次估计与真值的偏差波动越小越好。偏差波动大小可以用方差来衡量。因此用无偏估计的方差大小作为进一步衡量无偏估计优劣的标准。 有效性 的定义： 点估计是样本的函数，故点估计仍然是一个随机变量，在样本量一定的条件下，不可能要求它完全等同于未知参数的真值。但如果随着样本量不断增大，它能越来越接近真值。控制在真值附近的强度（概率）越来越大，那么这就是一个好的估计，这一性质称为相合性。 相合性 定义： 样本均值 是总体 的相合估计，样本方差 和 都是 的想和估计量。事实上，根据大数定律，矩估计一般都具有相合性。 参数的点估计是用样本观测值算出一个值取估计位置参数。但事实上，指数的真值可能偏差较大，若能给出一个估计区间，让我们有较大把握相信真值被含在这个区间内，这样估计就显得更有使用价值，也更为可信，因为我们把可能出现的偏差也考虑在内了。 对 置信水平 的直观解释： 单侧置信区间，置信上限（下限）： 在双侧置信区间求解时，常使得左右两个尾部的概率各为 的方法来选择a和b。这样得到的置信区间称为等尾置信区间。 首先， 是 的无偏估计。 (1) 当 已知时， 的置信区间 (2) 当 未知时， 的置信区间 关于单正态总体中均值 和方差 的双侧置信水平为 的置信区间可汇总如下表： (1) 当 已知时， 的置信区间 (2) 当 时， 的置信区间 (1) 当 已知时， 的置信区间 (2) 当 未知时， 的置信区间

四大收敛： 1.依 收敛（Convergence in ）     令 ，又令随机变量序列 满足 ，并令随机变量 满足     若     则称 依 收敛于 ，记为 2.依分布收敛（Convergence in Distribution）     令随机变量序列 对应的分布函数序列为 ，随机变量 对应的分布函数为     若对于每个连续点 ，有     则称 依分布收敛于 ，记为 3.依概率收敛（Convergence in Probability）     令随机变量序列 和随机变量     若 ，有     则称 依概率收敛于 ，记为 4.几乎处处收敛（Almost Sure Convergence）     令随机变量序列 和随机变量     若 ，有     则称 几乎处处收敛于 ，记为 三个大数定律（仅列出简化版本）： 1.弱大数定律（Weak Law of Large Numbers，WLLN）     令独立同分布（i.i.d）随机变量序列 满足 和     定义 ，则对 ，有     即 依概率收敛于 2.强大数定律（Strong Law of Large Numbers，SLLN）     令独立同分布（i.i.d）随机变量序列 满足 和     定义     则 几乎处处收敛于 3.中心极限定理（Central Limit Theorem，CLT）     令独立同分布（i.i.d）随机变量序列 满足 和     定义 ，有标准化样本     则 依分布收敛于正态分布 引理1.相互推导关系 1.1 1.2 1.3 引理2.两个不等式 2.1马尔可夫不等式     设 为一随机变量， 为一非负函数，则对 ，有      2.2波恩斯坦不等式     令独立同分布（i.i.d）随机变量序列 满足零均值且有界支撑      ，有 ；令 ，有     则对 ，有 引理3.连续性质 3.1若 为连续函数，则 3.2若 为连续函数，则 3.3若 为连续函数，则 引理4.等价性质 4.1渐进等价性（Asymptotic Equivalence）      4.2Slutsky     假设 且 为常数，则     1）     2） 集合、概率、随机变量（三元集）： 事件：全空间 的子集 事件集：由 的子集构成的 代数 随机变量：Borel可测映射 随机变量取值的概率：         对应几乎处处连续的分布函数CDF： 事件就是集合，随机变量的取值对应着某个事件，随机变量取值的概率对应着集合的测度 不可能事件、零概率事件、或然事件、全概率事件、必然事件     集合的上下极限：          事件 至少发生一个          上限事件，发生次数为无限次的事件          事件 同时发生          下限事件，不发生次数为有限次的事件德·摩根律：          即          即 博雷尔·康特立引理：     （1）若 满足 ，则 且     （2）若 相互独立，则 等价于 且 噶依克·瑞尼不等式：      为独立随机变量序列， ， 为正的非增常数序列      ，有 柯尔莫哥洛夫不等式：      为独立随机变量序列，      ，有 Declare： 凡是四大收敛的定义法证明，几乎都可以归结为集合的交并补运算 数学期望与高阶矩的本质：积分矩母函数的定义：     设 为随机变量， ，有 存在，则 矩母函数与高阶矩的关系：      特征函数的定义：     设 为随机变量， ，有 必存在，则 特征函数与高阶矩的关系：      特征函数与分布函数的关系：一一对应 1.逆转公式     分布函数 的特征函数为 ，又 是 的连续点，则有      2.唯一性定理     分布函数 由特征函数 唯一确定，即令 ，得      3.海莱第一定理     任意一个一致有界的非降函数列 中必有一子序列 ，其弱收敛于某一有界的非降函数 4.海莱第二定理及其推广      ，且 是 上弱收敛于 的一致有界非降函数序列，且 和 为 的连续点，则     可推广至 5.正极限定理     若分布函数列 弱收敛于 ，则特征函数列 逐点收敛于 ，且在 的任一有限区间内一致收敛 6.逆极限定理     若特征函数列 收敛于 ，且 在 处连续     则相应 弱收敛于 ，且 为 的特征函数四大收敛与特征函数的关系 1. 收敛与特征函数     考虑到 2.依分布收敛与特征函数      逐点收敛于 ，且在 的任一有限区间内一致收敛 3.依概率收敛&几乎处处收敛与特征函数      逐点收敛于 ，且在 内一致收敛     积分运算使得函数的部分信息丧失，进而无法由特征函数直接区分这两种收敛渐进等价性引理的证明（By 特征函数）     引理.两个函数列之和在 内一致收敛，其中一个函数列在 的任一有限区间内一致收敛，则另一个函数列在 的任一有限区间内一致收敛 Slutsky定理的证明（By 集合）     将依概率收敛 中的集合 不等式打开      渐进等价性引理与Slutsky定理的关系：     一个依概率收敛，两个依分布收敛->本质相同，表述不同 博赫纳尔-辛钦定理：      是特征函数 非负定、连续且         随机变量唯一确定集合映射关系，唯一确定分布函数，唯一确定特征函数         随机变量是三元集，分布函数性质较差，而特征函数性质堪称完美         故应当以集合&特征函数的视角研究随机变量与概率论        进入玄学范围，概率的问题，随机变量的问题，在其三元集上讨论，这一做法极其愚蠢         将概率论与卡巴拉生命之树相联系，那么：         <集合>对应于<王座>         <特征函数>对应于<王冠>        若是无视了<集合>这一王座，未曾见<特征函数>这一王冠         只见粗干，甚至于一叶障目         那么概率论到最后也不过是白学了，毫无卵用        书中写遍概率符号         然而在我眼中只有<集合><特征函数>罢了 最后附上CLT&WLLN&SLLN的证明梗概，需要详细证明可以查阅相关书籍或者私戳我：        CLT的证明有三种套路： 1.特征函数&海莱定理 2.林德伯格-莱维条件 3.特殊情况下的代数变换        WLLN的证明有两种套路： 1.特征函数的泰勒展开 2.马尔可夫不等式&波恩斯坦不等式&一般化        SLLN的证明有两种套路： 1.特征函数的泰勒展开 2.博雷尔康特立引理&噶依克·瑞尼不等式

考的

分布是分布函数的简称. 随机变量函数是关于随机变量的函数,比如y=2x是随机变量x的函数,也是一个随机变量. 所以随机变量函数的分布,指的就是y的分布函数. 函数分布和上面是一个意思. 分布函数就是分布了,不过这里没具体指什么的分布函数.

需要根据具体情况推导，不同的概率分布，原因是其随机变量实际上是受到某种因素影响而出现的，所以必须知道其影响因素本身，然后再考虑随机的因素才有实际的分布函数。没有一个包打天下的方法。离散型的数值主要是排列组合的方式推导，连续的则更为复杂。质量函数，分为概率质量函数和初始质量函数。在概率论中，概率质量函数 (Probability Mass Function，PMF)是离散随机变量在各特定取值上的概率。概率质量函数和概率密度函数不同之处在于：概率密度函数是对连续随机变量定义的，本身不是概率，只有对连续随机变量的取值进行积分后才是概率。注意这在所有实数上，包括那些X不可能等于的实数值上，都定义了 fX(x)。在那些X不可能等于的实数值上， fX(x)取值为0 ( x ∈ RS，取Pr(X = x) 为0)。离散随机变量概率质量函数的不连续性决定了其累积分布函数也不连续。假设X是抛硬币的结果，反面取值为0，正面取值为1。则在状态空间{0, 1}(这是一个Bernoulli随机变量)中，X = x的概率是0.5，所以概率质量函数是：概率质量函数可以定义在任何离散随机变量上，包括常数分布, 二项分布 (包括Bernoulli分布), 反二项分布, Poisson分布, 几何分布以及超几何分布随机变量上。在数学中，连续型随机变量的概率密度函数（在不至于混淆时可以简称为密度函数）是一个描述这个随机变量的输出值，在某个确定的取值点附近的可能性的函数。probability density function，简称PDF。这里指的是一维连续随机变量，多维连续变量也类似。随机数据的概率密度函数：表示瞬时幅值落在某指定范围内的概率，因此是幅值的函数。它随所取范围的幅值而变化。密度函数f(x) 具有下列性质：对于一维实随机变量X，设它的累积分布函数是，如果存在可测函数 满足：  ,那么X是一个连续型随机变量，并且是它的概率密度函数。连续型随机变量的概率密度函数有如下性质：如果概率密度函数fX(x)在一点x上连续，那么累积分布函数可导，并且它的导数： 由于随机变量X的取值 只取决于概率密度函数的积分，所以概率密度函数在个别点上的取值并不会影响随机变量的表现。更准确来说，如果一个函数和X的概率密度函数取值不同的点只有有限个、可数无限个或者相对于整个实数轴来说测度为0（是一个零测集），那么这个函数也可以是X的概率密度函数。连续型的随机变量取值在任意一点的概率都是0。作为推论，连续型随机变量在区间上取值的概率与这个区间是开区间还是闭区间无关。要注意的是，概率P{x=a}=0，但{X=a}并不是不可能事件。正态分布是重要的概率分布。它的概率密度函数是：

离散就是 事件 或 具体的个数 概率图中相当于一个长方形柱连续就是无数细化 相当无数的长方形柱 渐渐的边角变成了线 就是函数了无论如何 都符合 累计概率为1， 离散就是长方形柱面积为1，连续就是曲线图形为1.

从随机现象说起，在自然界和现实生活中，一些事物都是相互联系和不断发展的。在它们彼此间的联系和发展中，根据它们是否有必然的因果联系，可以分成截然不同的两大类：一类是确定性的现象。这类现象是在一定条件下，必定会导致某种确定的结果。举例来说，在标准大气压下，水加热到100摄氏度，就必然会沸腾。事物间的这种联系是属于必然性的。通常的自然科学各学科就是专门研究和认识这种必然性的，寻求这类必然现象的因果关系，把握它们之间的数量规律。 另一类是不确定性的现象。这类现象是在一定条件下，它的结果是不确定的。举例来说，同一个工人在同一台机床上加工同一种零件若干个，它们的尺寸总会有一点差异。又如，在同样条件下，进行小麦品种的人工催芽试验，各棵种子的发芽情况也不尽相同，有强弱和早晚的分别等等。为什么在相同的情况下，会出现这种不确定的结果呢？这是因为，我们说的“相同条件”是指一些主要条件来说的，除了这些主要条件外，还会有许多次要条件和偶然因素又是人们无法事先一一能够掌握的。正因为这样，我们在这一类现象中，就无法用必然性的因果关系，对个别现象的结果事先做出确定的答案。事物间的这种关系是属于偶然性的，这种现象叫做偶然现象，或者叫做随机现象。在自然界，在生产、生活中，随机现象十分普遍，也就是说随机现象是大量存在的。比如：每期体育彩票的中奖号码、同一条生产线上生产的灯泡的寿命等，都是随机现象。因此，我们说：随机现象就是：在同样条件下，多次进行同一试验或调查同一现象，所的结果不完全一样，而且无法准确地预测下一次所得结果的现象。随机现象这种结果的不确定性，是由于一些次要的、偶然的因素影响所造成的。随机现象从表面上看，似乎是杂乱无章的、没有什么规律的现象。但实践证明，如果同类的随机现象大量重复出现，它的总体就呈现出一定的规律性。大量同类随机现象所呈现的这种规律性，随着我们观察的次数的增多而愈加明显。比如掷硬币，每一次投掷很难判断是那一面朝上，但是如果多次重复的掷这枚硬币，就会越来越清楚的发现它们朝上的次数大体相同。我们把这种由大量同类随机现象所呈现出来的集体规律性，叫做统计规律性。概率论和数理统计就是研究大量同类随机现象的统计规律性的数学学科。 概率论产生于十七世纪，本来是由保险事业的发展而产生的，但是来自于赌博者的请求，却是数学家们思考概率论中问题的源泉。早在1654年，有一个赌徒梅累向当时的数学家帕斯卡提出一个使他苦恼了很久的问题：“两个赌徒相约赌若干局，谁先赢 m局就算赢，全部赌本就归谁。但是当其中一个人赢了 a (a<m)局，另一个人赢了 b(b<m)局的时候，赌博中止。问：赌本应该如何分法才合理？”后者曾在1642年发明了世界上第一台机械加法计算机。三年后，也就是1657年，荷兰著名的天文、物理兼数学家惠更斯企图自己解决这一问题，结果写成了《论机会游戏的计算》一书，这就是最早的概率论著作。近几十年来，随着科技的蓬勃发展，概率论大量应用到国民经济、工农业生产及各学科领域。许多兴起的应用数学，如信息论、对策论、排队论、控制论等，都是以概率论作为基础的。概率论和数理统计是一门随机数学分支，它们是密切联系的同类学科。但是应该指出，概率论、数理统计、统计方法又都各有它们自己所包含的不同内容。概率论——是根据大量同类随机现象的统计规律，对随机现象出现某一结果的可能性作出一种客观的科学判断，对这种出现的可能性大小做出数量上的描述；比较这些可能性的大小、研究它们之间的联系，从而形成一整套数学理论和方法。数理统计——是应用概率的理论来研究大量随机现象的规律性；对通过科学安排的一定数量的实验所得到的统计方法给出严格的理论证明；并判定各种方法应用的条件以及方法、公式、结论的可靠程度和局限性。使我们能从一组样本来判定是否能以相当大的概率来保证某一判断是正确的，并可以控制发生错误的概率。统计方法——是一上提供的方法在各种具体问题中的应用，它不去注意这些方法的的理论根据、数学论证。应该指出，概率统计在研究方法上有它的特殊性，和其它数学学科的不同点主要有：第一，由于随机现象的统计规律是一种集体规律，必须在大量同类随机现象中才能呈现出来，所以，观察、试验、调查就是概率统计这门学科研究方法的基石。但是，作为数学学科的一个分支，它依然具有本学科的定义、公理、定理的，这些定义、公理、定理是来源于自然界的随机规律，但这些定义、公理、定理是确定的，不存在任何随机性。第二，在研究概率统计中，使用的是“由部分推断全体”的统计推断方法。这是因为它研究的对象——随机现象的范围是很大的，在进行试验、观测的时候，不可能也不必要全部进行。但是由这一部分资料所得出的一些结论，要全体范围内推断这些结论的可靠性。第三，随机现象的随机性，是指试验、调查之前来说的。而真正得出结果后，对于每一次试验，它只可能得到这些不确定结果中的某一种确定结果。我们在研究这一现象时，应当注意在试验前能不能对这一现象找出它本身的内在规律。 概率论作为一门数学分支，它所研究的内容一般包括随机事件的概率、统计独立性和更深层次上的规律性。概率是随机事件发生的可能性的数量指标。在独立随机事件中，如果某一事件在全部事件中出现的频率，在更大的范围内比较明显的稳定在某一固定常数附近。就可以认为这个事件发生的概率为这个常数。对于任何事件的概率值一定介于 0和 1之间。有一类随机事件，它具有两个特点：第一，只有有限个可能的结果；第二，各个结果发生的可能性相同。具有这两个特点的随机现象叫做“古典概型”。在客观世界中，存在大量的随机现象，随机现象产生的结果构成了随机事件。如果用变量来描述随机现象的各个结果，就叫做随机变量。随机变量有有限和无限的区分，一般又根据变量的取值情况分成离散型随机变量和非离散型随机变量。一切可能的取值能够按一定次序一一列举，这样的随机变量叫做离散型随机变量；如果可能的取值充满了一个区间，无法按次序一一列举，这种随机变量就叫做非离散型随机变量。在离散型随机变量的概率分布中，比较简单而应用广泛的是二项式分布。如果随机变量是连续的，都有一个分布曲线，实践和理论都证明：有一种特殊而常用的分布，它的分布曲线是有规律的，这就是正态分布。正态分布曲线取决于这个随机变量的一些表征数，其中最重要的是平均值和差异度。平均值也叫数学期望，差异度也就是标准方差。 数理统计包括抽样、适线问题、假设检验、方差分析、相关分析等内容。抽样检验是要通过对子样的调查，来推断总体的情况。究竟抽样多少，这是十分重要的问题，因此，在抽样检查中就产生了“小样理论”，这是在子样很小的情况下，进行分析判断的理论。适线问题也叫曲线拟和。有些问题需要根据积累的经验数据来求出理论分布曲线，从而使整个问题得到了解。但根据什么原则求理论曲线？如何比较同一问题中求出的几种不同曲线？选配好曲线，有如何判断它们的误差？……就属于数理统计中的适线问题的讨论范围。假设检验是只在用数理统计方法检验产品的时候，先作出假设，在根据抽样的结果在一定可靠程度上对原假设做出判断。方差分析也叫做离差分析，就是用方差的概念去分析由少数试验就可以做出的判断。由于随机现象在人类的实际活动中大量存在，概率统计随着现代工农业、近代科技的发展而不断发展，因而形成了许多重要分支。如：随机过程、信息论、极限理论、试验设计、多元分析等。