概率论与数理统计：瑞利分布期 望及方差的证明过程

随机变量的期望是度量一个随机变量取值的集中位置或平均水平的最基本的数字特征，方差是表示随机变量取值的分散性的一个数字特征。 方差越大，说明随机变量的取值分布越不均匀，变化性越强，方差越小，说明随机变量的取值越趋近于均值，即期望值。期望值是随机试验在同样的机会下重复多次的结果计算出的等同期望的平均值，需要注意的是，期望值并不一定等同于常识中的期望，期望值，也许与每一个结果都不相等。方差是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量，概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望，即均值之间的偏离程度，统计中的方差，样本方差是各个数据分别与其平均数之差的平方的和的平均数，在许多实际问题中，研究方差即偏离程度有着重要意义。随机变量的内容随机变量X 是一个映射，把随机试验的结果与实数建立起了一一对应的关系，而期望与方差是随机变量的两个重要的数字特征。随机变量表示随机现象，在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象中各种结果的实值函数，一切可能的样本点，例如某一时间内公共汽车站等车乘客人数，电话交换台在一定时间内收到的呼叫次数等，都是随机变量的实例。随机变量与模糊变量的不确定性的本质差别在于，后者的测定结果仍具有不确定性，即模糊性，随机事件不论与数量是否直接有关，都可以数量化，即都能用数量化的方式表达，随机事件数量化的好处是可以用数学分析的方法来研究随机现象，例如某一时间内公共汽车站等车乘客人数，电话交换台在一定时间内收到的呼叫次数，灯泡的寿命等等，都是随机变量的实例。

一、随机变量的期望分为离散情形和连续情形：1、离散型（discrete）随机变量即在一定区间内变量取值为有限个或可数个。例如某地区某年人口的出生数、死亡数，某药治疗某病病人的有效数、无效数等。离散型随机变量通常依据概率质量函数分类，主要分为：伯努利随机变量、二项随机变量、几何随机变量和泊松随机变量。2、连续型（continuous）随机变量即在一定区间内变量取值有无限个，或数值无法一一列举出来。例如某地区男性健康成人的身长值、体重值，一批传染性肝炎患者的血清转氨酶测定值等。有几个重要的连续随机变量常常出现在概率论中，如：均匀随机变量、指数随机变量、伽马随机变量和正态随机变量。二、离散型随机变量的方差：D(X) = E{[X - E(X)]^2}.(1)=E(X^2) - (EX)^2.(2)。（1）式是方差的离差表示法。（2）式表示：方差 = X^2的期望 - X的期望的平方。概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。统计中的方差（样本方差）是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数。在许多实际问题中，研究方差即偏离程度有着重要意义。随机变量（random variable）表示随机试验各种结果的实值单值函数。随机事件不论与数量是否直接有关，都可以数量化，即都能用数量化的方式表达。随机事件数量化的好处是可以用数学分析的方法来研究随机现象。例如某一时间内公共汽车站等车乘客人数，电话交换台在一定时间内收到的呼叫次数，灯泡的寿命等等，都是随机变量的实例。

期望可以理解为这个变量的平均值。是对随机变量本身客观价值的一种表现，因为随机无法确定，大家心里需要有个数，这个随机的因素到底围绕的哪条线变化，期望就是那条线方差则是另一种特征，他描述的是随机变量的波动性围绕着期望波动的大小，方差越大，说明这个事变数越大，容易偏离平均值很远。随机变量的期望假设某一超市出售的某种商品，每周的需求量X在10至30范围内等可能取值，该商品的进货量也在10至30范围内等可能取值每周只进一次货若供大于求，则削价处理若供不应求，可从其他超市调拨假设某一超市出售的某种商品，每周的需求量X在10至30范围内等可能取值，该商品的进货量也在10至30范围内等可能取值。

在概率论和统计学中,一个离散性随机变量的期望值（或数学期望、或均值,亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和.换句话说,期望值是随机试验在同样的机会下重复多次的结果计算出的等同“期望”的平均值.需要注意的是,期望值并不一定等同于常识中的“期望”——“期望值”也许与每一个结果都不相等.（换句话说,期望值是该变量输出值的平均数.期望值并不一定包含于变量的输出值集合里.）

设总体x~u[a,b]，样本均值的期望和方差如下：如果随机变量只取得有限个值或无穷能按一定次序一一列出，其值域为一个或若干个有限或无限区间，这样的随机变量称为离散型随机变量。离散型随机变量的一切可能的取值乘积之和称为该离散型随机变量的数学期望（若该求和绝对收敛），它是简单算术平均的一种推广，类似加权平均。随机变量概念在做实验时，常常是相对于试验结果本身而言，我们主要还是对结果的某些函数感兴趣。例如，在掷骰子时，我们常常关心的是两颗骰子的点和数，而并不真正关心其实际结果。就是说，我们关心的也许是其点和数为7，而并不关心其实际结果是否是（1，6）或（2，5）或（3，4）或（4，3）或（5，2）或（6，1）。我们关注的这些量，或者更形式的说，这些定义在样本空间上的实值函数，称为随机变量。因为随机变量的值是由试验结果决定的，所以我们可以给随机变量的可能值指定概率。

离散型随机变量的的期望也就是离散型随机变量的均值的是为了表达一个随机变量取值的中间水平，随机变量的方差刻画了随机变量取值的离散程度。由于它们反映了随机变量取值的平均水平及稳定性，所以随机变量的均值和方差在市场预测等其他方面有着重要的应用。离散型随机变量的期望公式：离散型随机变量X的取值为X1、X2、X3……Xn，p（X1）、p（X2）、p（X3）……p（Xn）、为X对应取值的概率，可理解为数据X1、X2、X3……Xn出现的频率高f（Xi）。则E（X）=X1*p（X1）+X2**p（X2）+……+Xn**p（Xn）= X1*f1（X1）+X2*f2（X2）+……+Xn*fn（Xn）。离散型随机变量的方差公式：D（X）=E{[X-E（X）]^2}=E（X^2）-（EX）^2。常见的分布的方差和期望：1、均匀分布：期望是（a+b）/2，方差是（b-a）的平方/12。2、二项分布：期望是np，方差是npq。3、泊松分布：期望是p，方差是p。4、指数分布：期望是1/p，方差是1/（p的平方）。5、正态分布：期望是u，方差是&的平方。6、X服从参数为p的0-1分布，则E（X）=p，d（X）=p（1-p）。

如图所示：因为，(X，Y)是二维离散型随机变量。所以，xy也是离散型随机变量。先求出xy的概率分布列。再求xy的期望：比如 P(x＝0)＝1/2，P(x＝1)＝1/2 P(y＝0)＝1/2，P(y＝1)＝1/2 则，P(xy＝0)＝3/4 P(xy＝1)＝1/4 所以，E(XY)＝0×(3/4)＋1×(1/4)＝1/4。当随机变量的可取值全体为一离散集时称其为离散型随机变量，否则称其为非离散型随机变量，这是很大的一个类，其中有一类是极其常见的，随机变量的取值为一(n)维连续空间。计算方法：随机变量即在一定区间内变量取值为有限个或可数个。例如某地区某年人口的出生数、死亡数，某药治疗某病病人的有效数、无效数等。离散型随机变量通常依据概率质量函数分类，主要分为：伯努利随机变量、二项随机变量、几何随机变量和泊松随机变量。

数学期望和方差公式有：DX=E(X)^2-(EX)^2；EX=1/P，DX=p^2/q；EX=np，DX=np(1-p)等等。对于2项分布(例子：在n次试验中有K次成功，每次成功概率为P，其分布列求数学期望和方差)有EX=np，DX=np(1-p)。n为试验次数 p为成功的概率。对于几何分布(每次试验成功概率为P，一直试验到成功为止)有EX=1/P，DX=p^2/q。还有任何分布列都通用的。DX=E(X)^2-(EX)^2。在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。高中数学期望与方差公式应用：1）随机炒股。随机炒股也就是闭着眼睛在股市中挑一只股票，并且假设止损和止盈线都为10%，因为是随机选股，那么胜率=败率，由于印花税、佣金和手续费的存在，胜率=败率<50%，最后的数学期望一定为负，可见随机炒股，长期的后果，必输无疑。2）趋势炒股。趋势炒股是建立在惯性理论上的，胜率跟经验有很大关系，基本上平均胜率可以假定为60%，则败率为40%，一般趋势投资者本着赚点就跑，亏了套死不卖的原则，如涨10%止盈，跌50%止损，数学期望为EP=60%*10%-40%*50%=-0.14，必输无疑。

一维离散型E(x)=∞∑i=1(xi pi)，二维离散型E(x)=+∞∑i=1+∞∑j=1(xi pij)

P（X/Y<0）=0.5本题使用正态分布与独立性分析：（x，y）~N（0，0，1，1，0）说明X~N(0,1),Y~N(0,1)且X与Y独立X/Y<0，即X与Y反号所以 P（X/Y<0）=P(X>0,Y<0)+P(X<0,Y>0)=P(X>0)P(Y<0)+P(X<0)P(Y>0)=0.5×0.5+0.5×0.5=0.5二维随机变量( X,Y)的性质不仅与X 、Y 有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系。因此，逐个地来研究X或Y的性质是不够的，还需将（X，Y）作为一个整体来研究。扩展资料：在一定区间内变量取值为有限个或可数个。例如某地区某年人口的出生数、死亡数，某药治疗某病病人的有效数、无效数等。离散型随机变量通常依据概率质量函数分类，主要分为：伯努利随机变量、二项随机变量、几何随机变量和泊松随机变量。随机事件数量化的好处是可以用数学分析的方法来研究随机现象。例如某一时间内公共汽车站等车乘客人数，电话交换台在一定时间内收到的呼叫次数，灯泡的寿命等等，都是随机变量的实例。在实际问题中通常用它来表征多个独立操作的随机试验结果或多种有独立来源的随机因素的概率特性，因此它对于概率统计的应用是十分重要的。参考资料来源：百度百科——二维随机变量

离散型随机变量的方差：D(X) = E{[X - E(X)]^2}=E(X^2) - (EX)^2.(2)。X和X^2都是随机变量，针对于某次随机变量的取值， 例如： 随机变量X服从“0 - 1”：取0概率为q，取1概率为p，p+q=1 则： 对于随即变量X的期望 E(X) = 0*q + 1*p = p 同样对于随即变量X^2的期望 E(X^2) = 0^2 * q + 1^2 * p = p。离散型随机变量的概率分布基本性质：对于集合{xn,n=1,2,……}中的任何一个子集A,事件“X在A中取值”即“X∈A”的概率为：P{X∈A}=∑Pn特别的，如果一个试验所包含的事件只有两个，其概率分布为：P{X=x1}=p(0<p<1)，P{X=x2}=1-p=q。这种分布称为两点分布。 如果x1=1,x2=0,有P{X=1}=p，P{X=0}=q。这时称X服从参数为p的0-1分布，它是离散型随机变量分布中最简单的一种。由于是数学家伯努利最先研究发现的，为了纪念他，我们也把服从这种分布的试验叫伯努利试验。习惯上，把伯努利的一种结果称为“成功”，另一种称为“失败”。

离散型随机变量的方差：D(X) = E{[X - E(X)]^2}.(1)=E(X^2) - (EX)^2.(2)（1）式是方差的离差表示法。（2）式表示：方差 = X^2的期望 - X的期望的平方。概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。统计中的方差（样本方差）是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数。在许多实际问题中，研究方差即偏离程度有着重要意义。方差统计方差在统计描述和概率分布中各有不同的定义，并有不同的公式，在统计描述中，方差用来计算每一个变量（观察值）与总体均数之间的差异。为避免出现离均差总和为零，离均差平方和受样本含量的影响，统计学采用平均离均差平方和来描述变量的变异程度。

期望是0， y= (x-u) /标准差 得出的变量是标准化的变量， 均值为0，方差为1

随机变量的期望存在,则方差不一定存在. 比如一个随机变量X 取1的概率为 1/2 取2的概率为 1/4 ... 取n的概率为1/2^n . 比如一个随机变量X 取1的概率为 1/2 取2的概率为 1/4 ... 取n的概率为1/2^n .

由题意可知：E[min（X+Y，1）]=∫10dx∫1-x0(x+y)dy+∫10(x+y)dx∫11-xdy=∫1013(x+y)3.1-x0dx+∫1012(x+y)2.11-xdx=∫1013(1-x3)dx+∫1012[(x+1)2-1]dx=1112

期望：X服从泊松分布，因而它的数学期望就是λ，那么根据数学定理可知，随机变量的函数的数学期望就是F（EX），所以COS(πX)的数学期望就是COS（πλ）。离散型随机变量的方差：D(X) = E{[X - E(X)]^2}；（1）=E(X^2) - (EX)^2；（2），（1）式是方差的离差表示，,如果不懂，可以记忆（2）式，（2）式表示：方差 = X^2的期望 - X的期望的平方。X和X^2都是随机变量，针对于某次随机变量的取值， 方差在统计描述和概率分布中各有不同的定义，并有不同的公式。在统计描述中，方差用来计算每一个变量（观察值）与总体均数之间的差异。为避免出现离均差总和为零，离均差平方和受样本含量的影响，统计学采用平均离均差平方和来描述变量的变异程度。

定义：设连续型随机变量 [公式] 的概率密度函数为 [公式] ,如果 [公式] ,则称： [公式] 为 [公式] 的数学期望，简称期望。如果 [公式] 是实变量的实值函数，并且 [公式] ,则可以证明(需要较深的数学知识)： [公式] .笔者感到疑惑，到底需要什么较深的数学知识？先自己尝试一下证明，看会遇到哪些困难吧。令： [公式] , [公式] 的概率密度函数为 [公式] .则根据定义： [公式] ,因此只需证明 ：[公式]。但是这是困难的，因此寻找 [公式]并非易事。这时候老师提示，可以先考虑一些特殊情况来做一些形式推导。比如说，先考虑 [公式] 单调递增且可导的情况：设 [公式] 的分布函数为 [公式] ,则根据定义 :[公式](利用单调增可逆成功将 [公式] 转化为 [公式] 此时： [公式] )因此： [公式] 根据复合函数求导的链式法则上式即： [公式] .证毕。然而，这仅仅是一小类函数，对于一般的可导函数，在老师的提示下，我发现也可以通过划分区间的方法，将函数分成若干个单调区域来处理，划分区间，自然和积分的定义联系上了。[公式] 其中： [公式][公式][公式] [公式][公式][公式][公式][公式]至此，在 [公式] 可导的情况下我们证明了 [公式] 成立。

值乘以对应概率。。。再相加。。。。。

随机变量的概念为：是对随机试验结果的抽象描述。随机变量是概率论与数理统计学中的重要概念之一，在现实生活中，人们常常会遇到一些涉及随机性的事件，例如掷骰子的点数、购物车中的商品数量、恰好发生次数等等，这些事件的结果是不可预测的，但是可以通过概率分布描述这些随机变量与特定事件结果之间的概率关系。随机变量可以分为离散型和连续型两种。离散型随机变量的值有限，或者是可数的，例如掷骰子的点数，出现的结果只可能是1、2、3、4、5、6中的一项；连续型的随机变量则是可以取到无限多的值，例如一个人的身高、体重等等。随机变量可以由其概率分布来描述。离散型随机变量的概率分布通常表示为概率质量函数，或称为概率分布列；连续型随机变量的概率分布通常表示为概率密度函数。概率分布反映了随机变量取某个值或某个值区间的可能性大小。随机变量的应用价值：1、 随机变量在金融衍生品定价中的应用。金融衍生品价值的变动与随机变量的数学概率密切相关，例如期权的价格变动、股票市场的波动以及期货商品价格的变动等。基于对随机变量特性的了解，金融市场中的投资者可以进行相应的投资决策，降低投资风险。2、随机变量在质量控制中的应用。许多产品的质量与生产过程中的随机变量相关，例如材料强度、电器元件的电阻值、钢板的硬度等。通过对随机变量的分析，可以建立相应的质量控制模型，对产品质量进行调节和优化，提高产品市场竞争力。3、随机变量在医学研究中的应用。医学研究中许多指标值都具有随机性，例如病人的血压、身高、体重等。通过对这些随机变量的统计分析，可以发现病人的群体特点、疾病的发展趋势等，从而为医生提供更好的治疗方案和预防措施，维护病人的健康。

数学期望是概率论早期发展中就已产生的一个概念。当时研究的概率问题大多与赌博有关。假如某人在一局赌博中面临如下的情况：在总共m＋n种等可能出现的结果中,有m种结果可赢得α,其余n种结果可赢得b), 则就是他在该局赌博中所能期望的收入。数学期望的这种初始形式早在1657年即由荷兰数学家C.惠更斯明确提出。它是简单算术平均的一种推广。 设x为离散型随机变量，它取值x0，x1,…的概率分别为p1,p2,…,则当级数时，定义它的期望为。这里之所以要求级数绝对收敛，是因为作为期望的这种平均，不应当依赖于求和的次序。若x 为连续型随机变量，其密度函数为p（x），则当积分时,定义它的期望为。在一般场合，设x是概率空间(Ω,F,p)上的随机变量，其分布函数为F(x),则当时,定义x的期望为 式中是斯蒂尔杰斯积分;或是随机变量x 在Ω上对概率测度p的积分。然而,并非所有的随机变量都具有期望。 随机变量的期望,有下列性质:E(x＋Y)=Ex＋EY；若把常数α看作随机变量,则Eα=α；若x≥0,则Ex≥0;若x与Y独立,则E(XY)＝Ex·EY;若随机变量x1,x2,…,xn有联合分布函数F(x1,x2,…,xn),则对一类n元函数06(x1,x2,…,xn)（称为可积的n元波莱尔可测函数，它包括所有可积的初等函数和连续函数），有 若Z＝x＋iY为复随机变量,则定义其数学期望为EZ=Ex＋iEY。 上述数学期望的概念也可推广至随机向量的情形。一个随机向量的数学期望(EX定义为以其各分量xj的数学期望为分量的向量，即，也称为X的均值向量。它也具有一般期望所具有的类似性质。

连续型随机变量的数学期望就是xf(x)在R上的积分,f(x)为密度函数几种特殊的连续性的随机变量:1.均匀分布f(x)=1/(b-a) a<x<b Or f(x)=0 x=其他Ex=(a+b)/22.指数分布f(x)=r*e^(-rx) x>0 or f(x)=0 x=其他Ex=1/r3.正态分布f(x)=(1/δ(2*pi)^(1/2))*e^(-((x-μ)^2)/2δ^2)密度函数很复杂，很不清的话可以去网上再查，因为这里打不出公式的样子Ex=μ

第10题的题目就已经不符合吃鸡规律。1.原点在哪？地图中心？2.就算原点是地图中心，不能用正态分布，正态分布是离中心越远概率越小，可是地图以原点为圆心，画出的圆越大，说明面积越大，所以概率越高，所以不能用正态分布。

E（Y）=0 也不行

数学期望是度量随机变量取值平均水平的数字特征，我们首先引入离散型随机变量数学期望的概念．离散型随机变量数学期望的定义.设离散型随机变量ξ的概率分布为P(ξ=xk)=pk(k=1,2,…)如果级数收敛，则称为随机变量ξ的数学期望，记为E(ξ)，当级数不收敛时，则称随机变量ξ的数学期望不存在．显然，数学期望由概率分布唯一确定，以后我们也称之为某概率分布的数学期望．

随机变量的意思就是这个变量是随机的，可以是任何变量，所以需要考虑各种情况，在每一种情况都符合。

一个人知道自己为什么而活，就可以忍受任何一种生活

∫f（x）dxdy=C∫【0，2】（ax+1）dx=（a/2*x^2+x）|【0，2】=1，a=-1/2F（x）=∫【0，x】f（x）dy=（a/2*x^2+x）|【0，x】=-/4*x^2+x；F（x）=0，x<=0，F（x）=1，x>=1P｛1<x<3｝=∫【1，2】f（x）dx=（-1/4*x^2+x）|【1，2】=1/4对f（x）=ax+2积分，得0.5ax^2+2x，把上下限0与1代入得，F（x）=0.5a+2=1，a=-2对xf（x）=ax^2+2x积分，得1/3*ax^3+x^2把上下限0与1代入得，E（x）=1/3*a+1＝1/3，也得a=-2E（x）=∫（-∞，+∞）xf（x）dx=0D（x）=E（x^2）-（E（x））^2=E（x^2）=∫（-∞，+∞）x^2f（x）dx=2∫（0，+∞）x^2f（x）dx=∫（0，+∞）x^2e^（-x）dx=-x^2e^（-x）︱（0，+∞）-2∫（0，+∞）xe^（-x）dx=2∫（0，+∞）e^（-x）dx=2扩展资料：随机变量表示随机试验各种结果的实值单值函数。随机投掷一枚硬币，可能的结果有正面朝上，反面朝上两种，若定义X为投掷一枚硬币时朝上的面 ，则X为一随机变量。当正面朝上时，X取值1;当反面朝上时，X取值0。又如，掷一颗骰子，它的所有可能结果是出现1点、2点、3点、4点、5点和6点 ，若定义X为掷一颗骰子时出现的点数，则X为一随机变量。出现1，2，3，4，5，6点时X分别取值1，2，3，4，5，6。以掷一颗骰子的随机试验为例，它的所有可能结果见，共6个，分别记作ω1，ω2，ω3，ω4，ω5，ω6。即Ω={ω1，ω2，ω3，ω4，ω5，ω6}。而出现的点数这个随机变量x，就是Ω上的函数x（ωk）=k，k=1，2，…，6。

在之前的文章中，整理了一系列资产配置模型，有马科维茨均值方差模型、风险平价模型、风险预算模型和BL模型，本文对另一资产配置模型进行详细介绍，算是对之前文章的一个补充。此模型为熵池模型，是应用熵池理论进行资产配置。其是BL模型的泛化，懂得BL模型的推导，可以很容易理解熵池模型。 BL模型是使用贝叶斯收缩的思想，其过程是：将市场均衡收益的概率分布当成先验分布，将投资观点分布当成条件分布，使用贝叶斯公式，获得后验分布，反解配置权重。 在这个过程中会有两个问题，其一观点必须是线性的收益观点，且BL模型不能考虑观点的相关性，其二先验分布只能是市场均衡点收益的的先验分布，市场均衡点一般情况不存在，且模型拘泥于收益分布，不能使用风险或者其他指标分布。 基于以上存在的问题，提出了BL模型的泛化模型---熵池模型。 熵池模型是使用熵池理论进行资产配置，其过程是：先找一个已知先验分布的参考模型，在再满足观点规则的空间里面找一个与先验分布相对熵最小的分布生成后验分布。最后通过先验分布和后验分布的池化得出资产的价格分布，根据资产的价格分布，再结合相应的约束和优化问题，反解出配置权重。 下面从香农熵开始，一点一点进行详细介绍。 在通信领域，对于一个信息所含得信息量，进行数学量化是见很难得事情，香农引入了香农熵得概念，彻底解决了这一问题，香农引入的这一概念，不光可以解决信息中含有信息量得量化问题，还可以计算在数据和信息压缩时的临界值，而且在数学和机器学习领域，这一概念还可以衡量随机变量，随机变量越不确定，起熵值越大。 也是因为上面所说的最后一个用途，导致这一概念在数学和机器学习领域大放光彩。 香农在推导香农熵表达式时，先描述了如下性质，认为所要得到的量，必须满足以下性质： 单调性，即发生概率越高的事件，其所携带的信息熵越低。极端案例就是“太阳从东方升起”，因为为确定事件，所以不携带任何信息量。从信息论的角度，认为这句话没有消除任何不确定性。 非负性，即信息熵不能为负。这个很好理解，因为负的信息，即你得知了某个信息后，却增加了不确定性是不合逻辑的。 累加性，即多独立随机事件同时发生存在的总不确定性的量度是可以表示为各事件不确定性的量度的和。 香农证明了，满足以上三个性质的公式是唯一的，表达式如下：其中C为常数。X为随机变量或者随机事件， 为事件x发生的概率。 当C=1时，H（X）被称为香农熵，单位为bit。 由上面香农熵的概念可得到条件熵U0001d43b(X|Y)的概念，其定义为在给定条件 U0001d44c 下，X 的条件概率分布的熵对 Y 的数学期望：其表示随机变量或者信息Y在已知的条件下，随机变量或者信息X的不确定性。 两个随机变量或者信息之间的相互依赖，可以使用互信息来度量。其定义如下：其中H(X,Y)为联合熵。 互信息的用处非常大，如果我们最大化两个随机事件的互信息，就是最大化两个随机事件的相关性。当两个X=Y时，有：所以在机器学习中，理想情况下，当数据集中数据拟合出的分布和真实分布的互信息最大，可以认为从数据集中拟合出来的随机变量的概率分布与真实分布相同。 香农熵、互信息、条件熵的关系如下图所示： 上面给出的互信息已经可以衡量两个随机变量的分布的差异，但是在机器学习中，更多的使用KL散度（相对熵）来衡量样本分布和真实分布之间的距离，从而不停优化样本分本。 KL散度定义如下：其中p(x)时真实分布，q(x)时样本分布，可以通过不停的训练，使得 越来越小，从而使样本分布更接近真实分布。 对上面KL散度进一步化简，可得：因为H(p(x))仅仅与真实分布有关，所以在机器学习模型的优化时，这个是一个定值。只能优化后面一个部分。 其后面这部分就被称为交叉熵： 最大熵原理是 1957 年由美国统计学家、物理学家E.T.Jaynes 提出的，观点将带来新的信息量，因而后验分布的熵一定小于先验分布，而 满足观点约束的后验分布有无穷多个，“最大熵原理”是指在这些分布中选择熵最大，最具有不确定性的那一个，尽量不加入多余假设和结构。 根据最大熵原理，我们如果对一个先验分布增加信息，得到的后验分布应该时这些后验分布中熵最大的一个，也就是我们加入的信息产生的后验分布应该和原来的先验分布有最小的相对熵。这就是为什么要进行最小化相对熵。 因为熵池模型时BL模型的泛化和推广，所以，我们先回顾以下BL模型的推导。 BL模型里面,先假设市场均衡收益服从如下分布:构造观点收益分布为：根据BL模型的推导,使用贝叶斯收缩,得到,最后的收益分布为:上面正态分布均值为： 上面正态分布方差为：由 可以反解出配置权重.相信推导过程可参考<<金融模型——资产配置模型>> 我们仿照上面BL模型的过程，推导熵池模型． 这里是分成五步： 所谓的参考模型就是风险因子X的先验联合分布，可以用概率密度函数来表示：其中 是一种分布的概率密度函数。 可以看到，原始的BL模型中，第一步是确定均衡收益的正态分布，熵池模型不需要限定在均衡收益上，可以是任意的风险因子X，而且这个X不需要服从正态分布，可以是任何分布。 这里一定要注意，我们由风险因子X一定可以通过一种方式求出资产配置的权重W。因为我们最后要求的就是W。理解这个地方也是理解整个模型最困难的地方，熵池模型用到的先验分布和后验分布不是资产配置的权重分布，我们如果要求得所需要的资产配置权重，要根据熵池模型用到的先验分布或者后验分布再另外引入优化算法，求解其最优配置权重。 一般由风险因子X分布确定权重的方法是构造以 为自变量的满意度函数，也就是效用函数S。使的效用函数最大化，反解W。 即：其中C为资产配置权重解空间。这就是上面所说的另外引入的求解资产配置权重的优化算法。 由上面的参考模型，我们已经可以反解配置权重了，但是观点信息没有考虑进去，这里采用的是熵池理论，最小化相对熵算法，将观点信息加入到分布中。 最小化相对熵算法是贝叶斯收缩的泛化形式，为了更好泛化，这里的风险因子可以看成是原始风险因子X的一个函数g(X)，则g(x)也是一个随机变量，其也服从已知的参考模型的分布 。 即：我们在V上添加观点信息。让其满足观点，那么我们的分布 就会被更新成 ，记：我们如果把第一步中满意度函数S中的 替换成 ，那么我们使用最优化算法，也可以反解出配置权重W. 但是，我们不能直接替换 ,因为， 我们不知道，或者说，满足条件的 太多了。 那我们如何挑选一个最合适的 呢，我们挑选的 要满足两点，一是X必须满足观点信息，二是X仅仅 满足观点信息，不能夹杂任何其他多余的信息。 如何选取满足条件的 ， 刚刚好就是最大熵原理，我们只需要最小化 与 的相对熵，就可以找到最有的 。 即：其中 为分布 与分布 的相对熵。 这里可以证明BL模型所用的贝叶斯收缩是最小化相对熵算法的一种特例。 这样，我们就把观点信息引入到配置模型中，而且从推到的过程我们看到，此观点没有做任何的限制，可以是风险的观点，可以是收益的观点，可以是非线性的观点，比起BL模型的现象观点已经做了很大的泛化。具体观点的引入形式，在第五小结--各类型观点融入讲解。 而且，因为使用了最大熵原理，添加的观点信息如果是有效的，那么模型得到的分布的熵一定是递减的，添加的观点信息如果是无效的，得到的分布的熵一定是不变的。这一点比BL模型好多了，BL模型即使无效的信息，后验分布的熵也会变小。 熵池模型比起BL模型多一步，就是池化的一步，所谓池化，就是根据对观点信息的信心程度，对参考模型和加了观点的优化模型做一个加权处理。 即：若存在着多个不同信心的观点，也可通过对100%信心的后验分布进行信心加权的方式进行融合，比如假设有S名专家分别对各自的U0001d488(U0001d47f)输入了他们的观点，那么我们可以得到S个 100%信心后验分布 。最终后验分布即为：至此，熵池模型的推导结束。整个熵池模型的示意图如下： 截止第4步，熵池模型的推导是结束了，但是我们只得到了风险因子在观点下的后验分布，并没有得到我们想要的资产配置权重。我们可以根据风险因子在观点下的后验分布，可以得到资产价格的分布，另外引入优化模型（一般是构造效用函数），确定其资产配置权重。 上面的推导中可以看出，熵池模型比BL模型灵活的一点是，观点的类型很多，这一节，我们分别看看个类型的观点如何融入到模型中。 对于融入的观点类型包括：均值、中位数、分位数、Var值、波动率、协方差、相关系数、尾部相关性、CVaR、边缘分布、联合分布、Copula等。 对于融入的观点形式包括：等式、不等式、排序等。 均值观点可以表达为：这里的k代表第k个证券。 是观点里面对第k个证券给定的值， 是风险因子X的的函数 . 其展开形式为：其中J为历史界面样本个数， 为资产k,历史上在第j期因子v的权重, 同上。 对于n-分为数的观点:其中 为分布的n-分为数。 定义排序函数s(i)为风险因子中低i小的持续统计量。即 的T期值从小到大排序，低i个值对应的下标。 定义序号合集：则n-分为数的观点可表达为：对于资产排序的观点：其中E为取期望，这里不一定是期望，可以是任意的函数，K是资产数量。 可以进行如下表达：其他的观点形式不一一推到，可以证明，所有的观点都可以表述成一下模式：其中 就是我们想要得到的后验分布。a,b为观点给的信息。 上面所有的内容都是关于一些熵池模型的理论知识，下面给出熵池模型在实际应用时如何求解，并且给出一个实际的例子。 在求解BL模型时，可以通过数学推导，解出模型的解析解，但是在熵池模型里面，我们很难得到解析解，但是比较好的是，熵池模型的数值解非常简洁。 下面我们就给出熵池模型的数值解。注意再强调一次，这里的解还是得到的后验概率，不是资产配置的权重，资产配置的权重需要用后验概率另外建模求解。 首先我们对K个需要配置的资产，选取J个历史区间，统计每个历史区间上每个资产的风险因子X（或者是风险因子的函数V=g(X)），假设风险因子有M个，则 我们就形成了一个JXM的矩阵。此矩阵的每一行代表一个历史区间，此矩阵的每一列代表一个风险因子的边缘分布。 这里如果我们知道每个风险因子X的联合分布，我们不用去历史上截取J个区间，我们直接可以使用蒙特卡洛模拟法在这个联合分布里面采样。 由定价公式，我们认为风险因子X和t期的观点信息 可以确定t+1期的资产价格 ，即：其中Price为一个函数。 根据定价公式，我们可以把上面矩阵的每一行加上对应当期的观点信息，映射成一个下一期的资产价格，因为资产有K个，所以可以把上面矩阵映射成一个JXK的矩阵。其矩阵的每一行还是一个历史区间，其矩阵的每一类代表一个资产。矩阵中元素为资产价格。 我们最终的目标其实是利用定价公式，求出资产的价格，这里我们构建参考模型，假设我们预测的下一期资产的价格是历史每期价格的加权平均，即：其中k是第k个资产，J样本历史总区间数, 是第j个区间上价格的权重（概率）， 为第k个资产在第j个样本区间上的价格。 那么 就是我们的初始参考模型。这一参考模型一般认为是等权，即 等权意义就是，在没有任何观点信息的时候，我们认为当前价格应该等于历史每一期价格的均值。 由上面的论述，所有的观点都可以表述成一下模式：其中，A为一个矩阵， 为需要求的带有观点的后验分布， 所以，我们只需要求解以下优化问题即可。 承接上面论述，我们需要解决以下优化问题。这是典型的凸优化问题，使用拉格朗日乘数法，将其转换为拉格朗日对偶问题，可轻松解决，相信推导查看本人SVM的相关文章。 同SVM一样，转化成拉格朗日对偶问题后，问题回变得很简洁，不论J取多大，要求的阐述和J的惯性都不大，计算量也不会增加。 根据观点信息的信心程度，确定c,代入池化公式。我们知道了最后的概率分布，这一概率分布是历史价格的一个权重，我们根据历史价格和这一概率分布，可以算出资产的价格，同理我们可以算出资产的收益率和风险。其计算方法就是马科维茨均值方差的计算方法。 我们得到每一个资产的价格分布，从而我们可以计算出每一个资产的收益、风险、var之类的指标，从而引入其他优化问题，解出资产配置的权重。 熵池模型作为BL模型的泛化，与其他均值方差模型相比，有以下有点： 1、 可融合几乎任意形式的观点（线性与非线性、等式与非等式）； 2、 可对任意分布进行观点融合； 3、 可以幂集映射的方式融入观点间的相关性； 4、 观点的影响具有整体性，会对相关资产做全局调整； 5、 利用最大熵原理避免不必要的假设和结构； 6、 情景表达法下无需重定价，计算速度更快。 熵池模型作为新兴的一种资产配置模型，正在慢慢的普及，相信在未来会更加大众化。

在概率论和统计学中，一个离散性随机变量的期望值（或数学期望、或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。换句话说，期望值是随机试验在同样的机会下重复多次的结果计算出的等同“期望”的平均值。需要注意的是，期望值并不一定等同于常识中的“期望”——“期望值”也许与每一个结果都不相等。（换句话说，期望值是该变量输出值的平均数。期望值并不一定包含于变量的输出值集合里。）

求解方法：代入公式。在[a,b]上的均匀分数。期望：EX=∫{从-a积到a} xf(x) dx。=∫{从-a积到a} x/2a dx。=x^2/4a |{上a,下-a}。=0。E(X^2)=∫{从-a积到a} (x^2)*f(x) dx。=∫{从-a积到a} x^2/2a dx。=x^3/6a |{上a,下-a}。=(a^2)/3。在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。需要注意的是，期望值并不一定等同于常识中的“期望”——“期望值”也许与每一个结果都不相等。期望值是该变量输出值的平均数。期望值并不一定包含于变量的输出值集合里。大数定律规定，随着重复次数接近无穷大，数值的算术平均值几乎肯定地收敛于期望值。总结如下：离散型随机变量与连续型随机变量都是由随机变量取值范围(取值)确定。变量取值只能取离散型的自然数，就是离散型随机变量。例如，一次掷20个硬币，k个硬币正面朝上，k是随机变量。k的取值只能是自然数0，1，2，…，20，而不能取小数3.5、无理数，因而k是离散型随机变量。

如图所示：因为，(X，Y)是二维离散型随机变量。所以，xy也是离散型随机变量。先求出xy的概率分布列。再求xy的期望：比如 P(x＝0)＝1/2，P(x＝1)＝1/2 P(y＝0)＝1/2，P(y＝1)＝1/2 则，P(xy＝0)＝3/4 P(xy＝1)＝1/4 所以，E(XY)＝0×(3/4)＋1×(1/4)＝1/4。当随机变量的可取值全体为一离散集时称其为离散型随机变量，否则称其为非离散型随机变量，这是很大的一个类，其中有一类是极其常见的，随机变量的取值为一(n)维连续空间。计算方法：随机变量即在一定区间内变量取值为有限个或可数个。例如某地区某年人口的出生数、死亡数，某药治疗某病病人的有效数、无效数等。离散型随机变量通常依据概率质量函数分类，主要分为：伯努利随机变量、二项随机变量、几何随机变量和泊松随机变量。

　　随机变量的期望存在，则方差不一定存在。 比如一个随机变量X 取1的概率为 1/2 取2的概率为 1/4 。 取n的概率为1/2^n 。 比如一个随机变量X 取1的概率为 1/2 取2的概率为 1/4 。 取n的概率为1/2^n 。

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高二的时候，要先学习排列组合、 概率

利用二项分布的期望与方差间接计算。经济数学团队帮你解答。请及时评价。谢谢！

如何检验工具变量的外生性 - 百度知道1个回答回答时间：2020年5月13日最佳回答：检验：使用工具变量法的前提是存在内生解释变量。Hausman 检验的原假设为：所有解释变量均为外生变量，如果拒绝，则认为存在内生解释...百度知道ue63cstata检验外生性,stata内生变量 - 天道酬勤 - 花开半夏第一阶段分离出内生变量的外生部分,第二阶段使用该外生部分进行回归。

不可以表示事件类中的所有事件。随机变量的本质是函数，是事件域到实数域的映射。举个例子，投硬币实验，X代表硬币正反面情况，用X表示随机事件。结果情况是，X：正面朝上，X：反面朝上。这是用人类语言描述。用数学语言描述，令X=1代表正面朝上，X=0代表反面朝上，当然还可以用X=1代表反面朝上，X=2代表正面朝上，只要能区别这两种情况就行。基本类型简单地说，随机变量是指随机事件的数量表现。例如一批注入某种毒物的动物，在一定时间内死亡的只数；某地若干名男性健康成人中，每人血红蛋白量的测定值；等等。另有一些现象并不直接表现为数量，例如人口的男女性别、试验结果的阳性或阴性等，但我们可以规定男性为1，女性为0，则非数量标志也可以用数量来表示。以上内容参考：百度百科-随机变量

彩票注数应该和组合数学中的组合数或排列数有关，和积分微分等没有关系

上周我学习了随机变量的分布的后半部分内容，包含了随机变量的密度函数和分布函数，两种重要的连续型随机变量（均匀分布和指数分布），正态分布，以及随机变量函数的分布。 密度函数就是随机变量在取某一个值时的概率；而分布函数是随机变量小于某个值的概率。密度函数是分布函数的导数；分布函数是密度函数从负无穷到正无穷的积分，随机变量取负无穷时为0，取正无穷时为1；分布函数是一个分段函数，但是却是连续的，即两段函数在边界处的取值相等。 均匀分布和指数分布是两种比较重要的连续型随机变量，在题目中一般会给出参数，只需将参数代入定义式中按照一般连续型随机变量的解法求解即可。 正态分布是自然界中最常见的一种分布，举个简单的例子，我们将一把小球顺着木板斜面从同一个点让其下滑，在下方放置均匀的三角形板钉，最后让小球落入下方的一个一个平行于斜面的凹槽，最后小球的位置所形成的包络线就近似于正态分布的曲线。 在有关求解正态分布的分布函数的题目时，由于正态分布的密度函数积分计算过于复杂，我们常常将它转换为标准正态分布函数，然后查表进行求解。转换的方法是，若在一般正态函数中，该随机变量的值为x，则在标准正态分布中，它将转换为(x-μ)/σ。一下是一个具体的例子：随机变量函数的分布并不算这一章的难点。如果原随机变量x为离散型随机变量，那么只需要将x代入y关于x的表达式计算出y的值，然后对应原来x的概率，就可以求得y的分布律；如果x为连续型随机变量，那么先写出y的分布函数，通过定义解出x的范围，再积分即可。这么说可能有点抽象，那么下面我们用一个具体的例子来解释这种方法：以上就是本周学习的内容，下面附上思维导图： 在下周，我将进行多维随机变量的学习。

随机事件,是指的一个事件,一件事情,如一次实验,要求是其结果是随机的,可以有很多种,如掷骰子有六种结果,但投之前是不可以确定的.而随机变量用来表示随机事件的一种结果或几种结果的集合,如A表示投掷的结果是1,B表示投掷的结果为1或2,等等,总之,随机变量是结果的集合的子集,包括全集

随机变量（random variable）：简单的随机现象，如某班一天学生出勤人数，是静态的。 随机过程（stochastic process）：随机现象的动态变化过程。动态的。如某一时期各个时刻的状态。所谓过程就是事物的发展变化过程，尽管过程的形式各异，但归纳起来不外乎两种：一种是确定性的，一种是随机性的。 所谓确定性过程，就是指事物的发展有必然的变化规律，用数学语言来说，就是事物变化的过程可以用一个（或几个）时间t的确定的函数来描述。可重复性。如自由落体。 所谓随机过程，就是说现象的变化没有确定形式，没有必然的变化规律。用数学语言来说，就是事物变化的过程不能用一个（或几个）时间t的确定的函数来描述。不可重复性。也就是说，如果对事物变化的全过程进行一次观测得到一次观察结果是一个时间t的函数，但对同一事物的变化过程独立地重复进行多次观测所得的结果是不相同的。 如果对于每一特定的t属于T（T是时间集合），X(t)是一个随机变量，则称这一族无穷多个随机变量{X(t),t属于T}是一个随机过程。 对于随机过程{X(t)}，如果是由一个不相关的随机变量的序列构成的，即对所有s不等于t，随机变量Xs和Xt的协方差均为0，则称其为纯随机过程。对于一个纯随机过程来说，若其期望和方差均为常数，则称之为白噪声过程（White noise） 所谓平稳过程就是其统计特性不随时间的平移而变化的过程。

离散型随机变量的的期望也就是离散型随机变量的均值的是为了表达一个随机变量取值的中间水平，随机变量的方差刻画了随机变量取值的离散程度。由于它们反映了随机变量取值的平均水平及稳定性，所以随机变量的均值和方差在市场预测等其他方面有着重要的应用。离散型随机变量的期望公式：离散型随机变量X的取值为X1、X2、X3……Xn，p（X1）、p（X2）、p（X3）……p（Xn）、为X对应取值的概率，可理解为数据X1、X2、X3……Xn出现的频率高f（Xi）。则E（X）=X1*p（X1）+X2**p（X2）+……+Xn**p（Xn）= X1*f1（X1）+X2*f2（X2）+……+Xn*fn（Xn）。离散型随机变量的方差公式：D（X）=E{[X-E（X）]^2}=E（X^2）-（EX）^2。常见的分布的方差和期望：1、均匀分布：期望是（a+b）/2，方差是（b-a）的平方/12。2、二项分布：期望是np，方差是npq。3、泊松分布：期望是p，方差是p。4、指数分布：期望是1/p，方差是1/（p的平方）。5、正态分布：期望是u，方差是&的平方。6、X服从参数为p的0-1分布，则E（X）=p，d（X）=p（1-p）。

研究随机变量的数字特征可以总体上掌握随机变量某一侧面的性质,如期望表征随机变量的取值水平即平均数,方差表征随机变量取值的分散或集中程度.

1 对 2错 3错 4错 5错

分布函数就像是一个人的全身像，而数字特征就像是一个人的局部特写。如果说一个随机变量的分布函数（累计分布或概率密度分布）是对该随机变量最完整，最具体的描述，那么随机变量的数字特征就是对该随机变量的部分特征的描述。很多情况下，可能由于数据不完整或是采集数据的代价过高，我们只能得到一个随机变量的部分信息而无法得到具体的分布函数。这个时候，我们可以根据有限的数据，利用该随机变量的某些数字特征对其进行局部的研究。这样的研究，虽然无法从根本上解决数据有限的问题，但还是可以让我们对所研究的随机变量有一个概括的认识，了解它的一些基本性质。最常见的数字特征只要包括以下几种。数学期望。方差。矩。协方差和相关系数。前面三个数字特征都是单个随机变量自身的特征，第四个数字特征则用来表示两个随机变量之间的关系。其他数字特征还有中位数，众数等。

随机变量独立的充要条件：对于连续型随机变量有：F(X,Y)=FX(X)FY(Y),f(x,y)=fx(x)fy(y)；对于离散型随机变量有：P(AB)=P(A)P(B)概率为P 设X,Y两随机变量，密度函数分别为q(x),r(y), 分布函数为G(x), H(y),联合密度为p(x,y)，联合分布函数F(x,y), A,B为西格玛代数中的任意两个事件。常用的证明方法有三种：1 证明P(X∈A, Y∈B)=P(X∈A)P(Y∈B)2 证明 p(x,y)=q(x)r(y)3 证明 F(x,y)=G(x)H(y)随机变量独立的充要条件：对于连续型随机变量有：F(X，Y)=FX(X)FY(Y)，f(x，y)=fx(x)fy(y)；对于离散型随机变量有：P(AB)=P(A)P(B)设两个变量为X、Y，对应的事件为A、B(1)当X、Y均服从0、1分布，即X={1，A发生；0，A不发生}；Y={1，A发生；0，A不发生}；写出X、Y、XY的分布列，因为X、Y不相关，则cov(X,Y)=EXY-EXEY=P(AB)-P(A)P(B)=0，推出P(AB)=P(A)P(B)，所以X、Y相互独立(2)若为其他分布，则不能推出另外若X、Y为二维正态分布，则不相关等价于独立仅供参考整体独立，部分当然独立。概率论中两个随机变量的函数的分布_ …… 》 你对x求积分了,出来的公式中不会有x了,上下限怎么可能会有x……对x积分,是横坐标上积分,x=z-y,所以下限是0,上线是z-y,可以重新去看一下微积分里二重积分怎么算的概率论,两个随机变量的函数分布_ …… 》 E(X1-2X2) =E(X1)-2E(X2) =0 D(X1-2X2) =D(X1)+4D(X2) =4+16 =20 X1-2X2~N(0,20)概率论两个随机变量的函数分布x服从标准正态分布,y的概率分布为p{y=0}=p{y=1}=0.5记F(z)为随机变量Z=xy的分布函数,则函数F(z)间断求间断点个数_作业帮 …… 》 没有间断点,否则如果有那么在间断点Z0处P(Z=Z0)=P>0,这与X是连续随机变量矛盾.

高中时简单介绍过。大学时详细学习过。

函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限： 函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质

(l)频率的概念。频率是指某一数值随机变量出现的次数与全部系列随机变量总数的比值,用符号P表示,以百分比(％)作单位。频率是随机变量出现的机会,例如P=1％,表示平均每100年会出现一次;P=5％，表示平均每l00年会出现5次,或平均每20年会出现一次。(2)重现期的概念。随机变量出现频率的另一种表达方式是重现期，即通常所讲“多少年一遇”。重现期用T表示，水文分析所用的单位是“年”。(3)重现期与频率的关系。重现期与频串的关系可用下式表示。①当所分析的对象是最大洪峰流量或最大24h降水量等，它们出现的频率小于50％时，则重现期为:T=1/P(年)②当所分析的对象是较小的枯水流量，其频率一般大于50％、则重现期为：T=1/(1-P)(年)应当注意的是，所谓重现期为百年一遇，是指在很长的时间内，平均每逢一百年会出现一次，而不是说刚好在一百年出现一次，事实上在一百年内可能遇到好几次，也可能一次也遇不到。

2 满足，即θ＞α，则物体所受动力大于阻力，物体就会运动。 （2）竖直面和斜面内的自锁现象 如图3紧靠在竖直墙壁上的物体，在适当大的外力作用下，可以保持静止。当外力大到重力可以忽略，无论用斜向上的力，还是用斜向下的力，发生自锁的条件与理论力学自锁的理解（不利用二力平衡），如图物体