向量

向量a=(x1，y1)，向量b=(x2，y2)，若向量a与向量b平行，则平行公式为x1y2=x2y1；若向量a与向量b垂直，则垂直公式为x1x2+y1y2=0。在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。与向量对应的量叫做数量（物理学中称标量），数量（或标量）只有大小，没有方向。扩展资料：几何向量的概念在线性代数中经由抽象化，得到更一般的向量概念。此处向量定义为向量空间的元素，要注意这些抽象意义上的向量不一定以数对表示，大小和方向的概念亦不一定适用。因此，平日阅读时需按照语境来区分文中所说的"向量"是哪一种概念。不过，依然可以找出一个向量空间的基来设置坐标系，也可以透过选取恰当的定义，在向量空间上介定范数和内积，这允许我们把抽象意义上的向量类比为具体的几何向量。

向量a=(x1，y1)，向量b=(x2，y2)，若向量a与向量b平行，则平行公式为x1y2=x2y1；若向量a与向量b垂直，则垂直公式为x1x2+y1y2=0。减法AB-AC=CB，这种计算法则叫做向量减法的三角形法则，简记为：共起点、连终点、指被减。-(-a)=a；a+(-a)=(-a)+a=0；a-b=a+(-b)。数乘实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa。当λ>0时，λa的方向和a的方向相同，当λ<0时，λa的方向和a的方向相反，当λ = 0时，λa=0。用坐标表示的情况下有：λAB=λ(x2-x1,y2-y1)=(λx2-λx1,λy2-λy1)。

两个向量a,b平行：a=λb （b不是零向量）；两个向量垂直：数量积为0,即　ab=0坐标表示：a=(x1,y1),b=(x2,y2)a//b当且仅当x1y2-x2y1=0a⊥b当且仅当x1x2+y1y2=0扩展资料向量垂直证线面垂直：设直线l是与α内相交直线a，b都垂直的直线，求证：l⊥α证明：设a，b，l的方向向量为a，b，l∵a与b相交，即a，b不共线∴由平面向量基本定理可知，α内任意一个向量c都可以写成c= λa+ μb的形式∵l⊥a，l⊥b∴l·a=0，l·b=0l·c=l·（λa+ μb）=λl·a+ μl·b=0+0=0∴l⊥c设c是α内任一直线c的方向向量，则有l⊥c根据c的任意性，l与α内任一直线都垂直。

向量a垂直b 向量a*向量b=0 向量a=（x1,y1）向量b=(x2,y2) 向量a垂直b,则 x1x2+y1y2=0

向量a平行向量b的公式和垂直公式分别为：两个向量a,b平行：a=λb （b不是零向量）；两个向量垂直：数量积为0,即　a•b=0，坐标表示：a=(x1,y1),b=(x2,y2)，a//b当且仅当x1y2-x2y1=0，a⊥b当且仅当x1x2+y1y2=0。向量的垂直公式为：a⊥b的充要条件是a·b=0，即(x1x2+y1y2)=0 。共线定理为：若b≠0，则a//b的充要条件是存在唯一实数λ，使。若设a=(x1,y1)，b=(x2,y2) ，则有，与平行概念相同。平行于任何向量。扩展资料1、重心判断式：在△ABC中，若，则G为△ABC的重心。2、垂心判断式：在△ABC中，若，则H为△ABC的垂心。3、内心判断式：在△ABC中，若，且，则I为△ABC的内心。4、外心判断式：在△ABC中，若，则O为△ABC的外心此时O满足。5、向量定比分点坐标公式：设、是直线上的两点，P是直线上不同于、的任意一点。则存在一个任意实数且，使，叫做点P分有向线段所成的比。参考资料：百度百科—向量

向量垂直，平行的公式为：若a，b是两个向量：a＝（x，y）b＝（m，n）；则a⊥b的充要条件是a·b=0，即(xm+yn)=0；向量平行的公式为：a//b→a×b=xn-ym=0；向量，最初被应用于物理学。很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量。大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到。“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段。最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿。从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系。向量能够进入数学并得到发展，首先应从复数的几何表示谈起。18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数a+bi（a,b为有理数，且不同时等于0），并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算。把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题。人们逐步接受了复数，也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样平静地进入了数学中。

特征向量特征向量的几何意义，确实有一个非常明确的几何意义矩阵（特征向量的问题，因为讨论，当然是方形的，这里不讨论广义特征向量的概念，一般特征向量）乘以一个向量具有相同维数的向量，矩阵乘法对应于一个转换时，到另一个向量具有相同维数的向量，那么变换的效果是什么呢？，当然，正方形的结构密切相关，例如，可以采取二维正方，使这一转变的效果是在平面上逆时针旋转30度的二维矢量，那么我们可以问一个问题，有没有在这个变换的矢量的方向不会改变？可以考虑一下，除了零矢量，是不改变方向的情况下，没有其他向量可以旋转30度，在平坦的表面，所以该变换矩阵对应的（或化装）的特征向量（注意：特征向量不能是零向量）变换的特征向量是一个向量，它是不变的，但这个特殊的转型后保持方向和长度拉伸（然后想想的原始定义的特征向量组Ax=CX，你突然意识到见Cx为方阵A变换向量x后的结果，但很明显相同的方向CXx），x是特征向量，斧头的特征向量（一个标量不包括零），因此，所谓的特征矢量不是一个向量，而是一个向量族此外，特征值简单地反映在变换它的倍数的膨胀和收缩的特征向量，特征向量表示的方向，变换是很重要的价值，其特征在于，还没有如此重要，虽然我们问这两个量，首先找到的特征值，特征向量是更重要的事情！/>/>如平面上的转换，将一个矢量在水平轴线上的镜面对称的，相同的横坐标保持一个向量，但变换中的垂直轴的相反数，这代表一个矩阵[100-1]，分号包装，很显然，[00-1]*[AB]=[AB]"，其中上标"转置，这是正是我们想要的效果，你现在可以猜测，矩阵的特征向量是什么？想什么向量在这个变换，改变方向，很明显的是，在此变换向量在水平轴线上，改变的方向（表示为活在这个变换是镜像对称变换，反射镜表面（水平轴）的矢量，当然，这并不改变），所以你能猜到它的特征向量是（一）[0]"，以及其他？即，载体的纵向轴线，则变换后，其方向反向，但它仍然是同一轴线上，它被认为是方向不发生变化，所以并[b]"（b是不为0），特征向量，求矩阵特征向量[10;0-1]知道吧！ZZquentan博客

迷惑很久，终于想通。 其实是一种数据的处理方法，可以简化数据。矩阵乘特征向量就是在其方向的投影。这点类似于向量点积既是投影。 通过求特征值和向量，把矩阵数据投影在一个正交的空间，而且投影的大小就是特征值。这样就直观体现了数据的基本特征。 最大特征值并不是说数据在所有方向的投影的最大值，而仅限于正交空间的某一方向。 有没有其他的正交空间，一般矩阵，满足满秩，只有一个这样的空间。 会不会有更好的空间来体现数据的特征，一般来说，正交空间就很好，不排除特殊应用需要非正交的空间，可能会更好。

线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。特征值是线性代数中的一个重要概念。在数学、物理学、化学、计算机等领域有着广泛的应用。数学上，线性变换的特征向量（本征向量）是一个非退化的向量，其方向在该变换下不变。该向量在此变换下缩放的比例称为其特征值（本征值）。一个线性变换通常可以由其特征值和特征向量完全描述。特征空间是相同特征值的特征向量的集合。设a为n阶矩阵，根据关系式ax=λx，可写出(λe-a)x=0，继而写出特征多项式|λe-a|=0，可求出矩阵a有n个特征值（包括重特征值）。将求出的特征值λi代入原特征多项式，求解方程(λie-a)x=0，所求解向量x就是对应的特征值λi的特征向量。

：对于矩阵A在特征值λ下的特征向量即为（λE-A）X=0的基础解系，因此显然也是线性无关的

使用数学软件求解矩阵的特征值与特征向量，具体运算过程如下：

设矩阵A的特征值为λ，那么|A-λE|=3-λ -1 12 -λ 11 -1 2-λ r2-r1=3-λ -1 1λ-1 1-λ 01 -1 2-λ c1+c2=2-λ -1 10 1-λ 00 -1 2-λ 按第一列展开=(2-λ)^2 (1-λ)=0于是特征值λ=1，2，2那么在λ=1时，A-E=2 -1 12 -1 11 -1 1 r1-r2,r2-r3~0 0 01 0 01 -1 1 r3-r2,r3*-1，交换行次序~1 0 00 1 -10 0 0得到特征向量(0,1,1)^Tλ=2时，A-2E=1 -1 12 -2 11 -1 0 r1-r3,r2-2r3~0 0 10 0 11 -1 0 r1-r2，交换行次序~1 -1 00 0 10 0 0得到特征向量(1,1,0)^T

解答如下图：

特征值与特征向量之间关系：1、属于不同特征值的特征向量一定线性无关。2、相似矩阵有相同的特征多项式，因而有相同的特征值。3、设x是矩阵a的属于特征值1的特征向量，且a~b，即存在满秩矩阵p使b=p(-1)ap，则y=p(-1)x是矩阵b的属于特征值1的特征向量。4、n阶矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是：矩阵有n个线性无关的分别属于特征值1，2，3...的特征向量（1，2，3...中可以有相同的值）。特征值是线性代数中的一个重要概念。在数学、物理学、化学、计算机等领域有着广泛的应用。设A是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得Ax=mx成立。扩展资料：求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：第一步：计算的特征多项式；第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组。若是的属于的特征向量，则也是对应于的特征向量，因而特征向量不能由特征值惟一确定．反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值。特征空间就是由所有有着相同特征值的特征向量组成的空间，还包括零向量，但要注意零向量本身不是特征向量。线性变换的主特征向量是最大特征值对应的特征向量。特征值的几何重次是相应特征空间的维数。有限维向量空间上的一个线性变换的谱是其所有特征值的集合。参考资料来源：搜狗百科——特征值参考资料来源：搜狗百科——特征向量

特征根：特征根法也可用于通过数列的递推公式（即差分方程，必须为线性）求通项公式，其本质与微分方程相同。 称为二阶齐次线性差分方程：  加权的特征方程。特征向量：A为n阶矩阵，若数λ和n维非0列向量x满足Ax=λx，那么数λ称为A的特征值，x称为A的对应于特征值λ的特征向量。式Ax=λx也可写成( A-λE)x=0，并且|λE-A|叫做A 的特征多项式。当特征多项式等于0的时候，称为A的特征方程，特征方程是一个齐次线性方程组，求解特征值的过程其实就是求解特征方程的解。令|A-λE|=0，求出λ值。A是n阶矩阵，Ax=λx，则x为特征向量，λ为特征值。一旦找到两两互不相同的特征值λ，相应的特征向量可以通过求解方程(A – λI) v = 0 得到，其中v为待求特征向量，I为单位阵。当特征值出现重根时，如λ1=λ2，此时，特征向量v1的求解方法为(A-λ1I)v1=0，v2为(A-λ2I)v2=v1，依次递推。没有实特征值的一个矩阵的例子是顺时针旋转90度。扩展资料：矩阵的特征向量是矩阵理论上的重要概念之一，它有着广泛的应用。数学上，线性变换的特征向量（本征向量）是一个非简并的向量，其方向在该变换下不变。该向量在此变换下缩放的比例称为其特征值（本征值）。一个线性变换通常可以由其特征值和特征向量完全描述。特征空间是相同特征值的特征向量的集合。“特征”一词来自德语的eigen。1904年希尔伯特首先在这个意义下使用了这个词，更早亥尔姆霍尔兹也在相关意义下使用过该词。eigen一词可翻译为”自身的”、“特定于……的”、“有特征的”、或者“个体的”，这显示了特征值对于定义特定的线性变换的重要性。从数学上看，如果向量v与变换A满足Av=λv，则称向量v是变换A的一个特征向量，λ是相应的特征值。这一等式被称作“特征值方程”。假设它是一个线性变换，那么v可以由其所在向量空间的一组基表示为：其中vi是向量在基向量上的投影（即坐标），这里假设向量空间为n 维。由此，可以直接以坐标向量表示。利用基向量，线性变换也可以用一个简单的矩阵乘法表示。上述的特征值方程可以表示为：但是，有时候用矩阵形式写下特征值方程是不自然甚或不可能的。例如在向量空间是无穷维的时候，上述的弦的情况就是一例。取决于变换和它所作用的空间的性质，有时将特征值方程表示为一组微分方程更好。若是一个微分算子，其特征向量通常称为该微分算子的特征函数。例如，微分本身是一个线性变换因为（若M和N是可微函数，而a和b是常数）考虑对于时间t的微分。其特征函数满足如下特征值方程：其中λ是该函数所对应的特征值。这样一个时间的函数，如果λ = 0，它就不变，如果λ为正，它就按比例增长，如果λ是负的，它就按比例衰减。例如，理想化的兔子的总数在兔子更多的地方繁殖更快，从而满足一个正λ的特征值方程。特征根法是数学中解常系数线性微分方程的一种通用方法。特征根法也可用于通过数列的递推公式（即差分方程，必须为线性）求通项公式，其本质与微分方程相同。例如 称为二阶齐次线性差分方程： 加权的特征方程。参考资料：百度百科-特征根法 百度百科-特征向量

特征值与特征向量之间关系：1、属于不同特征值的特征向量一定线性无关。2、相似矩阵有相同的特征多项式，因而有相同的特征值。3、设x是矩阵a的属于特征值1的特征向量，且a~b，即存在满秩矩阵p使b=p(-1)ap，则y=p(-1)x是矩阵b的属于特征值1的特征向量。4、n阶矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是：矩阵有n个线性无关的分别属于特征值1，2，3...的特征向量（1，2，3...中可以有相同的值）。特征值是线性代数中的一个重要概念。在数学、物理学、化学、计算机等领域有着广泛的应用。设A是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得Ax=mx成立。扩展资料：求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：第一步：计算的特征多项式；第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组。若是的属于的特征向量，则也是对应于的特征向量，因而特征向量不能由特征值惟一确定．反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值。特征空间就是由所有有着相同特征值的特征向量组成的空间，还包括零向量，但要注意零向量本身不是特征向量。线性变换的主特征向量是最大特征值对应的特征向量。特征值的几何重次是相应特征空间的维数。有限维向量空间上的一个线性变换的谱是其所有特征值的集合。参考资料来源：搜狗百科——特征值参考资料来源：搜狗百科——特征向量

这个问题太深沉了T^T

只说定义吧[意义，太重要。用途，太多。几句话说不清，不说了！]n阶方阵a,行列式|λe-a|[e是n阶单位矩阵，λ是变量。这是λ的n次多项式，首项系数是1]叫做a的特征多项式，[f（λ）＝|λe-a|].f（λ）＝0的根（n个），都叫a的特征值。如果λ0是a的一个特征值，|λ0e-a|＝0，（λ0e-a）为降秩矩阵，线性方程组（λ0e-a）x＝0[x＝（x1,x2,……xn）′是未知的n维列向量]必有非零解，每个非零解就叫矩阵a的关于特征值λ0的一个特征向量。[特征方法是线性代数的核心内容之一，也是其他很多数学分支的重要内容，可要认真对待了！]

特征值与特征向量之间关系：1、属于不同特征值的特征向量一定线性无关。2、相似矩阵有相同的特征多项式，因而有相同的特征值。3、设x是矩阵a的属于特征值1的特征向量，且a~b，即存在满秩矩阵p使b=p(-1)ap，则y=p(-1)x是矩阵b的属于特征值1的特征向量。4、n阶矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是：矩阵有n个线性无关的分别属于特征值1，2，3...的特征向量（1，2，3...中可以有相同的值）。特征值是线性代数中的一个重要概念。在数学、物理学、化学、计算机等领域有着广泛的应用。设A是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得Ax=mx成立。扩展资料：求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：第一步：计算的特征多项式；第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组。若是的属于的特征向量，则也是对应于的特征向量，因而特征向量不能由特征值惟一确定．反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值。特征空间就是由所有有着相同特征值的特征向量组成的空间，还包括零向量，但要注意零向量本身不是特征向量。线性变换的主特征向量是最大特征值对应的特征向量。特征值的几何重次是相应特征空间的维数。有限维向量空间上的一个线性变换的谱是其所有特征值的集合。参考资料来源：搜狗百科——特征值参考资料来源：搜狗百科——特征向量

一个特征值只能有一个特征向量，（非重根）又一个重根，那么有可能有两个线性无关的特征向量，也有可能没有两个线性无关的特征向量（只有一个）。不可能多于两个。如果有两个，则可对角化，如果只有一个，不能对角化；矩阵可对角化的条件：有n个线性无关的特征向量；这里不同的特征值，对应线性无关的特征向量。重点分析重根情况，n重根如果有n个线性无关的特征向量，则也可对角化。特征值和特征向量数学概念若σ是线性空间V的线性变换，σ对V中某非零向量x的作用是伸缩：σ（x）=aζ，则称x是σ的属于a的特征向量，a称为σ的特征值。位似变换σk（即对V中所有a，有σk（a）=kα）使V中非零向量均为特征向量，它们同属特征值k；而旋转角θ（0<θ<π）的变换没有特征向量。可以通过矩阵表示求线性变换的特征值、特征向量。以上内容参考：百度百科-特征值和特征向量

特征值用来求特征向量，特征向量和特征值可以确定矩阵AX=0的解的一组基。总之，他们就是用来求方程组的解的

首先：不同特征值的特征向量是线性无关的其次，假设特征值s1,s2对应特征向量x1,x2A(x1+x2)=s1x1 + s2x2如果x1+x2时特征向量，则必然存在一个实数s满足A(x1+x2)=s(x1+x2)但是s1 x1 + s2 x2 = s(x1+x2)是不可能存在的，所以肯定不是

矩阵的秩与特征向量的个数的关系:特征值的个数等于矩阵的秩,特征向量的个数至少等于矩阵的秩,(即大于等于矩阵的秩),小于等于矩阵的阶数,等于阶数时,矩阵可相似化为对角矩阵,小于矩阵的阶数时,矩阵可以相似化为对应的约旦标准形。数学[英语：mathematics，源自古希腊语μθημα（máthēma）；经常被缩写为math或maths]，是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科。数学是人类对事物的抽象结构与模式进行严格描述的一种通用手段，可以应用于现实世界的任何问题，所有的数学对象本质上都是人为定义的。从这个意义上，数学属于形式科学，而不是自然科学。不同的数学家和哲学家对数学的确切范围和定义有一系列的看法。在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，同时也是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。数学起源于人类早期的生产活动，古巴比伦人从远古时代开始已经积累了一定的数学知识，并能应用实际问题。从数学本身看，他们的数学知识也只是观察和经验所得，没有综合结论和证明，但也要充分肯定他们对数学所做出的贡献。基础数学的知识与运用是个人与团体生活中不可或缺的一部分。其基本概念的精炼早在古埃及、美索不达米亚及古印度内的古代数学文本内便可观见。从那时开始，其发展便持续不断地有小幅度的进展。但当时的代数学和几何学长久以来仍处于独立的状态。

ααT为一个n维列向量乘一个n维行向量，得到一个n维方阵。这个方阵的每两行肯定都是线性相关的，因为都是列向量中的一个元素，依次乘行向量中的元素，作为对应位置的值。或者可以算一下，如图所示，得到的n维矩阵对应的行列式，每行提出对应的公因子，得到一个每行元素都相同的行列式，即秩为1.当然也可以这么想，R(AB)≤min(R(A),R(B))，因为A和B为列向量和行向量，R=1，所以R(AB)最大为1，又R(AB)明显不是0，所以R(AB)=1.

因为n阶对称矩阵必可对角化，对角化的条件就是有n个线性无关的特征向量，因此实对称矩阵特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等。一个线性变换通常可以由其特征值和特征向量完全描述。特征空间是相同特征值的特征向量的集合。特征空间就是由所有有着相同特征值的特征向量组成的空间，还包括零向量，但要注意零向量本身不是特征向量。线性变换的主特征向量是最大特征值对应的特征向量。第一性质：线性变换的特征向量是指在变换下方向不变，或者简单地乘以一个缩放因子的非零向量。特征向量对应的特征值是它所乘的那个缩放因子。特征空间就是由所有有着相同特征值的特征向量组成的空间，还包括零向量，但要注意零向量本身不是特征向量。线性变换的主特征向量是最大特征值对应的特征向量。特征值的几何重次是相应特征空间的维数。有限维向量空间上的一个线性变换的谱是其所有特征值的集合。例如，三维空间中的旋转变换的特征向量是沿着旋转轴的一个向量，相应的特征值是1，相应的特征空间包含所有和该轴平行的向量。该特征空间是一个一维空间，因而特征值1的几何重次是1。特征值1是旋转变换的谱中唯一的实特征值。

Ea=a，因为 A 特征值为 入0，所以 A^-1 有特征值 1/入0，因此 A^-1 a = (1/入0)a，合在一起，就是(E-A^-1)a = Ea - A^-1 a = a - (1/入0)a = (1-1/入0)a。

这个问题你可以作为一道证明题来做：证明不同特征值对应的特征向量线型无关.设x1,x2是A的两个不同的特征值；n1,n2分别为其对应的特征向量.设存在实数k1.k2使得k1*n1+k2*n2=0;易证不同特征值对应的特征向量线型无关.还可以从特征值和特征向量的定义式看：An1=x1*n1;An2=x2*n2A为矩阵；x1,x2为特征值；n1,n2为其对应的特征向量若n2与n1线性相关,则n2=b*n1带入An2=x2*n2得到：b*An1=b*x1*n1;也即An1=x1*n1得到特征值x2的存在是没有意义的,或者说是和x1相等的.与已知他们是两个不同的特征值是矛盾的.所以：n2与n1线性相关的假设是错误的

特征值与特征向量之间关系：1、属于不同特征值的特征向量一定线性无关。2、相似矩阵有相同的特征多项式，因而有相同的特征值。3、设x是矩阵a的属于特征值1的特征向量，且a~b，即存在满秩矩阵p使b=p(-1)ap，则y=p(-1)x是矩阵b的属于特征值1的特征向量。4、n阶矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是：矩阵有n个线性无关的分别属于特征值1，2，3…的特征向量（1，2，3…中可以有相同的值）。特征值是线性代数中的一个重要概念。在数学、物理学、化学、计算机等领域有着广泛的应用。设A是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得Ax=mx成立。意义：从线性空间的角度看，在一个定义了内积的线性空间里，对一个N阶对称方阵进行特征分解，就是产生了该空间的N个标准正交基，然后把矩阵投影到这N个基上。N个特征向量就是N个标准正交基，而特征值的模则代表矩阵在每个基上的投影长度。特征值越大，说明矩阵在对应的特征向量上的方差越大，功率越大，信息量越多。应用到最优化中，意思就是对于R的二次型，自变量在这个方向上变化的时候，对函数值的影响最大，也就是该方向上的方向导数最大。

特征值是线性代数中的一个重要概念，在数学、物理学、化学、计算机等领域有着广泛的应用。矩阵的特征向量是矩阵理论上的重要概念之一，它有着广泛的应用。数学上，线性变换的特征向量（本征向量）是一个非简并的向量，其方向在该变换下不变。该向量在此变换下缩放的比例称为其特征值（本征值）。相关信息：一个线性变换通常可以由其特征值和特征向量完全描述。特征空间是相同特征值的特征向量的集合。“特征”一词来自德语的eigen。1904年希尔伯特首先在这个意义下使用了这个词，更早亥尔姆霍尔兹也在相关意义下使用过该词。eigen一词可翻译为”自身的”、“特定于……的”、“有特征的”、或者“个体的”，这显示了特征值对于定义特定的线性变换的重要性。

特征值和特征向量是数学概念。若σ是线性空间V的线性变换，σ对V中某非零向量x的作用是伸缩：σ（x）=aζ，则称x是σ的属于a的特征向量，a称为σ的特征值。位似变换σk（即对V中所有a，有σk（a）=kα）使V中非零向量均为特征向量，它们同属特征值k；而旋转角θ（0<θ<π）的变换没有特征向量。可以通过矩阵表示求线性变换的特征值、特征向量。注意：求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：第一步：计算的特征多项式。第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值。第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组。的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量是，（其中是不全为零的任意实数）。

定义：设 是数域P上线性空间V的一个线性变换,若对于 ,存在一个非零向量 ,使 则称 为 的一个特征值, 称为 的属于特征值 的一个特征向量 注： 1.特征向量的方向经过线性变换后保持在同一直线上 2.特征向量不是被特征值唯一确定的,若 是线性变换 的属于特征值 的特征向量,则 的任一非零倍数 也是 的属于 的特征向量3.特征值被特征向量唯一确定,一个特征向量只能属于一个特征值 求法： 设V是数域P上n维线性空间, 是一组基,线性变换 在这组基下的矩阵是A,设 是特征值,它的一个特征向量 在 下的坐标为 ,则 的坐标为 , 的坐标为 故 相当于坐标之间的等式 或 即特征向量 的坐标 满足齐次方程组即 ,故它的坐标 不全为零,即齐次方程组有非零解 故 定义：设A是数域P上一n级矩阵, 是一个文字,矩阵 的行列式称为A的特征多项式,是数域P上的一个n次多项式 注：若 是线性变换 的特征值,则 是矩阵A的特征多项式的一个根,反之,若 是矩阵A的特征多项式在数域P中的一个根,即 ,则对应齐次方程组有非零解,若 是方程组的一个非零解,则非零向量 满足 即 是线性变换 的一个特征值, 是数域特征值 的一个特征向量 确定线性变换 的特征值与特征向量： 1.在线性空间V中取一组基 ,写出 在这组基下的矩阵A 2.求出A的特征多项式 在数域P中全部的根,即 的全部特征值 3.将所求得的特征值逐个代入方程组,对每个特征值,解方程组,求出一组基础解系,即属于这个特征值的几个线性无关的特征向量在基 下的坐标,求出属于每个特征值的全部线性无关的特征向量 例： 1.n维线性空间中,数乘变换 在任一组基下的矩阵都是 ,它的特征多项式为 故数乘变换 的特征值只有k 由定义,每个非零向量都是属于数乘变换 的特征向量 2.设线性变换 在基 下的矩阵是 求 的特征值与特征向量 特征多项式为 故特征值为 (二重)和5 把特征值-1代入齐次方程组 可得 基础解系为 故属于-1的两个线性无关的特征向量为 属于-1的全部特征向量为 , 取遍数域P中不全为零的全部数对 再将特征值5代入得 基础解系为 故属于5的一个线性无关的特征向量为 属于5的全部特征向量为 ,k是P中任意不为零的数 3.在空间 中,线性变换 在基 下的矩阵为的特征多项式为故D的特征值为0 通过解相应齐次线性方程组可知,属于特征值0的线性无关的特征向量组只能是任一非零常数 即微商为零的多项式只能是零或非零常数 4.平面上全体向量构成实数域上一个二维线性空间 选择 在直角坐标系下的矩阵为 特征多项式为 当 时,多项式无实根,故 时, 没有特征值 对线性变换 的任一特征值 ,适合条件 的向量 所成的集合,即 的属于 的全部特征向量再添上零向量所成的集合,是V的一个子空间,称为 的一个特征子空间,记作 注： 的维数是属于 的线性无关的特征向量的最大个数, 展开式中,有一项是主对角线上元素的连乘积 其余各项至多包含 个主对角线上的元素,对 的次数最多是 故特征多项式中含 的n次与n-1次项只能在主对角线上元素的连乘积中出现 为 令 ,可得常数项 故若只写出特征多项式的前两项与常数项,有 若 在数域P上能分解为一次因式的乘积,由根与系数的关系,A的全体特征值的和为 ,称为 的迹,记作 ,A的全体特征值的积为 注：特征值被线性变换确定,在有限维空间中,任取一组基,特征值为线性变换在这组基下矩阵的特征多项式的根,基不同则线性变换的矩阵一般也不同,但是相似 定理：相似的矩阵有相同的特征多项式 证明：注： 1.定理说明线性变换的矩阵的特征多项式与基的选择无关,直接被线性变换决定,故可称为线性变换的特征多项式 2.定理的逆不成立,特征多项式相同的矩阵不一定相似 如 它们的特征多项式都是 ,但A和B不相似,和A相似的矩阵只能是A 定理：设A是数域P上一个 矩阵, 是A的特征多项式,则证明：推论：设 是有限维空间V的线性变换, 是 的特征多项式,则

从定义出发，Ax=cx：A为矩阵，c为特征值，x为特征向量。 矩阵A乘以x表示，对向量x进行一次转换（旋转或拉伸）（是一种线性转换），而该转换的效果为常数c乘以向量x（即只进行拉伸）。 通常求特征值和特征向量即为求出该矩阵能使哪些向量（当然是特征向量）只发生拉伸，使其发生拉伸的程度如何（特征值大小）。扩展资料：数值计算的原则：在实践中，大型矩阵的特征值无法通过特征多项式计算，计算该多项式本身相当费资源，而精确的“符号式”的根对于高次的多项式来说很难计算和表达：阿贝尔－鲁费尼定理显示高次（5次或更高）多项式的根无法用n次方根来简单表达。对于估算多项式的根的有效算法是有的，但特征值的小误差可以导致特征向量的巨大误差。求特征多项式的零点，即特征值的一般算法，是迭代法。最简单的方法是幂法：取一个随机向量v，然后计算一系列单位向量。

不是一一对应 若 α 是 A 的属于特征值 λ 的特征向量, 则 kα (k≠0) 也是 A 的属于特征值 λ 的特征向量特征向量只能属于一个特征值而特征值有无穷多特征向量

|uE-A|=u^n-(u11+...+unn)u^n-1+...+(-1)^n|A|=（u-u1)(u-u2)...(u-u3)n-1项的系数就为-u1-....-un常数项为u1u2...un所以，由根与系数的关系可知，A的特征值的和为u11+...unn，积为|A|

属于不同特征值的向量分别有无数个，但你随便分别挑两个都是线性无关的。而属于同一个特征值的向量同样有无数个，并不是每两个都线性无关。你要去解它的基础解系到底有几个线性无关的向量。例如二阶单位阵E的特征值1有无穷多个特征向量，其中任意三个以上的特征向量都是线性相关的；但是，特征向量(1,0)^T与(0,1)^T是线性无关的，而任何单独一个特征向量也是线性无关的。特征向量的基本信息：数学上，线性变换的特征向量(本征向量)是一个非简并的向量，其方向在该变换下不变。该向量在此变换下缩放的比例称为其特征值(本征值)。一个线性变换通常可以由其特征值和特征向量完全描述。特征空间是相同特征值的特征向量的集合。"特征"一词来自德语的eigen。1904年希尔伯特首先在这个意义下使用了这个词，更早亥尔姆霍尔兹也在相关意义下使用过该词。eigen一词可翻译为"自身的"、"特定于……的"、"有特征的"、或者"个体的"。这显示了特征值对于定义特定的线性变换有多重要。

单位向量都相等，单位向量指的就算模为1的向量，而模就是向量的大小。所以所有的单位向量的大小都是1个单位长，都一样。这是单位向量的定义规定的。不同的坐标系，不同的单位长度，那么就没得比了。单位向量是指模等于1的向量。由于是非零向量，单位向量具有确定的方向。单位向量有无数个。一个非零向量除以它的模，可得所需单位向量。一个单位向量的平面直角坐标系上的坐标表示可以是：(n，k) ，则有n2+k2=1。求一个已知向量方向上的单位向量：向量a方向上的单位向量等于向量a除以自己的模。所以先求出向量a的模，再用向量a的坐标除以a的模“根号5”。注：实数和向量的积的坐标等于这个实数与向量相应坐标的积。求与一个向量平行的单位向量：与一个非零向量平行的单位向量有两个，一个与自己方向相同，另一个与自己方向相反，这两个单位向量是相反向量，故只需先求出a方向上的单位向量，这个单位向量以及其相反向量就是向量b。

单位列向量是指向量模长等于1，并不是所有元素都是1

本题用数形结合来做，3a+4b+5c=0即为封闭直角三角形可得到几个夹角的度数，在解决答案为3/5

1、单位向量都相等，单位向量指的就算模为1的向量，而模就是向量的大小。所以所有的单位向量的大小都是1个单位长，都一样。这是单位向量的定义规定的。不同的坐标系，不同的单位长度，那么就没得比了。 2、单位向量是指模等于1的向量。由于是非零向量，单位向量具有确定的方向。单位向量有无数个。 3、一个非零向量除以它的模，可得所需单位向量。一个单位向量的平面直角坐标系上的坐标表示可以是：(n，k) ，则有n2+k2=1。

这个向量的模。任何向量都有两个重要因素，一个是大小，一个是方向。单位向量大小为1，方向为原来向量的方向，原来的那个向量除以它的模便是一个大小为1，方向和原来向量方向相同的向量，即原来的那个向量的单位向量。

如果e被定义为单位向量，你说的是它的模的话，那就是1.

我只知道单位向量等于一

模长为1的向量称抄为单位向袭量～若a是单位向量，则|百a|=1a*a=|a|*|a|*cos0°=1*1*1=1又a*a=(i,j)*(i,j)=i²+j²所以度i²+j²=1

向量是矢量，既有大小又有方向。

cuo, 单位向量的方向是正的，而此时的向量可以正负

（1,0,0,0）这种,所谓单位向量,就是向量的模是1

单位向量的概念，模等于1

向量是有方向的，单位向量是某个向量的单位，也是有方向的，向量的差是要考虑方向的

向量的模怎么求1.向量的模的概念 所谓的向量的模就是指向量的大小或者说长度。2.向量的模的运算法则在线性代数中，向量的模通常用在向量两边各加两条竖线的方式表示，如||v||，表示向量v的模。3. 标准化向量对于许多向量，我们不需要关注它的大小只需要关心它的方向，这种情况下使用单位向量将会非常方便。单位向量就是大小为1的向量，单位向量也被称为标准化向量。 对于任意非零向量v，都能计算出一个和v方向相同的单位向量n，这个过程被称作为向量的“标准化”，要标准化向量，将向量除以它的大小（模）即可。

当A可逆时, 若 λ是A的特征值, α 是A的属于特征值λ的特征向量；则 |A| / λ 是 A*的特征值, α 仍是A*的属于特征值 |A| / λ 的特征向量。设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式Ax=λx成立，那么这样的数λ称为矩阵A特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。式Ax=λx也可写成( A-λE)X=0。这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式| A-λE|=0。设A是数域P上的一个n阶矩阵，λ是一个未知量，称为A的特征多项式，记¦(λ)=|λE-A|，是一个P上的关于λ的n次多项式，E是单位矩阵。¦(λ)=|λE-A|=λ+a1λ+…+an= 0是一个n次代数方程，称为A的特征方程。特征方程¦(λ)=|λE-A|=0的根(如：λ0)称为A的特征根(或特征值)。n次代数方程在复数域内有且仅有n个根，而在实数域内不一定有根，因此特征根的多少和有无，不仅与A有关，与数域P也有关。以A的特征值λ0代入(λE-A)X=θ，得方程组(λ0E-A)X=θ，是一个齐次方程组，称为A的关于λ0的特征方程组。因为|λ0E-A|=0，(λ0E-A)X=θ必存在非零解  ，  称为A的属于λ0的特征向量。所有λ0的特征向量全体构成了λ0的特征向量空间。 扩展资料：性质1：n阶方阵A=(aij)的所有特征根为λ1，λ2，…,λn(包括重根)，则：性质2：若λ是可逆阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则1/λ 是A的逆的一个特征根，x仍为对应的特征向量。性质3：若 λ是方阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则λ 的m次方是A的m次方的一个特征根，x仍为对应的特征向量。性质4：设λ1，λ2，…,λm是方阵A的互不相同的特征值。xj是属于λi的特征向量( i=1,2,…,m)，则x1,x2,…,xm线性无关，即不相同特征值的特征向量线性无关。如将特征值的取值扩展到复数领域，则一个广义特征值有如下形式：Aν=λBν其中A和B为矩阵。其广义特征值（第二种意义）λ 可以通过求解方程(A-λB)ν=0，得到det(A-λB)=0（其中det即行列式）构成形如A-λB的矩阵的集合。其中特征值中存在的复数项，称为一个“丛(pencil)”。若B可逆，则原关系式可以写作  ，也即标准的特征值问题。当B为非可逆矩阵（无法进行逆变换）时，广义特征值问题应该以其原始表述来求解。如果A和B是实对称矩阵，则特征值为实数。这在上面的第二种等价关系式表述中并不明显，因为  A矩阵未必是对称的。参考资料：百度百科——矩阵特征值

不都相等。大小（即向量的模）都相等为1，但是方向可能是同向也可能是反向，所以不一定相等。

i或j上面带个箭头。

(1，0)和((根号2)/2,((根号2)/2)都是单位向量,两者有啥区别?(1，0)特殊在哪?在坐标系中，这些都是某些点的坐标，当它表示向量的时候，就是连接原点到这个点的向量。很容易知道向量的模都是1，但是方向是不一样的。这就是区别。你最好吧向量和坐标系结合起来学习。关于一维，二维，三维，曾有人说这是从点到面 到三维空间的变化。我觉得楼上说的挺对的，一维的是没有意义的，它不能表示什么。

LOUSHANG

单位向量就是模为1的向量非零单位向量和单位向量一个意思。非零和单位重复了。

单位向量

基向量的长度是”1”，是你用来描述长度的基础单位。

αβT= a1b1 a1b2 a1b3 a2b1 a2b2 a2b3 a3b1 a3b2 a3b3 βαT= b1a1 b1a2 b1a3 b2a1 b2a2 b2a3 b3a1 b3a2 b3a3 没有任何迹象表明|αβT+βαT|=0

不相等，不相等，不相等。重要的事情说三遍虽然都等于1，但是方向可以不同上一条回答是错的，错的，错的往下翻翻都是不相等啊！

零向量的方向是任意的；单位向量的模为1，但是不一定相等；零向量的模是0；共线向量又叫平行向量． 因此只有D正确． 故选：D．

单位向量就是模为1的向量 非零单位向量和单位向量一个意思.非零和单位重复了.

先搞清楚概念 单位向量： 长度为1个单位长度的向量. 向量的减法：求两个向量差的运算叫向量的减法,向量减法有三角形法则和平行四边形法则. 向量是有长度和方向的,而单位向量是没有方向的.因此,一般来说,都是求两个向量的差,而不是求两个单位向量的差.如果要问两个单位向量的差是什么数?只能是一个单位向量.

单位向量都相等这个说法是错的。单位向量是他们的模都相等，但是方向不同就不相等。单位向量是指模等于1的向量。由于是非零向量，单位向量具有确定的方向。单位向量有无数个。单位向量的含义单位向量是指模等于1的向量。由于是非零向量，单位向量具有确定的方向。单位向量有无数个。一个非零向量除以它的模，可得所需单位向量。一个单位向量的平面直角坐标系上的坐标表示可以是：(n,k) ，则有n²+k²=1。一个单位向量的平面直角坐标系上的坐标表示可以是：(n,k) ，则有n²+k²=1。其中k/n就是原向量在这个坐标系内的所在直线的斜率。这个向量是它所在直线的一个单位方向向量。不同的单位向量，是指它们的方向不同。对于任意一个非零向量a，与它同方向的单位向量记作 。

当然可以有‘单位"：→→→比如一个向量表示加速度a，它的单位可以是：(m/s^2)，其大小也即a的模：|a|的单位也是：(m/s^2)。

难道1还不是单位？

即单位向量的模为1,

单位向量的摸肯定是1啊！这是规定的！

是的,完全正确,莫为1就是单位向量

单位向量是指模等于1（长度为1）的向量，单位向量因为只有一个向量（不是向量组），所以必为行向量或列向量，秩的意思就是最大线性无关的向量组个数，行/列向量（非0向量）只有一个向量，所以线性无关的向量只有一个。所以秩为1。一个非零向量除以它的模，可得所需单位向量。一个单位向量的平面直角坐标系上的坐标表示可以是：(n,k) ，则有n²+k²=1。对于任意一个非零向量a，与它同方向的单位向量记作  。扩展资料：单位向量说来简单，但是可以总结出一些性质，应用恰当，会给解题带来方便。与单位向量有关的性质如下:（1）单位向量的长度为1个单位，方向不受限制.（2）起点为原点的单位向量，终点分布在单位圆上，常可设为  ，反之亦然。（3）如果AB为非零向量，那么与AB共线的单位向量为 （4）已知角BAC，如果向量  ，那么  是角BAC平分线的方向。矩阵的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵 A的秩。通常表示为 rk(A) 或 rank A。m× n矩阵的秩最大为 m和 n中的较小者。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩；类似的，否则矩阵是秩不足的。参考资料来源：百度百科——单位向量

模等于1的向量就是单位向量向量A的单位向量=A/｜A｜,也就是长度等于一个单位的向量叫单位向量。从定义看，向量A的单位向量与向量A的方向是相同的，是确定的，不是任意的。

单位向量是指模等于1的向量.长度不是1的就不是单位向量了,单位在有些情况下就是一的意思,解应用题不经常说单位一吗,以一为单位,这样简便

单位向量是指模等于1(长度为1)的向量,单位向量因为只有一个向量(不是向量组),所以必为行向量或列向量,秩的意思就是最大线性无关的向量组个数,行/列向量(非0向量)只有一个向量,所以线性无关的向量只有一个

是的，这是课本上规定的

单位向量是指模等于1的向量，所以他们的模都相等。你回到定义就知道了

解：向量没有除法，说明向量a除以向量b是不对的。而一个向量除以它的模等于它的单位向量，在这里是向量a除以|a|，注意|a|是标量，不是向量。

向量的大小是指向量的长度 既然是单位向量,其长度(即模)都等于1

这个有关系吗？首先这里动漫的说其次，你都知道模为1的是单位向量，单位向量只是线段长度的基本，跟方向没关系吧。向量的减法规定是加法逆运算，用三角形法则计算。你指的是数量积运算吧。还是要把基础知识掌握啊/

方向任意。