数列

求数列极限方法如下：1、用夹逼准则求解数列极限夹逼定理是数列极限中非常重要的一种方法, 也是容易出综合题的点, 夹逼定理的核心就是如何对数列进行合理的放缩, 这个点也是夹逼定理使用过程中的难点。适用情形：夹逼定理一般使用在 n 项和式极限中, 函数不易于连续化。夹逼定理的适用情形和用定积分的定义十分相似，需要注意区分，它们的区别是夹逼定理适用的情形是一个分子分母齐次的形式。放缩基本公式:2.、用单调有界准则求极限定理: 单调有界数列必有极限.具体来说,若数列 {xn} 单调增加 (减少)且有上(下) 界M(m) , 则 limn→∞xn 存在，且  limn→∞xn⩽M (或 limn→∞xn⩾m ). 定理同样适用于函数.这个定理是证明数列 (或函数) 极限存在的唯一依据, 一般分为两个步骤, 第一 步证明单调性, 第二步证明有界。3、用数列定义求解数列极限主要运用数列的 ε−N 定义: 对 ∀ε>0,∃N>0 , 使得当 n>N 时, 有 |an−a|<ε , 则称数列 {an} 收敛, 定数a 称为 {an} 的极限。从定义上来看，我们的 ε 是可以任意小的正数, 那 ε/2,3ε 也可以任意小, 这一 点大家要明确。其次, 我们的  N 具有相应性, 一般地, N 随着 ε 的变小而增 大, 也就是 N 依赖于 ε0从几何意义上来讲, 当我的  n 逐渐趋近于无穷时, 我的数列总围绕着 a 在波动, 也就是 对 ∀ε>0, 在我们的 U(a;ε) 领域内有无穷个数。这样就得到了一个 关于数列极限的一 个等价定义: 对 ∀ε>0 , 若在 U(a;ε) 之外数列 an 至多有有限项，那么数列 an 必定收敛于 a 。

我是高数的菜鸟。请问函数的极限和数列的极限有什么区别，清大家说清楚点。函数极限的一般概念：在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于

这波必顶你，高数理解挺到位的。

N=2K时是前提，带入到n=2k-1中求得。

求数列极限的方式如下：1.认识数列极限的定义及性质。即最终数列发展到第无限项的时候，数列的数值是归于一个固定数的。2.了解证明数列极限的基本方法。主要是通过数列的子数列进行证明。3.学习例题，看题干解问题。主要看数列的定义和相关关于数列的题设4.利用定义来证明数列的极限。注意！只能利用定义来进行求取和证明，不可通过性质。5.检查解答过程，发现解题过程中的问题进行修改。保证问题解决！数列极限定义设｛Xn}为实数列，a为定数．若对任给的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时有∣Xn-a∣＜ε则称数列｛Xn}收敛于a，定数a称为数列｛Xn}的极限，并或Xn→a(n→∞）。读作＂当n趋于无穷大时，｛Xn}的极限等于或趋于a"。若数列｛Xn}没有极限，则称｛Xn}不收敛，或称｛Xn}为发散数列。该定义常称为数列极限的ε－N定义。对于收敛数列有以下两个基本性质，即收敛数列的唯一性和有界性。定理1:如果数列｛Xn}收敛，则其极限是唯一的。定理2:如果数列｛Xn}收敛，则其一定是有界的。即对于一切n(n=1,2……），总可以找到一个正数M，使｜Xn|≤M。

1、下面的10中计算极限的方法，可以应付从高中到研究生的所有考试类型；2、其中有关 x 的极限，是适合于函数的极限计算方法；     其中有关 n 的极限，是适合于数列的极限计算方法；3、若有疑问，欢迎追问，有问必答；4、若看不清楚，请点击放大。

数列极限的几何意义是： 1、存在一条水平的直线，这条直线就是渐近线； 2、数列有极限，在几何图形上是无穷多个点； 3、这些点形成了一个趋势，这个趋势就是，这些点向上渐渐趋近于一条水平直线或者向下渐渐趋近于一条水平直线； 4、这条水平线是我们根据趋势自然而然地想象出来的； 5、如果极限值不存在，可能是一条斜渐近线，也可能是竖直渐近线，也可能是无穷个离散的点。

标准的定义课本上有自己看，在此不再敖述，这里给你举个通俗的例子。通俗地说，数列的极限就是这个数列一直持续下去会是多少。比如，数列1，1，1，……一直持续下去始终是1，那么极限就是1；再如数列1/2，1/3，1/4，1/5，……一直持续下去不就快要小到0了吗？于是极限就是0。

重要极限有sinx/x当x趋向于无穷时的极限为1；（1+1/t）^t当t趋向于无穷时的极限为e，其他就是一些常数的极限是本身，1/n当n趋向于无穷时的极限为0。设{xn}为一个无穷实数数列的集合。如果存在实数a，对于任意正数ε （不论其多么小），都N>0，使不等式|xn-a|<ε在n∈（N，+∞）上恒成立，那么就称常数a是数列{xn} 的极限。扩展资料：极限函数在区间（a-ε，a+ε）之外至多只有N个（有限个）点；所有其他的点xN+1，xN+2，...（无限个）都落在该邻域之内。这两个条件缺一不可，如果一个数列能达到这两个要求，则数列收敛于a；而如果一个数列收敛于a，则这两个条件都能满足。如果只知道区间（a-ε，a+ε）之内有{xn}的无数项，不能保证（a-ε，a+ε）之外只有有限项，是无法得出{xn}收敛于a的，在做判断题的时候尤其要注意这一点。

数列极限的求法：1、如果代入后，得到一个具体的数字，就是极限。2、如果代入后，得到的是无穷大，答案就是极限不存在。3、如果代入后，无法确定是具体数或是无穷大，就是不定式类型，4、计算极限，就是计算趋势 tendency。存在条件：单调有界定理 在实数系中，单调有界数列必有极限。致密性定理，任何有界数列必有收敛的子列。计算方法，参考下面图片：拓展资料数列的极限问题是我们学习的一个比较重要的部分，同时，极限的理论也是高等数学的基础之一。数列极限的问题作为微积分的基础概念，其建立与产生对微积分的理论有着重要的意义。极限：解题思路：参考资料：百度百科-数列极限

在n趋于无穷大的时候，(1+1/n)^n就趋于一个无理数，而且这个数在初等数学中是没有出现的，就将其定义为e，而e约等于2.71828，是一个无限不循环小数，为超越数。lim n→0，(1 + 1/n)^n。=e^lim n→0，nln(1+1/n)。=e^lim n→0,1/n*ln(1+1/n)。=(洛)e^lim n→0,1/1+1/n。=e^0。=1。数列极限标准定义：对数列{xn}，若存在常数a，对于任意ε>0，总存在正整数N，使得当n>N时，|xn-a|<ε成立，那么称a是数列{xn}的极限。函数极限标准定义：设函数f(x),|x|大于某一正数时有定义，若存在常数A，对于任意ε>0，总存在正整数X，使得当x>X时，|f(x)-A|<ε成立，那么称A是函数f(x)在无穷大处的极限。设函数f(x)在x0处的某一去心邻域内有定义，若存在常数A，对于任意ε>0，总存在正数δ，使得当|x-xo|<δ时，|f(x)-A|<ε成立，那么称A是函数f(x)在x0处的极限。

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数列的极限的三大性质：1、唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等；2、有界性：如果一个数列收敛（有极限），那么这个数列一定有界。但是，如果一个数列有界，这个数列未必收敛。例如数列1，-1，1，-1，……，(-1)n+1 ，……3、保号性：若 （或<0），则对任何 m∈（0，a） （a<0时则是 m∈（a，0） ），存在N>0，使n>N时有xn＞m （相应的xn＜m ）。

求极限的常用方法：1。函数的连续性2。等价无穷小代换3。“单调有界的数列必有极限”定理4。有界函数与一个无穷小量的积仍为无穷小量5。两个重要极限（sinx/x=1,e）6。级数的收敛性求数列极限7。罗必塔法则8。定积分的定义打字不易，如满意，望采纳。

一：定义法； 二：单调有界法； 三：运用两边夹法； 四：先求和再求极限法； 五：先用放缩法再求极限； 六：用施笃兹公式法。 1、如果代入后，得到一个具体的数字，就是极限； 2、如果代入后，得到的是无穷大，答案就是极限不存在； 3、如果代入后，无法确定是具体数或是无穷大，则是不定式类型。

左边=lim{n->无穷大}e^{ln[n(n+1)]/n}=e^【lim{n->无穷大}{ln[n(n+1)]/n}】=e^【lim{n->无穷大}{lnn/n+ln(n+1)/n}】 (洛必达法则)=e^【lim{n->无穷大}{1/n+1/(n+1)}】=e^0=1=右边

（1）通项公式法：数列的第N项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式an=f(n)来表示。有些数列的通项公式可以有不同形式，即不唯一；有些数列没有通项公式（如：素数由小到大排成一列2，3，5，7，11，...）。an=a1+(n-1)d其中，n=1时 a1=S1；n≥2时 an=Sn-Sn-1。an=kn+b(k,b为常数) 推导过程：an=dn+a1-d 令d=k，a1-d=b 则得到an=kn+b。（2）递推公式法：如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，有些数列的递推公式可以有不同形式，即不唯一。有些数列没有递推公式，即有递推公式不一定有通项公式。扩展资料性质：（1）任意两项am，an的关系为：an=am+(n-m)d，它可以看作等差数列广义的通项公式。（2）从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=?=ak+an-k+1，k∈N*。（3）若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有am+an=ap+aq。（4）对任意的k∈N*，有Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，?，Snk-S(n-1)k?成等差数列。

数列极限的求法：1、如果代入后，得到一个具体的数字，就是极限。2、如果代入后，得到的是无穷大，答案就是极限不存在。3、如果代入后，无法确定是具体数或是无穷大，就是不定式类型，4、计算极限，就是计算趋势 tendency。存在条件：单调有界定理 在实数系中，单调有界数列必有极限。致密性定理，任何有界数列必有收敛的子列。计算方法，参考下面图片：拓展资料数列的极限问题是我们学习的一个比较重要的部分，同时，极限的理论也是高等数学的基础之一。数列极限的问题作为微积分的基础概念，其建立与产生对微积分的理论有着重要的意义。极限：解题思路：参考资料：百度百科-数列极限

方法为：当|q|<1时，limSn=a1/(1-q)。当|q|>=1时，极限不存在。等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列，常用G、P表示。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比数列a1≠ 0。其中{an}中的每一项均不为0。注：q=1 时，an为常数列。设 {Xn} 为实数列，a 为定数．若对任给的正数 ε，总存在正整数N，使得当 n>N 时有∣Xn-a∣<ε 则称数列{Xn} 收敛于a，定数 a 称为数列 {Xn} 的极限。扩展资料：等比数列的性质1、若m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则am*an=ap*aq。2、在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。3、若“G是a、b的等比中项”则“G^2=ab（G≠0）”。4、若{an}是等比数列，公比为q1，{bn}也是等比数列，公比是q2，则{a2n}，{a3n}…是等比数列，公比为q1^2，q1^3…{can}，c是常数，{an*bn}，{an/bn}是等比数列，公比为q1，q1q2，q1/q2。5、若（an）为等比数列且各项为正，公比为q，则（log以a为底an的对数）成等差，公差为log以a为底q的对数。

设 {Xn} 为实数数列，a 为定数．若对任给的正数 ε，总存在正整数N，使得当 n>N 时有∣Xn-a∣<ε 则称数列{Xn} 收敛于a，定数 a 称为数列 {Xn} 的极限。ε的双重性：1、任意性：不等式|X n-a|<ε刻划了X n与a的无限接近程度，ε愈小，表示接近得愈好；而正数ε可以任意地小，说明X n与a可以接近到任何程度。然而，尽管ε有其任意性，但一经给出正整数N，ε就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出ε，又ε既是任意小的 正数，那么ε/2,ε的平方等等同样也是任意小的正数，因此定义中 不等式|X n-a|<ε中的 ε可用ε/2,ε的平方等来代替。同时，正由于ε是任意小正数，我们可限定ε小于一个确定的正数．另外，定义1中的|X n-a|<ε也可改写成|X n-a|≦ε。2、相应性：一般说，N随ε的变小而变大，由此常把N写作N(ε)，来强调N是依赖于ε的；但这并不意味着N是由ε所唯一确定的，因为对给定的 ，比如当N=100时，能使得当n>N时有|xn-a|<ε，则N=101或更大时此不等式自然也成立．这里重要的是N的存在性，而不在于它的值的大小．另外，定义1中的，n>N也可改写成n≧N。

先说明函数极限标准定义：设函数f(x),|x|大于某一正数时有定义，若存在常数A，对于任意ε>0，总存在正整数X，使得当x>X时，|f(x)-A|<ε成立，那么称A是函数f(x)在无穷大处的极限。这个是高等数学里的证明。证：对于任意ε，要证存在N>0，当|x|>N时，不等式|1/x-0|<ε成立。因为这个不等式相当于|1/x|<ε或|x|>1/ε由此可知，如果取N=1/ε，那么当x>N=1/ε时，不等式|1/x-0|<ε成立，这就证明了limx→∞(1/x)=0

高等数学中,求无限数列极限,具体有哪几种方法? 例如:1:n趋近于无穷大时,[1/n^2+1/(n+1)^2+1/(n+2)^2+.....+1/(n+n)^2]的极限.2:n趋近于无穷大时,[1/(n^2+派)+1/(n^2+2派)+....+1/(n^2+n派)的极限.3:lim sinx (n趋近于0)的极限,最好列出这个极限的计算步骤.以上这三道题都知道答案,却不懂其计算过程,不知道答案是怎么来的?问题3:(x趋近于0时)sinx的极限.最佳答案1、0 < 1/n^2 < 1/n * 1/(n+1)=1/n-1/(n+1)2、n(1/n^2)=1/n > 1/(n^2+派)+1/(n^2+2派)+....+1/(n^2+n派)>0夹逼定理（夹挤定理）3、????你的问题是什么3.x=0时sinx＝0，再由sinx的连续性可得参考：网页链接

1.概念法：存在一个正数ε，当n>n时，|an-m|<ε恒成立2.定理法：(1)单调且有界数列必存在极限；(2)夹逼准则；(3)数学归纳法（有可能和（1）、（2）结合使用）3.函数法：将数列的通项公式构成成函数，利用对函数求极限来判定数列的极限，要和夹逼准则或者概念法一起使用1,证明数列{xn=罚法窜盒诃谷撮贪郸楷(n-1)/(n+1)}极限存在并求出其极限证明：∵1-1/(1+1/n)=1-n/(n+1)<1-2/(n+1)=xn<(n-1)/n=1-1/n即：1-1/(1+1/n)<xn<(n-1)/n=1-1/n已知：当n无穷大时：lim1/n=0∴lim[1-1/(1+1/n)]=1lim[1-1/n]=1根据夹逼准侧：xn极限存在，且limxn=12.略，方法同1

关系虽然数列极限与函数极限是分别独立定义的，但是两者是有联系的。海涅定理深刻地揭示了变量变化的整体与部分、连续与离散之间的关系，从而给数列极限与函数极限之间架起了一座可以互相沟通的桥梁。它指出函数极限可化为数列极限，反之亦然。在极限论中海涅定理处于重要地位。有了海涅定理之后，有关函数极限的定理都可借助已知相应的数列极限的定理予以证明。区别1、从研究的对象看区别：数列是离散型函数。 而函数极限研究的对象主要是具有（哪怕局部具有）连续性的函数。2、取值方面的区别：数列中的下标n仅取正整数，而对函数而言其自变量x取值为实数。函数极限f(X)与X的取值有关，而数列极限Xn则只是n趋向于无穷是Xn的值。3、从因变量趋近方式看区别：数列趋近于常数的方式有三种：左趋近，右趋近，跳跃趋近；而函数没有跳跃趋近。扩展资料函数极限是高等数学最基本的概念之一，导数等概念都是在函数极限的定义上完成的。函数极限可以分成x→∞,x→+∞,x→-∞,x→Xo,，而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的证明题中。问题的关键在于找到符合定义要求的 ，在这一过程中会用到一些不等式技巧，例如放缩法等。常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等等。参考资料百度百科——海涅定理百度百科——函数极限

1、按照本题问环境来看，应该讨论的是数列极限2、数列极限有以下特征，变量x按正常情况下视为常数，n视为自变量。3、数列极限中n为正整数，∞一般是指代+∞4、答案如下图所示拓展资料数列的极限问题是我们学习的一个比较重要的部分，同时，极限的理论也是高等数学的基础之一。数列极限的问题作为微积分的基础概念，其建立与产生对微积分的理论有着重要的意义。

数列极限的求法： 1、初等变形求极限：对于某些较烦的数列，可用初等数学的方法将其变形，转化为一个简单的数列，然后再对之求极限； 2、利用变量替换求极限：有时为了将已知的极限化简，转化已知的极限，可根据极限式的特点，适当引入新变量，已替换原有的变量，使原来较复杂的极限过程转化为更简化的极限过程； 3、两边夹定理求极限：当一数列极限不易直接求出时，可考虑将求极限的数列做适当的放大和缩小，使放大，缩小所得的新数列易于求极限，且两端的极限值相等，则原数列的极限值存在，且等于它们的公共值； 4、利用数列的极限与函数的极限等值：即归结原则，数列是一种特殊的函数，而函数又具有连接，可微，可积等优良性质，有时我们可以借助于函数的这些性质将数列极限转化为函数极限，从而使问题得到简化； 5、斯笃兹公式求极限：即数列的洛比达法则：对在数列A与B之间有一定关系的商的极限，我们可以用斯笃兹公式。

常见的几个数列极限具体如下：1、极限分为一般极限，还有个数列极限(区别在于数列极限是发散的，是一般极限的一种)。2、解决极限的方法如下1)等价无穷小的转化，(只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是须证明拆分后极限依然存在)e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。部熟记。(x趋近无穷的时候还原成无穷小)2)洛达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)首先他的使用有严格的使用前提。须是X趋近而不是N趋近。(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是要条件。还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷!)须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导，直接用无疑是死路一条)须是0比0，无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。洛达法则分为三种情况1)0比0无穷比无穷时候直接用。2)0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了。3)0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，(这就是为什么只有3种形式的原因，ln(x)两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0,当他的幂移下来趋近于无穷的时候ln(x)趋近于0)。3、泰勒公式(含有e^x的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意!)e^x展开,sinx展开,cos展开,ln(1+x)展开对题目简化有很好帮助。4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法取大头原则大项除分子分母!看上去复杂处理很简单。5、无穷小与有界函数的处理办法面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了！

1.概念法：存在一个正数ε,当n>N时,|an-M| < ε恒成立2.定理法：(1)单调且有界数列必存在极限；(2)夹逼准则；(3)数学归纳法（有可能和（1）、（2）结合使用）3.函数法：将数列的通项公式构成成函数,利用对函数求极限来判定数列的极限,要和夹逼准则或者概念法一起使用1,证明数列{xn=(n-1)/(n+1)}极限存在并求出其极限证明：∵1 -1/(1+1/n) = 1- n/(n+1)< 1-2/(n+1) = xn < (n-1)/n = 1-1/n即：1 -1/(1+1/n) < xn < (n-1)/n = 1-1/n已知：当n无穷大时：lim 1/n =0∴lim[1 -1/(1+1/n)]=1lim[1-1/n]=1根据夹逼准侧：xn极限存在,且limxn=1

这个很简单。其实就是说在数列Xn中，当从某一项(也就是所谓的N)开始以后的每一项的Xn(以后的每一项的序列号n都会大于N,因为是从N开始以后的每一项），都有Xn-a的绝对值小于e(这句话的意思是这以后的每一项Xn都无限接近于a这个常数，所以它们相减的差值e可以无论它有多么小，越小越好，代表它们越接近），这样我们就可以说这个数列Xn的极限值是a。假设一个数列Xn,从第五项开始（也就是说N=5)以后的每一项（也就是n>N,n=6,7,8....)的Xn与一个常数a的差值都小于e(这个e很小，而且越小越好，不论它多么小），那么我们就可以说这个数列Xn的极限值是a.因为Xn从第五项以后的每一项都会十分趋近于a.

求数列极限的步骤：认识数列极限的定义及性质，了解证明数列极限的基本方法，学习例题，看题干解问题，利用定义来证明数列的极限，检查解答过程。 求数列极限的步骤 1.认识数列极限的定义及性质。即最终数列发展到第无限项的时候，数列的数值是归于一个固定数的。 2.了解证明数列极限的基本方法。主要是通过数列的子数列进行证明。 3.学习例题，看题干解问题。主要看数列的定义和相关关于数列的题设 4.利用定义来证明数列的极限。注意！只能利用定义来进行求取和证明，不可通过性质。 5.检查解答过程，发现解题过程中的问题进行修改。保证问题解决！ 数列极限定义 设{Xn}为实数列，a为定数.若对任给的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时有∣Xn-a∣<ε则称数列{Xn}收敛于a，定数a称为数列{Xn}的极限，并或Xn→a(n→∞) 读作"当n趋于无穷大时，{Xn}的极限等于或趋于a". 若数列{Xn}没有极限，则称{Xn}不收敛，或称{Xn}为发散数列. 该定义常称为数列极限的ε-N定义. 对于收敛数列有以下两个基本性质，即收敛数列的唯一性和有界性。 定理1:如果数列{Xn}收敛，则其极限是唯一的。 定理2:如果数列{Xn}收敛，则其一定是有界的。即对于一切n(n=1,2……)，总可以找到一个正数M，使|Xn|≤M。

1.概念法：存在一个正数ε，当n>n时，|an-m|<ε恒成立2.定理法：(1)单调且有界数列必存在极限；(2)夹逼准则；(3)数学归纳法（有可能和（1）、（2）结合使用）3.函数法：将数列的通项公式构成成函数，利用对函数求极限来判定数列的极限，要和夹逼准则或者概念法一起使用1,证明数列{xn=罚法窜盒诃谷撮贪郸楷(n-1)/(n+1)}极限存在并求出其极限证明：∵1-1/(1+1/n)=1-n/(n+1)<1-2/(n+1)=xn<(n-1)/n=1-1/n即：1-1/(1+1/n)<xn<(n-1)/n=1-1/n已知：当n无穷大时：lim1/n=0∴lim[1-1/(1+1/n)]=1lim[1-1/n]=1根据夹逼准侧：xn极限存在，且limxn=12.略，方法同1

关系虽然数列极限与函数极限是分别独立定义的，但是两者是有联系的。海涅定理深刻地揭示了变量变化的整体与部分、连续与离散之间的关系，从而给数列极限与函数极限之间架起了一座可以互相沟通的桥梁。它指出函数极限可化为数列极限，反之亦然。在极限论中海涅定理处于重要地位。有了海涅定理之后，有关函数极限的定理都可借助已知相应的数列极限的定理予以证明。区别1、从研究的对象看区别：数列是离散型函数。 而函数极限研究的对象主要是具有（哪怕局部具有）连续性的函数。2、取值方面的区别：数列中的下标n仅取正整数，而对函数而言其自变量x取值为实数。函数极限f(X)与X的取值有关，而数列极限Xn则只是n趋向于无穷是Xn的值。3、从因变量趋近方式看区别：数列趋近于常数的方式有三种：左趋近，右趋近，跳跃趋近；而函数没有跳跃趋近。扩展资料函数极限是高等数学最基本的概念之一，导数等概念都是在函数极限的定义上完成的。函数极限可以分成x→∞,x→+∞,x→-∞,x→Xo,，而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的证明题中。问题的关键在于找到符合定义要求的 ，在这一过程中会用到一些不等式技巧，例如放缩法等。常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等等。参考资料百度百科——海涅定理百度百科——函数极限

一、二者联系函数的极限和数列的极限都是高等数学的基础概念之一。函数极限的性质和数列极限的性质都包含唯一性。二、二者区别1、取值：数列的N取值是正整数，一般函数的X取值是连续的。函数极限f(X)与X的取值有关，而数列极限Xn则只是n趋向于无穷是Xn的值。2、性质：函数极限的性质是局部有界性，而数列极限为有界性。3、因变量趋近方式：数列趋近于常数的方式有三种：左趋近，右趋近，跳跃趋近；而函数没有跳跃趋近。4、数列具有离散性。而函数有连续型的，也有离散型的。扩展资料：数列极限和函数极限的性质1、常用的数列极限的性质：数列极限具有唯一性、有界性、保号性、保不等式性、迫敛性。2、常用的函数极限的性质：函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等。参考资料来源：百度百科-函数极限百度百科-数列极限

　　求数列极限可以归纳为以下三种形式：　　★抽象数列求极限　　这类题一般以选择题的形式出现，因此可以通过举反例来排除。此外，也可以按照定义、基本性质及运算法则直接验证。　　★求具体数列的极限　　a.可以参考以下几种方法：　　首先,用数学归纳法或不等式的放缩法判断数列的单调性和有界性，进而确定极限存在性；其次，通过递推关系中取极限，解方程，从而得到数列的极限值.。　　b.利用函数极限求数列极限　　如果数列极限能看成某函数极限的特例，形如，则利用函数极限和数列极限的关系转化为求函数极限,此时再用洛必达法则求解。　　★求n项和或n项积数列的极限，主要有以下几种方法：　　a.利用特殊级数求和法　　如果所求的项和式极限中通项可以通过错位相消或可以转化为极限已知的一些形式，那么通过整理可以直接得出极限结果。　　b.利用幂级数求和法　　若可以找到这个级数所对应的幂级数，则可以利用幂级数函数的方法把它所对应的和函数求出，再根据这个极限的形式代入相应的变量求出函数值。　　c.利用定积分定义求极限　　若数列每一项都可以提出一个因子,剩余的项可用一个通项表示，则可以考虑用定积分定义求解数列极限。　　d.利用夹逼定理求极限　　若数列每一项都可以提出一个因子，剩余的项不能用一个通项表示，但是其余项是按递增或递减排列的，则可以考虑用夹逼定理求解。　　e.求n项数列的积的极限，一般先取对数化为项和的形式，然后利用求解项和数列极限的方法进行计算。

|1/n^k-0|=1/n^k对任意ε>0，要1/n^k<ε，只要取N=[(1/ε)^(1/k)]+1>0，当n>N，就有|1/n^k-0|<ε因此，根据定义：lim 1/n^k=0例如：|往证：对于任意小e>0；总存在正整数N>0；使得只要n>N时，|(n^2+1)/(n^2-1)-1|<e证明：对于任意小e>0，令(n^2+1)/(n^2-1)-1<e；化简得n>√(2/e-1);这里取N=[√(2/e-1)]+1;则有只要n>N时，|(n^2+1)/(n^2-1)-1|<e总成立。即(n^2+1)/(n^2-1)关于n趋向无穷大的极限为1。证毕。扩展资料：设函数f(x)在x0的某一去心邻域内有定义（或|x|大于某一正数时有定义）。如果对于任意给定的正数M（无论它多么大），总存在正数δ（或正数X），只要x适合不等式0<|x-x0|<δ(或|x|>X,即x趋于无穷)，对应的函数值f(x)总满足不等式|f(x)|>M，则称函数f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷大。在自变量的同一变化过程中，无穷大与无穷小具有倒数关系，即当x→a时f(x)为无穷大，则1/f(x)为无穷小；反之，f(x)为无穷小，且f(x)在a的某一去心邻域内恒不为0时，1/f(x)才为无穷大。参考资料来源：百度百科-无穷大

1、数列极限定义中的ε是个任意小的正数【解答】 对。只有可以任意的小，才能说明无限地接近，也就是极限的存在。2、数列极限中的N有无穷多个,但只要找到一个就够了【解答】 对。只要n比N大，不等式就成立，有无数个比N大的数，都可以作为N。3、一个数列如果有极限，那么极限是唯一的【解答】 对。即使是波动的，也不算是极限，而只能说是有界的。4、与|an-A|<ε等价的是an属于（A-ε,A+ε）【解答】 对。这是不等式的基本性质。5、数列极限为A，说明（A-ε,A+ε）内存在有无穷多项，（A-ε,A+ε）外存在无穷多项【解答】 错。（A-ε,A+ε）内存在有无穷多项，（A-ε,A+ε）外存在有限多项。

注意格式!待续

数列极限定义如下：数列极限定义是：是数列极限的ε-N定义。设{an}为数列，a为定数. 若对任给的正数ε，总存在正整数N，使n>N(或n≥N)时，有|an -a|<ε(或|an-a|≤ε)，则称数列{an}收敛于a，定数a称为数列{an}的极限，记作lim(n->∞)an=a, 或an->a(n->∞)，读作“当n趋于无穷大时，an的极限等于a或an趋于a”. （若 {an}没有极限，则称{an}不收敛，或为发散数列）。设数列{an}={1,1,1,……}，即数列的所有项都是1. 直观地，很容易看出，这个数列的极限等于1。 对任意项an，任给正数ε，都有|an-1|=0<ε。也就是说，最极端的例子，数列的所有项减去1的差的绝对值，都小于任给的正数ε，那么这个数列就以1为极限。设数列{an}={1,2,1,1,1,……}，即，除了第二项，数列的其它项都等于1。也是非常直观地可以看出，这个数列的极限等于1。但这时就不是对任意项an，都有|an-1|=0<ε了。而是存在正整数N=2，使得n>N（如果取N=3，则使n≥N）时，就有|an-1|=0<ε了。因为|a2-1|=1，不能保证小于任给的正数ε。就算数列{an}={1亿,2,1,1,1,……}，或者{1,1,1,3,1,1,1,……}，{1,9,……,2,1,1,1,……}，它们的极限也都等于1。第一个数列实质没有任何改变，只要取N=2，就与前面的推导过程同理；第二个数列则只要取N=4就可以了；最后一个数列，虽然2前面有很多项，但终究是有限个的，假设包括2在内有100亿个项，那么就取N=100亿，而后面的项都是1，因此仍满足极限等于1的定义。现在再把第一个例子改写成数列{an}={a,a,a,……}，它的极限就是a。然后再把数列改成{a,a+1,a,a,a,……}或{100a,a+2,a,a,a,……}或{2a,3a,a,a+1,a,a,a,……}或{a+1,……,a+8,a,a,a,……}. 它们的极限也都等于a，其推导过程，和前面仍是一模一样的。定义证明：显然，根据定义，我们先要任给一个正数ε，并且确定一个N，使得当n>N时，就有|1/n-0|<ε. 那么0就是{1/n}的极限。从上面的那些简单例子，您应该能得到一个启发，解决这个问题的关键，就是找到N的位置。然而现在并没有非常具体的数列，那该怎么办呢？事实上，|1/n-0|=1/n. 要使1/n<ε，只要我们能够构造一个关于N的函数f(N)，使得1/n<f(N)≤ε，就可以解决了。接下来就是考查观察和思考能力的时候了。因为n>N，所以1/n<1/N。因此，只要构造f(N)=1/N≤ε，即N≥1/ε，就能反推出最后的结论。组织问题和解题过程如下：证明：lim(n->∞)(1/n)=0。证：任给正数ε，要使|1/n-0|=1/n<ε=1/(1/ε).(或1/n≤ε，但通常只取<ε)。只要取N≥1/ε，就有，当n>N时，|1/n-0|<ε。得证！

设 {Xn} 为实数列,a 为定数．若对任给的正数 ε,总存在正整数N,使得当 n>N 时有∣Xn-a∣N的意思就是这个数列不一定每一项都是趋向于这个数的,但是必须在数列的某一项后面的所有项都趋向于这个数 例如数列,-1,3,4,-3,-5,6,1/2,1/3,1/4,1/5.这个数列开始的项都没什么规律,但是从1/2这项开始,后面的项都是趋向于0的,所有这个数列的极限就是0,也就是n>6,此时N=6,满足∣Xn-a∣

求数列极限方法如下：1、用夹逼准则求解数列极限夹逼定理是数列极限中非常重要的一种方法, 也是容易出综合题的点, 夹逼定理的核心就是如何对数列进行合理的放缩, 这个点也是夹逼定理使用过程中的难点。适用情形：夹逼定理一般使用在 n 项和式极限中, 函数不易于连续化。夹逼定理的适用情形和用定积分的定义十分相似，需要注意区分，它们的区别是夹逼定理适用的情形是一个分子分母齐次的形式。放缩基本公式:2.、用单调有界准则求极限定理: 单调有界数列必有极限.具体来说,若数列 {xn} 单调增加 (减少)且有上(下) 界M(m) , 则 limn→∞xn 存在，且  limn→∞xn⩽M (或 limn→∞xn⩾m ). 定理同样适用于函数.这个定理是证明数列 (或函数) 极限存在的唯一依据, 一般分为两个步骤, 第一 步证明单调性, 第二步证明有界。3、用数列定义求解数列极限主要运用数列的 ε−N 定义: 对 ∀ε>0,∃N>0 , 使得当 n>N 时, 有 |an−a|<ε , 则称数列 {an} 收敛, 定数a 称为 {an} 的极限。从定义上来看，我们的 ε 是可以任意小的正数, 那 ε/2,3ε 也可以任意小, 这一 点大家要明确。其次, 我们的  N 具有相应性, 一般地, N 随着 ε 的变小而增 大, 也就是 N 依赖于 ε0从几何意义上来讲, 当我的  n 逐渐趋近于无穷时, 我的数列总围绕着 a 在波动, 也就是 对 ∀ε>0, 在我们的 U(a;ε) 领域内有无穷个数。这样就得到了一个 关于数列极限的一 个等价定义: 对 ∀ε>0 , 若在 U(a;ε) 之外数列 an 至多有有限项，那么数列 an 必定收敛于 a 。

第一种：利用函数连续性：lim f(x) = f(a) x->a（就是直接将趋向值带出函数自变量中，此时要要求分母不能为0）第二种：恒等变形当分母等于零时，就不能将趋向值直接代入分母，可以通过下面几个小方法解决：第一：因式分解，通过约分使分母不会为零。第二：若分母出现根号，可以配一个因子使根号去除。第三：以上我所说的解法都是在趋向值是一个固定值的时候进行的，如果趋向于无穷，分子分母可以同时除以自变量的最高次方。（通常会用到这个定理：无穷大的倒数为无穷小）当然还会有其他的变形方式，需要通过练习来熟练。第三种：通过已知极限特别是两个重要极限需要牢记。扩展资料有些函数的极限很难或难以直接运用极限运算法则求得，需要先判定。下面介绍几个常用的判定数列极限的定理。1.夹逼定理：（1）当x∈U(Xo,r)(这是Xo的去心邻域，有个符号打不出）时，有g（x)≤f(x)≤h(x)成立（2）g(x)—>Xo=A,h(x)—>Xo=A,那么，f(x)极限存在，且等于A不但能证明极限存在，还可以求极限，主要用放缩法。2.单调有界准则：单调增加（减少）有上（下)界的数列必定收敛。在运用以上两条去求函数的极限时尤需注意以下关键之点。一是先要用单调有界定理证明收敛，然后再求极限值。二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数 ，并且要满足极限是趋于同一方向 ，从而证明或求得函数 的极限值。3.柯西准则数列收敛的充分必要条件是任给ε>0,存在N(ε),使得当n>N,m>N时，都有|am-an|<ε成立。

数列极限的求法：1、如果代入后，得到一个具体的数字，就是极限。2、如果代入后，得到的是无穷大，答案就是极限不存在。3、如果代入后，无法确定是具体数或是无穷大，就是不定式类型。4、计算极限，就是计算趋势tendency。存在条件：单调有界定理 在实数系中，单调有界数列必有极限。致密性定理，任何有界数列必有收敛的子列。计算方法，参考下面图片：由定义求极限。极限的本质一既是无限的过程,又有确定的结果一方面可从函数的变化过程的趋势抽象得出结论,另一方面又可从数学本身的逻辑体系下验证其结果。然而并不是每一道求极限的题我们都能通过直观观察总结出极限值,因此由定义法求极限就有一定的局限性,不适合比较复杂的题。

“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”（“永远不能够等于A，但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果）的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的值A叫做“极限值”（当然也可以用其他符号表示）。极限是无限迫近的意思。数列{Xn}的极限的极限是a，代表数列xn无限迫近a。从直观上理解，就是数列Xn能无限的靠近a。

高中数列规律主要学习等差数列和等比数列 比较复杂的数列想办法化简或分解成等差数列和等比数列来求解 化简或分解的能力那就是解题的关键

看n趋向无穷大时，Xn是否趋向一个常数，即可以判断收敛还是发散。可是有时Xn比较复杂，并不好观察,加减的时候，把高阶的无穷小直接舍去如 1 + 1/n，用1来代替乘除的时候，用比较简单的等价无穷小来代替原来复杂的无穷小。收敛函数一定有界，但是有界函数不一定收敛，如f(x)在x=0处f(0)=2，在其他x处f(x)=1，那么f(x)在x=0处就不是收敛的，那么f(x)就不是收敛函数，但是f(x)是有界的,因为1≤f(x)≤2。扩展资料基本公式：1、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=Sn-Sn-1。2、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d      an=ak+(n-k)d     (其中a1为首项、ak为已知的第k项)  当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。3、等差数列的前n项和公式：Sn=An^2+Bn     Sn=na1+[n(n-1)]d/2   Sn=(a1+an)n/2。当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式。4、等比数列的通项公式： an= a1 qn-1    an= ak qn-k  (其中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0)。5、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1     (是关于n的正比例式)。

这一串的计算方法早就分给老师了，不分给老师的话，我还跟老师下一节没有，只是一条与下一届的学生。

巧了，我也是文科生，我也不懂，哈哈

重要极限有sinx/x当x趋向于无穷时的极限为1；（1+1/t）^t当t趋向于无穷时的极限为e，其他就是一些常数的极限是本身，1/n当n趋向于无穷时的极限为0。设{xn}为一个无穷实数数列的集合。如果存在实数a，对于任意正数ε （不论其多么小），都N>0，使不等式|xn-a|<ε在n∈（N，+∞）上恒成立，那么就称常数a是数列{xn} 的极限。扩展资料：极限函数在区间（a-ε，a+ε）之外至多只有N个（有限个）点；所有其他的点xN+1，xN+2，...（无限个）都落在该邻域之内。这两个条件缺一不可，如果一个数列能达到这两个要求，则数列收敛于a；而如果一个数列收敛于a，则这两个条件都能满足。如果只知道区间（a-ε，a+ε）之内有{xn}的无数项，不能保证（a-ε，a+ε）之外只有有限项，是无法得出{xn}收敛于a的，在做判断题的时候尤其要注意这一点。

数列极限的定义：对数列{xn}，若存在常数a，对于任意ε>0，总存在正整数N，使得当n>N时，|xn-a|<ε成立，那么称a是数列{xn}的极限。证明：对任意的c >0，解不等式| 1/ Vn|=1/ Vn<ε得n>1/ ε2，取N=[1/ ε2]+1。于是，对任意的ε >0， 总存在自然数取N=[1/ ε2]+1。当n>N时，有| 1/n| <ε故1im(n->∞)(1/ J n)=0。数列极限存在的条件：单调有界定理在实数系中，有界的单调有界数列必有极限。致密性定理任何有界数列必有收敛的子列。数列极限的应用：设{Xn}，{Zn}为收敛数列，且：当n趋于无穷大时，数列{Xn}，{Zn}的极限均为：a.若存在N，使得当n>N时，都有Xn≤Yn≤Zn,则数列{Yn}收敛，且极限为a.适用于求解无法直接用极限运算法则求极限的函数极限，间接通过求得F(x)和G(x)的极限来确定f(x)的极限。

收敛数列　　如果数列{Xn}，如果存在常数a，对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n>N时，不等式|Xn-a|<q都成立，就称数列{Xn}收敛于a（极限为a），即数列{Xn}为收敛数列。　　性质1 极限唯一收敛和发散是互补的，发散的定义是没有极限摆动数列如－1，1，－1，1.。。是没有极限的，因为无穷处有－1和1，不逼近于一点，所以发散 　　性质2 有界性　　性质3 保号性　　性质4 子数列也是收敛数列且极限为a 谢谢采纳

数列极限的运算法则如下：前提条件：各数列均有极限；相加减时必须是有限个数列才能用法则。极限的三大性质：极限的唯一性、极限的有界性、极限的保序性。极限的定义（描述性的）：如果当项数n无限增大时，无穷数列的项an无限地趋近于某个常数a（即 无限地接近于0），a叫数列的极限，可记做当n→+∞时，an→a。an无限接近于a的方式有三种：递增的数列，an无限接近于a，即an是在常数a的左边无限地趋近于a；递减数列，an无限地趋近于a，即an是在常数a的右边无限地趋近于a；摆动数列，an无限地趋近于a，即an是在无限摆动的过程中无限地趋近于a。严格定义：即ε－N定义：对于任何正数ε（不论它多么小），总存在某正数N，使得当n＞N时，一切an都满足 ，a叫数列的极限。“ xn 以 a 为极限”的几何解释：将常数a及数列各项x1,x2,...,xn,...在数轴上找出相应的点，再在数轴上作开区间(aε,a+ε)。当 n>N 时，满足 |xn−a|<ε ，亦即满足 a−ε<xn<a+ε 。也就是说从 N+1 开始，以后无穷多项都落在开区间 (a−ε,a+ε)内。

数列极限的定义如下：设{an}为数列，a为定数。若对任给的正数ε，总存在正整数N，使n>N（或n≥N），有|an -a|<ε（或|an-a|≤ε），则称数列{an}收敛于a，定数a称为数列{an}的极限，即当n趋于无穷大时，an的极限等于a或an趋于a。广义的数列极限是指无限接近，但永远不可能达到。例如一个变量无限的靠近时，它只能无限的趋近于零，而不能真正的变成零。永远不能够等于零，也就是说永远的靠近，但永远变不成零。极限是微积分当中的基础概念。极限当中的变量是连续的，可变的。在做题时，首先要观察这个数列是递增，递减还是摆动数列。在看题目当中的未知数无限增大或无限减小时，是否可以无限接近于某个数。只有符合这种条件才能称之为数列。数列有递增，递减和摆动三种情况。就是指数列的无限增大，无限减小或者前后摆动。数列会无限增大，同时也有可能无限减小，但无论发生哪种情况，它都只可能是无限趋近于某一个数，不可能真正的等于这个数。

设{Xn}为实数列，a为定数．若对任给的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时有∣Xn-a∣<ε则称数列{Xn}收敛于a，定数a称为数列{Xn}的极限，并记作数列极限表达式，或Xn→a（n→∞）读作“当n趋于无穷大时，{Xn}的极限等于或趋于a”．若数列{Xn}没有极限，则称{Xn}不收敛，或称{Xn}为发散数列．该定义常称为数列极限的ε—N定义．

极限公式：1、e^x-1～x (x→0) 2、 e^(x^2)-1～x^2 (x→0)3、1-cosx～1/2x^2 (x→0)4、1-cos(x^2)～1/2x^4 (x→0)5、sinx~x (x→0)6、tanx~x (x→0)7、arcsinx~x (x→0)8、arctanx~x (x→0)9、1-cosx~1/2x^2 (x→0)10、a^x-1~xlna (x→0)11、e^x-1~x (x→0)12、ln(1+x)~x (x→0)13、(1+Bx)^a-1~aBx (x→0)14、[(1+x)^1/n]-1~1/nx (x→0)15、loga(1+x)~x/lna(x→0)扩展资料：高等数学极限中有“两个重要极限”的说法，指的是：sinX/x →1（ x→0 ），与 (1+1/x)^x→e^x（ x→∞）。另外，关于等价无穷小，有：sinx ~ tanx ~ arctanx ~ arcsinx ~ e^x-1 ~ ln(1+X)~ (a^x-1)/lna ~[(1+x)^a-1]/a ~x（ x→0），1-cosx ~ x^2/2（ x→0）。

在n趋于无穷大的时候，(1+1/n)^n就趋于一个无理数，而且这个数在初等数学中是没有出现的，就将其定义为e，而e约等于2.71828，是一个无限不循环小数，为超越数。lim n→0，(1 + 1/n)^n。=e^lim n→0，nln(1+1/n)。=e^lim n→0,1/n*ln(1+1/n)。=(洛)e^lim n→0,1/1+1/n。=e^0。=1。数列极限标准定义：对数列{xn}，若存在常数a，对于任意ε>0，总存在正整数N，使得当n>N时，|xn-a|<ε成立，那么称a是数列{xn}的极限。函数极限标准定义：设函数f(x),|x|大于某一正数时有定义，若存在常数A，对于任意ε>0，总存在正整数X，使得当x>X时，|f(x)-A|<ε成立，那么称A是函数f(x)在无穷大处的极限。设函数f(x)在x0处的某一去心邻域内有定义，若存在常数A，对于任意ε>0，总存在正数δ，使得当|x-xo|<δ时，|f(x)-A|<ε成立，那么称A是函数f(x)在x0处的极限。

数列求极限的方法总结如下：由定义求极限。极限的本质一既是无限的过程,又有确定的结果一方面可从函数的变化过程的趋势抽象得出结论,另一方面又可从数学本身的逻辑体系下验证其结果。然而并不是每一道求极限的题我们都能通过直观观察总结出极限值,因此由定义法求极限就有一定的局限性,不适合比较复杂的题。利用函数的连续性求极限。此方法简单易行，但不适合于f(x)在其定义区间内是不连续的函数,及f(x)在x处无定义的情况。利用极限的四则运算法则和简单技巧求极限。极限四则运算法则的条件是充分而非必要的,因此,利用极限四则运算法则求函数极限时,必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件。满足条件者,方能利用极限四则运算法则进行求之,不满足条件者,不能直接利用极限四则运算法则求之。但是,并非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限,而是需将函数进行恒等变形,使其符合条件后,再利用极限四则运算法则求之。而对函数进行恒等变形时,通常运用一些简单技巧如折项,分子分母同乘某一因子,变量替换,分子分母有理化等等。利用两边夹定理求极限。定理如果 XsZsY,而lim=limy=,则limZ=A。两边夹定理运用的关键：适当选取两边的函数（或数列),并且使其极限为同一值。注意：在运用两边夹定理要保证所求函数（或数列）通过放缩后所得的两边的函数（或数列）的极限是同一值否则不能用此方法求极限。利用单调有界原理求极限。单调有界准则即单调有界数列必定存在极限。使用单调有界准则时需证明两个问题:一个是数列的单调性,第二个是数列的有界性。求极限时,在等式的两边同时取极限,通过解方程求出合理的极限值，利用单调有界原理求极限有两个难点:一是证明数列的单调性,二是证明数列的有界性,在证明数列的单调性和数列的有界性时,我们通常都采用数学归纳法。利用等价无穷小代换求极限。在实际计算过程中利用等价无穷小代换法或与其它方法相结合,不失为一种行之有效的方法,但并非计算过程中所有的无穷小量都能用其等价的无穷小量来进行计算。用等价无穷小代换时,只能代换分子、分母中的乘积因子,而不能代换其中的加减法因子。于是用等价无穷小代换的问题便集中到对于分子、分母中的加减法因子如何进行x的等价无穷小代换这一点上,在利用等价无穷小代换的方法求极限时,必须把分子(或分母)看作一个整体,用整个分子(或分母)的等价无穷小去代换。利用泰勒展式求极限.运用等价无穷小代换方法求某些极限,往往可以减少计算量,使问题得以简化,但一般说来,这种方法仅限于求两个无穷小量是乘或除的极限,而对两个无穷小量非乘或非除的极限,对于一些未能定函数极限形态的关系式,不能用必达法则及等价无穷小代换方法,须用泰公式去求极限。

第一个重要极限第二个重要极限扩展资料：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等。如果一个数列"收敛‘（有极限），那么这个数列一定有界。如果两个数列{xn} ，{yn} 都收敛，那么数列{xn+yn}也收敛，而且它的极限等于{xn} 的极限和{yn} 的极限的和。数列{xn} 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限；数列{xn} 收敛的充要条件是：数列{xn} 的任何非平凡子列都收敛。

如何求数列极限如下：设 {Xn} 为实数数列，a 为定数.若对任给的正数 ε，总存在正整数N，使得当 n>N 时有∣Xn-a∣<ε 则称数列{Xn} 收敛于a，定数 a 称为数列 {Xn} 的极限。读作"当 n 趋于无穷大时，{Xn} 的极限等于 或 趋于 a"。若数列 {Xn} 没有极限，则称 {Xn} 不收敛，或称 {Xn} 为发散数列。该定义常称为数列极限的 ε-N定义。对于收敛数列有以下两个基本性质，即收敛数列的唯一性和有界性。定理1:如果数列{Xn}收敛，则其极限是唯一的。定理2:如果数列{Xn}收敛，则其一定是有界的。即对于一切n(n=1,2……)，总可以找到一个正数M，使|Xn|≤M。任意性：不等式|Xn-a|<ε刻划了Xn与a的无限接近程度，ε愈小，表示接近得愈好;而正数ε可以任意地小，说明Xn与a可以接近到任何程度。然而，尽管ε有其任意性，但一经给出正整数N，ε就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出ε，又ε既是任意小的正数。那么ε/2,ε的平方等等同样也是任意小的正数，因此定义中不等式|Xn-a|<ε中的 ε可用ε/2,ε的平方等来代替。同时，正由于ε是任意小正数，我们可限定ε小于一个确定的正数。另外，定义1中的|Xn-a|<ε也可改写成|Xn-a|≦ε。折叠相应性：一般说，N随ε的变小而变大，由此常把N写作N(ε)，来强调N是依赖于ε的;但这并不意味着N是由ε所唯一确定的，因为对给定的 。比如当N=100时，能使得当n>N时有|xn-a|<ε，则N=101或更大时此不等式自然也成立.这里重要的是N的存在性，而不在于它的值的大小.另外，定义1中的，n>N也可改写成n≧N。

解题过程如下：lim(x→0)sinx*lnx (0*inf.)= lim(x→0)x*lnx (0*inf.)= lim(x→0)lnx/(1/x) (inf./inf.)= lim(x→0)(1/x)/(-1/x^2)= 0∴g.e.= e^lim(x→0)sinx*lnx = 1扩展资料求数列极限的方法：设一元实函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义。如果函数f(x)有下列情形之一：1、函数f(x)在点x0的左右极限都存在但不相等，即f(x0+)≠f(x0-)。2、函数f(x)在点x0的左右极限中至少有一个不存在。3、函数f(x)在点x0的左右极限都存在且相等，但不等于f(x0)或者f(x)在点x0无定义。则函数f(x)在点x0为不连续，而点x0称为函数f(x)的间断点。

具体回答如下：原式=lim(x->0)[(a^x-1)/x]=lim(x->0)(a^xlina) （应用罗必达法则）=lna极限的意义：和实数运算的相容性，譬如：如果两个数列{xn} ，{yn} 都收敛，那么数列{xn+yn}也收敛，而且它的极限等于{xn} 的极限和{yn} 的极限的和。与子列的关系，数列{xn} 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限；数列{xn} 收敛的充要条件是：数列{xn} 的任何非平凡子列都收敛。

看n趋向无穷大时，Xn是否趋向一个常数，可是有时Xn比较复杂，并不好观察,加减的时候，把高阶的无穷小直接舍去如 1 + 1/n，用1来代替乘除的时候，用比较简单的等价无穷小来代替原来复杂的无穷小来。基本公式：1.一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=Sn-Sn-1。2.等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d      an=ak+(n-k)d     (其中a1为首项、ak为已知的第k项)  当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。3.等差数列的前n项和公式：Sn=An^2+Bn     Sn=na1+[n(n-1)]d/2   Sn=(a1+an)n/2。当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式。4.等比数列的通项公式： an= a1 qn-1    an= ak qn-k  (其中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0)。5.等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1     (是关于n的正比例式)。

数列极限的定义：数列有极限，即当n趋向无穷大时，数列的项Xn无限趋近于或等于a，任意取一个值ε，是表明无论ε是多小的数，Xn与a的差总小于ε，就是Xn无限趋近于或等于a。看n>N时，注意原话是：……对于任意小的ε，总存在正整数N，使得当n>N时，|Xn-a|<ε，……。这是表明，无论ε多小，当n足够大时，都可以满足|Xn-a|<ε。就是即使ε小到非常小（趋近于0），当n大到足够大的程度（趋向于无穷大）也会满足Xn与a的差小于ε（趋近于0）。扩展：极限存在的条件：单调有界定理 在实数系中，单调有界数列必有极限。 致密性定理 任何有界数列必有收敛的子列。极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。所谓极限的思想，是指“用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想”。

数列的极限写法如下：数列极限的求法：利用定积分求极限，利用幂级数求极限；利用简单的初等函数，常能求得一些特殊形式的数列极限，利用级数收敛性判定极限，存在由于级数与数列在形式上可以相互转化等数列求和的方法：倒序相加法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法、乘公比错项相减(等差X等比)、公式法、迭加法。以及分组求和法个数列的通项公式是由几个等差或等比或可求和的数列的通项公式组成，求和时可用分组求和法，分别求和而后相加。求数列极限的含义：了解证明数列极限的基本方法。主要是通过数列的子数列进行证明。学习例题，看题干解问题。主要看数列的定义和相关关于数列的题设，利用定义来证明数列的极限。只能利用定义来进行求取和证明，不可通过性质检查解答过程，发现解题过程中的问题进行修改。数列的极限问题是我们学习的一个比较重要的部分，同时，极限的理论也是高等数学的基础之一。数列极限的问题作为微积分的基础概念，其建立与产生对微积分的理论有着重要的意义。

1.日常生活中，人们常常用到等差数列如：在给各种产品的尺寸划分级别 时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按照等差数列进行分级。 若为等差数列，且有ap=q,aq=p.则a(p+q)＝－（p+q)。 若为等差数列，且有an=m,am=n.则a(m+n)＝0。 2.按揭货款中的数列问题 随着中央推行积极的财政政策，购置房地产按揭货款（公积金贷款）制度的推出，极大地刺激了人们的消费欲望，扩大了内需，有效地拉动了经济增长。 众所周知，按揭货款（公积金贷款）中都实行按月等额还本付息。这个等额数是如何得来的，此外若干月后，还应归还银行多少本金，这些人们往往很难做到心中有数。下面就来寻求这一问题的解决办法。 若贷款数额a0元,贷款月利率为p,还款方式每月等额还本付息a元.设第n月还款后的本金为an,那么有: a1=a0(1+p)-a, a2=a1(1+p)-a, a3=a2(1+p)-a, ...... an+1=an(1+p)-a,.........................(*) 将（*）变形，得 （an+1-a/p）/（an-a/p）=1+p. 由此可见，{an-a/p}是一个以a1-a/p为首项，1+p为公比的等比数列。日常生活中一切有关按揭货款的问题，均可根据此式计算。

两个数列均有无穷项，因此就可能有很多相同的项，因此相同项的通式中就可能有一个参数。等差数列通项公式为Xm，二届等差数列通项公式为Yn，那么只要求出满足Xn=Ym的所有数对(m,n)即可，或者说在要求m为正整数的前提下求出所有的n即可。

数学是高中学习中的一门关键学科,无论是文科生还是理科生,数学对于他们来说都是富有挑战性的科目.高中阶段,时间紧、任务重,许多同学尽管花了较多时间在数学上但仍然见效甚微。看着离高考时间越来越近，和理想的成绩越来越远，刷题没效果，心中定有一百个不爽 在不认识肖博数学之前，高考数学对于很多高考生来说都是一场噩梦，既然有梦，何不破解？肖博数学是肖博老师用九年时间精研出的一套完整高中数学教学方案，致力于高中数学题型归类，技巧讲解，本套课程颠覆了传统教学模式与教学风格，完整的课程体系配合独创5秒解题思路，助力考生数学成绩飞速提升，更有数百位同学高考数学成绩130+。用了肖老师的高考数学之等差数列快速解题法，你会发现，其实高考数学题型之等差数列求解也就那么回事。高中数学，学会巧凑等差数列前n项和公式，解题思路瞬间明朗在等差数列的一些题型中，需要凑出数列的前n项和公式，特别是在给出两个等差数列前n项和的比值，求数列其中两项的比值这样的题型中，通过凑出前n项和公式会大大提高解题的效率。仔细分析下面的过程，理解如何一步一步把两个等差数列项之比凑出前11项和之比（红色部分）。本题借助了等差中项，第n项是第1项和第2n－1项的等差中项，根据等差中项的性质把第n项的比值转化为第1项与第2n－1的和的比值，然后再凑出前2n－1项和公式（红色部分）。等差数列是高中阶段极其重要的知识点,近几年也逐渐成为了高考的主要考点之一。高考中所有对等差数列的考察,其实都是在考察高中生对于知识的掌握程度以及创新思维能力。。数学是教学中的基础学科,随着学生学龄的增加,数学课程的难度也随之增加.解题较难是当前高中学生面临的主要问题,为了有效改善这一现状,教师在进行高中数学解题教学过程中应转变教学观念、教学方法,突破常规解题方法.在此背景下,构造法在高中数学解题中得到了有效应用.通过构造法的应用可将抽象问题形象化,复杂问题简单化,激发学生的解题热情,增强解题信心,最终提高解题效率.数列的题目中数据相对比较复杂，但是同学们如果学习了肖老师的方法，就会体验到学霸秒题的技巧， 相信大家看完后对高考数学等差数列有了不少的认识，用最简单的方法帮助高考生圆梦，十年磨一剑，实力今朝现，祝大家金榜题名。

裂项法和错位相减法一般是是求和的方法…… 求通项的话可以参考如下： （一）一阶常系数线性递推数列与待定系数法 a(n+1)=k*an+h （n∈N*，k,h为常数） 其中，当k=1，{an}为等差数列 特别的，k=1且h=0时，{an}为常数列 k不为0，且h=0时，{an}为等比数列 当k不为0或1，且h不为0时， 可转化为等比数列： a(n+1)+h"=k*(an+h") 其中h"=h/(k-1) 变式1： a(n+1)=h*an^k （n∈N*，k,h为常数） 可令xn=ln(an) 则有x(n+1)=k*xn+h 转化成了一阶常系数线性递推数列. 变式2： a(n+1)=k*an+f(n) （n∈N*，k为常数） 其中k=1时，a(n+1)=an+f(n) 此时称为等差型数列. 当f(n)=d（d为常数）时，为等差数列. 变式3： a(n+1)=f(n)*an^k （n∈N*，k为常数） 可令xn=ln(an) 则有x(n+1)=k*xn+ln(f(n)) 转化成了一阶常系数线性递推数列. 其中k=1时，a(n+1)=f(n)*an 此时称为等比型数列. 当f(n)=q（q为非零常数）时，为等比数列. （二）二阶常系数齐次线性递推数列与特征根法 递推式： a(n+2)=p*a(n+1)+q*an （n∈N*，p,q为常数） 1）待定系数法 a(n+2)=p*a(n+1)+q*an 可转化为等比数列： a(n+2)-α*a(n+1)=β*(a(n+1)-α*an) 和 a(n+2)-β*a(n+1)=α*(a(n+1)-β*an) 其中α+β=A α*β=-B 2）特征根法 a(n+2)=p*a(n+1)+q*an 其特征方程为x^2-p*x-q=0 i.若其有两个不相等的根（称作特征根）α、β 则an=A*α^n+B*β^n 其中常数A、B的值由初始值a1、a2的值确定. ii.若其有两个相等的根α 则an=(A*n+B)*α^n 其中常数A、B的值由初始值a1、a2的值确定. 最终可得： 当{an}有两个不等的特征根为根α,β时 an=((a2-β*a1)/(α-β))*α^(n-1)-((a2-β*a1)/(α-β))*β^(n-1) 当特征根为重根α时 an=((a2-a1*α)*n+2*a1*α-a2)*α^(n-2) 变式1 递推式： a(n+2)=a(n+1)^p*an^q （n∈N*，p,q为常数） 可令xn=ln(an) 则有x(n+2)=p*x(n+1)+q*xn 转化成了二阶常系数齐次线性递推数列. 变式2 递推式： a(n+2)=(a(n+1)^2+k*c^n)/an （n∈N*，c,k为常数） 变式3：双数列 变式4 递推式： a(n+2)=p*a(n+1)+q*an+f(n) （n∈N*，p,q为常数） （三）分式常系数线性递推数列与不动点法 递推式： a(n+1)=(A*an+B)/(C*an+D) （n∈N*，A,B,C,D为常数，C不为0，AD-BC不为0，a1与a2不等） 其特征方程为x=(A*x+B)/(C*x+D) 特征方程的根称为该数列的不动点 这类递推式可转化为等差数列或等比数列 1）若x=(A*x+B)/(C*x+B)有两个不等的根α、β，则有： (a(n+1)-α)/(a(n+1)-β)=k*((an-α)/(an-β)) 其中k=(A-α*C)/(A-β*C) x=(A*x+B)/(C*x+D) C*x^2+(D-A)*x-B=0 α不等于β (D-A)^2+4*B*C不等于0 C*α^2+(D-A)*α-B=0 C*α^2-A*α=B-α*D a(n+1)-α=(A*an+B-C*α*an-α*D)/(C*an+D)=(A*an-C*α*an+C*α^2-A*α)/(C*an+D)=(A-C*α)*(an-α)/(C*an+D) a(n+1)-β=(A*an+B-C*β*an-β*D)/(C*an+D)=(A*an-C*β*an+C*β^2-A*β)/(C*an+D)=(A-C*β)*(an-β)/(C*an+D) (a(n+1)-α)/(a(n+1)-β)=(A-α*C)/(A-β*C)*((an-α)/(an-β)) 由 (an-α)/(an-β)=((A-α*C)/(A-β*C))^(n-1)*((a1-α)/(a1-β)) 得 an=(β*(((A-α*C)/(A-β*C))^(n-1))*((a1-α)/(a1-β))-α)/(((((A-α*C)/(A-β*C))^(n-1))*((a1-α)/(a1-β))-1) 2）若x=(A*x+B)/(C*x+B)有重根α，则有 1/(a(n+1)-α)=1/(an-α)+k 其中k=(2*C)/(A+D) x=(A*x+B)/(C*x+D) C*x^2+(D-A)*x-B=0 C*α^2+(D-A)*α-B=0 α=(A-D)/(2*C) a(n+1)-α=(A-C*α)*(an-α)/(C*an+D) 1/(a(n+1)-α)=((C*an+D)/(A-C*α))*(1/(an-α)) =1/(an-α)+(C*an+D-A+((A-D)/(2*C))*C)/((A-(A-D)/(2*C)*C)*(an-(A-D)/(2*C)))=1/(an-α)+(C*an+C*(D-A)/(2*C))/(((A+D)/2)*(an+(D-A)/(2*C))) =1/(an-α)+(2*C)/(A+D) 由 1/(an-α)=(2*C*(n-1))/(A+D)+1/(a1-α) an=1/((2*C*(n-1))/(A+D)+1/(a1-α))+α 变式 递推式： a(n+1)=(an^2+P)/(2*an+Q) （n∈N*，P,Q为常数） 其特征方程为x=(x^2+P)/(2*x+Q) 1）若其有两个不等根α、β，即Q^2+4*P不等于0 则有： (a(n+1)-α)/(a(n+1)-β)=((an-α)/(an-β))^2 令xn=ln((an-α)/(an-β)) 则有：x(n+1)=2*xn 转化为了等比数列. ln((a(n+1)-α)/(a(n+1)-β))=2*ln((an-α)/(an-β)) an=(β*((a1-α)/(a1-β))^(2^(n-1))-α)/(((a1-α)/(a1-β))^(2^(n-1))-1) 2）若其有重根α，即Q^2+4*P=0 则有： an=(a1-α)/(2^(n-1))+α

1、数列中数的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列中的项与数集中元素的异同 因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性 2 数列{an}前n 项和Sn与通项an的关系式 an= 3 求通项常用方法 ①作新数列法 作等差数列与等比数列 ②累差叠加法 最基本形式是 an=(an－an－1+(an－1+an－2)+…+(a2－a1)+a1 ③归纳、猜想法 4 数列前n项和常用求法 ①重要公式 1+2+…+n= n(n+1) 12+22+…+n2= n(n+1)(2n+1) 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2= n2(n+1)2 ②等差数列中Sm+n=Sm+Sn+mnd，等比数列中Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn ③裂项求和 将数列的通项分成两个式子的代数和，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加时抵消中间的许多项 应掌握以下常见的裂项 ④错项相消法 ⑤并项求和法 数列通项与和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法 利用待定常数法(重点）例1 已知数列｛n ｝中，若1=1，且n+1=3n-4(n=1,2,3,…). 求数列的通项公式n. 分析：若关系式是n+1=3n即为等比数列，因此考虑处理-4，若能化为n+1+x=3(n+x),则可构造等比数列｛n+x｝。 解：设n+1=3n-4恒等变形为n+1+x=3（n+x)，即n+1=3n+2x,比较系数得：x=-2 n+1-2=3(n-2) 数列｛n-2｝是以1-2=-1为首项，公比为3的等比数列 n-2=（-1）3n-1 即n = -3n-1+2. 说明：给出一阶递推关系式形如 (n=1,2,…),A、B为常数，均可使用待定常数法，构造等比数列求出通项。 例2 已知数列｛n ｝中，前n项和sn = 2n-3n, 求数列的通项公式n. 分析：已知等式中不是递推关系式，利用可转化为：n -2n-1=2,考虑3n-1是变量，引入待定常数x时，可设n- x=2(n-1- x),从而可构造等比数列。 解：1=s1=21-3 则1=3， 当n2时， =（2n-3n）-（2n-1-3n-1）即n-2n-1=2 ,设其可恒等变形为：n- x=2(n-1- x)，（需要注意的是上面的指数，这是某种关系而不是固定的常数，故在恒等变形时需注意两边对应的关系，而不应该用X代替x，也可以不设“-”设“+”，结果是一样的。） 即 n -2n-1=x ,比较系数得：x=2. n- 2=2(n-1- 2 ) 数列｛n- 2｝是以1-6=-3为首项，公比为2的等比数列。 n- 2=（-3）2n-1 n=2-3.说明：对于型如n=An-1+f(n)（A为常数）的一阶递推关系式。可利用待定常数法，构造等比数列；但须体现新数列相邻两项的规律性，设其可恒等变形为：n- xg(n)=A[n-1- xg(n-1)],若x存在,则可构造等比数列{ n- xg(n)}。 2 利用配方法 有些递推关系式经“配方”后，可体现等差（比）的规律性。 例3 设n0，1=5，当n2时，n+n-1=+6, 求数列的通项公式n。 分析：给出的递推关系式不能反映规律性，因此考虑去分母得：2n-2n-1=7+6(n-n-1),为体现规律性，变形为：2n-2n-1-6n+6n-1=7，即（n-3）2-(n-1-3)2=7. 解：由n+n-1=+6（n2）变形为： 2n-2n-1=7+6(n-n-1) 即（n-3）2-(n-1-3)2=7 （n2） 数列{ }是以(1-3)2=4为首项，公差为7的等差数列 =4+7（n-1）=7n-3，而n0 n=+3 说明：递推关系式中含有二次项、一次项时可考虑用配方法，揭示规律，构造等差（比）数列。3 利用因式分解有些递推关系式经因式分解后，可体现等差（比）的规律性。 例4已知数列｛n ｝是首项为1的正项数列，且2n+1 + 3n+1 - 22n + 3n - nn+1=0求数列的通项公式n。 分析:由已知递推关系式，若配方，则无法配成完全平方或完全平方项之和。因此考虑用因式分解化简，寻求更实质的关系。可变形为：n+1（n+1 +3）+3n - nn+1 +n（-2n）=0。解：由已知有：n+1（n+1 +3）+3n - nn+1 +n（-2 n）=0 （n+1 + n）[（n+1 + 3）-2n]=0，而n0 n+1 + 3 -2n=0，则利用待定常数法有（n+1 - 3）-2（n -3）=0 数列{n -3}是以1-3=-2为首项，公比为2的等比数列。 n-3 =（-2）2n-1 即n = 3-2n 说明：因式分解能达到化简的目的，使递推关系式简化，凸显规律性。 5 利用倒数有些数列的递推关系式，经取倒数变形后，显现出规律性，可构造等比（差）数列。例7 已知x1=1,x2=2,xn+ 2=,试求xn 。分析：由递推关系式结构特征，易联想到倒数，即有 xn+2 =，从而 =，可构造等比数列。解：对递推关系式两边取倒数得：= 可变形为=（-）（） 数列{}是以=-为首项，公比为-的等比数列 =（-）(-= (n2) =+()+()+ … +() = 1 + （-）+（-）2 + … + = + (n2) = (n2) 而当n=1时亦满足。 = (n1) 说明：递推关系式中含有相邻两项之积与相邻两项之和的关系，可考虑取倒数（或化为分式），揭示规律，构造等比（差）数列。 例8已知数列｛n ｝中，1=7，n2时，，求数列的通项公式n 分析：已知递推关系式右边为分式，取倒数后可化为：，未能反映规律， 但若能化为的关系，则可揭示规律；结合待定常数法，可确定A值。解：由已知： （A0）即(2A+1≠0) 令，解得：A=1 已知关系式可恒等变形为，取倒数得： （n2）。 数列{}是以=为首项，公差为的等差数列。 = +（n-1）,即 （n1） 说明：①例8中的递推关系式结构特征，亦易想到取倒数，但要灵活结合待定常数法，构造新数列，凸显等差的规律性。 ②引入待定常数A是为了揭示变化的一致性（规律性），若A值存在，则可反映此变化规律。若A值不存在，则考虑其它变形。6 利用换元 有些数列的递推关系式看起来较为复杂，但应用换元和化归思想后，可构造新数列进行代换，使递推关系式简化，从而揭示等差（比）规律，求出通项。 例9已知数列｛an ｝中， 求（1981年第22届IMO预选题）。 分析：已知递推关系式中的较难处理，考虑用换元去掉根式，即令（0）。 解：令，则=5， 0，从而= 由已知递推关系式有： 化简得：=（）2 2=， 由待定常数法得：2（-3）= -3数列{-3}是以-3=2为首项，公比为的等比数列。-3=2（）n-1 即 = + 3== (n1) 说明：对于递推关系式中较难处理的根式（比如不能反映相邻项的规律性），可采用换元去掉根式，化简递推关系式，揭示相邻项的变化规律，构造等比（差）数列。 例10 设=1，=（nN）,求证：（1990年匈牙利奥林匹克试题）。 分析：比较已知与结论，应先求通项公式。待证的不等式中含有，且已知递推关系式中含有，据此两个信息，考虑进行三角代换，化简递推关系式。 证明：由已知0，引入数列{}使=tan,(0,) 由已知有：= 即=，又=1，，从而 即数列{}是以为首项，公比为的等比数列 = = ， 而当x(0,)时，有tanxX = tan 说明：对于递推关系式中，型如可考虑采用三角代换，化简递推关系式，揭示规律性。 总之，构造等比（差）数列关键在于抓住递推关系式的结构特征，选择恰当方法进行恒等变形，往往能揭示等比（差）规律，顺利求出通项。 参考文献：⑴ 罗增儒. 递推数列.�0�0高考到竞赛�0�3（数学），陕西师范大学出版社，2002，7。⑵ 陈传理、刘诗雄. 递推数列.�0�0高中数学竞赛名师讲座�0�3，华中师范大学出版社，1993，4。⑶ 秦永. 递推数列.中学数学教学参考（陕西师范大学），2003（4）。⑷ 樊友年.构造法解数列综合题. 中学数学教学参考，2002（7）。

6,8,8,0,-32,( )后面一个数应该是-128。 规律如下: (8-6)*4=8 　(8-8)*4=0(0-8)*4=-32(0-32)*4=-128扩展资料：一、找规律填数的方法：1、判断是否有等差、高阶等差、等比的规律。2、做差分、求和、比值。3、按照规律推导需要填入的数字。二、特殊规律：1、素数组成的特殊数列。2、需要做多次加减运算的数列。

设该数列为bn,首项为b,设二价等差数列为an首项为a1,公差为d 依题意得： b1=b b2=b1+a1 b3=b2+a2 b4=b3+a3 . b(n-1)=b(n-2)+b(n-2) bn=b(n-1)+a(n-1) 左边与左边相加,右边与右边相加,得 bn=b+a1+a2+a3+.+a(n-1) =b+[a1+a(n-1)](n-1)/2 =b+[2a1+(n-2)d](n-1)/2

汗！看问题不能太死板哦。你把n看作x就知道了哦！好好努力哦！

【定义】　　一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列（arithmetic sequence），这个常数叫做等差数列的公差（common difference），公差通常用字母d表示。　　【缩写】　　等差数列可以缩写为A.P.（Arithmetic Progression）。　　【等差中项】　　由三个数a，A，b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列。这时，A叫做a与b的等差中项（arithmetic mean）。　　有关系：A＝（a＋b）/2　　【通项公式】　　an=a1+(n-1)d　　an=Sn-S(n-1) (n≥2)　　【前n项和】　　Sn=n(a1+an)/2=n*a1+n(n-1)d/2　　【性质】　　且任意两项am，an的关系为：　　an=am+(n-m)d　　它可以看作等差数列广义的通项公式。 　　从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：　　a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈{1,2,…,n} 　　若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有　　am+an=ap+aq　　Sm-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1　　Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…或等差数列，等等。　　和＝（首项＋末项）×项数÷2 　　项数＝（末项-首项）÷公差＋1 　　首项=2和÷项数-末项　　末项=2和÷项数-首项　　设a1,a2,a3为等差数列。则a2为等差中项,则2倍的a2等于a1+a3，即2a2=a1+a3。等比数列　　【定义】　　一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列（geometric sequence）。这个常数叫做等比数列的公比（common ratio），公比通常用字母q表示。　　【缩写】　　等比数列可以缩写为G.P.（Geometric Progression）。　　【等比中项】　　如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。　　有关系：G^2＝ab；G＝±(ab)^(1/2)　　注：两个非零同号的实数的等比中项有两个，它们互为相反数，所以G^2=ab是a,G,b三数成等比数列的必要不充分条件。　　【通项公式】　　an=a1q^(n-1)　　an=Sn-S(n-1) (n≥2)　　【前n项和】　　当q≠1时，等比数列的前n项和的公式为　　Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q) (q≠1)　　【性质】　　任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)　　（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n} 　　（4）等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。　　记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1　　另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。 　　性质： 　　①若 m、n、p、q∈N*，且m＋n=p＋q，则am·an=ap·aq； 　　②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列. 　　“G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”.　　(5) 等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)　　在等比数列中，首项A1与公比q都不为零. 　　注意：上述公式中A^n表示A的n次方。一般数列的通项求法　　一般有：　　an=Sn-Sn-1 （n≥2）　　累和法（an-an-1=... an-1 - an-2=... a2-a1=...将以上各项相加可得an）。　　逐商全乘法（对于后一项与前一项商中含有未知数的数列）。 　　化归法（将数列变形，使原数列的倒数或与某同一常数的和成等差或等比数列）。　　特别的：　　在等差数列中，总有Sn S2n-Sn S3n-S2n　　2(S2n-Sn)=(S3n-S2n)+Sn　　即三者是等差数列,同样在等比数列中。三者成等比数列　　不动点法（常用于分式的通项递推关系）数列前N项和公式的求法　　(一)1.等差数列: 　　通项公式an=a1+(n-1)d 首项a1,公差d, an第n项数 　　an=ak+(n-k)d ak为第k项数 　　若a,A,b构成等差数列 则 A=(a+b)/2 　　2.等差数列前n项和: 　　设等差数列的前n项和为Sn 　　即 Sn=a1+a2+...+an; 　　那么 Sn=na1+n(n-1)d/2 　　=dn^2(即n的2次方) /2+(a1-d/2)n 　　还有以下的求和方法: 1,不完全归纳法 2 累加法 3 倒序相加法 　　(二)1.等比数列: 　　通项公式 an=a1*q^(n-1)(即q的n-1次方) a1为首项,an为第n项 　　an=a1*q^(n-1),am=a1*q^(m-1)　　则an/am=q^(n-m) 　　(1)an=am*q^(n-m) 　　(2)a,G,b 若构成等比中项,则G^2=ab (a,b,G不等于0) 　　(3)若m+n=p+q 则 am×an=ap×aq 　　2.等比数列前n项和 　　设 a1,a2,a3...an构成等比数列 　　前n项和Sn=a1+a2+a3...an 　　Sn=a1+a1*q+a1*q^2+....a1*q^(n-2)+a1*q^(n-1)(这个公式虽然是最基本公式,但一部分题目中求前n项和是很难用下面那个公式推导的,这时可能要直接从基本公式推导过去,所以希望这个公式也要理解) 　　Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q); 　　注: q不等于1; 　　Sn=na1 注:q=1 　　求和一般有以下5个方法: 1,完全归纳法（即数学归纳法） 2 累乘法 3 错位相减法 4 倒序求和法 5 裂项相消法

二阶等差数列的万能公式是：$a_{n}=a_{1}+(n-1)d_{1}+{frac {(n-1)(n-2)}{2}}d_{2}$。其中 $a_{n}$ 表示数列中的第 $n$ 项，$a_{1}$ 表示数列中第一项，$d_{1}$ 表示公差，$d_{2}$ 表示二阶公差（也叫做公差的公差）。这个公式是一种通用的公式，可以求得任意一个二阶等差数列的第 $n$ 项。需要注意的是，当二阶公差为零时，上述公式就简化为常规等差数列的通项公式：$a_n = a_1 + (n-1)d$，其中 $d$ 表示等差数列的公差。二阶等差数列是一种特殊的数列，其相邻两项之间的差都是一个等差数列。比如这个数列：$1, 4, 10, 19, 31, ...$ 就是一个二阶等差数列，其中第一阶公差为 $3$（$4-1=3$），第二阶公差为 $2$（$10-4=6, 19-10=9, 31-19=12$ 都是 $2$ 的倍数）。二阶等差数列万能公式在数学中具有非常广泛的应用。如可以应用于解决一些基础的数学问题，如平面上等面积划分成的正方形网格数列的求和问题；也可以应用于一些高阶数学问题，如线性代数和微积分等领域的矩阵计算和微分方程求解等方面。如何使用公式使用二阶等差数列万能公式时，需要知道数列的第一项 $a_{1}$，第一阶公差 $d_{1}$，二阶公差 $d_{2}$，以及要求第几项 $a_{n}$。将这些值代入公式，就可以计算出数列的第 $n$ 项的值了。

如果你说的是等比数列，通项是这样的：比如1 3 7 13 21 31……相邻两项的差分别为2,4,6,8,10……an =s（n-1）+2（n-1）a（n+1）=s（n） +2n相减，就可以得到2an +2=an +1，这是我能求的最高的了，

高中文化无法回答此题，我上课的时候试过对等比数列的Sn进行过类似的推导，貌似导出的东西在高中阶段根本不需要。我猜应该是大学才用到吧！

设该数列为bn，首项为b，设二价等差数列为an首项为a1，公差为d依题意得：b1=bb2=b1+a1b3=b2+a2b4=b3+a3...........b(n-1)=b(n-2)+b(n-2)bn=b(n-1)+a(n-1) 左边与左边相加，右边与右边相加，得bn=b+a1+a2+a3+.....+a(n-1) =b+[a1+a(n-1)](n-1)/2 =b+[2a1+(n-2)d](n-1)/2

设该数列为bn，首项为b，设二价等差数列为an首项为a1，公差为d依题意得：b1=bb2=b1+a1b3=b2+a2b4=b3+a3...........b(n-1)=b(n-2)+b(n-2)bn=b(n-1)+a(n-1) 左边与左边相加，右边与右边相加，得bn=b+a1+a2+a3+.....+a(n-1) =b+[a1+a(n-1)](n-1)/2 =b+[2a1+(n-2)d](n-1)/2

裂项相消法最常见的就是an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)sn=1/1*2+1/2*3+.....+1/n(n+1)=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+....+1/(n-1)-1/n+1/n-1/(n+1)（中间相消，最后只剩首尾两项）=1-1/(n+1)错位相减法这个在求等比数列求和公式时就用了sn=1/2+1/4+1/8+....+1/2^n两边同时乘以1/21/2sn=1/4+1/8+....+1/2^n+1/2^(n+1)(注意根原式的位置的不同，这样写看的更清楚些）两式相减1/2sn=1/2-1/2^(n+1)sn=1-1/2^n倒序相加法这个在证明等差数列求和公式时就应用了sn=1+2+..+nsn=n+n-1+....+2+1两式相加2sn=(1+n)+(2+n-1)+...+(n+1)=(n+1)*nsn=n(n+1)/2

提示：方法1。令S=1+2^2n+3^2n^2+4^2n^3+……+k^2n^(k-1)两边同乘n,nS=n+2^2n^2+3^2n^3+4^2n^4+……+k^2n^k两个等式相减得（1-n)S=1+3n+5nn+...+(2k-1)n^(k-1)-k^2n^k再如上法，相减就可以得到一个等比数列求和，然后可以化简了。方法2.令f(x)=1+x+xx+...+x^k.两边求导，得f"(x)=1+2x+3xx+...+kx^(k-1).两边同乘以x.f"(x)x=x+2xx+3xxx+...+kx^k两边再求导，令x=n代入即可。过程就不详述了。