黎曼流形

黎曼几何是黎曼流形上的几何学。黎曼流形指的是一个n维微分流形M，在其上给定了一个黎曼度量g，也就是说，在微分流形M的每一个坐标邻域（U,x）内，用一个正定对称的二次微分来度量二个无限邻近的点（x1,x2，…，xn）和（x1+dx1，x2+dx2，…，xn+dxn）之间的距离。这里（gij）构成一个正定对称的n×n阵，并假设gij(x）关于（xi）有一定的可微性，而M上连接两点P、Q的曲线C:xi=xi(t），α≤t≤b的长度l(C)就用积分来计算。为了保证距离的度量与坐标邻域的选取无关，还要求gij满足二阶协变张量的变换规律，用整体黎曼几何的语言来说，就是在微分流形M上给定了一个由分量gij决定的正定对称二阶协变张量场g。M连同g，即（M,g）称为一个n维黎曼流形，g称为度量张量或基本张量。由于历史的原因，黎曼流形又常称黎曼空间，但后者偏重于局部意义，即常指黎曼流形的一个开子集或一个坐标邻域。度量张量g在流形M每点P(x1,x2，…，xn）的切空间Tp(M）中就规定了一个内积gp(或记为：〈，〉）用来计算切向量的长度、交角。即若向量X，Y∈Tp(M），而，，则X 的长度；X、Y的交角 θ由，0≤θ≤π决定。如果cosθ=0，即，就称X、Y 为互相正交。│尣│=1的向量称为单位向量，Tp(M）中由两两互相正交的单位向量组成的基称为正规正交基，对任一点P∈M，在P点的某一邻域U 内总存在n个单位向量场e1,e2，…，en，使得在U的每点它们构成切空间的一个正规正交基，这n个局部向量场称为一个局部正规正交基或局部正规正交标架。运用局部正规正交标架来研究黎曼几何的方法称为活动标架法。黎曼几何中的许多公式和几何量在活动标架下有特别简单明了的表达式，例如取ω1，ω2，…，ωn为局部正规正交标架e1，e2，…，en的对偶形式，也称对偶基，即满足的n个一次微分形式，于是在基{ei}下，由于，度量形式可写为。任一仿紧微分流形总具有黎曼度量，这种黎曼度量的数目是非常繁多的，但也不是完全任意的。微分流形的度量结构是受它的拓扑结构所制约的，而这种制约关系正是黎曼几何研究的一个重要内容，还存在许多没有解决的问题。有了计算曲线长度的方法，黎曼流形（M,g）上任意两点P、Q之间的距离d(P,Q）就可以用M中连接P、Q的所有分段可微分曲线的长度的下确界来定义，即 （连接P，Q的分段可微分曲线C）。于是，M在上述距离下成为一个度量空间，还可以证明，它所导出的度量拓扑与流形M原有的拓扑是等价的。

黎曼流行（英文版）作者：J.M.Lee 著出版社：世界图书出版公司出版日期：2003-11-01个人简介内容简介This book is designed as a textbook for a one-quarter or one-semester graduate course on Riemannian geometry, for students who are familiar with topological and differentiable manifolds. It focuses on developing an intimate acquaintance with the geometric meaning of curvature. In so doing, it introduces and demonstrates the uses of all the main technical tools needed for a careful study of Riemannian manifolds.同类图书推荐·《财富理论的数学原理的研究》·《高考总复习闯关训练：数学——天骄》 微分流形一、 流形的基本概念：流形的定义和基本例子，子流形，切空间和切丛，光滑函数、光滑映射及切映射。要求了解球面、环面、射影空间等基本例子，并了解一维、二维流形的分类。要求了解浸入（immersion）、嵌入（embedding）、淹没（submersion）和微分同胚的概念。二、 正则性、奇异性及其应用：正则点和正则值，临界点和临界值，Sard定理，Morse引理，Thom横截性定理。要求了解映射度的概念，并能运用正则值的概念验证某些空间是流形。三、 光滑向量场和可积性定理：光滑向量场及其奇点的定义，Lie括号，积分曲线和动力系统，Euler-Poincare公式，Frobenius可积性定理。四、 Lie群和Lie 群作用初步：Lie群和Lie代数的定义和基本例子，单参数子群，指数映射，Lie群在流形上的作用，基本向量场，齐性空间等。要求能够验证一些常见的矩阵群为Lie群并计算它们的Lie代数，并对一些低维Lie群的流形结构较为熟悉。要求能将一些常见流形写成齐性流形。五、 微分形式和积分：微分形式和外积的定义和性质，外微分，内积，Lie 导数，Cartan公式，de Rham上同调，Poincare对偶，Laplace算子，Hodge理论初步，定向和微分形式的积分，带边流形和Stokes定理。要求掌握单位分解的技巧，要求了解外微分和Stokes定理的古典形式。要求能够计算常见流形和二维流形的上同调环。六、 Riemann 几何初步：Riemann度量，Levi-Civita联络，Christoffel符号，Rieman曲率，截曲率，常截曲率流形的模 型。要求能够从给定的Riemann度量计算Riemann曲率。要求对向量丛的概念和张量运算较为熟悉。黎曼流形爱因斯坦的广义相对论告诉我们，引力并不是真正的力，而是反映空间扭曲的一个几何现象。对一个考察者来说，他身处在这个空间里，是无法直接体会到空间扭曲的。 但是他可以通过测量自己所处的空间来判断是否存在空间扭曲，测量的标准就是所谓的度量。 度量是内蕴性质。 具有度量的空间就称为黎曼空间。具体的定义如下：黎曼流形是具有黎曼度量的微分流形，换句话说，这个流形上有一个对称 正定 协变 二阶张量场， 亦即每一点处有一个2阶正定矩阵。给了度量以后， 我们就可以向数学分析里做的那样，建立起微积分的理论。欧氏空间有自然的度量ds^2=(dx_1)^2+...+(dx_n)^2.它的矩阵就是单位矩阵。欧氏空间中的子流形当然也就自然地诱导出一个度量。 曲线和曲面的微分几何 里，我们都是把曲线曲面视为三维空间的子流形，所以自然赋予了度量结构。黎曼度量给定后，我们可以有唯一的确定出一个对称（即无挠）联络，并且它是保持黎曼内积。这个联络称为黎曼联络。有了联络，我们就可以定义向量场的协变微分和协变导数，从而建立起流形上的微分学。 在欧氏空间上，联络是0，所以这就是通常意义上的向量函数的微分。黎曼度量还诱导出黎曼曲率的概念，它反映了流形的弯曲程度，是内蕴性质，也就是说这个性质与流形所在的大空间无关。 曲率恒消失的流形称为平坦黎曼流形。欧氏空间就是最常见的平坦流形。大数学家 高斯 最早研究了曲面上的曲率--高斯曲率， 发现这种曲率是内蕴的，尽管它的定义式不是内蕴的。 这是一个非常了不起的发现。

黎曼（德，1826－1866年）：几何观点，黎曼面。1851年博士论文《单复变函数一般理论基础》，其重要性恰如著名数学家阿尔福斯（芬－美，1907－1996年）所说：这篇论文不仅包含了现代复变函数论主要部分的萌芽，而且开启了拓扑学的系统研究，革新了代数几何，并为黎曼自己的微分几何研究铺平了道路。此外，建立了柯西－黎曼条件，真正使这方程成为复分析大厦的基石，揭示出复函数与实函数之间的深刻区别，黎曼映射定理。

流形上的黎曼度量给定后，我们可以得到一个唯一确定的对称（即无挠）联络，并且它保持黎曼度量。这个联络称为这个黎曼度量的Levi-Civita联络。 有了联络，我们就可以定义向量场的协变微分和协变导数，从而建立起流形上的微分学。欧氏空间的联络就是通常意义上的向量函数的微分。 黎曼度量还诱导出曲率的概念，它反映了流形的弯曲程度。曲率处处为零的流形称为平坦黎曼流形。欧氏空间就是最常见的平坦流形。德国数学家高斯最早研究了曲面上的曲率，发现这种曲率是内蕴的，尽管它的定义式不是内蕴的。

黎曼流行（英文版）作者：J.M.Lee 著出版社：世界图书出版公司出版日期：2003-11-01个人简介内容简介This book is designed as a textbook for a one-quarter or one-semester graduate course on Riemannian geometry, for students who are familiar with topological and differentiable manifolds. It focuses on developing an intimate acquaintance with the geometric meaning of curvature. In so doing, it introduces and demonstrates the uses of all the main technical tools needed for a careful study of Riemannian manifolds.同类图书推荐·《财富理论的数学原理的研究》·《高考总复习闯关训练：数学——天骄》 微分流形一、 流形的基本概念：流形的定义和基本例子，子流形，切空间和切丛，光滑函数、光滑映射及切映射。要求了解球面、环面、射影空间等基本例子，并了解一维、二维流形的分类。要求了解浸入（immersion）、嵌入（embedding）、淹没（submersion）和微分同胚的概念。二、 正则性、奇异性及其应用：正则点和正则值，临界点和临界值，Sard定理，Morse引理，Thom横截性定理。要求了解映射度的概念，并能运用正则值的概念验证某些空间是流形。三、 光滑向量场和可积性定理：光滑向量场及其奇点的定义，Lie括号，积分曲线和动力系统，Euler-Poincare公式，Frobenius可积性定理。四、 Lie群和Lie 群作用初步：Lie群和Lie代数的定义和基本例子，单参数子群，指数映射，Lie群在流形上的作用，基本向量场，齐性空间等。要求能够验证一些常见的矩阵群为Lie群并计算它们的Lie代数，并对一些低维Lie群的流形结构较为熟悉。要求能将一些常见流形写成齐性流形。五、 微分形式和积分：微分形式和外积的定义和性质，外微分，内积，Lie 导数，Cartan公式，de Rham上同调，Poincare对偶，Laplace算子，Hodge理论初步，定向和微分形式的积分，带边流形和Stokes定理。要求掌握单位分解的技巧，要求了解外微分和Stokes定理的古典形式。要求能够计算常见流形和二维流形的上同调环。六、 Riemann 几何初步：Riemann度量，Levi-Civita联络，Christoffel符号，Rieman曲率，截曲率，常截曲率流形的模 型。要求能够从给定的Riemann度量计算Riemann曲率。要求对向量丛的概念和张量运算较为熟悉。黎曼流形爱因斯坦的广义相对论告诉我们，引力并不是真正的力，而是反映空间扭曲的一个几何现象。对一个考察者来说，他身处在这个空间里，是无法直接体会到空间扭曲的。 但是他可以通过测量自己所处的空间来判断是否存在空间扭曲，测量的标准就是所谓的度量。 度量是内蕴性质。 具有度量的空间就称为黎曼空间。具体的定义如下：黎曼流形是具有黎曼度量的微分流形，换句话说，这个流形上有一个对称 正定 协变 二阶张量场， 亦即每一点处有一个2阶正定矩阵。给了度量以后， 我们就可以向数学分析里做的那样，建立起微积分的理论。欧氏空间有自然的度量ds^2=(dx_1)^2+...+(dx_n)^2.它的矩阵就是单位矩阵。欧氏空间中的子流形当然也就自然地诱导出一个度量。 曲线和曲面的微分几何 里，我们都是把曲线曲面视为三维空间的子流形，所以自然赋予了度量结构。黎曼度量给定后，我们可以有唯一的确定出一个对称（即无挠）联络，并且它是保持黎曼内积。这个联络称为黎曼联络。有了联络，我们就可以定义向量场的协变微分和协变导数，从而建立起流形上的微分学。 在欧氏空间上，联络是0，所以这就是通常意义上的向量函数的微分。黎曼度量还诱导出黎曼曲率的概念，它反映了流形的弯曲程度，是内蕴性质，也就是说这个性质与流形所在的大空间无关。 曲率恒消失的流形称为平坦黎曼流形。欧氏空间就是最常见的平坦流形。大数学家 高斯 最早研究了曲面上的曲率--高斯曲率， 发现这种曲率是内蕴的，尽管它的定义式不是内蕴的。 这是一个非常了不起的发现。

亲亲你好，很高兴为你解答广义相对论中所讨论的空间叫“伪黎曼流形”。我发觉很多人在讨论空间的时候满嘴挂着什么123456...N维空间但又不知道具体什么是什么...

n维欧氏空间中有自然的度量ds^2=(dx_1)^2+...+(dx_n)^2。它的矩阵表示就是单位矩阵。欧氏空间中的子流形当然也就自然地诱导出一个度量。曲线和曲面的微分几何里，我们都是把曲线曲面视为三维空间的子流形，所以自然赋予了度量结构。