偏微分方程

=∫(∫ f(x)dx)dx连续二次不定积分，不妨用f""(x)替代f(x)就便于理解了∫∫ f""(x)dxdx=∫ (f"(x)+C1)dx=f(x)+C1x+C2,二元才是偏微分，一元仍然是常微分。

楼上是对的

分离变量法求解如图所示。

偏微分方程的所有解都可以写成单变量函数的积的形式或者是但变量函数积的和不一定……，达朗贝尔公式是无界波动问题的解。X(x)*Y(y)大概线性二阶

因为加减法部分被通解的线叠加取代了，求解只考虑乘除运算就行，乘除自然可以分离

我的高等数学没学到偏微分方程，所以下面只会个很朴素的解法,你看看行不?先看这个简单的微分方程：y=A*(dy/dx)+B，A,B是系数；(i) 它的解是y=C*exp(x/A)+B；C是任意常数同样对于偏微分方程：y=K1(dy/dx)+K2(dy/dt)+K3，K1,K2,K3是系数；(ii)它也有解y=C1*exp(x/K1)+C2*exp(t/K2)+K3；C1,C2是任意常数你的方程可以化简成上面(ii)那样的只要分母不为0，即K不等于-0.25*a2,那么(ii)中的K1=2/(4*K+a2)；K2=-4/(4*K+a2)；K3=4*K*a1/(4*K+a2)；所以当K不等于-0.25*a2时方程有解：y=C1*exp[x*(4*K+a2)/2]+C2*exp[-t*(4*K+a2)/4]+4*K*a1/(4*K+a2)C1，C2是任意常数当K等于-0.25*a2时，方程可化为：0.5*(dy/dx)-(dy/dt)+K*a1=0此时方程有解：y=(2*C-2*K*a1)*x-C*tC是任意常数

薛定谔方程（Schrdingerequation）是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定，其正确性只能靠实验来检验。是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。

你好，我不是物理专业的，但我知道薛定谔方程分别对于x，y，z，t是线性的，知道上有

对于一个标量quantity u的波动方程的一般形式是：{ partial^2 u over partial t^2 } = c^2 abla^2u这里c通常是一个固定常数，也就是波的传播速率（对于空气中的声波大约是330米/秒，参看音速）。对于弦的振动，这可以有很大的变化范围：在螺旋弹簧上（slinky），它可以慢到1米/秒。但若c作为波长的函数改变，它应该用相速度代替：v_mathrm = frac{omega}.注意波可能叠加到另外的运动上（例如声波的传播在气流之类的移动媒介中）。那种情况下，标量u会包含一个马赫因子（对于沿着流运动的波为正，对于反射波为负）。u = u(x,t），是振幅,在特定位置x和特定时间t的波强度的一个测量。对于空气中的声波就是局部气压，对于振动弦就使从静止位置的位移。 abla^2 是相对于位置变量x的拉普拉斯算子。注意u可能是一个标量或向量。对于一维标量波动方程的一般解是由达朗贝尔给出的：u(x,t) = F(x-ct) + G(x+ct) 其中F和G为任意函数，分别对应于前进行波，和后退行波。要决定F和G必须考虑两个初始条件：u(x,0)=f(x)u_{,t}(x,0)=g(x)这样达朗贝尔公式变成了：u(x,t) = frac{f(x-ct) + f(x+ct)} + frac int_^{x+ct} g(s) ds在经典的意义下，如果f(x) in C^k并且g(x) in C^则u(t,x) in C^k.一维情况的波动方程可以用如下方法推导：想象一个质量为m的小质点的队列，互相用长度h的弹簧连接。弹簧的硬度为k :这里u (x）测量位于x的质点偏离平衡位置的距离。对于位于x+h的质点的运动方程是：m{partial^2u(x+h,t) over partial t^2}= kLINK其中u(x）的时间依赖性变成显式的了。

这个高等数学买本参考书就行了

xy"""+3x^2y""+(4+5x+100x^5)y"+y=x+exp(x^3)

线性偏微分方程是一类重要的偏微分方程，关于所有未知函数及其偏导数都是线性的偏微分方程称为线性偏微分方程。例如，拉普拉斯方程、热传导方程及波动方程都是线性偏微分方程。定义：如果偏微分方程中，未知函数及它的所有偏导数都是线性的，且方程中的系数都仅依赖于自变量(或者是常数)，那么这样的偏微分方程就称为线性偏微分方程，特别的，如果方程中的系数都是常数，则称为常系数偏微分方程。显然，如果方程中的系数是自变量的函数，则称为变系数偏微分方程。方程中出现未知函数及偏导数不是线性的，则称为非线性偏微分方程。偏微分方程：未知函数具有多个自变量，含有这种未知函数的一个或多个偏导数的微分方程称为偏微分方程。如自变量只有一个就成为常微分方程。如方程不止一个，就称为偏微分方程组。 就是一个典型的偏微分方程。 就是一个典型的常微分方程。

凡含有参数，未知函数和未知函数导数 (或微分) 的方程，称为微分方程，有时简称为方程，未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程，未知数是多元函数的微分方程称作偏微分方程.微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶.定义式如下： F(x, y, y¢, ...., y(n)) = 0 　　定义2 任何代入微分方程后使其成为恒等式的函数，都叫做该方程的解.若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同，且任意常数之间不能合并，则称此解为该方程的通解(或一般解).当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，称为方程的特解. 　　一般地说，n 阶微分方程的解含有 n个任意常数。也就是说，微分方程的解中含有任意常数的个数和方程的阶数相同，这种解叫做微分方程的通解。通解构成一个函数族。 　　如果根据实际问题要求出其中满足某种指定条件的解来，那么求这种解的问题叫做定解问题，对于一个常微分方程的满足定解条件的解叫做特解。对于高阶微分方程可以引入新的未知函数，把它化为多个一阶微分方程组。 常微分方程常微分方程的概念、解法、和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。下面就方程解的有关几点简述一下，以了解常微分方程的特点。 　　求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。 　　后来的发展表明，能够求出通解的情况不多，在实际应用中所需要的多是求满足某种指定条件的特解。当然，通解是有助于研究解的属性的，但是人们已把研究重点转移到定解问题上来。 　　一个常微分方程是不是有特解呢？如果有，又有几个呢？这是微分方程论中一个基本的问题，数学家把它归纳成基本定理，叫做存在和唯一性定理。因为如果没有解，而我们要去求解，那是没有意义的；如果有解而又不是唯一的，那又不好确定。因此，存在和唯一性定理对于微分方程的求解是十分重要的。 　　大部分的常微分方程求不出十分精确的解，而只能得到近似解。当然，这个近似解的精确程度是比较高的。另外还应该指出，用来描述物理过程的微分方程，以及由试验测定的初始条件也是近似的，这种近似之间的影响和变化还必须在理论上加以解决。常微分方程实例　　下下列方程都是微分方程 (其中 y, v, q 均为未知函数). 　　(1) y= kx, k 为常数； 　　(2) ( y - 2xy) dx + x2 dy = 0； 　　(3) mv(t) = mg - kv(t)；如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。 偏微分方程分类比较繁琐，解法多样。建议找一本偏微分方程的教材来看看。会对你有很大帮助

需要。根据偏微分方程研究生的就业方向得知，互联网公司也需要研究生应用偏微分方程研发数值计算软件或者为其他行业提供技术支持,破除互联网公司中的各种壁垒。偏微分方程是以物理、化学和生物等学科中提出的偏微分方程为主要研究对象。

如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。 是微积分的深入知识，只要学过微积分的知识（包括对有多个自变量的偏微分），你想什么时候学就什么时候学。如函数f(x,y)=x^2+y^2 对f"x=2x f"y=2y f""xx=2 f""yy=2 由这些可构一个方程(f"x/f""xx)^2+(f"y/f""yy)^2=f f(x,y)=x^2+y^2 就是这个偏微分方程的一个解。这只是举个例子。偏微分方程的解是很复杂的，有时比方程还复杂。大部分常见方程都是由物理上得来，如果能列出一个有物理意义的新方程，基本上就可建立一门新的物理学科。 你从最简单的偏微分方程学，再学复杂的，现在你只要理解薛定谔的偏微分方程解的物理意义就可，就是研究生，不是专门研究这方面的，薛定谔的偏微分方程也不一定能明白。可以说他的解比方程还复杂。

简单的了解一下高速的话，其实是没有什么用的，如果是专业知识领域的话，可以往深入了解发展，然后当一些大学教授

《二阶变系数偏微分方程的分类》麦麦提明·阿不都克力木喀什师范学院学报 2006年 27卷 3期里面有详细介绍。你可以去下下看我截了一段图，不知道你能看到没，大概就是线性算符整理成对角阵后，系数为1，-1，0的个数为r，s，t个（r+s+t=n），按r，s，t分类r=n 椭圆r=n-1，s=1 双曲r=n-1，t=1 抛物r>1,s>1,t=1 超双曲等等

随着分析学对函数引入微分运算，表示未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程进入数学家的视野，这就是微分方程。微分方程的形成与发展与力学、天文学、物理学等科学技术的发展密切相关。因为在现实的世界中，物质的运动及其变化规律在数学上是用函数关系来描述的，这意味着问题的解决就是要去寻求满足某些条件的函数，而这类问题就转换为微分方程的求解问题。微分方程为科学发现提供了有力工具，如： 解微分问题的基本思想类似于解代数方程，要把问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来，进而得到包含未知函数的一个或几个方程，然后使用分析的方法去求得未知函数的表达式。 微分方程的发展历程： 如果微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，那么该类微分方程就是常微分方程。常微分方程的通解构成一个函数族，主要研究方程或方程组的分类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等内容。 常微分方程的发展经历了几个阶段： 现在，常微分方程在自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等学科领域内有着重要的应用。 如果一个微分方程中出现多元未知函数的偏导数，那么这就是偏微分方程。偏微分方程作为一门学科产生于18世纪对振动弦问题的研究。在科学技术飞速发展过程中，更多的问题无法用只含一个自变量的函数来描述，多个变量的函数来描述才更合适。 到19世纪，偏微分方程得到迅速发展，数学物理问题的研究也随之繁荣起来，许多数学家都对数学物理问题的解决做出了贡献。尤其是法国数学家傅立叶，他在自己关于热传导的论文《热的解析理论》中提出了一种偏微分方程，三维空间的热方程。 偏微分方程是什么样的？它包括哪些内容？ 偏方程有多种类型，一般包括椭圆型偏微分方程、抛物型偏微分方程、双曲型偏微分方程 。 作为同一类现象的共同规律表示式，偏微分方程的解一般有无穷多个，而具体物理问题的解决，必须依据附加条件从中选取所需要的解。就物理现象来说，各具体问题的特殊性就在于研究对象所处的初始条件和边界条件。 初始条件和边界条件叫做定解条件。偏微分方程本身表达的是同一类物理现象的共性，是作为解决问题的依据；定解条件却反映出具体问题的个性，反映了问题的具体情况；那么方程和定解条件合二为一，就叫定解问题。 求偏微分方程的定解问题可以先求其通解，然后用定解条件找出函数。但一般在实际中来说，通解是不容易求出的，用定解条件确定函数则是更难。偏微分方程的定解常用解法： 偏微分方程的很多定解问题是不能严格解出的，退而求其次，采用近似方法求出满足实际需要的近似解。常用的方法有变分法和有限差分法：变分法是把定解问题转化成变分问题，再求变分问题的近似解；有限差分法是把定解问题转化成代数方程，然后用计算机进行计算。 随着物理科学所研究的广度和深度的扩展，偏微分方程的应用范围也更广泛。而从数学的角度看，偏微分方程的求解促使函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面的发展。从这个角度说，偏微分方程变成了数学的中心。

高数中没有偏微分方程，偏微分方程是单独一本书，难度要比高数大很多。高数中的多元函数微分学应该只是求多元函数的偏微分，而偏微分方程是求偏微分的逆过程。

题主想问的是常微分方程（ODE）和偏微分方程（PDE）的数值方法区别呢还是微分方程这个领域和微分方程数值解领域的区别呢？按照前面@赵永峰 的回答，我也按照前者理解吧。毕竟后者的一些区别是显而易见的。先说一点共性。微分方程的数值方法，无论是ODE还是PDE，都是将连续的、无限未知数的问题近似为离散的、有限未知数的问题求解。从经典数值分析的角度，通常会关心下面一些问题：相容性、稳定性、收敛性、收敛阶、计算量等等。相容性是指格式在局部是不是做出了正确的近似；稳定性是说局部的近似误差会不会随着计算而积累放大；收敛性是说当离散尺度无穷小的时候数值解是否会趋向于真实解；收敛阶则刻画了收敛的速度，高阶的格式可以用较大的离散尺度获得较好的数值结果，但是代价通常是单步下稍多的计算量。因此数值方法的最终表现需要在误差和计算量之间找到一个平衡。先说说ODE。在这个领域里，无论是初值问题还是边值问题，有限差分方法都是最常用的方法，比如说著名的Runge-Kutta方法。最常用的RK4方法就有稳定性条件比较宽泛、收敛阶很高（4阶）、计算量较小的优点。ODE数值方法中，差分方法是绝对的主流。尽管有限元方法、谱方法等等也可以用于解ODE，但是差分法依然更受欢迎。即便是边值问题，基于差分法的打靶法也比有限元更受欢迎。由于ODE的解行为通常比较好，只要右端项满足一定的Lipschitz连续性，解就存在唯一，对初值参数连续依赖。所以ODE数值方法的特点是有限差分法是一种适用面非常广泛的方法。也就是说，如果你是一个工程师，对数值方法并不熟悉。你在实际工作用需要求解一个（规模不太大的）ODE，那么你闭着眼睛把这个方程扔给一个RK4标准程序，效果一般不会太差……实际应用中ODE数值方法面临的最主要问题是刚性。简单说，如果把方程组理解为一组粒子的运动，那么这些粒子的运动存在时间尺度的分离，而你的数值方法应该要抓住最小的时间尺度，这就意味着超大的计算量。这种问题在分子动力学模拟（MD）中特别常见。本来MD就要计算10^6量级的粒子，再有很强的刚性就会使得模拟几乎无法进行。实际中，无论是从理论上做渐近分析或是平均化（averaging）抑或是数值上构造稳定性条件更加宽松的数值格式都是非常有挑战性的工作。ODE数值解面对的另一个困难时长时间模拟。再好的数值格式也会有误差，误差总会随着时间积累，时间充分长之后总会让数值解变得不可信。尤其是如果方程的解包含周期结构的时候数值误差很容易在长时间上破坏解的周期性（一个典型的例子是用Euler法求解地球轨道方程，数值解最终会远离太阳而去）。因此一个很有挑战性的问题就是如何在长时间的计算中保持数值解的某种结构，比如说能量守恒。如何构造这种满足特殊要求的数值格式同时还能尽量保持高精度是需要仔细设计的。实际中如果面对超大规模方程的长时间模拟，计算量的限制使得高阶格式都难以应用的时候，其结果的可信度基本属于玄学……除此之外，ODE数值解还有一些具体的问题。比如说不适定问题的求解、方程在临近分岔时的精确求解等等。总的来说，ODE数值解的领域相对成熟，理论比较完善，有一些可以作为标准方法的解法。实际应用中，可以根据实际问题的特点在这些标准方法上做出改进。说到PDE数值解，那简直就是天坑……这个领域太大了，即便你说PDE数值解就是全部的计算数学，错的也不算离谱。教授们如果不注意维护自己的个人主页，很容易发现一所高校计算数学系教授的研究兴趣都是偏微分方程数值解……还是简单说几句好了。从方法构造上，前面@赵永峰 的答案中提到的有限差分法、有限元方法和谱方法确实是最主要的几种方法。有限差分法依然是最基础的。差分法有直观清楚、构造简单、易于编程的优点，对于没有受过专门数值方法训练的工程师来说，差分法依然是最好的选择。精心构造的差分方法可以非常高效。比如在求解流体力学方程的时候，守恒型差分格式有非常成熟的理论和方法。有限差分法的缺点主要是只能用于比较规则的区域，对于复杂区域边界的处理不但困难，而且很容易损失精度，进而影响数值解在全局的精度。一种改进的方式是有限体积法（Finite Volume Method）。有限体积法的做法是将微分方程写成积分方程，在每一个小区域中用数值积分来近似精确积分，进而求解方程组。因为数值积分的方法比较灵活，有限体积法对于区域的要求宽松许多，并且可以选择合适的积分法来保持方程的物理性质。缺点则是如果使用较高阶的数值积分方法，那么计算量将非常大，甚至需要求解非线性方程组；而如果使用较低阶的数值积分法，又不如差分法简洁。差分法的思想是在局部用差商代替微商，这是一个局部的近似。从全局看，差分法相当于用分片常数近似导数，也就是用分片线性函数近似精确解。而分片线性函数在全局其实是不可导的，所以我们通常在连续函数的最大值范数下来考察收敛性。而有限元方法（Finite Element Method）则是用分片多项式来近似精确解，我们不但可以在整体上考虑函数值的收敛性，还可以考虑导数的收敛性。有限元方法的优点在于可以用于不规则的一般区域，原则上可以构造出非常高阶的格式，收敛性和收敛阶有比较成熟的理论，缺点则是有限元的构造比较困难，也不容易写程序。在一些汉译文献中经常混淆有限体积法和有限元方法两个术语，需要特别注意。（一个特别有名的例子，LeVeque的名著“Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems”就被翻译成了有限元方法……）谱方法则是一种无网格方法。它不像差分法和有限元那样需要首先将区域做剖分，而是将解按照一组正交基做展开（也就是广义的Fourier展开），截取有限项作为近似，需要求解的是对应的Fourier系数。谱方法的好处是高精度，以及搭配一些快速算法（比如快速Fourier变换）计算速度很快，缺点则是一般只适用于非常规则的区域，并且对边界条件有比较苛刻的限制。此外，将谱方法和有限元方法结合起来的谱元法也是当下比较热门的领域。可以看到，和ODE不同，PDE数值解没有一种占绝对优势地位的方法乃至于框架。一般来说，我们需要针对不同的方程设计不同的数值方法。所以PDE方程的数值求解是一件技术含量比较高的事情。如果你是一个对数值方法不熟悉的工程师，在实际应用中需要求解一个PDE，那么最好还是找一本书简单学习一下。即便是最简单的方程、最简单的差分法，也需要一些知识来设计合适的格式（举两个学生作业中常见的例子，对流方程的差分格式需要满足CFL条件，对流占优的对流扩散方程也需要仔细设计格式来避免数值耗散对解的污染，即便这些方程都是常系数的）。PDE数值解的困难主要在于PDE的解表现出的行为太丰富了。很多时候，我们对要求解的方程性质都缺少基本的认识，更说不上根据方程的特点设计有效的算法。实际中我们只能针对一类方程来设计一类格式，这一类格式对另一类方程很可能根本就不灵。我们都知道， 和 一个符号之差就是两种完全不一样的方程。适用于前者的格式根本就解不了后者。ODE中我们提到的困难对于PDE都存在，比如刚性，比如长时间行为。但是这都不是PDE数值解的主要问题。因为PDE的数值解还远到不了讨论这么精细问题的程度，当务之急还是在有限的计算时间内解出来。对ODE数值解要求4、5阶的精度不算过分，但是PDE数值解能有时空2阶精度就非常令人满意了。和ODE相比，PDE的数值解更加强调对方程物理性质的保持。因为PDE问题通常都来自物理背景。计算流体力学中要求保持物理量的守恒性，还要能够准确的捕捉激波。既要利用数值粘性来避免数值振荡，还要尽量减小数值粘性来保持解的守恒性。这些使得某一种PDE的数值求解都变成一门需要深入研究的学问。泛泛的谈PDE的数值解通常是谈不出什么来的。PDE数值解的另一个巨大困难就是维数灾难（curse of dimensionality）。一般的说，PDE需要求解的未知数数量是随着问题维数指数增加的。这就意味着合理的计算量根本处理不了高维的问题。现今，无论是差分法、有限元还是谱方法，一般都只能处理三维以下的问题。超过三维，如果没有可以利用的对称性，基本可以宣告放弃了。然而高维的PDE求解在统计物理中随处可见。即便要求解Boltzmann方程，也是7维的，远远超出了传统方法的能力范围。对于一类特殊的PDE，我们可以将它视作是某个随机变量的期望，然后利用Monte Carlo方法来计算这个期望。众所周知，Monte Carlo方法的优点就是计算量对维数的增加不敏感，可以针对少量特殊点求解方程而不必在全局解出整个解，可并行化程度高，是求解高维PDE的一种很有吸引力的方法。当然，Monte Carlo方法的缺点也很多。比如说收敛慢（通常只有半阶）、精度低、随机误差不可避免、对问题形式要求严苛等等。总的来说，PDE的求解通常是根据具体问题设计具体方法的，泛泛地说PDE的数值方法很难深入下去。PDE求解的问题和困难非常之多，如果说解ODE的时候闭着眼睛上RK4是个不算糟糕的方案，那么解PDE就一定要对待求解的方程和数值方法理论本身都有基本的认识。

所谓全微分方程，是一类特殊的常微分方程，它是不含偏导数的。一般形式为p(x,y)dx+q(x,y)dy=0.你看到它是常微分方程。只是p(x,y)dx+q(x,y)dy是某个二元函数u(x,y)的全微分，即du=p(x,y)dx+q(x,y)dy,所以称为全微分方程，而它的通解很自然的得出u(x,y)=c.

个人觉得多元统计分析，因为偏微分方程实际上还是属于正常方程的一种，我们会有熟悉的感觉；但多元统计分析基本平常没接触，高考之后更是没接触，所以没什么熟悉感

1、常微分方程是含有自变量（一个）、未知函数和它的导数的等式,偏微分方程是含有自变量（两个或两个以上）、多元函数及其导数（偏导数）的等式； 2、常微分方程的解是一元函数；偏微分方程的解是多元函数.

用Maple解的时候你可以使用相关命令去解，一般函数方程的解法过程你可以到Maple 中文版官网里面去看看，里面有一些基本操作的介绍，你可以去参考看看

偏微分方程种类很多，解法也很多，不知你说的是那一类、哪一种？

ode23(@(x,y),[a,b],[y1;y2;y3;y4])

用等价无穷小来做。当x→0的时候，1-cosx→0；2x²→0所以tan（1-cosx）和1-cosx是等价无穷小；sin（2x²）和2x²是等价无穷小所以原极限=lim（x→0）（1-cosx）/2x²而当x→0的时候，1-cosx和x²/2是等价无穷小所以原极限=lim（x→0）x²/2*2x²=1/4

你先打开设置菜单。在设置里面找到对应的功能选项！

变元 (change of variables)，特征线(characteristics)

这个是很有难度的问题。目前来说常见的只有这几种，波动方程，热传导方程，调和方程。这种线性的是相对简单的，但是其形式也是相当的复杂。而且对于边界条件和初始条件的不同解法又不相同了。对于非线性的，以及维数高的偏微分方程求解是当前正在研究的课题，数学系的研究生才会去做。你有兴趣可以去看看数学物理方程，和一些经济学中的偏微分方程的书，一道题的求解占去好几页的。

如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量,这个方程叫做常微分方程,也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数,或者说如果未知函数和几个变量有关,而且方程中出现未知函数对几个变量的导数,那么这种微分方程就是偏微分方程.导数是微积分中的重要基础概念.当自变量的增量趋于零时,因变量的增量与自变量的增量之商的极限.在一个函数存在导数时,称这个函数可导或者可微分.可导的函数一定连续.不连续的函数一定不可导.导数实质上就是一个求极限的过程,导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则.

特征线法很简单。u=x(1-e^(-t))

凡是表示未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程。未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程。常微分方程是微分方程的一部分,如果把二者看成集合的话,常微分方程是微分方程的真子集

常微分方程：解得的未知函数是一元函数的微分方程. 偏微分方程：解得的未知函数是多元函数的微分方程. 全微分方程：一个一阶微分方程写成P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0的形式后,它的左端恰好是某个函数u=u(x,y)的全微分,则该微分方程叫全微分方程.

至少硕士为止不要求的，百度查查，用处不大

二阶偏微分方程是：y′=f（x）。原函数问题便是最简单的微分方程。而如果在该方程中y连续求两次导数的话就是二阶微分方程。牛顿本人已经解决了二体问题：在太阳引力作用下，一个单一的行星的运动。他把两个物体都理想化为质点，二阶微分方程得到3个未知函数的3个二阶方程组，经简单计算证明，可化为平面问题，即两个未知函数的两个二阶微分方程组。用现在叫做“首次积分”的办法，完全解决了它的求解问题。17世纪就提出了弹性问题，这类问题导致悬链线方程、振动弦的方程等等。总之，力学、天文学、几何学等领域的许多问题都导致微分方程。在当代，甚至许多社会科学的问题亦导致微分方程，如人口发展模型、交通流模型。因而微分方程的研究是与人类社会密切相关的。当初，数学家们把精力集中放在求微分方程的通解上，后来证明这一般不可能，于是逐步放弃了这一奢望，而转向定解问题：初值问题、边值问题、混合问题等。但是，即便是一阶常微分方程，初等解（化为积分形式）也被证明不可能。

这是非齐次微分方程，需要求出其对应的齐次微分方程的两个线性无关的解：y3-y1 和 y2-y1于是齐次微分方程的通解为：c1(y3-y1) + c2(y2-y1)非齐次微分方程的通解=齐次微分方程的通解+非齐次微分方程的特解于是非齐次微分方程的通解为：c1(y3-y1) + c2(y2-y1) + y1代入上面式子得通解为：y = (c1 + c2x)e^2x + x

1.f(x)=(2+cosx)(2-sinx)=4+2(cosx-sinx)-sinxcosx. 设t=cosx-sinx,则t^2=1-2sinxcosx,即-sinxcosx=(t^2-1)/2. 所以，f(x)=4+2t+(t^2-1)/2=(1/2)*(t+2)^2+3/2. 因为t=cosx-sinx=(√2)[sin(π/4)cosx-cos(π/4)sinx]=(√2)sin(π/4-x), 又当x∈[-π/4, π/2)时，(π/4-x)∈[-π/4, π/2), 所以，-1/√2≤sin(π/4-x)<1 所以,-1≤t<√2. 因为当t>-2时,f(x)是增函数， 所以，f(-1)≤f(x)<f(√2), 即2≤f(x)<9/2+2√2。 所以，函数f(x)=(2+cosx)(2-sinx)在定义域x∈[-π/4, π/2)上的值域为 [2,9/2+2√2).

分离变量法可得到特殊解！也就是说设P（x，t）=f(x)g(t)，代入偏微分方程，变成常微分方程。这样可得到特殊解！一般来说找到全部解不可能的！

一阶线性微分方程解的结构如下：形如y"+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程，Q(x)称为自由项。一阶，指的是方程中关于Y的导数是一阶导数。线性，指的是方程简化后的每一项关于y、y"的次数为0或1。扩展资料：形如  （记为式1）的方程称为一阶线性微分方程。其特点是它关于未知函数y及其一阶导数是一次方程。这里假设  ，  是x的连续函数。若  ，式1变为  （记为式2）称为一阶齐线性方程。如果  不恒为0，式1称为一阶非齐线性方程，式2也称为对应于式1的齐线性方程。式2是变量分离方程，它的通解为  ，这里C是任意常数。常微分方程（ODE）是指微分方程的自变量只有一个的方程 。最简单的常微分方程，未知数是一个实数或是复数的函数，但未知数也可能是一个向量函数或是矩阵函数，后者可对应一个由常微分方程组成的系统。一般的n阶常微分方程具有形式：其中  是  的已知函数，并且必含有  。偏微分方程（PDE）是指微分方程的自变量有两个或以上 ，且方程式中有未知数对自变量的偏微分。偏微分方程的阶数定义类似常微分方程，但更细分为椭圆型、双曲线型及抛物线型的偏微分方程，尤其在二阶偏微分方程中上述的分类更是重要。有些偏微分方程在整个自变量的值域中无法归类在上述任何一种型式中，这种偏微分方程则称为混合型。最常见的二阶椭圆方程为调和方程： 

一阶偏微分方程 - 正文 　　最简单的一类偏微分方程.一个未知函数u(x)=u(x1,x2,…, xn)所适合的一组一阶偏微分方程即 , (1) 式中(Rn之开集),u是实值函数,.适合(1)的函数u称为其解.单个拟线性方程 　(2) 是式(1)的重要特例.解u=u(x)定义了D×R中一个曲面,称为(1)的积分曲面,是其上一点(x,u)处的法线方向数,(α1,α2,…,αn,b))则定义一个方向场,称为特征方向场.式(2)表明积分曲面在其各点上均与该方向场相切.特征方向场的积分曲线,称为(2)的特征曲线.它们是常微分方程组(特征方程) 　(3) 的积分曲线.由上所述,可见式(2)的积分曲面是由式(3)的积分曲线织成的.反之,若一曲面u=u(x)是由(3)之积分曲线织成的,则必为式(2)的积分曲面.因此式(3)的讨论对研究偏微分方程(2)有特别的重要意义. 　　式(2)的定解问题中,最重要的是柯西问题,即在U中给定一个n－1维子流形 у及其上的函数φ(x),要求式(2)的解u=u(x)满足以下的附加条件（初始条件）： . 　(4) 从几何上看,集是U×R中一个给定的n－1维子流形,而条件(4)即要求积分曲线(它是U×R中的一个n维子流形)通过Γ. 　　柯西问题的解的局部存在的条件从几何上看是很清楚的：若在(x0, u0)∈Γ附近,则在该点附近特征向量场微分同胚于平行向量场,特征曲线族则微分同胚于平行直线族.如果Γ在(x0,u0)附近横截（即不平行）于该平行直线族,就可以以Γ为底,以该平行直线为“母线”作一“柱面”.它就是所求的积分曲面,亦即柯西问题的解. 　　对一般的单个一阶非线性偏微分方程 , 　(5) 则应以代替上述的U×R.对于积分曲面u=u(x),它在(x,u(x))处的法线方向由所确定,因此(x,u,p)决定了一个过(x,u)的以为法线的超平面,即过该点的积分曲面的切超平面.于是,在U×R中来看,｛(x, u,p)｝给出一个超平面场,每一个这样的超平面称为过（x, u）的接触元素.对于给定的(x, u),适合方程(5)的p不是惟一的,从而有一个接触元素族.它们的包络是一个以(x, u)为顶点的锥,称为蒙日锥.方程(5)的积分曲面在各点均切于过该点的蒙日锥. 　　对于拟线性方程(2),蒙日锥蜕化为过（x,u）的以为方向的轴. 　　积分曲面既切于蒙日锥,则必沿某一母线切于它.这条母线的方向给出了积分曲面上的一个方向场.对于方程(2)来看,它就是特征方向场.所以在一般的非线性方程(5),也称它为特征方向场,其积分曲线也称为方程(5)的特征曲线.积分曲面仍由特征曲线织成. 　　但是,与方程(2)也有所不同,即现在必须在U×R×Rn中来考虑特征方向场,从而可以得到如下的常微分方程组 , (6) (7) (8) 解出这个方程组将得到一个特征带,它在U×R中的投影则称为方程(5)的特征曲线.特征带是一个在U×R×Rn中的概念. 　　解柯西问题的特征线法 　在解柯西问题(4)时,将у写成参数形式 (9) (10) 然而,以它为初始条件还不能解出特征带的方程组,还需要有pj所适合的初始条件. 　　对于拟线性方程(2),以(9)、(10)为初始条件解特征方程组(3),可得 (11) (12) 令 若在t=0时,即在у上,Δ|t=0≠0,则可以在|t|充分小时即在у附近由(11)解出为 (x1,x2,…, xn)的函数,代入(12)即得柯西问题的解.在以上讨论中,条件 (13) 极为重要.它在几何上表示特征线横截于Γ.没有这种横截性,一般说来特征曲线不能织成积分曲面,然而若仍可能有解,那么解称为奇异解.条件(13)称为特征条件. 　　对于非线性偏微分方程(5),需要解出特征带的方程组(6)、(7)、(8).这时需要 pj所适合的初始条件.很容易看到,在t=0时,pj应适合以下条件 , 　(14) . 　(15) (14)、(15)共有n个方程,它们称为带条件.为了能从其中解出pj,又需要在t=0时 (16) 在方程(2)的特例下,它就是式(13).所以式(16)也称为特征条件. 　　若带条件和特征条件得以满足,就将得出在 t=0时xj、u和pj所适合的初始条件.于是可以得到 , (17) , (18) , (19) 　　利用特征条件,可以从式(17)中解出为(x1,x2,…,xn)的函数,代入式(18)即得u=u(x)为柯西问题的解.代入式(19)得pj=pj(x),可以证明恰好有. 　　拉格朗日－查皮特方法 　求解柯西问题(5)、(4)的另一方法,是求(5)的含有n个参数α=( α1,α2,…, αn)的解u=u(x,α).它称为(5)的完全积分. 　　将(4)所定义的子流形Γ局部地表为 . 再取α=α(s)使u=u(x,α(s))经过(x(s),u(s))而且在该点切于Γ,即有 这一族解的包络仍是(5)的积分曲面,而且通过Γ,亦即所求柯西问题的解.于是,将问题归结为求(5)的含n-1个参数s=(s1,s2,…,sn-1)的解u(x,α(s)),它称为(5)的通积分. 　　若将完全积分对n个α求包络,即由 中消去α,还可得到方程(5)的另一种解,称为奇异积分. 　　于是问题归结为如何求完全积分.为此考虑一个与之相关的问题：求函数u=u(x)使之满足一组偏微分方程 (20) 因为方程个数超过未知数个数,故(20)称为超定方程组.超定方程组有解,需有一定条件称为可积性条件.对于(20),可积性条件为 (21) (Fj, Fj)称为泊松括号.若一个方程组适合(21),则称之为对合方程组. 　　方程(5)可以化为不显含u的情形.因为若将u=u(x)写为隐函数v(x,u)=с,而以v为新的未知函数,则(5)成为.若视u为自变量则未知函数v不显现.因此可以限于求解以下形式的方程 　(22) 对(22)补充以n-1个新的方程 (23) 式中αj为参数.可以适当取F2,F3,…,Fn使(22)、(23)成为对合方程组.再从(22)、(23)中解出： (其中含常数α2,α3,…,αn),即可得(5)的含有n个常数的解（即完全积分）以上方法称为拉格朗日-查皮特方法. 　　普法夫方程组、费罗贝尼乌斯条件 在 U嶅Rn中若给定了一个充分光滑的向量场,则过U之每一点必有其惟一的积分曲线.若给定r(1

常微分方程是指所求函数只有一个变量的方程。偏微分则是多个变量，所以出现偏导。

可分为两大分支：解析解法和数值解法只有很少一部分偏微分方程能求得解析解，所以实际应用中，多求数值解。数值解法最常见的有三种：差分法（最普遍最通用）、有限体积法、有限元法其他数值解法还有：正交配置法、微扰法（可解薛定谔方程）、变分法等等

偏微分方程是微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对应几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。

微积分方程这门学科产生于十八世纪，欧拉在他的著作中最早提出了弦振动的二阶方程，随后不久，法国数学家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中提出了特殊的偏微分方程。这些著作当时没有引起多大注意。1746年，达朗贝尔在他的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中，提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式。这样就由对弦振动的研究开创了偏微分方程这门学科。和欧拉同时代的瑞士数学家丹尼尔·贝努利也研究了数学物理方面的问题，提出了解弹性系振动问题的一般方法，对偏微分方程的发展起了比较大的影响。拉格朗日也讨论了一阶偏微分方程，丰富了这门学科的内容。偏微分方程得到迅速发展是在十九世纪，那时候，数学物理问题的研究繁荣起来了，许多数学家都对数学物理问题的解决做出了贡献。这里应该提一提法国数学家傅立叶，他年轻的时候就是一个出色的数学学者。在从事热流动的研究中，写出了《热的解析理论》，在文章中他提出了三维空间的热方程，也就是一种偏微分方程。他的研究对偏微分方程的发展的影响是很大的。

呵呵，常微分方程是求带有导数的方程，比如说y"+4y-2=0这样子的，偏微分方程是解决带有偏导数的方程。常微分方程比较简单，只是研究带有导数的方程、方程组之类的通解、特解，现实生活中的很多问题与常微分方程有关系，所以研究起来很有必要。但是对于很多高尖端的问题都是偏微分方程，比如很多著名的物理方程：热传导方程、拉普拉斯方程等等，这就是的偏微分方程很难，它不仅仅是研究方程解的一门学科，因为有些方程很难，根本就求不出解，或者常规方法求解十分困难，所以偏微分方程还着重研究解的分布、状态等等。你要是写作业的话，可以去图书馆找找《常微分方程》《偏微分方程》的书籍，然后抄一下前言就行了。怎么样

如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。导数是微积分中的重要基础概念。当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。导数实质上就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则。这些大学都学 ，很重要

解：考虑f(x,y)有形如下式的解f(x,y)=F(x)G(y)求偏导代入原式有：F"(x)G(y)+F(x)G(y)F(x)G"(y)=0化解有：F"(x)+F(x)^2G"(y)=0当G"(y)=C时，F"(x)=-CF(x)^2此时解出：G(y)=C"y，F(x)=D/x(其中C,D为常数)所以f(x,y)=Cy/x

参考<< 数学物理方法>>中的拉普拉斯变换法

见<<高等数学>>. 兵器工业出版社.

偏微分方程的起源 如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。在科学技术日新月异的发展过程中，人们研究的许多问题用一个自变量的函数来描述已经显得不够了，不少问题有多个变量的函数来描述。比如，从物理角度来说，物理量有不同的性质，温度、密度等是用数值来描述的叫做纯量；速度、电场的引力等，不仅在数值上有不同，而且还具有方向，这些量叫做向量；物体在一点上的张力状态的描述出的量叫做张量，等等。这些量不仅和时间有关系，而且和空间坐标也有联系，这就要用多个变量的函数来表示。应该指出，对于所有可能的物理现象用某些多个变量的函数表示，只能是理想化的，如介质的密度，实际上“在一点”的密度是不存在的。而我们把在一点的密度看作是物质的质量和体积的比当体积无限缩小的时候的极限，这就是理想化的。介质的温度也是这样。这样就产生了研究某些物理现象的理想了的多个变量的函数方程，这种方程就是偏微分方程。微积分方程这门学科产生于十八世纪，欧拉在他的著作中最早提出了弦振动的二阶方程，随后不久，法国数学家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中提出了特殊的偏微分方程。这些著作当时没有引起多大注意。1746年，达朗贝尔在他的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中，提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式。这样就由对弦振动的研究开创了偏微分方程这门学科。和欧拉同时代的瑞士数学家丹尼尔·贝努利也研究了数学物理方面的问题，提出了解弹性系振动问题的一般方法，对偏微分方程的发展起了比较大的影响。拉格朗日也讨论了一阶偏微分方程，丰富了这门学科的内容。偏微分方程得到迅速发展是在十九世纪，那时候，数学物理问题的研究繁荣起来了，许多数学家都对数学物理问题的解决做出了贡献。这里应该提一提法国数学家傅立叶，他年轻的时候就是一个出色的数学学者。在从事热流动的研究中，写出了《热的解析理论》，在文章中他提出了三维空间的热方程，也就是一种偏微分方程。他的研究对偏微分方程的发展的影响是很大的。偏微分方程的内容偏微分方程是什么样的？它包括哪些内容？这里我们可从一个例子的研究加以介绍。弦振动是一种机械运动，当然机械运动的基本定律是质点力学的 F=ma，但是弦并不是质点，所以质点力学的定律并不适用在弦振动的研究上。然而，如果我们把弦细细地分成若干个极小极小的小段，每一小段抽象地看作是一个质点，这样我们就可以应用质点力学的基本定律了。弦是指又细又长的弹性物质，比如弦乐器所用的弦就是细长的、柔软的、带有弹性的。演奏的时候，弦总是绷紧着具有一种张力，这种张力大于弦的重量几万倍。当演奏的人用薄片拨动或者用弓在弦上拉动，虽然只因其所接触的一段弦振动，但是由于张力的作用，传播到使整个弦振动起来。用微分的方法分析可得到弦上一点的位移是这一点所在的位置和时间为自变量的偏微分方程。偏方程又很多种类型，一般包括椭圆型偏微分方程、抛物型偏微分方程、双曲型偏微分方程。上述的例子是弦振动方程，它属于数学物理方程中的波动方程，也就是双曲型偏微分方程。偏微分方程的解一般有无穷多个，但是解决具体的物理问题的时候，必须从中选取所需要的解，因此，还必须知道附加条件。因为偏微分方程是同一类现象的共同规律的表示式，仅仅知道这种共同规律还不足以掌握和了解具体问题的特殊性，所以就物理现象来说，各个具体问题的特殊性就在于研究对象所处的特定条件，就是初始条件和边界条件。拿上面所举的弦振动的例子来说，对于同样的弦的弦乐器，如果一种是以薄片拨动弦，另一种是以弓在弦上拉动，那么它们发出的声音是不同的。原因就是由于“拨动”或“拉动”的那个“初始”时刻的振动情况不同，因此产生后来的振动情况也就不同。天文学中也有类似情况，如果要通过计算预言天体的运动，必须要知道这些天体的质量，同时除了牛顿定律的一般公式外，还必须知道我们所研究的天体系统的初始状态，就是在某个起始时间，这些天体的分布以及它们的速度。在解决任何数学物理方程的时候，总会有类似的附加条件。就弦振动来说，弦振动方程只表示弦的内点的力学规律，对弦的端点就不成立，所以在弦的两端必须给出边界条件，也就是考虑研究对象所处的边界上的物理状况。边界条件也叫做边值问题。当然，客观实际中也还是有“没有初始条件的问题”，如定场问题（静电场、稳定浓度分布、稳定温度分布等），也有“没有边界条件的问题”，如着重研究不靠近两端的那段弦，就抽象的成为无边界的弦了。在数学上，初始条件和边界条件叫做定解条件。偏微分方程本身是表达同一类物理现象的共性，是作为解决问题的依据；定解条件却反映出具体问题的个性，它提出了问题的具体情况。方程和定解条件合而为一体，就叫做定解问题。求偏微分方程的定解问题可以先求出它的通解，然后再用定解条件确定出函数。但是一般来说，在实际中通解是不容易求出的，用定解条件确定函数更是比较困难的。偏微分方程的解法还可以用分离系数法，也叫做傅立叶级数；还可以用分离变数法，也叫做傅立叶变换或傅立叶积分。分离系数法可以求解有界空间中的定解问题，分离变数法可以求解无界空间的定解问题；也可以用拉普拉斯变换法去求解一维空间的数学物理方程的定解。对方程实行拉普拉斯变换可以转化成常微分方程，而且初始条件也一并考虑到，解出常微分方程后进行反演就可以了。应该指出，偏微分方程的定解虽然有以上各种解法，但是我们不能忽视由于某些原因有许多定解问题是不能严格解出的，只可以用近似方法求出满足实际需要的近似程度的近似解。常用的方法有变分法和有限差分法。变分法是把定解问题转化成变分问题，再求变分问题的近似解；有限差分法是把定解问题转化成代数方程，然后用计算机进行计算；还有一种更有意义的模拟法，它用另一个物理的问题实验研究来代替所研究某个物理问题的定解。虽然物理现象本质不同，但是抽象地表示在数学上是同一个定解问题，如研究某个不规则形状的物体里的稳定温度分布问题，在数学上是拉普拉斯方程的边值问题，由于求解比较困难，可作相应的静电场或稳恒电流场实验研究，测定场中各处的电势，从而也解决了所研究的稳定温度场中的温度分布问题。随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，偏微分方程的应用范围更广泛。从数学自身的角度看，偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。从这个角度说，偏微分方程变成了数学的中心。

微积分方程这门学科产生于十八世纪，欧拉在他的著作中最早提出了弦振动的二阶方程，随后不久，法国数学家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中提出了特殊的偏微分方程。

变系数微分方程也被称为偏微分方程，是指微分方程的自变量有两个或以上 ，且方程式中有未知数对自变量的偏微分。偏微分方程的阶数定义类似常微分方程，但更细分为椭圆型、双曲线型及抛物线型的偏微分方程，尤其在二阶偏微分方程中上述的分类更是重要。有些偏微分方程在整个自变量的值域中无法归类在上述任何一种型式中，这种偏微分方程则称为混合型。扩展资料微分方程的约束条件是指其解需符合的条件，依常微分方程及偏微分方程的不同，有不同的约束条件。常微分方程常见的约束条件是函数在特定点的值，若是高阶的微分方程，会加上其各阶导数的值，有这类约束条件的常微分方程称为初值问题。偏微分方程常见的问题以边界值问题为主，不过边界条件则是指定一特定超曲面的值或导数需符定特定条件。参考资料来源：百度百科-微分方程

1、常微分方程是含有自变量（一个）、未知函数和它的导数的等式，偏微分方程是含有自变量（两个或两个以上）、多元函数及其导数（偏导数）的等式；2、常微分方程的解是一元函数；偏微分方程的解是多元函数。

自变量是一个的是常微分方程，关系式有导数；自变量2个以上的是偏微分方程，因为有偏导数。

二阶偏微分方程是：F（x，y，y"，y""）=0，其中，x是自变量，y是未知函数，y"是y的一阶导数，y""是y的二阶导数。对于一元函数来说，如果在该方程中出现因变量的二阶导数，就称为二阶（常）微分方程。在有些情况下，可以通过适当的变量代换，把二阶微分方程化成一阶微分方程来求解。具有这种性质的微分方程称为可降阶的微分方程，相应的求解方法称为降阶法。如：y""=f（x）型；y""=f（x，y"）型；y""=f（y，y"）型。

1、在多元函数中,函数对每一个自变量求导，就是偏导数。由此，对每个自变量的微分，就是偏微分。2、如：z=f(x，y)，则偏z偏x，就是z对x求导，称为z对x的偏导数，这时y视为常量。z对y的偏导数同理可求。偏微分，就是偏导数乘一个dx或dy。全微分，就是两个偏微分之和。3、偏微分方程是包含未知函数的偏导数(或偏微分)的方程。方程中所出现未知函数偏导数的最高阶数，称为该方程的阶。在数学、物理及工程技术中应用最广泛的，是二阶偏微分方程，习惯上把这些方程称为数学物理方程。

包含未知函数的偏导数（或偏微分）的方程。方程中所出现未知函数偏导数的最高阶数，称为该方程的阶。微积分方程这门学科产生于十八世纪，欧拉在他的著作中最早提出了弦振动的二阶方程，随后不久，法国数学家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中提出了特殊的偏微分方程。不过这些著作当时没有引起多大注意。1746年，达朗贝尔在他的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中，提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式。这样就由对弦振动的研究开创了偏微分方程这门学科。数学应用在数学上，初始条件和边界条件叫做定解条件。偏微分方程本身是表达同一类物理现象的共性，是作为解决问题的依据；定解条件却反映出具体问题的个性，它提出了问题的具体情况。方程和定解条件合而为一体，就叫做定解问题。求偏微分方程的定解问题可以先求出它的通解，然后再用定解条件确定出函数。但是一般来说，在实际中通解是不容易求出的，用定解条件确定函数更是比较困难的。

包含未知函数的偏导数（或偏微分）的方程。方程中所出现未知函数偏导数的最高阶数，称为该方程的阶。微积分方程这门学科产生于十八世纪，欧拉在他的著作中最早提出了弦振动的二阶方程，随后不久，法国数学家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中提出了特殊的偏微分方程。不过这些著作当时没有引起多大注意。1746年，达朗贝尔在他的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中，提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式。这样就由对弦振动的研究开创了偏微分方程这门学科。数学应用在数学上，初始条件和边界条件叫做定解条件。偏微分方程本身是表达同一类物理现象的共性，是作为解决问题的依据；定解条件却反映出具体问题的个性，它提出了问题的具体情况。方程和定解条件合而为一体，就叫做定解问题。求偏微分方程的定解问题可以先求出它的通解，然后再用定解条件确定出函数。但是一般来说，在实际中通解是不容易求出的，用定解条件确定函数更是比较困难的。

http://www.ikepu.com/maths/maths_branch/partial_equation_total.htmhttp://baike.baidu.com/view/44690.html

偏微分方程是什么样的？它包括哪些内容？这里我们可从一个例子的研究加以介绍。弦振动是一种机械运动，当然机械运动的基本定律是质点力学的 F=ma，但是弦并不是质点，所以质点力学的定律并不适用在弦振动的研究上。然而，如果我们把弦细细地分成若干个极小极小的小段，每一小段抽象地看作是一个质点，这样我们就可以应用质点力学的基本定律了。弦是指又细又长的弹性物质，比如弦乐器所用的弦就是细长的、柔软的、带有弹性的。演奏的时候，弦总是绷紧着具有一种张力，这种张力大于弦的重量几万倍。当演奏的人用薄片拨动或者用弓在弦上拉动，虽然只有其所接触的一段弦振动，但是由于张力的作用，传播到使整个弦振动起来。用微分的方法分析可得到弦上一点的位移是这一点所在的位置和时间为自变量的偏微分方程。偏方程又很多种类型，一般包括椭圆型偏微分方程、抛物型偏微分方程、双曲型偏微分方程。上述的例子是弦振动方程，它属于数学物理方程中的波动方程，也就是双曲型偏微分方程。偏微分方程的解一般有无穷多个，但是解决具体的物理问题的时候，必须从中选取所需要的解，因此，还必须知道附加条件。因为偏微分方程是同一类现象的共同规律的表示式，仅仅知道这种共同规律还不足以掌握和了解具体问题的特殊性，所以就物理现象来说，各个具体问题的特殊性就在于研究对象所处的特定条件，就是初始条件和边界条件。拿上面所举的弦振动的例子来说，对于同样的弦的弦乐器，如果一种是以薄片拨动弦，另一种是以弓在弦上拉动，那么它们发出的声音是不同的。原因就是由于“拨动”或“拉动”的那个“初始”时刻的振动情况不同，因此产生后来的振动情况也就不同。天文学中也有类似情况，如果要通过计算预言天体的运动，必须要知道这些天体的质量，同时除了牛顿定律的一般公式外，还必须知道我们所研究的天体系统的初始状态，就是在某个起始时间，这些天体的分布以及它们的速度。在解决任何数学物理方程的时候，总会有类似的附加条件。就弦振动来说，弦振动方程只表示弦的内点的力学规律，对弦的端点就不成立，所以在弦的两端必须给出边界条件，也就是考虑研究对象所处的边界上的物理状况。边界条件也叫做边值问题。当然，客观实际中也还是有“没有初始条件的问题”，如定场问题（静电场、稳定浓度分布、稳定温度分布等），也有“没有边界条件的问题”，如着重研究不靠近两端的那段弦，就抽象的成为无边界的弦了。在数学上，初始条件和边界条件叫做定解条件。偏微分方程本身是表达同一类物理现象的共性，是作为解决问题的依据；定解条件却反映出具体问题的个性，它提出了问题的具体情况。方程和定解条件合而为一体，就叫做定解问题。求偏微分方程的定解问题可以先求出它的通解，然后再用定解条件确定出函数。但是一般来说，在实际中通解是不容易求出的，用定解条件确定函数更是比较困难的。偏微分方程的解法还可以用分离系数法，也叫做傅立叶级数；还可以用分离变数法，也叫做傅立叶变换或傅立叶积分。分离系数法可以求解有界空间中的定解问题，分离变数法可以求解无界空间的定解问题；也可以用拉普拉斯变换法去求解一维空间的数学物理方程的定解。对方程实行拉普拉斯变换可以转化成常微分方程，而且初始条件也一并考虑到，解出常微分方程后进行反演就可以了。应该指出，偏微分方程的定解虽然有以上各种解法，但是我们不能忽视由于某些原因有许多定解问题是不能严格解出的，只可以用近似方法求出满足实际需要的近似程度的近似解。常用的方法有变分法和有限差分法。变分法是把定解问题转化成变分问题，再求变分问题的近似解；有限差分法是把定解问题转化成代数方程，然后用计算机进行计算；还有一种更有意义的模拟法，它用另一个物理的问题实验研究来代替所研究某个物理问题的定解。虽然物理现象本质不同，但是抽象地表示在数学上是同一个定解问题，如研究某个不规则形状的物体里的稳定温度分布问题，在数学上是拉普拉斯方程的边值问题，由于求解比较困难，可作相应的静电场或稳恒电流场实验研究，测定场中各处的电势，从而也解决了所研究的稳定温度场中的温度分布问题。随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，偏微分方程的应用范围更广泛。从数学自身的角度看，偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。从这个角度说，偏微分方程变成了数学的中心。解法：1，首先变为标准型，看是哪种类型，如椭圆型，双曲型。抛物型。2，归结为四大基本方程：波动，热传导，传输，3。按其解法解决

如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。

爱神@爱佛费克斯。

常微分方程，描述的是一个量随一个自变量变化的规律，如位置随时间的变化规律。偏微分方程组，描述的是一个量随着2个或更多自变量变化的规律。比如温度随着时间位置的变化。这样就需要4个（分别是时间，和三个空间维度）偏微分方程来描述。偏微分方程一般比常微分方程复杂，不仅在于它自变量多，而且各个自变量之间会有耦合，比如温度随时间的变化和位置有关，同时温度随位置的变化又和时间有关，所以很复杂。一般用数值法求解。比如天气预报，就是用计算机求解偏微分方程得到的。

1、在多元函数中,函数对每一个自变量求导，就是偏导数。由此，对每个自变量的微分，就是偏微分。 2、如：z=f(x，y)，则偏z偏x，就是z对x求导，称为z对x的偏导数，这时y视为常量。z对y的偏导数同理可求。 偏微分，就是偏导数乘一个dx或dy。全微分，就是两个偏微分之和。 3、偏微分方程是包含未知函数的偏导数(或偏微分)的方程。方程中所出现未知函数偏导数的最高阶数，称为该方程的阶。在数学、物理及工程技术中应用最广泛的，是二阶偏微分方程，习惯上把这些方程称为数学物理方程。

偏微分方程是什么样的？它包括哪些内容？这里我们可从一个例子的研究加以介绍。 　　弦振动是一种机械运动，当然机械运动的基本定律是质点力学的 F=ma，但是弦并不是质点，所以质点力学的定律并不适用在弦振动的研究上。然而，如果我们把弦细细地分成若干个极小极小的小段，每一小段抽象地看作是一个质点，这样我们就可以应用质点力学的基本定律了。 　　弦是指又细又长的弹性物质，比如弦乐器所用的弦就是细长的、柔软的、带有弹性的。演奏的时候，弦总是绷紧着具有一种张力，这种张力大于弦的重量几万倍。当演奏的人用薄片拨动或者用弓在弦上拉动，虽然只因其所接触的一段弦振动，但是由于张力的作用，传播到使整个弦振动起来。 　　用微分的方法分析可得到弦上一点的位移是这一点所在的位置和时间为自变量的偏微分方程。偏方程又很多种类型，一般包括椭圆型偏微分方程、抛物型偏微分方程、双曲型偏微分方程。上述的例子是弦振动方程，它属于数学物理方程中的波动方程，也就是双曲型偏微分方程。 　　偏微分方程的解一般有无穷多个，但是解决具体的物理问题的时候，必须从中选取所需要的解，因此，还必须知道附加条件。因为偏微分方程是同一类现象的共同规律的表示式，仅仅知道这种共同规律还不足以掌握和了解具体问题的特殊性，所以就物理现象来说，各个具体问题的特殊性就在于研究对象所处的特定条件，就是初始条件和边界条件。 　　拿上面所举的弦振动的例子来说，对于同样的弦的弦乐器，如果一种是以薄片拨动弦，另一种是以弓在弦上拉动，那么它们发出的声音是不同的。原因就是由于“拨动”或“拉动”的那个“初始”时刻的振动情况不同，因此产生后来的振动情况也就不同。 　　天文学中也有类似情况，如果要通过计算预言天体的运动，必须要知道这些天体的质量，同时除了牛顿定律的一般公式外，还必须知道我们所研究的天体系统的初始状态，就是在某个起始时间，这些天体的分布以及它们的速度。在解决任何数学物理方程的时候，总会有类似的附加条件。 　　就弦振动来说，弦振动方程只表示弦的内点的力学规律，对弦的端点就不成立，所以在弦的两端必须给出边界条件，也就是考虑研究对象所处的边界上的物理状况。边界条件也叫做边值问题。 　　当然，客观实际中也还是有“没有初始条件的问题”，如定场问题（静电场、稳定浓度分布、稳定温度分布等），也有“没有边界条件的问题”，如着重研究不靠近两端的那段弦，就抽象的成为无边界的弦了。 　　在数学上，初始条件和边界条件叫做定解条件。偏微分方程本身是表达同一类物理现象的共性，是作为解决问题的依据；定解条件却反映出具体问题的个性，它提出了问题的具体情况。方程和定解条件合而为一体，就叫做定解问题。 　　求偏微分方程的定解问题可以先求出它的通解，然后再用定解条件确定出函数。但是一般来说，在实际中通解是不容易求出的，用定解条件确定函数更是比较困难的。 　　偏微分方程的解法还可以用分离系数法，也叫做傅立叶级数；还可以用分离变数法，也叫做傅立叶变换或傅立叶积分。分离系数法可以求解有界空间中的定解问题，分离变数法可以求解无界空间的定解问题；也可以用拉普拉斯变换法去求解一维空间的数学物理方程的定解。对方程实行拉普拉斯变换可以转化成常微分方程，而且初始条件也一并考虑到，解出常微分方程后进行反演就可以了。 　　应该指出，偏微分方程的定解虽然有以上各种解法，但是我们不能忽视由于某些原因有许多定解问题是不能严格解出的，只可以用近似方法求出满足实际需要的近似程度的近似解。 　　常用的方法有变分法和有限差分法。变分法是把定解问题转化成变分问题，再求变分问题的近似解；有限差分法是把定解问题转化成代数方程，然后用计算机进行计算；还有一种更有意义的模拟法，它用另一个物理的问题实验研究来代替所研究某个物理问题的定解。虽然物理现象本质不同，但是抽象地表示在数学上是同一个定解问题，如研究某个不规则形状的物体里的稳定温度分布问题，在数学上是拉普拉斯方程的边值问题，由于求解比较困难，可作相应的静电场或稳恒电流场实验研究，测定场中各处的电势，从而也解决了所研究的稳定温度场中的温度分布问题。 　　随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，偏微分方程的应用范围更广泛。从数学自身的角度看，偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。从这个角度说，偏微分方程变成了数学的中心。 　　解法：1，首先变为标准型，看是哪种类型，如椭圆型，双曲型。抛物型。 　　2，归结为四大基本方程：波动，热传导，传输， 　　3。按其解法解决

偏微分方程是含有多元未知函数及其偏导数的方程。（可以不含多元未知函数，但必须含有它的偏导数。）

其中只有很少一部分偏微分方程能求得解析解，所以实际应用中，多求数值解。扩展资料偏微分方程示例二阶线性与非线性偏微分方程始终是重要的研究对象。这类方程通常划分成椭圆型、双曲型与抛物型三类，围绕这三类方程所建立和讨论的基本问题是各种边值问题、初值问题与混合问题之解的存在性、唯一性、稳定性及渐近性等性质以及求解方法。近代物理学、力学及工程技术的发展产生出许多新的非线性问题，它们常常导引出除上述方程之外的称为混合型方程、退化型方程及高阶偏微分方程等有关问题，这些问题通常十分复杂具有较大的难度。对于偏微分方程问题的讨论和解决，往往需要应用泛函分析、代数与拓扑学、微分几何学等其它数学分支的理论和方法。另一方面，由于电子计算机的迅速发展，使得各种方程均可数值求解，并且揭示了许多重要事实，因此，数值解法的研究，在已取得许多重要成果的基础上，将会有更快地发展。

偏微分方程一般用来解决什么问题偏微分方程是微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对应几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。

高数里的大学理工科都要学这门课如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。http://baike.baidu.com/view/44690.htm?fr=ala0_1_1

偏微分方程的起源 如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。 在科学技术日新月异的发展过程中，人们研究的许多问题用一个自变量的函数来描述已经显得不够了，不少问题有多个变量的函数来描述。 比如，从物理角度来说，物理量有不同的性质，温度、密度等是用数值来描述的叫做纯量；速度、电场的引力等，不仅在数值上有不同，而且还具有方向，这些量叫做向量；物体在一点上的张力状态的描述出的量叫做张量，等等。 这些量不仅和时间有关系，而且和空间坐标也有联系，这就要用多个变量的函数来表示。 应该指出，对于所有可能的物理现象用某些多个变量的函数表示，只能是理想化的，如介质的密度，实际上“在一点”的密度是不存在的。 而我们把在一点的密度看作是物质的质量和体积的比当体积无限缩小的时候的极限，这就是理想化的。 介质的温度也是这样。 这样就产生了研究某些物理现象的理想了的多个变量的函数方程，这种方程就是偏微分方程。 微积分方程这门学科产生于十八世纪，欧拉在他的著作中最早提出了弦振动的二阶方程，随后不久，法国数学家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中提出了特殊的偏微分方程。 这些著作当时没有引起多大注意。 1746年，达朗贝尔在他的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中，提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式。 这样就由对弦振动的研究开创了偏微分方程这门学科。 和欧拉同时代的瑞士数学家丹尼尔·贝努利也研究了数学物理方面的问题，提出了解弹性系振动问题的一般方法，对偏微分方程的发展起了比较大的影响。 拉格朗日也讨论了一阶偏微分方程，丰富了这门学科的内容。 偏微分方程得到迅速发展是在十九世纪，那时候，数学物理问题的研究繁荣起来了，许多数学家都对数学物理问题的解决做出了贡献。 这里应该提一提法国数学家傅立叶，他年轻的时候就是一个出色的数学学者。 在从事热流动的研究中，写出了《热的解析理论》，在文章中他提出了三维空间的热方程，也就是一种偏微分方程。 他的研究对偏微分方程的发展的影响是很大的。 偏微分方程的内容 偏微分方程是什么样的？它包括哪些内容？这里我们可从一个例子的研究加以介绍。 弦振动是一种机械运动，当然机械运动的基本定律是质点力学的 F=ma，但是弦并不是质点，所以质点力学的定律并不适用在弦振动的研究上。 然而，如果我们把弦细细地分成若干个极小极小的小段，每一小段抽象地看作是一个质点，这样我们就可以应用质点力学的基本定律了。 弦是指又细又长的弹性物质，比如弦乐器所用的弦就是细长的、柔软的、带有弹性的。 演奏的时候，弦总是绷紧着具有一种张力，这种张力大于弦的重量几万倍。 当演奏的人用薄片拨动或者用弓在弦上拉动，虽然只因其所接触的一段弦振动，但是由于张力的作用，传播到使整个弦振动起来。 用微分的方法分析可得到弦上一点的位移是这一点所在的位置和时间为自变量的偏微分方程。 偏方程又很多种类型，一般包括椭圆型偏微分方程、抛物型偏微分方程、双曲型偏微分方程。 上述的例子是弦振动方程，它属于数学物理方程中的波动方程，也就是双曲型偏微分方程。 偏微分方程的解一般有无穷多个，但是解决具体的物理问题的时候，必须从中选取所需要的解，因此，还必须知道附加条件。 因为偏微分方程是同一类现象的共同规律的表示式，仅仅知道这种共同规律还不足以掌握和了解具体问题的特殊性，所以就物理现象来说，各个具体问题的特殊性就在于研究对象所处的特定条件，就是初始条件和边界条件。 拿上面所举的弦振动的例子来说，对于同样的弦的弦乐器，如果一种是以薄片拨动弦，另一种是以弓在弦上拉动，那么它们发出的声音是不同的。 原因就是由于“拨动”或“拉动”的那个“初始”时刻的振动情况不同，因此产生后来的振动情况也就不同。 天文学中也有类似情况，如果要通过计算预言天体的运动，必须要知道这些天体的质量，同时除了牛顿定律的一般公式外，还必须知道我们所研究的天体系统的初始状态，就是在某个起始时间，这些天体的分布以及它们的速度。 在解决任何数学物理方程的时候，总会有类似的附加条件。 就弦振动来说，弦振动方程只表示弦的内点的力学规律，对弦的端点就不成立，所以在弦的两端必须给出边界条件，也就是考虑研究对象所处的边界上的物理状况。 边界条件也叫做边值问题。 当然，客观实际中也还是有“没有初始条件的问题”，如定场问题（静电场、稳定浓度分布、稳定温度分布等），也有“没有边界条件的问题”，如着重研究不靠近两端的那段弦，就抽象的成为无边界的弦了。 在数学上，初始条件和边界条件叫做定解条件。 偏微分方程本身是表达同一类物理现象的共性，是作为解决问题的依据；定解条件却反映出具体问题的个性，它提出了问题的具体情况。 方程和定解条件合而为一体，就叫做定解问题。 求偏微分方程的定解问题可以先求出它的通解，然后再用定解条件确定出函数。 但是一般来说，在实际中通解是不容易求出的，用定解条件确定函数更是比较困难的。 偏微分方程的解法还可以用分离系数法，也叫做傅立叶级数；还可以用分离变数法，也叫做傅立叶变换或傅立叶积分。 分离系数法可以求解有界空间中的定解问题，分离变数法可以求解无界空间的定解问题；也可以用拉普拉斯变换法去求解一维空间的数学物理方程的定解。 对方程实行拉普拉斯变换可以转化成常微分方程，而且初始条件也一并考虑到，解出常微分方程后进行反演就可以了。 应该指出，偏微分方程的定解虽然有以上各种解法，但是我们不能忽视由于某些原因有许多定解问题是不能严格解出的，只可以用近似方法求出满足实际需要的近似程度的近似解。 常用的方法有变分法和有限差分法。 变分法是把定解问题转化成变分问题，再求变分问题的近似解；有限差分法是把定解问题转化成代数方程，然后用计算机进行计算；还有一种更有意义的模拟法，它用另一个物理的问题实验研究来代替所研究某个物理问题的定解。 虽然物理现象本质不同，但是抽象地表示在数学上是同一个定解问题，如研究某个不规则形状的物体里的稳定温度分布问题，在数学上是拉普拉斯方程的边值问题，由于求解比较困难，可作相应的静电场或稳恒电流场实验研究，测定场中各处的电势，从而也解决了所研究的稳定温度场中的温度分布问题。 随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，偏微分方程的应用范围更广泛。 从数学自身的角度看，偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。 从这个角度说，偏微分方程变成了数学的中心。

如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对应几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。客观世界的物理量一般是随时间和空间位置而变化的，因而可以表达为时间坐标t和空间坐标的函数，这种物理量的变化规律往往表现为它关于时间和空间坐标的各阶变化率之间的关系式，即函数u关于t与的各阶偏导数之间的等式。

随机偏微分方程是带有随机项和随机系数的偏微分方程。随机偏微分方程英文：Stochastic partial differential equations类似于一般的随机微分方程，其本质上是带有随机项和随机系数的偏微分方程。随机微分方程在量子场论、统计力学、金融数学中有着广泛的应用。包含未知函数的偏导数（或偏微分）的方程。方程中所出现未知函数偏导数的最高阶数，称为该方程的阶。在数学、物理及工程技术中应用最广泛的，是二阶偏微分方程，习惯上把这些方程称为数学物理方程。微积分方程这门学科产生于十八世纪，欧拉在他的著作中最早提出了弦振动的二阶方程，随后不久，法国数学家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中提出了特殊的偏微分方程。不过这些著作当时没有引起多大注意。1746年，达朗贝尔在他的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中，提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式。这样就由对弦振动的研究开创了偏微分方程这门学科。数学应用在数学上，初始条件和边界条件叫做定解条件。偏微分方程本身是表达同一类物理现象的共性，是作为解决问题的依据；定解条件却反映出具体问题的个性，它提出了问题的具体情况。方程和定解条件合而为一体，就叫做定解问题。求偏微分方程的定解问题可以先求出它的通解，然后再用定解条件确定出函数。但是一般来说，在实际中通解是不容易求出的，用定解条件确定函数更是比较困难的。

直接积分。就可以了。u=1/6 x³y²+f(x)+g(y)f(x)+g(0)=x²1/6 y²+f(1)+g(y)=cos yf(x)=x²-g(0)f(1)=1-g(0)g(y)=cos y-1/6 y²-1+g(0)u=1/6 x³y²+x²+cos y-1/6 y²-1

偏微

凡是联系自变量x与这个自变量的未知函数和它的导数以及直到n阶导数在内的方程都叫做常微分方程.如果未知函数是多元函数,那么在微分方程中将出现偏导数,这种方程叫偏微分方程.