偏微分方程

s C+v C_x=-kCC=A e^(-(s+k)/v x)A=c1/sC=c1 e^(-kv/x), (t+x/v≥0)

我在想用类似于特征线的办法。先留个脚印，想出来了再回来。似乎u(x,y,z) = (x-y)/(x-z) 是一个解，而且所有形如 f( (x-y)/(x-z) ) （其中f是任意可微函数）自然也就都是解。不过这个似乎不够。我再想想。

我有关于这方面的很多书籍，包括国内外的

不知道

偏微分方程数值解通过数值计算方法，在计算机上对偏微分方程的近似求解。科学和工程中的大多数实际问题都归结为偏微分方程的定解问题，由于很难求得这些定解问题的解析解（在经典意义下甚至没有解），人们转向求解它们的数值近似解。偏微分方程通过数值计算方法，在计算机上对偏微分方程的近似求解。科学和工程中的大多数实际问题都归结为偏微分方程的定解问题，由于很难求得这些定解问题的解析解（在经典意义下甚至没有解），人们转向求解它们的数值近似解。偏微分方程应用数值近似求解的研究由来已久，但只是在20 世纪后期电子计算机产生后，才得到广泛的发展和应用（如有限元理论始于60年代）。目前数值求解的规模也变得更大，例如在航天器设计、湍流模拟、气候预测、油田开发等。各种实际问题中，经常过到大规模（网格数至少在百万以上）的运算量问题。偏微分方程的数值求解已渗透到物理、化学、生物等现代科学与工程的各领域，对科技和国民经济的发展有重要作用。偏微分方程是构建科学、工程学和其他领域的数学模型的主要手段。借助抛物线型、双曲线型和椭圆型方程常用的有有限差分方法、有限元方法、有限体方法、修正方程分析、辛积分格式等方法。利用极大值原理、能量法和离散傅里叶分析清晰严格地处理了稳定性问题。

我大四,感觉偏微分稍难,特别是公式,刚学时,几下就把我弄晕了!哭………

1. 假定u在B内部的某点x0取到最小值，那么u(x)在x0处的一阶偏导为0，Hesse矩阵半正定。注意到Δu是Hesse矩阵的迹，一定非负，所以u^7=Δu>=0，即u(x0)>=0，说明最小值一定不是负的。同理正的最大值也取不到。2. 注意max|u(x)|一定是在u(x)正的最大值或者负的最小值处取到，除非u恒为0（此时结论显然）。利用前面的结论，max|u(x)|一定在B的边界上取到。比如说max|u(x)|=u(x1)，x1在B的边界上，那么该点处的外法向导数(简记为u")非负，所以0<=u=(g-u")/f<=g/f<=g/p，所以max|u(x)|=u(x1)<=g(x1)/p<=max|g(x)|/p。同理可证max|u(x)|=-u(x1)的情形。

根本上来讲，就是为了解偏微分方程。具体方法就是把二阶的偏微分方程化成一阶的常微分方程。

未知数的个数不一样

求解一道偏微分方程ux+2uy-4u=e^(x+y）边值条件：u（x,4x+2）=0解：由于只有一阶偏微分,所以作线性变量代换α=x+y（这是因为等号的右边含有x+y）β=ax+by由链式法则可知∂u/∂x=∂u/∂α+a∂u/∂β∂u/∂y=∂u/∂α+b∂u/∂β代入原方程得3∂u/∂α+(a+2b)∂u/∂β-4u=e^(x+y),这里将u看成关于α,β的函数不妨取a=2,b=-1那么α=x+y,β=2x-y那么有3∂u/∂α-4u=e^α这相当于关于α的一阶线性常微分方程解得u=-e^α+Ce^(4α/3),其中C为关于β=2x-y的函数f(2x-y)即u=-e^(x+y)+e^[4(x+y)/3]f(2x-y)将边值条件代入得f(-2-2x)=e^(-(2/3) - (5 x)/3)因此f(x)=e^(1+(5x)/6)代入u=-e^(x+y)+e^[4(x+y)/3]f(2x-y)得u=e^(3x+y/2+1)-e^(x+y)

凡含有参数,未知函数和未知函数导数 (或微分) 的方程,称为微分方程,有时简称为方程,未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程,未知数是多元函数的微分方程称作偏微分方程.微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数,称为微分方程的阶.定义式如下： F(x, y, y¢, ., y(n)) = 0 　　定义2 任何代入微分方程后使其成为恒等式的函数,都叫做该方程的解.若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同,且任意常数之间不能合并,则称此解为该方程的通解(或一般解).当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解,称为方程的特解. 　　一般地说,n 阶微分方程的解含有 n个任意常数.也就是说,微分方程的解中含有任意常数的个数和方程的阶数相同,这种解叫做微分方程的通解.通解构成一个函数族. 　　如果根据实际问题要求出其中满足某种指定条件的解来,那么求这种解的问题叫做定解问题,对于一个常微分方程的满足定解条件的解叫做特解.对于高阶微分方程可以引入新的未知函数,把它化为多个一阶微分方程组. 常微分方程 常微分方程的概念、解法、和其它理论很多,比如,方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等.下面就方程解的有关几点简述一下,以了解常微分方程的特点. 　　求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标,一旦求出通解的表达式,就容易从中得到问题所需要的特解.也可以由通解的表达式,了解对某些参数的依赖情况,便于参数取值适宜,使它对应的解具有所需要的性能,还有助于进行关于解的其他研究. 　　后来的发展表明,能够求出通解的情况不多,在实际应用中所需要的多是求满足某种指定条件的特解.当然,通解是有助于研究解的属性的,但是人们已把研究重点转移到定解问题上来. 　　一个常微分方程是不是有特解呢?如果有,又有几个呢?这是微分方程论中一个基本的问题,数学家把它归纳成基本定理,叫做存在和唯一性定理.因为如果没有解,而我们要去求解,那是没有意义的；如果有解而又不是唯一的,那又不好确定.因此,存在和唯一性定理对于微分方程的求解是十分重要的. 　　大部分的常微分方程求不出十分精确的解,而只能得到近似解.当然,这个近似解的精确程度是比较高的.另外还应该指出,用来描述物理过程的微分方程,以及由试验测定的初始条件也是近似的,这种近似之间的影响和变化还必须在理论上加以解决. 常微分方程实例 　　下下列方程都是微分方程 (其中 y, v, q 均为未知函数). 　　(1) y= kx, k 为常数； 　　(2) ( y - 2xy) dx + x2 dy = 0； 　　(3) mv(t) = mg - kv(t)； 如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量,这个方程叫做常微分方程,也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数,或者说如果未知函数和几个变量有关,而且方程中出现未知函数对几个变量的导数,那么这种微分方程就是偏微分方程. 偏微分方程分类比较繁琐,解法多样.建议找一本偏微分方程的教材来看看.会对你有很大帮助

∂f/∂x=-f(x,y)∂f/f(x,y) =-∂xln|f(x,y)| = -x +C"(y)f(x,y) =e^(-x +C"(y)) = C(y).e^(-x)

二阶偏微分方程的一般形式为A*Uxx+2*B*Uxy+C*Uyy+D*Ux+E*Uy+F*U=0其特征方程为A*(dy)^2-2*B*dx*dy+C*(dx)^2=0若在某域内B^2-A*C<0则在此域内称为椭圆形方程若在某域内B^2-A*C=0则在此域内称为抛物形方程若在某域内B^2-A*C>0则在此域内称为双曲形方程其实主要是按特征方程的曲线类型分的注：Uxx表示U对x求二阶偏导，Uyy表示U对y求二阶偏导，Uxy表示对x求一阶偏导后再对y求一阶偏导，Ux表示U对x求一阶偏导，Uy表示U对y求一阶偏导partial符号实在打不出来

我的高等数学没学到偏微分方程，所以下面只会个很朴素的解法, 你看看行不? 先看这个简单的微分方程：y=A*(dy/dx)+B，A,B是系数；(i) 它的解是y=C*exp(x/A)+B；C是任意常数 同样对于偏微分方程：y=K1(dy/dx)+K2(dy/dt)+K3，K1,K2,K3是系数；(ii) 。

求偏导数直接把除了未知数以外的数都视为常数例如第一题求关于x1的导数时就把x2视为常数(a)ðy/ðx1=ð(2x1^3)/ðx1-ð(11x1^2x2)/ðx1+ð(3x2^2)/ðx1=6x1^2-22x1x2ðy/ðx2=ð(2x1^3)/ðx2-ð(11x1^2x2)/ðx2+ð(3x2^2)/ðx2=11x1^2-6x2后面同理吧直接写结果了(b)ðy/ðx1=2x2-4 ðy/ðx2=2x1+3(c)ðy/ðx1=7+6x2^2 ðy/ðx2=12x1x2-27x2^2

1、常微分方程是含有自变量（一个）、未知函数和它的导数的等式，偏微分方程是含有自变量（两个或两个以上）、多元函数及其导数（偏导数）的等式；2、常微分方程的解是一元函数；偏微分方程的解是多元函数。

常微分方程：解得的未知函数是一元函数的微分方程。偏微分方程：解得的未知函数是多元函数的微分方程。全微分方程：一个一阶微分方程写成P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0的形式后，它的左端恰好是某个函数u=u(x,y)的全微分,则该微分方程叫全微分方程。

非齐次边界条件处理：设u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)由边界条件得w(x,t)=(b-a)x/L-a即得v(x,t)的边界条件为v(0,t)=0v(L,t)=0v(x,0)=f(x)-(b-a)x/L-a求出v(x,t)即可得出u(x,t)的解

这是典型的抛物型偏微分方程。我只会数值解。解析解我不会求。数值解的话，可以找我

如果P和Q都是方程的两个解，如果对于任意常数，a,baP+bQ也是方程的解，那么这个偏微分方程就是线性的，否则就是非线性的。当然，还有一种拟线性方程，就是对于任意0<s<1sP+(1-s)Q是方程的解，那么这个方程叫拟线性方程。

什么是偏微分 1. 在多元函数中，函数对每个自变量的导数是偏导数。因此，每个自变量的微分称为偏微分。 2. 例如，如果z=f (x, y)，那么偏z偏x就是z对x的导数，也就是z对x的偏导数。此时，y被视为常数。z关于y的偏导数也可以用同样的方法求出来。偏导数是偏导数乘以dx或dy，全微分是两个偏微分的和。 3.偏微分方程是含有未知函数偏导数(或偏微分)的方程。方程中未知函数的偏导数的最高阶称为方程的阶。二阶偏微分方程是数学、物理和工程技术中应用最广泛的一类方程。它们通常被称为数学物理方程。

偏微分方程是包含未知函数的偏导数(或偏微分)的方程。方程中所出现未知函数偏导数的最高阶数，称为该方程的阶。在数学、物理及工程技术中应用最广泛的，是二阶偏微分方程，习惯上把这些方程称为数学物理方程。偏微分方程起源：微积分方程这门学科产生于十八世纪，欧拉在他的著作中最早提出了弦振动的二阶方程，随后不久，法国数学家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中提出了特殊的偏微分方程。不过这些著作当时没有引起多大注意。1746年，达朗贝尔在他的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中，提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式。这样就由对弦振动的研究开创了偏微分方程这门学科。和欧拉同时代的瑞士数学家丹尼尔·贝努利也研究了数学物理方面的问题，提出了解弹性系振动问题的一般方法，对偏微分方程的发展起了比较大的影响。拉格朗日也讨论了一阶偏微分方程，丰富了这门学科的内容。偏微分方程得到迅速发展是在十九世纪，那时候，数学物理问题的研究繁荣起来了，许多数学家都对数学物理问题的解决做出了贡献。这里应该提一提法国数学家傅立叶，他年轻的时候就是一个出色的数学学者。在从事热流动的研究中，写出了《热的解析理论》，在文章中他提出了三维空间的热方程，也就是一种偏微分方程。他的研究对偏微分方程的发展的影响是很大的。

1、在多元函数中,函数对每一个自变量求导，就是偏导数。由此，对每个自变量的微分，就是偏微分。 2、如：z=f(x，y)，则偏z偏x，就是z对x求导，称为z对x的偏导数，这时y视为常量。z对y的偏导数同理可求。 偏微分，就是偏导数乘一个dx或dy。全微分，就是两个偏微分之和。 3、偏微分方程是包含未知函数的偏导数(或偏微分)的方程。方程中所出现未知函数偏导数的最高阶数，称为该方程的阶。在数学、物理及工程技术中应用最广泛的，是二阶偏微分方程，习惯上把这些方程称为数学物理方程。

偏微分方程是数学中的一个重要分支，它是描述自然现象和物理现象的数学模型。偏微分方程通常用于描述一些变量随时间、空间等因素的变化规律。它们可以用来解决许多重要的实际问题，如流体力学、电磁学、热传导、量子力学等领域的问题。偏微分方程可以分为几种类型，包括：1. 椭圆型偏微分方程：用于描述稳态问题，如静电场、静磁场等。2. 抛物型偏微分方程：用于描述热传导、扩散、波动等问题。3. 双曲型偏微分方程：用于描述波动、震荡等问题。解决偏微分方程的方法包括分离变量法、变换法、数值方法等。在实际应用中，偏微分方程的求解通常需要结合数值方法和计算机模拟来进行。

偏微分方程求解：1、核心思想是利用迭加原理求得微分方程足够数目的特解（基本解组），再作这些特解的线性组合，使满足给定的初始条件。2、假定可分离变量的非平凡解的特解u(x,t)=X(x)T(t)并要求它满足齐次边界条件u(x,0)=0，u(x,π)=0。3、分离变量后，得到T"(t)+λa^2T(t)=0  X"(t)+λX(t)=0。4、求解X(x)的通解。5、确定待定系数λ。6、得到Uk(x,t)=Xk(x)*Tk(t)的特解。7、根据初始条件，利用傅里叶级数确定Ak和Bk（即题目中的A1，A2）。8、将Ak和Bk代入u(x,t)中，就得到偏微分方程以级数形式表示的解。偏微分方程是厦门大学建设的慕课、国家精品在线开放课程，该课程于2017年3月1日在中国大学MOOC首次开设，授课教师为谭忠。据2021年7月中国大学MOOC官网显示，该课程已开课9次。该课程共8章，包括引言：从音乐审美到揭秘量子纠缠；典型偏微分方程模型的建立；偏微分方程的基本概念、形成的数学问题与分类；高维波动方程的Cauchy问题；能量方法、极值原理与格林函数法等章目。

给楼上补充一下，解析解法一般都是针对一定特殊的类型，有特征线法，分离变量法，傅里叶变换，拉普普斯变换，格林函数法等等吧

简单地说，偏微分方程就是含有多元未知函数及其偏导数的方程.

偏微分方程是微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对应几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。

有。泛函分析+索伯列夫空间+偏微分方程有中译本。《泛函分析、索伯列夫空间和偏微分方程》是著名分析学大师Brezis的一部经典泛函分析教材，该书通俗易懂易于入门，内容丰富方法新颖独特。

蒙日和非线性二阶方程 除了前面说过的二阶线性方程，数学家也在研究更一般的二阶线性方程，甚至非线性方程。线性方程一般形式为 ，大写字母均为x,y的函数，这个方程通常写为Ar+Bs+Ct+Dp+Eq+Fz+G=0,1773年拉普拉斯证明如果B^2-4AC≠0，方程可以变价替换为s+ap+bq+cz+g=0，然后他用无穷级数求解。蒙日考察了非线性方程Rr+Ss+Tt=V，RSTV是xyzpq的函数，即方程关于二阶导rst是线性的，他建立了一般形式的解法，并引入了特征理论，特征方程为Rdy^2-Sdxdy+Tdx^2=0，它在积分曲面的每一点上定义该点的两个特征方向。积分曲面的每一点都有两条特征曲线通过，沿其中每一条都有两个相邻的积分曲面彼此相切。极小曲面的积分法是蒙日重要成就之一。拉格朗日研究极小曲面（给定的空间曲线界住的面积最小的曲面）也出现了这类方程，形式是(1+q^2)r-2pqs+(1+p^2)t=0。 一阶偏微分方程组 流体动力学和水力学引出了一阶偏微分方程组，比如设计船体减少水中运动阻力，人们研究不可压缩流体（水）和可压缩流体（空气）解决实际问题。 1752年欧拉处理不可压缩流体，1755年他推广了这一工作，给出了关于理想（无粘性）可压缩和不可压缩流体的流体流动方程。他将流体看作连续的质点，考察受到压力为p，密度为ρ以及单位质量上外力分量为PQR的流体小体积的作用力。他用xyzt四个分量描述质点速度，建立了微分方程组，这一方法被称为空间描写。欧拉还推广了达朗贝尔的连续性微分方程，得到关于可压缩流体的方程。 欧拉在1755年的文章中认为流体运动的理论可以用分析形式得出，他讨论了一些特殊的解法，但欧拉的方程并非水力学最终的方程，70年后纳维和斯托克斯引入了欧拉忽略的粘性（即纳维-斯托克斯方程）。拉格朗日也研究了流体运动，他给出并推广了欧拉的基本方程，但把功劳归功于达朗贝尔。 在18世纪，偏微分方程组主要应用于水力学，而且成果很少。 偏微分方程学科的产生 偏微分方程早期只出现在物理问题中，1765年欧拉首次进行了纯数学的研究。 1747年达朗贝尔研究弦振动使数学家意识到特解和通解之间的区别，但那时大家认为似乎通解更重要。1799年拉普拉斯还抱怨球坐标的位势方程不能用一般形式求积分，他们没意识到欧拉和达朗贝尔在弦振动中得到的通解不如满足初始条件和边值条件的特解有用。 数学家发现偏微分方程没有什么新的运算技巧，它跟常微分方程的区别仅在于解中可以出现任何函数，他们希望把偏微分方程转化为常微分方程以确定这些函数。拉普拉斯和拉格朗日明确说，如果偏微分方程被化成常微分方程，这个偏微分方程就等于积分出来了。还有一种办法是像丹尼尔伯努利研究波动方程和拉普拉斯研究位势方程一样，寻求特殊函数的级数展开式。 18世纪偏微分方程的主要成果体现在弹性力学、水力学和万有引力问题中。除了拉格朗日在一阶偏微分方程的系统性研究，没有发展出普遍的方法，人们也没意识到特殊函数展开法的潜力。他们的主要工作是求解物理问题中提出的特殊方程，因此未形成偏微分方程解的理论。总而言之，偏微分方程学科还处于幼年时期。