泰勒展开式

如下图：泰勒公式，是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。几何意义：泰勒公式的几何意义是利用多项式函数来逼近原函数，由于多项式函数可以任意次求导，易于计算，且便于求解极值或者判断函数的性质，因此可以通过泰勒公式获取函数的信息，同时，对于这种近似，必须提供误差分析，来提供近似的可靠性。

arctanx（x）＝x-1/3*x^3+1/5*x^5-1/7*x^7+1/9*x^9+...+（-1）^(n+1)/(2n-1)*x^(2n-1)； arctan的导数等于1/(1+x^2)； arctan指反正切函数，反正切函数是反三角函数的一种，即正切函数的反函数，一般大学高等数学中有涉及。 扩展资料 　　泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的`值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。

arctanx的泰勒展开式：arctanx（x）＝x-1/3*x^3+1/5*x^5-1/7*x^7+1/9*x^9+...+（-1）^(n+1)/(2n-1)*x^(2n-1)。 推导过程 泰勒公式 泰勒公式，应用于数学、物理领域，是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。 常见泰勒公式 ez=1+z+z2/2!+u2002…+zn/n!+…，|z|<∞ 1/(1-z)=1+z+z2+…+zn+…，|z|<1u2002 1/(1+z)=1-z+z2-…+(-1)nzn+…，|z|<1 sinz=z-z3/3!+z5/5!-…+(-1)n*z2n+1/(2n+1)!+u2002…，|z|<∞u2002 cosz=1-z2/2!+z4/4!-…+(-1)n*z2n/(2n)!+…，|z|<∞u2002

arcsinx的泰勒公式如下：泰勒公式，应用于数学、物理领域，是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。相关定义：泰勒公式是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f（x）利用关于（x-x0）的n次多项式来逼近函数的方法。若函数f（x）在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间（a,b）上具有（n+1）阶导数，则对闭区间[a,b]上任意一点x。其中，表示f（x）的n阶导数，等号后的多项式称为函数f（x）在x0处的泰勒展开式，剩余的Rn（x）是泰勒公式的余项，是（x-x0）n的高阶无穷小。幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。泰勒级数可以用来近似计算函数的值，并估计误差。

a^x=e^(x*lna)=1+x*lna+x^2*(lna)^2/2+o(x^2)

cotx由于在x=0处无定义，所以没有 Maclaurin级数形式。。。在其他点可以按照泰勒级数的形式展开，不过通常会转换成tan形式cot(x)=tan(Pi/2-x)。tan(x)=Σ[(-1)^(n-1)*2^(2n)(2^(2n)-1)B(2n)]/(2n)! x^(2n-1) for n=1 to Infinity。复变函数中，cotz可以展开成Laurent级数形式，cot(z)=Σ[(-1)^(n)*2^(2n)B(2n)]/(2n)! z^(2n-1) for n=0 to Infinity。其中B(n)为Bernoulli数

泰勒展开意义是在某点邻域里展开式、要求：1，在该点函数值等于展开式值、2。在该邻域内两边各阶导数近似相等、有了以上两点、就可认为泰勒展开式是该函数在某点邻域精确展开式。二项式展开是两边完全相等的展开式，不管输入什么，而泰勒展开是近似的。king2will回答正确

f(x)=f(0)+f`bai(0)x就是一阶。f(x)=f(0)+f`(0)x+f``(0)x^2/2!就是二阶泰勒展开式。简单的说    多项式存在f(n个`)(0)x^(n) / n!就是n阶泰勒展开式。最后带上个余项，对于展开n项的泰勒式 皮雅诺余项是写o(x^n)。导数决定了函数的形状。如果有四阶导数大于0，也能得到不带余项的三阶展开式大于0。但是当奇数次导数大于0，就不一定了。f(x)在x0处的切线方程为 y=f(x0)+f"(x0)(x-x0)。因为f""(x)>0，函数为凹函数，所以函数图像总是在切线的上方。f(x)>=y(x)=f(x0)+f"(x0)(x-x0)。泰勒公式泰勒公式是高等数学中的一个非常重要的内容，它将一些复杂的函数逼近近似地表示为简单的多项式函数，泰勒公式这种化繁为简的功能，使得它成为分析和研究许多数学问题的有力工具。泰勒公式的几何意义是利用多项式函数来逼近原函数，由于多项式函数可以任意次求导，易于计算，且便于求解极值或者判断函数的性质，因此可以通过泰勒公式获取函数的信息，同时，对于这种近似，必须提供误差分析，来提供近似的可靠性。

一、定义不同泰勒级数（英语：Taylorseries）是用无限项连加式——级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。泰勒展开式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。二、要求不同泰勒级数要求在被展开处无限阶可导，是函数展开成有限项的幂级数。泰勒展开式要求被展开函数在该出n+1阶可导，满足幂级数收敛于f(x)，而将f(x)展开成无限项幂级数的精确表示。三、应用不同泰勒级数的应用体现在以下三个方面：1、幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。2、一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开区域上的泰勒级数通过解析延拓得到的函数，并使得复分析这种手法可行。3、泰勒级数可以用来近似计算函数的值。泰勒展开式的应用体现在以下五个方面：1、幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。2、一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并使得复分析这种手法可行。3、泰勒级数可以用来近似计算函数的值，并估计误差。4、证明不等式。5、求待定式的极限。参考资料来源：百度百科-泰勒级数参考资料来源：百度百科-泰勒公式

tan的泰勒展开式是tanx = x+ (1/3)x^3 +....不同，sinx是：sinx = x-(1/6)x^3+.....常用泰勒展开式e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……泰勒公式是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f(x)利用关于(x-x0)的n次多项式来逼近函数的方法。若函数f(x)在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间(a,b)上具有(n+1)阶导数，则对闭区间[a,b]上任意一点x。扩展资料1、展开三角函数y=sinx和y=cosx。解：根据导数表得：f(x)=sinx,f"(x)=cosx,f""(x)=-sinx,f"""(x)=-cosx,f⑷（x)=sinx……于是得出了周期规律。分别算出f(0)=0，f"(0)=1,f""(x)=0,f"""(0)=-1,f⑷=0……最后可得：sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+x^9/9!-……（这里就写成无穷级数的形式了。）类似地，可以展开y=cosx。2、计算近似值e=lim x→∞ （1+1/x)^x。解：对指数函数y=e^x运用麦克劳林展开式并舍弃余项：e^x≈1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!当x=1时，e≈1+1+1/2!+1/3!+……+1/n!取n=10，即可算出近似值e≈2.7182818。3、欧拉公式：e^ix=cosx+isinx（i为-1的开方，即一个虚数单位）证明：这个公式把复数写为了幂指数形式，其实它也是由麦克劳林展开式确切地说是麦克劳林级数证明的。过程具体不写了，就把思路讲一下：先展开指数函数e^z，然后把各项中的z写成ix。由于i的幂周期性，可已把系数中含有土i的项用乘法分配律写在一起，剩余的项写在一起，刚好是cosx,sinx的展开式。然后让sinx乘上提出的i，即可导出欧拉公式。有兴趣的话可自行证明一下。参考资料：百度百科-泰勒公式

sinx用泰勒公式展开：sinx=x-1/3！x^3+1/5！x^5+o（x ^5）。泰勒公式是高等数学中的一个非常重要的内容，它将一些复杂的函数逼近近似地表示为简单的多项式函数，泰勒公式这种化繁为简的功能，使得它成为分析和研究许多数学问题的有力工具。18世纪早期英国牛顿学派最优秀的代表人物之一的数学家泰勒(BrookTaylor)，其主要著作是1715年出版的《正的和反的增量方法》，书中陈述了他于1712年7月给他老师梅钦信中提出的著名定理——泰勒定理。1717年,泰勒用泰勒定理求解了数值方程。泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变量函数都可展成幂级数；同时亦使泰勒成了有限差分理论的奠基者。泰勒于书中还讨论了微积分对一系列物理问题之应用，其中以有关弦的横向振动之结果尤为重要。他透过求解方程导出了基本频率公式，开创了研究弦振问题之先河。此外，此书还包括了他于数学上之其他创造性工作，如论述常微分方程的奇异解，曲率问题之研究等。

利用裂项法将原级数展开成两项，分成两部分来展开成幂级数。收敛半径两个上述的级数取交集，边界点专门讨论~

tanx 的泰勒展开式是 x + 1/3*x^3 + 2/15*x^5 + ....，所以 tanx - x ~ 1/3*x^3 。拓展资料tanx泰勒展开式推导过程是什么样的？1、tanx泰勒展开式推导过程是：tanx=x+x^3/3+2x^5/15+17x^7/315+62x^9/2835+...+[2^(2n)*(2^(2n)-1)*B(2n-1)*x^(2n-1)]/(2n)!+......(|x|<π/2)【注：B(2n-1)是贝努利数】2、定义：数学中， 泰勒公式是一个用 函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够 平滑的话，在已知函数在某一点的各阶 导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。3、命名于：泰勒公式得名于英国数学家布鲁克· 泰勒。他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式，尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例。4、泰勒中值定理：（1）泰勒公式是将一个在x=x 0处具有n阶导数的函数f(x)利用关于(x-x 0)的n次多项式来逼近函数的方法。（2）若函数f(x)在包含x 0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间(a,b)上具有(n+1)阶导数，则对闭区间[a,b]上任意一点x，成立下式：其中，表示f(x)的n阶导数，等号后的多项式称为函数f(x)在x 0处的泰勒展开式，剩余的R n(x)是泰勒公式的余项，是(x-x 0) n的高阶无穷小。、泰勒简介18世纪早期 英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒（Brook Taylor），于1685 年8月18日在英格兰德尔塞克斯郡的 埃德蒙顿市出生。1701年，泰勒进 剑桥大学的圣约翰学院学习。1709年后移居 伦敦，获得法学学士学位。1712年当选为 英国皇家学会会员，同年进入促裁牛顿和莱布尼兹发明微积分优先权争论的委员会。并于两年后获法学博士学位。从1714年起担任皇家学会第一秘书，1718年以健康为由辞去这一职务。1717年，他以泰勒定理求解了数值方程。最后在1731年1 2月29日于 伦敦逝世。泰勒以微积分学中将 函数展开成无穷 级数的定理著称于世。这条定理大致可以叙述为：函数在一个点的邻域内的值可以用函数在该点的值及各阶导数值组成的无穷级数表示出来。然而，在半个世纪里，数学家们并没有认识到泰勒定理的重大价值。这一重大价值是后来由 拉格朗日发现的，他把这一定理刻画为微积分的基本定理。泰勒定理的严格证明是在定理诞生一个世纪之后，由柯西给出的。泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变量函数都可展成 幂级数；同时亦使 泰勒成了有限差分理论的奠基者。泰勒于书中还讨论了 微积分对一系列物理问题之应用，其中以有关弦的横向振动之结果尤为重要。他透过求解方程导出了基本频率公式，开创了研究弦振问题之先河。此外，此书还包括了他于数学上之其他创造性工作，如论述常 微分方程的奇异解，曲率问题之研究等。 泰勒公式发展过程希腊哲学家芝诺在考虑利用无穷级数求和来得到有限结果的问题时，得出不可能的结论-芝诺悖论，这些悖论中最著名的两个是“阿喀琉斯追乌龟”和“飞矢不动”。后来，亚里士多德对芝诺悖论在哲学上进行了反驳，直到德谟克利特以及后来的阿基米德进行研究，此部分数学内容才得到解决。阿基米德应用穷举法使得一个无穷级数能够被逐步的细分，得到了有限的结果。14世纪，玛达瓦发现了一些特殊函数，包括正弦、余弦、正切、反正切等三角函数的泰勒级数。17世纪，詹姆斯·格雷果里同样继续着这方面的研究，并且发表了若干麦克劳林级数。直到1712年，英国牛顿学派最优秀代表人物之一的数学家泰勒提出了一个通用的方法，这就是为人们所熟知的泰勒级数；爱丁堡大学的科林·麦克劳林教授发现了泰勒级数的特例，称为麦克劳林级数。 

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