等比中项

在等比数列a项和b项中，满足G×G=a×b的数字G。如果G是a与b的等比中项，则有G/a=b/G。在解决一些数学问题时，如果发现其中存在类似等比中项的特征，不妨巧设公比，利用q的桥梁作用解题，不仅思路新颖而且过程简捷，从而为问题的解决提供了一种新的方法。一般地，如果一个数列的首项不为0，且从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q不等于0）。如数列2，4，8，16就为等比数列。等比数列在生活中也是常常运用的。如：银行有一种支付利息的方式复利。即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，在计算下一期的利息，也就是人们通常说的“利滚利”。等比中项简介：等比中项，指在等比数列a项和b项中，满足G×G=a×b的数字G。如果G是a与b的等比中项，则有G/a=b/G。在等比数列a项和b项中，插入一个数G使a、G、b成等比数列，那么G叫做a、b的等比中项。若a和b的等比中项为c，则c的平方等于a和b的乘积。同号的两个数才有等比中项；等比中项有两个，且互为相反数。在等比数列中，从第二项起，每一项（有限数列末项除外）都是它前后两项的等比中项。在等比数列中，任取数列中的某项都是与它前后等距离的两项的等比中项（保证前后两项都存在）。

3与27的等比中项为9。过程设3与27的等比中项为x，由于等比中项的性质，则x/3 = 27/x，计算得x=9。等比数列一般地，如果一个数列的首项不为0，且从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q不等于0）。如数列2，4，8，16就为等比数列，公比为2。扩展资料性质同号的两个数才有等比中项；等比中项有两个，且互为相反数。公式1、等比数列的通项公式是：An=A1×q^（n－1）。若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q＞0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。2、任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)3、从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}4、等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。

求等比中项公式：G/a=b/G。数列问题中的特殊性质，如果在等比数列a项和b项中，插入一个数G使a、G、b成等比数列，那么G叫做a、b的等比中项。如果G是a与b的等比中项，则有G/a=b/G。等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列，常用G、P表示。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0），等比数列a1≠0。其中{an}中的每一项均不为0。注：q=1时，an为常数列。

3与27的等比中项为9。过程设3与27的等比中项为x，由于等比中项的性质，则x/3 = 27/x，计算得x=9。等比数列一般地，如果一个数列的首项不为0，且从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q不等于0）。如数列2，4，8，16就为等比数列，公比为2。扩展资料性质同号的两个数才有等比中项；等比中项有两个，且互为相反数。公式1、等比数列的通项公式是：An=A1×q^（n－1）。若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q＞0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。2、任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)3、从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}4、等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。

等比中项：当r满足p+q=2r时，那么则有  ，即  为  与  的等比中项。等差中项：G=（a+b）除以2等比数列的通项公式是： 若通项公式变形为  (n∈N*),当q>0时，则可把  看作自变量n的函数，点(n,  )是曲线  上的一群孤立的点。等比求和： ①当q≠1时，  或 ②当q=1时， ，记  ，则有 在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。扩展资料：等比数列前n项之和：①当q≠1时，  或 ②当q=1时， 在等比数列中，首项a1与公比q都不为零.注意：上述公式中a^n表示A的n次方。等比数列在生活中也是常常运用的。如：银行有一种支付利息的方式---复利。即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，也就是人们通常说的利滚利。按照复利计算本利和的公式：本利和=本金×(1+利率)^存期

假设该双曲线是x^2-y^2=a^2,则可知双曲线的离心率e=√2.便于研究,我们可以设一点P(x0,y0)在双曲线的右支,且在第一象限.双曲线的对称中心就是O点嘛,双曲线左、右焦点分别为F1(-c,0)、F2(c,0),则向量PF1=(-c-x0,-y0),向量PF2=(c-x0,-y0),则向量PF1*向量PF2=x0^2+y0^2-c^2,由双曲线方程可得x0^2+y0^2-c^2=2x0^2-3a^2.焦半径PF1=ex0+a,焦半径PF2=ex0-a,点F1、O、F2三点共线,且O是线段F1F2的中点,于是就有向量PO=1/2*(向量PF1+向量PF2),做好这些准备工作后就可以开始解题了. (线段PO)^2=(向量PO)^2=1/4*(向量PF1+向量PF2)^2=1/4[(向量PF1)^2+(向量PF2)^2+2(向量PF1)*(向量PF2)]=1/4[(ex0+a)^2+(ex0-a)^2+2x0^2-3a^2]=1/4(8x0^2-4a^2)=2x0^2-a^2=(√2x0+a)(√2x0-a)=(ex0+a)(ex0-a)=焦半径PF1*焦半径PF2,即得证. 此法属向量法,过程其实不难,主要用到向量的一个结论和双曲线的焦半径,以及和等轴双曲线的离心率是√2来解题,可能有些复杂,但思路十分清晰,应该能看得懂吧.

证明：因为证明焦点在x轴上的等轴双曲线和在y轴上的等轴双曲线证法相同，不妨设双曲线为x²-y²=a²又因为证明此点在左支上或者右支上的方法相同，所以不妨设P(x,y)在右支上∴b=a,c=√(a²+b²)=√2a左准线：x=-a²/c=-a/√2，右准线：x=a²/c=a/√2设P点到左焦点的距离为m，到右焦点的距离为n根据双曲线定义：到定点距离与到定直线距离的比为一个常数e，且这个常数e大于1的点的集合为双曲线。所以m/(x+a/√2)=e，n/(x-a/√2)=e，∴m=(x+a/√2)e，n=(x-a/√2)ee=c/a=√2∴mn=(x²-a²/2)e²=2x²-a²又∵P到原点的距离的平方为：x²+y²=x²+(x²-a²)=2x²-a²=mn∴P点到双曲线中心的距离是它到两焦点距离的等比中项