仿射变换

得知道变换前后的三个点才能算出仿射变换矩阵。除非C点和AB在同一条直线上，否则算不出来

不会扣分，只要你没用错。不过基本不会用到的吧。

阅面科技的人脸关键点检测算法可以适用于各种姿态，角度、和表情变化的人脸，并且安装包仅有4M多大小，速度很快，可以实时对中的关键点进行检测。

若已知直线l过（0，n）则设l：y=kx+n 若已知直线l过（v，0） 则设l：x=my+v （1/m是斜率） 这样设计算量会相对较小

椭圆面积公式S= 圆周率*ab（其中a、b分别是椭圆的长半轴、短半轴的长） 椭圆面积公式S=圆周率 ab（其中a、b分别是椭圆的长半轴、短半轴的长）.在中学数学教材中，仅在高中《平面解析几何》的习题中作为已知公式给出过，直到高等数学的定积分学习。

第二题：只统计小写字母，如果是大写或者混合的话原理也是一样#include#includeint main() { char str[99];int i,j,a[26]={0};gets(str); for(i=0;i

你所给出的矩阵一级非零子式有入+1,入+2,入-1,入-2,这四个式的最大公因式是1,因此一阶子式的最大公因式是1.2、然后2级非零子式有(入+1)*(入+2),(入+1)*(入-1),(入+1)*(入-2),(入+2)*(入-1),(入+2)*(入-2),(入-1)*...

以遥感影像或航摄影像作为主要资料源更新已有的矢量数据是今后一个时期的图像仿射变换（不做投影变换）Polynomial多项式变换（同时作投影变换）

是的。最好也只能变成xy＝a形式的。也就是xx-yy=a形式的。

满意因为这个点位于坐标平面YOZ内所以设这个点的坐标为（0,y,z）又因为这个点与A B C等距32+（1-y)2+(2-z)2=42+(-2-y)2+(-2-z)2 ①42+(-2-y)2+(-2-z)2=(5-y)2+(1-z)2 ②(5-y)2+(1-z)2=32+（1-y)2+(2-z)2 ③解得 y=1 z=-2所以D的坐标为（0,1,-2）

1.计算方法不同：通过跟踪源码，发现getPerspectiveTransform用的是SVD分解，findHomography看不出是用什么方法（没注释，一堆等式）。但两者计算结果是一样的。2.输入参数不同：getPerspectiveTransform只会拿前4个点去计算，findHomography则会拿一堆点(>=4)去计算(其是不断从一堆点中重复拿出4个点去计算出一个结果，再采用一些优化算法RANSAC/LMEDS去筛选出最优解)。

当x→0时,sinx~xtanx~xarcsinx~xarctanx~x1-cosx~(1/2)*（x^2）~secx-1（a^x）-1~x*lna (（a^x-1)/x~lna)（e^x）-1~xln(1+x)~x 由于tanx~x原式=lim(x-0)x/(x^2+2x)=lim1/(x+2)=1/2

在有限维的情况，每个仿射变换可以由一个矩阵A和一个向量b给出，它可以写作A和一个附加的列b。一个仿射变换对应于一个矩阵和一个向量的乘法，而仿射变换的复合对应于普通的矩阵乘法，只要加入一个额外的行到矩阵的底下，这一行全部是0除了最右边是一个1，而列向量的底下要加上一个1。

问题1：首先代入A，B得到（1）a-b+c=-1;(2)-d+2e+f=2;然后注意条件上有直线x+2y-1=0.上每个点都不变.也就是（3）x=ax+by+c;(4)y=dx+ey+f;又用x+2y-1=0得到x=1-2y代入（3），（4）化简得到（5）a+c-1=(2a-b-2)y,(6),省略，自己仿照（5）算下就好；看5中，注意y的任意性，得到a+c-1=0;2a-b-2=0;解出abc;注意1,3,5是第一个方程，变形可以解出；同理2,4,6可以解出def;问题2和已差不多，不多说了。话说楼主你给这么麻烦的问题也不多些分....还好啦，看你是7级的，也帮人不少，也就帮你一次吧

type为"crop"或者"loose"，最终输出灰度图。

设这个三角形为ABC,D.E.F分别为AB BC AC交点,CD AE BF交于O,则O为重心.,连DE,则有DE为其中位线,则有DE//AC,且DE:AC=1:2,因为DE//AC,由其分线段成比例得AC:DE=OA:OE=OC:OD=2:1,同理其他也得证

就是仿射变换下的不变点和不变直线

首先可以取一个比较小的单位圆的极限，然后在这样的极限范围内，再根据公式计算出它的等距变换方式证明。

在仿射变换中，圆变到椭圆，中心位置可以发生变化，也可以不变。因为平移也是仿射变换。

设法线为 N ，切线为 T ，经过变换后的分别为 N " 、 T " ，已知： T 到 T " 的变换矩阵为M，求 N 到 N " 的变换矩阵G 已知其变换矩阵，则： N " =G N ； T " =M T ； 因为法线与切线垂直则其点乘为0，有： N · T = 0（单位矩阵） 变换后法线仍与切线垂直： T " · N " =0 因此： (G N )·(M T )=0 写成矩阵表示： (GN) T (MT)=0 N T G T MT=0 已知N T T=0 (即向量表示下的 N · T = 0) 则G T MT = T G T M = I G=(M -1 ) T 因此法线变换矩阵为切线变换矩阵的逆矩阵的转置矩阵

区别是：放射变换做校正时主要帮你将影像进行平移，旋转，多项式比这个算法复杂点，精度高一些

若已知直线l过（0，n）则设l：y=kx+n若已知直线l过（v，0）则设l：x=my+v（1/m是斜率）这样设计算量会相对较小

第二题：只统计小写字母，如果是大写或者混合的话原理也是一样#include<stdio.h>#include<string.h>int main() {    char str[99]; int i,j,a[26]={0}; gets(str);    for(i=0;i<strlen(str);i++)    { for(j=0;j<26;j++) if(str[i]==97+j)a[j]++;    } for(j=0;j<26;j++) if(a[j]!=0)printf("%c %d ",97+j,a[j]); printf(" "); return 0;} 第三题解密：m=Da,b(c)=a-1(c-d)(mod26) //d是什么你没给出，只做了加密部分#include <stdio.h>#include <string.h>#include <stdlib.h>#include <time.h>int main(){ unsigned a,b,i; char str[99]="asdfABC"; srand(time(0)); b=rand()%26;loop: a=rand()%26; if(a%2==0||a==13)goto loop; printf("密匙为:%d,%d ",a,b); for(i=0;i<strlen(str);i++) { if(str[i]>="a"&&str[i]<="z") str[i]=(str[i]*a+b)%26+97; if(str[i]>="A"&&str[i]<="Z") str[i]=(str[i]*a+b)%26+65; printf("%c",str[i]); } printf(" "); return 0;}

矩阵一级非零子式有入+1,入+2,入-1,入-2,这四个式的最大公因式是1,因此一阶子式的最大公因式是1.2、然后2级非零子式有(入+1)*(入+2),(入+1)*(入-1),(入+1)*(入-2),(入+2)*(入-1),(入+2)*(入-2),(入-1)*...

使用视觉运动控制软件对图片仿射变换。仿射变换，是指在几何中一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移，变换为另一个向量空间，即在几何上定义为两个向量空间之间的一个仿射变换或者仿射映射，由一个非奇异的线性变换接上一个平移变换组成。LabVIEW是一种程序开发环境，由美国国家仪器NI公司研制开发，与其他计算机语言的显著区别是，其他计算机语言都是采用基于文本的语言产生代码，而LabVIEW使用的是图形化编辑语言G编写程序，产生的程序是框图的形式。

简单地说，通过矩阵，可以把平移，旋转，缩放都通过简单地乘以一个新的矩阵来完成。 行列式的本质是什么？ 理解矩阵乘法 图像旋转变换的推导 图像的缩放变换 为什么要引入齐次坐标 android matrix 最全方法详解与进阶（完整篇） 扩展阅读：图像处理

仿射变换，会将矩形变换为平行四边形（包含矩形），射影变换会将矩形变换为不规则四边形。

几种典型的仿射变换：public static AffineTransform getTranslateInstance(double tx, double ty)平移变换，将每一点移动到(x+tx, y+ty)，变换矩阵为：[ 1 0 tx ][ 0 1 ty ][ 0 0 1 ]（译注：平移变换是一种“刚体变换”，rigid-body transformation，中学学过的物理，都知道啥叫“刚体”吧，就是不会产生形变的理想物体，平移当然不会改变二维图形的形状。同理，下面的“旋转变换”也是刚体变换，而“缩放”、“错切”都是会改变图形形状的。）public static AffineTransform getScaleInstance(double sx, double sy)缩放变换，将每一点的横坐标放大（缩小）至sx倍，纵坐标放大（缩小）至sy倍，变换矩阵为：[ sx 0 0 ][ 0 sy 0 ][ 0 0 1 ]当sx=sy时，称为尺度缩放，sx不等于sy时，这就是我们平时所说的拉伸变换。public static AffineTransform getShearInstance(double shx, double shy)剪切变换，变换矩阵为：[ 1 shx 0 ][ shy 1 0 ][ 0 0 1 ]相当于一个横向剪切与一个纵向剪切的复合[ 1 0 0 ][ 1 shx 0 ][ shy 1 0 ][ 0 1 0 ][ 0 0 1 ][ 0 0 1 ]（译注：“剪切变换”又称“错切变换”，指的是类似于四边形不稳定性那种性质，街边小商店那种铁拉门都见过吧？想象一下上面铁条构成的菱形拉动的过程，那就是“错切”的过程。）public static AffineTransform getRotateInstance(double theta)

在有限维的情况，每个仿射变换可以由一个矩阵A和一个向量b给出，它可以写作A和一个附加的列b。一个仿射变换对应于一个矩阵和一个向量的乘法，而仿射变换的复合对应于普通的矩阵乘法，只要加入一个额外的行到矩阵的底下，这一行全部是0除了最右边是一个1，而列向量的底下要加上一个1。

我就用文字叙述吧~看没人来答，我就说个大概。仿射变换就是一个线性变换再接上一个平移。平移变换是向量与各基准轴的夹角不变，向量形状不变，位置改变。伸缩变换包括尺度缩放和拉伸变换，前者是不改变向量与各坐标轴夹角的，而后者改变。因此非零向量α经伸缩变换后可以变成起始点与原向量相同的任一非零向量，记为β，再对β进行平移变换，使其位于空间中的任意位置，平移到新位置的向量记为γ。由于上述两步中的每一步都是满秩变换，故是一对一的变换。于是任意给一个目标向量，都能由已知非零向量经过以上固定的两个步骤变换而得到。这两个步骤的有序结合就是仿射变换。

就是仿射变换下的不变点和不变直线

|sx shx tx||shy sy ty||0 0 1 |其中sx,sy表示伸缩，shx,shy表示变形，tx,ty表示位移。

仿射变换密码c=(ap+b)mod26,a与26互素是因为a与26互素，a模26的逆元才存在，才能解密。仿射变换在几何上定义为两个向量空间之间的一个仿射变换或者仿射映射，由一个线性变换接上一个平移组成。仿射变换（affinetransformation)可以写成Y=AX+b的形式。互质（relativelyprime）又叫互素。若N个整数的最大公因数是1，则称这N个整数互质。

你想知道的太深奥了，我回答不了。

用三对点就可以算出来了.仿射变换模型如图：把三对点的坐标带入图中矩阵,6个方程6个未知数,即可解除a1,a2,a3,a4,b1,b2

先找匹配角点能找四角 用反向求解 先找匹配角点能找四角 用反向求解另外,虚机团产品团购,超级便宜 ,

在仿射变换下 菱形性质不变的有：1、点之间的共线性，例如通过同一线之点（即称为共线点）在变换后仍呈共线。对应菱形是轴对称图形，它有两条对称轴。2、向量沿着一线的比例，例如对相异共线三点与的比例同于及。对应菱形的四条边相等。3、平面上任意两条直线，经仿射变换后，仍然保持平行。对应菱形的邻边相等且平行。概念：仿射变换是在几何上定义为两个向量空间之间的一个仿射变换或者仿射映射由一个非奇异的线性变换（运用一次函数进行的变换）接上一个平移变换组成。在有限维的情况，每个仿射变换可以由一个矩阵A和一个向量b给出，它可以写作A和一个附加的列b。

对。仿射变换是可逆的,且它的逆变换也是仿射变换。因为它的系数矩阵是可逆的。

问题1：首先代入A，B得到（1）a-b+c=-1;(2)-d+2e+f=2;然后注意条件上有直线x+2y-1=0.上每个点都不变.也就是（3）x=ax+by+c;(4)y=dx+ey+f;又用x+2y-1=0得到x=1-2y代入（3），（4）化简得到（5）a+c-1=(2a-b-2)y,(6),省略，自己仿照（5）算下就好；看5中，注意y的任意性，得到a+c-1=0;2a-b-2=0;解出abc;注意1,3,5是第一个方程，变形可以解出；同理2,4,6可以解出def;问题2和已差不多，不多说了。话说楼主你给这么麻烦的问题也不多些分.还好啦，看你是7级的，也帮人不少，也就帮你一次吧

a与26互素，a模26的逆元才存在，才能解密

用三对点就可以算出来了。仿射变换模型如图：把三对点的坐标带入图中矩阵，6个方程6个未知数，即可解除a1,a2,a3,a4,b1,b2仿射变换矩阵为：[a1  a2  0 a3  a4  0 b1  b2  1]

题有病.直线x+y+1=0,x-y-1=0,交于（1,0）.不是（1,1）.可以改为： 试确定仿射变换,使Y轴,X轴的象分别与直线x+y+1=0,x-y-1=0平行,且点 （1,1）的象为原点.变换是①顺时针旋转45°,再↗平移√2. x＝（1/√2）x′-（1/√2）y′+1 y＝（1/√2）x′+（1/√2）y′+1 （另外还可以从轴x′,y′的方向写出三个仿射变换,请楼主自己作啦!）

10分。仿射变换是和高中数学选修中的伸缩变换是基本相同的，也称为仿射映射，是指对一个向量空间进行线性变换，属于高中考试不考察的一个知识点，若是在高考中使用该方法会对学生做出扣十分违规知识的处罚。

射影变换包括仿射变换，射影变换要求变换后的图形与原图形相似(也包括全等)，而仿射变换则要求变换后的图形与原图形全等

正方形在仿射变换下变成平行四边形

对于：利用至少4个控制点的两套坐标系可以计算出6个参数，建立起两套不同坐标系下的变化关系。i=1~n知道6个参数后，可以根据一下公式计算任一点在坐标参考框架xoy对应的另一套坐标参考框架下的具体坐标位置。

(11-21)/77*m+10(mod26)7*6+10(mod26) = 2m=6

更多图片(10张)在几何上定义为两个向量空间之间的一个仿射变换或者仿射映射（来自拉丁语，affine，“和。..相关”）由一个线性变换接上一个平移组成。

旋转变换1，目标图形围绕原点逆时针旋转theta弧度，变换矩阵为：[ cos(theta) -sin(theta) 0 ][ sin(theta) cos(theta) 0 ][ 0 0 1 ]public static AffineTransform getRotateInstance(double theta, double x, double y)旋转变换2，目标图形以(x, y)为轴心逆时针旋转theta弧度，变换矩阵为：[ cos(theta) -sin(theta) x-x*cos+y*sin][ sin(theta) cos(theta) y-x*sin-y*cos ][ 0 0 1 ]相当于两次平移变换与一次原点旋转变换的复合：[1 0 x][cos(theta) -sin(theta) 0][1 0- x][0 1 y][sin(theta) cos(theta) 0][0 1 -y][0 0 1 ][ 0 0 1 ][0 0 1]这里是以空间任一点为圆心旋转的情况。

正交变换：设V为n维Euclid空间，Α∈End V。如果Α满足（Αα，Αβ）=（α，β），任意α，β∈V，则称Α为正交变换。仿射变换：设V，V"为数域P上的线性空间，α，α"；M，M"分别为V，V"的向量，子空间，g是M到M"上的线性同构。则称τα"gτ-α为Α（α+M）到Α（α"+M"）上的仿射变换。射影变换：设f：V→V"是线性空间的同构。f诱导的Ρ（V）到Ρ（V"）的同构Ρ（f）称为Ρ（V）到Ρ（V"）上的一个射影变换。

可以啊，只不过有点烦

求三角形的面积公式是S=1/2ah(a是三角形的底,h是底所对应的高)。仿射变换,又称仿射映射,是指在几何中,一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移,变换为另一个向量空间。

不明白 仿射 线代也不好，帮不了你了

仿射变换是种基本的图像变换。研究表明，在特殊情况下，非线性的透射变换退变为线性的仿射变换；在多数情况下，透射变换可以用仿射变换很好地近似，这为透射变换的目标识别指出了一条新的途径。一组新的由低阶中心矩构成的仿射不变量验证了推导的正确性

仿射变换是指保持原有物体内部平行关系的变换，包括平移、旋转、缩放、剪切等变换。仿射变换可以用矩阵来表示，其基本定理如下：                                    对于平面上的点集S，经过仿射变换后得到的点集S"，可以表示为S" = AS + b，其中A为2×2的矩阵，b为2维向量。其中，矩阵A可以表示为线性变换和平移变换的复合。设P和P"为平面上的两个点，且它们之间的向量为v，则A可以表示为一个线性变换和一个平移变换的复合，即A = TRv，其中T为线性变换矩阵，Rv为沿向量v旋转的矩阵。矩阵A的行列式不等于0，则仿射变换保持面积比例不变。这也是仿射变换在计算机视觉中的重要应用之一。仿射变换还有许多其他的性质和应用，如特征点匹配、图像对齐等。在计算机图形学、计算机视觉、机器学习等领域中都有广泛的应用。                                    

在有限维的情况，每个仿射变换可以由一个矩阵A和一个向量b给出，它可以写作A和一个附加的列b。一个仿射变换对应于一个矩阵和一个向量的乘法，而仿射变换的复合对应于普通的矩阵乘法，只要加入一个额外的行到矩阵的底下，这一行全部是0除了最右边是一个1，而列向量的底下要加上一个1。AffineTransform类描述了一种二维仿射变换的功能，它是一种二维坐标到二维坐标之间的线性变换，保持二维图形的“平直性”（译注： straightness，即变换后直线还是直线不会打弯，圆弧还是圆弧）和“平行性”（译注：parallelness，其实是指保持二维图形间的相对位置关系不变，平行线还是平行线，而直线上点的位置顺序不变，另特别注意向量间夹角可能会发生变化。）仿射变换可以通过一系列的原子变换的复合来实现，包括：平移（Translation）、缩放（Scale）、翻转（Flip）、旋转（Rotation）和错切（Shear）。此类变换可以用一个3×3的矩阵来表示，其最后一行为(0, 0, 1)。该变换矩阵将原坐标(x, y)变换为新坐标(x", y")，这里原坐标和新坐标皆视为最末一行为(1)的三维列向量，原列向量左乘变换矩阵得到新的列向量：

title: 仿射变换 date: 2020/03/23 周一 11:58:40.00 tags: affine transformation categories: GIS Algorithm author:Tamkery (1-1)式 输入至少4个点在两个不同坐标下的坐标，计算6个变换参数（A~F）。 比如一个点P在 坐标框架下的位置信息为 (x,y);在另一个 坐标框架下的位置信息为 (X,Y)。 那么同一个点在两个不同坐标框架下就可得两套位置信息的坐标： (x,y)和 (X,Y)。 图出自《GPS卫星导航基础：让-马利-佐格》 利用仿射变换公式： 可将点 (x,y)转换到 (X,Y)。 那么关于六参数矩阵的算法 1-1式 如何推导呢？ 输入至少4个点在两个不同坐标下的坐标，计算6个变换参数（A~F）。 在这个条件下，n的最小值为4，那么就以4个控制点为基础开始公式的构建： 当n=4，即输入为4个控制点时候，有16个数据项。 把点数从4个推广到很多个，n个方程相加可得 1-2式 。 注意： 在1-2式中【x,y,X,Y】是点的坐标位置，也就是已经数据。公式中的未知变量其实是A到F六个字母。 六个未知数，两个方程，这种情况是求不出未知数的。所以至少再需要4个方程。 同理，又可得： （这个不想敲Latex了） 于是得到： 1.《地理信息系统导论》【美】kang-tsung Chang 第八版 2.《GPS卫星导航基础》【瑞士】让-马利-佐格

仿射变换是仿射平面（或空间）到自身的一类变换，最重要的性质是保持点的共线性（或共面性）以及保持直线的平行性。

在有限维的情况，每个仿射变换可以由一个矩阵A和一个向量b给出，它可以写作A和一个附加的列b。一个仿射变换对应于一个矩阵和一个向量的乘法，而仿射变换的复合对应于普通的矩阵乘法，只要加入一个额外的行到矩阵的底下，这一行全部是0除了最右边是一个1，而列向量的底下要加上一个1。

我们考虑二维平面的仿射变换；缩放，旋转，平移变换；假设两个点P1(x1,y1),p2(x2,y2) 经过仿射变换后变为 P1"(x1",y1"),P2"(x2",y2") 如果两张图之间只有仿射变换，那么在通过特征点匹配算法得到两张图之间的匹配关系后；我们如何进行仿射变换参数的估量？ 一种通用方法是将变换整体考虑，例如计算单应矩阵，然后根据单应矩阵推算仿射变换参数 但是在一些场景下，例如我们需要一些快速算法，或者一些可解释性的场景，我们可以利用仿射变换的性质分别进行缩放/旋转/平移参数的估算 缩放和旋转参数需要首先进行估算；其一，缩放参数不受旋转和平移参数的影响，其次，缩放参数会影响旋转和平移参数的估算； 旋转参数的估算类似缩放参数的估算，旋转参数的估算可以在缩放参数估算前或者之后； 基本思路类似类似缩放参数，以一个匹配点作为参考点，计算其他匹配点的向量旋转角度 参考资料： 为什么坐标变换的顺序必须是： 缩放->旋转->平移

①橡皮页变换用于纠正几何变形②仿射变换和相似变换都属于空间校正变换，用于坐标系内移动、平移数据或者转换单位仿射变换主要包括平移变换、旋转变换、尺度变换、倾斜变换（也叫错切变换、剪切变换、偏移变换）、翻转变换，一共有六个自由度（平移包括x方向平移和y方向平移，算两个自由度）。各变换的矩阵的形式：仿射变换主要包括平移变换、旋转变换、尺度变换、倾斜变换（也叫错切变换、剪切变换、偏移变换）、翻转变换，一共有六个自由度（平移包括x方向平移和y方向平移，算两个自由度）。各变换的矩阵的形式：      1> 平移变换请点击输入图片描述      2> 旋转变换     3> 尺度变换     4> 错切变换仿射变换保持二维图形的平直性和平行性，但是角度会改变，仿射变换的6个自由度中旋转占4个，另外两个是平移。它能保持平行性，但是不能保持垂直性（因为存在倾斜变换）。      1> 平直性：变换后直线还是直线、圆弧依旧是圆弧；      2> 平行性：平行线依旧平行，直线上点的位置顺序不变。相似变换相当于等距变换和均匀缩放的一个复合，即为：左上角2*2矩阵为旋转部分，右上角为平移因子。它有四个自由度，即旋转、x方向平移、y方向平移和缩放因子s。相似变换后长度比、夹角保持不变，其与相似三角形类似。因为相似变换中不存在倾斜变换（也叫错切变换、剪切变换、偏移变换）、翻转变换，而仿射变换中存在。虽然相似变换和仿射变换的变换矩阵一样，但是其定义不一样。

总结Wikipedia文档 https://www.cnblogs.com/ghj1976/p/5199086.html 仿射变换 1. 定义 2. 组成core：function that preserves points,straight lines and planes. 特性： (1)preserves parallel after an affine transformation. (2)not preserves distances between points and angles between lines, but preserves the ratios of distances between points lying on a straight lines. 常见的仿射变换有 translation 平移 scaling 尺度变换 homothety similarity transformation reflection rotation shear mapping compositions of all above wikipedia中针对上述仿射变化的介绍从形象的介绍（带图片），表达式，矩阵表示，齐次线性坐标系下的矩阵表示 定义： 核心词汇：same distance. In  Euclidean geometry , a translation is a  geometric transformation  that moves every point of a figure or a space by the same distance in a given direction. 数学表示： A translation can also be interpreted as the addition of a constant  vector  to every point, or as shifting the  origin  of the  coordinate system . 矩阵表示： 欧式空间中无法表示这种向量相加的变换（A translation is an  affine transformation  with  no   fixed points . Matrix multiplications  always  have the  origin  as a fixed point. ），因此采用齐次线性坐标系中的矩阵来表示。 Write the 3-dimensional vector  w  = ( w x ,  w y ,  w z ) using 4 homogeneous coordinates as  w  = ( w x ,  w y ,  w z , 1) 2.1 定义 uniform scaling(isotropic scaling) non-uniform scaling(anisotropic scaling) 变形，伸缩 尺度变换的方向和尺度变换的大小 2. 矩阵表示 unifom scalingIing 对角阵，变换尺度为v，则矩阵为vI。I为单位阵。 non-uniform scaling 对称矩阵，eigenvectors and eigenvalues！特征值为变换尺度，特征向量为尺度变换的方向。 作为属于不同本征空间的两个或更多个非零向量的组合的向量将朝向具有最大特征值的本征空间倾斜。 3. 齐次线性坐标系矩阵表示定义： 更确切地说，可以通过均匀缩放（放大或缩小），可能通过额外的平移，旋转和反射从另一个获得。 Two  geometrical  objects are called  similar  if they both have the same  shape , or one has the same shape as the mirror image of the other.  This means that either object can be rescaled, repositioned, and reflected, so as to coincide precisely with the other object. If two objects are similar, each is  congruent  to the result of a particular uniform scaling of the other. A modern and novel perspective of similarity is to consider geometrical objects similar if one appears congruent to the other when zoomed in or out at some level. 定义： hyperplane In  mathematics , a  reflection  (also spelled  reflexion ) [1]  is a  mapping  from a  Euclidean space  to itself that is an  isometry  with a   hyperplane   as a set of  fixed points ; this set is called the  axis  (in dimension 2) or  plane  (in dimension 3) of reflection. The image of a figure by a reflection is its  mirror image  in the axis or plane of reflection. For example the mirror image of the small Latin letter  p  for a reflection with respect to a vertical axis would look like  q . Its image by reflection in a horizontal axis would look like  b . A reflection is an  involution : when applied twice in succession, every point returns to its original location, and every geometrical object is restored to its original state. 6. rotation 旋转变换 Rotation  in  mathematics  is a concept originating in  geometry . Any rotation is a  motion  of a certain  space  that preserves at least one  point . It can describe, for example, the motion of a  rigid body  around a fixed point. A rotation is different from other types of motions:  translations , which have no fixed points, and  (hyperplane) reflections , each of them having an entire ( n − 1)-dimensional  flat  of fixed points in a n- dimensional  space. A clockwise rotation is a negative magnitude so a counterclockwise turn has a positive magnitude. Mathematically, a rotation is a  map . All rotations about a fixed point form a  group  under  composition  called the  rotation group  (of a particular space). But in  mechanics  and, more generally, in  physics , this concept is frequently understood as a  coordinate transformation  (importantly, a transformation of an  orthonormal basis ), because for any motion of a body there is an inverse transformation which if applied to the  frame of reference  results in the body being at the same coordinates. For example, in two dimensions rotating a body  clockwise  about a point keeping the axes fixed is equivalent to rotating the axes counterclockwise about the same point while the body is kept fixed. These two types of rotation are called  active and passive transformations . 正交矩阵！ 7. shear mapping 剪切映射 在平面几何中，剪切映射是一个线性映射，它将固定方向上的每个点移位一个与其与该方向平行并穿过原点的线的符号距离成比例的量。[1] 这种类型的映射也称为剪切变换，横向变换或仅剪切。

posted @ 2019-05-30 17:37  shine-lee 阅读(7203)  评论(7)  编辑   收藏 分类:  传统计算机视觉 目录 写在前面 仿射变换：平移、旋转、放缩、剪切、反射 变换矩阵形式 变换矩阵的理解与记忆 变换矩阵的参数估计 参考 博客： blog.shinelee.me  |  博客园  |  CSDN 写在前面 2D图像常见的坐标变换如下图所示：这篇文章不包含 透视变换 （projective/perspective transformation），而将重点放在 仿射变换 （affine transformation），将介绍仿射变换所包含的各种变换，以及变换矩阵该如何理解记忆。 仿射变换：平移、旋转、放缩、剪切、反射 仿射变换包括如下所有变换，以及这些变换任意次序次数的组合 ：平移 （translation）和 旋转 （rotation）顾名思义，两者的组合称之为 欧式变换 （Euclidean transformation）或 刚体变换 （rigid transformation）； 放缩 （scaling）可进一步分为 uniform scaling 和 non-uniform scaling ，前者每个坐标轴放缩系数相同（各向同性），后者不同；如果放缩系数为负，则会叠加上 反射 （reflection）——reflection可以看成是特殊的scaling； 刚体变换+uniform scaling 称之为， 相似变换 （similarity transformation），即平移+旋转+各向同性的放缩； 剪切变换 （shear mapping）将所有点沿某一指定方向成比例地平移，语言描述不如上面图示直观。 各种变换间的关系如下面的venn图所示：通过变换矩阵可以更清晰地看出这些变换间的关系和区别。 变换矩阵形式 没有平移或者平移量为0的所有仿射变换可以用如下变换矩阵描述： [x′y′]=[acbd][xy][x′y′]=[abcd][xy] 不同变换对应的a,b,c,da,b,c,d约束不同，排除了平移变换的所有仿射变换为 线性变换 （linear transformation），其涵盖的变换如上面的venn图所示，其特点是 原点位置不变 ， 多次线性变换的结果仍是线性变换 。 为了涵盖平移，引入 齐次坐标 ，在原有2维坐标的基础上，增广1个维度，如下所示： ⎡⎣⎢x′y′1⎤⎦⎥=⎡⎣⎢ad0be0cf1⎤⎦⎥⎡⎣⎢xy1⎤⎦⎥[x′y′1]=[abcdef001][xy1] 所以，仿射变换的变换矩阵统一用 ⎡⎣⎢ad0be0cf1⎤⎦⎥[abcdef001]来描述，不同基础变换的a,b,c,d,e,fa,b,c,d,e,f约束不同，如下所示：此外，旋转和平移相乘得到刚体变换的变换矩阵，如下，有3个自由度（θ,tx,tyθ,tx,ty），这里旋转方向为逆时针方向，因此与上图中的正负号不同， ⎡⎣⎢cos(θ)sin(θ)0−sin(θ)cos(θ)0txty1⎤⎦⎥⎡⎣⎢xy1⎤⎦⎥=⎡⎣⎢x′y′1⎤⎦⎥[cos⁡(θ)−sin⁡(θ)txsin⁡(θ)cos⁡(θ)ty001][xy1]=[x′y′1] 再乘上uniform scaling得到相似变换，有4个自由度（s,θ,tx,tys,θ,tx,ty），如下： ⎡⎣⎢scos(θ)ssin(θ)0−ssin(θ)scos(θ)0txty1⎤⎦⎥⎡⎣⎢xy1⎤⎦⎥=⎡⎣⎢x′y′1⎤⎦⎥[scos⁡(θ)−ssin⁡(θ)txssin⁡(θ)scos⁡(θ)ty001][xy1]=[x′y′1] 自然，仿射变换的变换矩阵有6个自由度（a,b,c,d,e,fa,b,c,d,e,f）。 变换矩阵的理解与记忆坐标系 由 坐标原点 和 基向量 决定， 坐标原点 和 基向量 确定了，坐标系也就确定了。 对于坐标系中的位置(x,y)(x,y)，其相对坐标原点在[1,0][1,0]方向上的投影为xx，在[0,1][0,1]方向上的投影为yy——这里投影的意思是过(x,y)(x,y)做坐标轴的平行线与坐标轴的交点到原点的距离，即(x,y)(x,y)实际为： [xy]=x[10]+y[01]=[1001][xy][xy]=x[10]+y[01]=[1001][xy] 当坐标系变化，坐标系中的点也跟着变化 ，但 点相对新坐标系 （x′−y′x′−y′坐标系） 的位置不变 仍为(x,y)(x,y)，以旋转变换为例，新坐标轴的基向量则变为[cos(θ),sin(θ)][cos⁡(θ),sin⁡(θ)]和[−sin(θ),cos(θ)][−sin⁡(θ),cos⁡(θ)]，所以点变化到新位置为： [x′y′]=x[cos(θ)sin(θ)]+y[−sin(θ)cos(θ)]=[cos(θ)sin(θ)−sin(θ)cos(θ)][xy][x′y′]=x[cos⁡(θ)sin⁡(θ)]+y[−sin⁡(θ)cos⁡(θ)]=[cos⁡(θ)−sin⁡(θ)sin⁡(θ)cos⁡(θ)][xy] 新位置和新基向量是相对绝对坐标系(x−yx−y坐标系）而言的。其他变换矩阵同理。 总结一下： 所有变换矩阵只需关注一点： 坐标系的变化 ，即 基向量和原点的变化 ； 坐标系变化到哪里，坐标系中的所有点也跟着做同样的变化 ； 坐标系的变换分为  基向量的变化  以及  坐标原点的变化 ，在仿射变换矩阵 ⎡⎣⎢ad0be0cf1⎤⎦⎥[abcdef001]中， [ad][ad]和[be][be]为新的基向量，[cf][cf]为新的坐标原点，先变化基向量，再变化坐标原点； 这时再对照上面的各种变换矩阵，就很好理解了。变换矩阵的参数估计 如果给定两个对应点集，如何估计指定变换矩阵的参数？ 一对对应点可以列两个线性方程，多个对应点可以列出线性方程组，为了求解参数，需要的对应点数至少为自由度的一半，多个点时构成超定方程组，可以基于最小二乘或者SVD分解等方法进行求解，这里不再展开。 参考 Image Alignment and Stitching: A Tutorial wiki: Affine transformation Geometric Transformation Coordinates and Transformations Transformations Geometric Transformations Image Geometry 原文链接： https://www.cnblogs.com/shine-lee/p/10950963.html

更多图片(10张)在几何上定义为两个向量空间之间的一个仿射变换或者仿射映射（来自拉丁语，affine，“和。..相关”）由一个线性变换接上一个平移组成。

旋转 (线性变换)，平移(向量加)．缩放(线性变换)，错切，反转 仿射变换是一种二维坐标到二维坐标之间的线性变换，它保持了二维图形的“平直性”（直线经过变换之后依然是直线）和“平行性”（二维图形之间的相对位置关系保持不变，平行线依然是平行线，且直线上点的位置顺序不变）。任意的仿射变换都能表示为乘以一个矩阵(线性变换)，再加上一个向量 (平移) 的形式． 以上公式将点(x,y)映射到(x",y")，在OpenCV中通过指定一个2x3矩阵实现此功能（公式中的m矩阵，是线性变换和平移的组合，m11,m12,m21,m22为线性变化参数，m13,m23为平移参数，其最后一行固定为0,0,1，因此，将3x3矩阵简化为2x3） a) 以原点为中心旋转，2x3矩阵为： [ cos(theta), -sin(theta), 0 ], [ sin(theta), cos(theta), 0 ] 则 x" = x * cos(theta) - sin(theta) * y y" = x * sin(theta) + cos(theta) * y b) 平移，2x3矩阵为 [1,0,tx], [0,1,ty] 则 x" = x * 1 + y * 0 + tx = x + tx y" = x * 0 + y * 1 + ty = y + ty 在OpenCV中，仿射变换通过函数cvWrapAffine(src,dst,mat)实现，其中mat是2x3的仿射矩阵，该矩阵可以利用函数cvGetAffineTransform(srcTri,dstTri,mat)得到，其中mat是被该函数填充的仿射矩阵，srcTri和dstTri分别是由三个顶点定义的平行四边形（由于是平行四边形，只需要指定三个顶点即可确定），即：给出变换前的ABCD和变换后的A"B"C"D" 将2D矩阵图像变换成3D的空间显示效果，全景拼接． 透视变换是将图片投影到一个新的视平面，也称作投影映射．它是二维（x,y）到三维(X,Y,Z)，再到另一个二维(x",y")空间的映射．相对于仿射变换，它提供了更大的灵活性，将一个四边形区域映射到另一个四边形区域（不一定是平行四边形）．它不止是线性变换．但也是通过矩阵乘法实现的，使用的是一个3x3的矩阵，矩阵的前两行与仿射矩阵相同(m11,m12,m13,m21,m22,m23)，也实现了线性变换和平移，第三行用于实现透视变换． 以上公式设变换之前的点是z值为1的点，它三维平面上的值是x,y,1，在二维平面上的投影是x,y，通过矩阵变换成三维中的点X,Y,Z，再通过除以三维中Z轴的值，转换成二维中的点x",y".从以上公式可知，仿射变换是透视变换的一种特殊情况．它把二维转到三维，变换后，再转映射回之前的二维空间（而不是另一个二维空间）． 在OpenCV中，透视变换通过函数cvWrapPerspective(src,dst,mat)实现, 与仿射变换不同的是，透视矩阵是一个3x3的矩阵，在计算矩阵时，可利用函数cvGetPerspectiveTransform(srcQuad,dstQuad,mat)，由于不再是平行四边形，需要提供四边形的四个顶点 仿射变换后平行四边形的各边仍操持平行，透视变换结果允许是梯形等四边形，所以仿射变换是透视变换的子集

仿射几何增加了无穷远点和无穷远直线，因此和欧式几何本质上不同。仿射直线是封闭的，欧式直线是两端无限延伸的。仿射直线的点偶关系和欧式直线不同，仿射直线的点偶没有顺序的概念，只能谈分离不分离。仿射平面也是封闭的，而欧式平面是各方向无限伸展的。仿射平面有不可定向性。从模型上看，仿射直线和圆周同构，仿射平面和实心圆盘拓扑等价，欧式平面和去掉圆周的圆盘内部拓扑等价。还有，仿射几何里，仿射直线和添加了无穷远点的所谓拓广点地位是对等的，体现了对偶原理，而欧式几何两者不对等。