MATLAB 完整的仿射变换

仿射变换是种基本的图像变换。研究表明，在特殊情况下，非线性的透射变换退变为线性的仿射变换；在多数情况下，透射变换可以用仿射变换很好地近似，这为透射变换的目标识别指出了一条新的途径。一组新的由低阶中心矩构成的仿射不变量验证了推导的正确性

仿射变换是指保持原有物体内部平行关系的变换，包括平移、旋转、缩放、剪切等变换。仿射变换可以用矩阵来表示，其基本定理如下：                                    对于平面上的点集S，经过仿射变换后得到的点集S"，可以表示为S" = AS + b，其中A为2×2的矩阵，b为2维向量。其中，矩阵A可以表示为线性变换和平移变换的复合。设P和P"为平面上的两个点，且它们之间的向量为v，则A可以表示为一个线性变换和一个平移变换的复合，即A = TRv，其中T为线性变换矩阵，Rv为沿向量v旋转的矩阵。矩阵A的行列式不等于0，则仿射变换保持面积比例不变。这也是仿射变换在计算机视觉中的重要应用之一。仿射变换还有许多其他的性质和应用，如特征点匹配、图像对齐等。在计算机图形学、计算机视觉、机器学习等领域中都有广泛的应用。                                    

在有限维的情况，每个仿射变换可以由一个矩阵A和一个向量b给出，它可以写作A和一个附加的列b。一个仿射变换对应于一个矩阵和一个向量的乘法，而仿射变换的复合对应于普通的矩阵乘法，只要加入一个额外的行到矩阵的底下，这一行全部是0除了最右边是一个1，而列向量的底下要加上一个1。AffineTransform类描述了一种二维仿射变换的功能，它是一种二维坐标到二维坐标之间的线性变换，保持二维图形的“平直性”（译注： straightness，即变换后直线还是直线不会打弯，圆弧还是圆弧）和“平行性”（译注：parallelness，其实是指保持二维图形间的相对位置关系不变，平行线还是平行线，而直线上点的位置顺序不变，另特别注意向量间夹角可能会发生变化。）仿射变换可以通过一系列的原子变换的复合来实现，包括：平移（Translation）、缩放（Scale）、翻转（Flip）、旋转（Rotation）和错切（Shear）。此类变换可以用一个3×3的矩阵来表示，其最后一行为(0, 0, 1)。该变换矩阵将原坐标(x, y)变换为新坐标(x", y")，这里原坐标和新坐标皆视为最末一行为(1)的三维列向量，原列向量左乘变换矩阵得到新的列向量：

title: 仿射变换 date: 2020/03/23 周一 11:58:40.00 tags: affine transformation categories: GIS Algorithm author:Tamkery (1-1)式 输入至少4个点在两个不同坐标下的坐标，计算6个变换参数（A~F）。 比如一个点P在 坐标框架下的位置信息为 (x,y);在另一个 坐标框架下的位置信息为 (X,Y)。 那么同一个点在两个不同坐标框架下就可得两套位置信息的坐标： (x,y)和 (X,Y)。 图出自《GPS卫星导航基础：让-马利-佐格》 利用仿射变换公式： 可将点 (x,y)转换到 (X,Y)。 那么关于六参数矩阵的算法 1-1式 如何推导呢？ 输入至少4个点在两个不同坐标下的坐标，计算6个变换参数（A~F）。 在这个条件下，n的最小值为4，那么就以4个控制点为基础开始公式的构建： 当n=4，即输入为4个控制点时候，有16个数据项。 把点数从4个推广到很多个，n个方程相加可得 1-2式 。 注意： 在1-2式中【x,y,X,Y】是点的坐标位置，也就是已经数据。公式中的未知变量其实是A到F六个字母。 六个未知数，两个方程，这种情况是求不出未知数的。所以至少再需要4个方程。 同理，又可得： （这个不想敲Latex了） 于是得到： 1.《地理信息系统导论》【美】kang-tsung Chang 第八版 2.《GPS卫星导航基础》【瑞士】让-马利-佐格

仿射变换是仿射平面（或空间）到自身的一类变换，最重要的性质是保持点的共线性（或共面性）以及保持直线的平行性。

在有限维的情况，每个仿射变换可以由一个矩阵A和一个向量b给出，它可以写作A和一个附加的列b。一个仿射变换对应于一个矩阵和一个向量的乘法，而仿射变换的复合对应于普通的矩阵乘法，只要加入一个额外的行到矩阵的底下，这一行全部是0除了最右边是一个1，而列向量的底下要加上一个1。

我们考虑二维平面的仿射变换；缩放，旋转，平移变换；假设两个点P1(x1,y1),p2(x2,y2) 经过仿射变换后变为 P1"(x1",y1"),P2"(x2",y2") 如果两张图之间只有仿射变换，那么在通过特征点匹配算法得到两张图之间的匹配关系后；我们如何进行仿射变换参数的估量？ 一种通用方法是将变换整体考虑，例如计算单应矩阵，然后根据单应矩阵推算仿射变换参数 但是在一些场景下，例如我们需要一些快速算法，或者一些可解释性的场景，我们可以利用仿射变换的性质分别进行缩放/旋转/平移参数的估算 缩放和旋转参数需要首先进行估算；其一，缩放参数不受旋转和平移参数的影响，其次，缩放参数会影响旋转和平移参数的估算； 旋转参数的估算类似缩放参数的估算，旋转参数的估算可以在缩放参数估算前或者之后； 基本思路类似类似缩放参数，以一个匹配点作为参考点，计算其他匹配点的向量旋转角度 参考资料： 为什么坐标变换的顺序必须是： 缩放->旋转->平移

①橡皮页变换用于纠正几何变形②仿射变换和相似变换都属于空间校正变换，用于坐标系内移动、平移数据或者转换单位仿射变换主要包括平移变换、旋转变换、尺度变换、倾斜变换（也叫错切变换、剪切变换、偏移变换）、翻转变换，一共有六个自由度（平移包括x方向平移和y方向平移，算两个自由度）。各变换的矩阵的形式：仿射变换主要包括平移变换、旋转变换、尺度变换、倾斜变换（也叫错切变换、剪切变换、偏移变换）、翻转变换，一共有六个自由度（平移包括x方向平移和y方向平移，算两个自由度）。各变换的矩阵的形式：      1> 平移变换请点击输入图片描述      2> 旋转变换     3> 尺度变换     4> 错切变换仿射变换保持二维图形的平直性和平行性，但是角度会改变，仿射变换的6个自由度中旋转占4个，另外两个是平移。它能保持平行性，但是不能保持垂直性（因为存在倾斜变换）。      1> 平直性：变换后直线还是直线、圆弧依旧是圆弧；      2> 平行性：平行线依旧平行，直线上点的位置顺序不变。相似变换相当于等距变换和均匀缩放的一个复合，即为：左上角2*2矩阵为旋转部分，右上角为平移因子。它有四个自由度，即旋转、x方向平移、y方向平移和缩放因子s。相似变换后长度比、夹角保持不变，其与相似三角形类似。因为相似变换中不存在倾斜变换（也叫错切变换、剪切变换、偏移变换）、翻转变换，而仿射变换中存在。虽然相似变换和仿射变换的变换矩阵一样，但是其定义不一样。

总结Wikipedia文档 https://www.cnblogs.com/ghj1976/p/5199086.html 仿射变换 1. 定义 2. 组成core：function that preserves points,straight lines and planes. 特性： (1)preserves parallel after an affine transformation. (2)not preserves distances between points and angles between lines, but preserves the ratios of distances between points lying on a straight lines. 常见的仿射变换有 translation 平移 scaling 尺度变换 homothety similarity transformation reflection rotation shear mapping compositions of all above wikipedia中针对上述仿射变化的介绍从形象的介绍（带图片），表达式，矩阵表示，齐次线性坐标系下的矩阵表示 定义： 核心词汇：same distance. In  Euclidean geometry , a translation is a  geometric transformation  that moves every point of a figure or a space by the same distance in a given direction. 数学表示： A translation can also be interpreted as the addition of a constant  vector  to every point, or as shifting the  origin  of the  coordinate system . 矩阵表示： 欧式空间中无法表示这种向量相加的变换（A translation is an  affine transformation  with  no   fixed points . Matrix multiplications  always  have the  origin  as a fixed point. ），因此采用齐次线性坐标系中的矩阵来表示。 Write the 3-dimensional vector  w  = ( w x ,  w y ,  w z ) using 4 homogeneous coordinates as  w  = ( w x ,  w y ,  w z , 1) 2.1 定义 uniform scaling(isotropic scaling) non-uniform scaling(anisotropic scaling) 变形，伸缩 尺度变换的方向和尺度变换的大小 2. 矩阵表示 unifom scalingIing 对角阵，变换尺度为v，则矩阵为vI。I为单位阵。 non-uniform scaling 对称矩阵，eigenvectors and eigenvalues！特征值为变换尺度，特征向量为尺度变换的方向。 作为属于不同本征空间的两个或更多个非零向量的组合的向量将朝向具有最大特征值的本征空间倾斜。 3. 齐次线性坐标系矩阵表示定义： 更确切地说，可以通过均匀缩放（放大或缩小），可能通过额外的平移，旋转和反射从另一个获得。 Two  geometrical  objects are called  similar  if they both have the same  shape , or one has the same shape as the mirror image of the other.  This means that either object can be rescaled, repositioned, and reflected, so as to coincide precisely with the other object. If two objects are similar, each is  congruent  to the result of a particular uniform scaling of the other. A modern and novel perspective of similarity is to consider geometrical objects similar if one appears congruent to the other when zoomed in or out at some level. 定义： hyperplane In  mathematics , a  reflection  (also spelled  reflexion ) [1]  is a  mapping  from a  Euclidean space  to itself that is an  isometry  with a   hyperplane   as a set of  fixed points ; this set is called the  axis  (in dimension 2) or  plane  (in dimension 3) of reflection. The image of a figure by a reflection is its  mirror image  in the axis or plane of reflection. For example the mirror image of the small Latin letter  p  for a reflection with respect to a vertical axis would look like  q . Its image by reflection in a horizontal axis would look like  b . A reflection is an  involution : when applied twice in succession, every point returns to its original location, and every geometrical object is restored to its original state. 6. rotation 旋转变换 Rotation  in  mathematics  is a concept originating in  geometry . Any rotation is a  motion  of a certain  space  that preserves at least one  point . It can describe, for example, the motion of a  rigid body  around a fixed point. A rotation is different from other types of motions:  translations , which have no fixed points, and  (hyperplane) reflections , each of them having an entire ( n − 1)-dimensional  flat  of fixed points in a n- dimensional  space. A clockwise rotation is a negative magnitude so a counterclockwise turn has a positive magnitude. Mathematically, a rotation is a  map . All rotations about a fixed point form a  group  under  composition  called the  rotation group  (of a particular space). But in  mechanics  and, more generally, in  physics , this concept is frequently understood as a  coordinate transformation  (importantly, a transformation of an  orthonormal basis ), because for any motion of a body there is an inverse transformation which if applied to the  frame of reference  results in the body being at the same coordinates. For example, in two dimensions rotating a body  clockwise  about a point keeping the axes fixed is equivalent to rotating the axes counterclockwise about the same point while the body is kept fixed. These two types of rotation are called  active and passive transformations . 正交矩阵！ 7. shear mapping 剪切映射 在平面几何中，剪切映射是一个线性映射，它将固定方向上的每个点移位一个与其与该方向平行并穿过原点的线的符号距离成比例的量。[1] 这种类型的映射也称为剪切变换，横向变换或仅剪切。

posted @ 2019-05-30 17:37  shine-lee 阅读(7203)  评论(7)  编辑   收藏 分类:  传统计算机视觉 目录 写在前面 仿射变换：平移、旋转、放缩、剪切、反射 变换矩阵形式 变换矩阵的理解与记忆 变换矩阵的参数估计 参考 博客： blog.shinelee.me  |  博客园  |  CSDN 写在前面 2D图像常见的坐标变换如下图所示：这篇文章不包含 透视变换 （projective/perspective transformation），而将重点放在 仿射变换 （affine transformation），将介绍仿射变换所包含的各种变换，以及变换矩阵该如何理解记忆。 仿射变换：平移、旋转、放缩、剪切、反射 仿射变换包括如下所有变换，以及这些变换任意次序次数的组合 ：平移 （translation）和 旋转 （rotation）顾名思义，两者的组合称之为 欧式变换 （Euclidean transformation）或 刚体变换 （rigid transformation）； 放缩 （scaling）可进一步分为 uniform scaling 和 non-uniform scaling ，前者每个坐标轴放缩系数相同（各向同性），后者不同；如果放缩系数为负，则会叠加上 反射 （reflection）——reflection可以看成是特殊的scaling； 刚体变换+uniform scaling 称之为， 相似变换 （similarity transformation），即平移+旋转+各向同性的放缩； 剪切变换 （shear mapping）将所有点沿某一指定方向成比例地平移，语言描述不如上面图示直观。 各种变换间的关系如下面的venn图所示：通过变换矩阵可以更清晰地看出这些变换间的关系和区别。 变换矩阵形式 没有平移或者平移量为0的所有仿射变换可以用如下变换矩阵描述： [x′y′]=[acbd][xy][x′y′]=[abcd][xy] 不同变换对应的a,b,c,da,b,c,d约束不同，排除了平移变换的所有仿射变换为 线性变换 （linear transformation），其涵盖的变换如上面的venn图所示，其特点是 原点位置不变 ， 多次线性变换的结果仍是线性变换 。 为了涵盖平移，引入 齐次坐标 ，在原有2维坐标的基础上，增广1个维度，如下所示： ⎡⎣⎢x′y′1⎤⎦⎥=⎡⎣⎢ad0be0cf1⎤⎦⎥⎡⎣⎢xy1⎤⎦⎥[x′y′1]=[abcdef001][xy1] 所以，仿射变换的变换矩阵统一用 ⎡⎣⎢ad0be0cf1⎤⎦⎥[abcdef001]来描述，不同基础变换的a,b,c,d,e,fa,b,c,d,e,f约束不同，如下所示：此外，旋转和平移相乘得到刚体变换的变换矩阵，如下，有3个自由度（θ,tx,tyθ,tx,ty），这里旋转方向为逆时针方向，因此与上图中的正负号不同， ⎡⎣⎢cos(θ)sin(θ)0−sin(θ)cos(θ)0txty1⎤⎦⎥⎡⎣⎢xy1⎤⎦⎥=⎡⎣⎢x′y′1⎤⎦⎥[cos⁡(θ)−sin⁡(θ)txsin⁡(θ)cos⁡(θ)ty001][xy1]=[x′y′1] 再乘上uniform scaling得到相似变换，有4个自由度（s,θ,tx,tys,θ,tx,ty），如下： ⎡⎣⎢scos(θ)ssin(θ)0−ssin(θ)scos(θ)0txty1⎤⎦⎥⎡⎣⎢xy1⎤⎦⎥=⎡⎣⎢x′y′1⎤⎦⎥[scos⁡(θ)−ssin⁡(θ)txssin⁡(θ)scos⁡(θ)ty001][xy1]=[x′y′1] 自然，仿射变换的变换矩阵有6个自由度（a,b,c,d,e,fa,b,c,d,e,f）。 变换矩阵的理解与记忆坐标系 由 坐标原点 和 基向量 决定， 坐标原点 和 基向量 确定了，坐标系也就确定了。 对于坐标系中的位置(x,y)(x,y)，其相对坐标原点在[1,0][1,0]方向上的投影为xx，在[0,1][0,1]方向上的投影为yy——这里投影的意思是过(x,y)(x,y)做坐标轴的平行线与坐标轴的交点到原点的距离，即(x,y)(x,y)实际为： [xy]=x[10]+y[01]=[1001][xy][xy]=x[10]+y[01]=[1001][xy] 当坐标系变化，坐标系中的点也跟着变化 ，但 点相对新坐标系 （x′−y′x′−y′坐标系） 的位置不变 仍为(x,y)(x,y)，以旋转变换为例，新坐标轴的基向量则变为[cos(θ),sin(θ)][cos⁡(θ),sin⁡(θ)]和[−sin(θ),cos(θ)][−sin⁡(θ),cos⁡(θ)]，所以点变化到新位置为： [x′y′]=x[cos(θ)sin(θ)]+y[−sin(θ)cos(θ)]=[cos(θ)sin(θ)−sin(θ)cos(θ)][xy][x′y′]=x[cos⁡(θ)sin⁡(θ)]+y[−sin⁡(θ)cos⁡(θ)]=[cos⁡(θ)−sin⁡(θ)sin⁡(θ)cos⁡(θ)][xy] 新位置和新基向量是相对绝对坐标系(x−yx−y坐标系）而言的。其他变换矩阵同理。 总结一下： 所有变换矩阵只需关注一点： 坐标系的变化 ，即 基向量和原点的变化 ； 坐标系变化到哪里，坐标系中的所有点也跟着做同样的变化 ； 坐标系的变换分为  基向量的变化  以及  坐标原点的变化 ，在仿射变换矩阵 ⎡⎣⎢ad0be0cf1⎤⎦⎥[abcdef001]中， [ad][ad]和[be][be]为新的基向量，[cf][cf]为新的坐标原点，先变化基向量，再变化坐标原点； 这时再对照上面的各种变换矩阵，就很好理解了。变换矩阵的参数估计 如果给定两个对应点集，如何估计指定变换矩阵的参数？ 一对对应点可以列两个线性方程，多个对应点可以列出线性方程组，为了求解参数，需要的对应点数至少为自由度的一半，多个点时构成超定方程组，可以基于最小二乘或者SVD分解等方法进行求解，这里不再展开。 参考 Image Alignment and Stitching: A Tutorial wiki: Affine transformation Geometric Transformation Coordinates and Transformations Transformations Geometric Transformations Image Geometry 原文链接： https://www.cnblogs.com/shine-lee/p/10950963.html

更多图片(10张)在几何上定义为两个向量空间之间的一个仿射变换或者仿射映射（来自拉丁语，affine，“和。..相关”）由一个线性变换接上一个平移组成。

旋转 (线性变换)，平移(向量加)．缩放(线性变换)，错切，反转 仿射变换是一种二维坐标到二维坐标之间的线性变换，它保持了二维图形的“平直性”（直线经过变换之后依然是直线）和“平行性”（二维图形之间的相对位置关系保持不变，平行线依然是平行线，且直线上点的位置顺序不变）。任意的仿射变换都能表示为乘以一个矩阵(线性变换)，再加上一个向量 (平移) 的形式． 以上公式将点(x,y)映射到(x",y")，在OpenCV中通过指定一个2x3矩阵实现此功能（公式中的m矩阵，是线性变换和平移的组合，m11,m12,m21,m22为线性变化参数，m13,m23为平移参数，其最后一行固定为0,0,1，因此，将3x3矩阵简化为2x3） a) 以原点为中心旋转，2x3矩阵为： [ cos(theta), -sin(theta), 0 ], [ sin(theta), cos(theta), 0 ] 则 x" = x * cos(theta) - sin(theta) * y y" = x * sin(theta) + cos(theta) * y b) 平移，2x3矩阵为 [1,0,tx], [0,1,ty] 则 x" = x * 1 + y * 0 + tx = x + tx y" = x * 0 + y * 1 + ty = y + ty 在OpenCV中，仿射变换通过函数cvWrapAffine(src,dst,mat)实现，其中mat是2x3的仿射矩阵，该矩阵可以利用函数cvGetAffineTransform(srcTri,dstTri,mat)得到，其中mat是被该函数填充的仿射矩阵，srcTri和dstTri分别是由三个顶点定义的平行四边形（由于是平行四边形，只需要指定三个顶点即可确定），即：给出变换前的ABCD和变换后的A"B"C"D" 将2D矩阵图像变换成3D的空间显示效果，全景拼接． 透视变换是将图片投影到一个新的视平面，也称作投影映射．它是二维（x,y）到三维(X,Y,Z)，再到另一个二维(x",y")空间的映射．相对于仿射变换，它提供了更大的灵活性，将一个四边形区域映射到另一个四边形区域（不一定是平行四边形）．它不止是线性变换．但也是通过矩阵乘法实现的，使用的是一个3x3的矩阵，矩阵的前两行与仿射矩阵相同(m11,m12,m13,m21,m22,m23)，也实现了线性变换和平移，第三行用于实现透视变换． 以上公式设变换之前的点是z值为1的点，它三维平面上的值是x,y,1，在二维平面上的投影是x,y，通过矩阵变换成三维中的点X,Y,Z，再通过除以三维中Z轴的值，转换成二维中的点x",y".从以上公式可知，仿射变换是透视变换的一种特殊情况．它把二维转到三维，变换后，再转映射回之前的二维空间（而不是另一个二维空间）． 在OpenCV中，透视变换通过函数cvWrapPerspective(src,dst,mat)实现, 与仿射变换不同的是，透视矩阵是一个3x3的矩阵，在计算矩阵时，可利用函数cvGetPerspectiveTransform(srcQuad,dstQuad,mat)，由于不再是平行四边形，需要提供四边形的四个顶点 仿射变换后平行四边形的各边仍操持平行，透视变换结果允许是梯形等四边形，所以仿射变换是透视变换的子集

这是对 MIT Foundation of 3D Computer Graphics 第3章的翻译，本章讲解了仿射变换的基本概念，变换矩阵的由来以及分解、通用法线变换的推导等内容。本书内容仍在不断的学习中，因此本文内容会不断的改进。若有任何建议，请不吝赐教 ninetymiles@icloud.com 已经完成的章节 将点和矢量看作是两种不同的概念是有用的。点表示在几何世界中的某种固定位置，而矢量表示世界中两个点之间的运动。我们会使用两种不同的标记区分点和矢量。矢量 会有一个箭头在顶部，而点 会有波浪线在顶部。 如果我们认为矢量表达两点之间的运动，那么矢量操作（加法和标量乘法）就有明确的意义。如果我们把两个矢量加起来，我们在表达两个运动的串接（concatenation）。如果我们用一个标量乘以矢量，我们就在通过某个因子增加或减少运动。零矢量（zero vector）为一个特别矢量，其代表没有运动。 这些操作对于点不会真正产生任何意义。把两个点加起来应该表示什么含义，比如说，哈佛广场加上剑桥肯德尔广场（这里是两个地点名称）是什么？一个点被一个标量相乘又指得什么？什么是北极点的7倍？是否存在一个零点（zero point）和其它点的行为不一样？ 存在一种在两个点之间确实有意义的操作：减法。当我们从另一个点减去一个点，我们应该会得到从第二个点到第一个点路径之间的运动， 反过来说，如果我们从一个点开始，然后移动一个矢量（位移），我们应该会到达另一个点。 对一个点应用线性变换同样有意义。例如我们可以想象一个点围绕某个固定原点的旋转。而且平移点也是有意义的（但是这个概念对于矢量没有任何意义）。要表达平移，我们需要开发仿射变换（或并行变换 affine transformation）的概念。要完成这个任务，我们借助 矩阵。这些矩阵不仅对于处理本章的仿射（并行）变换很方便，而且对于描述（随后在第十章会看到的）相机投射变换也是很有帮助。 在仿射空间（affine space）中，我们描述任何点 首先从某个原点 开始，然后给其加上一个矢量的线性组合。这些矢量使用坐标 和一个矢量基（basis of vectors）来表示。 此处 被定义为 。 而下面这行表达 被称为一个仿射帧（affine space）；它就像一个基（basis），但是由3个矢量和一个点组成。 为了借助一个帧指定一个点，我们使用拥有4个条目（entries）的4部件坐标矢量（coordinate 4-vector），其中最后一个条目总为1。要借助一个帧表达一个矢量，我们使用一个让0作为第4坐标的坐标矢量（也就是说，它只是基矢量之和）。当我们建模针孔相机的行为时，要表达几何形状（还有 矩阵），4部件坐标矢量的使用都会很便利。 相似于线性变换的情形，我们想要通过在一个4部件坐标矢量和一个帧之间放置一个合适的矩阵的形式，来定义出仿射变换的概念。 让我们将仿射矩阵定义为一个如下形式的 矩阵 然后我们对一个点 应用仿射变换如下 或者简写为 我们可以验证上面表达的第二行描述了一个有效的点，因为乘法 给出了我们一个带有1作为第4条目的4部件坐标矢量。另一方面，我们也能够看到乘法 此处 被定义为 ，给出了一个由3个矢量和一个原点组成的有效帧。 同时也要注意到，如果矩阵的最后一行不是 这种形式，变换就通常给出一个无效的结果。 类似于线性变换的情形，我们可以针对一个帧应用仿射变换（affine transformation）为 或者简写为 假如我们有一个表达线性变换的 矩阵。我们可以将其嵌入 矩阵的左上方角落，并且借助这个更大的矩阵对一个点（或者帧）应用变换。 这个变换在 上拥有相同效果，就如之前其所参与的线性变换。如果我们把点 当作从原点 偏移矢量 ，我们就明白这个变换和应用线性变换到偏移矢量上具有相同效果。因而，以例子来说，如果 矩阵为旋转矩阵，这个变换将围绕原点旋转这个点（参考图示 ）。正如下面我们将在第4章中看到的，当对一个点应用一个线性变换，帧的原点位置扮演了一个重要的角色。 我们借助下列缩写用于描述一个 矩阵，其只是应用了一个线性变换。 此处 是一个 矩阵， 是一个 矩阵，右上角的0代表 由0组成的矩阵，右下角的1是一个标量(scalar)。 可以对点应用平移变换是很有用的。这种变换不是线性的（参考课后练习6)。仿射变换的主要新威力就是在线性变换之上表达平移的能力。实际上，如果我们应用变换 我们看到变换在坐标上的效果为 针对平移，我们使用简写 此处 为 一个 矩阵， 为一个 同一矩阵（identity matrix），右上角的 为一个表达平移的 矩阵，左下角的0表示一个由0组成的 矩阵，右下角的1为一个变量。 注意如果 在第4坐标中为0，如此就表达了一个矢量而不是一个点，从而不会被平移所影响。 任何仿射矩阵（affine matrix）都可以被分解为线性部分和平移部分。 或者简写为 注意因为矩阵乘法不是可互换顺序的，乘法 中的顺序很关键。一个仿射矩阵（affine matrix）也可以借助一个不同的平移矩阵 被分解为 （线性部分是不会发生变化的），但是我们不会使用这种形式。 如果 ， 的线性部分，是一个旋转，我们把这种形式记作 在这种情形中，我们称 矩阵为刚体矩阵(rigid body matrix)，它所对应的变化，刚体变换（rigid body transform），简称 。刚体变换保留了矢量之间的点积（dot product），基的手（螺旋）性（handedness），还有点之间的距离。 在计算机图形学中，我们经常借助表面法线确定一个表面点如何被着色。所以当表面点经历由矩阵 表示的仿射变换时，我们需要懂得表面法线是如何变换的。 你可能猜测我们只要用矩阵 乘以法线的坐标就可以了。例如，如果我们旋转几何形状，法线会以完全相同的方式旋转。但是事实上使用矩阵 不总是正确的。例如在图示 中，我们顺着 轴挤压一个球体。在这种情形中，实际的法线变换会顺着 轴拉伸而不是挤压。在这里我们要推导出可以应用在所有情形中的正确变换。 让我们定义位于点上平滑表面的法线为一个矢量，这个矢量正交于那个点表面的切线平面。切线平面是矢量平面，这个矢量平面通过临近的（距离无限小地）表面点之间的减法来定义，所以，针对法线 和两个非常接近的点 和 ，我们有如下表达。 在某种固定的正交标准化坐标系中，这可以被表达为 在这个公式中我们在前面的插槽中使用 是因为它被0乘，从而和结果不相关。 假设存在一个由仿射矩阵 表示的仿射变换，我们把这个变换应用到所有的点上。什么矢量会和任意的切线矢量保持正交状态？让我们重写方程式(3.4)为 如果我们定义 为被变换点的坐标，同时让 ，那么我们就得到如下表达 并且我们看到 是被变换的几何体法线的坐标（要依靠伸缩变换来获得标准态）。 注意因为我们不关注 值，因而我们不需要关注 的第四列。同时，因为A是一个仿射矩阵（affine matrix），所以 也是，进而剩下三列的第四行全部是0，从而可以安全地被忽略。因而，参考简写方式 我们可以得到这种关系 此时调换整个表达式，我们就获得最终表达式 此处 是 矩阵的反转加调换（等价于调换加反转）。注意如果 为一个旋转矩阵，且这个矩阵是正交标准化的，那么它的反转加调换事实上仍然是 。在这种情形中法线的坐标表现的就像点的坐标一样。然而对于其它线性变换，法线的表现就不相同了。（参考图示 。）同时也要注意到A的平移部分对法线没有影响。

仿射几何增加了无穷远点和无穷远直线，因此和欧式几何本质上不同。仿射直线是封闭的，欧式直线是两端无限延伸的。仿射直线的点偶关系和欧式直线不同，仿射直线的点偶没有顺序的概念，只能谈分离不分离。仿射平面也是封闭的，而欧式平面是各方向无限伸展的。仿射平面有不可定向性。从模型上看，仿射直线和圆周同构，仿射平面和实心圆盘拓扑等价，欧式平面和去掉圆周的圆盘内部拓扑等价。还有，仿射几何里，仿射直线和添加了无穷远点的所谓拓广点地位是对等的，体现了对偶原理，而欧式几何两者不对等。

在仿射变换下 菱形性质不变的有：1、点之间的共线性，例如通过同一线之点（即称为共线点）在变换后仍呈共线。对应菱形是轴对称图形，它有两条对称轴。2、向量沿着一线的比例，例如对相异共线三点与的比例同于及。对应菱形的四条边相等。3、平面上任意两条直线，经仿射变换后，仍然保持平行。对应菱形的邻边相等且平行。概念：仿射变换是在几何上定义为两个向量空间之间的一个仿射变换或者仿射映射由一个非奇异的线性变换（运用一次函数进行的变换）接上一个平移变换组成。在有限维的情况，每个仿射变换可以由一个矩阵A和一个向量b给出，它可以写作A和一个附加的列b。

对。仿射变换是可逆的,且它的逆变换也是仿射变换。因为它的系数矩阵是可逆的。

问题1：首先代入A，B得到（1）a-b+c=-1;(2)-d+2e+f=2;然后注意条件上有直线x+2y-1=0.上每个点都不变.也就是（3）x=ax+by+c;(4)y=dx+ey+f;又用x+2y-1=0得到x=1-2y代入（3），（4）化简得到（5）a+c-1=(2a-b-2)y,(6),省略，自己仿照（5）算下就好；看5中，注意y的任意性，得到a+c-1=0;2a-b-2=0;解出abc;注意1,3,5是第一个方程，变形可以解出；同理2,4,6可以解出def;问题2和已差不多，不多说了。话说楼主你给这么麻烦的问题也不多些分.还好啦，看你是7级的，也帮人不少，也就帮你一次吧

a与26互素，a模26的逆元才存在，才能解密

用三对点就可以算出来了。仿射变换模型如图：把三对点的坐标带入图中矩阵，6个方程6个未知数，即可解除a1,a2,a3,a4,b1,b2仿射变换矩阵为：[a1  a2  0 a3  a4  0 b1  b2  1]

题有病.直线x+y+1=0,x-y-1=0,交于（1,0）.不是（1,1）.可以改为： 试确定仿射变换,使Y轴,X轴的象分别与直线x+y+1=0,x-y-1=0平行,且点 （1,1）的象为原点.变换是①顺时针旋转45°,再↗平移√2. x＝（1/√2）x′-（1/√2）y′+1 y＝（1/√2）x′+（1/√2）y′+1 （另外还可以从轴x′,y′的方向写出三个仿射变换,请楼主自己作啦!）

10分。仿射变换是和高中数学选修中的伸缩变换是基本相同的，也称为仿射映射，是指对一个向量空间进行线性变换，属于高中考试不考察的一个知识点，若是在高考中使用该方法会对学生做出扣十分违规知识的处罚。

射影变换包括仿射变换，射影变换要求变换后的图形与原图形相似(也包括全等)，而仿射变换则要求变换后的图形与原图形全等

正方形在仿射变换下变成平行四边形

对于：利用至少4个控制点的两套坐标系可以计算出6个参数，建立起两套不同坐标系下的变化关系。i=1~n知道6个参数后，可以根据一下公式计算任一点在坐标参考框架xoy对应的另一套坐标参考框架下的具体坐标位置。

(11-21)/77*m+10(mod26)7*6+10(mod26) = 2m=6

更多图片(10张)在几何上定义为两个向量空间之间的一个仿射变换或者仿射映射（来自拉丁语，affine，“和。..相关”）由一个线性变换接上一个平移组成。

旋转变换1，目标图形围绕原点逆时针旋转theta弧度，变换矩阵为：[ cos(theta) -sin(theta) 0 ][ sin(theta) cos(theta) 0 ][ 0 0 1 ]public static AffineTransform getRotateInstance(double theta, double x, double y)旋转变换2，目标图形以(x, y)为轴心逆时针旋转theta弧度，变换矩阵为：[ cos(theta) -sin(theta) x-x*cos+y*sin][ sin(theta) cos(theta) y-x*sin-y*cos ][ 0 0 1 ]相当于两次平移变换与一次原点旋转变换的复合：[1 0 x][cos(theta) -sin(theta) 0][1 0- x][0 1 y][sin(theta) cos(theta) 0][0 1 -y][0 0 1 ][ 0 0 1 ][0 0 1]这里是以空间任一点为圆心旋转的情况。

之前分享过一篇介绍仿射变换的文章，仿射变换属于平面变换，本文来介绍一下iOS中的3D变换 ——— CATransform3D。 二维变换，也即仿射变换，CGAffineTransform结构体类型中有6个参数： 增广之后可得如下变换矩阵： x" = a x + c y + tx y" = b x + d y + ty 具体变换过程及使用，可以参考 《Swift 中使用 CGAffineTransform》 。 其中三维变换矩阵一般应用在视图的 view.layer.transform 和 view.layer.sublayerTransform中。CATransform3D结构体类型中的参数为： 这些参数依然对应一个变换矩阵， 上面参数对应矩阵的位置如下： {m11, m12 , m13, m14 m21, m22, m23, m24 m31, m32, m33, m34 m41, m42, m43, m44 } x" = m11 x + m21 y + m31 z + m41 y" = m12 x + m22 y + m32 z + m42 z" = m13 x + m23 y + m33 z + m43 (m14、m24和m34为各轴透视变换参数，一般单独设置，他们对m44的值产生影响，而m44对投影的图形在 对应轴 *方向产生线性影响，其初始值为1) 从m11到m44定义的含义如下： m11：x轴方向进行缩放 m12：和m21一起决定z轴的旋转 m13:和m31一起决定y轴的旋转 m14: m21:和m12一起决定z轴的旋转 m22:y轴方向进行缩放 m23:和m32一起决定x轴的旋转 m24: m31:和m13一起决定y轴的旋转 m32:和m23一起决定x轴的旋转 m33:z轴方向进行缩放 m34:透视效果m34= -1/D，D越小，透视效果越明显，必须在有旋转效果的前提下，才会看到透视效果 m41:x轴方向进行平移 m42:y轴方向进行平移 m43:z轴方向进行平移 m44:初始为1 则，原始矩阵为： m34 = -1/d d值决定了观察点的位置，d为正无穷大的时候，观察点在无穷远处，此时投影线垂直于投影平面，CATransform3D中m34的默认值为0，即观察点在无穷远处。m14,m24同理。 当d为正的时候，投影是人眼观察现实世界的效果，即在投影平面上表现出近大远小的效果，z越靠近原点则这种效果越明显，越远离原点则越来越不明显，当z为正无穷大的时候，则失去了近大远小的效果，此时投影线垂直于投影平面，也就是视点在无穷远处，CATransform3D中m34的默认值为0，即视点在无穷远处. 注意：齐次坐标到数学坐标的转换通用的齐次坐标为 (a, b, c, h)，其转换成数学坐标则为 (a/h, b/h, c/h)。 假设一个Layer anchorPoint为默认的 (0.5, 0.5 )，其三维空间中一个A点 (6, 0, 0)，m34 = -1/1000.0，则此点往z轴负方向移动10个单位之后，则在投影平面上看到的点的坐标是多少呢？ A点使用齐次坐标表示为 (6, 0, 0, 1) QuartzCore框架为我们提供了函数来算出所需要的矩阵， 计算出来的矩阵为 其实上面的变换矩阵本质上是两个矩阵相乘得到的 变换矩阵 * 投影矩阵 变换矩阵为 投影矩阵为 上面的两个矩阵相乘则会得到最终的变换矩阵(如果忘记矩阵乘法的可以去看下线性代数复习下)，所以一个矩阵就可以完成变换和投影。 将A点坐标乘上最终的变换矩阵，则得到 {6, 0 , -10, 1.01}, 转换成数学坐标点为 {6/1.01, 0, 10/1.01},则可以知道其在投影平面上的投影点为 {6/1.01, 0, 0} 也就是我们看到的变换后的点。其比之前较靠近原点。越往z轴负方向移动，则在投影平面上越靠近原点。 将上面的例子使用几何的方式来进行解释分析，当我们沿着y轴的正方向向下看时候，可以得到如下的景象: 虚线为投影线，其和x轴的交点即为A点的投影点。 由相似三角形的定理我们很容易算出投影的点， 1000/(1000 + 10) = x/6,则x = 6*1000/1010 = 6/1.01 本文主要介绍3D变换的原理，具体应用请关注之后分享的文章。

正交变换：设V为n维Euclid空间，Α∈End V。如果Α满足（Αα，Αβ）=（α，β），任意α，β∈V，则称Α为正交变换。仿射变换：设V，V"为数域P上的线性空间，α，α"；M，M"分别为V，V"的向量，子空间，g是M到M"上的线性同构。则称τα"gτ-α为Α（α+M）到Α（α"+M"）上的仿射变换。射影变换：设f：V→V"是线性空间的同构。f诱导的Ρ（V）到Ρ（V"）的同构Ρ（f）称为Ρ（V）到Ρ（V"）上的一个射影变换。

可以啊，只不过有点烦

求三角形的面积公式是S=1/2ah(a是三角形的底,h是底所对应的高)。仿射变换,又称仿射映射,是指在几何中,一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移,变换为另一个向量空间。

不明白 仿射 线代也不好，帮不了你了

几何变换可改变图象中物体(象素)之间的空间关系。这种运算可以看成将各象素在图象内移动的过程。几何变换中灰度级插值是必不可少的组成部分，因为图象一般用整数位置处的象素来定义，某个点经变换后可能映射到多个点之间。仿射变换(Affine Transformation)和图象卷绕(ImageWarping)是两类常见的几何运算。 1、最近邻插值最简单的插值方法是最近邻插值，即选择离它所映射到的位置最近的输入象素的灰度值为插值结果。最邻近插值的特点有：1.简单快速；2.灰度保真好；3.误差较大；4.视觉特性较差5.马赛克效应2、双线性插值：双线性插值，又称为双线性内插。在数学上，双线性插值是有两个变量的插值函数的线性插值扩展，其核心思想是在两个方向分别进行一次线性插值。假如我们想得到未知函数f在点P(x,y)的值，假设我们已知函数f在Q11（x1,y1），Q12（x1,y2），Q21（x2,y1），Q22（x2,y2）四个点的值。如下图所示：首先在x进行线性插值，得到两个点R1与R2： ,其中R1=（x,y1）; ,其中R2=（x,y2）;然后在y方向进行线性插值，得到所要求的点P(x,y)，点P(x,y)的值由下式给出： ,其中y1=f(R1)，y2=(R2)这样就得到了未知函数f在点P(x,y)的值，以下式子给出： 如果选择一个坐标系统使得的四个已知点坐标分别为 (0, 0)、(0, 1)、(1, 0) 和 (1, 1)，如图所示：那么插值公式就可以化简为一个双曲面抛物面方程的形式： 的形式，代入各个点的值则可以得到：由此式可以得带双曲抛物面的各个参数的值为：线性插值的结果与插值的顺序无关。首先进行y方向的插值，然后进行x方向的插值，所得到的结果是一样的。双线性插值的一个显然的三维空间延伸是三线性插值双线性插值的特点：1.计算过程中充分的考虑到了各邻点的特征，具有灰度平滑过渡的特点；2.一般情况下可以得到满意的结果；3.具有低通滤波的特性，使图像轮廓变的模糊；4.平滑作用会使图像细节退化，尤其是在放的的时候；5.不连续性会产生不希望的结果。3、 高阶插值（三次卷积插值）：在满足Nyquist条件下，从离散信号X（nTs）可以恢复连续信号x（t）：sinc函数如图所示：为了简化计算，仅取原点周围有限范围的函数（即高阶插值）： 利用三次多项式来近似理论上的最佳插值函数sinc（x），得到以下式子： 当|x|<1时； 当1≤|x|≤2时； 当|x|>2时。由此形成的三次卷积插值法，又称三次内插法，两次立方法（Cubic），CC插值法等。利用插值点周围的16个邻点像素值： 首先确定辅助点位1p,2p,3p,4p各点的亮度值，再由此确定P点的值。由以下公式给出：其中：由此可以算出插值点P的的值。三次卷积插值算法的特点：1.是满足Nyquist条件下，最佳重构公式的近似；2.只有图像满足特定条件时，三次卷积插值算法才能获得最佳的结果；3.可使待求点的灰度值更好的模拟实际可能的值；4.可以取得更好的视觉效果；5.三次卷积插值算法的突出优点是高频信息损失少，可将噪声平滑；6.4*4时，像元均值和标准差信息损失小；7.计算量大为增加。 空间变换包括可用数学函数表达的简单变换(如：平移、拉伸等仿射变换)和依赖实际图象而不易用函数形式描述的复杂变换(如对存在几何畸变的摄象机所拍摄的图象进行校正，需要实际拍摄栅格图象，根据栅格的实际扭曲数据建立空间变换；再如通过指定图象中一些控制点的位移及插值方法来描述的空间变换)。1、仿射变换(affine transfomation)仿射变换变换的公式如下：f(x)=AX=b其中A是变形矩阵，b是平移矢量。任何一个放射变换可以分解为尺度、伸缩、扭曲、旋转、平移的组合。2、基本变换(1)基本几何变换的定义对于原图象f(x，y)，坐标变换函数x"=a(x，y)；y"=b(x，y)唯一确定了几何变换：g(x"，y")=f(a(x，y)，b(x，y))；g(x，y)是目标图象。(2)平移变换(3)旋转变换：绕原点旋转(度(4)水平镜像(5)垂直镜像(6)缩放变换3、透视变换(Persp ective Tmnsfomation)透视变换是中心投影的射影变换，在用非齐次射影坐标表达时是平面的分式线性变换，透视变换常用于图象的校正。4、几何校正几何校正是指按照一定目的将图象中的典型几何结构校正为没有变形的本来形式。例如，对如F的走廊图象进行校正，分两种情况，一种是针对地砖形状的校正，另一种是针对最右侧有把手的门形状的校正。5．图像卷绕(Image Warping)图像卷绕是通过指定一系列控制点的位移来定义空间变换的图象变形处理。非控制点的位移根据控制点进行插值来确定。

你想知道的太深奥了，我回答不了。

用三对点就可以算出来了.仿射变换模型如图：把三对点的坐标带入图中矩阵,6个方程6个未知数,即可解除a1,a2,a3,a4,b1,b2

先找匹配角点能找四角 用反向求解 先找匹配角点能找四角 用反向求解另外,虚机团产品团购,超级便宜 ,

仿射变换，会将矩形变换为平行四边形（包含矩形），射影变换会将矩形变换为不规则四边形。

几种典型的仿射变换：public static AffineTransform getTranslateInstance(double tx, double ty)平移变换，将每一点移动到(x+tx, y+ty)，变换矩阵为：[ 1 0 tx ][ 0 1 ty ][ 0 0 1 ]（译注：平移变换是一种“刚体变换”，rigid-body transformation，中学学过的物理，都知道啥叫“刚体”吧，就是不会产生形变的理想物体，平移当然不会改变二维图形的形状。同理，下面的“旋转变换”也是刚体变换，而“缩放”、“错切”都是会改变图形形状的。）public static AffineTransform getScaleInstance(double sx, double sy)缩放变换，将每一点的横坐标放大（缩小）至sx倍，纵坐标放大（缩小）至sy倍，变换矩阵为：[ sx 0 0 ][ 0 sy 0 ][ 0 0 1 ]当sx=sy时，称为尺度缩放，sx不等于sy时，这就是我们平时所说的拉伸变换。public static AffineTransform getShearInstance(double shx, double shy)剪切变换，变换矩阵为：[ 1 shx 0 ][ shy 1 0 ][ 0 0 1 ]相当于一个横向剪切与一个纵向剪切的复合[ 1 0 0 ][ 1 shx 0 ][ shy 1 0 ][ 0 1 0 ][ 0 0 1 ][ 0 0 1 ]（译注：“剪切变换”又称“错切变换”，指的是类似于四边形不稳定性那种性质，街边小商店那种铁拉门都见过吧？想象一下上面铁条构成的菱形拉动的过程，那就是“错切”的过程。）public static AffineTransform getRotateInstance(double theta)

原理　　在有限维的情况，每个仿射变换可以由一个矩阵A和一个向量双仿射变换b给出，它可以写作A和一个附加的列b。一个仿射变换对应于一个矩阵和一个向量的乘法，而仿射变换的复合对应于普通的矩阵乘法，只要加入一个额外的行到矩阵的底下，这一行全部是0除了最右边是一个1，而列向量的底下要加上一个1.设在平面上给定了半径为r的圆O，若A′为过定点O的直线OA上一点，且有向线段OA与OA′满足OA·OA′=k^2(k为非零常数），则这种变换叫做关于⊙O（r）的反演变换，简称反演。称A′为A关于⊙O（r）的反演点，同样，A为A′关于⊙O（r）的反演点；圆心O称为反演中心或反演极；圆半径r称为反演半径；⊙O（r）称为反演（基）圆。

在有限维的情况，每个仿射变换可以由一个矩阵A和一个向量b给出，它可以写作A和一个附加的列b。一个仿射变换对应于一个矩阵和一个向量的乘法，而仿射变换的复合对应于普通的矩阵乘法，只要加入一个额外的行到矩阵的底下，这一行全部是0除了最右边是一个1，而列向量的底下要加上一个1。

我就用文字叙述吧~看没人来答，我就说个大概。仿射变换就是一个线性变换再接上一个平移。平移变换是向量与各基准轴的夹角不变，向量形状不变，位置改变。伸缩变换包括尺度缩放和拉伸变换，前者是不改变向量与各坐标轴夹角的，而后者改变。因此非零向量α经伸缩变换后可以变成起始点与原向量相同的任一非零向量，记为β，再对β进行平移变换，使其位于空间中的任意位置，平移到新位置的向量记为γ。由于上述两步中的每一步都是满秩变换，故是一对一的变换。于是任意给一个目标向量，都能由已知非零向量经过以上固定的两个步骤变换而得到。这两个步骤的有序结合就是仿射变换。

就是仿射变换下的不变点和不变直线

|sx shx tx||shy sy ty||0 0 1 |其中sx,sy表示伸缩，shx,shy表示变形，tx,ty表示位移。

仿射变换密码c=(ap+b)mod26,a与26互素是因为a与26互素，a模26的逆元才存在，才能解密。仿射变换在几何上定义为两个向量空间之间的一个仿射变换或者仿射映射，由一个线性变换接上一个平移组成。仿射变换（affinetransformation)可以写成Y=AX+b的形式。互质（relativelyprime）又叫互素。若N个整数的最大公因数是1，则称这N个整数互质。

圆的仿射对应图形是椭圆。仿射变换：仿射变换，又称仿射映射，是指在几何中，一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移，变换为另一个向量空间。 仿射变换是在几何上定义为两个向量空间之间的一个仿射变换或者仿射映射。由一个非奇异的线性变换(运用一次函数进行的变换)接上一个平移变换组成。在有限维的情况，每个仿射变换可以由一个矩阵A和一个向量b给出，它可以写作A和一个附加的列b。一个仿射变换对应于一个矩阵和一个向量的乘法，而仿射变换的复合对应于普通的矩阵乘法，只要加入一个额外的行到矩阵的底下，这一行全部是0除了最右边是一个1，而列向量的底下要加上一个1。

在有限维的情况，每个仿射变换可以由一个矩阵A和一个向量b给出，它可以写作A和一个附加的列b。一个仿射变换对应于一个矩阵和一个向量的乘法，而仿射变换的复合对应于普通的矩阵乘法，只要加入一个额外的行到矩阵的底下，这一行全部是0除了最右边是一个1，而列向量的底下要加上一个1。

问题1：首先代入A，B得到（1）a-b+c=-1;(2)-d+2e+f=2;然后注意条件上有直线x+2y-1=0.上每个点都不变.也就是（3）x=ax+by+c;(4)y=dx+ey+f;又用x+2y-1=0得到x=1-2y代入（3），（4）化简得到（5）a+c-1=(2a-b-2)y,(6),省略，自己仿照（5）算下就好；看5中，注意y的任意性，得到a+c-1=0;2a-b-2=0;解出abc;注意1,3,5是第一个方程，变形可以解出；同理2,4,6可以解出def;问题2和已差不多，不多说了。话说楼主你给这么麻烦的问题也不多些分....还好啦，看你是7级的，也帮人不少，也就帮你一次吧

设这个三角形为ABC,D.E.F分别为AB BC AC交点,CD AE BF交于O,则O为重心.,连DE,则有DE为其中位线,则有DE//AC,且DE:AC=1:2,因为DE//AC,由其分线段成比例得AC:DE=OA:OE=OC:OD=2:1,同理其他也得证

就是仿射变换下的不变点和不变直线

首先可以取一个比较小的单位圆的极限，然后在这样的极限范围内，再根据公式计算出它的等距变换方式证明。