张量

import tensorflow as tf # 创建一个常量op， 产生一个1x2矩阵，这个op被作为一个节点 # 加到默认视图中 # 构造器的返回值代表该常量op的返回值 matrix1 = tr.constant([[3., 3.]]) # 创建另一个常量op, 产生一个2x1的矩阵 matrix2 = tr.constan...

          内积：       

1、单位圆S1和R不同胚，但是1维流形。 2、M上的标量场scalar fields 3、切向量 4、向量场/ 方向导数 X 5、切空间的基 ✨本书中“矢量空间”就是“切空间”，直接把切空间的元素用方向导数（偏导数算子）表示。而《introduction to manifolds》的思路是，先引出 切空间 ，其元素是满足现性性和莱布尼茨性质的作用在M上标量场的算子。然后引入M上光滑函数的“方向导数”，自然过渡到偏导数算子以及由 偏导数算子构成的向量空间 。最后建立切空间到偏导数算子构成的空间的 同构映射 ，使得切空间的元素可通过偏导数算子现性表示。 6、坐标变换 （✨证明，作用于M上光滑函数上，通过链式法则可推出，注意：这里包括了标量场的绝对性和取得坐标后函数的相对性） 7、曲线定义 ✨需要理解，曲线是区间到流形的映射，R -> M） 8、流形上曲线的切向量 ✨值得注意标量场和曲线的复合结果是一个一元函数 ！！！ 9、曲线的切向量和流形上一点邻域上的切空间的关系 10、矢量场 ✨矢量场实例： 11、矢量场的C^r性 矢量场作用于标量场上（M上的光滑函数）的结果未必是一个光滑函数，因此，我们需要对作用的结果进行分类。 12、特殊矢量场应用实例 13、对易子 ✨还要证明对易子是切矢量（满足线性性和莱布尼茨性） 14、对易子实例 15、积分曲线 16、光滑矢量场每一点必有对应的积分曲线 ✨证明 17、关于积分曲线延伸阅读 18、群 19、单参微分同胚群 20、对偶空间解读

1、度规张量场定义 2、矢量空间定义“距离” ✨为什么要定义距离？因为在一般的空间不像欧氏空间拥有“自然”的距离，我们需要建立一个标准来衡量矢量空间中元素之间的距离。 ✨这里要注意，正交性是在度规以及长度定义之后才出现的概念，在还没有度规或者长度概念时，不能说“取一组正交归一的基底”。 ✨ 3、带度规的矢量空间，其度规对应的对角矩阵中1、-1个数和正交基底无关。 4、正交归一基底对应的对角矩阵分类：正定的（黎曼的）、负定的、不定的（含洛伦兹的）。 5、根据度规大小进行矢量分类 6、 型张量（度规）对对偶重新解读 7、度规张量场 8、度规场的意义——定义曲线长度 9、流形上曲线长度定义 10、类空曲线定义 11、曲线长度与其参数无关，若曲线位于坐标系 的坐标域内，线长可借助于坐标系计算 12、线长参数 ✨为什么说 的切 的长度 是 的函数？ 每一点的切矢跟点的位置有关。 13、广义黎曼空间、伪黎曼空间 14、n维欧氏空间、欧式度规模 ✨欧氏空间自然坐标基底在欧式度规模下是正交规一的 15、笛卡尔坐标系/ 直角坐标系 ✨最后一句小心！ 16、n维闵氏空间、闵氏度规 17、洛伦兹坐标系、伪笛卡尔坐标系

黎曼曲率张量有如下的对称性:最后一个恒等式由里奇(Ricci)发现,但是称为第一比安基恒等式(First Bianchi identity)或代数比安基恒等式(Algebraic Bianchi identity)，因为和下面的比安基恒等式相像。这三个恒等式组成曲率张量对称性的完整列表，也就是给定说任何满足上述恒等式的张量，可以找到一个黎曼流形在某点的曲率张量和它一样。简单的计算表明这样一个张量有n(n − 1) / 12个独立分量。另一个有用的恒等式可以由上面这些导出:称为比安基恒等式(Bianchi identity)，经常也叫第二比安基恒等式(Second Bianchi identity)或微分比安基恒等式(Differential Bianchi identity)。它涉及到协变导数:给定流形某点的任一坐标表示，上述恒等式可以用黎曼曲率张量的分量形式表示为:第一（代数）比安基恒等式：或等价地写为 第二（微分）比安基恒等式：或等价地写为 其中方括号表示对下标的反对称化，分号表示协变导数。这些恒等式在物理中有应用，特别是广义相对论。

在微分几何中，黎曼曲率张量或黎曼曲率是表达黎曼流形的曲率的标准方式，更普遍的，它可以表示有仿射联络的流形的曲率 ,包括无挠率或有挠率的。

微分几何就是坐标无关的几何，按照黎曼的说法，几何量就是在坐标变换下不变的量，正好张量就是在做表变换下形式不变，于是微分几何中张量是很常用的。高斯的绝妙定理是个什么啊，高斯定理有好多啊，你说的是Gauss-Bonnet定理么？那个是由结构方程和Stokes公式证出来的。 能说一下你在看什么书么？ 具体不明白的是哪个部分？

截面曲率、里奇曲率以及数量曲率是非常重要的几何量。研究这些量与黎曼流形的几何性质以及拓扑性质之间的关系是黎曼几何的一个重要课题。例如，嘉当－阿达马定理断言：若一个n维单连通完备黎曼流形的截面曲率处处不大于零，那么它与Rn微分同胚。再如迈尔斯定理断言：若完备黎曼流形的里奇曲率处处大于一个正常数h，那么它必是紧流形而且基本群有限。W.克林格贝格和M.伯热证明的球定理断言：如果完备单连通n维黎曼流形M的截面曲率KM 满足，那么M与n维欧氏球面Sn同胚。这些结果显示了流形的拓扑性质与度量性质之间有密切的联系。在这方面还有许多未解决的问题。

刚体绕某一点转动的惯性可由更普遍的惯性张量描述。惯性张量是二阶对称张量，它完整地刻画出刚体绕通过该点任一轴的转动惯量的大小。出于简单的角度考虑，这里仅给出绕质心的转动惯量张量的定义及其在力矩方程中的表达式。设有一个刚体A,其质心为C,刚体A绕其质心C的转动惯量张量 定义为 该积分遍及整个刚体A，其中， ，是刚体质心C到刚体上任一点B的矢径；表达式 是两个矢量的并乘；而 为单位张量，标架 是一个典型的单位正交曲线标架； 是刚体的密度。转动惯量张量的力矩方程设刚体A所受到的绕其质心C的合力矩矢量为 ，刚体A在惯性系下的角速度矢量为 ，角加速度矢量为 ，A绕其质心的转动惯量张量为 ，则有如下的力矩方程： 将上面的矢量形式的力矩方程向各个坐标轴投影（或者，更确切地说，与各个坐标轴的单位方向矢量相点乘），就可以获得各个坐标轴分量方向的标量形式的力矩方程。转动惯量张量 是一个二阶张量，虽然在标架 下它有九个分量，但是因为它是一个对称张量，故其实际独立的分量只有六个。

这里你有一个很大的误解. 张量是一个数学概念, 限于篇幅这里不多解释. 只给一个直观的说明: 标量是零阶张量, 矢量是一阶张量, 而一个方阵是二阶张量. 对于一个二阶张量来说, 它所表示的物理意义和它本身无关, 不能说它表示椭球或者长方体什么的. 在连续介质力学中, 我们所考虑二阶张量之一就是它的内应力张量(一般用sigma表示), 内应力张量的定义可以参见任何一本弹性力学教材, 它表示在材料内部一点的应力状况, 由于应力状况很复杂, 标量和矢量都不足以表达, 所以要使用张量来表示. 另一个二阶张量就是应变张量, 它的导数为应变率张量. 应力应变关系称为本构关系或者物性参数, 体现了材料变形的能力(是流体, 固体, 弹性的, 塑性的等等)流体力学作为连续介质力学的特例, 对于牛顿流体而言, 应力张量是和应变率张量呈线性关系(参见任何一本用张量形式来写的流体力学教材). 流体的应力张量确实表示了该点流体的受力情况. 应变的张量(矩阵)可以分解为球应变和偏应变, 同样应力也有球应力和偏应力. 前者由挤压或拉伸产生, 改变体积. 后者由摩擦剪切引起, 不改变体积但改变形状(比如原先一个方形的物质块会变成菱形的). 对于流体而言压强是什么可以参见N-S方程(可压缩的和不可压缩的). 散度是张量可以进行的一种运算. 对张量进行散度运算会减少张量一阶. 参见张量分析教材. 水下爆炸问题很复杂, 首先流体在这种强动态问题下不能考虑为不可压缩. 第二, 二阶张量对角线的数字之和称为矩阵的第一不变量, 代表的物理意义并不是可以简单说清楚的. 如果你是力学专业的而且不是很工程的话, 建议好好学习一下: 线性代数, 微积分, 张量分析, 连续介质力学 四门循序渐进的课程. 不是的话, 除非真的有需要对流体的本质有一个深入的理解, 否则不要过于纠结这个问题.

符合变量。

1：（tensor)是几何与代数中的基本概念之一。 从代数角度讲， 它是向量的推广。我们知道， 向量可以看成一维的“表格”（即分量按照顺序排成一排）， 矩阵是二维的“表格”（分量按照纵横位置排列）， 那么n阶张量就是所谓的n维的“表格”。

二阶张量的元素单位是向量。对于空间内的一个点，给定一个位置，就有一个压强的值。然后开始做压强的梯度场。标量的梯度场是向量，也就是1阶张量。对于空间内的一个位置，就有一个向量的值。但是更有意义的是，对于空间内的一个位置，对于任意的一个单位向量，都可以求出在这个点的领域内，沿着这个单位向量方向压强的变化，也就是压强梯度点乘单位向量的值。例子张量可以表述为一个值的序列，用一个向量值的定义域和一个标量值的值域的函数表示。这些定义域中的向量是自然数的向量，而这些数字称为指标。例如，3阶张量可以有尺寸2、5和7。这里，指标的范围是从<1，1，1，>到<2，5，7>。张量可以在指标为<1，1，1>有一个值，在指标为<1，1，2>有另一个值，等等一共70个值。以上内容参考：百度百科-张量

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通俗的理解：标量: 对于每个时空坐标，用一个值就能刻画的物理量。比如高度。任意一个时空点，用一个数字就可以表示海拔高度。矢量：对于每个时空坐标，用三个值来刻画的物理量。比如速度。任意一个时空点，用三个分量来表示一个速度（即使有的分量为零，还是三个分量）。当然，你可以通俗的理解为，这里是带有方向和大小的一个箭头。张量：对于每个时空坐标，用一个矩阵来刻画物理量。比如电磁张量。任意一个时空点，用16个分量表示这里的电磁性质。当然，你可以通俗的理解为，这一点可以张开成一个小空间，由好几个带着方向和箭头的量撑着。更本质的理解呢，矢量和张量都是一种映射，矢量的作用是让流形上的曲线按照某种规则变成数轴上的一个点，张量是让矢量按照某种规则变成数轴上的一个点。也就是说，张量是一种映射的映射，可以把某种映射变换成一个点。当然，你可以想象，可以继续定义某种量，可以把张量映射为一个点，也就是高阶张量啦。

张量：一个物理量如果必须用n阶方阵描述，且满足某几种特定的运算规则（也就是说，这方阵通过这几种运算后得到的结果是规则指出的），则这个方阵描述的物理量称为张量。

在弹塑性力学中，一般情况下，某一点处的应力状态可分为两部分，一部分是各向相等的压(或拉)应力σ，即球张量，另一部分记为Sij (ij为下脚标)，即为应力偏量。球张量仅引起体积变化，偏张量仅引起形状的改变。

标量有大小，虽然标量也是张量，但是，除了标量，其他张量没有大小。要说明一下，矢量也是张量，可以定义大小或者长度或者模，但是矢量的模需要额外的定义，这个额外的定义就是需要定义度规张量（或者叫度量）。所以严格来说，在没有度规的情况下，矢量是没有办法比较大小的。

f(x)=1/xf"(x)=-1/x^2f"(x)=lim△x->0 [f(△x+x)-f(x)]/[(△x+x)-x]=lim△x->0 [1/(△x+x)-1/x]/△x=lim△x->0 [x-(△x+x)/x△x(△x+x)]=lim△x->0 -△x/x△x(△x+x)=-lim△x->0 1/x(△x+x)=-1/x^2K=f"(1)=-1/1^2=-1f(1)=1∴切线方程是y-1=-1(x-1)=-x+1y=-x+2

四阶反对称张量和三阶反对称张量之间有一定的联系。首先，我们来看一下它们的定义。四阶反对称张量是一个具有四个指标的张量，满足任意交换两个指标都会改变其符号。具体而言，设$T_{ijkl}$为四阶张量，则有$T_{ijkl}=-T_{jikl}=-T_{ijlk}=T_{jilk}=-T_{ikjl}=T_{kilj}$等。而三阶反对称张量是一个具有三个指标的张量，同样满足任意交换两个指标都会改变其符号。具体而言，设$A_{ijk}$为三阶张量，则有$A_{ijk}=-A_{jik}=-A_{ikj}=A_{kij}=A_{jki}=-A_{ikj}$等。我们可以发现，四阶反对称张量可以通过三阶反对称张量来构造。具体而言，可以定义一个新的四阶张量$T_{ijkl}=A_{ijk}delta_{l}^{m}+A_{ijl}delta_{k}^{m}-A_{ikl}delta_{j}^{m}-A_{jkl}delta_{i}^{m}$，其中$delta_{i}^{j}$为克罗内克δ符号。可以验证，这个新构造的四阶张量满足反对称性，即任意交换两个指标都会改变其符号。因此，四阶反对称张量和三阶反对称张量之间有一定的联系，可以通过一个特定的构造方式相互转化。

非对角元为0，对角元为1的张量

1：张量（tensor)是几何与代数中的基本概念之一。从代数角度讲，它是向量的推广。我们知道，向量可以看成一维的“表格”（即分量按照顺序排成一排），矩阵是二维的“表格”（分量按照纵横位置排列），那么n阶张量就是所谓的n维的“表格”。张量的严格定义是利用线性映射来描述的。与矢量相类似，定义由若干坐标系改变时满足一定坐标转化关系的有序数组成的集合为张量。从几何角度讲，它是一个真正的几何量，也就是说，它是一个不随参照系的坐标变换而变化的东西。向量也具有这种特性。有时候，人们直接在一个坐标系下，由若干个数（称为分量）来表示张量，而在不同坐标系下的分量之间应满足一定的变换规则（参见协变规律，反变规律），如矩阵、多变量线性形式等都满足这些规律。一些物理量如弹性体的应力、应变以及运动物体的能量动量等都需用张量来表示。在微分几何的发展中，C.F.高斯、B.黎曼、E.B.克里斯托费尔等人在19世纪就导入了张量的概念，随后由G.里奇及其学生T.列维齐维塔发展成张量分析，A.爱因斯坦在其广义相对论中广泛地利用了张量。标量可以看作是0阶张量，矢量可以看作1阶张量。张量中有许多特殊的形式，比如对称张量、反对称张量等等。

应力张量[σij]展开后可得到应力方程σ^3+i1*σ^2+i2*σ+i3=0； i1、i2、i3为应力张量的3个不变量；应力状态[σij]可分解为两个部分，即[σij]=[σm*δij]+[sij]， [σm]=([σ1]+[σ2]+[σ3])/3，[sij]为[σij]在pi平面上的投影，称为偏应力张量；偏应力张量[sij]展开后同样可得偏应力方程s^3+j1*s^2+j2*s+j3=0， j1、j2、j3为偏应力的3个不变量。应力物体由于外因（受力、湿度、温度场变化等）而变形时，在物体内各部分之间产生相互作用的内力，以抵抗这种外因的作用，并试图使物体从变形后的位置恢复到变形前的位置。在所考察的截面某一点单位面积上的内力称为应力。同截面垂直的称为正应力或法向应力，同截面相切的称为剪应力或切应力。应力状态物体由于外因（受力、湿度、温度场变化等）而变形时，在物体内各部分之间产生相互作用的内力，单位面积上的内力称为应力。应力是一个矢量，沿截面法向的分量称为正应力，沿切向的分量称为切应力物体中一点在所有可能方向上的应力称为该点的应力状态。但过一点可作无数个平面，是否要用无数个平面上的应力才能描述点的应力状态呢？只需用过一点的任意一组相互垂直的三个平面上的应力就可代表点的应力状态，而其它截面上的应力都可用这组应力及其与需考察的截面的方位关系来表示。正应力与剪应力同截面垂直的称为正应力或法向应力，同截面相切的称为剪应力或切应力。应力会随着外力的增加而增长，对于某一种材料，应力的增长是有限度的，超过这一限度，材料就要破坏。对某种材料来说，应力可能达到的这个限度称为该种材料的极限应力。极限应力值要通过材料的力学试验来测定。将测定的极限应力作适当降低，规定出材料能安全工作的应力最大值，这就是许用应力。材料要想安全使用，在使用时期内的应力应低于它的极限应力，否则材料就会在使用时发生破坏。

矢量用黑体；张量用简体

简单的说：张量概念是矢量概念和矩阵概念的推广

摘要： 关于矩阵和张量的区别有些人可能不太清楚，看了这篇文章相信你会很明白了 这个问题有一个简短的答案，让我们从那里开始吧。然后，我们可以查看一个应用程序以获得更深入的了解。 矩阵是由括号括起的n×m（例如，3×3）个数字的网格。我们可以加上和减去相同大小的矩阵，只要大小兼容（（n×m）×（m×p）= n×p），就将一个矩阵与另一个矩阵相乘，以及可以将整个矩阵乘以常数。向量是一个只有一行或一列的矩阵（但见下文）。因此，我们可以对任何矩阵进行一系列数学运算。 不过，基本的思想是，矩阵只是一个二维的数字网格。 张量通常被认为是一个广义矩阵。也就是说，它可以是1-D矩阵（一个向量实际上就是一个张量），3-D矩阵（类似于一个数字的立方），甚至是0-D矩阵（单个数字），或者一个更难形象化的高维结构。张量的维数叫做它的秩。 但是这个描述忽略了张量最重要的性质! 张量是一个数学实体，它存在于一个结构中并与其他数学实体相互作用。如果以常规方式转换结构中的其他实体，那么张量必须服从一个相关的变换规则。 张量的这种“动态”特性是将其与单纯矩阵区分开来的关键。它是一个团队成员，当一个影响到所有成员的转换被引入时，它的数值会随着队友的数值而变化。 任何秩-2张量都可以表示为一个矩阵，但并不是每个矩阵都是秩-2张量。张量矩阵表示的数值取决于整个系统应用了什么变换规则。 对于您的目的，这个答案可能已经足够了，但是我们可以通过一个小例子来说明它是如何工作的。这个问题是在一个深度学习研讨会上提出的，所以让我们看一下该领域的一个简单例子。 假设我在神经网络中有一个隐藏的3个节点层。数据流入它们，通过它们的ReLU函数，然后弹出一些值。对于确定性，我们分别得到2.5,4和1.2。 （别担心，图表即将出现。）我们可以将这些节点的输出表示为向量， 假设有另外一层3个节点。第一层的3个节点中的每个节点都有一个权重，该权重与其对接下来3个节点的输入相关联。那么，将这些权重写为3×3矩阵的条目将是非常方便的。假设我们已经对网络进行了多次更新，并得到了权重（本例中半随机选择）。 在这里，一行的权值都到下一层的同一个节点，而某一列的权值都来自第一层的同一个节点。例如，输入节点1对输出节点3的权值是0.2（第3行，第1列）。 我们可以通过将权重矩阵乘以输入向量来计算馈入下一层节点的总值， 不喜欢矩阵?这里有一个图。数据从左到右流动。 太棒了!到目前为止，我们所看到的只是矩阵和向量的一些简单操作。 但是，假设我想对每个神经元进行干预并使用自定义激活函数。一种简单的方法是从第一层重新缩放每个ReLU函数。在本例中，假设我将第一个节点向上扩展2倍，保留第二个节点，将第三个节点向下扩展1/5。这将改变这些函数的图形如下图所示: 这种修改的效果是将第一层生成的值分别乘以2、1和1/5。等于L1乘以一个矩阵A， 现在，如果这些新值通过原来的权值网络被输入，我们得到完全不同的输出值，如图所示: 如果神经网络之前运作正常，我们现在就把它破坏了。我们必须重新进行训练以恢复正确的重量。 或者我们会吗？ 第一个节点的值是之前的两倍。 如果我们将所有输出权值减少1/2，则它对下一层的净贡献不变。我们没有对第二个节点做任何处理，所以我们可以不考虑它的权值。最后，我们需要将最后一组权值乘以5，以补偿该节点上的1/5因子。从数学上讲，这相当于使用一组新的权值，我们通过将原权矩阵乘以A的逆矩阵得到: 如果我们将第一层的修改后的输出与修改后的权值结合起来，我们最终会得到到达第二层的正确值： 太好了！尽管我们做出了最大努力，但网络仍在重新运作！ 好了，我们已经学了很多数学了，让我们回顾一下。 当我们把节点的输入，输出和权值看作固定的量时，我们称它们为向量和矩阵，并用它完成。 但是，一旦我们开始用其中一个向量进行修复，以常规方式对其进行转换，我们就必须通过相反的方式转换权值来进行补偿。这个附加的、集成的结构将单纯的数字矩阵提升为一个真正的张量对象。 事实上，我们可以进一步描述它的张量性质。如果我们把对节点的变化称为协变(即，随着节点的变化而乘以A)，那么权值就变成了一个逆变张量(具体来说，对节点变化，乘以A的倒数而不是A本身)。张量可以在一个维度上是协变的，在另一个维度上是逆变的，但那是另外的事了。 现在你知道了矩阵和张量之间的区别了吧。 链接：https://www.jianshu.com/p/1873aefeb7eb 来源：

不知道

解释这个问题，首先要从应力状态开始。某一点上的所有截面的应力集合叫这点的应力状态，应力状态不是标量，也不是矢量，它是张量，它与矢量不同，具有多重方向性。一般用矩阵S表示。这个矩阵S可分解为两部分之和：S=S1+S2，这里，S1称为应力球张量，S2称为应力偏张量。S1表示从总的应力状态分解出来的平均的、各项均匀的拉伸或压缩，只引起弹性体积变化，而形状不变。S2表示物体单元的形状改变而体积不变。塑性力学中，只关心S2部分。总结来说，就是经过推导，人为的将应力状态分为2个部分，一部分代表体积变化，另一部分代表形状改变，而根据实验及现实应用，验证了此推导的正确性，因此应力偏张量即能表示物体的变形。具体的推导需要参阅有关著作了，黄克智编的《张量分析》书中详细阐述了此问题，有兴趣可参阅。

目录0维张量/标量标量是一个数字1维张量/向量1维张量称为“向量”。2维张量2维张量称为矩阵3维张量公用数据存储在张量时间序列数据股价文本数据图片彩色图片5D张量结论让我们先来看看tensor（张量）是什么？张量=容器张量是现代机器学习的基础。它的核心是一个数据容器，多数情况下，它包含数字，有时候它也包含字符串，但这种情况比较少。因此把它想象成一个数字的水桶。张量有多种形式，首先让我们来看最基本的形式，你会在深度学习中偶然遇到，它们在0维到5维之间。我们可以把张量的各种类型看作这样(对被题目中的猫咪吸引进来小伙伴说一句，不要急！猫咪在后面会出现哦！请点击输入图片描述0、维张量/标量装在张量/容器水桶中的每个数字称为“标量”。标量是一个数字。你会问为什么不干脆叫它们一个数字呢？我不知道，也许数学家只是喜欢听起来酷？标量听起来确实比数字酷。实际上，你可以使用一个数字的张量，我们称为0维张量，也就是一个只有0维的张量。它仅仅只是带有一个数字的水桶。想象水桶里只有一滴水，那就是一个0维张量。本教程中，我将使用Python，Keras，TensorFlow和Python库Numpy。在Python中，张量通常存储在Nunpy数组，Numpy是在大部分的AI框架中，一个使用频率非常高的用于科学计算的数据包。请点击输入图片描述你将在Kaggle（数据科学竞赛网站）上经常看到Jupyter Notebooks（安装见文末阅读链接，“数学烂也要学AI：带你造一个经济试用版AI终极必杀器”）关于把数据转变成Numpy数组。Jupyter notebooks本质上是由工作代码标记嵌入。可以认为它把解释和程序融为一体。我们为什么想把数据转换为Numpy数组？很简单。因为我们需要把所有的输入数据，如字符串文本，图像，股票价格，或者视频，转变为一个统一得标准，以便能够容易的处理。这样我们把数据转变成数字的水桶，我们就能用TensorFlow处理。它仅仅是组织数据成为可用的格式。在网页程序中，你也许通过XML表示，所以你可以定义它们的特征并快速操作。同样，在深度学习中，我们使用张量水桶作为基本的乐高积木。1、维张量/向量如果你是名程序员，那么你已经了解，类似于1维张量：数组。每个编程语言都有数组，它只是单列或者单行的一组数据块。在深度学习中称为1维张量。张量是根据一共具有多少坐标轴来定义。1维张量只有一个坐标轴。1维张量称为“向量”。我们可以把向量视为一个单列或者单行的数字。请点击输入图片描述如果想在Numpy得出此结果，按照如下方法：请点击输入图片描述我们可以通过NumPy"s ndim函数，查看张量具有多个坐标轴。我们可以尝试1维张量。请点击输入图片描述2、维张量你可能已经知道了另一种形式的张量，矩阵——2维张量称为矩阵请点击输入图片描述不，这不是基努·里维斯(Keanu Reeves)的电影《黑客帝国》，想象一个excel表格。我们可以把它看作为一个带有行和列的数字网格。这个行和列表示两个坐标轴，一个矩阵是二维张量，意思是有两维，也就是有两个坐标轴的张量。在Numpy中，我们可以如下表示：x = np.array([[5,10,15,30,25],[20,30,65,70,90],[7,80,95,20,30]])我们可以把人的特征存储在一个二维张量。有一个典型的例子是邮件列表。比如我们有10000人，我们有每个人的如下特性和特征：First Name（名）Last Name（姓）Street Address（街道地址）City（城市）State（州/省）Country（国家）Zip（邮政编码）这意味着我们有10000人的七个特征。张量具有“形状”，它的形状是一个水桶，即装着我们的数据也定义了张量的最大尺寸。我们可以把所有人的数据放进二维张量中，它是（10000,7）。你也许想说它有10000列，7行。不。张量能够被转换和操作，从而使列变为行或者行变为列。3、维张量这时张量真正开始变得有用，我们经常需要把一系列的二维张量存储在水桶中，这就形成了3维张量。在NumPy中，我们可以表示如下：x = np.array([[[5,10,15,30,25],[20,30,65,70,90],[7,80,95,20,30]][[3,0,5,0,45],[12,-2,6,7,90],[18,-9,95,120,30]][[17,13,25,30,15],[23,36,9,7,80],[1,-7,-5,22,3]]])你已经猜到，一个三维张量有三个坐标轴，可以这样看到：x.ndim输出为：3让我们再看一下上面的邮件列表，现在我们有10个邮件列表，我们将存储2维张量在另一个水桶里，创建一个3维张量，它的形状如下：(number_of_mailing_lists, number_of_people, number_of_characteristics_per_person)(10,10000,7)请点击输入图片描述你也许已经猜到它，但是一个3维张量是一个数字构成的立方体。我们可以继续堆叠立方体，创建一个越来越大的张量，来编辑不同类型的数据，也就是4维张量，5维张量等等，直到N维张量。N是数学家定义的未知数，它是一直持续到无穷集合里的附加单位。它可以是5,10或者无穷。实际上，3维张量最好视为一层网格，看起来有点像下图：请点击输入图片描述存储在张量数据中的公式这里有一些存储在各种类型张量的公用数据集类型：3维=时间序列4维=图像5维=视频几乎所有的这些张量的共同之处是样本量。样本量是集合中元素的数量，它可以是一些图像，一些视频，一些文件或者一些推特。通常，真实的数据至少是一个数据量。把形状里不同维数看作字段。我们找到一个字段的最小值来描述数据。因此，即使4维张量通常存储图像，那是因为样本量占据张量的第4个字段。例如，一个图像可以用三个字段表示：(width, height, color_depth) = 3D但是，在机器学习工作中，我们经常要处理不止一张图片或一篇文档——我们要处理一个集合。我们可能有10,000张郁金香的图片，这意味着，我们将用到4D张量，就像这样：请点击输入图片描述(sample_size, width, height, color_depth) = 4D我们来看看一些多维张量存储模型的例子：时间序列数据用3D张量来模拟时间序列会非常有效！医学扫描——我们可以将脑电波（EEG）信号编码成3D张量，因为它可以由这三个参数来描述：(time, frequency, channel)这种转化看起来就像这样：如果我们有多个病人的脑电波扫描图，那就形成了一个4D张量：(sample_size, time, frequency, channel)Stock Prices在交易中，股票每分钟有最高、最低和最终价格。如下图的蜡烛图所示：请点击输入图片描述纽交所开市时间从早上9:30到下午4:00，即6.5个小时，总共有6.5 x 60 = 390分钟。如此，我们可以将每分钟内最高、最低和最终的股价存入一个2D张量（390,3）。如果我们追踪一周（五天）的交易，我们将得到这么一个3D张量：(week_of_data, minutes, high_low_price)即：(5,390,3)同理，如果我们观测10只不同的股票，观测一周，我们将得到一个4D张量(10,5,390,3)假设我们在观测一个由25只股票组成的共同基金，其中的每只股票由我们的4D张量来表示。那么，这个共同基金可以有一个5D张量来表示：(25,10,5,390,3)文本数据我们也可以用3D张量来存储文本数据，我们来看看推特的例子。首先，推特有140个字的限制。其次，推特使用UTF-8编码标准，这种编码标准能表示百万种字符，但实际上我们只对前128个字符感兴趣，因为他们与ASCII码相同。所以，一篇推特文可以包装成一个2D向量：（140,128）如果我们下载了一百万篇川普哥的推文（印象中他一周就能推这么多），我们就会用3D张量来存：(number_of_tweets_captured, tweet, character)这意味着，我们的川普推文集合看起来会是这样：(1000000,140,128)图片4D张量很适合用来存诸如JPEG这样的图片文件。之前我们提到过，一张图片有三个参数：高度、宽度和颜色深度。一张图片是3D张量，一个图片集则是4D，第四维是样本大小。著名的MNIST数据集是一个手写的数字序列，作为一个图像识别问题，曾在几十年间困扰许多数据科学家。现在，计算机能以99%或更高的准确率解决这个问题。即便如此，这个数据集仍可以当做一个优秀的校验基准，用来测试新的机器学习算法应用，或是用来自己做实验。请点击输入图片描述Keras 甚至能用以下语句帮助我们自动导入MNIST数据集：from keras.datasets import mnist(train_images, train_labels), (test_images, test_labels) = mnist.load_data()这个数据集被分成两个部分：训练集和测试集。数据集中的每张图片都有一个标签。这个标签写有正确的读数，例如3,7或是9，这些标签都是通过人工判断并填写的。训练集是用来训练神经网络学习算法，测试集则用来校验这个学习算法。MNIST图片是黑白的，这意味着它们可以用2D张量来编码，但我们习惯于将所有的图片用3D张量来编码，多出来的第三个维度代表了图片的颜色深度。MNIST数据集有60,000张图片，它们都是28 x 28像素，它们的颜色深度为1，即只有灰度。TensorFlow这样存储图片数据：(sample_size, height, width, color_depth).于是我们可以认为，MNIST数据集的4D张量是这样的：(60000,28,28,1)彩色图片彩色图片有不同的颜色深度，这取决于它们的色彩（注：跟分辨率没有关系）编码。一张典型的JPG图片使用RGB编码，于是它的颜色深度为3，分别代表红、绿、蓝。这是一张我美丽无边的猫咪（Dove）的照片，750 x750像素，这意味着我们能用一个3D张量来表示它：(750,750,3)请点击输入图片描述My beautiful cat Dove (750 x 750 pixels)这样，我可爱的Dove将被简化为一串冷冰冰的数字，就好像它变形或流动起来了。请点击输入图片描述然后，如果我们有一大堆不同类型的猫咪图片（虽然都没有Dove美），也许是100,000张吧，不是DOVE它的，750 x750像素的。我们可以在Keras中用4D张量来这样定义：(10000,750,750,3)请点击输入图片描述5D张量5D张量可以用来存储视频数据。TensorFlow中，视频数据将如此编码：（sample_size, frames, width, height, color_depth)如果我们考察一段5分钟（300秒），1080pHD（1920 x 1080像素），每秒15帧（总共4500帧），颜色深度为3的视频，我们可以用4D张量来存储它：(4500,1920,1080,3)当我们有多段视频的时候，张量中的第五个维度将被使用。如果我们有10段这样的视频，我们将得到一个5D张量：(10,4500,1920,1080,3)实际上这个例子太疯狂了！这个张量的大是很荒谬的，超过1TB。我们姑且考虑下这个例子以便说明一个问题：在现实世界中，我们有时需要尽可能的缩小样本数据以方便的进行处理计算，除非你有无尽的时间。这个5D张量中值的数量为：10 x 4500 x 1920 x 1080 x 3 = 279,936,000,000在Keras中，我们可以用一个叫dype的数据类型来存储32bits或64bits的浮点数我们5D张量中的每一个值都将用32 bit来存储，现在，我们以TB为单位来进行转换：279,936,000,000 x 32 = 8,957,952,000,000请点击输入图片描述这还只是保守估计，或许用32bit来储存根本就不够（谁来计算一下如果用64bit来存储会怎样），所以，减小你的样本吧朋友。事实上，我举出这最后一个疯狂的例子是有特殊目的的。我们刚学过数据预处理和数据压缩。你不能什么工作也不做就把大堆数据扔向你的AI模型。你必须清洗和缩减那些数据让后续工作更简洁更高效。降低分辨率，去掉不必要的数据（也就是去重处理），这大大缩减了帧数，等等这也是数据科学家的工作。如果你不能很好地对数据做这些预处理，那么你几乎做不了任何有意义的事。

特殊张量主要有四种：①度量张量 两个基矢量点积的结果。 和 分别称为协变和逆变度量张量，而混合度量张量 ，这里 （或写为 ）为克罗内克符号，它定义为：②交错张量或爱丁顿张量 可定义为 ，这里 表示元素 为行列式，而置换符号 表示 （ 是(1,2,3)的偶次置换），-1（ 是(1,2,3)的奇次置换），0（其余情形）③转置张量 对任意二阶张量 的分量指标置换的结果，记为 。④正交张量 保持映象长度不变的二阶张量。克里斯机费尔符号 第一类和第二类克里斯托费尔符号分别定义为： 和 。

张量？是关于张力的吧？

1、加速度-矢量加速度是速度变化量与发生这一变化所用时间的比值Δv/Δt，是描述物体速度变化快慢的物理量，通常用a表示，单位是m/s2。加速度是矢量，它的方向是物体速度变化（量）的方向，与合外力的方向相同。2、力-矢量力是力学中的基本概念之一，是使物体获得加速度或形变的外因。在动力学中它等于物体的质量与加速度的乘积。3、动量-矢量动量又称线性动量（Linear Momentum）。在经典力学中，动量（是指国际单位制中的单位为kg·m/s ，量纲MLT⁻¹）表示为物体的质量和速度的乘积，是与物体的质量和速度相关的物理量，指的是运动物体的作用效果。动量也是矢量，它的方向与速度的方向相同。4、电阻-标量电阻，是一个物理量，在物理学中表示导体对电流阻碍作用的大小。导体的电阻越大，表示导体对电流的阻碍作用越大。不同的导体，电阻一般不同，电阻是导体本身的一种特性。电阻将会导致电子流通量的变化，电阻越小，电子流通量越大，反之亦然。而超导体则没有电阻。5、功-标量功，也叫机械功，是物理学中表示力对物体作用的空间的累积的物理量，功是标量，其大小等于力与其作用点位移的标积，国际单位制单位为焦耳。“功”一词最初是法国数学家贾斯帕-古斯塔夫·科里奥利创造的。参考资料来源：百度百科-矢量参考资料来源：百度百科-标量

实地张量没跑路。张量，生于1981年，黑洞投资创始人、实地地产董事长，富力地产董事长张力之子，曾留学加拿大。张量至今已创立数十家公司，包括黑洞投资、恒量建设集团、普及中国等，涉足房产、工程、餐饮、营销、社区服务、智能家居、投资等多个领域。2003年4月，张量创立恒量建设集团，并担任股东和董事。

torch.Size([int ...]) 1.一维张量，类似一维数组，一般用在Bais，或者神经网络线性层的输入Linear Input。例如MINST数据集的一张图片用shape=[784]的Tensor来表示。 x = torch.rand(4) print(x) tensor([ 0.2509,  0.2332, -1.3147,  1.1232]) 一行N列的二维张量可以简化成一个长度为N的一维向量。 2.二维张量，一般用在带有batch的Linear Input。例如MINST数据集的k张图片如果放在一个Tensor里，那么shape=[k, 784] x = torch.rand(5, 3)  #5行3列的二维矩阵 print(x) tensor([[0.5738, 0.3221, 0.8697],         [0.6489, 0.0809, 0.8016],         [0.0588, 0.9684, 0.7397],         [0.2906, 0.7789, 0.5791],         [0.1475, 0.6734, 0.4977]]) 3.三维张量，适合用于RNN和NLP。如20句话，每句话10个单词，每个单词用100个分量的向量表示，得到的Tensor就是shape=[20, 10, 100] x = torch.rand(5, 3, 2) #表示5行3列，深度为2的张量 print(x) tensor([[[0.6442, 0.5485],  [0.8076, 0.5330], [0.9524, 0.8996]],         [[0.9026, 0.7192], [0.5826, 0.0630],[0.9178, 0.2762]],         [[0.2143, 0.6991], [0.2581, 0.6259], [0.2327, 0.8926]],         [[0.9574, 0.1782], [0.4373, 0.2612],[0.3508, 0.2820]],         [[0.5456, 0.3297], [0.1086, 0.1158], [0.8185, 0.8969]]]) 4.四维张量，适合用于CNN表示图像。例如100张MNIST数据集的灰度图(通道数为1，如果是RGB图像通道数就是3)，每张图高28像素，宽28像素，那么这个Tensor的shape=[100, 1, 28, 28]，也就是一个batch的数据维度：[batch_size, channel, height, width]。 x = torch.rand(2, 3, 4, 2) print(x) tensor([ #第一个3行4列，深度为2的三维张量         [[[0.2286, 0.0696], [0.2286, 0.0705], [0.0401, 0.6481], [0.9782, 0.7931]],         [[0.8174, 0.4676], [0.2210, 0.4821], [0.2962, 0.5062], [0.4067, 0.1103]],         [[0.0501, 0.7163], [0.6444, 0.8814], [0.5520, 0.9893], [0.8552, 0.4701]]], #第二个3行4列，深度为2的三维张量         [[[0.8238, 0.7530], [0.1924, 0.9586], [0.0603, 0.8333], [0.1207, 0.3910]],         [[0.9232, 0.6045], [0.8133, 0.3055], [0.0483, 0.3335], [0.5051, 0.9514]],         [[0.1860, 0.6668], [0.3185, 0.7457], [0.3295, 0.0257], [0.9303, 0.9400]]]]) 当torch.Size()的参数个数>=3个时，可以用3维空间来理解 5.五维张量 x = torch.rand(5, 2, 3, 4, 2) 表示x有5个四维张量，每个四维张量又可以表示为2个 3行4列深度为2的张量。

张量是张量，矢量是矢量

就是说这个量有一个二阶的方向。比如，0阶是标量、一阶是矢量、二阶是张量、高阶就是高阶张量等等。张量举例：把气球吹涨，气球上就会有回缩的力（用词不标准，见谅），这个力不能在某个线方向上，而应该在某个面上，就是张量。

张量：一个物理量如果必须用n阶方阵描述，且满足某几种特定的运算规则（也就是说，这方阵通过这几种运算后得到的结果是规则指出的），则这个方阵描述的物理量称为张量。 举例：矢量就是一个2阶张量，它可以用2阶方阵描述，且满足特定的运算规则（2阶情况下简化为平行四边形定则）。 此外如函数和其梯度（场）、向量场、外微分形势、黎曼度量等都是张量注释：1、张量在物理上用的多，但是是一个数学的概念，是微分几何研究的一个方向2、概念的核心：张量的分量在坐标变换下满足适当的变换律。

应力张量有三个不变量(安欧，1972；陈之光，1986；万天丰，1988)，即构造应力场控岩控矿偏应力张量也是一种应力状态，它是二阶对称张量，同样也有不变量构造应力场控岩控矿或构造应力场控岩控矿J1，J2，J3为偏应力张量的第一、第二、第三不变量。其中第一不变量为0，第二、第三不变量在塑性理论中起着很重要的作用(图2.4)。图2.4 偏应力状态

标量，向量，矩阵与张量 1、标量 一个标量就是一个单独的数，一般用小写的的变量名称表示。2、向量 一个向量就是一列数，这些数是有序排列的。用过次序中的索引，我们可以确定每个单独的数。通常会赋予向量粗体的小写名称。当我们需要明确表示向量中的元素时，我们会将元素排列成一个方括号包围的纵柱：我们可以把向量看作空间中的点，每个元素是不同的坐标轴上的坐标。3、矩阵 矩阵是二维数组，其中的每一个元素被两个索引而非一个所确定。我们通常会赋予矩阵粗体的大写变量名称，比如A。 如果一个实数矩阵高度为m，宽度为n，那么我们说 。矩阵这东西在机器学习中就不要太重要了！实际上，如果我们现在有N个用户的数据，每条数据含有M个特征，那其实它对应的就是一个N*M的矩阵呀；再比如，一张图由16*16的像素点组成，那这就是一个16*16的矩阵了。现在才发现，我们大一学的矩阵原理原来这么的有用！要是当时老师讲课的时候先普及一下，也不至于很多同学学矩阵的时候觉得莫名其妙了。4、张量 几何代数中定义的张量是基于向量和矩阵的推广，通俗一点理解的话，我们可以将标量视为零阶张量，矢量视为一阶张量，那么矩阵就是二阶张量。 例如，可以将任意一张彩色图片表示成一个三阶张量，三个维度分别是图片的高度、宽度和色彩数据。 将这张图用张量表示出来，就是最下方的那张表格：其中表的横轴表示图片的宽度值，这里只截取0~319；表的纵轴表示图片的高度值，这里只截取0~4；表格中每个方格代表一个像素点，比如第一行第一列的表格数据为[1.0,1.0,1.0]，代表的就是RGB三原色在图片的这个位置的取值情况（即R=1.0，G=1.0，B=1.0）。当然我们还可以将这一定义继续扩展，即：我们可以用四阶张量表示一个包含多张图片的数据集，这四个维度分别是：图片在数据集中的编号，图片高度、宽度，以及色彩数据。张量在深度学习中是一个很重要的概念，因为它是一个深度学习框架中的一个核心组件，后续的所有运算和优化算法几乎都是基于张量进行的。

　　张量与矩阵的区别如下：　　1、张量可以用3×3矩阵形式来表达。　　2、张量是一种物理量，相对于标量，矢量而言的。　　3、矩阵是一个线性代数、矩阵论里的数学工具，它可以应用在很多地方：　　空间的旋转变换，量子力学中表象的变换等等。　　其实表示标量的数和表示矢量的三维数组也可分别看作1×1，1×3的矩阵。

几何代数中定义的张量是基于向量和矩阵的推广，通俗一点理解的话，我们可以将标量视为零阶张量，矢量视为一阶张量，那么矩阵就是二阶张量。 设 A 为m*p的矩阵， B 为p*n 的矩阵，那么称m*n的矩阵C为矩阵A与B的乘积，  记作 C = AB  其中矩阵C中的第 行第 列元素可以表示为：  m*n矩阵 A 与m*n矩阵 B 的Hadamard积记为A*B. 其元素定义为两个矩阵对应元素的乘积:  Kronecker积是两个任意大小的矩阵间的运算，又称为直积或张量积 CNN： 是一类包含 卷积 计算且具有深度结构的 前馈神经网络 （Feedforward Neural Networks），是 深度学习 （deep learning）的代表算法之一。 图中是一个图形识别的CNN模型。可以看出最左边的船的图像就是我们的输入层，计算机理解为输入若干个矩阵，这点和DNN基本相同。 接着是卷积层（Convolution Layer）,这个是CNN特有的，我们后面专门来讲。卷积层的激活函数使用的是ReLU。我们在DNN中介绍过ReLU的激活函数，它其实很简单，就是ReLU(x)=max(0,x)ReLU(x)=max(0,x)。在卷积层后面是池化层(Pooling layer)，这个也是CNN特有的，我们后面也会专门来讲。需要注意的是，池化层没有激活函数。 　　卷积层+池化层的组合可以在隐藏层出现很多次，上图中出现两次。而实际上这个次数是根据模型的需要而来的。当然我们也可以灵活使用使用卷积层+卷积层，或者卷积层+卷积层+池化层的组合，这些在构建模型的时候没有限制。但是最常见的CNN都是若干卷积层+池化层的组合，如上图中的CNN结构。 　　在若干卷积层+池化层后面是全连接层（Fully Connected Layer, 简称FC），全连接层其实就是我们前面讲的DNN结构，只是输出层使用了Softmax激活函数来做图像识别的分类，这点我们在DNN中也有讲述。 　　从上面CNN的模型描述可以看出，CNN相对于DNN，比较特殊的是卷积层和池化层，如果我们熟悉DNN，只要把卷积层和池化层的原理搞清楚了，那么搞清楚CNN就容易很多了。 首先，我们去学习卷积层的模型原理，在学习卷积层的模型原理前，我们需要了解什么是卷积，以及CNN中的卷积是什么样子的。 大家学习数学时都有学过卷积的知识，微积分中卷积的表达式为：  S(t)=∫x(t−a)w(a)daS(t)=∫x(t−a)w(a)da 离散形式是：  s(t)=∑ax(t−a)w(a)s(t)=∑ax(t−a)w(a) 这个式子如果用矩阵表示可以为：  s(t)=(X∗W)(t)s(t)=(X∗W)(t) 其中星号表示卷积。 如果是二维的卷积，则表示式为： s(i,j)=(X∗W)(i,j)=∑m∑nx(i−m,j−n)w(m,n)s(i,j)=(X∗W)(i,j)=∑m∑nx(i−m,j−n)w(m,n)         在CNN中，虽然我们也是说卷积，但是我们的卷积公式和严格意义数学中的定义稍有不同,比如对于二维的卷积，定义为： s(i,j)=(X∗W)(i,j)=∑m∑nx(i+m,j+n)w(m,n)s(i,j)=(X∗W)(i,j)=∑m∑nx(i+m,j+n)w(m,n)         这个式子虽然从数学上讲不是严格意义上的卷积，但是大牛们都这么叫了，那么我们也跟着这么叫了。后面讲的CNN的卷积都是指的上面的最后一个式子。 　　其中，我们叫W为我们的卷积核，而X则为我们的输入。如果X是一个二维输入的矩阵，而W也是一个二维的矩阵。但是如果X是多维张量，那么W也是一个多维的张量。 　　有了卷积的基本知识，我们现在来看看CNN中的卷积，假如是对图像卷积，回想我们的上一节的卷积公式，其实就是对输出的图像的不同局部的矩阵和卷积核矩阵各个位置的元素相乘，然后相加得到。 举个例子如下，图中的输入是一个二维的3x4的矩阵，而卷积核是一个2x2的矩阵。这里我们假设卷积是一次移动一个像素来卷积的，那么首先我们对输入的左上角2x2局部和卷积核卷积，即各个位置的元素相乘再相加，得到的输出矩阵S的S00S00的元素，值为aw+bx+ey+fzaw+bx+ey+fz。接着我们将输入的局部向右平移一个像素，现在是(b,c,f,g)四个元素构成的矩阵和卷积核来卷积，这样我们得到了输出矩阵S的S01S01的元素，同样的方法，我们可以得到输出矩阵S的S02，S10，S11，S12S02，S10，S11，S12的元素。  最终我们得到卷积输出的矩阵为一个2x3的矩阵S。 再举一个：这里面输入是3个7x7的矩阵。实际上原输入是3个5x5的矩阵。只是在原来的输入周围加上了1的padding，即将周围都填充一圈的0，变成了3个7x7的矩阵。 　　例子里面使用了两个卷积核，我们先关注于卷积核W0。和上面的例子相比，由于输入是3个7x7的矩阵，或者说是7x7x3的张量，则我们对应的卷积核W0也必须最后一维是3的张量，这里卷积核W0的单个子矩阵维度为3x3。那么卷积核W0实际上是一个3x3x3的张量。同时和上面的例子比，这里的步幅为2，也就是每次卷积后会移动2个像素的位置。 　　最终的卷积过程和上面的2维矩阵类似，上面是矩阵的卷积，即两个矩阵对应位置的元素相乘后相加。这里是张量的卷积，即两个张量的3个子矩阵卷积后，再把卷积的结果相加后再加上偏倚b。 　　7x7x3的张量和3x3x3的卷积核张量W0卷积的结果是一个3x3的矩阵。由于我们有两个卷积核W0和W1，因此最后卷积的结果是两个3x3的矩阵。或者说卷积的结果是一个3x3x2的张量。 仔细回味下卷积的过程，输入是7x7x3的张量，卷积核是两个3x3x3的张量。卷积步幅为2，最后得到了输出是3x3x2的张量。如果把上面的卷积过程用数学公式表达出来就是： s(i,j)=(X∗W)(i,j)+b=∑k=1n_in(Xk∗Wk)(i,j)+bs(i,j)=(X∗W)(i,j)+b=∑k=1n_in(Xk∗Wk)(i,j)+b 其中，n_inn_in为输入矩阵的个数，或者是张量的最后一维的维数。XkXk代表第k个输入矩阵。WkWk代表卷积核的第k个子卷积核矩阵。s(i,j)s(i,j)即卷积核WW对应的输出矩阵的对应位置元素的值。 对于卷积后的输出，一般会通过ReLU激活函数，将输出的张量中的小于0的位置对应的元素值都变为0。         相比卷积层的复杂，池化层则要简单的多，所谓的池化，个人理解就是对输入张量的各个子矩阵进行压缩。假如是2x2的池化，那么就将子矩阵的每2x2个元素变成一个元素，如果是3x3的池化，那么就将子矩阵的每3x3个元素变成一个元素，这样输入矩阵的维度就变小了。 　　要想将输入子矩阵的每nxn个元素变成一个元素，那么需要一个池化标准。常见的池化标准有2个，MAX或者是Average。即取对应区域的最大值或者平均值作为池化后的元素值。 　　下面这个例子采用取最大值的池化方法。同时采用的是2x2的池化。步幅为2。 　　首先对红色2x2区域进行池化，由于此2x2区域的最大值为6.那么对应的池化输出位置的值为6，由于步幅为2，此时移动到绿色的位置去进行池化，输出的最大值为8.同样的方法，可以得到黄色区域和蓝色区域的输出值。最终，我们的输入4x4的矩阵在池化后变成了2x2的矩阵。进行了压缩。 以AlexNet网络为例，以下是该网络的参数结构图 AlexNet网络的层结构如下： 1.Input:  图像的尺寸是227*227*3. 2.Conv-1:  第1层卷积层的核大小11*11，96个核。步长(stride)为4，边缘填充（padding）为0。 3.MaxPool-1:  池化层-1对Conv-1进行池化，尺寸为3*3，步长为2. 4.Conv-2:  核尺寸：5*5，数量：256，步长：1，填充：2 5. MaxPool-2:  尺寸：3*3，步长：2 6.Conv-3:  核尺寸：3*3，数量：384，步长：1，填充：1 7: Conv-4:  结构同Conv-3. 8. Conv-5:  核尺寸：3*3，数量：256，步长：1，填充：1 9. MaxPool-3 : 尺寸：3*3，步长：2 10.FC-1:  全连接层1共有4096个神经元。 11.FC-1:  全连接层2共有4096个神经元。 12.FC-3:  全连接层3共有1000个神经元。 接下来，我们对以上的网络结构进行描述： 1.如何计算张量（图像）的尺寸； 2.如何计算网络的总参数； 卷积层（Conv Layer）的输出张量（图像）的大小 定义如下： O=输出图像的尺寸。 I=输入图像的尺寸。 K=卷积层的核尺寸 N=核数量 S=移动步长 P =填充数 输出图像尺寸的计算公式如下： 输出图像的通道数等于核数量N。 示例：AlexNet中输入图像的尺寸为227*227*3.第一个卷积层有96个尺寸为11*11*3的核。步长为4，填充为0. 输出的图像为55*55*96（每个核对应1个通道）。 池化层（MaxPool Layer）的输出张量（图像）的大小 定义如下： O=输出图像的尺寸。 I=输入图像的尺寸。 S=移动步长 PS=池化层尺寸 输出图像尺寸的计算公式如下： 不同于卷积层，池化层的输出通道数不改变。 示例：每1层卷积层后的池化层的池化层尺寸为3*3，步长为2。根据前面卷积层的输出为55*55*96。池化层的输出图像尺寸如下： 输出尺寸为27*27*96。 全连接层（Fully Connected Layer）的输出张量（图像）的大小 全连接层输出向量长度等于神经元的数量。 通过AlexNet改变张量（图像）的尺寸的结构如下: 在AlexNet网络中，输出的图像尺寸为227*227*3. Conv-1,尺寸变为55*55*96,池化层后变为27*27*96。 Conv-2,尺寸变为27*27*256,池化层后变为13*13*256. Conv-3,尺寸变为13*13*384,经过Conv-4和Conv-5变回13*13*256. 最后,MaxPool-3尺寸缩小至6*6*256. 图像通过FC-1转换为向量4096*1.通过FC-2尺寸未改变.最终,通过FC-3输出1000*1的尺寸张量. 接下来,计算每层的参数数量. Conv Layer参数数量 在CNN中,每层有两种类型的参数:weights 和biases.总参数数量为所有weights和biases的总和. 定义如下: WC=卷积层的weights数量 BC=卷积层的biases数量 PC=所有参数的数量 K=核尺寸 N=核数量 C =输入图像通道数 卷积层中,核的深度等于输入图像的通道数.于是每个核有K*K个参数.并且有N个核.由此得出以下的公式. 示例:AlexNet网络中,第1个卷积层,输入图像的通道数(C)是3,核尺寸(K)是11*11,核数量是96. 该层的参数计算如下： 计算出Conv-2, Conv-3, Conv-4, Conv-5 的参数分别为 614656 , 885120, 1327488 和884992.卷积层的总参数就达到3,747,200. MaxPool Layer参数数量 没有与MaxPool layer相关的参数量.尺寸,步长和填充数都是超参数. Fully Connected (FC) Layer参数数量 在CNN中有两种类型的全连接层.第1种是连接到最后1个卷积层,另外1种的FC层是连接到其他的FC层.两种情况我们分开讨论. 类型1: 连接到Conv Layer 定义如下: Wcf= weights的数量 Bcf= biases的数量 O= 前卷积层的输出图像的尺寸 N = 前卷积层的核数量 F = 全连接层的神经元数量 示例:  AlexNet网络中第1个FC层连接至Conv Layer.该层的O为6,N为256,F为4096. 参数数目远大于所有Conv Layer的参数和. 类型2: 连接到FC Layer 定义如下: Wff= weights的数量 Bff= biases的数量 Pff= 总参数的数量 F= 当前FC层的神经元数量 F-1= 前FC层的神经元数量 示例: AlexNet的最后1个全连接层,  F-1=4096,F=1000. AlexNet网络中张量(图像)尺寸和参数数量 AlexNet网络中总共有5个卷积层和3个全连接层.总共有62,378,344个参数.以下是汇总表.         TensorFlow是谷歌基于DistBelief进行研发的第二代人工智能学习系统，其命名来源于本身的运行原理。Tensor(张量)意味着N维数组，Flow(流)意味着基于数据流图的计算，TensorFlow为张量从流图的一端流动到另一端计算过程。TensorFlow是将复杂的数据结构传输至人工智能神经网中进行分析和处理过程的系统。TensorFlow可被用于语音识别或图像识别等多项机器深度学习领域，对2011年开发的深度学习基础架构DistBelief进行了各方面的改进，它可在小到一部智能手机、大到数千台数据中心服务器的各种设备上运行。

张力儿子张量结婚了。根据中国名人网资料，2017年5月，张量与龙茜在悉尼结了婚，她比张量小12岁，两人算是门当户对，龙茜的爸爸是一位贵州知名地产商，与张力有业务往来。

张量就是广义的“数量”概念,比如零阶的张量就是一个数（纯量）,一阶张量就是矢量,二阶的就是矩阵,这样类推. 我们要怎么来表示一个“数量”,是和这个数描述的对象的自由度相关的.考虑一个质点如果它是固定的,那我们就只用“质量”这个纯量来描述,如果它可以平移,那么一瞬间的状态就需要用一个矢量描述（比如动量）,如果它还能转动,那么角动量和动量综合来看就要用一个矩阵表述了,再加上其它的自由度,那么用来描述它状态的量就越来越复杂. 一个典型的应用就是材料力学里的应力张量,材料内部一点的应力可以用三个分量的正应力和三个分量的剪切应力来描述,因为正应力和剪应力是相互独立的自由度,综合来看应力就需要用一个3X3的矩阵来表示.

张量就是广义的“数量”概念， 比如零阶的张量就是一个数（纯量）， 一阶张量就是矢量， 二阶的就是矩阵， 这样类推。 我们要怎么来表示一个“数量”，是和这个数描述的对象的自由度相关的。 考虑一个质点如果它是固定的， 那我们就只用“质量”这个纯量来描述， 如果它可以平移， 那么一瞬间的状态就需要用一个矢量描述（比如动量），如果它还能转动， 那么角动量和动量综合来看就要用一个矩阵表述了，再加上其它的自由度， 那么用来描述它状态的量就越来越复杂。 一个典型的应用就是材料力学里的应力张量， 材料内部一点的应力可以用三个分量的正应力和三个分量的剪切应力来描述， 因为正应力和剪应力是相互独立的自由度，综合来看应力就需要用一个3X3的矩阵来表示。

1） 在物理中，张量就是不随坐标系变化而变化的量。比如一根木头，随意割出一个长方体，各个面的弹性系数是不同的。六个面，18个量。由于是对称的，所以我们把这个9个量的二阶矩阵称为张量。以此类推，可以得出应力张量、应变张量。注意这些张量可以是固体存在，也可以适用于流体。2） 上述是牛顿力学范畴。其他领域也是一样的，比如电导率、磁化率、介电常数、热导率都是二阶张量。3） 其实量子力学也可以仿造之，得出惯性张量（类似弹性系数张量）和极化张量（类似应变张量）。表示核外电子在同一场强下的不同方向上的惯性和变形情况。

张量（Tensor）是一个定义在的一些向量空间和一些对偶空间的笛卡儿积上的多重线性映射，其坐标是|n|维空间内，有|n|个分量的一种量， 其中每个分量都是坐标的函数， 而在坐标变换时，这些分量也依照某些规则作线性变换。r 称为该张量的秩或阶（与矩阵的秩和阶均无关系）。在同构的意义下，第零阶张量 （r = 0） 为标量 （Scalar），第一阶张量 （r = 1） 为向量 （Vector）， 第二阶张量 （r = 2） 则成为矩阵 （Matrix）。例如，对于3维空间，r=1时的张量为此向量：（x,y,z）。由于变换方式的不同，张量分成协变张量 （Covariant Tensor，指标在下者）、逆变张量 （Contravariant Tensor，指标在上者）、 混合张量 （指标在上和指标在下两者都有） 三类。在数学里，张量是一种几何实体，或者说广义上的“数量”。张量概念包括标量、向量和线性算子。张量可以用坐标系统来表达，记作标量的数组，但它是定义为“不依赖于参照系的选择的”。张量在物理和工程学中很重要。例如在扩散张量成像中，表达器官对于水的在各个方向的微分透性的张量可以用来产生大脑的扫描图。可能最重要的工程上的例子就是应力张量和应变张量了，它们都是二阶张量，对于一般线性材料他们之间的关系由一个四阶弹性张量来决定。虽然张量可以用分量的多维数组来表示，张量理论存在的意义在于进一步说明把一个数量称为张量的涵义，而不仅仅是说它需要一定数量的有指标索引的分量。特别是，在坐标转换时，张量的分量值遵守一定的变换法则。张量的抽象理论是线性代数分支，现在叫做多重线性代数。

“张量”一词最初由威廉·罗恩·哈密顿在1846年引入，但他把这个词用于指代现在称为模的对象。该词的现代意义是沃尔德马尔·福格特在1899年开始使用的。这个概念由格雷戈里奥·里奇-库尔巴斯特罗在1890年在《绝对微分几何》的标题下发展出来，随着1900年列维-奇维塔的经典文章《绝对微分》（意大利文，随后出版了其他译本）的出版而为许多数学家所知。随着1915年左右爱因斯坦的广义相对论的引入，张量微积分获得了更广泛的承认。广义相对论完全由张量语言表述，爱因斯坦从列维-奇维塔本人那里学了很多张量语言（其实是Marcel Grossman,他是爱因斯坦在苏黎世联邦理工学院的同学，一个几何学家，也是爱因斯坦在张量语言方面的良师益友 - 参看Abraham Pais所著《上帝是微妙的（Subtle is the Lord）》），并学得很艰苦。但张量也用于其它领域，例如连续力学，譬如应变张量（参看线性弹性）。注意“张量”一词经常用作张量场的简写，而张量场是对流形的每一点给定一个张量值。要更好的理解张量场，必须首先理解张量的基本思想。

向量的推广。在一个坐标系下，由若干个数（称为分量）来表示，而在不同坐标系下的分量之间应满足一定的变换规则，如矩阵、多变量线性形式等。一些物理量如弹性体的应力、应变以及运动物体的能量动量等都需用张量来表示。在微分几何的发展中，C.F.高斯、B.黎曼、E.B.克里斯托费尔等人在19世纪就导入了张量的概念，随后由G.里奇及其学生T.列维齐维塔发展成张量分析，A.爱因斯坦在其广义相对论中广泛地利用了张量。例如，标量可以看作是0阶张量，矢量可以看作一阶张量。

张量从代数角度讲，它是向量的推广。我们知道，向量可以看成一维的“表格”（即分量按照顺序排成一排），矩阵是二维的“表格”（分量按照纵横位置排列），那么n阶张量就是所谓的n维的“表格”。张量的严格定义是利用线性映射来描述的。与矢量相类似，定义由若干坐标系改变时满足一定坐标转化关系的有序数组成的集合为张量。　　从几何角度讲，它是一个真正的几何量，也就是说，它是一个不随参照系的坐标变换而变化的东西。向量也具有这种特性。　　标量可以看作是0阶张量，矢量可以看作1阶张量。张量中有许多特殊的形式，比如对称张量、反对称张量等等。-------------------------------------------矩阵和向量的关系有什么不同我觉得就是就是两种不同的空间表示形式矩阵在运算后得到 就是向量空间一个n×1的矩阵对应一个n维的向量.如:(1,2,3)对应i+2j+3k,当然也可以拿两个矩阵的乘积表示一个n维向量.如:拿横向的矩阵1×n的矩阵(i,j,k)乘以纵向的矩阵n×1的矩阵(1,2,3),得到一个1×1的矩阵(i+2j+3k),刚好和向量i+2j+3k对应.

简单的说：张量概念是矢量概念和矩阵概念的推广，标量是零阶张量，矢量是一阶张量，矩阵（方阵）是二阶张量，而三阶张量则好比立体矩阵，更高阶的张量用图形无法表达。 度量张量 维基百科，自由的百科全书 (重定向自量度张量) 黎曼几何的度量张量（在物理学上称度规张量）是二阶对称非退化张量用来衡量度量空间中的距离及角度。

http://baike.baidu.com/view/19611.htmhttp://baike.baidu.com/view/84752.htm

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惯性张量是指定点转动时的惯性大小。设定（x,y,z)为微小质量dm对于点K的相对位置。则这些转动惯量以方程式定义为：Ixx=∫(y*y+z*z)dm。Iyy=∫(x*x+z*z)dm。Izz=∫(x*x+y*y)dm。虽然张量可以用分量的多维数组来表示，张量理论存在的意义在于进一步说明把一个数量称为张量的涵义，而不仅仅是说它需要一定数量的有指标索引的分量。特别是，在坐标转换时，张量的分量值遵守一定的变换法则。张量的抽象理论是线性代数分支，现在叫做多重线性代数。扩展资料不是所有自然中的关系都是线性的，但是很多是可微的因而可以局部的用多线性映射来局部的逼近。这样多数物理学中的量都可以用张量表示。作为一个简单的例子，考虑水中的船。我们要描述它对受力的反应。力是一个向量，而船的反应是一个加速度，它也是一个向量。通常加速度不是和受力的方向相同，因为船体的特定形状。但是，这个力和加速之间的关系实际上是线性的。这样一个关系可以用一个（1,1）类型（也就是说，它把一个向量变成另一个向量）的张量表示。这个张量可以用矩阵表示，当它乘以一个向量时就得到另一个作为结果。坐标系改变的时候，表示一个向量的数字会改变，同样，表示这个张量的矩阵中的数字也会改变。工程上，刚体或流体内的应力也用一个张量表示；"张量"一词的拉丁语就表示引起张力的某种拉伸。如果材料内的一个特定的表面元素被选出来，在表面一侧的材料会对另一侧的施加一个力。通常，该力不和表面正交，但是它将线性的依赖于表面的朝向。这可以精确用（2,0）类型的张量精确的描述，或者更精确地说，是用一个类型为（2,0）的张量场来表示，因为张量可能在每一个不同。参考资料来源：百度百科-惯性张量

简单的说：张量概念是矢量概念和矩阵概念的推广，标量是零阶张量，矢量是一阶张量，矩阵（方阵）是二阶张量，而三阶张量则好比立体矩阵，更高阶的张量用图形无法表达。 度量张量 维基百科，自由的百科全书 (重定向自量度张量) 黎曼几何的度量张量（在物理学上称度规张量）是二阶对称非退化张量用来衡量度量空间中的距离及角度。

张量：一个物理量如果必须用n阶方阵描述，且满足某几种特定的运算规则（也就是说，这方阵通过这几种运算后得到的结果是规则指出的），则这个方阵描述的物理量称为张量。举例：矢量就是一个2阶张量，它可以用2阶方阵描述，且满足特定的运算规则（2阶情况下简化为平行四边形定则）。此外如函数和其梯度（场）、向量场、外微分形势、黎曼度量等都是张量注释：1、张量在物理上用的多，但是是一个数学的概念，是微分几何研究的一个方向2、概念的核心：张量的分量在坐标变换下满足适当的变换律

直接搜索“张量分析”的书籍就是比较系统介绍张量的书目了。“连续介质力学中的张量”这类书讲的也比较详细。张量若单从数学角度去理解我感觉有些生硬，最好能结合物理学科，尤其是力学就更好了。

张量可以表述为一个值的序列，用一个向量值的定义域和一个标量值的值域的函数表示。这些定义域中的向量是自然数的向量，而这些数字称为指标。例如，3阶张量可以有尺寸2、5和7。这里，指标的范围是从<1,1,1,>到<2,5,7>。张量可以在指标为<1,1,1>有一个值，在指标为<1,1,2>有另一个值，等等一共70个值。（类似的，向量可以表示为一个值的序列，用一个标量值的定义域和一个标量值的值域的函数表示，定义域中的数字是自然数，称为指标，不同的指标的个数有时称为向量的维度。）一个张量场是在欧几里得空间中的每一点都给定一个张量值。这样不是像上面的例子中简单的有70个值，对于一个3阶张量，维度为<2,5,7>，空间中的每一个点有70个值和它相关。换句话说，张量场表示某个张量值的函数，其定义域为欧几里得空间。不是所有的函数都行 -- 更多关于这些要求的细节参看张量场。不是所有自然中的关系都是线性的，但是很多是可微的因而可以局部的用多线性映射来局部的逼近。这样多数物理学中的量都可以用张量表示。作为一个简单的例子，考虑水中的船。我们要描述它对受力的反应。力是一个向量，而船的反应是一个加速度，它也是一个向量。通常加速度不是和受力的方向相同，因为船体的特定形状。但是，这个力和加速之间的关系实际上是线性的。这样一个关系可以用一个（1,1）类型（也就是说，它把一个向量变成另一个向量）的张量表示。这个张量可以用矩阵表示，当它乘以一个向量时就得到另一个作为结果。坐标系改变的时候，表示一个向量的数字会改变，同样，表示这个张量的矩阵中的数字也会改变。工程上，刚体或流体内的应力也用一个张量表示；张量一词的拉丁语就表示引起张力的某种拉伸。如果材料内的一个特定的表面元素被选出来，在表面一侧的材料会对另一侧的施加一个力。通常，该力不和表面正交，但是它将线性的依赖于表面的朝向。这可以精确用（2,0）类型的张量精确的描述，或者更精确地说，是用一个类型为（2,0）的张量场来表示，因为张量可能在每一个不同。另外一些著名的几何中张量的例子有二次型，以及曲率张量。物理张量的例子有能动张量，惯量和极化张量。几何和物理的量可以通过考虑它们的表述内在的自由度来分类。标量是那些可以用一个数表示的 --- 速率,质量,温度,等等。有一些向量类型的量，例如力，它需要一个数字的列表来表述。最后，象二次型这样的量需要用多维数组来表示。后面这些量只能视为张量。实际上，张量的概念相当广泛，可以用于上面所有的例子；标量和向量是张量的特殊情况。区别标量和向量以及区别这两者和更一般的张量的特征是表示它们的数组的指标的个数。这个数称为张量的阶。这样，标量是0阶张量（不需要任何指标），而向量是一阶张量。张量的另外一个例子是广义相对论中的黎曼曲率张量，它是维度为<4,4,4,4>（3个空间维度 + 时间维度 = 4个维度）的4阶张量。它可以当作256个分量（256 = 4 × 4 × 4 × 4）的矩阵（或者向量，其实是个4维数组）。只有20个分量是互相独立的，这个事实可以大大简化它的实际表达。

张量（Tensor）是一个定义在一些向量空间和一些对偶空间的笛卡尔积上的多重线性映射，其坐标是|n|维空间内，有|n|个分量的一种量， 其中每个分量都是坐标的函数， 而在坐标变换时，这些分量也依照某些规则作线性变换。r 称为该张量的秩或阶（与矩阵的秩和阶均无关系）。 在数学里，张量是一种几何实体，或者说广义上的“数量”。张量概念包括标量、向量和线性算子。张量可以用坐标系统来表达，记作标量的数组，但它是定义为“不依赖于参照系的选择的”。 张量在物理和工程学中很重要。例如在扩散张量成像中，表达器官对于水的在各个方向的微分透性的张量可以用来产生大脑的扫描图。 可能最重要的工程上的例子就是应力张量和应变张量了，它们都是二阶张量，对于一般线性材料他们之间的关系由一个四阶弹性张量来决定。虽然张量可以用分量的多维数组来表示，张量理论存在的意义在于进一步说明把一个数量称为张量的涵义，而不仅仅是说它需要一定数量的有指标索引的分量。特别是，在坐标转换时，张量的分量值遵守一定的变换法则。张量的抽象理论是线性代数分支，现在叫做多重线性代数。

张量（tensor）理论是数学的一个分支学科，在力学中有重要应用。张量这一术语起源于力学，它最初是用来表示弹性介质中各点应力状态的，后来张量理论发展成为力学和物理学的一个有力的数学工具。张量之所以重要，在于它可以满足一切物理定律必须与坐标系的选择无关的特性。张量概念是矢量概念的推广，矢量是一阶张量。张量是一个可用来表示在一些矢量、标量和其他张量之间的线性关系的多线性函数。

简单的说：张量概念是矢量概念和矩阵概念的推广，标量是零阶张量，矢量是一阶张量，矩阵（方阵）是二阶张量，而三阶张量则好比立体矩阵，更高阶的张量用图形无法表达。 度量张量 维基百科，自由的百科全书 (重定向自量度张量) 黎曼几何的度量张量（在物理学上称度规张量）是二阶对称非退化张量用来衡量度量空间中的距离及角度。

[最佳答案]简单的说:张量概念是矢量概念和矩阵概念的推广,标量是零阶张量,矢量是一阶张量,矩阵(方阵)是二...

应变张量是应变状态的数学表示。数学上应变为二阶张量。

岩体内一点应力状态，可用式(2.3)之应力张量表示：构造应力场控岩控矿在一般应力状态下，该应力状态可分离成球应力张量(s″)和偏应力张量(s′)。前者不产生塑性变形，只引起岩体体积变化；后者与塑性变形有关。球应力张量是由一点处三个正应力的平均正应力所组成的应力张量，表示式为构造应力场控岩控矿式中： 。球应力张量只引起变形物体的体积变化而不引起形状变化。其受力状态如图2.3所示，岩体在球应力作用下，体积发生改变而形状不变，使有孔隙岩石的孔隙度变小(或变大)。图2.3 球应力状态偏应力张量s′是由应力张量中减去相应部分的平均应力组成。构造应力场控岩控矿式中：sx=σx—σm；sy=σy—σm；sz=σz—σm；sxy=τxy；syz=τyz；szx=τzx。偏应力张量只产生形状改变，而不产生体积改变。所以应力张量可写成球应力张量和偏应力张量之和。构造应力场控岩控矿若应力状态用主应力σ1，σ2，σ3表示，类似地可写出：构造应力场控岩控矿式中： ；s1=σ1—σm；s2=σ2—σm；s3=σ3—σm。偏应力的效应是产生形变(与由应力系统静水应力部分引起的体变不同)，这种应变可以是弹性的和可恢复的。因此，任一系统可由图2.1表示为两部分；同样，应变也可表示成两部分。静水应力对屈曲不产生影响。

应力球张量是指改变大小的应力分量。应力偏张量是改变形状的应力分量。就像极坐标下的平面，r表示大小，θ表示位置。就能确定一个点。这里是张量。使得受力微元均匀改变大小的应力是球张量。球张量和微元的体积变化成正比。应力张量减去球张量。剩下的是偏张量。使得物体体积不变，外形变化

垂直于某个面的矢量

1： 张量（tensor)是几何与代数中的基本概念之一。 从代数角度讲， 它是向量的推广。我们知道， 向量可以看成一维的“表格”（即分量按照顺序排成一排）， 矩阵是二维的“表格”（分量按照纵横位置排列）， 那么n阶张量就是所谓的n维的“表格”。 张量的严格定义是利用线性映射来描述的。与矢量相类似，定义由若干坐标系改变时满足一定坐标转化关系的有序数组成的集合为张量。 从几何角度讲， 它是一个真正的几何量，也就是说，它是一个不随参照系的坐标变换而变化的东西。向量也具有这种特性。 有时候，人们直接在一个坐标系下，由若干个数（称为分量）来表示张量，而在不同坐标系下的分量之间应满足一定的变换规则（参见协变规律，反变规律），如矩阵、多变量线性形式等都满足这些规律。一些物理量如弹性体的应力、应变以及运动物体的能量动量等都需用张量来表示。在微分几何的发展中，C.F.高斯、B.黎曼、E.B.克里斯托费尔等人在19世纪就导入了张量的概念，随后由G.里奇及其学生T.列维齐维塔发展成张量分析，A.爱因斯坦在其广义相对论中广泛地利用了张量。 标量可以看作是0阶张量，矢量可以看作1阶张量。 张量中有许多特殊的形式， 比如对称张量、反对称张量等等。

1： 张量（tensor)是几何与代数中的基本概念之一。 从代数角度讲， 它是向量的推广。我们知道， 向量可以看成一维的“表格”（即分量按照顺序排成一排）， 矩阵是二维的“表格”（分量按照纵横位置排列）， 那么n阶张量就是所谓的n维的“表格”。 张量的严格定义是利用线性映射来描述的。 从几何角度讲， 它是一个真正的几何量，也就是说，它是一个不随参照系的坐标变换而变化的东西。向量也具有这种特性。 有时候，人们直接在一个坐标系下，由若干个数（称为分量）来表示张量，而在不同坐标系下的分量之间应满足一定的变换规则（参见协变规律，反变规律），如矩阵、多变量线性形式等都满足这些规律。一些物理量如弹性体的应力、应变以及运动物体的能量动量等都需用张量来表示。在微分几何的发展中，C.F.高斯、B.黎曼、E.B.克里斯托费尔等人在19世纪就导入了张量的概念，随后由G.里奇及其学生T.列维齐维塔发展成张量分析，A.爱因斯坦在其广义相对论中广泛地利用了张量。 标量可以看作是0阶张量，矢量可以看作一阶张量。 张量中有许多特殊的形式， 比如对称张量、反对称张量等等。

张量与矩阵的区别如下：　　1、张量可以用3×3矩阵形式来表达。　　2、张量是一种物理量，相对于标量，矢量而言的。　　3、矩阵是一个线性代数、矩阵论里的数学工具，它可以应用在很多地方：　　空间的旋转变换，量子力学中表象的变换等等。　　其实表示标量的数和表示矢量的三维数组也可分别看作1×1，1×3的矩阵。

张量：一个物理量如果必须用n阶方阵描述，且满足某几种特定的运算规则（也就是说，这方阵通过这几种运算后得到的结果是规则指出的），则这个方阵描述的物理量称为张量。 举例：矢量就是一个2阶张量，它可以用2阶方阵描述，且满足特定的运算规则（2阶情况下简化为平行四边形定则）。 此外如函数和其梯度（场）、向量场、外微分形势、黎曼度量等都是张量注释：1、张量在物理上用的多，但是是一个数学的概念，是微分几何研究的一个方向2、概念的核心：张量的分量在坐标变换下满足适当的变换律

分类: 教育/科学 >> 科学技术 解析: 楼主没错。 简单的说：张量概念是矢量概念和矩阵概念的推广，标量是零阶张量，矢量是一阶张量，矩阵（方阵）是二阶张量，而三阶张量则好比立体矩阵，更高阶的张量用图形无法表达。 度量张量 *** ，自由的百科全书(重定向自量度张量) 黎曼几何的度量张量（在物理学上称度规张量）是二阶对称非退化张量用来衡量度量空间中的距离及角度。 zh. *** /wiki/%E9%87%8F%E5%BA%A6%E5%BC%B5%E9%87%8F

torch.Size([int ...]) 1.一维张量，类似一维数组，一般用在Bais，或者神经网络线性层的输入Linear Input。例如MINST数据集的一张图片用shape=[784]的Tensor来表示。 x = torch.rand(4) print(x) tensor([ 0.2509,  0.2332, -1.3147,  1.1232]) 一行N列的二维张量可以简化成一个长度为N的一维向量。 2.二维张量，一般用在带有batch的Linear Input。例如MINST数据集的k张图片如果放在一个Tensor里，那么shape=[k, 784] x = torch.rand(5, 3)  #5行3列的二维矩阵 print(x) tensor([[0.5738, 0.3221, 0.8697],         [0.6489, 0.0809, 0.8016],         [0.0588, 0.9684, 0.7397],         [0.2906, 0.7789, 0.5791],         [0.1475, 0.6734, 0.4977]]) 3.三维张量，适合用于RNN和NLP。如20句话，每句话10个单词，每个单词用100个分量的向量表示，得到的Tensor就是shape=[20, 10, 100] x = torch.rand(5, 3, 2) #表示5行3列，深度为2的张量 print(x) tensor([[[0.6442, 0.5485],  [0.8076, 0.5330], [0.9524, 0.8996]],         [[0.9026, 0.7192], [0.5826, 0.0630],[0.9178, 0.2762]],         [[0.2143, 0.6991], [0.2581, 0.6259], [0.2327, 0.8926]],         [[0.9574, 0.1782], [0.4373, 0.2612],[0.3508, 0.2820]],         [[0.5456, 0.3297], [0.1086, 0.1158], [0.8185, 0.8969]]]) 4.四维张量，适合用于CNN表示图像。例如100张MNIST数据集的灰度图(通道数为1，如果是RGB图像通道数就是3)，每张图高28像素，宽28像素，那么这个Tensor的shape=[100, 1, 28, 28]，也就是一个batch的数据维度：[batch_size, channel, height, width]。 x = torch.rand(2, 3, 4, 2) print(x) tensor([ #第一个3行4列，深度为2的三维张量         [[[0.2286, 0.0696], [0.2286, 0.0705], [0.0401, 0.6481], [0.9782, 0.7931]],         [[0.8174, 0.4676], [0.2210, 0.4821], [0.2962, 0.5062], [0.4067, 0.1103]],         [[0.0501, 0.7163], [0.6444, 0.8814], [0.5520, 0.9893], [0.8552, 0.4701]]], #第二个3行4列，深度为2的三维张量         [[[0.8238, 0.7530], [0.1924, 0.9586], [0.0603, 0.8333], [0.1207, 0.3910]],         [[0.9232, 0.6045], [0.8133, 0.3055], [0.0483, 0.3335], [0.5051, 0.9514]],         [[0.1860, 0.6668], [0.3185, 0.7457], [0.3295, 0.0257], [0.9303, 0.9400]]]]) 当torch.Size()的参数个数>=3个时，可以用3维空间来理解 5.五维张量 x = torch.rand(5, 2, 3, 4, 2) 表示x有5个四维张量，每个四维张量又可以表示为2个 3行4列深度为2的张量。

张量可以用3×3矩阵形式来表达。 张量是一种物理量，相对于标量，矢量而言的。 矩阵是一个线性代数、矩阵论里的数学工具，它可以应用在很多地方：空间的旋转变换，量子力学中表象的变换等等。 其实表示标量的数和表示矢量的三维数组也可分别看作1×1，1×3的矩阵。

张量的上指标置换后相等：加减法两个或多个同阶同型张量之和（差）仍是与它们同阶同型的张量。张量这一术语起源于力学，它最初是用来表示弹性介质中各点应力状态的，后来张量理论发展成为力学和物理学的一个有力的数学工具。张量之所以重要，在于它可以满足一切物理定律必须与坐标系的选择无关的特性。

张量（tensor）理论是数学的一个分支学科，在力学中有重要套用。张量这一术语起源于力学，它最初是用来表示弹性介质中各点应力状态的，后来张量理论发展成为力学和物理学的一个有力的数学工具。张量之所以重要，在于它可以满足一切物理定律必须与坐标系的选择无关的特性。张量概念是矢量概念的推广，矢量是一阶张量。张量是一个可用来表示在一些矢量、标量和其他张量之间的线性关系的多线性函式。 基本介绍 中文名 ：张量 外文名 ：Tensor 提出者 ：威廉·罗恩·哈密顿 提出时间 ：1846年 套用学科 ：力学，数学 适用领域范围 ：连续介质力学 物理名称,背景知识,规定,定义,基本运算,特殊张量,协变导数与算符,例子,张量密度,张量相关, 物理名称 张量 （Tensor）是一个定义在一些向量空间和一些对偶空间的笛卡儿积上的多重线性映射，其坐标是| n |维空间内，有| n |个分量的一种量， 其中每个分量都是坐标的函式， 而在坐标变换时，这些分量也依照某些规则作线性变换。r 称为该张量的秩或阶（与矩阵的秩和阶均无关系）。 在同构的意义下，第零阶张量 （r = 0） 为标量 （Scalar），第一阶张量 （r = 1） 为向量 （Vector）， 第二阶张量 （r = 2） 则成为矩阵 （Matrix）。例如，对于3维空间，r=1时的张量为此向量：（x,y,z）。由于变换方式的不同，张量分成协变张量 （Covariant Tensor，指标在下者）、逆变张量 （Contravariant Tensor，指标在上者）、 混合张量 （指标在上和指标在下两者都有） 三类。 在数学里，张量是一种几何实体，或者说广义上的“数量”。张量概念包括标量、向量和线性运算元。张量可以用坐标系统来表达，记作标量的数组，但它是定义为“不依赖于参照系的选择的”。张量在物理和工程学中很重要。例如在扩散张量成像中，表达器官对于水的在各个方向的微分透性的张量可以用来产生大脑的扫描图。可能最重要的工程上的例子就是应力张量和应变张量了，它们都是二阶张量，对于一般线性材料他们之间的关系由一个四阶弹性张量来决定。 虽然张量可以用分量的多维数组来表示，张量理论存在的意义在于进一步说明把一个数量称为张量的涵义，而不仅仅是说它需要一定数量的有指标索引的分量。特别是，在坐标转换时，张量的分量值遵守一定的变换法则。张量的抽象理论是线性代数分支，现在叫做多重线性代数。 背景知识 “张量”一词最初由威廉·罗恩·哈密顿在1846年引入，但他把这个词用于指代现在称为模的对象。该词的现代意义是沃尔德马尔·福格特在1899年开始使用的。 这个概念由格雷戈里奥·里奇-库尔巴斯特罗在1890年在《绝对微分几何》的标题下发展出来，随着1900年列维-奇维塔的经典文章《绝对微分》（义大利文，随后出版了其他译本）的出版而为许多数学家所知。随着1915年左右爱因斯坦的广义相对论的引入，张量微积分获得了更广泛的承认。广义相对论完全由张量语言表述，爱因斯坦从列维-奇维塔本人那里学了很多张量语言（其实是Marcel Grossman,他是爱因斯坦在苏黎世联邦理工学院的同学，一个几何学家，也是爱因斯坦在张量语言方面的良师益友 - 参看Abraham Pais所著《上帝是微妙的（Subtle is the Lord）》），并学得很艰苦。但张量也用于其它领域，例如连续力学，譬如应变张量（参看线性弹性）。 注意“张量”一词经常用作张量场的简写，而张量场是对流形的每一点给定一个张量值。要更好的理解张量场，必须首先理解张量的基本思想。 规定 1.求和约定 指在给定的项中凡有一上和一下两个相同的指标就表示对该指标从1到空间维数 N 求和。例如，在三维空间中， 2.张量指标 包括哑指标和自由指标。哑指标是指各项中一上和一下成对的相同指标。例如，上式中的指标 i 就是哑指标。自由指标是指在方程的所有项中只出现一次的指标。 定义 有两种定义张量的方法： 1. 按变换规律定义 若一坐标系 中 个量 与另一坐标系 中 个量 间满足交换规律 则 称为 r 阶逆变和 s 阶协变混合张量的分量。若 s =0，则 称为 r 阶逆变张量的分量。若 r =0，则 称为 s 阶协变张量的分量。上述这种张量记法称为分量记法。 2.按不变性定义 凡可以在任何坐标系中写成下列不变性形式的量定义为 r + s 阶张量： 式中 和 分别为坐标系 和 中的协（逆）变基矢量。上述这种张量记法称为不变性记法或并矢记法。 基本运算 1． 加减法 两个或多个同阶同型张量之和（差）仍是与它们同阶同型的张量。 2． 并积 两个张量的并积是一个阶数等于原来两个张量阶数之和的新张量。 3． 缩并 使张量的一个上标和一个下标相同的运算，其结果是一个比原来张量低二阶的新张量。 4． 点积 两个张量之间并积和缩并的联合运算。例如，在极分解定理中，三个二阶张量 R 、 U 和 V 中一次点积 R · U 和 V · R 的结果是二阶张量 F 。 5． 对称化和反称化 对已给张量的 n 个指标进行 n 1不同置换并取所得的 n 1个新张量的算术平均值的运算称为对称化。把指标经过奇次置换的新张量取反符号后再求算术平均值的运算称为反称化。 6． 加法分解 任意二阶张量可以唯一地分解为对称部分和反称部分之和。例如，速度梯度 可以分解为 ，其中 和 分别为 的对称和反称部分，即 和 。 1． 商法则 肯定某些量的张量性的法则。 特殊张量 特殊张量主要有四种： ①度量张量 两个基矢量点积的结果。 和 分别称为协变和逆变度量张量，而混合度量张量 ，这里 （或写为 ）为克罗内克符号，它定义为： ②交错张量或爱丁顿张量 可定义为 ，这里 表示元素 为行列式，而置换符号 表示 （ 是(1,2,3)的偶次置换），-1（ 是(1,2,3)的奇次置换），0（其余情形） ③转置张量 对任意二阶张量 的分量指标置换的结果，记为 。 ④正交张量 保持映象长度不变的二阶张量。 克里斯机费尔符号 第一类和第二类克里斯托费尔符号分别定义为： 和 。 协变导数与算符 1.协变导数 协变矢量 和逆变矢量 关于 的协变导数分别定义为： 和 。上列结果可以推广到高阶张量的协变导数。 2.不变性微分算符 推广矢量分析概念，对于任意张量场 T 有四种不变性微分算符，即梯度▽ T ，散度▽· T ，旋度▽× T 和拉普拉斯算符▽ 2 T 。 在直角坐标系下，协变和逆变间的差别消失，故可规定所有指标均写成下标，另外，由于克里斯托费尔符号为零，所以协变导数变成为普通偏导数。 例子 张量可以表述为一个值的序列，用一个向量值的定义域和一个标量值的值域的函式表示。这些定义域中的向量是自然数的向量，而这些数字称为指标。例如，3阶张量可以有尺寸2、5和7。这里，指标的范围是从<1,1,1,>到<2,5,7>。张量可以在指标为<1,1,1>有一个值，在指标为<1,1,2>有另一个值，等等一共70个值。（类似的，向量可以表示为一个值的序列，用一个标量值的定义域和一个标量值的值域的函式表示，定义域中的数字是自然数，称为指标，不同的指标的个数有时称为向量的维度。） 一个张量场是在欧几里得空间中的每一点都给定一个张量值。这样不是像上面的例子中简单的有70个值，对于一个3阶张量，维度为<2,5,7>，空间中的每一个点有70个值和它相关。换句话说，张量场表示某个张量值的函式，其定义域为欧几里得空间。不是所有的函式都行 -- 更多关于这些要求的细节参看张量场。 不是所有自然中的关系都是线性的，但是很多是可微的因而可以局部的用多线性映射来局部的逼近。这样多数物理学中的量都可以用张量表示。 作为一个简单的例子，考虑水中的船。我们要描述它对受力的反应。力是一个向量，而船的反应是一个加速度，它也是一个向量。通常加速度不是和受力的方向相同，因为船体的特定形状。但是，这个力和加速之间的关系实际上是线性的。这样一个关系可以用一个（1,1）类型（也就是说，它把一个向量变成另一个向量）的张量表示。这个张量可以用矩阵表示，当它乘以一个向量时就得到另一个作为结果。坐标系改变的时候，表示一个向量的数字会改变，同样，表示这个张量的矩阵中的数字也会改变。 工程上，刚体或流体内的应力也用一个张量表示；"张量"一词的拉丁语就表示引起张力的某种拉伸。如果材料内的一个特定的表面元素被选出来，在表面一侧的材料会对另一侧的施加一个力。通常，该力不和表面正交，但是它将线性的依赖于表面的朝向。这可以精确用（2,0）类型的张量精确的描述，或者更精确地说，是用一个类型为（2,0）的张量 场 来表示，因为张量可能在每一个不同。 另外一些著名的几何中张量的例子有二次型，以及曲率张量。物理张量的例子有能动张量，惯量和极化张量。 几何和物理的量可以通过考虑它们的表述内在的自由度来分类。标量是那些可以用一个数表示的 --- 速率,质量,温度,等等。有一些向量类型的量，例如力，它需要一个数字的列表来表述。最后，象二次型这样的量需要用多维数组来表示。后面这些量只能视为张量。 实际上，张量的概念相当广泛，可以用于上面所有的例子；标量和向量是张量的特殊情况。区别标量和向量以及区别这两者和更一般的张量的特征是表示它们的数组的指标的个数。这个数称为张量的 阶 。这样，标量是0阶张量（不需要任何指标），而向量是一阶张量。 张量的另外一个例子是广义相对论中的黎曼曲率张量，它是维度为<4,4,4,4>（3个空间维度 + 时间维度 = 4个维度）的4阶张量。它可以当作256个分量（256 = 4 × 4 × 4 × 4）的矩阵（或者向量，其实是个4维数组）。只有20个分量是互相独立的，这个事实可以大大简化它的实际表达。 张量密度 张量场也可有一个“密度”。密度为 r 的张量和普通张量一样坐标变换，但是它还要乘以雅可比矩阵的行列式值的第 r 次幂。这个的最佳解释可能是使用向量丛：其中，切丛的行列式丛是一个线丛，可以用来"扭转"其它丛 r 次。 张量相关 1.张量的理论来源。 亚瑟·凯莱( Arthur Cayley)着力研究的不变数理论( invariant theory)导致了矩阵理论的建立，引进了现代意义上的行列式的代数表达,这成为射影几何的重要工具。凯莱的不变数理论产生于19世纪前半叶的英国着重对代数及代数在几何方面的套用研究这样的背景下。矩阵理论对线性变换的研究引进了向量的代数定义，而这是张量概念的先导。 另一方面,格奥尔格·弗雷德里希·波恩哈德·黎曼( Georg Friedrich Bernhard Riemann)提出的n维流形的概念，这在客观上提出了深入研究代数形式的课题。黎曼的几何思想在拓展几何学的同时,提高了代数在表达几何对象方面的抽象程度。黎曼之后，在克里斯托弗、里奇和列维-契维塔等人的努力下,形成了张量分析这样的数学方法，黎曼几何学也因此而建立起来了。 2.张量的定义、性质与套用价值 从代数角度讲， 它是向量的推广。我们知道，向量可以看成一维的“表格”（即分量按照顺序排成一排），矩阵是二维的“表格”（分量按照纵横位置排列）， 那么n阶张量就是所谓的n维的“表格”。张量的严格定义是利用线性映射来描述的。与矢量相类似，定义由若干坐标系改变时满足一定坐标转化关系的有序数组成的集合为张量。 从几何角度讲， 它是一个真正的几何量，也就是说，它是一个不随参照系的坐标变换而变化的东西。向量也具有这种特性。 标量可以看作是0阶张量，矢量可以看作1阶张量。张量中有许多特殊的形式， 比如对称张量、反对称张量等等。 有时候，人们直接在一个坐标系下，由若干个数（称为分量）来表示张量，而在不同坐标系下的分量之间应满足一定的变换规则（参见协变规律，反变规律），如矩阵、多变数线性形式等都满足这些规律。一些物理量如弹性体的应力、应变以及运动物体的能量、动量等都需用张量来表示。在微分几何的发展中，C.F.高斯、B.黎曼、E.B.克里斯托费尔等人在19世纪就导入了张量的概念，随后由G.里奇及其学生T.列维齐维塔发展成张量分析，A.爱因斯坦在其广义相对论中广泛地利用了张量。 黎曼几何作为非欧几何的一种,它与罗巴切夫斯基几何相比，有着实质性的不同。罗氏几何主要工作是建立了一整套区别于欧几里得的《几何原本》的逻辑体系； 而黎曼几何的核心问题是以微分几何为基础,建立曲线坐标系中的微分方法。罗氏几何是第一个被提出的非欧几何学，它的基本观点是： 第一,第五公设不能被证明; 第二，可以在新的公理体系中展开一连串推理,得到一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，形成新的理论。罗氏几何学的公理系统区别于欧式几何学之处,仅仅是把欧式几何平行公理改为: 从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行。黎曼几何与罗氏几何的平行公理相反： 过直线外一点,不能做直线和已知直线平行。也就是说，黎曼几何规定: 在同一平面内任何两条直线都有公共点,黎曼几何学不承认存在平行线。很自然就有另一条公设： 直线可以延长至任意长度，但长度是有限的,这可以类比为一个球面。黎曼几何是通过微分几何的途径建立起来的，因此与罗氏几何根本不同。 黎曼几何学的公理体系引进了一种弯曲的几何空间(它可以通过拉梅引进的曲线坐标系描述),黎曼在构想这种几何学的时候，就想设法建立起相应的代数结构。这个目标黎曼本人没有实现,但沿着他开辟的道路，克里斯托夫和里奇完成了新几何学的构建。换句话说,张量分析构成了黎曼几何学的核心内容。这表现在若干方面: 1.黎曼空间中的曲率是一个张量，其有关运算需采用绝对微分法； 2. 黎曼空间的度量以度量张量表达; 3. 黎曼空间的平行定义为标积保持不变(即与曲线的夹角保持不变),依赖克里斯托夫符号； 4. 黎曼空间的直线(短程线)方程的建立依赖协变微分。正因为有了张量分析这个工具，黎曼几何才获得了类似于微积分一样的计算功能,从而摆脱了停留在逻辑构造层面上的束缚，从根本上与微分几何实现了传承,并实现了微分几何从直线坐标系到曲线坐标系的进步，使得几何学与代数学更紧密地联系起来。 要而言之,张量分析的产生一方面是向量分析的推广，另一方面是微分几何的发展推动。张量分析与黎曼几何在相互交织中发展,互相促进。

一般来说,我们用三个自由度来表示我们常用的空间,所以每一阶张量可以表示为3^r,r为张量阶数.但是对于一任意维的空间来说底数3是随空间的自由度改变的,所以可以存在2X2或者4X4的二阶张量. 平面只有两个自由度,所以无法直观的表现2阶以上的张量,你可以将3阶张量想象为多个矩阵的组合,每个矩阵代表第三阶的一个自由度.

即静水压力，三向等拉（压），与塑性屈服无关

当我们为两个空间分别选定一组基（当考虑自同态的时候，也可以只选一组基），就可以把线性映射（resp. 线性变换）表示为一个矩阵，且同样基下的矩阵的加、数乘与线性映射的加、数乘一致，恰当选择的基下的矩阵的乘与线性映射的复合一致。实际上上面两者是可以联系起来的，回想对偶空间的定义与性质，对于有限维线性空间 V，对偶空间 V* 和 V 同构。而一个 F^n*F^n → F 映射自然地可以看作 F^n → (F^n → F) 映射（通过 Currying）。从定义的 [2] 知道 T(u, ·) 是线性函数（· 是自变量，对任意 u in F^n），也就是说 T(u, ·) 是 (F^n)* 中的元素。又从定义的 [1] 知道 x |→ T(x, ·) 是线性空间同态。于是选定了 F^n 和 (F^n)* 的一组基后，x |→ T(x, ·) 自然可以用矩阵表示，又因为 (F^n)* 和 F^n 同构，因此是方阵。

张量：一个物理量如果必须用n阶方阵描述，且满足某几种特定的运算规则（也就是说，这方阵通过这几种运算后得到的结果是规则指出的），则这个方阵描述的物理量称为张量。举例：矢量就是一个2阶张量，它可以用2阶方阵描述，且满足特定的运算规则（2阶情况下简化为平行四边形定则）。介绍书籍：连续介质力学导论，冯元祯。与其说这是本力学书，不如说是本数理书。推荐阅读乃至，珍藏！

张量是近代力学研究必需的一种工具 提起张量运算,你可能会很自然的想到一连串的“指标运算”他在einstein的约定下，神秘的把冗长的公式变得简洁和紧凑，并突出了现象的几何和物理特点。如果不用张量，我们处理问题时总会引进坐标系，众所周知，同一物理法测在不同坐标系下，有明显不同的形式。一个坐标系就相当于一种“面纱”，使我们看不到事物的本质，而张量分析的目的在于寻求一摆脱具体坐标系影响的描述几何核物理规律的手段及运算法则。 p.s.好累终于打完了参考资料：《张量》 郭仲衡

张量（tensor）理论是数学的一个分支学科，是一个可用来表示在一些矢量、标量和其他张量之间的线性关系的多线性函数，在力学中有重要应用。张量这一术语起源于力学，它最初是用来表示弹性介质中各点应力状态的，后来张量理论发展成为力学和物理学的一个有力的数学工具。张量之所以重要，在于它可以满足一切物理定律必须与坐标系的选择无关的特性。张量概念是矢量概念的推广，矢量是一阶张量。张量（Tensor）是一个定义在一些向量空间和一些对偶空间的笛卡儿积上的多重线性映射，其坐标是|n|维空间内，有|n|个分量的一种量， 其中每个分量都是坐标的函数， 而在坐标变换时，这些分量也依照某些规则作线性变换。r 称为该张量的秩或阶（与矩阵的秩和阶均无关系）。在同构的意义下，第零阶张量 （r = 0） 为标量 （Scalar），第一阶张量 （r = 1） 为向量 （Vector）， 第二阶张量 （r = 2） 则成为矩阵 （Matrix）。例如，对于3维空间，r=1时的张量为此向量：（x,y,z）。由于变换方式的不同，张量分成协变张量 （Covariant Tensor，指标在下者）、逆变张量 （Contravariant Tensor，指标在上者）、 混合张量 （指标在上和指标在下两者都有） 三类。扩展资料基本运算1、加减法两个或多个同阶同型张量之和（差）仍是与它们同阶同型的张量。2、并积两个张量的并积是一个阶数等于原来两个张量阶数之和的新张量。3、缩并使张量的一个上标和一个下标相同的运算，其结果是一个比原来张量低二阶的新张量。4、点积两个张量之间并积和缩并的联合运算。例如，在极分解定理中，三个二阶张量R、U和V中一次点积R·U和V·R的结果是二阶张量F。5、对称化和反称化对已给张量的n个指标进行n1不同置换并取所得的n1个新张量的算术平均值的运算称为对称化。把指标经过奇次置换的新张量取反符号后再求算术平均值的运算称为反称化。参考资料：百度百科——张量