复数平面

z=(3+4i)(1+i)/(1+1)=(3+3i+4i-4)/2=-1/2+7/2i所以在第二象限

方程|z|^2+3|z|-4=0<==>(|z|-1)(|z|+4)=0,<==>|z|=1,在复平面上它表示单位圆。

建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴除去原点的部分叫做虚轴，原点表示实数0，原点不在虚轴上。复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应，反过来，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，所以复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的．

复数在复平面的对应点是（-1，1）。数学中，复平面是用水平的实轴与垂直的虚轴建立起来的复数的几何表示。视为一个具有特定代数结构实平面，一个复数的实部用沿着 x-轴的位移表示，虚部用沿着 y-轴的位移表示。在加法下，乘积的长度或模长是两个绝对值或模长的乘积。乘积的角度或辐角是两个角度或辐角的和。在复平面上，复数所对应的向量与x轴正方向的夹角称为复数的辐角，显然一个复数的辐角有无穷多个，但是在区间（-π，π]内的只有一个，而且由于一个复数可以由有序实数对唯一确定，而有序实数对与平面直角坐标系中的点一一对应。因此可以用坐标为的点来表示该复数。而当虚部不为零时，共轭复数就是实部相等，虚部相反,如果虚部为零，其共轭复数就是自身，复数z的共轭复数记作z有时也可表示为Z*。设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数。两者和的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。两个复数的和依然是复数。即 (a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)。

利用欧拉（Euler）公式e^iθ=cosθ+isinθ，可以得到z=re^iθ，称为复数的指数表达式。

设z=x+yi,x,y属于R,|z|+Rez＜=1变为√(x^2+y^2)+x<=1,所以√(x^2+y^2)<=1-x,平方得x^2+y^2<=1-2x+x^2,所以y^2<=-2(x-1/2),表示抛物线y^2=-2(x-1/2)的含焦点的区域(包括边界).

此题可以参照《数学物理方法》大连理工大学出版的或者是梁昆淼的教材第一章课后题。将z=x+iy带入(z-i)/(z+i)中，然后上下同时乘x-i（y+1）；x＝0时，y不等于0，求出实部与虚部，然后虚部÷实部＞0，且小于1，进行求解即可

易知直线段的方程为：y=-x+1，（0<=y<=1）令y=t，（0<=t<=1），则x=1-t，代入z=x+iy，得：z=1-t+it

易知直线段的方程为：y=-x+1,（0

表示z到1的距离小于等于到-1的距离，而到-1与1距离相等的点集为直线Re z=0,所以该不等式表示右半平面包括直线 Re z=0

首先，根据题意可以得到三角形的三个顶点A、B、C所对应的复数分别为a、b、c。其次，由于三角形面积的公式为S=1/2*|AB||AC|*sin∠BAC，我们需要求出三角形任意一个角的正弦值。再次，根据题目中已知的条件，我们可以列出以下方程组：（c-a）²+（c-a）（b-a）+（b+a）²=0 |b-2a+c|=3从第一个方程中可以解得：|b+c-2a|^2 = (|c-a|^2 + |b-a|^2 + |b+c|^2)/2其中，|z|表示复数z的模。将第二个方程代入上式得到：|4a-2b-2c|^2 = (|c-a|^2 + |b-a|^2 + |b+c|^2)/2 = 2^2 = 4即：|2a-b-c|^2 = 1因此，可以得到：sin∠BAC = |2a-b-c|/2 = 1/2最后，代入三角形面积公式中，得到三角形ABC的面积为：S = 1/2*|AB||AC|*sin∠BAC= 1/2*|b-a||c-a|*(1/2)= 1/4*|b-a||c-a|= 1/4*|b-a||c-a||b-c|/|b-c|= 1/4*|sin∠BAC||sin∠ABC||sin∠ACB|*|b-c|^2= 3/8综上，三角形ABC的面积为3/8。

提供一个别的解答

说明Z到复数a和复数b的距离一样，所以z在复数平面上的意义那就是由a点和b点组成线段的垂直平分线的轨迹。

从复数的定义可以知道，任何一个复数z=a+bi,都可以由一个有顺序的实数对（a,b）惟一确定。因此我们可以用平面直角坐标系来表示复数z=a+bi.在复数平面中，直角坐标系中的每一个点表示一个复数。点z的横坐标表示复数z的实部，纵坐标表示复数的虚部。复数平面的直角坐标系叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。原点在实轴上。

建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴除去原点的部分叫做虚轴，原点表示实数0，原点不在虚轴上。复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应，反过来，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，所以复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的。拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换，又名拉氏变换。拉氏变换是一个线性变换，可将一个有引数实数t（t≥ 0）的函数转换为一个引数为复数s的函数。将系统中独立变量是复频率s的范围，称为s域，也称复频域。扩展资料：复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在黎曼曲面上就变成单值函数。黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。现时，关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。参考资料来源：百度百科-复变函数

17世纪时，英国数学家瓦里士已经意识到在直线上不能找到虚数的几何表示。1797年，挪威的测量学家维塞尔向丹麦科学院递交论文《方向的解析表示，特别应用于平面与球面多边形的测定》，首先提出把复数用坐标平面上的点来表示，使全体复数与平面上的点建立了一一对应关系，形成了复平面概念。但当时没有受到人们的重视。1806年，日内瓦的阿工在巴黎发表的论文《虚量，它的几何解释》，也谈到了复数的几何表示法。他用“模”这个名词来表示向量的长度，模这术语就源出于此。伟大的德国数学家高斯是近代数学的奠基人之一，在历史上影响之大，可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列。他在1799年已经知道复数的几何表示，在1799年、1815年、1816年对代数基本定理作出的三个证明中，都假定了复数和直角坐标平面上的点一一对应，但直到1831年他才对复平面作出详细的说明。他说：“迄至目前为止，人们对于虚数的考虑，依然在很大的程度上把虚数归结为一个有毛病的概念，以致给虚数蒙上一层朦胧而神奇色彩。我认为只要不把+1、-1、i叫做正一、负一和虚一，而称之曰向前一，反向一和侧向一，那么这层朦胧而神奇的色彩即可消失。”此后，人们才接受了复平面的思想，有些人还把复平面称为高斯平面。　　　利用复数的几何表示法，复数又可以用坐标平面上的向量来表示，两个复数相加可以按照向量加法的平行四边形法则来进行，一个复数乘以i（或-i）相当于表示此复数的向量逆（或顺）时针旋转90。这就使得物理上的许多向量：力、速度、加速度等等，都可以借助于复数来进行计算，使复数成为物理学和其他自然科学的重要工具。

复平面的横轴上的点对应所有实数，故称实轴，纵轴上的点（原点除外）对应所有纯虚数，故称虚轴.　在复平面上，复数还与从原点指向点z=x+iy的平面向量一一对应，因此复数z也能用向量Z来表示（如右图）。向量的长度称为Z的模或绝对值，记作　|z|=r=√（x^2+y^2）　。　　　除未塞尔（1745-1817），阿工（1768-1822）的工作外，科兹（1707-1783）棣美弗（1667-1754），欧拉（1707-1783），范德蒙（1735-1796），也曾认识到平面上的点可与复数一一对应，这一点从他们把二项方程的根看作一个正多边形的顶点一事获得证实.但是，在这方面高斯的贡献是十分重要的，他的著名代数学基本定理是在假设坐标平面上的点与复数可以一一对应的前提下推出的.　　　1831年，高斯在《哥庭根学报》上详细说明了复数a+bi表示成平面上的一个点（a,b).从而明确了复平面的概念，他又将表示平面点的直角坐标与极坐标加以综合，统一于表示同一复数的二种表示形式——复数的代数形式及三角形式之中.高斯还给出了「复数」这个名称，由于高斯的卓越贡献，后人常称复数平面为高斯平面.