四元数

数学为很多自然科学提供了工具四元数在物理中的应用：简单的说四元数应该应用在电磁物理学中，下文有讲(1) 广义相对论是一副绝世名画,当很多人欣赏这个画的时候,有的人看不太懂。以为这个是凡高的画，你横直看不懂的时候，除了赞美之外只能保持缄默不语。而当代还活着的广义相对论画家中，彭罗斯却一意孤行，有了很高的见地。从他的旋量手法出发，他几乎一个人做出了扭量（twistor），这是一个曲高和寡的计划。在扭量计划中，一直以来物理学家习惯的时空点不再是最基本的。也就是说，时空点不是最基本的。这确实是疯狂了，凡高因为他的疯狂割掉了自己的耳朵，最后还饮弹自戕。这是一种艺术的疯狂，而彭罗斯浑身充满了科学的理性的色彩，他生活在优美的世界里，有美丽的妻子，安静的日子。 会画画的人多数知道射影几何。当一个画家站在野外写生的时候，画板竖立在面前，画家看到一对平行的铁路线，当在画在纸上的时候，所有跟铁路一起平行的线应该是交于一个点的。这背后的数学就是射影几何。 如果时空点不是最基本的，那么什么是最基本的呢？彭罗斯的答案是光线。 这个答案确实让人感觉深刻地懵懂。但光线是世界上最重要的因素。在前面我们已经看到，上帝说要有光，于是就有了光。同时，人类是有眼睛的生物，眼睛是最伟大的生物器官之一。上帝对多数人足够仁慈，他不曾考验多数男人，出过二难绝境：如果让你失去眼睛，或者失去男根，二选一，你将做何选择？ 人的眼睛是很重要的，这是审美的工具，也是这个世界有意义的大部分理由。一条光线从远处跑来，它一路经过了很多时空点，但在视网膜上仅仅是同一点。 在扭量计划中，通俗地讲，视网膜相当于扭量空间。所以，眼睛是心灵的窗户，这句话背后完全有数学的基础。人类通过讲废话达到相互确认，但心灵上总是感觉空虚，这原因在于，多数废话背后没有数学的基础。 什么是一个扭量呢？？（这个问题的答案很长，读者请漫漫往下读，读到最后就明白了。） 最简单的说，一个时空点R，需要（t，x，y，z）四个实数来刻画。而这个点的四个实数相对于一个原点,构成了一个四维矢量。这个四矢量背后，有一个美丽的故事。 对于三维矢量，人们可以谈论叉乘。也就是矢量乘法，但这不是一件平庸的事情。也仅仅在三维中，一个矢量和另外一个矢量的叉乘，得到的还是一个三维矢量。 （2）威廉.哈密顿,历史上最伟大的数学家之一。 1805年8月3日出生于爱尔兰的都柏林，1865年9月2日卒于都柏林附近的敦辛克天文台。哈密顿是一位罕见的语言奇才。14岁时就学会了12种欧洲语言。13岁就开始钻研牛顿和拉普拉斯等人的经典著作。17岁时掌握了微积分，并在光学中有所发现。22岁时大学还未毕业就被聘任为他就读的都柏林三一学院的教授，同时获得“爱尔兰皇家天文学家”的称号。哈密顿在物理学和数学领域里都有杰出的成就，他是一位勤奋工作而酷爱真理的人。他和妻子在一起散步的桥头，已经有一个纪念碑。 四元数是由哈密尔顿在 1843年爱尔兰发现的。爱尔兰有一个很多人熟悉的英雄，威廉.华莱士。在电影《勇敢的心》中，有一柄长剑，叮地插在大地之上，长剑在风中微颤，你仿佛听见爱尔兰的英雄在高呼：Freedom！！ 在通往数学的自由或者奴役的道路之上，哈密顿的四元数是一个丰碑。从物理学上讲，它就是pauli矩阵，有了pauli矩阵，就有了2分量旋量。所以天才总是相互感应，而有了pauli矩阵，才有了扭量，这亦是自然的事情。 当时他正研究扩展复数到更高的维次（复数可视为平面上的点）。他不能做到三维空间的例子，但四维则造出四元数。根据哈密尔顿记述，他是于10月16日跟他的妻子在都柏林的皇家运河散步,突然灵感扑面而来,他在桥上写下乘法表:i2＝j2＝k2＝-1，i·j＝k，k·i＝j，j·k＝i；j·i＝-k；i·k＝-j，k·j＝-i。这是一个普通的桥,它以前的名字叫布鲁穆桥（Brougham Bridge，现称为金雀花桥 Broom Bridge）。 哈密顿创造了把四元数描绘成一个有序的四重实数：一个标量（a）和向量（bi + cj + dk）的组合。 根据上述乘法表，四元数显然是复数的扩充，它将复数作为特殊形式包含在自身之中，它属于超复数。但这种数对乘法的交换律不再成立，哈密顿为此考虑了十几年，最后直觉地想到：必须牺牲交换律，于是第一个非交换律的代数诞生了，在以前的乘法中,乘法是交换的,比如从小学数学开始,没有人告诉你为什么1x2=2x1,但这背后其实埋藏无穷秘密。哈密顿的这个创造，把代数学从传统的实数算术的束缚中解放出来，人们开始认识到数学既可来自现实世界的直接抽象也可以来自人类的思维的自由创造，这种思想引起了代数学领域的一次质的飞跃，现代抽象代数的闸门被打开了。 我们知道，s0（n）群中，只有so（4）不是单李群。也只有在4维之上，霍奇算子能把曲率映为曲率。也只有在4维欧空间之上，唐纳森发现了无穷多微分结构。loop量子引力被人诟病，因为她不能回答为什么时空是4维的，但上帝用数学来回答。 在19世纪到20世纪，哈密顿之后，物理学家洛仑次写了厚厚的《电子论》，Lorentz的《The Theory of Electrons》总共三百多页，当时还没有发现电子。这是历史上一个伟大的事情，虽然洛仑次不是最出色的，但人们应该注意到，在洛仑次力公式 f=qE+vX B 出现了点乘与叉乘。 这个是一个经典电动力学里的假设,但可以相信,这个假设说明,在四元数中,结合方法必须既有点乘又有叉乘.这个假设是实验证实的,所以洛仑次是伟大的. 电磁理论与四元数的结合是自然的，天然的，同时是微妙的。因为电磁场在4维时空才是天然的。 我们知道一个3矢量与一个3矢量的叉乘，但不知道如何把这种叉乘推到高维。能不能做到呢？？ Grasmann（1809-1877)生于德国Stettin（今属波兰），曾经在柏林大学攻读神学，哥廷根大学没落之后,柏林大学似乎已经成为德国最出色的大学.格拉斯曼大学毕业后长期在家乡中学任教，业余从事科学研究，成为梵文权威和数学家。1844年他了发表《线性扩张论》。建立了所谓的“扩张的量”（即有n个分量的超复数）的概念和运算法则，其中包括了非交换乘法和n维空间的重要思想，形成了张量理论的初步思想。 grassmann代数又叫外代数，超对称代数就是由poincare代数与外代数组成的。 clifford代数当然是数学家讲旋量必须的出发点之一，数学家不讲这个而谈旋量显得有点脱离潮流。 一个很直接的看法是，n维矢量空间上的外代数和n维矢量空间（含内积）上面的clifford代数具有相同维数，全部是2的n次方维。这样的话，作为有限维的矢量空间，它们是同构的。但作为代数，它们不是一样的事情。clifford比外代数复杂一点，或者说，前者是后者的量子化或者畸变。 总的来说，外代数很重要，因为外微分很重要。clifford代数很重要，因为我们有复数，有四元数，我们希望推广到更加高的维数，但一般的代数，到了8元数就终结了，要找新的代数，只能去发现clifford代数了。因为它作用在旋量之上，所以在下面的章节可以漫漫谈来。 旋量由此产生，最早起源于嘉当。旋量与群论关系密切，但也可以说与clifford代数关系密切。比如物理学家比如咯兴林的《高等量子力学》把dirac矩阵乘起来的16个矩阵叫做dirac群，其实这就是一个clifford代数。 旋量具体来说就是N维度规空间上的正交群的表示。大家最熟悉的莫过于三维欧氏空间的转动群SO(3)的表示了，其最低维的双值表示便是二维的旋量表示，这个是转动群的通用覆盖群的SU(2)单值表示。把这个结果推广到一般维数的空间。其结果是：最低维旋量的表示维数是：2^{n/2-1} 当n是偶数的时候；2^{n/2-1/2} 当n是奇数的时候。 当维数为六时，SO(2,4) 的表示便是扭量。这是从抽象的代数语言来说扭量，扭量如何在时空点和光线空间实现对应呢？？对于的关键在于，我们把四矢量（t，x，y，z）用pauli 矩阵写出来，或者说，用四元数写出来。写出来后是一个矩阵。这个矩阵，记做N。那么，一个扭量（z1，z2，z3，z4）满足如下扭量方程。z1 N N Z3 z2 = N N Z4这个方程非常专业，跟爱因斯坦方程一样是一副名画。但不专业的读者们可以暂时忘却它，不能忘却的是，扭量理论中最重要的是光线，光线最重要。对于多数人来说，光线意味着光明。对相对论来说，光明意味着光线，也意味着扭量。

19世纪，爱尔兰著名数学家哈密顿提出了一个世界著名的问题：周游世界问题。1859年，哈密顿拿到一个正十二面体的模型。我们知道，正十二面体有12个面、20个顶点、30条棱，每个面都是相同的正五边形。他发明了一个数学游戏：假如把这20个顶点当作20个大城市，比如巴黎、纽约、伦敦、北京……把这30条棱当作连接这些大城市的道路。如果有一个人，他从某个大城市出发，每个大城市都走过，而且只走一次，最后返回原来出发的城市。问这种走法是否可以实现？这就是著名的“周游世界问题”。我们如果知道七座桥的传说，就会意识到这是一道拓扑学研究范围内的问题。解决这个问题，方法很重要。它需要一种很特殊的几何思路。这种题是不能拿正十二面体的点线去试的。设想，这个正十二面体如果是橡皮膜做成的，那么我们就可以把这个正十二面体压成一个平面图。假设哈密顿所提的方法可以实现的话，那么这20个顶点一定是一个封闭的20角形世界。依照这种思路，我们就进入了最初步的拓扑学领域。最后的答案是，哈密顿的想法可以实现。哈密顿是一位首先提出“四元数”的人。这个成果至今还镌刻在他天才火花闪现的地方。复数可以用来表示平面的向量，在物理上有极其广泛的应用。人们很自然地联想到：能否仿照复数集找到“三维复数”来进行空间量的表示呢？1828年开始，哈密顿开始悉心研究四元数。四元数属于线性代数的组成部分，是一种超复数。但在哈密顿以前，没有人提出四元数，哈密顿也是要解决空间量表示而研究的。研究了十多年，哈密顿没有丝毫进展，他是一个数学神童，少有难题，这次可真遇上麻烦了。到1843年，哈密顿研究了整整15年。有一天下午，夕阳无限，秋色爽丽，风景宜人。哈密顿的妻子见丈夫埋头研究问题，几乎不知寒暑不问春秋，于是很想让他外出放松一下，调节一下身体。她说：“亲爱的，外面的自然即使不比你的数学更有趣，但也不会逊色的，快出去看看吧，多么美丽的秋天呀!”哈密顿在妻子的劝说下，放下手头的问题，走出书房。夫妻二人散步，不知不觉来到护城河畔。秋风柔和而凉爽，河面波光粼粼。清新的空气带着成熟的果香和大自然土壤的芬芳使人精神振奋，思维清晰。他们陶醉在大自然中，这时暮色苍茫，晚景宜人。二人来到玻洛汉姆桥，对着清新的水气，望着万家灯火，哈密顿的头脑在若有若无之中思考，似乎远又似乎近，似乎清楚又似乎模糊的东西久久在脑海萦绕。招之不来，挥之不去。突然之间，这些印象似的感觉都变成了亮点，以往的迷雾全部消失弥散，思维的闪电划过头脑的天空。哈密顿眼前豁地亮了，那些澄明的要点一一显露。哈密顿迅速地拿出随身携带的笔记本，把这令人欣喜若狂的结果记录下来。15年来，整整15年，终于在这里找到了解法！借着这个时机，哈密顿大踏步地飞奔回家，一头扎进书房，废寝忘食。一连几天，几乎不动地方，全神贯注地书写并且不时地演算。在几寸厚的稿纸中，哈密顿整理出一篇划时代意义的论文。1843年11月，数学界被轰动了，哈密顿和爱尔兰科学院向世人宣布了“四元数”。哈密顿证明了，要想在实数基础上建立三维复数，使它具有实数和复数的各种运算性质，这是不可能的。1853年，哈密顿写成《四元数讲义》，于1857年发表。在他逝世后第二年，即1866年发表了《四元数原理》。哈密顿敏锐地感觉到四元数的物理学意义。只可惜，他没能目睹四元数的变革作用便离开了人间。伟大的麦克斯韦正是在哈密顿四元数理论基础上利用向量分析的工具走出迷茫，得出举世闻名的电磁理论的。四元数的研究，推动了向量代数的发展。在19世纪，数学家证明了超复数系统，人类思维达到了空前广阔的领域。直到现在，爱尔兰都柏林玻洛汉姆桥，哈密顿驻足之处，仍立着一块石碑，碑铭记载：“1843年10月16日，威廉·哈密顿经过此桥时，天才地闪现了四元数的乘法，它与实数、复数显著不同。”谁又知道，驻足缅怀的人中有几人能知科学探索的“灵感闪现”背后是数载的艰辛呢？

“四元数”的发现与证明19世纪，爱尔兰著名数学家哈密顿提出了一个世界著名的问题：周游世界问题。1859年，哈密顿拿到一个正十二面体的模型。我们知道，正十二面体有12个面、20个顶点、30条棱，每个面都是相同的正五边形。他发明了一个数学游戏：假如把这20个顶点当作20个大城市，比如巴黎、纽约、伦敦、北京……把这30条棱当作连接这些大城市的道路。如果有一个人，他从某个大城市出发，每个大城市都走过，而且只走一次，最后返回原来出发的城市。问这种走法是否可以实现?这就是著名的“周游世界问题”。我们如果知道七座桥的传说，就会意识到这是一道拓扑学研究范围内的问题。解决这个问题，方法很重要。它需要一种很特殊的几何思路。这种题是不能拿正十二面体的点线去试的。设想，这个正十二面体如果是橡皮膜做成的，那么我们就可以把这个正十二面体压成一个平面图。假设哈密顿所提的方法可以实现的话，那么这20个顶点一定是一个封闭的20角形世界。依照这种思路，我们就进入了最初步的拓扑学领域。最后的答案是，哈密顿的想法可以实现。哈密顿是一位首先提出“四元数”的人。这个成果至今还镌刻在他天才火花闪现的地方。复数可以用来表示平面的向量，在物理上有极其广泛的应用。人们很自然地联想到：能否仿照复数集找到“三维复数”来进行空间量的表示呢?1828年开始，哈密顿开始悉心研究四元数。四元数属于线性代数的组成部分，是一种超复数。但在哈密顿以前，没有人提出四元数，哈密顿也是要解决空间量表示而研究的。研究了十多年，哈密顿没有丝毫进展，他是一个数学神童，少有难题，这次可真遇上麻烦了。到1843年，哈密顿研究了整整15年。有一天下午，夕阳无限，秋色爽丽，风景宜人。哈密顿的妻子见丈夫埋头研究问题，几乎不知寒暑不问春秋，于是很想让他外出放松一下，调节一下身体。她说：“亲爱的，外面的自然即使不比你的数学更有趣，但也不会逊色的，快出去看看吧，多么美丽的秋天呀!”哈密顿在妻子的劝说下，放下手头的问题，走出书房。夫妻二人散步，不知不觉来到护城河畔。秋风柔和而凉爽，河面波光粼粼。清新的空气带着成熟的果香和大自然土壤的芬芳使人精神振奋，思维清晰。他们陶醉在大自然中，这时暮色苍茫，晚景宜人。二人来到玻洛汉姆桥，对着清新的水气，望着万家灯火，哈密顿的头脑在若有若无之中思考，似乎远又似乎近，似乎清楚又似乎模糊的东西久久在脑海萦绕。招之不来，挥之不去。突然之间，这些印象似的感觉都变成了亮点，以往的迷雾全部消失弥散，思维的闪电划过头脑的天空。哈密顿眼前豁地亮了，那些澄明的要点一一显露。哈密顿迅速地拿出随身携带的笔记本，把这令人欣喜若狂的结果记录下来。15年来，整整15年，终于在这里找到了解法！借着这个时机，哈密顿大踏步地飞奔回家，一头扎进书房，废寝忘食。一连几天，几乎不动地方，全神贯注地书写并且不时地演算。在几寸厚的稿纸中，哈密顿整理出一篇划时代意义的论文。1843年11月，数学界被轰动了，哈密顿和爱尔兰科学院向世人宣布了“四元数”。哈密顿证明了，要想在实数基础上建立三维复数，使它具有实数和复数的各种运算性质，这是不可能的。1853年，哈密顿写成《四元数讲义》，于1857年发表。在他逝世后第二年，即1866年发表了《四元数原理》。哈密顿敏锐地感觉到四元数的物理学意义。只可惜，他没能目睹四元数的变革作用便离开了人间。伟大的麦克斯韦正是在哈密顿四元数理论基础上利用向量分析的工具走出迷茫，得出举世闻名的电磁理论的。四元数的研究，推动了向量代数的发展。在19世纪，数学家证明了超复数系统，人类思维达到了空前广阔的领域。直到现在，爱尔兰都柏林玻洛汉姆桥，哈密顿驻足之处，仍立着一块石碑，碑铭记载：“1843年10月16日，威廉·哈密顿经过此桥时，天才地闪现了四元数的乘法，它与实数、复数显著不同。”谁又知道，驻足缅怀的人中有几人能知科学探索的“灵感闪现”背后是数载的艰辛呢

四元数形式为 A＝α＋ai＋bj＋ck，其中 α、a、b、c 是实数，i、j、k是三维空间的虚数单位。

四元数是由哈密顿在1843年爱尔兰发现的。当时他正研究扩展复数到更高的维次（复数可视为平面上的点）。他不能做到三维空间的例子，但四维则造出四元数。根据哈密顿记述，他于10月16日跟他的妻子在都柏林的皇家运河（Royal Canal）上散步时突然想到 <math>i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 ,</math>Image:Quaternion Plague on Broom Bridge.jpg的方程解。之后哈密顿立刻将此方程刻在附近布鲁穆桥（Brougham Bridge，现称为金雀花桥 Broom Bridge）。这条方程放弃了交换律，是当时一个极端的想法（那时还未发展出向量和矩阵）。不只如此，哈密顿还创造了向量的内外积。他亦把四元数描绘成一个有序的四重实数：一个纯量（a）和向量（bi + cj + dk）的组合。若两个纯量部为零的四元数相乘，所得的纯量部便是原来的两个向量部的纯量积的负值，而向量部则为向量积的值，但它们的重要性仍有待发掘。哈密顿之后继续推广四元数，并出了几本书。最后一本《四元数的原理》（Elements of Quaternions）于他死后不久出版，长达八百多页。