微分几何学

微分几何的研究与发展离不开微分方程，达布的《曲面论》一书就包含了丰富的古典微分方程的内容。É.嘉当和凯勒所发展的外微分方程理论，对于解析函数领域的一大类局部微分几何问题，给出了一般的有效的方法。整体微分几何的发展，需要运用更深入的，现代化的分析工具，特别是偏微分方程理论以及与之有关的非线性分析。在线性理论中，一个突出的成果是阿蒂亚和辛格的指标定理，紧致微分流形上的一个线性椭圆算子的零空间的维数与象空间的维数都是有限数,其差称为指标,这个定理指出，这种指标可以表示为和流形（或纤维丛）及椭圆算子有关的拓扑不变量,而过去的黎曼-罗赫定理，希策布鲁赫的指标定理等都是它的特殊情形。这个定理对于确定杨-米尔斯方程的解的存在性和其自由度,起了重要作用。此外，流形上的拉普拉斯算子的特征值的研究也是一个重要方面。微分几何学所遇到的偏微分方程大多是非线性的，调和函数的概念被推广成黎曼流形间的调和映射，它联系于一个推广的狄利克雷积分的变分问题，其欧拉方程是非线性的椭圆型方程组，J.伊尔斯等人用了多种分析的技巧证明了各种存在性和不存在性定理,近年来,R.舍恩和K.K.乌伦贝克又对广义解的奇性作了深入的分析。极小曲面理论近年来得到更深入的发展，研究范围日趋广泛，而且对流形的拓扑以及广义相对论中的数学问题均有重要应用。在调和映射、极小曲面，以及其他许多微分几何问题上,大范围变分方法成了重要工具,非线性泛函的极小元素或临界元素的正则性和存在性起了很大作用。如果考虑洛伦茨流形到黎曼流形的调和映射，就归结为双曲型偏微分方程的整体解的存在性问题，这方面成果国际上较少，谷超豪证明了闵科夫斯基平面到完备黎曼流形的调和映射的柯西问题的整体存在性定理，某些调和映射在物理学中称为非线性σ模型,是物理学家独立地提出的。有些微分几何学问题还必须求解“真正”非线性偏微分方程，这是比拟线性方程的非线性程度更高的偏微分方程，其难度更大，突出的事项是丘成桐解决了由卡拉皮所提出的一个猜想,证明了某种爱因斯坦-凯勒流形的存在定理，这需要求解复的蒙日-安培方程,它的非线性程度更高，需要有高度的分析技巧。丘成桐还解决了一系列的其他的与非线性偏微分方程有关的几何问题。具有复结构的微分流形特别是凯勒流形在多元复变函数和代数几何中起着重要的作用。

在黎曼流形的研究中，完备性是一个很重要的概念。在黎曼流形上，两点之间可以定义距离，因而可成为一个度量空间，这个度量空间在拓扑意义下的完备与任一测地线均可无限延伸（依弧长或仿射参数）这一性质相等价，从而形成了完备黎曼流形的概念。特别，紧致黎曼流形是完备的黎曼流形。霍普夫与里诺给出了下述结果：完备黎曼流形上每二点均可用一极小测地线相连结，其长度就等于二点的距离。引进了完备性这一概念后，也推进了对三维欧氏空间曲面论的整体性质的研究。例如：对于曲率为常数的曲面的完备性的研究有：1959年P.哈特曼与L.尼伦伯格证明了完备的可展曲面必为柱面，迈尔斯与李卜曼证明了正常数曲率定向的完备曲面必为球面。完备性概念对非紧致黎曼流形的整体几何研究是十分重要的。 在整体微分几何发展中，纤维丛及其上的联络论的产生和发展，占有显著的地位。基本的纤维丛有向量丛和主丛，前者包括切丛、余切丛、张量丛及一般性的推广，后者是由标架丛抽象而成。在黎曼几何研究中所产生的列维－齐维塔联络被推广为仿射联络、射影联络、共形联络、……然后形成了一般向量丛或纤维丛上的联络论，它以优美的形式把几何学的群的结构和流形上的微分结构有机地结合起来,陈省身-外尔映射用代数的方法通过联络和曲率作出了底流形上的一些上同调类，这种上同调类称为示性类包括陈示性类，欧拉示性类，庞特里亚金示性类等，它们都能表示纤维丛的拓扑性质。纤维丛上的联络论成为理论物理学家的有力工具，杨振宁和米尔斯所提出的规范场理论是在物理学中形成的纤维丛上的联络论，不仅如此，他们对纤维丛上的联络提出了一个过去数学家没有想到过的偏微分方程（后称为杨-米尔斯方程），这个方程不仅对物理学,而且对纯粹数学发生了重大影响。此外，联络论中的一些示性类和示性数，也得到了物理学上的解释，成为物理学中的各种“粒子”数，如“磁单极”数、瞬子数等等。由于这些事实，微分几何和理论物理的关系就更其密切了，可以说是在爱因斯坦广义相对论后的一个新的高潮。