调和函数

au/ax=av/ay=e^x(cosy-ysiny+xcosy)+1au/ay=-av/ax=-e^x(ycosy+xsiny+siny)-1由第一个知u=e^x(cosy-ysiny)+cosyxe^x-cosye^x+x+f(y)=e^x(xcosy-ysiny)+x+f(y)所以au/ay=e^x(-xsiny-siny-ycosy)+f"(y)=-e^x(ycosy+xsiny+siny)-1所以f"(y)=-1,f(y)=-y+C所以u=e^x(xcosy-ysiny)+x-y+C令x=y=0：2=C所以u=e^x(xcosy-ysiny)+x-y+2不知道算错没有-_-|||

首先，你题目打错了。u-v就不是调和函数。应该是u-v=x^3+3x^2y-3xy^2-y^3令g=(1+i)f，则g=(u-v)+i(u+v)。首先求g，把x和y用z和z的共轭表示。发现u-v=(1-i)z^3的实部。所以g=(1-i)z^3。所以f=-iz^3。所以u=3x^2y-y^3。

你写的ux和uy应该是u对x,y的偏导吧，即u"x和u"y。令U=u"x，V=-u"y，则U"x=u""xx，V‘y=-u""yy，U"y=u""xy，V‘x=-u""yx。调和函数的定义是具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯方程的二元函数。根据u满足拉普拉斯方程u""xx+u""yy=0，知U"x=V‘y，再根据u二阶偏导连续，知两个混合偏导数相等u""xy=u""yx，即U"y=-V‘x，因此f(z)满足柯西黎曼方程，它在D内解析。

这个结论不对，实部和虚部除了都是调和函数，还应该满足c-r方程，即“实部是虚部的共轭调和函数”

au/ax=av/ay=e^x(cosy-ysiny+xcosy)+1 au/ay=-av/ax=-e^x(ycosy+xsiny+siny)-1 由第一个知u=e^x(cosy-ysiny)+cosyxe^x-cosye^x+x+f(y)=e^x(xcosy-ysiny)+x+f(y) 所以au/ay=e^x(-xsiny-siny-ycosy)+f"(y)=-e^x(ycosy+xsiny+siny)-1 所以f"(y)=-1,。

不对，应该反过来说

偏u/偏x=2x 偏u/偏y=-2y 偏^2u/偏x^2=2 偏^2u/偏x偏y=0 偏^2u/偏y偏x=0 偏^2u/偏y^2=-2 偏^2u/偏x^2+偏^2u/偏y^2=2-2=0,满足拉普拉斯方程,u是调和函数. 设z=x+yi, 设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函数,v称作u的共轭调和函数. 偏v/偏y=偏u/偏x=2x 偏v/偏x=-偏u/偏y=2y 偏^2v/偏y偏x=偏^2u/偏x^2=2 偏^2v/偏x偏y=-偏^2u/偏y^2=2=偏^2v/偏y偏x 偏^2v/偏x^2=-偏^2u/偏y偏x=0 偏^2v/偏y^2=偏^2u/偏x偏y=0 取v=2xy,满足要求. f(z)=(x^2-y^2)+i2xy=(x+yi)^2=z^2

根据调和函数定义,0 = d^2u/dx^2+d^2u/dy^2 = 2 + 2k 所以k=-1

v"y=2x，因此u"x=v"y=2x，积分得u=x^2+g(y)，又由于u"y=-v"x，所以g"(y)=-2y，g(y)=-y^2+c，故u=x^2-y^2+c，f(z)=x^2-y^2+c+2ixy，所以f(i)=-1+c=-1，故c=0，因此u=x^2-y^2，f(z)=x^2-y^2+2ixy

根据调和函数定义,0 = d^2u/dx^2+d^2u/dy^2 = 2 + 2k 所以k=-1

设P = X ^ 2-Y ^ 2 + X,Q = - （2XY + Y）.EQ / EX-EP / EY =-2Y-（-2Y）= 0罗塔= 0 EP / EX + EQ,/ EY = 2X +1 +（2X-1）= 0 DIVA = 0,所以一架飞机谐场.接入点（X0,Y0）=（0,0）,力函数u =∫0dx +∫（范围从0到y）（X ^ 2-Y ^ 2 + X）DY = YX ^ 2 + Y ^ 3 / 3 + XY + C.势函数V = - ∫（范围从0到x）（X ^ 2 + X）DX +∫（范围0到y）（2XY + Y）DY-X ^ 3/3-x ^ 2/2 + XY ^ 2 + Y ^ 2/2 + C.

任意两个调和函数都可以组成一个解析函数不对。根据查询相关公开信息显示，解析函数的实部和虚部并不是独立的，之间有密切的关系。并非任意两个调和函数就能构成一个解析函数。

v"y=2x，因此u"x=v"y=2x，积分得u=x^2+g(y)，又由于u"y=-v"x，所以g"(y)=-2y，g(y)=-y^2+c，故u=x^2-y^2+c，f(z)=x^2-y^2+c+2ixy，所以f(i)=-1+c=-1，故c=0，因此u=x^2-y^2，f(z)=x^2-y^2+2ixy

设函数f（z）= u + iv的解析函数的柯西 - 黎曼方程知道吗? V /? = - ? U /? Y =-X +2 Y; ? V /? Y =? U /? X = 2X + Y. V = X ^ 2/2 +2 XY + Y ^ 2/2 + C,C是一个常数. F（z）= u + iv的 = x ^ 2 + XY-Y ^ 2 +（-x...

因为f(z)=x³-3xy²+i(3x²y-y³+C)即f(x,y)=x³-3xy²+i(3x²y-y³+C)又f(0)=i,即是f(0,0)=i于是f(0,0)=x³-3xy²+i(3x²y-y³+C)=iC=I所以C=1于是f(x,y)=x³-3xy²+i(3x²y-y³+1)设z=x+yiz³=x³+3x²yi+3x(yi)²+(yi)³=x³+3x²yi-3xy²-y³i由f(x,y)=x³-3xy²+i(3x²y-y³+1)=x³+3x²yi-3xy²-y³i+i即f(z)=z³+i

证明u与v的乘积是调和函数：u-v就不是调和函数。是u-v=x^3+3x^2y-3xy^2-y^3令g=(1+i)f，则g=(u-v)+i(u+v)。首先求g，把x和y用z和z的共轭表示。发现u-v=(1-i)z^3的实部。所以g=(1-i)z^3。所以f=-iz^3。所以u=3x^2y-y^3。函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。

搜一下：调和函数是二阶导数相加的零还是对x和y的二阶导数相等啊？解析函数呢？

并不是，需要有共轭性，即这两个调和函数需要满足Cauchy-Riemann方程显然的反例有x，-y均是调和函数，z=x+iy，则x-iy不是解析函数。

从复变函数导数的定义可知:若f(z)在a可导,则对任意常数c,c·f(z)也在a可导.因此第一问显然.再注意到i·f(z)=-v+i·u,因此u是-v的共轭调和函数,从而-u是v的共轭调和函数.

u是调和函数，如果u不为常数，那么u^2就一定不是调和函数，u可以是复函数，也可以是实函数这个可以很简单的推到（略）

在式f(z)=y/(x^2+y^2)+i[x/(x^2+y^2)]+φ(x)中令x=z,y=0即得f(z)

定义：如图所示：定理：如图所示：对定理的证明过程，如图所示：共轭调和函数：定义：如图所示：定义的相关知识，如图册所示：定理：如图所示：定理公式推导过程，如图所示：例1：如图册所示：

从复变函数导数的定义可知:若f(z)在a可导,则对任意常数c,c·f(z)也在a可导.因此第一问显然.再注意到i·f(z) = -v+i·u,因此u是-v的共轭调和函数,从而-u是v的共轭调和函数.

au/ax=av/ay=e^x(cosy-ysiny+xcosy)+1au/ay=-av/ax=-e^x(ycosy+xsiny+siny)-1由第一个知u=e^x(cosy-ysiny)+cosyxe^x-cosye^x+x+f(y)=e^x(xcosy-ysiny)+x+f(y)所以au/ay=e^x(-xsiny-siny-ycosy)+f"(y)=-e^x(ycosy+xsiny+siny)-1所以f"(y)=-1,f(y)=-y+C所以u=e^x(xcosy-ysiny)+x-y+C令x=y=0：2=C所以u=e^x(xcosy-ysiny)+x-y+2不知道算错没有-_-|||

在某区域中满足拉普拉斯方程的函数。通常对函数本身还附加一些光滑性条件，例如有连续的一阶和二阶偏导数。当自变量为n个（从而区域是n维的）时，则称它为n维调和函数。例如，n=2时,调和函数u(x,y)在某平面区域内满足方程

是。f是U上的一调和函数，那么 f 的所有偏导数也是U上的调和函数。u的梯度的模是调和函数。在调和函数类上，拉普拉斯算子和偏导数算子是交换的。

vyy=-2y（x^2+y^2）^2-（x^2-y^2）*2*（x^2+y^2）*2y/（x^2+y^2）^4

拉普拉斯调和函数是由拉普拉斯方程定义的，拉普拉斯方程又叫调和方程

1+1/2^n+1/3^n+1/4^n+1/5^n-------n是1 2 3 4－－－－－－－

u对x的2次偏导数=2，u对y的2次偏导数=-2，所以这两项相加=0，即u满足拉普拉斯方程，u是调和函数。f(i)=-1+i，f(z)=z-1=x-1+yi(x-1)对x偏导数=1=y对y偏导数；y对x偏导数=0=-(x-1)对y的偏导数，所以f是z上的解析函数。调和函数是在某区域中满足拉普拉斯方程的函数。通常对函数本身还附加一些光滑性条件，例如有连续的一阶和二阶偏导数。当自变量为n个（从而区域是n维的）时，则称它为n维调和函数。扩展资料：调和函数的性质：在给定的开集U上所有的调和函数的集合是其上的拉普拉斯算子Δ的核，因此是一个R的向量空间：调和函数的和与差以及数乘，结果依然是调和函数。如果f是U上的一个调和函数，那么f的所有偏导数也仍然是U上的调和函数，在调和函数类上，拉普拉斯算子和偏导数算子是交换的。在某些意义上，调和函数是全纯函数在实值函数上的对应物。所有的调和函数都是解析的，也就是说它们可以局部地展开成幂级数。这是关于椭圆算子的一个性质，而拉普拉斯算子是一个常见的例子。收敛的调和函数列的一致极限仍会是调和的。这是因为所有满足介值性质的连续函数都是调和函数。

1、首先拿出一支笔与一张纸，将纸平铺在桌面上。2、其次在网上查找求调和场的调和函数的u视频教程。3、最后按照视频教程一步一步求出来即可。

按拉普拉斯方程验证就好了

不是。x的三次方计算出来的不是调和函数而是幂函数。调和函数是在某区域中满足拉普拉斯方程的函数。通常对函数本身还附加一些光滑性条件例如有连续的一阶和二阶偏导数。当自变量为n个(从而区域是n维的)时，则称它为n维调和函数。

v"y=2x,因此u"x=v"y=2x,积分得u=x^2+g(y),又由于u"y=-v"x,所以g"(y)=-2y,g(y)=-y^2+c,故u=x^2-y^2+c,f(z)=x^2-y^2+c+2ixy,所以f(i)=-1+c=-1,故c=0,因此u=x^2-y^2,f(z)=x^2-y^2+2ixy

共轭调和函数是解析函数的虚部，v（x，y）

-u,设v的共轭调和函数为μ,他们应该满足柯西黎曼方程（这时v替代原来u,μ替代原来v）：∂v/∂x=∂μ/∂y∂v/∂y=-∂μ/∂x再由原来的柯西黎曼方程∂u/∂x=∂v/∂y∂u/∂y=-∂v/∂x联立得：∂μ/∂y=-∂u/∂y∂μ/∂x=-∂u/∂x易知μ=-u

如果二元函数f(x,y)在区域Ω内有二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方程,则称f为区域Ω中的调和函数。函数（function）的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。函数，最早由中国清朝数学家李善兰翻译，出于其著作《代数学》。之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，或者说一个量中包含另一个量。函数的由来：中文数学书上使用的“函数”一词是转译词。是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》（1859年）一书时，把“function”译成“函数”的。中国古代“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思。李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数。”中国古代用天、地、人、物4个字来表示4个不同的未知数或变量。这个定义的含义是：“凡是公式中含有变量x，则该式子叫做x的函数。”所以“函数”是指公式里含有变量的意思。我们所说的方程的确切定义是指含有未知数的等式。但是方程一词在我国早期的数学专著《九章算术》中，意思指的是包含多个未知量的联立一次方程，即所说的线性方程组。

楼上纯属乱答。ux表示u对x的偏导，uxx表示2阶偏导只要验证u(x,y)是否满足拉普拉斯方程ux=(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2uxx=(2x^3-6xy^2)/(x^2+y^2)^3uy=-2xy/(x^2+y^2)^2uyy=(-2x^3+6xy^2)/(x^2+y^2)^3所以uxx+uyy=0满足拉普拉斯方程，于是u为调和函数。下面只要求出u(x,y)的共轭调和函数v(x,y)由ux=(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2=vy得v(x,y)=∫(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2dy=-y/(x^2+y^2)+g(x)又vx=-uyvx=2xy/(x^2+y^2)+g"(x)且-uy=2xy/(x^2+y^2)^2所以g"(x)=0,g(x)=C所以v(x,y)=-y/(x^2+y^2)+C所以解析函数为f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)=[x/(x^2+y^2)]+i[-y/(x^2+y^2)+C]

调和函数: 调和方程:

不是，虚部是实部的共轭调和

不是。根据查询相关公开信息显示，x2加y2加z2，不满足拉普拉斯方程，不是调和函数。调和函数是在某区域中满足拉普拉斯方程的函数，对函数本身附加一些光滑性条件，例如有连续的一阶和二阶偏导数。

为0。根据数学知识，函数二阶混合偏导恒为0，所以为0，函数（function）的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，是一个非常重要的知识。

三维调和函数的平均值公式：f（x1，x2）=ln（x12+x22）。对于不可压缩流的二维流动，无论是有旋流动还是无旋流动，流体有粘性还是没有粘性，一定存在流函数。在三维流动中一般不存在流函数（轴对称流动除外），对于不可压缩流体的平面流动，流函数永远满足连续性方程。可以证明U上的分布T满足ΔT=0，则T是解析且调和的函数。为使在U上局部可积的函数f是调和的，必须且只须对U的任一点a及对任一使以a为中心、α为半径的闭球含于U中的正实数α，f(a)等于f在球B上的平均值。或等于f在以a为中心、α为半径的球面上的平均值。由此容易推出： 定义在连通开集U上、使 |f|在U的一点达到其极大值的调和函数是常值函数(极大值原理)。

这题我做错了，给mscheng19把

你好！这题我做错了，给mscheng19把仅代表个人观点，不喜勿喷，谢谢。

倘若其中  是调和函数，  ，利用Green第二公式：这里的  是我们任取的一个好的函数，于是我们看到这样一种可能性：式子的右端仅与  上函数的性质有关，我们有可能取得  或是怎样的一个函数，使得式子的左端非常接近于区域内某点的值  ，也就是说：上面的式子提示了调和函数在区域内部某点的值完全被边界上的取值决定的可能性！

解析函数和共轭调和函数是互为充要的，而u,v是调和函数不一定解析，但是解析又u,v一定是调和函数。满足C-R方程的就称v是u的共轭调和函数 ，但是调和函数呢，只要满足拉普拉斯算子就可以了。公式：C-R方程： du/dx=dv/dy ,du/dy=-dv/dx 则v是u的共轭调和函数 （d为偏导）拉普拉斯算子： u对x的二次偏导+u对y的二次偏导=0 （v也一样） 满足就为调和函数

H(x)式子右侧没有x啊， 应该是 H(n)吧

是的，如果u和v是调和函数，那么复合函数u+iv（其中i是虚数单位）确实是解析函数。这是因为调和函数满足拉普拉斯方程，即它们的二阶偏导数之和为零：Δu = ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0，Δv = ∂²v/∂x² + ∂²v/∂y² = 0。在复分析中，解析函数是满足柯西-黎曼方程的函数。对于一个解析函数f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其实部u和虚部v需要满足以下柯西-黎曼方程：∂u/∂x = ∂v/∂y∂u/∂y = -∂v/∂x考虑到u和v都是调和函数，我们可以应用拉普拉斯方程。从Δu = 0和Δv = 0，我们可以得出：∂²u/∂x² = -∂²u/∂y²∂²v/∂x² = -∂²v/∂y²然后，我们可以用这些等式来验证柯西-黎曼方程是否成立。对u关于y求导，对v关于x求导：∂²u/∂x∂y = -∂²v/∂x²∂²v/∂y∂x = -∂²u/∂y²由于混合偏导数是可交换的（即∂²u/∂x∂y = ∂²u/∂y∂x），所以柯西-黎曼方程成立。因此，如果u和v是调和函数，那么复合函数u+iv是解析函数。

Python 有求和的函数。如下两个函数。其中sum是Python的内置函数，fsum是math模块下的求和函数>>> sum([.1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1])0.9999999999999999>>> fsum([.1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1])1.0如果你要保证算法精度，建议你使用math中的fsum。该算法，会不断跟踪运算过程的每一步，以此避免运算的精度损失，相比较sum而言有更高的精度。而sum函数只是求和，也就是简单的加法运算，不关心精度。如果输入的列表是字符串列表，sum也能被正确执行。

调和函数：如果二元函数f(x,y)在区域Ω内有二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方程，则称二元函数f(x,y)为区域Ω中的调和函数。实际上，拉普拉斯方程的解就是调和函数。调和函数无限次可导，其线性组合仍为调和函数。调和函数在定义域的紧子集的边界上达到最大最小值。调和函数在物理学上的意义：二阶偏导的和等于零，对应于加速度的和为零，即可以描述系统不受力的状态，即系统处于稳态。当不能刻画系统在每一时刻的状态，却能用调和函数描述系统稳态下的状态，调和函数就显得非常有意义了。拉普拉斯，1749年3月23日生于法国西北部卡尔瓦多斯的博蒙昂诺日，曾任巴黎军事学院数学教授。1795年任巴黎综合工科学校教授，后又在高等师范学校任教授。1799年他还担任过法国经度局局长，并在拿破仑政府中任过6个星期的内政部长。1816年被选为法兰西学院院士，1817年任该院院长。1827年3月5日卒于巴黎。拉普拉斯在研究天体问题的过程中，创造和发展了许多数学的方法，以他的名字命名的拉普拉斯变换、拉普拉斯定理和拉普拉斯方程，在科学技术的各个领域有着广泛的应用。

看在某区域中是否满足拉普拉斯方程。调和函数是在某区域中满足拉普拉斯方程的函数。通常对函数本身还附加一些光滑性条件，例如有连续的一阶和二阶偏导数。当自变量为n个（从而区域是n维的）时，则称它为n维调和函数。对于高维的调和函数，也有与上述类似的最大、最小值原理，平均值公式以及相应的狄利克雷问题解的存在和唯一性定理。性质在给定的开集U上所有的调和函数的集合是其上的拉普拉斯算子Δ的核，因此是一个R的向量空间：调和函数的和与差以及数乘，结果依然是调和函数。如果f是U上的一个调和函数，那么f的所有偏导数也仍然是U上的调和函数，在调和函数类上，拉普拉斯算子和偏导数算子是交换的。在某些意义上，调和函数是全纯函数在实值函数上的对应物。所有的调和函数都是解析的，也就是说它们可以局部地展开成幂级数。这是关于椭圆算子的一个性质，而拉普拉斯算子是一个常见的例子。收敛的调和函数列的一致极限仍会是调和的。这是因为所有满足介值性质的连续函数都是调和函数。

在某区域中满足拉普拉斯方程的函数。通常对函数本身还附加一些光滑性条件，例如有连续的一阶和二阶偏导数。当自变量为n个（从而区域是n维的）时，则称它为n维调和函数。例如，n=2时,调和函数u(x,y)在某平面区域内满足方程若所考虑的区域包含一个闭圆域，例如x+y≤R，则有下列关于调和函数的平均值公式：即u(x,y)在圆心的值等于圆周上的积分平均值。更一般地，圆内任何一点x=rcosφ，y=rsinφ(0≤r<R)处调和函数 u=u(r, φ)的值可以由下列泊松公式给出：形如上式右端的积分称作泊松积分。设u(x,y)为平面区域G中的调和函数,且在G的闭包上连续,则借助于平均值公式可以证明,它不能在G 的内部取其最大值与最小值，除非它恒等于一常数。这就是调和函数的最大、最小值原理。由泊松积分出发可解决下列狄利克雷问题：在区域G的边界G上给定一连续函数 ƒ(x,y)，要求给出G中的调和函数u(x,y)，使其在嬠G上取ƒ(x,y)的值，即在G的边界嬠G满足一定的条件下,这个问题的解存在且惟一。对于高维的调和函数，也有与上述类似的最大、最小值原理，平均值公式以及相应的狄利克雷问题解的存在和惟一性定理。二维调和函数与解析函数论有着密切联系。在某区域内的调和函数一定是该区域内某解析函数(可能多值)的实部或虚部；反之，某区域内的解析函数其实部与虚部都是该区域内的调和函数，并称其虚部为实部的共轭调和函数。用复数z=x+iy的记法,将u(x,y)写成u(z),若u(z)在│z│<R内调和，在│z│≤R上连续，则泊松公式就成为(0≤r<R)。对于任何α,│α│<R，此式还可写成泊松积分是近代复变函数论中一个重要的研究工具，由此出发，可得出函数论中一系列重要结果。

是的。调和函数是在某区域中满足拉普拉斯方程的函数。通常对函数本身还附加一些光滑性条件，例如有连续的一阶和二阶偏导数。当自变量为n个（从而区域是n维的）时，则称它为n维调和函数。性质：在给定的开集U上所有的调和函数的集合是其上的拉普拉斯算子Δ的核，因此是一个R的向量空间：调和函数的和与差以及数乘，结果依然是调和函数。

三种方法 (不定积分法、偏积分法、曲线积分法)

不是，调和函数是在某区域中满足拉普拉斯方程的函数。通常对函数本身还附加一些光滑性条件，例如有连续的一阶和二阶偏导数。当自变量为n个（从而区域是n维的）时，则称它为n维调和函数。对于高维的调和函数，也有与上述类似的最大、最小值原理，平均值公式以及相应的狄利克雷问题解的存在和惟一性定理。调和函数满足以下的极大值定理：如果K是U的一个紧子集，那么f在K上诱导的函数只能在边界上达到其最大值和最小值。如果U是连通的，那么这个定理意味着f不能达到最大值和最小值，除非它是常数函数。对于次调和函数也有同样的定理。

在区域D内存在二阶连续偏导数的实函数U(x,y,z),如果在D内满足拉普拉斯方程Δu=2u/x2+2u/y2+2u/z2=0，则称U(x,y,z)为区域D上的调和函数。

解题如下：调和函数是在某区域中满足拉普拉斯方程的函数。通常对函数本身还附加一些光滑性条件，例如有连续的一阶和二阶偏导数。当自变量为n个（从而区域是n维的）时，则称它为n维调和函数。扩展资料：调和函数的性质：在给定的开集U上所有的调和函数的集合是其上的拉普拉斯算子Δ的核，因此是一个R的向量空间：调和函数的和与差以及数乘，结果依然是调和函数。如果f是U上的一个调和函数，那么f的所有偏导数也仍然是U上的调和函数，在调和函数类上，拉普拉斯算子和偏导数算子是交换的。在某些意义上，调和函数是全纯函数在实值函数上的对应物。所有的调和函数都是解析的，也就是说它们可以局部地展开成幂级数。这是关于椭圆算子的一个性质，而拉普拉斯算子是一个常见的例子。收敛的调和函数列的一致极限仍会是调和的。这是因为所有满足介值性质的连续函数都是调和函数。

u对x的2次偏导数=2,u对y的2次偏导数=-2.所以这两项相加=0,即u满足拉普拉斯方程,u是调和函数.f(i)=-1+i,f(z)=z-1=x-1+yi(x-1)对x偏导数=1=y对y偏导数;y对x偏导数=0=-(x-1)对y的偏导数,所以f是z上的解析函数

1+1/2^n+1/3^n+1/4^n+1/5^n-------n是1234－－－－－－－

u＝X2十y2是调和函数。Xy代表两个变数，一个越大，另一个越小。

楼上纯属乱答。ux表示u对x的偏导，uxx表示2阶偏导只要验证u(x,y)是否满足拉普拉斯方程ux=(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2uxx=(2x^3-6xy^2)/(x^2+y^2)^3uy=-2xy/(x^2+y^2)^2uyy=(-2x^3+6xy^2)/(x^2+y^2)^3所以uxx+uyy=0满足拉普拉斯方程，于是u为调和函数。下面只要求出u(x,y)的共轭调和函数v(x,y)由ux=(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2=vy得v(x,y)=∫(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2 dy=-y/(x^2+y^2)+g(x)又vx=-uyvx=2xy/(x^2+y^2)+g"(x)且-uy=2xy/(x^2+y^2)^2所以g"(x)=0, g(x)=C所以v(x,y)=-y/(x^2+y^2)+C所以解析函数为f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)=[x/(x^2+y^2)]+i[-y/(x^2+y^2)+C]

u"x=1,u""xx=0,u"y=-2,u""yy=0,因此u""xx+u""yy=0,即u满足拉普拉斯方程,因此u是调和函数,同理v"x=1+y,v""xx=0,v"y=x+1,v""yy=0,即v""xx+v""yy=0,v也是调和函数.但是根据柯西黎曼方程,u"x=v"y,u"y=-v"x,有1=x+1,2=1+y,即x=0,y=1,因此f(z)=u+iv只在z=i处可导,在任意点都不解析.

错误，反之是正确的。若函数解析，其实部与虚部一定是调和函数。若实部与虚部都是调和函数，则复变函数不一定解析。反例：如u=x+y，v=x+y，因为都是一次式，当然是调和函数（验证调和函数需要求二阶偏导），但函数z=(x+y)+i(x+y)显然不解析，du/dy ≠ -dv/dx

解析函数的虚部，就是其实部的共轭调和函数

因为解析函数的实部和虚部必定都是调和函数，如果u不调和，那虚部就不用求了，以u为实部的函数必定不解析。若f=u+iv是解析函数，则ux=vy,vx=-uy（柯西-黎曼方程）。那么u_xx=v_yx=v_xy=-u_yy，从而u_xx+u_yy=0,即u是调和函数。当然如果题目明确告诉你u是某个解析函数的实部，那么不去验证u调和也是可以的。

若f(x,y)为D内的解析函数则,它的实部和虚部都为调和函数 设f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y) ∂u/∂x=∂v/∂y ∂u/∂y=-∂v/∂x 所以∂^2u/∂x^2=∂v/∂x∂y ∂^2u/∂y^2=-∂v/∂x∂y 所以u(x,y)为调和函数,同理可证v(x,y)为调和函数

令v=x/y，则u"x=f"/y，u""xx=f""/y^2，u"y=-xf"/y^2，u""yy=(2xf""/y^3)+(x^2)f""/y^4，由于调和函数满足拉普拉斯方程u""xx+u""yy=0，整理后得(x^2/y^2+1)f""+(2x/y)f"=0，即(v^2+1)f""+2vf"=0，这是可降次的微分方程，令p=f"，则(v^2+1)(dp/dv)+2vp=0，分离变量后积分得lnC1p=ln(1/v^2+1)，即C1p=1/(v^2+1)。因此C1(df/dv)=1/(v^2+1)，再次分离变量积分有C1f=arctanv+C2，两边除C1并记1/C1=m，C2/C1=n，则f=marctanv+n，即型如u=f(x/y)调和函数的一般形式为u=m*arctan(x/y)+n。

u=arctany/x是调和函数。根据查询相关信息显示：调和函数在区域D内存在二阶连续偏导数的实函数U(x，y，z)，如果在D内满足拉普拉斯方程Δu=2u/x2+2u/y2+2u/z2=0，则称U(x，y，z)为区域D上的调和函数，而u=arctany/x就是在这个区域范围。

5

若u(x,y)满足“重调和”方程则称u是重调和函数,它是数学物理方程理论中的一个重要函数类。调和函数和重调和函数，在力学和物理学中都有重要的应用。类似地也有高维的重调和函数。由于拉普拉斯方程是椭圆型方程的一个特殊情况，故后者的解的一般性质也是调和函数的性质。

没有分母的y^2更容易,明显上面的做法使得问题复杂了.au/ax=x/(x^2+y^2),则u＝0.5ln(x^2+y^2)+c(y),再由au/ay=－av/ax,得c"(y)=0,因此c(y)=C.C是常数.故u＝0.5ln(x^2+y^2)+C.

调和函数：如果二元函数f(x,y)在区域Ω内有二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方程，则称二元函数f(x,y)为区域Ω中的调和函数。实际上，拉普拉斯方程的解就是调和函数。调和函数无限次可导，其线性组合仍为调和函数。调和函数在定义域的紧子集的边界上达到最大最小值。调和函数在物理学上的意义：二阶偏导的和等于零，对应于加速度的和为零，即可以描述系统不受力的状态，即系统处于稳态。当不能刻画系统在每一时刻的状态，却能用调和函数描述系统稳态下的状态，调和函数就显得非常有意义了。拉普拉斯，1749年3月23日生于法国西北部卡尔瓦多斯的博蒙昂诺日，曾任巴黎军事学院数学教授。1795年任巴黎综合工科学校教授，后又在高等师范学校任教授。1799年他还担任过法国经度局局长，并在拿破仑政府中任过6个星期的内政部长。1816年被选为法兰西学院院士，1817年任该院院长。1827年3月5日卒于巴黎。拉普拉斯在研究天体问题的过程中，创造和发展了许多数学的方法，以他的名字命名的拉普拉斯变换、拉普拉斯定理和拉普拉斯方程，在科学技术的各个领域有着广泛的应用。

调和函数 　　如果二元函数f(x,y)在区域Ω内有二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方程,则称f为区域Ω中的调和函数.　　广义来讲　　在某区域中满足拉普拉斯方程的函数。通常对函数本身还附加一些光滑性条件，例如有连续的一阶和二阶偏导数。当自变量为n个（从而区域是n维的）时，则称它为n维调和函数。例如，n=2时,调和函数u(x,y)在某平面区域内满足方程 　　若所考虑的区域包含一个闭圆域，例如x+y≤R，则有下列关于调和函数的平均值公式： 　　即u(x,y)在圆心的值等于圆周上的积分平均值。 　　更一般地，圆内任何一点x=rcosφ，y=rsinφ(0≤r<R)处调和函数 u＝u(r, φ)的值可以由下列泊松公式给出： 　　形如上式右端的积分称作泊松积分。 　　设u(x,y)为平面区域G中的调和函数,且在G的闭包上连续,则借助于平均值公式可以证明,它不能在G 的内部取其最大值与最小值，除非它恒等于一常数。这就是调和函数的最大、最小值原理。 　　由泊松积分出发可解决下列狄利克雷问题：在区域G的边界嬠G上给定一连续函数 �0�6(x,y)，要求给出G中的调和函数u(x,y)，使其在嬠G上取�0�6(x,y)的值，即 　　在G的边界嬠G满足一定的条件下,这个问题的解存在且惟一。 　　对于高维的调和函数，也有与上述类似的最大、最小值原理，平均值公式以及相应的狄利克雷问题解的存在和惟一性定理。 　　二维调和函数与解析函数论有着密切联系。在某区域内的调和函数一定是该区域内某解析函数(可能多值)的实部或虚部；反之，某区域内的解析函数其实部与虚部都是该区域内的调和函数，并称其虚部为实部的共轭调和函数。用复数z=x+iy的记法,将u(x,y)写成u(z),若u(z)在│z│<R内调和，在│z│≤R上连续，则泊松公式就成为 　　(0≤r＜R)。　　对于任何α,│α│<R，此式还可写成 　　泊松积分是近代复变函数论中一个重要的研究工具，由此出发，可得出函数论中一系列重要结果。 　　若u(x,y)满足“重调和”方程 　　则称u是重调和函数,它是数学物理方程理论中的一个重要函数类。调和函数和重调和函数，在力学和物理学中都有重要的应用。类似地也有高维的重调和函数。 　　由于拉普拉斯方程是椭圆型方程的一个特殊情况，故后者的解的一般性质也是调和函数的性质。

一个函数有连续二阶偏导数，而且满足拉普拉斯方程.调和函数为u(x,y,z)且满足：u对x的二阶偏导数+u对y的二阶偏导数+u对z的二阶偏导数=0的函数f(x) = k/x*(1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ...... + 1/n + ...)

调和函数的性质如下：1、在给定的开集U上所有的调和函数的集合是其上的拉普拉斯算子Δ的核，因此是一个R的向量空间：调和函数的和与差以及数乘，结果依然是调和函数。2、 如果f是U上的一个调和函数，那么f的所有偏导数也仍然是U上的调和函数，在调和函数类上，拉普拉斯算子和偏导数算子是交换的。 3、在某些意义上，调和函数是全纯函数在实值函数上的对应物。所有的调和函数都是解析的，也就是说它们可以局部地展开成幂级数。这是关于椭圆算子的一个性质，而拉普拉斯算子是一个常见的例子。 4、收敛的调和函数列的一致极限仍会是调和的。这是因为所有满足介值性质的连续函数都是调和函数。相关例子：二元的调和函数的例子有： 任意全纯函数的实数部分和虚数部分。 函数：f(x1,x2) =ln(x12+x22) 。这个函数定义在R {0}上（实际上是一个均匀线电荷所产生的电势或一个细长的均匀无限长圆柱形物体产生的引力势所对应的数学模型）。 函数：f(x1,x2) =exp(x1)sin(x2)。 n元的调和函数的例子有： （1）R所有的常数函数、线性函数和仿射函数（比如说两块均匀带电无限大平板之间的电势）。 （2）定义在R {0}上的函数f(x1,...,xn) = (x1+ ... +xn)，其中n≥ 2。

调和函数和解析函数的关系如下：解析函数是复函数，调和函数可看作是解析函数的实部或虚部代表的实二元函数，二者基本一一对应。从调和函数构造解析函数要求，调和函数定义在单连通区域上，否则就对应的是一个复的多值函数了。调和函数是在某区域中满足拉普拉斯方程的函数。通常对函数本身还附加一些光滑性条件，例如有连续的一阶和二阶偏导数。当自变量为n个（从而区域是n维的）时，则称它为n维调和函数。对于高维的调和函数，也有与上述类似的最大、最小值原理，平均值公式以及相应的狄利克雷问题解的存在和惟一性定理。解析函数：区域上处处可微分的复函数。17世纪，L.欧拉和J.leR.达朗贝尔在研究水力学时已发现平面不可压缩流体的无旋场的势函数Φ（x，y)与流函数Ψ（x，y)有连续的偏导数，且满足微分方程组，并指出f（z）=Φ（x，y）+iΨ（x，y）是可微函数，这一命题的逆命题也成立。柯西把区域上处处可微的复函数称为单演函数，后人又把它们称为全纯函数、解析函数。B.黎曼从这一定义出发对复函数的微分作了深入的研究，后来，就把上述的偏微分方程组称为柯西-黎曼方程，或柯西-黎曼条件。

在区域D内存在二阶连续偏导数的实函数U(x,y,z),如果在D内满足拉普拉斯方程Δu=2u/x2+2u/y2+2u/z2=0,则称U(x,y,z)为区域D上的调和函数.

二维调和函数与解析函数论有着密切联系。解析函数analytic function区域上处处可微分的复函数。17世纪，L.欧拉和J.leR.达朗贝尔在研究水力学时已发现平面不可压缩流体的无旋场的势函数Φ（x，y)与流函数Ψ（x，y)有连续的偏导数，且满足微分方程组，并指出f（z）＝Φ（x，y）＋iΨ（x，y）是可微函数，这一命题的逆命题也成立。柯西把区域上处处可微的复函数称为单演函数，后人又把它们称为全纯函数、解析函数。B.黎曼从这一定义出发对复函数的微分作了深入的研究，后来，就把上述的偏微分方程组称为柯西-黎曼方程，或柯西-黎曼条件。K. 魏尔斯特拉斯将一个在圆盘上收敛的幂级数的和函数称为解析函数，而区域上的解析函数是指在区域内每一小圆邻域上都能表成幂级数的和的函数。关于解析函数的不同定义在20世纪初被证明是等价的。基于魏尔斯特拉斯的定义，区域上的解析函数可以看作是其内任一小圆邻域上幂级数的解析开拓 ，关于解析开拓的一般定义是，f（z）与g（z）分别是D与D*上的解析函数，若DÉD* ，且在D*上f（z）＝g（z）。则称f（z）是g（z）由D*到D的解析开拓 。解析开拓的概念可以推广到这样的情形 ：f（z）与g（z)分别是两个圆盘D1与D2上的幂级数，且D1∩D2≠ ，在D1∩D2上f（z)＝g（z )则也称f与g互为解析开拓，把可以互为解析开拓的（ f（z），Δ）的解析圆盘Δ全连起来，作成一个链。它们的并记作Ω，得到了Ω上的一个解析函数，称它为魏尔斯特拉斯的完全解析函数，这里可能出现这样的情形，在连成一个链的圆盘中，有一些圆盘重叠在一起，但在这些重叠圆盘的每一个上的解析函数都是不一样的，它们的每一个都称为完全解析函数的分支。这样的完全解析函数实际是一个多值函数。黎曼提出将多值解析函数中的那些重叠的圆盘看作是不同的“叶”，不使他们在求并的过程中只留下一个代表，于是形成了一种称为黎曼面的几何模型。将多值函数看作是定义于其黎曼曲面上的解析函数，这样多值解析函数变成了单值解析函数。调和函数如果二元函数f(x,y)在区域Ω内有二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方程,则称f为区域Ω中的调和函数.广义来讲在某区域中满足拉普拉斯方程的函数。通常对函数本身还附加一些光滑性条件，例如有连续的一阶和二阶偏导数。当自变量为n个（从而区域是n维的）时，则称它为n维调和函数。例如，n=2时,调和函数u(x,y)在某平面区域内满足方程若所考虑的区域包含一个闭圆域，例如x+y≤R，则有下列关于调和函数的平均值公式：即u(x,y)在圆心的值等于圆周上的积分平均值。更一般地，圆内任何一点x=rcosφ，y=rsinφ(0≤r<R)处调和函数 u＝u(r, φ)的值可以由下列泊松公式给出：形如上式右端的积分称作泊松积分。设u(x,y)为平面区域G中的调和函数,且在G的闭包上连续,则借助于平均值公式可以证明,它不能在G 的内部取其最大值与最小值，除非它恒等于一常数。这就是调和函数的最大、最小值原理。由泊松积分出发可解决下列狄利克雷问题：在区域G的边界嬠G上给定一连续函数 ƒ(x,y)，要求给出G中的调和函数u(x,y)，使其在嬠G上取ƒ(x,y)的值，即在G的边界嬠G满足一定的条件下,这个问题的解存在且惟一。对于高维的调和函数，也有与上述类似的最大、最小值原理，平均值公式以及相应的狄利克雷问题解的存在和惟一性定理。二维调和函数与解析函数论有着密切联系。在某区域内的调和函数一定是该区域内某解析函数(可能多值)的实部或虚部；反之，某区域内的解析函数其实部与虚部都是该区域内的调和函数，并称其虚部为实部的共轭调和函数。用复数z=x+iy的记法,将u(x,y)写成u(z),若u(z)在│z│<R内调和，在│z│≤R上连续，则泊松公式就成为(0≤r＜R)。对于任何α,│α│<R，此式还可写成泊松积分是近代复变函数论中一个重要的研究工具，由此出发，可得出函数论中一系列重要结果。若u(x,y)满足“重调和”方程则称u是重调和函数,它是数学物理方程理论中的一个重要函数类。调和函数和重调和函数，在力学和物理学中都有重要的应用。类似地也有高维的重调和函数。由于拉普拉斯方程是椭圆型方程的一个特殊情况，故后者的解的一般性质也是调和函数的性质。

调和函数是在某区域中满足拉普拉斯方程的函数。通常对函数本身还附加一些光滑性条件，所以lnx是调和函数