莱布尼茨

莱布尼兹判别法如下：若交错级数Σ(-1)n-1u（nun>0）满足下述n=1两个条件：（I）limn→∞un=0；（II）数列{un}单调递减则该交错级数收敛。一个级数收敛的必要条件是n趋于无穷时，通项趋于零。而这个条件是对任何一个级数均成立的。如果一个交错级数的通项（去掉符号后）不趋于零，那么加上符号后也肯定不趋于零，那么这个交错级数一定是发散的。由级数收敛的柯西准则，级数收敛的充要条件是：任给正数ε，总存在正整数N，使得当m>N以及任意的正整数p，都有｜Uм+1+Uм+2+Uм+3+。。。。+Uм+p｜<ε则有推论若级数收敛，则limn→∞Un=0使用条件常用莱布尼茨判别法来判断级数的收敛性，即若交错级数各项的绝对值单调递减且极限是零，则该级数收敛；此外，由莱布尼茨判别法可得到交错级数的余项估计。最典型的交错级数是交错调和级数。另外，对一些复杂的交错级数用莱布尼兹判别法就很难判断其敛散性。为了解决这些问题，在莱布尼兹判别法和阿贝尔判别法的基础上，引进另外一种交错级数的判别法。以上内容来源：百度百科-交错级数

x^3的4阶导数=0x^3的3阶导数=3！=6， lnx的1阶导数=1/xx^3的2阶导数=6x， lnx的2阶导数=-1/x^2x^3的1阶导数=3x^2， lnx的3阶导数=2x^(-3)x^3 不求导为x^3,lnx的4阶导数=-6x^(-4)所以原式=C(4，0)×0＋C(4，1)×6×1/x+C(4,2)·6x·（-1/x^2）+C(4,3)·3x^2·2x^(-3)+C(4,4)X^3·（-6x^(-4)）=24/x -36/x+24/x-6/x=6/x

类似牛顿二项式展开形式

磁

证明：设：F(x)在区间(a,b)上可导，将区间n等分，分点依次是x1,x2,…xi…x(n-1)，记a=x0,b=xn,每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n, 则F(x)在区间[x(i-1),xi]上的变化为F(xi)-F(x(i-1))(i=1,2,3…) 当Δx很小时， F(x1)-F(x0)=F"(x1)*Δx F(x2)-F(x1)=F"(x2..

莱布尼茨法则，也称为乘积法则，是数学中关于两个函数的积的导数的一个计算法则。莱布尼兹公式，也称为乘积法则，是数学中关于两个函数的积的导数的一个计算法则。不同于牛顿-莱布尼茨公式，莱布尼茨公式用于对两个函数的乘积求取其高阶导数。一般的，如果函数u=u(x)与函数v=v(x)在点x处都具有n阶导数，那么此时有莱布尼茨公式是导数计算中会使用到的一个公式，它是为了求取两函数乘积的高阶导数而产生的一个公式。拓展资料：微积分的创立者是牛顿和莱布尼茨，之所以说牛顿和莱布尼茨的创立者，事实上是因为他们把定积分与不定积分联系起来，从而建立了微分和积分相互联系的桥梁。牛顿莱布尼茨公式，经常也被称为“微积分学基本定理”。

莱布尼兹公式，也称为乘积法则，是数学中关于两个函数的积的导数的一个计算法则。不同于牛顿-莱布尼茨公式，莱布尼茨公式用于对两个函数的乘积求取其高阶导数。一般的，如果函数u=u(x)与函数v=v(x)在点x处都具有n阶导数，那么此时有 莱布尼茨公式是导数计算中会使用到的一个公式，它是为了求取两函数乘积的高阶导数而产生的一个公式。拓展资料： 微积分的创立者是牛顿和莱布尼茨，之所以说牛顿和莱布尼茨的创立者，事实上是因为他们把定积分与不定积分联系起来，从而建立了微分和积分相互联系的桥梁。牛顿莱布尼茨公式，经常也被称为“微积分学基本定理”莱布尼茨法则，也称为乘积法则，是数学中关于两个函数的积的导数的一个计算法则。莱布尼兹公式，也称为乘积法则，是数学中关于两个函数的积的导数的一个计算法则。不同于牛顿莱布尼茨公式，莱布尼茨公式用于对两个函数的乘积求取其高阶导数。 扩展资料　　推导过程：　　如果存在函数u=u(x)与v=v(x)，且它们在点x处都具有n阶导数，那么显而易见的.，　　u(x) ± v(x) 在x处也具有n阶导数，且 (u±v)(n) = u(n)± v(n)　　至于u(x) × v(x) 的n阶导数则较为复杂，按照基本求导法则和公式，可以得到：　　(uv)" = u"v + uv"　　(uv)"" = u""v + 2u"v" + uv""　　(uv)""" = u"""v + 3u""v" + 3u"v"" + uv

莱布尼茨法则，也称为乘积法则，是数学中关于两个函数的积的导数的一个计算法则。一般的，如果函数u=u(x)与函数v=v(x)在点x处都具有n阶导数，那么此时有：牛顿-莱布尼茨公式是微积分学中的一个重要公式，它把不定积分与定积分相联系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。扩展资料推导过程：如果存在函数u=u(x)与v=v(x)，且它们在点x处都具有n阶导数，那么显而易见的，u(x) ± v(x) 在x处也具有n阶导数，且 (u±v)(n)= u(n)± v(n)至于u(x) × v(x) 的n阶导数则较为复杂，按照基本求导法则和公式，可以得到：(uv)" = u"v + uv"(uv)"" = u""v + 2u"v" + uv""(uv)""" = u"""v + 3u""v" + 3u"v"" + uv"""…………最后由科学归纳法可得：参考资料来源：百度百科—莱布尼茨公式

牛顿布莱尼茨公式通常也被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。牛顿-莱布尼兹公式，又称为微积分基本定理,其内容是:若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，且存在原函数F (x),则f(x)在[a,b]_上可积,且从a到b的定积分(积分号下限为a上限为b) : ff(x)dx=F (b)-F(a)。牛顿布莱尼茨公式意义：牛顿-莱布尼茨公式的发现，使人们找到了解诀曲线的长度，曲线围成的面积和曲面围成的体积这些问题的一般方法。它简化了定积分的计算，只要知道被积函数的原函数，总可以求出定积分的精确值或一-定精 度的近似值。牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。牛顿-莱布尼茨公式是积分学理论的主干，利用牛顿一莱布尼茨公式可以证明定积分换元公式，积分第一中值定理和积分型余项的泰勒公式。牛顿莱布尼茨公式还可以推广到二重积分与曲线积分，从-维推广到多维。

1646年7月1日莱布尼茨出生于神圣罗马帝国的莱比锡，祖父三代人均曾在萨克森政府供职，父亲是Friedrich Leibnütz，母亲是Catherina Schmuck。长大后，莱布尼茨名字的拼法才改成“Leibniz”，但是一般人习惯写成“Leibnitz”。晚年时期，他的签名通常写成“von Leibniz”，以示贵族身份。莱布尼茨死后，他的作品才公诸于世，作者名称通常是“Freiherr [Baron] G. W. von Leibniz.”，但没有人确定他是否确实有男爵的贵族头衔。莱布尼茨的父亲是莱比锡大学的伦理学教授，在莱布尼茨6岁时去世，留下了一个私人的图书馆。12岁时自学拉丁文，并着手学习希腊文。14岁时进入莱比锡大学念书，20岁时完成学业，专攻法律和一般大学课程。1666年他出版第一部有关于哲学方面的书籍，书名为《论组合术》（de arte combinatoria）。 1666年莱布尼茨于Altdorf拿到博士学位后，拒绝了教职的聘任，并经由当时政治家Boineburg男爵的介绍，任职服务于美茵茨选帝侯大主教Johann Philipp von Schönborn的高等法庭。1671年发表两篇论文《抽象运动的理论》（Theoria motus abstracti）及《新物理学假说》（Hypothesis physica nova），分别题献给巴黎的科学院和伦敦的皇家学会，在当时欧洲学术界增加了知名度。1672年莱布尼茨被Johann Philipp派至巴黎，以动摇路易十四对入侵荷兰及其它西欧日尔曼邻国的兴趣，并转投注精力于埃及。这项政治计划并没有成功，但莱布尼茨却进入了巴黎的知识圈，结识了马勒伯朗士和数学家惠更斯等人。这一时期的莱布尼茨特别研究数学，而发明了微积分。1672及1673年Boineburg和Johann Philipp却相继过世，迫使莱布尼茨最后于1676年离开巴黎而转任职服务于汉诺威的Johann Friedrich公爵。于上任时，顺道于海牙拜访斯宾诺莎，与其数天一同讨论哲学。之后莱布尼茨就到汉诺威管理图书馆，并担任公爵法律顾问。1680至1685年间，担任哈茨山银矿矿采工程师。在这期间，莱布尼茨致力于风车设计，以抽取矿坑中的地下水。然而受限于技术问题和矿工传统观念的阻力，计划没有成功。1685年起，再受继任的公爵Ernst August所托，转而开始做其Braunschweig-Lüneburg贵族族谱研究。这项计划一直到莱布尼茨去世前都没有完成。1686年完成《形而上学论》(Discours de métaphysique)。1689年为完成Braunschweig-Lüneburg族谱研究，游历于意大利。其时结识耶稣会派遣于中国的传教士，而开始对中国事物有更强烈的兴趣。1695年于期刊发表《新系统》，进而使莱布尼茨哲学中，关于实体间与心物间之“预定和谐”理论，被广泛认识。 1700年莱布尼茨说服勃兰登堡选帝侯腓特烈三世于柏林成立科学院，并担任首任院长。1704年完成《人类理智新论》。本文针对洛克的《人类理智论》，用对话的体裁，逐章节提出批评。然因洛克的突然过世，莱布尼茨不愿被落入欺负死者的口实，所以本书在莱布尼茨生前一直都没有出版。1710年，出于对1705年过世的普鲁士王后Sophie Charlotte的感念，出版《神义论》(Essais de Théodicée)。1714年于维也纳著写《单子论》（La Monadologie；标题为后人所加）及《建立于理性上之自然与恩惠的原理》。同年，汉诺威公爵Georg Ludwig继任为英国国王乔治一世，却拒绝将莱布尼茨带至伦敦，而将他疏远于汉诺威。 现今在微积分领域使用的符号仍是莱布尼茨所提出的。在高等数学和数学分析领域，莱布尼茨判别法是用来判别交错级数的收敛性的。莱布尼茨与牛顿谁先发明微积分的争论是数学界至今最大的公案。莱布尼茨于1684年发表第一篇微分论文，定义了微分概念，采用了微分符号dx，dy。1686年他又发表了积分论文，讨论了微分与积分，使用了积分符号∫。依据莱布尼茨的笔记本，1675年11月11日他便已完成一套完整的微分学。然而1695年英国学者宣称：微积分的发明权属于牛顿；1699年又说：牛顿是微积分的“第一发明人”。1712年英国皇家学会成立了一个委员会调查此案，1713年初发布公告：“确认牛顿是微积分的第一发明人。”莱布尼茨直至去世后的几年都受到了冷遇。由于对牛顿的盲目崇拜，英国学者长期固守于牛顿的流数术，只用牛顿的流数符号，不屑采用莱布尼茨更优越的符号，以致英国的数学脱离了数学发展的时代潮流。不过莱布尼茨对牛顿的评价非常的高，在1701年柏林宫廷的一次宴会上，普鲁士国王腓特烈询问莱布尼茨对牛顿的看法，莱布尼茨说道：“在从世界开始到牛顿生活的时代的全部数学中，牛顿的工作超过了一半”牛顿在1687年出版的《自然哲学的数学原理》的第一版和第二版也写道：“十年前在我和最杰出的几何学家莱布尼茨的通信中，我表明我已经知道确定极大值和极小值的方法、作切线的方法以及类似的方法，但我在交换的信件中隐瞒了这方法，……这位最卓越的科学家在回信中写道，他也发现了一种同样的方法。他并诉述了他的方法，它与我的方法几乎没有什么不同，除了他的措词和符号而外”（但在第三版及以后再版时，这段话被删掉了）。因此，后来人们公认牛顿和莱布尼茨是各自独立地创建微积分的。牛顿从物理学出发，运用集合方法研究微积分，其应用上更多地结合了运动学，造诣高于莱布尼茨。莱布尼茨则从几何问题出发，运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则，其数学的严密性与系统性是牛顿所不及的。莱布尼茨认识到好的数学符号能节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功的关键之一。因此，他所创设的微积分符号远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大影响。1714至1716年间，莱布尼茨在去世前，起草了《微积分的历史和起源》一文（本文直到1846年才被发表），总结了自己创立微积分学的思路，说明了自己成就的独立性。 拓扑学最早称之“位相分析学”（analysis situs），是莱布尼茨1679年提出的，这是一门研究地形、地貌相类似的学科，当时主要研究的是出于数学分析的需要而产生的一些几何问题。关于莱布尼茨对拓扑学的贡献，尚存争论。Mates引用Jacob Freudenthal1954年一篇论文里的话说：尽管莱布尼茨认为一列点在空间中的位置是由其间距离唯一决定的——当且仅当距离发生变化时点的位置发生相应的改变——他的仰慕者欧拉，在他著名的一篇论文（1736年发表，解决了柯尼斯堡七桥问题及其推广）中，却是在“拓扑变形时点的位置不发生变化”的意义下使用“几何位置”这个名词的。他误信了莱布尼茨是这个概念的创始者。……人们常常意识不到莱布尼茨是在完全不同的意义下使用这个名词的，因此被尊为数学的这个分支领域的奠基人并不恰当。但平野秀秋持有不同看法，他引用本华·曼德博的话说:在 莱布尼茨海量的科学成果中探索是发人深省的体验。除了微积分以及其他已经完成的研究之外，大量涉及内容广泛且极富前瞻性的研究对科学发展的推动力势不可 挡。在‘填充理论"上即有例子，……在发现莱布尼茨还曾经关注过几何度量的重要性之后，我对他的狂热更甚了。在“欧几里德普罗塔”中……，其使得欧几里德 公理更加严格，他陈述道，……‘对直线，我有数种不同的定义。直线是曲线的一种，而曲线的任何部分都是和整体相似的，因此直线也具有这种特性；这不仅适用 于曲线，而且适用于集合。"这个论断今天已经可以被证明。因而分形几何（由本华·曼德博发扬光大）理论在莱布尼茨的自相似性思想和连续性原理中寻求支持：大自然没有跳跃（拉 丁语“natura non facit saltus”，英语"nature does not make jumps"）。当莱布尼茨在他的形而上学著作中写道，“直线是曲线的一种，其任何部分都是和整体类似的”，他实际上提前两个世纪预言了拓扑学的诞生。至 于“填充理论”，莱布尼茨对他的朋友Des Bosses说，“你想象一个圆，然后用三个全等的最大半径的圆填满它，后来的三个小圆又可以以同样的过程被更小的圆填充”。这个过程可以无限地继续下 去，并由此生发出了自相似性的思想。莱布尼茨对于欧氏公理的改进亦包含同样的概念。 莱布尼茨有个显著的信仰，大量的人类推理可以被归约为某类运算，而这种运算可以解决看法上的差异："精炼我们的推理的唯一方式是使它们同数学一样切实，这样我们能一眼就找出我们的错误，并且在人们有争议的时候，我们可以简单的说： 让我们计算[calculemus]，而无须进一步的忙乱，就能看出谁是正确的。" (发现的艺术 1685,W 51）莱布尼茨的演算推论器，很能让人想起符号逻辑，可以被看作使这种计算成为可行的一种方式。莱布尼茨写的备忘录（帕金森1966年翻译了它们）可以被看作是对符号逻辑的探索--所以他的演算--上路了。但是 Gerhard 和 Couturat 没有出版这些著作，直到现代形式逻辑在 1880 年代于 Frege 的概念文字 和 Charles Peirce 及他的学生的著作中形成，所以就更在乔治·布尔和德·摩根在 1847 开创这种逻辑之后了。 除了是一位出众的天才数学家之外，莱布尼茨亦是欧陆理性主义哲学的高峰。承断了西方哲学传统的思想，他认为世界，因其确定（换句话说，有关世界的知识是客观普遍和必然的）之故，必然是由自足的实体所构成。所谓的自足，是不依他物存在和不依他物而被认知。莱布尼茨的前辈斯宾诺莎以为实体只有一个，就是神/自然。莱布尼茨对此不敢苟同，原因之一是斯氏的泛神观和圣经的神学有明显冲突，其次，是因为斯氏的理论没有能够解决由笛卡儿以降的二元论，令世界出现了断层（他虽然强调世界为一，但没有说明这一个看来是二元对立的世界的一统是如何可能）。莱布尼茨以为实体是多的，是无限多的。跟随亚里士多德的实体观，他以为实体是一命题的主语。在一个命题S是P中，S就是实体。因为实体是自足的，则它要包含所有可能的谓语，即是“...是P”。由此，我们可以推出，实体有四个特征：不可分割性、封闭性、统有性和道德性。不可分割性是指，任何有广延的东西，即有长度的东西，都可以被分割。被分割了的东西分别包含了自己的全部可能性，并且自足，则有广延的东西的内容，即可能性要依附于他的部分的可能性。如此类推，则只要有广延性，就不自足，而要依他物而被知（对莱布尼茨来说，真正的知识就是要穷一物的可能性），就不是实体。故实体不可分割，是一没有广延的东西，在莱布尼茨的晚年著作中（Monadology），他称之为单子（Monad），单子的性质就是思（thought）。这广延的世界就是由无限多的单子构成。封闭性是说每一单子必然是自足的，不依他而存在，而又包含了自己的全部可能性。则一单子不可能和另一单子有交互作用（interaction）。若一单子作用于另一单子，则后一单子有一可能性没有包括在该单子之内，即该单子没能自足的包含自己的全部内容，而要依附于他物。因为实体的定义，这是不可能的。故莱布尼茨说：“单子之间没有窗户。”统有性是指每一单子都必然以某种角度（perspective）包括了全世界。因为世界是紧密的由因果所构成，故A作用于B，其实不单单是作用于B，而是全世界。如果说一单子的内容包括自身的全部可能，则每一单子均以该单子自身为中心指向全世界。而这个世界是一的，不等于说所有单子都是一样的，因为同一世界可以不同的角度来认知，而不失为一一统的世界。最后，单子的道德性则较复杂。这个特性的提出是基于两个理由，一、是世界的一统性（unity），二、是世界的确定性。对于前者，所有的单子都包含全世界，但各以自己的角度，世界的一统性是不是假的呢？如果我们要说一统，可以如何说起呢？对于后者，世界是由单子构成，单子只是其可能性的集合，世界亦只是一可能。那我们是不是不可能有一种不仅仅是可能，而是必然的知识呢？我们可以在什么意义下说有关世界的知识是真的、确定的呢？莱布尼茨将之归功于一神，世界的创造者。从一个方面说，神在创造之前，没有已成的材料，故没有既成的有限处境，则创造是一纯意志的创造，神是单凭其至善而创造这一个世界的。故此，如莱布尼茨的名言，这一个确切成就了的世界是“众多可能的世界之中最好的一个。”这乎合了莱布尼茨的信仰要求。另一方面，要确定的了解一事物，则要了解其原因。要理解这一个原因，又要追索该原因的原因。如此类推，则世界的确定性知识不可能是一世界之内的动因（efficient cause），而是一超越的形上因（metaphysical cause）。莱布尼茨称这个理论上必要设置的形上因为神。故，这一个世界之所以是如此，就是因为这是最好的，是至善的可能世界。人，要完全理解这神的至善意志，是不可能的，但可朝这一个方向迈进，因为人的心灵作一特殊的单子，是有记忆的，可以基于过去，畴划自己的未来，这是人类分享的神性，即道德的可能性。人可以透过开放可能性，了解这个神创造的世界，而了解如何成为一个道德的人。这一种世界的道德观，可以被视为康德的先驱，分别在于莱布尼茨独断的提出了神为道德的完满，把可能性说成了是在神的目光之下的实在，而没有真正的将世界的可能性看作为可能性。而且莱布尼茨对天赋观念（innate idea）的批评，正是黑格尔对康德的批评，在这个意义上说，康德一方面是被休谟（Hume）从莱布尼茨的独断梦中唤醒，可是同时亦到由洛克（Locke）起的哲学病变--对理性界限的审查--所污染。在这一方面，莱布尼茨却比康德走前了一步。 莱布尼茨是在亚里士多德和1847年乔治·布尔和德·摩根分别出版开创现代形式逻辑的著作之间最重要的逻辑学家。莱布尼茨阐明了合取、析取、否定、同一、集合包含和空集的首要性质。莱布尼茨的逻辑原理和他的整个哲学可被归约为两点：所有的我们的观念（概念）都是由非常小数目的简单观念复合而成，它们形成了人类思维的字母。复杂的观念来自这些简单的观念，是由它们通过模拟算术运算的统一的和对称的组合。

莱布尼茨三角形的规律是：上一行的数等于下一行与其相邻的两个数之和。如果a是给定的常数，则da=0，dax=adx；加法和减法 v=z—y+w+x，dv=dz-dy+dw+dx；乘法 y=vx，dy=vdx+xdv。莱布尼茨具体求出了各种各样复杂函数的微商(导数)。1686年，给出了对数函数，指数函数的微商．1695年求出了y=xx的微商dy=xx(1+lnx)，等等。无穷级数在微积分的早期研究中，有些函数如指数函数等超越函数的处理相当困难，然而人们发现，若用它们的级数来处理，则非常有成效。因此，无穷级数从一开始就是莱布尼茨、牛顿等人微积分工作的一个重要部分。有时使用无穷级数是为了计算一些特殊的量，如莱布尼茨曾用无穷级数表达式计算π(圆周率)。在求面积的过程中，通过无穷级数表示圆在第一象限的面积，他得到了π的一个十分漂亮的表达式。

基本信息不同于牛顿-莱布尼茨公式，莱布尼茨公式用于对两个函数的乘积求取其高阶导数，一般的，如果函数u=u(x)与函数v=v(x)在点x处都具有n阶导数，那么此时有(uv)= uv + nuv" +uv" ++uv ++ uv也可记为(uv) =n uv折叠编辑本段推导过程如果存在函数u=u(x)与v=v(x)，且它们在点x处都具有n阶导数，那么显而易见的，u(x) ± v(x) 在x处也具有n阶导数，且 (u±n) = u± v至于u(x) × v(x) 的n阶导数则较为复杂，按照基本求导法则和公式，可以得到:(uv)" = u"v + uv"(uv)"" = u""v + 2u"v" + uv""(uv)""" = u"""v + 3u""v" + 3u"v"" + uv"""…………运用数学归纳法可证(uv)= uv + nuv" +uv" ++uv ++ uv上式便称为莱布尼茨公式(Leibniz公式)

莱布尼茨法则，也称为乘积法则，是数学中关于两个函数的积的导数的一个计算法则。一般的，如果函数u=u(x)与函数v=v(x)在点x处都具有n阶导数，那么此时有：牛顿-莱布尼茨公式是微积分学中的一个重要公式，它把不定积分与定积分相联系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。扩展资料推导过程：如果存在函数u=u(x)与v=v(x)，且它们在点x处都具有n阶导数，那么显而易见的，u(x) ± v(x) 在x处也具有n阶导数，且 (u±v)(n)= u(n)± v(n)至于u(x) × v(x) 的n阶导数则较为复杂，按照基本求导法则和公式，可以得到：(uv)" = u"v + uv"(uv)"" = u""v + 2u"v" + uv""(uv)""" = u"""v + 3u""v" + 3u"v"" + uv"""…………最后由科学归纳法可得：参考资料来源：百度百科—莱布尼茨公式

牛顿-莱布尼茨公式（Newton-Leibniz formula），通常也被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。牛顿-莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间 [ a，b ] 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[ a，b ]上的增量。牛顿在1666年写的《流数简论》中利用运动学描述了这一公式，1677年，莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了这一公式。因为二者最早发现了这一公式，于是命名为牛顿-莱布尼茨公式。牛顿-莱布尼茨公式给定积分提供了一个有效而简便的计算方法，大大简化了定积分的计算过程。定理意义：牛顿-莱布尼茨公式的发现，使人们找到了解决曲线的长度，曲线围成的面积和曲面围成的体积这些问题的一般方法。它简化了定积分的计算，只要知道被积函数的原函数，总可以求出定积分的精确值或一定精度的近似值。牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。牛顿-莱布尼茨公式是积分学理论的主干，利用牛顿一莱布尼茨公式可以证明定积分换元公式，积分第一中值定理和积分型余项的泰勒公式。牛顿-莱布尼茨公式还可以推广到二重积分与曲线积分，从一维推广到多维。

牛顿-莱布尼茨公式是牛顿莱布尼茨公式是：f（x）dx=F（b）-F（a）。牛顿-莱布尼茨公式，通常也被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。微积分数学概念，是高等数学中研究函数的微分（Differentiation）、积分（Integration）以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。牛顿-莱布尼兹公式（Newton-Leibnizformula），通常也被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。牛顿在1666年写的《流数简论》中利用运动学描述了这一公式，1677年，莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了这一公式。因为二者最早发现了这一公式，于是命名为牛顿-莱布尼茨公式。牛顿-莱布尼茨公式给定积分提供了一个有效而简便的计算方法，大大简化了定积分的计算过程。定理意义：牛顿-莱布尼茨公式的发现，使人们找到了解决曲线的长度，曲线围成的面积和曲面围成的体积这些问题的一般方法。它简化了定积分的计算，只要知道被积函数的原函数，总可以求出定积分的精确值或一定精度的近似值。牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。牛顿-莱布尼茨公式是积分学理论的主干，利用牛顿一莱布尼茨公式可以证明定积分换元公式，积分第一中值定理和积分型余项的泰勒公式。牛顿-莱布尼茨公式还可以推广到二重积分与曲线积分，从一维推广到多维。

莱布尼兹公式，也称为乘积法则，是数学中关于两个函数的积的导数的一个计算法则。不同于牛顿-莱布尼茨公式，莱布尼茨公式用于对两个函数的乘积求取其高阶导数。一般的，如果函数u=u(x)与函数v=v(x)在点x处都具有n阶导数，那么此时有 莱布尼茨公式是导数计算中会使用到的一个公式，它是为了求取两函数乘积的高阶导数而产生的一个公式。拓展资料： 微积分的创立者是牛顿和莱布尼茨，之所以说牛顿和莱布尼茨的创立者，事实上是因为他们把定积分与不定积分联系起来，从而建立了微分和积分相互联系的桥梁。牛顿莱布尼茨公式，经常也被称为“微积分学基本定理”莱布尼茨法则，也称为乘积法则，是数学中关于两个函数的积的导数的一个计算法则。莱布尼兹公式，也称为乘积法则，是数学中关于两个函数的积的导数的一个计算法则。不同于牛顿莱布尼茨公式，莱布尼茨公式用于对两个函数的乘积求取其高阶导数。 扩展资料　　推导过程：　　如果存在函数u=u(x)与v=v(x)，且它们在点x处都具有n阶导数，那么显而易见的.，　　u(x) ± v(x) 在x处也具有n阶导数，且 (u±v)(n) = u(n)± v(n)　　至于u(x) × v(x) 的n阶导数则较为复杂，按照基本求导法则和公式，可以得到：　　(uv)" = u"v + uv"　　(uv)"" = u""v + 2u"v" + uv""　　(uv)""" = u"""v + 3u""v" + 3u"v"" + uv

莱布尼兹公式好比二项式定理，它是用来求f(x)*g(x)的高阶导数的。(uv)" = u"v+uv"，(uv)"‘ = u""v+2u"v"+uv"‘依数学归纳法，……，可证该莱布尼兹公式。各个符号的意义Σ--------------求和符号C(n,k)--------组合符号，即n取k的组合u^(n-k)-------u的n-k阶导数v^(k)----------v的k阶导数这个公式和排列组合中的二项式定理相似，二项式定理中的多少次方在这里改为多少阶导数。（uv）一阶导=u一阶导乘以v+u乘以v一阶导（uv）二阶导=u二阶导乘以v+2倍u一阶导乘以v一阶导+u乘以v二阶导（uv）三阶导=u三阶导乘以v+3倍u二阶导乘以v一阶导+3倍u一阶导乘以v二阶导+u乘以v三阶导扩展资料：莱布尼茨公式的推导过程如果存在函数u=u(x)与v=v(x)，且它们在点x处都具有n阶导数，那么显而易见的，u(x) ± v(x) 在x处也具有n阶导数，且 (u±v)(n)= u(n)± v(n)至于u(x) × v(x) 的n阶导数则较为复杂，按照基本求导法则和公式，可以得到：(uv)" = u"v + uv"(uv)"" = u""v + 2u"v" + uv""(uv)""" = u"""v + 3u""v" + 3u"v"" + uv"""参考资料来源：百度百科-莱布尼茨公式

若函数f(x)在[a,b]上连续，且存在原函数F(x)，则f(x)在[a,b]上可积，且b(上限)∫a（下限）f(x)dx=F(b)-F(a)这即为牛顿—莱布尼茨公式。牛顿-莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。下面就是该公式的证明全过程：编辑本段对函数f(x)于区间[a,b]上的定积分表达为：b∫a*f(x)dx现在我们把积分区间的上限作为一个变量，这样我们就定义了一个新的函数：Φ(x)=x∫a*f(x)dx但是这里x出现了两种意义，一是表示积分上限，二是表示被积函数的自变量，但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的。为了只表示积分上限的变动，我们把被积函数的自变量改成别的字母如t，这样意义就非常清楚了：Φ(x)=x∫a*f(t)dt编辑本段研究这个函数Φ(x）的性质：1、定义函数Φ(x)=x(上限)∫a（下限）f(t)dt，则Φ与格林公式和高斯公式的联系"(x)=f(x)。证明：让函数Φ(x)获得增量Δx，则对应的函数增量ΔΦ=Φ(x+Δx)-Φ(x)=x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt显然，x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt而ΔΦ=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt=f(ξ)•Δx(ξ在x与x+Δx之间，可由定积分中的中值定理推得，也可自己画个图，几何意义是非常清楚的。)当Δx趋向于0也就是ΔΦ趋向于0时，ξ趋向于x，f(ξ)趋向于f(x)，故有limΔx→0ΔΦ/Δx=f(x)可见这也是导数的定义,所以最后得出Φ"(x)=f(x)。2、b(上限)∫a（下限）f(x)dx=F（b）-F（a），F（x）是f(x)的原函数。证明：我们已证得Φ"(x)=f(x)，故Φ(x）+C=F（x）但Φ(a)=0（积分区间变为[a,a]，故面积为0），所以F（a）=C于是有Φ(x）+F（a）=F（x），当x=b时，Φ(b)=F（b)-F(a),而Φ(b)=b(上限)∫a（下限）f(t)dt，所以b(上限)∫a（下限）f(t)dt=F（b)-F(a)把t再写成x，就变成了开头的公式，该公式就是牛顿-莱布尼茨公式。例子：求由∫（下限为2，上限为y）e^tdt+∫（下限为o，上限为x）costdt=0所确定的隐函数y对x的导数dy/dx求1,∫（下限为-1，上限为1）(x-1)^3dx2,求由∫（下限为0，上限为5）|1-x|dx3,求由∫（下限为-2，上限为2）x√x^2dx解答：e^(y)-e^(2)+sin(x)=0,y=ln(e^(2)-sin(x)),dy/dx=-cos(x)/(e^(2)-sin(x).1).(x-1)^4/4|(-1,1)=(1-1))^4/4-(-1-1))^4/4=-4;2).∫（下限为0，上限为5）|1-x|dx=-∫（下限为0，上限为1）x-1dx+∫（下限为1，上限为5）x-1dx=-(x-1)^2/2|(0,1)+(x-1)^2/2|(1,5)=17/2;x√x^2是奇函数，所以∫（下限为-2，上限为2）x√x^2dx=0

若函数f(x）在[a,b]上连续,且存在原函数F(x）,则f(x）在[a,b]上可积,且 　　b（上限）∫a（下限）f(x)dx=F(b)-F(a) 　　这即为牛顿—莱布尼茨公式.

莱布尼茨法则，也称为乘积法则，是数学中关于两个函数的积的导数的一个计算法则。莱布尼兹公式，也称为乘积法则，是数学中关于两个函数的积的导数的一个计算法则。不同于牛顿-莱布尼茨公式，莱布尼茨公式用于对两个函数的乘积求取其高阶导数。一般的，如果函数u=u(x)与函数v=v(x)在点x处都具有n阶导数，那么此时有莱布尼茨公式是导数计算中会使用到的一个公式，它是为了求取两函数乘积的高阶导数而产生的一个公式。拓展资料：微积分的创立者是牛顿和莱布尼茨，之所以说牛顿和莱布尼茨的创立者，事实上是因为他们把定积分与不定积分联系起来，从而建立了微分和积分相互联系的桥梁。牛顿莱布尼茨公式，经常也被称为“微积分学基本定理”。

莱布尼茨法则，也称为乘积法则，是数学中关于两个函数的积的导数的一个计算法则。一般的，如果函数u=u(x)与函数v=v(x)在点x处都具有n阶导数，那么此时有：牛顿-莱布尼茨公式是微积分学中的一个重要公式，它把不定积分与定积分相联系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。扩展资料推导过程：如果存在函数u=u(x)与v=v(x)，且它们在点x处都具有n阶导数，那么显而易见的，u(x) ± v(x) 在x处也具有n阶导数，且 (u±v)(n)= u(n)± v(n)至于u(x) × v(x) 的n阶导数则较为复杂，按照基本求导法则和公式，可以得到：(uv)" = u"v + uv"(uv)"" = u""v + 2u"v" + uv""(uv)""" = u"""v + 3u""v" + 3u"v"" + uv"""…………最后由科学归纳法可得：参考资料来源：百度百科—莱布尼茨公式

牛顿布莱尼茨公式通常也被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。牛顿-莱布尼兹公式，又称为微积分基本定理,其内容是:若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，且存在原函数F (x),则f(x)在[a,b]_上可积,且从a到b的定积分(积分号下限为a上限为b) : ff(x)dx=F (b)-F(a)。牛顿布莱尼茨公式意义：牛顿-莱布尼茨公式的发现，使人们找到了解诀曲线的长度，曲线围成的面积和曲面围成的体积这些问题的一般方法。它简化了定积分的计算，只要知道被积函数的原函数，总可以求出定积分的精确值或一-定精 度的近似值。牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。牛顿-莱布尼茨公式是积分学理论的主干，利用牛顿一莱布尼茨公式可以证明定积分换元公式，积分第一中值定理和积分型余项的泰勒公式。牛顿莱布尼茨公式还可以推广到二重积分与曲线积分，从-维推广到多维。

若函数f(x）在[a,b]上连续，且存在原函数F(x）,则f(x）在[a,b]上可积，且∫(a→b)f(x)dx=F(b)-F(a)，则可以用牛顿莱布尼兹公式。牛顿-莱布尼茨公式（Newton-Leibniz formula），通常也被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。 牛顿-莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间 [ a，b ] 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[ a，b ]上的增量。扩展资料：根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

如果存在函数u=u(x)与v=v(x)，且它们在点x处都具有n阶导数，那么显而易见的，u(x) ± v(x) 在x处也具有n阶导数，且 (u±v)(n) = u(n)± v(n)至于u(x) × v(x) 的n阶导数则较为复杂，按照基本求导法则和公式，可以得到：(uv)" = u"v + uv"(uv)"" = u""v + 2u"v" + uv""(uv)""" = u"""v + 3u""v" + 3u"v"" + uv"""…………运用数学归纳法可证 (uv)(n) = u(n)v + nu(n-1)v" + u(n-2)v + + u(n-k)v(k) + + uv(n)上式便称为莱布尼茨公式（Leibniz公式）

1、在微积分领域使用的符号仍是莱布尼茨所提出的。 在高等数学和数学分析领域，莱布尼茨判别法是用来判别交错级数的收敛性的。 莱布尼茨与牛顿谁先发明微积分的争论是数学界最大的公案。 莱布尼茨于1684年发表第一篇微分论文，定义了微分概念，采用了微分符号dx，dy。 1686年他又发表了积分论文，讨论了微分与积分，使用了积分符号∫。 依据莱布尼茨的笔记本，1675年11月11日他便已完成一套完整的微分学。 2、拓扑学最早称之“位相分析学”（ *** ysis situs），是莱布尼茨1679年提出的，这是一门研究地形、地貌相类似的学科，当时主要研究的是出于数学分析的需要而产生的一些几何问题。 3、莱布尼茨亦是欧陆理性主义哲学的高峰。 承断了西方哲学传统的思想，他认为世界，因其确定（换句话说，有关世界的知识是客观普遍和必然的）之故，必然是由自足的实体所构成。 所谓的自足，是不依他物存在和不依他物而被认知。 扩展资料 莱布尼茨曾经从一些曾经前往中国传教的教士那里接触到中国文化，之前应该从马可·波罗引起的东方热留下的影响中也了解过中国文化。 法国汉学大师若阿基姆·布韦（Joachim Bouvet，汉名白晋，1662－1732年）向莱布尼茨介绍了《周易》和八卦的系统。 在莱布尼茨眼中，“阴”与“阳”基本上就是他的二进制的中国版。 他曾断言：“二进制乃是具有世界普遍性的、最完美的逻辑语言”。 在德国图林根，著名的郭塔王宫图书馆（Schlos *** ibliothek zu Gotha）内仍保存一份莱氏的手稿，标题写着“1与0，一切数字的神奇渊源。” 事实上，说莱布尼茨看到阴阳才发明二进制完全是断章取义，相反手稿标题全文是：《1 与 0，一切数字的神奇渊源。 ……这是造物的秘密美妙的典范，因为，一切无非都来自上帝。 》。

莱布尼兹判别法如下：若交错级数Σ(-1)n-1u（nun>0）满足下述n=1两个条件：（I）limn→∞un=0；（II）数列{un}单调递减则该交错级数收敛。一个级数收敛的必要条件是n趋于无穷时，通项趋于零。而这个条件是对任何一个级数均成立的。如果一个交错级数的通项（去掉符号后）不趋于零，那么加上符号后也肯定不趋于零，那么这个交错级数一定是发散的。由级数收敛的柯西准则，级数收敛的充要条件是：任给正数ε，总存在正整数N，使得当m>N以及任意的正整数p，都有｜Uм+1+Uм+2+Uм+3+。。。。+Uм+p｜<ε则有推论若级数收敛，则limn→∞Un=0使用条件常用莱布尼茨判别法来判断级数的收敛性，即若交错级数各项的绝对值单调递减且极限是零，则该级数收敛；此外，由莱布尼茨判别法可得到交错级数的余项估计。最典型的交错级数是交错调和级数。另外，对一些复杂的交错级数用莱布尼兹判别法就很难判断其敛散性。为了解决这些问题，在莱布尼兹判别法和阿贝尔判别法的基础上，引进另外一种交错级数的判别法。以上内容来源：百度百科-交错级数

牛顿布莱尼茨公式通常也被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。牛顿-莱布尼兹公式，又称为微积分基本定理,其内容是:若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，且存在原函数F (x),则f(x)在[a,b]_上可积,且从a到b的定积分(积分号下限为a上限为b) : ff(x)dx=F (b)-F(a)。牛顿布莱尼茨公式意义：牛顿-莱布尼茨公式的发现，使人们找到了解诀曲线的长度，曲线围成的面积和曲面围成的体积这些问题的一般方法。它简化了定积分的计算，只要知道被积函数的原函数，总可以求出定积分的精确值或一-定精 度的近似值。牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。牛顿-莱布尼茨公式是积分学理论的主干，利用牛顿一莱布尼茨公式可以证明定积分换元公式，积分第一中值定理和积分型余项的泰勒公式。牛顿莱布尼茨公式还可以推广到二重积分与曲线积分，从-维推广到多维。

牛顿布莱尼茨公式通常也被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。牛顿-莱布尼兹公式，又称为微积分基本定理,其内容是:若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，且存在原函数F (x),则f(x)在[a,b]_上可积,且从a到b的定积分(积分号下限为a上限为b) : ff(x)dx=F (b)-F(a)。牛顿布莱尼茨公式意义：牛顿-莱布尼茨公式的发现，使人们找到了解诀曲线的长度，曲线围成的面积和曲面围成的体积这些问题的一般方法。它简化了定积分的计算，只要知道被积函数的原函数，总可以求出定积分的精确值或一-定精 度的近似值。牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。牛顿-莱布尼茨公式是积分学理论的主干，利用牛顿一莱布尼茨公式可以证明定积分换元公式，积分第一中值定理和积分型余项的泰勒公式。牛顿莱布尼茨公式还可以推广到二重积分与曲线积分，从-维推广到多维。

若函数f(x)在[a,b]上连续，且存在原函数F(x)，则f(x)在[a,b]上可积，且b(上限)∫a（下限）f(x)dx=F(b)-F(a)这即为牛顿—莱布尼茨公式。牛顿-莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。下面就是该公式的证明全过程：编辑本段对函数f(x)于区间[a,b]上的定积分表达为：b∫a*f(x)dx现在我们把积分区间的上限作为一个变量，这样我们就定义了一个新的函数：Φ(x)=x∫a*f(x)dx但是这里x出现了两种意义，一是表示积分上限，二是表示被积函数的自变量，但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的。为了只表示积分上限的变动，我们把被积函数的自变量改成别的字母如t，这样意义就非常清楚了：Φ(x)=x∫a*f(t)dt编辑本段研究这个函数Φ(x）的性质：1、定义函数Φ(x)=x(上限)∫a（下限）f(t)dt，则Φ与格林公式和高斯公式的联系"(x)=f(x)。证明：让函数Φ(x)获得增量Δx，则对应的函数增量ΔΦ=Φ(x+Δx)-Φ(x)=x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt显然，x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt而ΔΦ=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt=f(ξ)•Δx(ξ在x与x+Δx之间，可由定积分中的中值定理推得，也可自己画个图，几何意义是非常清楚的。)当Δx趋向于0也就是ΔΦ趋向于0时，ξ趋向于x，f(ξ)趋向于f(x)，故有limΔx→0ΔΦ/Δx=f(x)可见这也是导数的定义,所以最后得出Φ"(x)=f(x)。2、b(上限)∫a（下限）f(x)dx=F（b）-F（a），F（x）是f(x)的原函数。证明：我们已证得Φ"(x)=f(x)，故Φ(x）+C=F（x）但Φ(a)=0（积分区间变为[a,a]，故面积为0），所以F（a）=C于是有Φ(x）+F（a）=F（x），当x=b时，Φ(b)=F（b)-F(a),而Φ(b)=b(上限)∫a（下限）f(t)dt，所以b(上限)∫a（下限）f(t)dt=F（b)-F(a)把t再写成x，就变成了开头的公式，该公式就是牛顿-莱布尼茨公式。例子：求由∫（下限为2，上限为y）e^tdt+∫（下限为o，上限为x）costdt=0所确定的隐函数y对x的导数dy/dx求1,∫（下限为-1，上限为1）(x-1)^3dx2,求由∫（下限为0，上限为5）|1-x|dx3,求由∫（下限为-2，上限为2）x√x^2dx解答：e^(y)-e^(2)+sin(x)=0,y=ln(e^(2)-sin(x)),dy/dx=-cos(x)/(e^(2)-sin(x).1).(x-1)^4/4|(-1,1)=(1-1))^4/4-(-1-1))^4/4=-4;2).∫（下限为0，上限为5）|1-x|dx=-∫（下限为0，上限为1）x-1dx+∫（下限为1，上限为5）x-1dx=-(x-1)^2/2|(0,1)+(x-1)^2/2|(1,5)=17/2;x√x^2是奇函数，所以∫（下限为-2，上限为2）x√x^2dx=0

百度一下

在微积分的早期研究中，有些函数如指数函数等超越函数的处理相当困难，然而人们发现，若用它们的级数来处理，则非常有成效．因此，无穷级数从一开始就是莱布尼茨、牛顿等人微积分工作的一个重要部分．有时使用无穷级数是为了计算一些特殊的量，如莱布尼茨曾用无穷级数表达式计算π(圆周率)．在求面积的过程中，通过无穷级数表示圆在第一象限的面积，他得到了π的一个十分漂亮的表达式1673年左右，他独立地得到了sinx，cosx和arctgx等函数的无穷级数展开式．还得到了圆面积和双曲线面积的具体展开式，并且将这些展开式与反正切、余割、正弦函数、自然对数函数、指数函数联系起来了．他经常利用级数展开式研究超越函数．有时还将多项式定理用于分式函数或超越函数的展开式．直到1734—1735年，L．欧拉(Euler)才得到在1713年10月25日写给约翰?伯努利(John Bernoulli)的信中，莱布“莱布尼茨判别法”，但他当时的证明却错了．在考虑级数 还相当混乱．微分方程 微分方程在微积分创立之初就为人们所关注．1693年，莱布尼茨称微分方程为特征三角形的边(dx，dy)的函数．在微分方程方面，他进行了一系列工作．其中有些工作是十分独特的．1691年，他提出了常微分方程的分离变量法，解决了形如型方程的求解问题．方法是，先写成然后两边积分．这一年，他还提出了求解一次齐次方的方法。1694年，他证明了把一阶线性常微分方程y′+P(x)y=Q(x)化成积分方程的正确方法，他的方法使用了因变量替换．同时，他还给出了(y′)2+p(x)y′+q(x)=0的解法．1694年，他和约翰?伯努利引进了找等交曲线或曲线族的问题，并求出了一些特殊问题的解．1696年，他证明了，利用变量替换z=y1-n，可以将伯努利方程变换x=P11u+P12v，y=P21u+P22v可以将微分方程a00+a10x+(a01+a11x)y′=0进行简化．通过求解微分方程，莱布尼茨解决了许多具体问题．例如，1686年，他解决了这样的问题：求一条曲线，使得一个摆沿着它作一次完全振动，都用相等的时间，而无论摆所经历的弧长怎样(即等时问题)．他指出，证明，并认识到了圆函数、三角函数的超越性，弄清了许多超越函数的基本性质．此外，他还考虑过概率方程．这一时期，他还求出了十分重要的曳物线方程：1691年，他给出了自达·芬奇(L．Da Vinci)时代就考虑过的悬链线(catenary，这个名称是莱布尼茨给出的)方程为1696年，约翰·伯努利提出了著名的最速降线问题：求从一给定点到不是在它垂直下方的另一点的一条曲线，使得一质点沿这条曲线从给定点P1下滑所用的时间最短；其中摩擦和空气阻力都忽略．这是约翰·伯努利向全欧洲数学家发出的挑战．1697年，莱布尼茨和牛顿(Newton)、G．F．A．洛比达(L"Hospital)、约翰·伯努利分别解决了最速降线问题，指出这是由方程表示的上凹的旋轮线，并由此开始了变分法的研究．数学符号、代数 莱布尼茨在微积分方面的贡献突出地表现在他发明了一套适用的符号系统．1675年引入dx表示x的微分，“∫”表示积分，ddv，dddy表示二阶、三阶微分．1695年左右用dmn表示m阶微分．他比别人更早更明确地认识到，好的符号能大大节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功的关键之一．他自觉地和格外慎重地引入每一个数学符号，常常对各种符号进行长期的比较研究，然后再选择他认为最好的、富有启示性的符号．他创设的符号还有此外还有对数符号、函数符号、行列式符号等等．很多符号的普遍使用与他的提倡和影响密切相关．他还引入了“函数”(function)、“常量”(constant quantity)、变量”(variate)、“参变量”(para-meter)等术语．在代数学方面，莱布尼茨不仅强调引入符号的重要性，而且还讨论了负数、复数的性质，认为复数的出现是无害的，断言复数的对数是不存在的，为此曾在当时的数学界掀起了一场关于负数、虚数的对数之争论．在研究复数时，他还得出过这样的结论：共轭复数的和是实数用一般的复数表示．他把虚数看作是存在(being)与非存在(not-being)的中介．在1678年以前，莱布尼茨就开始了对线性方程组、行列式的研究，对消元法从理论上进行了探讨．在1693年4月28日致洛比达的信中他提出了行列式概念：“我引进方程：此处，在两个数码中，前者表示此数所属的方程式，后者代表此数所属的字母(未知数)．”这样，他创设了采用两个数码的系数记号，相当于现在的aik，为矩阵和行列式一般理论的发展提供了方便的工具．

只要n大于某个N后一直单调即可，不需要考虑前N项的情况。收敛只需要考虑n非常大以后的事情

牛顿-莱布尼茨定理:设f(x)是[a,b]上连续函数，F(x)是f(x)的原函数，即F"(x)=f(x)，那么有∫<从a到b>f(x)dx = F(b)-F(a)

戈特弗里德·威廉·莱布尼茨是历史上少见的通才，被誉为17世纪的亚里士多德。和牛顿一样，他也是微积分的独立发明者之一。但绝大多数人认为，莱布尼茨最大的贡献不是发明微积分，而是微积分中使用的数学符号。相比有“历史上最伟大的符号学者之一”之称的莱布尼兹来说，牛顿的符号系统太差了，以至现在我们使用的微积分通用符号大都是莱布尼茨创立的。1646年7月1日，莱布尼茨出生于德国东部莱比锡的一个书香之家，从小受到了良好的教育。在大学期间广泛阅读了培根、开普勒、伽利略等人的著作，并对他们的著述进行了深入的思考和评价。在听了教授讲授的欧几里得的《几何原本》的课程后，莱布尼茨对数学产生了浓厚的兴趣。在前人工作的基础上，莱布尼茨从几何问题出发，运用分析学方法引进微积分概念，将两个貌似毫不相关的问题(一个是切线问题，一个是求积问题)联系在了一起，从中找到了运算的法则，解决了初等数学难以解决的问题。莱布尼茨把这一研究结果写成了论文《一种求极大极小的奇妙类型的计算》，并在1684年10月发表。这就是最早的微积分研究文献，它虽然只有短短的六页，却足以彰显它划时代的意义。在微积分的创立过程中牛顿的研究时间早于莱比尼茨，因此有人认为他有剽窃之嫌。为此，莱布尼次在1713年发表了《微积分的历史和起源》一文，总结了自己创立微积分学的思路，说明了自己成就的独立性。不过即便如此，关于微积分创立的优先权，在数学史上还是掀起了一场激烈的争论。莱布尼茨在数学方面的贡献不仅局限在微积分上，他的研究及成果渗透到高等数学的许多领域。他的一系列重要数学理论的提出，为后来的数学理论奠定了基础。作为一个举世罕见的科学天才，莱布尼茨一生在多个领域都取得了丰硕成果，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。由于胆结石引起的腹绞痛，1716年11月14日，莱布尼茨孤寂地离开了人世，终年70岁。

莱布尼兹公式，也称为乘积法则，是数学中关于两个函数的积的导数的一个计算法则。不同于牛顿-莱布尼茨公式，莱布尼茨公式用于对两个函数的乘积求取其高阶导数。一般的，如果函数u=u(x)与函数v=v(x)在点x处都具有n阶导数，那么此时有 莱布尼茨公式是导数计算中会使用到的一个公式，它是为了求取两函数乘积的高阶导数而产生的一个公式。拓展资料： 微积分的创立者是牛顿和莱布尼茨，之所以说牛顿和莱布尼茨的创立者，事实上是因为他们把定积分与不定积分联系起来，从而建立了微分和积分相互联系的桥梁。牛顿莱布尼茨公式，经常也被称为“微积分学基本定理”莱布尼茨法则，也称为乘积法则，是数学中关于两个函数的积的导数的一个计算法则。莱布尼兹公式，也称为乘积法则，是数学中关于两个函数的积的导数的一个计算法则。不同于牛顿莱布尼茨公式，莱布尼茨公式用于对两个函数的乘积求取其高阶导数。 扩展资料　　推导过程：　　如果存在函数u=u(x)与v=v(x)，且它们在点x处都具有n阶导数，那么显而易见的.，　　u(x) ± v(x) 在x处也具有n阶导数，且 (u±v)(n) = u(n)± v(n)　　至于u(x) × v(x) 的n阶导数则较为复杂，按照基本求导法则和公式，可以得到：　　(uv)" = u"v + uv"　　(uv)"" = u""v + 2u"v" + uv""　　(uv)""" = u"""v + 3u""v" + 3u"v"" + uv

莱布尼茨公式：（uv）ⁿ=∑(n，k=0) C(k,n) · u^(n-k) · v^(k)符号含义：C（n，k）组合符号即n取k的组合，u^（n-k）即u的n-k阶导数， v^(k)即v的k阶导数。莱布尼兹公式，也称为乘积法则，是数学中关于两个函数的积的导数的一个计算法则。不同于牛顿-莱布尼茨公式，莱布尼茨公式用于对两个函数的乘积求取其高阶导数。莱布尼茨公式给出了含参变量常义积分在积分符号下的求导法则。莱布尼茨是德国自然科学家，客观唯心主义哲学家，启蒙思想家。生于莱比锡，死于汉诺威。早年就读于莱比锡大学，于1663年获得学士学位。1667年又获阿尔特多夫大学法学博士学位。曾任美因茨选帝侯的外交官、宫廷顾问、图书馆长等职。1770年当选为英国皇家学会会员。莱布尼茨公式是导数计算中会使用到的一个公式，它是为了求取两函数乘积的高阶导数而产生的一个公式。推导过程如果存在函数u=u(x)与v=v(x)，且它们在点x处都具有n阶导数，那么显而易见的，u(x) ± v(x) 在x处也具有n阶导数，且 (u±v)(n) = u(n)± v(n)至于u(x) × v(x) 的n阶导数则较为复杂，按照基本求导法则和公式，可以得到：(uv)" = u"v + uv"(uv)"" = u""v + 2u"v" + uv""(uv)""" = u"""v + 3u""v" + 3u"v"" + uv"""…………上式便称为莱布尼茨公式（Leibniz公式）由于名称相似，不少人将牛顿-莱布尼茨公式与莱布尼茨公式相混淆，事实上他们是两个完全不同的公式。牛顿-莱布尼茨公式是微积分学中的一个重要公式，它把不定积分与定积分相联系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。而莱布尼茨公式是导数计算中会使用到的一个公式，它是为了求取两函数乘积的高阶导数而产生的一个公式。二者存在本质上的区别。

1、在微积分领域使用的符号仍是莱布尼茨所提出的。在高等数学和数学分析领域，莱布尼茨判别法是用来判别交错级数的收敛性的。莱布尼茨与牛顿谁先发明微积分的争论是数学界最大的公案。莱布尼茨于1684年发表第一篇微分论文，定义了微分概念，采用了微分符号dx，dy。1686年他又发表了积分论文，讨论了微分与积分，使用了积分符号∫。依据莱布尼茨的笔记本，1675年11月11日他便已完成一套完整的微分学。2、拓扑学最早称之“位相分析学”（analysissitus），是莱布尼茨1679年提出的，这是一门研究地形、地貌相类似的学科，当时主要研究的是出于数学分析的需要而产生的一些几何问题。3、莱布尼茨亦是欧陆理性主义哲学的高峰。承断了西方哲学传统的思想，他认为世界，因其确定（换句话说，有关世界的知识是客观普遍和必然的）之故，必然是由自足的实体所构成。所谓的自足，是不依他物存在和不依他物而被认知。扩展资料莱布尼茨曾经从一些曾经前往中国传教的教士那里接触到中国文化，之前应该从马可·波罗引起的东方热留下的影响中也了解过中国文化。法国汉学大师若阿基姆·布韦（JoachimBouvet，汉名白晋，1662－1732年）向莱布尼茨介绍了《周易》和八卦的系统。在莱布尼茨眼中，“阴”与“阳”基本上就是他的二进制的中国版。他曾断言：“二进制乃是具有世界普遍性的、最完美的逻辑语言”。在德国图林根，著名的郭塔王宫图书馆（SchlossbibliothekzuGotha）内仍保存一份莱氏的手稿，标题写着“1与0，一切数字的神奇渊源。”事实上，说莱布尼茨看到阴阳才发明二进制完全是断章取义，相反手稿标题全文是：《1与0，一切数字的神奇渊源。??这是造物的秘密美妙的典范，因为，一切无非都来自上帝。》。参考资料来源：百度百科-戈特弗里德·威廉·莱布尼茨

莱布尼兹公式，也称为乘积法则，是数学中关于两个函数的积的导数的一个计算法则。不同于牛顿-莱布尼茨公式，莱布尼茨公式用于对两个函数的乘积求取其高阶导数。一般的，如果函数u=u(x)与函数v=v(x)在点x处都具有n阶导数，那么此时有莱布尼茨公式是导数计算中会使用到的一个公式，它是为了求取两函数乘积的高阶导数而产生的一个公式。拓展资料：微积分的创立者是牛顿和莱布尼茨，之所以说牛顿和莱布尼茨的创立者，事实上是因为他们把定积分与不定积分联系起来，从而建立了微分和积分相互联系的桥梁。牛顿莱布尼茨公式，经常也被称为“微积分学基本定理”。

什么是神义论,什么是人义论 Theodicy 神义论：这是由两个希腊词语合成的∶theos，「神」，和字根dik-，「义」。按弥尔顿（Milton）的解释，那是「为神对人的作为辩护」，为了证明神是对的，是值得称颂的，虽然有时看来情况好像不是如此。神义论一个核心的问题是∶在世界种种邪恶面前，我们怎能相信神是良善又拥有完全权柄的呢？在坏人、恶事、亵渎神、伤害人；有害的环境、事件、经验和思想的影响下，人间的价值不断被浪费、破坏、摧毁，包括真实的和潜在的价值；简言之一切引致我们说「那真不应该发生」的事实，无论是自然的或道德的，都是神义论尝试解答的问题。所有神义论对邪恶的看法都是颇一致的，那就是说有了它，就可以达到因它的存在才能达到的更高的善； 人义论，用基督教的话说，大致就是 个体不求诸神而自救；这个人义论也就成了一种极端的个体主义和虚无主义的代名词。基于偶在的痛苦，人义论相信幸福是可以由人自身去求得的，所以把上帝放逐了。 可见人义论与神义论是反过来。 莱布尼茨的简介 戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz,1646年7月1日-1716年11月14日），德意志哲学家、数学家，历史上少见的通才，被誉为17世纪的亚里士多德。 主要成就；哲学：大陆理性主义高峰，单子论，预见现代逻辑学和分析哲学诞生。数学：微积分，二进制。代表作品《神义论》，《单子论》，《论中国人的自然神学》。 为了纪念他和他的学术成就，2006年7月1日，也就是莱布尼茨360周年诞辰之际，汉诺威大学正式改名为汉诺威莱布尼茨大学。 怎样理解莱布尼兹的神正论观点 《神正论》是莱布尼茨在世时发表的唯一一部大部头著作。 本书名为谈神，实为谈人和人的自由。作者在“序言”中曾指出：“有两个著名的迷宫，常常使我们的理性误入歧途：其一关涉到自由与必然的大问题，这一迷宫首先出现在恶的产生和起源的问题中；其二在于连续性和看来是其要素的不可分的点的争论，这个问题牵涉到对于无限性的思考。 第一个问题几乎困惑着整个人类，第二个问题则只是让哲学家们费心。”如果说莱布尼茨的其他著作主要阐述的是“单子论”或“连续性”与“不可分的点”关系问题，则本著着重阐述的则是“几乎困惑着整个人类”的“自由与必然的大问题”或“人的自由”问题。 莱布尼茨的哲学著作有哪些？ 17世纪下半叶，欧洲科学技术迅猛发展，由于生产力的提高和社会各方面的迫切需要，经各国科学家的努力与历史的积累，建立在函数与极限概念基础上的微积分理论应运而生了。 微积分思想，最早可以追溯到希腊由阿基米德等人提出的计算面积和体积的方法。1665年牛顿创始了微积分，莱布尼茨在1673—1676年间也发表了微积分思想的论著。 以前，微分和积分作为两种数学运算、两类数学问题，是分别的加以研究的。卡瓦列里、巴罗、沃利斯等人得到了一系列求面积（积分）、求切线斜率（导数）的重要结果，但这些结果都是孤立的，不连贯的。 只有莱布尼茨和牛顿将积分和微分真正沟通起来，明确地找到了两者内在的直接联系：微分和积分是互逆的两种运算。而这是微积分建立的关键所在。 只有确立了这一基本关系，才能在此基础上构建系统的微积分学。并从对各种函数的微分和求积公式中，总结出共同的算法程序，使微积分方法普遍化，发展成用符号表示的微积分运算法则。 因此，微积分“是牛顿和莱布尼茨大体上完成的，但不是由他们发明的”。 然而关于微积分创立的优先权，在数学史上曾掀起了一场激烈的争论。 实际上，牛顿在微积分方面的研究虽早于莱布尼茨，但莱布尼茨成果的发表则早于牛顿。 莱布尼茨1684年10月在《教师学报》上发表的论文《一种求极大极小的奇妙类型的计算》，是最早的微积分文献。 这篇仅有六页的论文，内容并不丰富，说理也颇含糊，但却有着划时代的意义。 牛顿在三年后，即1687年出版的《自然哲学的数学原理》的第一版和第二版也写道：“十年前在我和最杰出的几何学家莱布尼茨的通信中，我表明我已经知道确定极大值和极小值的方法、作切线的方法以及类似的方法，但我在交换的信件中隐瞒了这方法，……这位最卓越的科学家在回信中写道，他也发现了一种同样的方法。 他并诉述了他的方法，它与我的方法几乎没有什么不同，除了他的措词和符号而外”（但在第三版及以后再版时，这段话被删掉了）。 因此，后来人们公认牛顿和莱布尼茨是各自独立地创建微积分的。 牛顿从物理学出发，运用 *** 方法研究微积分，其应用上更多地结合了运动学，造诣高于莱布尼茨。莱布尼茨则从几何问题出发，运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则，其数学的严密性与系统性是牛顿所不及的。 莱布尼茨认识到好的数学符号能节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功的关键之一。因此，他所创设的微积分符号远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大影响。 1713年，莱布尼茨发表了《微积分的历史和起源》一文，总结了自己创立微积分学的思路，说明了自己成就的独立性。高等数学上的众多成就 莱布尼茨在数学方面的成就是巨大的，他的研究及成果渗透到高等数学的许多领域。 他的一系列重要数学理论的提出，为后来的数学理论奠定了基础。 莱布尼茨曾讨论过负数和复数的性质，得出复数的对数并不存在，共扼复数的和是实数的结论。 在后来的研究中，莱布尼茨证明了自己结论是正确的。他还对线性方程组进行研究，对消元法从理论上进行了探讨，并首先引入了行列式的概念，提出行列式的某些理论，此外，莱布尼茨还创立了符号逻辑学的基本概念。 1673年莱布尼茨特地到巴黎去制造了一个能进行加、减、乘、除及开方运算的计算机。这是继帕斯卡加法机后，计算工具的又一进步。 他还系统地阐述了二进制计数法，并把它和中国的八卦联系起来，为计算机的现代发展奠定了坚实的基础。丰硕的物理学成果 莱布尼茨的物理学成就也是非凡的。 1671年，莱布尼茨发表了《物理学新假说》一文，提出了具体运动原理和抽象运动原理，认为运动着的物体，不论多么渺小，它将带着处于完全静止状态的物体的部分一起运动。他还对笛卡儿提出的动量守恒原理进行了认真的探讨，提出了能量守恒原理的雏型，并在《教师学报》上发表了《关于笛卡儿和其他人在自然定律方面的显著错误的简短证明》，提出了运动的量的问题，证明了动量不能作为运动的度量单位，并引入动能概念，第一次认为动能守恒是一个普通的物理原理。 他又充分地证明了“永动机是不可能”的观点。他也反对牛顿的绝对时空观，认为“没有物质也就没有空见，空间本身不是绝对的实在性”，“空间和物质的区别就象时间和运动的区别一样，可是这些东西虽有区别，却是不可分离的”。 这一思想后来引起了马赫、爱因斯坦等人的关注。 1684年，莱布尼茨在《固体受力的新分析证明》一文中指出，纤维可以延伸，其张力与伸长成正比，因此他提出将胡克定律应用于单根纤维。 这一假说后来在材料力学中被称为马里奥特——莱布尼茨理论。 在光学方面，莱布尼茨也有所建树，他利用微积分中的求极值方法，推导出了折射定律，并尝试用求极值的方法解释光学基本定律。 可以说莱布尼茨的物理学研究一直是朝着为物理学建立一个类似欧氏几何公理系统的目标前进的。多才多艺的莱布尼茨 莱布尼茨中奋斗的主要目标是寻求一种可以获得知识和创造发明的普遍方法，这种努力导致许多数学的发现。 莱布尼茨的多才多艺在历史上很少有人能和他相比，。 斯宾诺莎,莱布尼茨“自然神论”主要观点,历史意义~ 自然神论（Dei *** ）是17到18世纪的英国和18世纪的法国出现的一个哲学观点，主要是回应牛顿力学对传统神学世界观的冲击。这个思想认为虽然上帝创造了宇宙和它存在的规则，但是在此之后上帝并不再对这个世界的发展产生影响。 自然神论者推崇理性原则，把上帝解释为非人格的始因的宗教哲学理论。又称理神论。由17世纪英国思想家L.赫尔伯特始创，著名代表有J.托兰德、D.哈特利、J.普里斯特利等人，18世纪法国启蒙思想家伏尔泰、孟德斯鸠、卢梭等人也都是具有一定唯物主义倾向的自然神论者。自然神论反对蒙昧主义和神秘主义，否定迷信和各种违反自然规律的 “奇迹”；认为上帝不过是“世界理性”或“有智慧的意志”；上帝作为世界的“始因”或“造物主”，它在创世之后就不再干预世界事务，而让世界按照它本身的规律存在和发展下去；主张用“理性宗教”或“自然宗教”代替“天启宗教”。 今日我们听到自然神论就会联想到“神造了世界却不照管护理这个世界，任其发展”。但是17世纪英国人彻尔布里的赫尔伯特爵士提出的自然神论，是想证明我们人类对上帝的信仰是合乎理性，不需要来自圣经中神的启示。他主张基督教是自然宗教，基督教有一些信仰的确已经超出了自然宗教，自然神论者把这些当作迷信的教士争取信众之作，不予接纳。 自然神论者也反对“预言”的应验和“神迹”作为根据上帝存在的根据。吴尔斯顿严厉批评神迹，他认为基督复活乃是其尸体被门徒所窃，结果他因此被关而死在狱中，不过舍洛克因此得到灵感，写了一本《复活见证受审记》，将新约中的见证一一验证。 在欧洲启蒙运动时期，伏尔泰、狄德罗、卢梭、洛克等启蒙思想家推崇中国文化，认为儒家思想的神学观念是自然神论，莱布尼茨写道：“中国有着令人赞叹的道德，还有自然神论的哲学家学说。”[1]无神论者则认为，孔子学说是无神论，在皮埃尔·培尔（Pierre Bayle）的《历史哲学批判辞典》中，儒者被记载为无神论哲学家。克里斯提安·沃尔夫（Christian Wolff）等人则认为，儒家学说并不是自然神学，而是自然哲学[2]。 托马斯·潘恩的观点颇能代表自然神论者的观点：“我相信一个上帝，没有其它的”，但“我不相信犹太教会、罗马教会、希腊教会、土耳其教会、基督教和我所知道的任何教会所宣布的信条。我自己的头脑就是我自己的教会。” 怎样理解莱布尼兹的神正论观点 《神正论》是莱布尼茨在世时发表的唯一一部大部头著作。 本书名为谈神，实为谈人和人的自由。作者在“序言”中曾指出：“有两个著名的迷宫，常常使我们的理性误入歧途：其一关涉到自由与必然的大问题，这一迷宫首先出现在恶的产生和起源的问题中；其二在于连续性和看来是其要素的不可分的点的争论，这个问题牵涉到对于无限性的思考。 第一个问题几乎困惑着整个人类，第二个问题则只是让哲学家们费心。”如果说莱布尼茨的其他著作主要阐述的是“单子论”或“连续性”与“不可分的点”关系问题，则本著着重阐述的则是“几乎困惑着整个人类”的“自由与必然的大问题”或“人的自由”问题。 论述牛顿与莱布尼兹分别对微积分的产生所起的作用 牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止 *** 。他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程（积分法）。 德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者，1684年，他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》。就是这样一篇说理也颇含糊的文章，却有划时代的意义。它已含有现代的微分符号和基本微分法则。1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。他是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。

莱布尼茨定理是判别交错级数敛散性的一种方法。莱布尼茨定理是判断交错级数收敛的一种方法，它看的是去掉（－1）∧n之后的数列的情况，你也可以看成是｜un|吧。绝对收敛直接考察的就是绝对值，在这里考察的就是un，但是绝对收敛和莱布尼茨判别不一样啊，这里你需要判断级数un是否是收敛的，可以用各种方法，而莱布尼茨只需要un满足两个条件就行。交错级数莱布尼茨定理指的是：交错级数是正项和负项交替出现的级数，在交错级数中，常用莱布尼茨判别法来判断级数的收敛性，即若交错级数各项的绝对值单调递减且极限是零，则该级数收敛；由莱布尼茨判别法可得到交错级数的余项估计，最典型的交错级数是交错调和级数。若级数的各项符号正负相间，叫做交错级数。交错级数的项就是正负相间。莱布尼兹的法则是去掉正负号后及取绝对值后级数的一般项是单调趋向0，即交错级数是正项和负项交替出现的级数。

莱布尼兹公式好比二项式定理，它是用来求f(x)*g(x)的高阶导数的。(uv)" = u"v+uv"，(uv)"‘ = u""v+2u"v"+uv"‘依数学归纳法，……，可证该莱布尼兹公式。各个符号的意义Σ--------------求和符号C(n,k)--------组合符号，即n取k的组合u^(n-k)-------u的n-k阶导数v^(k)----------v的k阶导数这个公式和排列组合中的二项式定理相似，二项式定理中的多少次方在这里改为多少阶导数。（uv）一阶导=u一阶导乘以v+u乘以v一阶导（uv）二阶导=u二阶导乘以v+2倍u一阶导乘以v一阶导+u乘以v二阶导（uv）三阶导=u三阶导乘以v+3倍u二阶导乘以v一阶导+3倍u一阶导乘以v二阶导+u乘以v三阶导扩展资料：莱布尼茨公式的推导过程如果存在函数u=u(x)与v=v(x)，且它们在点x处都具有n阶导数，那么显而易见的，u(x) ± v(x) 在x处也具有n阶导数，且 (u±v)(n)= u(n)± v(n)至于u(x) × v(x) 的n阶导数则较为复杂，按照基本求导法则和公式，可以得到：(uv)" = u"v + uv"(uv)"" = u""v + 2u"v" + uv""(uv)""" = u"""v + 3u""v" + 3u"v"" + uv"""参考资料来源：百度百科-莱布尼茨公式

莱布尼茨定理是判别交错级数敛散性的一种方法。莱布尼茨定理是判断交错级数收敛的一种方法，它看的是去掉（－1）∧n之后的数列的情况，你也可以看成是｜un|吧。绝对收敛直接考察的就是绝对值，在这里考察的就是un，但是绝对收敛和莱布尼茨判别不一样啊，这里你需要判断级数un是否是收敛的，可以用各种方法，而莱布尼茨只需要un满足两个条件就行。交错级数莱布尼茨定理指的是：交错级数是正项和负项交替出现的级数，在交错级数中，常用莱布尼茨判别法来判断级数的收敛性，即若交错级数各项的绝对值单调递减且极限是零，则该级数收敛；由莱布尼茨判别法可得到交错级数的余项估计，最典型的交错级数是交错调和级数。若级数的各项符号正负相间，叫做交错级数。交错级数的项就是正负相间。莱布尼兹的法则是去掉正负号后及取绝对值后级数的一般项是单调趋向0，即交错级数是正项和负项交替出现的级数。

公式简介：牛顿-莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间 [ a，b ] 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[ a，b ]上的增量。牛顿在1666年写的《流数简论》中利用运动学描述了这一公式，1677年,莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了这一公式。因为二者最早发现了这一公式，于是命名为牛顿-莱布尼茨公式。牛顿-莱布尼茨公式给定积分提供了一个有效而简便的计算方法，大大简化了定积分的计算过程。定积分一般定理定理1：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。定理2：设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。定理3：设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。扩展资料定积分的正式名称是黎曼积分。就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，然后把某个区间[a,b]上的矩形累加起来，所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积。实际上，定积分的上下限就是区间的两个端点a,b。定积分是把函数在某个区间上的图象[a,b]分成n份，用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，再求当n→+∞时所有这些矩形面积的和。习惯上，我们用等差级数分点，即相邻两端点的间距是相等的。但是必须指出，即使不相等，积分值仍然相同。参考资料来源：百度百科-牛顿-莱布尼茨公式参考资料来源：百度百科-定积分

莱布尼兹公式好比二项式定理，它是用来求f(x)*g(x)的高阶导数的。(uv)" = u"v+uv"，(uv)"‘ = u""v+2u"v"+uv"‘依数学归纳法，……，可证该莱布尼兹公式。各个符号的意义Σ--------------求和符号C(n,k)--------组合符号，即n取k的组合u^(n-k)-------u的n-k阶导数v^(k)----------v的k阶导数这个公式和排列组合中的二项式定理相似，二项式定理中的多少次方在这里改为多少阶导数。（uv）一阶导=u一阶导乘以v+u乘以v一阶导（uv）二阶导=u二阶导乘以v+2倍u一阶导乘以v一阶导+u乘以v二阶导（uv）三阶导=u三阶导乘以v+3倍u二阶导乘以v一阶导+3倍u一阶导乘以v二阶导+u乘以v三阶导扩展资料：莱布尼茨公式的推导过程如果存在函数u=u(x)与v=v(x)，且它们在点x处都具有n阶导数，那么显而易见的，u(x) ± v(x) 在x处也具有n阶导数，且 (u±v)(n)= u(n)± v(n)至于u(x) × v(x) 的n阶导数则较为复杂，按照基本求导法则和公式，可以得到：(uv)" = u"v + uv"(uv)"" = u""v + 2u"v" + uv""(uv)""" = u"""v + 3u""v" + 3u"v"" + uv"""参考资料来源：百度百科-莱布尼茨公式

交错级数的数项的绝对值在n趋于无穷的时候取0，且数项的绝对值随n增大时递减，那么，该交错级数是收敛的

牛顿-莱布尼茨公式（Newton-Leibniz formula），通常也被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。牛顿-莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间 [ a，b ] 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[ a，b ]上的增量。牛顿在1666年写的《流数简论》中利用运动学描述了这一公式，1677年,莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了这一公式。因为二者最早发现了这一公式，于是命名为牛顿-莱布尼茨公式。牛顿-莱布尼茨公式给定积分提供了一个有效而简便的计算方法，大大简化了定积分的计算过程。牛顿-莱布尼茨公式的发现，使人们找到了解决曲线的长度，曲线围成的面积和曲面围成的体积这些问题的一般方法。它简化了定积分的计算，只要知道被积函数的原函数，总可以求出定积分的精确值或一定精度的近似值。牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。牛顿-莱布尼茨公式是积分学理论的主干，利用牛顿一莱布尼茨公式可以证明定积分换元公式，积分第一中值定理和积分型余项的泰勒公式。牛顿-莱布尼茨公式还可以推广到二重积分与曲线积分，从一维推广到多维。    

若函数f(x)在[a,b]上连续，且存在原函数F(x)，则f(x)在[a,b]上可积，且b(上限)∫a（下限）f(x)dx=F(b)-F(a)这即为牛顿—莱布尼茨公式。牛顿-莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。下面就是该公式的证明全过程：编辑本段对函数f(x)于区间[a,b]上的定积分表达为：b∫a*f(x)dx现在我们把积分区间的上限作为一个变量，这样我们就定义了一个新的函数：Φ(x)=x∫a*f(x)dx但是这里x出现了两种意义，一是表示积分上限，二是表示被积函数的自变量，但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的。为了只表示积分上限的变动，我们把被积函数的自变量改成别的字母如t，这样意义就非常清楚了：Φ(x)=x∫a*f(t)dt编辑本段研究这个函数Φ(x）的性质：1、定义函数Φ(x)=x(上限)∫a（下限）f(t)dt，则Φ与格林公式和高斯公式的联系"(x)=f(x)。证明：让函数Φ(x)获得增量Δx，则对应的函数增量ΔΦ=Φ(x+Δx)-Φ(x)=x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt显然，x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt而ΔΦ=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt=f(ξ)•Δx(ξ在x与x+Δx之间，可由定积分中的中值定理推得，也可自己画个图，几何意义是非常清楚的。)当Δx趋向于0也就是ΔΦ趋向于0时，ξ趋向于x，f(ξ)趋向于f(x)，故有limΔx→0ΔΦ/Δx=f(x)可见这也是导数的定义,所以最后得出Φ"(x)=f(x)。2、b(上限)∫a（下限）f(x)dx=F（b）-F（a），F（x）是f(x)的原函数。证明：我们已证得Φ"(x)=f(x)，故Φ(x）+C=F（x）但Φ(a)=0（积分区间变为[a,a]，故面积为0），所以F（a）=C于是有Φ(x）+F（a）=F（x），当x=b时，Φ(b)=F（b)-F(a),而Φ(b)=b(上限)∫a（下限）f(t)dt，所以b(上限)∫a（下限）f(t)dt=F（b)-F(a)把t再写成x，就变成了开头的公式，该公式就是牛顿-莱布尼茨公式。例子：求由∫（下限为2，上限为y）e^tdt+∫（下限为o，上限为x）costdt=0所确定的隐函数y对x的导数dy/dx求1,∫（下限为-1，上限为1）(x-1)^3dx2,求由∫（下限为0，上限为5）|1-x|dx3,求由∫（下限为-2，上限为2）x√x^2dx解答：e^(y)-e^(2)+sin(x)=0,y=ln(e^(2)-sin(x)),dy/dx=-cos(x)/(e^(2)-sin(x).1).(x-1)^4/4|(-1,1)=(1-1))^4/4-(-1-1))^4/4=-4;2).∫（下限为0，上限为5）|1-x|dx=-∫（下限为0，上限为1）x-1dx+∫（下限为1，上限为5）x-1dx=-(x-1)^2/2|(0,1)+(x-1)^2/2|(1,5)=17/2;x√x^2是奇函数，所以∫（下限为-2，上限为2）x√x^2dx=0

牛顿－莱布尼茨公式的意义：1、牛顿－莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。2、牛顿－莱布尼茨公式是积分学理论的主干，利用牛顿一莱布尼茨公式可以证明定积分换元公式，积分第一中值定理和积分型余项的泰勒公式。牛顿－莱布尼茨公式还可以推广到二重积分与曲线积分，从一维推广到多维。牛顿－莱布尼茨公式的用法：1、牛顿－莱布尼茨公式在物理学上也有广泛的应用，计算运动物体的路程，计算变力沿直线所做的功以及物体之间的万有引力。2、牛顿－莱布尼茨公式促进了其他数学分支的发展，该公式在微分方程，傅里叶变换，概率论，复变函数等数学分支中都有体现。扩展资料：1、牛顿－莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间［a，b］上的定积分等于它的任意一个原函数在区间［a，b］上的增量。牛顿在1666年写的《流数简论》中利用运动学描述了这一公式，1677年，莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了这一公式。因为二者最早发现了这一公式，于是命名为牛顿－莱布尼茨公式。2、牛顿－莱布尼茨公式，表明某函数的定积分可以用该函数的任意一个反导函数来计算。这一部分是微积分或数学分析中相当关键且应用很广的一个定理，因为它大大简化了定积分的计算。

自我感觉莱布尼茨更聪明,莱布尼茨毕竟先发表微积分论文的,牛顿后来说自己早就研究出来了,只是没有发表而已.则只是牛顿一面之词,没有说服力. 有人认为,莱布尼茨最大的贡献不是发明微积分,而是发明了微积分中使用的数学符号,因为牛顿使用的符号被普遍认为比莱布尼茨的差. 莱布尼茨涉及的领域及法学、力学、光学、语言学等40多个范畴,皆有卓越表现,这不是牛顿能比的.他和笛卡尔、巴鲁赫·斯宾诺莎被认为是十七世纪三位最伟大的理性主义哲学家.莱布尼茨在哲学方面的工作在预见了现代逻辑学和分析哲学诞生的同时,也显然深受经院哲学传统的影响,更多地应用第一性原理或先验定义,而不是实验证据来推导以得到结论. 莱布尼茨对物理学和技术的发展也做出了重大贡献,并且提出了一些后来涉及广泛——包括生物学、医学、地质学、概率论、心理学、语言学和信息科学——的概念.莱布尼茨在政治学、法学、伦理学、神学、哲学、历史学、语言学诸多方向都留下了著作.

证明过程如下：设F(x)在区间(a,b)上可导，将区间n等分，分点依次是x1,x2,?xi?x(n-1)，记a=x0，b=xn，每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n，则F(x)在区间[x(i-1),xi]上的变化为F(xi)-F(x(i-1))(i=1,2,3?)当Δx很小时：F(x1)-F(x0)=F"(x1)*ΔxF(x2)-F(x1)=F"(x2)*Δx??F(xn)-F(x(n-1))=F"(xn)*Δx所以：F(b)-F(a)=F"(x1)*Δx+ F"(x2)*Δx+?+ F"(xn)*Δx当n→+∞时，∫(a,b)F"(x)dx=F(b)-F(a)扩展资料：牛顿-莱布尼茨公式的发现，使人们找到了解决曲线的长度，曲线围成的面积和曲面围成的体积这些问题的一般方法。它简化了定积分的计算，只要知道被积函数的原函数，总可以求出定积分的精确值或一定精度的近似值。牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。牛顿-莱布尼茨公式简化了定积分的计算，利用该公式可以计算曲线的弧长，平面曲线围成的面积以及空间曲面围成的立体体积，这在实际问题中有广泛的应用，例如计算坝体的填筑方量。牛顿-莱布尼茨公式在物理学上也有广泛的应用，计算运动物体的路程，计算变力沿直线所做的功以及物体之间的万有引力。牛顿-莱布尼茨公式促进了其他数学分支的发展，该公式在微分方程，傅里叶变换，概率论，复变函数等数学分支中都有体现。参考资料来源：百度百科-牛顿-莱布尼茨公式

牛顿-莱布尼茨定理: 设f(x)是[a,b]上连续函数,F(x)是f(x)的原函数,即F"(x)=f(x),那么有 ∫f(x)dx = F(b)-F(a)

莱氏是欧陆理性主义哲学的高峰。承断了西方哲学传统的思想，他认为世界，因其确定（换句话说，有关世界的知识是客观普遍和必然的）之故，必然是由自足的实体所构成。所谓的自足，是不依他物存在和不依他物而被认知。莱氏的前辈斯宾诺莎以为实体只有一个，就是神/自然。莱氏对此不敢苟同，原因之一是斯氏的泛神观和圣经的神学有明显冲突，其次，是因为斯氏的理论没有能够解决由笛卡儿以降的二元对立论，令世界出现了断层（他虽然强调世界为一，但没有说明这一个看来是二元对立的世界的一统是如何可能）。莱氏以为实体是多的，是无限多的。跟随亚里士多德的实体观，他以为实体是一命题的主语。在一个命题S是P中，S就是实体。因为实体是自足的，则它要包含所有可能的谓语。由此，我们可以推出，实体有四个特征︰不可分割性、封闭性、统有性和道德性。不可分割性是指，任何有广延的东西，即有长度的东西，都可以被分割。被分割了的东西分别包含了自己的全部可能性，并且自足，则有广延的东西的内容，即可能性要依附于他的部份的可能性。如此类推，则只要有广延性，就不自足，而要依他物而被知（对莱氏来说，真正的知识就是要穷一物的可能性），就不是实体。故实体不可分割，是一没有广延的东西，在莱氏的晚年著作中（Monadology），他称之为单子（Monad），单子的性质就是思（thought）。这广延的世界就是由无限多的单子构成。

二项式定理。

51/7其实这个三角的规律就是下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第1个数;61/31/41/121/121/41/201/421/51/61/1401/1051/71/421/1051/61/301/601/601/301/,下一行的第2和第3个数相加就等于上一行的第2个数,以此类推世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示：1/11/21/21/31/201/301/

分类: 教育/科学 解析: 四、自由就是受理性决定 ——莱布尼茨哲学 人在真理对他有用的时候，他才利用真理；只消谬误有一时的用场，人也会一厢情愿地为他热衷于谬误的行径辩护；或者是把它作为只有一半的真理来炫耀于人，或者是将其作为一种代用品，用来把已经脱榫的事物在表面上加以弥合。 ——歌德 笛卡儿开创的近代唯理论，经过斯宾诺莎的修正和发展，虽然达到了一个新的高度，但是其中包含的一些内在矛盾并没有得到解决。德国哲学家莱布尼茨另辟蹊径，力图解决这些矛盾，因而使近代唯理论达到高峰。 我们已经看到，要在笛卡儿那里找到清楚明白的确定思想的真正来源是困难重重。斯宾诺莎虽努力于笛卡儿的理论的修正，向真理接近了一步，但是并未从根本上解决笛卡儿的哲学所遇到的重重困难。莱布尼茨作为后起之秀，其思想起源于斯宾诺莎哲学，但又走上与斯宾诺莎不同的道路。如果说斯宾诺莎的哲学是“望远镜”，那么莱布尼茨的哲学是“显微镜”。他的目的要创造出个新的综合，以超出早期唯理论传统之间在各个理智活动领域中看起来不可调和的冲突。 莱布尼茨并不像康德那样是一位职业哲学家。他不仅从未受聘当过大学哲学教授，而且他的兴趣异常广泛，他把哲学研究看作只不过是他众多活动中的一项活动。正像德国人正确称呼他的，他是一个全才——“一个科学院”。他在数学、物理学、植物学、逻辑学、语言学、宗教学、哲学等学科中都有惊人的发现。 莱布尼茨的哲学主要企图调和自然科学中的机械观和宗教的目的观之间的矛盾。莱布尼茨与笛卡儿和斯宾诺莎有所不同，他显然不那么理性主义，吸收了某些经验主义的成分。他已经意识到理性主义的片面性和不完满性，对经验主义和理性主义采取了兼收并蓄的态度。这无疑对唯理论哲学大厦起了瓦解作用。特别是莱布尼茨在观念来源方面的改革潜存着导致唯理论哲学覆灭的危机。在这个意义上，我们可以说，正如休谟通过自己的哲学宣告了经验派哲学的终结，莱布尼茨在事实上也通过自己的哲学宣告了理性派哲学的终结。近代唯理论哲学在莱布尼茨的哲学基础上已无法再前进一步，而必须改弦更张了。 从理智上而言，莱布尼茨在任何时代都可以称为最有天才的人物之一。莱布尼茨曾说过“可能的世界是为最优异的人预备着的”，这真是天之骄子的口吻。马克思在给恩格斯的一封信中，也明确说，“你知道，我是佩服莱布尼茨的”。当然，这并非是说，我们要对莱布尼茨的哲学全盘肯定，乃至顶礼膜拜。实际上，他在整个历史的发展中，也只能是无边无际的宇宙天空中闪烁着微弱星光的一颗小星星。而且在品德上，他与斯宾诺莎相比则略逊一筹。莱布尼茨和斯宾诺莎在学术上曾有过较深的交往，但由于斯宾诺莎被保守派和神学家称做魔鬼的化身，莱布尼茨从一开始就矢口否认他与斯宾诺莎有任何瓜葛。当他给斯宾诺莎的一封完全没有恶意的信出现在斯宾诺莎的《遗著》中时，他非常烦恼。除了轻蔑地和故意地掩盖从斯宾诺莎那里得到的益处以外，莱布尼茨从来不谈及斯宾诺莎。 莱布尼茨的哲学体系是“单子论”，它认为单子是构成万事万物的基础，世界是由单子构成的一个预定和谐体系。在认识论上，他主张潜在的天赋观念论，是一个理性主义者；在政治上，他主张开明专制政体，是一个保守主义者。 伟大的哲学家的思想总是具有超前性，包含着许多为同代人不理解、而为后来哲学和科学的发展所肯定的内容。我们也应该这样科学地、实事求是地来对待莱布尼茨的哲学，因为他也属于伟大的哲学家之列。 1．功名显赫，高官厚禄： 莱布尼茨的一生

高阶导数 莱布尼兹公式 　　(uv)^(n)=∑(n，k=0) C(k,n) * u^(n-k) * v^(k) 　　注： 　　C(k,n)=n!/(k!(n-k)!) 　　^代表后面括号及其中内容为上标，求xx阶导数

牛顿莱布尼茨公式的证明如下：证明：设：F(x)在区间(a，b)上可导，将区间n等分，分点依次是x1，x2，…xi…x(n-1)，记a=x0，b=xn，每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n。则F(x)在区间[x(i-1)，xi]上的变化为F(xi)-F(x(i-1))(i=1，2，3…)。当Δx很小时：F(x1)-F(x0)=F"(x1)*Δx。F(x2)-F(x1)=F"(x2)*Δx。F(xn)-F(x(n-1))=F"(xn)*Δx。所以，F(b)-F(a)=F"(x1)*Δx+ F"(x2)*Δx+…+ F"(xn)*Δx；当n→+∞时，∫(a，b)F"(x)dx=F(b)-F(a)。牛顿-莱布尼茨公式（Newton-Leibniz formula），通常也被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。牛顿-莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间 [ a，b ] 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[ a，b ]上的增量。牛顿在1666年写的《流数简论》中利用运动学描述了这一公式，1677年，莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了这一公式。因为二者最早发现了这一公式，于是命名为牛顿-莱布尼茨公式。牛顿-莱布尼茨公式给定积分提供了一个有效而简便的计算方法，大大简化了定积分的计算过程。定理意义：牛顿-莱布尼茨公式的发现，使人们找到了解决曲线的长度，曲线围成的面积和曲面围成的体积这些问题的一般方法。它简化了定积分的计算，只要知道被积函数的原函数，总可以求出定积分的精确值或一定精度的近似值。牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。

戈特弗里德·威廉·莱布尼茨是历史上少见的通才，被誉为17世纪的亚里士多德。和牛顿一样，他也是微积分的独立发明者之一。但绝大多数人认为，莱布尼茨最大的贡献不是发明微积分，而是微积分中使用的数学符号。相比有“历史上最伟大的符号学者之一”之称的莱布尼兹来说，牛顿的符号系统太差了，以至现在我们使用的微积分通用符号大都是莱布尼茨创立的。1646年7月1日，莱布尼茨出生于德国东部莱比锡的一个书香之家，从小受到了良好的教育。在大学期间广泛阅读了培根、开普勒、伽利略等人的著作，并对他们的著述进行了深入的思考和评价。在听了教授讲授的欧几里得的《几何原本》的课程后，莱布尼茨对数学产生了浓厚的兴趣。在前人工作的基础上，莱布尼茨从几何问题出发，运用分析学方法引进微积分概念，将两个貌似毫不相关的问题(一个是切线问题，一个是求积问题)联系在了一起，从中找到了运算的法则，解决了初等数学难以解决的问题。莱布尼茨把这一研究结果写成了论文《一种求极大极小的奇妙类型的计算》，并在1684年10月发表。这就是最早的微积分研究文献，它虽然只有短短的六页，却足以彰显它划时代的意义。在微积分的创立过程中牛顿的研究时间早于莱比尼茨，因此有人认为他有剽窃之嫌。为此，莱布尼次在1713年发表了《微积分的历史和起源》一文，总结了自己创立微积分学的思路，说明了自己成就的独立性。不过即便如此，关于微积分创立的优先权，在数学史上还是掀起了一场激烈的争论。莱布尼茨在数学方面的贡献不仅局限在微积分上，他的研究及成果渗透到高等数学的许多领域。他的一系列重要数学理论的提出，为后来的数学理论奠定了基础。作为一个举世罕见的科学天才，莱布尼茨一生在多个领域都取得了丰硕成果，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。由于胆结石引起的腹绞痛，1716年11月14日，莱布尼茨孤寂地离开了人世，终年70岁。

莱布尼茨法则，也称为乘积法则，是数学中关于两个函数的积的导数的一个计算法则。莱布尼兹公式，也称为乘积法则，是数学中关于两个函数的积的导数的一个计算法则。不同于牛顿-莱布尼茨公式，莱布尼茨公式用于对两个函数的乘积求取其高阶导数。一般的，如果函数u=u(x)与函数v=v(x)在点x处都具有n阶导数，那么此时有莱布尼茨公式是导数计算中会使用到的一个公式，它是为了求取两函数乘积的高阶导数而产生的一个公式。拓展资料：微积分的创立者是牛顿和莱布尼茨，之所以说牛顿和莱布尼茨的创立者，事实上是因为他们把定积分与不定积分联系起来，从而建立了微分和积分相互联系的桥梁。牛顿莱布尼茨公式，经常也被称为“微积分学基本定理”。

1646年7月1日，戈特弗里德·威廉·莱布尼茨出生于神圣罗马帝国的莱比锡，祖父三代人均曾在萨克森 *** 供职，父亲是Friedrich Leibnütz，妈妈是Catherina Schmuck。长大后，莱布尼茨名字的拼法才改成"Leibniz"，但是一般人习惯写成"Leibnitz"。晚年时期，他的签名往往写成"von Leibniz"，以示贵族身份。莱布尼茨死后，他的作品才公诸于世，作者名称往往是"Freiherr [Baron] G. W. von Leibniz."，但没有人确定他是否确实有男爵的贵族头衔。 莱布尼茨的父亲是莱比锡大学的伦理学教授，在莱布尼茨6岁时去世，留下了一个私人的图书馆。12岁时自学拉丁文，并着手学习希腊文。14岁时进入莱比锡大学念书，20岁时完成学业，专攻法律和一般大学课程。1666年他出版第一部有关於哲学方面的书籍，书名为《论组合术》（de arte binatoria）。 微积分 现在在微积分领域使用的符号仍是莱布尼茨所提出的。在高等数学和数学分析领域，莱布尼茨判别法是用来判别交错级数的收敛性的。 莱布尼茨与牛顿谁先发明微积分的争论是数学界到今天最大的公案。莱布尼茨于1684年发表第一篇微分论文，定义了微分概念，采用了微分符号dx，dy。1686年他又发表了积分论文，讨论了微分与积分，使用了积分符号∫。依据莱布尼茨的笔记本，1675年11月11日他便已完成一套完整的微分学。 然而1695年英国学者宣称:微积分的发明权属于牛顿;1699年又说:牛顿是微积分的"第一发明人"。1712年英国皇家学会成立了一个委员会调查此案，1713年初发布公告:"确认牛顿是微积分的第一发明人。"莱布尼茨直至去世后的几年都受到了冷遇。由于对牛顿的盲目崇拜，英国学者长期固守于牛顿的流数术，只用牛顿的流数符号，不屑采用莱布尼茨更优越的符号，以致英国的数学脱离了数学发展的时代潮流。 不过莱布尼茨对牛顿的评价很的高，在1701年柏林宫廷的一次宴会上，普鲁士国王腓特烈询问莱布尼茨对牛顿的看法，莱布尼茨说道:"在从世界开始到牛顿生活的时代的全部数学中，牛顿的工作超过了一半" 牛顿在1687年出版的《自然哲学的数学原理》的第一版和第二版也写道:"十年前在我和最杰出的几何学家莱布尼茨的通讯中，我表明我已晓得确定极大值和极小值的方法、作切线的方法以及类似的方法，但我在交换的信件中隐瞒了这方法，……这位最卓越的科学家在回信中写道，他也发现了一种同样的方法。他并诉述了他的方法，它与我的方法几乎没有什么不同，除了他的措词和符号而外"（但在第三版及以后再版时，这段话被删掉了）。因此，后来人们公认牛顿和莱布尼茨是各自独立地建立微积分的。 牛顿从物理学出发，运用 *** 方法研究微积分，其应用上更多地结合了运动学，造诣高于莱布尼茨。莱布尼茨则从几何问题出发，运用分析学方法引进微积分概念、得出运演算法则，其数学的严密性与系统性是牛顿所不及的。 莱布尼茨认识到好的数学符号能节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功的关键之一。因此，他所创设的微积分符号远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大影响。1714至1716年间，莱布尼茨在去世前，起草了《微积分的历史和起源》一文（本文直到1846年才被发表），总结了自个创立微积分学的思路，说明了自个成就的独立性。 拓扑学 拓扑学最早称之"位相分析学"（ *** ysis situs），是莱布尼茨1679年提出的，这是一门研究地形、地貌相类似的学科，当时主要研究的是出于数学分析的需要而产生的一些几何问题。关于莱布尼茨对拓扑学的贡献，尚存争论。Mates引用Jacob Freudenthal1954年一篇论文里的话说: 尽管莱布尼茨以为一列点在空间中的位置是由其间距离唯一决定的--当且仅当距离发生变化时点的位置发生相应的改变--他的仰慕者尤拉，在他著名的一篇论文（1736年发表，解决了柯尼斯堡七桥问题及其推广）中，却是在"拓扑变形时点的位置不发生变化"的意义下使用"几何位置"这个名词的。他误信了莱布尼茨是这个概念的创始者。……人们经常意识不到莱布尼茨是在完全不同的意义下使用这个名词的，因此被尊为数学的这个分支领域的奠基人并不恰当。 但平野秀秋持有不同看法，他引用本华·曼德博的话说: 在 莱布尼茨海量的科学成果中探索是发人深省的享受。除了微积分以及其他已完成的研究之外，大量涉及内容广泛且极富前瞻性的研究对科学发展的推动力势不可 挡。在"填充理论"上即有例子，……在发现莱布尼茨还过去关注过几何度量的重要性之后，我对他的狂热更甚了。在"欧几里德普罗塔"中……，其使得欧几里德 公理更加严格，他陈述道，……"对直线，我有数种不同的定义。直线是曲线的一种，而曲线的任何部分都是和整体相似的，因此直线也具有这种特性;这不仅适用 于曲线，而且适用于 *** 。"这个论断今天已可以被证明。 因而分形几何（由本华·曼德博发扬光大）理论在莱布尼茨的自相似性思想和连续性原理中寻求支援:大自然没有跳跃（拉 丁语"natura non facit saltus"，英语"nature does not make jumps"）。当莱布尼茨在他的形而上学著作中写道，"直线是曲线的一种，其任何部分都是和整体类似的"，他实际上提前两个世纪预言了拓扑学的诞生。至 于"填充理论"，莱布尼茨对他的朋友Des Bosses说，"你想象一个圆，然后用三个全等的最大半径的圆填满它，后来的三个小圆又可以以同样的过程被更小的圆填充"。这个过程可以无限地继续下 去，并由此生发出了自相似性的思想。莱布尼茨对于欧氏公理的改进亦包含同样的概念。 符号思维 莱布尼茨有个明显的信仰，大量的人类推理可以被归约为某类运算，而这种运算可以解决看法上的差异: "精炼我们的推理的唯一方式是使它们同数学一样切实，这样我们能一眼就找出我们的错误，并且在人们有争议的时候，我们可以简单的说: 让我们计算[calculemus]，而无须进一步的忙乱，就能看出谁是正确的。" （发现的艺术 1685，W 51） 莱布尼茨的演算推论器，非常能让人想起符号逻辑，可以被看作使这种计算成为可行的一种方式。莱布尼茨写的备忘录（帕金森1966年翻译了它们）可以被看作是对符号逻辑的探索--所以他的演算--上路了。但是 Gerhard 和 Couturat 没有出版这些著作，直到现代形式逻辑在 1880 年代于 Frege 的概念文字 和 Charles Peirce 及他的学生的著作中形成，所以就更在乔治·布林和德·摩根在 1847 开创这种逻辑之后了。

莱布尼茨公式：（uv）ⁿ=∑(n，k=0) C(k,n) · u^(n-k) · v^(k)符号含义：C（n，k）组合符号即n取k的组合，u^（n-k）即u的n-k阶导数， v^(k)即v的k阶导数。莱布尼兹公式，也称为乘积法则，是数学中关于两个函数的积的导数的一个计算法则。不同于牛顿-莱布尼茨公式，莱布尼茨公式用于对两个函数的乘积求取其高阶导数。莱布尼茨公式给出了含参变量常义积分在积分符号下的求导法则。莱布尼茨是德国自然科学家，客观唯心主义哲学家，启蒙思想家。生于莱比锡，死于汉诺威。早年就读于莱比锡大学，于1663年获得学士学位。1667年又获阿尔特多夫大学法学博士学位。曾任美因茨选帝侯的外交官、宫廷顾问、图书馆长等职。1770年当选为英国皇家学会会员。莱布尼茨公式是导数计算中会使用到的一个公式，它是为了求取两函数乘积的高阶导数而产生的一个公式。推导过程如果存在函数u=u(x)与v=v(x)，且它们在点x处都具有n阶导数，那么显而易见的，u(x) ± v(x) 在x处也具有n阶导数，且 (u±v)(n) = u(n)± v(n)至于u(x) × v(x) 的n阶导数则较为复杂，按照基本求导法则和公式，可以得到：(uv)" = u"v + uv"(uv)"" = u""v + 2u"v" + uv""(uv)""" = u"""v + 3u""v" + 3u"v"" + uv"""…………上式便称为莱布尼茨公式（Leibniz公式）由于名称相似，不少人将牛顿-莱布尼茨公式与莱布尼茨公式相混淆，事实上他们是两个完全不同的公式。牛顿-莱布尼茨公式是微积分学中的一个重要公式，它把不定积分与定积分相联系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。而莱布尼茨公式是导数计算中会使用到的一个公式，它是为了求取两函数乘积的高阶导数而产生的一个公式。二者存在本质上的区别。

莱布尼茨读作：lái bù ní cí拓展：1、莱布尼茨基本简介：戈特弗里德·威廉·莱布尼茨，德国哲学家、数学家，是历史上少见的通才，被誉为十七世纪的亚里士多德。他本人是一名律师，经常往返于各大城镇，他许多的公式都是在颠簸的马车上完成的，他也自称具有男爵的贵族身份。2、莱布尼茨基本成就：在政治学、法学、伦理学、神学、哲学、历史学、语言学等诸多方向都留下了著作。他和艾萨克·牛顿先后独立发现了微积分，而且他所使用的微积分的数学符号被更广泛的使用。

一、人物（Gottfriend Wilhelm von Leibniz，1646—1716）德国最重要的自然科学家、数学家、物理学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才，和牛顿同为微积分的创建人。他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。个人生平与事迹　　1646年7月1日，莱布尼茨出生于德国东部莱比锡的一个书香之家，父亲弗里德希·莱布尼茨是莱比锡大学的道德哲学教授，母亲凯瑟琳娜·施马克出身于教授家庭，虔信路德新教。　　莱布尼茨的父母亲自做孩子的启蒙教师，耳濡目染使莱布尼茨从小就十分好学，并有很高的天赋，幼年时就对诗歌和历史有着浓厚的兴趣。不幸的是，父亲在他6岁时去世，却给他留下了丰富藏书。　　莱布尼茨的父亲在他年仅六岁时便去世了，给他留下了比金钱更宝贵的丰富的藏书，知书达理的母亲担负起了儿子的幼年教育。莱布尼茨因此得以广泛接触古希腊罗马文化，阅读了许多著名学者的著作，由此而获得了坚实的文化功底和明确的学术目标。　　8岁时，莱布尼茨进入尼古拉学校，学习拉丁文、希腊文、修词学、算术、逻辑、音乐以及《圣经》、路德教义等。　　1661年，15岁的莱布尼茨进入莱比锡大学学习法律，一进校便跟上了大学二年级标准的人文学科的课程，他还抓紧时间学习哲学和科学。1663年5月，他以《论个体原则方面的形而上学争论》一文获学士学位。这期间莱布尼茨还广泛阅读了培根、开普勒、伽利略等人的著作，并对他们的著述进行深入的思考和评价。在听了教授讲授的欧几里得的《几何原本》的课程后，莱布尼茨对数学产生了浓厚的兴趣。　　1664年1月，莱布尼茨完成了论文《论法学之艰难》，获哲学硕士学位。是年2月12日，他母亲不幸去世。18岁的莱布尼茨从此只身一人生活，他—生在思想、性格等方面受母亲影响颇深。　　1665年，莱布尼茨向莱比锡大学提交了博士论文《论身份》，1666年，审查委员会以他太年轻(年仅20岁)而拒绝授予他法学博士学位，黑格尔认为，这可能是由于莱布尼茨哲学见解太多，审查论文的教授们看到他大力研究哲学，心里很不乐意。他对此很气愤，于是毅然离开莱比锡，前往纽伦堡附近的阿尔特多夫大学，并立即向学校提交了早已准备好的那篇博士论文，1667年2月，阿尔特多夫大学授予他法学博士学位，还聘请他为法学教授。　　这一年，莱布尼茨发表了他的第一篇数学论文《论组合的艺术》。这是一篇关于数理逻辑的文章，其基本思想是想把理论的真理性论证归结于一种计算的结果。这篇论文虽不够成熟，但却闪耀着创新的智慧和数学的才华，后来的一系列工作使他成为数理逻辑的创始人。　　1666年，莱布尼茨获得法学博士学位后，在纽伦堡加入了一个炼金术士团体，1667年，通过该团体结识了政界人物博因堡男爵约翰·克里斯蒂文，并经男爵推荐给选帝迈因茨，从此莱布尼茨登上了政治舞台，便投身外交界，在美因茨大主教舍恩博恩的手下工作。　　167l～1672年冬季，他受迈因茨选帝侯之托，着手准备制止法国进攻德国的计划。1672年，莱布尼茨作为一名外交官出使巴黎，试图游说法国国王路易十四放弃进攻，却始终未能与法王见上一面，更谈不上完成选帝侯交给他的任务了。这次外交活动以失败而告终，然而在这期间，他深受惠更斯的启发，决心钻研高等数学，并研究了笛卡儿、费尔马、帕斯卡等人的著作，开始创造性的工作。　　1673年1月，为了促使英国与荷兰之间的和解，他前往伦敦进行斡旋未果。他却趁这个机会与英国学术界知名学者建立了联系。他见到了与之通信达三年的英国皇家学会秘书、数学家奥登伯以及物理学家胡克、化学家波义耳等人。1673年3月莱布尼茨回到巴黎，4月即被推荐为英国皇家学会会员。这一时期，他的兴趣越来越明显地表现在数学和自然科学方面。　　1672年10月，迈因茨选帝侯去世，莱布尼茨失去了职位和薪金，而仅是一位家庭教师了。当时，他曾多方谋求外交官的正式职位，或者希望在法国科学院谋一职位，都没有成功。无奈，只好接受汉诺威公爵约翰·弗里德里希的邀请，前往汉诺威。　　1676年10月4日，莱布尼茨离开巴黎，他先在伦敦作了短暂停留。继而前往荷兰，见到了使用显微镜第一次观察了细菌、原生动物和精子的生物学家列文虎克，这些对莱布尼茨以后的哲学思想产生了影响。在海牙，他见到了斯宾诺莎。1677年1月，莱布尼茨抵达汉诺威，担任布伦兹维克公爵府法律顾问兼图书馆馆长，并负责国际通信和充当技术顾问。汉诺威成了他的永久居住地。　　在繁忙的公务之余，莱布尼茨广泛地研究哲学和各种科学、技术问题，从事多方面的学术文化和社会政治活动。不久，他就成了宫廷议员，在社会上开始声名显赫，生活也由此而富裕。1682年，莱布尼茨与门克创办了近代科学史上卓有影响的拉丁文科学杂志《学术纪事》(又称《教师学报》)，他的数学、哲学文章大都刊登在该杂志上；这时，他的哲学思想也逐渐走向成熟。　　1679年12月，布伦兹维克公爵约翰·弗里德里却突然去世，其弟奥古斯特继任爵位，莱布尼茨仍保留原职。新公爵夫人苏菲是他的哲学学说的崇拜者，“世界上没有两片完全相同的树叶”这一句名言，就出自他与苏菲的谈话。　　奥古斯特为了实现他在整个德国出人头地的野心，建议莱布尼茨广泛地进行历史研究与调查，写一部有关他们家庭近代历史的著作。1686年他开始了这项工作。在研究了当地有价值的档案材料后，他请求在欧洲作一次广泛的游历。　　1687年11月，莱布尼茨离开汉诺威，于1688年初夏5月抵达维也纳。他除了查找档案外，大量时间用于结识学者和各界名流。在维也纳，他拜见了奥地利皇帝利奥波德一世，为皇帝构画出一系列经济、科学规划，给皇帝留下了深刻印象。他试图在奥地利宫庭中谋一职位，但直到1713年才得到肯定答复，而他请求古奥地利建立一个“世界图书馆”的计划则始终未能实现。随后，他前往威尼斯，然后抵达罗马。在罗马，他被选为罗马科学与数学科学院院士。1690年，莱布尼茨回到了汉诺威。由于撰写布伦兹维克家族历史的功绩，他获得了枢密顾问官职务。　　在1700年世纪转变时期，莱布尼茨热心地从事于科学院的筹划、建设事务。他觉得学者们各自独立地从事研究既浪费了时间又收效不大，因此竭力提倡集中人才研究学术、文化和工程技术，从而更好地安排社会生产，指导国家建设。　　从1695年起，莱布尼茨就一直为在柏林建立科学院四处奔波，到处游说。1698年，他为此亲自前往柏林。1700年，当他第二次访问柏林时，终于得到了弗里德里希一世，特别是其妻子(汉诺威奥古斯特公爵之女)的赞助，建立了柏林科学院，他出任首任院长。1700年2月，他还被选为法国科学院院士。至此，当时全世界的四大科学院：英国皇家学会、法国科学院、罗马科学与数学科学院、柏林科学院都以莱布尼次作为核心成员。　　1713年初，维也纳皇帝授予莱布尼茨帝国顾问的职位，邀请他指导建立科学院。俄国的彼得大帝也在17ll～1716年去欧洲旅行访问时，几次听取了莱布尼茨的建议。莱布尼茨试图使这位雄才大略的皇帝相信，在彼得堡建立一个科学院是很有价值的。彼得大帝对此很感兴趣，1712年他给了莱布尼茨一个有薪水的数学、科学宫廷顾问的职务。1712年左右，他同时被维出纳、布伦兹维克、柏林、彼得堡等王室所雇用。这一时期他一有机会就积极地鼓吹他编写百科全书，建立科学院以及利用技术改造社会的计划。在他去世以后，维也纳科学院、彼得堡科学院先后都建立起来了。据传，他还曾经通过传教士，建议中国清朝的康熙皇帝在北京建立科学院。　　就在莱布尼茨倍受各个宫廷青睐之时，他却已开始走向悲惨的晚年了。1716年11月14日，由于胆结石引起的腹绞痛卧床一周后，莱布尼茨孤寂地离开了人世，终年70岁。　　莱布尼茨一生没有结婚，没有在大学当教授。他平时从不进教堂，因此他有一个绰号 Lovenix，即什么也不信的人。他去世时教士以此为借口，不予理睬，曾雇用过他的宫廷也不过问，无人前来吊唁。弥留之际，陪伴他的只有他所信任的大夫和他的秘书艾克哈特。艾克哈特发出讣告后，法国科学院秘书封登纳尔在科学院例会时向莱布尼茨这位外国会员致了悼词。1793年，汉诺威人为他建立了纪念碑；1883年，在莱比锡的一座教堂附近竖起了他的一座立式雕像；1983年，汉诺威市政府照原样重修了被毁于第二次世界大战中的“莱布尼茨故居”，供人们瞻仰。

莱布尼茨提倡使用形式逻辑来研究逻辑，形式逻辑是一种基于符号的逻辑，它使用符号来表示概念和命题，并使用特定的规则来推理出结论。

　　微积分　　现今在微积分领域使用的符号仍是莱布尼茨所提出的。在高等数学和数学分析领域，莱布尼茨判别法是用来判别交错级数的收敛性的。　　莱布尼茨与牛顿谁先发明微积分的争论是数学界至今最大的公案。莱布尼茨于1684年发表第一篇微分论文，定义了微分概念，采用了微分符号dx，dy。1686年他又发表了积分论文，讨论了微分与积分，使用了积分符号∫。依据莱布尼茨的笔记本，1675年11月11日他便已完成一套完整的微分学。　　然而1695年英国学者宣称：微积分的发明权属于牛顿；1699年又说：牛顿是微积分的“第一发明人”。1712年英国皇家学会成立了一个委员会调查此案，1713年初发布公告：“确认牛顿是微积分的第一发明人。”莱布尼茨直至去世后的几年都受到了冷遇。由于对牛顿的盲目崇拜，英国学者长期固守于牛顿的流数术，只用牛顿的流数符号，不屑采用莱布尼茨更优越的符号，以致英国的数学脱离了数学发展的时代潮流。　　不过莱布尼茨对牛顿的评价非常的高，在1701年柏林宫廷的一次宴会上，普鲁士国王腓特烈询问莱布尼茨对牛顿的看法，莱布尼茨说道：“在从世界开始到牛顿生活的时代的全部数学中，牛顿的工作超过了一半”　　牛顿在1687年出版的《自然哲学的数学原理》的第一版和第二版也写道：“十年前在我和最杰出的几何学家莱布尼茨的通信中，我表明我已经知道确定极大值和极小值的方法、作切线的方法以及类似的方法，但我在交换的信件中隐瞒了这方法，……这位最卓越的科学家在回信中写道，他也发现了一种同样的方法。他并诉述了他的方法，它与我的方法几乎没有什么不同，除了他的措词和符号而外”（但在第三版及以后再版时，这段话被删掉了）。因此，后来人们公认牛顿和莱布尼茨是各自独立地创建微积分的。　　牛顿从物理学出发，运用集合方法研究微积分，其应用上更多地结合了运动学，造诣高于莱布尼茨。莱布尼茨则从几何问题出发，运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则，其数学的严密性与系统性是牛顿所不及的。　　莱布尼茨认识到好的数学符号能节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功的关键之一。因此，他所创设的微积分符号远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大影响。1714至1716年间，莱布尼茨在去世前，起草了《微积分的历史和起源》一文（本文直到1846年才被发表），总结了自己创立微积分学的思路，说明了自己成就的独立性。　　拓扑学　　拓扑学最早称之“位相分析学”（analysis situs），是莱布尼茨1679年提出的，这是一门研究地形、地貌相类似的学科，当时主要研究的是出于数学分析的需要而产生的一些几何问题。关于莱布尼茨对拓扑学的贡献，尚存争论。Mates引用Jacob Freudenthal1954年一篇论文里的话说：　　尽管莱布尼茨认为一列点在空间中的位置是由其间距离唯一决定的——当且仅当距离发生变化时点的位置发生相应的改变——他的仰慕者欧拉，在他著名的一篇论文（1736年发表，解决了柯尼斯堡七桥问题及其推广）中，却是在“拓扑变形时点的位置不发生变化”的意义下使用“几何位置”这个名词的。他误信了莱布尼茨是这个概念的创始者。……人们常常意识不到莱布尼茨是在完全不同的意义下使用这个名词的，因此被尊为数学的这个分支领域的奠基人并不恰当。　　但平野秀秋持有不同看法，他引用本华·曼德博的话说:　　在 莱布尼茨海量的科学成果中探索是发人深省的体验。除了微积分以及其他已经完成的研究之外，大量涉及内容广泛且极富前瞻性的研究对科学发展的推动力势不可 挡。在‘填充理论"上即有例子，……在发现莱布尼茨还曾经关注过几何度量的重要性之后，我对他的狂热更甚了。在“欧几里德普罗塔”中……，其使得欧几里德 公理更加严格，他陈述道，……‘对直线，我有数种不同的定义。直线是曲线的一种，而曲线的任何部分都是和整体相似的，因此直线也具有这种特性；这不仅适用 于曲线，而且适用于集合。"这个论断今天已经可以被证明。　　因而分形几何（由本华·曼德博发扬光大）理论在莱布尼茨的自相似性思想和连续性原理中寻求支持：大自然没有跳跃（拉 丁语“natura non facit saltus”，英语"nature does not make jumps"）。当莱布尼茨在他的形而上学著作中写道，“直线是曲线的一种，其任何部分都是和整体类似的”，他实际上提前两个世纪预言了拓扑学的诞生。至 于“填充理论”，莱布尼茨对他的朋友Des Bosses说，“你想象一个圆，然后用三个全等的最大半径的圆填满它，后来的三个小圆又可以以同样的过程被更小的圆填充”。这个过程可以无限地继续下 去，并由此生发出了自相似性的思想。莱布尼茨对于欧氏公理的改进亦包含同样的概念。　　符号思维　　莱布尼茨有个显著的信仰，大量的人类推理可以被归约为某类运算，而这种运算可以解决看法上的差异：　　"精炼我们的推理的唯一方式是使它们同数学一样切实，这样我们能一眼就找出我们的错误，并且在人们有争议的时候，我们可以简单的说： 让我们计算[calculemus]，而无须进一步的忙乱，就能看出谁是正确的。" (发现的艺术 1685,W 51）　　莱布尼茨的演算推论器，很能让人想起符号逻辑，可以被看作使这种计算成为可行的一种方式。莱布尼茨写的备忘录（帕金森1966年翻译了它们）可以被看作是对符号逻辑的探索--所以他的演算--上路了。但是 Gerhard 和 Couturat 没有出版这些著作，直到现代形式逻辑在 1880 年代于 Frege 的概念文字 和 Charles Peirce 及他的学生的著作中形成，所以就更在乔治·布尔和德·摩根在 1847 开创这种逻辑之后了。　　单子论　　除了是一位出众的天才数学家之外，莱氏亦是欧陆理性主义哲学的高峰。承断了西方哲学传统的思想，他认为世界，因其确定（换句话说，有关世界的知识是客观普遍和必然的）之故，必然是由自足的实体所构成。所谓的自足，是不依他物存在和不依他物而被认知。莱氏的前辈斯宾诺莎以为实体只有一个，就是神/自然。莱氏对此不敢苟同，原因之一是斯氏的泛神观和圣经的神学有明显冲突，其次，是因为斯氏的理论没有能够解决由笛卡儿以降的二元对立论，令世界出现了断层（他虽然强调世界为一，但没有说明这一个看来是二元对立的世界的一统是如何可能）。　　莱氏以为实体是多的，是无限多的。跟随亚里士多德的实体观，他以为实体是一命题的主语。在一个命题S是P中，S就是实体。因为　　Gottfried Wilhelm von Leibniz　　实体是自足的，则它要包含所有可能的谓语，即是「……是P」。由此，我们可以推出，实体有四个特征︰不可分割性、封闭性、统有性和道德性。　　不可分割性是指，任何有广延的东西，即有长度的东西，都可以被分割。被分割了的东西分别包含了自己的全部可能性，并且自足，则有广延的东西的内容，即可能性要依附于他的部份的可能性。如此类推，则只要有广延性，就不自足，而要依他物而被知（对莱氏来说，真正的知识就是要穷一物的可能性），就不是实体。故实体不可分割，是一没有广延的东西，在莱氏的晚年著作中（Monadology），他称之为单子（Monad），单子的性质就是思（thought）。这广延的世界就是由无限多的单子构成。　　封闭性是说每一单子必然是自足的，不依他而存在，而又包含了自己的全部可能性。则一单子不可能和另一单子有交互作用(interaction）。若一单子作用于另一单子，则后一单子有一可能性没有包括在该单子之内，即该单子没能自足的包含自己的全部内容，而要依附于他物。因为实体的定义，这是不可能的。故莱氏说︰「单子之间没有窗户。」　　统有性是指每一单子都必然以某种角度（perspective）包括了全世界。因为世界是紧密的由因果所构成，故A作用于B，其实不单单是作用于B，而是全世界。如果说一单子的内容包括自身的全部可能，则每一单子均以该单子自身为中心指向全世界。而这个世界是一的，不等于说所有单子都是一样的，因为同一世界可以不同的角度来认知，而不失为一一统的世界。