解析函数

将图3.3力学模型中的两圆形洞室的相对位置关系用坐标表示，小圆孔以坐标系oxy中原点为圆心，大圆孔以坐标系o1x1y1中原点为圆心，如图3.4所示。图3.4 双圆形洞室坐标关系则两个坐标系的平移关系为：z＝z1+c （3-17）（1）坐标系oxy下φ′（z）在坐标系o1x1y1φ′（z1）的表达式设坐标系oxy下，解析函数为φ（z）和ψ（z），研究其在坐标系o1x1y1时的具体形式。先研究坐标系oxy下的φ′（z）变换到坐标系o1x1y1时的形式。由于应力值与坐标系平移无关，由两个应力值分量组合式有小净距隧道围岩稳定性解析与模拟研究将（3-17）式代入（3-18）式并移项有：小净距隧道围岩稳定性解析与模拟研究因求导数均是指对自变量而言，（3-19）式可写成小净距隧道围岩稳定性解析与模拟研究可见，φ1′（z1）-φ′（z1+c）实部为0，而虚部取零应力不受影响（位移差一刚体位移），不影响一般性，故有：φ1′（z1）＝＝φ′（z1+c）＝φ′（z） （3-21）因此若φ′（z）已求出，则在o1x1y1坐标系中只需要把自变量由z改为z1+c，得到的φ′（z1+c）就是φ1′（z1）。（2）坐标系oxy下ψ′（z）在坐标系o1x1y1ψ′（z1）的表达式再来看ψ′（z）变换到坐标系o1x1y1时的形式，同样由于应力值与坐标系平移无关，由两个应力值分量组合式有（3-22）式和（3-23）式：小净距隧道围岩稳定性解析与模拟研究小净距隧道围岩稳定性解析与模拟研究将（3-22）式和（3-23）式进行移项，代入式（3-21）并整理得：小净距隧道围岩稳定性解析与模拟研究小净距隧道围岩稳定性解析与模拟研究由（3-24）和（3-25）式有：ψ1′（z1）＝ψ′（z1+c）+cφ″（z1+c）＝ψ′（z）+cφ″（z）　（3-26）（3）坐标系oxy下φ（z）和ψ（z）在坐标系o1x1y1的表达式已知坐标系oxy下φ（z）和ψ（z），对（3-21）式和（3-26）式进行积分，积分常数均取零而不影响应力，得坐标系o1x1y1下φ1（z1）和ψ1（z1）：φ1（z1）＝＝φ（z1+c）＝φ（z） （3-27）ψ1（z1）＝ψ（z1+c）+cφ′（z1+c）＝ψ（z）+cφ′（z）　（3-28）同理，已知坐标系o1x1y1下的φ1（z1）和ψ1（z1），可知坐标系oxy下的φ（z）和ψ（z）：φ（z）＝φ1（z-c）＝φ1（z1） （3-29）ψ（z）＝ψ1（z-c）+cφ′1（z-c）＝ψ1（z1）+cφ′1（z1）　（3-30）

利用Morera定理即可。设f的不全纯集合为线段L.任取D内一条闭曲线γ,如果线段γ与L五公共点，直接用Cauchy积分定理即可f在γ上积分为零；如果γ与L有交点，仅需添加割线即可由L将γ内部一份为二；而在两部分上分别满足Cauchy积分定理的条件，因而积分为零。根据Morera定理，f全纯

全纯函数就是解析函数，两者是完全等价的，就是不同的称呼罢了。

1、含义不同。解析函数指的是函数可以解析，而函数不解析是指虽然是解析函数但是不能够解析。2、复杂程度不同。解析函数是比较直观的，可以一眼就看出来。而函数不解析比较复杂，不能够解析。3、包含范围不同。解析函数一般都包括初等函数，较为广泛。而函数不解析包含的较少，只有共轭函数不可以解析，为函数不解析。扩展资料俩种解析函数的边值问题：1、黎曼边值问题：设l为复平面上一组有向的光滑曲线，把平面分割为若干个连通区域,要求一分区全纯函数(即在上述每一个连通区域内全纯而φ +(t)和φ -(t)分别表示当z从l的正侧（即沿l正向前进时的左侧）和负侧(右侧)趋于l上一点时φ(z)的极限值亦即边值。此外还应补充要求φ(z)在无穷远处至多有一极点。如果l中含有开口弧段，则也应说明要求φ(z)在l的端点附近的性态:具有不到一阶的奇异性。在G(t),g(t)满足一定的条件时,这一问题已完全解决。2、希尔伯特边值问题：设G为一区域，l为其边界，取其正向使G在其左侧，要求在G内的一全纯函数φ(z)，使 (2)式中α(t)，b(t),с(t)都是l上已给的实函数。特别,当α(t)=1,b(t)=0时，则此希尔伯特边值问题就是解析函数的狄利克雷问题。参考资料：百度百科-解析函数的边值问题

全纯函数就是解析函数，两者是完全等价的，就是不同的称呼罢了。

根据v的表达式得到其对y的偏导数为vy=-2；根据柯西-黎曼方程得到ux=vy=-2；上式对x积分，得到u=-2x+C(y)。上式对y求导，得到uy=C"(y)；另外，根据v的表达式，对x的偏导数为vx=4x+1，根据柯西-黎曼方程有uy=-vx，即C"(y)=4x+1.这显然不可能成立。所以不存在这样的解析函数f，使得f=u+iv（其中u是实函数）。其实单独从v的表达式来看，其对x的二阶偏导数为4，对y的二阶偏导数为0，两者之和不等于0，所以v 不是调和函数，因此v不可能是某个解析函数的虚部或者实部。

au/ax=av/ay=e^x(cosy-ysiny+xcosy)+1au/ay=-av/ax=-e^x(ycosy+xsiny+siny)-1由第一个知u=e^x(cosy-ysiny)+cosyxe^x-cosye^x+x+f(y)=e^x(xcosy-ysiny)+x+f(y)所以au/ay=e^x(-xsiny-siny-ycosy)+f"(y)=-e^x(ycosy+xsiny+siny)-1所以f"(y)=-1,f(y)=-y+C所以u=e^x(xcosy-ysiny)+x-y+C令x=y=0：2=C所以u=e^x(xcosy-ysiny)+x-y+2不知道算错没有-_-|||

首先，你题目打错了。u-v就不是调和函数。应该是u-v=x^3+3x^2y-3xy^2-y^3令g=(1+i)f，则g=(u-v)+i(u+v)。首先求g，把x和y用z和z的共轭表示。发现u-v=(1-i)z^3的实部。所以g=(1-i)z^3。所以f=-iz^3。所以u=3x^2y-y^3。

你写的ux和uy应该是u对x,y的偏导吧，即u"x和u"y。令U=u"x，V=-u"y，则U"x=u""xx，V‘y=-u""yy，U"y=u""xy，V‘x=-u""yx。调和函数的定义是具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯方程的二元函数。根据u满足拉普拉斯方程u""xx+u""yy=0，知U"x=V‘y，再根据u二阶偏导连续，知两个混合偏导数相等u""xy=u""yx，即U"y=-V‘x，因此f(z)满足柯西黎曼方程，它在D内解析。

不对，应该反过来说

偏u/偏x=2x 偏u/偏y=-2y 偏^2u/偏x^2=2 偏^2u/偏x偏y=0 偏^2u/偏y偏x=0 偏^2u/偏y^2=-2 偏^2u/偏x^2+偏^2u/偏y^2=2-2=0,满足拉普拉斯方程,u是调和函数. 设z=x+yi, 设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函数,v称作u的共轭调和函数. 偏v/偏y=偏u/偏x=2x 偏v/偏x=-偏u/偏y=2y 偏^2v/偏y偏x=偏^2u/偏x^2=2 偏^2v/偏x偏y=-偏^2u/偏y^2=2=偏^2v/偏y偏x 偏^2v/偏x^2=-偏^2u/偏y偏x=0 偏^2v/偏y^2=偏^2u/偏x偏y=0 取v=2xy,满足要求. f(z)=(x^2-y^2)+i2xy=(x+yi)^2=z^2

v"y=2x，因此u"x=v"y=2x，积分得u=x^2+g(y)，又由于u"y=-v"x，所以g"(y)=-2y，g(y)=-y^2+c，故u=x^2-y^2+c，f(z)=x^2-y^2+c+2ixy，所以f(i)=-1+c=-1，故c=0，因此u=x^2-y^2，f(z)=x^2-y^2+2ixy

任意两个调和函数都可以组成一个解析函数不对。根据查询相关公开信息显示，解析函数的实部和虚部并不是独立的，之间有密切的关系。并非任意两个调和函数就能构成一个解析函数。

v"y=2x，因此u"x=v"y=2x，积分得u=x^2+g(y)，又由于u"y=-v"x，所以g"(y)=-2y，g(y)=-y^2+c，故u=x^2-y^2+c，f(z)=x^2-y^2+c+2ixy，所以f(i)=-1+c=-1，故c=0，因此u=x^2-y^2，f(z)=x^2-y^2+2ixy

设函数f（z）= u + iv的解析函数的柯西 - 黎曼方程知道吗? V /? = - ? U /? Y =-X +2 Y; ? V /? Y =? U /? X = 2X + Y. V = X ^ 2/2 +2 XY + Y ^ 2/2 + C,C是一个常数. F（z）= u + iv的 = x ^ 2 + XY-Y ^ 2 +（-x...

因为f(z)=x³-3xy²+i(3x²y-y³+C)即f(x,y)=x³-3xy²+i(3x²y-y³+C)又f(0)=i,即是f(0,0)=i于是f(0,0)=x³-3xy²+i(3x²y-y³+C)=iC=I所以C=1于是f(x,y)=x³-3xy²+i(3x²y-y³+1)设z=x+yiz³=x³+3x²yi+3x(yi)²+(yi)³=x³+3x²yi-3xy²-y³i由f(x,y)=x³-3xy²+i(3x²y-y³+1)=x³+3x²yi-3xy²-y³i+i即f(z)=z³+i

搜一下：调和函数是二阶导数相加的零还是对x和y的二阶导数相等啊？解析函数呢？

并不是，需要有共轭性，即这两个调和函数需要满足Cauchy-Riemann方程显然的反例有x，-y均是调和函数，z=x+iy，则x-iy不是解析函数。

au/ax=av/ay=e^x(cosy-ysiny+xcosy)+1au/ay=-av/ax=-e^x(ycosy+xsiny+siny)-1由第一个知u=e^x(cosy-ysiny)+cosyxe^x-cosye^x+x+f(y)=e^x(xcosy-ysiny)+x+f(y)所以au/ay=e^x(-xsiny-siny-ycosy)+f"(y)=-e^x(ycosy+xsiny+siny)-1所以f"(y)=-1,f(y)=-y+C所以u=e^x(xcosy-ysiny)+x-y+C令x=y=0：2=C所以u=e^x(xcosy-ysiny)+x-y+2不知道算错没有-_-|||

vyy=-2y（x^2+y^2）^2-（x^2-y^2）*2*（x^2+y^2）*2y/（x^2+y^2）^4

u对x的2次偏导数=2，u对y的2次偏导数=-2，所以这两项相加=0，即u满足拉普拉斯方程，u是调和函数。f(i)=-1+i，f(z)=z-1=x-1+yi(x-1)对x偏导数=1=y对y偏导数；y对x偏导数=0=-(x-1)对y的偏导数，所以f是z上的解析函数。调和函数是在某区域中满足拉普拉斯方程的函数。通常对函数本身还附加一些光滑性条件，例如有连续的一阶和二阶偏导数。当自变量为n个（从而区域是n维的）时，则称它为n维调和函数。扩展资料：调和函数的性质：在给定的开集U上所有的调和函数的集合是其上的拉普拉斯算子Δ的核，因此是一个R的向量空间：调和函数的和与差以及数乘，结果依然是调和函数。如果f是U上的一个调和函数，那么f的所有偏导数也仍然是U上的调和函数，在调和函数类上，拉普拉斯算子和偏导数算子是交换的。在某些意义上，调和函数是全纯函数在实值函数上的对应物。所有的调和函数都是解析的，也就是说它们可以局部地展开成幂级数。这是关于椭圆算子的一个性质，而拉普拉斯算子是一个常见的例子。收敛的调和函数列的一致极限仍会是调和的。这是因为所有满足介值性质的连续函数都是调和函数。

v"y=2x,因此u"x=v"y=2x,积分得u=x^2+g(y),又由于u"y=-v"x,所以g"(y)=-2y,g(y)=-y^2+c,故u=x^2-y^2+c,f(z)=x^2-y^2+c+2ixy,所以f(i)=-1+c=-1,故c=0,因此u=x^2-y^2,f(z)=x^2-y^2+2ixy

楼上纯属乱答。ux表示u对x的偏导，uxx表示2阶偏导只要验证u(x,y)是否满足拉普拉斯方程ux=(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2uxx=(2x^3-6xy^2)/(x^2+y^2)^3uy=-2xy/(x^2+y^2)^2uyy=(-2x^3+6xy^2)/(x^2+y^2)^3所以uxx+uyy=0满足拉普拉斯方程，于是u为调和函数。下面只要求出u(x,y)的共轭调和函数v(x,y)由ux=(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2=vy得v(x,y)=∫(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2dy=-y/(x^2+y^2)+g(x)又vx=-uyvx=2xy/(x^2+y^2)+g"(x)且-uy=2xy/(x^2+y^2)^2所以g"(x)=0,g(x)=C所以v(x,y)=-y/(x^2+y^2)+C所以解析函数为f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)=[x/(x^2+y^2)]+i[-y/(x^2+y^2)+C]

解析函数和共轭调和函数是互为充要的，而u,v是调和函数不一定解析，但是解析又u,v一定是调和函数。满足C-R方程的就称v是u的共轭调和函数 ，但是调和函数呢，只要满足拉普拉斯算子就可以了。公式：C-R方程： du/dx=dv/dy ,du/dy=-dv/dx 则v是u的共轭调和函数 （d为偏导）拉普拉斯算子： u对x的二次偏导+u对y的二次偏导=0 （v也一样） 满足就为调和函数

是的，如果u和v是调和函数，那么复合函数u+iv（其中i是虚数单位）确实是解析函数。这是因为调和函数满足拉普拉斯方程，即它们的二阶偏导数之和为零：Δu = ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0，Δv = ∂²v/∂x² + ∂²v/∂y² = 0。在复分析中，解析函数是满足柯西-黎曼方程的函数。对于一个解析函数f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其实部u和虚部v需要满足以下柯西-黎曼方程：∂u/∂x = ∂v/∂y∂u/∂y = -∂v/∂x考虑到u和v都是调和函数，我们可以应用拉普拉斯方程。从Δu = 0和Δv = 0，我们可以得出：∂²u/∂x² = -∂²u/∂y²∂²v/∂x² = -∂²v/∂y²然后，我们可以用这些等式来验证柯西-黎曼方程是否成立。对u关于y求导，对v关于x求导：∂²u/∂x∂y = -∂²v/∂x²∂²v/∂y∂x = -∂²u/∂y²由于混合偏导数是可交换的（即∂²u/∂x∂y = ∂²u/∂y∂x），所以柯西-黎曼方程成立。因此，如果u和v是调和函数，那么复合函数u+iv是解析函数。

u对x的2次偏导数=2,u对y的2次偏导数=-2.所以这两项相加=0,即u满足拉普拉斯方程,u是调和函数.f(i)=-1+i,f(z)=z-1=x-1+yi(x-1)对x偏导数=1=y对y偏导数;y对x偏导数=0=-(x-1)对y的偏导数,所以f是z上的解析函数

楼上纯属乱答。ux表示u对x的偏导，uxx表示2阶偏导只要验证u(x,y)是否满足拉普拉斯方程ux=(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2uxx=(2x^3-6xy^2)/(x^2+y^2)^3uy=-2xy/(x^2+y^2)^2uyy=(-2x^3+6xy^2)/(x^2+y^2)^3所以uxx+uyy=0满足拉普拉斯方程，于是u为调和函数。下面只要求出u(x,y)的共轭调和函数v(x,y)由ux=(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2=vy得v(x,y)=∫(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2 dy=-y/(x^2+y^2)+g(x)又vx=-uyvx=2xy/(x^2+y^2)+g"(x)且-uy=2xy/(x^2+y^2)^2所以g"(x)=0, g(x)=C所以v(x,y)=-y/(x^2+y^2)+C所以解析函数为f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)=[x/(x^2+y^2)]+i[-y/(x^2+y^2)+C]

因为解析函数的实部和虚部必定都是调和函数，如果u不调和，那虚部就不用求了，以u为实部的函数必定不解析。若f=u+iv是解析函数，则ux=vy,vx=-uy（柯西-黎曼方程）。那么u_xx=v_yx=v_xy=-u_yy，从而u_xx+u_yy=0,即u是调和函数。当然如果题目明确告诉你u是某个解析函数的实部，那么不去验证u调和也是可以的。

若f(x,y)为D内的解析函数则,它的实部和虚部都为调和函数 设f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y) ∂u/∂x=∂v/∂y ∂u/∂y=-∂v/∂x 所以∂^2u/∂x^2=∂v/∂x∂y ∂^2u/∂y^2=-∂v/∂x∂y 所以u(x,y)为调和函数,同理可证v(x,y)为调和函数

没有分母的y^2更容易,明显上面的做法使得问题复杂了.au/ax=x/(x^2+y^2),则u＝0.5ln(x^2+y^2)+c(y),再由au/ay=－av/ax,得c"(y)=0,因此c(y)=C.C是常数.故u＝0.5ln(x^2+y^2)+C.

调和函数和解析函数的关系如下：解析函数是复函数，调和函数可看作是解析函数的实部或虚部代表的实二元函数，二者基本一一对应。从调和函数构造解析函数要求，调和函数定义在单连通区域上，否则就对应的是一个复的多值函数了。调和函数是在某区域中满足拉普拉斯方程的函数。通常对函数本身还附加一些光滑性条件，例如有连续的一阶和二阶偏导数。当自变量为n个（从而区域是n维的）时，则称它为n维调和函数。对于高维的调和函数，也有与上述类似的最大、最小值原理，平均值公式以及相应的狄利克雷问题解的存在和惟一性定理。解析函数：区域上处处可微分的复函数。17世纪，L.欧拉和J.leR.达朗贝尔在研究水力学时已发现平面不可压缩流体的无旋场的势函数Φ（x，y)与流函数Ψ（x，y)有连续的偏导数，且满足微分方程组，并指出f（z）=Φ（x，y）+iΨ（x，y）是可微函数，这一命题的逆命题也成立。柯西把区域上处处可微的复函数称为单演函数，后人又把它们称为全纯函数、解析函数。B.黎曼从这一定义出发对复函数的微分作了深入的研究，后来，就把上述的偏微分方程组称为柯西-黎曼方程，或柯西-黎曼条件。

二维调和函数与解析函数论有着密切联系。解析函数analytic function区域上处处可微分的复函数。17世纪，L.欧拉和J.leR.达朗贝尔在研究水力学时已发现平面不可压缩流体的无旋场的势函数Φ（x，y)与流函数Ψ（x，y)有连续的偏导数，且满足微分方程组，并指出f（z）＝Φ（x，y）＋iΨ（x，y）是可微函数，这一命题的逆命题也成立。柯西把区域上处处可微的复函数称为单演函数，后人又把它们称为全纯函数、解析函数。B.黎曼从这一定义出发对复函数的微分作了深入的研究，后来，就把上述的偏微分方程组称为柯西-黎曼方程，或柯西-黎曼条件。K. 魏尔斯特拉斯将一个在圆盘上收敛的幂级数的和函数称为解析函数，而区域上的解析函数是指在区域内每一小圆邻域上都能表成幂级数的和的函数。关于解析函数的不同定义在20世纪初被证明是等价的。基于魏尔斯特拉斯的定义，区域上的解析函数可以看作是其内任一小圆邻域上幂级数的解析开拓 ，关于解析开拓的一般定义是，f（z）与g（z）分别是D与D*上的解析函数，若DÉD* ，且在D*上f（z）＝g（z）。则称f（z）是g（z）由D*到D的解析开拓 。解析开拓的概念可以推广到这样的情形 ：f（z）与g（z)分别是两个圆盘D1与D2上的幂级数，且D1∩D2≠ ，在D1∩D2上f（z)＝g（z )则也称f与g互为解析开拓，把可以互为解析开拓的（ f（z），Δ）的解析圆盘Δ全连起来，作成一个链。它们的并记作Ω，得到了Ω上的一个解析函数，称它为魏尔斯特拉斯的完全解析函数，这里可能出现这样的情形，在连成一个链的圆盘中，有一些圆盘重叠在一起，但在这些重叠圆盘的每一个上的解析函数都是不一样的，它们的每一个都称为完全解析函数的分支。这样的完全解析函数实际是一个多值函数。黎曼提出将多值解析函数中的那些重叠的圆盘看作是不同的“叶”，不使他们在求并的过程中只留下一个代表，于是形成了一种称为黎曼面的几何模型。将多值函数看作是定义于其黎曼曲面上的解析函数，这样多值解析函数变成了单值解析函数。调和函数如果二元函数f(x,y)在区域Ω内有二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方程,则称f为区域Ω中的调和函数.广义来讲在某区域中满足拉普拉斯方程的函数。通常对函数本身还附加一些光滑性条件，例如有连续的一阶和二阶偏导数。当自变量为n个（从而区域是n维的）时，则称它为n维调和函数。例如，n=2时,调和函数u(x,y)在某平面区域内满足方程若所考虑的区域包含一个闭圆域，例如x+y≤R，则有下列关于调和函数的平均值公式：即u(x,y)在圆心的值等于圆周上的积分平均值。更一般地，圆内任何一点x=rcosφ，y=rsinφ(0≤r<R)处调和函数 u＝u(r, φ)的值可以由下列泊松公式给出：形如上式右端的积分称作泊松积分。设u(x,y)为平面区域G中的调和函数,且在G的闭包上连续,则借助于平均值公式可以证明,它不能在G 的内部取其最大值与最小值，除非它恒等于一常数。这就是调和函数的最大、最小值原理。由泊松积分出发可解决下列狄利克雷问题：在区域G的边界嬠G上给定一连续函数 ƒ(x,y)，要求给出G中的调和函数u(x,y)，使其在嬠G上取ƒ(x,y)的值，即在G的边界嬠G满足一定的条件下,这个问题的解存在且惟一。对于高维的调和函数，也有与上述类似的最大、最小值原理，平均值公式以及相应的狄利克雷问题解的存在和惟一性定理。二维调和函数与解析函数论有着密切联系。在某区域内的调和函数一定是该区域内某解析函数(可能多值)的实部或虚部；反之，某区域内的解析函数其实部与虚部都是该区域内的调和函数，并称其虚部为实部的共轭调和函数。用复数z=x+iy的记法,将u(x,y)写成u(z),若u(z)在│z│<R内调和，在│z│≤R上连续，则泊松公式就成为(0≤r＜R)。对于任何α,│α│<R，此式还可写成泊松积分是近代复变函数论中一个重要的研究工具，由此出发，可得出函数论中一系列重要结果。若u(x,y)满足“重调和”方程则称u是重调和函数,它是数学物理方程理论中的一个重要函数类。调和函数和重调和函数，在力学和物理学中都有重要的应用。类似地也有高维的重调和函数。由于拉普拉斯方程是椭圆型方程的一个特殊情况，故后者的解的一般性质也是调和函数的性质。

因为解析函数的实部和虚部必定都是调和函数，如果u不调和，那虚部就不用求了，以u为实部的函数必定不解析。若f=u+iv是解析函数，则ux=vy,vx=-uy（柯西-黎曼方程）。那么u_xx=v_yx=v_xy=-u_yy，从而u_xx+u_yy=0,即u是调和函数。当然如果题目明确告诉你u是某个解析函数的实部，那么不去验证u调和也是可以的。