四色定理

数学史上的三大猜想是费马大定理、四色定理和（）。 A.勾股定理B.欧拉定理C.哥德巴赫猜想D.零点定理正确答案：哥德巴赫猜想

另一个答案其实有误导之嫌。在平面上，一个色块的周围，可以有许多个色块，但我们依然可以交替地用最多三种颜色给这些周围色块染色，这是四色定理所必然要求的。至于到立体上之所以需要无限种颜色，归结起来是异面直线的存在。

此猜想已被证明 不再是猜想 是定理了 四色原理 之一。的提出来自英国。，毕业于的弗南西斯·格思里(Francis Guthrie)来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟决心试一试。兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。 10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名德·，也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名爵士请教。接到的信后，对进行论证。但直到1865年逝世为止，问题也没有能够解决。 ，英国当时最著名的正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了的大会战。1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家和两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了，大家都认为四色猜想从此也就解决了。 11年后，即，数学家赫以自己的精确计算指出的证明是错误的。不久，的证明也被人们否定了。后来，越来越多的数学家虽然对此，但一无所获。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与相媲美的难题：先辈们的努力，为后世的数学家揭示四色猜想之谜铺平了道路。 进入以来，对四色猜想的证明基本上是按照的想法在进行。，在肯普的基础上引进了一些新技巧，美国数学家于证明了22国以下的地图都可以用四色着色。1950年，有人从22国推进到35国。1，有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色；随后又推进到了50国。看来这种推进仍然十分缓慢。电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。1976年，在J. Koch的算法的支持下，美国数学家(Kenneth Appel)与(Wolfgang Haken)在美国的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了的证明。四色猜想的计算机证明，轰动了世界,当时中国科学家也有在研究这原理。它不仅解决了一个历时100多年的难题，而且有可能成为上一系列的起点。 将地图上的无限种可能情况减少为1,936种状态（稍后减少为1,476种），这些状态由计算机一个挨一个的进行检查。这一工作由不同的程序和计算机独立的进行了复检。在1996年，Neil Robertson、Daniel Sanders、Paul Seymour和Robin Thomas使用了一种类似的，检查了633种特殊的情况。这一新证明也使用了计算机，如果由人工来检查的话是不切实际的。 是第一个主要由计算机证明的理论，这一证明并不被所有的数学家接受，因为它不能由人工直接验证。最终，人们必须对计算机编译的正确性以及运行这一程序的硬件设备充分信任。 缺乏数学应有的规范成为了另一个方面；以至于有人这样评论“一个好的应当像一首诗——而这纯粹是一本！” 德·摩尔根：地图四色定理 地图四色定理最先是由一位叫（Francis Guthrie）的生提出来的。德•摩尔根（A，DeMorgan，1806～1871）10月23日致的一封信提供了有关四色定理来源的最原始的记载。他在信中简述了自己证明四色定理的设想与感受。一个多世纪以来，数学家们为证明这条定理，所引进的概念与方法刺激了与的生长、发展。1976年美国数学家（K.Appel）与（W.Haken）宣告借助电子计算机获得了四色定理的证明，又为用计算机证明数学定理开拓了前景。以下摘录德•摩尔根致信的主要部分，译自J． Fauve1 and J.Gray（eds.），The History of Mathematics ：A Reader，pp． 597～598。 德·摩尔根致的信（1852年10月23日） 我的一位学生今天请我解释一个我过去不知道，现在仍的事实。他说如果任意划分一个图形并给各部分着上颜色，使任何具有公共边界的部分颜色不同，那么需要且仅需要四种颜色就够了。下图是需要四种颜色的例子（图1）。现在的问题是是否会出现需要五种或更多种颜色的情形。就我目前的理解，若四个不订分割的区域两两具有公共边界线，则其中三个必包围第四个而使其不与任何第五个区域相毗邻。这事实若能成立，那么用四种颜色即可为任何可能的地图着色，使除了在公共点外同种颜色不会。 现画出三个两两具有公共边界的区域ABC，那么似乎不可能再画第四个区域与其他三个区域的每一个都有公共边界，除非它包围了其中一个区域（图2）。但要证明这一点却很棘手，我也不能确定问题复杂的程度一对此您的意见如何呢？并且此事如果当真，难道从未有人注意过吗？我的学生说这是在给一幅英国地图着色时提出的猜测。我越想越觉得这是显然的事情。

塞瓦定理是指在△ABC内任取一点O，延长AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 (BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB)=1。塞瓦定理载于1678年发表的《直线论》，是意大利数学家塞瓦的重大发现。塞瓦(Giovanni Ceva，1648~1734)意大利水利工程师，数学家。四色定理（世界近代三大数学难题之一），又称四色猜想、四色问题，是世界三大数学猜想之一。四色问题的内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。”也就是说在不引起混淆的情况下一张地图只需四种颜色来标记就行。用数学语言表示即“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1234这四个数字之一来标记而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。”这里所指的相邻区域是指有一整段边界是公共的。如果两个区域只相遇于一点或有限多点就不叫相邻的。因为用相同的。十色定理又叫Heawood定理。人类在企图证明四色定理过程中，发现了在曲面上作图构造10个区域两两相连的平面，反而更加容易。

你的问题显然有点为难了，请看下面的介绍：：：：四色定理的诞生过程 世界近代三大数学难题之一(另外两个是费马定理和哥德巴赫猜想)。四色猜想的提出来自英国。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里(Francis Guthrie)来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。 1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德·摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教。哈密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。但直到1865年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。 1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了。 11年后，即1890年，数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。不久，泰勒的证明也被人们否定了。后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但一无所获。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题：先辈数学大师们的努力，为后世的数学家揭示四色猜想之谜铺平了道路。 进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。1913年，伯克霍夫在肯普的基础上引进了一些新技巧，美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。1950年，有人从22国推进到35国。1960年，有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色；随后又推进到了50国。看来这种推进仍然十分缓慢。电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。1976年，在J. Koch的算法的支持下，美国数学家阿佩尔(Kenneth Appel)与哈肯(Wolfgang Haken)在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。四色猜想的计算机证明，轰动了世界,当时中国科学家也有在研究这原理。它不仅解决了一个历时100多年的难题，而且有可能成为数学史上一系列新思维的起点。证明方法 证明方法将地图上的无限种可能情况减少为1,936种状态（稍后减少为1,476种），这些状态由计算机一个挨一个的进行检查。这一工作由不同的程序和计算机独立的进行了复检。在1996年，Neil Robertson、Daniel Sanders、Paul Seymour和Robin Thomas使用了一种类似的证明方法，检查了633种特殊的情况。这一新证明也使用了计算机，如果由人工来检查的话是不切实际的。四色定理的重要 四色定理是第一个主要由计算机证明的理论，这一证明并不被所有的数学家接受，因为它不能由人工直接验证。最终，人们必须对计算机编译的正确性以及运行这一程序的硬件设备充分信任。 缺乏数学应有的规范成为了另一个方面；以至于有人这样评论“一个好的数学证明应当像一首诗——而这纯粹是一本电话簿！”德·摩尔根：地图四色定理 地图四色定理最先是由一位叫古德里（Francis Guthrie）的英国大学生提出来的。德•摩尔根（A，DeMorgan，1806～1871）1852年10月23日致哈密顿的一封信提供了有关四色定理来源的最原始的记载。他在信中简述了自己证明四色定理的设想与感受。一个多世纪以来，数学家们为证明这条定理绞尽脑汁，所引进的概念与方法刺激了拓扑学与图论的生长、发展。1976年美国数学家阿佩尔（K.Appel）与哈肯（W.Haken）宣告借助电子计算机获得了四色定理的证明，又为用计算机证明数学定理开拓了前景。以下摘录德•摩尔根致哈密顿信的主要部分，译自J． Fauve1 and J.Gray（eds.），The History of Mathematics ：A Reader，pp． 597～598。德·摩尔根致哈密顿的信（1852年10月23日） 我的一位学生今天请我解释一个我过去不知道，现在仍不甚了了的事实。他说如果任意划分一个图形并给各部分着上颜色，使任何具有公共边界的部分颜色不同，那么需要且仅需要四种颜色就够了。下图是需要四种颜色的例子。现在的问题是是否会出现需要五种或更多种颜色的情形。就我目前的理解，若四个不订分割的区域两两具有公共边界线，则其中三个必包围第四个而使其不与任何第五个区域相毗邻。这事实若能成立，那么用四种颜色即可为任何可能的地图着色，使除了在公共点外同种颜色不会。 现画出三个两两具有公共边界的区域ABC，那么似乎不可能再画第四个区域与其他三个区域的每一个都有公共边界，除非它包围了其中一个区域。但要证明这一点却很棘手，我也不能确定问题复杂的程度一对此您的意见如何呢？并且此事如果当真，难道从未有人注意过吗？我的学生说这是在给一幅英国地图着色时提出的猜测。我越想越觉得这是显然的事情。如果您能举出一个简单的反例来，说明我像一头蠢驴，那我只好重蹈史芬克斯的覆辙了……。

　　四色猜想是世界近代三大数学难题之一。四色猜想的提出来自英国。1852年,毕业於伦敦捶的弗南西斯·格思里(Francis Guthrie)来到一家科研单位搞地图着色工作时,发现了一种有趣的现象:“看来,每幅地图都可以用四种颜色着色,使得有共同边界的国家著上不同的颜色。”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢?他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠,可是研究工作没有进展。 　　1852年10月23日,他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德·摩尔根,摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径,于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教。哈密尔顿接到摩尔根的信后,对四色问题进行论证。但直到1865年哈密尔顿逝世为止,问题也没有能够解决。 　　1872年,英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题,于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。1878～1880年两年间,著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文,宣布证明了四色定理,大家都认为四色猜想从此也就解决了。 　　11年后,即1890年,数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。不久,泰勒的证明也被人们否定了。后来,越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁,但一无所获。于是,人们开始认识到,这个貌似容易的题目,其实是一个可与费马猜想相媲美的难题:先辈数学大师们的努力,为后世的数学家揭示四色猜想之谜铺平了道路。 　　进入20世纪以来,科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。1913年,伯克霍夫在肯普的基础上引进了一些新技巧,美国数学家富兰克林於1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。1950年,有人从22国推进到35国。1960年,有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色;随后又推进到了50国。看来这种推进仍然十分缓慢。电子计算机问世以后,由于演算速度迅速提高,加之人机对话的出现,大大加快了对四色猜想证明的进程。1976年,在J. Koch的算法的支持下,美国数学家阿佩尔(Kenneth Appel)与哈肯(Wolfgang Haken)在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上,用了1200个小时,作了100亿判断,终于完成了四色定理的证明。四色猜想的计算机证明,轰动了世界,当时中国科学家也有在研究这原理。它不仅解决了一个历时100多年的难题,而且有可能成为数学史上一系列新思维的起点。 　　证明方法将地图上的无限种可能情况减少为1,936种状态(稍后减少为1,476种),这些状态由计算机一个挨一个的进行检查。这一工作由不同的程序和计算机独立的进行了复检。在1996年,Neil Robertson、Daniel Sanders、Paul Seymour和Robin Thomas使用了一种类似的证明方法,检查了633种特殊的情况。这一新证明也使用了计算机,如果由人工来检查的话是不切实际的。 　　四色定理是第一个主要由计算机证明的理论,这一证明并不被所有的数学家接受,因为它不能由人工直接验证。最终,人们必须对计算机编译的正确性以及运行这一程序的硬件设备充分信任。 　　缺乏数学应有的规范成为了另一个方面;以至于有人这样评论“一个好的数学证明应当像一首诗——而这纯粹是一本电话簿!”德·摩尔根:地图四色定理 地图四色定理最先是由一位叫古德里(Francis Guthrie)的英国大学生提出来的。德摩尔根(A,DeMorgan,1806～1871)1852年10月23日致哈密顿的一封信提供了有关四色定理来源的最原始的记载。他在信中简述了自己证明四色定理的设想与感受。一个多世纪以来,数学家们为证明这条定理绞尽脑汁,所引进的概念与方法刺激了拓扑学与图论的生长、发展。1976年美国数学家阿佩尔(K.Appel)与哈肯(W.Haken)宣告借助电子计算机获得了四色定理的证明,又为用计算机证明数学定理开拓了前景。以下摘录德摩尔根致哈密顿信的主要部分,译自J. Fauve1 and J.Gray(eds.),The History of Mathematics :A Reader,pp. 597～598。 德·摩尔根致哈密顿的信(1852年10月23日) 我的一位学生今天请我解释一个我过去不知道,现在仍不甚了了的事实。他说如果任意划分一个图形并给各部分著上颜色,使任何具有公共边界的部分颜色不同,那麽需要且仅需要四种颜色就够了。下图是需要四种颜色的例子。现在的问题是是否会出现需要五种或更多种颜色的情形。就我目前的理解,若四个不订分割的区域两两具有公共边界线,则其中三个必包围第四个而使其不与任何第五个区域相毗邻。这事实若能成立,那麽用四种颜色即可为任何可能的地图着色,使除了在公共点外同种颜色不会。 现画出三个两两具有公共边界的区域ABC,那麽似乎不可能再画第四个区域与其他三个区域的每一个都有公共边界,除非它包围了其中一个区域。但要证明这一点却很棘手,我也不能确定问题复杂的程度一对此您的意见如何呢?并且此事如果当真,难道从未有人注意过吗?我的学生说这是在给一幅英国地图着色时提出的猜测。我越想越觉得这是显然的事情。如果您能举出一个简单的反例来,说明我像一头蠢驴,那我只好重蹈史芬克斯的覆辙了……。

　　四色猜想是世界近代三大数学难题之一。四色猜想的提出来自英国。1852年,毕业於伦敦捶的弗南西斯·格思里(Francis Guthrie)来到一家科研单位搞地图着色工作时,发现了一种有趣的现象:“看来,每幅地图都可以用四种颜色着色,使得有共同边界的国家著上不同的颜色。”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢?他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠,可是研究工作没有进展。 　　1852年10月23日,他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德·摩尔根,摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径,于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教。哈密尔顿接到摩尔根的信后,对四色问题进行论证。但直到1865年哈密尔顿逝世为止,问题也没有能够解决。 　　1872年,英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题,于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。1878～1880年两年间,著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文,宣布证明了四色定理,大家都认为四色猜想从此也就解决了。 　　11年后,即1890年,数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。不久,泰勒的证明也被人们否定了。后来,越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁,但一无所获。于是,人们开始认识到,这个貌似容易的题目,其实是一个可与费马猜想相媲美的难题:先辈数学大师们的努力,为后世的数学家揭示四色猜想之谜铺平了道路。 　　进入20世纪以来,科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。1913年,伯克霍夫在肯普的基础上引进了一些新技巧,美国数学家富兰克林於1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。1950年,有人从22国推进到35国。1960年,有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色;随后又推进到了50国。看来这种推进仍然十分缓慢。电子计算机问世以后,由于演算速度迅速提高,加之人机对话的出现,大大加快了对四色猜想证明的进程。1976年,在J. Koch的算法的支持下,美国数学家阿佩尔(Kenneth Appel)与哈肯(Wolfgang Haken)在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上,用了1200个小时,作了100亿判断,终于完成了四色定理的证明。四色猜想的计算机证明,轰动了世界,当时中国科学家也有在研究这原理。它不仅解决了一个历时100多年的难题,而且有可能成为数学史上一系列新思维的起点。 　　证明方法将地图上的无限种可能情况减少为1,936种状态(稍后减少为1,476种),这些状态由计算机一个挨一个的进行检查。这一工作由不同的程序和计算机独立的进行了复检。在1996年,Neil Robertson、Daniel Sanders、Paul Seymour和Robin Thomas使用了一种类似的证明方法,检查了633种特殊的情况。这一新证明也使用了计算机,如果由人工来检查的话是不切实际的。 　　四色定理是第一个主要由计算机证明的理论,这一证明并不被所有的数学家接受,因为它不能由人工直接验证。最终,人们必须对计算机编译的正确性以及运行这一程序的硬件设备充分信任。 　　缺乏数学应有的规范成为了另一个方面;以至于有人这样评论“一个好的数学证明应当像一首诗——而这纯粹是一本电话簿!”德·摩尔根:地图四色定理 地图四色定理最先是由一位叫古德里(Francis Guthrie)的英国大学生提出来的。德摩尔根(A,DeMorgan,1806～1871)1852年10月23日致哈密顿的一封信提供了有关四色定理来源的最原始的记载。他在信中简述了自己证明四色定理的设想与感受。一个多世纪以来,数学家们为证明这条定理绞尽脑汁,所引进的概念与方法刺激了拓扑学与图论的生长、发展。1976年美国数学家阿佩尔(K.Appel)与哈肯(W.Haken)宣告借助电子计算机获得了四色定理的证明,又为用计算机证明数学定理开拓了前景。以下摘录德摩尔根致哈密顿信的主要部分,译自J. Fauve1 and J.Gray(eds.),The History of Mathematics :A Reader,pp. 597～598。 德·摩尔根致哈密顿的信(1852年10月23日) 我的一位学生今天请我解释一个我过去不知道,现在仍不甚了了的事实。他说如果任意划分一个图形并给各部分著上颜色,使任何具有公共边界的部分颜色不同,那麽需要且仅需要四种颜色就够了。下图是需要四种颜色的例子。现在的问题是是否会出现需要五种或更多种颜色的情形。就我目前的理解,若四个不订分割的区域两两具有公共边界线,则其中三个必包围第四个而使其不与任何第五个区域相毗邻。这事实若能成立,那麽用四种颜色即可为任何可能的地图着色,使除了在公共点外同种颜色不会。 现画出三个两两具有公共边界的区域ABC,那麽似乎不可能再画第四个区域与其他三个区域的每一个都有公共边界,除非它包围了其中一个区域。但要证明这一点却很棘手,我也不能确定问题复杂的程度一对此您的意见如何呢?并且此事如果当真,难道从未有人注意过吗?我的学生说这是在给一幅英国地图着色时提出的猜测。我越想越觉得这是显然的事情。如果您能举出一个简单的反例来,说明我像一头蠢驴,那我只好重蹈史芬克斯的覆辙了……。

给出一个图的m-着色的程序段,回溯法: /* 图的邻接矩阵Graph[n,n]表示无向连通图G, 1,2,3,..m代表不同的颜色 顶点i所着色用x[i]表示,初始值都赋为0 */ void NextValue(int k) { int j, flag; do{ x[k] = (x[k]+1) % (m + 1)//分配给x[k]一种新的颜色 if (x[k] == 0) return; //x[k]的颜色已用完 flag = 1; //x[k]是否可用的标记 for (j = 0; j < n; j++) if (Graph[k,j] == 1 && x[k] == x[j]){ flag = 0; //x[k]不可用 break; } while (flag); } void MColoring(int k) { while (x[k] < m){ //产生x[k]的合理分配 NextValue(k); //找x[k]的一个合理分配 if (x[k] == 0) return; //无解,结束调用 if (k == n) { //着完n个顶点,找到完整着色法,输出 Output(x,k) //输出当前解 else MColoring(k+1) } }/*递归算法：void Coloring(区域 n)1. 令颜色集ClrSet={ 没有被区域n的邻居区域使用的颜色 }.2. 如果ClrSet是空集，返回.3. 对ClrSet中的每种颜色c，作循环： 3.1 为区域n着色c。 3.2 如果所有区域都已着色(n是最后一个区域)，那么显示/保存着色结果. 3.3 否则对下一个尚未着色的区域(n+1)，调用Coloring(n+1).4. 把区域n变为没有着色的区域.--------------------------------------------------------*/template<int node_count = 8>class CColoring{ private: typedef int node_type; typedef int color_type; typedef std::set<node_type> node_set; typedef std::vector<color_type> color_array;public: void operator()(const int _Matrix[node_count][node_count]) { matrix = _Matrix; colors_of_nodes.resize(node_count, 0); total_count = 0; coloring(0); }private: void coloring(node_type n) { // 颜色的使用情况 std::vector<bool> used_colors; node_type m; color_type c; // 初始化颜色的使用情况 used_colors.resize(color_count, false); // 遍历每个与区域n相邻的区域m for(m = 0; m < node_count; ++m) { if(matrix[n][m]) { // 获取m的颜色 c = colors_of_nodes[m]; // m已着色 if(c != 0) used_colors[c] = true; } } // 遍历每个未被n的邻居使用的颜色c for(c = 1; c < color_count; ++c) { if(!used_colors[c]) { // 为n着色c colors_of_nodes[n] = c; // 着色完毕 if(n >= node_count - 1) { ++total_count; // 输出结果 _tprintf(_T("--------------------- ")); _tprintf(_T("Method %d: "), total_count); for(m = 0; m < node_count; ++m) { _tprintf(_T("node: %d, color: %d "), m, colors_of_nodes[m]); } } // 还有区域没有着色 else { // 为下一个未着色的区域，调用coloring() coloring(n + 1); } } } // 将n设置为没有着色的区域 colors_of_nodes[n] = 0; } // 0表示无色，1-4表示4种不同颜色 static const int color_count = 5; // 邻接矩阵 const int (* matrix)[node_count]; // 各区域对应的颜色 color_array colors_of_nodes; // 总的着色方案数 int total_count;};void main(){ int Matrix[4][4] = { { 0, 1, 0, 0 }, { 1, 0, 0, 0 }, { 0, 0, 0, 1 }, { 0, 0, 1, 0 }, }; CColoring<4> coloring; coloring(Matrix);}

四色定理球面不成立，环面成立（据个人经验，本人手绘过环面）。这不是环面所以不成立。

据网上搜索知：四色定理（世界近代三大数学难题之一），又称四色猜想、四色问题，是世界三大数学猜想之一。四色定理的本质正是二维平面的固有属性，即平面内不可出现交叉而没有公共点的两条直线。很多人证明了二维平面内无法构造五个或五个以上两两相连区域，但却没有将其上升到逻辑关系和二维固有属性的层面，以致出现了很多伪反例。不过这些恰恰是对图论严密性的考证和发展推动。计算机证明虽然做了百亿次判断，终究只是在庞大的数量优势上取得成功，这并不符合数学严密的逻辑体系，至今仍有无数数学爱好者投身其中研究。四色问题的内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。”也就是说在不引起混淆的情况下一张地图只需四种颜色来标记就行。

四色问题又称四色猜想、四色定理,是世界近代三大数学难题之一 　四色问题的内容是：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色.”用数学语言表示,即“将平面任意地细分为不相重叠的区域,每一个区域总可以用1,2,3,4这四个数字之一来标记,而不会使相邻的两个区域得到相同的数字.” 　　这里所指的相邻区域,是指有一整段边界是公共的.如果两个区域只相遇于一点或有限多点,就不叫相邻的.因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆. 这个貌似容易的题目,其实是一个可与费马猜想相媲美的难题. 基本上可以说没人会!

四色定理（世界近代三大数学难题之一），又称四色猜想、四色问题，是世界三大数学猜想之一。四色问题的内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。”也就是说在不引起混淆的情况下一张地图只需四种颜色来标记就行。用数学语言表示即“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1234这四个数字之一来标记而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。”这里所指的相邻区域是指有一整段边界是公共的。如果两个区域只相遇于一点或有限多点就不叫相邻的。

四色定理不是地图上的麽最少只用四种颜色就能把国与国之间区分开来

LS你有没有考虑到101 22 33 44 55 66 77 88 99 1010 1这种数据呢。。。数组开到5/5似乎不够哦。。

四色猜想的4是一个2*2的逻辑套，环线(欧拉回路或哈密顿圈）构成父项二元逻辑，欧拉回路或哈密线圈再怎么复杂、曲折，它符合把地图分成两个区域的二元逻辑。子逻辑是环线分割下的区域，区域内只有线段，线段把区域分割成链状图元，是二元逻辑关系，是2*2的逻辑套的子逻辑。欧拉回路或哈密顿圈不同的是欧拉回路产生区域交点变换，哈密顿圈是连续区域。至此，四色染色可以实现染色操作，是题解问题。 欧拉回路和哈密顿圈在一地图上有多少条？怎样算重复？这是新问题。这个问题可以说是地图定义问题，简单的说，四面体算几个地图就不好定义。 我已从根本上解决了四色猜想，具体请看我的新浪博客。（http://blog.sina.com/wnpig 皖南花猪的BLOG）

http://blog.sina.com.cn/s/blog_4ae6c8c6010004zn.html

肯普是用归谬法来证明的，大意是如果有一张正规的五色地图，就会存在一张国数最少的“极小正规五色地图”。如果极小正规五色地图中有一个国家的邻国数少于六个，就会存在一张国数较少的正规地图仍为五色的，这样一来就不会有极小五色地图的国数，也就不存在正规五色地图了。这样肯普就认为他已经证明了“四色问题”，但是后来人们发现他错了。历史背景：四色问题的内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。”也就是说在不引起混淆的情况下，一张地图只需四种颜色来标记就行。用数学语言表示即“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1234这四个数字之一来标记而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。”这里所指的相邻区域是指有一整段边界是公共的。如果两个区域只相遇于一点或有限多点就不叫相邻的。因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。

四色定理应该是球面另外，四色定理必然能推出 "不存在5个区域两两相邻" (这里，相邻意味着有公共边)但是，“不存在5个邻域两两相邻”不能推出四色定理。比如说我们考虑这样一个例子：假设地球上全部是陆地，共有三个国家，每个国家的疆域南至南极点，北至北极点，以间隔 120度的经线为边界...... 这样的构图，相邻的国家最大数目是 2，但是，我们不能用2种颜色来区分这个地图....四色问题会更复杂一些。我没有研究过这方面的问题，基础不够，只能帮你到这里了....

好像十来年前想过这个问题.很简单.不管多少种都不够.因为任取整数M,3维下可以构造出M个几何体,它们两两相接触.实际上选M个点,在它们之间两两连线并不让线互相接触就可以了.这在2维是不可行的,但3维很明显是可以的.

额，那证明是从一个国家来说的

一个多世纪以来，数学家们为证明这条定理绞尽脑汁，所引进的概念与方法刺激了拓扑学与图论的生长、发展。在“四色问题”的研究过程中，不少新的数学理论随之产生，也发展了很多数学计算技巧。如将地图的着色问题化为图论问题，丰富了图论的内容。不仅如此，“四色问题”在有效地设计航空班机日程表，设计计算机的编码程序上都起到了推动作用。

最强大脑郑林楷四色定理是2020年2月15日那一期。四色猜想」郑林楷神仙算法,全场半天恍然大悟

四色定理(Four color theorem)最先是由一位叫古德里（Francis Guthrie）的英国大学生提出来的。德·摩尔根（Augustus De Morgan，1806～1871）1852年10月23日致哈密顿的一封信提供了有关四色定理来源的最原始的记载。四色问题又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一。四色问题的内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。”用数学语言表示即“将平面任意地细分为不相重叠的区域每一个区域总可以用1234这四个数字之一来标记而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。”这里所指的相邻区域是指有一整段边界是公共的。如果两个区域只相遇于一点或有限多点就不叫相邻的。因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。四色问题的内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。”也就是说在不引起混淆的情况下一张地图只需四种颜色来标记就行。

四色定理（Four Color Theorem）是一个关于地图着色的问题。该问题提出了这样一个问题：任何平面地图都可以使用四种或更少颜色进行着色，而使得任何两个共享边界的区域均不使用相同的颜色。简单来说，四色定理指出，如果你有一个地图，你只需要四种颜色就能够将所有的区域进行着色，且相邻区域的颜色不同。四色定理是由英国数学家弗朗西斯·格思哥里和约翰·哈维在1976年证明的。证明过程非常复杂，涉及到大量计算机模拟和人工推导。在此之前，该问题已经困扰了数学家们将近一个世纪之久。虽然四色定理已经被证明，但是它仍然是一个重要的数学难题，因为它涉及到许多与图论和计算机科学相关的问题，例如如何有效地着色，以及如何优化地图着色算法等。

http://baike.baidu.com/view/374928.htm仔细读度就懂了

四色定理是图的着色问题的一个结果。图的着色本质是给图中的顶点贴标签（labeling），但是要满足一定的条件。「色」只是一种标签。四色定理的描述虽然提到了地图，但是地图绘制并不需要四色定理：他只要着色，不需要用最少的颜色。实际画地图时一般不用四种颜色。着色问题的应用，主要排程和分配问题上。比如我有几个任务，每个任务都需要一天。而我知道其中几样任务是冲突的，不能安排在同一天完成。现在我希望四天完成。这就是四色问题了：所用的图以任务为顶点，冲突的任务间连边，用日期做颜色，对图着色。再比如我有一些员工，我希望把他们分成四个小组。但是我知道其中几个员工互相之间有矛盾，不能安排在同一组。那么这又是四色问题：所用的图以员工为顶点为，矛盾的员工间连边，用组做颜色，对图着色。四色定理说：如果上面提到的图是平面图（有高效算法判定），那么可能四天完成／可能分成四组。

　　一、四色定理的实际应用是：　　虽然任何平面地图可以只用四个颜色着色，但是这个定理的应用却相当有限，因为现实中的地图常会出现飞地，即两个不连通的区域属于同一个国家的情况（例如美国的阿拉斯加州），而制作地图时我们仍会要求这两个区域被涂上同样的颜色，在这种情况下，只用四种颜色将会造成诸多不便。 实际中用四种颜色着色的地图是不多见的，而且这些地图往往最少只需要三种颜色来染色。此外，即便地图能够只用四种颜色染色，为了区分起见，也会采用更多的颜色，以提示不同地区的差别。　　二、四色定理的含义：　　四色定理又称四色猜想、四色问题，是世界三大数学猜想之一。四色定理是一个著名的数学定理，通俗的说法是：每个平面地图都可以只用四种颜色来染色，而且没有两个邻接的区域颜色相同。1976年春季借助电子计算机证明了四色问题，问题也终于成为定理，这是第一个借助计算机证明的定理。四色定理的本质就是在平面或者球面无法构造五个或者五个以上两两相连的区域。

应该涂绿色，左边那两小块绿色换成其他色

http://baike.baidu.com/view/43945.htm

地图四色定理(Four color theorem)最先是由一位叫 古德里 （Francis Guthrie）的英国大学生提出来的。德·摩尔根（Augustus De Morgan，1806～1871）1852年10月23日致哈密顿的一封信提供了有关四色定理来源的最原始的记载。四色问题又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一。

四色定理又称四色猜想、四色问题，是世界三大数学猜想之一。四色定理是一个著名的数学定理，通俗的说法是：每个平面地图都可以只用四种颜色来染色，而且没有两个邻接的区域颜色相同。1976年春季借助电子计算机证明了四色问题，问题也终于成为定理，这是第一个借助计算机证明的定理。四色定理的本质就是在平面或者球面无法构造五个或者五个以上两两相连的区域。

这个方法简单，我用的消除法也证明了，将环内转化为一个点，然后转化为闭环染色问题，用抽屉原则即可解决。

其实，在平面图中，不在同一直线上的三点决定一个平面，那么三点构成的三角形是平面图中最基本、最简单、最稳定、密闭的图形。 由于在对地图着色过程中不考虑图的具体形状只考虑点是否相邻，将平面图的不相连点使其相连（这样增加着色难度），形成有许多三角形相连的平面图（三点以下肯定成立）。 在三角形的三点之外任取一点只有在三角形的内部和外部两种情况且这两种情况的点不会相邻，该点最多与三角形的三点相连且又形成新的三角形。 继续选取一点进行着色，该点同样最多与三角形的三点相连且又形成新的三角形，该点至少为四色中的一色。逐点（第n点）着色至将所有点（第n+1点）着色只须A、B、C、D四色其中一色。 任意一张地图，将孤立的点用一种颜色着色（A色），不能形成密闭图形的相连的点用两种颜色（A、B色）。将剩余的点不相连的用虚线使其相连形成许多三角形，完全不相连的图不进行相连。任取相连三点着三种颜色（A、B、C色），再取与其相连的点，如果与A、B、C三色的点都相连着D色，否则着与其不相连的其中一色，用虚线相连的点可以用同一种颜色也可以用两种颜色，依次取与着色的点相连的点用以上方法进行着色。这样对所有的点进行着色最多用四色（A、B、C、D色）。

四色定理证明 https://www.jianshu.com/p/fff768567e26 证明过程       步骤1：若任意多面体四色可染，则可证四色定理中任意平面图（或地图）四色可染。比较简单的证明方法是将一平面做一个镜面对照，中间充气，就变成了一个体。关键是怎么证明一个多面体四色可染。       证明任一多面体四色可染，我们先处理一下这个多面体，将国中有国或者一个国家与两国国家相邻的部分剔除掉。通俗的讲或理解起来就是剩下的每个国家最少有三个相邻国家。并且边境形成一个回路。举个例子如       图1是这个体的一部分中间是一个六边形，他与六个国家（或区域）相邻，边境只有一个回路，当然这个体上的某一个国家（或区域）可以是三边形，四边形等等。总之这个体都是由多边形组成（注意剔除后有可能不能形成体，后面我们会提到这种情况）。       <!--已知四色可染等价于，不存在五面，每面和其它4面相邻，即不存在五面两两相邻。--> 步骤2：(关键证明)       任意多面体面体，4，5，6....面体，换一个角度，称之为多点体，4，5，6....点体。四点体（四面体）4色，每面和其它3面相邻，五点体可以看成四点体增加了一个点。当然你可以逆着想，五点体减少一个点，成为四点体，同理6，7，8......点体。而且我们可知任意N+1点体，可由N点体变化而来，当然，也可以逆着想。下面分析，若N点体四色可染，N点体多加一个点时（或N+1点体 到 N点体过程...），其实相当于补上了一个棱锥（或者像棱锥，底面不平的那种，底面有特点不能含有点，不然点就会减少），因为可逆，由N+1一定能变化成N，所以一定能由N点体到N+1点体，棱锥的底和N点体消失的面照镜子，神奇的一幕发生了，新的相邻关系未发生根本性的变化。N点体消失的面的临面减一临面，又加一临面，锥体侧面同理减一临面，增加一临面，锥体因为存在三角形，不会引入五面相邻，N点体消失的面的临面和锥体的侧面以及其它三面，这五面不会出现两两相邻（因为锥体侧面只与三面相邻），N点体消失的面的临面和其它四面（不包含锥体侧面），也不会出现五面两两相邻现象（已知条件），4面 到 n面  相邻关系始终没有发生根本性的变化  即 "五面两两相邻"的现象不会出现。       所以多点体四色可染。       所以，一个多面体四色可染（每个面是多边形）四色可染。 ////////////////////////证法 2  //////////////////////          证明一球体（或多面体）不会出现五面两两相邻现象。为了方便，我们把面抽象成点，假设五点两两相邻，则四点必两两相邻，我们在球面上布设这五个点，先布设三个点两两相邻，再布设第四个点，最后布设第五个点，在球面无法布设第五个点，使其五点两两相联，所以球面不会出现五面两两相邻。得证！！！ ////////////////////////证法 2  end /////////////      步骤3：接下来我们再证国中的国，或一个国家外边界与两个国家相邻的情况，也就是剔除的那些，我们将剔除的那部分，将边缘撮起来（通俗的理解加上个底面），让它形成一个体，只要证明这个体最多四色可染即可。如此往复。还有注意一点如果一个体剔除某些情况后不能形成体，也就是前面提到的，所以只需证明被剔除的那部分最多四色可染即可。         所以任意多面体最多四色可染，所以任意平面图最多四色可染。 最后考虑一下剔除这个概念，示意一下 图4 图5 或者其它的可以拓扑成这种形式，再剔除，当然A中可以包含其它国家，B中可以包含多个类似A的结构。         讨论一下，想一想，我们先剔除国中有国（内部不含国家），和一国与两国相邻（内部不含国家），简单的情况，剩下的就是国中有国还有国的，再剔除这种情况，再证明这种情况最多四色可染。 后记：剔除的都有特点，不是一个回路（多个回路），或回路上的交点少于三个。

肯普的证明是这样的：首先指出如果没有一个国家包围其他国家，或没有三个以上的国家相遇于一点，这种地图就说是“正规的”（左图）。如为正规地图，否则为非正规地图（右图）。一张地图往往是由正规地图和非正规地图联系在一起，但非正规地图所需颜色种数一般不超过正规地图所需的颜色，如果有一张需要五种颜色的地图，那就是指它的正规地图是五色的，要证明四色猜想成立，只要证明不存在一张正规五色地图就足够了。肯普是用归谬法来证明的，大意是如果有一张正规的五色地图，就会存在一张国数最少的“极小正规五色地图”，如果极小正规五色地图中有一个国家的邻国数少于六个，就会存在一张国数较少的正规地图仍为五色的，这样一来就不会有极小五色地图的国数，也就不存在正规五色地图了。这样肯普就认为他已经证明了“四色问题”，但是后来人们发现他错了。

没有，四色猜想的理论证明还在继续。四色定理是世界近代三大数学难题之一，其证明难度足以媲美费马大定理，迄今为止，尚无人能从理论上证明四色定理。四色猜想实际上就是说在平面上不存在5个及以上的两两相邻区域。因为如果存在5个及以上的两两相邻区域，需要用到的颜色势必不止4种。

100亿次实验。根据最强大脑官网显示，四色定理实验用了整整1200个小时，做了100亿次实验，结果没有一张地图邻域配色是需要五种颜色的，最终证明了四色定理，轰动了世界。四色问题又称四色猜想、四色定理，是世界近代三大数学难题之一。地图四色定理最先是由一位叫格斯里的英国大学生提出的：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。

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