数书九章

⑴ ⑵能，证明见解析 解：(1)       ……………………1分  ；   ………………3分又   ，     ……………………4分∴   .  …………6分⑵ …8分      …………10分      …………………………11分∴    ……12分（说明：若在整个推导过程中，始终带根号运算当然也正确。）（1）代入计算即可；（2）需要在括号内都乘以4，括号外再乘 ，保持等式不变，构成完全平方公式，再进行计算．

我国著名的数学家九韶提出了“三斜求积术”。 秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除冯所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。 所谓“实”、“隅”指的是，在方程px 2=qk,p为“隅”，Q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜所以 q=1/4[c 2a 2-(c%| 2+a 2-b 2/2) 2] 当P＝1时，△ 2＝q, △=√{1/4[c 2a 2-(c 2+a 2-b 2/2) 2]} 分解因式得 1/16[(c+a) 2-b 2][b62-(c-a) 2] =1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a) =1/8S(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c) =S(S-b)(S-a)(S-c) 由此可得： △=√[s(s-b)(S-a)(S－） 其中S=1/2(a+b+c)

如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸．因为积水深9寸，所以水面半径为 1 2 (14+6)=10 寸．则盆中水的体积为 1 3 π×9( 6 2 +1 0 2 +6×10)=588π （立方寸）．所以则平地降雨量等于 588π π×1 4 2 =3 （寸）．故答案为3．

《数书九章》系统地总结和发展了高次方程数值解法和一次同余组解法，提出了相当完备的“三斜求积术”和“大衍求一术”等，达到了当时世界数学的昀高水平。秦九韶的正负方术，列算式时，提出“商常为正，实常为负，从常为正，益常为负”的原则，纯用代数加法，给出统一的运算规律，并且扩充到任何高次方程中去。秦九韶所论的“正负开方术”，被称为“秦九韶程序”。世界各国从小学、中学到大学的数学课程，几乎都接触到他的定理、定律和解题原则。此项成果是中世纪世界数学的昀高成就，比1819年英国人霍纳的同样解法早五六百年。秦九韶还改进了一次方程组的解法，用互乘对减法消元，与现今的加减消元法完全一致；同时它又给出了筹算的草式，可使它扩充到一般线性方程中的解法。

宋淳祜四至七年（公元1244至1247），秦九韶在湖州为母亲守孝三年期间，把长期积累的数学知识和研究所得加以编辑，写成了举世闻名的数学巨著《数书九章》。 书成后，并未出版。原稿几乎流失，书名也不确切。后历经宋、元，到明建国，此书无人问津，直到明永乐年间，在解缙主编《永乐大典》时，记书名为《数学九章》。又经过一百多年，经王应麟抄录后，由王修改为《数书九章》。 全书不但在数量上取胜，重要的是在质量上也是拔尖的。从历史上来看，秦九韶的《数书九章》可与《九章算术》相媲美；从世界范围来看，秦九韶的《数书九章》也不愧为世界数学名著。他在《数书九章》序言中说，数学“大则可以通神明，顺性命；小则可以经世务，类万物”。所谓“通神明”，即往来于变化莫测的事物之间，明察其中的奥秘；“顺性命”，即顺应事物本性及其发展规律。在秦九韶看来，数学不仅是解决实际问题的工具，而且应该达到“通神明，顺性命”的崇高境界。 《数书九章》全书共九章九类，十八卷，每类9题共计81个算题。该书著述方式，大多由“问曰”、“答曰”、“术曰”、“草曰”四部分组成：“问曰”，是从实际生活中提出问题；“答曰”，是给出答案；“术曰”，是阐述解题原理与步骤；“草曰”，是给出详细的解题过程。另外，每类下还有颂词，词简意赅，用来记述本类算题主要内容、与国计民生的关系及其解题思路等。

周教六艺，数实成之。学士大夫，所从来尚矣。其用本太虚生一，而周流无穷，大则可以通神明，顺性命；小则可以经世务，类万物，讵容以浅近窥哉?若昔推策以迎日，定律而知气。髀矩浚川，土圭度晷。天地之大，囿焉而不能外，况其间总总者乎？爰自河图、洛书，闿发礻必奥，八卦、九畴，错综精微；极而至于大衍、皇极之用。而人事之变无不该，鬼神之情莫能隐矣。圣人神之，言而遗其粗；常人昧之，由而莫之觉。要其归，则数与道非二本也。汉去古未远，有张苍、许商、乘马延年、耿寿昌、郑〔元〕、张衡、刘洪之伦，或明天道，而法传于后；或计功策，而效验于时。后世学者自高，鄙不之讲，此学殆绝，惟治历畴人，能为乘除，而弗通于开方衍变。若官府会事，则府史一二系之。算家位置，素所不识，上之人亦委而听焉。持算者惟若人，则鄙之也宜矣。呜呼！乐有制氏，仅记铿锵，而谓与天地同和者止于是，可乎？今数术之书，尚三十余家。天象历度，谓之缀术；太乙、壬、甲，谓之三式，皆曰内算，言其秘也。九章所载，即周官九数，系于方圆者为蚩术，皆曰外算，对内而言也。其用相通，不可岐二。独大衍法不载九章，未有能推之者，历家演法颇用之，以为方程者误也。且天下之事多矣，古之人先事而计，计定而行。仰观俯察，人谋鬼谋，无所不用其谨，是以不愆于成，载籍章章可覆也。后世兴事造始，鲜能考度，浸浸乎天纪人事肴殳缺矣。可不求其故哉?九韶愚陋，不闲于艺。然早岁侍亲中都，因得访习于太史，又尝从隐君子受数学。际时狄患，历岁遥塞，不自意全于矢石间。尝险罹忧，荏苒十祀，心槁气落，信知夫物莫不有数也。乃肆意其间，旁诹方能，探索杳渺，粗若有得焉。所谓通神明，顺性命，固肤末于见；若其小者，窃尝设为问答，以拟于用。积多而惜其弃，因取八十一题，厘为九类，立术具草，间以图发之。恐或可备博学多识君子之余观，曲艺可遂也。原进之于道，倘曰，艺成而下，是惟畴人府史流也，乌足尽天下之用，亦无瞢焉。一昆仑磅礴，道本虚一。 圣有大衍，微寓于易。 奇余取策，群数皆捐。 衍而究之，探隐知原。 数术之传，以实为体。 其书九章，惟兹弗纪。 历家虽用，用而不知。 小试经世，姑推所为。 述大衍第一。 二 七精四穹，人事之纪。 追缀而求，宵星昼晷。 历久则疏，性智能革。 不寻天道，模袭何益。 三农务穑，厥施自天。 以滋以生，雨膏雪零。 司牧闵焉，尺寸验之。 积以器移，忧喜皆非。 述天时第二。 三 魁隗粒民，甄度四海。 苍姬井之，仁政攸在。 代远庶蕃，垦菑日广。 步度庀赋，版图是掌。 方圆异状，斜窳殊形。 蚩术精微，孰究厥真。 差之毫厘，谬乃千百。 公私共弊，盖谨其籍。 述田域第三。 四 莫高匪山，莫浚匪川。 神禹奠之，积矩攸传。 智创巧述，重差夕桀。 求之既详，揆之罔越。 崇深广远，度则靡容。 形格势禁，寇垒仇墉。 欲知其数，先望以表。 因差施术，坐悉微渺。 述测望第四。 五 邦国之赋，以待百事。 田亥田经入，取之有度。 未免力役，先商厥功。 以衰以率，劳逸乃同。 汉犹近古，税租以算。 调均钱谷，河菑之扦。 惟仁隐民，犹已溺饥。 赋役不均，宁得勿思。 述赋役第五。 六 物等敛赋，式时府庾。 粒粟寸丝，褐夫红女。 商征边籴，后世多端。 吏缘为欺，上下俱殚。 我闻理财，如智治水。 澄源浚流，维其深矣。 彼昧弗察，惨急烦刑。 去理益远，吁嗟不仁。 述钱谷第六。 七 斯城斯池，乃栋乃宇。 宅生寄命，以保以聚。 鸿功雉制，竹个木章。 匪究匪度，财蠹力伤。 围蔡而栽，如子西素。 匠计灵台，俾汉文惧。 惟武图功，惟俭昭德。 有国有家，兹焉取则。 述营建第七。 八 天生五材，兵去未可。 不教而战，维上之过。 堂堂之阵，鹅鹳为行。 营应规矩，其将莫当。 师中之吉，惟智仁勇。 夜算军书，先计攸重。 我闻在昔，轻则寡谋。 殄民以幸，亦孔之忧。 述军旅第八。 九 日中而市，万民所资。 贾贸滞鬻，利析锱铢。 滞财役贫，封君低首。 逐末兼并，非国之厚。 述市易第九。

我国著名的数学家九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”。　　秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除冯所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。

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《数学九章》共9章18卷，九章即九类：“大衍类”、“天时类”、“田域类”、“测望类”、“赋役类”、“钱谷类”、“营建类”、“军旅类”、“市物类”，每类9题共计81题。该书内容丰富之极，上至天文、星象、历律、测候，下至河道、水利、建筑、运输，各种几何图形和体积，钱谷、赋役、市场、牙厘的计算和互易。许多计算方法和经验常数直到现在仍有很高的参考价值和实践意义，被誉为“算中宝典”。此书不仅代表着当时中国数学的先进水平，也是中世纪世界数学的最高水平。我国数学史家梁宗巨评价道：“秦九韶的《数书九章》是一部划时代的巨著，内容丰富，精湛绝伦。特别是大衍求一术及高次代数方程的数值解法，在世界数学史上占有崇高的地位。那时欧洲漫长的黑夜犹未结束，中国人的创造却像旭日一般在东方发出万丈光芒。”

数书九章中较为突出的成果提出了大衍求一术。秦九韶的“大衍求一术”，领先高斯554年，被康托尔称为“最幸运的天才”。秦九韶所发明的“大衍求一术”，即现代数论中一次同余式组解法，是中世纪世界数学的最高成就，比西方1801年著名数学家高斯建立的同余理论早554年，被西方称为“中国剩余定理”。秦九韶不仅为中国赢得无上荣誉，也为世界数学作出了杰出贡献。数书九章的意义：《数书九章》是对《九章算术》的继承和发展，概括了宋元时期中国传统数学的主要成就，标志着中国古代数学的高峰。当它还是抄本时就先后被收入《永乐大典》和《四库全书》。1842年第一次印刷后即在中国民间广泛流传。秦九韶所创造的正负开方术和大衍求一术长期以来影响着中国数学的研究方向。焦循、李锐、张敦仁、骆腾凤、时曰醇、黄宗宪等数学家的著述都是在《数书九章》的直接或间接影响下完成的。秦九韶的成就也代表了中世纪世界数学发展的主流与最高水平，在世界数学史上占有崇高的地位。

《数书九章》是对我国古典数学奠基之作《九章算术》的继承和发展，概括了宋元时期我国传统数学的主要成就，标志着我国古代数学的高峰。其中的正负开方术和大衍求一术长期以来影响着我国数学的研究方向。秦九韶的成就代表了中世纪世界数学发展的主流与最高水平，在世界数学史上占有崇高的地位。德国著名数学史家､集合论的创始人格奥尔格.康托尔高度评价了大衍求一术，他称赞发现这一算法的中国数学家是“最幸运的天才”。美国著名科学史家萨顿说道:秦九韶是他那个民族，他那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一。三角形支钉

《数书九章》系统地总结和发展了高次方程数值解法和一次同余组解法，提出了相当完备的“三斜求积术”和“大衍求一术”等，达到了当时世界数学的最高水平。秦九韶的正负方术，列算式时，提出“商常为正，实常为负，从常为正，益常为负”的原则，纯用代数加法，给出统一的运算规律，并且扩充到任何高次方程中去。秦九韶所论的“正负开方术”，被称为“秦九韶程序”。世界各国从小学､中学到大学的数学课程，几乎都接触到他的定理､定律和解题原则。此项成果是中世纪世界数学的最高成就，比1819年英国人霍纳的同样解法早五六百年。秦九韶还改进了一次方程组的解法，用互乘对减法消元，与现今的加减消元法完全一致;同时它又给出了筹算的草式，可使它扩充到一般线性方程中的解法。在欧洲最早是1559年法国布丢给出的，比秦九韶晚了300多年。布丢用很不完整的加减消元法解一次方程组，而且理论上的完整性也逊于秦九韶。我国古代求解一类大衍问题的方法。秦九韶对此类问题的解法作了系统的论述，并称之为“大衍求一术”，即现代数论中一次同余式组解法。这一成就是中世纪世界数学的最高成就，比西方1801年著名数学家高斯建立的同余理论早500多年，被西方称为“中国剩余定理”。秦九韶不仅为中国赢得无上荣誉，也为世界数学作出了杰出贡献。秦九韶还创用了“三斜求积术”等，给出了已知三角形三边求三角形面积公式。还给出一些经验常数，如筑土问题中的“坚三穿四壤五，粟率五十，墙法半之”等，即使对现在仍有现实意义。秦九韶还在“推计互易”中给出了配分比例和连锁比例的混合命题的巧妙且一般的运算方法，至今仍有意义。

《数书九章》的内容主要有:大衍类，包括一次同余式组解法;天时类，包括历法计算､降水量;田域类，包括土地面积;测望类，包括勾股､重差;赋役类，包括均输､税收;钱谷类，包括粮谷转运､仓窖容积;营建类，包括建筑､施工;军族类，包括营盘布置､军需供应;市物类，包括交易和利息。

《数书九章》中最为突出的内容有“大衍总数术”与“正负开方术”，代表了当时中国乃至世界数学的最高成就。《数书九章》是南宋数学家秦九韶所著数学著作。书中共列算题81问，分为9类。全书采用问题集的形式，并不按数学方法来分类。题文也不只谈数学，还涉及自然现象和社会生活，成为了解当时社会政治和经济生活的重要参考文献。该书在数学内容上颇多创新，是对《九章算术》的继承和发展。它概括了宋元时期数学的主要成就，标志着中国古代数学的高峰。后世影响《数书九章》在数学内容上颇多创新。中国算筹式记数法及其演算式在此得以完整保存；自然数、分数、小数、负数都有专条论述，还第一次用小数表示无理根的近似值；卷1大衍类中灵活运用最大公约数和最小公倍数，并首创连环求等，借以求几个数的最小公倍数。在《孙子算经》中“物不知数”问题的基础上总结成大衍求一术，使一次同余式组的解法规格化、程序化，比西方高斯创用的同类方法早500多年，被公认为“中国剩余定理”；卷17市物类给出完整的方程术演算实录，书中还继贾宪增乘开方法进而作正负开方术，使之可以对任意次方程的有理根或无理根来求解，比19世纪英国霍纳的同类方法早500多年。书中卷5田域类所列三斜求积公式与公元1世纪希腊海伦给出的公式殊途同归；卷7、卷8测望类又使《海岛算经》中的测望之术发扬光大，再添光彩。