贾宪

贾宪是北宋时期杰出的数学家。曾撰写的《黄帝九章算法细草》和《算法斆古集》均已失传。他的主要贡献是创造了“贾宪三角”和增乘开方法。贾宪在数学知识的普及和教育过程中，注重数学教育的系统化?纲领化?抽象化及思维的多样化。从这里我们不难发现他的数学教育思想的闪光之处。现在知道其成就的贾宪是宋元时期第一位著名数学家。据《宋史》记载，贾宪师从北宋前期著名的天文学家和数学家楚衍学习天文?历算。对于《九章算术》?《缀术》?《海岛算经》诸算经的学习尤得其妙。根据记载，贾宪著有《黄帝九章算经细草》9卷?《算法斅古集》2卷及《释锁》，可惜均已失传。南宋时期著名数学家杨辉著《详解九章算法》中曾引用贾宪的“开方作法本源”图和“增乘开方法”。此外，贾宪给出的“立成释锁开方法”，完善的“勾股生变十三图”，以及创立的“增乘方求廉法”，都表明他对算法抽象化?程序化?机械化作出了重要贡献。虽然有关贾宪的资料保存下来的并不完整，但从杨辉缉录的《黄帝九章算经细草》中，我们仍然可以发现他的一些独到的数学思想和方法，主要有抽象分析法和程序化方法。贾宪在研究《九章算术》过程中，使用了抽象分析法，尤其在解决勾股问题时更为突出。他首先提出了“勾股生变十三图”，具备了勾股弦及其和差的所有关系，并对勾股问题进行了抽象分析。正是由于贾宪掌握了这一方法，才使他能够使用纯数学的方法改写《九章算术》术文，给后人留下公式化的解题范例。在方程术等其他章节的细草中，他也广泛运用了这种方法。程序化方法主要是指探究问题的思维程序?过程和步骤。适用于同一理论体系下，同一类问题的解决。贾宪的“增乘开方法”和“增乘方求廉法”尤其集中地体现了这一方法。贾宪在开立方过程中，已经形成了固定的程序。他的工作则使得开方程序系统化?规范化。贾宪的数学方法论，对宋元数学家产生了深远影响，纵观创造宋元数学主要成就的“宋元数学四大家”，莫不从中吸取精髓。贾宪的“增乘开方法”开创了开高次方的研究课题，后经秦九韶“正负开方术”加以完善，使高次方程求正根的问题得以解决。加之从李冶的天元术至朱世杰的四元术的建立，终于在14世纪初建立起一套完整的方程学理论，使之成为宋元数学界最有成就的课题。贾宪三角在西方文献中称“帕斯卡三角”，1654年为法国数学家B·帕斯卡重新发现。贾宪三角的给出，开创了高阶等差级数求和问题的研究方向。朱世杰从“三角”的每条斜线上发现了“三角垜”?“撒星形垜”等高阶等差级数求和公式。“增乘开方法”事实上简化了筹算程序，并使程序化更加合理，这对后世筹算乃至于算具的改进是有启迪意义的。《黄帝九章算经细草》开创的数学研究方法，被后世数学家广为借鉴。清代学术流派“乾嘉学派”在保存和整理数学著作时，就曾对《黄帝九章算经细草》等一批算书或注释或图说。古代学者著书立说目的之一就是教育世人。在数学知识的普及和教育过程中，贾宪重视对一般性解法的抽象，注重对知识纲要的概括，注重系统化，注重发散性思维的锻炼。从这里我们不难发现他的数学教育思想的闪光之处。贾宪重视对一般性解法的抽象。他之所以这样做，应该是深受我国古代早已有之的“授人以鱼不如授人以渔”的教育思想影响。据现在所知，《黄帝九章算经细草》约成书于1050年前后，此书出版后，在社会上流传较广，在一定程度上逐渐代替了《九章算术》。这也是当时社会对其数学教育思想的认可。贾宪注重对知识纲要的概括。他在给出“立成释锁开方法”之后，又提出“增乘方求廉法”并给出六阶贾宪三角，解释开各次方之间的联系。讨论勾股问题则先论“勾股生变十三图”，而后谈论问题的解法，给人以清晰的体系感。他的这些尝试，都体现了对知识纲要的重视。在数学教育上，注重对知识纲要的概括，也不失为一种良好的教学方法。现存资料显示，贾宪未涉足刘徽的分数和极限理论领域。再加上他在《黄帝九章算经细草》中所讨论的开方问题未涉及开不尽情况，他甚至把《九章算术》中有分数解的问题改题设以得整数解。这些迹象表明他的工作是建立在整数集之上的。在此基础上，贾宪提纲挈领地概括了勾股和开方问题，给出了诸多其他问题的一般性解法，从中我们隐约可以看到系统化方法的痕迹。事实上，以贾宪的数学知识水平，他不可能不熟知分数，也不会不了解刘徽的求微数思想，只是他对开方开不尽的问题没有研究透彻。因此在他的著述中才回避了分数，目的是把自己掌握的数学知识，系统地传于世人。这在古代数学教育史上是难能可贵的。贾宪注重发散性思维的锻炼。他讨论《九章算术》中诸类问题时，不是固守前人的思路和算法，发现了很多新的计算方法。如“课分法”?“减分法”?“今有术”?“合率术”?“分率术”?“方程术”?“两不足术”?“勾股旁要法”等。由此可见，贾宪不仅注重概括理论化的研究方法，同时也身体力行地致力于发散性思维的锻炼，这对于知识的创新是大有裨益的。《九章算术》是11世纪以前我国最著名的数学著作，在其流传过程中，为其作注的人很多。而在数学理论上有突出贡献的主要是3位数学家，即刘徽理论基础的奠定?贾宪理论水平的提高和杨辉理论的基本完善，贾宪起着承前启后的作用。另一方面，魏晋南北朝兴起的数学研究热潮自唐而中断，贾宪的数学方法论又激发了宋元时期的数学研究热潮，他又起到推波助澜的作用。贾宪对于《九章算术》中提出的问题，抽象分析，揭示数学本质;借助程序化，讲解方法的原理;提纲挈领，梳理知识脉络;注重知识系统化，避免产生悖论。这些思想方法对宋元数学家有着很深的影响。比如:杨辉著《详解九章算法》借鉴了贾宪的抽象和探索成果，对《九章》各题重新纂类;李冶著《测圆海镜》就继承并发扬了这些数学方法，建立了一个逻辑严密的演绎体系。朱世杰著《四元玉鉴》也用到这些思想方法，成就了我国古代数学史上的巅峰之作;秦九韶著《数术大略》不言具体数字更是师法贾宪，可见其方法论的生命力。当然，这些数学思想方法也并非贾宪独创，也是历代数学著述?研究?积累的结果，而贾宪又将其提炼和传承。总之，“贾宪三角”的发现及与之密切相关的“增乘开方法”的创立，对于我国古典数学于宋元时期达到高峰起到了重要的推动作用。贾宪