常见的调和函数有哪些?

调和函数：如果二元函数f(x,y)在区域Ω内有二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方程，则称二元函数f(x,y)为区域Ω中的调和函数。实际上，拉普拉斯方程的解就是调和函数。调和函数无限次可导，其线性组合仍为调和函数。调和函数在定义域的紧子集的边界上达到最大最小值。调和函数在物理学上的意义：二阶偏导的和等于零，对应于加速度的和为零，即可以描述系统不受力的状态，即系统处于稳态。当不能刻画系统在每一时刻的状态，却能用调和函数描述系统稳态下的状态，调和函数就显得非常有意义了。拉普拉斯，1749年3月23日生于法国西北部卡尔瓦多斯的博蒙昂诺日，曾任巴黎军事学院数学教授。1795年任巴黎综合工科学校教授，后又在高等师范学校任教授。1799年他还担任过法国经度局局长，并在拿破仑政府中任过6个星期的内政部长。1816年被选为法兰西学院院士，1817年任该院院长。1827年3月5日卒于巴黎。拉普拉斯在研究天体问题的过程中，创造和发展了许多数学的方法，以他的名字命名的拉普拉斯变换、拉普拉斯定理和拉普拉斯方程，在科学技术的各个领域有着广泛的应用。

调和函数 　　如果二元函数f(x,y)在区域Ω内有二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方程,则称f为区域Ω中的调和函数.　　广义来讲　　在某区域中满足拉普拉斯方程的函数。通常对函数本身还附加一些光滑性条件，例如有连续的一阶和二阶偏导数。当自变量为n个（从而区域是n维的）时，则称它为n维调和函数。例如，n=2时,调和函数u(x,y)在某平面区域内满足方程 　　若所考虑的区域包含一个闭圆域，例如x+y≤R，则有下列关于调和函数的平均值公式： 　　即u(x,y)在圆心的值等于圆周上的积分平均值。 　　更一般地，圆内任何一点x=rcosφ，y=rsinφ(0≤r<R)处调和函数 u＝u(r, φ)的值可以由下列泊松公式给出： 　　形如上式右端的积分称作泊松积分。 　　设u(x,y)为平面区域G中的调和函数,且在G的闭包上连续,则借助于平均值公式可以证明,它不能在G 的内部取其最大值与最小值，除非它恒等于一常数。这就是调和函数的最大、最小值原理。 　　由泊松积分出发可解决下列狄利克雷问题：在区域G的边界嬠G上给定一连续函数 �0�6(x,y)，要求给出G中的调和函数u(x,y)，使其在嬠G上取�0�6(x,y)的值，即 　　在G的边界嬠G满足一定的条件下,这个问题的解存在且惟一。 　　对于高维的调和函数，也有与上述类似的最大、最小值原理，平均值公式以及相应的狄利克雷问题解的存在和惟一性定理。 　　二维调和函数与解析函数论有着密切联系。在某区域内的调和函数一定是该区域内某解析函数(可能多值)的实部或虚部；反之，某区域内的解析函数其实部与虚部都是该区域内的调和函数，并称其虚部为实部的共轭调和函数。用复数z=x+iy的记法,将u(x,y)写成u(z),若u(z)在│z│<R内调和，在│z│≤R上连续，则泊松公式就成为 　　(0≤r＜R)。　　对于任何α,│α│<R，此式还可写成 　　泊松积分是近代复变函数论中一个重要的研究工具，由此出发，可得出函数论中一系列重要结果。 　　若u(x,y)满足“重调和”方程 　　则称u是重调和函数,它是数学物理方程理论中的一个重要函数类。调和函数和重调和函数，在力学和物理学中都有重要的应用。类似地也有高维的重调和函数。 　　由于拉普拉斯方程是椭圆型方程的一个特殊情况，故后者的解的一般性质也是调和函数的性质。

一个函数有连续二阶偏导数，而且满足拉普拉斯方程.调和函数为u(x,y,z)且满足：u对x的二阶偏导数+u对y的二阶偏导数+u对z的二阶偏导数=0的函数f(x) = k/x*(1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ...... + 1/n + ...)

调和函数的性质如下：1、在给定的开集U上所有的调和函数的集合是其上的拉普拉斯算子Δ的核，因此是一个R的向量空间：调和函数的和与差以及数乘，结果依然是调和函数。2、 如果f是U上的一个调和函数，那么f的所有偏导数也仍然是U上的调和函数，在调和函数类上，拉普拉斯算子和偏导数算子是交换的。 3、在某些意义上，调和函数是全纯函数在实值函数上的对应物。所有的调和函数都是解析的，也就是说它们可以局部地展开成幂级数。这是关于椭圆算子的一个性质，而拉普拉斯算子是一个常见的例子。 4、收敛的调和函数列的一致极限仍会是调和的。这是因为所有满足介值性质的连续函数都是调和函数。相关例子：二元的调和函数的例子有： 任意全纯函数的实数部分和虚数部分。 函数：f(x1,x2) =ln(x12+x22) 。这个函数定义在R {0}上（实际上是一个均匀线电荷所产生的电势或一个细长的均匀无限长圆柱形物体产生的引力势所对应的数学模型）。 函数：f(x1,x2) =exp(x1)sin(x2)。 n元的调和函数的例子有： （1）R所有的常数函数、线性函数和仿射函数（比如说两块均匀带电无限大平板之间的电势）。 （2）定义在R {0}上的函数f(x1,...,xn) = (x1+ ... +xn)，其中n≥ 2。

调和函数和解析函数的关系如下：解析函数是复函数，调和函数可看作是解析函数的实部或虚部代表的实二元函数，二者基本一一对应。从调和函数构造解析函数要求，调和函数定义在单连通区域上，否则就对应的是一个复的多值函数了。调和函数是在某区域中满足拉普拉斯方程的函数。通常对函数本身还附加一些光滑性条件，例如有连续的一阶和二阶偏导数。当自变量为n个（从而区域是n维的）时，则称它为n维调和函数。对于高维的调和函数，也有与上述类似的最大、最小值原理，平均值公式以及相应的狄利克雷问题解的存在和惟一性定理。解析函数：区域上处处可微分的复函数。17世纪，L.欧拉和J.leR.达朗贝尔在研究水力学时已发现平面不可压缩流体的无旋场的势函数Φ（x，y)与流函数Ψ（x，y)有连续的偏导数，且满足微分方程组，并指出f（z）=Φ（x，y）+iΨ（x，y）是可微函数，这一命题的逆命题也成立。柯西把区域上处处可微的复函数称为单演函数，后人又把它们称为全纯函数、解析函数。B.黎曼从这一定义出发对复函数的微分作了深入的研究，后来，就把上述的偏微分方程组称为柯西-黎曼方程，或柯西-黎曼条件。

在区域D内存在二阶连续偏导数的实函数U(x,y,z),如果在D内满足拉普拉斯方程Δu=2u/x2+2u/y2+2u/z2=0,则称U(x,y,z)为区域D上的调和函数.

二维调和函数与解析函数论有着密切联系。解析函数analytic function区域上处处可微分的复函数。17世纪，L.欧拉和J.leR.达朗贝尔在研究水力学时已发现平面不可压缩流体的无旋场的势函数Φ（x，y)与流函数Ψ（x，y)有连续的偏导数，且满足微分方程组，并指出f（z）＝Φ（x，y）＋iΨ（x，y）是可微函数，这一命题的逆命题也成立。柯西把区域上处处可微的复函数称为单演函数，后人又把它们称为全纯函数、解析函数。B.黎曼从这一定义出发对复函数的微分作了深入的研究，后来，就把上述的偏微分方程组称为柯西-黎曼方程，或柯西-黎曼条件。K. 魏尔斯特拉斯将一个在圆盘上收敛的幂级数的和函数称为解析函数，而区域上的解析函数是指在区域内每一小圆邻域上都能表成幂级数的和的函数。关于解析函数的不同定义在20世纪初被证明是等价的。基于魏尔斯特拉斯的定义，区域上的解析函数可以看作是其内任一小圆邻域上幂级数的解析开拓 ，关于解析开拓的一般定义是，f（z）与g（z）分别是D与D*上的解析函数，若DÉD* ，且在D*上f（z）＝g（z）。则称f（z）是g（z）由D*到D的解析开拓 。解析开拓的概念可以推广到这样的情形 ：f（z）与g（z)分别是两个圆盘D1与D2上的幂级数，且D1∩D2≠ ，在D1∩D2上f（z)＝g（z )则也称f与g互为解析开拓，把可以互为解析开拓的（ f（z），Δ）的解析圆盘Δ全连起来，作成一个链。它们的并记作Ω，得到了Ω上的一个解析函数，称它为魏尔斯特拉斯的完全解析函数，这里可能出现这样的情形，在连成一个链的圆盘中，有一些圆盘重叠在一起，但在这些重叠圆盘的每一个上的解析函数都是不一样的，它们的每一个都称为完全解析函数的分支。这样的完全解析函数实际是一个多值函数。黎曼提出将多值解析函数中的那些重叠的圆盘看作是不同的“叶”，不使他们在求并的过程中只留下一个代表，于是形成了一种称为黎曼面的几何模型。将多值函数看作是定义于其黎曼曲面上的解析函数，这样多值解析函数变成了单值解析函数。调和函数如果二元函数f(x,y)在区域Ω内有二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方程,则称f为区域Ω中的调和函数.广义来讲在某区域中满足拉普拉斯方程的函数。通常对函数本身还附加一些光滑性条件，例如有连续的一阶和二阶偏导数。当自变量为n个（从而区域是n维的）时，则称它为n维调和函数。例如，n=2时,调和函数u(x,y)在某平面区域内满足方程若所考虑的区域包含一个闭圆域，例如x+y≤R，则有下列关于调和函数的平均值公式：即u(x,y)在圆心的值等于圆周上的积分平均值。更一般地，圆内任何一点x=rcosφ，y=rsinφ(0≤r<R)处调和函数 u＝u(r, φ)的值可以由下列泊松公式给出：形如上式右端的积分称作泊松积分。设u(x,y)为平面区域G中的调和函数,且在G的闭包上连续,则借助于平均值公式可以证明,它不能在G 的内部取其最大值与最小值，除非它恒等于一常数。这就是调和函数的最大、最小值原理。由泊松积分出发可解决下列狄利克雷问题：在区域G的边界嬠G上给定一连续函数 ƒ(x,y)，要求给出G中的调和函数u(x,y)，使其在嬠G上取ƒ(x,y)的值，即在G的边界嬠G满足一定的条件下,这个问题的解存在且惟一。对于高维的调和函数，也有与上述类似的最大、最小值原理，平均值公式以及相应的狄利克雷问题解的存在和惟一性定理。二维调和函数与解析函数论有着密切联系。在某区域内的调和函数一定是该区域内某解析函数(可能多值)的实部或虚部；反之，某区域内的解析函数其实部与虚部都是该区域内的调和函数，并称其虚部为实部的共轭调和函数。用复数z=x+iy的记法,将u(x,y)写成u(z),若u(z)在│z│<R内调和，在│z│≤R上连续，则泊松公式就成为(0≤r＜R)。对于任何α,│α│<R，此式还可写成泊松积分是近代复变函数论中一个重要的研究工具，由此出发，可得出函数论中一系列重要结果。若u(x,y)满足“重调和”方程则称u是重调和函数,它是数学物理方程理论中的一个重要函数类。调和函数和重调和函数，在力学和物理学中都有重要的应用。类似地也有高维的重调和函数。由于拉普拉斯方程是椭圆型方程的一个特殊情况，故后者的解的一般性质也是调和函数的性质。

调和函数是在某区域中满足拉普拉斯方程的函数。通常对函数本身还附加一些光滑性条件，所以lnx是调和函数

根据调和函数定义，0 = d^2u/dx^2+d^2u/dy^2 = 2 + 2k所以k=-1

一个函数有连续二阶偏导数，而且满足拉普拉斯方程.

在区域D内存在二阶连续偏导数的实函数U(x,y,z),如果在D内满足拉普拉斯方程Δu=2u/x2+2u/y2+2u/z2=0，则称U(x,y,z)为区域D上的调和函数。

f(x1,x2) =ln(x12+x22)。在某些教科书上平均值性质就是调和函数的定义，值得一提的是任何调和函数都可以局部地视为一个解析函数的实部，从而任意阶可导，从一个积分性质导出调和性质再导出任意阶可导是神奇的。正则性即函数的光滑程度的表述，接下来我们将研究调和函数的正则性（无限可微）。这个函数定义在R {0}上（实际上是一个均匀线电荷所产生的电势或一个细长的均匀无限长圆柱形物体产生的引力势所对应的数学模型）。性质：在给定的开集U上所有的调和函数的集合是其上的拉普拉斯算子Δ的核，因此是一个R的向量空间：调和函数的和与差以及数乘，结果依然是调和函数。如果f是U上的一个调和函数，那么f的所有偏导数也仍然是U上的调和函数，在调和函数类上，拉普拉斯算子和偏导数算子是交换的。

调和函数的中值公式U=0。调和函数的性质利用格林公式和基本积分公式得出了调和函数的球面平均值性质和沿任何闭曲面的法向导数积分为零。

如果是题主是在物理遇到的问题，那么想要得到的结论应该是这样的：如果调和函数在边界上取值为零，则在整个区域内处处为零。数学上解释，这实际上是复变函数的一个结果：最大模原理，我个人理解这是解析函数平均值定理的一个推论，可以在任何一本复变函数或是复分析的教材中找到证明。当然这一结论的证明也可以不依赖于复变函数。利用微积分的知识也可以证明这一结论。基本思想也是先利用Gauss公式证明平均值定理，题主可以参考相关的教科书。物理上解释，这里可以提供一种看法。把调和场看作一个给定区域内的静电场，区域内没有静电荷（否则就不是调和场了）。我们断言电势极值不能在区域内取到。以极大值为例，如果存在一点是电势极大值，那么在这一点附近电场都是离开该点方向的。在这一点附近取一个Gauss面，根据Gauss定理可知内必然存在正电荷，与区域内没有静电荷的假设相违背。另外binjie li指出无源的稳态热传导方程也会退化为Laplace方程，因此调和函数也对应一个稳态且区域内部没有热源的温度分布。从物理上看，似乎比较显然显然在区域内部不可能达到极值。所在边界上取值都为零，那么在区域内部显然也应为零。当然，有几位同学的答案“如果调和函数在很小的区域内恒为0，它必在整个区域上恒为0”结论也是对的，但这实际上不是调和函数特有的性质而是一般解析函数所具有的性质。而且在物理上这个结论似乎也并不重要，只是偶尔出现在唯一性定理的证明中。作者：andrew shen链接：http://www.zhihu.com/question/20889241/answer/21368149来源：知乎著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。作者：andrew shen链接：http://www.zhihu.com/question/20889241/answer/21368149来源：知乎著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。

. 如果 ，则 上式右端的第一项称为体位势，第二项称为单层位势，第三项称为双层位势. 这里 ， 其中 是 中的单位球面的表面积 如果 是 内的调和函数，则成立 Neumann 边值问题有解的必要条件 假设函数 是非齐次方程的 Neumann 边值问题 的解，则 如果函数 在 内调和，则 调和函数的平均值公式 调和函数在其定义域 内任一点的值等于它在以该点为心且包含于 的球(球面)的平均值： 强极值原理 设函数 在 内调和. 如果 不是常数，则 在 内既达不到最大值也达不到最小值. 弱极值原理 如果函数 在 内调和，则 如果 是 Laplace 方程在区域 上的 Green 函数，则位势方程的 Dirichlet 边值问题 的解可以表示为 维空间中球域上的 Green 函数是 . 其中 维球域上的 Dirichlet 问题 的求解公式 圆域（2维）上的 Green 函数是 其中 圆域上的 Dirichlet 问题 的求解公式是 其中 是圆域 内点的极坐标， 是圆周 上动点的极坐标. 中上半空间 上的 Green 函数是 其中 调和方程的 Dirichlet 问题 的求解公式是 其中， 上半平面的 Green 函数是 Dirichlet 问题 的求解公式是 其中 设函数 在以取面 问边界的区域 内调和，在 上有连续一阶偏导数，则 由此得知 Neumann 内问题 有解的必要条件是函数 满足 设函数 在某区域 内调和， 是 中的任一点，则对以 为球心、 为半径完全落在区域 的内部的球面 ，成立 . 对不恒等于常数的调和函数 ，在其区域 的任何内点上的值不可能达到它在 上的上界或下界. 在有限区域 内调和、在 上连续的函数必边界 取得其最大值和最小值. 设 及 都是区域 内的调和函数，且在 上连续. 如果在 的边界 上成立着不等式 ，那么在 内上述不等式也成立；并且只有在 时，在 内才会有等号成立的不可能. 方程 的狄利克雷内问题 的解如果存在，必是唯一的，而且连续地依赖于所给的边界条件 . 方程 的狄利克雷外问题的解如果存在，必是唯一的. 性质 1 格林函数 除 一点外处处满足方程 ，而方 时， 趋于无穷大，其阶数和 相同. 性质 2 在边界 上格林函数 恒等于零. 性质 3 在区域 中成立着不等式： 性质 4 格林函数 在自变量 及参变量 之间具有对称性，即设 为区域中的两点，则 . 性质 5 球上 Dirichlet 问题的解的表达式为 写成球坐标的形式 其中 是点 的坐标， 是球面 上点 的坐标，而 . 以上两个公式称为 泊松公式 . 对于任一给定的单连通区域必存在一个共形映射，将此单连通区域映射到单位圆，并将区域内一点 映到单位圆的圆心 . 如果函数序列 中的每个函数在某有限区与 中都是调和函数，在闭区域 （ 是 的边界）上连续，而且这函数序列在 上一致收敛，则它在 中也一致收敛，并且极限函数 在区域 中也是调和函数. 设 是 上一个单调不减的调和函数序列，若它在 内的某一点 收敛，则它在 中处处收敛于一个调和函数 ，并且这种收敛在 的任一闭子区间上是一致的. 其中 为球心、半径为 完全落在 中的球 ， 是 内的任一点. 设 为区域 中的非负调和函数，则对 中的任一闭子区域 ，存在仅与 有关的正常数 ，使得 设 在点 的邻域中除点 外是调和函数，在 点附近成立 其中 表示 点和 点的距离，则总可以重新定义函数 在点 的值，使 在整个所考虑的点 的邻域中 (包括点 本身在内) 是调和函数. 如果 确实是调和函数 的孤立奇点（即是不可除去的奇点），那么 在 点附近趋近于无穷大的阶数不低于 . 设 是区域 中的调和函数，那么它在 中式关于自变量 的解析函数，也就是说在 中任一点 的附近，它都可以展开成 的幂级数. 设区域 具有下述性质：对 的边界 上的任一点 ，都可作一个属于区域 （连同其边界 ）的球 ，使其在点 与 相切. 如果不恒等于常数的调和函数 在 上连续，在边界点 处取最小(最大)值，则只要它在点 处关于 的外法向导数 存在，其值必是负(正)的. 如果区域 的边界 满足定理上面这个定理中的条件，那么同一个 Neumann 内问题的解彼此间只能相差一个常数. 也就是说 Neumann 内问题的解除去常数外是唯一的.

因为解析函数的实部和虚部必定都是调和函数，如果u不调和，那虚部就不用求了，以u为实部的函数必定不解析。若f=u+iv是解析函数，则ux=vy,vx=-uy（柯西-黎曼方程）。那么u_xx=v_yx=v_xy=-u_yy，从而u_xx+u_yy=0,即u是调和函数。当然如果题目明确告诉你u是某个解析函数的实部，那么不去验证u调和也是可以的。

是。在给定的开集U上所有的调和函数的集合是其上的拉普拉斯算子Δ的核，因此是一个R的向量空间：调和函数的和与差以及数乘，结果依然是调和函数。

是。tan^-1y/x是调和函数，调和函数是在某区域中满足拉普拉斯方程的函数。通常对函数本身还附加一些光滑性条件，例如有连续的一阶和二阶偏导数。

u＝X2十y2是调和函数。Xy代表两个变数，一个越大，另一个越小。

楼上纯属乱答。ux表示u对x的偏导，uxx表示2阶偏导只要验证u(x,y)是否满足拉普拉斯方程ux=(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2uxx=(2x^3-6xy^2)/(x^2+y^2)^3uy=-2xy/(x^2+y^2)^2uyy=(-2x^3+6xy^2)/(x^2+y^2)^3所以uxx+uyy=0满足拉普拉斯方程，于是u为调和函数。下面只要求出u(x,y)的共轭调和函数v(x,y)由ux=(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2=vy得v(x,y)=∫(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2 dy=-y/(x^2+y^2)+g(x)又vx=-uyvx=2xy/(x^2+y^2)+g"(x)且-uy=2xy/(x^2+y^2)^2所以g"(x)=0, g(x)=C所以v(x,y)=-y/(x^2+y^2)+C所以解析函数为f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)=[x/(x^2+y^2)]+i[-y/(x^2+y^2)+C]

u"x=1,u""xx=0,u"y=-2,u""yy=0,因此u""xx+u""yy=0,即u满足拉普拉斯方程,因此u是调和函数,同理v"x=1+y,v""xx=0,v"y=x+1,v""yy=0,即v""xx+v""yy=0,v也是调和函数.但是根据柯西黎曼方程,u"x=v"y,u"y=-v"x,有1=x+1,2=1+y,即x=0,y=1,因此f(z)=u+iv只在z=i处可导,在任意点都不解析.

错误，反之是正确的。若函数解析，其实部与虚部一定是调和函数。若实部与虚部都是调和函数，则复变函数不一定解析。反例：如u=x+y，v=x+y，因为都是一次式，当然是调和函数（验证调和函数需要求二阶偏导），但函数z=(x+y)+i(x+y)显然不解析，du/dy ≠ -dv/dx

解析函数的虚部，就是其实部的共轭调和函数

因为解析函数的实部和虚部必定都是调和函数，如果u不调和，那虚部就不用求了，以u为实部的函数必定不解析。若f=u+iv是解析函数，则ux=vy,vx=-uy（柯西-黎曼方程）。那么u_xx=v_yx=v_xy=-u_yy，从而u_xx+u_yy=0,即u是调和函数。当然如果题目明确告诉你u是某个解析函数的实部，那么不去验证u调和也是可以的。

若f(x,y)为D内的解析函数则,它的实部和虚部都为调和函数 设f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y) ∂u/∂x=∂v/∂y ∂u/∂y=-∂v/∂x 所以∂^2u/∂x^2=∂v/∂x∂y ∂^2u/∂y^2=-∂v/∂x∂y 所以u(x,y)为调和函数,同理可证v(x,y)为调和函数

令v=x/y，则u"x=f"/y，u""xx=f""/y^2，u"y=-xf"/y^2，u""yy=(2xf""/y^3)+(x^2)f""/y^4，由于调和函数满足拉普拉斯方程u""xx+u""yy=0，整理后得(x^2/y^2+1)f""+(2x/y)f"=0，即(v^2+1)f""+2vf"=0，这是可降次的微分方程，令p=f"，则(v^2+1)(dp/dv)+2vp=0，分离变量后积分得lnC1p=ln(1/v^2+1)，即C1p=1/(v^2+1)。因此C1(df/dv)=1/(v^2+1)，再次分离变量积分有C1f=arctanv+C2，两边除C1并记1/C1=m，C2/C1=n，则f=marctanv+n，即型如u=f(x/y)调和函数的一般形式为u=m*arctan(x/y)+n。

拉普拉斯方程表示液面曲率与液体压力之间的关系的公式。一个弯曲的表面称为曲面，通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相重合的圆半径称为该曲线的曲率半径R1。通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径R2，用 R1与R2可表示出液体表面的弯曲情况。若液面是弯曲的，液体内部的压力p1与液体外的压力p2就会不同，在液面两边就会产生压力差△P= P1- P2，其数值与液面曲率大小有关，可表示为：▽p=γ（1/R1+1/R2）式中γ是液体表面张力。该公式成为拉普拉斯方程。在数理方程中拉普拉斯方程为：▽u=d^2u/dx^2+d^2u/dy^2=0，其中 ▽ 为拉普拉斯算子，此处的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程。三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ ： 　　其中 ▽ 称为拉普拉斯算子. 　　拉普拉斯方程的解称为调和函数。 　　如果等号右边是一个给定的函数f(x, y, z)，即： 　　则该方程称为泊松方程。 拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。偏微分算子或 ▽（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是 Laplace operator 或简称作 Laplacian。狄利克雷问题拉普拉斯方程的狄利克雷问题可归结为求解在区域D内定义的函数φ，使得在D的边界上等于某给定的函数。为方便叙述，以下采用拉普拉斯算子应用的其中一个例子——热传导问题作为背景进行介绍：固定区域边界上的温度（是边界上各点位置坐标的函数），直到区域内部热传导使温度分布达到稳定，这个温度分布场就是相应的狄利克雷问题的解。诺伊曼边界条件拉普拉斯方程的诺伊曼边界条件不直接给出区域D边界处的温度函数φ本身，而是φ沿D的边界法向的导数。从物理的角度看，这种边界条件给出的是矢量场的势分布在区域边界处的已知效果（对热传导问题而言，这种效果便是边界热流密度）。拉普拉斯方程的解称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数之和（或任意形式的线性组合）同样满足前述方程。这种非常有用的性质称为叠加原理。可以根据该原理将复杂问题的已知简单特解组合起来，构造适用面更广的通解。编辑本段二维拉普拉斯方程两个自变量的拉普拉斯方程具有以下形式： 　　函数h (x,y) 为二元函数，h(x,y) 对x的二阶偏导数 + h(x,y)对y的二阶偏导数 = 0解析函数解析函数的实部和虚部均满足拉普拉斯方程。换言之，若z = x + iy，并且 　　那么f(z)是解析函数的充要条件是它满足下列柯西-黎曼方程：f（z） = u(x,y) + iv(x ,y) 　　u 对x的偏导数 = v 对y 的偏导数 ， u 对y 的偏导数 = - （v 对 x 的偏导数） 　　上述方程继续 求导就得到 　　所以u 满足拉普拉斯方程。类似的计算可推得v 同样满足拉普拉斯方程。 　　反之，给定一个由解析函数（或至少在某点及其邻域内解析的函数）f(z)的实部确定的调和函数，若写成下列形式： 　　则等式 　　成立就可使得柯西-黎曼方程得到满足。 上述关系无法确定ψ，只能得到它的微增量表达式： 　　φ满足拉普拉斯方程意味着ψ满足可积条件： 　　所以可以通过一个线积分来定义ψ。可积条件和斯托克斯定理的满足说明线积分的结果与积分经过的具体路径无关，仅由起点和终点决定。于是，我们便通过复变函数方法得到了φ和ψ这一对拉普拉斯方程的解。这样的解称为一对共轭调和函数。这种构造解的方法只在局部（复变函数f(z)）的解析域内）有效，或者说，构造函数的积分路径不能围绕有f(z)的奇点。譬如，在极坐标平面(r,θ)上定义函数 　　那么相应的解析函数为 　　在这里需要注意的是，极角θ 仅在不包含原点的区域内才是单值的。 　　拉普拉斯方程与解析函数之间的紧密联系说明拉普拉斯方程的任何解都无穷阶可导（这是解析函数的一个性质），因此可以展开成幂级数形式，至少在不包含奇点的圆域内是如此。这与波动方程的解形成鲜明对照，后者包含任意函数，其中一些的可微分阶数是很小的。 　　幂级数和傅里叶级数之间存在着密切的关系。如果我们将函数f 在复平面上以原点为中心，R 为半径的圆域内展开成幂级数，即 　　将每一项系数适当地分离出实部和虚部 　　那么 　　这便是f 的傅里叶级数。三维情况下拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ ： 　　上面的方程常常简写作： 　　或

u=arctany/x是调和函数。根据查询相关信息显示：调和函数在区域D内存在二阶连续偏导数的实函数U(x，y，z)，如果在D内满足拉普拉斯方程Δu=2u/x2+2u/y2+2u/z2=0，则称U(x，y，z)为区域D上的调和函数，而u=arctany/x就是在这个区域范围。

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若u(x,y)满足“重调和”方程则称u是重调和函数,它是数学物理方程理论中的一个重要函数类。调和函数和重调和函数，在力学和物理学中都有重要的应用。类似地也有高维的重调和函数。由于拉普拉斯方程是椭圆型方程的一个特殊情况，故后者的解的一般性质也是调和函数的性质。

没有分母的y^2更容易,明显上面的做法使得问题复杂了.au/ax=x/(x^2+y^2),则u＝0.5ln(x^2+y^2)+c(y),再由au/ay=－av/ax,得c"(y)=0,因此c(y)=C.C是常数.故u＝0.5ln(x^2+y^2)+C.

倘若其中  是调和函数，  ，利用Green第二公式：这里的  是我们任取的一个好的函数，于是我们看到这样一种可能性：式子的右端仅与  上函数的性质有关，我们有可能取得  或是怎样的一个函数，使得式子的左端非常接近于区域内某点的值  ，也就是说：上面的式子提示了调和函数在区域内部某点的值完全被边界上的取值决定的可能性！

解析函数和共轭调和函数是互为充要的，而u,v是调和函数不一定解析，但是解析又u,v一定是调和函数。满足C-R方程的就称v是u的共轭调和函数 ，但是调和函数呢，只要满足拉普拉斯算子就可以了。公式：C-R方程： du/dx=dv/dy ,du/dy=-dv/dx 则v是u的共轭调和函数 （d为偏导）拉普拉斯算子： u对x的二次偏导+u对y的二次偏导=0 （v也一样） 满足就为调和函数

数学上的「调和」究竟含义：调和在调和函数、调和级数、调和平均值等中均是同一个意思，就是1/x。调和级数是各项倒数为等差数列的级数，各项倒数所成的数列（不改变次序）为等差数列。从第2项起，它的每一项是前后相邻两项的调和平均，故名调和级数。积分判别法通过将调和级数的和与一个瑕积分作比较可证此级数发散。考虑长方形的排列。每个长方形宽1个单位、高1/n个单位（换句话说，每个长方形的面积都是1/n）。注意后一个级数每一项对应的分数都小于调和级数中每一项，而且后面级数的括号中的数值和都为1/2，这样的1/2有无穷多个，所以后一个级数是趋向无穷大的，进而调和级数也是发散的。从更广泛的意义上讲，如果An是全部不为0的等差数列，则1/An就称为调和数列，求和所得即为调和级数，易得，所有调和级数都是发散于无穷的。

H(x)式子右侧没有x啊， 应该是 H(n)吧

是的，如果u和v是调和函数，那么复合函数u+iv（其中i是虚数单位）确实是解析函数。这是因为调和函数满足拉普拉斯方程，即它们的二阶偏导数之和为零：Δu = ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0，Δv = ∂²v/∂x² + ∂²v/∂y² = 0。在复分析中，解析函数是满足柯西-黎曼方程的函数。对于一个解析函数f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其实部u和虚部v需要满足以下柯西-黎曼方程：∂u/∂x = ∂v/∂y∂u/∂y = -∂v/∂x考虑到u和v都是调和函数，我们可以应用拉普拉斯方程。从Δu = 0和Δv = 0，我们可以得出：∂²u/∂x² = -∂²u/∂y²∂²v/∂x² = -∂²v/∂y²然后，我们可以用这些等式来验证柯西-黎曼方程是否成立。对u关于y求导，对v关于x求导：∂²u/∂x∂y = -∂²v/∂x²∂²v/∂y∂x = -∂²u/∂y²由于混合偏导数是可交换的（即∂²u/∂x∂y = ∂²u/∂y∂x），所以柯西-黎曼方程成立。因此，如果u和v是调和函数，那么复合函数u+iv是解析函数。

Python 有求和的函数。如下两个函数。其中sum是Python的内置函数，fsum是math模块下的求和函数>>> sum([.1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1])0.9999999999999999>>> fsum([.1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1])1.0如果你要保证算法精度，建议你使用math中的fsum。该算法，会不断跟踪运算过程的每一步，以此避免运算的精度损失，相比较sum而言有更高的精度。而sum函数只是求和，也就是简单的加法运算，不关心精度。如果输入的列表是字符串列表，sum也能被正确执行。

【按照一般定义】 u+iv 解析，称v是u的共轭调和函数，那么： u=2x-2xy，(偏u)/(偏x)=2-2y，(偏u)/(偏y)=-2x， 根据柯西黎曼方程，有 (偏v)/(偏y)=(偏u)/(偏x)=2-2y，(偏v)/(偏x)=-(偏u)/(偏y)=2x， 得到 v=2y+x^2-y^2。 【现在也称】u与v互为共轭调和函数，那么解答就不唯一， 调和函数 v=-2y-x^2+y^2 与 u=2x-2xy 也是互为共轭调和函数。 。

调和函数：如果二元函数f(x,y)在区域Ω内有二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方程，则称二元函数f(x,y)为区域Ω中的调和函数。实际上，拉普拉斯方程的解就是调和函数。调和函数无限次可导，其线性组合仍为调和函数。调和函数在定义域的紧子集的边界上达到最大最小值。调和函数在物理学上的意义：二阶偏导的和等于零，对应于加速度的和为零，即可以描述系统不受力的状态，即系统处于稳态。当不能刻画系统在每一时刻的状态，却能用调和函数描述系统稳态下的状态，调和函数就显得非常有意义了。拉普拉斯，1749年3月23日生于法国西北部卡尔瓦多斯的博蒙昂诺日，曾任巴黎军事学院数学教授。1795年任巴黎综合工科学校教授，后又在高等师范学校任教授。1799年他还担任过法国经度局局长，并在拿破仑政府中任过6个星期的内政部长。1816年被选为法兰西学院院士，1817年任该院院长。1827年3月5日卒于巴黎。拉普拉斯在研究天体问题的过程中，创造和发展了许多数学的方法，以他的名字命名的拉普拉斯变换、拉普拉斯定理和拉普拉斯方程，在科学技术的各个领域有着广泛的应用。

看在某区域中是否满足拉普拉斯方程。调和函数是在某区域中满足拉普拉斯方程的函数。通常对函数本身还附加一些光滑性条件，例如有连续的一阶和二阶偏导数。当自变量为n个（从而区域是n维的）时，则称它为n维调和函数。对于高维的调和函数，也有与上述类似的最大、最小值原理，平均值公式以及相应的狄利克雷问题解的存在和唯一性定理。性质在给定的开集U上所有的调和函数的集合是其上的拉普拉斯算子Δ的核，因此是一个R的向量空间：调和函数的和与差以及数乘，结果依然是调和函数。如果f是U上的一个调和函数，那么f的所有偏导数也仍然是U上的调和函数，在调和函数类上，拉普拉斯算子和偏导数算子是交换的。在某些意义上，调和函数是全纯函数在实值函数上的对应物。所有的调和函数都是解析的，也就是说它们可以局部地展开成幂级数。这是关于椭圆算子的一个性质，而拉普拉斯算子是一个常见的例子。收敛的调和函数列的一致极限仍会是调和的。这是因为所有满足介值性质的连续函数都是调和函数。

在某区域中满足拉普拉斯方程的函数。通常对函数本身还附加一些光滑性条件，例如有连续的一阶和二阶偏导数。当自变量为n个（从而区域是n维的）时，则称它为n维调和函数。例如，n=2时,调和函数u(x,y)在某平面区域内满足方程若所考虑的区域包含一个闭圆域，例如x+y≤R，则有下列关于调和函数的平均值公式：即u(x,y)在圆心的值等于圆周上的积分平均值。更一般地，圆内任何一点x=rcosφ，y=rsinφ(0≤r<R)处调和函数 u=u(r, φ)的值可以由下列泊松公式给出：形如上式右端的积分称作泊松积分。设u(x,y)为平面区域G中的调和函数,且在G的闭包上连续,则借助于平均值公式可以证明,它不能在G 的内部取其最大值与最小值，除非它恒等于一常数。这就是调和函数的最大、最小值原理。由泊松积分出发可解决下列狄利克雷问题：在区域G的边界G上给定一连续函数 ƒ(x,y)，要求给出G中的调和函数u(x,y)，使其在嬠G上取ƒ(x,y)的值，即在G的边界嬠G满足一定的条件下,这个问题的解存在且惟一。对于高维的调和函数，也有与上述类似的最大、最小值原理，平均值公式以及相应的狄利克雷问题解的存在和惟一性定理。二维调和函数与解析函数论有着密切联系。在某区域内的调和函数一定是该区域内某解析函数(可能多值)的实部或虚部；反之，某区域内的解析函数其实部与虚部都是该区域内的调和函数，并称其虚部为实部的共轭调和函数。用复数z=x+iy的记法,将u(x,y)写成u(z),若u(z)在│z│<R内调和，在│z│≤R上连续，则泊松公式就成为(0≤r<R)。对于任何α,│α│<R，此式还可写成泊松积分是近代复变函数论中一个重要的研究工具，由此出发，可得出函数论中一系列重要结果。

是的。调和函数是在某区域中满足拉普拉斯方程的函数。通常对函数本身还附加一些光滑性条件，例如有连续的一阶和二阶偏导数。当自变量为n个（从而区域是n维的）时，则称它为n维调和函数。性质：在给定的开集U上所有的调和函数的集合是其上的拉普拉斯算子Δ的核，因此是一个R的向量空间：调和函数的和与差以及数乘，结果依然是调和函数。

三种方法 (不定积分法、偏积分法、曲线积分法)

不是，调和函数是在某区域中满足拉普拉斯方程的函数。通常对函数本身还附加一些光滑性条件，例如有连续的一阶和二阶偏导数。当自变量为n个（从而区域是n维的）时，则称它为n维调和函数。对于高维的调和函数，也有与上述类似的最大、最小值原理，平均值公式以及相应的狄利克雷问题解的存在和惟一性定理。调和函数满足以下的极大值定理：如果K是U的一个紧子集，那么f在K上诱导的函数只能在边界上达到其最大值和最小值。如果U是连通的，那么这个定理意味着f不能达到最大值和最小值，除非它是常数函数。对于次调和函数也有同样的定理。

[数] 调和函数

在区域D内存在二阶连续偏导数的实函数U(x,y,z),如果在D内满足拉普拉斯方程Δu=2u/x2+2u/y2+2u/z2=0，则称U(x,y,z)为区域D上的调和函数。

解题如下：调和函数是在某区域中满足拉普拉斯方程的函数。通常对函数本身还附加一些光滑性条件，例如有连续的一阶和二阶偏导数。当自变量为n个（从而区域是n维的）时，则称它为n维调和函数。扩展资料：调和函数的性质：在给定的开集U上所有的调和函数的集合是其上的拉普拉斯算子Δ的核，因此是一个R的向量空间：调和函数的和与差以及数乘，结果依然是调和函数。如果f是U上的一个调和函数，那么f的所有偏导数也仍然是U上的调和函数，在调和函数类上，拉普拉斯算子和偏导数算子是交换的。在某些意义上，调和函数是全纯函数在实值函数上的对应物。所有的调和函数都是解析的，也就是说它们可以局部地展开成幂级数。这是关于椭圆算子的一个性质，而拉普拉斯算子是一个常见的例子。收敛的调和函数列的一致极限仍会是调和的。这是因为所有满足介值性质的连续函数都是调和函数。

u对x的2次偏导数=2,u对y的2次偏导数=-2.所以这两项相加=0,即u满足拉普拉斯方程,u是调和函数.f(i)=-1+i,f(z)=z-1=x-1+yi(x-1)对x偏导数=1=y对y偏导数;y对x偏导数=0=-(x-1)对y的偏导数,所以f是z上的解析函数

拉普拉斯调和函数是由拉普拉斯方程定义的，拉普拉斯方程又叫调和方程

1+1/2^n+1/3^n+1/4^n+1/5^n-------n是1 2 3 4－－－－－－－