调和函数

根据调和函数定义，0 = d^2u/dx^2+d^2u/dy^2 = 2 + 2k所以k=-1

一个函数有连续二阶偏导数，而且满足拉普拉斯方程.

在区域D内存在二阶连续偏导数的实函数U(x,y,z),如果在D内满足拉普拉斯方程Δu=2u/x2+2u/y2+2u/z2=0，则称U(x,y,z)为区域D上的调和函数。

f(x1,x2) =ln(x12+x22)。在某些教科书上平均值性质就是调和函数的定义，值得一提的是任何调和函数都可以局部地视为一个解析函数的实部，从而任意阶可导，从一个积分性质导出调和性质再导出任意阶可导是神奇的。正则性即函数的光滑程度的表述，接下来我们将研究调和函数的正则性（无限可微）。这个函数定义在R {0}上（实际上是一个均匀线电荷所产生的电势或一个细长的均匀无限长圆柱形物体产生的引力势所对应的数学模型）。性质：在给定的开集U上所有的调和函数的集合是其上的拉普拉斯算子Δ的核，因此是一个R的向量空间：调和函数的和与差以及数乘，结果依然是调和函数。如果f是U上的一个调和函数，那么f的所有偏导数也仍然是U上的调和函数，在调和函数类上，拉普拉斯算子和偏导数算子是交换的。

调和函数的中值公式U=0。调和函数的性质利用格林公式和基本积分公式得出了调和函数的球面平均值性质和沿任何闭曲面的法向导数积分为零。

如果是题主是在物理遇到的问题，那么想要得到的结论应该是这样的：如果调和函数在边界上取值为零，则在整个区域内处处为零。数学上解释，这实际上是复变函数的一个结果：最大模原理，我个人理解这是解析函数平均值定理的一个推论，可以在任何一本复变函数或是复分析的教材中找到证明。当然这一结论的证明也可以不依赖于复变函数。利用微积分的知识也可以证明这一结论。基本思想也是先利用Gauss公式证明平均值定理，题主可以参考相关的教科书。物理上解释，这里可以提供一种看法。把调和场看作一个给定区域内的静电场，区域内没有静电荷（否则就不是调和场了）。我们断言电势极值不能在区域内取到。以极大值为例，如果存在一点是电势极大值，那么在这一点附近电场都是离开该点方向的。在这一点附近取一个Gauss面，根据Gauss定理可知内必然存在正电荷，与区域内没有静电荷的假设相违背。另外binjie li指出无源的稳态热传导方程也会退化为Laplace方程，因此调和函数也对应一个稳态且区域内部没有热源的温度分布。从物理上看，似乎比较显然显然在区域内部不可能达到极值。所在边界上取值都为零，那么在区域内部显然也应为零。当然，有几位同学的答案“如果调和函数在很小的区域内恒为0，它必在整个区域上恒为0”结论也是对的，但这实际上不是调和函数特有的性质而是一般解析函数所具有的性质。而且在物理上这个结论似乎也并不重要，只是偶尔出现在唯一性定理的证明中。作者：andrew shen链接：http://www.zhihu.com/question/20889241/answer/21368149来源：知乎著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。作者：andrew shen链接：http://www.zhihu.com/question/20889241/answer/21368149来源：知乎著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。

因为解析函数的实部和虚部必定都是调和函数，如果u不调和，那虚部就不用求了，以u为实部的函数必定不解析。若f=u+iv是解析函数，则ux=vy,vx=-uy（柯西-黎曼方程）。那么u_xx=v_yx=v_xy=-u_yy，从而u_xx+u_yy=0,即u是调和函数。当然如果题目明确告诉你u是某个解析函数的实部，那么不去验证u调和也是可以的。

是。在给定的开集U上所有的调和函数的集合是其上的拉普拉斯算子Δ的核，因此是一个R的向量空间：调和函数的和与差以及数乘，结果依然是调和函数。

是。tan^-1y/x是调和函数，调和函数是在某区域中满足拉普拉斯方程的函数。通常对函数本身还附加一些光滑性条件，例如有连续的一阶和二阶偏导数。