矩阵的相似

恩,我在看，我觉得是这样的:）正交矩阵因为A逆=A" (转置或转置共扼),所以A"A=AA"(=I),A是正规矩阵,它具有n个正交的特征向量．（完整的证明可以在一般的线性代数书里或所有的高等代数书里找到）．把这些向量排列成一个矩阵（也是正交矩阵）P，可以使得A正交相似变换一个对角矩阵R，对角的元素都是A的特征值．（P逆 AP＝R）相似变换不改变A的特征值，则如果A和B相似，B也可以找到一个正交矩阵Q，使得Q逆BQ＝R．（特征值是正交矩阵的全系不变量，由一组特征值或者说R可以确定一族正交矩阵的等价关系，这族矩阵的等价关系就是,相似关系,即(T逆)AT = B，T可以不是正交矩阵）那么，从Q逆AQ＝P逆BP＝R可以得到PQ逆AQP逆＝B而两个正交矩阵乘积也是正交矩阵，所以A和B之间可以通过正交相似变换达到．（QP逆）存在的正交相似变换D哦 milksea兄,原来是你呵呵,说了很多废话,别骂俺

对称矩阵也可以用一般的由特征向量组成的非奇异阵做对角化，只不过它有特殊的性质（对称），因此我们就可以考虑特殊的对角化，也就是正交相似对角化。这么做有好处：正交矩阵的逆矩阵很容易求，就是它的转置，不像一般的可逆阵需要半天才能求出来。你想想，如果是一个1000*1000的矩阵求逆，那要多长时间才能做完？但正交矩阵就太容易了，只要转置一下就行了。

矩阵相似则特征多项式相同, 进而有 特征值相同, 行列式相同, 并且秩相等这是定理

齐次：AX=0，CX=0由二者具有相同的解,故两个齐次方程同解的条件二者的系数矩阵(A)与(C)化为的阶梯形矩阵完全相同.非齐次：AX=BCX=D由二者具有相同的解,故两个非齐次方程同解的条件二者的增广矩阵(AIB)与(CID)化为的阶梯形矩阵完全相同.

矩阵相似、合同之间没有充要关系，存在相似但不合同的矩阵，也存在合同但不相似的矩阵。 总结起来就是：相似=>等价，合同=>等价，等价=>等秩矩阵等秩是相似、合同、等价的必要条件，相似、合同、等价是等秩的充分条件。合同是存在非异矩阵P，使得PAP‘=B，注意，这里P"是P的转置，而非逆阵。这一般应用在二次型理论上面。合同也可以推出等价。合同的条件是两个矩阵惯性系数一样。就是说正特征，负特征数目一样。扩展资料矩阵的分解主条目：矩阵分解矩阵分解是将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积，矩阵的分解法一般有三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解等。三角分解设 ,则A可以唯一地分解为A=U1R ,其中U1是酉矩阵，R是正线上三角复矩阵，或A可以唯一地分解为其中L是正线上三角复矩阵，是酉矩阵   。谱分解谱分解（Spectral decomposition）是将矩阵分解为由其特征值和特征向量表示的矩阵之积的方法。需要注意只有对可对角化矩阵才可以施以特征分解。奇异值分解假设M是一个m×n阶矩阵，其中的元素全部属于域K，也就是实数域或复数域。如此则存在一个分解使得其中U是m×m阶酉矩阵；Σ是m×n阶实数对角矩阵；而V*，即V的共轭转置，是n×n阶酉矩阵。这样的分解就称作M的奇异值分解 [19]  。Σ对角线上的元素Σi,i即为M的奇异值。常见的做法是将奇异值由大而小排列。如此Σ便能由M唯一确定了。满秩分解设 ，若存在矩阵 及 ，使得A=FG，则称其为的A一个满秩分解。LUP分解LUP分解的思想就是找出三个n×n矩阵L,U,P，满足 . 其中L是一个单位下三角矩阵，U是一个单位上三角矩阵，P是一个置换矩阵。 而满足分解条件的矩阵L,U,P称为矩阵A的一个LUP分解 。参考资料：百度百科-矩阵

　　对角化是广义的，只是把矩阵化为对角形的矩阵而已，对对角元的取值不作要求（不要求其全不为零）。从这个意义上讲对称矩阵一定能相似对角化这是没错的。具体地怎么实现相似对角化呢？实际上相似对角化就是找一个正交阵T使得T"AT=T^(-1)AT=diag{λ1,..,.λ1;...;λr,...,λr}（每个λi有其几何重数个）做法如下：找出A的全部值并求全布特征值对应的特征向量αi1,...,αisi（si为λi的几何重数）对每组αi1,...,αisi分别进行施密特正交化，而后将施密特正交化后的这r组向量按次序按列排成矩阵，记为T，T即为所求。　　对角化这个概念是针对矩阵而言的，并且矩阵的对角化源自于线性变换的化简，所以最好先知道线性变换和线性变换与矩阵的对应关系。　　设一线性变换a，在基m下的矩阵为A，在基n下的矩阵为B，m到n的过渡矩阵为X，　　那么可以证明：B=X-1AX　　那么定义：A，B是2个矩阵。如果存在可逆矩阵X，满足B=X-1AX ，那么说A与B是相似的(是一种等价关系)。　　如果存在可逆矩阵X使A与一个对角矩阵B相似，那么说A可对角化。　　相应的，如果线性变换a在基m下的矩阵为A，并且A相似于对角矩阵B，那么令X为过渡矩阵即可求出基n，并且在n下线性变换a的矩阵为对角矩阵，从而达到了化简。