拉格朗日中值定理

不可以忽略，中值定理那点的导数对应的自变量是不确定的。你省略了不就是a点的导数了么，那就固定了。

函数f(x)满足：（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)内可导；拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微分学中的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。 拉格朗日 法国数学家。1754年开始研究数学，1766年接替了欧拉在柏林皇家科学院的职位，在那里工作达20年。1786年去法国，先后担任巴黎高等师范学校和多科工艺学校教授。他是18世纪仅次于欧拉的大数学家，工作涉及数论、代数方程论、微积分、微分方程、变分法、力学、天文学等许多领域。 在数学上，他最早的重要贡献是1759年解决了等周问题，从而开创了变分问题分析形式的一般解法。1766～1787年是他科学研究的多产时期，1766～1773年，他在数论方面做了一系列研究，1766年证明了所谓佩尔(Pell)方程(x-Ay=1)的解的存在性，1770年证明费马的著名命题，每个正整数可表为至多4个平方数之和；1771年证明了著名的所谓威尔逊(Wilson)定理;1773年关于整数的型表示问题获得关键性成果。 1767～1777年，他又系统地研究了代数方程论，引入对称多项式理论，置换理论及预解式概念，指出根的排列理论是整个问题的真谛，对后来伽罗华的工作产生了重要影响。在这期间，他还在微积分、微分方程、力学、天文学领域广泛开展研究，导致了他的两部不朽巨著《分析力学》(1788)、《微分原理中的解析函数论》(1797)。 著名的拉格朗日中值定理、拉格朗日余项、拉格朗日方程，对黎卡提方程的重要研究，对线性微分方程组的研究，对奇解与通解的联系的系统研究，都是这一时期的工作。他也是最先试图为微积分提供严格基础的数学家之一，这使他成为实变函数论的先驱。他还以在数学上追求简明与严格而被誉为第1个真正的分析学家。拿破仑曾评价说：“拉格朗日是数学科学方面高耸的金字塔。”

拉格朗日中值定理求极限的适用范围介绍如下：函数f(x)在闭区间上[a,b]连续，在开区间(a,b)上可导，那么在开区间(a,b)内至少存在一点ξ使得f"(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a) 。拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理（英文：Lagrange mean value theorem或Lagrange"s Mean Value Theorem，又称：拉氏定理、有限增量定理）是微分学中的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。定理的现代形式如下：如果函数f(x)在闭区间上[a,b]连续，在开区间(a,b)上可导，那么在开区间(a,b)内至少存在一点ξ使得f"(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a) 。1797年，拉格朗日中值定理被法国数学家约瑟夫·拉格朗日在《解析函数论》中首先给出，并提供了最初的证明。现代形式的拉格朗日中值定理是由法国数学家O.博内给出 。拉格朗日中值定理沟通了函数与其导数的联系, 在研究函数的单调性、凹凸性以及不等式的证明等方面, 都可能会用到拉格朗日中值定理

前面每一个是后面的一个特例，通过前一个的定理可以证明后一个定理。罗尔中值定理能推出拉格朗日中值定理和柯西中值定理,反过来拉格朗日中值定理和柯西中值定理也可以推出罗尔中值定理.泰勒中值定理是由柯西中值定理推出来的.泰勒中值定理在一阶导数情形就是拉格朗日中值定理.罗比达法则是柯西中值定理在求极限时应用.

前面每一个是后面的一个特例，通过前一个的定理可以证明后一个定理。罗尔中值定理能推出拉格朗日中值定理和柯西中值定理,反过来拉格朗日中值定理和柯西中值定理也可以推出罗尔中值定理.泰勒中值定理是由柯西中值定理推出来的.泰勒中值定理在一阶导数情形就是拉格朗日中值定理.罗比达法则是柯西中值定理在求极限时应用.

费马定理中值定理。拉格朗日中值定理，是罗尔中值定理的推广，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特例，即函数在定义域内两端点函数值相等的特例。柯西中值定理，是拉格朗日中值定理的一个特例，即，g(x)=x，结论就变成了拉格朗日中值定理。费马中值定理公式:利用连续函数在闭区间的介值定理可解决的一类中值问题，即证明存在ξ∈[a，b]，使得某个命题成立。利用罗尔定理、费马定理可解决的一类中值定理，即证明存在ξ∈[a，b]，使得H(ξ，f(ξ)，f"(ξ))=0。

　　拉格朗日中值定理的推论是可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的弱形式。 　　拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微分学中的基本定理之一，拉格朗日中值定理是法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》的第六章提出了的定理，并进行了初步证明，因此人们将该定理命名为拉格朗日中值定理。

1、罗尔中值定理：若f(x)满足：（1）在[a，b]上连续；（2）在（a，b）上可导；（3）f(a)=f(b).则至少存在c∈(a,b)，使f(c)"=02、拉格朗日中值定理：若f(x)满足：（1）在[a,b]上连续；（2）在(a,b)内可导。则至少存在c∈（a，b），使f(b)-f(a)=f"(c)(b-a)或f(a+h)-f(a)=f"(a+θh)，其中h=b-a，0<θ<13、柯西中值定理：若f(x)与g(x)满足：（1）在[a,b]上连续；（2）在(a,b)内可导；（3）g"(x)≠0.则至少存在c∈（a,b）,使[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f"(c)/g"(c)

【罗尔中值定理】设函数f(x)满足：①[a,b]上连续；②(a,b)上可导；③f(a)=f(b)求证：存在ξ∈（a,b) ，使：f"(ξ)=0证明：由：函数f(x)满足：①[a,b]上连续；②(a,b)上可导；故根据拉格朗日中值定理，存在ξ∈（a,b) ，使：f"(ξ)= [f(b)-f(a)]/(b-a) = 0/(b-a) = 0命题得证。

罗尔是拉格朗日的特殊情况，即端点处函数值相等的拉格朗日；柯西是参数方程形式的拉格朗日。适用范围：柯西>拉格朗日>罗尔

费马定理中值定理。拉格朗日中值定理，是罗尔中值定理的推广，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特例，即函数在定义域内两端点函数值相等的特例。柯西中值定理，是拉格朗日中值定理的一个特例，即，g(x)=x，结论就变成了拉格朗日中值定理。费马中值定理公式:利用连续函数在闭区间的介值定理可解决的一类中值问题，即证明存在ξ∈[a，b]，使得某个命题成立。利用罗尔定理、费马定理可解决的一类中值定理，即证明存在ξ∈[a，b]，使得H(ξ，f(ξ)，f"(ξ))=0。

拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形。如果函数f(x)在(a，b)上可导，[a,b]上连续，则必有一ξ∈(a,b)，使得 f"(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)

高数辅导书看看就行了，不是一时半会说清的，推荐《高等数学辅导》同济六版我去年就是用的这个，不错的

1、罗尔中值定理：若f(x)满足：（1）在[a，b]上连续；（2）在（a，b）上可导；（3）f(a)=f(b).则至少存在c∈(a,b)，使f(c)"=02、拉格朗日中值定理：若f(x)满足：（1）在[a,b]上连续；（2）在(a,b)内可导。则至少存在c∈（a，b），使f(b)-f(a)=f"(c)(b-a)或f(a+h)-f(a)=f"(a+θh)，其中h=b-a，0<θ<13、柯西中值定理：若f(x)与g(x)满足：（1）在[a,b]上连续；（2）在(a,b)内可导；（3）g"(x)≠0.则至少存在c∈（a,b）,使[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f"(c)/g"(c)

积分中值定理有多种： 0、（引理）费马定理 1、洛尔定理 2、拉格朗日中值定理 3、柯西中值定理 4、泰勒中值定理 你挨个wiki一下吧~他们的关系如下： 其中洛尔定理是最基本的，它是由费马定理推出的 洛尔定理又可以推出拉格朗日定理 拉格朗日定理。

海森堡不确定性原理

先说证明不等式先设一个跟题设有关的函数然后把拉格朗日中值定理公式表示出来然后根据选取的那个值一定在题设的定义域内为限制条件证明等式一般就是把把拉格朗日中值定理中的函数设成与题设有关的函数即可

罗尔定理可知。fa=fb时，存在某点e，使f′e=0。开始证明拉格朗日。假设一函数fx。目标：证明fb-fa=f′e(b-a)，即拉格朗日。假设fx来做成一个毫无意义的函数，fx-(fb-fa)/(b-a)*x，我们也不知道他能干啥，是我们随便写的一个特殊函数，我们令它等于Fx。这个特殊函数在于，这个a和b，正好满足Fb=Fa，且一定存在这个a和b。此时就有罗尔定理的前提了。于是得出有一个e，能让F′e=0(罗尔定理)即(fx-(fb-fa)/(b-a)*x)′，上面求导等于f′x-(fb-fa)/(b-a)。将唯一的x带换成e，并且整个式子等于0。变成f′e-(fb-fa)/(b-a)=0→f′e=(fb-fa)/(b-a)→f′e(b-a)=(fb-fa)。扩展资料证明过程证明：因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续，所以存在最大值与最小值，分别用 M 和 m 表示，分两种情况讨论：1. 若 M=m，则函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上必为常函数，结论显然成立。2. 若 M>m，则因为 f(a)=f(b) 使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 (a,b) 内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点，又条件 f(x) 在开区间 (a,b) 内可导得，f(x) 在 ξ 处取得极值，由费马引理推知：f"(ξ)=0。另证：若 M>m ，不妨设f(ξ)=M，ξ∈(a,b)，由可导条件知，f"(ξ+)<=0，f"(ξ-)>=0，又由极限存在定理知左右极限均为 0，得证。几何意义若连续曲线y=f(x) 在区间 [a,b] 上所对应的弧段 AB，除端点外处处具有不垂直于 x 轴的切线，且在弧的两个端点 A,B 处的纵坐标相等，则在弧 AB 上至少有一点 C，使曲线在C点处的切线平行于 x 轴。

拉格朗日定理公式f（ζ）=（M-m）/（b-a）。约瑟夫·拉格朗日是法国数学家、物理学家。他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出。微积分中的拉格朗日定理即(拉格朗日中值定理)：设函数f(x)满足条件:(1)在闭区间[a，b]上连续。(2)在开区间(a，b)可导。则至少存在一点ε∈(a，b)，使得f(b) - f(a)=f"(ε)(b-a)或者f(b)=f(a) + f "(ε)(b - a)。[证明:把定理里面的c换成x在不定积分得原函数f(x)={[f(b)-f(a)]/(b-a)}x。做辅助函数G(x)=f(x)-{f(b)-f (a)]/(b-a)}x易证明此函数在该区间满足条件:G(a)=G(b)；G(x)在[a，b]连续；G(x)在(a，b)可导。此即罗尔定理条件，由罗尔定理条件即证]。

拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微分学中的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的弱形式（一阶展开）。拉格朗日中值定理如果函数f(x)在（a，b）上du可导，[a,b]上连续，则必有一ξ∈[a,b]使得f"(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)f(x)为y，所以该公zhuan式可写成△y=f"(x+θ△x)*△x (0<θ<1)上式给出了自变量取得的有限增量△x时，函数增量△y的准确表达式。扩展资料：解析：该定理给出了导函数连续的一个充分条件。（注意：必要性不成立，即函数在某点可导，不能推出导函数在该点连续，因为该点还可能是导函数的振荡间断点。）函数在某一点的极限不一定等于该点处的函数值；但如果这个函数是某个函数的导函数，则只要这个函数在某点有极限，那么这个极限就等于函数在该点的取值。参考资料来源：百度百科-拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理公式是f(b)-f(a)=f"(ξ)(b-a)(a<ξ<b）。如果函数y=f(x)在闭区间a≤x≤b上连续且在开区间a≤x≤b上可微，那么在此区间内部至少存在一个中间值u，使得F(b)-f(a)/b-a=f(u).其中a＜u＜b2、多元函数中值定理不成立。但存在拟微分平均值定理设D是一凸域，多元函数f(D)=Y。拉格朗日中值定理的几何意义拉格朗日中值定理是微分中值定理的核心，其他中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情况和推广，它是微分学应用的桥梁，在理论和实际中具有极高的研究价值。其几何意义是若连续曲线在两点间的每一点处都有不垂直于x轴的切线，则曲线在A，B间至少存在1点，使得该曲线在P点的切线与割线AB平行。

在拉格朗日中值定理的证明中如何构造辅助函数的问题，在网上有相关资料，而且推导过程很详细，可以仔细体会一下。比如这个https://wenku.baidu.com/view/177ab31610661ed9ad51f370.html

取特值。a取1，b取e。

定理内容：若函数f(x)在区间[a,b]满足以下条件: 　　(1)在[a,b]连续 　　(2)在(a,b)可导 　　则在(a,b)中至少存在一点f"(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a) a<c<b，使或f(b)-f(a)=f"(c)(b-a) 成立，其中a<c<b证明: 把定理里面的c换成x再不定积分得原函数f(x)={[f(b)-f(a)]/(b-a)}x. 　　做辅助函数G(x)=f(x)-{[f(b)-f(a)]/(b-a)}x. 　　易证明此函数在该区间满足条件: 　　1.G(a)=G(b); 　　2.G(x)在[a,b]连续; 　　3.G(x)在(a,b)可导. 　　此即罗尔定理条件,由罗尔定理条件即证扩展资料：定理表述如果函数f(x)满足：（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)内可导；那么在开区间(a,b)内至少有一点  使等式  成立。其他形式记  ,令  ,则有上式称为有限增量公式。我们知道函数的微分  是函数的增量Δy的近似表达式，一般情况下只有当|Δx|很小的时候，dy和Δy之间的近似度才会提高；而有限增量公式却给出了当自变量x取得有限增量Δx（|Δx|不一定很小）时，函数增量Δy的准确表达式，这就是该公式的价值所在。辅助函数法：已知  在  上连续，在开区间  内可导，构造辅助函数 可得  又因为  在  上连续，在开区间  内可导，所以根据罗尔定理可得必有一点  使得 由此可得 变形得 定理证毕。参考资料：百度百科-拉格朗日中值定理

在《高等数学》的学习中，拉格朗日中值定理是比较令人头痛的。下面。就和我看一下拉格朗日中值定理到底是什吧。 什么是拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微分学中的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的弱形式（一阶展开）。 法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》的第六章提出了该定理，并进行了初步证明，因此人们将该定理命名为拉格朗日中值定理。 拉格朗日中值定理的意义 拉格朗日中值定理是微分中值定理的核心，其他中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情况和推广，它是微分学应用的桥梁，在理论和实际中具有极高的研究价值。 几何意义：若连续曲线在两点间的每一点处都有不垂直于x轴的切线，则曲线在A，B间至少存在1点，使得该曲线在P点的切线与割线AB平行。 运动学意义：对于曲线运动在任意一个运动过程中至少存在一个位置（或一个时刻）的瞬时速率等于这个过程中的平均速率。拉格朗日中值定理在柯西的微积分理论系统中占有重要的地位。可利用拉格朗日中值定理对洛必达法则进行严格的证明，并研究泰勒公式的余项。从柯西起，微分中值定理就成为研究函数的重要工具和微分学的重要组成部分。 拉格朗日中值定理的学习步骤 1、学习拉格朗日中值定理； 2、拉格朗日中值定理的证明； 3、例题讲解； 4、拉格朗日中值定理推论； 5、拉格朗日中值定理的几点说明； 6、概括总结；

拉格朗日中值定理又称拉氏定理，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微分学中的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的弱形式（一阶展开）。定义：如果函数f(x)在[a,b]上处处可导，则必有一ξ∈[a,b]使得f"(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)f(x)为y，所以该公式可写成△y=f"(x+θ△x)*△x (0<1) 上式给出了自变量取得的有限增量△x时，函数增量△y的准确表达式。拉格朗日中值定理的几何意义：如果连续曲线y＝f(x)的弧AB上除端点外处处具有不垂直于X轴的切线，那么这弧上至少有一点C，使曲线在C点处的切线平行于弦AB。拉格朗日介绍：法国数学家。1754年开始研究数学，1766年接替了欧拉在柏林皇家科学院的职位，在那里工作达20年。1786年去法国，先后担任巴黎高等师范学校和多科工艺学校教授。他是18世纪仅次于欧拉的大数学家，工作涉及数论、代数方程论、微积分、微分方程、变分法、力学、天文学等许多领域。著名的拉格朗日中值定理、拉格朗日余项、拉格朗日方程，对黎卡提方程的重要研究，对线性微分方程组的研究，对奇解与通解的联系的系统研究，都是这一时期的工作。他也是最先试图为微积分提供严格基础的数学家之一，这使他成为实变函数论的先驱。他还以在数学上追求简明与严格而被誉为第1个真正的分析学家。拿破仑曾评价说：“拉格朗日是数学科学方面高耸的金字塔。”