康托尔集

康托尔三分集是一个不含任何区间的闭集，测度等于零，是不可列的完全集，势为阿列夫

在数学中，康托尔集，由德国数学家格奥尔格·康托尔在1883年引入（但由亨利·约翰·斯蒂芬·史密斯在1875年发现），是位于一条线段上的一些点的集合，具有许多显著和深刻的性质。通过考虑这个集合，康托尔和其他数学家奠定了现代点集拓扑学的基础。虽然康托尔自己用一种一般、抽象的方法定义了这个集合，但是最常见的构造是康托尔三分点集，由去掉一条线段的中间三分之一得出。康托尔自己只附带介绍了三分点集的构造，作为一个更加一般的想法——一个无处稠密的完备集的例子。　　 康托尔三分集的形成过程实际上斯梅尔的马蹄映射也会形成康托尔集。康托尔定理：用P(X)记X的一切子集构成的集，用cardX表示X的势，康托尔定理如下：cardX<cardP(X)　　.证明：对于空集来说，上述结论显然成立，所以可设X≠空集。因为P(X)含有X的一切单元素子集，故cardX≤cardP(X),现只需证明两者不相等。若相等，假定f:X-P(X)是双射，考察集合A={x∈X|x不∈f(x)}，它由那样一些元素x∈X,x不含于它对应的集f(x)∈P(X),，组成的。因为A∈P(X)，所以必能找到一个元素a∈X,使f(a)=A,这个元素a∈X既不能有a∈A(据A的定义)，也不能有a不∈A（也是根据A的定义）,这与排中律矛盾。得证。

把数轴上的一条线段[0,1]，去掉中间1/3，得到两条线段然后再把那两条线段去掉1/3，得到四条线段，不断重复这个步骤让线段数量一直加倍下去如果有个数对应的数轴上的点，不管你去掉1/3这个过程重复多少次，都不会被去掉的话，那这个数就是康托集的元素

在数学中，康托尔集，由德国数学家格奥尔格·康托尔在1883年引入（但由亨利·约翰·斯蒂芬·史密斯在1875年发现），是位于一条线段上的一些点的 *** ，具有非常多明显和深刻的性质。康托尔集是个测度为0的集，用简单的解析几何说法就是这函式影象面积为0。 通过考虑这个 *** ，康托尔和其他数学家奠定了现代点集拓扑学的基础。虽然康托尔自个用一种一般、抽象的方法定义了这个 *** ，但是最常见的构造是康托尔三分点集，由去掉一条线段的中间三分之一得出。康托尔自个只附带介绍了三分点集的构造，作为一个更加一般的想法--一个无处稠密的完备集的例子。 实际上斯梅尔的马蹄对映就会形成康托尔集。 康托三分集 取一条长度为1的直线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下两段，再将剩下的两段再分别三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段，……，将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔点集，记为P。称为康托尔点集的极限图形长度趋于0，线段数目趋于无穷，实际上相当于一个点集。操作n次后 边长r=（1/3）^n， 边数N（r）=2^n， 根据公式D=lnN（r）/ln（1/r） ， D=ln2/ln3=0.631。 所以康托尔点集分数维是0.631。 性质特点 康托三分集中有无穷多个点，所有的点处于非均匀分布状态。此点集具有自相似性，其区域性与整体是相似的，所以是一个分形系统。 康托三分集具有 （1）自相似性; （2）精细结构; （3）无穷操作或迭代过程; （4）传统几何学陷入危机。用传统的几何学术语难以描述，它既不满足某些简单条件如点的轨迹，也不是任何简单方程的解集。其区域性也同样难于描述。因为每一点附近都有大量被各种不同间隔分开的其它点存在。 （5）长度为零; （6）简单与复杂的统一。 康托尔集P具有三条性质: 1、P是完备集。 2、P没有内点。 3、P的基数为c。 康托尔集是一个基数为c的疏朗完备集。

在数学中，康托尔集，由德国数学家格奥尔格·康托尔在1883年引入（但由亨利·约翰·斯蒂芬·史密斯在1875年发现），是位于一条线段上的一些点的集合，具有许多显著和深刻的性质。通过考虑这个集合，康托尔和其他数学家奠定了现代点集拓扑学的基础。虽然康托尔自己用一种一般、抽象的方法定义了这个集合，但是最常见的构造是康托尔三分点集，由去掉一条线段的中间三分之一得出。康托尔自己只附带介绍了三分点集的构造，作为一个更加一般的想法——一个无处稠密的完备集的例子。　　 康托尔三分集的形成过程实际上斯梅尔的马蹄映射也会形成康托尔集。康托尔定理：用P(X)记X的一切子集构成的集，用cardX表示X的势，康托尔定理如下：cardX<cardP(X)　　.证明：对于空集来说，上述结论显然成立，所以可设X≠空集。因为P(X)含有X的一切单元素子集，故cardX≤cardP(X),现只需证明两者不相等。若相等，假定f:X-P(X)是双射，考察集合A={x∈X|x不∈f(x)}，它由那样一些元素x∈X,x不含于它对应的集f(x)∈P(X),，组成的。因为A∈P(X)，所以必能找到一个元素a∈X,使f(a)=A,这个元素a∈X既不能有a∈A(据A的定义)，也不能有a不∈A（也是根据A的定义）,这与排中律矛盾。得证。

康托三分集中有无穷多个点，所有的点处于非均匀分布状态。此点集具有自相似性，其局部与整体是相似的，所以是一个分形系统。康托三分集具有（1）自相似性；（2）精细结构；（3）无穷操作或迭代过程；（4）传统几何学陷入危机。用传统的几何学术语难以描述，它既不满足某些简单条件如点的轨迹，也不是任何简单方程的解集。其局部也同样难于描述。因为每一点附近都有大量被各种不同间隔分开的其它点存在。（5）长度为零；（6）简单与复杂的统一。康托尔集P具有三条性质：1、P是完备集。2、P没有内点。3、P的基数为c。康托尔集是一个基数为c的疏朗完备集。

找一个一一对应的映射，从康托尔集到区间[0,1]，因为区间[0,1]的基数为C，所以康托尔集的基数也为C.

在数学中，康托尔集，由德国数学家格奥尔格·康托尔在1883年引入（但由亨利·约翰·斯蒂芬·史密斯在1875年发现），是位于一条线段上的一些点的集合，具有许多显著和深刻的性质。通过考虑这个集合，康托尔和其他数学家奠定了现代点集拓扑学的基础。虽然康托尔自己用一种一般、抽象的方法定义了这个集合，但是最常见的构造是康托尔三分点集，由去掉一条线段的中间三分之一得出。康托尔自己只附带介绍了三分点集的构造，作为一个更加一般的想法——一个无处稠密的完备集的例子。　　 康托尔三分集的形成过程实际上斯梅尔的马蹄映射也会形成康托尔集。康托尔定理：用P(X)记X的一切子集构成的集，用cardX表示X的势，康托尔定理如下：cardX<cardP(X)　　.证明：对于空集来说，上述结论显然成立，所以可设X≠空集。因为P(X)含有X的一切单元素子集，故cardX≤cardP(X),现只需证明两者不相等。若相等，假定f:X-P(X)是双射，考察集合A={x∈X|x不∈f(x)}，它由那样一些元素x∈X,x不含于它对应的集f(x)∈P(X),，组成的。因为A∈P(X)，所以必能找到一个元素a∈X,使f(a)=A,这个元素a∈X既不能有a∈A(据A的定义)，也不能有a不∈A（也是根据A的定义）,这与排中律矛盾。得证。

在数学中，康托尔集，由德国数学家格奥尔格·康托尔在1883年引入（但由亨利·约翰·斯蒂芬·史密斯在1875年发现），是位于一条线段上的一些点的集合，具有许多显著和深刻的性质。通过考虑这个集合，康托尔和其他数学家奠定了现代点集拓扑学的基础。虽然康托尔自己用一种一般、抽象的方法定义了这个集合，但是最常见的构造是康托尔三分点集，由去掉一条线段的中间三分之一得出。康托尔自己只附带介绍了三分点集的构造，作为一个更加一般的想法——一个无处稠密的完备集的例子。　　 康托尔三分集的形成过程实际上斯梅尔的马蹄映射也会形成康托尔集。康托尔定理：用P(X)记X的一切子集构成的集，用cardX表示X的势，康托尔定理如下：cardX<cardP(X)　　.证明：对于空集来说，上述结论显然成立，所以可设X≠空集。因为P(X)含有X的一切单元素子集，故cardX≤cardP(X),现只需证明两者不相等。若相等，假定f:X-P(X)是双射，考察集合A={x∈X|x不∈f(x)}，它由那样一些元素x∈X,x不含于它对应的集f(x)∈P(X),，组成的。因为A∈P(X)，所以必能找到一个元素a∈X,使f(a)=A,这个元素a∈X既不能有a∈A(据A的定义)，也不能有a不∈A（也是根据A的定义）,这与排中律矛盾。得证。

在数学中，康托尔集，由德国数学家格奥尔格·康托尔在1883年引入（但由亨利·约翰·斯蒂芬·史密斯在1875年发现），是位于一条线段上的一些点的集合，具有许多显著和深刻的性质。康托尔集是个测度为0的集，用简单的解析几何说法就是这函数图像面积为

只需证明它抹去的测度为1，那么它剩下的测度就是0。首先，小数点后第1位是1的都被抹去了，它们的测度是：1/3剩下的是：小数点后第1位是0或2的数，它们的测度是：2/3其中小数点后第2位是1的又被抹去了，这次被抹去的测度是：2/3*1/3再剩下的是：小数点后第1、2位都是0或2，它们的测度是：(2/3)^2在它们之中，小数点后第3位是1的被抹去了，所以又被抹去了测度：(2/3)^2*1/3……这么一直算下去，被抹去的测度是：(1/3)*(1+(2/3)+(2/3)^2+...)=1所以剩下的测度就只是0了。

只需证明它抹去的测度为1，那么它剩下的测度就是0。首先，小数点后第1位是1的都被抹去了，它们的测度是：1/3剩下的是：小数点后第1位是0或2的数，它们的测度是：2/3其中小数点后第2位是1的又被抹去了，这次被抹去的测度是：2/3 * 1/3再剩下的是：小数点后第1、2位都是0或2，它们的测度是：(2/3)^2在它们之中，小数点后第3位是1的被抹去了，所以又被抹去了测度：(2/3)^2 * 1/3……这么一直算下去，被抹去的测度是：(1/3) * (1 + (2/3) + (2/3)^2 + ... ) = 1所以剩下的测度就只是0了。

三角线证明法康托尔集是一个完全集，具有连续基数的点集和不可数的零测度集康托尔集的性质有：非空有界闭集；具有连续基数，其基数为c；完备集，亦即无孤立点的闭集，被挖去的开集G，没有相邻接的构成区间；疏朗集；可测集且异常的公式结尾函数Lebesgue可积且积分值为零；P上的任何函数均是可测函数，零测度集上的任何函数均是可测函数。因此，可以通过判断这个集合是否具有以上这些性质，如果有，这个集合属于康托尔集，反之则不是。

康托尔集的导集是一种重要的自相似分形集。做出的直线上的一个性质奇特的点集：取一条长度为1的直线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下两段，再将剩下的两段再分别三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段，将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集，记为P。

康托尔集的任何子集是可测集。根据查询相关资料，康托尔定理指的是在集合论中，任何集合A的幂集P(A)的势严格大于A的势.康托尔定理对于有限集合成立，对于无限集合也同样成立。

找一个一一对应的映射，从康托尔集到区间[0,1]，因为区间[0,1]的基数为C，所以康托尔集的基数也为C.

康托集是指著名的康托尔完全集，属于高等数学 是这样构成的：给出闭区间[0,1],把它三等分,第一次删去中间的那个子集(1/3,2/3),剩下[0,1/3]和[2/3,1],再把这两个闭区间三等分,第二次删去中间的子集(1/9,2/9)、（7/9，8/9），剩下[0,1/9]、[2/9,1/3]、[2/3,7/9]、[8/9,1]，如此继续下去直至无穷，那么最终剩下的集合的测度可用下式计算： 1-（1/3+2/9+4/27+……）=1-（1/3）/（1-2/3）=0 康托尔由此得出，剩下的集合是测度为0的连续基数集，这就是康托尔完全集。有理数和无理数统称为实数，实数有下列重要性质： 1．有理数都可以写成有限小数或循环小数的形式，都可以表示成分数的形式；无理数是无限不循环小数，不能写成分数的形式，这里、是互质的整数，且． 2．有理数对加、减、乘、除是封闭的，即任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数；无理数对四则运算不具有封闭性，即两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数．

类康托尔集可测的。测试方法如下：先定义一下记号C_0=[0,1]，C_i是在C_{i-1}的每个区间段里取左右各1/3再并起来得到的集合。C=∩C_i是康托尔集，要证明m(C)=m(∩C_i)=0，设从C_{i-1}抠掉而得到C_i的部分的测度是x_i，那么x_{i+1}=2x_i*1/3=2/3*x_i且x_1=1/3。所以x_i=1/3*(2/3)^(i-1)，所以m(C)=1-∑x_i=0。

每从一个线段取掉中间的三分之一，还剩下该线段的三分之二。也就是总体也剩三分之二。因此第八阶段后，剩下的所有的线段长是三分之二的八次方：(2/3)^8

定理：若G是R中的开集，则G是至多可数个两两不相交的开区间的并（教材上有证明）设G是所有挖掉的开区间的并，显然，G是其每一点的邻域，所以G是开集且根据挖掉这些开区间的方法，这些开区间是两两不相交的综上所述，这些组成G的所有开区间的个数是至多可数个又因为已知这些开区间是可以无限挖下去的，所以是无限的所以挖掉的个数是可数个

第一次操作后余下的线段之和为1-13，第二次操作后余下的线段之和为（1-13）2，…第六次操作后余下的线段之和为（1-13）6=64729，故答案为：64729．

不可以如果用子集的符号来表示，隐含了a可能等于b，这于假设a是b的真子集不符，所以只能用真子集的符号。

找一个一一对应的映射，从康托尔集到自然数集，因为自然数集的基数为C，所以康托尔集的基数也为C

我运行下来没错，你把错误提示信息发来看看。

余集（每次去掉的区间的并）的测度为1，而[0,1]区间的测度为1，所以康托集测度为1-1=0

康托尔在1878年这篇论文里已明确提出“势”的概念(又称为基数)并且用“与自身的真子集有一一对应”作为无穷集的特征。　　康托尔认为，建立集合论重要的是把数的概念从有穷数扩充到无穷数。他在1879～1884年发表的题为《关于无穷线性点集》论文6篇，其中5篇的内容大部分为点集论，而第5篇很长，此篇论述序关系，提出了良序集、序数及数类的概念。他定义了一个比一个大的超穷序数和超穷基数的无穷序列，并对无穷问题作了不少的哲学讨论。在此文中他还提出了良序定理（每一集合都能被良序），但未给出证明。　　在1891年发表的《集合论的一个根本问题》里，他证明了一集合的幂集的基数较原集合的基数大，由此可知，没有包含一切集合的集合。他在1878年论文中曾将连续统假设作为一个估计提出，其后在1883年论文里说即将有一严格证明，但他始终未能给出。　　19世纪70年代许多数学家只承认，有穷事物的发展过程是无穷尽的，无穷只是潜在的，是就发展说的。他们不承认已经完成的、客观存在着的无穷整体，例如集合论里的各种超穷集合。康托尔集合论肯定了作为完成整体的实无穷，从而遭到了一些数学家和哲学家的批评与攻击，特别是克罗内克。康托尔曾在1883年的论文和以后的哲学论文里对于无穷问题作了详尽的讨论。另一方面，康托尔创建集合论的工作开始时就得到戴德金、外尔斯特拉斯和D.希尔伯特的鼓励和赞扬。20世纪以来集合论不断发展，已成为数学的基础理论。你再看看这个 http://baike.baidu.com/view/26152.htm